Lista Cálculo Númerico

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Universidade Federal do Maranhão - UFMA
Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia
Lista 1 de Exercı́cios de Cálculo Numérico
Professor Kênio Alexsom de Almeida Silva
[1] Localize graficamente as raı́zes das equações a seguir:
(a) 4 cos(x) − e2x = 0.
(b)
x
2
− tan(x) = 0.
(c) 1 − x ln(x) = 0.
(d) 2x − 3x = 0.
(e) x3 + x − 1000 = 0.
[2] Suponha que dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) estejam numa reta, com y1 , y0. Há duas
fórmulas disponı́veis para se calcular a interseção desta reta com o eixo x:
x =
x0y1 − x1y0
y1 − y0
, e x = x0 −
(x1 − x0)y0
y1 − y0
.
(a) Mostre que ambas as fórmulas são algebricamente corretas.
(b) Use os dados (x0, y0) = (1.31, 3.24) e (x1, y1) = (1.93, 4.76) numa máquina sistema
APF de 3 dı́gitos, acumulador de precisão dupla, com arredondamento, para cal-
cular a interseção com o eixo x das duas maneiras. Qual método é melhor e por
quê?
[3] Use manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um
ponto fixo em p exatamente quando f (p) = 0, onde f (x) = x4 + 2x2 − x − 3.
(a) φ1(x) = (3 + x − 2x2)1/4
(b) φ2(x) =
(
x + 3 − x4
2
)1/2
(c) φ3(x) =
( x + 3
x2 + 2
)1/2
(d) φ4(x) =
3x4 + 2x2 + 3
4x3 + 4x − 1
(e) Qual função de iteração oferece a melhor aproximação para a solução ξ = 1.1241 . . .
tomando x0 = 1 e xk+1 = φn(xk)? Justifique sua resposta.
[4] Seja A uma constante positiva dada e g(x) = 2x − Ax2.
(a) Mostre que se o método do ponto fixo converjir para um limite não-nulo, o limite
será ξ = 1/A.
(b) Determine um intervalo em torno de 1/A para o qual o método P.F. convirja, desde
que x0 esteja neste intervalo.
[5] (a) Utilize o Teorema do Ponto Fixo para mostrar que a sequência definida por
xk+1 =
1
2
(
xk +
2
xk
)
, para k ≥ 1,
converge para
√
2 sempre que x0 >
√
2. (Este é o método babilônico para se calcular
raiz de 2).
(b) Use o fato de que (x0 −
√
2)2 > 0 para mostrar que se 0 < x0 <
√
2 então x1 >
√
2.
(c) Use os resultados das partes (a) e (b) para mostrar que a sequência em (a) converge
para
√
2 sempre que x0 > 0.
[6] (a) Mostre que se A for qualquer número positivo, então a sequência definida por
xk+1 =
1
2
(
xk +
A
xk
)
, para k ≥ 1,
convergirá para
√
A sempre que x0 > 0.
(b) O que ocorre se x0 < 0?
[7] (a) Calcule b/a numa calculadora que só soma, subtrai e multiplica.
(b) Calcule 3/13 nessa calculadora.
[8] Seja f (x) = x + ln(x) que possui um zero no intervalo I = [.2, 2]. Se o objetivo for obter
uma aproximação xk para esta raiz de ta l forma que |xk − ξ| < 10−5. é aconselhável
usar o método da posição falsa tomando I como intervalo inicial? Justifique gráfica e
analiticamente sem efetuar iterações numéricas.
[9] Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a
seguir com precisão � = 10−4.
(a) x/2 − tan(x) = 0
(b) 2 cos(x) =
ex
2
(c) x5 − 6 = 0
[10] O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
(a) sin(x) = 0
(b) cos(x) + 1 = 0
Aplique o método de Newton com x0 = 3 e precisão 10−7 em cada caso e compare os
resultados obtidos. Justifique.
[11] Seja f (x) = sin(x) − kx.
(a) Encontre os valores positivos de k para que f tenha apenas uma raiz estritamente
positiva.
(b) Encontre os valores positivos de k para que f tenha três raı́zes estritamente positi-
vas.
2
[12] Seja f (x) =
x2
2
+ x(ln(x) − 1). Obtenha seus pontos crı́ticos com o auxı́lio de um método
numérico.
[13] Utilize o método da posição falsa, o de Newton-Raphson e o da secante para encontrar
soluções com precisão de 10−5 para os problemas abaixo:
(a) ex + 2−x + 2 cos(x) − 6 = 0 ∀ x ∈ [1, 2]
(b) ln(x − 1) + cos(x − 1) = 0 ∀ x ∈ [1.3, 2]
(c) 2x cos(x) − (x − 2)2 = 0 ∀ x ∈ [2, 3], x ∈ [3, 4]
(d) (x − 2)2 − ln(x) = 0 ∀ x ∈ [1, 2], x ∈ [e, 4]
(e) ex − 3x2 = 0 ∀ x ∈ [0, 1], x ∈ [3, 5]
(f) sin(x) − e−x = 0 ∀ x ∈ [0, 1], x ∈ [3, 4], e x ∈ [6, 7]
[14] Utilize o método de Newton-Raphson para achar uma aproximação com precisão de
10−4 do valor de x que produza o ponto no gráfico de y = x2 mais próximo ao ponto
(1, 0).
[15] Utilize o método de Newton-Raphson para achar uma aproximação com precisão de
10−4 do valor de x que produza o ponto no gráfico de y = 1/x mais próximo ao ponto
(2, 1).
[16] Utilize algum software gráfico para encontrar aproximações iniciais das raı́zes das
equações f (x) = 0 dadas e aplique o Método de Newton-Raphson para achar as raı́zes
com precisão de 10−6.
(a) f (x) = 33x+1 − 7 · 52x,
(b) f (x) = 2x2 − 3 · 7x+1.
[17] Uma gamela de comprimento L tem seção transversal semicircular com raio r (veja a
figura abaixo). Mostre que quando a gamela está cheia com água até uma distância h
do topo, o volume V de água é dado por
V = L[.5πr2 − r2 arcsin(h/r) − h(r2 − h2)1/2)].
Suponha que L = 10 m, r = 1 m e V = 6.142 m3. Determine a profundidade da água na
gamela com precisão de 0.01 m. (Veja a Figura ??).
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Figura 1:
[18] Uma partı́cula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo θ
está variando a velocidade constante
dθ
dt
= ω < 0.
Depois de t segundos, a posição do objeto é dada por
x(t) = −
g
2ω2
(
eωt − e−ωt
2
− sin(ωt)
)
.
Suponha que a partı́cula tenha se deslocado .5 metro em um segundo. Determine, com
precisão de 10−5, a velocidade ω com a qual θ varia. Suponha que g = 10m/s2. (Veja a
Figura ??).
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Figura 2:
[19] Um objeto em queda vertical no ar está sujeito à resistência viscosa, −k−→v , bem como à
força da gravidade, M−→g , onde k > 0 representa o coeficiente de resistência do ar, M a
massa, −→v o vetor velocidade do objeto e −→g o vetor aceleração da gravidade. Suponha
que o objeto seja solto a uma altura s0 e que a altura do objeto após t segundos seja s(t),
a velocidade escalar seja v(t) mostre que
M
dv
dt
(t) =Mg − kv, s(t) = s0 −
Mg
k
t +
M2g
k2
(1 − e−kt/M).
Suponha que g = 10 m/s2, s0 = 100 m, M = 1 kg e k = 10 kg∗s/m. Determine, com precisão
de 10−3 s o tempo decorrido até que o objeto alcance o solo.
[20] Seja o crescimento populacional onde a população cresce continuamente com o tempo,
a uma taxa proporcional ao número N(t) presente naquele instante t em anos, λ denota
a taxa de natalidade constante, v a taxa de imigração constante, então N(t) satisfaz a
equação diferencial
dN
dt
(t) = λN(t) + v,
mostre que sua solução é
N(t) = N0eλt +
v
λ
(eλt − 1).
Suponha que N0 = 106, v = 4.35 × 105, N(1) = 1.564 × 106. Determine λ, com precisão
de 10−4, utilize esse valor para estimar a população no fim do segundo ano, supondo a
taxa de imigração constante, v = 4.35 × 105.
[21] O valor acumulado numa poupança com base em pagamentos regulares pode ser de-
terminado a partir da equação da anuidade antecipada,
A =
P
i
[(1 + i)n − 1],
onde A é a quantia na conta, P é a quantia depositada de forma regular, i é a taxa
de juros por perı́odo para n perı́odos de depósito. Um engenheiro gostaria de ter
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uma poupança de R$1000000, 00 ao se aposentar, depois de 20 anos de trabalho e pode
depositar R$1500, 00 por mês para esse fim. Qual é a taxa de juros mı́nima com a qual
essa quantia pode ser investida, supondo que os juros sejam compostos mensalmente?
[22] Os problemas que envolvem a quantia necessária para o pagamento de uma hipoteca
durante um perı́odo fixo empregam a fórmula a seguir
A =
P
i
[1 − (1 + i)−n],
denominada equação da anuidade ordinária. Nessa equação, A é o valor da hipoteca,
P é a quantia de cada pagamento, e i é a taxa de juros por perı́odo para n perı́odos de
pagamento. Suponha que uma quantia de R$135000, 00 deva ser paga em 30 anos pela
hipoteca de uma casa e que o mutuário possa pagar até R$1000, 00 por mês pela casa.
Qual teve ser a taxa de juros máxima para que o mutuário possa pagar a hipoteca?
[23] No projeto de veı́culos para qualquer tipo de terreno, é necessário considerar falhas
do veı́culo quando este tenta transpor dois tipos de obstáculos. Um tipo de falha é
denominadofalha de suspensão e ocorre quando o veı́culo tenta cruzar um obstáculo
onde sua parte inferior toca o chão. Outro tipo de falha é chamado falha dianteira e
ocorre quando o veı́culo desce numa vala e sua parte dianteira toca o chão. A Figura ??,
mostra os componentes envolvidos na falha dianteira de um veı́culo. Pode-se mostrar
que o ângulo α máximo que pode ser transposto por um veı́culo quando β é o ângulo
máximo para o qual a falha de suspensão não ocorre, satisfaz a equação
A sin(α) cos(α) + B sin2(α) − C cos(α) − E sin(α) = 0,
onde
A = l sin(β1), B = l cos(β1), C = (h+ .5D) sin(β1)− .5D tan(β1), e E = (h+ .5D) cos(β1)− .5D.
(a) Afirma-se que quando l = 89 pol, h = 49 pol, D = 55 pol, e β1 = 11◦, o ângulo α é de
aproximadamente de 33◦. Verifique esse resultado.
(b) Determine α para a situação em que l, h e β1 tenham os valores indicados na parte
(a), mas D = 30 pol.
[24] O jogador A eliminará (ganha por 21 a 0) o jogador B em uma partida de raquetebol
com uma probabilidade
P =
1 + p
2
(
p
1 − p + p2
)21
,
onde p denota a probabilidade de A vencer qualquer rebatida especı́fica (independente-
mente do sacador). Determine, com precisão de 10−3, o valor mı́nimo de p que garanta
que A eliminará B em pelo menos metade das partidas jogadas.
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Figura 3:
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