Qui-Quadrado_e_Teste_de_hipoteses_sem_fundo

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TESTE DE SIGNIFICÂNCIA 
TESTE QUI-QUADRADO (2)
O teste do 2 é um artifício que auxilia o pesquisador na
determinação do Grau de Concordância de um evento. O
teste leva em conta o Tamanho da amostra e os Desvios da
proporção esperada.
O teste 2 é, essencialmente, um mecanismo pelo qual os
desvios de uma proporção hipotética são reduzidos a um
único valor, baseado no tamanho da Amostra. Isto permite ao
pesquisador determinar a probabilidade de que uma
determinada soma de desvios venha a ocorrer ao acaso.
Portanto o 2 é um número com o auxílio do qual se pode
testar a hipótese de que os desvios entre as proporções
submetidas à comparação podem ser consideradas como
casuais, contra a de que tais desvios são significativos.
Para uma amostra que consiste de 2 Classes fenotípicas (3:1
ou 1:1) o 2 é calculado da seguinte maneira:
TESTE QUI-QUADRADO (2)
(o1 – e1)
2 (o2 – e2)
2
2 = ------------- + --------------
e1 e2
Onde o1 é o número de observados para a Classe 1
e1 é o número de esperados para a Classe 1
o2 é o número de observados para a Classe 2
e2 é o número de esperados para a Classe 2
(o – e) é o desvio entre cada valor observado e 
esperado da classe em questão
Portanto para várias classes:
(o – e)2
2 = Σ ------------
e
TESTE QUI-QUADRADO (2) 
Se os desvios entre os eventos esperados e 
observados são pequenos, o 2 se aproxima de 
zero e o Grau de Concordância é bom.
Se os desvios entre os eventos esperados e 
observados são grandes, o 2 aumenta e o
Grau de Concordância se torna menor.
O valor do 2 está relacionado com o tamanho da 
amostra, tanto quanto com a variabilidade dentro da 
amostra (desvios).
TESTE QUI-QUADRADO (2) 
Exemplo: Um certo pesquisador fez dois experimentos e
utilizou o cruzamento teste para uma herança monogênica
de dominância completa, calculando o 2. Experimentos: 1)
15 vagens amarelas : 35 vagens verdes; 2) 240 vagens
amarelas : 260 vagens verdes
H0: Para uma dada planta, a hipótese de proporção fenotípica 
é de 1:1.
1) n= 50; 15 amarelas : 35 verdes
(15 – 25)2 (35 - 25)2 (-10)2 (10)2 200
2 = ---------------- + ---------------- = ------- + ------- = -------- = 8,0
25 25 25 25 25
(o – e)2
2 = Σ ------------
e
(240 – 250)2 (260 - 250)2 (-10)2 (10)2 200
2 = ---------------- + ---------------- = ------- + ------- = -------- = 0,8
250 250 250 250 250
2) n= 500; 240 amarelas : 260 verdes
TESTE QUI-QUADRADO (2) 
O valor do 2 está relacionado com o tamanho da amostra, 
tanto quanto com a variabilidade dentro da amostra (desvios).
A média dos desvios é nula, porém a elevação ao
quadrado transforma todos os desvios em valores
positivos, tornando possível a soma dos desvios
sem haver cancelamento.
1) n=50; 2 = 8,0 2) n=500; 2 = 0,8 
DISTRIBUIÇÃO DO QUI-QUADRADO (2)
Ao fazermos uma infinidade de tentativas para um dado teste 
com duas classes (cara e coroa), obteríamos uma distribuição 
que se aproxima do seguinte gráfico: 
Portanto podemos
esperar que os
valores de 2
menores que 3,841
tenham 95% de
probb//e de
ocorrência
e que os valores de 2
menores que 6,635
tenham 99% de
probb//e de
ocorrerem.
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
É o risco, expresso como uma probb//e, que o 
pesquisador ocorre em rejeitar uma hipótese 
verdadeira.
É estabelecido que antes da análise de dados, 
seja fixada a probb//e acima da qual a hipótese é 
aceita (P ≥ 0,05). 
Para interpretar o 2 em termos de probb//e 
é necessário saber o número de classes, 
no qual o 2 se baseia.
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
O efeito do número de classes independentes 
está incluído no conceito matemático como 
Graus de Liberdade (G.L.).
G.L. – Número de eventos possíveis – aqueles que se
pode calcular
G.L. – Número de classes menos 1 ou número de
tratamentos menos 1.
Graus de Liberdade
A situação de falta de independência entre os resultados leva
à introdução do conceito de Grau de Liberdade do 2, que
pode ser expresso como o nº de classes de resultados
menos o nº de informações da amostra que são necessárias
ao cálculo dos valores esperados nessas classes.
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
Considerando que um dado tem 6 faces, são 6 as classes de
resultados a serem levadas em conta e, sabendo apenas uma
informação da amostra, isto é, o número total de lances,
dizemos imediatamente o número esperado em cada classe.
Assim se hipóteses fossem testadas a partir de uma série de
120 lances de dão, saberíamos de imediato, que o número
esperado em cada uma das 6 classes é 20. Nesse caso,
portanto, tem-se que o número de classes (6) menos o
número de informações da amostra necessário ao cálculo dos
valores esperados em cada classe (1) é 5 (graus de liberdade.
O valor de 2 é estimado como 2 =  (o – e)2/e , para
aceitarmos ou não a hipótese, isto é, para verificar se os
desvios observados foram devidos exclusivamente ao
acaso, deve-se comparar o valor do 2 calculado com o
valor tabelado (Tabela do 2).
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
1) n=50; 2 = 8,0 1) n=500; 2 = 0,8 
Exemplo: Um certo pesquisador fez dois experimentos e
utilizou o cruzamento teste para uma herança monogênica
de dominância completa, calculando o 2. Experimentos: 1)
15 amarelas : 35 verdes; 2) 240 amarelas : 260 verdes
Graus de Liberdade (GL): 2 – 1 = 1 
TESTE DE HIPÓTESES
Com base em um único experimento pode-se concluir
se os desvios entre as proporções observadas e
esperadas devem ter alguma significação ou se os
desvios podem ser considerados como ocorridos
casualmente.
Para tanto há necessidade de se formular hipóteses:
1) Hipótese da Nulidade ou Hipótese Nula – H0
2) Hipótese Alternativa – H1
TESTE DE HIPÓTESES
Hipótese da Nulidade – H0 é expressa:
H0: Não há diferença do observado para o esperado
H0: p = q H1: p ≠ q
H0: Observado = Esperado
Exemplo: Um certo pesquisador fez dois experimentos e
utilizou o cruzamento teste para uma herança monogênica
de dominância completa, calculando o 2. Experimentos: 1)
15 amarelas : 35 verdes; 2) 240 amarelas : 260 verdes
H0: Para uma dada planta, a hipótese de proporção 
fenotípica é de 1:1.
TESTE DE HIPÓTESES
TESTE DE CONCORDÂNCIA
TESTE DE CONTINGÊNCIA
TESTE DE CONCORDÂNCIA: as proporções Esperadas são 
calculadas com base em alguma teoria.
H0: Para uma dada planta, a hipótese de proporção 
fenotípica é de 1:1.
Exemplo: Um certo pesquisador fez dois experimentos e
utilizou o cruzamento teste para uma herança monogênica
de dominância completa, calculando o 2. Experimentos: 1)
15 amarelas : 35 verdes; 2) 240 amarelas : 260 verdes
TESTE DE CONCORDÂNCIA: as proporções Esperadas são 
calculadas com base em alguma teoria.
Exemplo: Um pesquisador no intuito de conhecer o controle 
genético da cor da flor de uma determinada espécie vegetal, 
realizou o seguinte experimento:
a) Deixou as plantas se autofecundarem por várias gerações até 
que elas gerassem descendentes com flores da mesma cor, ou 
seja, ficassem puras (linhagem pura);
b) Selecionou plantas puras e contrastantes (roxa e branca);
c) Cruzou-as obtendo F1, onde todos os indivíduos tiveram flores 
roxas;
d) Através da autofecundação da F1, obteve-se na F2: 700 
plantas na proporção de 523 indivíduos com flores roxas:177 
com flores brancas.
TESTE DE CONCORDÂNCIA: as proporções Esperadas são 
calculadas com base em alguma teoria.
Exemplo: Um pesquisador no intuito de conhecer o controle 
genético da cor da flor de uma determinada espécie vegetal, 
realizou o seguinte experimento:
H0: O controle genéticoda cor da flor desta espécie vegetal 
concorda com a 1ª Lei de Mendel com a proporção na F2 de 
¾ para o fenótipo dominante de ¼ para o fenótipo recessivo.
P: Roxa X Branca
B/B X b/b
F1: Roxa 
B/b
100%
F1 X F1 : Roxa X Roxa
B/b X B/b
F2: B/B : B/B: B/b: b/b
3/4 1/4
FENÓTIPO Obs Esp d (o - e) d2/e
Roxa 523 525 -2 0,0076
Branca 177 175 2 0,0229
Total 700 700 0 0,0305
2 Calculado
2 Tabelado = 3,841
G.L. = 1
ACEITA H0
2 Calculado < 2 Tabelado
H0: O controle genético da cor da flor desta espécie vegetal 
concorda com a 1ª Lei de Mendel com a proporção na F2 de 
¾ para o fenótipo dominante de ¼ para o fenótipo recessivo.
TESTE DE CONCORDÂNCIA
TAREFA: Um fiscal deseja saber se os 
dados de um cassino são “viciados” ou não. 
Para tanto, o fiscal realiza 6.000 
lançamentos, observando, respectivamente 
para 1, 2, 3, 4, 5 e 6 lados do dado, os 
valores de 1.005, 995, 890, 1.110, 970 e 
1.030.
TESTE DE CONTINGÊNCIA
Neste caso, o teste do 2 pode ser aplicável a casos em que
NÃO dispomos de uma teoria para nos informar a respeito
da probb//e de ocorrência dos elementos nas diferentes
classes esperadas.
Assim, por exemplo, quando queremos saber se uma
característica qualquer se distribui igualmente em amostras
de indivíduos de ambos os sexos, ou de diferentes grupos
raciais, ou de grupos etários, etc., isto é, se tal característica
pode ser considerada independente do sexo ou raça, ou
grupo etário dos indivíduos, não temos uma teoria que nos
permita deduzir os valores esperados para as diferentes
classes.
TESTE DE CONTINGÊNCIA
Exemplo: Suponhamos que queremos verificar se 2 caracteres
(reação positiva e reação negativa à uma dada vacina) se
distribuem igualmente em 3 amostras de indivíduos (A, B e C),
nas quais foram encontrados valores expressos abaixo:
AMOS-
TRAS
Reação + Reação -
total
A
B
C
total
H0: As reações das vacinas se distribuem igualmente entre
as três amostras
H0: As três amostras possuem a mesma reação com
relação as vacinas.
TESTE DE CONTINGÊNCIA
Exemplo: Suponhamos que queremos verificar se 2 caracteres
(reação positiva e reação negativa à uma dada vacina) se
distribuem igualmente em 3 amostras de indivíduos (A, B e C),
nas quais foram encontrados valores expressos abaixo:
AMOS-
TRAS
Reação +
obs esp d d2/e
Reação -
obs esp d d2/e total
A 25 45 70
B
C
total
H0: As reações das vacinas se distribuem igualmente entre
as três amostras
H0: As três amostras possuem a mesma reação com
relação as vacinas.
TESTE DE CONTINGÊNCIA
AMOS-
TRAS
Reação +
obs esp d d2/e
Reação -
obs esp d d2/e total
A 25 45 70
B 15 25 40
C
total
H0: As três amostras possuem a mesma reação com
relação as vacinas.
H0: As reações das vacinas se distribuem igualmente entre
as três amostras
TESTE DE CONTINGÊNCIA
AMOS-
TRAS
Reação +
obs esp d d2/e
Reação -
obs esp d d2/e total
A 25 45 70
B 15 25 40
C 10 30 40
total
H0: As reações das vacinas se distribuem igualmente entre
as três amostras
H0: As três amostras possuem a mesma reação com
relação as vacinas.
TESTE DE CONTINGÊNCIA
AMOS-
TRAS
Reação +
obs esp d d2/e
Reação -
obs esp d d2/e total
A 25 45 70
B 15 25 40
C 10 30 40
total 50 100 150
H0: As reações das vacinas se distribuem igualmente entre
as três amostras
A+
A+ 70
50 150
A+ = 23,33 
TESTE DE CONTINGÊNCIA
AMOS-
TRAS
Reação +
obs esp d d2/e
Reação -
obs esp d d2/e total
A 25 23,33 45 70
B 15 25 40
C 10 30 40
total 50 100 150
H0: As reações das vacinas se distribuem igualmente entre
as três amostras
B -
B- 40
100 150
B- = 26,67 
TESTE DE CONTINGÊNCIA
AMOS-
TRAS
Reação +
obs esp d d2/e
Reação -
obs esp d d2/e total
A 25 23,33 45 70
B 15 25 26,67 40
C 10 30 40
total 50 100 150
H0: As reações das vacinas se distribuem igualmente entre
as três amostras
C+
C+ 40
50 150
C+ = 13,33 
TESTE DE CONTINGÊNCIA
AMOS-
TRAS
Reação +
obs esp d d2/e
Reação -
obs esp d d2/e total
A 25 23,33 ? ?? 45 70
B 15 25 26,67 40
C 10 13,33 30 40
total 50 100 150
H0: As reações das vacinas se distribuem igualmente entre
as três amostras
AMOS-
TRAS
Reação +
obs esp d d2/e
Reação -
obs esp d d2/e total
A 25 23,33 +1,67 0,1195 45 70
B 15 25 26,67 40
C 10 13,33 30 40
total 50 100 150
TESTE DE CONTINGÊNCIA
H0: As reações das vacinas se distribuem igualmente entre
as três amostras
CALCULEM O RESTANTE
AMOS-
TRAS
Reação +
obs esp d d2/e
Reação -
obs esp d d2/e total
A 25 23,33 +1,67 0,1195 45 46,67 -1,67 0,0598 70
B 15 13,33 +1,67 0,2092 25 26,67 -1,67 0,1046 40
C 10 13,33 -3,33 0,8319 30 26,67 +3,33 0,4158 40
total 50 0 100 0 150
TESTE DE CONTINGÊNCIA
H0: As reações das vacinas se distribuem igualmente entre
as três amostras
AMOS-
TRAS
Reação +
obs esp d d2/e
Reação -
obs esp d d2/e total
A 25 23,33 +1,67 0,1195 45 46,67 -1,67 0,0598 70
B 15 13,33 +1,67 0,2092 25 26,67 -1,67 0,1046 40
C 10 13,33 -3,33 0,8319 30 26,67 +3,33 0,4158 40
total 50 0 1,1606 100 0 0,5802 150
TESTE DE CONTINGÊNCIA
2 calculado = 1,7408 
2
tabelado = 5,991G.L. = 2 ACEITA H0
H0: As reações das vacinas se distribuem igualmente entre
as três amostras
H0: As três amostras possuem a mesma reação com
relação as vacinas.
G.L. = (número de linhas – 1) X (número de colunas – 1)
TESTE DE CONTINGÊNCIA
TAREFA: Um grupo de 669 indivíduos (365♂ e
304♀) com idade superior a 50 anos, inoculados
com lepronina integral, verificou-se que entre os
♂, 144 apresentaram reação tardia negativa (-),
60 reação positiva pouco intensa (+), 111 reação
positiva forte (++) e 50 reação positiva forte com
ulceração (+++). Entre as mulheres, a
distribuição encontrada foi de 122 (-), 55 (+), 91
(++) e 36 (+++).
Exercício para casa:
 Os tomateiros altos são produzidos pela ação do alelo
dominante D e as plantas anãs por seu alelo recessivo
d. Os caules pilosos são produzidos pelo alelo
dominante H e os não pilosos pelo alelo recessivo h.
Uma planta dihíbrida alta, pilosa é submetida ao
cruzamento teste. Como resultados deste cruzamento,
tem-se:
118 plantas altas, pilosas: 121 anãs não pilosas: 112
altas não pilosas: 109 anãs pilosas.
Demonstre estatisticamente se há diferença entre os
resultados observados e os esperados.