Prova final de Cálculo Numérico AV1 (Uniasselvi)

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Prova final de Cálculo Numérico – AV1 (Uniasselvi) 
A Regra do Trapézio é um método de integração numérica que permite determinar o valor 
aproximado de uma integral. Com relação à integração numérica via Regra do Trapézio e 
considerando 4 casas decimais, calcule no intervalo [1, 3] a integral da função f(x) = x·ln(x) e 
assinale a alternativa CORRETA: 
 
2,9416. 
2,9470. 
3,3012. 
3,2958. 
 
A regressão linear consiste na obtenção de uma função que tenta explicar a variação e a 
relação entre a variável dependente e a(s) variável(is) independente(s). Sobre a regressão linear 
simples e múltipla, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) A regressão linear simples é aplicada quando a função f depende de apenas uma variável. 
( ) A regressão linear múltipla é aplicada quando a função f depende de duas ou mais variáveis. 
( ) Ao contrário da regressão linear simples, a regressão linear múltipla apresenta como 
resultado uma equação de segundo grau. 
( ) Tanto a regressão linear simples como a múltipla são casos particulares do método de 
interpolação. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - F - V - V. 
V - V - F - F. 
F - V - F - V. 
V - F - V - F. 
 
Raiz de uma função consiste em determinar pontos de intersecção da função com o eixo das 
abscissas. Para determinarmos as raízes de uma função f, além do método gráfico, podemos 
aplicar algum método numérico. Neste contexto, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Os métodos numéricos nos fornecem com exatidão a raiz da função f pertencente a um dado 
intervalo, desde que ela exista. 
II- Antes de aplicar um método numérico, precisamos definir o erro máximo que estamos 
dispostos a aceitar. 
III- O valor que o método numérico escolhido retornar é uma aproximação para a raiz da função 
f. 
IV- O valor encontrado para a raiz de f independe do método numérico escolhido. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As sentenças I e II estão corretas. 
As sentenças II e III estão corretas. 
As sentenças III e IV estão corretas. 
As sentenças I e IV estão corretas. 
 
 
 
 
 
Estamos acostumados a trabalhar no Cálculo Numérico com variáveis que podem assumir 
valores reais. Porém, em algumas aplicações na engenharia, principalmente na teoria das 
ondas eletromagnéticas, é necessária a aplicação de valores imaginários (complexos), daí a 
necessidade da implementação dos Sistemas Lineares Complexos. Neste sentido, sobre os 
Sistemas Lineares Complexos, assinale a alternativa CORRETA: 
 
Podem ser reduzidos a sistemas lineares reais, com o dobro de equações e incógnitas. 
Apenas possuem como soluções números reais. 
Se o número complexo z for uma solução, seu conjugado também será. 
Exigem métodos próprios de resolução. 
 
Em matemática, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é aproximar o 
valor de uma dada integral definida de uma função sem o uso de uma expressão analítica para 
a sua primitiva. Esses algoritmos são os métodos de integração numérica. O método de 
integração numérica não substitui o método de resolução normal, apenas o complementa. 
Neste sentido, quando se usa a integração numérica? 
 
Quando a função é definida por meio de uma tabela de pontos. 
Quando a derivada for constante. 
Quando a função for descontínua. 
Quando a integral não tem intervalos. 
 
A Teoria de Aproximação estuda processos para obter funções que passem o mais próximo 
possível de certos pontos dados. É claro que se pudermos obter funções que passem próximas 
dos pontos dados e que tenham uma expressão fácil de ser manipulada, teremos obtido algo 
positivo e de valor científico. Dentre os processos matemáticos que resolvem tal problema, 
com certeza, um dos mais utilizados é o Método dos Mínimos Quadrados. Na Teoria da 
Aproximação, quando há a necessidade de utilizar o método dos mínimos quadrados? 
 
Diminuir a ordem das diferenças finitas. 
Identificar as curvas mais comuns. 
Obter funções que passem o mais próximo possível dos pontos dados. 
Saber o valor de uma variável. 
 
Em Matemática, um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um 
conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de 
variáveis. Sobre sistemas lineares, estudamos em Álgebra Linear um método de resolução, e 
agora aprendemos mais algumas formas de encontrar sua solução. Com relação a este 
assunto, associe os itens, utilizando o código a seguir: 
 
I- Método Iterativo. 
II- Método Direto. 
 
( ) Fatoração LU. 
( ) Método de Jordan. 
( ) Método de Gauss-Siedel. 
( ) Método de Cramer. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
II - II - I - II. 
I - II - I - I. 
I - II - II - I. 
II - I - II - I. 
 
 
Os sistemas lineares de pequena dimensão raramente são resolvidos através das técnicas 
iterativas, a não ser que o tempo requerido para uma exatidão suficiente exceda o tempo 
requerido por técnicas diretas, como o método de eliminação de Gauss. No entanto, para 
grandes sistemas que exigem a mais baixa porcentagem de erros, estas técnicas são 
eficientes em termos de armazenamento de informações no campo da computação. Os 
sistemas lineares com estas características, frequentemente, surgem na realização da análise 
de circuito, nas soluções numéricas de problemas de fronteiras e nas equações diferenciais 
parciais. Efetue o cálculo a seguir e, segundo o critério de linhas, método de Jacobi, verifique o 
sistema linear dado pelas equações. 
 
 
O sistema não satisfaz o critério de linhas, convergência não garantida. 
O sistema satisfaz o critério de linhas, convergência não garantida. 
O sistema satisfaz o critério de linhas, convergência garantida. 
O sistema é convergente e divergente ao mesmo tempo. 
 
Em análise numérica, os métodos de Runge-Kutta formam uma família importante de métodos 
iterativos implícitos e explícitos para a resolução numérica (aproximação) de soluções de 
equações diferenciais ordinárias. Portanto, uma equação diferencial ordinária pode ser 
resolvida através dos métodos de Runge-Kutta. Qual é a vantagem do método de Runge-Kutta 
de segunda ordem em relação ao método de Euler? 
 
Ele melhora a precisão dos resultados sem diminuir muito o valor da altura do intervalo. 
O número de cálculos diferenciais torna-se menor. 
Não há vantagem de um sobre o outro. 
Ele divide o intervalo em décimos, ao contrário do método de Euler. 
 
As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e 
constantes, relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem 
o nome de polinômios. Dado o polinômio P (x) = 0,6x² + 0,9x + 1, determine seu valor para x = 
0,4 e assinale a alternativa CORRETA: 
 
2,104. 
1,324. 
1,456. 
1,6. 
 
 
 
Na matemática e principalmente na análise numérica, existe uma gama de algoritmos e 
processos, cujo principal fim é aproximar o valor de uma integral definida de uma função sem 
precisar utilizar uma expressão analítica para a sua primitiva. Dada uma função f qualquer, 
utilizamos algum método numérico para integrar ao invés da forma usual quando: 
 
O cálculo envolve funções trigonométricas. 
É difícil ou impossível resolver a integração. 
Os dados não são números reais, mas complexos. 
Não temos o intervalo de integração. 
 
A regressão linear é chamada "linear" porque se considera que a relação da resposta às 
variáveis é uma função linear de alguns parâmetros. Esse método de aproximação baseia-se na 
teoria dos mínimos quadrados. Utilizando os pontos no quadro calcule o coeficiente e assinale 
a alternativa CORRETA: 
 
-0,7879. 
-0,0144. 
1,3830. 
1,3929. 
 
Com relação à integração numérica, o método 1/3 de Simpson Generalizado consiste em 
aplicar o método de Simpson tantas vezes quantos forem os pontos em que conheçamos o 
valor da função f. Consideremos então o intervalo [1, 2], e vamos aplicar este método para a 
função f, supondo n = 4. Se utilizarmos 4 casas decimais nos cálculos,o valor encontrado para 
a integral numérica de f(x) = ln(x) será de quanto? 
 
0,3837. 
0,3846. 
0,3900. 
0,3866. 
 
Em matemática, denomina-se interpolação linear o método de interpolação que se utiliza de 
uma função linear f(x) (um polinômio de primeiro grau) para representar, por aproximação, uma 
suposta função f(x), que originalmente representaria as imagens de um intervalo descontínuo 
contido no domínio de f(x). Portanto, pela interpolação linear é possível determinar o valor da 
função para um ponto intermediário entre dois pontos distintos. Assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta um enunciado coerente com este contexto: 
 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (2,4) e (4,5). Determine aproximadamente o valor de f(5). 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (0,1) e (2,9). Determine aproximadamente o valor de f(1). 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (0,1) e (1,2). Determine aproximadamente o valor de f(7). 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (1,3) e (2,9). Determine aproximadamente o valor de f(3). 
 
A matemática fornece métodos formais que permitem a determinação exata das raízes de uma 
função em diversos casos. Os métodos mais conhecidos permitem a determinação das raízes 
de polinômios de até quarto grau, ou grau maior em certas condições. Em muitas situações, a 
resolução matemática necessita de intuição para que elas sejam transformadas em casos 
resolvíveis através dos métodos conhecidos. Sobre zeros de funções, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Chamamos de zero de uma função f ao ponto f(0). 
( ) Zero de uma função e raiz de uma função são nomes diferentes para o mesmo conceito. 
( ) Toda função real possui pelo menos um zero. 
( ) Toda função polinomial real tem, pelo menos, um zero. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - F - V - F. 
V - V - F - V. 
V - F - V - V. 
F - V - F - F. 
 
Um dos métodos de aproximação estudado foi o método de regressão linear simples através 
dos mínimos quadrados. Utilizando os pontos no quadro calcule o coeficiente e assinale a 
alternativa CORRETA: 
 
9,4142. 
- 0,0359. 
6,0624. 
- 0,0070. 
 
 
 
O sistema de numeração de base dois é também conhecido como sistema de numeração 
binário, em que são utilizados os símbolos: zero (0) e um (1), que são traduzidos por: (1) "passa 
corrente", (0) "não passa corrente". Este sistema de numeração é utilizado principalmente em 
computadores, para se comunicarem, facilitando o trabalho de estocagem, organização e 
difusão de informações. Exemplo: nas caixas de discos magnéticos, vêm impressas 
informações referentes aos cuidados básicos e necessários a serem tomados, quanto ao 
manuseio e estocagem dos referidos discos. Assinale a alternativa CORRETA que efetua a 
mudança de base do número 151 para a base dois: 
 
Somente a alternativa II está correta. 
Somente a alternativa IV está correta. 
Somente a alternativa III está correta. 
Somente a alternativa I está correta. 
 
No campo das ciências exatas, os sistemas de equações são utilizados na organização de 
informações, que são agrupadas em linhas e colunas, formando agrupamentos retangulares, 
chamados de matrizes. Estas matrizes, em geral, são tabelas de dados numéricos oriundos de 
observações físicas que ocorrem em vários contextos das diversas áreas do conhecimento, 
como: Matemática, Física, Química, Engenharia etc. Na sequência, será apresentado um estudo 
de caso envolvendo uma empresa que trabalha com a realização de eventos festivos: 
 
O sr. Geraldo pertence ao grupo de empresários que atuam no ramo de organização de 
eventos. Segundo o sr. Geraldo, os eventos festivos movimentam bilhões de reais por ano e, 
nesse caso, pedir ajuda para um especialista é investir para não ficar estressado. De acordo 
com a opinião do sr. Geraldo, prestar uma consultoria completa para que os clientes não 
fiquem perdidos em meio a tantas ofertas e detalhes não é mais uma novidade no mercado de 
serviços. A GL Organização de Eventos entra em jogo para organizar os custos de cada cliente 
e para apresentar fornecedores, centralizar contratos, negociar pagamentos etc. Minutos antes 
do evento, a empresa certifica-se de que todas as encomendas chegaram (das flores aos 
doces), cuida da organização e da festa. O sr. Geraldo e toda sua equipe adoram esse trabalho, 
tendo em vista que a recompensa de ver o evento animado, o cliente feliz, não tem preço. É 
dessa forma que cada evento é feito sob medida, com atendimento personalizado, flexibilidade 
e organização, tudo para que o sonho se torne realidade. Em contato com o sr. Geraldo, foi 
possível obter informações referentes aos seguintes eventos: festa de batizado, debutantes e 
casamento. Os gastos por evento estão relacionados na tabela a seguir: 
 
 
O batizado tem o valor de R$35.000,00. O debutantes tem o valor de R$75.000,00. E o 
casamento tem o valor de R$60.000,00. 
O batizado tem o valor de R$30.000,00. O debutantes tem o valor de R$80.000,00. E o 
casamento tem o valor de R$60.000,00. 
O batizado tem o valor de R$30.000,00. O debutantes tem o valor de R$75.000,00. E o 
casamento tem o valor de R$65.000,00. 
O batizado tem o valor de R$35.000,00. O debutantes tem o valor de R$70.000,00. E o 
casamento tem o valor de R$65.000,00. 
 
Com relação à integração numérica, o método do Trapézio Generalizado consiste em aplicar o 
método do Trapézio tantas vezes quantos forem os pontos em que conheçamos o valor da 
função f. Consideremos então o intervalo [1, 4], e vamos aplicar este método para a função f, 
supondo n = 6. Se utilizarmos 4 casas decimais nos cálculos, qual será o valor encontrado para 
a integral numérica? 
 
4,9490. 
4,6614. 
4,9152. 
4,5000. 
 
Um dos métodos de resolver um sistema linear é por meio da interpolação de Lagrange. De 
acordo com os dados no quadro a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o 
polinômio interpolador obtido via método de Lagrange para a função f(x) = ln x: 
 
- 0,9807x² + 1,1245x - 0,1438. 
1,1245x² - 0,1438x - 0,9807. 
1,1245x² - 0,9807x - 0,1438. 
- 0,1438x² + 1,1245x - 0,9807.