calculo_diferencial_e_integral_ii_1462970645
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DisciplinaCálculo Diferencial e Geometria Analítica76 materiais749 seguidores
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Professor: Eduardo Gonçalves dos Santos 
Curso de Licenciatura em Matemática \u2013 UFPBVIRTUAL 
eduardo@mat.ufpb.br 
 
Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br 
Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br 
Site do curso www.mat.ufpb.br/ead 
Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 
 
Carga horária: 60 horas Créditos: 04 
 
Ementa 
 
Derivadas e Integrais. 
 
Descrição 
 
Esta disciplina consiste de uma continuação do estudo das derivadas iniciado no curso de Cálculo 
Diferencial e Integral I, bem como de uma apresentação ao conceito de integral. O programa da disciplina está 
dividido em cinco unidades. Na primeira ampliaremos o nosso leque de regras de derivação, através de um 
aprofundamento no estudo da regra da cadeia que possibilitará a derivação de funções compostas, bem como de 
funções dadas na forma implícita e de funções inversas. A segunda unidade aborda algumas aplicações da 
derivada, destacando-se aí aquelas relativas ao estudo do comportamento de uma função no que se refere a 
máximos, mínimos, crescimento, decrescimento e concavidades. A terceira unidade introduz os conceitos de 
integral definida e primitiva, relacionando-os através do chamado Teorema Fundamental do Cálculo. A quarta 
unidade faz um estudo sobre algumas técnicas para a determinação de primitivas. Na quinta unidade serão dadas 
algumas aplicações geométricas da integral definida, como o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos. 
Também durante a quarta unidade será feito um rápido estudo sobre o sistema de coordenadas polares. 
As idéias presentes neste curso são bastante antigas e sobre elas vários homens de ciência dedicaram boa 
parte de suas carreiras nos mais variados períodos da história da humanidade. Dentre eles, podemos citar 
Arquimedes de Siracusa, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Pierre Fermat, Augustin Cauchy, Joseph-Louis 
Lagrange, Julius Dedekind, Bernhard Riemann e Karl Weierstrass. 
Esse ramo da Matemática, conhecido em um contexto mais avançado como Análise Matemática, 
despertou paixões, causou crises e, logicamente, promoveu o avanço do conhecimento humano. O seu estudo, 
além de enriquecedor no sentido da aquisição pura e simples do conhecimento, é útil e importante na formação 
do futuro professor uma vez que proporciona uma forte ligação entre conceitos de aspectos puramente teóricos a 
situações das mais variadas naturezas. 
 
Objetivos 
Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado a: 
	 Compreender o funcionamento da regra da cadeia e utilizá-la no cálculo de derivadas de funções 
dadas tanto na forma explícita quanto na forma implícita. 
	 Compreender a interpretação dada à derivada de uma função como sendo uma velocidade e utilizá-la 
na resolução de diversos problemas. 
	 Estudar o comportamento de uma função no que diz respeito a pontos extremos, concavidade e 
comportamento no infinito. 
	 Esboçar com rigor o gráfico das principais funções. 
	 Compreender o significado da integral definida e relacioná-lo com o conceito de primitiva. 
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	 Utilizar a integral definida para calcular áreas, volumes e comprimentos de arco em alguns casos. 
	 Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas. 
 
Unidades Temáticas Integradas 
Unidade I Regras de Derivação 
\u2022 Derivada da função composta 
\u2022 Derivada de funções dadas na forma implícita 
\u2022 Derivada da função inversa 
\u2022 Derivadas de algumas funções inversas 
Unidade II Interpretando e Utilizando a Derivada 
\u2022 Taxas de variação 
\u2022 Crescimento e decrescimento 
\u2022 Máximos e mínimos locais 
\u2022 Máximos e mínimos globais 
\u2022 Concavidade e pontos de inflexão 
\u2022 Esboço de gráficos 
\u2022 O Teorema do valor médio 
Unidade III Integral Definida e Primitivas 
\u2022 Motivação inicial: o problema da área 
\u2022 Integral definida: definição e propriedades 
\u2022 Primitivas 
\u2022 O teorema fundamental do cálculo 
Unidade IV Algumas Técnicas para se Encontrar Primitivas 
\u2022 Integração por substituição 
\u2022 Integração por partes 
\u2022 Substituições trigonométricas 
\u2022 O método das frações parciais 
Unidade V Aplicações Geométricas da Integral Definida 
\u2022 Cálculo de áreas 
\u2022 O sistema de coordenadas polares 
\u2022 Comprimentos de arcos 
\u2022 Volumes de sólidos de revolução 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidade I: Regras de Derivação 
1. - Situando a Temática 
 
No curso de Cálculo Diferencial e Integral I tivemos a oportunidade de definir e interpretar 
geometricamente um objeto bastante importante na matemática que é a derivada de uma função. Vimos que para 
obtê-la existem algumas regras que evitam o uso da definição e tornam seu cálculo bastante simplificado. Nesta 
unidade ampliaremos o estudo da Regra da Cadeia o que nos permitirá derivar uma quantidade considerável de 
funções. 
Além disso, utilizaremos a referida regra para obter a derivada de funções dadas na forma implícita e a 
derivada da inversa de algumas funções. 
 
2. - Problematizando a Temática 
 
As primeiras regras de derivação que foram estudadas em Cálculo Diferencial e Integral I não eram 
suficientes para derivar uma quantidade importante de funções como determinados tipos de funções compostas. 
Para tratar desse problema, tornou-se necessária a introdução de uma nova regra, conhecida como Regra da 
Cadeia. Aqui vamos explorar este tema de uma forma mais profunda. 
 
3. - Conhecendo a Temática 
 
3.1. - Derivada da Função Composta 
 
No curso de Matemática para o Ensino Básico II tomamos contato com uma situação que permitia obter 
uma nova função a partir de duas outras. Mais especificamente, dadas :f A B\u2192 e :g B C\u2192 funções, 
definimos a função :h A C\u2192 pela fórmula ( ) ( )( )h x g f x= . A função h é chamada de função composta de 
g e f e denotada por .g fD Estamos interessados aqui em obter uma fórmula que forneça a derivada da função 
h a partir das derivadas de f e .g Com esse objetivo em mente vamos analisar o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 3.1.1. Considere a função ( ) ( )22 3h x x= + e vamos tentar obter sua derivada. O nosso impulso 
inicial é desenvolver o quadrado do binômio. Fazendo isso ficamos com: 
 
( ) 24 12 9.h x x x= + + 
Agora usamos a regra de derivação de polinômios e vemos que: 
 
( )' 8 12.h x x= + 
Aqui há algo que simplificou bastante essa tarefa: o expoente do binômio é pequeno, o que permitiu que nós o 
desenvolvêssemos. Se o expoente fosse, por exemplo, 20, tal desenvolvimento, apesar de possível, seria bastante 
laborioso e o cálculo da derivada tornar-se-ia bastante penoso. Imagine o caso em que o expoente é 100. 
 
A situação discutida no Exemplo 3.1.1. nos mostra ser necessário o conhecimento de uma nova regra de 
derivação que permita derivar funções como aquela que lá foi discutida. Essa nova regra será chamada Regra da 
Cadeia pelo fato de que as derivadas serão executadas como num processo em cadeia, em seqüência. Vamos 
revisitar o Exemplo 3.1.1. a fim de que possamos ter uma pista acerca do funcionamento da dita regra. 
 
Exemplo 3.1.1 (Revisitado). Em primeiro lugar vamos encarar h como uma função composta. De fato, se 
fizermos ( ) 2g x x= e ( ) 2 3f x x= + então vemos que ( ) ( )( ).h x g f x= Agora perceba que: 
 
( ) ( )' 8 12 2 2 3 2.h x x x= + = × + × 
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Mas veja que ( )' 2g x x= , ( )' 2f x = e ( )( ) ( )' 2 2 3 .g f x x= × + Portanto olhando para a expressão de 
( )'h x obtida antes vemos que: 
( ) ( )( ) ( )' ' ' .h x g f x f x= × 
A conclusão obtida na nova visita que fizemos ao Exemplo 3.1.1. nos dá uma pista sobre o aspecto da Regra da 
Cadeia. Ela sugere que a derivada da função composta é obtida multiplicando as derivadas das funções 
envolvidas, mas com uma ressalva: nesse produto