Calculo_Diferencial_e_Integral_I

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álgEBra linEar
CÁLCULO 
DIFERENCIAL 
E INTEGRAL I
LEIBNIZ
(1646 - 1716)
Gottfried Wilhelm 
von Leibniz foi um 
filósofo, cientista, 
matemático, 
diplomata e 
bibliotecário alemão.
A ele é atribuída a 
criação do termo 
"função" (1694), que 
usou para descrever 
uma quantidade 
relacionada a uma 
curva, como, por 
exemplo, a inclinação 
ou um ponto 
qualquer situado 
nela. É creditado a 
Leibniz e a Newton 
o desenvolvimento 
do cálculo moderno, 
em particular o 
desenvolvimento da 
Integral e da Regra do 
Produto. Demonstrou 
genialidade também 
nos campos da lei, 
religião, política, 
história, literatura, 
lógica, metafísica e 
filosofia.
Maringá
2010
CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL I
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 Solange Marly Oshima
Maringá
2010
FORmAçãO DE PROFEssOREs Em FÍsICA - EAD
CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL I
Rui Marcos de Oliveira Barros
2
Copyright © 2009 para o autor
1ª reimpressão 2010 revisada
Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo 
mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, do autor. Todos os direitos 
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Coleção Formação de professores em Física - Ead
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 Kellis Germano de Freitas
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Barros, Rui Marcos de Oliveira 
 Cálculo diferencial e integral, 1. / Rui Marcos de Oliveira Barros - Maringá : 
Eduem, 2009. 167 p. ; 21 cm. – (Formação de Professores em Física – EAD; v. 2)
 
 ISBN 978-85-7628-178-8
 
 1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. I. Título. II. Série.
 
CDD 21. ed. 515.3
 B277
3
Sobre os autores ................................................................................... 5
Apresentação da coleção ..................................................................... 7
Apresentação do livro ........................................................................... 9
1 Funções de uma variável real ..............................................................11
2 limites e Continuidades ...................................................................... 45
3 derivadas .............................................................................................81
4 integração ..........................................................................................127
5 lista de Exercícios ..............................................................................155
umárioS
5
RUI MARCOS DE OLIVEIRA BARROS
Graduação: Matemática pela UFSCAR (1984). Doutorado: Topologia Algébrica 
pelo ICMC-USP (1995). É professor associado do Departamento de Matemática 
da UEM desde 1996.
obre os autoresS
7
Embora	relativamente	recente	no	Brasil,	a	Educação	a	Distância	foi	imaginada	e		im-
plantada com relativo sucesso, há muito tempo em diversas partes ao redor do mundo. 
Já em 1833, na Suécia, uma publicação se referia ao ensino por correspondência, e 
poucos anos depois, na Alemanha, foi fundada a primeira escola por correspondência 
destinada	ao	ensino	de	línguas.	Com	o	advento	da	transmissão	radiofônica,	as	facilida-
des	se	tornaram	reais	e	as	trocas	de	informações	se	agilizaram	e,	consequentemente,	
a	Educação	a	Distância	experimentou	um	crescimento	signifi	cativo.	Fato	semelhante	
ocorreu	com	a	evolução	dos	setores	de	comunicação	televisiva,	e	defi	nitivamente,	a	
Educação a Distância se consolidou incorporando novas formas de comunicação.
O Ministério da Educação, através da Secretaria de Educação a Distância (SEED) 
tem promovido uma ampla difusão de vários cursos a distância, em parceria com di-
versas Instituições Públicas de Ensino Superior (IPES). O curso de Física em EAD da 
Universidade	Estadual	de	Maringá	(UEM)	foi	 implantado	com	total	apoio	desses	ór-
gãos	ofi	ciais.	Possui	disciplinas	idênticas	e	o	mesmo	conteúdo	programático	do	curso	
presencial. 
Entretanto,	 existem	 pontos	 entre	 ambos,	 que	 não	 podem	 convergir	 devido	 ao	
enfoque:	 enquanto	 o	 curso	 presencial	 requer	 uma	metodologia	 característica,	 com	
a	 relação	 professor-discente	 acontecendo	 quase	 que	 exclusivamente	 dentro	 de	 um	
espaço	físico	próprio,	o	curso	a	distância	deve	abranger	e	considerar	a	relação	espaço-
temporal	para	 efetivar	o	 aprendizado.	A	 coleção	que	ora	 apresentamos	 refl	ete	 essa	
preocupação.	Os	 volumes	 foram	escritos	por	professores	que	possuem	experiência	
sufi	ciente	para	elaborar	o	conteúdo	adequado	a	cada	disciplina	e,	de	forma	bastante	
consistente,	eleger	os	tópicos	exigidos	para	a	formação	de	um	licenciado	em	Física.	O	
leitor	perceberá	que,	mesmo	dentro	de	um	único	livro	escrito	por	diversos	autores,	
a	 linguagem	 não	 é	 uniforme	 e	 os	 enfoques	 são	 diferenciados;	 enfi	m,	 preservamos	
tanto	quanto	possível	as	particularidades	respeitando-se	as	experiências	individuais	e,	
certamente,	isso	se	refl	ete	na	apresentação	do	conteúdo	e	no	estilo	de	exposição	do	
presentação da ColeçãoA
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
8
material didático. 
Adicionalmente uma parcela do corpo docente do Departamento de Física – UEM 
tem se dedicado à tarefa de produção de textos direcionados a Educação a Distância, 
os Departamentos de Matemática, de Química, de Fundamentos da Educação e de 
Informática	têm	contribuído	com	os	textos	pertinentes	às	disciplinas	que	usualmente	
ministram	na	modalidade	Presencial.	Ao	fi	nal	do	quarto	ano,	a	coleção	contará	com	
mais	de	trinta	volumes.	Esses	foram	gerados	com	o	objetivo	de	proporcionar	ao	dis-
cente da Educação a Distância um material produzido pelo empenho de um conjunto 
de	professores	que	acreditam	que	a	Educação	a	Distância	seja	uma	alternativa	para	
suprir	a	defi	ciência	de	professores	de	Física	no	ensino	médio.	Percebe-se	também	que	
não	é	a	modalidade	de	ensino	que	determina	o	aprendizado,mas	ele	depende,	acima	
de	tudo,	do	esforço	e	da	dedicação	de	cada	um.	Esperamos	que	essa	coleção	seja	uma	
forma de tornar essa tarefa mais fácil de Física em EAD.
Sonia Maria Soares Stivari
Organizadora da Coleção
9
O	texto	apresentado	não	segue	o	padrão	de	um	livro	texto	de	Cálculo.	Livros	textos	usa-
dos	em	cursos	presenciais	seguem	uma	padronização	que	não	utilizaremos	aqui.	Uma	vez	
que	não	seguiremos	essa	padronização,	como	deveria	se	apresentar	uma	obra	para	o	aluno	
que	não	terá,	basicamente,	um	momento	presencial	com	o	professor?	Como	o	aluno	da	
modalidade	EAD	“escutará”	as	observações	que	invariavelmente	aparecem	em	sala	de	aula?		
Nos	cursos	presenciais	de	Cálculo,	existem	perguntas	proferidas	por	alunos	que	contri-
buem	para	o	professor	aprimorar	sua	argumentação,	explicando	com	maior	riqueza	de	de-
talhes	alguma	parte	do	conteúdo.	Às	vezes	o	professor	percebe	que	está	havendo	equívocos	
na	leitura	do	livro	texto	e	fornece	questões	que	possibilitem	a	correção.		Porém,	quando	a	
distância	física	aumenta	e	o	diálogo	não	é	mais	síncrono,	cabe	ao	texto	didático	prever	as	
possíveis	dúvidas	e	amparar	o	aluno	para	que	a	construção	dos	conceitos	do	Cálculo	não	
seja desviada para “caminhos traiçoeiros”. Esse texto procurará desviar-se destes caminhos. 
Em	muitos	momentos	o	aluno	deparar-se-á	com	um	ambiente	que	denominamos	carinho-
samente de “conversa”. Dentro deste ambiente, procuraremos nos aproximar do aluno-lei-
tor,	numa	linguagem	direta,	sugerindo	atitudes	e	comentando	acerca	do	disposto	no	corpo	
principal	do	livro.	A	construção	desse	ambiente	pretende	que	o	corpo	principal	da	obra	
apresente	possibilidades	de	uma	leitura	mais	fl	uida,	no	sentido	de	uma	leitura	que	esteja	
próxima	do	“ouvir”.	O	aluno	perceberá	que	este	livro	conversará	com	ele,	pelo	menos	essa	
é	a	intenção.	Em	alguns	momentos,	isso	fi	cará	bem	claro,	principalmente	quando,	após	um	
teorema importante, ao invés de encontrar uma demonstração encontrará uma “conversa”. 
No	que	diz	respeito	às	demonstrações,	a	maioria	delas	não	está	presente	no	texto.	Para	
aqueles	que	compararem	a	presente	obra	com	os	demais	livros	tradicionais	de	Cálculo,	per-
ceberão	que	as	diferenças	são	maiores	do	que	aquelas	que	poderiam	ser	inicialmente	pre-
vistas.	Aqui,	tenta-se	conversar	com	o	aluno	e	propor	situações	que	o	levem	à	construção	
de	conceitos.		Essa	não	é	uma	tarefa	fácil,	pois	um	conceito	não	é	algo	estanque,	imutável.	
Ao	contrário,	um	conceito	é	algo	que	está	em	eterno	estado	de	“devir”.	Os	compêndios	de	
Cálculo,	em	geral,	tratam	os	conceitos	mediante	a	apresentação	de	defi	nições.	
É	importante	destacar	que	uma	defi	nição	não	é	o	conceito.	No	caso	da	matemática,	uma	
defi	nição	é	algo	que	contém	uma	face	do	conceito,	face	apropriada	para	a	construção	de	
argumentação	segundo	um	sistema	lógico-dedutivo.	Este	livro	tenta,	pois,	apresentar	situa-
ções	que	levem	o	aluno	a	conceituar	e	posteriormente	defi	nir.	Esperamos	que,	dentro	das	
possibilidades,	esta	obra	cumpra	seu	objetivo	que	é	o	de	propiciar	ao	aluno	a	possibilidade	
de	acesso	ao	mundo	dos	“conceitos”	matemáticos	que	surgiram	após	os	séculos	XVI	e	XVII,	
isto	é,	os	conceitos	que	envolvem	o	infi	nitamente	pequeno	e	o	infi	nitamente	grande.
O AUTOR
presentação do livroA
11
Funções de uma 
Variável Real
1
1.1 Conceito e defi nição
1.2 operações com Funções
1.3 gráfi cos
1.4 injetividade, Bijetividade e Composição
1.5 alguns tipos de Funções
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
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1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
1.1 Conceito e Defi nição
 O conceito de função demorou milênios para ser lapidado. Mas hoje, sua defi nição e suas 
notações são partes integrantes dos programas de ensino desde o Ensino Fundamental até o Superior. 
Atualmente, tal conceito e suas representações permeiam tanto a nossa vida que, frequentemente, 
assistimos noticiários repletos de gráfi cos sobre a evolução de uma quantidade em função de 
algum fator ou variável. Isso signifi ca que a compreensão do conceito para seu uso cotidiano é 
tão importante quanto sua compreensão teórica e epistemológica no Ensino Superior. No âmbito 
de um curso de Cálculo, a compreensão do dinamismo do conceito de função se faz necessária, 
pois sua utilização na descrição de eventos físicos, químicos e biológicos é imprescindível. Com 
ênfase nesse aspecto, queremos que o conceito de função não seja construído alicerçado apenas na 
compreensão de uma “fórmula”, mas sim, que haja o entendimento de que a representação analítica 
(a da “fórmula”) seja uma das representações possíveis do conceito.
 A ferramenta “função” é apropriada para a descrição de uma miríade de eventos. Como 
exemplos podemos citar: i) o caso da descrição da posição de um móvel lançado verticalmente em 
função do tempo; ii) a descrição da temperatura de ebulição da água em função da altitude, ou iii) 
a descrição do alcance de um projétil lançado com velocidade constante em função do ângulo que 
o objeto lançado faz com a horizontal.
 As regras de dependência que nos interessam são as que, a cada número real x contido em 
um subconjunto D dos números reais, associam um único número real y. A defi nição e as notações 
utilizadas são as seguintes: 
Defi nição 1.1: Uma função real de uma variável real é uma lei de associação f que associa a cada 
número real x pertencente a um subconjunto ⊂ D um único número real y. A notação usual para 
essa defi nição é : , ( )⊂ → = f D y f x .
 Se a função é dada pela expressão ( )=y f x , denominamos a letra x de variável 
independente e a letra y de variável dependente.
 Observe que se uma função é dada pela defi nição ( )w h b= , essa notação estará nos 
dizendo que a variável independente, isto é, aquela que pode assumir valores no domínio da 
função, é escrita com a letra b, e a variável dependente, ou seja, aquela que depende do valor de b 
e de outras regras funcionais é escrita com a letra w. 
 
Exemplo 1.1: Galileu Galilei (1564−1642) afi rmava que a velocidade de um corpo em queda 
livre era diretamente proporcional à quantidade de tempo durante a qual ele estivesse caindo. Essa 
afi rmação, em notação matemática, pode ser escrita como : ,+ → = v v kt , em que k é uma 
constante. Aqui, t é a variável independente e v é a variável dependente.
Exemplo 1.2: Uma das funções que nos acompanham desde o Ensino Fundamental é a função 
afi m. Ela é defi nida como: : ,→ = + f y ax b , em que a e b são constantes.
 Existem diferentes maneiras de representarmos uma função. Uma delas é a representação 
verbal. Um exemplo de representação verbal é: 
“a velocidade de um corpo em queda livre é diretamente proporcional à quantidade de 
tempo durante a qual ele esteja caindo”.
Essa é a representação verbal dada por Galileu para descrever a velocidade de um corpo 
em queda livre. Outro exemplo é:
 “a velocidade de um corpo em queda livre é proporcional à força proporcionada pelo peso 
do corpo e inversamente proporcional à resistência do meio onde o corpo se move”.
Esta última é a descrição de Aristóteles (séc. IV a.C.). A representação verbal é pouco 
utilizada nos meios acadêmicos devido à possibilidade de imprecisão ocasionada pela interpretação 
do leitor ou do ouvinte.
13
Funções de uma 
variável real
 Outra maneira de representarmos uma função é a representação tabular, ou representação 
numérica. Esse tipo de representação é bastante comum quando relacionamos dados referentes 
a coletas experimentais. Um exemplo fi ctício é dado pela seguinte tabela (Tabela 1.1), na qual 
relacionamos a quantidade acumulada de casos notifi cados de dengue com as semanas dos meses.
Semanas Total de casos
Janeiro – semana 1 15
Janeiro – semana 2 45
Janeiro – semana 3 107
Janeiro – semana 4 285
Fevereiro – semana 1 381
Fevereiro – semana 2 491
Fevereiro – semana 3 622
Tabela 1.1 
A representação tabular possui algumas vantagens. Analisando o exemplo anterior 
percebemos o crescimento da notifi cação de casos de dengue e percebemos também que a taxa na 
qual esse crescimento se dá nãoé constante. Nesse exemplo, o tempo dado em semanas é a variável 
independente e o total de casos é a variável dependente.
 O terceiro tipo de representação é a representação analítica, ou representação algébrica. 
Esse é o tipo de representação que mais utilizaremos, esta é a representação citada na defi nição de 
função dada anteriormente. Quando dizemos “a função g defi nida por 2( ) 3 2= −g x x ”, estamos 
utilizando uma representação analítica que expressa a lei de associação entre a variável dependente 
e a variável independente.
 O último tipo de representação, que também utilizaremos com frequência, é a representação 
gráfi ca. Nesta, utilizam-se signos gráfi cos que expressam a associação entre a variável dependente 
e a variável independente. Exemplos de representações gráfi cas são os diagramas de setas, os 
diagramas de Euler-Venn, os gráfi cos no plano cartesiano e os infográfi cos, estes últimos, muito 
comuns em publicações impressas e na veiculação de notícias pela televisão.
Conversa
 A preponderância da representação algébrica faz com que grande quantidade de 
alunos construa o conceito de função como um elemento “estático”, como um código escrito 
no papel, porém, a compreensão de que a função é um elemento dinâmico é muito importante. 
Queremos que você pense em função como uma transformação, como um processo dinâmico 
que transporta elementos entre dois conjuntos. 
Em nosso estudo, queremos que você, ao se deparar com alguma representação 
de função, pense imediatamente numa “máquina de transporte”, que, a cada número 
real colocado em sua “entrada”, ocorra uma transformação nesse número obtendo um 
novo valor de outro conjunto de números reais. Desejamos que você, ao ler a notação 
: ⊂ → h D , entenda que se trata de uma transformação que recebeu o nome “h” e 
que, para cada número x pertencente ao subconjunto D, haverá uma transformação nesse 
número, levando-o em outro número real.
 Outra representação que, de certa maneira, colabora para a construção do conceito 
de função “estática” é a representação gráfi ca da função no plano cartesiano. Queremos que, 
ao ver o gráfi co de uma função, você compreenda a transformação registrada no desenho 
apresentado. Voltaremos a esse assunto mais adiante.
 No estudo de funções, três conjuntos são importantes e recebem nomes especiais: 
Domínio, Imagem e Contradomínio.
 Ao escrevermos, por exemplo, a representação analítica ( ) =f x x , estamos representando 
uma transformação que a cada número x associa outro número, que podemos denotar por y, de 
maneira que y y x⋅ = . Podemos tomar qualquer número real x para fazer essa transformação? 
Evidentemente que não! Só podemos tomar números x para serem transformados por f se eles forem 
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
14
positivos ou nulos. Assim, diremos que o Domínio da função f é o conjunto + . Escrevemos isso 
como ( )Dom f +=  .
 Se a função g é representada algebricamente por 2( )g x x= , seu domínio é dado 
implicitamente. Neste exemplo, podemos tomar qualquer número real x e calcular sua transformação 
por g, ou seja, podemos calcular 2x . Então, o domínio de g é escrito como ( )Dom g =  . Podemos 
fazer algumas indagações: será que o número real 4 é atingido pela função? Sim. A função g 
transforma o número 2 em 4 ( 2(2) 2 4g = = ), e nesse caso dizemos que 4 é a imagem de 2 por g, 
ou, simplesmente, que 4 é a imagem de 2. Será que o número 16 é atingido pela função? Sim. A 
função g transforma o número 4 em 16 ( 2(4) 4 16g = = ). Dizemos, então, que 16 é a imagem de 
4. Será que o número 8− é atingido pela função? Não! impossível! O número 8− não é imagem 
de nenhum número do domínio. O mesmo ocorre com qualquer número negativo. Percebemos que 
os números reais atingidos pela função g são os números não-negativos. Dizemos, então, que a 
Imagem da função g é + , e a notação para essa informação é ( )Im g +=  .
 O terceiro conjunto importante é o conjunto no qual a função atinge seus valores. Em 
nosso estudo, esse conjunto será sempre o conjunto dos números reais. O nome dado ao conjunto 
no qual a função atinge seus valores é denominado de Contradomínio.
Exemplo 1.3: Considere a função dada pela representação analítica :k →  , 2( ) 3k x x= + . 
Neste caso, podemos verifi car que ( )Dom k =  e que ( ) [3, )Im k = ∞ .
Defi nição 1.2: Então, quando consideramos :f D ⊂ →  :
 i) o subconjunto D dos números reais nos quais a função toma valores é chamado 
de Domínio de f e denotado ( )Dom f ;
 ii) o número ( )f x será chamado imagem do número x por f (desde que 
( )x Dom f∈ );
 iii) o subconjunto { ; ( ), ( )}y y f x x Dom f∈ = ∀ ∈ é chamado Imagem 
de f e denotado por ( )Im f .
Exemplo 1.4: Considere a função :f →  , dada por 1( )f x
x
= . Seu domínio é dado 
implicitamente, *( ) {0}Dom f = − =  . Sua imagem pode ser calculada e é ( )Im f +=  .
Conversa
 Perceba que iniciamos nosso estudo apresentando exemplos de funções mediante 
suas representações analíticas. Nessas representações o domínio ou está escrito explicitamente 
ou pode ser “descoberto” mediante estudo das condições de existência da expressão analítica 
que defi ne a função. Já, quando trabalhamos com representações tabulares ou gráfi cas, temos 
que considerar, geralmente, o contexto no qual a função é considerada, pois tais representações 
são defi cientes no que diz respeito ao cálculo do domínio e da imagem.
1.2 Operações com Funções
 Um primeiro ponto a ser considerado nessa sessão, é que trabalhamos com representações 
de funções. Na maioria das vezes consideraremos representações analíticas. Mas o conceito de 
função que pretendemos preservar é aquele identifi cado com uma transformação. Nesse caso, será 
que uma função pode ter distintas representações analíticas? Será que essa possibilidade pode 
confundir-nos?
 Consideremos, por exemplo, as funções :f →  , 2( ) 2 4f x x= − e :g →  , 
( ) 2( 1)( 1) 2g x x x= + − − .
 A princípio, poderíamos pensar que essas funções têm nomes diferentes e que as 
expressões algébricas que as defi nem são diferentes. Mas isso é só aparência!
15
Funções de uma 
variável real
 Os domínios de f e de g são iguais. Ambos são iguais ao conjunto  .
 Olhemos atentamente para algumas imagens: 
 A imagem de 0 por f é 2(0) 2 0 4 4f = ⋅ − = − , a imagem de 0 por g é 
(0) 2(0 1)(0 1) 2 4g = + − − = − . 
 A imagem de 7 por f é ( )22 7 4 14 4 10− = − = , a imagem de 7 por g também é 
( 7) 2( 7 1)( 7 1) 2 12 2 10g = + − − = − = .
Será que essas coincidências se mantêm? A reposta é sim! 
Para qualquer número real b temos que
2 2( ) 2 4 2( 1) 2 2( 1)( 1) 2 ( )f b b b b b g b= − = − − = + − − = ,
ou seja, a imagem de qualquer número real x pela função f e pela função g é a mesma. 
 Portanto, f e g são representações distintas da mesma função, pois transformam os 
números reais da mesma maneira. Neste caso, dizemos que as funções f e g são iguais.
 Vejamos outro exemplo: 
Considere as funções :[1, )m ∞ → , 
2 1( )
1
xm x
x
−
=
−
 e :n + →  , ( ) 1n x x= + .
As funções m e n são iguais?
 Pode-se verifi car que se 1x > , então
 
2 1 ( 1)( 1)( ) 1
1 1
x x xm x x
x x
− + −
= = = +
− −
. 
Ao observar as funções anteriores apresentadas, verifi camos que não são as mesmas, seus 
domínios são diferentes. E isso é de muita importância, pois, por exemplo, o número 
1
2
 pode ser 
transformado pela função n e não pode ser transformado pela função m. Na verdade, existem 
infi nitos números reais que podem ser transformados pela função n e não podem ser transformados 
pela função m, eles compõem o intervalo (0,1) . Portanto, as funções não são iguais, apesar de a 
“regra” de associação ser a mesma.
 Devemos defi nir a igualdade de funções da seguinte maneira:
Defi nição 1.3: Duas funções f e g são ditas iguais se possuem o mesmo domínio D e se 
( ) ( )f x g x= , x D∀ ∈ .
Conversa
 Na maioria dos livros de Cálculo podem ser encontradas defi nições semelhantes à 
anterior. Perceba que essa defi nição exige o que existe de maisimportante para uma função, 
que seu domínio e sua maneira de transformar números seja comparado ao da outra. Não é o 
nome ou a letra que dá nome à função e que a faz igual ou diferente a uma segunda função. 
Não é apenas a “fórmula” expressa em sua representação analítica que a distingue das outras 
funções; o domínio também é importante. 
 Para que você compreenda melhor a situação de uma função apresentar duas ou mais 
representações diferentes, vamos fazer uma comparação. Comparemos uma função com uma 
máquina de uma linha de produção. Assim, podemos entender que uma função é uma máquina 
que transforma números. 
Ao nos depararmos com duas máquinas de transformação, devemos procurar saber: 
se os números que podem “entrar” nessas máquinas são os mesmos e se os resultados das 
transformações de um mesmo número pelas duas máquinas são os mesmos. Caso as respostas 
sejam afi rmativas, diremos que essas duas máquinas fazem as mesmas transformações. Podem 
existir diferenças externas nessas máquinas, mas intrinsecamente elas são iguais, podendo 
diferir na cor, no tamanho etc. No entanto, elas transformam os elementos do domínio
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
16
identicamente. Essa é uma maneira de entender que uma função pode ter diferentes 
representações.
 Lembre-se: uma função não é uma fórmula; ela é um processo de associação, um 
processo de transformação.
 Podemos construir novas funções a partir de funções que já conhecemos.
 Consideremos conhecidas as funções : (0,3)f → , ( ) 2f x x= e :[1,5)g →  , 
2( )g x x= − . Conhecemos as imagens (1) 2f = e (1) 1g = − . Podemos pensar em adicionar 
tais imagens, criando uma nova transformação h que associe o número 1 à soma de 2 e 1− , 
(1) 2 1 1h = − = . Conhecemos as imagens (2) 4f = e (2) 4g = − , podemos defi nir nossa 
nova transformação h no número 2, associando 2 à soma de 4 e 4− , (2) 4 4 0h = − = . 
Podemos continuar a pensar assim. Se conseguirmos calcular as imagens de um número x por f 
e por g, podemos pensar em adicionar essas imagens criando uma nova função h. Mas devemos 
ser capazes de calcular as duas imagens. Só podemos defi nir, portanto, a nova função h em 
números que estejam na interseção do domínio de f e do domínio de g. Seria impossível, por 
exemplo, defi nirmos nossa função h no número 3, pois podemos calcular (3) 9g = − , mas não 
existe (3)f . O que podemos fazer é: considerar como domínio de h o intervalo [1,3) . Aqui 
sim! Para todo número [1,3)x ∈ podemos calcular 
2( ) ( ) ( ) 2h x f x g x x x= + = − .
 Dadas : (0,3)f → , ( ) 2f x x= e :[1,5)g →  , 2( )g x x= − , podemos defi nir 
:[1,3)h → , dada por ( ) ( ) ( )h x f x g x= + . Dizemos que h é a função soma de f e g.
 De maneira geral, defi nimos o seguinte:
Defi nição 1.4: Considere :f D ⊂ →  e :g B ⊂ →  , com D B∩ ≠ ∅ . 
Defi nimos a função soma de f e g como :f g D B+ ∩ → , tal que x D B∀ ∈ ∩ , 
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + .
 Pensando de maneira análoga, podemos defi nir a função diferença e a função produto.
Defi nição 1.5: Considere :f D ⊂ →  e :g B ⊂ →  , com D B∩ ≠ ∅ . 
Defi nimos a função diferença de f e g como :f g D B− ∩ → , tal que x D B∀ ∈ ∩ , 
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = − .
Definição 1.6: Considere :f D ⊂ →  e :g B ⊂ →  , com D B∩ ≠ ∅ . 
Definimos a função produto de f e g como :f g D B⋅ ∩ → , tal que x D B∀ ∈ ∩ , 
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x⋅ = ⋅ .
 Também podemos defi nir a função quociente de outras duas funções. Só que deveremos 
tomar um pouco mais de cuidado.
 Consideremos, por exemplo, as funções :[0,5]f → , ( ) 3f x x= − e 
:[1,6]g → , ( ) 2g x x= − . Se pensarmos precipitadamente em defi nir uma função quociente 
de f por g mediante a representação analítica / :[1,5]f g → , ( )( / )( )
( )
f xf g x
g x
= , teremos 
um sério problema: qual será a imagem do número 2 [1,5]∈ ? Ao tentarmos calcular a imagem 
de 2, obteremos (2) 2 3( / )(2)
(2) 2 2
ff g
g
−
= =
−
. Portanto, uma indeterminação. Onde está o 
problema? O número 2 pertence aos dois domínios. No entanto, não podemos efetuar a divisão 
das imagens de 2. O problema está ocorrendo porque a imagem de 2 por g é zero! Nesse exemplo, 
o correto seria defi nirmos a função quociente da seguinte maneira: / :[1, 2) (2,5]f g ∪ → , 
17
Funções de uma 
variável real( )( / )( )
( )
f xf g x
g x
= . Agora sim, os quocientes das imagens podem ser calculados para todos os 
valores no domínio [1, 2) (2,5]∪ .
 De maneira geral, o que devemos fazer para defi nir uma função quociente de outras duas 
funções é retirarmos da interseção dos domínios os pontos que anulem a função do denominador. 
Utilizando a notação matemática, defi nimos:
Defi nição 1.7: Considere :f D ⊂ →  e :g B ⊂ →  , com D B∩ ≠ ∅ . 
Defi nimos a função quociente de f e g como */ :f g D B∩ → , tal que *x D B∀ ∈ ∩ , 
( )( / )( )
( )
f xf g x
g x
= . O conjunto *B é defi nido como * { ; ( ) 0}B x B g x= ∈ ≠ .
Conversa
 É muito comum os alunos confundirem-se com as notações utilizadas nas defi nições 
anteriores. Mas se vocês lembrarem que uma função é uma transformação e não uma fórmula 
no papel, as notações fi carão mais claras. 
 Vejamos a notação ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + utilizada na defi nição da função 
soma. O termo da esquerda da igualdade está dizendo que a “função soma” está recebendo um 
nome, um signo visual que possa ser registrado no papel. Em nosso caso, esse nome é “f + g”. 
Quando você, resolvendo algum problema, estiver criando sua “função soma”, poderá 
escolher qualquer nome para ela. Poderá escolher outra letra do alfabeto, uma letra grega 
ou poderá nomeá-la como “ _ _soma f g ” etc. O termo colocado à direita da igualdade 
anterior está nos dizendo como calcular a imagem de um número x, ou seja, nos diz que 
devemos calcular as imagens de x pelas funções f e g e depois adicioná-las. 
Se você, por exemplo, escolhesse nomear sua função soma como 
“ _ _soma f g ” sua defi nição fi caria escrita da seguinte maneira: 
_ _ :soma f g D B∩ → , _ _ ( ) ( ) ( )soma f g x f x g x= + .
 A notação 
( )( / )( )
( )
f xf g x
g x
= , por sua vez, nos diz que o nome da “função 
quociente” é ( / )( )f g x e que para calcularmos o valor dessa função em um número x 
devemos calcular as imagens de x pelas funções f e g e depois dividi-las. 
Quando estiver realizando seus exercícios de Cálculo, você poderá, por exemplo, 
nomear sua função quociente como “ _ _div f g ” e defi ni-la mediante a igualdade 
( )_ _ ( )
( )
f xdiv f g x
g x
= . 
 
Exemplo 1.5: Considere as funções ( ) 2m x x= e 1( )n x
x
= . Determinemos as funções m n+ , 
m n− , m n⋅ e /m n .
 A primeira atitude que devemos tomar é determinar os domínios das funções. É muito 
comum representarmos funções mediante escrita de expressões analíticas e não escrevermos 
explicitamente seus domínios. Assim, devemos descobrir se podemos calcular a expressão 2 x 
para qualquer número real. A resposta é sim! Logo, ( )Dom m =  . Quanto à expressão 1
x
, só 
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
18
podemos calculá-la para números x diferentes de zero, logo *( ) {0}Dom n = − =  .
 Então, temos:
 A função soma defi nida como 
*:m n+ →  , 
2 1
( )( )
x x
m n x
x
+
+ = ;
 A função diferença defi nida como
*:m n− →  , 
2 1
( )( )
x x
m n x
x
−
− = ;
 A função produto defi nida como 
*:m n⋅ →  , 
2
( )( )
x
m n x
x
⋅ = .
 Como não existe número que anule a função n, a função quociente é defi nida como 
*/ :m n →  , ( / )( ) 2m n x x x= . 
Conversa
 Você percebeu que a expressão algébrica dada na defi nição da função quociente 
permite que a calculemos para todos os números reais? Sim, a expressão 2x x pode ser 
calculada para qualquer número x ∈ . Mas o domínio da função quociente não é  . 
Portanto, quando praticar a construção de funções, tome cuidado, analise os domínios e não se 
precipite, preocupando-se apenas com o cálculo de expressões algébricas.
 Uma observação importante deve ser feita: as operações de adição, subtraçãoe produto de funções são operações comutativas. Isto é, a função f g+ é igual à função 
g f+ ; a função f g− é igual à função g f− e a função f g⋅ é igual à função g f⋅ . 
Mas a operação de divisão de funções não é comutativa.
1.3 Gráfi cos
 Em nosso texto não abordaremos representações gráfi cas como as dos diagramas de 
Euler-Venn, dos gráfi cos de barra, dos gráfi cos circulares ou os infográfi cos. Estes últimos são 
muito comuns nos meios de comunicação de massa. Trataremos aqui da representação gráfi ca 
cartesiana, ou seja, estudaremos gráfi cos de funções traçados no plano cartesiano.
 O gráfi co (cartesiano) de uma função apresenta algumas vantagens com relação à 
representação analítica. O gráfi co permite que tenhamos uma visão mais ampla do comportamento 
da função. Em contrapartida, essa representação não fornece, com precisão, o que ocorre com 
a função nos arredores de um número de seu domínio. A precisão da informação gráfi ca fi ca 
subordinada à escala, à precisão do traço, à granulação da tela do computador etc.
 Para esboçar o gráfi co (cartesiano) de uma função consideramos o domínio contido no 
eixo das abscissas (horizontal) e o contradomínio contido no eixo das ordenadas (vertical). Os 
pontos que pertencem ao gráfi co são os pares ordenados nos quais as abscissas e as ordenadas 
estão relacionadas pela função considerada. Se, por exemplo, a função tem nome m e sabemos 
que essa função m associa o número a de seu domínio ao número b de seu contradomínio, isto 
é, ( )m a b= , então, o ponto ( , )a b fará parte do gráfi co de m. A defi nição precisa é a seguinte:
Defi nição 1.8: Seja a função :g D ⊂ →  . O gráfi co de g é o subconjunto do plano cartesiano 
defi nido por 2( ) {( , ) ; ( ), }Graf g x y y g x x D= ∈ = ∈ .
19
Funções de uma 
variável real
Exemplo 1.6: Uma função afi m f é defi nida por ( )f x ax b= + , com a e b constantes reais. Não 
havendo restrições no domínio da função afi m, seu gráfi co é uma reta. A constante a é chamada 
coefi ciente angular dessa reta e a constante b é chamada coefi ciente linear. Em particular, o gráfi co 
da função afi m ( ) 1
2
xf x = + pode ser apreciado na fi gura 1.1.
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
54321-1-2-3-4
x
y
Figura 1.1
Exemplo 1.7: Uma função quadrática f é defi nida por 2( )f x ax bx c= + + , com a, b e c 
constantes reais e 0a ≠ . Não havendo restrições no domínio da função quadrática seu gráfi co 
é uma parábola. Em particular, o gráfi co da função 2( ) 2 1f x x= − pode ser visto na fi gura 1.2.
5
4
3
2
1
-1
-2
6
4321-1-2-3-4
x
y
Figura 1.2
Exemplo 1.8: Uma função cúbica f é defi nida por 3 2( )f x ax bx cx d= + + + , com a, b, c e d 
constantes reais e 0a ≠ . A aparência do gráfi co de uma função cúbica depende muito dos valores 
das constantes a, b, c e d. Em particular, os gráfi cos das funções f e g defi nidas, respectivamente, 
por 3( )f x x= (Figura 1.3) e 3( )g x x x= − + (Figura 1.4) são mostrados a seguir.
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
20
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
4321-1-2-3-4
x
y
 
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
4321-1-2-3-4
x
y
Figura 1.3 Figura 1.4
 Observando o gráfi co da função defi nida por 2( )f x x= , percebemos que ele apresenta 
uma simetria com relação ao eixo Oy, o eixo das ordenadas (vertical). O gráfi co da função defi nida 
por 3( )f x x= também apresenta uma simetria, só que, desta vez, em relação à origem. 
 Essas duas funções são exemplos particulares de duas classes destacáveis de funções. 
Uma das classes é a classe das funções pares e a outra é a classe das funções ímpares. Diremos 
que uma função é uma função par, ou que pertence à classe das funções pares, se seu gráfi co for 
simétrico com relação ao eixo das ordenadas. Diremos que uma função é uma função ímpar, ou 
que pertence à classe das funções ímpares, se seu gráfi co for simétrico em relação à origem.
 Uma condição imprescindível para que uma função pertença a alguma dessas duas 
classes é que seu domínio seja simétrico com relação ao número zero. Com essa constatação, já 
percebemos que existem funções que não pertencem à classe das funções pares nem à classe das 
funções ímpares. 
 Nesse ponto, uma pergunta pode ser formulada: existem funções que são pares e ímpares 
simultaneamente? Se investigarmos a possibilidade de um gráfi co ser simétrico com relação ao 
eixo das ordenadas e, simultaneamente, ser simétrico com relação à origem, veremos que só o 
gráfi co da função nula, :f →  , ( ) 0f x = , satisfaz essas condições. Chegamos à conclusão 
de que existe apenas uma função simultaneamente par e ímpar: é a função nula.
 Se utilizarmos um software gráfi co ou uma calculadora gráfi ca, veremos que os gráfi cos 
das funções defi nidas, respectivamente, por 4( )f x x= , 8( )f x x= , 2 6( ) 1f x x x= + + , 
4 10( ) 3 15f x x x= + − , são, aparentemente, simétricos com relação ao eixo das ordenadas. 
Já, se mostrarmos os gráfi cos das funções defi nidas, respectivamente, por 3 5( )f x x x= − , 
5( )f x x= , 7 3( )f x x x= + , veremos que eles são, aparentemente, simétricos em relação à 
origem. Como podemos ter certeza da existência de tais simetrias? Será que a granulação da tela 
ou a imprecisão do traçado não esconde sutilezas que estariam nos confundindo? 
 Nosso desejo de uma simetria geométrica não é tão fácil de ser verifi cado. Não basta 
esboçarmos uma porção do gráfi co de uma função para classifi cá-la quanto à sua pertinência a uma 
das classes. Para verifi carmos a pertinência de uma função a uma classe ou outra devemos utilizar 
a representação analítica.
 Vejamos. Vamos supor que a função : ( 20,20)f − → , 2 6( ) 1f x x x= + + seja 
uma função par (Figura 1.5). 
21
Funções de uma 
variável real
5
4
3
2
1
-1
321-1-2-3
x
y
Figura 1.5
 Tomemos, por exemplo, o número 1 ( 20,20)∈ − . A imagem de 1 é (1) 1 1 1 3f = + + = . 
Então, o ponto (1,3) é um ponto de ( )Graf f . 
 Como a função é supostamente par, a simetria do gráfi co com relação ao eixo das 
ordenadas implica que o ponto ( 1,3)− também pertence ao gráfi co. Assim, devemos verifi car 
necessariamente se ( 1) 3 (1)f f− = = . 
 Porém, isso realmente ocorre: 2 6( 1) ( 1) ( 1) 1 3f − = − + − + = . 
 Se tomarmos, por exemplo, o número 5 ( 20,20)− ∈ − , saberemos que a imagem 
de 5− é 
2 6
( 5) 5 5 1 5 125 1 131f    − = − + − + = + + =    e, portanto, que 
( 5,131) ( )Graf f− ∈ . Pela suposta simetria do gráfi co, podemos concluir que ( 5,131) 
também pertence ao gráfi co. E isso realmente acontece, pois
2 6
( 5) 5 5 1 5 125 1 131f    = + + = + + =    ,
 ou seja, ( 5) 131 ( 5)f f− = = .
 Consideremos agora, um número qualquer k pertencente ao domínio ( 20,20)− da 
função. A imagem de k é escrita como ( )f k , ou seja, o ponto ( , ( ))k f k pertence ao gráfi co 
da função. Como supomos que a função é par, seu gráfi co é simétrico em relação ao eixo das 
ordenadas. Logo, ( , ( ))k f k− também pertence ao gráfi co. Portanto, a imagem do número 
k− deve ser igual a ( )f k , que é a imagem de k. A igualdade ( ) ( )f k f k− = deve ser, pois, 
verdadeira para todo número k do domínio.
 Mas a conclusão de que ( )( ) ( )f k f k k Dom f− = ∀ ∈ vale independen-
temente da defi nição particular 2 6( ) 1f x x x= + + . Se uma função f com domínio simétrico 
com relação ao número 0 tem gráfi co simétrico com relação ao eixo das ordenadas, então 
( )( ) ( )f k f k k Dom f− = ∀ ∈ .
 Podemos concluir que para que uma função seja par deve-se ter a igualdade ( ) ( )f x f x− = 
para todo x no domínio de f. Assim, trocamos um critério geométrico, difícil de ser utilizado com 
precisão, por um critério analítico, muito mais preciso, sintetizado na seguinte defi nição:
Defi nição 1.9: Dizemos que a função :f D ⊂ →  é uma função par se ( ) ( )f x f x− = , 
para todo x D∈ .
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
22
 Observemos que já se encontra na defi nição anterior a exigência de que o domínio da 
função seja simétrico com relaçãoao zero. Essa defi nição é o critério que utilizaremos para verifi car 
a pertinência ou não de uma função à classe das funções pares.
Exercício 1.1: Prove que as funções defi nidas, respectivamente, por 2( )f x x= , 4( )f x x= , 
8( )f x x= , 2 6( ) 1f x x x= + + , 4 10( ) 3 15f x x x= + − são funções pares.
 Depois de escrevermos a defi nição anterior, voltamos nossa atenção à classe das funções 
ímpares. Vamos descobrir um critério analítico semelhante.
 Voltemos nossa atenção ao fato de que, no plano cartesiano, dois pontos são simétricos 
com relação à origem se estão à mesma distância da origem e se a reta que passa pelos dois pontos 
também passa pela origem. Assim, o ponto simétrico de um ponto ( , )a b em relação à origem é o 
ponto ( , )a b− − .
 Vamos supor agora que a função : ( , )g n n− → seja uma função ímpar, ou seja, que 
o gráfi co de g é simétrico em relação à origem (Figura 1.6). Escolhamos um número ( , )k n n∈ − 
qualquer. Evidentemente, o ponto ( , ( ))k g k pertence ao gráfi co da função. Como estamos 
supondo que o gráfi co é simétrico com relação à origem, o ponto ( , ( ))k g k− − também pertence 
ao gráfi co. Mas se este ponto é um ponto do gráfi co, devemos ter a imagem de k− igual ao valor 
( )g k− . 
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
x
y
Figura 1.6
 Daí, concluímos de que os números ( )g k− e ( )g k− devem ser iguais. Enunciamos a 
seguinte defi nição, que será nosso critério analítico para determinar funções ímpares.
Defi nição 1.10: Diremos que a função :f D ⊂ →  é uma função ímpar se 
( ) ( )f x f x− = − , para todo x D∈ .
Exercício 1.2: Prove que as funções defi nidas, respectivamente, por 3 5( )f x x x= − , 
5( )f x x= , 7 3( )f x x x= + e 3( )f x x x= − + são funções ímpares.
Exercício 1.3: Considere f e g funções pares. Prove que as funções f g+ , f g⋅ e /f g são 
funções pares.
Exercício 1.4: Considere f e g funções ímpares. Prove que as funções f g+ , f g⋅ e /f g são 
funções ímpares.
23
1.4 Injetividade, Bijetividade e Composição 
 Existem condições acerca do comportamento de funções que são importantes no estudo 
do Cálculo. Se construirmos nosso conceito de função, pensando em uma transformação que 
associa a cada número de um subconjunto D ⊂  um número em outro subconjunto I ⊂  , 
será interessante perguntarmos quando será possível “desfazer” essa transformação.
 Na situação particular :[0,5] [1,11]f → , ( ) 2 1f x x= + , a função adiciona uma 
unidade ao dobro do valor dos números em seu domínio. Um esboço de seu gráfi co é representado 
pela fi gura 1.7.
x
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
y
Figura 1.7
 A imagem da função f é o intervalo [1,11] e, neste caso, se tomarmos qualquer número em 
( ) [1,11]Im f = saberemos “desfazer” a transformação f. Por exemplo, o número 9 ( )Im f∈ é 
imagem do número 4 ( )Dom f∈ ; 3 ( )Im f∈ é imagem de 1 ( )Dom f∈ ; 5 é imagem de 2; 
7 é imagem de 3 etc. 
 De maneira geral, se ( )y Im f∈ sabemos que ( )y f x= para algum ( )x Dom f∈ . 
Assim, podemos escrever 2 1y x= + para algum [0,5]x ∈ .
 Daí 
12 1 1 2
2
yy x y x x −= + ⇒ − = ⇒ = .
 Então, para “desfazermos” a transformação :[0,5] [1,11]f → basta calcularmos 
para cada número em [1,11]y ∈ o valor 1
2
y −
. Assim, obtemos uma “transformação” inversa 
denotada como 1 :[1,11] [0,5]f − → , 1 1( )
2
zf z− −= . Denominamos essa nova função de 
função inversa de f.
 Uma condição que nos permitiu descobrir a “inversa” no exemplo anterior foi a existência 
de apenas um número no domínio associado a qualquer número da imagem. Devemos notar que 
essa condição é imprescindível. Considere uma função g; se houver um número p da imagem tal 
que existam números diferentes r e s do domínio de g que sejam transformados em p por g, isto é, 
( )g r p= e ( )g s p= , então, não há possibilidade de defi nirmos uma função inversa. Qual seria 
a associação 1( )g p− ? Defi niríamos 1( )g p r− = ou 1( )g p s− = ? Para evitar essa situação, 
consideramos uma classe de funções chamadas funções injetivas (ou injetoras). A defi nição é a 
seguinte:
Defi nição 1.11: Uma função :g D ⊂ →  é uma função injetiva quando, dados 1 2,x x D∈ , 
se 1 2x x≠ , então 1 2( ) ( )g x g x≠ .
Funções de uma 
variável real
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
24
 Uma defi nição equivalente, e que também pode ser utilizada para distinguir funções 
injetivas é:
Defi nição 1.12: Uma função :g D ⊂ →  é uma função injetiva quando dados 1 2,x x D∈ , 
se 1 2( ) ( )g x g x= , então 1 2x x= .
Exemplo 1.9: A função :f →  , 2( )f x x= não é injetiva. Se tomarmos 1 2, ( )x x Dom f∈ 
e exigirmos que 1 2( ) ( )f x f x= , teremos 
2 2
1 2 1 2x x x x= ⇒ = ± . Então, a defi nição anterior 
não estará satisfeita para números diferentes de zero no domínio de f.
 Retomando o exemplo :[0,5] [1,11]f → , ( ) 2 1f x x= + , convém observarmos que 
não foi só a injetividade que nos permitiu “desfazer” a transformação. A condição de termos todos 
os números de [1,11] atingidos pela função foi também muito importante. Imaginemos que a 
função fosse defi nida da seguinte maneira: :[0,5]f → , ( ) 2 1f x x= + . Como defi niríamos 
a “transformação” inversa, por exemplo, no número 12 ou no número 4− ? Não haveria 
possibilidade de defi nirmos uma “inversa” dessa transformação em números que não fossem 
“atingidos” por ela. Essa condição de todos os números do contradomínio serem “atingidos” pela 
transformação chama-se sobrejetividade. 
Defi nição 1.13: Uma função :h D B⊂ → ⊂  é chamada função sobrejetiva (ou sobrejetora) 
se, para todo número b B∈ , existe um número a D∈ , tal que ( )h a b= .
 Em outras palavras, uma função :f A B→ é sobrejetiva se ( )Im f B= .
Exemplo 1.10: A função :f →  , 2( )f x x= não é sobrejetiva. A função :f →  , 
( ) 1 4f x x= − é sobrejetiva (e também injetiva).
Exemplo 1.11: A função :[3, ) [9, )f ∞ → ∞ , 2( )f x x= é injetiva e sobrejetiva. Neste caso, 
podemos obter a transformação inversa, dada por 1 :[9, ) [3, )f − ∞ → ∞ , 1( )f z z− = . Na 
fi gura 1.8 mostramos um esboço do gráfi co de f e, também, o esboço do gráfi co de 1f − .
Figura 1.8
25
 São as funções simultaneamente injetivas e sobrejetivas que permitem a obtenção de 
transformações que “desfazem” o que elas fazem. Essas funções recebem um nome especial.
Defi nição 1.14: Uma função :f D B⊂ → ⊂  é uma função bijetiva (ou bijetora) se ela 
for, simultaneamente, injetiva e sobrejetiva.
 A obtenção de funções bijetivas a partir de funções injetivas é possível. Suponha que 
:f D ⊂ →  seja injetora, mas não sobrejetora. Podemos redefi nir seu contradomínio para 
torná-la sobrejetiva. Para isto, basta considerar a nova função : ( )f D Im f→ . Nessas condições, 
temos uma transformação, chamada de função inversa de f, que toma valores em ( )Im f e associa 
a eles números em ( )Dom f . 
 Para cada número ( )y Im f∈ , como f é injetiva, existe um único ( )x Dom f∈ tal que 
( )y f x= . Então, ao número y , a função inversa associa esse número à x . Essa é a associação 
da função inversa.
Defi nição 1.15: Seja :f A B→ uma função bijetora. Nessas condições, existe uma função 
:g B A→ tal que, a cada z B∈ associa ( )w g z A= ∈ , tal que ( )f w z= . Chamamos essa 
função g de função inversa de f e a denotamos por 1f − .
 Quando, mais adiante, falarmos em uma outra operação com funções, a composição de 
funções, nos depararemos com mais fatos acerca da função inversa.
 Apesar de utilizarmos, na maioria das vezes, a representação analítica para decidirmos se 
uma função é injetiva ou sobrejetiva, as representações gráfi cas também podem fornecer indicações 
acerca disso.
 Se observarmos o gráfi co de :[ 3,5] [0,25]f − → , 2( )f x x= (Figura 1.9) 
perceberemos visualmente a sobrejetividade e a não injetividade.
x
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -6 -5 -4-9 -8 -7-12 -11 -10-14 -13 
Figura 1.9
 Dissemos “perceberemos”, pois nãopodemos confi ar no esboço do gráfi co para confi rmar 
tais conclusões. Se esse for nosso interesse, devemos utilizar a representação analítica. Mas a 
observação do gráfi co fornece dados que são interessantes. Percebemos que, se considerarmos 
uma restrição de f ao intervalo [ 3,0]− , o traçado “descendente” do gráfi co (Figura 1.10) nos dá 
indicações de que, nesse trecho, a função é injetiva. O mesmo pode ser intuído quando restringimos 
Funções de uma 
variável real
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
26
a função ao intervalo [0,5] . Neste trecho, o traçado “ascendente” (Figura 1.11) indica que a 
função possa ser injetiva.
1 2 3 4 5 6 7 8
x
y12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
 
x
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -6 -5 -4-9 -8 -7-12 -11 -10-13 17 
Figura 1.10 Figura 1.11
 Esse comportamento geométrico “ascendente” ou “descendente” do gráfi co pode ser 
determinado analiticamente. A vantagem em fazermos isso é a confi rmação da injetividade em 
trechos nos quais o gráfi co tenha tais características. 
 Se desejarmos caracterizar um trecho sobre um intervalo [ , ]a b , no qual o gráfi co 
seja ascendente, devemos exigir que, ao compararmos a imagem 1( )f x de qualquer número 
1 [ , ]x a b∈ com a imagem 2( )f x de qualquer número 2 [ , ]x a b∈ situado à direita de 1x , 
obteremos a desigualdade 1 2( ) ( )f x f x< . Tal desigualdade indica que a altura do gráfi co sobre 
2x é maior que a altura sobre 1x . Se tais desigualdades forem verdadeiras para todos os pares 
de números 1 2, [ , ]x x a b∈ , tais que 1 2x x< , teremos a curva ascendente do gráfi co. Podemos 
sintetizar esse raciocínio na seguinte defi nição.
Defi nição 1.16: Uma função :f D ⊂ →  é crescente sobre um intervalo I D⊂ se, para 
quaisquer números 1 2,x x I∈ , com 1 2x x< , for verídica a desigualdade 1 2( ) ( )f x f x< .
 Analogamente, se desejamos caracterizar um trecho sobre um intervalo [ , ]a b , no qual 
o gráfi co seja descendente, devemos exigir que, ao compararmos a imagem 1( )f x de qualquer 
número 1 [ , ]x a b∈ com a imagem 2( )f x de qualquer número 2 [ , ]x a b∈ situado à direita de 
1x , obteremos a desigualdade 1 2( ) ( )f x f x> . Isso pode ser escrito da seguinte maneira:
Defi nição 1.17: Uma função :f D ⊂ →  é decrescente sobre um intervalo I D⊂ se, 
para quaisquer números 1 2,x x I∈ , com 1 2x x< , for verídica a desigualdade 1 2( ) ( )f x f x> .
 Como havíamos considerado, uma função que possui um gráfi co ascendente ou 
descendente sobre um intervalo I é injetiva quando considerada sua restrição a esse intervalo.
Teorema: Toda função crescente em um intervalo I de seu domínio é injetiva nesse intervalo I.
Demonstração: Temos por hipótese que f é crescente sobre o intervalo I. Portanto, se 1 2,x x I∈ 
são tais que 1 2x x≠ , então, ou 1 2x x< , ou 1 2x x> . No primeiro caso, 1 2x x< , como 
estamos supondo que f é crescente, temos 1 2( ) ( )f x f x< , o que, evidentemente, mostra que 
1 2( ) ( )f x f x≠ . No segundo caso, 2 1x x< , como estamos supondo que f é crescente, temos 
2 1( ) ( )f x f x< , o que mostra que 1 2( ) ( )f x f x≠ . Portanto, f é injetiva em I. ■
27
Teorema: Toda função decrescente em um intervalo I de seu domínio é injetiva nesse intervalo I.
Exercício 1.5: Demonstre o teorema anterior.
 Antes de estudarmos formalmente a inversão de funções, devemos falar de uma operação 
que podemos fazer, se tivermos duas funções em condições apropriadas.
 Considere o exemplo, já explorado, da função :[0,5] [1,11]f → , ( ) 2 1f x x= + . 
Consideremos outra função :[0, 20]g → , 2( )g x x= . Lembremos do conceito de função 
como transformação e imaginemos os números do intervalo [0,5] sendo transformados por f nos 
números do intervalo [1,11]. Imagine, então, que a transformação g leva os números de [0, 20] 
em outros números reais elevando-os ao quadrado. Como a imagem de f está contida no domínio 
de g, podemos pensar em transformar os números de [0,5] mediante a aplicação da função f e, 
em seguida, transformar essas imagens segundo a aplicação g. 
 Para este fi m, basta considerarmos [0,5]x ∈ . Sua imagem será ( ) 2 1f x x= + . Como 
g transforma [0, 20]z ∈ em 2( )g z z= , transformará as imagens 2 1x − pertencentes ao 
intervalo [1,11] em 2(2 1) (2 1)g x x+ = + . Assim, podemos ilustrar nosso raciocínio com o 
seguinte desenho:
2
[0,5] [1,11]
(2 1)
f g
x x
→ →
− − − − − − − − → +

 Chamamos essa “dupla transformação” de composta de g com f e a denotamos 
com o símbolo “ g f ”. De maneira geral, podemos defi nir a seguinte operação:
Defi nição 1.18: Considere f e g duas funções de maneira que ( ) ( )Im f Dom g⊂ . Defi nimos a 
função composta de g com f, denotada por g f , mediante a expressão ( )( ) ( ( ))g f x g f x= .
 É comum representarmos funções analiticamente sem explicitarmos seus 
domínios. Dessa forma, é comum nos referirmos à composição g f de duas funções, 
mesmo que a imagem da primeira transformação considerada, a f, não esteja inteiramente 
contida no domínio da segunda transformação, a g. Nesse caso, fi ca implícito que 
( ) { ( ); ( ) ( )}Dom g f x Dom f f x Dom g= ∈ ∈ , como pode ser visto no seguinte exemplo:
Exemplo 1.12: Considere as funções g e f defi nidas, respectivamente, por ( )g x x= e 
( ) 2f x x= . Qual é a defi nição de g f ? 
 Vejamos: Os domínios são dados implicitamente, ( ) [0, )Dom g = ∞ e 
( )Dom f =  . Não são todos os pontos de ( )Dom f que podem ser transformados 
pela composta g f . Apenas os números x ∈ tais que ( ) [0, )f x ∈ ∞ poderão 
ser transformados pela função composta. Sua representação analítica será 
( )( ) ( ( )) (2 ) 2g f x g f x g x x= = = . Então: :[0, )g f ∞ →  , ( )( ) 2g f x x= .
Exemplo 1.13: Considere a função h defi nida por ( ) 2 1h x x= + − . Encontre funções f e g 
distintas da identidade tais que f g h= .
 Inicialmente, determinamos o domínio de h pela sua representação analítica, 
( ) [0, )Dom h = ∞ . Visualizamos que a função f poderá ser escolhida como ( ) 1f x x= − , 
( )Dom f =  , e que a função g pode ser escolhida como ( ) 2g x x= + , ( ) [0, )Dom g = ∞ . 
 Assim, ( )( ) ( ( )) ( 2) 2 1 ( )f g x f g x f x x h x= = + = + − = . 
Exercício 1.6: Mostre, mediante exibição de um contra-exemplo, que a operação de composição 
não é comutativa, isto é, exiba funções f e g tais que f g g f≠  .
Funções de uma 
variável real
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
28
 Podemos pensar em fazer a composta de mais de duas funções. Se :f A B→ , :g B C→ 
e :h C D→ , então será possível pensar em uma transformação de A em D. Podemos pensar em 
fazer a composição g f e depois fazer a composição desta com a função h. Podemos pensar, 
ainda, em fazer a composição da função f com a composta h g . Em diagramas, essas opções são:
g f hA C D→ → ou f h gA B D→ → .
 A princípio, não temos garantias de que [ ]h g f  seja igual a [ ]h g f  , mas a 
seguinte proposição estabelece isso.
Proposição: A operação de composição é associativa, isto é, [ ] [ ]h g f h g f=    .
Demonstração: 
 A composta [ ]h g f  associa ao número x o seguinte valor
( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ]( ) ( ( ))h g f x h g f x h g f x= =   .
 Seu domínio é
 ( )[ ] { ( );( )( ) ( )}Dom h g f x Dom g f g f x Dom h= ∈ ∈ =    
{ ( ); ( ) ( ) ( )( ) ( )}x Dom f f x Dom g e g f x Dom h= ∈ ∈ ∈ .
 A composta [ ]h g f  associa ao número x o seguinte valor
( ) ( )[ ] ( ) [ ]( ( )) ( ( ))h g f x h g f x h g f x= =   .
 Seu domínio é 
 ( )[ ] { ( ); ( ) ([ ]}Dom h g f x Dom f f x Dom h g= ∈ ∈ =   
{ ( ); ( ) ( ) ( )( ) ( )}x Dom f f x Dom g e g f x Dom h= ∈ ∈ ∈ .
 Portanto, as duas funções são iguais. ■
 Quando, anteriormente, falamos em função inversa, utilizamos uma linguagemcoloquial 
para descrever a inversa. Dissemos que a inversa de uma função “desfaz” o que a função faz. 
Agora, com a defi nição da operação de composição podemos caracterizar analiticamente essa 
propriedade de “desfazer”.
Proposição: Se :f A B→ é bijetiva, então existe 1 :f B A− → , tal que:
1 :f f A A− → satisfaz 1 ( ) ,f f x x x A− = ∀ ∈ ;
1 :f f B B− → satisfaz 1( ) ,f f x x x B− = ∀ ∈ .
Demonstração: É imediata, bastando utilizar a defi nição de função inversa. ■
 O comportamento do gráfi co da função inversa de f tem semelhanças com o 
comportamento do gráfi co da função f.
 Retomemos a função considerada no início desta seção: :[0,5] [1,11]f → , 
( ) 2 1f x x= + , cuja função inversa é 1 :[1,11] [0,5]f − → , 1 1( )
2
zf z− −= . Mostraremos, 
na fi gura 1.12, os dois gráfi cos no mesmo plano cartesiano.
29
Figura 1.12
 Na fi gura 1.12 mostramos em tracejado a reta de equação y x= , ou seja, o gráfi co 
da função identidade :Id →  . Percebemos que os gráfi cos de f e de sua inversa 1f − são 
simétricos com relação à reta identidade y x= . Isso não é um mero acaso deste exemplo. Ocorre 
sempre que a função f é bijetora. O gráfi co de sua inversa é formado por pontos simétricos aos do 
gráfi co de f com relação à reta y x= . Basta percebermos que no plano cartesiano, o simétrico 
com relação à reta y x= de um ponto ( , )r s é o ponto ( , )s r . Assim, se ( , ) ( )a b Graf f∈ , 
então, 1( , ) ( )b a Graf f −∈ , ou seja, os gráfi cos são simétricos.
Exercício 1.7: Determine, caso existam, as funções inversas de: 
 i) :f →  , ( ) 3 2f x x= − ; ii) * *:g →  , 1( )g x
x
= ; 
 iii) :h →  , 2( ) 1h x x x= + + .
1.5 Alguns Tipos de Funções
 Nesta seção abordaremos alguns tipos especiais de funções que serão muito utilizadas no 
curso de Cálculo. Estudaremos alguns detalhes das funções polinomiais, das funções racionais, das 
funções algébricas e das funções transcendentes.
Funções Polinomiais
 Uma função polinomial é uma função com domínio  , tal que sua representação 
analítica é dada mediante um polinômio ( )p x . Mas o que é precisamente um polinômio? Vejamos 
a defi nição a seguir.
 
Defi nição 1.19: Um polinômio ( )p x com coefi cientes reais é uma expressão 
1 2 2
1 2 2 1 0( )
n n n
n n np x a x a x a x a x a x a
− −
− −= + + + + + +
na qual os coefi cientes , 1, ,ia i n=  são números reais. Se 0na ≠ , dizemos que ( )p x tem 
grau n.
 Então, uma função f é uma função polinomial, se sua representação analítica satisfi zer 
( ) ( )f x p x= , para algum polinômio ( )p x .
 Diremos que o número k é uma raiz, ou um zero, do polinômio ( )p x , se 
( ) 0p k = , isto é, 1 2 11 2 1 0 0
n n
n na k a k a k a k a
−
−+ + + + + = . Por exemplo, as raízes do 
polinômio 3 2( ) 6p x x x x= + − são 0, 2 e 3− .
Funções de uma 
variável real
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
30
Exemplo 1.14: Algumas funções polinomiais :f →  recebem nomes especiais:
 a) A função constante ( )f x k= , com k ∈ ;
 b) A função identidade ( )f x x= , x∀ ∈ ;
 c) A função linear ( )f x kx= , com k ∈ ;
 d) A função afi m ( )f x kx b= + , com ,k b∈ ;
 e) A função quadrática 2( )f x ax bx c= + + , com , , , 0a b c a∈ ≠ .
Funções Racionais
 As funções racionais recebem esse nome porque suas representações analíticas são 
construídas como razão de expressões polinomiais. 
 Uma função f é uma função racional, se ( )( )
( )
p xf x
q x
= , ou seja, uma razão entre dois 
polinômios ( )p x e ( )q x , sendo que ( )q x não é identicamente nulo, isto é, ( )q x não é 
constante e igual a zero.
Exemplo 1.15: São exemplos de funções racionais: 2
2( ) xf x
x x
−
=
−
 e 
4 53 2( )
1
x xg x
x
− +
=
−
. 
 Geralmente, as funções racionais são defi nidas mediante sua representação analítica, e 
não trazem explicitados seus domínios. Cabe ao leitor, exigir que a função esteja defi nida em 
números que não sejam raízes do polinômio do denominador.
Exemplo 1.16: O domínio da função f defi nida por 2
2( )
5( )
xf x
x x
−
=
−
 é descoberto exigindo 
que 2 0x x− ≠ , o que fornece
( ) ( ,0) (0,1) (1, )Dom f = −∞ ∪ ∪ ∞ .
 Utilizando um software gráfi co podemos esboçar o gráfi co desta função na seguinte 
ilustração (Figura 1.13).
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
54321-1-2-3-4
x
y
-4
Figura 1.13
31
Funções Algébricas
 Ao trabalharmos com números reais é comum realizarmos operações envolvendo cálculos 
de adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes. Essas operações são chamadas 
operações algébricas. Uma função f é uma função algébrica quando sua representação analítica é 
composta de operações algébricas envolvendo números reais e a variável x. 
Exemplo 1.17: São exemplos de funções algébricas as funções f e g defi nidas por 
5
3
2( ) 3 (2 3 ) x xf x x x
x
−
= + − e ( ) ( )
2 3
3( ) 2 3g x x x= − − − .
 Em particular, as funções polinomiais e as funções racionais são funções algébricas.
Funções Transcendentes
 As funções que não são algébricas são chamadas de funções transcendentes. São 
exemplos de funções transcendentes as funções exponenciais, as logarítmicas, as trigonométricas, 
as hiperbólicas e as obtidas por operações que envolvam essas funções.
Exemplo 1.18: As funções expressas por ( ) cosf x x= e 2
ln( )
sen( 2)
xg x
x
=
−
 são 
transcendentes.
 Estudaremos um pouco mais sobre algumas funções transcendentes.
 
Funções Trigonométricas
 Muitos eventos são modelados mediante funções trigonométricas. De maneira geral, 
eventos que possuem comportamento cíclico e que são vinculados a movimentos circulares 
necessitam das funções trigonométricas para serem descritos.
 O primeiro fato importante que devemos ter em mente é que desejamos trabalhar no 
estudo do Cálculo com funções defi nidas em subconjuntos de números reais. Assim, as funções 
trigonométricas estudadas aqui não podem ser defi nidas em valores angulares. É preciso que 
consideremos comprimentos de arcos no lugar de medidas angulares. 
 Para isso, utilizamos uma propriedade que envolve um ângulo cujo vértice é o centro de 
uma circunferência. Nessa condição, a razão determinada pelo comprimento do arco determinado 
pelo ângulo e o raio da circunferência é um número real que depende apenas do ângulo, ou seja, 
não depende do raio da circunferência. Dizemos então que a medida em radianos do ângulo é essa 
razão.
 Por simplicidade escolhemos uma circunferência S de raio unitário cujo centro é o centro 
do sistema de coordenadas cartesiano (0,0)O = . A associação entre números reais e ângulos se 
faz da seguinte maneira:
 A cada número real t associamos a medida do arco AP na circunferência unitária, 
respeitando o seguinte: (1,0)A = e P é obtido percorrendo-se a circunferência a partir de A, no 
sentido anti-horário, se 0t > ou no sentido horário, se 0t < . 
Figura 1.14
Funções de uma 
variável real
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
32
 Defi nimos as funções trigonométricas seno e cosseno com domínio real, da seguinte 
maneira:
Defi nição 1.20: Se t ∈ e ( , )P x y= é o ponto de S associado a t, então cos( )t x= e 
sen( )t y= .
 De acordo com a defi nição anterior, as funções sen : →  e cos : →  gozam 
das seguintes propriedades: Para t∀ ∈ :
 a) sen( 2 ) sen( )t tπ± = e cos( 2 ) cos( )t tπ± = ;
 b) 2 2sen ( ) cos ( ) 1t t+ = ;
 c) 1 sen( ) 1t− ≤ ≤ e 1 cos( ) 1t− ≤ ≤ ;
 d) sen( ) sen( )t t− = − e cos( ) cos( )t t− = ;
 e) Se ,a b∈ , então,
 sen( ) sen( )cos( ) sen( )cos( )a b a b b a± = ± e
 cos( ) cos( ) cos( ) sen( )sen( )a b a b a b± =  ; 
 f) cos( ) sen( )
2
t t π= + .
Um esboço dos gráfi cos da função seno e da função cosseno é mostrado na fi gura 1.15
Figura 1.15 
 As outras quatro funções trigonométricas são defi nidas a partir das funções seno e cosseno.
 A função tangente é defi nida como,
 tg : {(2 1) ; }
2
k kπ− + ∈ →   , sen( )tg( )
cos( )
xx
x
= .
 A função cotangente é defi nida como, 
 cotg : { ; }k kπ− ∈ →   , cos( )cotg( )
sen( )
xx
x
= .
 A função secante é definida como,
 sec : {(2 1) ; }
2
k kπ− + ∈ →   , 1sec( )
cos( )
x
x
= .
 A função cossecante é defi nida como,
 cossec : { ; }k kπ− ∈ →   , 1cossec( )
sen( )
x
x
= .
 De acordo com as defi nições, as funções trigonométricas gozam das seguintes 
propriedades:
 a) tg( ) tg( )t tπ+ = e cotg( ) cotg( )t tπ+ = ;
 b) sec( 2 ) sec( )t tπ+ = e cossec( 2 ) cossec( )t tπ+ = ;
33
 c) 2 2tg ( ) 1 sec ( )t t+ = ;
 d) 2 2cotg ( ) 1 cossec ( )t t+ = .
 Com o auxílio de softwares gráfi cos, podemos esboçar os gráfi cos das funções 
trigonométricas (como podem ser vistas pelas fi guras 1.16 e 1.17).
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
54321-1-2-3-4
x
y
-4
-5
-5
-6-7 6 7 8 9
6
-6
-7
-8
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
54321-1-2-3-4
x
y
-4
-5
-5
-6-7 6 7 8 9
6
-6
-7
-8
Gráfi co da função tangente Gráfi co da função cotangente
Figura 1.16
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
54321-1-2-3-4
x
y
-4
-5
-5
-6-7 6 7 8 9
6
-6
-7
-8
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
54321-1-2-3-4
x
y
-4
-5
-5
-6-7 6 7 8 9
6
-6
-7
-8
Gráfi co da função secante Gráfi co da função cossecante
Figura 1.17
Conversa
 Na defi nição das funções trigonométricas distintas de seno e cosseno, o domínio é 
composto por uma infi nidade de intervalos. 
 Por exemplo, na defi nição da função tangente escrevemos o seguinte: 
tg : {(2 1) ; }
2
k kπ− + ∈ →   . Essa notação está nos dizendo que o domínio da 
função tangente é uma parte dos números reais, pois está escrito que a função pode 
ser calculada em números reais que não pertençam a outro conjunto. Esse outro conjunto é 
{(2 1) ; }
2
k kπ+ ∈ , que contém uma infi nidade de números. A notação utilizada nos diz que 
devemos tomar o número real 
2
π
 e considerar seus múltiplos (2 1)
2
k π+ , quando k percorre os 
números inteiros  . Considerando 0k = obtemos, pois, o número 1; se passarmos a considerar 
Funções de uma 
variável real
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
34
1k = , obtemos 3
2
π
; se 1k = − , obtemos, 
2
π
− ; se 2k = , obtemos 5
2
π
; se 2k = − , 
obtemos 
3
2
π
− , e assim sucessivamente. 
 Então, 
5 3 3 5{(2 1) ; } { , , , , , , , }
2 2 2 2 2 2 2
k kπ π π π π π π+ ∈ = − − −   .
 Portanto, o domínio da função tangente é obtido a partir do conjunto dos números 
reais, subtraindo-lhe essa infi nidade de pontos. O conjunto fi nal é a união infi nita 
5 3 3 3 3 5{ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) }
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
π π π π π π π π π π
∪ − − ∪ − − ∪ − ∪ ∪ ∪  .
 Observe agora o traçado do gráfi co da função tangente mostrado na Figura 1.18. Veja 
que ele é composto de uma infi nidade de arcos, com cada arco sendo traçado sobre um dos 
intervalos escritos no conjunto anterior.
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
54321-1-2-3-4
x
y
-4
-5
-5
-6-7 6 7 8 9
6
-6
-7
-8
Figura 1.18
 Agora fi ca mais fácil entender, por exemplo, qual é o domínio da função cotangente. 
Anteriormente escrevemos que, cotg : { ; }k kπ− ∈ →   . Devemos considerar o 
conjunto dos números reais e retirar a infi nidade de pontos da forma kπ quando consideramos 
k assumindo todos os valores inteiros. 
 Dessa maneira, temos { , } { , 3 , 2 , ,0, , 2 ,3 , }k kπ π π π π π π∈ = − − −   .
 Assim, o domínio da função cotangente é a união infi nita
{ ( 3 , 2 ) ( 2 , ) ( ,0) (0, ) ( , 2 ) (2 ,3 ) }π π π π π π π π π π∪ − − ∪ − − ∪ − ∪ ∪ ∪ ∪  .
 Para compreender os domínios das funções secante e cossecante podemos raciocinar 
da mesma maneira.
Funções Trigonométricas Inversas
 As funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, 
se consideradas com seus domínios máximos, como visto anteriormente, não são injetivas. Para 
que possamos falar em inversas de funções trigonométricas, necessitamos restringir os domínios 
adequadamente.
 Vejamos como proceder para encontrarmos uma função inversa para a função seno.
35
 Se considerarmos a função seno defi nida apenas no intervalo [ , ]
2 2
π π
− , ela será 
crescente, com imagem igual a [ 1,1]− . Portanto, existirá uma inversa desta restrição, com 
domínio [ 1,1]− e imagem [ , ]
2 2
π π
− . Chamemos essa inversa de “arco seno” e a denotemos 
por “arcsen” ou “ 1sen− ”.
 A inversa da restrição da função seno será 1sen :[ 1,1] ,
2 2
π π−  − → −  
 defi nida da 
seguinte maneira:
 Se [ 1,1]z ∈ − , então 1sen ( ) ,
2 2
z w π π−  = ∈ −  
 tal que sen( )w z= .
 Evidentemente, teremos as composições: 
 1sen(sen ( )) , [ 1,1]z z z− = ∀ ∈ − e 1sen (sen( )) , ,
2 2
w w w π π−  = ∀ ∈ −  
.
 Para que não haja confusão, as composições mostradas acima podem ser representadas 
pelos diagramas:
1sen sen[ 1,1] , [ 1,1]
2 2
π π−  − → − → −  
 e
1sen sen, [ 1,1] ,
2 2 2 2
π π π π−   − → − → −      
.
 
 O gráfi co da função “arco seno” é esboçado mediante refl exão, em torno da reta identidade 
y x= , do trecho do gráfi co da função seno obtido pela restrição do domínio ao intervalo [ , ]
2 2
π π
− .
1
21-1
x
y
y=sen(x)
-1
y=arcsen(x)
Figura 1.19
 
 Para encontrarmos uma inversa para a função cosseno procederemos como se segue. 
 Consideramos a restrição da função cosseno ao intervalo [0, ]π . Sobre esse intervalo a 
função será decrescente e terá imagem [ 1,1]− . Portanto, existirá uma inversa desta restrição com 
domínio [ 1,1]− e imagem [0, ]π . Chamemos essa inversa de “arco cosseno” e a denotemos por 
“arccos” ou “ 1cos− ”.
Funções de uma 
variável real
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
36
 A inversa da restrição da função cosseno será 1cos :[ 1,1] [0, ]π− − → , defi nida da 
seguinte maneira:
 Se [ 1,1]z ∈ − , então 1cos ( ) [0, ]z w π− = ∈ , tal que cos( )w z= .
 Evidentemente, temos as composições:
 1cos(cos ( )) , [ 1,1]z z z− = ∀ ∈ − e 1cos (cos( )) , ,
2 2
w w w π π−  = ∀ ∈ −  
.
 Para que não haja confusão, as composições mostradas acima podem ser representadas 
pelos diagramas:
 
1cos cos[ 1,1] [0, ] [ 1,1]π
−
− → → − e 
1cos cos[0, ] [ 1,1] [0, ]π π
−
→ − → .
 O gráfi co da função “arco cosseno” é esboçado mediante refl exão, em torno da reta 
identidade y x= , do trecho do gráfi co da função cosseno obtido pela restrição do domínio ao 
intervalo [0, ]π .
1
21-1
x
y
y=cos(x)
-1
y=arccos(x)
3
Figura 1.20
Exercício 1.8: Calcule, sem o auxílio de calculadoras, os seguintes valores:
 a) arccos( 1)− ; b) 3arccos
2
 
  
 
; 
 c) 
1arcsen
2
 
 
 
; d) 
3arcsen
2
 
−  
 
. 
 
 Para encontrar a inversa da função tangente, é padrão restringirmos seu domínio para o 
intervalo ,
2 2
π π −  
. Sobre esse intervalo ela é crescente e, portanto, invertível. Sua imagem é 
todo o conjunto  . Sua inversa, chamada “arco tangente” e denotada por “arctg” ou “ 1tg− ” é 
defi nida da seguinte maneira:
 Se z ∈ , então 1tg ( ) ,
2 2
z w π π−  = ∈ −  
 , tal que tg( )w z= .
37
 Para encontrarmos a inversa da função secante, restringimos seu domínio para o 
subconjunto [0, ) ( , ]
2 2
π π π∪ . Sobre o intervalo [0, )
2
π
 a função é crescente e sua imagem 
é [1, )∞ . Sobre o intervalo ( , ]
2
π π , a função também é crescente e sua imagem é ( , 1]−∞ − . 
Sua inversa, chamada “arco secante” e denotada por “arcsec” ou “ 1sec− ” é defi nida da seguinte 
maneira:
 Se ( , 1] [1, )z ∈ −∞ − ∪ ∞ , então 1sec ( )z w− = ∈ , tal que sec( )w z= .
 Os gráfi cos das funções arco tangente (Figura 1.21) e arco secante (Figura 1.22) são 
mostrados a seguir.
4
3
2
1
-1
-2
-3
4321-1-2-3-4
x
y
-4
 
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
4321-1-2-3-4
x
y
Figura 1.21 Figura 1.22
 As inversas das funções cotangente e cossecante não são muito utilizadas. Para 
encontrarmos a inversa da função cotangente, devemos restringir seu domínio à (0, )π sobre o 
qual ela é decrescente. Para a função cossecante, a restrição é sobre ( ,0) (0, )
2 2
π π
− ∪ , onde ela 
é decrescente.
Exercício 1.9: Utilize um software mostrador de gráfi cos e explore quais os traços dosgráfi cos das 
funções defi nidas por ( ) sen( )f x A x= ⋅ , quando A∈ assume diversos valores. Em seguida, 
explore quais os traços dos gráfi cos das funções defi nidas por ( ) sen( )g x kx= , quando k ∈ 
assume diversos valores. Faça um relatório sobre sua exploração e tire conclusões acerca dos 
gráfi cos das funções defi nidas por ( ) sen( )h x A kx= ⋅ , com ,A k ∈ .
Funções Exponenciais e Logarítmicas
 Vamos supor que devemos colocar grãos de trigo nas casas de um tabuleiro de xadrez. Na 
primeira casa devemos colocar um grão; na segunda casa, devemos colocar o dobro do colocado 
na casa anterior, isto é, dois grãos; na terceira, o dobro do colocado na casa anterior, isto é, quatro 
grãos, e, assim sucessivamente, sempre colocando numa casa o dobro do colocado na casa anterior. 
Quantos grãos serão colocados na última casa do tabuleiro?
 Para resolver esse problema devemos utilizar exponenciais. O processo de preenchimento 
das casas é descrito de outra maneira na seguinte tabela (Tabela 1.2).
Casa 1 2 3 4 5
...
64
Grãos 1 2 4 8 16 ?
Tabela 1.2
Funções de uma 
variável real
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
38
 
A solução do problema está em considerarmos expressões exponenciais de base 2. 
Considerando 0 1 2 32 , 2 , 2 , 2 etc., conseguiremos encontrar a solução.
 Considerar uma exponencial na qual a base é um número real e o expoente é um número natural 
é simples. Ao encontrarmos a expressão 57 , sabemos tratar-se da multiplicação 5
5 vezes
7 7 7 7 7 7= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

. 
Assim, ao encontrarmos a notação nr , sabemos tratar-se de 
vezes
n
n
r r r r= ⋅ ⋅ ⋅

. 
 Se n− é um número inteiro negativo, a expressão nr− é defi nida como 1n nr r
− = para 
que a propriedade n m n mb b b += mantenha-se verdadeira. 
 Ao escrevermos a notação 
1
nr , com n natural não nulo estamos denotando 
1
nnr r= . 
(obs. nna b b a= ⇔ = ).
 Assim, a notação 
p
qr com p
q +
∈ signifi ca ( )
p
pqqr r= . Se p
q −
∈ , então, 
1pq
p
q
r
r
= .
 Com o auxílio da calculadora podemos encontrar boas aproximações de 
2
53 , ou de 5π − . 
Mas qual o signifi cado do resultado mostrado na calculadora para 3π ? 
 Quando o expoente é um número real irracional, devemos pensar em aproximações. 
 Pensemos: 
 Se 3 4π< < , desejamos que 3 43 3 3π< < .
 Se 3,1 3,2π< < , desejamos que 3,1 3,23 3 3π< < .
 Se 3,14 3,15π< < , desejamos que 3,14 3,153 3 3π< < .
 Se 3,141 3,142π< < , desejamos que 3,141 3,1423 3 3π< < .
 Como conseguimos calcular as aproximações 
 ( )
3141 3141
3,141 100010003 3 3 31,5237= = ≈ e ( )31423,142 10003 3 31,5584= ≈ ,
sabemos que 3π está no intervalo 31,52 3 31,55π< < . Dependendo da necessidade, podemos 
trabalhar com 3 31,53π ≈ .
 Mais adiante, em outras seções, voltaremos a defi nir analiticamente as exponenciais. Por 
enquanto, esse raciocínio de cálculo por aproximações é sufi ciente e nos leva a identifi car uma 
função com domínio  defi nida por :f →  , ( ) 3xf x = .
 As considerações feitas (nesse exemplo particular) em que a base escolhida foi 3 podem 
ser feitas para qualquer número a, tal que *a +∈ , donde podemos escrever a próxima defi nição.
Defi nição 1.21: Uma função f é uma função exponencial se sua representação analítica é da forma 
( ) xf x a= , com o número a, chamado base da função exponencial, sendo um número real 
positivo.
 O esboço do gráfi co de uma função exponencial segue um dos padrões mostrados nas 
ilustrações a seguir (Figura 1.23).
39
Figura 1.23
 Observemos que uma característica do gráfi co das funções exponenciais é que a interseção 
do gráfi co com o eixo Oy se dá sempre no ponto (0,1) . Mas, funções obtidas das exponenciais 
mediante composições, como as da forma ( ) x kf x a l+= + , não interceptam o eixo Oy no ponto
(0,1) , caso as constantes k ou l sejam diferentes de zero.
Exercício 1.10: Esboce os gráfi cos das funções defi nidas por ( ) 2xf x = , 1( )
2
x
g x  =  
 
, 
( ) 5xh x = , 1( )
5
x
j x  =  
 
 e ( ) 2 xl x = .
Exercício 1.11: Qual é a resposta do problema inicial desta seção? Qual a função exponencial que 
modela o problema?
Exercício 1.12: Utilize um software mostrador de gráfi cos e explore quais os traços dos gráfi cos 
das funções defi nidas por ( ) 2xf x A= ⋅ , quando A∈ assume diversos valores. Explore 
também quais os traços dos gráfi cos das funções defi nidas por ( ) 2x kg x += , quando k ∈ 
assume distintos valores. Faça um relatório descrevendo suas conclusões.
Funções Logarítmicas
 Vamos retomar ao exemplo inicial da seção anterior, o da colocação de grãos no tabuleiro 
de xadrez. A questão era colocar sempre o dobro do número de grãos colocados na casa anterior.
Funções de uma 
variável real
CálCUlo diFErEnCial 
E intEgral i
40
Casa 1 2 3 4 5
...
64
Grãos 1 2 4 8 16 ?
Tabela 1.3
 E se quisermos saber quando é que colocaremos 260000 grãos? 
 O número de grãos a serem colocados pode ser obtido de acordo com a função dada por 
1( ) 2tQ t −= , onde t é tomado em dias e Q(t) indica a quantidade de grãos. Para encontrar quando 
é que precisaremos colocar duzentos e sessenta mil grãos, precisamos resolver a equação
1260000 2t−= ,
o que pode ser feito mediante aplicação de uma função que “desfaça” o que a função 1( ) 2tQ t −= 
faz. A função 1( ) 2tQ t −= é uma função exponencial de base maior que 1, logo, crescente e, 
portanto, injetiva. Sua imagem é ( ) (0, )Im Q = ∞ . Logo, ( )Q t possui uma função inversa com 
domínio (0, )∞ e imagem  . Como encontrá-la?
 Para obter a resposta, vamos considerar funções exponenciais gerais da forma 
( ) xf x b= . Podemos perceber que se 1b > a função é crescente e, portanto, injetiva. Se a base 
é positiva, mas menor que 1, 0 1b< < , a função é decrescente e, portanto, injetiva. Assim, nos 
dois casos, a função é injetiva e sobrejetiva em (0, )∞ . Portanto, existe uma função inversa.
Defi nição 1.22: Se a +∈ e 1a ≠ , então as funções logarítmicas de base a são as inversas das 
funções exponenciais de base a e são denotadas por log :a + →  .
 A condição que exprime a função logarítmica de base a, 1a ≠ e 0a > é: 
log ( ) ya x y a x= ⇔ = .
 Como já foi explorado anteriormente o caso da exponencial com números irracionais, não 
nos preocuparemos mais com o signifi cado de tais situações matemáticas.
 Como o gráfi co da função inversa é obtido a partir do gráfi co da função original mediante 
uma refl exão em torno da reta identidade y x= , deduzimos que:
 a) Se 0 1a< < , então a função f defi nida por ( ) log ( )af x x= é decrescente;
 b) Se 1a > , então a função f defi nida por ( ) log ( )af x x= é crescente.
 A seguir esboçamos os comportamentos típicos dos gráfi cos das funções logarítmicas de 
base a.
 
Figura 1.24
 Devemos observar que os gráfi cos das funções logarítmicas da forma ( ) log ( )af x x= 
interceptam o eixo Ox no ponto (1,0) , o que não ocorre com as funções da forma 
41
( ) log ( )ag x x k l= + + , caso k ou l sejam diferentes de zero.
 Voltando à questão dos grãos no tabuleiro de xadrez, podemos descobrir quando serão 
colocados duzentos e sessenta mil grãos. A equação 12 260000t− = pode ser resolvida:
( )1 12 2 22 260000 log 2 log 260000 1 log 260000t t t− −= ⇔ = ⇔ − = ⇔
21 log 260000t = + .
 O valor aproximado, calculado com o uso de calculadora é 18988t ≈ dias. Portanto, a 
resposta à questão levantada permanece: na décima oitava casa ainda colocamos menos de duzentos 
e sessenta mil grãos, mas na décima nona casa colocamos praticamente o valor estipulado. Para 
sermos exatos, colocamos 2144 grãos a mais.
Exemplo 1.19: Um material radioativo, utilizado como contraste para radiografi as do estômago, 
tem meia-vida de 2 horas. Se uma pessoa ingeriu 10 gramas desse material, quantos gramas ainda 
restarão após 12 horas? Quando é que restará exatamente 1 grama do material no corpo do paciente?
 Podemos iniciar a análise da situação escrevendo alguns dados na tabela a seguir (Tabela 4).
Tempo (h) 0 2 4 ... 12 ... ?
Material (g) 10 5 2,5 ... ? ... 1
Tabela 4