Curva Expansão Adiabática

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Resolução de Exercícios
Termodinámica
Julimar S. de Paula
2020
1 Encontre a expressão relacionada a
mudançasdeestado, deumgássim-
ples, em um processo adiabático.
Aqui, devemos encontrar a expressão vinculada, a uma curva adia-
bática, de um gás simples. Dessa forma, se estamos de fato traba-
lhando comumgás simples,monoatómico, e com fracas interações
entre seus átomos, podemos considerar que
𝑝𝑣 = 𝑁𝑅𝑇 (1)
e
𝑈 = 32𝑁𝑅𝑇 , (2)
ou seja, estamos trabalhando com um gás ideal.
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Por se tratar de um processo adiabático, devemos lembrar que
nãoa trocadecalor, ouseja todoprocessode transformaçãodeener-
gia se dá entre a energia interna do gás e a energia potencial relaci-
onada a configuração do sistema. assim:
Δ𝑈 = −𝑊. (3)
Dessa forma, pelas equações 1, 2 e 3 temos todas as informações
necessárias para a solução desse problema.
2 Solução
Através da equação (3), ao diferenciá-la, chegaremos em
𝑑𝑈 = −𝛿𝑊. (4)
Sabendo que
𝑊 = ∫ 𝑝𝑑𝑣 (5)
e então
𝛿𝑊 = 𝑝𝑑𝑣. (6)
Ainda, tendo por (1) e por (2) que
𝑈 = 32𝑝𝑉 (7)
e então
𝑑𝑈 = 32(𝑉 𝑑𝑝 + 𝑝𝑑𝑉 ) = 𝛼(𝑉 𝑑𝑝 + 𝑝𝑑𝑉 ). (8)
Note que 𝛼 = 32 .Escolhemos essa simplificação apenas para com-
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pactar a notação. Assim, ao aplicar (8) e (6) em (4), teremos
𝛼(𝑉 𝑑𝑝 + 𝑝𝑑𝑣) = −𝑝𝑑𝑣. (9)
𝑉 𝑑𝑝 = −1 + 𝛼𝛼 𝑝𝑑𝑣. (10)
𝑑𝑝
𝑝 = −
(1 + 𝛼)
𝛼
𝑑𝑣
𝑉 . (11)
Aqui ,novamente, faremos uma simplificação: para que não tenha-
mos que carregar o termo (1+𝛼)𝛼 iremos chamá-lo de 𝛾. Assim, a ex-
pressão anterior, simplificada, será
𝑑𝑝
𝑝 = −𝛾
𝑑𝑣
𝑉 . (12)
Aqui temos uma edo de primeira ordem. Integrando dos dois la-
dos da equação teremos
𝑙𝑛(𝑝) = −𝛾𝑙𝑛(𝑉 ) + 𝑐𝑡𝑒, (13)
que nos levará a
𝑝 = 𝑉 −𝛾𝑒𝑐𝑡𝑒 (14)
e finalmente chegaremos em
𝑝𝑉 𝛾 = 𝑒𝑐𝑡𝑒. (15)
Sabendo que tanto cte quanto 𝑒𝑐𝑡𝑒 são constantes concluímos que
𝑝𝑉 𝛾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. (16)
Que é o resultado que procurávamos.
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3 Observações finais
Primeiramente não se assuste com a notação 𝛿𝑊 , aqui, o que que-
remos dizer, é que diferente de dU, 𝛿𝑊 não representa uma função
de estado efetivamente, ou seja, para cada curva de estados existia
uma ”função trabalho” distinta, mas dentro desse contexto pode-
mos tratar ”𝛿𝑊” como dW.
Segundo, apesar de termos tratado 𝛾 como apenas uma forma de
compactar a notação, temos que 𝛾 tem um significado físico inte-
ressante; na verdade
𝛾 = 𝐶𝑝𝐶𝑣 (17)
Onde Cp é a capacidade térmica a pressão constante e Cv é a ca-
pacidade térmica a volume constante.
Por fim, não devemos nos esquecer da constante de integração que
aparece na equação (13), pois, é através dela que chegamos na rela-
ção
𝑝1𝑉 𝛾1 = 𝑝2𝑉 𝛾2 . (18)
Nomais, obrigado por nos ler até aqui e bons estudos!
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