Equações Diferenciais de 1ª e 2ª ordens

Prévia do material em texto

Capítulo 1 
 
Equações Diferenciais de 1ª 
e 2ª Ordens 
 
 
1.1 Introdução 
 
Problema 1 – Circuito R-L 
 
A soma algébrica das diferenças de potencial em uma malha fechada é zero, ou a diferença de 
potencial aplicada no circuito é igual a soma das diferenças de potencial no resto do circuito. 
(Leis de Kirchhoff) 
 
 
Uma força eletromotriz (pilha ou gerador) produz uma tensão )(tE e uma corrente )(ti em um 
tempo t. A Lei de Kirchhoff diz que a soma das tensões é igual a tensão fornecida )(tE , então 
temos: 
)(tEEE RL  
 
A queda de tensão através do resistor é dada por IRER  
A queda de tensão através do indutor é dada por 
dt
dI
LEL  
 
Substituindo, obtemos uma equação diferencial de 1ª Ordem: 
 
)(tEiR
dt
di
L  
 
 2 
Problema 2: Circuitos (RLC) 
 
Circuitos elétricos complexos (redes) são basicamente formados por resistores de resistência R, 
indutores de indutância L, capacitores de capacitância C, carregado com uma diferença de 
potencial CE e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada por )(tE . Qual a 
corrente I no circuito em determinado tempo t. 
 
 
 
 
A soma algébrica das diferenças de potencial em uma malha fechada é zero, ou a diferença de 
potencial aplicada no circuito é igual a soma das diferenças de potencial no resto do circuito. 
(Leis de Kirchhoff) 
 
Resolução: Usando as leis de Kirchhoff, quando for fechado o interruptor, obteremos: 
 
)()()()( tEtEtEtE CRL  
 
A queda de tensão através do resistor é dada por IRER  
A queda de tensão através do indutor é dada por 
dt
dI
LEL  
A queda de tensão através do capacitor é dada por Q
C
EC 
1
 
Tem-se também que 
dt
dQ
I  . 
A partir disto obtém-se uma equação diferencial de 2ª ordem. 
 
)(
1
²
²
tEQ
Cdt
dQ
R
dt
Qd
L  
 
 
 3 
1.2 Terminologia e Definições Básicas 
 
Definição 1.1(Equação diferencial): Uma equação diferencial(ED) é uma equação que 
envolve as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a 
uma ou mais variáveis independentes. 
 
Exemplo 1.1: 
1) xy cos 2) 13
2
2
 t
dt
sd
 
 
3) 22 )1( xyyxyx  4) 0





y
u
x
u
 
 
 
1.2.1 Classificação das equações diferenciais 
 
(a) Quanto ao tipo 
 
Se a equação diferencial contém derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis 
dependentes com relação a uma única variável independente, estamos diante de uma 
equação diferencial ordinária (EDO) 
Caso contrário, se a equação diferencial envolve as derivadas parciais de uma ou 
mais variáveis depe2ndentes com relação a duas ou mais variáveis independentes, 
estamos diante de uma equação diferencial parcial (EDP) 
 
(b) Quanto à ordem e grau 
 
A ordem de uma equação diferencial é a derivada de maior ordem que aparece na 
mesma. 
O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior 
ordem. 
 
Exemplo 1.2: Qual a ordem e o grau das ED´s abaixo: 
 
(a) 032)4(3  yyxyx 
 
Resposta: Esta equação diferencial tem ordem 4 e grau 1. 
 
 
 4 
(b) xyx
dx
dy
dx
yd
x cos5)1( 2
32
3
3












 
Resposta: Esta equação diferencial tem ordem 3 e grau 2. 
 
 
(c) Quanto a linearidade 
 
Uma equação é dita linear se: 
 
 A função e suas derivada tiverem grau 1. 
 Os coeficientes que acompanham a função e suas derivadas dependem 
apenas da variável independente. 
 
 
Forma Geral: 
)()()()()()( 012
2
21
1
1 xhyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n  

  
 
Uma equação que não satisfaz as condições anteriores é dita não-linear. 
 
Exemplos 1.3: Quais são lineares e quais não são lineares? 
 
a) 13)1( 2
2
2
 xy
dx
dy
x
dx
yd
x 
 
Resposta: Linear, pois está na forma da equação (1) 
 
b) xyy cos)( 2  
 
Resposta: Não é linear pois a função derivada está elevada ao quadrado. 
 
 
 
 
 5 
c) xseny
dx
dy
x
dx
yd
x  2
2
2
 
 
Resposta: Não linear, devido ao termo seny , esta equação não está na forma da 
equação (1), pois como notamos a variável dependente(y) deve estar “sozinha”. 
 
d) xyyy  2 
 
Resposta: Não linear, pois o coeficiente de y  depende do próprio y. 
 
Exercício 1.1: Classifique as equações diferenciais quanto a ordem, grau e linearidade: 
 
(a) xyyxyx cos59)1(  
 
(b) ts
dt
ds
dt
sd
3
3
2
2






 
 
(c) xeyxy 2)( 32  
 
 
1.2.2 Solução de equações diferenciais 
 
Definição 1.2(Solução): Qualquer função f definida em um intervalo I que quando 
substituída na ED, reduz esta equação a uma identidade é chamada de solução da 
equação diferencial neste intervalo. 
 
Exemplo 1.4: A função xey 3 é solução da equação xe
dx
dy 33 
De fato, pois ao derivarmos a função y, obtemos exatamente o resultado da equação 
diferencial: 
x
x
e
dx
ed
dx
dy 3
3
3
)(
 
 
Exercício 1.2: Verifique se 4
16
1
xy  é solução para a ED yxy  
 
 
Exercício 1.3: Verifique se xxey  é solução para a ED 02  yyy 
 6 
1.2.3 Solução Geral, Particular e Singular 
 
O estudo de equações diferenciais é semelhante ao cálculo integral. Quando se calcula 
uma integral indefinida, utiliza-se uma única constante de integração. De maneira 
análoga, quando se resolve uma equação diferencial de primeira ordem da forma 
0),,( yyxF , normalmente obtém-se uma família de curvas ou funções 
0),,( CyxG , contendo um parâmetro arbitrário C, tal que cada membro da família de 
curvas é uma solução da equação diferencial. Na verdade, quando se resolve uma 
equação de n-ésima ordem 0),,,( )(  nyyyxF  , em que )(ny significa 
n
n
dx
yd
, espera-se 
uma família a n-parâmetros de soluções 0),,,,( 21 nCCCyxG  . 
 
Antes de definir os tipos de soluções existentes, vamos resolver de maneira intuitiva o 
seguinte problema: 
 
Problema: Uma partícula se desloca com uma aceleração igual a 23 t cm/s². Mo 
instante 0t , a partícula se acha a 5 cm da origem e quanto 1t , a sua velocidade é 
10 cm/s. Que posição ocupa no mesmo instante? 
 
Resolução: Alguns Problemas práticos ficam melhor organizados usando um quadro de 
dados: 
 
VARIÁVEIS 
 
SÍMBOLOS 
 
UNIDADES 
 
CONDIÇÕES 
INICIAIS 
CONDIÇÕES 
DA 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
Quais os relacionamentos que conhecemos entre as variáveis? 
 
Quais funções são identificáveis? 
 
 7 
Temos, 
)(tss  - Espaço percorrido como função do tempo 
dt
ds
v  ou )(tsv  
dt
dv
a  ; 
2
2
dt
sd
a  , ou seja, 23
2
2
 t
dt
sd
 
O QUE TEMOS? 
Equação diferencial de 2ª ordem: 23
2
2
 t
dt
sd
 
Solução geral: )(tss  
Solução particular: Uma função )(tss  que satisfazendo as condições iniciais e as 
condições para a solução. 
Condições iniciais: 10)1( v e 5)0( s 
 
Definição 1.3 (Solução geral-SG): É a função f que satisfaz a equação diferencial e que 
contém tantas constantes arbitrárias quanto for a ordem da equação. 
 
Definição 1.4 (Solução Particular-SP): É uma solução da equação diferencial 
deduzida da equação geral, atribuindo-se valores particulares às constantes arbitrárias. 
 
Definição 1.5 (Solução Singular): É uma solução que não pode ser obtida 
especificando-se os parâmetros em uma família de soluções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
1.2.4 Problema de valor inicial – PVI 
 
Seja 0),,( yyxF e 0),,,(  yyyxF uma equação diferencial de 1ª ou 2ª ordem 
respectivamente. Um PVI de 1ª e 2ª ordem é dado por: 
 
PVI de 1ª ordem PVI de 2ª ordem 
 
Resolva 0),,( yyxF 
 
Sujeito à 00 )( yxy  
 
 
 
Resolva 0),,,(  yyyxF 
 
Sujeito à 00 )( yxy  
 10 )( yxy  
 
As condições no ponto xx 0 são chamadas de condições iniciais. 
Tente com as ideias estudadas até aqui, resolver o problema geométrico abaixo: 
 
Problema: Determine a equação de uma curva cuja derivada segunda é igual a 4, esta 
curva passa pelo ponto(2,6) e reta tangente a este ponto tem equação dada por xy 3 . 
 
Lista I – Equações Diferenciais – Vol 1 – Zill e Cullen 
 
 
 
Pgs 11 e 12: 1 à 20, 23, 24, 28, 29 a 40, 43, 44, 45, 47, 48, 49, 50, 51 e 52. 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
1.3 Equações Separáveis 
 
Uma equação diferencial separável ou de variáveis separadas é uma equação 
diferencial de 1ª ordem e 1º grau que pode ser apresentada de duas formas: 
 
Tipo I 
)(
)(
yg
xf
dx
dy
 
Resolução: 
 
dxxfdyyg )()(  
Integra-se ambos os lados 
 



12
21
)()(
)()(
CCdxxfdyyg
CdxxfCdyyg
 
 
Mas 12 CC  é uma outras constantes, que chamaremos de C. Logo, 
Cdxxfdyyg   )()( 
Observação 1: Se possível isole a variável y ao final das integrações. 
 
 
Tipo II 
),(
),(
yxN
yxM
dx
dy
 
Onde 
)()(),(
)()(),(
yqxnyxN
ypxmyxM


 
 
Resolução: 
)()(
)()(
yqxn
ypxm
dx
dy
 
Ou seja, 
dxypxmdyyqxn )()()()(  
Divida ambos os lados por )()( ypxn  e então 
 10 
dx
xn
xm
dy
yp
yq
)(
)(
)(
)(
 
Integre e proceda como uma equação do tipo I. 
 
Exercício 1.4: Resolva as equações diferenciais abaixo: 
 
(a) xe
dx
dy
1 
(b) 0)1(  ydxdyx 
(c) 
y
x
dx
dy
 onde, 3)4( y 
(d) 0)()(  dxxyydyxyx 
(e) 0 ydysenxdxxe y (f) 0)2²( 34   dyeydxxy x 
 
Exercício 1.5: A formulação da lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de 
variação da temperatura T é proporcional à diferença entre T e a temperatura do 
ambiente 0T , ou seja, )( 0TTk
dt
dT
 . Sabendo que uma esfera com uma temperatura 
de 100ºC, ou seja, 100)0( T (condição inicial) é imersa em água que é mantida a 30ºC, 
ou seja, º300 T C 
(a) Encontre a temperatura no instante t. (Solução Particular) 
(b) Sabendo que depois de 1 min a esfera está a 85ºC, quanto tempo leva para que a 
temperatura atinja 50ºC? 
 
 
Lista II – Equações Diferenciais – Vol 1 – Zill e Cullen 
 
 
 
 
Pgs 50 e 51: 1 a 32, 41 a 49. 
 
 11 
1.4 Equações Exatas 
 
Seja ),( yxuz  
A diferencial de uma função de duas variáveis é dada por: 
dy
y
u
dx
x
u
dz





 
Suponha que Cyxu ),( , então: 
0





dy
y
u
dx
x
u
 
 
 
Definição: Uma equação diferencial de 1ª ordem na forma 
0),(),(  dyyxNdxyxM 
É chamada de exata, se existe, uma função ),( yxu tal que 
),( yxM
x
u



 e ),( yxN
y
u



 
 
Exemplo 1.5: Seja a equação diferencial 
0²³³²  dyyxdxyx 
Pela definição, para que esta equação seja exata, devemos encontrar uma função 
),( yxu tal que: 
³² yx
x
u



 e ²³yx
y
u



 
 
 
Teorema 1.1: Suponha M e N funções com derivadas parciais contínuas, então a 
equação diferencial 
0),(),(  dyyxNdxyxM 
é exata, se e somente se 
x
N
y
M





 
 
 
 
 12 
Exercício 1.6: Verifique se as equações abaixo são exatas: 
(a) 0²³³²  dyyxdxyx 
 
(b) 0³)4²6(²)6²3(  dyyyxdxxyx 
 
Método de Resolução 
 
Passo 1: Mostre que 
x
N
y
M





 
Passo 2: Suponha que ),( yxM
x
u



 e ),( yxN
y
u



. 
Escolha uma das duas equações para começar, escolhendo a primeira devemos integrar 
em relação a x. 
  )(),(),( ygdxyxMyxu (constante) 
Passo 3: Derive o resultado em relação a y e substitua na segunda equação para 
encontrar a constante )(yg 
Passo 4: Fazer Cyxu ),( 
Observação 1: Escolhendo a segunda equação para começar, fazemos a integração em 
relação a y e portanto a constante é do tipo )(xg . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
1.5 Equações Lineares 
 
 
Uma equação diferencial de 1ª ordem é dita linear se puder ser colocada na 
forma: 
)()( xQyxP
dx
dy
 
 
Propriedade: As equações lineares de 1ª ordem tem a propriedade de poderem ser 
transformadas em uma equação exata se multiplicadas por um fator específico, que será 
chamado de fator integrante. 
 
Anote no quadro abaixo a demonstração a obtenção do fator integrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
FATOR INTEGRANTE: 
 
 
 
Resolução: 
 
1) Verifique se a equação pode ser colocada na forma padrão )()( xQyxP
dx
dy
 
2) Identifique )(xP e encontre o fator integrante 
dxxP
eu
)(
 
3) Multiplique o fator integrante em ambos os lados da equação na forma padrão 
4) O lado esquerdo da equação resultante é automaticamente a derivada do produto 
do fator integrante por y: 
)(
)()(
xQeye
dx
d dxxPdxxP





 
5) Integre ambos os lados dessa última equação e encontre a solução. 
 
Exercício 1.7: Resolva as equação diferenciais lineares abaixo: 
(a) 2 x
x
y
dx
dy
 
(b) 22 63 xyxy  
(c) 12  xy
dx
dy
x , onde 2)1( y 
(d) 0)(4 6  dyyxydx 
 
 
Lista III – Equações Diferenciais – Vol 1 – Zill e Cullen 
 
 
 
 
Pgs 77 e 78: 1 a 30, 41 a 50. 
 
 
 15 
1.6 Equações Lineares – Circuitos Elétricos 
 
1.6.1 Circuito R-L 
 
 
Informações 
 
R é o resistor que resiste a passagem de corrente elétrica. 
 
L é o indutor que resiste a variação e corrente e ajuda a manter 
constante a situação. 
Unidades 
L – Indutância (Henry - H) 
R – Resistência (Ohms - 
 ) 
I – Corrente (Ampéres – 
A) 
E – Tensão ( Volts – V) 
Equações 
A queda de tensão no resistor é dada por iRER  
A queda de tensão no indutor é dada por 
dt
di
LEL  
 
Uma força eletromotriz (pilha ou gerador) produz uma tensão )(tE e uma corrente )(ti 
em um tempo t. A Lei de Kirchhoff diz que a soma das tensões é igual a tensão 
fornecida )(tE , então temos: 
)(tEEE RL  
)(tEiR
dt
di
L  
Dividindo ambos os lados por L, obtemos: 
 
L
tE
i
L
R
dt
di )(
 
 
Esta é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. A solução fornece a corrente i no 
tempo t qualquer. 
Note que o fator integrante será sempre do mesmo tipo: 
t
L
R
dt
L
R
eetu



)( . 
 16 
Exercício 1.8: Uma bateria de 60V é conectada a um circuito em série na qual a 
indutância é 4H e resistência é 12 . O interruptor é ligado quando 0t , ou seja, 
0)0( i . 
(a) Encontre a corrente no instante t . 
(b) Calcule a corrente depois de 1s, 2s, 3s e 4s. 
(c) Qual o valor limite da corrente. 
 
Pergunta: Qual é solução geral da equação que modela um circuito R – L, supondo 
que a tensão no sistema seja constante, ou seja, 0)( EtE  ? 
L
E
i
L
R
dt
di 0 
Multiplicando ambos os lados pelo fator integrante 
t
L
R
etu

)( temos: 
 
t
L
R
t
L
R
t
L
R
e
L
E
i
L
R
e
dt
di
e 0 
 
Aplicando o passo 4 do método de resolução 
 
t
L
R
t
L
R
e
L
E
ie
dt
d 0





 
Integrando ambos os lados 
Ce
R
E
ie
t
L
R
o
t
L
R
 
Isolando a corrente i, obtemos 
t
L
R
e
C
R
E
i  0 
 
Se for fornecida a corrente inicial, por exemplo, 0)0( ii  , podemos encontrar o valor da 
constante C e assim obter a solução particular. 
 
 17 
Note na solução da equação se fizermos t tender ao infinito, o termo 
t
L
R
e
C
 tende a zero, e 
portanto temos apenas 
R
E0 chamado de estado estacionário, neste caso, 
R
E0 é chamado 
de corrente estacionária. Após um longo período de tempo a corrente no circuito é 
governado apenas pela lei de ohm, ou seja, iRE  . 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1.9: Suponha que a bateria do exercício 1.8, seja trocada por um gerador que 
produz uma tensão variável de )30(60)( tsentE  . Encontre a corrente no instante t. 
 
1.6.2 Circuito R-C 
 
 
Informações 
 
R é o resistor que resiste a passagem de corrente elétrica. 
 
C é o capacitor e tem a capacidade de armazenar carga. 
Unidades 
C – Capacitância(Farad - F) 
R – Resistência (Ohms -  ) 
I – Corrente (Ampéres – A) 
E – Tensão ( Volts – V) 
Q – Carga (Coloumbs – c) 
Equações 
A queda de tensão no resistor é dada por iRER  
A queda de tensão no Capacitor é dada por Q
C
EC 
1
 
Corrente: 
dt
dQ
i  
 18 
A lei de Kirchhoff fornece 
)(tEEE CR  
E, portanto, 
)(
1
tEQ
C
iR Mas como 
dt
dQ
i  , temos: 
)(
1
tEQ
Cdt
dQ
R  
 
Dividindo tudo por R 
R
tE
Q
CRdt
dQ )(1
 
 
 
Esta é uma equação diferencial linear de 1ª ordem, cuja solução fornece a carga Q no 
instante t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
1.7 Equações Lineares de 2ª Ordem e Aplicações 
 
Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma: 
 
)()()(
²
)(
2
xhyxR
dx
dy
xQ
dx
yd
xP  
 
Onde P, Q, R e h são funções contínuas. 
 
Se 0)( xh a equação é dita homogênea. 
 
Se 0)( xh a equação é dita não homogênea. 
 
 
1.7.1 Equações Homogêneas 
 
Dois resultados básicos nos ajudam a entender melhor o processo de resolução de uma 
equação de segunda ordem homogênea. 
 
1) Se 1y e 2y são soluções particulares de 0)()(
²
)(
2
 yxR
dx
dy
xQ
dx
yd
xP , então 
2211 yCyCy  também é solução. 
 
2) Se 1y e 2y são soluções particulares de 0)()(
²
)(
2
 yxR
dx
dy
xQ
dx
yd
xP e são 
linearmente independentes, então 2211 yCyCy  é uma solução geral da 
equação homogênea. 
 
 
Por exemplo, ²1 xy  e ²52 xy  são LD pois 21 5yy  . Já 
xey 1 e 
xxey 2 são LI 
pois não são múltiplas uma da outra. 
 
Método de Resolução 
 
Seja a equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes 
constantes 
 
 0 ycybya (1) 
 
Vamos supor que mxey  é uma solução da equação (1), sendo assim esta função 
satisfaz a equação. Derivando: 
 
mx
mx
mx
emy
mey
ey
²


 
 
 20 
Substituindo na equação (1) 
 
0²
0)²(
0²
0




cbmam
cbmame
cemebema
ycybya
mx
exmxmx
 
 
A última equação é chamada de equação característica. 
 
Resolvendo a equação, obtemos duas raízes que denotaremos por 1m e 2m . Notamos 
então que as equações da forma de (1) são formadas de duas soluções particulares na 
forma mxey  , onde m é a solução da equação característica. Consideramos 3 casos: 
 
Caso 1: Se 04²  acb , então 1m e 2m são raízes reais e distintas, logo 
xm
ey 11  e 
xm
ey 22  são duas soluções particulares e LI de (1) e sua solução geral é dada por: 
 
xmxm
eCeCy 21 21  
 
 
 
Caso 2: Se 04²  acb , então 1m e 2m são raízes reais e iguais, logo 
xm
xey 11  e 
xm
xey 12  são duas soluções particulares e LI de (1) e sua solução geral é dada por: 
 
xmxm
xeCeCy 11 21  
 
Caso 3: Se 04²  acb , então 1m e 2m são raízes complexas conjugadas, ou seja, 
im  1 e im  2 , neste caso a solução geral é dada por: 
 
)( 21
)(
2
)(
1
21
21
xixix
xixi
xmxm
eCeCey
eCeCy
xeCeCy







 
 
 
Formula de Euler: 
 isenei  cos 
 
 
Utilizando a Fórmula de Euler na ultima expressão obteremos: 
 
))()cos(( xBsenxAey x    
 
 
 
 21 
Exercício 1.10: Resolva as equações abaixo: 
 
(a) 06  yyy (b) 09124  yyy 
 
(c) 0136  yyy (d) 02  yyy com 1)0( y e 3)0( y 
 
(e) 032  yyy (f) 09  yy 
 
 
1.7.2 Equações Não Homogêneas 
 
Uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e não 
homogênea tem a forma: 
 
)(xhycybya  (2) 
 
A equação homogênea correspondente é 
 
0 ycybya (3) 
 
É chamada de Homogênea Associada. 
 
Teorema 1.2: A solução geral de uma equação diferencial não homogênea (2) pode ser 
escrita como: 
 
 
Onde py é a solução particular de (2) e hy é a solução da homogênea associada (3). 
 
Método dos Coeficientes a determinar 
 
Este método se limita a equações lineares não homogêneas 
 
 Que tem coeficientes constantes, e 
 Em que )(xh é uma constante, uma função polinomial, uma função exponencial 
xe  , )( xsen  , )cos( x , ou somas e produtos destas funções. 
 
A forma de py depende diretamente da forma de )(xh . 
ph yyy 
 22 
 
1) Se )(xh é um polinômio de grau n, então py também é um polinômio de grau n. 
2) Se )(xh é do tipo kxCe então py é da forma 
kxAe 
3) Se )(xh é do tipo )( xCsen  ou )cos( xC  então )()cos( xBsenxAyp   
 
Exercício 1.11: Resolva as equações abaixo: 
 
(a) ²2 xyyy  (b) xeyy 34  
 
(c) xyyy 2cos344  (d) 623  yyy 
 
 
 
Exercício 1.12: Determine a carga e a corrente no instante t no circuito elétrico onde 
HL 1 ,  40R , FC 41016  , )10cos(100)( ttE  e a carga e a corrente inicial são 
ambos iguais a zero. 
 
 
Lista IV - Aplicações