CÁCULO II

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CÁLCULO II
AULA 1 - INTEGRAIS INDEFINIDAS: NOÇÕES BÁSICAS
	1) Calcule a integral indefinida∫3senxdx∫3senxdx
		
	
	 3 cos  x + C
	
	- 2 cos  x + C
	
	 cos  x + C
	 
	- 3 cos  x + C
	
	-  cos  x + C
	
	
	
	
	2) Integre a função: f(x) = 1/(x + 3)
		
	
	A solução será - ln | x+ 3| + c
	 
	A solução será  ln| x+ 3| + c
	
	A solução será  (1/9) ln | x+ 3| + c
	
	A solução será  - (1/9) ln | x+ 3| + c
	
	A solução será  4 ln | x+ 3| + c
	 
	3) Calcule ∫sen2(x)cos(x)dx∫sen2(x)cos(x)dx .
		
	
	cos3(x)+ccos3(x)+c
	 
	sen3(x)3+csen3(x)3+c
	
	cos2(x)+ccos2(x)+c
	
	sen3(x)sen3(x)
	
	sen3(x)2+csen3(x)2+c
	 
	4) Calcule a integral abaixo
		
	
	-2/x2 + 3x3/3 - 4x2/2 +C
	
	1/2x2 -3 x3/3 + 5x3/2 +C
	
	-3/x2 + x3/3 - 5x2/2 +C
	
	2x2 + x4/4 - 4x2/2 +C
	 
	-1/2x2 + x3/3 - 5x2/2 +C
	
	
	
	5) Calcule a integral definida ∫√x∙(x+1/x2)∫√x∙(x+1/x2)
		
	 
	x5/2−2x−1/2+Cx5⁄2−2x−1⁄2+C
	
	2/5x5/2+2x−1/2+C2/5x5⁄2+2x−1⁄2+C
	 
	2/5x5/2−2x−1/2+C2/5x5⁄2−2x−1⁄2+C
	
	2/5x5/2−2x−1/22/5x5⁄2−2x−1⁄2
	
	2/5x5/2−2x1/2+C2/5x5⁄2−2x1⁄2+C
	
	
	
	6) Calcule a ∫(2x3−4x2−5x+6)dx∫(2x3-4x2-5x+6)dx
		
	 
	x42−4x³3−5x²2+6x+Cx42-4x³3-5x²2+6x+C
	
	x33−x22+6x+Cx33-x22+6x+C
	 
	x4−4x33−5x22+6x+Cx4-4x33-5x22+6x+C
	
	x4−x33−x22+6x+Cx4-x33-x22+6x+C
	
	6x2−8x−56x2-8x-5
	
	
	7) Calcule a Integral definida ∫(3x2+5+√x)dx∫(3x2+5+√x)dx
		
	 
	x3+5x+2/3√(x3)+cx3+5x+2/3√(x3)+c
	
	x3+x+2/3√(x3)+cx3+x+2/3√(x3)+c
	
	x2−x+2/3√(x3)+cx2−x+2/3√(x3)+c
	
	x2+5x+2/3√(x3)+cx2+5x+2/3√(x3)+c
	
	x3+5x+4/3√(x3)+cx3+5x+4/3√(x3)+c
AULA 1 - INTEGRAIS INDEFINIDAS: NOÇÕES BÁSICAS
		1
        Questão
	
	
	Calcule a integral definida ∫√x∙(x+1/x2)∫√x∙(x+1/x2)
		
	
	2/5x5/2−2x−1/22/5x5⁄2−2x−1⁄2
	
	2/5x5/2−2x1/2+C2/5x5⁄2−2x1⁄2+C
	
	x5/2−2x−1/2+Cx5⁄2−2x−1⁄2+C
	 
	2/5x5/2−2x−1/2+C2/5x5⁄2−2x−1⁄2+C
	
	2/5x5/2+2x−1/2+C2/5x5⁄2+2x−1⁄2+C
	
Explicação:
Integração direta 
	
	
		2
        Questão
	
	
	Calcule a Integral definida ∫(3x2+5+√x)dx∫(3x2+5+√x)dx
		
	
	x3+x+2/3√(x3)+cx3+x+2/3√(x3)+c
	
	x3+5x+4/3√(x3)+cx3+5x+4/3√(x3)+c
	
	x2−x+2/3√(x3)+cx2−x+2/3√(x3)+c
	 
	x3+5x+2/3√(x3)+cx3+5x+2/3√(x3)+c
	
	x2+5x+2/3√(x3)+cx2+5x+2/3√(x3)+c
	
Explicação:
Aplicação direta da  integral 
	
	
		3
        Questão
	
	
	Calcule a integral indefinida∫3senxdx∫3senxdx
		
	
	 3 cos  x + C
	 
	- 3 cos  x + C
	
	-  cos  x + C
	
	 cos  x + C
	
	- 2 cos  x + C
	
Explicação:
Integral direta 
	
	
		4
        Questão
	
	
	Calcule a integral abaixo
		
	
	-3/x2 + x3/3 - 5x2/2 +C
	
	1/2x2 -3 x3/3 + 5x3/2 +C
	 
	-1/2x2 + x3/3 - 5x2/2 +C
	
	2x2 + x4/4 - 4x2/2 +C
	
	-2/x2 + 3x3/3 - 4x2/2 +C
	
	
		5
        Questão
	
	
	Integre a função: f(x) = 1/(x + 3)
		
	
	A solução será  - (1/9) ln | x+ 3| + c
	
	A solução será - ln | x+ 3| + c
	 
	A solução será  ln| x+ 3| + c
	
	A solução será  (1/9) ln | x+ 3| + c
	
	A solução será  4 ln | x+ 3| + c
	
	
		6
        Questão
	
	
	Calcule ∫sen2(x)cos(x)dx∫sen2(x)cos(x)dx .
		
	
	sen3(x)2+csen3(x)2+c
	
	cos3(x)+ccos3(x)+c
	 
	sen3(x)3+csen3(x)3+c
	
	sen3(x)sen3(x)
	
	cos2(x)+ccos2(x)+c
	
	
		7
        Questão
	
	
	Calcule a ∫(2x3−4x2−5x+6)dx∫(2x3-4x2-5x+6)dx
		
	
	6x2−8x−56x2-8x-5
	
	x4−4x33−5x22+6x+Cx4-4x33-5x22+6x+C
	
	x33−x22+6x+Cx33-x22+6x+C
	 
	x42−4x³3−5x²2+6x+Cx42-4x³3-5x²2+6x+C
	
	x4−x33−x22+6x+C
AULA 2 - INTEGRAIS DEFINIDAS
	
	1) Calcule a área sob a curva f(x) = x2 entre 0 e 1
		
	 
	1/3
	
	4/5
	
	6/7 
	
	3/4
	
	2/3
	
	
	2) Calcule a área da região compreendida sob a curva f(x) = ln(x)/x e as retas x = 1 e x = e.
		
	 
	ln 2
	
	1/8
	
	1/4
	
	2
	 
	1/2
	3) Calcule a área sob a curva f(x) = 3x2 entre x =1 e x = 3
		
	
	28 ua
	
	30 ua
	
	27 ua
	 
	26 ua
	
	29 ua
	
	
	
	4) Calculo a integral definida ∫10x2√x3dx∫01x2√x3dx
		
	 
	2/9
	
	2/7
	
	2/11
	
	2/13
	
	2/8
	5) Calcule a área entre as curvas f(x)= x2 - 2x e g(x) = 2x .
		
	 
	37/3
	
	34/3
	
	35/3
	 
	32/3
	
	36/3
	
	
	6) Calcule a área sob a curva f(x) = 5x4 +3x2  entre 0 e 2
		
	 
	40 ua
	
	46 ua
	
	42 ua
	
	44 ua
	
	48 ua 
	
	
	7) Encontre a área da região entre as funcões y = x2 e y = 2x - x2
		
	
	1
	 
	1/3
	
	10
	
	5/4
	
	3/2
	 
	8) Qual a área da região delimitada pelas funções f(x) = x2 + 1 e g(x) = 3 - x2?
		
	
	8
	 
	8/3
	
	1/3
	
	4/3
	
	10/3
AULA 2 - INTEGRAIS DEFINIDAS
		1
        Questão
	
	
	Calcule a integral definida ∫π/20sen2xcosxdx∫0π⁄2sen2xcos⁡xdx
		
	
	3/4
	
	3/5
	
	5/6
	
	2/3
	 
	1/3
	
Explicação:
Integral definida 
	
	
		2
        Questão
	
	
	Calcule a área da região compreendida sob a curva f(x) = ln(x)/x e as retas x = 1 e x = e.
		
	 
	1/2
	
	1/4
	
	2
	
	ln 2
	
	1/8
	
	
		3
        Questão
	
	
	Seja a função definida por F(x)=4−x²F(x)=4-x². Com relação a área sob o gráfico desta função é correto afirmar que:
		
	
	A área sob o gráfico de f(x)f(x) entre x=0 e  x=1x=0 e  x=1é igual a 22
	
	A área sob o gráfico de f(x)f(x) entre x=0 e  x=3x=0 e  x=3 é igual a 2
 
	 
	A área sob o gráfico de f(x)f(x) entre x=0 e  x=1x=0 e  x=1é igual a 11/3
	
	A área sob o gráfico de f(x)f(x) entre x=1 e  x=2,1x=1 e  x=2,1 é  0
	
	A área sob o gráfico de f(x)f(x) entre x=0 e  x=1x=0 e  x=1 é igual a 1
	
	
		4
        Questão
	
	
	Utilizando integração encontre a área da região limitada pelas curvas f(x)=−x²f(x)=-x² + 4x e `g(x) = x²
		
	
	A área será 15u.a
	
	A área será 5 u.a
	
	A área será 26 u.a
	 
	A área será 2,66 u.a
	
	A área será 7u.a
	
	
		5
        Questão
	
	
	A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas y = 4 e
y = x2  é
		
	
	1/3
	
	2/3
	 
	16/3
	
	8/3
	
	4/3
	
	
		6
        Questão
	
	
	Determinar a área da região limitada entre as curvas: f(x) = x + 6 e  g(x) = x2.
		
	
	120/7
	 
	125/6
	
	33/5
	
	126/4
	
	113/5
	
Explicação:
Área
	
	
		7
        Questão
	
	
	Calcule a área entre as funções f(x) = x2 -3x e g(x)= x
		
	
	29/3
	
	27/9
	
	30/11
	 
	32/3
	
	28/3
	
Explicação:
cálculo de áreas
	
	
		8
        Questão
	
	
	Qual a área da região delimitada pelas funções f(x) = x2 + 1 e g(x) = 3 - x2?
		
	
	4/3
	
	10/3
	 
	8/3
	
	1/3
	
	8
AULA 3 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
		1
        Questão
	
	
	Resolva a integral∫x2lnxdx.∫x2ln⁡xdx.
		
	 
	1/3x3(lnx−1/3)+c1/3x3(ln⁡x−1/3)+c
	
	1/3x2(lnx−1/3)+c1/3x2(ln⁡x−1/3)+c
	
	1/3x3(lnx+1/3)+c1/3x3(ln⁡x+1/3)+c
	
	x3(lnx−1/3)+cx3(ln⁡x−1/3)+c
	 
	1/2x2(lnx−1/3)+c1/2x2(ln⁡x−1/3)+c
	
Explicação:
u = ln x
du = x2dx
	
	
	 
		2
        Questão
	
	
	Resolva a integral∫te4tdt∫te4tdt fazendo uso da integração por  partes.
		
	 
	1/4e4t(t−1/4)+c1/4e4t(t−1/4)+c
	
	1/3e4t(t−1/4)+c1/3e4t(t−1/4)+c
	
	1/2e4t(t−1/4)+c1/2e4t(t−1/4)+c
	 
	e4t(t−1/4)+ce4t(t−1/4)+c
	
	−1/4e4t(t−1/4)+c−1/4e4t(t−1/4)+c
	
Explicação:
u = t
dv= e4tdt
	
	
		3
        Questão
	
	
	Qual a solução da integral ∫[xsen(x)dx]∫[xsen(x)dx] ?
		
	
	x sen(x) cos(x) + C
	
	x sen(x) + C
	 
	-x cos(x) + sen(x) + C
	
	x sen(x) + cos(x) + C
	
	-x cos(x) + C
	
	
		4
        Questão
	
	
	Calcule a integral ∫(ex)sec2(ex)dx∫(ex)sec2(ex)dx
		
	 
	tgex +ctgex +c
	
	tg2(ex) +ctg2(ex) +c
	
	secex +csecex +c
	
	sec3(ex) +csec3(ex) +c
	
	sec2(ex) +csec2(ex) +c
	
	
		5
        Questão
	
	
	Calcule a integral ∫sen3(2x)dx∫sen3(2x)dx
		
	
	(−13)cos2x+cos3(2x)+c(-13)cos2x+cos3(2x)+c
	
	(−12)cosx+(16)cos2(2x)+c(-12)cosx+(16)cos2(2x)+c
	
	cos2x+cos3(2x)+ccos2x+cos3(2x)+c
	 
	(−12)cos2x+(16)cos3(2x)+c(-12)cos2x+(16)cos3(2x)+c
	
	(12)cos2x+(−16)cos2(2x)+c(12)cos2x+(-16)cos2(2x)+c
	
	
		6
        Questão
	
	
	 Resolvendo a integral ∫xexdx∫xexdx obtemos como resposta: 
		
	
	ex(x+e)+Cex(x+e)+C
	
	ex(x−e)+Cex(x−e)+C
	
	ex(2x−1)+Cex(2x−1)+Cex(x−1)+Cex(x−1)+C
	
	ex(x+1)+Cex(x+1)+C
	
Explicação:
u = x
du = exdx
	
	
		7
        Questão
	
	
	Resolva a integral ∫lnxdx∫ln⁡xdx usando a integral por partes.
		
	
	x(ln|x|−1)x(ln⁡|x|−1)
	
	−x(ln|x|−1)+C−x(ln⁡|x|−1)+C
	 
	x(ln|x|−1)+cx(ln⁡|x|−1)+c
	
	x(ln|x|+1)+Cx(ln⁡|x|+1)+C
	
	ln|x|−1+Cln⁡|x|−1+C
	
Explicação:
u = lnx
dv= dx
	
	
		8
        Questão
	
	
	Seja f(x) = sec2 x. Usando os métodos de integração encontre o valor  da integral indefinida  ∫f(x)dx∫f(x)dx
		
	
	cos x + c
	
	cossec x +c
	 
	tg x + c
	
	cotg x + c
	
	sen x + c
AULA 3 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
		1
        Questão
	
	
	Calcule a integral ∫(ex)sec2(ex)dx∫(ex)sec2(ex)dx
		
	
	secex +csecex +c
	
	sec2(ex) +csec2(ex) +c
	
	sec3(ex) +csec3(ex) +c
	 
	tg2(ex) +ctg2(ex) +c
	 
	tgex +ctgex +c
	
	
		2
        Questão
	
	
	Seja f(x) = sec2 x. Usando os métodos de integração encontre o valor  da integral indefinida  ∫f(x)dx∫f(x)dx
		
	
	cossec x +c
	 
	tg x + c
	
	cos x + c
	
	cotg x + c
	
	sen x + c
	
	
		3
        Questão
	
	
	Resolvendo a integral ∫xcos2xdx∫xcos2⁡xdx temos como resposta o seguinte resultado:
		
	 
	1/2[xsen(2x)+1/2cos(2x)+x2]+C1/2[xsen(2x)+1/2cos⁡(2x)+x2]+C
	 
	1/4[xsen(2x)+1/2cos(2x)+x2]+C1/4[xsen(2x)+1/2cos⁡(2x)+x2]+C
	
	1/4[sen(2x)+1/2cos(2x)+x2]+C1/4[sen(2x)+1/2cos⁡(2x)+x2]+C
	
	1/4[sen(2x)+cos(2x)+x2]+C1/4[sen(2x)+cos⁡(2x)+x2]+C
	
	1/4[xsen(2x)+cos(2x)+x2]+C1/4[xsen(2x)+cos⁡(2x)+x2]+C
	
Explicação:
u = x
du = cos2xdx
	
	
		4
        Questão
	
	
	Calcule a integral sen2(4x)cos4xdxsen2(4x)cos4xdx
		
	
	(13)sen2(4x)+c(13)sen2(4x)+c
	
	(112)cos3(4x)+c(112)cos3(4x)+c
	 
	(112)cos2(4x)+c(112)cos2(4x)+c
	
	sen3(4x)+csen3(4x)+c
	 
	(112)sen3(4x)+c(112)sen3(4x)+c
	
	
		5
        Questão
	
	
	Calcule a integral indefinida ∫xcosxdx∫xcos⁡xdx pelo método da integração por partes.
		
	 
	  x sen (x)+ cos (x) + C
	 
	  x sen (x) - cos (x) + C
	
	  sen (x) + cos (x) + C
	
	  -x sen (x)+ cos (x) + C
	
	  x sen (x) + cos (x) 
	
Explicação:
 u = x 
dv= cosx dx
	
	
		6
        Questão
	
	
	Calcule a integral ∫sec3xtg3xdx∫sec3xtg3xdx
		
	 
	(13)sec3x+c(13)sec3x+c
	
	sec3x+csec3x+c
	 
	(12)sec3x+c(12)sec3x+c
	
	tg3x+ctg3x+c
	
	(13)tg3x+c(13)tg3x+c
	
	
		7
        Questão
	
	
	Calcule a integral ∫sen3(2x)dx∫sen3(2x)dx
		
	 
	(−13)cos2x+cos3(2x)+c(-13)cos2x+cos3(2x)+c
	 
	(−12)cos2x+(16)cos3(2x)+c(-12)cos2x+(16)cos3(2x)+c
	
	(12)cos2x+(−16)cos2(2x)+c(12)cos2x+(-16)cos2(2x)+c
	
	cos2x+cos3(2x)+ccos2x+cos3(2x)+c
	
	(−12)cosx+(16)cos2(2x)+c(-12)cosx+(16)cos2(2x)+c
	
	
		8
        Questão
	
	
	Qual a solução da integral ∫[xsen(x)dx]∫[xsen(x)dx] ?
		
	
	x sen(x) cos(x) + C
	
	x sen(x) + cos(x) + C
	 
	-x cos(x) + sen(x) + C
	 
	-x cos(x) + C
	
	x sen(x) + C
AULA 4 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
		1
        Questão
	
	
	Usando substituição trigonometria encontre a solução da integral ∫dx/(x2√16−x2)∫dx/(x216−x2)
		
	
	  (√7+x2/(x))+c(7+x2/(x))+c
	
	(√16+x/(x))+c)(16+x/(x))+c)
	
	(√x2+1/(x))+c(x2+1/(x))+c
	 
	(√16−x2/(16x))+c(16−x2/(16x))+c
	
	(√16+x/(x))+c(16+x/(x))+c
	
Explicação:
Integral por substituição trigonometrica onde a2 = 16 portanto a = 4.
x = 4 sen θθ entao sen θθ = x/4 portanto  θθ = arc sen (x/4).
x2 = 16 sen2 θθ
x = 4 sen  θθ entao dx = 4 cos θθ dθθ
√16−x2=4cosθ16−x2=4cosθ
substituindo na integral  ∫(4cosθdθ)/(16sen2θ4cosθ)∫(4cosθdθ)/(16sen2θ4cosθ)
simplificando teremso (1/16)∫(1/sen2θ)dθ=(1/16)∫cossec2θdθ(1/16)∫(1/sen2θ)dθ=(1/16)∫cossec2θdθ
−(1/16)ctgθ+c−(1/16)ctgθ+c
Sabemos que ctgθ=cosθ/senθ=(√16−x2/4)/x/4=√16−x2/xctgθ=cosθ/senθ=(16−x2/4)/x/4=16−x2/x
Portanto −(1/16)ctgθ+c=−(√16−x2/(16x))+c−(1/16)ctgθ+c=−(16−x2/(16x))+c
	
	
		2
        Questão
	
	
	Calcule a intgral ∫√(x2+5)dx∫√(x2+5)dx
		
	
	1/6x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C1/6x√(x2+5)+5/2ln⁡(√(x2+5)+x)+C
	 
	1/2x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C1/2x√(x2+5)+5/2ln⁡(√(x2+5)+x)+C
	
	x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+Cx√(x2+5)+5/2ln⁡(√(x2+5)+x)+C
	
	1/4x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C1/4x√(x2+5)+5/2ln⁡(√(x2+5)+x)+C
	
	1/3x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C1/3x√(x2+5)+5/2ln⁡(√(x2+5)+x)+C
	
Explicação:
Integral por substituição trigonométrica 
	
	
		3
        Questão
	
	
	Calcular a Integral ∫sen3xdx∫sen3xdx
		
	
	cosx+(cos3x)/3+Ccos⁡x+(cos3x)/3+C
	 
	−cosx+(cos3x)/3+C−cos⁡x+(cos3x)/3+C
	
	−cosx+(cos3x)/2+C−cos⁡x+(cos3x)/2+C
	 
	−senx+(cos3x)/3+C−sen⁡x+(cos3x)/3+C
	
	−cosx+(cos2x)/3+C−cos⁡x+(cos2x)/3+C
	
Explicação:
Usar transformação trigonométrica 
	
	
		4
        Questão
	
	
	Calcule a integral ∫3x2senx3dx∫3x2senx3dx
		
	
	−cosx2+c-cosx2+c
	
	tgx3+ctgx3+c
	 
	−cosx3+c-cosx3+c
	
	−senx3+c-senx3+c
	 
	cosx3+ccosx3+c
	
	
		5
        Questão
	
	
	 Calcular a integral∫sen4xcos2xdx∫sen⁡4xcos⁡2xdx.
		
	
	1/4cos2x−1/12cos6x+c1/4cos2x−1/12cos6x+c
	 
	−cos2x−cos6x+c−cos2x−cos6x+c
	 
	−1/4cos2x−1/12cos6x+c−1/4cos2x−1/12cos6x+c
	
	−1/4cos2x−cos6x+c−1/4cos2x−cos6x+c
	
	−cos2x−1/12cos6x+c−cos2x−1/12cos6x+c
	
Explicação:
Usar as transformações trigonométricas
	
		6
        Questão
	
	
	Calcule a integral definida∫sen3xcosxdx∫sen⁡3xcos⁡xdx
		
	
	−1/8cos4x+1/4cos2x+C−1/8cos⁡4x+1/4cos⁡2x+C
	
	1/8cos4x−1/4cos2x+C1/8cos⁡4x−1/4cos⁡2x+C
	 
	−1/8cos4x−1/4cos2x+C−1/8cos⁡4x−1/4cos⁡2x+C
	
	1/8cos4x+1/4cos2x+C1/8cos⁡4x+1/4cos⁡2x+C
	
	−1/4cos4x−1/4cos2x+C−1/4cos⁡4x−1/4cos⁡2x+C
	
Explicação:
Integral Trigonométrica 
	
	
		7
        Questão
	
	
	O aluno João resolveu a integral abaixo através da substituição trigonométrica, mas o resultado encontrado ainda não está correto. De acordo com o seu conhecimento de cálculo II, dê a solução correta da integral.
∫x2dx√4−x2∫x2dx4-x2 = 2θ−2senθcosθ+C2θ-2senθcosθ+C
Considere :
x=2senθx=2senθ
√4−x2=2cosθ4-x2=2cosθ
		
	
	arcsen(2)−(x2).√4−x2 +Carcsen(2)-(x2).4-x2 +C
	 
	2arcsen(x4)−√4−x2 +C2arcsen(x4)-4-x2 +C
	 
	2arcsen(x2)−(x2).√4−x2 +C2arcsen(x2)-(x2).4-x2 +C
	
	2arcsen(x2)−(x2)+C2arcsen(x2)-(x2)+C
	
	2sen(x2)−√4−x2 +C2sen(x2)-4-x2 +C
	
	
		8
        Questão
	
	
	Calcular a integral ∫sen4xcos4xdx∫sen4xcos4xdx
		
	
	x/3−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+cx/3−sen⁡4x/128+x/128+sen⁡8x/1024+c
	 
	x/64−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+cx/64−sen⁡4x/128+x/128+sen⁡8x/1024+c
	
	x/12−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+cx/12−sen⁡4x/128+x/128+sen⁡8x/1024+c
	 
	x/32−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+cx/32−sen⁡4x/128+x/128+sen⁡8x/1024+c
	
	x−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+cx−sen⁡4x/128+x/128+sen⁡8x/1024+c
	
Explicação:
Integral trigonométrica 
AULA 5 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
		1
        Questão
	
	
	Qual é o resultado da integral ∫(2x−3)(x−1)(x−7)dx∫(2x−3)(x−1)(x−7)dx?
		
	
	ln|x−1|+13/6ln|x−7|+Cln⁡|x−1|+13/6ln⁡|x−7|+C
	 
	1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/6ln⁡|x−1|+11/6ln⁡|x−7|+C
	 
	1/6ln|x−1|−11/6ln|x−7|+C1/6ln⁡|x−1|−11/6ln⁡|x−7|+C
	
	ln|x−1|+11/6ln|x−7|+Cln⁡|x−1|+11/6ln⁡|x−7|+C
	
	1/6ln|x−1|+ln|x−7|+C1/6ln⁡|x−1|+ln⁡|x−7|+C
	
Explicação:
Integral  por frações parciais
	
	
		2
        Questão
	
	
	Calcule a única resposta correta para a integral I=∫sen3+lnxxdxI=∫sen3+lnxxdx
		
	
	I= cos(3+lnx)+CI= cos(3+lnx)+C
	
	I=−cos(3x−lnx)+CI=-cos(3x-lnx)+C
	
	I=−cos(3−lnx)+CI=-cos(3-lnx)+C
	
	I=−cos(x+ln3)+CI=-cos(x+ln3)+C
	 
	I=−cos(3+lnx)+CI=-cos(3+lnx)+C
	
Explicação:
Trata-se de uma substituição simples, na qual usa-se para a função u=3+lnxu=3+lnx e du=dxxdu=dxx.
	
	
		3
        Questão
	
	
	Resolvendo a integral ∫(x−9)(x+5)(x−2)dx∫(x−9)(x+5)(x−2)dx temos como resposta:
		
	 
	2ln|x+5|−ln|x−2|+C2ln⁡|x+5|−ln⁡|x−2|+C
	
	3ln|x+5|−ln|x−2|+C3ln⁡|x+5|−ln⁡|x−2|+C
	 
	ln|x−5|−ln|x−2|+Cln⁡|x−5|−ln⁡|x−2|+C
	
	ln|x+5|−ln|x−2|+Cln⁡|x+5|−ln⁡|x−2|+C
	
	ln|x−5|+ln|x−2|+Cln⁡|x−5|+ln⁡|x−2|+C
	
Explicação:
Integração por frações parciais 
	
	
		4
        Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica a solução da integral abaixo através das frações parciais.
∫x+7x2−x−6dx∫x+7x2−x−6dx
		
	
	ln(x-3)+ 2ln(x+2) + c
	
	  3ln(x+2) + c
	 
	2ln(x-3) + c
	
	ln(x-3) - ln(x+2) 
	 
	2ln(x-3) - ln(x+2) + c
	
Explicação:
Essa integral é resolvida através da técnica das frações parciais. Nesse caso, devemos fatorar a equação do segundo grau e aplicar a técnica.
	
	
		5
        Questão
	
	
	Resolvendo a integral ∫dx/(x2−5x+6)∫dx/(x2−5x+6) temos:
		
	
	ln|(x+3)/(x−2)|+Cln⁡|(x+3)/(x−2)|+C
	
	ln|(x−3)/(x+2)|+Cln⁡|(x−3)/(x+2)|+C
	
	−ln|(x−3)/(x−2)|+C−ln⁡|(x−3)/(x−2)|+C
	 
	2ln|(x−3)/(x−2)|+C2ln⁡|(x−3)/(x−2)|+C
	 
	ln|(x−3)/(x−2)|+Cln⁡|(x−3)/(x−2)|+C
	
Explicação:
Integral por Frações Parciais
	
	
		6
        Questão
	
	
	Resolvendo a integral ∫dx/(x2+3x)∫dx/(x2+3x) temos como resposta :
		
	 
	ln|x/(x+3)|+Cln⁡|x/(x+3)|+C
	
	1/2ln|x/(x+3)|+C1/2ln⁡|x/(x+3)|+C
	 
	1/3ln|x/(x+3)|+C1/3ln⁡|x/(x+3)|+C
	
	1/6ln|x/(x+3)|+C1/6ln⁡|x/(x+3)|+C
	
	1/3ln|x/(x−3)|+C1/3ln⁡|x/(x−3)|+C
	
Explicação:
Integral por Frações Parciais
	
	
		7
        Questão
	
	
	Resolvendo a integral ∫(2x−3)/((x−1)(x−7))dx∫(2x−3)/((x−1)(x−7))dx temos como resposta:
		
	 
	1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/6ln⁡|x−1|+11/6ln⁡|x−7|+C 
	 
	−1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C−1/6ln⁡|x−1|+11/6ln⁡|x−7|+C
	
	1/5ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/5ln⁡|x−1|+11/6ln⁡|x−7|+C
	
	1/3ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/3ln⁡|x−1|+11/6ln⁡|x−7|+C
	
	ln|x−1|+11/6ln|x−7|+Cln⁡|x−1|+11/6ln⁡|x−7|+C
	
Explicação:
Integral por Frações Parciais
	
	
		8
        Questão
	
	
	Calcule a integral  ∫x2−1x4−x2dx∫x2-1x4-x2dx, usando o método das Frações Parciais.
		
	
	lnx−1x+Clnx-1x+C
	 
	−1x+C-1x+C
	 
	lnx+2x+Clnx+2x+C
	
	−2x+C-2x+C
	
	−x+C-x+C
AULA 5 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
		1
        Questão
	
	
	Resolvendo a integral ∫dx/(x2−1)∫dx/(x2−1)
		
	
	−1/2ln|(x−1)/(x+1)|+C−1/2ln⁡|(x−1)/(x+1)|+C
	 
	3/2ln|(x−1)/(x+1)|+C3/2ln⁡|(x−1)/(x+1)|+C
	 
	1/2ln|(x−1)/(x+1)|+C1/2ln⁡|(x−1)/(x+1)|+C
	
	ln|(x−1)/(x+1)|+Cln⁡|(x−1)/(x+1)|+C
	
	1/3ln|(x−1)/(x+1)|+C1/3ln⁡|(x−1)/(x+1)|+C
	
Explicação:
Integral por Frações Parciais
	
	
		2
        Questão
	
	
	Resolvendo a integral∫(x2+x+2)(x2−1)dx∫(x2+x+2)(x2−1)dx
		
	
	2ln|x+1|+ln|x+1|+C2ln⁡|x+1|+ln⁡|x+1|+C
	 
	x+2ln|x−1|−ln|x+1|+Cx+2ln⁡|x−1|−ln⁡|x+1|+C
	 
	x+ln|x−1|−ln|x+1|+Cx+ln⁡|x−1|−ln⁡|x+1|+C
	
	2ln|x−1|−ln|x+1|+C2ln⁡|x−1|−ln⁡|x+1|+C
	
	2x+2ln|x−1|−ln|x+1|+C2x+2ln⁡|x−1|−ln⁡|x+1|+C
	
Explicação:
Integral por Frações Parciais
	
	
		3
        Questão
	
	
	Determine a solução da integral: ∫2x+21x2−7xdx∫2x+21x2-7xdx
		
	 
	-3 ln|x|  +  5 ln|x-7|  +  C
	 
	-5 ln|x|  +  3 ln|x-7|  +  C
	
	3 ln|x|  -  5 ln|x-7|  +  C
	
	5 ln|x|  -  3 ln|x-7|  +  C
	
	3 ln|x|  +  5 ln|x-7|  +  C
	
	
		4
        Questão
	
	
	O valor da integral de cos x para x = pi/2 é:
		
	 
	0
	
	não existe em R
	
	-1
	 
	1
	
	0,5
	
	
		5
        Questão
	
	
	Resolvendo a integral ∫(x−9)(x+5)(x−2)dx∫(x−9)(x+5)(x−2)dx temos como resposta:
		
	 
	2ln|x+5|−ln|x−2|+C2ln⁡|x+5|−ln⁡|x−2|+C
	
	ln|x−5|+ln|x−2|+Cln⁡|x−5|+ln⁡|x−2|+C
	
	ln|x+5|−ln|x−2|+Cln⁡|x+5|−ln⁡|x−2|+C
	 
	ln|x−5|−ln|x−2|+Cln⁡|x−5|−ln⁡|x−2|+C
	
	3ln|x+5|−ln|x−2|+C3ln⁡|x+5|−ln⁡|x−2|+C
	
Explicação:
Integração por frações parciais 
	
	
		6
        Questão
	
	
	Calcule a única resposta correta para a integral I=∫sen3+lnxxdxI=∫sen3+lnxxdx
		
	
	I=−cos(3x−lnx)+CI=-cos(3x-lnx)+C
	 
	I= cos(3+lnx)+CI= cos(3+lnx)+C
	 
	I=−cos(3+lnx)+CI=-cos(3+lnx)+C
	
	I=−cos(x+ln3)+CI=-cos(x+ln3)+C
	
	I=−cos(3−lnx)+CI=-cos(3-lnx)+C
	
Explicação:
Trata-se de uma substituição simples, na qual usa-se para a função u=3+lnxu=3+lnx e du=dxxdu=dxx.
	
	
		7
        Questão
	
	
	Calcule a integral  ∫x2−1x4−x2dx∫x2-1x4-x2dx, usando o método das Frações Parciais.
		
	 
	−1x+C-1x+C
	
	lnx+2x+Clnx+2x+C
	
	−x+C-x+C
	 
	−2x+C-2x+C
	
	lnx−1x+Clnx-1x+C
	
	
		8
        Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica a solução da integral abaixo através das frações parciais.
∫x+7x2−x−6dx∫x+7x2−x−6dx
		
	 
	2ln(x-3) + c
	
	ln(x-3) - ln(x+2) 
	
	  3ln(x+2) + c
	
	ln(x-3) + 2ln(x+2) + c
	 
	2ln(x-3) - ln(x+2) + c
	
Explicação:
Essa integral é resolvida através da técnica das frações parciais. Nesse caso, devemos fatorar a equação do segundo grau e aplicar a técnica.
	
	
AULA 6 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
		1
        Questão
	
	
	A área limitada pelas funções f(X) = X² - 6X + 5 e g(X) = 6X - 5 - X² é
		
	
	24,00 u.a.
	
	24,66 u.a.
	
	24,99 u.a.
	 
	21,33 u.a.
	
	20,00 u.a.
	
Explicação: A integral finita de 1 a 5 da g(X) resulta 32/3 e de f(X) resulta - 32/3. A área limitada por f(X) e g(X) = 64/3 =21,33
	
	
		2
        Questão
	
	
	Usando as técnicas de integração resolva a integral da função racional f(x)=8x−9(x−3)(x+2)f(x)=8x-9(x-3)(x+2)
		
	
	A integral terá como solução 2 ln |x-3| + 5 ln | x+2 | + c
	 
	A integral terá como solução 3 ln |x-3| + 5 ln | x+2 | + c
	
	A integral terá como solução 5 ln |x-3| - 3 ln | x+2 | + c
	
	A integral terá como solução 3 ln |x-3| + 2 ln | x+2 | + c
	
	A integral terá como solução 3 ln |x-3| + ln | x+2 | + c
	
	
		3
        Questão
	
	
	O resultado da integral abaixo é:
		
	
	ex - e2x +C
	 
	e2x - xe3x +C
	
	xe2x - e2x +C
	 
	xe2x/2 - e2x/4 +C
	
	e2x/4 - e2x/2 +C
	
	
		4
        Questão
	
	
	Calculando a integral ∫dx/√(x2−25)∫dx/√(x2−25) temos como resultado:
		
	
	ln|x+√(x2+35)|+Cln⁡|x+√(x2+35)|+C
	 
	ln|x−√(x2+25)|+Cln⁡|x−√(x2+25)|+C
	
	−ln|x+√(x2+25)|+C−ln⁡|x+√(x2+25)|+C
	
	ln|x+√(x2+25)|+Cln⁡|x+√(x2+25)|+C
	 
	ln|x+√(x2−25)|+Cln⁡|x+√(x2−25)|+C
	
Explicação:
Redolução por substituição trigonométrica 
	
	
		5
        Questão
	
	
	Qual a solução da integral: ∫2x+21x2−7xdx∫2x+21x2-7xdx ?
		
	
	5 ln|x|  -  3 ln|x-7|  +  C
	
	3 ln|x|  +  5 ln|x-7|  +  C
	
	3 ln|x|  -  5 ln|x-7|  +  C
	 
	-5 ln|x|  +  3 ln|x-7|  +  C
	 
	-3 ln|x|  +  5 ln|x-7|  +  C
	
	
		6
        Questão
	
	
	Calcule a integral ∫2x+1x2−7x+12dx∫2x+1x2-7x+12dx
		
	
	ln∣∣∣x−9x−3∣∣∣+Cln|x-9x-3|+C
	
	ln∣∣
∣∣x−9(x−3)7∣∣
∣∣+Cln|x-9(x-3)7|+C
	 
	ln∣∣
∣∣(x−9)9(x−3)7∣∣
∣∣+Cln|(x-9)9(x-3)7|+C
	 
	ln∣∣∣(x−9)9x−3∣∣∣+Cln|(x-9)9x-3|+C
	
	ln∣∣∣(x−9)2(x−3)3∣∣∣+Cln|(x-9)2(x-3)3|+C
	
	
		7
        Questão
	
	
	Calcule a integral ∫sen5xsen2xdx∫sen⁡5xsen⁡2xdx
		
	
	1/2sen3x−1/12sen7x+C1/2sen3x−1/12sen7x+C
	 
	1/4sen3x−1/14sen7x+C1/4sen3x−1/14sen7x+C
	 
	1/6sen3x−1/14sen7x+C1/6sen3x−1/14sen7x+C
	
	1/6sen3x−sen7x+C1/6sen3x−sen7x+C
	
	1/6sen3x−1/12sen7x+C1/6sen3x−1/12sen7x+C
	
Explicação:
Usar substituição trigonométrica
	
	
		8
        Questão
	
	
	Utilizando tecnicas de integracao encontre a solucao da integral 1/ (1+ √xx): ∫11+√xdx∫11+xdx
		
	
	2√x−2sen(1+√x)+C2x​​​−2sen(1+x​​​)+C
	 
	√x−ln(1+√x3)+Cx​​​−ln(1+x3​​​)+C
	
	ln(1+√x)+senxCln(1+x​​​)+senxC
	 
	2√x−2ln(1+√x)+C2x​​​−2ln(1+x​​​)+C
	
	√x+secxx​​​+secx
	
Explicação:
Tome u=√​x​​​,
x=u2
dx=2u
substituindo na integral
∫(1/1+u )2u du
2∫u/(1+u) du
faça a mudança de variável
w=1+u
dw=du
entao podemo dizer que u du= w−1dw
∫(w−1) (1/w)dw
∫1 dw−∫​​​1/w ​​dw = w− ln w = 1+u−ln(1+u)
= 2(1+u−ln(1+u)) =  
u=√​x​​​
2√​x​​​−2ln(1+√​x​​​)+C
AULA 7 - APLICAÇÕES DE INTEGRAL
		1
        Questão
	
	
	 Resolva a integral abaixo
 
                                                                              ∫ ( ex )/(3 + 4ex ) dx
		
	
	 ln ( 3 + 4ex ) + c
	
	1/4 ln ( 4 + 4ex ) + c
	
	3/4 ln ( 3 + 4ex ) + c
	 
	1/4 ln ( 3 + 4ex ) + c
	
	4 ln ( 3 + 4ex ) + c
	
	
		2
        Questão
	
	
	Uma curva é definida pela funçao f(x). A integral da funçao f(x) = e-x com limite de integraçao superior sendo mais infinito e o limite inferior sendo menos infinito é uma integral imprópria. Encontre o resultado de tal integral.
		
	 
	A integral será uma integral imprópria com resultado 1. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menosinfinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero.
	 
	A integral será uma integral imprópria com resultado mais infinito. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero.
	
	A integral será uma integral imprópria com resultado menos infinito. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero.
	
	A integral será uma integral imprópria com resultado -1. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero.
	
	A integral será uma integral imprópria com resultado zero. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero.
.
	
Explicação:
A integral será uma integral imprópria com resultado mais infinito. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero.
	
	
		3
        Questão
	
	
	Calcular o comprimento do arco da curva dada por y = x^(3/2) - 4, de A = (1, -3) até B = (4, 4).
		
	
	5,63
	 
	4,63
	 
	7,63
	
	6,63
	
	3,63
	
	
		4
        Questão
	
	
	As bordas de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm e as bordas laterais medem 4 cm. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm², encontre as dimensões do pôster com a menor área
		
	
	25 cm x 35 cm
	
	20 cm x 40 cm
	
	nenhuma das alternativas
	 
	22 cm x 36 cm
	
	21 cm x 37 cm
	
	
		5
        Questão
	
	
	Encontre a solução para a integral ∫dxx∫dxx
		
	 
	x+cx+c
	
	|x|+c|x|+c
	
	ln|2x|+cln|2x|+c
	 
	ln|x|+cln|x|+c
	
	x−1+cx-1+c
	
	
		6
        Questão
	
	
	Utilizando o método de integraçao de funçoes racionais por fraçoes parciais determine o valor da integral da funçao 1/(x2 - 4).
		
	 
	O valor da integral será (1/4) ln [(x-2)/(x+2)] + c
	
	O valor da integral será (1/4) ln [x+2] + c
	
	O valor da integral será   [(x-2)/(x+2)] + c
	
	O valor da integral será (1/4) ln [x-2] + c
	
	O valor da integral será ln [(x-2)/(x+2)] + c
AULA 8 - APLICAÇÕES DE INTEGRAL
		1
        Questão
	
	
	Determine a área limitado pela curva 5x - x2
		
	 
	125/6 u.a
	
	250/3 u.a
	
	125/3 u.a
	 
	9/2 u.a
	
	125/3
	
	
		2
        Questão
	
	
	Calcular  o comprimento do arco  dado por x=y3/3+1/4yx=y3/3+1/4y sendo seus limites de integração  assim representados 1< y< 3
		
	 
	27/5
	 
	53/653/6
	
	22/5
	
	46/6
	
	50/4
	
Explicação:
Comprimento de um arco
	
	
		3
        Questão
	
	
	Determine o comprimento de um arco da curva dada na forma paramétrica  x = - cos t e y =  sen t  limitado por [0, pi]
		
	 
	pi
	
	4 pi 
	
	3 pi
	
	5 pi 
	
	2 pi
	
Explicação:
comprimento de um arco 
	
	
		4
        Questão
	
	
	Determine o comprimento de um arco da curva dada na forma paramétrica x = 3t + 2 e y = t -1 limitado por [ 0,2]
		
	
	6√106√10
	 
	3√103√10
	 
	2√102√10
	
	5√105√10
	
	4√104√10
	
Explicação:
Comprimento de um arco 
	
	
		5
        Questão
	
	
	Calcule a integral abaixo e marque a única alternativa correta
 
                                                           
		
	
	 
	 
	 
	
	
	 
	 
	
	
	
	
		6
        Questão
	
	
	Calcule o comprimento da espiral r = et , onde t representa o teta, para teta pertencente ao intervalo [0,2π][0,2π].
		
	
	(√2)(e2π)(2)(e2π) u.c
	
	(e2π−1)(e2π-1) u.c
	 
	√2(e2pi−1)2(e2pi−1) u.c
 
	
	(eπ−1)(eπ-1) u.c
	
	(√5)(eπ)(5)(eπ) u.c
	
Explicação:
∫√f′(x)2+f(x)2dx∫f′(x)2+f(x)2dx
∫√(et)2+(et)2dx=∫√2(et)2dx=∫√2et=√2et∫(et)2+(et)2dx=∫2(et)2dx=∫2et=2et
Aplicando os limites de integracao temos de 0 a 2pi
​√2(e2pi−1)2(e2pi−1)​ u.c
	
	
		7
        Questão
	
	
	Ao resolvermos a integral trigonométrica ∫senx/(cos)^2 x) dx utilizamos o método da substituição de variáveis, obtendo como resposta correta:
		
	
	ln|cos x|+ c
	 
	sec x + c
	
	ln|sen x|+ c
	 
	tg x + c
	
	cossec x + c
	
	
		8
        Questão
	
	
	Determine o comprimento do arco da curvay=x2/3y=x2/3  do ponto (0,1) a (8,4).
		
	
	2/57(403/2−133/2)2/57(403/2−133/2)
	
	2/37(403/2−133/2)2/37(403/2−133/2)
	 
	2/27(403/2−133/2)2/27(403/2−133/2)
	
	5/27(403/2−133/2)5/27(403/2−133/2)
	
	1/27(403/2−133/2)1/27(403/2−133/2)
	
Explicação:
Comprimento de um arco 
	
	
AULA 9 - APLICAÇÕES DE INTEGRAL
AULA 9 - APLICAÇÕES DE INTEGRAL