materia matematica

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Se Deus encheu tua vida de obstáculos, é porque ele acredita na tua capacidade de passar por cada 
um! 
RC MARKETING E PROPAGANDA LTDA. CNPJ 22.172636/0001-53 
Avenida Goiás Nº 200 Centro 
CEP Nº 7401010 Goiânia - GO 
Telefone: (62)3212-0946 / 84110645 
Email: procapcursos@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
INSTITUTO VISÃO 
 
 
 
APOSTILA 
DE 
MATEMÁTICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 1 - RAZÃO E PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS SIMPLES E 
COMPOSTA. 
 
 
Razão 
 
“A palavra razão vem do latim ratio, que quer dizer divisão. Vários conceitos de 
razão foram sendo apresentados por matemáticos gregos. Euclides (325 a.C. – 265 
a.C.) que viveu em Alexandria na primeira metade do século III a.C., defendia a ideia 
de que “razão” era a relação de tamanho entre grandezas de mesma espécie. No 
entanto, esse ponto de vista está atrelado apenas a aspectos teóricos do conceito de 
número, sendo utilizado apenas como instrumento de cálculo. Foi somente no século 
XV que matemáticos italianos, como Luca Pacioli (1445 – 1514), conseguiram atribuir 
às “razões” outras aplicações práticas. 
Conceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao 
quociente de a por b que podemos representar das seguintes formas: 
 ou 
As razões acima podem ser lidas como: 
 razão de a para b 
 a está para b 
 a para b 
Em qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de 
consequente. 
Proporção 
 
A igualdade entre razões denomina-se proporção. 
Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção 
se, e somente se, a razão a : b for igual à razão c : d. 
Indicamos esta proporção por: 
 
Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios. 
 
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Regra de Três 
 
A resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais pode ser realizada 
através de uma regra prática denominada "regra de três". 
 
Regra de Três Simples Direta 
 
Se tivermos duas grandezas diretamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três 
simples direta" e caso elas sejam inversamente proporcionais, utilizaremos a "regra de 
três simples inversa". 
 
Regra de Três Composta 
 
Nos problemas onde temos três ou mais grandezas, utilizamos a "regra de três 
composta". Observe que neste caso, um mesmo problema pode envolver tanto 
grandezas diretamente proporcionais, quanto grandezas inversamente proporcionais. 
 
Exercícios 
1. Numa turma de 40 meninas e 10 meninos, qual é a razão entre o número de 
meninas e o total da turma? 
2. Determine o valor de x na proporção 
3 .Se 12 e 9 são diretamente proporcionais a x e 54, determine o valor de x. 
4. Verifique se as igualdades são verdadeiras: 
a) b) c) 
 
5. Determine o valor de x e y em cada item: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua 
soma é 35 anos. 
7. A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar essas áreas sabendo que a soma é 
66 cm². 
 
8. A diferença dos volumes de dois sólidos é 9 cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os 
volumes. 
9. Para fazer um determinado serviço, 15 homens gastam 40 dias; para fazer o mesmo 
serviço em 30 dias quantos novos operários têm de ser contratados 
10. Numa viagem de automóvel, uma pessoa gastou 9 horas andando à 
velocidade de 80km/h. Na volta, quanto tempo irá gastar, se andar com velocidade de 
100km/h? 
11. As dimensões de um tanque retangular são 1,5m, 2,0m e 3,0m. Com uma 
torneira de vazão 10litros por minuto, qual o menor tempo gasto para enchê-lo? 
12. Para escrever um texto, usando 54 letras por linha, foram necessárias 15 
linhas. Quantas linhas serão necessárias para 30 letras em cada linha? 
13. Para fazer uma cerca, são necessários 80 postes distantes entre si de 2,5m. 
Quantos postes serão necessários, se a distância entre eles for de 2m? 
14. Uma vara de 5 m, colocada em posição vertical, projeta no chão uma sombra 
de 3,5m. Calcule a altura de um prédio que, na mesma hora e o mesmo local, projeta 
uma sombra de 12,6m. 
15. Com 72kg de lã, faz-se uma peça de fazenda de 63m de comprimento. 
Quantos kg de lã seriam necessários para fazer 84m da mesma fazenda? 
16. Numa cidade, há 22410 estrangeiros. A razão entre o número de habitantes 
é de 18 para 100. Quantos habitantes há na cidade? 
17. Um construtor utilizando 16 operários trabalhando 6 horas por dia constrói 
uma determinada obra em 180 dias. Quantos operários podem executar a mesma obra 
trabalhando 8 horas por dia no prazo de 120 dias? 
a) 23 b) 25 c) 28 d) 18 
e) 20 
18. Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um 
muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro 
em 30 dias? 
a) 25 b) 27 c) 24 d) 22 
e) 20 
19. Se 10 carros consomem em 6 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, 
quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 
2 dias? 
a) 15 b) 17 c) 18 d) 20 
e) 16 
 
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20. Um bloco de mármore de 3m de comprimento, 1,50m de largura e 0,60m de 
altura pesa 4350kg. Calcule quanto pesará um bloco do mesmo mármore cujas 
dimensões são: Comprimento: 2,20; Largura: 0,75m; Altura: 1,20m 
a) 2190kg b) 2300kg c) 3190kg d) 3400kg e) 
3200 kg 
21. Uma turma de 20 operários começa uma obra a 1º de março para terminá-la 
a 4 de abril (35dias), trabalhando 6 horas diárias. Ao término do dia 14, o proprietário 
lhes diz que precisa da obra terminada no dia 24 de março. Então, a partir do dia 15, 
coloca mais 8 operários e aumenta as horas diárias de trabalho, de modo que vê 
satisfeito seu desejo. Quantas horas diárias trabalharam os operários na segunda 
fase? 
a) 9h b) 7h c) 6h d) 5h 
e) 3h 
22. Um supermercado dispõe de 20 atendentes que trabalham 8 horas por dia e 
custam R$2800,00 por mês. Quanto o supermercado gastará por mês, em reais, se 
passar a ter 30 atendentes trabalhando 5 horas por dia? 
a) 2.500 b) 3.200 c) 2.450d) 2 625 
e) 2.800 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 2 - PORCENTAGEM, JUROS SIMPLES E SISTEMAS DE 
MEDIDAS... 
 
PORCENTAGEM 
 
As frações (ou razões) que possuem denominadores (o número de baixo da fração) 
iguais a 100, são conhecidas por razões centesimais e podem ser representadas pelo 
símbolo "%". 
O símbolo "%" é lido como "por cento". "5%" lê-se "5 por cento". "25%" lê-se "25 por 
cento". 
O símbolo "%" significa centésimos, assim "5%" é outra forma de se escrever 0,05, 
 ou por exemplo. 
Veja as seguintes razões: 
 
Podemos representá-las na sua forma decimal por: 
 
E também na sua forma de porcentagens por: 
 
 
Exercícios de Porcentagem 
1) Quanto é 15% de 80? 
2) Quanto é 70% de 30? 
3) Quanto é 150% de 45? 
4) Quanto é 100% de 40? 
5) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem. 
6) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 
337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha? 
7) Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número? 
8) Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto 
equivale a quantos por cento do meu salário? 
9) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da 
minha? 
10) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai 
atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da 
velocidade máxima do meu carro? 
11) Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu 
bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia? 
12) Dei ao meu irmão 25 das 40 bolinhas de gude que eu possuía. Quantos por cento 
das minhas bolinhas de gude eu dei a ele? Com quantos por cento eu fiquei? 
 
 
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JUROS SIMPLES 
 
Ao solicitar um empréstimo em uma financeira, você estará obrigado a pagar um 
valor maior que o valor que você recebeu emprestado. 
Este valor pago a mais se chama juro. 
O juro é uma forma de produção de renda, através de um certo capital, sem a 
intervenção de trabalho. 
Pode-se dizer também, que juro é o preço do risco que o credor corre na operação. 
Normalmente quanto maior o risco de inadimplência, maior será a taxa de juros 
cobrada. 
Obviamente, para uma determinada taxa de juros, quanto maior o tempo de 
empréstimo, maior será o juro cobrado. 
Ao trabalhamos com juros, consideramos as seguintes variáveis: 
C: Capital ou principal, é quantia aplicada ou tomada emprestada. 
n: É o período de tempo em que o capital será aplicado. 
j: É o juro resultante da operação. 
i: É a taxa percentual aplicada ao capital para a apuração do juro. 
M: O montante é a soma do capital com o juro produzido em todo o período. 
Na modalidade de juros simples o cálculo do juro de cada período é sempre calculado 
com base no capital inicial. 
 
Quando tivermos o valor do capital, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para 
a obtenção do juro iremos utilizar a fórmula: 
 
 
Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula: 
 
 
Exercícios de Juros Simples 
1) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um 
empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros 
pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo 
empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros? 
 2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de 
R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. 
Por quantos anos eu pagarei por este material? 
 3) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 
3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.? 
4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total de 
R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.? 
 5) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista 
custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de juros simples de 
1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor dos juros? 
 
 
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6) Um investidor aplicou R$ 700.000,00 por 24 meses, à taxa de juros simples de 
49,44% a.a. Em quanto o capital foi aumentado por este investimento? 
 7) Minha aplicação rendeu de juros R$ 21,60. O dinheiro ficou aplicado por 20 dias. 
Eu havia aplicado R$ 1.800,00. Qual foi a taxa de juros a.b. da aplicação? 
 8) Anita realizou uma aplicação por um período de 1 semestre. Em tal período o 
capital de R$ 8.000,00 rendeu a ela R$ 880,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.t. 
utilizada? 
 9) O Sr. Gouveia recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo de 10 dias. A 
taxa de juros aplicada foi de 7,5% a.m. Quanto o Sr. Gouveia havia emprestado? 
 10) Fulano recebeu R$ 6.300,00 de juros ao aplicar R$ 70.000,00 à taxa de 36% a.a. 
Qual foi o prazo da aplicação em meses? 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
 O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o 
mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são 
incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos 
de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. 
Após três meses de capitalização, temos: 
 1º mês: M =P.(1 + i) 
 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 
+ i) 
 Simplificando, obtemos a fórmula: 
 
 
 
 
 
 Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, 
taxa de juros ao mês para n meses. 
 Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do 
período: 
 
 
 
1. Uma poupança especial rende 1% ao mês, em regime de juros compostos. Décio 
aplicou R$480,00 nessa poupança e retirou a quantia um ano depois. 
a) Que valor Décio retirou? b) Que valor Décio teria retirado, se a taxa de 
juros fosse de 2% a.m.? 
 
 
 
 
M = P . (1 + i)n 
J = M - P 
 
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2. Ana emprestou x reais de uma amiga, prometendo devolver a quantia emprestada, 
acrescida de juros, após oito meses. O regime combinado foi de juros compostos, e a 
taxa, de 2,5% a.m. Se após o prazo combinado Ana quitou a dívida com R$500,00, 
determine: 
a) O número inteiromais próximo de x; b) O valor que Ana deveria devolver á amiga, 
caso tivesse estabelecido regime de juros simples. 
3. Um capital de R$200,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 5% a.m., gerando 
um montante de R$268,00. (Use log1,34 = 0,13; log1,05 = 0,02 e log2,25 = 0,35). 
a) Qual é o tempo em que esse capital ficou aplicado? 
b) Qual o nº mínimo de meses necessário para que o montante fosse de R$450,00?