Apostila_-_Matematica_Aplicada_a_Informtica_-_2020_Parte_6_-_Transformaes_Li

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INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE – IFC – CAMPUS ARAQUARI 
BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÕES - MATEMÁTICA APLICADA A SISTEMAS DE INFORMAÇÃO 
PROF. DR. CLODOALDO JOSÉ FIGUEREDO 
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UNIDADE 6 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
 
6.1) DEFINIÇÃO (de Função): Uma relação R  (A X B) é dita “aplicação, função ou transformação”, se: 
 
I) D(R) = A, ou seja, todos os elementos de A participam da relação. 
 
II) Para cada elemento de A, existe um único elemento b de B, (b  B), que lhe corresponde, ou simbolicamente: 
(a,b1)  R e (a,b2)  R  b1 = b2, ou b1 = R(a) e b2 = R(a)  b1 = b2 
 
 As aplicações, funções ou transformações são normalmente representadas por f, g , h , t , s, no lugar de R, 
conforme o contexto. 
 
 Usamos f(x), g(x), h(x) normalmente quando os conjuntos A e B são numéricos, em especial quando 
trabalhamos com conjuntos dos números reais ou complexos. A notação T(x) = y é mais utilizada na Álgebra 
Linear quando x e y são vetores e trabalhamos com espaços vetoriais, como , por exemplo: 
 
T((1 , 2)) = (2.1 + 1.2 , 31 + 22) 
 
 
6.2) DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM (de uma Função): 
 
6.2.1) Domínio: Se f é uma função de A em B então o conjunto A é chamado domínio de f e é representado por 
D(f). Assim : D(f) = A. 
 
6.2.2) Contradomínio: Se f é uma função de A em B então o conjunto B é chamado contradomínio de f e é 
representado por CD(f). Assim: CD(f) = B. 
 
6.2.3) Conjunto imagem da função: O conjunto de todos os elementos y de B para os quais existe, pelo 
menos, um elemento x de A, tal que f(x) = y é chamado conjunto imagem ou simplesmente Imagem de f e é 
indicado por Im(f). 
 
 
6.3) CLASSIFICAÇÃO (das Funções): Uma função pode se classificar em: 
 
6.3.1) Sobrejetora: Uma função f  A X B é chamada sobrejetora, se Im (f) = B, ou seja, dizemos que uma função 
f de A em B é sobrejetora, quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio da função. 
 
6.3.2) Injetora: Uma função f  A X B é dita injetora se, e somente se, x1  x2  f(x1)  f(x2), ou seja, dizemos que 
uma função f de A em B é injetora se quaisquer dois elementos diferentes do seu domínio têm imagens diferentes. 
 
6.3.3) Bijetora: è toda função f de A em B que é simultaneamente injetora e sobrejetora. 
 
 As transformações são um tipo especial de função (ou aplicação), onde o domínio e o contradomínio são 
espaços vetoriais reais. Assim, tanto a variável independente como a variável dependente são vetores, razão pela 
qual essas funções são chamadas vetoriais. Nesse capítulo será estudado um tipo especial de função vetorial, as 
chamadas funções vetoriais lineares, ou também chamadas transformações lineares. 
 
 
6.4) DEFINIÇÃO (de Transformação Linear): Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V ⟶ W é 
chamada transformação linear de V em W se,  u e v ∊ V e α ∊  temos que: 
 
I) T(u + v) = T(u) + T(v) 
 
II) T(α . u) = α . T(u) 
 
 
 
 
 
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Obs.: I) Uma transformação linear de V em V (no mesmo espaço vetorial) é chamada de um operador linear em V. 
 II) Uma transformação linear T : V ⟶ W fica caracterizada completamente pela condição 
 
T(α . u + β . v) = α . T(u) + β . T(v) 
 
portanto, essa condição é, muitas vezes, utilizada como definição de transformação linear. 
 
Exemplos: 1) Verifique se a transformação T : 2 ⟶ 2 definida por T(x , y) = (3x – 2y , x – y) é linear. 
 
 Devemos verificar as duas condições acima para que uma transformação seja linear. Assim temos que: 
 
 Sejam u = (x1 , y1) e v = (x2 , y2) vetores de 2 e α ∊  , então 
 
I) T(u + v) = T((x1 , y1) + (x2 , y2)) = T(x1 + x2 , y1 + y2) = (3.(x1 + x2) – 2.(y1 + y2) , (x1 + x2) – (y1 + y2)) 
 = (3.x1 + 3.x2 – 2.y1 – 2.y2 , x1 + x2 – y1 – y2) 
 = (3.x1 – 2.y1 + 3.x2 – 2.y2 , x1 – y1 + x2 – y2) 
 = (3.x1 – 2.y1 , x1 – y1) + (3.x2 – 2.y2 , x2 – y2) 
 = T(x1 , y1) + T(x2 , y2) = T(u) + T(v) 
 
II) T(α . u) = T(α . (x1 , y1)) = T(α . x1 , α . y1) = (3 . α . x1 – 2 . α . y1 , α . x1 – α . y1) 
 = ( α . (3x – 2y) , α . (x – y)) 
 = α . T(u) 
 
 Logo, T : 2 ⟶ 2 definida por T(x , y) = (3x – 2y , x – y) é uma transformação linear. 
 
 2) Verifique se a transformação T : 3 ⟶ 2 definida por T(x , y , z) = (x + 1 , y + z) é linear. 
 
 Sejam u = (x1 , y1 , z1) e v = (x2 , y2 , z2) vetores de 3 e α ∊  , então 
 
I) T(u + v) = T((x1 , y1 , z1) + (x2 , y2 , z2)) = T(x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2) 
 = (x1 + x2 + 1 , y1 + y2 + z1 + z2) 
 
 T(u) + T(v) = (x1 + 1 , y1 + z1) + (x2 + 1 , y2 + z2) = (x1 + x2 + 2 , y1 + y2 + z1 + z2) 
 
 Logo T(u + v) ≠ T(u) + T(v) é a transformação não é linear. 
 
 
 Uma propriedade importante das transformações lineares é a de que, em toda transformação linear T : V ⟶ W, 
a imagem do vetor 0 ∊ V é o vetor 0 ∊ W, isto é, T(0) = 0. 
 Se T : V ⟶ W é linear, T(0) = 0. No entanto, a recíproca dessa propriedade não é verdadeira, pois existe 
transformação com T(0) = 0 não é linear, como o exemplo abaixo 
 
Exemplo: T : 2 ⟶ 2 definida por T(x , y) = (x2 , 3y) 
 
 Sejam u = (x1 , y1) e v = (x2 , y2) vetores de 2 , então 
 
I) T(u + v) = T((x1 , y1) + (x2 , y2)) = T(x1 + x2 , y1 + y2) = ((x1 + x2)2 , 3 . (y1 + y2)) 
 
 T(u) + T(v) = T(x1 , y1) + T(x2 , y2) = (x12 , 3 . y1) + (x22 , 3 . y2) = (x12 + x22 , 3 . (y1 + y2)) 
 
 Como (x1 + x2)2 ≠ x12 + x22 temos que a transformação não é linear, mesmo que T(0) = 0. 
 
 
 Dados v1 , v2 , ..... , vn ∊ V e α1 , α2 , ..... , αn ∊  , se T : V ⟶ W é uma transformação linear, então 
 
T(α1 . v1 + α2 . v2 + ..... + αn . vn) = T(α1 . v1) + T(α2 . v2) + ..... + T(αn . vn) = α1 . T(v1) + α2 . T(v2) + ..... + αn . T(vn) 
 
 
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 Dizemos então que T preserva combinações lineares. Um fato importantes sobre as aplicações lineares é que 
elas são perfeitamente determinadas conhecendo-se apenas seu valor nos elementos de uma base, ou seja, uma 
transformação linear é determinada pelas imagens dos vetores de uma base qualquer do domínio. 
 
 
6.5) TEOREMA 1: Dados dois espaços vetoriais reais V e W e uma base de V, {v1 , v2 , ..... , vn}, sejam 
w1 , w2 , ..... , wn elementos arbitrários de W. Então, existe uma única aplicação linear T : V ⟶ W tal que 
T(v1) = w1 , T(v2) = w2 , ..... , T(vn) = wn. Se v = α1 . v1 + α2 . v2 + ..... + αn . vn , então 
 
T(v) = α1 . T(v1) + α2 . T(v2) + ..... + αn . T(vn) = α1 . w1 + α2 . w2 + ..... + αn . wn 
 
Exemplos: 1) Encontre a transformação linear T : 2 ⟶ 3 tal que T(1 , 1) = (3 , 2, 1) e T(0 , – 2) = (0 , 1 , 0). 
 
 Devemos escrever um vetor do 2 como combinação linear dos vetores dados. Assim 
 
(x , y) = α1 . (1 , 1) + α2 . (0 , – 2) ⇒ (x , y) = (α1 , α1 – 2 . α2) ⇒ 1
1 2
x
2. y
 
   
 
 
 Resolvendo o sistema obtemos α1 = x e α2 = 
x y
2

. Reescrevendo a expressão acima temos 
 
(x , y) = α1 . (1 , 1) + α2 . (0 , – 2) ⇒ (x , y) = x . (1 , 1) + 
x y
2

 . (0 , – 2) 
 
 Aplicando a transformação linear em ambos os lados da igualdade temos 
 
T(x , y) = 
x y x y x y 5x y
T x.(1, 1) .(0, 2) x.T(1, 1) .T(0 , 2) x.(3 , 2 , 1) .(0 ,1, 0) 3x, ,x
2 2 2 2
                
   
 
 
 Pode-se verificar que T(1 , 1) =
5.1 1
3.1, , 1
2
 
 
 
 = (3 , 2, 1) e T(0 , – 2) = 
5.0( 2)
3.0 , , 0
2
  
 
 
 = (0 , 1 , 0) 
 
 2) Seja T : 3 ⟶ 2 uma transformação linear e B = {v1 , v2 , v3} uma base de 3 , sendo 
v1 = (0 , 1 , 0) , v2 = (1 , 0 , 1) e v3 = (1 , 1 , 0). Determinar T(5 , 3 , – 2) sabendo que T(v1) = (1 , – 2) , T(v2) = (3 , 1) 
e T(v3) = (0 , 2). 
 
 Devemos expressar o vetor (5 , 3 , – 2) como combinação linear dos vetores da base de 3 . Assim temos que: 
 
(5 , 3 , – 2) = α1 . (0 , 1 , 0) + α2 . (1 , 0 , 1) + α3 . (1 , 1 , 0) 
(5 , 3 , – 2) = (α2 + α3 , α1 + α3 , α2) 
 
 Comparando ambos os lados da igualdade, temos o sistema 
2 3
1 3
2
5
3
2
   
   
   
 ⇒ α1 = – 4 , α2 = – 2 e α3 = 7 
 
 Segue que (5 , 3 , – 2) = α1 . (0 , 1 , 0) + α2 . (1 , 0 , 1) + α3 . (1 , 1 , 0) 
(5 , 3 , – 2) = (– 4) . (0 , 1 , 0) + (– 2) . (1 , 0 , 1) + 7 . (1 , 1 , 0) 
 
 Aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade obtemos 
 
T(5 , 3 , – 2) = T((– 4) . (0 , 1 , 0) + (– 2) . (1 , 0 , 1) + 7 . (1 , 1 , 0)) 
T(5 , 3 , – 2) = (– 4) . T(0 , 1 , 0) + (– 2) . T(1 , 0 , 1) + 7 . T(1 , 1 , 0)) 
T(5 , 3 , – 2) = (– 4) . (1 , – 2) + (– 2) . (3 , 1) + 7 . (0 , 2) 
T(5 , 3 , – 2) = (– 10 , 20) 
 
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6.6) NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR: Chama-se núcleo de uma transformação linear T : V ⟶ W 
ao conjunto de todos os vetores v ∊ V que são transformados em 0 ∊ W, ou seja T(v) = 0. Indica-se por N (T) ou 
ker (T). Assim 
 
N (T) = { v ∊ V | T(v) = 0 } 
 
 
 Observa-se que N(T) ⊂ V e N(T) ≠  , pois 0 ∊ N (T), tendo em vista que T(0) = 0. 
 
Exemplos: 1) Determinar o núcleo da transformação linear T : 2 ⟶ 2 , T(x , y) = (x + y , 2x – y) 
 
 O núcleo da transformação linear é formado por vetores v ∊ 2 tal que T(v) = 0. Assim temos que: 
 
T(v) = 0 ⇒ (x + y , 2x – y) = 0 ⇒ 
x y 0
2x y 0
 

 
. Resolvendo o sistema obtemos como solução x = 0 e y = 0. 
 Logo N (T) = { (0 , 0) } 
 
 2) Seja T : 3 ⟶ 2 , a transformação linear dada por T(x , y , z) = (x – y + 4z , 3x + y + 8z). 
 Determine o núcleo da transformação linear. 
 
 O núcleo da transformação linear é dado por (x – y + 4z , 3x + y + 8z) = (0 , 0) 
 
 Comparando ambos os lados da igualdade temos o sistema 
x y 4z 0
3x y 8z 0
  

  
 cuja solução é indeterminada 
(com 1 grau de liberdade), sendo x = – 3z e y = z. Logo 
 N (T) = { (– 3z , z , z), z ∊  } ou N (T) = [(– 3 , 1 , 1)] 
 
6.6.1) Propriedades do núcleo: O núcleo de uma transformação linear possui as seguintes características: 
 
I) O núcleo de uma transformação linear T : V ⟶ W é um subespaço vetorial de V. 
 
II) Uma transformação linear T : V ⟶ W é injetora se, e somente se, N (T) = { 0 }. 
 
As demonstrações dessas propriedades ficam sujeitas a curiosidade do aluno. 
 
 
6.7) IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR: Chama-se Imagem de uma transformação linear 
T : V ⟶ W ao conjunto dos vetores w ∊ W que são imagens de pelo menos um vetor v ∊ V. 
 Indica-se esse conjunto por Im (T) ou T(V). Assim 
 
 Im (T) = { w ∊ W | T(v) = w para algum v ∊ V } 
 
 
 Observa-se que Im (T) ⊂ W e Im (T) ≠  , pois T(0) = 0 ∊ Im (T). 
 Se Im (T) = W, T diz-se sobrejetora, isto é, para todo w ∊ W existe pelo menos um v ∊ V tal que T(v) = w. 
 
6.7.1) Propriedade da Imagem: A imagem de uma transformação linear T : V ⟶ W é um subespaço de W. 
 
6.7.2) Teorema 2: Se v1 , v2 , ..... , vn geram um espaço vetorial V e T : V ⟶ W é uma transformação linear, então 
T(v1) , T(v2) , ..... , T(vn) geram Im (T). 
 
 
6.8) POSTO E NULIDADE DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR: Seja T : V ⟶ W uma transformação linear. 
 O posto (ou rank) de T é definido como a dimensão da imagem de T e a nulidade de T é definida como a 
dimensão do núcleo de T, ou seja 
 
posto (T) = dim (Im (T)) e null(T) = dim(N (T)) 
 
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Exemplo: Determinar o núcleo e a imagem do operador linear 
 T : 3 ⟶ 3 , T(x , y , z) = (x + 2y – z , y + 2z , x + 3y + z) 
 
 Primeiro vamos determinar o núcleo de T, N(T). Assim segue que: 
 
(x + 2y – z , y + 2z , x + 3y + z) = (0, 0 , 0) 
 
 Montando o sistema 
x 2y z 0
y 2z 0
x 3y z 0
  
  
   
 e resolvendo temos como solução geral (5z , – 2z , z) com z ∊  . 
 
 Assim segue que N (T) = { (5z , – 2z , z) | z ∊  } ou N (T) = [ 5 , – 2 , 1 ] , com nulidade null(T) = 1 
 
 Na sequência determinação a imagem da transformação linear. 
 Devemos determinar de que forma são os vetores que são “respostas” da transformação linear, ou seja, 
 
Im(T) = {(a , b , c) ∊ 3 | T(x , y , z) = (a , b , c)} ⇒ (x + 2y – z , y + 2z , x + 3y + z) = (a , b , c) 
 
 Montamos o sistema 
x 2y z a
y 2z b
x 3y z c
  
  
   
 e resolvemos, usando escalonamento, como se descreve abaixo 
 
1 3 3 2 3 3
x 2y z a 1 2 1 a 1 2 1 a 1 2 1 a
y 2z b 0 1 2 b 0 1 2 b 0 1 2 b
x 3y z c 1 3 1 c 0 1 2 a c 0 0 0 a b c
( 1).L L L ( 1).L L L
           
                
                   
     
 
 
 Logo, o sistema só terá solução se a + b – c = 0, e assim Im (T) = { (a , b , c) ∊ 3 | a + b – c = 0 } ou 
Im (T) = { (a , b , a + b), com a e b ∊  }, cujo posto da transformação é posto (T) = 2. 
 
 
6.9) NÚCLEO E IMAGEM DE TRNAFORMAÇÕES (Na forma matricial): Seja A = 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
a a a a
b b b b
c c c c
 
 
 
  
 uma matriz 
3 X 4 e {e1 , e2 , e3 , e4} a base canônica de 4 (escrita como colunas), como segue 1
1
0
e
0
0
 
 
 
 
 
 
 , 1
0
1
e
0
0
 
 
 
 
 
 
 , 1
0
0
e
1
0
 
 
 
 
 
 
 
, 1
0
0
e
0
1
 
 
 
 
 
 
. A matriz A pode ser interpretada como uma transformação linear T : 4 ⟶ 3 , em que os vetores de 
4 e 3 são considerados vetores colunas. Como a base canônica gera 4 , as imagens A . e1 , A . e2 , A . e3 e 
A . e4 geram a imagem de A. Mas os vetores A . e1 , A . e2 , A . e3 e A . e4 são exatamente as colunas de A, assim 
segue que A . e1 = 
t
1 1 1a b c   , A . e2 = 
t
2 2 2a b c   , A . e3 = 
t
3 3 3a b c   e A . e4 = 
t
4 4 4a b c   . 
 Assim, a imagem de A é exatamente o espaço coluna de A. Por outro lado, o núcleo de A consiste em todos os 
vetores v ∊ 4 para os quais A . v =0. Isso significa que o núcleo de A é o espaço solução do sistema homogêneo 
A . X = 0, denominado espaço nulo de A. 
 
 
 
 
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6.9.1) Teorema 3: Seja A uma matriz m x n sobre o corpo K interpretada como uma transformação linear 
T : Kn ⟶ Km. Então temos que 
 N (T) = nul (T) e Im (T) = col (T) 
 
onde, col (T) denota o espaço coluna de A e nul (T) o espaço nulo de A. 
 
Exemplo: Seja T : 4 ⟶ 3 a transformação linear definida por 
 
T : (x , y , z , t) = (x – y + z + t , 2x – 2y + 3z + 4t , 3x – 3y + 4z + 5t) 
 
 Encontre uma base e a dimensão da imagem e do núcleo de T. 
 
 Primeiramente calculamos a imagem dos vetores da base canônica de 4 . Assim temos que: 
 
 T(1 , 0 , 0 , 0) = (1 , 2 , 3) , T(0 , 1 , 0 , 0) = (–1 , –2 , –3) , T(0 , 0 , 1 , 0) = (1 , 3 , 4) , T(0 , 0 ,0 , 1) = (1 , 4 , 5) 
 
 Pelo teorema 2 (seção 6.7.2), os vetores imagem geram Im (T). Portanto, formamos a matriz 
M = 
1 2 3
1 2 3
1 3 4
1 4 5
 
    
 
 
 
 cujas linhas são esses vetores imagem, e reduzimos M a forma escalonada, como segue 
M = 
1 2 2 3 4 4 2 4
1 3 3
1 4 4
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 3 4 0 1 1 0 1 1 0 0 0
1 4 5 0 2 2 0 0 0 0 0 0
L L L ( 2).L L L L L
( 1).L L L
( 1).L L L
       
                  
       
       
       
     
  
  
 
 
 Assim, uma base para a imagem de T é [(1 , 2 , 3) , (0 , 1 , 1)], com dim (Im (T)) = 2. 
 
 Na sequência, buscamos uma base para o núcleo de T. Tomamos T(v) = 0, com v = (x , y , z , t) e obtemos 
 
(x – y + z + t , 2x – 2y + 3z + 4t , 3x – 3y + 4z + 5t) = (0 , 0 , 0) 
 
 Montamos o sistema linear 
x y z t 0
2x 2y 3z 4t 0
3x 3y 4z 5t 0
   
    
    
 que resulta na matriz N = 
1 1 1 1 0
2 2 3 4 0
3 3 4 5 0
 
  
  
. O espaço 
solução do sistema homogêneo é o núcleo de T. Escalonando a matriz temos: 
 
1 2 2 2 3 3
1 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 4 0 0 1 2 0 0 1 2
3 3 4 5 0 0 1 2 0 0 0 0
( 2).L L L ( 1).L L L
( 3).L L L
       
            
          
     
  
 que resulta no sistema 
x y z t 0
z 2t 0
   

 
. As variáveis livres 
 
são y e t. Portanto dim (N(T)) = 2. Para determinar uma base de N(T), admitimos valores para y e t. 
 Assim, para y = 1 e t = 0 temos (–1 , 1 , 0 , 0) e para y = 0 e t = 1 temos (1 , 0 , –2 , 1). 
 Logo [((–1 , 1 , 0 , 0) , (1 , 0 , –2 , 1)] forma uma base de N(T). 
 
Obs.: A matriz N é obtida diretamente da lei de formação de T e a matriz M é a transposta de N. Escalonando N 
obtemos uma base para o núcleo e escalonando M obtemos uma base para a imagem 
 
 
 
 
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6.10) TEOREMA 4 (do Núcleo e da Imagem): Seja T : V ⟶ W uma transformação linear, então 
 
dim (N (T)) + dim (Im (T)) = dim (V) 
 
 No exemplo acima temos que dim (N (T)) = 1, dim (Im (T)) = 2 e dim (V) = 3, como mostra a relação acima. 
 
6.10.1) Consequências do Teorema (Corolário): Seja T : V ⟶ W uma transformação linear, então: 
 
I) Se dim V = dim W, então T é injetora se, e somente se, é sobrejetora 
 
Assim, numa transformação linear na qual dim V = dim W, 
se T é injetora (ou sobrejetora), então T é também bijetora. 
 
II) Se dim V = dim W e T é injetora, então T transforma base em base, isto é, se B = { v1 , v2 , ..... , vn } é base de V, 
então T(B) = { T(v1) , T(v2) , ..... , T(vn) } é base de W. 
 
 
6.11) ISOMORFISMO: Chama-se isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W a uma transformação 
linear T : V ⟶ W que é bijetora. Nesse caso, o espaços vetoriais V e W são ditos isomorfos. Dois espaços 
vetoriais de dimensão finita são isomorfos se tiverem a mesma dimensão. Mais adiante veremos que, todo 
isomorfismo T : V ⟶ W corresponde um isomorfismo inverso T-1 : W ⟶ V que também é linear. 
 
Exemplos: 1) O operador linear T : 2 ⟶ 2 , T(x , y) = (2x + y , 3x + 2y) é um isomorfismo no 2 . Como 
dim V = dim W = 2, basta mostrar que T é injetora. De fato temos que N (T) = { (0 , 0) } o que implica T ser injetora. 
 
 2) Seja T : 3 ⟶ 3 , T(x , y , z) = (x – 2y , z , x + y). Mostre que T é um isomorfismo. 
 
 De maneira análoga ao exemplo anterior, como dim (V) = dim (W) = 3, basta mostrar que T é injetora. Assim 
segue que devemos mostrar que N (T) = { (0 , 0 , 0) }. Então temos que: 
 
(x – 2y , z , x + y) = ( 0 , 0 , 0) ⇒ 
x 2y 0
z 0
x y 0
 
 
  
 Resolvendo o sistema obtemos x = 0 , y = 0 e z = 0. 
 
 Logo temos que N (T) = { (0 , 0 , 0) } e assim T é injetora e, portanto, T é um isomorfismo. 
 
 
6.12) MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR: Seja T : V → W uma transformação linear, em que 
dim V = n e dim W= m. Sejam α = {v1 , v2 , ..... , vn } e β = {w1 , w2 , ..... , wn } bases de V e W, respectivamente. 
 Como β é uma base de W, podemos determinar de modo único números reais aij , com 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, tais 
que 
 T(vi) = a1i w1 + ..... + aji wj + ..... + ami wm 
 
 Tomemos agora v em V . Temos que v = k1 v1 + k2 v2 + ..... + kn vn , em que ki ∈ R para 1 ≤ i ≤ n. 
 Pela linearidade de T e usando a expressão acima, segue que 
 
T(v) = k1 T(v1) + k2 T(v2) + ..... + kn T(vn) = 
 = k1 (a11 w1 + ..... + am1 wm) + k2 (a12 w1 + .....+ am2 wm ) + ..... + kn (a1n w1 + ..... + amn wm) = 
 = (a11 k1 + a12 k2 + ... + a1n kn ) w1 + ... + (a21 k1 + a22 k2 + ... + a2n kn ) w2 + ... + (am1 k1 + am2 k2 + ... + amn kn ) wn 
 
 Logo 
11 1 12 2 1n n 11 12 1n 1
21 1 22 2 2n n 21 22 2n 2
m1 1 m2 2 mn n m1 m2 mn n
a k a k ... a k a a ... a k
a k a k ... a k a a ... a k
T(v) . T . v
a k a k ... a k a a ... a k

  
     
     
                      
     
     
        
 
 
 
 
 
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onde definimos a matriz 
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a ... a
a a ... a
T
a a ... a


 
 
     
 
 
   
que representa T em relação às bases α e β e que é 
chamada matriz de T nas bases α e β. 
 Temos então a expressão 
 T(v) T . v

  
           , para todo v ∊ V 
 
 Observemos que T


   é uma matriz de ordem m x n tal que, para cada 1 ≤ i ≤ n, a i-ésima coluna de T


   é 
dada pelas coordenadas de T(vi) na base β. 
 
Exemplos: 1) Sejam α = {(1 , 1) , (0 , 2)} e β = {(1 , 0 , 1) , (0 , 1 , 0) , (1 , 2 , 0)} bases de 2 e 3 
respectivamente. Calcule T


   , onde T : 2 ⟶ 3 é dada por T(x , y) = (2x , x – y , 2y) 
 Como T é uma transformação linear de 2 em 3 , T


   é uma matriz 3 x 2 da forma 
11 12
21 22
31 32
a a
T a a
a a


 
     
  
. 
 Os elementos a11 , a21 e a31 são as coordenadas de T(1 , 1) na base β e os elementos a12 , a22 e a32 são as 
coordenadas de T(0 , 2) na base β. Ou seja, 
 
T(1 , 1) = (2 , 0 , 2) = a11 . (1 , 0 , 1) + a21 . (0 , 1 , 0) + a31 . (1 , 2 , 0) (I) 
T(0 , 2) = (0 , – 2 , 4) = a12 . (1 , 0 ,1) + a22 . (0 , 1 , 0) + a32 . (1 , 2 , 0) (II) 
 
que equivale aos sistemas lineares 
 
(I) 
11 31
21 31
11
a a 2
a 2a 0
a 2
 
  
 
 e (II) 
12 32
22 32
12
a a 0
a 2a 2
a 4
 
   
 
 
 
 Resolvendo os sistemas obtemos as seguintes soluções a11 = 2 , a21 = 0 , a31 = 0 , a12 = 4 , a22 = 6 e a32 = – 4 . 
 Com isso temos que a matriz T


   é igual a 
2 4
T 0 6
0 4


 
     
  
 
 
 No exemplo anterior (1), determinamos T


   a partir da transformação linear T. No próximo exemplo (2), 
vamos considerar o problema inverso, ou seja, dada a matriz T


   determinar T a partir desta matriz. 
 
 2) Sejam α e β as bases dadas no exemplo 1, Determine a transformação linear T : 2 ⟶ 3 tal que 
1 0
T 1 2
0 1


 
     
  
. 
 
 Considerando a expressão T(v) T . v

  
           devemos obter primeiramente a matriz v    . Assim segue 
que: 
(x , y) = a . (1 , 1) + b . (0 , 2) ⇒ (x , y) = (a , a + 2b) ⇒ 
x a
y a 2b

  
 
 
 Resolvendo o sistema obtemos a = x e b = 
y x
2

. 
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 Assim (x , y) = x . (1 , 1) + 
y x
2

. (0 , 2) o que resulta na matriz 
x
(x , y) y x
2

 
      
  
 
 Portanto 
1 0 xx
T(v) T . v T(x,y) 1 2 . T(x,y) yy x
0 1 y x2
2

    
 
                                              
 
 
e, consequentemente, T(x , y) = x . (1 , 0 , 1) + y . (0 , 1 , 0) + 
y x
2

. (1 , 2 , 0) 
 T(x , y) = 
y x
, 2y x , x
2
  
 
 
 
 O mesmo exemplo pode ser resolvido por outro método. Sabemos que, na base β, a primeira coluna de T


   
nos dá as coordenadas de T(1 , 1) e a segunda coluna nos dá as coordenadas de T(0 , 2). Assim tem-se 
 
T(1 ,1) = 1 . (1 , 0 , 1) + 1 . (0 , 1 , 0) + 0. (1 , 2 , 0) = (1 , 1 , 1) 
T(0 , 2) = 0 . (1 , 0 ,1) + 2 . (0 , 1 , 0) + 1 . (1 , 2 , 0) = (1 , 4 , 0) 
 
 Para (x , y) ∊ 2 arbitrário, temos que: (x , y) = x . (1 , 1) + 
y x
2

. (0 , 2) 
 Aplicando a transformação linear na igualdade temos 
 
T(x , y) = x . T(1 , 1) + 
y x
2

. T(0 , 2) 
T(x , y) = x . (1 , 1 , 1) + 
y x
2

. (1 , 4 , 0) 
T(x , y) = T(x , y) = 
y x
, 2y x , x
2
  
 
 
como encontrado anteriormente 
 
 
6.13) OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES 
 
6.13.1) Adição: Sejam T1 : V ⟶ W e T2 : V ⟶ W transformações lineares. Chama-se soma das transformações 
lineares T1 e T2 a transformação linear 
 
T1 + T2 : V ⟶ W tal que (T1 + T2)(v) = T1(v) + T2(v) = T1(v) + T2(v) ,  v ∊ V 
 
 Se α e β são bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que 1 2 1 2T T T T
  
  
             
 
6.13.2) Multiplicação por Escalar: Sejam T: V ⟶ W uma transformação linear e k um escalar tal que k ∊  . 
 Chama-se produto de T pelo escalar k a transformação linear 
 
k . T : V ⟶ W tal que (k.T)(v) = k . T(v) ,  v ∊ V 
 
 Se α e β são bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que k.T k. T
 
 
       
 
Obs.: Decorre das duas operações acima que 1 2 1 2T k.T T k. T
  
  
             
 
 
 
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6.13.3) Composição de Transformações Lineares: Sejam T1 : V ⟶ W e T2 : W ⟶ U transformações lineares. 
 Chama-se aplicação composta de T1 com T2, e se representa por T2 o T1, a transformação linear 
 
(T2 o T1) : V ⟶ U tal que (T2 o T1)(v) = T2(T1(v)) ,  v ∊ V 
 
 Se α , β e γ são bases de V , W e U, respectivamente, então S o T S . T
  
  
           
 
Exemplos: 1) Sejam T1 : 2 ⟶ 3 e T2 : 2 ⟶ 3 transformações lineares definidas por 
T1(x , y) = (x + 2y , 2x – y , x) e T2(x , y) = (– x , y , x + y) 
 Determinar: 
 
a) T1 + T2 
 
b) 3 . T1 – 2 . T2 
 
a) (T1 + T2)(x , y) = T1(x , y) + T2(x, y) = (x + 2y , 2x – y , x) + (– x , y , x + y) = 
 = (2y , 2x , 2x + y) 
 
b) (3 . T1 – 2 . T2)(x , y) = 3 . T1(x , y) – 2 . T2(x, y) = 3 . (x + 2y , 2x – y , x) – 2 . (– x , y , x + y) 
 = (3x + 6y , 6x – 3y , 3x ) – (– 2x , 2y , 2x + 2y) 
 = (5x + 6y , 6x – 5y , x – 2y) 
 
 2) Sejam F, G : 3 ⟶ 3 transformações lineares dadas por F(x , y , z) = (2x + y , z – y , y) e 
G(x , y , z) = (x – 2y , y + z , x + 2z), determine o núcleo, a dimensão do núcleo, a imagem e a dimensão da 
imagem da transformação G o F 
 
 Primeiramente devemos determinar a transformação G o F (x , y , z) = G(F(x , y , z)). Assim temos que: 
 
(G o F)(x , y , z) = G(F(x , y , z)) = (2x + y – 2.(z – y) , z – y + y , 2x + y + 2y) = (2x + 3y – 2z , z , 2x + 3y) 
 
 Logo (G o F)(x , y , z) = (2x + 3y – 2z , z , 2x + 3y) 
 
 Na sequência determinamos o núcleo de (G o F) da forma (2x + 3y – 2z , z , 2x + 3y) = (0 , 0 , 0) 
 
 A igualdade implica no sistema 
2x 3y 2z 0
z 0
2x 3y 0
  
 
  
. Resolvendo o sistema obtemos N(G o F) = {(x , 
2x
3

, 0)} , 
cuja dimensão é dim (N(G o F)) = 1. Observa-se que o núcleo é gerado por 
2
1, , 0
3
  
  
  
 
 
 Por fim determinamos a imagem de (G o F). 
 Tomando a transformação composta (2x + 3y – 2z , z , 2x + 3y) , pelo teorema em 6.7.2, devemos determinar o 
espaço gerado pela imagem de um conjunto de geradores de 3 . Considerando a base canônica de 3 temos: 
 
(G o F)(1 , 0 , 0) = (2 , 0 , 2) , (G o F)(0 , 1 , 0) = (3 , 0 , 3) e (G o F)(0 , 0 , 1) = (– 2 , 1 , 0) 
 
Reduzindo a matriz 
2 0 2
3 0 3
2 1 0
 
 
 
  
 a sua escalonada obteremos uma base para a imagem de (G o F), conforme o 
teorema 7 (seção 5.8.2). Assim segue que 
2 3 1 2
1 3
2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2
3 0 3 2 1 0 2 1 0 0 1 2
2 1 0 3 0 3 0 0 0 0 0 0
L L L L3
.L L
2
       
                  
              
    
 
 
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 Assim a imagem da transformação composta é dada por Im (G o F) = [(2 , 0 , 2) , (0 , 1 , 2)], com dim = 2. 
 
 Observa-se que a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem obedece o teorema 3 (seção 6.9). 
 3) Sejam T : 2 ⟶ 3 e S : 3 ⟶ 2 transformações lineares cujas matrizes são 
1 0
T 2 1
1 1


 
     
  
 e 
1 0 1
S
0 0 1


 
    
 
 sendo α = {(1 , 0) , (1 , 1)} , β = {(1 , 1 , 1) , (1 , 0 , 1) , (0 , 0, 1)} e γ = {(1 , 0) , (0 , 2)}. 
 Encontrar a transformação linear (S o T). 
 
 Para determinar a transformação (S o T) , deve-se primeiramente determinar S o T


   . Conforme 6.12.3 temos 
que 
1 0
1 0 1 0 1
S o T S . T . 2 1
0 0 1 1 1
1 1
  
  
 
                            
 
 Da expressão T(v) T . v

  
           (seção 6.11) segue que 
0 1 0 1 x y y
S o T(x,y) . (x,y) .
1 1 1 1 y 2y x 
       
                        
 
 
e, consequentemente (S o T)(x , y) = y . (1 , 0) + (2y – x) . (0 , 2) = (y , 4y – 2x). 
 
 
6.14) OPERADORES INVERTÍVEIS: Um operador T : V ⟶ V associa a cada vetor v ∊ V um vetor T(v) ∊ V. 
 Se por meio de outro operador S for possível inverter essa correspondência, de tal modo que a cada vetor 
transformado T(v) se associe o vetor de partida v, diz-se que S é o operador inverso de T, e indica-se por T-1. 
 Quando o operador linear T admite a inversa T-1, diz-se que T é inversível, invertível, regular ou não-singular. 
 
6.14.1) Propriedades dos operadores invertíveis: Seja T : V ⟶ V um operador linear 
 
I) Se T é invertível e T-1 é a sua inversa, então (T o T-1) = (T-1 o T) = I (identidade) 
 
II) T é invertível se, e somente se, N(T) = { 0 }, conforme item II da seção 6.6.1 e item I da seção 6.9.1 
 
III) Se T é invertível, T transforma base em base, isto é, se β é uma base de V, T(β) também é base de V. 
 
IV) Se T é invertível e β uma base de V, T-1 : V ⟶ V é linear e   11T (v) T(v)         com v ∊ V, isto é, a matriz do 
operador linear inverso numa certa base β é a inversa da matriz do operador T na mesma base. 
 Como consequência temos que T é inversível se, e somente se, det [ T ] ≠ 0. 
 
Exemplo: Seja o operadorlinear em 2 definido por T (x , y) = (4x – 3y , – 2x + 2y) 
 
a) Mostrar que T é inversível 
b) Encontrar uma regra para T-1 como a que define T. 
 
a) A matriz canônica de T é 
4 3
T
2 2
 
      
. O determinante da matriz [ T ] = 2, logo T é invertível. 
b) Conforme (IV) segue que   11T T        . A inversa da matriz 
4 3
T
2 2
 
      
 é a matriz 
1
3
1
T 2
1 2

 
     
  
 
 Logo, 
11
3 3
x x1 x y
T (x,y) T .2 2
y y
1 2 x 2y

                                  
, ou seja, T-1 (x , y) = 
3
x y,x 2y
2
   
 
 
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 2) Verificar se o operador linear T : 3 ⟶ 3 definido por T (1 , 1 , 1) = (1 , 0 , 0) , 
T (– 2 , 1 , 0) = (0 , – 1 , 0) e T (– 1 , –3 , –2) = (0 , 1 , –1) é invertível e, em caso afirmativo, determinar 
T-1 (x , y , z). 
 
 Se temos que T (1 , 1 , 1) = (1 , 0 , 0) , T (– 2 , 1 , 0) = (0 , – 1 , 0) e T (– 1 , –3 , –2) = (0 , 1 , –1), por definição 
de T-1, temos T-1 (1 , 0 , 0) = (1 , 1 , 1) , T-1 (0 , –1 , 0) = (–2 , 1 , 0) e T-1 (0 , 1 , –1) = (–1 , –3 , –2). 
 Observando que {(1 , 0 , 0) , (0 , –1 , 0) , (0 , 1 , –1)} é também uma base de 3 (Isso fica como exercício) e 
que as imagens desses vetores são conhecidas, o operador inverso T-1 está definido. 
 Basta determinar T-1 (x , y , z). Para isso, expressamos (x , y , z) em relação a essa base. Assim segue que 
 
(x , y , z) = a . (1 , 0 , 0) + b . (0 , –1 , 0) + c . (0 , 1 , –1) 
(x , y , z) = (a , –b + c , –c) 
 
Logo a = x , b = –y – z e c = –z e com isso temos (x , y , z) = x.(1 , 0 , 0) + (–y – z).(0 , –1 , 0) + (–z ).(0 , 1 , –1) 
 
Aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade 
 
T-1 (x , y , z) = x . T-1 (1 , 0 , 0) + (–y – z) . T-1 (0 , –1 , 0) + (–z ) . T-1 (0 , 1 , –1) 
T-1 (x , y , z) = x . (1 , 1 , 1) + (–y – z) . (–2 , 1 , 0) + (–z ) . (–1 , –3 , –2) 
T-1 (x , y , z) = (x , x , x) + (2y + 2z , –y – z , 0) + (z , 3z , 2z) 
 
T-1 (x , y , z) = (x + 2y + 3z , x – y + 2z , x + 2z) 
 
 
6.14) APLICAÇÕES DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM COMPUTAÇÃO: 
 
6.14.1) Isomorfismo Aplicado a Criptografia: Dentre as inúmeras aplicações das transformações lineares, 
podemos destacar o seu uso cotidiano no desenvolvimento de algoritmos de criptografia. A tecnologia atual não 
está imune às ameaças que a envolvem, e não conseguimos pensar em um mundo, onde não haja sistemas 
protegidos por senhas e mensagens indecifráveis para aqueles que não deveriam ter acesso a elas. Claro que 
existem diversos algoritmos criptográficos que utilizam outras áreas da matemática, como por exemplo, a teoria 
dos números e a matemática discreta. Apesar de existirem trabalhos específicos sobre criptografia, queremos 
mostrar aqui, a utilização das transformações lineares isomórficas na criptografia. Mas porque as transformações 
lineares aplicadas a criptografia têm que ser isomórficas? Porque a ideia principal da criptografia é a habilidade de 
criar uma mensagem indecifrável em uma ponta, mas que seja possível de ser decifrada na outra ponta através da 
reversão do código utilizado como chave. Para isso necessitamos que a transformação linear possua uma inversa, 
logo utilizando o Teorema da Transformação Linear Inversa que afirma que se 𝑇: 𝑉 → 𝑊 é uma Transformação 
Linear e um Isomorfismo, sua inversa 𝑇-1 :𝑊 → 𝑉, também será uma Transformação Linear e um Isomorfismo. 
 
6.14.2) Transformações Lineares e Computação Gráfica: Algumas transformações lineares podem ser 
representadas geometricamente, e algumas destas representações possuem aplicações nas mais diversas áreas 
da computação gráfica, onde encontramos a necessidade de manipular o conteúdo de uma cena. Animações, por 
exemplo, são efeitos criados pelo movimento da câmera ou dos objetos presentes na cena. Mudanças no formato, 
tamanho e orientação estão ligadas às transformações geométricas. Estas aplicações são aplicadas à cena para 
alterar a geometria dos objetos que compõem a cena sem fazer alterações topológicas. Todas as transformações 
geométricas podem ser representadas na forma de equações. O problema é que manipulações de objetos 
gráficos normalmente envolvem muitas operações de aritmética simples. As matrizes são muito usadas nessas 
manipulações porque são mais fáceis de usar e entender do que as equações algébricas, o que explica por que 
programadores e engenheiros as usam extensivamente. 
 Uma transformação geométrica é uma função cujo domínio e imagem são formados por um conjunto de 
pontos. Geralmente, tanto o domínio como a imagem pertencem ambos ao ℝ2 ou ao ℝ3 . Frequentemente as 
transformações geométricas necessitam ser funções um para um, ou seja, sempre que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) então 𝑎 = 𝑏. 
 As mais comuns transformações geométricas no Plano, são escala, rotação, translação, espelhamento e 
cisalhamento. Uma aplicação simples na computação gráfica são as letras vistas na tela do computador. 
 Considere a letra maiúscula I, desenhada num sistema de coordenadas em ℝ2 como na figura 1. 
 Seja M a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vértices da letra I 
 
1 1 2 2 1 1 4 4 3 3 4 4
M
0 1 1 4 4 5 5 4 4 1 1 0
 
  
 
 
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 Para desenhar a letra I na fonte itálica, basta fazer um cisalhamento da mesma na direção do eixo x, conforme 
a figura 2. Se a matriz que representa o cisalhamento é, por exemplo, a matriz 
1 1
0 1
 
 
 
, então as coordenadas da 
fonte itálica são as colunas da matriz M1 tal que 
 
1 1
1 1 1 1 2 2 1 1 4 4 3 3 4 4 1 2 3 6 5 6 9 8 7 4 5 4
M . M
0 1 0 1 1 4 4 5 5 4 4 1 1 0 0 1 1 4 4 5 5 4 4 1 1 0
     
       
     
 
 
 
 Figura 1 Figura 2 
Extraído de 
 
http://dspace.nead.ufsj.edu.br/trabalhospublicos/bitstream/handle/123456789/68/EDUARDO%20SCHWARTZ_12293_assignsubmission_file_T
CC-Transforma%C3%A7%C3%B5es%20Lineares.pdf?sequence=1, acesso em 20/06/2020 
 
https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tde/2949/5/A%20import%C3%A2ncia%20das%20matrizes%20e%20transforma%C3%A7%C3%B5es
%20lineares%20na%20computa%C3%A7%C3%A3o%20gr%C3%A1fica.pdf. acesso em 20/06/2020 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 6 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
1) Verifique quais das seguintes transformações são lineares: 
 
a) T : 2 ⟶ 2 tal que T(x, y) = (x – 3y , 2x + 5y) 
 
b) T : 3 ⟶ 3 tal que T(x ,y , z) = (2x – y + z , 3y + z – 2 , x – 5y) 
 
c) T : 2 ⟶ 2 tal que T(x, y) = (x2 , x + y) 
 
d) T : 2 ⟶ M (2,2) tal que T(x , y) = 
2y 3x
y x 2y
 
   
 
 
e) T : M(2,2) ⟶  tal que 
a b a b
T det
c d c d
    
         
 
 
 
2) Determine a transformação linear T : 2 ⟶ 3 tal que T(–1 , 1) = (3 , 2 , 1) e T(0 , 1) = (1 , 1 , 0) 
 
 
3) Encontre a transformação linear T : 2 ⟶ 3 tal que T (1 , 2) = (3 , –1 , 5) e T (3 , –1) = (2 , 1 , –1). 
 
 
4) Seja T : 3 ⟶ 2 uma transformação linear definida por T(1 , 1 , 1) = (1 , 2) , T(1 , 1 , 0) = (2 , 3) e 
T(1 , 0 , 0) = (3 , 4). 
 
a) Determinar T(x , y , z) 
 
b) Determinar T(2 , 3 , –1) 
 
c) Determinar v ∊ 3 tal que T(v) = (–3 , –2) 
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5) Seja a transformação linear T : 2 ⟶ 3 tal que T(– 2 , 3) = (–1 , 0 , 1) e T(1 , –2) = (0 , –1 , 0). 
 
a) Determinar T(x , y) 
 
b) Determinar N(T) e Im (T). 
 
 
6) Para as transformações lineares abaixolistadas, determinar: 
 
I) o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justifique 
II) a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique 
 
a) T : 2 ⟶ 2 tal que T(x , y) = (3x – y , –3x + y) 
 
b) T : 3 ⟶ 2 tal que T(x , y , z) = (x + 2y – z , 2x – y + z) 
 
c) T : 3 ⟶ 3 tal que T(x , y , z) = (x – y – 2z , –x + 2y + z , x – 3z) 
 
d) T : 4 ⟶ 3 tal que T(x , y , z , t) = (x – y + z + t , x + 2z – t , x + y + 3z – 3t) 
 
 
7) Considere a transformação matricial T : 4 ⟶ 3 com T = 
1 2 3 1
1 3 5 2
3 8 13 3
 
  
  
. Encontre uma base e a dimensão 
da imagem e da núcleo de T 
 
 
8) A transformação linear T : 3 ⟶ 3 tal que T(x , y , z) = (x – 3y – 2z , y – 4z , z) é um isomorfismo? 
 
 
9) Consideremos a transformação linear T : 3 ⟶ 2 tal que T(x , y , z) = (2x + y – z , x + 2y) e as bases 
α = {(1 , 0 , 0) , (2 , –1 , 0) , (0 , 1 , 1)} do 3 e β = {(–1 , 1) , (0 , 1)} do 2 . Determine a matriz T


   . 
 
 
10) Seja a transformação linear T : 2 ⟶ 3 tal que T(x , y) = (2x – y , x + 3y , –2y) e as bases 
α = {(–1 , 1) , (2 , 1)} e β = {(0 , 0 , 1) , (0 , 1 , –1) , (1 , 1 , 0)}. Determine a matriz T


   . 
 
 
11) Sabendo que a matriz de uma transformação linear T : 2 ⟶ 3 nas bases α = {(–1 , 1) , (1 , 0)} do 2 e 
β = {(1 , 1 , –1) , (2 , 1 , 0) , (3 , 0 , 1)} do 3 é 
3 1
T 2 5
1 1


 
     
  
, encontrar a expressão T(x , y). 
 
 
12) Sejam as transformações lineares F : 3 ⟶ 2 definida por F(x , y , z) = (2x , y + z) e G : 3 ⟶ 2 definida 
por G(x , y , z) = (x – z , y), encontre as fórmulas que definem as transformações: 
 
a) (F + G)(x , y , z) b) (3F)(x , y , z) c) (2F – 5G)(x , y , z) 
 
 
13) Sejam as transformações lineares S : 3 ⟶ 4 tal que S(x , y , z) = (x + y , z , x – y , y + z) e T : 2 ⟶ 3 tal 
que T(x , y) = (2x + y , x – y , x – 3y). Calcular (S o T)(x , y). 
 
 
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14) Sejam F, G: 3  3 operadores lineares dados por F(x , y , z) = (x – 3y , 2z + y , z ) e 
G(x , y , z) = ( x + 2y , y – 3z , –x + 2z), determine (F o G)(x , y , z) e (G o F)(x , y , z) 
 
 
15) A seguir são dados operadores lineares T em 2 e em 3 . Verificar quais são inversíveis e, nos casos 
afirmativos, determinar uma fórmula para T-1. 
 
a) T : 2 ⟶ 2 , T(x , y) = (3x – 4y , –x + 2y) 
 
b) T : 2 ⟶ 2 , T(x , y) = (x – 2y , –2x + 3y) 
 
c) T : 2 ⟶ 2 , T(x , y) = (2x – y , –4x + 2y) 
 
d) T : 3 ⟶ 3 , T(x , y , z) = (x – y + 2z , y – z , 2y – 3z) 
 
e) T : 3 ⟶ 3 , T(x , y , z) = (x – y + 2z , y – z , –2x + y – 3z) 
 
 
16) Considere o operador T de 3 definido pela matriz 
1 0 1
2 1 1
0 0 1
 
  
  
 
 
a) Mostrar que T é um isomorfismo 
 
b) Determinar a lei que define o operador T-1 
 
c) Utilizar a matriz de T ou de T-1 para obter o vetor v ∊ 3 tal que T(v) = (2 , –3 , 0) 
 
 
GABARITO – LISTA DE EXERCÍCIOS 6 
 
 
1) a) Sim b) Não c) Não d) Sim e) Não 
 
 
2) T(x , y) = (–2x + y , –x + y , –x) 
 
 
3) T(x , y) = 
x 4y 3x 16y
x y, ,
7 7
   
 
 
 
 
4) a) T(x , y , z) = (3x – y – z , 4x – y – z) b) (4 , 6) c) v = (1 , 6 – z , z) 
 
 
5) a) T(x , y) = (2x + y, 3x + 2y , –2x – y) b) N(T) = {(0 , 0)} e Im(T) = {(x , y , – x) | x , y ∊  } 
 
 
6) a) I) N(T) = {(x , 3x) | x ∊  } = [(1 , 3)] , dim N(T) = 1 , T não é injetora pois N(T) ≠ {(0 , 0)}. 
 II) Im (T) = {(–y , y) | y ∊  } = [(–1 , 1)] , dim Im (T) = 1 , T não é sobrejetora pois Im (T) ≠ 2 
 
 b) I) N(T) = {(x , –3x , –5x)} | x ∊  } = [(1 , –3 , –5)] , dim N(T) = 1 , T não é injetora pois N(T) ≠ {(0 , 0)}. 
 II) Im (T) = 2 , base = {(1 , 0) , (0 , 1)} , dim Im (T) = 2 , T é sobrejetora pois Im (T) = 2 
 
 
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 c) I) N(T) = {(3z , z , z) | z ∊  } = [(3 , 1 , 1)] , dim N(T) = 1 , T não é injetora pois N(T) ≠ {(0 , 0)}. 
 II) Im (T) = {(x , y , z) ∊ 3 | 2x + y – z = 0} = [(1 , 0 , 2) , (0 , 1 , 1)] , dim Im (T) = 2 , T não é sobrejetora. 
 
 d) I) N(T) = [(2 , 1 , –1 , 0) , (1 , 2 , 0 , 1)] , dim N(T) = 2 , T não é injetora pois N(T) ≠ {(0 , 0)}. 
 II) Im (T) = [(1 , 1 , 1) , (0 , 1 , 2)] , dim Im (T) = 2 , T é sobrejetora pois Im (T) = 3 
 
 
7) [(1 , 1 , 3) , (0 , 1 , 2)] é uma base da imagem de T, com dim (Im (T)) = 2 
 [(1 , – 2 , 1 , 0) , (– 7 , 3 , 0 , 1) é uma base do núcleo de T, com dim (N(T)) = 2 
 
 
8) Sim 9) 
2 3 0
T
3 3 2


  
    
 
 10) 
3 0
T 5 2
3 3


 
     
  
 
 
 
11) T(x , y) = (8x + 18y , 6x + 11y , –2x – 4y) 
 
 
12) a) (F + G)(x , y , z) = (3x – z , 2y + z) 
 b) (3F)(x , y , z) = (6x , 3y + 3z) 
 c) (2F – 5G)(x , y , z) = (–x + 5z , –3y + 2z) 
 
 
13) (S o T)(x , y) = (3x , x – 3y , x + 2y , 2x – 4y) 
 
 
14) (F o G)(x , y , z) = (x – y + 9z , 2x + 5y – 3z , –x + 2z) e 
 (G o F)(x , y , z) = (5x – y , 2x + y – 3z , x + 3y + 2z) 
 
 
15) a) T-1(x , y) = 
1 3
x 2y, x y
2 2
   
 
 b) T-1(x , y) = (–3x – 2y , –2x – y) c) T não possui inversa 
 d) T-1(x , y , z) = (x – y + z , 3y – z , 2y – z) e) T não possui inversa 
 
 
16) b) T-1 (x , y , z) = (x + z , 2x – y + z , –z) c) (2 , 7 , 0) 
 
 
 
 
 
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