3 Testes de Hipóteses

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Estatística 
Testes de Hipóteses 
Profa.: Andreia A. C. Silva 
 
Texto extraído e modificado a partir do Portal Action 
(www.portalaction.com.br) 
Introdução 
Neste capítulo, vamos discutir as ideias fundamentais 
sobre testes de hipóteses. Ao ser feita determinada 
afirmação sobre uma população, mais especificamente 
sobre um parâmetro dessa população, é natural desejar 
saber se os resultados experimentais provenientes de 
uma amostra contrariam, ou não, tal afirmação. Para isso, 
fazemos um teste de hipóteses. Nesta seção vamos 
estudar o procedimento básico de teste de hipótese sobre 
determinado parâmetro de uma população. 
Vamos supor uma situação em que um fabricante quer saber 
se um determinado tipo de barra produzido por sua fábrica 
atende a exigência de ter um comprimento médio de 70 cm. Na 
verdade, o que o fabricante está fazendo é levantando 
hipóteses sobre uma característica (parâmetro), neste caso a 
média μ (média do comprimento), de sua produção 
(população) de barras. Eventualmente ele poderia fazer 
conjecturas a respeito da distribuição da variável comprimento 
de barra, ou ainda, poderia estar questionando a proporção de 
defeituosas, etc. Essas conjecturas ou suposições são 
chamadas de hipóteses estatísticas. De maneira genérica, 
podemos enunciar: hipótese estatística é uma afirmação ou 
conjectura sobre um parâmetro, ou parâmetros. 
Uma hipótese estatística, como a formulada acima em 
relação a média dos comprimentos das barras, é 
chamada de Hipótese Nula e será denotada por H0. O 
termo "Hipótese Nula" é usado para ver se alguma 
hipótese estabelecida inicialmente pode ser rejeitada ou 
não. A ideia de se estabelecer uma hipótese nula é 
comum mesmo em um raciocínio não-estatístico. É 
exatamente o que é feito em processos criminais, onde 
um acusado (réu) é dito ser inocente até que se prove o 
contrário. A pressuposição de inocência é uma hipótese 
nula. 
A hipótese que usamos como alternativa à hipótese nula, isto 
é, a hipótese que aceitamos quando a hipótese nula é 
rejeitada é chamada Hipótese Alternativa e será denotada por 
H1. Assim, considerando o exemplo do réu, formulamos as 
hipóteses: 
Observação: Alguns autores denotam H1 por HA. 
Agora voltemos ao exemplo introdutório do fabricante de 
barras. O tal fabricante está interessado em decidir se as 
barras tem uma média igual a 70 cm ou diferente de 70 cm. 
Nesse caso, as hipóteses seriam: 
Ainda com relação a esse exemplo poderíamos ter hipóteses do tipo: 
Em todas as situações a hipótese nula H0 é do tipo "simples", enquanto que 
H1 é do tipo "composta" em (1), (2), (3), e do tipo "simples" em (4). Casos 
como as situações (1) e (2) são chamados de testes unilaterais. 
Consideremos, agora, um exemplo para ilustrarmos a situação (1). 
Exemplo 1: Um gerente de produção está estudando a 
possibilidade de comprar uma nova máquina de estampar 
partes metálicas. Seja μ0 o número médio de partes 
estampadas por hora pela máquina velha e μ a média da 
máquina nova. O gerente não quer comprar a máquina nova a 
menos que ela seja mais produtiva que a máquina velha. 
Vamos encontrar as hipóteses. 
O gerente deve usar a hipótese nula μ = μ0 e a hipótese 
alternativa μ > μ0. Ou seja, 
Assim, o gerente deve optar por comprar a máquina nova 
somente se a hipótese nula for rejeitada. 
Região de Rejeição: A região de rejeição ou região crítica 
(RC) é o conjunto de valores assumidos pela estatística de 
teste para os quais a hipótese nula é rejeitada. Seu 
complementar é a região de aceitação (RA). 
No exemplo 1, tomamos o estimador para o parâmetro 
de interesse μ para determinarmos a regra de decisão, que é 
definida por: rejeitamos H0 se , no qual XC é o valor 
crítico para a média amostral. Se a média amostral for maior 
que o valor crítico XC, temos evidência para assumir que a 
média da população é maior que μ0. Assim, no caso do 
exemplo 1 temos evidência para assumir que a nova máquina 
apresenta uma média de produção maior que a máquina 
velha. A região que nos leva a rejeição da 
hipótese H0 , é a região de rejeição (ou região crítica). 
X
C
X X 
 











CC
X X R
Para cada tipo de hipótese determinamos uma região de 
rejeição apropriada, sempre conforme a hipótese H1. Por 
exemplo, para testarmos as hipóteses 
tomamos como região crítica 
 
Os valores XC1 e XC2 são os valores críticos para o teste. 
Erros cometidos nos 
testes de hipóteses 
São dois os tipos de erros que podemos cometer na realização 
de um teste de hipóteses: 
 
 - Rejeitar a hipótese H0, quando ela é verdadeira. 
 - Não rejeitar a hipótese H0, quando ela é falsa. 
 
A tabela a seguir resume as situações acima. 
Se a hipótese H0 for verdadeira e aceita, ou for falsa e 
rejeitada, a decisão estará correta. No entanto, se a hipótese 
H0 for rejeitada sendo verdadeira, ou se for aceita sendo falsa, 
a decisão estará errada. O primeiro destes erros é chamado 
de Erro do Tipo I e a probabilidade de cometê-lo é denotada 
pela letra grega  (alfa); o segundo é chamado de Erro do 
Tipo II e a probabilidade de cometê-lo é denotada pela letra 
grega  (beta). 
Considere um teste unilateral dado pelas hipóteses: 
Neste caso, a região de rejeição é determinada por , 
e a interpretação dos erros pode ser vista como: 
C
X X 
A situação ideal é aquela em que ambas as probabilidades,  e 
, são próximas de zero. No entanto, é fácil ver que a medida 
que diminuimos ,  aumenta. A Figura a seguir apresenta esta 
relação. 
Para um teste de hipóteses do tipo anterior, onde estamos 
interessados em testar a média de uma população, utilizamos 
a expressão 
que é a estatística do teste de hipóteses. A partir do Teorema 
Central do Limite, sabemos que, desde que tenhamos um 
tamanho amostral suficientemente grande, esta estatística tem 
Distribuição Normal Padrão, isto é, 
A partir dos valores de Z e da especificação do erro cometido, 
podemos definir a região crítica. 
Vamos considerar que o erro mais importante a ser evitado 
seja o Erro do Tipo I. 
 
A probabilidade de ocorrer o erro do tipo I () é denominada 
nível de significância do teste. O complementar do nível de 
significância (1 - ) é denominado nível de confiança. 
 
Supondo que o nível de significância  seja conhecido, temos 
condições de determinar o(s) valor(es) crítico(s). 
 
Se considerarmos o teste bilateral: 
Se considerarmos o teste unilateral à direita 
a região crítica é representada segundo a figura abaixo. 
 
E, se considerarmos o teste unilateral à esquerda 
 
a região crítica é representada segundo a figura abaixo. 
Os valores -Zα e Zα nas duas últimas figuras são tais que as 
áreas à esquerda e à direita, respectivamente, sob a Curva 
Normal Padrão, valem . 
 
Agora, os valores -Zα/2 e Zα/2, na primeira figura, são tais que 
as áreas à esquerda e à direita, respectivamente, sob a Curva 
Normal Padrão, valem . 2
α
Como foi dito inicialmente, o objetivo do teste de hipótese é 
determinar, através de uma estatística, se a hipótese nula é 
aceitável ou não. Essa decisão é tomada considerando a 
Região de Rejeição ou Região Crítica (RC). Caso o valor 
observado da estatística pertença à região de rejeição, 
rejeitamos H0; caso contrário, não rejeitamos H0. 
Analogamente, definimos a região de aceitação 
(complementar da região de rejeição): caso o valor observado 
pertença à região de aceitação, não rejeitamos H0; se não 
pertencer, rejeitamos. 
Se o nível de significância é 0,05, os valores críticos são 
-1,645 ou 1,645 para as alternativas unilaterais e -1,96 e 1,96 
para a alternativa bilateral; se o nível de significância é 0,01, 
os valores críticos são -2,33 ou 2,33 para as alternativas 
unilaterais e -2,575e 2,575 para a alternativa bilateral (valores 
obtidos na Tabela da distribuição Normal). A tabela a seguir 
apresenta alguns critérios para o teste de hipótese. 
Exemplo 2: Um supervisor da qualidade quer testar, com 
base numa amostra aleatória de tamanho n = 35 e para um 
nível de significância α = 0,05, se a profundidade média de um 
furo numa determinada peça é 72,4mm. O que podemos falar 
se ele obteve média = 73,2mm e se sabe, de informações 
anteriores, que σ = 2,1mm? 
x
5. Conclusão: Como Zobs = 2,25 > 1,96, a hipótese nula deve 
ser rejeitada. Em outras palavras, a diferença entre x =73,2 e 
μ = 72,4 é significativa. Veja a figura abaixo 
Início 
Identificar a afirmação ou hipótese específica 
 a ser testada e colocá-la em forma simbólica. 
Dar a forma simbólica que deve ser verdadeira 
quando a afirmação original é falsa. 
Das duas expressões simbólicas obtidas até agora, 
a hipótese nula Ho é a que contém a condição de igualdade; 
H1 é a outra afirmação. 
Escolher o nível de significância  com base na 
gravidade de um erro tipo I. Tomar  pequeno se as 
consequências da rejeição de uma Ho verdadeira são sérias. 
São muito comuns os valores 0,05 e 0,01. 
Método Tradicional de teste de hipóteses. 
1 
2 
3 
4 
Identificar a estatística relevante para este teste 
e determinar sua distribuição amostral. 
5 
Determinar a estatística de teste, os valores críticos e 
a região crítica. Esboçar um gráfico e incluir a estatística de 
teste, o(s) valor(es) crítico(s) e a região crítica. 
6 
Rejeitar Ho se a estatística de teste está na região crítica. 
Não rejeitar Ho se a estatística de teste não está na 
região crítica. 
7 
Reformular a decisão precedente em termos simples, 
não técnicos. 
8 
Fim 
Exemplo 3: Funcionários de uma grande firma de 
contabilidade afirmam que a média dos salários dos 
contadores é menor que a de seu concorrente, que é de 
$45.000. Uma amostra de 30 dos contadores da firma tem 
média de salário de $43.500 com desvio padrão d $5200. 
Com  = 0,05, teste a afirmação dos funcionários. 
Solução: 
 
A afirmação é: “ a média dos salários é menor que $45.000”. 
Então a hipótese nula e a alternativa podem ser escritas 
como: 
$45000:Ho 
$45000:H
1
  (afirmação) 
Em razão de o teste ser unicaudal à esquerda e o nível de 
significância ser  = 0,05, o valor crítico é zo = -1,645 e a 
região de rejeição é z < -1,645. A estatística do teste 
padronizada é: 
 
nσ
μ - x
 z  1,58- 
305200
45000 - 43500
 
O gráfico mostra a localização da região de rejeição e da 
estatística de teste padronizado z. Em virtude de z não estar 
na região de rejeição, você falha em rejeitar a hipótese nula. 
 
Interpretação: 
 
Não há evidência suficiente no nível de significância de 5% 
para apoiar a afirmação dos funcionários de que a média do 
salário é menor que $45000. 
Exemplo 4: O departamento de agricultura dos Estados 
Unidos reporta que o custo médio para se criar um filho até a 
idade de 2 anos na zona rural é de $10.460. Você acredita 
que este valor está incorreto, então você seleciona uma 
amostra aleatória de 900 crianças (com idade de 2 anos) e 
descobre que a média dos custos é $10.345 com desvio 
padrão de $1.540. Com  = 0,05, há evidência para concluir 
que a média de custo é diferente de $10.460? 
 
Solução: 
 
A afirmação é: “a média de custos é diferente de $10.460”. 
Então a hipótese nula e a alternativa podem ser escritas 
como: 
$10.460:Ho 
(afirmação) $10.460:H1 
Em razão de o teste ser bicaudal e o nível de significância ser 
 = 0,05, os valores críticos são: -zo = -1,96 e zo = 1,96. As 
regiões de rejeição são z < -1,96 e z > 1,96. A estatística do 
teste padronizada é: 
 
nσ
μ - x
 z  2,24- 
9001540
10460 - 10345
 
O Método do Valor P para o 
Teste de Hipóteses 
Níveis observados de significância: valores p 
Uma maneira de reportar os resultados de um teste de 
hipóteses é estabelecer que a hipótese nula foi ou não foi 
rejeitada com um valor especificado de , ou nível de 
significância. Isso é chamado de teste de nível de 
significância fixo. 
Valor p 
O valor p é o menor nível de significância que conduz à 
rejeição da hipótese nula Ho, com o dados fornecidos. 
Início 
Identificar a afirmação ou hipótese específica 
 a ser testada e colocá-la em forma simbólica. 
Dar a forma simbólica que deve ser verdadeira 
quando a afirmação original é falsa. 
Das duas expressões simbólicas obtidas até agora, 
a hipótese nula Ho é a que contém a condição de igualdade; 
H1 é a outra afirmação. 
Escolher o nível de significância  com base na 
gravidade de um erro tipo I. Tomar  pequeno se as 
consequências da rejeição de uma Ho verdadeira são sérias. 
São muito comuns os valores 0,05 e 0,01. 
Método do valor P para o teste de hipóteses. 
1 
2 
3 
4 
Identificar a estatística relevante para este teste 
e determinar sua distribuição amostral. 
5 
Achar o valor p. 6 
Reportar o valor p. Alguns estatísticos preferem usar o seguinte critério de decisão: 
 
 Rejeitar a hipótese nula se o valor p é no máximo igual ao nível de significância . 
 Não rejeitar a hipótese nula se o valor p é maior que o nível de significância . 
7 
Reformular a decisão precedente em termos simples, 
não técnicos. 
8 
Fim 
Determinação dos valores de P 
Exemplo (Triola, página 182) 
Com o auxílio de valor p, teste a afirmação de que a 
temperatura média dos adultos sadios é igual a 98,6º F. 
Utilize o nível de significância de 0,05 e os dados amostrais: 
n = 106, = 98,2º F , s = 0,62, distribuição em forma de sino. X
Ho:  = 98,6 
H1:   98,6 
A estatística de teste z = -6,64. Como o teste é bilateral, o valor 
de P é duas vezes a área à esquerda da estatística de teste z 
= -6,64. Na tabela, vemos que a área à esquerda de z = -6,64 
é 0,0001, e assim o valor de P é 2 x 0,001 = 0,0002. 
Como o valor p = 0,0002 é menor do que o nível de 
significância  = 0,05, rejeitamos a hipótese nula. 
 
Os novos operários de uma empresa são treinados a 
operarem uma máquina, cujo tempo X (em horas) de 
aprendizado é anotado. 
Observou-se que X segue a distribuição N(25,100). Uma 
nova técnica de ensino, que deve melhorar o tempo de 
aprendizado, foi testada em 16 novos empregados, os 
quais apresentaram 20,5 horas como tempo médio de 
aprendizado. Usando o p-valor, você diria que a nova 
técnica é melhor que a anterior?