folha de exercicios - equação do 2o grau - aula 1

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Conhecendo as equações do 2° 
grau com uma incógnita 
 
Considere a figura abaixo, cuja área total é 
de 35u² (sendo u² a unidade de área) e cujos 
lados são dados na unidade de comprimento 
u. 
 
 
 
A soma das áreas de suas partes é dada por 
x² + 2x + 20. Portanto: x² + 2x + 20 = 35 ou 
x² + 2x – 15 = 0. 
 
Observe que a equação obtida, x² + 2x – 15 
= 0, tem uma só incógnita (a letra x) cujo 
maior expoente é 2. Ela é um exemplo de 
equação do 2° grau com uma incógnita. 
 
Toda equação do segundo grau com uma 
incógnita pode ser reduzida à forma: 
 
ax² + bx + c = 0 (com a ≠ 0) 
 
Os números reais a, b e c são os coeficientes 
da equação do 2° grau, sendo: 
 
ü a o coeficiente de x²; 
ü b o coeficiente de x; 
ü c o termo independente da incógnita. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) Na equação - 6x + 5x² + 1 = 0, temos: a = 
5, b = -6 e c = 1. 
 
b) Na equação !	#²
%
 + 9x = 0, temos a = !
%
, b = 
9 e c = 0. 
 
c) Na equação 2x² - √10 =0, temos a = 2, b 
= 0 e c = -√10	. 
 
 
 
d) Na equação -#²
&
 = 0, temos a = − '
&
, b = 0 e 
c = 0. 
 
e) Na equação 9x – 7 = -x², temos a = 1, b = 
9 e c = -7 
 
Uma equação do segundo grau é chamada 
de completa quando os coeficientes b e c 
são diferentes de zero e é chamada de 
incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou ainda, 
b = 0 e c = 0. 
 
Raízes de uma equação do segundo 
grau 
 
Quando substituímos a incógnita de uma 
equação por um número e encontramos uma 
sentença verdadeira, dizemos que esse 
número é raiz da equação. Se a equação for 
do 2° grau, ela pode ter até duas raízes 
diferentes. 
 
EXEMPLO: 
 
a) Verificar se os números -3, 2 e 6 são 
raízes da equação x² + x – 6 = 0. 
 
 
b) Determinar “m” na equação (3m – 1).x² - 
(m + 8).x + 10 = 0 para que uma das suas 
raízes seja 2. 
 
Resolvendo equações do 2° grau 
 
Vamos apresentar a resolução de algumas 
equações do 2° grau. 
 
Obs: Conjunto Universo é o conjunto de 
todos os valores que a variável pode 
assumir. Indica-se por U. 
 
Ø Equação do 2° grau que pode ser 
reduzida à forma ax² + bx = 0. 
 
Considere a equação 5x² + 6x = 0. Ela é uma 
equação do 2° grau incompleta com c = 0. 
Para resolvê-la colocamos o x em evidência 
no 1° membro. 
 
 
E Q U A C A O D O 2º	G R A U – A U L A 1		
 
˜	
 
, 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
a) 5x² + 12x = 0, sendo U = R 
b) √3x² + x = 0, sendo U = Z 
 
 
Toda equação do 2° grau do tipo 
ax² + bx = 0 tem duas raízes reais, sendo 
uma delas nula. 
 
 
Ø Equação do 2° grau que pode ser 
reduzida à forma ax² + c = 0 
 
Considere a equação x² – 25 = 0. Trata-se de 
uma equação do 2° grau incompleta com b = 
0. 
Para resolvê-la isolamos a incógnita no 1° 
membro. 
 
EXEMPLO: 
 
a) 3x² - 12 = 0 , sendo U = R 
b) x² + 9 = 0, sendo U = R 
 
 
Quando uma equação do 2° grau da 
forma ax² + c = 0 admitir raízes reais, elas 
serão opostas. 
 
Ø Equação do 2° grau que pode ser 
reduzida à forma ax² = 0. 
 
Considere a equação 5x² = 0. Trata-se de 
uma equação do 2° grau incompleta com b = 
0 e c = 0. 
Essa equação só terá um resultado possível 
𝑥'		 =	𝑥( = 		0. 
 
EXEMPLO: 
 
a) – x² = 0 , sendo U = R 
b) 7x² = 0, sendo U = Z 
 
 
Toda equação do 2° grau da forma 
ax² = 0 tem duas raízes reais, iguais e 
nulas. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Quais das equações abaixo são do 2º 
grau? 
 
a) x – 5x + 6 = 0 
 
b) 2x³ - 8x² - 2 = 0 
 
c) x² - 7x + 10 = 0 
 
d) 4x² - 1 = 0 
 
e) 0x² + 4x – 3 = 0 
 
f) x² - 7x = 0 
 
2. Classifique as equações do 2º grau em 
completas ou incompletas e determine os 
coeficientes a, b, c. 
 
a) x² - 7x + 10 = 0 
 
 
b) 4x² - 4x +1 = 0 
 
 
c) x² - 7x = 0 
 
 
d) –5x² - x = 0 
 
 
e) x² - 16 = 0 
 
 
f) x² = 0 
 
 
3. Resolva as equações do 2º grau: 
 
a) 4x² - 36 = 0 
 
b) 7x² - 21 = 0 
 
 
 
 
 
 
c) x² + 9 = 0 
 
d) x² - 49 = 0 
 
e) 5x² - 20 = 0 
 
4. Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles 
são raízes da equação x2 - 2x - 8= 0? 
 
5. O número -3 é a raiz da equação x2 - 7x - 
2c = 0. Nessas condições, determine o 
valor do coeficiente c. 
 
6. Calcule q para que -1 seja raiz da equação 
(3q – 2).x² + (2q – 1).x + 5 = 0. 
 
7. Calcule o valor de m na equação 2x² + mx 
– 2 = 0 para que uma das raízes seja -2. 
 
8. Resolva as equações, considerando U = R. 
 
a) 3x² + 15x = 0 
 
b) 2y² - )
%
 = 0 
 
c) 9.(2n – 4) . (n + 2) = 0 
 
d) (#*%
#*+
=	 %#*'
#*(
, (x ≠ 6	𝑒	𝑥	 ≠ 2)	 
 
e) √3𝑥² + 𝑥 = 0 
 
9. O dobro do quadrado de um número 
negativo somado ao triplo dele é igual a 
zero. Determine esse número. 
 
10. Escreva as equações seguintes na forma 
reduzida e encontre as raízes de cada uma, 
considerando U = R. 
a) (1 – x) . ( 5 + 2x) = 5 
 
b) ( -2x – 1) . (x – 2) = 3x + 5x² 
 
c) 5x² + 7 = 2x² - 5 
 
 
 
 
Gabarito: 
1. c, d e f 
 
2. 
a) completa / a = 1, 
b = -7 e c = 10 
 
b) completa / a = 4, 
b = -4 e c = 1 
 
c) incompleta / a = 1, 
b = -7 e c = 0 
 
d) incompleta / a = -5, 
b = -1 e c = 0 
 
e) incompleta / a = 1, 
b = 0 e c = -16 
 
f) incompleta / a = 1, 
b = 0 e c = 0 
 
3. 
a) 𝑥' = +3 
𝑥( =	−3 
 
b) 𝑥' =	+√3	 
𝑥( = −√3 
 
c) x ∉ 	ℛ 
 
d) 	𝑥' =	+7	 
𝑥( = −7 
 
e) 	𝑥' = +2	 
𝑥( = −2 
 
4. -2 e 4 
 
5. c = 15 
 
6. q = - 4 
7. m = 3 
 
8. 
a) 	𝑥' = 	0	 
	𝑥( = −5 
 
b) 𝑦' = 	0			 
𝑦( =
'
+
 
 
c) 𝑛' =	+2			 
𝑛( =	−2 
 
d) 𝑥' = 	0			 
𝑥( = 	12 
 
e) 𝑥' = 	0 
𝑥( = −	
√3
3 
 
9. − %
(
 
 
10. 
a) 𝑥' = 	0			 
𝑥( = −	
%
(
 
 
b) 𝑥' =	
√'!
-
				 
𝑥( = −	
√'!
-
 
 
c) Não tem raiz 
real