FBFQ02

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Lições para toda a vida 
Física 
Química 
Vol.2 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
SUMÁRIO 
fíSICA z {) D 
f lSICA 1 / 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS...... . . .... . .. ......... ........ ......... . . ..... ... . . .. . .. ........... .............. ............. . ... .. -:: ••• ••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 2 
M OVIMENTOS EM 1 D (UNIDIMENSIONAIS) •••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••• 2 
M OVIMENTOS (2D OU 3D) (BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS) . ... . . ....... ...................... ... ........ ... . . ....... ... ... . . . . . ............ . ... .. .... .. ........... . ... . . .. 3 
FISICA li 
O NDULATÔRIA ••• ••••••••••• ••• ••••••••••• •••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••• ••• •••••••• ••• •••••• •• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •••••••• ••••••••••••••• ••• • 38 
Acúsr1cA ........ . ...... . . ..... . ... ..... ...... ..... . ..... . ................ ....... ..... ..... .. ...... . . ... ........ ... . .. ... . . . . .. . .. . . .... ............ ..... ... ... .... ........................ . ... . 61 
f lSICA Ili 
CORRENTE ELÉTRICA ..... ...... ........ ... ... ... ...... .............. ... ..... . ..... ........ ..... . .... ... .. . .. ...... .. . ..... .... .. . .. . .. . .. . .. . ..... ........................ . . .... ... ... .. . . .... 82 
RESISTORES ....... ...... ... ... ...... ................ . ...... ... ... .. . ..... ................... .. ... .. .... . ....... . ... .... ........ . ..... . ..... . .. ...... . .................... ...... . . . ... ...... .. ... 89 
CIRCUITO ELÉTRICO ... ............ ..... . . ...... ...... ... . ... ... ... .......... ...... ... .... . ........ .. ... ......... .. ... .. . ...... .. ... . . . ... . .. . .. . .. . .. . ................ .......... ..... . .. . . .. 105 
FISICA IV 
Q UANTIDADE DE Ú LOR, CALOR ESPECIFICO, CAPACIDADE lÉRMICA E EQUIVALENTE MECÃNICO DO CALOR . . ... .. . ................ . ... ....... ...... ... .. . ... .. . .. . .. 132 
M ECANISMOS DE TRANSFERt NCIA DE CALOR . ... ... ........ . ................... ...... ... ....... . ... . .. . .. ... ... ..... ... .. . ... ... ....... ...... . ................... . . .. ..... ...... ... .. 141 
QUÍMICA 
QuiMICA 1 
ISOMERIA . .................................. ... ... .. .... .. . . . . .. . . .... ... .... ... . . . ... ... .. .. ...... . .. . .... . .... . ....... ........ . . .................. . . . .. ......... ... . .. ............. .... .. . ..... . 2 
P ROPRIEDADES DOS COMPOSTOS ORGÃNICOS . . .. . ... .. ... . .. ... .. . . .... ..... ... .. .... ....... .. ... .. . . . . .. . .. . .................................. ......... ...... ... .. .. .... ......... ... . 22 
QulMICA li 
PROPRIEDADES COLIGATIVAS ••• ••• •••••• ••• ••••• ••• ••• ••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••• ••• ••••••••••••••••••••• ••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••• 42 
CINÉTICA QulMICA . . .. .. ... . . .. . . ..... .... ... . .. . .... . ..... .. . ...... .. ..... .... ....... .... ..... ........ . . . .................. ..... .... . . ....... . .. . .. . ............. ........... ...... .......... 66 
FATORES QUE INFLUENCIAM NA V ELOCIDADE ...... . .. ...... ... ... .. . .. .. . . .. .... . : .. ... ............. ... ..... . ........ ... ....... .. .. . ........... ... . ...... .............................. 69 
EQu1LIBR10 QulM1co •• •••• •• •••• •••••••• •• •••••• ••••• •••••••••••••••••••••••• ••••••• ••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••• •••••••• 96 
QuiMICA Ili 
LIGAÇÕES QulM1CAs - P ARTE 1 ......................................................................................................................................................... 122 
LIGAÇÕES QulMICAS - PARTE 11 •••••••••••••••••••••••••••••••••• •• ••• ••• •••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 141 
GABARITO ...................... ..... .......... ........................... ...... ..... ................. ..... ..... . ... ............. . ...... ... .. ........... ......... ................... . . ..... . .. 159 
• FÍSICA 
,, • • • • FíSICA 1 • CINEMÁTICA • Conteúdo: • CONCEITOS FUNDAMENTAIS • Definições ..................................................................................................................................................................................................................... 2 MOVIMENTOS EM 1 D (UNIDIMENSIONAIS) • Movimento uniforme (MRU) ......................................................................................................................................................................................... 2 Movimento uniformemente variado (MRUV) ................................................................................................................................................................ 2 • MOVIMENTOS (2D OU 3D) (BIDIMENSIONAIS.E TRIDIMENSIONAIS) lançamento oblíqtio ..................................................................................................................................................................................................... 3 • Parábola de segurança .................................................................................................................................................................................................. 4 Movimentos circulares .................................................................................................................................................................................................. 6 Movimento circular uniformemente variado (MCUV) .................................................................................................................................................... 7 • Movimento circular uniforme (MCU) ............................................................................................................................................................................. 8 Movimento relativo ....................................................................................................................................................................................................... 8 • Movimento uniforme .................................................................................................................................................................................................. 1 O Exercícios (Lista 1) ...................................................................................................................................................................................... ................ 10 • Movimento uniformemente variado ............................................................................................................................................................................ 14 Exercidos (lista 2) ...................................................................................................................................................................................................... 14 • Queda livre e lançamento vertical ............. , ................................................................................................................................................................ 17 Exercícios (lista 3) ...................................................................................................................................................................................................... 17 • Movimento circular ..................................................................................................................................................................................................... 19 Exercícios (lista4) ...................................................................................................................................................................................................... 19 • lançamento horizontal e Oblíquo ............................................................................................................................................................................... 24 Exercícios (Lista 5) ...................................................................................................................................................................................................... 24 • Revisão geral .............................................................................................................................................................................................................. 29 Exercícios (lista 6) ...................................................................................................................................................................................................... 29 • Movimento geral no plano ......................................................................................................................................................................................... .34 Exercícios (lista 7) ...................................................................................................................................................................................................... 34 • • • • • • • • • • • • • • • • • 
FíSICA 1 
Volume 2 
Conceitos Fundamentais 
Definições 
- ds 
V = -
dt 
ÀS 
Vm = -
Ãt 
- dv 
a=-
dt 
- ÂV 
am = -
6t 
(Velocidade instantílnea) 
(Velocidade média) 
(Aceleração instantãnea) 
(Aceleração média) 
Movimentos em 1 D (Unidimensionais} 
o 
onde: Posição: x = x(t) 
Velocidade: v = v(t) 
Aceleração: a= a(t) 
a -
X X 
) 
Podem ser tratados 
como escalares 
Movimento uniforme (MRU} 
{
a(t) = o 
v(t) -+ constante 
dx ' 1 
V = - -+ f dx = V • f dt 
dt ' º o 
(t0 = O) 
Supor t0 = O 
ou 
1 x = Xo + v . (t - to) 1 
Movimento uniformemente variado 
(MRUV) 
{a (t) -+ constante 
d V t 
1. a = _'.::'_ -+ J dv = a · J dt 
dt v, o 
(t0 = O) 
V - V
0 
=a · t 
V= V0 + at Supor t0 = O 
ou 
dx 
li. V = dt -+ dx = V · dt 
dx = (v0 + at) · dt 
' t t f dx = Vo · f dt + a f t · dt 
~ o o 
a . t 2 
X - X0 = V0 · t + -
2 
at2 
x = Xo + Vo . t + 2 
ou 
(to = O) 
X= X0 + v0 (t - t0 ) + 1 a · (t - to)2 
dv dv dx dv 
Ili. a = - -+ a = - . - -+ a = - . v 
dt dx dt dx 
1 v2 = v~ + 2 · a · (x - x0 ) 1 
Supor ta= O 
Neste item, pode-se generalizar essa expressão para alguns 
casos em que a * cte, basta conhecer a aceleração como função 
da posição: a = a(x), situação comum em problemas que envolvem 
molas. 
Assim: 
V K 
J v . dv = J a · dx 
v2 v2 ' 
- - _Q. = f a(x) · dx 
2 2 ' º 
' 
v2 = v~ + 2 · f a(x) · dx ou 
llo 
Observação: 
a* cte e a= a(x) 
v2 - v2 + 2 · Área - o 
Se a(x) é conhecido graficamente: 
Também é possível escrever as equações do movimento 
retilíneo sob aceleração constante através de: 
ITA/ IME 
• • 
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• • 
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X 
Grandezas v (velocidade final do movimento) l
6x (variação do espaço) 
6t (variação do tempo) 
v
0 
(velocidade inicial do movimento) 
a (aceleração) 
Ê posslvel relacionar essas cinco grandezas em cinco 
equações distintas, onde em cada uma das equações uma das 
grandezas não comparece: 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(EQ) 
V= V0 + a ôt 
1 
ôX = V · õt + - a · 612 
o 2 
1 
ôX = V · õt - - a · 6t2 
2 
v2 = v~ + 2 · a · 6x 
6s 1 
- = - (v + vJ 
6t 2 
(0) 
ôX 
V 
Vo 
6t 
a 
Movimentos (2D ou 3D) (Bidimensionais e 
Tridimensionais) 
Lançamento oblíquo 
No estudo desses movimentos se rá necessá rio um 
tratamento vetorial das grandezas: 
1. Posição (r) 
li. Velocidade (v) 
Ili. Aceleração (ã) 
Geralmente é utilizado sistema de coordenadas, retangulares 
(x, y) 2D e (x, y, z) 3D, mas também pode-se usar coordenadas 
polares (r, 0) e 2D, coordenadas esféricas (r, 0, q,) 3D e cilíndricos 
(r, 9, z). 
Neste curso, daremos ênfase ao estudo de coordenadas 
retangulares, mas é recomendado aos alunos que estudem os 
outros sistemas de coordenadas pois pode ajudar na solução de 
alguns problemas: 
Assim: 
1. Posição (r) : r = r(t), onde: 
r(t) = x(t) · i + y(t) · J (2D) 
r(t) = x(t) i + y(t) · j + z(t) · k (3D) 
ITA/IME 
FíSICA 1 
Volume 2 
li. Velocidade (v) : V = v(t) 
v = : ~ v = li] i + i} (2D) 
J, J, 
V, Vy 
ou 
- ~X~ iy~ ~z-V= - I+- j+ -k 
dt dt dt 
(3D) 
J, J, J, 
v, v, 
Ili. Aceleração (ã) : ã = ã(t) 
ã= ~~ : . ã=ld;t·11 +ld::11 (2D) 
! J, 
a. a, 
ou 
- [i]v, ~ [i]dv ~ [i]v, k-a = - 1+ --L..J+-
dt dt dt 
(3D) 
J, ! J, 
a, a, a, 
Exemplo de aplicação: Movimento de projéteis em campo 
gravitacional uniforme sem resistência do ar: 
Observação: 
Mesmo sendo um movimento no espaço (3D}, sempre é 
possível escolher um plano (2D) que contenha a trajetória do 
projétil, assim, reduzimos ao caso 2D . 
y 
Vo 
Yo -----#---
Temos que: 
(
ª·= o 
1. ã=a. - i +a1J 
ay = -g 
jâ = - g · li 
li. V= r· . i + vl} (Vo. = Vo . cose 
v,(t) vy(t) vo, = Vo · sene 
{
v,(t) = v0 . cose 
V1(t) = Vo · sen0 - g · t 
(MU) 
(MUV) 
v = (v
0 
· cos9) i + (v
0 
· sen0 - g · t) · j 
- - . 
Ili. r =Xi+ y · j 
J, J, 
x(t) y(t) 
X 
FíSICA 1 
Volume 2 
x(t) = Xo + Vº . cose . t (MU) 
1 y(t) = y0 + v0 · sen8 · t -- g-t2 (MUV) 2 
Logo: 
í = (xo + Vo · COS 8 · t) i+ (Yo + Vo · Sen9 · t - ~ g · t2) · J 
Conhecendo x(t) e y(t) é posslvel eliminar o parametro t e 
relacionar x e y, obtendo y = y(x), essa expressélo é conhecida como 
equação da trajetória. 
Adotando um sistema de coordenadas, onde o lançamento 
ocorre da origem: 
x0 = O e y0 = O, temos: 
X 
X = V
0 
· COS9 · t _. t = 
9 Vo · COS 
, / 
Y = v · sena · t - - g · t2 o 2 
Y = Yo . sena . x - ! . g( x )2 
y(-cos 8 2 Vo·COS8 
ly=x- tg9 - 2 9 2 · x2 1 . 2 · Vo · COS 9 . 
l A t rajetória é uma parábola. 
Pode-se calcular a inclinaçélo da velocidade da partícula em 
d . ó . . dy qq. ponto a traJet na, pois: tga = dx. 
y 
V 
y - - -- - - - - -ª : 
X Xv 
tgcx = tge - g · X 
v~. cos2 e 
Na altura máxima: tga = O 
tge - g . x. = O 
v~. cos2 e 
V~ · COS2 e · tge 
x. = g 
v2 
x; = ....2.. sene . cos e 
g 
Como a parábola é simétrica, AH= 2xy : . 
AH = vã . 2 . sene . cose 
g sen2e 
ou 
vã 
AH= - · sen2e 
g 
X 
Faci lmente se percebe que se 8 = 45º --. AH = AHm.1, e 
IA~ = ~1-
Essa expressão nos fornece o alcance horizontal máximo que 
v2 
é ....2. que ocorre quando o angulo de lançamento é 45º: 
g 
v2 v2 
AH (a) = ....2. · sen2a e AH = ....2., se a = 45º 
g m.u g 
Agora como faremos para obter o alcance numa dada 
direção? e o alcance máximo nesta mesma direção? e qual deve 
ser o ângulo de lançamento para que seja obtido o alcance máximo 
nessa di reção? 
Primeiro, será calculado o alcance A,, numa direção 8 
segundo um ângulo de lançamento a : 
Dir. (8) 
o X B 
Chamando de C o ponto de contato com a direção 8 • 
ÕC = f\ ,, BC = y, 0B = x: 
y =A.,· sen0 
X= f\1 • COS8 
Como o ponto C pertence à trajetória, logo: 
g 2 y = tga · X - -~-- · X 
2v~. cos2 ex 
A · sen8 = tgcx · A8 · cose - 2 g 2 • (A0 • cose)2 11 2v0 - cos ex 
A - sen8= tga -A, -cos8 - , 9 , -A!-cos' 8:(A,·cos8) 
11 2Vo· COS a 
g 
tg0 = tga - 2 2 • Au · cose 2Vo·COS a 
2 2 2 Au = Vo· cos a . (tgcx - tg9) 
g 
S 0 - O . ( A - A 2v~. sena . cos ex ) para calcular li e - · · u - H '°''nw' g 
bastaria fazer: dAu = O, onde seria obtido o valor de a que faz A.,ser 
da 
máximo, e depois, aplicando esse valor de a na equação, obteríamos 
" . Mas esse método parece ser um pouco trabalhoso em excesso. 
""'-1m:tx 
Para resolver esse problema e vários outros, vamos discutir agora 
urna ferramenta excelente chamada de parábola de segurança. 
Parábola de segurança 
A parábola de segurança é a expressãoque delimita a região 
do espaço (dentro do plano de movimento) que um projétil pode 
atingir, ao variarmos seu ângulo de lançamento e mantendo o valor 
da velocidade inicial. 
Para determinar essa região, vamos resolver um problema 
simples*: 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• Esse problema é conhecido como problema fundamental da 
balística exterior. 
A. Fonseca, 1977. 
-+ Qual deve ser o angulo de lançamento de um projétil que é 
lançado com velocidade v
0
, para que ele atinja um alvo de 
coordenadas {x, y). O projétil é lançado do ponto (O, O) . 
,-----... .... , 
O.=? 
X 
Alvo (x,y) 
' ' ' y\ . 
traJ. 
Para que o alvo seja atingido, é necessário que as 
coordenadas do alvo {x, y) pertençam a trajetória do projétil: 
g. x2 
y = X · tga - --=-----
2V~ . cos2 a 
(1) 
Assim, nossa variável é a. Para resolver essa equação em a, 
1 
trocamos --
2 
- = tg2a + 1: 
cos a 
g xi 
y = x · tg a - - · 
2
- ( tg2a + 1) 
2v0 
g . x2 g . xi 
-- · tg2a - x · tga + y + -- = O (2) 
2v~ 2v~ 
que é uma equação quadrática em tga: 
A · tg2a + B · tga + C = O 
1 
g . x2 
A=--
2v~ 
onde: B = - x 
g . x2 
C=y+ - -
2v~ 
A solução da equação depende do valor de ó(ó = B2 - 4 · AC): 
ló > O :. 3 a 1 e a 2 (2 solu,;ões) Se ó = O:. 3 a (1 solução) . ó < O :. t a (Não há solução real) 
Assim, para o alvo ser atingível pelo projétil, é preciso ó ~ O, 
onde: 
2 (g - x
2
) ( g - x
2
) ó = (-x) - 4 · 2v~ y+ 2v~ 
A 2 2 · gx
2 
( g . x
2
) 
u=X --- y+--
V~ 2V~ 
2 2g · X2 y 92 • X 
4 
ó = x - ------
v~ V~ 
ó = x2 [1 - 2gy - 92 . x2 ] 
V~ Vri 
para ó ~ O 
2gy g2x 2 
1. - --->O 
V~ vg -
ITA/IME 
V~ g · X2 y~2g-~ (3) 
L Região que pode ser atingida por 
um projétil. 
Veja que qq trajetória tangencia a PS . 
Note que: 
FíSICA 1 
Volume 2 
X 
1. Os pontos abaixo da PS podem ser atingidos com dois ângulos 
de lançamento distintos; 
li . Os pontos na PS só podem ser at ingidos com um único ângulo 
de lançamento; 
Ili. os pontos acima da PS jamais podem ser atingidos, a menos que 
se aumente a velocidade de lançamento. 
Cálculo do ângulo de lançamento para alvo e P.S. 
,' 
Linha de Visagem 
v. 
/: X 
1.... Lançamento 
<pé o angulo de visagem. ( tg<p = ~) 
é a solução da equação (2): 
tga = -B ± ,[i., como alvo e P.S. (ó= O) 
2A 
-B -(-x) GJ 
tga = 2A = 2 . ( g . xi ) = LI 
2v~ 
Relação entre <p e a : 
Tomando a equação da PS : 
tg<p tga 
tga 
fíSICA 1 
Volume 2 
1 
2 · tg<p = tga - -
tga 
t =~ · (sena _ cosa) 
g<p 2 cosa sena 
1 sen2a - cos2 a 
tga= - -----
2 sena · cosa 
-(cos2 a - sen2a) 
tg<p = ~ ----~ -
2 ·sena · cosa 
t 
cos2a 
g<p=---
sen2a 
1 
tg<p=--
tg2a 
Se "/ = tg<p ~ 
' ~ ~ 
"/, = tg2a 
2a = 90 + <p ~ Ja = 45 + ~I 
X 
Finalmente, podemos calcular o alcance máximo numa 
direção arbitrária. 
Direção (8) 
o 
A intersecção entre a PS e a direção 0 define o ponto mais 
distante que pode ser alcançado a partir de O. 
Chamando A .,_ •. = AO = D 
temos: y = D · sen0 
X= D . coso 
Aplicando na PS: 
V~ g · X2 y=----
2g 2v~ 
2v~g · y = v~ - g2x2 
2v~g · D · seno = ~ - 92 • (D · cos0)2 
g2 · cos20 · D2 + 2v~g · seno· D - ~=O 
I:!. = (2v~g · sen0)2 - 4 · (g2 • cos20) · (- ~) 
I:!. = 4~g2 • sen20 + 4~ g2 • cos20 
ll = 4~g2 ~ ./i.· = 2v~ · g 
- (2v~g . sena)± 2v~g D = ___,_ ___ __,_ __ 
2 . g2 • cos2 8 
vã [- sena ± 1] v~ [ (-sena ± 1) ] 
D= g cos2 a = g (1- sena) (1 + sena) 
D,=~ · (,+;ena) >Note que 
D_ = _ vã( 1 ) ID)<ID_I 
g 1- sena 
A explicação de dois valores para o alcance máximo. é 
porque podemos lançar para cima ou para baixo: 
y 
t Direção a 
l s. 
Movimentos circulares 
Para deduzir as equações desse movimento, iremos utilizar 
sistemas de coordenadas polares, onde a posição de qualquer ponto 
é dada por r e 8. 
Lembre-se que: 
/operador vetorial 
- . . .. ~:·~ 
r=r - r e r=:e , -1 
Logo: Ir = r . eiº .11 
Assim, podemos calcular a velocidade da partícula : 
- dr - d ( .) 
v = dt , v = dt r . e'º i 
- dr 10 ~ d ( 1o) ~ v =--e -1+r --e - 1 
dt dt 
- dr 10 ~ de . .e ~ v =-· e - 1+r --- 1 - e , 
dt dt 
ou 
- d r A 
V=- · r + 
dt ............... 
.J, 
V, 
r . de • 
- - -8 
dt 
'--v---' 
.J, 
Vo 
Foi demonstrado que a velocidade da partícula tem duas 
componentes: 
A -v, (componente radial, na direção de r ) e vo (componente 
rotacional, na direção de ê ). 
ITA/IME 
•• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
j. 
• 
.. 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
onde v é sempre tangente à trajetória . 
Supondo uma t rajetória ci rcular com centro em O, temos 
dr 
que r = cte ~ - = O. 
'---v---' dt 
Assim: v, = O e v = vu (movimento circular) 
Logo: lv = r · ~ · êl ou lv = w · r · âl 
onde: da = ro (velocidade angular) 
dt 
v 
ã = :/ w . r . â) = :t { ro . r . i e'º 1) 
- dro . ,8 ~ d { . ;o~) a = dt . r . ~ + ro . dt r . 1 • e 1 
- dro • d { IO ) . ~ a=- -r - 8+ro -r - - e - 1 - 1 
dt dt 
,-,rro 
- dw - . :de', iu • 7 
a = - · r · e + ro · r · 1 . ,- , e · 1 • 1 
dt ',dt· 
- dw • • a = - . r . 0 - ro2 . r . r 
dt 
'---v---' 
a1 a,p 
A aceleração de um movimento circu lar pode ter duas 
componentes: 
ã1 (aceleração tangencial), na dir â . 
~p (aceleração centrípeta). na dir r . 
" 8 .. , 
~-,--- "· .. , ~ 
ITA/IME 
" r 
FíSICA 1 
Volume 2 
onde: 1~1 = !7 .:. ê • , !7 = a (acel angular) 
acp=-(l) . r , r 
Fina lmente: lcit 1 = a · r 
lãcp 1 = w2 . r 
Movimento circular uniformemente 
variado (MCUV) 
dw 
Nesse momento, a = - = cte, logo: 
dt 
dro " t 
- = a ~ J dro = a . J dt (supor 1a = O) 
dt .,, o 
(1) - (1)0 = a · t ~ 1 co = CtJ0 + a · t I Se t0 = O 
ou 
1(1) = CJ>0 + a · (t - t0)1 Se t0 * O 
ro = de ~ de = w . dt 
dt 
dO ((1)
0 
+ a · t) · dt (supor t
0 
= O) 
U l 1 
f da = ro0 · J dt + ex f t · dt 
~ o o 
cxt2 
0 - e0 = ro0 · t + - 2 
ou 
le = e0 + roo · t + ~ I 
ou 
( ) 
cx(t - to}2 
Se 1a = O 
e = ªº + O>o t - to + 2 
Se t0 * O 
Analogamente ao MRUV, é possível obter cinco equações 
para o MCUV que relaciona as seguintes grandezas: 
o 
68 ~ Deslocamento angular 
6t ~ Variação do tempo 
\ coo 
1. 
FíSICA 1 
Volume 2 
a --+ Aceleração angular 
co --+ Velocidade angular final 
co0 --+ Velocidade angular inicial 
Equações 
co = co0 + a · õt 
co2 = co~ + 2a · õO 
1 
õ9 = m0 õt + - a · õt2 2 
1 
õ9 = co · õt - - a · õt2 
2 
ôe 1 - = - (co+ co0) õt 2 
0 
Ml 
õt 
(ll 
coo 
a 
Movimento circular uniforme (MCU) 
. O doo 1 Nesse movimento, temos a = ou - = O ou co = cte, ogo: 
(cte = constante). ~--~ dt 
v = ro . r · ê --+ 11 v 1 = ro -r 1 ( cte) 
- A 
a1 = a . r . e --+ a, = O 
- 2 A ,- 1 a,p = - co . r . r ~ a,p = co2 • r ( cte) 
Se a = O, w = cte: 
de ij 1 
- = ro --+ J de = ro -J dt (supor t0 = O) 
dt ~ o 
0 - 00 = w · t --+ 1 0 = 00 + co · t I Se io = O 
ou 
Como esse movimento é repetitivo (periódico), podemos 
ca lcular a frequência e o período: 
/ 1 volta = 2it rad 
T = õt, 1t e t = :f :·à~-. vo !l .. , 
(1) 
Movimento relativo 
É uma redundancia chamar movimento relativo, pois todo 
movimento é relativo a um dado referencial, porém, costuma-se 
usar esse termo quando o referencial adotado não é o referencial 
"padrão", que é a terra, o solo, o chão etc. 
Sendo assim, no estudo do movimento relativo, sempre 
devemos identificar três elementos: A, 8 e C, onde A e 8 são 
" móveis" e C é o referencial "f ixo" padrão: Solo, Terra, Margem. 
Veja o esquema: 
A,B 
~ 
0 0 
} "Móveis " 
~e~ J,,c 
© 
} Ref. "fixo" 
Cada uma dessas setas indica um movimento, por exemplo: 
A,C indica o movimento de A em relação à C. Assim, temos 
três movimentos que precisam ser relacionados: 
1. A em relação à C. 
li. B em relação à C. 
Ili. A em relação à B. 
Entenda-se relacionar movimento, por relacionar as posições, 
as velocidades e as acelerações. Assim, temos: 
1. Posição (r): 
Não esqueça que o vetor posição de uma partícula em 
relação a um ponto (referencial) é definidopor um vetor que tem 
origem na origem do sistema de coordenadas e extremidade na 
partícula. 
y 
Partícula (P) 
o 
Logo, para as partículas A e B: 
y 
e 
A relação entre as posições: 
re.c + rA,B = rA,C 
ou 
IÍA,B = ÍA,C - ÍB,C I (1) 
X 
Para obter as velocidades, basta derivar: 
- dr d (- ) d (- ) d (- ) 
V = dt --+ dt rA,s = dt rA,C - dt re.c 
lvA,8 = VA,C - Ve.c 1 (li) 
Para obter as acelerações, basta derivar: 
- dv d (- ) d (- ) d (- ) a = - --+ - VA B = - V A e - - Ve e dt dt . dt . dt . 
1 ãA.B = ãA,C - ão.e 1 (111) 
X 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • e 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ~-
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sem dúvida a equação mais usada é a 11, pois a maioria dos 
problemas tratam de velocidades. 
Aplicações: 
1 . Dois móveis 
2. Barcos em rios 
3. Chuva 
4. Rolamento 
1. Dois móveis: (Carro e moto) 
@-+ carro 
VA.B = VA,C - Ve.c - -@-+ moto 
©-+ solo 
v , ~no,moto = VcMro. solo - V moto.solo 
jv, .. ,o.moio = v""'º - vm.,ol 
Observação: 
Quando o referencia l é o solo, costuma-se omit ir o 
referencial assim: 
2 . 
l~ t,rro.sol~-+ ~carro Vmoto.solo -+ Vmoto 
Se a= Oº 
vmoto ______. 
-+ V = V - V cMm,moto carro moto 
v, arro 
Se a= 180º 
V moto ..___ 
-+ V c•mo,moto = V u rro + V moto 
v,.,o 
Se o.= 90° 
L -+ t 2 - 2 V, ar ro, rnutt, =Vuno + Vrnoto 
v c;wro 
Barcos em rios 
@-+ Barco 
@ -+ Rio (água) 
©-+ Margem (solo) 
Ve,11co. />q."" • Veorco, MVgem - V AQu,.s,MVgem 
Ve 
(mot0<) 
Ve.M 
lve,M = Ve + Vc 1 
Vc 
{corientez-:1) 
ITA/IME 
FíSICA 1 
Volume 2 
onde: ve: velocidade fornecida pelo motor do barco e controlada 
pelo condutor. 
vc: velocidade da correnteza . 
Caso 1: Barco descendo o Rio (-;;+ ) 
lve.M = Ve + vcl 
Caso 2: Barco subindo o Rio ( v:· ) 
,., 
Caso 3: Travessia do Rio (.&:(_)a~ 0° e 180º 
•·e 
1. Travessia em tempo mínimo (a = 90º) 
8 ' e, 
, , , , 
L 
, 
~ ,/' D 
(.JA : Partida 
AB -+ Largura do Rio (L) 
BC -+ Arraste da correnteza (ARR) 
AC -+ Deslocamento do Barco em rei. Terra (D) 
Relação: v8.M = Jv~ + v~ 
Ve - Vc - VeM IA - L . v, 1 ------+ RR-
L ARR D Ve 
li. Travessia com deslocamento mínimo: (o. = 90 + <p) 
,..... -Vc 
D e rr 
BD -+ Cont ra-arraste (CRR) 
Ve,M = Jv~ - V~ 
Ve,M =~=~ 
L ~ D' 
L L 
6to...,=-=---
Ve.M ,./v~ - V~ 
,B 
1 
A a - 8 
,' ' ( )2 ~ ' v, 
! Va,/ 1- -
, _.. Va 
FiSICA 1 
Volume 2 
L 
ô to...., = ô tr,..~ · -~-~=-=(=~:=)=2 
Ili. Chuva: 
@~ Gotas de chuva (tigua) 
® ~ Pessoa ou carro 
©~solo 
VA,8 = VA,C - Ve,c 
lvGota,pe5soa = V Gola.solo - VP0510,1.solo 1 
Ex.: Chuva vertica l (sem vento) 
- ! 
... 
111 1 U III 
11 11 " 11 , \) golas. solo 
1111 11 111 
111111111 ~ 
l fl l 111 11 
1111 11 111 
Ü gota, solo 
1111 11 111 
1 11 1111 11 - u pessoa. solo 
::!: !!! i: 
»::>M n )).r,),-,.,.,...,,. .. ,,mn;;; 
tge = V pe1,oa,101o 
V gota.solo 
IV. Rolamento 
@ ~ Ponto P (Periferia da roda) 
@ ~ Ponto O (Cent ro da roda) 
©~solo 
{
vP.o = w · R 
Vo,solo = V 
. ü solo 
,_ - p, 
VA,8 = VA,C - Ve.c - - -
VP,O = VP,solo - VO,lolo 
VP,solo = Vp_o + Vo,solo 
...._.. ---
Rotaç~o Translaç~o 
jv~.solo = v~.o + v.li.so10 + 2 · Vp_o · Vo.so10 · cõ's"ê) 
V2 = (ro . R)2 + (v)2 + 2 . V . (1) • R . cose P,solo 
, A (0 = 0°) 
-y 
e (0 = ,soo> 
lvA.solo = OJ . R + vi (cose = 1) 
lvs.,01o = ~(w · R)
2 
+ vi (cos e = O) 
lvc.so10 = v - w . RI (cose= -1) 
Para rolamento perfeito: (sem escorregamento) 
lvc.,oto = OI ~ OJ · R = V : . lw = ~, 
Logo, na condição de rolamento perfeito: 
lv A.10I0 = 2v , Vs.solo =V· J2_ Vc,,olo = 0 
Movimento uniforme 
Exercícios (Lista 1) 
_JY{':' Um carro se move com velocidade constante em uma estrada. 
Em um determinado instante, ele passa diante de um marco 
contendo um número de dois algarismos. Passada 1 h 30 min, 
o carro encontra outro marco contendo também um número 
de dois algarismos; os algarismos são os mesmos do primeiro 
marco, mas escritos na ordem inversa. Passado o mesmo 
tempo, t = 1 h 30 min, o carro encontra um terceiro marco 
com um número de três algarismos; o primeiro e o terceiro são 
os mesmos do primeiro marco e escritos na mesma ordem com 
um zero entre eles. Pede-se: 
./ef,Jls algarismos do marco. 
JfJ;, distância entre os dois primeiros marcos. 
0 a velocidade do carro. 
?- (UFPR/1962-Modif ica da)Três móveis, A, B e C, partem 
simu ltaneamente em M.U., dos pontos a, b e e, com 
velocidades de mesmo sentido dadas por: 
lVA=15m/s V8= 4,5m/s Vc =7,5m/s 
Determine o instante em que o móvel ~tartJ entre os móveis 
B e C e a igual distância de ambos. 
1 
20 m 20 m 
a'----------~b---------~c 
pi'. Dois corpos partem simultaneamente dos pontos 1 e 2 e 
movem-se com movimentos uniformes de velocidades V, e V2 • 
Sabendo-se que a ,= 90°, a
2
= 30° e que V, = 40 km/h, calcule 
qual deve ser a velocidade V2 a fim de que os dois corpos 
cheguem simu ltaneamente ao ponto P. 
• • 
• • • • • • • • • -• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ~ ~================ ===-----------=~; ~ 
ITA/ IME 
~. 
• 
• • • • • • .\ 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
1 • 
• • • 
FíSICA 1 
Volume 2 
nfoe uma cidade A parte para uma cidade B um trem com r· ~elocidade constante VA = 36 km/h. Ao mesmo tempo, de B, 
partem, simultaneamente, para A, um trem (V
8 
= 44 km/h) e 
uma supermosca 0/ = 100 km/h). A mosca, encontrando o trem 
que vem de A, volta imediatamente para B, mas encontrando 
o trem que vem de B, volta imediatamente para A, e assim 
sucessivamente. Determine o espaço percorrido pela mosca 
até o instante em que os dois trens se encontram. 
A distância entre as duas cidades é 40 km . 
/ 
1 1..1 J ' 
Um homem encpntra-se na margem de 
um lago no ponto A. Ele deve chegar no 
período mais curto ao ponto B, que se 
encontra no lago. A distância do ponto 
B à margem é BC = 40 m e a distância 
AC= 30 m. 
A velocidade do homem na água é 
1 m/s e na margem é 2m/s. Como deve 
mover-se o homem? 
8 
c 
@um ônibus move-se em uma estrada com velocidade de 
16 m/s. Um homem encontra-se a uma distância de 50 m da 
estrada e 400 m do ônibus. Deseja-se que o homem chegue 
simultaneamente ou antes do ônibus em algum ponto da 
estrada correndo com uma velocidade de 4 m/s. Se1·a a o 1' 
menor ângulo possível entre a d ireção ao ônibus e direção pela 
qual deverá correr o homem, e a 2 o maior ângulo possível entre 
as direções citadas. Determine a 1 - a 2 • 
@m barco a motor, que ia subindo um rio, encontrou uma balsa 
que se movia no sentido da corrente. Decorrida uma hora do 
encontro, o motor do barco parou. O conserto do motor durou 
meia hora e, durante esse tempo, o barco moveu-se livremente 
no sentido da corrente. Depois do conserto, o barco começou 
a mover-se na direção da corrente, com a mesma velocidade 
relativa à água e alcançou a balsa a uma distância S = 7,5 km, 
em relação ao primeiro encontro. Determine a velocidade da 
correnteza . 
/: 
ônibus 0,-....,.--------.-,--
Da cidade A para a cidade B. com um intervalo de 1 O min, II 
saíram dois trens com velocidades de 30 km/h . Com que som 
~re\ velocidade movia-se um trem em direção à cidade A, uma vez 
que encontrou os trens citados a um intervalo de 4 minutos. 
um depois do outro? homem 
'<0 (ITA/1982) Um nadador que pode desenvolver uma velocidade 13. Na questão anterior, qual a menor velocidade que deve ter o 
de 0,900 m/s na água parada, atravessa um rio de largura homem para alcançar o ônibus. bem como em que direção 
D metros, cuja correnteza tem uma velocidade de 1,08 km/h. deve correr nesse caso? 
Nadando em linha reta, ele quer alcançar um ponto da outra I 
DF3 . . _.,,. . Um homem em uma lancha deve e 
margem situado -- metros aba1x0 do ponto de partida · d t A t 8 - 9,----1g.._ __ .... 3 · sair o pon o ao pon o • que se , 
Para isso, sua velocidade em relação ao rio deve formar com encontra na margem oposta do rio. i \ __ _ 
a correnteza o ângulo: A distância BC é igual a 40 m. : 5 m/s 1111 
A largura do rio é 30 m. Com que l 
A) are sen ,fj (.J33 + 1) B) are sen,fj velocidade mínima, relativa à água, _ ....,_ _____ _ 
12 12 deve mover-se a lancha para chegar A 
ao ponto 8? A velocidade da correnteza é 5 m/s. 
C) zero grau / D) are sen ,fj 
2 1(. f Do ponto A. situado na margem s c 
de um rio, é preciso chegar ao --o---------
f (ITA/1974) Uma pessoa sobe uma escada rolante, que está ponto 8, movend?-se pela reta 
E) o problema não tem solução. 
parada. em 90 s. A mesma escada, agora em movimento, AB._ A lar~ura do _no AC é 1 km, 
2 km/h -transporta a pessoa em 60 s. Quanto tempo levaria a pessoa a d1st_ânc1a BC é igua l a 2 ~m. a 
para subir caminhando, se a escada estiver em movimento? velocidade da lancha relativa à _ ___ __ .;,._ __ _ 
água é 5 km/h e a velocidade da A * rur(Do ~ncoradouro e ao T, com velocidade v
1 
= 3 km/h, correntezaé2 km/h. DetermineotempogastoparapercorrerAB . r · ;elat1va à água, move-se um barco. Do ancoradouro T ao C r.:;"\ 
simultaneamente com o barco de carga sai uma lancha. cuja ~Em um rio, do ponto A ao ponto B, os quais encontram-se 
velocidade relativa à água é½= 1 o km/h. Durante O tempo do em margens opostas pela reta AS move-se uma lancha. 
movimento do barco entre os ancoradouros, a lancha percorre O vento sopra com uma velocidade em direção perpendicular 
essa distância quatro vezes e chega ao ancoradouro T junto à margem. A bandeira no mastro da lancha forma um ângu lo 
com O barco. Determine a velocidade da correnteza. de 60º com a direção do movimento da mesma. Determine o 
/ 
valor da razão (v.V.vL). onde VL é a velocidade da lancha em 
Em um momento inicial, duas velas eram iguais e tinham altura 
h = 20 cm. Com que velocidade movem-se as sombras das relação à margem . 
velas nas paredes se as mesmas queimam em M.U. durante o B 
tempo 3 s, vela 1, e 2 s, vela 2? 
A -
ITA/IME 
FíSICA 1 
Volume 2 
J Dois objetos movem-se com velocidades constantes 
/ '" V1 = V2 = 1 m/s em estradas que se cruzam em um ângulo 
de 60°. Depois do encontro dos móveis, na intersecção das 
estradas. que tempo é necessário esperar para que a distância 
entre eles seja .Jfi m? 
~ 
2 60~ • .. 
@ No problema anterior, considere 
que os móveis não se encontram 
no cruzamento e ademais o 
segundo objeto passou pe lo 
cruzamento 4 s depois do primeiro. 
Qual foi a distância mínima entre 
os objetos? 
'\ 
/ 
Duas retas que se interceptam movem-se em direções opostas 
com velocidades V1 = V2 = 1 m/s, perpendiculares às retas 
correspondentes. O ângulo entre as retas é 60º. Determine a 
velocidade V do ponto de intersecção dessas retas. 
_ ...... , .. 
___ •. r
1 
após 6t 
r1 (reta 1) 
intersecçãõ·-. ---
após t ·-----. r2 (reta 2) 
--------- r2 após 6t 
20. A velocidade da correnteza de um rio é V
0 
= O junto à margem 1 
e V = 2 m/s do outro lado do rio (margem 2). Uma canoa se 
dirige do ponto A até o ponto B. A velocidade da canoa em 
relação à água é V8 = 2 m/s. 
Determine o ângulo a que a velocidade da canoa faz com a 
margem 1. 
margem 2 
/IJ/Jll/ll///illl/lll/l/llJ/Jlt ~ 
: B 
V e : correnteza 
: margem 1 
a :A ~ 
Obs.: A velocidade da correnteza cresce proporcionalmente 
da margem 1 até a margem 2. 
~ Uma lancha, navegando rio abaixo, passa por uma balsa no 
\ , ponto A. Após 1 hora, a lancha dá a volta e encont ra a balsa 
~ a uma distância de 6 km do ponto A. Determine a velocidade 
da correnteza. 
/
Um móvel percorre a metade do caminho com velocidade 
de 50 km/h. A outra metade, ele gasta metade do tempo 
com velocidade de 25 km/h e a outra metade do tempo com 
velocidade de 75 km/h . Determine a velocidade média do 
móvel. 
23. Dois nadadores têm que atravessar um rio do ponto A até o 
ponto B. Para isso, um deles resolveu atravessar o rio seguindo 
a reta AB, enquanto o outro decidiu manter-se todo o tempo 
perpendicular à correnteza, desviando, portanto, do ponto B. 
Que velocidade deve ter o segundo nadador em terra para 
chega r ao ponto B ao mesmo tempo do primeiro nadador? 
A 
1/1/lllllll(fllll/lJl//lfl 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
lllllll/lllí9mmllll/lll 
B 
24. A partir de uma boia fixa, que se encontra no meio de um 
rio, partiram os botes A e B. Os botes tomaram direções 
perpendiculares entre si: o bote A descendo o rio e o B 
perpendicular à correnteza. Quando estavam separados a uma 
mesma distância da boia, os botes regressaram. 
Se a relação entre os tempos consumidos por cada bote é 
Ta = 3. determine o valor de 2K2, onde K é o número que a 
TA 
velocidade dos botes supera a velocidade da correnteza. 
llflllllll//llll/1/ll 
1 
@-----~ 
boia f A 
\\\\\\\\\\'"\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 
25. Quando nos movemos mais depressa ao redor do Sol, de dia 
ou de noite? 
26. De dois pontos, A e B, saíram simultaneamente dois pedestres, 
um ao encontro do outro. Quando se encontraram, verif icou-se 
que o primeiro (que saiu de A), percorreu A km a mais que 
o segundo. Continuando a caminhar, o primeiro chega a B 
após m horas e o segundo chega a A após n horas, contadas 
a partir do instante do encontro. Ache as velocidades dos 
pedestres, sabendo que ambos rea liza ram movimentos 
retilíneo e uniforme. 
27. (USP-Modi-ficada) O maquinista de um trem que se move com 
velocidade V1 vê a uma distância d, à sua frente, um trem de 
carga deslocando-se no mesmo sentido com velocidade menor 
Vz- Mostre que: 
(V V )2 
A) se d > ' - 2 nêlo haverá colisão. 
2a 
B) se d < (V, - Vz}2 haverá colisão. 
2a 
28. Um piloto deseja voar para Leste, de A até B e, em seguida, 
voar para Oeste, retornando a A. A velocidade do avião no ar 
~ ~ 
é v· e a velocidade do ar em relação ao solo é µ . A distância 
entre A e B é f , e a velocidade do avião no ar é V'. e constante . 
A) Se µ = O (ar parado), mostre que o tempo para a viagem de 
'd 1 2P 
1 a e vo ta é t0 = V' . 
ITA / IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • 
1 • 1• • • e 
l e 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ) 
B) Suponha que a velocidade do vento esteja dirigida para 
Leste (ou para Oeste). Mostre que o tempo de ida e volta 
to será tE = 2 . , _ _ µ_ 
(V')2 
C) Suponha que a velocidade do vento esteja dirigida para o 
Norte (ou para o Sul). Mostre então que o tempo de ida e 
1 
, t to 
vota sera N = n;· n2 
1- --
(V')2 
29. Um avião a jato percorre trajetória horizontal com velocidade V. 
No plano vertical que contém a trajetória do avião situa-se um 
· observador O, no solo. No instante em que o avião passa por B, 
na vertical do observador, este recebe o rugido dos motores 
segundo uma direção 0, como se o avião estivesse em A. 
A velocidade de propagação do som é G. Determine a 
velocidade V do avião. 
30. Retome o enunciado anterior. No instante em que o observador 
recebe o som de B, ele vê o avião em A. 
Determine a velocidade V do avião. 
31. Um observador em O dá sucessivamente dois tiros que atingem 
simultaneamente os alvos A e B. Conhecendo a distância 
d= AB e a velocidade C das balas, calcule o intervalo de tempo 
0 entre os disparos. 
o 
32. Uma composição ferroviária de comprimento L percorre um 
trecho de ferrovia, com velocidade constante V. Na cauda do 
t rem situa-se um observador. Em certo instante, o maquinista 
dá um breve toque de buzina. O som propaga-se no ar com 
velocidade C. O observador mede I entre o instante em que ele 
vê o vapor sair do apito e o instante em que ele ouve o apito. 
Exprima a velocidade V do trem . 
33. Dois móveis A e B partem simultaneamente do ponto P e 
percorrem a semirreta horizontal Px com velocidades 1 m/s e 
4 m/s, ambas dirigidas no mesmo sentido. Um observador 
encontra-se em O, na vert ical por P, à altura 4 m. Após quanto 
tempo os raios visuais OA e 0B formarão ângulo máximo? 
34. Ao passar pelo ponto O. um 
helicóptero segue na direção 
norte com velocidade v 
constante. Nesse momento, 
um avião passa pelo ponto P. 
a uma distância 6 de O, e voa 
para o oeste, em direção a O, 
com velocidade u também 
Norte 
V 
Oeste u 
0.--o-,P 
constante, conforme mostra a figura. Considerandot o instante 
em que a distância d entre o helicóptero e o avião for mínima, 
assinale a alternativa correta . 
ITA/IME 
FíSICA 1 
Volume 2 
A) A distância percorrida pelo helicóptero no instante em que 
o avião alcança o ponto O é ou/v . 
B) A distância do helicóptero ao ponto O no instante t é igual 
a õv1.Jv2 + u2 . 
C) A distância do avião ao ponto O no instante t é igual a 
6v~/(v2 + u2). 
D) O instante t é igual a 6v/(v2 + u2). 
E) A distância d é igual a ou/ .J v2 + u2 . 
35. No sistema de sinalização de trânsito urbano chamado de "onda 
verde", há semáforos como dispositivos eletrônicos que indicam a 
velocidade a ser mantida pelo motorista para alcançar o próximo 
sinal ainda aberto. Considere que de início o painel indique uma 
velocidade de 45 km/h. Alguns segundos depois ela passa para 
50 km/h e, finalmente, para 60 km/h. Sabendo que a indicação 
de 50 km/h no painel demora 8,0 s antes de mudar para 60 km/h, 
~ntão a distância entre os semáforos é de: ' 
A) 1,0 x 10·1 km 
B) 2,0 x 10-1 km 
C) 4,0 x 10· 1 km 
D) 1,0 km 
E) 1,2 km 
36. Um automóvel percorre um trecho retilíneo de uma rodovia . 
A figura mostra a velocidade do carro em função da distância 
percorrida, em km, ind icada no odômetro. Sabendo que a 
velocidade escalar média no percurso é de 36 km/h, assinale 
respectivamente o tempo total dispendido e a distância entre os 
pontos inicial e f inal do percurso . 
60 
v[km/h] 
30----
o 1------+------+---- ........ --+ 
2 3 4 5 6 d (km] 
-30 
-60 
A) 9 min e 2 km. 
B) 10mine2km. 
C) 15 min e 2 km. 
D) 15 min e 3 km. 
E) 20 min e 2 km. 
37. Um automóvel percorre uma estrada reta de um ponto A para 
um ponto B. Um radar detecta que o automóvel passou pelo 
ponto A a 72 km/h. Se esta velocidade fosse mantida constante, 
o automóvel chegaria ao ponto B em 1 O min. Entretanto, devido a 
uma eventualidade ocorrida na metade do caminho entre A e B, 
o motorista foi obrigado a reduzir uniformemente a velocidade até 
36 km/h, levando, para isso, 20 s. Restando 1 min para alcançar 
o tempo total inicialmente previsto para o percurso, o veiculo é 
acelerado uniformemente até 108 km/h, levando, para isso, 22 s, 
permanecendo nesta velocidade até chegar ao ponto B. O tempo 
de atraso, em segundos, em relação à previsão inicial, é: 
A) 46,3 
B) 60,0 
C) 63,0 
D) 64,0 
E) 66,7 
fíSICA 1 
Volume 2 
Movimento uniformemente variado 
Exercícios (Lista 2) 
/clT/1/1980) Um móvel A parte da origem O com velocidade·nula 
, .. ~o instante t
0 
= O e percorre o eixo o, com aceleração constante 
a. Após um inteNalo de tempo LH contado a partir da saída de A, 
um segundo móvel B parte de O com uma aceleração igual a 
na, sendo n > 1. B alcançará A no instante: · 
0 t = (_!i_) 6t B) t = ( f ) 6t Jn - 1 vn + 1 
n/ (ITA) De uma est ação parte um trem A com velotidade 
//' ... VA = 80 km/h. Depois de um certo tempo, parte desta mesma 
estação um outro trem B com velocidade V 
8 
= 100 km/h, no 
mesmo sentido de A e sobre os mesmos tri lhos. Depois de certo 
tempo de percurso, o maquinista de B verifica que seu t rem se 
encontra a 3 km de A. 
A partir desse instante ele aciona os freios, comunicando ao 
trem B uma aceleração a= -50 km/h2. 
Nestas condições: 
A) não houve encontro dos trens. 
B) depois de 2 h, o maquinista do trem B nota que a distância 
que o separa de A é de 64 km. 
@ houve encontro dos trens depois de 12 min. 
D) houve encont ro dos trens depois de 36 min. 
E) n.d .a. 
D) t = -- M (Jn-1 ) Jn + 1 
1. ao iniciar a filmagem, o carro já t inha uma velocidade inicial; r 
(CLCl/1 968) Você f ilma a partida de um carro Fórmula 1 em 
competição. Ao revelar o filme, você observa que: 
( 
Jn + 1) li. a a_celeração do carro foi constante durante os 8 s que durou 
E) t = ~ t.t a f ilmagem· 
vn 
1
1 Ili. durante o ~uarto segundo da filmagem o carro percorreu 
n ~ . . 36 m, e durante o sexto segundo ele percorreu 48 m; 
""- Y- ,,T/1/1983) Um móvel parte da origem do eixo x com veloc1da~e IV. o carro se moveu em um único sentido. 
't igual a 3 m/s. No instante t = 6 s, o móvel ~ofre uma aceleraçao 
a = - 4 m/s2• A equação horária a partir do instante t = 6 s será: J Qual a velocidade do carro, em m/s, ao iniciar a f ilmagem? 
A) x = 3t - 2t2 &~ = 18 - 2t 2 
C) X= 18 + 3t - 2t2 ~ = -72 + 27t- 2t2 Gv Na questão anterior, qual a velocidade do carro, em m/s, no 
E) x = 27t - 2t2 final da filmagem ? 
o/ Um carro percor~e a linha O, com movimen~o_unif~rmemente?-f'· '0ois automóveis saíram ao encontro do outro, das cidade: A 
/ acelerado. Nos instantes t 1 e t2 , suas pos,çoes sao x, e x2 , e B, com iguais velocidades em grandeza e com aceleraçoes 
respectivamente. Mostre que a aceleração do carro é: iguais a 2 m/s2. A aceleração do automóvel que saiu de A estava 
Suponha que em t = O, x = O. 
~ O trem I desloca-se em linha reta, com velocidade constante 
T de 54 km/h, aproximando-se do ponto B, como mostra a 
figura. Determine quanto tempo após a locomotiva do trem 1 
atingir o ponto A, deve o trem li part ir do repouso em C, com 
aceleração constante de 0,2 m/s2 de forma que, 1 O segundos 
após terminar a sua passagem pelo ponto B, o t rem I inicia a 
passagem pelo mesmo ponto. 
Notas: 
- Todos os t rens medem 100 met ros de comprimento, 
incluindo suas locomotivas que viajam à frente. 
- As distilncias no ponto B são: 
AB = 3000 m 
CB=710m 
' ' ' ' 1 : 
' 
Tcemll 'f c 
1 
1 
: 
1 
1 
1 
1 
~mi i 
.. d s ---------------• ------------------------ ,: --
' 
o tempo todo dirigida a A e a do automóvel que saiu em B, 
dirigida a B. Com que atraso saiu um destes automóveis, se 
um terceiro automóvel que se movia com velocidade constante 
de 20 m/s presenciou ambos os encontros dos dois primeiros 
automóveis? 
n/ Duas ambulâncias saem no mesmo instante, do mesmo local. 
/'' Uma delas tem velocidade constante de 48 km/h e a outra 
aceleração constante de 30 km/h2• Sabendo que a segunda 
chegou 1 hora antes, na frente da primeira, pode-se dizer que 
a distância entre as ambulâncias, quando a mais rápida chega 
ao ponto de destino é: 
A) 24 km 
2km 
8km 
6km 
1o/Dois móve is, animados de ve locidades in~ciais-\Í ~ V, 
/"" ~espectivamente, percorrem um mesmo trajetd ret ilíneo AB, 
com movimento uniformemente acelerado. No fi~ do percurso, 
suas velocidades são, respectivamente~v· e ')+'. ~ostre que a 
aceleração entre suas acelerações é: ------ ) 
A (v')2 - (V)2 
a (v ')2 - (V)2 
\ 
1/ Na questão anterior, n:iostre q_ue a relação entre os tempos 
/ . gastos pelos automóveis, para 1r de A até B é: 
T v' + v 
V'+ V 
ITA / IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
~ 
• • • • • • f _. 
.u. 
• 
• • • • • • • -·-• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • º....» 
I Um automó_vel, tendo u~a ~elocidade inicial zero, se desloca por um caminho reto, primeiro com uma aceleração de 5 m/s2, 
depois, com uma velocidade uniforme e, finalmente, reduzindo 
sua velocidade com a mesma aceleraçfio até parar. O tempo 
total do movimento foi 25 se a velocidade média do percurso 
foi de 20 m/s. Determine o tempo em que o automóvel se 
movimentou com velocidade constante. r Um motorista tem tempo de reação próximo de O, 7 segundo 
(intervalo de tempo entre a percepção do sinal para parar e 
a reação de pisar os freios). A máxima desaceleração de um 
automóvel em certa pista é 5 m/s2 . 
Determine o percurso total entre a percepção do sinal e a 
parada, supondo que o veículo tenha velocidade inicial de 
20 m/s. 
FíSICA 1 
Volume 2 
A) Faça um gráfico do deslocamento (não da posição) em 
função do tempo . 
B) Determine a velocidade média da partícula nos intervalos 
O a 1 s, O a 2s, O a 3s e O a 4s . 
C) Calcule a inclinação da curva desenhada na parte (A) nos 
pontos t = O, 1, 2, 3, 4 e 5s . 
D) Desenhe o gráfico (em que unidades?) da inclinação como 
função do tempo. 
E) A partir da curva da parte (D), determine a aceleração da 
partícula em t = 2, 3 e 4 s. 
20. A posição de uma partícula ao longo do eixo x depende do 
tempo de acordo com a equaçãoX = At2 - Bt3, sendo x em 
metros e t em segundos. 
A) Quais as unidades SI de A e B? Para o que se segue, sejam 
3 e 1, respectivamente, os valores de A e B em unidades SI. 
B) Em que instante a partícula alcança sua posição positiva 
1 ~~~aJ-Ji:.ep01,1!5e;--urrr---::_-:~áxima em x? 
n,t,._a,,tdf'V' C) Qual o percurso total realizado pela partícula nos primeiros 
\ 
Para cada uma das situações seguintes esboce um gráfico que 
seja uma descrição possível da posição em função do tempo, 
para uma partícula que se move ao longo do eixo x. No instante 
t = 1 s. a partícula tem: 
A) velocidade nula e aceleração positiva. 
B) velocidade nula e aceleração negativa. 
C) velocidade negativa e aceleração positiva. 
D) velocidade e aceleração negativas. 
E) Em qual dessas situações o módulo da velocidade da 
partícula é crescente em t = 1s? 
, 16. Se a posição de um objeto é dada por x = 2t3, x dado em metros 
e t em segundos, determine: 
A) a velocidade e a aceleração médias entre t = 1 s e t = 2s . 
B) as velocidades e acelerações instantâneas em t = 1 se t = 2 s. 
\ 
4 s? 
D) Qual o seu deslocamento nos primeiros quatro segundos? 
E) Qual a velocidade da partícula ao final de cada um dos quatro 
primeiros segundos? 
Qual a aceleração da partícula no final de cada um dos 
4 primeiros segundos? 
G) Qual a velocidade média no intervalo de tempo de t = 2 s a 
t = 4s? 
21. Um elétron, partindo do repouso, tem aceleração que aumenta 
linearmente com o tempo, a = kt, sendo k = (1,50 m/s2)/s ou 
1,50 m/s3 • 
A) Faça um gráfico de a(t) para o intervalo dos primeiros 1 Os. 
B) A partir da curva da parte (A), desenhe a curva correspondente 
a v(t) e estime a velocidade do elétron 5 s depois que o 
movimento começou. 
C) A partir da curva v(t) da parte (B), desenhe a curva x(t) 
correspondente e estime a distância percorrida pelo elétron 
durante os primeiros 5 s de seu movimento. 
\ 
C) compare as grandezas médias e instantâneas e em cada caso 
explique por que a maior é maior. 
22. Em um jogo eletrônico, um ponto luminoso está programado 
para cruzar a tela de acordo com a equação x = 9,00 t- 0,750t3, 
sendo x a distância em centímetros medida a partir dãoorda 
esquerda da tela e t o tempo em segundos. Quando o ponto 
alcança uma das bordas, seja x = O ou x = 15 cm, ele recomeça 
o movimento. 
l 
17. Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a 
equação x = 50t + 1 0t2• sendo x em metros e t em segundos . 
Calcule: 
A) a velocidade média da partícula durante os primeiros 3 s de 
movimento . 
B) a velocidade instantânea da partícula em t = 3 s. 
C) a aceleração instantânea da partícula nesse mesmo instante . 
18. Um homem permanece parado de t = O até t = 5 min; de 
t = 5 min até t = 1 O min, ele caminha depressa em linha reta 
com velocidade escalar constante de 2,2 m/s. Qual a sua 
velocidade e aceleração médias durante os intervalos de tempo: 
A) de 2 min a 8 min e 
B) de 3 min a 9 min? 
19. Uma partícula se move ao longo do eixo x positivo e ocupa as 
seguintes posições em vários instantes: 
x(m) 0,080 0,085 0,040 0,050 0,080 0, 13 0,20 
t(s) O 2 3 4 5 6 
ITA/lME 
A) Em que instante, após a partida, o ponto estarfl 
instantaneamente em repouso? 
B) Onde isso ocorrerá? 
C) Qual sua aceleração nesse instante? 
D) Em que sentido ele se moverá no instante seguinte, depois 
de parar? 
E) Quando ele sairá da tela? 
,rara decola~ um avião a jato necessita alcançar ao final da 
pista a velocidade de 360 km/h. Supondo que a aceleração seja 
constante e a pista tenha 1,8 km, qual a aceleração mínima 
necessflria a partir do repouso? 
.,/ Uma nave espacial no espaço livre move-se com aceleração r· constante de 9,8 m/s2 • 
Se ela parte do repouso, quanto tempo decorre até que 
ela adquira uma velocidade escalar de um décimo da 
velocidade da luz? Nesse tempo, que distância ela percorrerá? 
(A velocidade da luz é 3,0 · 108 m/s.) 
FíSICA 1 
Volume 2 • 
'A cabeça de uma cascavel pode acelerar a 50 m/s2 ao atacar 
uma vitima. Se um carro pudesse fazer o mesmo, em quanto 
tempo ele alcançaria a velocidade escalar de 100 km/h a partir 
do repouso? 
~Um foguete é lançado verticalmente e sobe com aceleração 
vertical constante de 20 m/s2 durante 1,0 min. Seu combustível 
esgota-se ao fim desse tempo e o foguete continua a mover-se 
como uma partícula livre. 
A) Qual a altitude máxima alcançada? 
B) Qual o tempo total decorrido desde o disparo até que o 
foguete caia na Terra? (Ignore as variações de g com a 
altitude.) 
b.. Um jogador de basquete, no momento de "enterrar" a bola, 
salta 76 cm verticalmente. Que tempo passa o jogador: 
A) nos 15 cm mais altos do pulo? 
B) nos 15 cm mais baixos? Isso explica por que esses jogadores 
parecem suspensos no ar no topo de seus pulos. 
A Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Ao subir, ela 
passa pelo ponto A com velocidade v e pelo ponto B, 3,00 m 
mais alto que A, com velocidade v/2. Calcule: 
A) a velocidade v. 
B) a altura máxima acima de B alcançada pela pedra. 
@A água goteja de um chuveiro sobre o piso, 200 cm abaixo. 
As gotas caem a intervalos r~gulares, a primeira gota atingindo o 
piso no instante em que a quarta gota começa a cair. Determine 
a posição de cada gota quando uma delas atinge o piso. 
30. O laboratório de pesquisa da gravidade nula do Centro de 
._..- Pesquisa Lewis da NASA (EUA) tem uma torre de queda de 
145 m. Trata-se de um dispositivo vertical onde se fez vácuo 
e que, entre outras possibilidades permite estudar a queda de 
uma esfera com diâmetro de 1 m, que contém equipamentos. 
fiQual o tempo de queda do equipamento? 
Qual sua velocidade ao pé da torre? 
o pé da torre, a esfera tem uma a~e~r~c} r é ia de 
5 g quando sua velocidade é reduzida él zero. Que d1st eia 
êf)(percorre até parar? 
~Uma bola é largada da altura de 2,2 m e rebate, atingindo 
~~~ ~ 1,9 m acima do piso. Suponha que a bola fique em contato 
com o pis_g,.,_~~l'!.te ~6 mJ.?_e determine a aceleração média 
._.p t ,.j da bol~m módúWeslfríti~Õ, durante o contato com o piso. 
_B....l.lma mulher cai 43 m do topo de um edifício sobre a caixa 
metálica de um ventilador, que ela afunda 45 cm. 
A mulher sobrevive sem ferimentos graves. Qual a aceleração, 
suposta uniforme, que ela sofreu durante a colisão? 
Apresente sua resposta em termos de g. 
/ 
33. Se um objeto percorre metade de seu percurso total no último 
~iJ'.1ndo de sua queda a partir do repouso, determine: 
/o~ tempo e 
y,r a altura de queda. Explique a solução fisicamente inaceitável 
da equação quadrática do tempo. 
/:
Dois objetos começam uma queda livre a partir do repouso à 
mesma altura, separados por um intervalo de 1,00 s. Quanto 
tempo depois que o primeiro objeto começou a cair os dois 
objetos estarão separados de 10,0 m? 
/} . Um balão está subindo a 12,4 m/s à altura de 81,3 m acima 
t do solo quando larga um pacote. 
A) Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo? 
' B) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo? 
/.'um paraquedista, depois de pular, cai 52,0 m sem atrito. 
Quando o paraquedas abre, ele desacelera a 2, 1 O m/s2 e alcança 
o so <a-à velocidade de 2, 90 m/s. 
uanto tempo o paraquedista permanece no ar? 
A que altura começou a queda? 
. Solta-se uma bola de chumbo em uma piscina a partir de uma 
prancha de mergulho que está 2,6 m acima da água. A bola 
penetra na água com certa velocidade, atingindo o fundo com 
.esta mesma velocidade 0,97 s de.pois de largada. 
A) Qual a profundidade da piscina? 
B) Suponha que toda a água da piscina seja esgotada e que a 
bola seja lançada da mesma prancha, alcançando o fundo 
em 0,97 s. Qual a velocidade inicial da bola? 
':l,I No Laboratório Nacional de 
r · Física da Inglaterra (o equivalente ------- ---------I 
ao nosso Instituto Naciona l de ro 
Pesos e Medidas), foi realizada 2 H 
uma medição de g atirando <i: 
verticalmente para cima uma __ -------------------- __ _ 
bola de vidro em um tubo sem 
ar e deixando-a retornar. 
li\ 
Tempo 
A figura acima é o gráfico da altura da bola em funçãodo 
tempo. Seja õtl o intervalo de tempo entre duas passagens 
consecutivas da bola pelo nível inferior, t.tu o intervalo de 
tempo entre duas passagens consecutivas pelo nível superior 
e H a dist.§ncia entre os dois níveis. Prove que: 
8H 
g = õt~ -t.ti 
3.sv'Uma bola de aço de rolamento é largada do teto de um edifício 
Jfr- ~om velocidade inicial nula. Um observador em pé diante de 
uma janela com 120 cm de altura nota que a bola gasta O, 125 s 
para ir do topo da janela ao parapeito. A bola continua a cair, 
chocando-se elasticamente com uma ca lçada horizontal e 
reaparece no parapeito da janela 2,0 s após passar por ela ao 
descer. Qual a altura do edifício? (Após uma colisão elástica, a 
velocidade escalar da bola em dado ponto é a mesma ao subir 
e ao descer.) 
I Um cachorro avista um pote de flores passar subindo e a seguir descendo por uma janela com 1, 1 m de altura. 
O tempo total durante o qual o pote é visto é de 0,74 s . 
Determine a altura alcançada pelo pote acima do topo da janela. 
41. Os pontos no gráfico indicam a velocidada instantânea 
quilômetro a quilômetro, de um carro em movimento retilíneo . 
Por sua vez, o computador de bordo do carro ca lcula a 
velocidade média dos últimos 9 km por ele percorridos. Então, 
a curva que melhor representa a velocidade média indicada no 
computador de bordo entre os qui lômetros 11 e 20 é: 
km/h 
·~ • ••r:••1••i••1i••:••i••1••i••1••1•••:••1••t~f fJ:tlI 
40 - · · -:--- r-· ~:---r---:---~--~-- -r--~---~--~-- ·f --~--~ ~-.--;. -..:. :-= ·f--~ --: 
~~ : ::r:;::r:1::r:;::r:;::r:;::r;:r-,~\--i:::··-~::; .. ::-
,0 ' ' 1 - . --- ~ - - ~- - - ~ -- ~ ---: 
o •• : : : : : : : : : ·: : : : : : : : : : : 
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 km 
A) a tracejada que termina acima de 50 km/h. 
B) a cheia que termina acima de 50 km/h. 
C) a tracejada que termina abaixo de 50 km/h. 
D) a pontilhada . 
E) a cheia que termina abaixo de 50 km/h. 
ITA/IME 
•• • 
• • • • • • --• • • • • • • • • e 
• • • t-, . 
• • • • • • • • • • • 
• -
• • • • • • --• • • • • -• • • • • • • • • • 1• • • • • • • • • 
42. O gráfico dado mostra a variação da velocidade (v) com o 
deslocamento (x). 
Qual do gráfico a seguir representa corretamente a variação 
da aceleração (a) com deslocamento (x): 
A) B) 
C) D) 
Queda livre e Lançamento vertical 
Exercícios (Lista 3) 
Y.(ITA/J 974) Cinco bolinhas de aço estão presas por elet roímãs 
ao longo de uma reta de equação y = Kx. As bolas estão em 
posições equidistantes, tais que d = 0,5 m. Uma bolinha O 
parte da origem ao longo de x (mesa horizon.tal sem atrito) com 
v = 2 m/s, constante, ao mesmo tempo em que todas as outras 
são desligadas dos elet roímãs. Assinale o valor de K, tal que 
O se choque com a bola. no 4. 
y 
Dado: g = 1 O m/s2. 
A) 0,62 
B) 1,25 
,Q_ 1,87 
(Q.))2,50 
E) 3, 12 
ITA/IME . 
X 
FíSICA 1 
Volume 2 
~TA/1976) Uma partícula é lançada no vácuo verticalmente 
para cima, com uma velocidade inicial de 1 O m/s. Dois décimos 
de segundos depois, lança-se do mesmo ponto uma segunda 
partícula com a mesma velocidade inicial. A ace leração da 
gravidade é de 1 O m/s2• A colisão entre as duas partículas 
ocorrerá: 
A) um décimo de segundo após o lançamento da segunda 
partícula . 
JQ 1, 1 s após o lançamento da segunda partícula. 
(g)a uma altura de 4,95 m acima do ponto de lançamento . 
D) a uma altura de 4,85 m acima do ponto de lançamento. 
E) a uma,altura de 4,70 m acima do ponto de lançamento. 
~ ITA/1980) Um corpo cai em queda livre de uma altura ta l que, 
durante o último segundo de queda, ele percorre ~ da altura 
4 
total. Calcule o tempo de queda supondo nula a velocidade 
inicial do corpo . 
1 
A) t = ----r.=:S 
2 - v3 
3 
C) t = 
2 
_ .fj s 
E) t=~s 
2 + v3 
@ t = 
2
r-;s 
2 - v3 
4 
D) t = ----r.:: s 
2 - v3 
) 
y/. Uma partícula é abandonada, a partir do repouso, de um ponto 
situado a 270 m acima do solo. Divida essa altura em três partes 
tais que sejam percorridas em inteNa los de tempo iguais. 
7-Demonstre que a distância p~rcorrida por um corpo em queda 
livre durante o enésimo segundo é dada pela expressão: 
ó.y = ~(2n - 1) 
2 
;,{- Um balão, que sobe com velocidade de 1 O m/s, em dado 
instante abandona uma pedra. Sabendo-se que nesse instante 
o balão se encontrava a 100 m do soJo e que a pedra caiu no 
terraço de um prédio de 25 m de altura, determine a velocidade 
da pedra no instante do cho~ue . 
y- Deixou-se cair uma pedra livremente em um poço de 320 m 
de profundidade. Supondo-se que a velocidade do som seja 
320 m/s e que g = 1 O m/s2, depois de quanto tempo se ouvirá 
o choque da pedra contra o fundo? 
r/ Uma pequena esfera de aço é abandonada a partir do repouso,' 
/"º de uma altura igual a 5 me quica repetidas vezes colidindo com 
o chão horizontal. No seu movimento vertical, pode-se desprezar 
a resistência do ar; entretanto, ao chocar-se sucessivamente 
com o chão, a bola perde velocidade de tal forma que, após 
cada colisão, sobe a uma altura igua l a 2. da altura máxima 
4 
atingida no salto anterior. Desde que é solta, quanto tempo 
essa esfera leva quicando até pa rar? 
@segundo uma mesma vertical, dois corpos pesados são 
lançados de baixo para cima, animados de igual velocidade 
inicia l. Determine o inteNalo de tempo que deve transcorrer 
entre os dois lançamentos, para que o encontro dos corpos se 
verifique em um ponto que corresponde à metade da altura 
que o primeiro corpo lançado alcança . 
fíSICA 1 · 
Volume 2 
(;":;\Um balão sobe verticalme~te com um.a veloci~ade constante 
~Um corpo, ao cair, percorreu uma fração ~ da altura total V de 600 m/min. Em dado momento, cai do balao uma bomba, 
/ . - a qual, atingindo o solo, explode. 
da queda durante o último segundo. Calcule a altura total da A explosão é ouvida 12 s após a partida da bomba por um 
queda e 
O 
tempo correspo
nd
ente. observador que se encontra no balão. Pede-se a altura deste 
d r - é · m 7 g = 10 m/s2. no instante em que foi abandonada a bomba . Suponha que 
Da os: Ap icaçao num nca: -;;- = 15· a ve locidade do som é de 300 m/s e que a aceleração da 
gravidade é 1 O m/s2. 
ma pessoa do alto de um penhasco, a uma certa altura em . 
e lação ao s?l?,. lança uma. bola verticalmente para <;ima, cov-1mUma pedra é abandonada à beira de um poço, no qual ·º nível 
velocida.de 1nic1al e depois lanç~ outr~ ~~la, verticalmente da água se encontra a 20 m de profundidade. 
para baixo, com a mes'.11ª velo: 1dade 1n1c1al. Alguma delas No mesmo instante, uma out ra pedra é atirada verticalmente 
cheg~r~ a~ solo com maior velocidade que a outra? Despreze para cima, atingindo a altura de 5 m e, depois, caind? no 
a res1stenc1a do ar. poço. o ruído produzido pela primeira é ouvido, ao ca ir na 
/-
. . água. Qual o tempo decorrido até se ouvir o ruído da segunda 
Em um p!aneta. desconh.ec1do, de gravi dade t ambé~ pedra na água, contado a partir do instante em que se ouviu 
desconhecida, deixam-se cair de uma altura. de ? me,. a partir 
O 
ruido da primeira? 
do repouso, esferas em intervalos de tempo 1gua1s. No instante 
em que a primeira esfera toca o chão, a quarta esfera está no 
ponto de partida. Determine, nesse instante, as alturas em que 
se encontram a segunda e a terceira esferas. 
#, Dispondo-se cinco bolinhas de chu mbo, 
conforme a f igura, às distâncias Y
1
, Y
2
• Y
3 
e Y
4 
entre elas, de tal forma que toquem o piso em 
um intervalo de 1 s entre cada batida, valem, 
respectivamente, em met ros: 
Dado: g = 1 O m/s2. 
A) 5, 5, 5, 5 
A 10, 20. 3o. 40 
\gp, 15, 25, 35 
D) 10, 10, 10, 10 
E) 35, 25, 15, 5 
llllllllllllll 
J'. Um ponto material é abandonado no campo gravitacional 
da Terra, próximo à superfície da mesma. O espaço por ele 
percorrido até o instante t é igual ao espaço que ele percorre 
no intervalo de (t) a (t + 1 ). 
Determine t. 
v/' (ITA) Em uma experiência verificou-se que ª. ve~ocidade inicial 
/ - · netessária para que um corpo de massa m atingisse uma alt ura 
H quando lançado verticalmente paracima, era igual a V
0
. 
Se o mesmo corpo for lançado com uma velocidade inicial igual 
a 2V a sua velocidade ao at ingir a altura H será: 
º' 
A) V
0 
V. 
B) -º-
2 
C) ~ 
../3 
&o ·-/3 
E) Vo 
3 
16. De um balão em repouso, dá-se um tiro verticalmente para 
baixo. O projétil e o estampido atingem o solo simultaneamente. 
Conhecendo-se a velocidade inicial V
0 
= 330 m/s da bala e a 
velocidade V5 = 340 m/s do som, determine a altura do balão. 
Dado: g = 1 O rn/s2. 
Dado: g = 10 m/s2. 
19. Apoiada em um piso horizonta l, uma tira de papel T é arrastada 
seg undo seu eixo longitudinal com velocidade constante 
V = O, 5 m/s. Acima da t ira há dois pont os fixos, A e B; 
as vertica is por esse:9ontos interc.eptam o eixo longitudinal da 
t ira; a distância entre essas vert1ca1s é 1 m; a altura de B sobre a 
t ira é 5 m. Nos pontos A e B abandonam-se simultaneamente 
e em repouso duas esferas enegrecidas; chocando-se com a 
t ira, elas deixam marcas separadas por distância igual a 2 m. 
Determine a altura do ponto A. 
0 . 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
·® 1 
7-' Uma pedra é abandonada de uma ponte e gasta 0,25 s para 
passar pelo mastro de um barco que tem 3 m de altura . 
· Qual a distância entre a ponte e a parte superior do mastro? 
@) Três pontos, A, B e C, no momento inicia l, estão situados 
na mesma reta horizontal, a iguais distâncias um do outro . 
O ponto A começa a mover-se verticalmente para cima com urna 
velocidade constante de 5 m/s, e o ponto C, sem velocidade 
inicial, em queda livre (g = 1 O m/s2). Qual a equação horária 
da posição do ponto B, na direção vertical, a fim de que os 
três pontos se encontrem o tempo todo em uma mesma reta? 
Os pontos começam a mover-se simultaneamente . 
22. Um elevador de 2,7 m de altu ra começa a elevar-se com uma 
aceleração constante igual a 1,2 m/s2. Aos 2 s depois do início 
da subida do elevador, um parafuso cai do teto do elevador. 
Ache: 
A) o tempo de queda do parafuso. 
B) o deslocamento e o espaço percorrido pelo parafuso em 
re lação a um referencial inercial. 
23. Que inclinação deve ter um telhado para que a água permaneça 
nele o menor espaço de tempo possível? 
ITA/IME . 
• -
• • • • • • -• • • • • • • • • • • • • • e 
• • • • • • • • • • 
• e 
• • -• • • ---• -• • -• • •• -• • • e 
• • -• • • • • • • • 
1~ 
~ partir do ponto A, situado no extremo superior do 
/ ' ~iâmetro vertical de certa ci rcunferência, dois corpos 
deslizam simultaneamente por AB e AC. Sejam TA e TA os 
. ~ e 
tempos decorridos para percorrer AB e AC, respect ivamente. 
Determine o valor da razão TAe . 
TA, ) ' . 
A 
/uma pequena esfera metálica, de massa m e carga positiva q, 
é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial u0 em 
uma região onde há um campo elétrico de módulo E, apontado 
para baixo, e um gravitacional de módulo g, ambos uniformes. 
A máxima altura que a esfera alcança é: 
2 
A)~ B) ~ 
2g mu0 
C) ~ 
qmE 
E) J 3mEqu0 
8g 
@ 2 mu0 
2 (qE+ mg) 
'J/A partir do repouso, um foguete de brinquedo é lançado 
7 · ,verticalmente do chão, mantendo uma aceleração constante de 
5,00 m/s2 durante os 10,0 primeiros segundos. Desprezando a 
resistência do ar, a altura máxima atingida pelo foguete e o tempo 
total de sua permanência no ar são, respectivamente, de: 
~75 me23,7 s 
'B-(375 me 30,0 s 
C) 375 m e 34, 1 s 
D) 500 me 23,7 s 
E) 500 m e 34, 1 s 
'J/ Um pequeno bloco desliza sem atrito por um plano inclinado 
f' . · a partir do repouso. Seja s" a distância percorrida de t = n - 1 
para t = n. Então ~ é: 
A) 2n-1 
2n 
O 2n-1 
~ 
Sn + 1 
B) 2n + 1 
2n-1 
D) ~ 
2n+ 1 
@ .Um corpo que cai livremente de uma determinada altura H 
atinge um plano inclinado em seu caminho a uma altura h. 
Como resultado desse impacto, a direção da velocidade do 
corpo f i~a' horizontal. Para qual o valor de ~ o corpo terá o 
tempo máximo para atingir o solo? H 
A) 1/4 B) 1/3 
C) 1/2 D) 3/4 
E) 2/3 
ITA/ IME 
FíSICA 1 
Volume 2 
Movimento circular 
Exercícios (Lista 4) 
n / lTA) Um carro partindo do repouso percor re um arco de ;r· ~írcu lo de raio R, com aceleração tangencia l uniforme. 
Depois de percorrer a distância S, na curva, o carro atinge a 
velocidade V 
1
• Nessas condições, a velocidade do carro no 
instante em que percorreu a distância ~ contada do ponto 
de partida é: 2 
A) V1 
2 
B) 2V1 
3 
@~ J7_ D) Vi--/2 
E) Jv'i 
Jé.'~ IME) Um p onto P tem um mov imento de t rajetória 
circu lar com sent ido igua l ao dos ponte iros do re lóg io. 
O arco descrito tem para equação S = 3t2 + 1,85 t, sendo S 
em metros, para va lores de t em segundos. Sendo de 1 O m o 
raio de trajetória, no instante em que t = 2 s, a componente 
da velocidade segundo o eixo coordenado x será: 
y 
A) + 1,385 m/s 
C) +1,57 m/s 
E) +15,7 m/s 
X 
@nula 
D) + 13,85 m/s 
y4TA/1972) No movimento ci rcu lar uniforme de uma partícula, 
considerando-se como vetores as gra ndezas físicas envolvidas, 
podemos afirmar que: 
A) força, aceleração, velocidade tangencia l e velocidade angular 
são constantes. 
B) aceleração, velocidade tangencial e ve locidade angular são 
constantes . 
,.Q velocidade tangencial e velocidade angular são constantes. 
®elocidade angular é constante. 
E) nenhuma das grandezas é constante. 
~ ITA/1974) Uma partícula descreve um movimento circu lar de 
raio R. partindo do repouso e com uma aceleração tangencial 
ªr = cte. A re lação entre a aceleração centrípeta ªe e a 
aceleração tangencia l ªe é: 
a, 
A) a~ t B) 
R 
R art2 
2 art 
C) L D) -
R R 
E) ar t2 
R 
_, 
FíSICA 1 
Volume 2 
/.?ois ciclistas partem de um mesmo ponto de uma pista circular de 
raio igual a 100 m, no mesmo instante e em sentidos contrários. 
Suas velocidades escalares lineares valem 2 m/s e 3 m/s. 
Após quanto tempo eles se encont rarão pela primeira vez? 
~ As 12 horas, o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos 
de um relógio se sobrepõem. Depois de quanto tempo ocorre 
a próxima sobreposição? 
07. (ITA/1973) Um flutuador em colchão de ar, de massa m, 
desloca-se em um círculo horizontal sobre uma mesa e preso 
à extr12midade de um fio inextensível, de comprimento igual 
a 0,8 m, com a velocidade angular mostrada no gráfico 
(a população é dada pelos gases expelidos pelo aparelho). 
Suponha a massa do aparelho constante. Calcule as acelerações 
angular (a), tangencial (a) e centrípeta (ac) e assinale a resposta 
correta. 
a(rd/s2) 
A) 0,25 
B) 0,20 
C) 0,25 
D) 0,20 
E) 0,25 
(J) (rd/s) 
:~ 
1 
5 10 15 20 25 t(s) 
a(m/s2) 
0,20 
0,16 
0,20 
0,16 
0,16 
a/m/s2) 
0,8 + 0,32t + 0,032t2 
0,8 + 0,4t + 0,05t2 
0,8 + 0,4t + 0,05t2 
0,8 + 0,32t + 0,032t2 
0,8 + 0,32t + 0,032t2 
08. (ITA) Um ponto P da roda é obrigado a descrever uma trajetória 
circular de raio R, com aceleração a de módulo constante. 
Em um dado instante, a direção e o sentido dos vetores 
aceleração e velocidade são os indicados na figura 1 abaixo. 
Figura 2 
Pode-se afirmar, então, que: 
Figura 3 
' ' -' a 
V' 
A) as componentes tangencial e centrípeta de a. 
.... .... 
respectivamente, ar e ac, são constantes em módulo. 
B) sendo periódico o movimento, decorrido um período após 
o instante correspondente à situação da figura 1, a nova 
configuração dos vetores V1 e a aceleração;, com V'>~ 
é ilustrada na figura 2. 
C) o módulo da aceleração tangencial ;r em cada instante é 
.... v2 
dado por ar = -. 
R 
D) a força que atua na partícula é constante. 
E) na primeira vez que a partícula torna a passar pela posição 
_, 
inicial, a configuração dos vetores velocidades 1/, e 
aceleração;. , com ~· . ~, é ilustrada na figura 3. 
09. (ITA) Acima de um disco horizontal de centro O, que gira em 
torno do seu eixo, no vácuo, dando 500 voltas por minuto, 
estão suspensas duas pequenas esferas, M e N. 
A primeira está a 2,00 m acima do disco e a segunda a 
4,50 m acima do disco; ambas em uma mesma vertical. Elas são 
abandonadas simultaneamente e, ao chocar-se com o disco, 
deixam sobre ele pequenas marcas, M' e N', tais que o ângulo 
M'ON'é igual a 95,5°. Podemos concluir que a aceleração de 
gravidade local vale: 
A) 10,1 m/s2 
B) 49,3 m/s2 
C) 9,86 m/s2 
D) 11 ,1 m/s2 
E) 3,14 m/s2 
10. (ITA/1984) Na figura, vemos dois discos finos, separados de 
1,10 m, presos a um eixo e postos a girar a 1800 rotações 
por minuto. Qual é a veloc idade de um projét il atirado 
paralelamente ao eixo se os furos f icarem a 18° afastados? 
A) 1800 m/s 
C) 180 m/s 
E) 1320 m/s 
B) 183 m/s 
D) 660 m/s 
11. Dois móveis animados de movimentos uniformes percorrem 
duas ci rcunferências concêntricas, com períodos de 30 se 120 s, 
respectivamente. Admitindo que em um determinado instante 
os dois móveis estejam alinhados com o centro, calcule depois 
de quanto tempo, a partir desse instante, suas posições tornam, 
pela primeira vez, a satisfazer a condição de alinhamento com 
o centro. 
Considere os movimentos: 
A) no mesmo sentido. 
B) em sentidos opostos. 
12. (IME) A velocidade angular de rotação da Terra, em rad/s, vale, 
aproximadamente: 
A) 7,3 . 10-5 
B) 7,3. 10-• 
C) 0,26 
D) 0,52 
E) 15 . 1 o-s 
13. Sendo o raio da Terra de 6400 km, qual a velocidade linear de 
uma pessoa na linha do Equador, med ida em km/h? 
A) 1,6. 102 
B) 1,6 · 103 
C) 3 · 103 
D) 3,0 . 105 
E) O 
14. (ITA/1968) Em um relógio, o ponteiro dos minutos se superpõe 
ao ponteiro das horas exatamente às: 
A) 6 h e 355 min. B) 6 h e 
358 
min. 
11 11 
C) 6 h e 360 min. D) 6 h e 
365 
min. 
11 11 
E) 6 h 
ITA/IME 
• 
~ 
• • • • • • -1 • • • • • • • • • • • • -• • • ---• • • • • • • • 
' / ~ 
-• • • • • • • --• • e 
• • -• -• e 
• • • • • -• • • • • • • • 
15. (Fac. Medicina de Santos) Em uma circunferência, com 60 cm 
de raio, dois móveis, A e 8, estão animados com movimentos 
uniformes com períodos TA e Te, sendo TA> Te. Quando A e 8 
se movem no mesmo sentido, eles se encontram a cada 
30 s, e quando se movem em sentidos contrários, o período 
de encontro é de 10 s . 
Os valores dos períodos de A e B são: 
A)30se 10s 8)20se10s 
C)30se15s D)20se15s 
E) 30 se 5 s 
16. (ITA/1985) Uma roda de bicicleta tem um raio de 25 cm. 
Em 5,0 segundos, o ciclista alcança uma velocidade escalar de 
10 m/s partindo do repouso. A aceleração angular da roda é: 
A) 20 s-2 B) 8,0 s-2 
C) 2,0 s-2 D) 6,0 s-2 
E) 0,50 s-2 
17. (IME) Uma partícula, partindo do repouso, percorre uma 
circunferência de raio igual a 12 cm. O módulo da aceleração 
angular de seu movimento vale 1,0 rad/s2. Podemos conduir que 
o módulo da aceleração linear total. no instante t = 1,0 s, é de: 
A) 4,0 Js cm/s2 
B) 12 Ji cm/s2 
C) 2,0 .f0. cm/s2 
D) 4,0 Ji cm/s2 
E) 12,0 cm/s2 
18. (UFRGS) Um projétil é disparado horizontalmente contra um 
alvo rotativo disposto a 15 m de distância. O alvo está em 
rotação uniforme executando 300 revoluções por minuto e o 
ângulo centra l medido entre o ponto visado no momento do 
disparo e o ponto de impacto do p rojétil no alvo é de 180º. 
t A' 
e• 
A= ponto visado 
A'= ponto de 
impacto 
C = centro do 
alvo rotativo 
Não considerando o efeito do ar, podemos afirmar que: 
A) a distância CA é exatamente igual à distância CA'. 
8) a velocidade de lançamento do projétil tem intensidade 
necessariamente igual a 1,5 · 102 m/s. 
C) a velocidade de lançamento do projétil pode ter intensidade 
igual a 50 m/s. · 
D) a velocidade angular do alvo é de 5,0 rps . 
E) a frequência de rot ação do alvo é de 5,0 rpm . 
19. (Universidade do Pa raná) Um ventilador gira à razão de 
900 rpm. Ao ser desligado, o seu movimento passa a ser 
uniformemente retardado até parar após 75 voltas. 
O intervalo de tempo decorrido desde o instante em que é 
desligado até sua imobilização completa é de: 
A) 1,0 . 10° s 
B) 1,0 . 10's 
C) 1,0 . 102 s 
D) 1,0 . 103 s 
E) 1,0 . 10 ' s 
ITA/IME 
FíSICA 1 
Volume 2 
20. (Fac. Med. ltajubá) Um satélite gravita em torno de um planeta 
de 6,0 · 103 km de raio, descrevendo uma órbita circular estável 
de 1,0 · 10 km de altura. Sendo o período do satélite de 
2,0 anos, concluímos que a aceleração do satélite tem 
intensidade igual a: 
A) zero. 
1 3 
B) 
28 
. 1 o- km/(ano)2. 
C) 9,8 . 103 km/(ano). 
D) 6,9 . 10' km/(ano). 
E) Faltam dados para a resposta. 
21. (FEi) Um ponto material está em movimento em uma 
circunferência de raio 2,00 m, obedecendo à equação horária 
dos espaços: s = 2,00- 5,00 t (em unidades do 5.1.). No instante 
t = 10,0 s sua velocidade linear e sua aceleração vetorial têm 
intensidades dadas, respectivamente, por: 
A)0 e O 
B) 5,00 m/s e 12,5 m/s2 
C) 12,0 m/s e 5,00 m/s2 
D) 5,00 m/s e 2,00 m/s2 
E) 2,00 m/s e 5,00 m/s2 
22. (Faap) Uma partícula descreve uma circunferência de raio R 
com equação h o rária, sob a forma angular, dada por 
l<p = 1,0t2 + 6,01, com <p medido em radianos e t em segundos. 
Sabendo que, para t = 1 ,Os, a aceleração vetorial da partícula 
tem intensidade igual a 10 m/s2, podemos concluir que R vale: 
A) .Js m 
8) 5,0 m 
C) 25 m 
D) 5,0 · 10-1 m 
E) 2,5 m 
23. Um disco horizontal, de raio R = 95 m, gira em torno de seu 
eixo com velocidade angular oo = 1t rad/s . 
- o _--. w 
Vo p Q 
~::1~:_::;.::::::_:-:: 
Um projétil é lançado de fora, no mesmo plano do disco e 
rasante a ele, sem tocá-lo, com velocidade V
0
, passando sobre 
o ponto P. O projétil sai do d isco pelo ponto Q, no instante em 
que o ponto P está passando por aí pela primeira vez. Qual é 
a velocidade de V/ 
24. Em uma partícula incide horizontalmente, 
com velocidade N = 200 m/s, sobre um 
cilindro de raio R = ~ m conforme indica 
10 
a figura. O cilindro possui um orif ício por 
onde a partícula penetra . Determine o 
menor valor da ve locidade angular do 
cilindro para que a partícula saia do cilindro 
pelo mesmo orifício pelo qual penetrou. A 
ação da gravidade sobre a partícula pode 
ser desconsiderada no caso . 
V 
0--
FíSICA 1 
Volume 2 
25. Duas eng renagen s, A e B, têm 
números de dentes que estão entre si 
na razão de 9 para 5. A roda A dá 
10 voltas por hora. Sobre as duas 
rodas dentadas, foram pintadas 
flechas. Qual é o intervalo de tempo 
necessário para que as pontas das duas flechas voltem a ocupar 
a mesma posição simultaneamente? 
26. Qual das figuras propostas pode representar as velocidades 
vetoriais de diferentes pontos de um mesmo raio de um prato 
de toca-discos em rotação uniforme, em determinado instante? 
A) 
Centro 
B) 
Centro 
Centro 
Centro 
27. Dois móveis animados de movimentos uniformes percorrem 
duas circunferências concêntricas com períodos de 30 s e 
120 s, respectivamente. Num instante t 1 os dois móveis estão 
alinhados com o centro, estando um de cada lado. No instante 
t
2 
os dois móveis voltam, pela primeira vez, a ficar alinhados 
com o centro, mas os dois ao mesmo lado. Supondo que os 
dois móveis se desloquem no mesmo sentido, determine o 
valor de t 2 - t1• 
28. (PUC-SP) Em uma polia diferencial, 
ligados por cordas ideais que distam 
respectivamente 1 O cm e 60 cm do eixo 
da polia, estão suspensos dois corpos, A 
e 8. Em um certo instante, o corpo A tem 
aceleração constante de 1 O m/s 2 e 
velocidade de 15 cm/s, subindo. 
Calcule, nesse instante, a velocidade e a 
aceleração de B. 
29. Na figura, temos duas polias coaxiais, A e B, de ra ios 
RA = 20 cm e R8 = 10 cm e uma outra R, = 50 cm. 
O bloco X, que parte do repouso em t = O, desce com aceleração 
escalar constante e igual a 4 m/s2. Não há deslizamento entre 
as polias. Calcule a velocidade angular da polia C em um 
instante genérico t . 
30. Uma barra AB de comprimento 10 m move-se no plano do 
desenho de tal modo que, em um dado intervalo de tempo, 
a direção da velocidade do seu extremo A forma um ângulo 
a= 45° e a do extremo B, um ângulo p (tg p = 4) com a barra. 
A velocidade do extremo A é V. 
O movimento da barra pode ser analisado como a soma do 
movimento de translação ao longo de AB e do movimento de 
rotação simultâneo em redor do eixo perpendicular ao plano 
do desenho e que passa através de um certo ponto O da barra. 
Determine a distância do ponto A até o ponto O. 
V 
~p 
A ~BIZIZIZZZZZZIZIZIZI~ -
31. Um automóvel movimenta-se atrás de um caminhão em uma 
estrada. Entre dois pneus traseiros do caminhão enroscou-se 
uma pedra. A qual distância do caminhão deverá movimentar-se 
o automóvel, a fim de que a pedra desprendida dos pneus do 
caminhão não atinja o automóvel? Os canos movimentam-se 
com velocidade de 72 km/h. 
32. Na tela de um cinema vê-se a roda da f igura em movimento. 
O raio da roda é ..!. m. A câmera cinematográfica roda a f ita 
7t 
com uma velocidade de 24 quadros por segundo. Considerando 
que a roda gira sem deslizamento, determine a velocidade 
mínima, segundo a qual temos a impressão de que a roda está 
em repouso. 
ITA/IME 
• • • • • • --• • ~ 
• -e 
• -• • • • • • • • • • • • • • • • • 
• --• -• • • • -e -• -• --• -• • • • -• • -• • • • • • 
33. Uma bobina, constituída de uma parte cilíndrica e de dois discos 
iguais e contínuos, rola sua parte cilíndrica sem deslizamento em 
uma barra áspera, colocada horizontalmente, com velocidade 
constante V. O raio da parte cilíndrica é r, dos discos é R = 3r. 
Sejam VA e V8, as velocidades instantâneas dos pontos A e B, 
VA + Ve 
respectivamente. Determine o valor de ---
V 
34. Um cone roda sem deslizamento y 
em um plano. O eixo do cone 
gira com velocidade w ao redor 
da vertical que passa através do 
seu vértice. A altura do cone é 
h, o ângulo entre o eixo e a 
aresta é igual a u = 30º. Seja n 
a velocidade angular de rotação 
(1) 
X 
do cone ao redor de seu eixo. Assim sendo, determine o valor 
_ Q 
da razao - . 
O) 
35. Um disco liso de raio R, cujo plano horizontal gira ao redor 
d . f " . Ju. A d' â . R d e seu eixo com requenc1a -- rpm. uma 1st noa - o 
7t 2 
eixo, se desprende um corpo pequeno, que desliza sem atrito pelo 
disco. Determine o tempo gasto pelo corpo para sair do disco. 
36. Mostre que a velocidade com que se move a sombra da Lua 
pela superfície da Terra durante um eclipse total do Sol é 
bt (~ _ R). onde d é a distância da Lua à Terra, R é o raio 
T 28 
da Terra e T é o período de rotação da Terra. 
Considere: 
A) desprezível o movimento de translação da Terra. 
B) o eclipse acontece no Equador ao meio-dia. 
C) o eixo da Terra é perpendicular ao plano da órbita lunar . 
D) o sent ido de rotação da Terra ao redor do seu eixo e do 
movimento da Lua por sua órbita coincidem . 
E) o mês lunar é 28 dias. 
F) Distância Terra-Sol é muito maior que a distância Terra-Lua. 
\ 
37. Uma roda de raio R roda uniformemente por uma superfície 
horizontal. Do ponto A da roda se desprende uma partícula. 
Com que velocidade se move a roda, se a partícula, após estar 
no ar, volta a cair sobre o mesmo ponto da roda. 
1 6 
Dados: g = 10 mls2; R = - '-. 
7tm 
,,,- - ... 
, ' 
8
, \ 
A -_)- -----e-
n,,,, , ,,, ,~ ,, 
FíSICA 1 
Volume 2 
38. Certa partícula se move por uma trajetória circular com uma 
velocidade dada por v = at. Determine o valor da razão ( ª; ) 2, onde 
ar é aceleração total da partícula após a mesma ter percorrido 
0, 1 da trajetória circular. 
Dado: rr2 = 10 . 
39. Certa partícula A gira em uma trajetória 
circular de raio 50 cm, de modo que seu raio 
vetor rr2 gire, com relação ao ponto O, com 
uma velocidade constante w = 4 rad/s. 
Determine o módulo da velocidade da 
partícu la. 
A 
f?r.'\ 
o~ 
40. Um cone circular, cujo ângulo de semiabertura é 60° e raio da 
base R = 5 cm, roda uniformemente sem deslizamento por 
um plano horizontal. O vértice do cone se fixa articularmente 
no ponto O que se encontra a um mesmo nível do ponto C, 
centro da base do cone. 
A velocidade do ponto C é igual a 10 cm/s. Determine: 
A) o módulo da velocidade angular do cone (4 rad/s) . 
B) o ângulo entre o vetor velocidade angular e a vertical (30º). 
41 . Dois corpos sólidos giram ao redor de eixos f ixos intersecantes, 
perpendiculares entre si, com velocidades angulares constantes 
w, = 3 rad/s e w2 = 4 rad/s. 
Determine o módulo da velocidade angular relativa de um 
corpo em relação ao outro . 
42. Uma bola, inicialmente em repouso, 
tem ra io R = 10 cm e começa a rodar 
sem des lizamento por um plano 
horizontal, de modo que seu centro se 
move com aceleração a = 2,5 cm/s2. 
Depois de t = 2 s, os pontos A, B e C 
têm acelerações ª A' a 8 e ªe· 
respectivamente. 
Determine o valor da expressão: 
a/ + a/ + a/ 
ª2 
A 
B 
43. Um projétil é lançado obliquamente de um canhão, atingindo 
um alcance igual a 1000 m no plano horizontal que contém 
a boca do canhão. Nesse canhão, o projétil parte do repouso 
executando um movimento uniformemente variado dentro 
do tubo até sair pela boca do canhão. Ademais, a medida 
que o projétil se desloca no interior do tubo, ele executa um 
movimento uniformemente variado de rotação, coaxial ao 
tubo. Tendo sido o projétil rotacionado de 1 rad durante seu 
deslocamento dentro do canhão, sua aceleração angular, em 
rad/s2, ao deixar o canhão, é: 1: 
====--------------========================= • ITA/IM E 
FíSICA 1 
Volume 2 
44. 
Dados: 
• ângulo do tubo do canhão em relação à horizontal: 45º; 
• comprimento do tubo: 2 m; 
• aceleração da gravidade: g = 10 m/s2. 
Consideração: 
• despreze a resistência do ar. 
A) 12,5 
C) 1250 
E) 500 
B) 25 
0)2500 
Tubo 
/ 
A figura acima apresenta um cilindro que executa um 
movimento simultâneo de translação e rotação com velocidades 
constantes no interior de um tubo longo. O cilindro está sempre 
coaxial ao tubo. A folga e o atrito entre o tubo e o cilindro 
são desprezíveis. Ao se deslocar no interior do tubo, o cilindro 
executa uma rotação completa em torno do seu eixo a cada 
600 mm de comprimento do tubo. Sabendo que a velocidade 
de translação do cilindro é 6 m/s, a velocidade de rotação do 
cilindro em rpm é: 
A)6 
()360 
E) 3600 
B) 10 
0)600 
Lançamento horizontal e Oblíquo 
@(ITA/1975) Um projétil de massa m é 
lançado com uma velocidade inicial V0 
que forma um ângulo de 60° com a 
horizontal. Em sua volta à Terra, ele 
incide sobre um plano inclinado de 30º 
com a hori zontal. O po nto de 
lançamento do projétil e o inicio do 
plano inclinado coincidem conforme a figura. O choque do 
projétil com o plano é inelástico. Após o instante de impacto. 
o projétil desliza, sem atrito, em direção à origem O. 
Qual a velocidade com que ele chega à origem? 
A) f-Ivo B) Jivo 
2 
C) 3v0 
E) 3.J2 V
0 
2 
D) ~ Vo 
oz"Lança -se uma bola sobre um 
/ plano inclinado de 30° em relação 
à horizontal, conforme indica a 
figura ao lado. 
Sabendo-se que AB = 5 m e que 
V0 = 5 m/s, determine o valor de a . A 
03. Um caçador aponta uma arma de fogo para um macaco que 
está trepado em uma árvore. No instante exato em que ele 
dispara, o macaco cai da árvore. Deseja-se saber se o projétil 
que atinge o macaco, passa por cima ou por baixo. 
O~ Para que o ângulo de lançamento de um projétil a altura máxima 
/ é igual ao alcance? 
oi. Um corpo é lançado de um ponto da superfície de um plano 
f inclinado, normalmente com uma velocidade V0. 
O ângulo que o plano forma com a horizontal tem seno igual 
a 0,8. Quando o corpo volta a se encontrar com o plano 
inclinado, ele o faz em um ponto situado x 100 m do ponto 
de lançamento. Qual a velocidade inicial? 
oa( Na figura ao lado, o canhão 
/- aponta em P' e a bala passa 
por P. 2,0 s após o tiro. 
Qual a distância vertical PP' ? 
Dado: g = 1 O m/s2 
A.';)O m 
~5m 
C) 10 m 
D)S,O m 
E) 2,0 m 
o:J"" Uma pedra é lançada de O na direção OP. No instante em que 
7 · passa na vertical de M (meio de OP) ela dista 2,0 m de M. 
A que distância de P se encontra a pedra no instante em que 
passa pela vertical deste ponto? p 
A)2,0rn 
B) 4,0 m 
,Q.6,0m 
®8,0m o 
08. Uma partícula é lançada obliquamente no campo de gravidade 
/ da Terra, suposto uniforme, com velocidade de módulo V0 e 
ângulo de tiro. No mais alto da trajetória, a força resultante na 
partícula é exclusivamente centrípeta. 
y. 
Vo __ ._ __ 
.,,- A .... , 
,. ' ,. ' 
I ' I \ 
I \ 
8 , 1 
1 
Qual o raio de curvatura da trajetória no ponto A? 
V0 cos8 VJ cos
2 8 
N-- ~ 2 g g . 
vJ sen2 8 
C) 2g 
ITA/IME 
• -
• • 9:' • 
• • • --e 
• e -• • • -• • • -• • • • -• • • • • • 
• 
• -• • • • • • • • • • • • • e 
• • • • • • • -e 
1. 
• • • • • 
yDe uma torre lança-se, simultaneamente, várias pedras, em 
diversas direções, porém toqas com a mesma intensidade de 
velocidade inicial V
0
• Em qualquer instante t , antes de atingir 
o solo, todas as pedras estão dispostas sobre a superfície de 
uma esfera, cujo centro ela executa um movimento de queda 
livre, a partir do repouso e iniciado no instante de lançamento 
das pedras o raio da referida esfera é: 
@ 0t B) ~t2 
) 1 2 C V0t - -gt 
2 
E) indeterminado. 
1 2 
D) V0t + - gt 
2 
@ Considere que dois projéteis sejam lançados de ângulos 
a= 10° e p = 20° com a horizontal do mesmo lugar, ao mesmo 
tempo, no mesmo plano vertical e com a mesma velocidade 
em módulo inicial. Determine o ângulo que a linha, ligando os 
projéteis, fazem com a vertical. 
Sugestão: Lembre-se que: 
sena - senp = 2cos( ª; P)sen( a; P) 
cos a - cosp = 2sen(ª; P)sen(ª; P) 
11. Galileu, em sua obra Diálogo sobre duas novas ciências, afirmou 
que "para elevações (ângulos de lançamento) que difiram 
igualmente de 45º, por um pequeno valor para mais ou para 
menos, os alcances são iguais". Prove esta afirmativa . 
v/ Uma bola do alto de uma escada com uma velocidade horizontal 
/ ' de módulo igual a 2,0 m/s. Os degraus têm 20 cm de altura e 
20 cm de largura. Qual será o primeiro degrau atingido pela 
bola? 
13. Um canhão é ajustado para lançar projéteis com velocidade 
inicial V
0
, diretamente para cima, na rampa de uma colina, 
cujo :lngulo de elevação é a, como mostra a figura abaixo. 
A que ângulo, no plano horizontal, deveria o canhão estar 
apontando para obter o alcance máximo possível R sobre a 
rampa da colina? 
14. Um operad or de radar, em terra, está observando a 
aproximação de um projétil. Em certo instante, ele tem as 
seguintes informações: o projétil alcançou sua altitude máxima 
e está se movendo horizontalmente com velocidade valor V; 
a distancia em linha reta até o projétil é f; a linha de visibilidade 
até o projétil está orientada segundo um angulo e acima da 
horizontal. 
A) Encontre a distancia D entre o observador e o ponto de 
impacto do projétil; D deve ser expressa em termos das 
grandezas observadas V, L, 0 e do valor conhecido de g'. 
Despreze a curvatura da Terra e suponha que o observador 
encontre-se no plano da trajetória do projétil. 
B) O projétil passará sobre ele ou atingirá o solo antes de 
alcançá-ló? 
fíSICA 1 
Volume 2 
15. Mostre que a velocidade do projétil, ao passar pela posição de 
cota y (em relação ao plano horizontal que passa pelo ponto 
de lançamento) é igual em módulo a que ele teria ao cair 
V 
livremente, com velocidade inicial nula, do nível de cota / 
até a posição atual de cota y. g 
16. Uma bola de futebol é chutada com uma velocidade inicial de 
20 m/s e com angulo de projeção de 45º. O goleiro, colocado 
sobre a linha do gol, a 60 m de distância e na direção do chute, 
parte ao encontro da bola no instante em que ela é lançada. 
Qual deve ser o valor de sua velocidade se ele pretende alcançar 
a bola antes que ela chegue ao solo? 
17. Um jogador chuta uma bola a 0,5 m de altura acima do 
solo, de modo que seu ângulo de lançamento seja 45° e sua 
velocidade inicial é de 30 m/s. A bola toma a direção da linha 
lateral esquerda do campo, onde uma cerca de 4,5 m de altura 
está localizada a 90 m do jogador. A bola transporá a cerca? 
18. Uma bola é lançada contra a parede sofrendo um choque 
perfeitamente elástico com esta (:lngulo de incidência igual 
ao :lngulo de reflexão) e voltando sobre a cabeça do lançador. 
Quando abandona a mão do lançador ela está a 2 m do solo 
e a 4 m da parede, tendo velocidade igual a 102 m/s fazendo 
45° com a horizontal. A que distância atrás do lançador a bola 
toca o solo? 
Dado: g = 1 O m/s2 
19. A Lei de Torricelli afirma que T 
a velocidade (v) com que a ~ 
água flui de um orifício em um r ' 
re ci p iente é função da 1--------i 
profundidade (h) do orifício, 
de acordo com a fórmu la 
V = ~2gh_ A figura ao lado 
mostra o aparelho usado nesta 
questão. Os orifícios á, b, e e 
d distam 12 cm um do outro 
e 
a 
b 
e 
d 
132 cm T 
e d está a 32 cm de altu ra do x 
tempo T da mesa de suporte de caixa d'água C. O orifício a 
está a uma profund idade de 12 cm, os orifícios silo abertos e 
o nível da água é mantido constante por uma torneira . 
Use o sistema de eixos indicado na fi gura e g = 1000 cm/s2. 
A) Calcule em que ponto do tempo T o jato expedido por d 
baterá. 
B) Determine o ponto de intersecção dos jatos expedidos por 
b e d. 
20. Ati remos um projétil com velocidade constante V0 fazendo o 
angulo e acima de uma direção qualquer OD. Faz-se variar a 
direção OD. O módulo de V
0 
é constante; no entanto, a deve ser 
a bissetriz do :lngulo OD com a vertical, de modo a conseguir-
se o alcance máximo, qualquer que seja a direção escolhida. 
Mostre que o ponto P, correspondente ao alcance máximo em 
OD, descreve uma parábola C. Qual é a equação de C? 
Conclua que a parábola C envolve todas as trajetórias obtidas, 
fazendo-se variar a direção V, mas conservando-se o módulo 
constante. A parábola C é chamada parábola de segurança, 
correspondente ao valor escolhido para V0. ,. 
1 .~=-------================================ 
ITA/IME 
FíSICA 1 
Volume 2 
21. Um canhão antiaéreo atira um projétil com velocidade de 
8,0 x 102 m/s. Um avião inimigo voa a uma altitude de 
1,6 x 104 m. Qual deve ser o ângulo de tiro inicial supondo-se 
que o canhão abre fogo assim que há uma possibilidade de 
alcançar o avião? Despreze a resistência do ar. 
Dado: g = 1 O m/s2 
22. Um esguicho de bombeiro, na rua, dista 20 m de um edifício 
em chamas. A velocidade da água ao sair do esguicho é de 
20 m/s. Qual é a altura máxima que a água pode atingir no 
edifício? 
Dado: g = 1 O m/s2 
23. Um rifle atira em um alvo situado a 50 m de distancia. 
Se a bala abandona o cano da arma com uma velocidade de 
500 m/s, determine a altura ao ponto, acima do alvo, para o 
qual o rifle deve ser apontado a fim de que a bala atinja o alvo. 
24. Voltemos com este problema, ao século XVII. Um navio corsário 
aproxima-se de um porto, que é protegido por forte, situado 
a uma altura h acima do mar. Os canhões do forte e do navio 
são idênticos. Se atirassem verticalmente, o projétil subiria até 
uma altura k, com k > h. O forte pode iniciar o combate assim 
que o navio se encontre a uma distancia horizontal d
1
• O navio 
pode iniciar o combate assim que o forte se encontre a uma 
distancia horizontal d
2
• 
Mostre que ( : ~ / = ~ ~ ~. 
25. (ITA) Uma esfera (1) de pequenas dimensões recebe um 
impulso que lhe dá a velocidade sobre a superfície horizontal 
AB. No instante (t
0
) em que a esfera passa por B é acionado 
um disposit ivo elétrico de maneira que, nesse instante t0, um 
eletroímã E deixa cair uma segunda esfera (11) igual à primeira, 
a partir de uma altura igual a de AB. 
Na experiência, variou-se o impulso inicial dado à esfera 1 
e observou-se que, a partir de um certo valor do impulso, 
as esferas sempre se encontravam antes de chegar ao solo. 
O efeito do ar foi considerado desprezível. 
mr,7'f1,"TTTT,r,r' --- _______ Q, 
Analisando a experiência, um estudante tirou as conclusões 
numeradas de 1 a 6. Assinale as conclusões corretas. 
1) Após abandonar a plataforma AB, o movimento da esfera 
1 é resultante de um movimento horizontal e outro vertical. 
2) O movimento vertical da esfe ra 1, após abandonar a 
plataforma, não está se dando da mesma maneira que se 
daria se não houvesse o movimento horizontal. 
3) Quanto maior o impulso inicial sobre a esfera 1, mais perto 
do solo se dá o encontro das duas. 
4) O movimento horizontal da esfera 1, após abandonar a 
plataforma AB, só pode ser considerado retilíneo e uniforme, 
se a distância d não for grande. 
5) O fato de as esferas sempre se encontraremindica que 
o movimento de queda não é afetado pelo movimento 
horizontal. 
6) Para pequen os va lores do impulso, as esferas não se 
encontram porque o ponto de encontro estaria em uma 
posição abaixo do nível do solo, isto é, se não houvesse a 
limitação do solo sempre haveria encontro entre as esferas. 
26. É necessário lançar da Terra 
uma bola por cima de uma 
parede vertical de altura H, que 
se encontra a uma distância H. 
Calcule a menor velocidade 
inicial para isso ser possível, bem 
como o ângulo de inclinação em 
relação à horizontal da 
velocidade. 
H 
27. Pode-se lançar do fundo de um poço cilíndrico de 15 m de 
profundidade projéteis com velocidade de 20 m/s. Tais projéteis 
são lançados em todas as direções possíveis a partir do centro do 
poço. No entanto, nenhum projét il consegue cair na superfície 
da Terra. 
Determine, então, o diametro mínimo do poço. 
Dado: g = 10 m/s2 
28. Sob qual angulo com a horizontal é necessário lançar uma 
pedra de um penhasco de altura 20 m, com velocidade inicial 
de 14 m/s, a fim de que a mesma caia a uma maior distancia 
do penhasco? 
Dado: g = 1 O m/s2 
29. Com que velocidade mínima deve ser lançado um corpo de cima 
de uma torre de altura H, para que ele ca ia a uma distancia H 
do pé da torre? 
30. Um objeto lançado sob um ângulo a com a horizontal é 
observado em uma luneta situada no lugar do lançamento. 
Determine o menor valor de sec a, a fim de que existam 
momentos em que a velocidade do objeto seja perpendicular 
ao eixo da luneta. 
31. Um bombardeiro de mergulho lança bombas desde uma altura H, 
estando a uma distancia L do objet ivo, onde L = H.fi. . 
Se V = ~3gH é a velocidade do bombardeiro, determine 
(tg a + 3)2, onde a é o ângulo que o mesmo deve mergulhar . 
32. Uma bola cai livremente desde uma 
altura h sobre um plano inclinado 
que forma um ângu lo com a 
horizontal. 
Determine o valor da razê!o A2 • 
A, 
Obs.: O choque da bola com o 
plano é considerado absolutamente elástico. 
33. De uma torre são lançadas pedras em todas as direções possíveis 
com velocidades de 5 m/s. Observou-se que uma das pedras, 
ao atingir a terra at ravés de uma trajetória menos côncava, no 
momento da queda tinha o vetor velocidade formando um 
angulo x ( cos x = j) com a horizontal. Determine a altura 
da torre. 
ITA/IME 
• • -• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
4 
• 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • -• • • • •• • • • • 
34. Do ponto x = y = O são lançadossimultaneamente dois corpos 
com a mesma velocidade inicial V
0 
e formando diferentes ângulos 
(a1= 40° e a 2 = 80°) com a horizontal. Se µ é o módulo da 
velocidade relativa de um em relação ao outro, determine o 
valor da razão Vo . 
µ 
35. De uma mesa de altura 100 cm é lançada uma bola elástica 
à qual foi transmitida uma velocidade inicial horizontal. 
No momento em que a bola sofre um dos inúmeros choques 
elásticos com o solo, da mesma mesa, horizontalmente, é 
lançada uma segunda bola com velocidade tal que se choca 
com a primeira. A que altura se deu o encontro? 
36. Um corpo pequeno desliza com velocidade de 1 O m/s por 
um plano horizontal, aproximando-se de um poço. O poço é 
formado por duas paredes verticais situadas a uma distancia 
-+ 
de 5 cm. A velocidade V do corpo é perpendicular à parede 
e a profundidade do poço é 20 m. Quantas vezes chocará o 
corpo com a parede antes de cair no fundo? 
37. Dois corpos foram lançados simultaneamente de um mesmo 
ponto: um vertica lmente para cima e outro formando um 
ângulo de 30° com a horizontal. 
A velocidade de cada um é 25 m/s. Determine a distância entre 
os corpos no tempo t = 25 . 
38. Duas partículas se movem em um campo de gravidade 
homogênea com aceleração igual a g = 10 m/s2• No momento 
inicial, elas se encontram em um mesmo ponto e suas 
velocidades dirigidas horizontalmente e em sentidos opostos 
(V1 = 2 m/s e V2 = 8 m/s). Ache a dist.§ncia entre as partículas 
no instante em que os veto;es velocidades das mesmas sejam 
simultaneamente perpendiculares. 
39. Um canhão está localizado em uma coluna que tem a forma 
de um plano inclinado de ângulo 45º com a horizontal. 
Um projétil é disparado deste canhão na direção da parte 
superior da colina, fazendo um ângulo p com ela. Prove que, 
para o projétil bater na colina, horizontalmente, deve-se ter 
1 
tgp = 3" 
40. Quando lançado em um ângulo 9
1 
= 15° com a horizontal, um 
projétil cai a uma distância D
1 
antes do alvo, enquanto lançado 
em um angulo 02 = 45°, ele cai a uma distancia D2 depois do 
D 1 
alvo. Se....!. = -, ache o valor de sec0 · cossecO, onde 0 é o 
D2 2 
ângulo em que deve ser lançado o projétil para que ele atinja 
o alvo . 
41. Explique, matematicamente, porque um projétil atirado de um 
canhão A, no topo de um penhasco de altura H acima da terra, 
pode alcançar um canhão B, localizado na superfície, enquanto 
um projétil atirado de um canhão B com a mesma velocidade 
na boca do canhão, não é capaz de atingir o canhão A. 
ITA/IM E 
42. Um projétil é lançado de modo 
que vá de A para B, que estão 
respectivamente nas bases de dois 
planos inclinados de ângulos a e p, 
onde tg a = 2 e tg p = 4 . Ele 
1 
I 
I 
I 
I 
, , , 
I 
FíSICA 1 
Volume 2 
, 
ultrapassa ligeiramente o obstáculo A~'~::=ª=::::::.::;;::::_'-'_-.. • 
de altura H = ~D. onde D é a 
6 
distância entre A e 8. Sendo 9 o ângulo de tiro com a horizontal, 
determine tg 0 . 
43. U m p r o j é t i I é I a n ç a d o 
horizontalmente com uma 
velocidade V0• Encontre a razão 
entre a posição horizontal do 
projétil (x) e a posição vertical (y), 
no instante em que o valor da 
velocidade na direção x 0/x). 
vº -----------+ X 
44. Uma bola foi lançada de um ponto P, sobre um carrinho que 
se desloca com velocidade constante V0, com uma velocidade 
V1 = 10 V0, relativamente ao carrinho. 
Que aceleração devemos dar ao carrinho a partir de P, para que 
a bola caia sobre ele? 
Dado: g = 1 O m/s2 
45. Um projétil foi lançado do alto de um edifício de altura 
h = 12,8 m e largura L = 38.4 m, de tal modo que ele 
tangencia a extremidade oposta do edifício. Sendo o ângulo 
de lançamento 0 = 37°, calcule: 
A) a velocidade inicial do projéti l. 
B) a distância õ, indicada na figura . 
sen37º = ~ 
10 
Dados: cos37º = ~ 
10 
g = 1 Om/ s2 
fíSICA 1 
Volume 2 
46. Um canhão situado em x = O e y = O tem um alcance máximo A. 
Sejam 01 e 02 os ângulos de elevação do canhão, a fim 
d 
. . . A A 
e que o mesmo consiga atIngIr o ponto x1 = -, y1 = - . 
Determine o valor de tg 01 + tg 02. 
2 4 
47. Um homem está de pé sobre um pequeno carro que se desloca 
com uma velocidade constante de 9,5 m/s e deseja lançar uma 
bola através de um aro situado a 5 m acima de suas mãos, de 
tal forma que a bola cruze o aro em movimento horizontal. 
A bola é lançada com uma velocidade inicial de 
12,5 m/s relativamente ao homem. 
Determine: 
A) o valor da componente da vertical da bola. 
B) o tempo em que a bola estará cruzando o aro após o 
lançamento. 
C) a distancia horizontal do aro até o carrinho no instante do 
lançamento. 
5m 
V 
V = 9,5 m/s 
48. Jogamos duas bolas no vácuo com as velocidades e os ângulos 
mostrados na figura. Supondo que estas velocidades sejam 
suficientes para que as trajetórias se cruzem, qual a relação 
-+ -+ 
entre os módulos das velocidades V1 e V2 para que as bolas 
sempre se choquem? 
---
49. Na figura, sêio dados: V O = 1 O m/s; sen = 0,6; h = 1 m; 
g = 10 mls2. Calcule x. 
50. Um corpo é lançado ao longo do plano inclinado AC com 
velocidade VA = 4M m/s. Sabendo-se que no ponto C o 
corpo abandona a guia e que a altura BC = 3 m, pede-se que 
os va lores de CD e DE, para que o corpo percorra o trecho EF 
sem sofrer impacto sobre este plano. 
Dado: g = 1 O m/s2 
E F 
,C D 
B 
51 . Na figura abaixo, um corpo é abandonado em repouso no 
ponto A da guia. Depois de abandonar o plano inclinado AB, 
cai em arco de parábola. Pede-se o valor do ângulo 0, para que 
o corpo deslize notrecho DE, sem sofrer impacto neste plano. 
Dados: a= 45°, h = 5 m; CD = 20 m; g = 10 m/s2 
A 
C.._ __ ~D 
52. Partindo do repouso, uma bolinha cai verticalmente sobre 
um plano inclinado de um ângulo O com relação à horizontal, 
originando seguidos choques perfeitamente elásticos. Se d é 
a distância inicial da bolinha ao plano, obtenha, em função de 
d, n e O, a distância do ponto do n-ésimo choque em relação 
ao plano do primeiro choque. 
53. Um corpo luminoso encontra-se posicionado sobre o eixo 
óptico de uma lente esférica convergente de distância focal f, 
distando d do vértice da lente. Esse corpo se encontra sob a 
ação da gravidade e é lançado com velocidade v, formando 
um ângulo e com a horizontal. 
eixo óptico 
d 
Determine o ângulo de lançamento 0 necessário para que 
a distância entre esse eixo e a imagem do corpo luminoso 
produzida pela lente varie linearmente com o tempo, até o 
instante anterior ao de seu retorno ao eixo óptico. 
Dados: 
m 
• g= 10-r; 
s 
• f = 1,2 m; 
m 
• V=4-; 
s 
• d= 2 m 
ITA/IME 
• 
• • • • • • • • • • -• • • • -• • • • • • • e -• • • • • • • • 
~ 
• 
• • • • • • • • • • • • I• • • • -• • • • • • -
54. Numa quadra de valei de 18 m de comprimento, com rede de 
2,24 m de altura, uma atleta solitária faz um saque com a bola 
bem em cima da linha de fundo, a 3,0 m de altura, num ângulo e 
de 15º com a horizontal, conforme a f igura, com trajetória num 
plano perpendicular à rede. Desprezando o atrito, pode-se dizer 
que, com 12 m/s de velocidade inicial, a bola 
A) bate na rede. 
B) passa tangenciando a rede. 
C) passa a rede e cai antes da linha de fundo. 
D) passa a rede e cai na linha de fundo. 
E) passa a rede e cai fora da quadra. 
55. A partir de um mesmo ponto a uma certa altura do solo, 
uma partícula é lançada sequencialment e em três condições 
diferentes, mas sempre com a mesma velocidade inicial 
horizontal v
0
. O primeiro lançament o é feito no vácuo e o 
segundo, na atmosfera com ar em repouso. O terceiro é feito 
na atmosfera com ar em movimento cuja velocidade em relação 
ao solo é igual em módulo, direção e sentido à velocidade v0 . 
Para os três lançamentos, designando-se respectivamente de 
t ,, t
2 
e t
3 
os tempos de queda da partícula e de v1, v2 e v3 os 
módulos de suas respectivas velocidades ao atingir o solo, 
assinale a alternativa correta . 
A) t
1 
< t
3 
< t
2
; v
1 
> v
3 
> v
2 
B) t1 < t2 = t3; v, > v3 > v2 
C) t 1 = t3 < t2; v, = v3 > v2 
D) t, < t2 < t 3; v, = v3 > v2 
E) t 1 < t2 = t3; v1 > v2 = v3 
56. De uma planície horizontal, duas partículas são lançadas de 
posições opostas perfazendo trajetórias num mesmo plano 
vertical e se chocando elasticamente no ponto de sua altitude 
máxima - a mesma para ambas. A primeira part ícula é lançada 
a 30º e aterriza a 90º, também em relação ao solo, a uma 
distância L de seu lançamento. A segunda é lançada a 60º em 
relação ao solo. Desprezando a resistência do ar, determine: 
A) a relação ent re as massas das partículas. 
B) a distância entre os pontos de lançamento. 
C) a distância horizontal percorrida pela segunda part ícula. 
fíSICA 1 
Volume 2 
02. Um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade 
inicial V
0 
e após um intervalo de tempo Q outro corpo é lançado 
na mesma direção e sentido, com a mesma velocidade e do 
mesmo ponto. Calcule a altura em que os dois corpos se 
cruzam, sendo dado g. 
03. Um ba lão sobe verticalmente com movimento uniforme e 5 s 
após ele abandonar o solo, seu pi loto abandona uma pedra 
que at inge o solo 7 s após a partida do balão. Determine: 
Dado: g = 9,8 m/s-2• 
A) a alt ura onde foi abandonada a pedra . 
B) a velocidade ascensional do balão. 
C) a alt ura em que se encontra o balão no instante em que a 
pedra atinge o solo . 
04. Um observador situado a uma altura de 20 m do solo vê em 
um determinado instante passar por ele um corpo lançado do 
solo vert icalmente para cima e 1 O s depois torna a vê-lo agora 
em queda. Determine: 
Dado: g = 9,8 m/s2 . 
A) a velocidade com que foi lançado o corpo. 
B) o tempo tota l gasto pe lo corpo para retornar ao solo. 
C) a velocidade em valor absoluto que possuía o corpo no 
instante em que passou pelo observador. 
1. em ascensão; 
li. em queda. 
05. Uma partícula é lançada vertica lmente para cima e no mesmo 
instante, outra é abandonada ao seu encontro. Sabendo-se que 
no instante do encontro possuem velocidades iguais, determine 
a relação entre as distâncias percorridas pelas partícu las, até 
esse instante. 
06. Um móvel é animado de um movimento reti líneo cuja equação 
horária é no sistema C.G.S. 
a = 2t3 + 5t2 + t + 2 
Determine: 
A) a velocidade escalar méd ia do móvel entre os instantes 
t1 = 3 e t2 = 5. 
B) a aceleração escalar méd ia do móvel entre os mesmos 
instantes. 
C) a aceleração escalar no instante t
3 
= 6. 
07. Um ponto material é animado de um movimento cuja equação 
ho rária é no sistema MKS 
a=4t3 +6t2 -12 
Pede-se: 
A) o instante em que a sua ve locidade é 24 m · s-1 • 
B) a aceleração do ponto quando a sua velocidade é 72 m · s-1• 
C) o deslocamento do ponto durante o 4° segundo. 
A Revisão geral 08. Com um barco que desenvo lve uma veloc idade de 
• 10,8 km · h- 1 em águas paradas desej a-se atravessar, à 
• 
correnteza, um rio cuja água corre com velocidade 1,5 m · s-1• 
rn___ Determine o ângulo que deve formar o eixo long itudinal do 
~ barco com a normal à correnteza . 
• 09. Em um lago, de águas tranquilas, dois barcos partem 
• 
simultaneamente de um mesmo ponto e tomam as direções 
01 . Dois móveis encontram-se sobre a mesma vertical a certa de duas retas que formam entre si um ângu lo de 60º; 
• 
distância um do outro. Abandona-se o de cima e no mesmo após 5 min a distância que os separa é 600./21 m. Quando 
instante lança-se outro se gundo a vertical ascendente. os mesmos barcos partem simultaneamente de um ponto de 
• 
No instante do encontro, a razão entre as ve locidades do um rio, descendo O mesmo, observa-se que após 2 mina soma 
segundo e do primeiro é K. Determine a relação entre as das distâncias por eles percorridas é 2400 m, e quando iniciam 
• 
distâncias percorridas pelos dois móveis até o instante do juntos a subida do mesmo rio, constata-se que após 1 min a 
encontro. distância entre eles é 120 m. Calcule as velocidades dos dois 
· ===::i------------------====== ===b=a=rc=o=s=e=a= d=a=c=o=rr=en=t=e=za=.============== = 
• ITA/IME 
FíSICA 1 
Volume 2 
10. Uma roda com raio de 45 cm rola sem deslizar ao longo de uma 
superfície horizontal, como mostra a figura a seguir, P é um 
ponto pintado no aro da roda. No instante t,, Pé o ponto de 
contato entre a roda e o chão; no instante t2 posterior, a roda 
girou de meia revolução. Qual é o deslocamento de P nesse 
intervalo de tempo? 
fil.0 
No tempo t, No tempo t2 
11 . Um quarto tem como dimensões 3.0 ~ x 3,7 m x 4,3 m. 
12. 
Uma mosca parte de um dos vért ices e termina no vértice 
diametralmente oposto. 
A) Ache o vetor deslocamento em um referencial cujos eixos 
coordenados sejam paralelos às arestas do quarto. 
B) Qual é o módulo do deslocamento? 
C) Poderia o comprimento da trajetória percorrida pela mosca 
ser menor do que essa distância? Maior do que essa 
distância? Igual a essa distância? 
D) Se a mosca anda em vez de voar, qual é o comprimento da 
trajetória mais curta que ela pode tomar? 
A) Qual é a soma, na notação de vetores unitários, dos dois 
vetores a= Si+ 3j e b = - 3i + 2j? 
B) Qual é o módulo e a direção de a+ b? 
13. Dois vetores são dados por a = 4i - 3j + k e b = - i + j + 4k. 
Encontre: 
A) a+ b. 
B) a - b. 
C) Um vetor e, tal que a - b + c = O. 
14. Dados dois vetores, a= 4i - 3j e b = 6i + 8j, encontre os módulos 
e direções (com relação ao eixo x) de: 
15. 
A) a B) b 
C) a+ b D) b-a 
E) a - b 
A) Um homem deixa a porta da frente de sua casa, anda 1400 m 
para leste, 2100 m para o norte e então pega uma moeda 
de um centavo em seu bolso e a deixa cair de uma ribanceira 
de 48 m de altura. Emum sistema de coordenadas em 
que os eixos positivos x, y e z apontam para leste, norte e 
para cima, respectivamente, e com a origem na posição da 
moeda quando o homem deixou a porta da frente de sua 
casa, escreva uma expressão, usando vetores unitários, para 
o deslocamento da moeda. 
B) O homem retorna à sua porta, seguindo um trajeto diferente 
no caminho de volta. Qual é o seu deslocamento resultante 
nessa viagem de ida e volta? 
16. Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos em um 
plano, como segue: 4, 13 m para sudoeste, 5,26 m para leste 
e 5,94 m na direção 64,0º ao norte do leste. Escolha o eixo x 
orientado para leste e o eixo y para o norte e ache: 
A) as componentes de cada deslocamento. 
B) as componentes do deslocamento resultante. 
C) o módulo e a direção do deslocamento resultante. 
D) o deslocamento que seria requerido para trazer a partícula 
de volta ao ponto de partida. 
17. Dois vetores a e b têm módulos y 
iguais de 12, 7 unidades. 
Eles estão orientados como 
mostra a figura seguinte e sua 
soma vetoria l é r. Encontre: 
b 
A) as componentes x e y de r. 
B) o módulo de r. 
C) o ângulo que r faz com o 
eixo+ x. 
X 
18. Uma estação de radar detecta um míssil que se aproxima do 
leste. Ao primeiro contato, a distância _do míssil é 3600 m, 
a 40,0º acima do horizonte. O míssil é seguido por 123º no 
plano leste-oeste, e a distância no contato final era de 7800 m; 
veja a figura a seguir. Ache o deslocamento do míssil durante 
o período de contato com o radar. 
7800 m 123 º 
19. Dois vetores de módulos a e b formam o ângulo 0 entre si 
quando têm origem comum. Prove, tomando componentes 
ao longo de dois eixos perpendiculares, que o módulo de sua 
soma é: 
r = ./a2 + b2 + 2abcos0. 
20. Prove que dois vetores devem ter módulos iguais se sua soma 
for perpendicular à sua diferença. 
21. 
A) Usando vetores unitários ao longo de três lados de um cubo, 
expresse as diagonais de um cubo em termos de seus lados, 
que têm comprimento a. 
B) Determine os ângulos formados pelas diagonais com os 
lados adjacentes. 
C) Determine o comprimento das diagonais. 
22. Um turista voa do Rio de Janeiro para Copenhague, na 
Dinamarca. 
A) Descreva o vetor deslocamento. 
B) Qual é o seu módulo? A latitude e longitude das duas cidades 
são 22,9º S, 43 ,3° O e 55.7º N, 12,6º L, respectivamente. 
(Desenhe o eixo z ao longo do eixo de rotação da Terra, de 
modo que e= 90º - latitude e~= longitude. O raio da Terra 
é 6.370 km). 
23. Um vetor d tem módulo de 2,6 m e aponta para o norte. 
Quais são os módulos e sentidos dos vetores: 
A) - d? B) d/2,0? 
C) - 2,Sd? D) 5,0d? 
24. Mostre, para qualquer vetor a, que: 
A) a· a= a2 
B) a· a= O 
25. Um vetor a de módulo 12 unidades e um outro vetor b de 
módulo 5,8 unidades apontam em direções que diferem de 
55º. Ache: 
A) o produto escalar dos dois vetores. 
B) o seu produto vetorial. 
ITA/lME 
• 
• • • • • • • • • • • • • • • -• • • • • • • • e 
• • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
26. Dois vetores, r e s, estão no plano xy. Seus módulos são 
4,5 e 7 ,3 unidades, respectivamente, e suas direções são 
320º e 85°, medidas no sent ido anti-horário a partir do eixo x 
positivo. Quais são os valores de: 
A) r - s? 
B) r · s? 
27. Ache: 
A) o produto vetorial de "norte" com "oeste". 
B) "para baixo" escalar "sul" . 
C) "leste" vetorial " para cima" . 
D) "oeste" escalar "oeste" . 
E) "sul" vet o rial " sul " . Considere que cada veto r tenha 
módulo unitário. 
28. Dados dois vetores, a = a_i + a) +a2k e b = b) + bvj +bzk, prove 
que o produto escalar a · b é dado em termos das componentes 
pela Eq. 15 . 
29. Dados dois vetores, a = a,i + a) +a2k e b = bxi + bvj +b2k, prove 
que o produto vetorial a · b é dado em termos das componentes 
pela Eq . 17 . 
30. Mostre que a · b pode ser expresso por um determinante 
3 x 3 como: 
k 
a-b = ªx ªv ªz 
bx bv bz 
31 . Calcule o angulo entre os dois vetores a = 3i + 3j + 3k e 
b = 2i + j + 3k . 
32. Três vetores são dados por a = 3i + 3j - 2k, b = - i - 4j + 2k, e 
c = 2i + 2j + k. Ache: 
A) a · (b x c) 
B) a · (b + c) 
C) a x (b + c) 
33. 
A) Calcule r = a - b + c, onde a = Si + 4j - 6k, b = 
-2i + 2j + 3k e c = 4i + 3j + 2k. 
B) Calcule o angulo entre r e o eixo + z . 
C) Ache o angulo entre a e b. 
34. Três vetores somam zero, como no triangulo 
retangulo da figura ao lado. Calcule: 
A) a· b 
B) a· c 
C) b · c 
(3) a~ 
b (4) 
35. O vetor a está no plano yz a 63,0º do eixo + y, com uma 
• componente z positiva e tem módulo 3,20 unidades. 
O vetor b está no plano xz a 48,0° do eixo + x, com uma 
• componente z positiva e tem módulo de 1.40 unidade. Ache: 
A) a-b. 
• B)a·b. 
FíSICA 1 
Volume 2 
B) Mostre que a lei distributiva se aplica a ambos os produtos, 
vetorial e escalar; isto é, mostre que: 
a · (b + e) = a · b + a · e 
e que 
a · (b + e) = a · b + a · e. 
C) A lei associativa se aplica aos produtos vetoriais; isto é, 
podemos afirmar que a · (b · c) é igual a (a · b) · c? 
D) Faz qualquer sentido fa lar de uma lei associativa para 
produtos escalares? 
37. Mostre que o módulo de um produto vetorial dá numericamente 
a área do paralelograma form ado com os dois vetores 
compo nentes do produto como lados (veja f ig. a seguir). Isso 
sugere como um elemento de área orientado no espaço poderia 
ser representado por um vetor? 
38. Mostre que a · (b · c) é igua l ao volume formado pelos três 
vetores a, b e e, como mostra a fig . 30 . 
a 
Figura 30 
39. Os elétrons, com o todas as formas de matéria, sofrem 
a infl uência da gravidade. Se u m elétron é projetado 
horizontalmente com velocidade de 3,0 x 107 m/s (um décimo 
da velocidade da luz), quanto ele cairá depois de atravessar 
1 m na horizontal? 
40. Um dardo é atirado horizontalmente 
visan d o o cent ro de um a lvo 
(ponto P) com velocidade in icial de 
10 m/s. 
Ele atinge o ponto Q, perto da borda, 
verticalmente abaixo de P e 0, 19 s 
mais tarde; veja a Fig. 24. 
A) Qual a distancia PQ? 
B) A que distancia o atirador estava 
do alvo? 
Figura 24 
41 . Um rifle é apontado horizontalmente para um alvo a 40 m . 
A bala atinge o alvo 1,90 cm abaixo do ponto visado. 
A) Qual o tempo de voo da bala? 
B) Com qual velocidade escalar a bala sai do cano da arma? 
• 
C) O angulo entre ª e b. 42. Um projétil é atirado horizontalmente de uma arma local izada 
a 45,0 m acima de um plano horizontal com velocidade escalar 
• 
36· de salda de 250 m/s. 
A) Vimos que a lei comutativa não se aplica aos produtos A) Quanto tempo O projéti l permanece no ar? 
• 
vetoria is; isto é, a · b não é igual a b · a. Mostre que a lei B) A que distancia horizontal ele atinge O solo? 
comutativa se aplica aos produtos escalares; ou seja, que C) Qua l O módulo da componente vertical de sua velocidade 
a · b = b · a. quando ele atinge o solo? 
· = ==---------== = ============= 
~ ITA/IME 
FíSICA 1 
Volume 2 
43. Você atira uma bola com 1 
velocidade escalar de _. 
25,3 m/s num ângulo de __ •42; 
42,?º acima da horizontal ~ 21,8 m 
e diretamente para uma e,~~~-='======-==!:!~~ 
parede. como mostra a 
figura ao lado. A parede está a 21,8 m do ponto de onde a 
bola foi lançada. 
A) Quanto tempo a bola fica no ar antes de atingir a parede? 
B) A que altura acima do ponto de onde foi atirada a mola 
atinge a parede? 
C) Quais as componentes horizontal e vertical de sua velocidade, 
quando atinge a parede? 
D) Ela passou pela altura máxima da sua trajetória ao atingir 
a parede? 
44. Mostre que a altura máxima atingida por um projétil é 
(v0 senqio)2 
Yrw. = . 
45. 
2g 
A) Prove que, para um projétil lançado em um ângulo $0 
acima da horizontal. em relação a um terreno plano, a 
razão da altura máxima H para o alcance R é dada por 
H/R = ¼ tan $0 • 
B) Encontre o ângulo de lançamento para o qua! a altura 
máxima e o alcance horizontal são igLlJis. Veja a Fig. 26. 
,,. 
/ . 
/ ' 
~ : 
I ' 
/ ,' 
I ,' 
I ,' . 
.... 
' ' ' ~ 
H \ 
Figura 26 
\ 
\ 
\ 
1 
46. Um projétil é atiradoda superfície de um terreno plano segundo 
um ângulo ~º acima da horizontal. 
A) Mostre que o ângulo de elevação 0 do ponto mais alto, 
visto do ponto de lançamento, está relacionado com ~º' por 
tan ~º = 1/2 tan ~0; veja a Fig. 26. 
B) Calcule~ para ~o= 45º. 
47. Nos Jogos Olímpicos de 1968, na cidade do México. Bob 
Beamon estabeleceu o recorde para salto simples à distância. 
com um salto de 8,90 m. Considere que sua velocidade inicial 
ao saltar foi de 9,50 m/s, mais ou menos a de um corredor. 
Quão próximo da marca de um corredor de classe internacional, 
ele chegou do alcance máximo possível, na ausência da 
resistência do ar? O valor de g na cidade do México é 9,78 m/s2• 
48. Para uma velocidade escalar inicial de 30,0 m/s e um alcance 
de 20 m, encontre os dois ângulos possíveis de l~nçamento. 
y 
X 
figura 28 
49. Um rifle tem velocidade de disparo de 460 m/s e atira uma bola 
num alvo situado a 46 m. A que altura acima do alvo o rifle 
deve apontar para que a bala acerte nele? 
50. Uma bola ca i do topo de uma escada com velocidade horizontal 
de 1 ,5 m/s. Os degraus têm 20 cm de altura e 20 cm de largura. 
Que degrau a bola atingirá primeiro? 
51 . Uma bola é lançada do chão para o ar. A altura de 9, 1 m 
observa-se que a velocidade é v = 7,6i + 6, li, em m/s 
(eixo x horizontal. eixo y vertical e para cima). 
A) Que altura máxima a bola vai atingir? 
B) Qual será a distância horizontal total percorrida pela bola? 
C) Qual a velocidade da bola (módulo e sentido) um instante 
antes que ela atinja o solo? 
52. Um arremessador de beisebol fica a 38, 1 cm acima do campo; 
será possível que ele lance uma bola rápida horizontalmente a 
150 km/h e ainda fazer com que ela chegue ao alvo, que fica 
18,5 m afastado? Considere que a bola tem de cair no mínimo 
40,0 cm, mas não mais que 11 O cm. 
53. O alcance de um projétil depende não somente de v0, e $0, mas 
também do valor g da aceleração gravitacional, que varia de 
lugar para lugar. Em 1936, Jesse Owens estabeleceu o recorde 
mundial de salto à distância, com 8,09 m, nos Jogos Olímpicos 
de Berlim (g = 9,8128 m/s2) . Considerando os mesmos valores 
de v
0
, e $
0
, qual seria a diferença no seu recorde se ele tivesse 
competido em 1956 em Melbourne (g = 9,7999 m/s2)? 
(Veja a respeito em The. Earth's Gravity, por Weikko A. 
Heiskanem, Scientific American. setembro de 1955, p. 164.) 
54. Durante erupções vulcânicas. pedaços de rocha sólida podem 
ser atiradas para fora do vulcão; esses projéteis são chamados 
blocos vulcânicos. A Fig. 29 mostra uma seção do Monte Fuji, 
no Japão. 
A) Com que velocidade inicial um bloco tem de ser ejetado em A • 
com inclinação de 35º com a horizontal. de forma a cair ao 
pé do vulcão, em B? 
B) Qual é o tempo de voo? 
.... 
' ' 
Figura 29 
' ' ' ' \ B 
55. Com que velocidade inicial um jogador de basquete deve lançar 
a bola, inclinada de 55° acima da horizontal, para encestar a 
bola em uma cobrança de falta? (Veja a Fig. 30). 
O aro da cesta tem 46 cm de diâmetro. Obtenha outros dados 
na Fig. 30. 
ITA/IME 
• -• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• 
• • • • • • • • • • • • • -• • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
,-----......... ,,-- ' ,, ' 
4· L 2.1 m r 3,0m 
----4 2 m----~1 
Figura 30 
56. Um jogador de futebol chuta a bola de modo que ela 
tenha um tempo de voo de 4 ,5 s e atinja o solo 50 jardas 
(= 45, 7 m) à f rente. Se a bola deixa o pé do jogador a 5,0 pés 
(= 1,52 m) acima do chão, qual é sua velocidade inicial em 
módulo e direção? 
57. 
A) Qual é a aceleração centrípeta de um objeto no equador, 
devido à rotação da Terra? 
B) Qual deveria ser o período de rotação da Terra de forma 
que os objetos no seu equador tivessem uma aceleração 
centrípeta igual a 9,8 m/s2? 
58. Calcule a aceleração de uma pessoa à latitude de 40º, devido 
à rotação da Terra. 
59. Uma mulher de 1,6 m de altura f ica de pé à latitude de 50° 
durante 24 h. 
60. 
A) Durante este tempo, quanto o topo de sua cabeça se moveu 
mais que a planta de seus pés? 
B) Compare a aceleração do topo de sua cabeça com a da 
planta de seus pés. Considere apenas efeitos associados 
com a rotação da Terra. 
Uma partícula está se movendo 
em uma trajetória ci rcular de raio -3,64 m. Em um certo instante sua , 
velocidade é de 17.4 mi~ e sua 
,. 
aceleração faz um ângulo de I 
22,0º com a direção radial, vista I 
da partícula; veja a Fig. 40. \ 
A) A que taxa a velocidade escalar 
\ I da partícula aumenta? 
B) Qual é o módulo da aceleração? ' / ..... ; -....-
Figura 40 
61 . Uma partícula se move em um plano de acordo com 
x = R senrot + ffiRt, 
y = R coswt + R, 
onde w e R são constantes. Estas equações definem uma curva 
chamada cicloide. que é a trajetória percorrida por um ponto na 
borda de uma roda, que rola sem deslizar ao longo do eixo x. 
A) Esboce a trajetória. 
B) Calcule a velocidade e a aceleração instantâneas quando a 
partícula atinge o valor máximo e o valor mínimo de y. 
62. Uma pessoa sobe em 90 s uma escada rolante desligada, com 
1 5 m de comprimento. Em operação, a escada rolante 
transporta uma pessoa parada sobre ela em 60 s, no mesmo 
trajeto. Quanto tempo levaria essa pessoa para subir, andando 
sobre a escada rolante em funcionamento? Sua resposta 
depende do comprimento da escada? 
lTA/lME 
FíSICA 1 
Volume2 
63. O aeroporto de Genebra, Sulça, possui uma calçada rolante 
para ajudar a transportar passageiros por um longo corredor. 
Pedro, que anda pelo corredor mas não usa a calçada rolante, 
leva 150 s para percorrê-lo. Paulo, que simplesmente está 
parado em cima da calçada, cobre a mesma distância em 
70 s. Maria não apenas usa a calçada rolante, mas também anda 
sobre ela. Quanto tempo Maria gasta? Considere que Pedro e 
Maria andam com a mesma velocidade escalar . 
64. Um voo transcontinental de 4300 km está programado para 
levar 50 mina mais quando se dirige para oeste que para leste . 
A velocidade de voo do avião em relação ao ar é de 
960 km/h. Que suposições acerca da velocidade do vento, além 
de ele soprar de leste para oeste, foram feitas ao se elaborar 
a programação de voo? 
65. A neve está caindo verticalmente à velocidade escalar constante 
de 7,8 m/s. 
A) A que ângulo com a vertical e 
B) com qual velocidade os flocos de neve parecem estar caindo 
para o motorista de um carro que viaja em uma estrada reta 
à velocidade escalar de 55 km/h? 
66. Um trem viaja pa ra o sul a 28 m/s (relativamente ao chão), 
sob uma chuva que está sendo soprada para o sul pelo vento . 
A trajetória de cada gota de chuva faz um ângulo de 64º 
com a vertical, medida por um observador parado em relação 
à Terra. Um observador no trem, entretanto, observa traços 
perfeitamente verticais das gotas na janela do trem. Determine 
a velocidade das gotas em relação à Terra. 
67. Em uma grande loja dedepartamentos, um cliente está em pé 
no lado que sobe de uma escada rolante, que se eleva de 42º 
acima da horizontal e à velocidade de O. 75 m/s. Ele passa por 
sua filha, que está em pé na escada adjacente, idêntica, que 
desce. (Veja a Fig. 41 .) Ache a velocidade do cliente em relação 
à sua filha . 
Figura 41 
68. Um piloto deve voar para leste, de A para B, e voltar de novo 
para A, a oeste. A velocidade do avião em relação ao ar é v e 
a velocidade do ar em relação ao cháo é u. 
A distância entre A e B é P e a velocidade escalar do avião em 
relação ao ar é constante. 
A) Se u = O (ar parado), mostre que o tempo para a viagem de 
ida e volta é t0 = 2P/v. 
B) Suponha agora que a velocidade do ar está em sentido leste 
(ou oeste). Mostre que o tempo para ir e voltar será, então: 
t t = o 
e 1- u2/v2 . 
FíSICA 1 
Volume 2 
Movimento geral no plano 
Exercícios (Lista 7) 
01. A roda, representada na 
fig. 3.4.20, rola sem escorregar 
sobre um plano horizontal. 
No instante considerado, a 
velocidade angular é de 4 rad/s, e 
a aceleração angular é de 6 rad/s2, 
ambas no sentido do movimento 
dos ponteiros de um relógio. 
Determinar a aceleraçãodo ponto P. 
Figura 3.4.20 - Ex.: 3.86 
02. Na montagem, representada na fig. 3.4.21, o tambor T é 
solidário à roda R. Determinar o percur~o do centro da roda, 
quando o peso P desce 3 m, admitindo não haver deslizamento. 
Figura 3.4.21 - Ex.: 3.87 
03. A escada AB, representada na / 
fig . 3.4.27, tem 1,50 m de A 
comprimento. A extremidade A tem 
uma velocidade constante de 0,75 
m/s de baixo para cima. 
Determina r a velocidade e a 
aceleração angulares da barra e a 
velocidade e aceleração lineares do 
ponto B, para a posição indicada 
na figura. B 
Figura 3.4.27 - Ex.:3.92 
04. A caixa retangular, representada na f ig. 3.4.28, se move 
mantendo suas arestas A e B em contato com um plano 
horizontal e com uma parede vertical. No instante considerado 
na figura, a velocidade do ponto A é de 1 m/s da direita para 
a esquerda. 
Determinar as velocidades dos pontos B, C, D e E. 
A 
Figura 3.4.28 - Ex.: 3.93 
05. A roda, representada na fig. 3.4.22, 
rola em escorregar num plano 
horizontal. No instante considerado, a 
velocidade do centro C é de 1,25 m/s, 
da di reita para a esquerda, e sua 
aceleração é de 0,75 m/s2, da esquerda 
para a direita. Determinar: 
1. a ve locidade e a acele ração 
angulares da roda; Figura 3.4.22 - Ex. 3.88 
li. a velocidade e a aceleração lineares do ponto P. 
06. Na fig. 3.4.23 está representado um 
carro, que tem uma velocidade de 
1,5 m/s, da esquerda para a direita, 
e no qual está montada uma roda 
que gira com a velocidade constante 
de 1 O r.p.m., no sentido contrário ao 
do movimento dos ponteiros de um 
relógio. O diâmetro da roda é de 
1,25 m. 
Determinar a velocidade do ponto P, Figura 3 4 23 - Ex .. 3 89 
da periferia da roda, cujo ra io, no instante considerado, faz um 
.!lngulo de 30° com a horizontal. 
Indicação: O centro instantâneo de rotação está, evidentemente, 
sobre a vertical do ponto C. Sua posição pode ser determinada 
a partir da velocidade do ponto C, que é dada, e da velocidade 
angular da roda, também conhecida . 
07. A velocidade inicial do peso P (fig. 3.4.24) é de 3 m/s . 
Sabendo-se que o peso P desce com aceleração constante de 
1,5 m/s2, pede-se determinar o deslocamento do centro da 
roda A, que rola sem escorregar, ao fim de 2s. 
Figura 3.4.24 - Ex.: 3.90 
08. Uma partícula carregada tem sua posição no sistema de eixos 
XY regida pelas seguintes equações temporais, que expressam, 
em metros, as coordenadas X e Y da partícula em função do 
tempo t: 
X(t) = ~1+cos2 ( t)-sen2 (t) Y(t) = ~2 + 2 sen2 (t) 
Determine: 
A) a equaçao de uma curva que contenha a trajetória da 
partlcula. 
B) o comprimento da curva formada por todos os pontos por 
onde a partícula passa. 
C) o tempo mínimo gasto pela partícula para trafegar por todos 
os pontos da curva do item anterior. 
D) as coordenadas de dois pontos nos quais a velocidade da 
partícula é nula. 
09. Uma partícula A, de carga positiva +Q, está presa a um veículo 
em movimento, cujas coordenadas de sua posição XA e YA, 
em metros, estão descritas abaixo em função do tempo t , em 
segundos. 
ITA/IME 
.... 
• 
• • • • • • • • • • • • --• • • • • • • • • e 
e 
• • • • • • • • 
T 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
, 
A força elétrica provocada pela interação entre a partícula 
A e uma partícula 8, de mesma carga, f ixada no ponto de 
coordenadas (XA, YA) = (O, 1 ), será ortogonal à trajetória do 
veículo quando o instante t > O for igual a: 
N1 ~1n 
C) 3/4 D) 5/8 
E) 1/8 
1 O. Dois observadores em movimento acompanham o deslocamento 
de uma partícula no plano. O observador 1, considerando 
estar no centro de seu sistema de coordenadas, verifica que 
a partícula descreve um movimento dado pelas equações 
x1(t) = 3cos(t) e y1(t) = 4sen(t), sendo t a variável tempo . 
O observador 2, considerando estar no centro de seu sistema 
de coordenadas, equaciona o movimento da partícula como 
is(t) = 5cos(t) e y2(t) = 5sen(t). O observador 1 descreveria o 
movimento do observador 2 por meio da equação: 
Observações: 
• os eixos x1 e ~ são paralelos e possuem o mesmo sentido; e 
• os eixos y1 e y2 são paralelos e possuem o mesmo sentido. 
x2 y2 
A) 9x2 + 16y2 = 25 8) -+- = 25 
C) 4x2 + y2 = 1 
E) 4x2 + y2 = 4 
9 16 
x2 
D) -+y2 = 1 
4 
11. Uma partícula de carga q e massa m está a dois campos elétricos 
ortogonais E,(t) e EY(t), dados pelas equações: 
E,(t) = 5 sen (2t) 
Eit) = 12 cos (2t) 
Sabe-se que a trajetória da partlcula constitui uma elipse . 
A velocidade escalar máxima atingida pela partícula é: 
A) i l~I 8) 5 l~I 
C) 6,~, 
E) 131~1 
D) 1: 1~, 
12. Duas partícula A e 8, carregadas eletricamente com mesmos 
valores de cargas positivas, partem da origem em velocidade 
nula no instante t = O, têm suas componentes de acelaração 
em relação aos eixos X e Y regidas pelas seguintes equações 
temporais: 
Partícula A: { ª•t = cos(t) 
ayt = sen(t) 
P Í I B {
a,t = -cos (t) 
art cu a : 
ayt = sen(t)-cos(t) 
O instante tmin' onde O !i t'"., < 2n, em que a força de repulsão 
entre as cargas é mínima é 
3 
A) - rt 
2 
1 
C) - 1t 
2 
E) rr 
ITA/IME 
1 
8) - 1t 
4 
3 
D) - 1t 
4 
FíSICA 1 
Volume 2 
13. Uma partícula eletricamente carregada está presa a um carrinho 
que se move com velocidade de módulo constante por uma 
trajetória no plano XY definida pela parábola 
14. 
y = x2 - 9x + 3 
Sabe-se que, em XY. um campo magnético uniforme paralelo 
ao vetor (38, B) provoca força sobre a partícula. O ponto onde a 
partícula é submetida ao maior módulo de força magnética é 
A) (-6, 93) 
8) (-3, 39) 
C) (1, -5) 
D) (2, -2) 
E) (3, - 15) 
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
+Qm 
• z $ ---1> y . . •x 
Um capacitar de placas paralelas carregado gera um campo 
elétrico constante em seu interior. Num instante inicial, uma 
partlcula de massa m e carga +Q, localizada no interior do 
capacitor, é liberada com velocidade nula. Neste mesmo 
instante, o capacitor começa a girar com velocidade angular 
constante ru em torno do eixo z. Enquanto estiver no interior 
do capacitor e antes de colidir com uma das placas, a trajetória 
da carga será uma 
Observação: 
• Desconsidere as ações dos campos magnético e gravitacional. 
A) superposição de um movimento circular uniforme com um 
movimento uniforme no eixo Y. 
8) superposição de um movimento circular uniforme com um 
movimento uniforme no eixo X . 
C) elipse, não se constituindo urna circunferência. 
D) circunferência . 
E) parábola . 
li Anotações 
FiSICA 1 
Volume 2 
ITA/IME 
., 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
~ 
,.li 
• • • • FíSICA li • ONDULATÓRIA • • • Conteúdo: • ONDULATÓRIA Introdução .................................................................................................................................................................................................................. 38 • Pulso e trem de ondas ............................................ ... ................................................................................... .. ................. ........................................... .38 Classificação das ondas .............................................. ........................................... .. .. .................................................. .... .......................................... .38 Ondas mecânicas .................................................................................................... ..... .............................. .................. ............................................... 38 • • 
Ondas periódicas .................... .................................... ....................................... .. .. ...... ............................................................................................... 39 
Equação de uma onda unidimensional ................. .. .. ................................................. ................................................................................................ .40 
Potência e intensidade de uma onda.......................................................................................................................................................................... 41 
Reflexão e transmissão de ondas ........................ ............................................ ........................................................................................................... .42 • Interferência ................................................................................................. .............................................................................................................. .43 Exercícios .................................................................................................................................................................................................................... 45 • • 
AcúSTICA 
Introdução .................................................................................................................................................................................................................. 61 
Equação da onda sonora unidimensional (senoidal) ................................................................................ ................................................................... 62 
Ondas sonoras ............................................................................................................................................................................................................ 62 
• Intensidade do som ..................................................................................................................................................................................................... 63 Sensação auditiva .............. ......................................................................................................................................................................................... 63 • Nível sonoro ................................................................................................................................................................................................................ 63 Audibil idade/ A escala dos fons ................................................................................................................................................................................. 64 • Altura de um som ....................................................................................................................................................................................................... 64 Timbre .................................................................................................................................................................................. ....................................... 64 • Tubos sonoros ................................................................................................................. ........................................................ .................................... 65 Interferência de ondas sonoras: Tubo de Quinke .................................................... ... ................................. .. ............... .. .. .. .. ... ..................................... 65 • Derivadas .......................................................... .. ................................................ .. .. ... ............................ ...... ....................... ........................................ 67 Identidades trigonométricas .. ....................... ...... .................................................. ................................... .. ................................................................. 67 Exercícios .............................. ......................... ............................................................................................................................................................. 67 • • • • 
1 • • • • • • • • • • • • } l 
FíSICA li 
Volume 2 
Ondulatória 
Introdução 
Quando conversamos com um amigo, passamos horas 
e horas nos divertindo e nem percebemos quanta física existe 
neste processo. Uma delas é a propagação de ondas sonoras. 
Quando falamos, vibramos nossas cordas vocais, e essa vibração 
provoca uma perturbação no ar. Tal perturbação se propaga até 
o ouvido do colega, este capta por ressonância a frequência que 
emitimos e o cérebro codifica a mensagem. Isso se deve ao fato de 
que ondas sonoras se propagam em meios materiais, pois são ondas 
mecânicas. No espaço, por exemplo. a onda sonora não consegue 
se propagar (por isso não escutamos as explosões solares e outros 
fenômenos). Entretanto. ondas eletromagnéticas têm o poder de 
se propagar até mesmo no vácuo (essas ondas não precisa m de um 
meio material para existir). 
Embora o mecanismo físico possa ser diferente para cada 
um dos fenômenos citados acima, todos eles têm um aspecto em 
comum. São situações físicas produzidas em um ponto do espaço, 
propagadas por meio deles, e percebidas um instante depois em 
outro local. 
Todos nós temos noções do que é uma onda I Lembramos 
logo das ondas do mar, correto? Pois bem. aquelas ondas são ondas 
bem complicadas e discutiremos sobre o assunto posteriormente. 
Primeiramente, vamos entender os princípios básicos e conhecer os 
elementos que caracterizam uma onda. 
Definição: 
Qualquer tipo de sinal (com velocidade fi nita) que 
transporta energia e quantidade de movimento é classificado 
como onda. 
Como citado na introdução, eis alguns exemplos: 
Onda eletromagnética se propagando no v~cuo 
direçao de propag~ao 
--.. ·-+ 
t 
direçao de 
vibraçao 
! 
·------~-,' -~- - 1 
V 
--!--------- -l 
Pulso transversal se propagando em uma corda presa 
Pulso e trem de ondas 
Um pulso de onda é a propagação de uma (apenas uma) 
perturbação no meio. 
~ ~ Corda parada 
~f------___,;i 
I ~-C-ord_a co_m p_ulso-----1~ 
O trem de ondas é um conjunto de pulsos. Se as perturbações 
são periódicas, pode-se dizer que todas as partículas do meio vibram 
com o mesmo período. Por exemplo, uma onda harmônica. 
Classificação das ondas 
Dimensão de propagação 
• Unidimensional 
• Bidimensional 
• Tridimensional 
Direção de vibração 
• Transversal: vibra na direção perpendicular à propagação. 
Exemplo: Ondas eletromagnéticas. ondas em cordas. 
• Longitudinal: vibra no mesmo sentido de propagação. 
Exemplo: Ondas sonoras. onda se propagando sobre uma mola. 
Ondas longltud,na,s 
De fato, essa classificação será extremamente importante 
quando formos estudar polarização. 
Ondas mecânicas 
Podemos definir ondas mecânicas em poucas palavras: 
Definição de onda mecânica: 
É uma perturbação no meio material (elástico). a qual se 
propaga, por meio desse, transportando energia e momento linear . 
Observação: 
Ondas mecânicas não transportam matéria. A onda que 
transporta matéria é (como o próprio nome diz) a onda de matéria 
que é caracterizada pela equação de Schrõdinger. 
112 2 • é>ljl 
- 2m V IV+ Ew = t/iat 
Bem, concordo com você. Essa equação é bem complicada 
mesmo. Certamente você a estudará no ensino superior quando 
aprender uma matemática mais elaborada. 
ITA/ IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
1. 
• • • 
Exemplo: 
As ondas na superfície da água não são transversais 
nem longitudinais. Para águas profundas, em comparação com 
a amplitude de perturbação, as trajetórias são circunferências . 
Se a profundidade for pequena em relação à amplitude, serão 
elípticas . 
Área de surfe 
A pane traseira da 
onda move-se ma,s 
r áp1do do que 
a parte da frente 
A onda hca ma,s alta 
e quebra. 
Arrebentações 
Altura da onda 
aumenta 
A energia da onda 
e a d,m,nui<;ao 
da profundidade 
da água 
empurram a agua para c,ma . 
Onda 
mult1dao 
Outro tipo de onda que não é transversal nem longitudinal. 
é a onda de torção: 
T 
Observação: 
Normalmente,ondas transversais só se propagam em 
sólidos, isso se deve a forças de interação. No caso das ondas 
sobre superfícies de líquidos, é a gravidade que é responsável 
pela interação. 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
Ondas periódicas 
Elementos de uma onda periódica 
Amplitude 
Elongaçao 
y Compr,mento de onda 
X 
• Amplitude: Por amplitude de uma onda entendemos a altura 
de sua crista em relação ao nível médio, isto é, a maior distância 
por meio da qual se mova a onda . 
• Frequência: Supondo que você esteja em uma canoa amarrada a 
um cais e que as ondas elevem e abaixem a canoa rapidamente. 
A frequência é o número de ondas que passam pela canoa a cada 
segundo. As ondas sonoras têm frequências compreendidas entre 
20 e 20000 vibrações por segundo. As frequências das ondas 
luminosas são bilhões de vibrações por segundo. 
• Comprimento de onda: Representa a disrnncia entre duas 
cristas ou dois vales (ou dois pontos consecut ivos PP, e P/
3
) de 
uma onda que vibra em fase. 
• Período: Intervalo de tempo necessário para que um perfil de 
onda completo passe diante do observador (ou do referencial 
escolhido). É o tempo de uma osci lação completa. 
Daí, temos a seguinte relação: 
óX À. 
V = - =-
ót T 
A velocidade de propagação depende do meio 
,1, 
Para as ondas bi e tridimensional, temos: 
Casos especiais: 
• Em meios homogêneo e isotrópico, os raios são perpendiculares 
às superfícies de onda e são retos. 
• Em meios isotrópicos, mas não homogêneos, os raios podem 
ser curvados, mas ainda são perpendiculares às superfícies de 
onda. 
• Em meios anisotrópicos, os raios podem não ser perpendiculares 
a superfícies de onda . 
FíSICA li 
Volume 2 
Equação de onda unidimensional {harmônica) 
A equação de uma onda harmônica tem como geratriz um 
oscilador harmônico. 
y(t') = A · cos(rot' + <?) 
Por meio de um intervalo de atraso (que é a mesma ideia 
de acompanhar o referencial}, teremos: 
y(x, t) = A · cos (rot - rot0 + <p0) 
= A . CDS (rot - kx + <?o) 
Chamaremos <p = (rot - kx + <p) de fase da onda. 
Existem outras formas de escrever a mesma equação: 
Propagando-se no sentido positivo 
y{x,t) = A · cos (rot- kx + <p0) 
= A · sen (rot - kx + 0
0
) 
Propagando-se no sentido negativo 
y{x,t) = A · cos (rot + kx + <p0) 
= A · sen (rot + kx + 00) 
Perceba a diferença entre os sinais! Essa diferença é causada 
por um atraso ou adiantamento no intervalo de tempo medido. 
Defasagem: 
Tomemos x
1 
e x2 , da mesma onda, tal que x1 * x2. 
• <p1 = (rot - kx 1 + 1pJ 
• <p2 = (rot - kx2 + 1pJ 
21t 
6q> = <P2 - <i>1 = K(x2 - X1) = T lóXJ 
Concluímos que: 
• Se óX =nÀ (n = O, 1 ,2, ... ) 
L\q, = n21t (concordância de fase) 
• Se 6x =nM2 (n = o, 1,2, ... ) 
Liqi = n1t (oposição de fase) 
Quando dois pontos estão em oposição de fase, eles 
possuem elongações simétricas. Veja a seguir exemplos de ondas 
que não são senoidais. 
Onda quadrada: 
Para x = O, observamos: 
,~Y 
Tf2 
(1) +A 
(li) o 
(111)-A --------
T 
T 
y = +A, para O < t < - (1) 
2 
T 
y = O, para t = 2 (11) 
T 
y = -A, para t >- (1 11) 
2 
. 
3T/2 2T • 
Onda dentada: 
Para x = O, observamos: 
y 
y = A(1-f). para 0< t <T 
y = A, para t = O 
T 
y = O, para t = 2 
Velocidade de uma onda em um fio 
Estudaremos um modelo para calcular a velocidade de 
propagação das ondas em cordas. 
M -
Assim, teremos: 
2-rsen - = 2-r-=- = 6m-(
0) 0 t61 v
2 
2 2 r r 
Onde 't é a tração na corda e µ a densidade linear. 
Equação de uma onda unidimensional 
A matemática que rege o processo ondulatório pode 
parecer um pouco complicada, mas a apresentaremos aqui como 
complemento. As provas que enfrentaremos não trabalham 
diretamente com essas equações, entretanto, aconselho aprender, 
pois será de bom uso. 
y(x,0) = y'(x',0) 
x' 
0=0' 
+ y'(x',O) 
x' , x' --- ----- -- -- ..... ---- --- ..... -~-.. 
o x' 
Tomemos um referencial fixo (O) e um referencial que 
acompanhe o pulso com mesma velocidade (O'). Podemos dizer 
sempre que: 
y'(x', t) = y'(x', O)= f(x') 
Por meio de uma transformada de Galileu, temos: 
x' = X - vt, y' = y 
ITA/IME 
:~ 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Dessa forma: 
y(x, t) = f(x - vt) 
Sem perdas de generalidade, temos que: 
v = fy(x,t) = df(x')_ ax· = -v. df(x') 
1 õt dx' õt dx' 
Temos também que: 
a = ê)1y(x,t) = -v.~[df{x')] = -v d2f(x') . dx' 
y atl clt dx' dx'2 dt 
,i y(x,t) 2 d1f(x') 2 a1y 
~=V .~=V oX2 
Concluindo que: 
éJ1y(x,t) 1 &y(x,t) --=v ---élt1 axi 
Essa é a equação característica de uma onda progressiva. 
Daqui em diante, quando lhe disserem que tal função pode ser 
interpretada como uma onda, faça o teste acima . 
Vejamos alguns exemplos para melhorar o entendimento . 
i) As equações de ondas em uma corda mecânica podem ser 
deduzidas por meio do seguinte modelo. Observe a f igura abaixo 
para melhor entendimento. 
8 
r 
X X dx 
Para pequenas amplitudes, podemos considerar que 
a inclinação da corda é relativamente pequena. Dessa forma, 
montemos a Segunda Lei de Newton para esse elemento de corda . 
·,)2y 
(T + dT)sen(e + de)- Tsen(e) = 6m .-2 àt 
Ou seja, acabamos de escrever que a força resultante na 
direção y é igual a massa do elemento de corda (6m) vezes a 
aceleração deste. Observe que estamos tomando um exemplo de 
ondas transversais. Desse modo, devemos ter uma força resultante 
na direção x igual a zero. Assim: 
(T + dT) cos(e + d8) = Tcos(e) 
Substituindo, temos: 
sen (8+d0) ·,J2y 
Tcos(0) ( ) - Tsen(8) = 6m .-2 cos e +de at 
[
ê)y(x+dx) _ ày(x)] 
ax ê)x "i)2y 
T dx = µ ·ãtz 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
Onde v = JfTµ , como vimos anteriormente . 
ii) Velocidade na superfície de um líquido. 
Considerando que o fluido seja incompressível, observe a 
seguinte configuração: 
Superlioe 
do llqu,do no perturbado ,, .. __ / 
Superfrc,e 
do liquido 
no perturbado 
, : ........... ___ _ 
' ' ' : 
i 
1 
·----- ! 
' 
Velocidade na superficie de um liquido 
Considerando que o fluido é incompressível. 
L · h · dx = L(h + 11)(dx + d!;) 
L · h · dx = L(h · dx + h · d!; + 11 · dx + 11 · d!;) 
11 · dx = -h · d!; 
Por outro lado, temos que: 
(Pméd - P'méd)A =-A. dP 
a21; a21; aP 
p · A · dx·-= -A- dP==> p - = --at2 at2 ax 
Sabemos que: 
ê)P 011 
-=pg-
ê)x ê)x 
Substituindo as equações, temos: 
Portanto, temos: 
Potência e intensidade de uma onda 
Definição 
Define-se em física potência média de uma fonte como: 
p _ 6E 
méd - 6t 
A potência que atravessa uma área S é dada por: 
p _ 6E, 
(S)méd - ót 
fíSICA li 
Volume 2 
Se S tem o mesmo formato da superfície das ondas, 
podemos dizer que as potências P méd e P<siméd são iguais. 
No caso de uma fonte puntiforme, teríamos: 
[ 1 = 4:rz ] 
Ou seja, a intensidade de uma onda esférica é inversamente 
proporcional ao quadrado da distância. 
/ 
/ 
i ' ! 
' " 
Observação: 
< 
ForÍte 
' ~-- __ ... 
···-
( "'\ 
i 
/ _, 
,/ 
/ 
Para uma onda harmônica, obtemos: 
E= 27r2mf2A2 
' 
l=Kf2A2 --tA=(~ p ) -~ 
41tKf2 r 
Portanto, se a onda não for unidimensional, as partículas 
oscilam com a mesma frequência, mas a amplitude variando. 
Podemos dizer que em um meio não absorvente, atravessado 
por uma onda mecânica unidirecional, cada partícula do meio repete 
o movimento da fonte. 
Exemplos: 
• Unidimensional; 
• Bidimensional reta; 
• Tridimensional plana. 
Intensidade de uma onda harmônica 
y 
M ------'-- ---'-------- x 
A componente que realiza trabalho é a componente vertical. 
Calcularemos então a taxa de transmissão de energia por tempo 
dessa componente. ay ay ay 
P(x, t) = FY é)t = - T êlx êlt 
P(x, t) = ooKTA2 (senoot + kx +8o}2 
Calcularemos então uma potência média sobre a oscilação 
completa: 
- 1 J 2 P (x, t) = wKTA1 - (sen wt+ kx +80 ) d8 21t 
A intensidade é proporcional ao quadrddo da amplitude e 
ao quadrado da frequência. (Este resultado se aplica a qualquer 
onda harmônica bi ou tridimensional). 
Reflexão e transmissão de ondas 
Quandouma onda de um meio (1) incide sobre outro meio (2), 
ocorrem dois fenômenos fisicos bastante conhecidos: reflexão e 
transmissão. A reflexão só ocorre quando as velocidades dos meios 
são diferentes. Esses fenômenos ocorrem com todos os tipos de 
ondas e a característica principal é a invariância da frequência . 
A frequência de uma onda é di tada pela fonte e não depende do 
meio. 
As amplitudes de reflexão de transmissão em função da 
onda incidente são, respectivamente: 
A =~--/µ;A , J;; +Jµ; 1 
A= 
2
~ A 
t ~+Jµ; , 
Para a demonstração dessas equações, consulte o problema 
19. Como uma aplicação direta para a reflexão, temos o clássico 
exemplo com cordas: 
Extremidade fixa 
Quando a onda atingir a extremidade da corda que está presa 
à parede, haverá o fenômeno da reflexão. Como a extremidade é 
rlgida (fixa), a onda é refletida "de cabeça para baixo", ou seja, 
com inversão de fase. 
Extremidade livre 
Incidente t 
~----t· 
~ 
--~ 
Refletida - ' --V 
Incidente 
Refletida 
Quando a extremidade da corda for livre (móvel), não 
ocorrerá inversão de fase durante a reflexão. 
Nas reflexões bidimensionais, temos: 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .. 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ~, 
LBAC = LBDC = 90º 
LABC = LBDC 
Logo, os angulos de incidência e reflexão são iguais . 
Já na refração, observamos o seguinte esquema: 
0 
0 
Observando o quanto a onda andou, temos que: 
~ = ~ = ~ = n2 
AD v2t v2 n1 
Por outro lado, podemos extrair da geometria que: 
BC 
sen (i) AC BC 
sen (r) = AD = AD 
AC 
Juntamos as equações, obtemos: 
n1 sen (i) = n2 sen (r) 
O exemplo de refração em cordas é análogo. A refração 
ocorre quando uma onda é transferida de uma corda para outra. 
Se a corda que recebe tiver uma densidade linear maior, a velocidade 
da onda se reduz. Caso a densidade linear da corda for menor, 
a velocidade aumenta. 
onda incidente 
A ~ 
onda refratada 
~ 
onda refletida 
Inversão de fase na reflexão: 
onda incidente -B~ 
onda refletida onda refratada -~ 
• Ondas sonoras invertem a fase quando se refletem em uma 
superfície fixa . 
• As ondas eletromagnéticas invertem a fase na reflexão se 
v2 < v1• (Do menos para o mais refringente). 
Interferência 
É o fenômeno que representa duas ou mais ondas se 
superpondo na mesma região de um meio. Na interferência 
construtiva ocorre um reforço da onda, e a amplitude da onda 
resultante é maior do que a amplitude de cada uma das ondas 
que se superpõem. No caso da interferência destrutiva, ocorre um 
cancelamento da onda, sendo esse cancelamento total ou parcial, 
e a amplitude da onda resultante é menor do que pelo menos 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
uma das amplitudes das ondas que se superpõem. Quando ocorre 
a interferência tota lmente destrutiva, o meio não apresenta efeito 
das perturbações, permanecendo o ponto em equilíbrio, enquanto 
perdurar a superposição. 
Onda resultante 
Interferência construtiva 
' ' ..... / 
' ...... _2_ ., / 
lnterfer/lncia de~trutiva 
Veja o padrão produzido com duas fontes pontuais na 
superfície de um líquido: 
As linhas destacadas são hipérboles com os focos sobre as 
fontes . 
Ondas se propagando no mesmo sentido e com 
mesma frequência 
y
1
(x,t) = A
1 
· cos(rot- kx + q>
0
) 
y
2
(x, t) = A2 · COS(Cllt - kx + q>0) 
Utilizaremos o método de soma de fasores. 
A 2 =A:+ A ~+ 2A1A 2 cos( q>0_2 - q>0_1) 
1 = 11 + 12 + 2Jíj; cos ( <p0,2 - <pº· 1) 
Temos assim, que: 
• Se q>0_2 - q>0_1 = 2nn 
1 = ( ,Jí; + J;)2. condição de máximos (Obs.: para 11 = 12 = 10 
-+ 1 = 41) 
• Se Q>0,2 - <Po., = (2 n + 1 )n 
1 = (,jí; -_Ji;r, condição de mlnimos (Obs.: para 11 = 12 = 10 
-+ 1 = O) 
FíSICA li 
Volume 2 
Ondas estacionárias 
Estas ondas, que serão de extrema importância nos assuntos 
posteriores, recebem esse nome pelo fato de que o fluxo de energia 
é nulo entre os nodos. 
É um estado estacionário. Tais ondas são geradas pela 
superposição de uma onda progressiva e uma regressiva de mesma 
amplitude e frequência. 
y1(x,t) =A · cos(wt - kx + q,J 
yz<x,t) =A · cos(rut + kx + q,0) 
Somando as elongações, obtemos: 
y(x, t) = 2A · cos(kx + q,J sen(w t) 
Simplificando com q,
0 
= O: 
y(x,t) = 2A · cos(kx) sen(rut) 
Esta é a equação de uma onda estacionária. 
A formação de ondas estacionárias não é uma exc!usividade 
para cordas ou ondas sonoras. O fenômeno ocorre com qualquer tipo 
de onda confinada, inclusive ondas eletromagnéticas. Em um forno 
de micro-ondas, a câmara de cozimento é dimensionada de maneira 
que as suas paredes sempre coincidam com nós das micro-ondas, 
como vemos na figura abaixo. 
Quarto harmônico 
A região representada por N são os nodos (pontos que 
possuem amplitude nula). As regiões representadas por V chamamos 
de ventres. 
Ondas estacionárias no interior de um forno de micro-ondas. 
Assim, praticamente não haverá absorção de energia das 
ondas pelas paredes do forno, proporcionando reflexões próximas 
à condição ideal de formação de onda estacionária. O alimento é 
colocado sobre um prato giratório para garantir uma distribuição 
uniforme de energia, pois se o alimento permanecesse estático, 
teríamos pontos frios em locais que coincidissem com os nodos 
das ondas estacionárias. 
A distância entre as paredes da câmara de cozimento deve, 
então, ser um múltiplo inteiro de meio comprimento de onda das 
micro-ondas utilizadas no processo. Como as micro-ondas utilizadas 
têm uma frequência de 2,45 GHz, as dimensões internas da câmara 
de cozimento deverão ser múltiplos inteiros de 6, 12 cm. 
Batimentos e velocidade de grupo 
Tomemos agora ondas com frequências e comprimentos 
de ondas diferentes. Para simplificação, tomemos também a fase 
inicial das duas sendo zero. 
y
1
(x,t) =A · cos(w
1
t - k,x) 
y
2
(x,t) =A · cos(ro
2
t- k
2
x) 
Definimos, então: 
ów = w2 - w,; 
iõ = (1)2 + w, . 
2 ' 
Assim, obtemos: 
y(x,t) = y1(x,t) + y/x,t) 
ók = k2 -k, 
k = kz+k, 
2 
(
ók Ó(l) ) . Onde 2A-cos 2 x - 2 t é a amplitude modulada A(x,t) . 
Esta expressão descreve um movimento ondulatório com 
amplitude modulada. A velocidade de fase é dada por: 
Esse movimento está representado, na figura abaixo, pela 
linha contínua. 
y 
X 
Por outro lado, a amplitude modulada está representada 
pela linha pontilhada. 
Pela expressão matemática de y(x,t), podemos ver que essa 
amplitude modulada corresponde a um movimento ondulatório 
que se propaga com uma velocidade, chamada de velocidade de 
grupo, com módulo: 
co2 - co, dw V=---= -
9 k2 -k1 dk 
Se o módulo da velocidade de propagação é independente 
da frequência, dizemos que o meio pelo qual se propagam as ondas 
é um meio não dispersivo. Nesse caso, todas as ondas que compõem 
o pulso se deslocam com a mesma velocidade e a velocidade de 
grupo, que corresponde à velocidade do pulso, é igual à velocidade 
de fase, que corresponde à velocidade de cada onda componente. 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • t ! 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Em um meio dispersivo, cada onda harmônica que compõe o pulso 
se desloca com uma velocidade de módulo diferente, e o módulo da 
velocidade do pulso pode não se, igual a qualquer um dos módulos 
das velocidades de fase. Uma onda harmônica que se estende de 
- CX) a + CX) é caracterizada por um só comprimento de onda e uma 
só frequência. Uma onda como essa não é adequada para transmitir 
informação porque informação implica alguma coisa com um 
começo e um fim. Uma informação pode ser codificada por uma 
sequência de pulsos e, portanto, viaja com uma velocidade igual 
à velocidade de grupo que é, no caso de um meio não dispersivo, 
idêntica à velocidade de fase . 
A frequência de batimento é dada pela diferença das 
frequências: 
f bat = f l - f, 
Voltaremos a estudar esse fenômeno em Acústica. 
01 . Um professor de Física, que ministrava a primeira aula sobre 
Ondas, davaexemplos de ondas eletromagnéticas. Ele dizia: 
"São exemplos de ondas eletromagnéticas as ondas de rádio, 
a luz, as ondas de radar, os raios X, os raios Y" . Um aluno 
entusiasmado completou a lista de exemplos, dizendo: "Raios 
a, raios P e raios catódicos". Pode-se afirmar que: 
A) pelo menos um exemplo citado pelo professor está errado. 
B) todos os exemplos citados pelo professor e pelo aluno estão 
corretos. 
C) apenas um exemplo citado pelo aluno está errado . 
D) os três exemplos citados pelo aluno estão errados. 
E) há erros tanto nos exemplos do professor quanto nos do 
aluno. 
02. Luz linearmente polarizada (ou plano polarizada) é aquela que: 
A) apresenta uma só frequência. 
B) se refletiu em um espelho plano . 
C) tem comprimento de onda menor que o da radiação 
ultravioleta . 
D) tem a oscilação, associada à sua onda, paralela a um plano. 
E) tem a oscilação, associada à sua onda, na direção de 
propagação. 
03. (ITA) Considere os seguintes fenômenos ondulatórios: 
1. Luz; 
li. Som; 
Ili. Perturbação propagando-se em uma mola helicoidal esticada . 
Podemos afirmar que: 
A) 1, li e Ili necessitam de um suporte material para propagar-se . 
B) 1 é transversal, li é longitudinal e Ili tanto pode ser transversal 
como longitudinal. 
C) 1 é transversal, li é longitudinal e Ili é longitudinal. 
D) 1 e Ili podem ser longitudinais. 
E) somente Ili é longitudinal. 
04. (ITA) Um raio luminoso propaga-se do meio (1), de índice de 
refração n1, para o meio (2), de índice de refração n2, então: 
A) se n > n;, o ângulo de incidência será maior que o ângulo 
de refração. 
B) se n1 < n2, o ângulo de incidência será menor que o ângulo 
de refração e não ocorrerá reflexão. 
C) se n1 > n2, pode ocorrer o processo de reflexão total, e o 
feixe refletido estará defasado em relação ao feixe incidente 
de rad. 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
D) se n1 < n2, pode ocorrer o processo de reflexão total, e o 
feixe refletido estará em fase com o feixe incidente. 
E) se n 
1 
> n
2
, pode ocorrer o processo de reflexão total, e o 
feixe refletido estará em fase com o feixe incidente. 
05. (ITA/1988) Uma luz monocromática, propagando-se no vácuo 
com um comprimento de onda = 6000 A (1 A = 10-10 m), 
incide sobre um vidro de índice de refração n = 1,5 para esse 
comprimento de onda. (Considere a velocidade da luz no vácuo 
como sendo de 300000 km/s). No interior desse vidro essa luz: 
A) irá se propagar com seu comprimento de onda inalterado, 
porém com uma nova frequência f = 3,3 · 1014 Hz. 
B) irá se propagar com um novo comprimento de onda = 4000 A, 
bem como uma nova frequência f = 3,3 · 1014 Hz. 
C) irá se propagar com uma nova velocidade v = 2 · 108 m/s, 
bem como com uma nova frequência f = 3,3 · 1014 Hz. 
D) irá se propagar com uma nova frequência f = 3,3 · 1014 Hz, 
e um novo comprimento de onda = 4000 A, bem como 
com uma nova velocidade v = 2 · 108 m/s . 
E) irá se propagar com a mesma frequência f = 5 · 1014 Hz, 
com um novo comprimento de onda = 4000 A, e com uma 
nova velocidade v = 2 · 108 m/s . 
06. Um sistema físico que vibra devido à ressonância deve: 
A) vibrar com sua máxima amplitude possfvel. 
B) vibrar com uma frequência maior que sua frequência natural. 
C) receber energia de uma onda que tem frequência igual à 
sua frequência natural de vibração. 
D) ser feito do mesmo material que a fonte emissora de ondas. 
E) ter tamanho menor que o comprimento de onda emitido 
pela fonte de vibração. 
07. (Aman-RJ) Em um forno de micro-ondas, o processo de 
aquecimento é feito por ondas eletromagnéticas que atingem 
o alimento ali colocado, incidindo assim nas moléculas de 
água nele presentes. Tais ondas, de frequência 2,45 GHz, 
atingem aquelas moléculas, que, por possuírem essa mesma 
frequência natural, passam a vibrar cada vez mais intensamente. 
Desse modo, podemos afirmar que o aquecimento descrito é 
decorrente do seguinte fenômeno ondulatório: 
A) batimento. B) ressonância. 
C) refração. D) difração. 
E) interferência. 
08. Um afinador de pianos, ao realizar seu trabalho, vale-se de 
diapasões que emitem sons de frequências-padrão. Para 
afinar certa nota. após acioná-la, ele percute o diapasão 
correspondente e ouve os dois sons. A afinação da nota será 
considerada finda quando o afinador não observar entre os 
sons do piano e do diapasão: 
A) interferência. B) ressonância. 
C) polarização. D) reflexão. 
E) batimentos. 
09. Um banhista, parado em relação à Terra, conta em uma praia 
a passagem de 21 cristas de onda equiespaçadas pelo seu 
corpo. O intervalo de tempo decorrido no evento é de 80 s. 
Conhecendo a velocidade de propagação das ondas ( 1,0 m/s), 
determine o comprimento de onda das ondas do mar nesse 
local. 
10. Em um lago, o vento produz ondas periódicas que se propagam 
a uma velocidade de 2 m/s. O comprimento de onda é de 1 O m. 
Determine a frequência de oscilações de um barco: 
A) quando ancorado nesse lado. 
B) quando se movimenta em sentido contrário ao da 
propagação das ondas, a uma velocidade de 8 m/s . 
FíSICA li 
Volume 2 
11. (ITA) Considere as seguintes afirmações relativas às formas de 
ondas mostradas na figura. 
direçl!o de 
vibração 
- .. 
Onda A 
Onda B 
direção de 
movimento 
(li rp (\ n ''~''' H7JU U~ 
1. A onda A é conhecida como onda longitudinal e seu 
comprimento de onda é igual à metade do comprimento 
de onda da onda B; 
li. Uma onda sonora propagando-se no ar é melhor descrita 
pela onda A, onde as regiões escuras são chamadas de 
regiões de compressão e as regiões claras, de regiões de 
rarefação; 
Ili. Se as velocidades das ondas A e B são iguais e permanecem 
constantes e, ainda, se o comprimento de onda da onda B 
é duplicado, então o período da onda A é igual ao período 
da onda B. 
Então, pode-se concluir que: 
A) somente li é correta. B) 1 e li são corretas. 
C) todas são corretas. D) li e Ili são corretas. 
E) 1 e Ili são corretas. 
12. Dois pulsos circulares, A e B, são produzidos no ponto O da 
superfície tranquila da água de uma cuba de ondas. Os pulsos 
incidem em um anteparo plano colocado dentro da cuba, 
sofrendo reflexão. 
Sabendo que os pulsos se propagam na água com velocidade 
de 43 crn/s e que A foi produzido no instante t = O, determine 
a configuração do sistema no instante t = 1,0 s. A distancia 
do centro das circunferências até o anteparo vale 20 cm e o 
comprimento de onda vale 3 cm. 
13. Em uma corda vibrante, é posslvel observar ondas estacionárias. 
Elas se formam devido aos fenômenos de: 
A) reflexão e refração. 
B) dispersão e reflexão. 
C) refração e polarização. 
D) reflexão e interferência. 
E) interferência e polarização. 
14. Considere uma onda senoidal propagando-se com velocidade 
igual a 4 m/s ao longo de uma corda elástica com um eixo de 
referência o •. O gráfico mostra, em determinado instante, os 
valores algébricos das velocidades transversais de alguns pontos 
da corda, compreendidos entre as posições x0 = O e x1 = 3,0 m. 
v(m/s) 
2n 
A) Determine a frequência e a amplitude da onda. 
B) No instante considerado, qual será o perfil da corda 
compreendido entre as posições Xa = O e x1 = 3,0 m? 
C) Calcule, no instante considerado, o valor algébrico da 
aceleração do ponto da corda situado na posição 2,0 m. 
15. (ITA) Uma onda eletromagnética com um campo elétrico de 
amplitude E0, frequência f, comprimento d_e onda = 5~0 nm é 
vista por um observador, como mostra a figura. Considere as 
seguintes proposições. 
1. Se a amplitude do campo elétrico E
0 
for dobrada, o 
observador perceberá um aumento do brilho da onda 
eletromagnética; 
li. Se a frequência da onda for quadruplicada, o observador 
não distinguirá qualquer variação do brilho da onda 
eletromagnética; 
Ili. Se a amplitude do campo elétrico for dobrada, e a frequência 
da onda for quadruplicada, então o observador deixará de 
visualizar a onda eletromagnética. 
Lembrando que a faixa de comprimento de ondas, em que a onda 
eletromagnética é perceptível ao olho humano, compreende 
valores de 400nm a 700 nm, pode-se afirmar que: 
À 
Campo 
elétrico 
f---+&---+----1-r--r--, _. ~ 
Observador 
A) apenas li é correta. B) somente I e li são corretas. 
C) todas são corretas. D) somente li e Ili são corretas . 
E) somente I e Ili são corretas. 
16. Quanto tempo vai demorar as ondas de som para percorrer a 
distancia I entre os pontos A e B, se a temperatura do ar entre 
eles varia linearmente de T1 a T/ A velocidade de propagação 
do som no ar é igual av = o.Jr, onde o. é uma constante. 
17. Na figura abaixo, está representada a secção t ransversal de um 
recipiente infinitamente grande com um líquido. Da esquerda, 
do meio que tem uma profundidade h1, e sob um angulo de 
~,. em relação ao limite de divisão, movimenta-se uma ?n?a 
plana, cujo comprimento é À.>>h1• Que angulo com o l1m1te 
de divisão formará essa onda no meio, cuja profundidade do 
líquido é h2? Sabe-se que a velocidade de propagação das ondas 
gravitacionais longas, em um recipiente infinitamente grande, é 
igual a v = k..{gh, onde K é um coeficiente de proporcionalidade 
e h é a profundidade do recipiente. 
h, 
ITA/IME 
• • 
•• 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • 1. 
• • • • • • • • • • 
1• • • • • • • • • • • • .. , 
18. Um cabo de comprimento L e massa M está pendurado no 
teto. 
A) Mostre que a velocidade de uma onda transversal, como 
função da posição ao longo do cabo livre, é v = ..fgx, 
onde x é a distância à extremidade livre. 
B) Mostre que o pulso t ransversal atravessa o cabo em 
um tempo igual a 2l. Observe que os resultados são 
independentes da massa. 
19. Duas cordas muito longas, bem esticadas, de densidades 
lineares diferentes. µ 1 e µ2, estão ligadas uma à outra . 
Toma-se a posição de equilíbrio como eixo dos x e a origem O 
no ponto de junção, sendo y o deslocamento t ransversal da 
corda. Uma onda harmônica progressivc1, y1 = A1 cos(k 1x - wt), 
viajando na corda 1 (x < 0), incide sobre o ponto, de junção, 
fazendo-o oscilar com frequência angular w. Isto produz na 
corda 2 (x > O) uma onda progressiva de mesma frequência, 
Y, = A
2 
cos(k
2
x - wt) (onda transmitida), e d á o r igem, 
na corda 1, a uma onda que viaja em sentido contrár io, 
Y, = 8
1 
cos(k 1x + wt) (onda refletida). Dada a onda incidente 
Y, de amplitude A
1
, desejam-se obter a amplitude de reflexão 
p = B/A1, e a amplitude de transmissão, = A/A1• 
~'À,';'1-+•, 2 
-+ s1 o 
A) Dada a tensão T da corda, calcule as velocidades de 
propagação v1 e v2 nas cordas 1 e 2, bem como os respectivos 
números de onda k 1 e k2• O deslocamento total na corda 1 
é (y, + y,), e na cora 2 é y
1
• 
B) Mostre que, no ponto de junção x = O, deve-se ter 
(Y1 + Y,) = Y,· 
C) Aplicando a 34 Lei de Newton ao ponto de junção 
x = O, mostre que, nesse ponto, deve-se ter também 
a a 
ax ( Y, + Y, ) = ax y' . 
D) A partir de (B) e (C). calcule as amplitudes de reflexão e 
transmissão em função das velocidades v1 e v2• Discuta o 
sinal de p. 
20. No problema anterior, a refletividade r da junção é definida 
como a razão da intensidade da onda refletida para a 
intensidade da onda incidente, e a transmissividade t como a 
razão da intensidade transmitida para a incidente. 
A) Calcular r e t . 
B) Mostre quer+ t = 1 . 
21 . (IME) Mede-se a velocida de v de 
propagação de ondas transversais em • 
um fio com uma extrem idade presa a 
uma parede, que é mantido esticado 
pelo peso de um bloco suspenso na 
outra extremidade por meio de uma 
polia . Depois (figura), mergulha-se o 
bloco na água até os 2/3 da altura e 
verifi ca-se que a velocidade cai para 95,5% da anterior. 
Qual é a densidade do bloco em relação à água? 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
22. Para o estudo da propagação de uma onda, necessita-se do 
conhecimento da chamada função de onda. Dada a equação: 
y = 0,20 · cos[2n(0, 50t - 0,80x) + n/4] 
Com os dados no 5.1. , a velocidade de propagação da onda é: 
A) 1,60 m/s 
B) 1,25 m/s 
C) 6,25 · 10-1 m/s 
D)3,14 · 10- 1 m/s 
E) 3,125 · 10-1 m/s 
23. Um trem de ondas propaga-se em uma corda tensa não 
absorvedora de energia com velocidade igual a 1 O m/s. Sabendo 
que a amplitude das ondas valem 0,5 m, a frequência é igual 
a 50 Hz e a fase inicial da onda é nula. Determine a equação 
dessas ondas. 
24. A equação de uma onda transversal se propagando em uma 
corda é dada por 
y = 2,0 mm sen[20 m I x -600 s I t) 
Ache a amplitude, frequência velocidade e o comprimento de 
onda. 
Ache a velocidade escalar máxima de uma partícula da corda . 
A) 1,2 rn/s 
B) 1 .4 rn/s 
C) 2,8 m/s 
D) 1,2 cm/s 
E) N.D.A. 
25. Prove que, se uma onda transversal está se propagando ao 
longo de uma corda, então a inclinação de qualquer ponto da 
corda é numericamente igual à razão entre a velocidade escalar 
da partlcu la e a velocidade da onda naquele ponto . 
26. Uma onda de frequência 500 Hz tem uma velocidade 
de 350 m/s. 
A) Quão afastados estão dois pontos que têm uma diferença 
de fase de n/3 rad? 
B) Qual é a diferença de fase ent re dois deslocamentos, em um 
determinado ponto, em tempos separados de 1,00 ms? 
27. Uma onda senoidal transversal está se propagando ao longo 
de uma corda no sentido de x decrescente. A figura mostra um 
gráfico do deslocamento como função da posição, no instante 
t = O. A tensão na corda é 3,6 N e sua densidade linear é 
25 g/cm. Calcule: 
A) A amplitude. 
B) O comprimento de onda . 
C) A velocidade da onda. 
D) O período da onda . 
E) Ache a velocidade máxima de uma partícula da corda. 
F) Escreva uma equação descrevendo a onda progressiva . 
6 
4 
Ê2 
V 
';:o 
- 2 
- 4 
- 6 
V' Í'I /"', 
\ 1 \ I 
\ I \ I 
\ I \ I 
' I \ I 
l'v µ 
10 20 30 40 50 60 70 80 
x (cm) 
FíSICA li 
Volume 2 
28. Um fio de 1 O.O m de comprimento e de massa 100 g é 
tracionado por uma tensão de 250 N. Se dois pulsos, separados 
no tempo de 30,0 ms, são gerados, um em cada extremidade 
do fio, onde eles se encontrarão pela primeira vez? 
A) 7,73 m B) 7,37 m 
C) 3,45 m D) 3,54 m 
E) N.D.A. 
29. Uma onda elástica plana !; = ae.,,. cos(rot - kx). onde a. y, ro e k 
são constantes, propaga-se em um meio homogêneo. 
Encontrar a diferença de fase entre as osci lações nos pontos 
onde as amplitudes de deslocamento das partfculas diferem 
de n = 1,0%, se y = 0,42 m-1 e o comprimento de onda 
é= 50 cm. 
A) 0,3 rad 
B) 1,2 rad 
C) 0,9 rad 
D) 0,6 rad 
E) N.D.A. 
30. A potência P
1 
é transmit ida por uma onda de frequência f 1 
em uma corda sob tensão F1• Qual é a potência t ransmitida P2 
em termos de P1: 
A) se a tensão da corda for aumentada para F2 = 4F1? 
B) se, ao invés, a frequência for diminuída para f2 = -f-? 
31 . Uma onda senoidal transversal é gerada em uma extremidade 
de uma longa corda horizontal, por uma barra que se move 
para cima e para baixo entre extremos que distam 1,00 cm. 
O movimento é continuo e repetido regularmente 120 vezes 
por segundo. A corda tem uma densidade linear de 120 g/m 
e é mantida sob tensão de 90,0 N. Ache: 
A) O valor máximo da velocidade transversa l u. 
B) O valor máximo da componente transversal da tensão. 
C) Mostre que os dois valores máximos, calculados acima, 
ocorrem para os mesmos valores de fase da onda. Qual é o 
deslocamento transversal y da corda nessas fases? 
D) Qual é a máxima potência transferida ao longo da corda? 
E) Qual é o deslocamento y transversal quando essa 
t ransferência máxima acontece? 
F) Qual é a transferência mínima de potência ao longo da 
corda? 
G) Qual é o d es locamento transve rsal y quando essa 
transferência mlnima de potência ocorre? 
32. Dois pulsos triangulares, de mesma largura e amplitude, 
propagam-se em oposição de fase ao longo de uma corda 
elást ica, não dispersiva e de densidade igual a 1 O g/cm. 
8,0 crn/s ---
Suas velocidades são opostas. apresentando módulo de 
8,0 cm/s. Sabendo que cada pulso transporta uma energia 
potencial elástica de 4,0 · 1 o...i J, calcule: 
A) a energia cinética transportada por pulso antes de eles 
estarem superpostos.B) a energia cinét ica total associada ao sistema no instante em 
que os pulsos estiverem superpostos. 
33. (IME) 
A figura ao lado mostra 
uma onda transversal na 
fo rma de um pulso 
ondulató rio em uma 
corda esticada. A onda 
está se propagando 
no sentido posi tivo do 
eixo x com veloc idade 
y 
t= Os 
igual a 0,5 m/s. Se o -""""-------'----~-.. 
deslocamento y, em O x 
metros, para uma coordenada x, em metros, no instante t = O 
é dado por 
1 
y = (X) = X2 + 4' 
o deslocamento y, em centímetros, para x = 3 metros e t = 2 
segundos é: 
A) 5,50 
C) 8,50 
E) 15,25 
B) 6,25 
D) 12,50 
34. Uma onda estacionária é estabelecida em uma corda, de modo 
a formar três vent res e quatro nós, como está esquematizado 
na figura. 
Sabendo que a distância entre os nós extremos é de 1,5 me a 
velocidade da onda é de 1 O m/s, determine a frequência dessa 
onda. 
35. Uma corda de comprimento À. = 2,4 m vibra com frequência 
de 300 Hz no estado estacionário representado na figura . 
Qual a velocidade de propagação da onda na corda? 
....... .. 
.. ····· 
P = 2,4 m 
36. Uma onda senoida l propaga-se da esquerda para a direita 
com velocidade v e uma outra da direita para a esquerda com 
velocidade -v. As duas ondas têm a mesma amplitude, A, 
e o mesmo número de ondas, k. Mostrar que da sobreposição 
das duas ondas se obtém uma onda estacionária e localizar os 
respectivos nodos. 
37. (Uece) A figura mostra dois alto-falantes, A e B, separados 
por uma distância 
de 2,0 m. Os alto-
falantes estão 
emitindo o ndas 
sonoras em fase e 
de frequência 0,68 
kHz . O p o nto P 
mostrado na figura 
está a uma distância 
de 1,5 m do alto-
falante A. 
~ -----~-- p 
A~-----------------::.:::>· ' ' 
B ~ _/ ,, •••••••••••• -, 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
l: 
Supondo que a velocidade de propagação do som no ar seja 
340 m/s, a dist:lncia x mínima do alto-falante B ao ponto P, 
para que esse ponto seja um ponto nodal, é: 
A) 1,50 m 
B) 1,75m 
C) 2,00 m 
D) 2,50 m 
E) 3,00 m 
38. Uma fonte S e detector de ondas de rádio D estão localizados ao 
nível do solo a uma dist:incia d. Ondas de rádio de comprimento À 
chegam a D, pelo caminho direto ou por reflexão, em uma certa 
camada da atmosfera. Quando a camada está a uma altura H, as 
duas ondas chegam em D exatamente em fase. À medida que 
a camada sobe, a diferença de fase entre as duas ondas muda, 
gradualmente, até estarem exatamente fora de fase para uma 
altura de camada H + h. Expresse Â. em termos de d, H e h. 
.. -·-,::,:··---------·--· t 
,' : \, h 
,' t ' 
H 
s----~----ol 1- d/2 d/2 --l 
39. Determine a amplitude de ul'Y\a onda resultante da combinação 
de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sent ido, 
possuem mesma frequência, têm amplitudes de 3,0 cm e 
4,0 cm e diferença de fase de 7t/2 . 
40. Duas ondas estão se propagando na mesma corda. muito 
comprida. Um vibrador no extremo esquerdo da corda gera 
uma onda dada por 
y, = 6,0 cm cos'i"[2,0 m-1 x + 8,0 ç 1 t]. 
enquanto um outro no extremo direito da corda gera a onda 
y2 = 6,0 cm cosi [2.o m-
1 x - 8,0 s-1 t]. 
A) Calcule a frequência, o comprimento de onda e a velocidade 
escalar da onda . 
B) Determine a posição dos nós e dos antinós . 
41. Duas ondas transversais de mesma frequência f = 100 s-1 são 
produzidas em um fio de aço de 1 mm de di:lmetro e densidade 
8 g/cm3, submetido a uma tensão de 500 N. As ondas são 
dadas por 
y, = A cos ( kx-rot+~) 
y2 = 2A sen (rot - kx) 
onde A= 2 mm . 
A) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva 
resultante da superposição dessas duas ondas . 
B) Calcule a intensidade resultante. 
C) Se fi zermos variar a diferença de fase entre as duas ondas . 
qual é a razão entre os valores máximo e mínimo possíveis 
da intensidade resultante? 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
42. Considere uma onda estacionária que é a soma de duas ondas 
idênticas se propagando em sentidos opostos. Mostre que a 
energia cinética máxima em cada meio comprimento de onda 
dessa onda estacionária é 2n2 µymfv. 
43. Uma corda, submetida a uma tensão de 200 N e presa em 
ambas as extremidades, oscila no segundo harmônico de uma 
onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por 
y = 0, 10 m sen nx/2 sen 12nt, 
onde x = O em uma das pontas da corda, x é dado em metros 
e t em segundos . 
A) Qual o comprimento de onda? 
B) Qual a velocidade escalar? 
C) A massa da corda. 
D) Se a corda oscilar em um padrão de onda estacionária referente 
ao terceiro harmônico, qual será o período de oscilação? 
44. Uma onda estacionária resulta da soma de duas ondas 
progressivas dadas por 
Y
1 
= 0,050 cos(nx - 4nt) 
y
2 
= 0,050 cos(nx + 4nt), 
onde x, y, e y2 estão em metros e t em segundos. 
A) Qual é o menor valor positivo de x que corresponde a um 
nó? 
B) Em quais instantes no intervalo O~ t ~ 0,50 s a partícula em 
x = O terá velocidade zero? 
45. Uma corda vibrante de comprimento P, presa em ambas as 
extremidades, está vibrando em seu n-ésimo modo normal, 
com deslocamento transversal dado por: 
Yn (x, t) = b0 sen( ~n x )cos( n; vt + Õ0 ) 
Calcule a energia total de oscilação da corda. 
46. Na situação abaixo, existem duas fontes coerentes sobre o 
di:lmetro de uma circunferência. A dist~ncia de cada uma ao 
centro vale Â.. Calcule o número de interferências construtivas 
e destrutivas sobre as paredes da circunferência . 
47. Uma corda de comprimento P está distendida, com uma 
extremidade presa a um suporte e a outra extremidade livre. 
A) Ache as frequências f(n) dos modos normais de vibração da 
corda. 
B) Desenhe a .forma da corda associada aos três modos de 
vibração mais baixos (em ordem de frequência crescente). 
A velocidade de ondas na corda é v. 
FíSICA li 
Volume 2 
48. Considere novamente a corda do problema anterior e. 
No instante t = O, um pequeno pulso de forma triangular esttl 
propagando-se para a di reita na corda. Depois de quanto tempo 
a corda volta rti à configu ração inicial? 
49. Duas fontes puntiformes idênticas estão loca lizadas nos pontos 
A e B. As fontes emitem ondas coerentes e em fase entre si. 
Se a distância d entre as fontes é igual a um múltiplo inteiro 
positivo N do comprimento de onda, o número de mtiximos 
de interferência que podem ser observados no eixo x à direita 
do ponto B é: 
A) N -1 
C) 2N-1 
E) infinitos 
y 
B 
B) N 
D)2N 
X 
50. (ITA) A faixa de emissão de rtidio em frequência modulada, no 
Brasil. vai de, aproximadamente, 88 MHz a 108 MHz. A razão 
entre o maior e o menor comprimento de onda dessa faixa é: 
A) 1,2 
B) 15 
C) 0,63 
D) 0,81 
E) impossível calcular, não sendo dada a velocidade de 
propagação da onda. 
51. (Olimpíada lberoamericana de Física) Considere dois pequenos 
alto-falantes dispostos, como mostra a figura abaixo, que 
emitem sons de frequência com iguais intensidades, mantendo 
entre efes uma diferença de fase constante. Um observador se 
desloca sobre a reta A situada a uma distância de alto-falantes. 
A) Se o observador fica no ponto C (equidistante das fontes), 
não percebe nenhum som. Determine a diferença de fase 
dos sons emitidos pelos alto-falantes. 
B) Calcule a distância L que deve avançar o observador sobre a 
reta A a partir do ponto C para encontrar o primeiro mtiximo 
de intensidade sonora. 
C) Se a intensidade do som percebido pelo observador quando 
somente um alto-falante emite um som alto é 1
0
, qual é a 
intensidade medida pelo observador no primeiro mtlximo 
quando emitem ambos sons altos? 
Dados: Velocidade do som: 340 m/s; Frequência: f = 3400 Hz· 
D=10m;d=0,5m. 
52. (ITA) No estudo de ondas que se propagam em meios elásticos, 
a impedância característica de um material é dada pelo produto 
da sua densidade pela velocidade da onda nesse material, ou 
seja, z = µ.v. Sabe-se, também, que uma onda de amplitude 
a,, que se propaga em um meio 1, ao penetrar em uma outra 
região, de meio 2, origina ondas, refletidae transmitida, cujas 
amplitudes são, respectivamente: 
Em um fio, sob tensão t, a velocidade da onda nesse meio é 
dada por v = i-Considere agora o caso de uma onda que 
se-propaga em um fio de densidade linearµ (meio 1) e penetra 
em um trecho desse fio em que a densidade linear muda para 
4µ (meio 2). Indique a figura que representa corretamente as 
ondas refletida (r) e transmitida (t). 
A)~B) 
r meio 2 ~ r meio 2 
C) ~ 
meio 1 meio 2 
D)~ 
meio 1 t 
E) _:eio ~ 
r V meio 2 
53. (ITA) Indique a opção que explicita o representado pelo gráfico 
da figura . 
3 
., 
-g 2 
,: 
ã. 
E 
<( 
o 
- 1 
- 2 
- 3 
' ' ,, ,, ' 1, 1 ,, 
1 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 : ' 1 1 
\ íl 
1 ' 1 1 : n n , ; ~ I\ " 1 h 1 vi ' 1 V l 1 ~ V v·. 1 1 1 1 1 
t 1 1 1 1 
' 1 t t 1 
1 1 1 t t 
1 1 1 1 1 
1 1 1 11 
l 1 1 1 1 
" li 1 li " li li 
1 1 1 
O 20 40 60 80 100 120 140 160 
Tempo(m/s) 
A) A soma de uma frequência fundamental com a sua primeira 
harmônica mais a sua seg unda harmônica, todas elas de 
mesma amplitude. 
B) A soma de uma frequência fundamental com a sua primeira 
harmônica de amplitude 5 vezes menor, mais a segunda 
harmônica de amplitude 1 O vezes menor. 
C) A soma de uma frequência fundamental com a sua segunda 
harmônica, ambas com amplitudes iguais. 
D) A soma de uma frequência fundamental com a sua segunda 
harmônica com metade da amplitude. 
E) A soma de uma frequência fundamental com a sua primeira 
harmônica com metade da amplitude. 
1T A/IM!; 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
54. (IME) Uma haste uniforme de 200 N e comprimento L está 
suspensa horizontalmente por dois fios idênt icos, como mostra 
a figura. 
fio fio 
bloco 
haste 
....ili_ 
L 
Um pequeno bloco de 4 N é colocado sobre a haste com o 
seu centro de massa posicionado conforme a figura. Cada 
fio mede 100 cm de comprimento e possui massa de 5 g. 
Determine a frequência de batimento produzida após os fios 
serem percorridos simultaneamente em seus centros, vibrando 
em suas frequências fundamentais . 
55. Uma corda mista tensionada é formada por duas cordas 
de densidades lineares µ
1 
e µ
2 
= 4 µ
1 
e comprimentos d1 e 
d
2 
= Sd/3, respectivamente. As cordas estão ligadas por uma 
de suas extremidades no ponto P, enquanto as outras estão 
fixas, conforme mostra a figura abaixo. 
Para uma onda estacionária de frequência mínima, determine 
o número de nós que serão observados ao longo de toda a 
corda, incluindo os das extremidades, com a condição de que 
um dos nós esteja no ponto P. 
~ : fü 
1 1 1 
1 1 1 
: dl : dl : 
,-------------------~--------------------------------~ 
56. Uma fonte isotrópica pontual, cuja potência sonora é P = O, 10 W, 
está localizada no centro de um cilindro oco com ra io 
r = 1,0 me altura h = 2,0 m. Encontrar o fluxo de energia mé:fia 
que atinge a superfície lateral do cilindro. 
A) 0,007 W 
B) 0,005 W 
C) 0,07W 
D) 0,05 W 
E) N.D.A. 
57. Uma fonte sonora isotrópica gera oscilações com frequência 
f = 1 · 45 KHz. A uma distância de r0 = 5,0 ma partir da fonte, 
o deslocamento de amplitude das partículas do meio é igual 
a a
0 
= 50 µm e para um ponto localizado a uma distância 
r = 10 µm a partir da fonte, a amplitude de deslocamento 
é ri = 3,0 vezes menor que a0 • Calcule o coeficiente de 
amortecimento da onda . 
Assuma que a equação de uma onda esférica em um meio 
homogêneo e absorvedor é 
ITA/IME 
A e-1• ç = - 0-cos(rot-kr} , 
r 
58. 
59. 
60. 
FíSICA li 
Volume 2 
onde A
0 
é uma constante e y é o coeficiente de amortecimento. 
Dados: ln 2 = 0,69 e ln 3 = 1, 1 
A) 0,04 m-1 B) 0,08 m-1 
C) 0,12 m-1 D) 0,16 m-1 
E) N.D.A. 
Um gafanhoto de massa m está tranquilamente em repouso 
sobre uma corda esticada horizontalmente. A corda possui 
uma densidade linearµ e está sob tensão F. Sem avisar, Tobias 
produz uma onda transversal senoidal com um comprimento 
de onda igual a À que se propaga na corda. Qual a amplitude 
mlnima da onda que faz o gafanhoto ficar repentinamente com 
um peso aparente igual a zero? Suponha que a massa m seja 
tão pequena que a presença desta não altere a propagação da 
onda. 
A) 2g).2µ 
F 
B) gÃ2µ 
F 
C) 2gÃ2µ 
1t2F 
D) gÀ2µ 
21t2F 
gÀ 2µ 
E) 41t2F 
Duas partículas carregadas com cargas de mesmo sinal 
Q e estão posicionadas em uma corda nas posições x = O 
e x = 1t. Uma onda transversal e progressiva de equação 
y(x, t) = (1t/2)sen(x -wt), presente na corda, é capaz de transferir 
energia às partículas, não sendo afetadas por elas. Determine 
a razão entre o menor intervalo de tempo a partir de (t = O) 
para que as cargas adquiram a configuração de menor energia 
potencial eletrostática e o período da onda. Determine a energia 
nessa situação. 
Dado: constante eletrostática = K 
(IME) Um varal de roupas é constituído por um fio de comprimento 
10,0 m e massa 2,5 kg, suspenso nas extremidades por duas 
hastes uniformes de 200 N de peso, com articulação nas bases, 
inclinadas de 45º em relação às bases e de iguais comprimentos . 
Um vento forte faz com que o fio vibre com pequena amplitude 
em seu quinto harmônico, sem alterar a posição das hastes . 
A frequência, em Hz, nesse fio é: 
Observação: 
• a vibração no fio não provoca vibração nas hastes. 
10,0m 
A)3 
C) 10 
E) 80 
B) 5 
D)20 
fíSICA li 
Volume 2 
61 . (MNPEF) Em um ambiente aberto, a intensidade do som emitido 
por uma fonte pontual decai com o inverso do quadrado de 
distância. Em um ambiente fechado isso não ocorre devido à 
reverberação sonora, que é a superposição do som direto da 
fonte com os sons devidos às diversas reflexões ocorridas nas 
paredes, teto, piso etc. Uma fonte sonora no interior de uma 
sala fechada emite um som durante o intervalo de tempo entre 
t1 e t2• Um detector situado em um ponto da sala distante 
da fonte registra o som. O gráfico que melhor representa a 
dependência temporal do Nível de Intensidade Sonora (NIS) é: 
A) 
NIS 
t1 t2 
B) 
NIS 
t1 t2 
C) 
Nls 
t1 t2 
D) 
NIS 
E) 
NIS 
62. (MNPEF) Um dos métodos de determinação da velocidade 
de propagação do som em gases que consiste em produzir 
ressonância em um tubo excitado por uma onda sonora com 
frequência conhecida . Ao variar o comprimento da coluna 
de gás dentro do tubo, determina-se a distância entre nodos 
(ou antinodos) consecutivos da onda estacionária no tubo. 
Nesse caso, o fenômeno que ocorre com as ondas sonoras 
no interior do tubo explicando a ressonância é denominado: 
A) difração. 
B) polarização. 
C) refração. 
D) interferência. 
63. (MNPEF) "Quando um feixe de luz branca incide em um 
obstáculo com uma pequena fenda, a luz que emerge da fenda, 
ao incidir sobre um anteparo branco pode compor uma figura 
colorida onde aparecem cores variadas." 
O fenômeno descrito no texto acima é conhecido como: 
A) refração. 
B) dispersão. 
C) difração. 
D) polarização. 
64. (MNPEF) Dentre as radiações eletromagnéticas apresentadas 
abaixo, qual delas apresenta comprimento de onda no ar com 
a extensão de cerca de 2 cm? 
A) Ondas longas de rádio. 
B) Micro-ondas. 
C) Luz de cor amarela. 
D) Raios X. 
65. (MNPEF) Duas fontes sonoras pontuais e coerentes emitem em 
fase ondas com frequência de 3400 Hz no ar. A velocidade de 
propagação do som no ar vale 340 m/s. Uma das fontes está 
na origem do sistema de coordenadas e a outra se encontra 
sobre o eixo dos y, em y = 40,0 cm. Considere os seguintes 
pontos do plano xy: 
P1 (x = 35,6 cm; y = 20,0 cm), P2 (x = 0,0 cm ; y = 27,5 cm) . 
y 
Fonte 1 
O Fonte 2 X 
A alternativa que descreve corretamente o tipo de interferência 
que ocorre em cada um dos pontos é: 
A) Em P1 destrutiva, em P2 destrutiva. 
B) Em P1 destrutiva, em P2 construtiva. 
C) Em P1 construtiva, em P2 construtiva. 
D) Em P1 construtiva, em P2 destrutiva. 
66. (MNPEF) Dois pulsos de onda propagam-se sem dispersão 
ao longo de uma linha reta, aproximando-se um do outro . 
O módulo da velocidade de propagação dos pulsosé V. 
No instante t = O, a forma da onda é a mostrada na figura a seguir . 
Nesse instante ainda não há superposição entre os dois pulsos, 
e a distância entre os mínimos que os lideram é D. 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
~ 
t = o 
No instante t = D/(2V), a forma da onda é dada por: 
A) 
.A ... ~ ... 
l'V' 
~ 
B) 
~ .... 
C) 
i..lJ ~ À ~ 
VJ ,,,, 
D) 
67. (ITA) Em uma superfície líquida. na origem de um sistema de 
coordenadas. encontra-se um emissor de ondas circulares 
t ransversais. Bem distante dessa origem, elas têm a forma 
aproximada dada por h
1 
(x, y, t) = h
0 
sen (2n(r / À.- f t)). em que 
À. é o comprimento de onda, f é a frequência e r, a distãncia de 
um ponto da onda até a origem. Uma onda plana transversal 
com a forma h
2 
(x, y, t) = h0 sen (2n(x / À. - f t)) superpõe-se 
~ primeira, conforme a figura. Na situação descrita, podemos 
afirmar, sendo Z o conjunto dos números inteiros, que: 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
y 
(xp, yp) 
• 
X 
A) Nas posições ( Y! - nÀ , y ). as duas ondas estão em fase 
2nÀ. 8 P 
se n E Z . 
B) Nas posições ( Y~ - nÀ, y ). as duas ondas estão em 
2nÃ. 2 P 
oposição de fase se n e Z e n ~ O. 
[ 
.( 1) l 2 n+ - À 
C) Nas posições ..1.L - 2 , Yp , as duas ondas estão 
2nÀ 2 . 
em oposição de fase se n e Z e n ~ O . 
[ 
2 (n+ ~ )À. l · 
D) Nas posições ( YP ) 
2 
, yP , as duas ondas 
2n+ 1 À 2 
estão em oposição de fase se n e Z. 
(
2y
2 
). ) . • E) Na posição T -8, y P , a diferença de fase entre as ondas 
é de 45º . 
68. (Professor Carlos Eduardo) Ondas na superflcie de liquido, 
consideremos um exemplo unidimensional para explicar os 
tipos de ondas mais famil iares: ondas na superflcie dos mares e 
lagos. Nestes casos, a amplitude dos deslocamentos horizontal 
e vertical de um elemento de volume de um fluido varia, em 
geral, com a profundidade. A equação geral para a velocidade 
de propagação de ondas superficiais não é tão simples: 
V= (gÀ + 27t'J)tgh(21Ch) 
21t pÀ. À 
Sendo 'J a tensão superficial, g a gravidade local, p a densidade 
do líquido, h a altura do líquido e À. o comprimento de onda: 
A) determine a velocidade de propagação dessa onda, quando 
À. for muito grande em comparação as demais gra11dezas de 
comprimento. 
B) determine a velocidade de propagação dessa onda, ~uandb 
À. for muito pequeno em comparação as demais grandezas 
de comprimento. 
Considere um líquido dentro de um tubo com profundidade h 
e largura L. Se perturbarmos a superfície do líquido com ondas 
de pequenas amplitudes e grandes comprimentos de onda 
(em comparação com h), uma determinada seção vertical 
do líquido de largura dx sofrerá alguns deslocamentos nas 
FíSICA li 
Volume 2 
direções vertical e horizontal. Em consequência desses 
deslocamentos, a largura da seção muda de dx para dx + 
d!; (ver figura) e sua altura de h para h + 11· Admitindo 
que o líquido seja incompressível, o volume da seção deve 
permanecer constante. 
C) Mostre que TI = -h :~ . 
D) Mostre que p º2~ = - opm~ , onde p ~d é a pressão média at ax m 
sobre as faces (ver figura). 
E) Mostre que as oscilações longitudinais e transversais 
possuem mesma velocidade. Ou seja: 
êiç a21; 
ot2 = gh ax2 
a2T1 a2T1 
at2 = gh axi 
Onde g é a gravidade local. 
69. (UFC) O gráfico a seguir representa a amplitude de um sinal 
sonoro em função do tempo t , medido em milissegundos. Ache 
a frequência desse sinal. 
A) 20 KHz 
C) 20 Hz 
E) 10 Hz 
70. Das ondas citadas 
eletromagnética? 
A) Infravermelho. 
C) Ondas luminosas. 
E) Ultrassom. 
71. Analise as afirmativas. 
B) 50 KHz 
D) 25 Hz 
t (ms) 
a seguir, qual delas não é onda 
8) Radiação gama. 
D) Ondas de rádio. 
1. Toda onda mecânica é sonora; 
li. As ondas de rádio, na faixa de FM (Frequência Modulada), 
são transversais; 
Ili. Abalos sísmicos são ondas mecânicas; 
IV. O som é sempre uma onda mecânica, em qualquer meio; 
V. As ondas de rádio AM (Amplitude Modulada) são ondas 
mecânicas. 
São verdadeiras: 
A)I, li e Ili 
C) li, Ili e IV 
E) 1, IV e V 
B) 1, Ili eV 
D) Ili, IV e V 
72. (PUC-SP) As estações de rádio têm, cada uma delas, uma 
frequência fixa e própria na qua l a transmissão é feita . 
A radiação eletromagnética transmitida por suas antenas é 
uma onda de rádio. Quando escutamos uma música, nossos 
ouvidos são sensibilizados por ondas sonoras. 
Sobre ondas sonoras e ondas de rádio, são feitas as seguintes 
af irmações: 
1. Qualquer onda de rádio tem velocidade de propagação maior 
do que qualquer onda sonora; 
li. Ondas de rádio e ondas sonoras propagam-se em qualquer 
meio, tanto material quanto no vácuo; 
Ili. Independentemente de a estação de rádio transmissora ser 
AM ou FM, a velocidade de propagação das ondas de rádio 
no ar é a mesma e vale aproximadamente 3,0 · 108 m/s. 
Está correto o que se afirma apenas em: 
A) 1 B) Il i 
C) 1 e li D) 1 e Ili 
E) li e Ili 
73. (Unesp-S P) Uma das características que diferem ondas 
transversais de ondas longitudinais é que apenas as ondas 
transversais podem ser: 
A) polarizadas. 
C) refletidas. 
E) difratadas. 
B) espalhadas. 
D) refratadas. 
74. (UFC-CE) Analise as assertivas abaixo e a seguir indique a 
alternativa correta. 
1. Elétrons em movimento vibratório podem fazer surgir ondas 
de rádio e ondas de luz; 
li. Ondas de rádio e ondas de luz são ondas eletromagnéticas; 
Ili. Ondas de luz são ondas eletromagnéticas e ondas de rádio 
são ondas mecânicas. 
A) Somente I é verdadeira. 
8) Somente li é verdadeira. 
C) Somente Ili é verdadeira. 
D) Somente I e li são verdadeiras. 
E) Somente I e Ili são verdadeiras. 
75. (Unifesp-SP) O eletrocardiog rama é um dos exames mais 
comuns da prática cardiológica. Criado no inicio do século XX, é 
utilizado para analisar o funcionamento do coração em função 
das correntes elétricas que nele circulam. Uma pena ou caneta 
registra a atividade elétrica do coração, movimentando-se 
transversalmente ao movimento de uma f ita de papel 
milimetrado, que se desloca em movimento uniforme com 
velocidade de 25 mm/s. A figura mostra parte de uma fita de 
um eletrocardiograma. Sabendo que a cada pico maior está 
associada uma contração do coração, a frequência cardíaca 
dessa pessoa, em batimentos por minuto, é: 
llllllHIII 
A)60 
()80 
E) 100 
B) 75 
D) 95 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
1~ .. 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
~ 
76. (Unicamp-SP) Ondas são fenômenos nos quais há transporte 
de energia sem que seja necessário o transporte de massa. 
Um exemplo particularmente extremo são os tsunamis, ondas 
que se formam no oceano, como consequência, por exemplo, 
de terremotos submarinos. 
A) Se, na região de formação, o comprimento de onda de um 
tsunami é de 150 km e sua velocidade é de 200 m/s, qual 
é o período da onda? 
8) A velocidade de propagação da onda é dada por v = ,/gh, em 
que h é a profundidade local do oceano e g é a aceleração 
da gravidade. 
Qual é a velocidade da onda em uma região próxima à costa, 
onde a profundidade é de 6,4 m? (Dado: g = 1 O m/s2) 
C) Sendo A a amplitude (altura) da onda e supondo que a 
energia do tsunami se conserva, o p;oduto vA2 mantém-se 
constante durante a propagação. Se a amplitude da onda na 
região de formação for 1,0 m, qual será a amplitude perto 
da costa, onde a profundidade é de 6,4 m? 
77. (IFCE) 
- ~ 
Refletida ~ --V 
Um pulso, em uma corda de extremidade fixa, ao refletir, sofre 
inversão de fase. Observe a figura acima. O fato de ocorrer 
inversão na fase do pulso está ligado à(ao): 
A) Primeira Lei de Newton. 
B) Princípio da Conservação da Energia . 
C) Terceira Lei de Newton. 
D) Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento . 
E) Lei de Coulomb. 
78. A figura a seguir representa um trem de ondas retas que passa 
de um meio 1 para um meio 2. A separação entre os traços 
indica o comprimento de ondaÀ. 
(1) 
(2) 
/ / ,"'-.À, 
/ / ) 
/ / / 
/ / / 
/ / / 
/ 
Aponte a alternativa correta . 
A) A figura não está correta, porque, se À.2 > À.1, deveríamos 
ter a , < a 2• 
8) A figura está correta, e a velocidade de propagação da onda 
em 2 é maior que em 1. 
C) A figura representa corretamente uma onda passando de 
um meio para outro mais refringente que o primeiro. 
D) A figura não está correta, porque o comprimento de onda 
não varia quando uma onda passa de um meio para o outro. 
E) Todas as afirmações anteriores estão erradas. 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
79. Duas bolinhas (que estão presas a uma haste) distam de L. 
O dipolo vibra com frequência angular igual a w. Determine a 
velocidade de propagação das ondas na superfície do líquido. 
A) v = 2Lro 
7t 
Lro 
B) V =-
Tt 
/-------
Lro 
C) v=-
3n 
D) v = 3Lro 
7t 
~ ~ 1/ 0---.. L r -· , 
···-... ,.,..-
- - -- ]/ ---··r----
/ U4 , 
/ ~ \ 
Lro 
E) V=-
4n 
1 
80. Uma onda estacionária é formada pela superposição das 
seguintes ondas: 
y(x,t) = 0,050 cos(nx - 4nt); 
y(x,t) = 0,050 cos(nx + 4nt); 
A alternativa que contém o menor valor de x, onde se localiza 
um nó, e para qual instante O :S t :S 0,50 s a partícula em x = O 
terá velocidade nula é: 
A) X= 0,5 me t = 0,25 s. 
B) X= 1,0 m e t = 0,25 s . 
C) X= 0,2 me t = 0,25 s. 
D) X= 0,2 me t = 0,25 s . 
E) X= 0,5 me t = 0,30 s. 
81. (Enade) A maior parte dos tsunamis é gerada devido ao 
movimento relativo das placas tectônicas em um oceano. 
Esse movimento origina uma perturbação na superfície livre da 
água, que se propaga em todas as direções para longe do local 
de geração sob a forma de ondas. Em oceano aberto, onde a 
profundidade média é de 4 km, os tsunamis têm comprimento de 
onda da ordem de 200 km e velocidades superiores a 700 km/h. 
Quando um tsunami atinge a costa, a profundidade do oceano 
diminui, e, em consequência, a sua velocidade de propagação 
decresce, assim como seu comprimento de onda. Suponha que 
aqui se aplica o modelo de ondas rasas, em que a velocidade 
da onda é proporcional à raiz quadrada da profundidade em 
que a onda se encontra. 
,_l13km _ , 
MARTINS, J.P.; PIRES, Ana. Tsunami no fnd,co· Causas e Consequências. 
D1sponfvel em: <http://física.fc.ul.pt/quantum/docs/quantum lcute.pdf>. 
Acesso em: 25 ago. 2011 (com adaptaçao) . 
Analisando os dados apresentados na figura, o valor do 
comprimento de onda para uma profundidade de 5 m é, 
aproximadamente, igual a: 
A) 2, 1 km 
C) 5,3 km 
E) 8.4 km 
B) 4, 1 km 
D) 7,5 km 
fiSICA li 
Volume 2 
82. As equações de duas ondas (uma estacionária e a outra viajante) 
são: 
y1 = a sen kx cos co t 
y2 = a sen (kx cos - cot) 
A diferença de fase entre os pontos 71/3k e 37l/2k são (1) 1 e (1)2, 
respectivamente. A razão cp/<p2 é: 
A) 1 B) 5/6 
C) 3/4 D) 6n 
E) N.D.A. 
83. Em uma mesma corda são produzidos dois pulsos, que se 
propagam em sentidos opostos (figura A). No instante em que 
esses pulsos estiverem totalmente superpostos (figura B). qual 
será a forma da corda? 
; .. .. .. .. .. .. ~ __ :_,, .......... ..... _ •. -
Figura A Figura B 
84. (UEL-PR) Há algum tempo um repórter de televisão noticiou uma 
marcha em algum lugar do Brasil. Em dado momento, citou 
que os seus integrantes para ram de marchar quando estavam 
passa ndo sobre uma ponte, com medo de que pudesse cair. 
Na ocasião, o repórter atribuiu ta l receio a "crendices 
populares". Com base nos conceitos da Física, é correto afirmar 
que os integrantes da marcha agiram corretamente, pois a 
ponte poderia cair devido ao fenômeno da(o): 
A) reverberação. B) interferência. 
C) ressonância D) bat imento. 
E) efeito Doppler. 
85. O esquema a seguir representa, visto de cima, a evolução de 
ondas na superfície da água. Elas se propagam da esquerda 
para a direita, incidindo na mureta indicada, na qual há uma 
abertura de largura d. 
À -
J 
dl 
1 
Mureta 
As ondas. cujo comprimento de onda vale À, conseguem 
"contornar" a mureta, propagando-se à sua direita. É correto 
que: 
A) ocorreu refração, e d > À. 
B) ocorreu refração, e d = À. 
C) ocorreu difração, e d < À.. 
D} ocorreu reflexão, e d > À. 
E} tudo o que se afirmou não tem relação alguma com o 
fenômeno ocorrido. 
86. (Cesubra-DF) Um ser humano é capaz de perceber sons que 
variam entre 20 Hz e 20 kHz. Ondas semelhantes, acima de 
20 kHz, são chamadas de ultrassom. Na Medicina, o ultrassom, 
com frequências entre 1,0 · 106 Hz e 1 O · 106 Hz é utilizado para 
ana lisar órgãos internos do corpo humano. Já o olho humano é 
capaz de perceber ondas de frequências compreendidas entre 
4,5 - 1014 Hz e 7,5 · 1014 Hz e, imediatamente acima desta 
última, tem-se o ultravioleta, que, em excesso, pode provocar 
o aparecimento de câncer de pele. A velocidade de propagação 
do som nos sólidos tem valor próximo a 1500 m/s, e da luz no 
ar (ou vácuo), aproximadamente, 300000 km/s. Com base no 
texto e nos seus conhecimentos sobre o assunto, julgue os itens 
a seguir, classificando-os como verdadeiros ou falsos. 
( ) Quando um paciente submete-se ao exame de ultrassom, 
seu corpo é permeado por ondas mecânicas cujos 
comprimentos de onda variam entre 0, 15 mm e 1,5 mm . 
Ondas de rádio são mecânicas e suas frequências estão 
compreendidas entre 20 Hz e 20 kHz. 
Quando um olho emetrope percebe a luz solar, as células 
da retina (os cones e os bastonetes) sensibilizam-se, 
porque estão recebendo ondas cujos comprimentos 
estão compreendidos entre 4,0 -10 7 m e 6,6 · 10-1 m, 
aproximadamente. 
Admi tindo que a velocidade de propagação do som 
no ar seja igual a 340 m/s, um trovão que é ouvido 4 s 
após a visualização do relâmpago indica que o t rovão 
e o relâmpago ocorreram a 1360 m do observador, 
aproximadamente. 
É impossível que uma onda sonora sofra interferência 
com uma onda luminosa. 
87. Informações são guardadas em discos CD por meio de 
sequências de t raços ao longo da superfície do disco, as quais 
são varridas por um feixe de laser durante a leitura. 
Analise as proposições a seguir. 
(01) No vácuo, a velocidade das ondas eletromagnéticas que 
formam o feixe de laser é de 300000 km/s. 
(02) As ondas eletromagnéticas que formam o feixe de laser 
podem deslocar-se por meio de fibras ópticas, sofrendo 
sucessivas reflexões totais. 
(04) Qualquer feixe de laser, tal como o feixe empregado na 
leitu ra de um CD, é formado por ondas eletromagnéticas 
de vários comprimentos de onda. 
(08) Todo feixe de laser é formado por fótons de frequência 
bem definida. 
(16) A leitura de um disco CD é realizada com base no 
fenômeno da interferência de ondas. 
(32) A leitura de um disco CD é feita de maneira digital 
(binária), isto é, laser refletido forta lecido: dígito 1; laser 
refletido enfraquecido: dígito O. 
(64) A leitura de um disco CD também pode ser realizada com 
o emprego de ondas mecânicas. 
Dê como resposta a soma dos números associados às 
proposições corretas. 
88. Uma emissora de rádio AM opera com frequência de 600 kHz 
e sua antena transmissora está distante 180 km de um 
determinado aparelho receptor. Entre a antena e o receptor, 
o solo é praticamente plano e horizontal e não existem barreiras 
prejudicando a propagação das ondas de telecomunicações, 
que, no local, têm velocidade de intensidade 3,0 · 108 m/s. 
O sinal que atinge o receptor chega por dois caminhos: o direto 
e o via reflexão na ionosfera, admitida paralela à superfície 
terrestre e situada, em um instante t0 = O, a 120 km de altitude. 
Nesse instante, o receptor recebe um sinal resultante reforçado 
como consequência da interferência construtiva ocorrida entre 
os dois sinais que o atingem. Em seguida, o sinal captado 
torna-se mais fraco, voltando, pela primeira vez, a apresentar-se 
intensificado como antes no instante t = 2,6 min . Isso pode ser 
explicado pelo fato de a ionosfera ter-se aproximado do solo 
com uma velocidade escalar média do módulo v. 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • -4 
• • 
• • • • 
1• 
1• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • 
B r 
l!.y .·"-V··. (t0= O) l .. /j\.. Ionosfera 
e, ..,, : 
o : 
~! 
li i ~I y 
/<X ; a· ... 
. / ia ·· .. . 
Ionosfera 
(t = 2,6 min) 
i,A (, v ..................... .............. ~ .................. ................... (Ci )))c 
receptor O = 180 km transmissora 
1+··· ·· ··· ·· · · · · ·············· · · ···-···· · ··llil 
A) Calcule o comprimento de onda das ondas irradiadas pela 
emissora . 
8) Determine o valor de v . 
89. (ITA-SP) "Cada ponto de uma frente de onda pode ser 
considerado a origem de ondas secundárias, tais que a 
envoltória dessas ondas forma a nova frente de onda." 
1. Trata-se de um princípio aplicável somente a ondas transversais; 
li. Tal princípio é aplicável somente a ondas sonoras; 
Ili. É um princípio vá lido para todos os t ipos de ondas, tanto 
mec!lnicas quanto eletromagnéticas 
Das afirmativas, pode-se dizer que: 
A) somente I é verdadeira. 8) todas são falsas. 
C) somente Ili é verdadeira. D) somente li é verdadeira . 
E) 1 e li são verdadeiras . 
90. As ondas gravitacionais emitidas pelo sistema binário de 
buracos negros passaram pelo interferômetro LIGO no dia 
14 de setembro de 2015. Os cientistas do Projeto analisaram 
com cuidado para se certificarem da validade da observação e 
concluíram que, realmente, era um sinal de OG. Na verdade, o 
projeto LIGO são dois espectrómetros iguais, não apenas um. 
Cada um está localizado em uma extremidade dos Estados 
Unidos. Um fica em Hanford, no estado de Washington 
(noroeste) e o outro em Livingston, na Louisiana (sudeste), 
separados por cerca de 3000 quilômetros. A primeira evidência 
de que o sinal observado não era um ruído espúrio, foi que a 
mesma forma de onda apareceu nos dois espectrómetros, com 
uma curtíssima diferença de tempo devido à separação espacial. 
i e_, 
1,0 
0,5 
o.o 
-0,5 
-1,0 
Tempo (s) 0,30 0,35 
2 3 4 
0,40 0,45 
Analisando esses sinais por meio da física básica, qual dos itens 
a seguir está incoerente? 
A) O primeiro trecho da curva (1) mostra a forma das ondas 
gravitacionais emitidas quando os buracos negros ainda 
espiralavam, guardando alguma distancia um do outro . 
As ondas são regulares. de amplitude e frequência quase 
constantes . 
ITA/IME 
fíSICA li 
Volume 2 
8) O trecho (2) já corresponde a uma maior aproximação dos 
buracos negros, com consequente aumento da frequência e 
da amplitude. Isso se deve ao aumento da velocidade angular 
(vibração), devido à conservação do momento angular . 
C) Quando se dá a colisão, o sinal fi ca mais complicado, com 
fortes variações nas amplitudes e nas frequências (trecho 3) . 
D) Finalmente, o sinal decai e some por completo (trecho 4), 
assinalando a coalescência dos dois buracos negros em um só. 
E) Ao final (trecho 4), ainda deveria ser registrada onda 
eletromagnética, pois um buraco negro emite radiação 
eletromagnética devido à sua temperatura. 
91 . Na figura, as linhas cheia, tracejada e pontilhada representam 
a posição, a velocidade e a aceleração de uma partícula de 
uma corda na qual passa uma onda transversal e senoidal com 
frequência angular maior que a unidade (ro > 1). Com base 
nessas curvas, discorra sobre as afirmativas abaixo . 
1. As linhas cheia e tracejada representam, respectivamente, 
a posição e a aceleração da partícula; 
li. As linhas cheia e pontilhada representam, respectivamente, 
a posição e a velocidade da partícula; 
Ili. A linha cheia, necessariamente, representa a aceleração da 
partícula. 
2 y ,---,---"T--T?""...---,---"T---, 
6 
92. Dois auto-falantes, M e N, separados de 20 m emitem 
frequências de 11 8 Hz e 121 Hz, respectivamente. Um carro. 
inicialmente em um ponto P. 1800 m do ponto Q (ponto médio 
da linha MN) se aproxima do ponto Q com uma velocidade 
constante 60 km/h ao longo da perpendicular entre MN. 
Depois de cruzar Q, eventualmente chegará em R, 1800 m 
de Q do outro lado. Vamos representa r v(t) como sendo a 
frequência percebida por um observador no carro. Sabe-se 
que vp, v0 e vR são as frequências percebidas nos pontos P, Q e 
R, respectivamente. A velocidade do som no ar vale 330 m/s. 
Assinale o item verdadeiro . 
1. Vp + VR = 2vo: 
li. A taxa de variação de frequência é máxima quando o carro 
se encontra sobre Q; 
Ili. O gráfico que melhor representa a curva da frequência pelo 
tempo possui o seguinte esboço: 
V(t ) 
A) Somente os itens I e li são verdadeiros. 
8) O item li é falso. 
C) Os itens I e Ili são falsos. 
D) Somente o item I é verdadeiro. 
E) Todos são verdadeiros. 
R 
57 
! 
FiSICA li 
Volume 2 
93. Um ser humano é capaz de perceber sons que variam 
entre 20 Hz e 20 kHz. Ondas semelhantes, acima de 
20 kHz, são chamadas de ultrassom. Na Medicina, o 
ultrassom, com frequências entre 1,0 · 106 Hz e 1 O · 106 Hz 
é util izado para analisar órgãos internos do corpo humano. 
Já, o olho humano é capaz de perceber ondas de frequências 
compreendidas entre 4,5 · 1014 Hz e 7,5 · 10 14 Hz e, 
imediatamente acima desta última, te1n-se o ultravioleta, 
que, em excesso, pode provocar o aparecimento de câncer 
de pele. A velocidade de propagação do som nos sólidos 
tem valor próximo a 1500 m/s e da luz no ar (ou vácuo), 
aproximadamente 300 000 km/s. 
Com base no texto e nos seus conhecimentos sobre o assunto, 
julgue os itens a seguir, classificando-os como verdadeiros ou falsos. 
1. Quando um paciente submete-se ao exame de ultrassom, seu 
corpo é permeado por ondas mecanicas cujos comprimentos 
de onda variam entre O, 15 mm e 1,5 mm; 
li. Ondas de rádio são mecanicas e suas frequências estão 
compreendidas entre 20 Hz e 20 kHz; 
Ili. Quando um olho emétrope percebe a luz solar, as células da 
retina (os cones e os bastonetes) sensibilizam-se, porque estão 
recebendo ondas cujos comprimentos estão compreendidos 
entre 4,0 · 10-7 me 6,6· 10-1 m, aproximadamente; 
IV. Admitindo que a velocidade de propagaçao do som no ar 
seja igual a 340 m/s, um trovão que é ouvido 4 s após a 
visualização do relãmpago indica que o trovão e o relampago 
ocorreram a 1360 m do observador, aproximadamente; 
V. Ê impossível que uma onda sonora sofra interferência com 
uma onda luminosa. 
Assinale o item verdadeiro. 
A) Existem exatamente 4 afirmativas verdadeiras. 
B) Existem 3 afirmat ivas falsas. 
C) Todas sao verdadeiras. 
D) Todas são falsas. 
E) Só existem 3 afirmativas verdadeiras. 
94. Analise as proposições: 
1. A refração ocorre quando uma onda atravessa a superfície 
de separação de dois meios, passando a se propagar no 
segundo meio; 
li. Na refraçao, a frequência da onda não se altera; 
Il i. Na refração, a velocidade de propagação da onda pode ou 
nao variar; 
IV. Na refração, a direção de propagação da onda pode mudar 
ou não; 
V. Na refraçao, ocorre inversão de fase na onda. 
Podemos afirmar que: 
A) todas as afirmativas sao verdadeiras. 
B) todas as afirmativas sao falsas. 
C) apenas 1, li e IV sao verdadeiras. 
D) apenas I e V sao verdadeiras. 
E) apenas IV e V são verdadeiras. 
95. Assinale a alternativa correta. 
A) As ondas sonoras podem ser transversais quando propagadas 
no ar. 
B) Quando a onda sonora passa de um meio para o outro, a 
frequência diminui. 
C) Quando uma onda mecanica passa de uma corda mais densa 
para uma menos densa, seu comprimento de onda diminui. 
D) A velocidade de propagaçao de uma onda sonor;i em uma 
barra de aço é maior que a velocidi'de de propagação 
quando numa barra de ouro. Suponha que os módulos de 
compressibilidade sejam os mesmos. 
E) Um meio é dito dispersivo quando a velocidade não depende 
da frequência da onda que ali se propaga. 
96. As curvas A e B representam duas fotografias sucessivas de uma 
onda transversal que se propaga numa corda. O intervalo de 
tempo entre as fotografias é de 0,008 s. 
Y(mm) 
1,0 
0,5 
-0,5 
-1,0 
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 X (m) 
1. A velocidade máxima de propagação da onda é 25 m/s; 
li. A frequência da onda pode ser igual a 12, 5 Hz; 
Ili. Se a tração na corda vale 16 N, a densidade deve ser menor 
ouigual a 0,256 g/cm. 
Assinale a(s) afirmativa(s) possível(possíveis) para o movimento 
da onda na corda. 
A) Todas. 
B) 1 e li. 
C) li e Ili. 
D) Somente a Ili. 
E) Somente a li. 
97. Na figura, os meios, de impedãncias Z1 e Z2 são separados por 
um outro meio de impedancia intermediária Z
2 
de espessura 
igual a "J.../4, onde Ã.2 é o comprimento de onda medido neste 
meio. Uma onda incide do primeiro meio para o segundo 
de forma normal. Devido ti invariãncia temporal, é possível 
demonstrar que: 
{
Tt + R2 = 1 
tr + tR = O 
Sabendo que a onda no meio 1 possui amplitude igual a 
unidade e os coeficientes de ref lexão e transmissão são 
mostrados na figura abaixo. 
1 ;: 
R T 
TR' 
TtR' TR'r 
TR'2r 
TtR'2r TR' 2rf 
T R' 3r2 
TtR' 3r2 
A) Analisando a figura, explique o que significa r, R, R'. t e T. 
Mostre que o total Amplitude refletida no meio 1 é dada 
por: R+tTR'(1+rR' +r2R'2 + ... ) 
(Note que, para zerar a reflexão total no meio 1, a primeira 
reflexão R deve ser cancelada pela soma de todas as reflexões 
subsequentes.) 
B) Mostre que o resultado acime dá zero quando R = - R'; 
C) Determine Zjl, para a condição do item (b) ser verdadeira: 
Z - Z2 Lembre-se que: R = - 1--
Z1 +Z2 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • 
1 • 1• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ~. 
li Fique de Olho 
Os oceanos são imensas massas de água salgada que 
abrangem grande parte da superfície terrestre . A enorme 
quantidade de água contida nos oceanos não permanece parada, 
pelo contrário, ela se movimenta o tempo todo. Dentre os principais 
movimentos, podemos citar: as ondas, as marés e as correntes 
marftimas. 
As ondas oceânicas de superfície: são ondas de superfície 
que ocorrem nos oceanos. São provocadas pelo vento, que cria 
forças de pressão e fricção que perturbam o equilíbrio da superfície 
dos oceanos. O vento transfere parte da sua energia para a água 
por meio da fricção entre o vento e a água, isso faz com que as 
partículas à superfície tenham um movimento elíptico, que é uma 
combinação de ondas longitudinais (para a frente e para trás) e 
transversais (para cima e para baixo). 
O • sentir do fundo" pelas ondas 
Se pusermos um pedaço de madeira a flutuar na água do 
mar, ele move-se um pouco para a frente na crista de cada onda 
e depois um pouco para trás, quando o vale entre as ondas passa . 
Ou seja, a forma de onda vai-se aproximando da praia, mas cada 
porção de água só se move para a frente e para trás. Se pusermos 
o pedaço de madeira a flutuar a várias profundidades dentro da 
água, veremos que eles se movem no interior da água em órbitas 
aproximadamente circulares. 
As órbitas têm um raio maior perto da superfície e vão 
tendo cada vez um raio menor, até que deixam de exist ir a uma 
profundidade que é cerca de metade da distância entre as cristas das 
ondas (ou seja, metade do comprimento de onda de propagação). 
Corno funciona o surfe 
ITA/IME 
fíSICA li 
Volume 2 
A uma distância da praia, em que o fundo está a uma 
distância igual acerca de metade do comprimento de onda, 
os movimentos orbitais dos níveis mais profundos começam a ser 
restringidos porque a água já não se pode mover verticalmente; 
apenas se pode mover para a frente e para trás, na horizontal. Um 
pouco acima, a água já se pode mover um pouco verticalmente e 
as órbitas passam de circulares a elípticas. À superfície, as órbitas 
podem ainda ser circulares. 
Pela altura de uma onda sabemos qual é a profundidade da 
água. Esse fenômeno de distorção das órbitas, que se dá quando 
as ondas "sentem o fundo ", faz com que a onda seja retardada, 
diminuindo o comprimento de onda de propagação, porque a 
distancia à próxima crista vai diminuindo. Como resultado, a água 
que chega acumula-se e faz com que a crista da onda cresça e se 
torne mais angulosa . A inclinação da onda (a razão entre a sua 
altura e o comprimento de onda) aumenta até que, ao chegar a 
um valor de cerca de 1n, a água já não consegue suportar a si 
própria e a onda rebenta. A profundidade da água é então cerca 
de 1,3 vezes a altura da onda (a distância vertical entre um vale e 
a crista que se lhe segue). 
A distancia da costa em que esse fenômeno ocorre depende 
da inclinação do fundo. Se o fundo da costa for muito inclinado, 
muitas ondas pequenas rebentarão na costa. Se o fundo é mais 
suavemente inclinado, as ondas rebentarão mais longe. Por isso, 
o sítio de rebentação das ondas é um bom indício para sabermos 
qual é a profundidade da água. 
Para estimar a altura de uma crista de onda que rebenta 
mais longe da praia, podemos procurar o local de onde vemos a 
crista da onda al inhada com o horizonte. A altura da onda é igual 
à distancia vertical entre o olhos e o ponto mais baixo para o qual 
a água desce no seu movimento de vaivém na praia. 
AS ONDAS E AS TEMPESTADES 
O intervalo entre ondas em uma costa (o seu perlodo) pode 
ser de alguns segundos ou de uns 15 a 20 segundos. Se observarmos 
com atenção, veremos que em cada dia ou em cada parte de um 
dia existe uma certa regularidade no intervalo entre as ondas . 
Só que essa regularidade é complexa, como, por exemplo, uma série 
de ondas pequenas com um período curto alternando com ondas 
maiores com períodos mais longos. Essa regularidade dá-nos uma 
ideia, ainda que grosseira, das muitas tempestades perto e longe 
que as geraram. As várias ondas de diferentes alturas e períodos 
que rebentam em uma costa são fundamentalmente o resultado da 
interferência das ondas provocadas por tempestades de severidade 
diferente e ocorrendo a distancias diferentes. 
Se as praias do Atlântico têm ondas mais altas e são boas 
para os surfistas é porque as muitas tempestades que ocorrem em 
todo o Atlantico são reforçadas pelos ventos predominantes vindos 
de Oeste, no hemisfério Norte. As costas atlânticas da América do 
Norte são piores para os surfistas porque os ventos de Oeste sopram 
contra as ondas que avançam para a costa em direção a leste e 
diminuem o seu efeito . 
FíSICA li 
Volume 2 
Durante tempestades, em águas mais profundas, a força 
do vento vai formando ondas pequenas, que aos poucos 
vão crescendo. O tamanho das ondas depende da força do 
vento, do tempo que o vento sopra em uma só direção e 
da área de mar aberto em que o vento sopra sobre a água. 
Segundo os marinheiros, a altura das ondas não deverá ser 
nunca muito maior do que cerca de 1/1 O da velocidade do 
vento em km/h, ou seja, um furacão com ventos de 120 
km/h pode produzir ondas de cerca de 12 metros de altura . 
Ondas de 13,5 metros de altura são bastante comuns em 
tempestades, mas já foram observadas ondas de 33 metros. 
Quando as ondas se afastam da zona de tempestade vão se 
tornando mais regulares e de menor altura e são chamadas 
ondas de superfície (ondas que viajam em águas mais profundas 
do que metade do comprimento de onda) . Podem viaja r 
centenas de quilômetros e mesmo atravessar todo um oceano. 
Uma onda com um período de T segundos viaja a uma velocidade 
que, em km/h, é cerca de 5,6 ·Te com um comprimento de onda, 
em metros, que é cerca de 1,53 · T2, (uma onda de superfície com 
10 segundos de período viajará a 56 km/h e terá um comprimento 
de 153 metros). As várias tempestades que ocorrem em um oceano 
vão produzir ondas de diferentes alturas e períodos que interferem 
umas com as outras, como as ondas que se formam quando 
atiramos várias pedras para a superfície de um lago, até acabarem 
por se aproximar de uma costa. 
Quando uma onda de superfície se aproxima da costa 
e encontra águas menos profu ndas do que metade do seu 
comprimento de onda, só o seu período continua o mesmo. A sua 
velocidade e comprimento de onda diminuem e a altura aumenta. 
Para uma onda de superfície com 1 O segundos de período, isso 
começará a acontecer quando a profundidade das águas for cerca 
de 76 metros. 
POR QUE AS ONDAS CHEGAM À PRAIA 
QUASE PARALELAS À COSTA? 
Se olharmos o oceano de cima. de um ponto maiselevado 
em uma costa, vemos o padrão horizontal de cristas de onda que se 
aproximam dela. E podemos então notar que, seja lá de que direção 
as ondas venham. elas acabam por se ir encurvando ao chegar mais 
perto da costa, de modo a chegarem na praia em uma direçáo quase 
perpendicular a ela, mas raramente exatamente perpendicular. 
O que se passa é que, quando uma onda se aproxima da 
costa em uma direção que faz um determinado ângulo com a 
perpendicular à costa, as partes mais próximas da costa «sentem» 
o fundo mais cedo e, nessas partes, a velocidade de propagação 
das ondas diminui. A medida que cada parte da crista da onda vai 
sentindo o fundo, as partes que o sentiram antes vão diminuindo 
cada vez mais a sua velocidade. Desse modo e de uma forma 
contínua, a linha da onda vai sendo encurvada: um fenômeno que 
se chama refração das ondas, por ser similar ao que se passa com 
os raios de luz na refração óptica. E é isto que faz com que as ondas 
acabem por chegar à praia em uma direção quase perpendicular a 
ela e rebentem de um modo quase paralelo à costa. 
Na refração, passa-se algo de parecido com uma fila de 
soldados que vira uma esquina em formação, com os soldados que 
estão mais perto da esquina a andarem mais devagar e os que estão 
longe dela a andarem mais depressa. 
Se uma onda encontra uma parte da costa mais saliente, 
como um promontório, a parte que a «sente» primeiro diminui 
mais depressa de velocidade e as outras partes, de ambos os lados, 
seguem em frente, mas vão sendo encurvadas e vão acabar por 
rebentar de cada um dos lados dessa saliência (os soldados em frente 
ao promontório param e os outros atacam-no rodeando-o de ambos 
os lados). As ondas convergem nessas partes mais salientes e ao 
rebentar gastam nelas a maior parte da sua energia, causando mais 
erosão do que nas outras partes da costa. Nas baías, a refração faz 
com que as ondas divirjam e a energia aí despendida seja mínima, 
tornando as baías mais calmas. 
As partes salientes das costas "chamam as ondas". E a 
energia das ondas é assim distribuída de forma a ir tornando a linha 
de costa cada vez mais retilínea. 
As ondas provocadas pelos ventos das tempestades podem 
ser extremamente destrutivas (chegam por vezes a conseguir 
levantar estruturas de mais de 2000 toneladas), mas as ondas mais 
destrutivas são as associadas aos maremotos e ao tsunami. 
Wikipédia. a enciclopédia livre. 
Exercícios Resolvidos 
01. Dois pulsos na mesma corda são descritos pelas seguintes 
equações de onda: 
5 5 
y, = 2 
(3x-4t) +2 
Y2 = - 2 
(3x+4t-6) +2 
Assinale a alternativa incorreta. 
A) Os pulsos y
1 
e y
2 
viajam com velocidades +v e -v sobre o 
eixo x, respectivamente. 
B) Em t = O, 75 s, o deslocamento em todos os pontos da corda 
é zero. 
C) Em x = 1 m, o deslocamento é igual a zero para qualquer 
instante de tempo. 
D) A energia de corda é nula em t = O, 75 s. 
E) A onda descrita acima não é senoidal. 
Solução: 
Observe que, para t = O, 75 s, todos os pontos da corda estão 
sobre a origem. 
5 5 Y1=---~-=----,--
{3x-4t}2+2 (3x - 3}2+2 
5 5 Y2 = ----~- = ---......,....-
(3x + 4t - 6}2 + 2 {3x - 3)
2
+2 
Y,+Y2 =0 
Nesta configuração, a corda não possui energ ia potencial 
elástica, assim, toda a energia está na forma de cinética. 
Isso deixa a afirmativa do item d incorreta. 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • •• • • \. 
02. O deslocamento de uma partícula de unia corda, tensionada na 
direção x, é representado por y. Assinale qual das alternativas 
contém expressões que caracterizam uma onda. As constantes 
A, k e oo são reais. 
1. y(x, t) = Acos(kx)sen(wt) 
li. y(x,t)=A(k2x2 -w2t 2) 
Ili. y(x,t)=Acos2 (kx+wt) 
IV. y(x, t) = Acos(k2x2 - w2t2) 
V. y (x, t) = Ae(kx-o,tJ 
A) As equações 1, li e IV. 
C) As equações 1, IV e V. 
E) Nenhuma . 
Solução: 
B) As equações li e Ili. 
D) As equações I e Ili. 
1. y(x,t) = Acos(kx) sen(oot) ~ Onda estacionária. 
li. Não representa uma onda. 
Ili. y(x,t) = Acos2(kx + oot) -. Onda cossenoide quadrática. 
IV. Não representa uma onda. 
V. Não representa uma onda. 
Obs.: Um teste mais específico é ver se tais funções satisfazem 
a seguinte equação: 
c2 ª2Y = ª2Y onde C é uma constante . 
ax2 at2' 
03. Quando um projétil de alta velocidade, como uma bala ou 
fragmento de bomba, atinge uma moderna armadura corporal, 
o tecido da armadura para o projétil e previne a penetração por 
um rápido espalhamento da energia do projétil sobre uma grande 
área. Esse espalhamento é feito por impulsos longitudinais e 
transversais, que se movem radialmente a partir do ponto de 
impacto, em que o projétil empurra em forma de cone dentro 
do tecido. O pulso longitudinal, correndo ao longo das f ibras 
do tecido com velocidade vt, causa contração e elongação das 
fibras radialmente. Uma tal fibra radial é mostrada na Figura a 
seguir (a). Parte da energia do projétil vai para esse movimento 
e para a potencial. O pulso transversal. que se desloca a uma 
velocidade vT' é mais lento. À medida que o projétil aumenta a 
profundidade do "dente", o dente aumenta de ra io, fazendo 
com que o material e as fibras se movam na mesma direção 
que o projétil (perpendicular à direção do pulso transversal). 
O resto da energia do projétil vai para esse movimento. Toda a 
energia que não é utilizada para deformar permanentemente as 
fibras acaba como energia térmica. A figura (b) é um gráfico da 
velocidade v em função do tempo t para uma bala de massa de 
10,2 g disparada de um revólver calibre 38 especial diretamente 
na armadura corporal. As escalas dos eixos verticais e horizontais 
são fixados por v = 300 m/s e t, = 40,0 ms. Aqui ~L = 2000 m/s, 
e assumir que o semiãngulo 0 do dente cônico é de 60º. 
No final da colisão, quais são os raios da região adelgaçada e 
do dente, respectivamente (assumindo que a pessoa que veste 
a armadura permanece parada)? 
v 
Raio alcançado 
por pulso longitudinal 
,..._.,,..,...../ -
t 
/
Raio alcançado por t t pulso transversal 
8 -
ri k , ~ I 
(a) 
ITA/IME 
A) 8,0· 10-2 me 1,0· 10-2 m 
B) 4,0· 10-2 me 1,0· 10-2 m 
C) 12 · 10-2 m e 6 · 10-2 m 
D) 10· 10-2 me 6 · 10-2 m 
E) 18 · 10-2 me 12,0 · 10-2 m 
Solução: 
t (µ s) 
(b) 
FíSICA li 
Volume 2 
t, 
Esta distância é determinada pela velocidade do pulso 
longitudinal: 
d1 = v1t = ( 2 000 : ){ 10 -10-6 s) = 8, O· 10-
2 m 
Supondo que a aceleração é constante (uma hipótese razoável, 
já que a curva do gráfico é praticamente linear). temos a= v/ t,. 
Assim: 
(300){40-10-6 ) 3 
v2 =v~+2ad-. d=-----=6-10- m 
2 
A distância d e o raio r são catetos de um triângulo retângulo, 
no qual e é o cateto oposto ao ângulo de 60º. Logo: 
tg 60° = ~ -. r = 1, O· 10-2 m 
d 
Resposta: A 
Acústica 
Introdução 
Já se perguntou como é formada, literalmente, aquela 
harmonia que você tanto gosta? Para um pouco e lembre-se o 
quanto é bom ouvir a voz da pessoa amada! O ouvido huma~o é 
uma máquina fantástica e, assim como a visão, a audição nos aJuda 
muito a perceber o mundo a nossa volta . 
A acústica é a área da f ísica que estuda da produção de um 
som até a nossa percepção. Iremos estudar e resolver problemas 
sobre interferências de ondas sonoras, batimentos, tubos sonoros, 
intensidade de uma onda sonora, nível sonoro, efeito Doppler e 
outras peculiaridades que reinam no mundo auditivo. . 
Historicamente, os primeiros pesquisadores a estabelecer leis 
e propriedades das ondas sonoras foram Regnault (André Regnault, 
físico francês, 1818-1898), Helmholtz (Hermann Ludwig Ferdinand 
von Helmholtz, cientista alemão, 1821-1894), Scheibler (Johann 
Heinrich Scheibler, físico alemão, 1805-1879), Doppler (Christ ian 
Johann Doppler, f ísico austríaco, 1803-1853), Fizeau (Armand 
Hippolyte Louis Fizeau, f ísico francês. 1819-1896), Hertz (Gustav 
Hertz, físico alemão, 1887-1975), Fresnel (Augustin Jean Fresnel, 
físico francês, 1788-1827), Huygens (Christian Huygens, astrônomo,FíSICA li 
Volume 2 
matemático e f ísico holandês, 1629-1695), Fourier (Jean Baptiste 
Joseph Fourier, matemático francês, 1768-1830), Rayleigh (John 
William Strutt Rayleigh, matemático e físico inglês, 1842-1919), 
Wien (Wilhelm Wien, físico alemão, 1864-1928), Stern (Otto Stern, 
físico alemão, 1888-1969), Riegger (Wallingford Riegger, compositor 
americano, 1885-1961 ), Ohm (Georg Simon Ohm, f ísico alemão, 
1787-1854), entre muitos outros. 
Equação da onda sonora unidimensional 
(senoidal) 
A figura (a) mostra o fluido (um gás em equilíbrio) com 
densidade p em um tubo com uma seção reta com área A. No estado 
de equilíbrio, o fluido está submetido a uma pressão uniforme p. 
No instante t = O, começamos a deslocar o pistão da extremidade 
esquerda com velocidade constante v no sentido da esquerda para 
direita. Isso provoca um movimento 6ndulatório da esquerda para 
a direita ao longo do tubo, no qual as seções sucessivas do tubo 
começam a se mover e se comprimem em instantes sucessivos. 
A figura (b) mostra o fluido em um instante t . Todas as partes 
do fluido à esquerda do ponto P se movem com velocidade v da 
esquerda para a direita; todas as partes do fluido à direita do pónto 
P ainda estão em repouso. A fronteira entre a parte em repouso e 
a parte móvel do fluido se desloca da esquerda para a direita com 
uma velocidade igual à velocidade de propagação da onda v. 
A) 
8) 
Pist~o móvel 
Fluido ínicíalmente 
em equ/llbr/o 
Em movimento t Em repouso 
p 
A quantidade do fluido que entra em movimento no instante 
t é a quantidade que inicialmente ocupava uma seção do cilindro 
de comprimento v,, com área de seção reta A e volume v A. A 
massa dessa quantidade de fluido é pvtA e o seu momento 1'inear 
longitudinal é em módulo: 
jP(momen101...ar1I = (pvtA)vy 
Podemos determinar o aumento da pressão, óP. no fluido 
que se move. O volume original do fluido que se move diminui de 
um valor Avt Pela definição de módulo de compressão B, temos: 
ÃP ÃP V 
B =---V = ---Avt --t ÃP = B..:.1.. 
tN Avyt v 
Dessa forma, o impulso longitudinal pode ser expresso por: 
V 
1 = óPAt = B-;t = (pvtA)vrt 
Portanto: 
Obs.: Para um sólido, a analogia é feita e resulta em: 
v = ~(Y / p) 
Onde Y é o módulo de Young. 
ONDA SONORA NOS GASES 
Como a condutividade térmica dos gases é muito pequena, 
verificamos que, para as frequências das ondas sonoras ordinárias, 
digamos entre 20 Hz e 20000 Hz, a propagação do som é 
aproximadamente adiabática . Portanto, na equação ante rior, 
devemos usar o módulo de compressão adiabática da seguinte 
maneira : 
Logo: 
pvv = constante 
~ V1 +yPvv-• = O 
dV 
Bad = yP 
Concluímos então que a velocidade de propagação do som 
no ar é dada por: 
É claro que desprezamos a natureza molecular do gás 
que foi considerado como um meio continuo. Na rea lidade, 
sabemos que um gás é constituído por moléculas que se movem 
aleatoriamente e são separadas por distãncias grandes em 
comparação com seus diãmetros. As vibrações que constituem 
as ondas que se propagam em um gás são superpostas com o 
movimento térmico aleatório. Para a pressão atmosférica, cada 
molécula desloca uma distãncia média (seu livre caminho médio) 
da ordem de 10-7 m entre as col isões, enquanto a amplitude do 
deslocamento de uma onda sonora fraca é de 10-9 m. Podemos 
imaginar que uma onda sonora se propagando em um gás seja 
semelhante ao movimento de um enxame de abelhas; o conjunto 
inteiro do enxame oscila ligeiramente enquanto que cada abelha se 
move individualmente, aparentemente de modo aleatório, dentro 
do conjunto do enxame de abelhas. 
Ondas sonoras 
Podemos estudar o modelo teórico de uma onda senoidal 
para as ondas sonoras. 
y(x, t) = A sen(rot - kx) 
Cilindro de fluido não perturbado de área S, 
longitude 6x e volume 56x. 
1 
1 
: Uma onda sonora 
: despreza a extrema 
', esquerda do cilindro 
'. em y1 = y(x. t) ... 
1 ' 
\ ~ 
\ 
' ' ' .......... . 
s : 
' 
... e a extrema 
direita 
Y, = y(x + 6x,t). , 
-1 
\ 
1 
' 1 O _ _ x ___ x_+'--óx- --.... ,, -- x 
, 
variação de volume perturbad~ 
de fluido S(y2 -y,). 
Onde S é a área transversal. 
Quantitativamente, a variação de volume óV no cilindro é: 
óV = A(y2 -y1) = A[y(x + óx, t)- y(x,t)] 
ITA/IME 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • 1. 
1 • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Fazendo 6.x ~ O, podemos escrever: 
AV . [y(x+6.x,t) -y(x,t)] êfy(x,t) 
- = ltm -=--'-----'---'---=- = ---
V AX-tO /1,,x ax 
A variação relativa do volume é relacionada com a f lutuação 
de pressão por meio do módulo de compressão B: 
P(x,t)= - Bªytt) 
O sinal negativo surge porque, quando ayt t) for positivo, 
o deslocamento no ponto x + óx é maior do que no ponto x, 
correspondendo a um aumento de volume e a uma diminuição 
de pressão . 
Dessa forma, obtemos: 
P(x,t) = BkA cos(rot - kx) 
Agora é importante perceber que P(x, t) e y(x, t) possuem 
uma diferença de fase de n/2 . Em outras palavras, quando um for 
máximo, o outro será mínimo! Assim, o deslocamento é máximo 
quando a flutuação de pressão é igual a zero e vice-versa. 
Ternos a máxima flutuação de pressão (amplitude de 
pressão), sendo designada por 
Pmax = BkA 
Ou seja, a amplitude de pressão é proporcional à amplitude 
de deslocamento A. · 
Um bom esquema para entender o que acontece está na 
figura abaixo. 
A) Gr -'fico de de,sk>C,1men10 
: ,::1/': :~1/: y em fun~.\o de x em t • O - A .. ,-.. 
A!. partfculas sti t- ,t As partíc.lAas se 
deslocam-' direila, 1 ··,. desloeom '-' esquerda . 
Parlltulasn:lo deloc•d,u onde Y > O • 4 onde Y < O 
"§?:~:- ~·. l :: : ! '." .". f;:; l '-'-"-1 
PMl lcul•s de~ocodas Expans.lo: ./ Comp, .. s:IQ· 
C) G<Mko de llutuaç:lo 
de press.lo p em fun(:lo ~ 
x emt=O 
p 
as partku1as se separam; 
a press-10 ~ mills negatNa. 
as parUculas se amontoam, 
a pressao é mais posluva 
Intensidade do som 
Como toda "boa " onda, a onda sonora transporta energia 
entre dois pontos do espaço. A intensidade de uma onda é definida 
(como visto anteriormente) como a energia transportada, por 
unidade de tempo, por unidade de área. 
Como a potência é dada pelo produto da força pela 
velocidade, faremos isso aqui da mesma forma: 
Pot ( -A = BkA cos wt - kx)roA cos(rot - kx) 
rea 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
A intensidade é o valor médio dessa expressão e pode ser 
representada de várias formas: 
1 = _!BkwA2 = 2.jpBw2A2 = _! P..,i.2 
2 2 2.jpB 
Sensação auditiva 
O ouvido humano é um dispositivo que tem a capacidade 
de receber ondas sonoras e transformá-las nas sensações que 
denominamos sons. Ao ser atingido por uma onda sonora, 
o tímpano passa a vibrar com a mesma frequência determinando 
um movimento vibratório que, por meio dos ossículos do ouvido 
(martelo, bigorna e estribo), é transmitido para a denominada janela 
oval e daí para o ouvido interno, onde se converte em um impulso 
nervoso enviado ao cérebro por meio do nervo auditivo, dando-nos 
a sensação de som. Veja o esquema abaixo. 
Onda 
•sonor;, 
'----------·--·-·-----·-
º ouvido humano pode perceber sons desde a frequência de 
16 Hz até 20000 Hz. No entanto, essa sensibilidade está relacionada 
com a intensidade energét ica do som . 
Nível sonoro 
Alexander Graham Bell (1847-1882), escocês, ficou muito 
famoso por ter sido o inventor do telefone. Tornou-se professor 
na universidade de Boston (EUA) devido às suas pesquisas na 
área de fisiologia vocal. Tais estudos e experimentos o levaram a 
concluir que, se temos a sensação de que a intensidade de um 
som dobrou. na rea lidade ela foi multiplicada por 1 O. Assim, para 
medir a sensação sonora, decidiu-se definir uma nova grandeza 
denominada nível de intensidade sonora ou, simplesmente, nível 
sonoro. 
Em primeiro lugar, foram realizados diversos experimentos 
com várias pessoas para determinar a menor intensidade 10 (para 
uma frequência de 1000 Hz) que o aparelho auditivo humano 
consegue perceber. Tudo bem! Nem todos possuem o mesmolimite. 
É claro que é uma média 1 
10 = 10-
12 W/m2 
Como essa escala é muito vasta, trabalharemos com a escala 
logaritmo. O nfvel de intensidade sonora para uma intensidade I é 
dado por: 
Mesmo assim, em virtude da escala continuar grande, é 
mais comum utilizar uma escala submúltipla do bel, o decibel. 
(plural: decibels). 
N = 101og(t) 
fíSICA li 
Volume 2 
O limite superior é aproximadamente 120 decibels. A partir 
dessa intensidade, a sensação já passa a ser de dor, além dos 
problemas físicos causados. 
Assim, a diferença de nível sonoro de intensidade entre duas 
intensidades energéticas 1
1 
e 1
2 
é dada por: 
t.N = 101og (t) 
NÍVEIS SONOROS DE ALGUMAS FONTES 
Tipo de fonte w dBA 
Foguete espacial 100 000 000 200 
Jato militar 100 000 170 
Ventilador centrifugo grande 
100 140 (850000 m3/h) 
Orquestra 75 músicos. Ventilador 
10 130 axial 170000 m3h 
Moinho de martelo grande 1 120 
Ventilador centrffugo 22000 m3h o, 1 110 
Automóvel em est rada 0,01 100 
Processador de alimentos 0,001 90 
Lavadora de pratos 0,0001 80 
Voz em nlvel de conversação 0,00001 70 
Duto de ar com abafador 0,00000001 40 
Voz muito baixa (cochicho) 0,000000001 30 
Menor fonte audível 0,000000000001 o 
Audibilidade / A escala dos fons 
~ importante observar que o nível de intensidade N não é 
uma grandeza subjetiva, mas sim uma grandeza física. Por exemplo, 
um som de frequência 1000 Hz, com nível de intensidade 40 dB, 
não produz a mesma sensação auditiva que um som de frequência 
200 Hz com o mesmo nível de intensidade (40 dB). Graças aos 
trabalhos de Fletcher foi possível traçar uma série de curvas 
de mesma audibilidade, denominadas curvas isotônicas, que 
correspondem aos sons de diferentes frequências, as quais 
produzem a mesma sensação subjetiva (figura a seguir). Para medir 
essa sensação subjetiva ou audibi lidade foi criada outra escala 
logarítmica em que os valores são expressos em tons, cujo valor 
corresponde, por convenção, ao valor do níve: de intensidade em 
decibels para o som de frequência 1000 Hz. 
dB 
o 
20 Hz SOHz 1 OOHz 300Hz 1 kHz 3kHz 1 O kHz 
Altura de um som 
Comumente as pessoas confundem altura de um som com 
potência, ou até mesmo intensidade. A altura é a característica 
que permite o cérebro diferenciar um som alto (agudo) ou um 
som baixo (grave). Ta l qualidade está intrinsecamente relacionada 
à frequência do som. 
Quanto maior for a frequência, mais alto (agudo) será o som 
e, quanto menor for a frequência, mais baixo (grave) será o som. 
Relacionamos dois sons de frequências f 1 e f 2 (f 1 < f 2) 
definindo uma grandeza adimensional chamada intervalo: 
Se i = 1, dizemos que o interva lo é uníssono. 
Sei= 2, chamamos tal intervalo de oitava. A explicação para essa 
nomenclatura é que em uma escala musical a frequência dupla 
corresponde à oitava nota da sequência. Veja: Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, 
Lá, Si, Dó2• 
Dó, ---------_. DÓ 
2 
Quando o intervalo entre dois sons, que não uníssonos, é 
um número inteiro, os sons de frequência maior são denominados 
harmônicos do de frequência mais baixa, chamado fundamental. 
Timbre 
O timbre é a característica sonora que permite distinguir sons 
de mesma frequência e mesma intensidade, desde que as ondas 
sonoras correspondentes a esses sons sejam diferentes. Por exemplo: 
dois aparelhos musicais, violão e violino, por exemplo, podem emitir 
sons com a mesma frequência, mas com timbres diferentes, pois as 
ondas sonoras possuem formas diferentes. 
Na verdade, quando tocamos um instrumento, o som 
produzido é dado pela frequência fundamental mais uma série de 
harmônicos dessa frequência. Verifica-se que a frequência da onda 
é igual à frequência mais grave emitida (menor frequência). 
y diapasão f\ /\ /\ /\ ~V 
-, flauta r"\r"\ r"\ ô 
VV~ V 
voz (a) ílnílnílllílõ 
~ violino 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • 1. 
• • • • • • 
1• 1: 
• • • • • • • • • • • • • • 
Observações: 
Sabemos que, quando um impulso sonoro nos atinge o 
ouvido, a sensação que provoca dura aproximadamente um 
décimo de segundo (O, 1 s), logo: 
• o reforço ocorre quando o intervalo de tempo entre a chegada 
do som direto e o refletido é praticamente nula; 
• a reverberação ocorre quando o intervalo de tempo entre 
a chegada do som direto e a do reflet ido é pouco inferior a 
O, 1 s. Nesse caso, a sensação de audição se prolonga; 
• o eco ocorre quando o intervalo de tempo entre a chegada 
do som direto e do som refletido é superior a O, 1 s . 
Tubos sonoros 
Os tubos sonoros são elementos que possuem uma abertura 
em uma das extremidades na qual um jato de gás enviado contra a 
aresta de um bisei bifurca-se, de modo a produzir uma perturbação 
que acarreta a vibração da coluna de gás no seu interior. 
Embocadura de flauta 
Podemos classificar os tubos de duas formas: 
• Tubo aberto: quando a extremidade oposta é aberta. 
Os harmônicos possíveis no tubo aberto possuem frequências 
múltiplas da fundamental. 
TUBO ABERTO 
f = n~ 
n 2F 
Onde n é um inteiro qualquer . r-L---, 
_r- -------- 1..1 = 2L 
A ~ >< f,=f.=½ 
- L.-_._._....._ _____ ~ 11° Harmônico! 
_r- -,---....,..-.,---"'"7""" >.., = L - /flX X f, =:::'. =21, 
7/ 11 12º ~armônicoi 
2 
!.~!.=-!.~!.:7DX X X :·:r,,. 
. ., ' 13º Harmônico! 
(a) Aberto em ambos os lados 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
• Tubo fechado: quando a extremidade oposta é tampada; 
Os harmônicos possíveis no tubo fechado são dados por 
um múltiplo ímpar da frequência fundamental. Assim, tais tubos 
só possuem harmônicos de ordem ímpar . 
f =n~ 
n 4 /1 
Onde n para esse caso deve ser ímpar. 
Tubo fechado r----L~ 
m'!'!l!r-ll~ _r- --==:::::::::::__j=------,>., = 4L 
N A -----i1=~-~ ....... ....._ __ • "--...u.--===-----'i 1 °'Har~ônicol 
____ _..___,---, 1,.
1 
a ~L 
~ X J f,-~-3f, 
i2º Harmônico! ~X~J 4 X, •-L 
~-_._.....,_ _ _,,___"--__ '-' t, =~ •Sf, 
- 4L 
(a) Aberto em ambos os lados i3º Harmônico! 
Observação: 
A extremidade da embocadura contém sempre um ventre 
de pressão da onda estacionária na coluna gasosa. Em relação a 
outra extremidade, será sede de um ventre, se for tubo aberto, 
e um só, se for tubo fechado. Você seria capaz de explicar isso? 
Lembre-se que a onda de pressão está sempre em oposição de 
fase com a onda de deslocamento . 
Interferência de ondas sonoras: 
Tubo de Quinke 
---te ... __ _ 
A ! ~ X-"1 rr----------~--=::s--::5~~= --_ -_ -_-_:: ~ -.: 
' ' ' 
B ! 
-c H 
1 Ouvido 
1 ' 
1 1 
dd _____ _ -~) 
~ X-"1 
FíSICA li 
Volume 2 
• O som é produzido pelo diapasão percorrendo: ABC e ADC. 
• No ponto C, teremos: interferência máxima ou mínima. 
6n= ADC - ABC 
ru<=n·À 
À 
6n = (2n -1)- 2 
Cada (x) cm que é acrescido ou reduzido causa uma diferença 
de caminho de 2 · x. 
~ = 2x ~ L = 4 · X 
2 
t+-20 cm --+t 
~)))_,'ºli,: e D 
.----~ Ouvido 
10 cm 
! 
-- -- 340 
ruc = ABCD-AED= 7 64 cm - ruc = n·À= n·-• f 
340 
f = n · 2 = n · 4450 Hz 7,64-10-
n ~ 1 ~ valores possíveis. 
O efeito Doppler - Um engano de Christian Doppler 
O austríaco Christian Doppler foi o 
primeiro a explicar o efeito que tem seu nome e 
também o primeiro a aplicá-lo erradamente. 
Ele previ u que um som tem sua 
tonalidade aumentada se a fonte sonora se 
aproxima do ouvinte. Esse efeito foi verificado 
experimentalmente pelo holandês Buys-Ballot, 
dois anos depois da publicação do artigo de 
Doppler. 
O efeito Doppler é o nome que damos ao fato da frequência 
variar de acordo com o movimento relativo entre a fonte e o 
observador. Lembre-se quando um carro passa buzinando do seu 
lado, o som é percebido mais agudo quando o carro se aproxima e 
mais grave quando o carro se afasta do observador. 
De maneira geral, podemos calcular a frequência aparente 
percebida pelo observador da seguinte maneira: 
Onde: 
v,: velocidade do som 
v,: velocidade da fonte 
v
0
: velocidade do observador 
f0 : frequência da fonte (própria) 
(,r,: frequência aparente (percebida pelo observador) 
Veja:Suponhamos que uma fonte A emite 100 ondas por 
segundo. Um observador O perceberá a passagem de 100 ondas 
a cada segundo. Entretanto, se o observador se move na direção 
da fonte A, o número de ondas que ele encontra a cada segundo 
aumenta proporcionalmente à sua velocidade, e a frequência 
aparente será dada por: 
f =Í(v,+vo) 
ap O V, 
o 
Onde f
0 
é a frequência da fonte, v
0 
a velocidade do 
observador, e v, a velocidade do som. Assim, a frequência 
aparentemente aumenta enquanto o observador se move em 
direção à fonte. Quando o observador passa pela fonte A, a 
frequência cai abruptamente, Já que ele passa a se afastar da fonte 
(nesse caso, v0 deve ser subtraída de v). 
f = f (~) 
ap o v, 
O mesmo efeito ocorre se a fonte estiver em movimento, 
como no caso de uma ambulancia, que passa com a sirene ligada 
por um observador. A figura abaixo mostra que as ondas produzidas 
se assemelham a esferas cujos centros se deslocam na direção do 
movimento da fonte. 
Nesse caso, a frequência aparente será: 
Caso a fon te se distanciasse do observador, teríamos: 
f.P = f0(-v• ) v, +v, 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ·~ 
• • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • •~ 
• • • • • • • • •• 
... 
Derivadas 
Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante . 
1. y = u" => y' = nun-1 u' 
2. y = uv => y' = u'v + v'u 
u u'v - v·u 
3. y = v => y' = v2 
4. y = au => y' = au(ln a) u', (a > º· a* 1) 
5. y =eu=> y' = euu• 
u' 
6. y=log.u=>y'=~log.e 
1 ' 1 ' 7. y= nu=>y =-u 
u 
8. y = u• => y' = vuv-1 u· + u•(ln u) v' 
9 . y = sen u => y' = u' cos u 
10. y = cos u => y' = - u· sen u 
11 . y = tg u => y' = u' sec2 u 
12. y = cotg u => y' = -u' cosec2 u 
13. y = sec u => y' = u' sec u tg u 
14. y = cosec u => y' = - u· cosec u cotg u 
u' 
15. y = are sen u => y' = ---r:=="; 
"11 - u2 
- u' 
16. y=arccosu=>y'= ,.-, 
v1-u2 
u· 
17. y = are tg u => y · = --
1 + u2 
-u' 
18. y = are cotg u => --2 1+u 
u' 
19. y = are sec u, !ui ~ 1 => y' = .fu2=, , !ui > 1 lul uz - , 
-u' 
20. y = are cosec u, lul ~ 1 => y '= ~ ·!ui > 1 
!ui u2 - 1 
Identidades trigonométricas 
1. sen2 x + cos2 x = 1 
2. 1 + tg2 x = sec2 x 
3. 1 + cotg2 x = cosec2 x 
2 1-cos 2x 
4. sen x=---. 
2 
2 1+cos2x 
5. COS X=---
2 
6. sen 2x = 2 sen x · cos x 
7. 2 sen x · cos y = sen(x - y) + sen(x + y) 
8. 2 sen x · sen y = cos(x - y) - cos(x + y) 
9. 2 cos x · cos y = cos(x - y) + cos(x + y) 
10. 1 ± sen x = 1 ± cos ( i -x) 
ITA/IME 
fíSICA li 
Volume 2 
Exercícios 
y. Quais as características das ondas sonoras que determinam a 
altura e a intensidade do som? 
A) Comprimento de onda e frequência. 
B) Amplitude e comprimento de onda . 
C) Amplitude e frequência. 
,.ill_Frequência e comprimento de onda . 
~ Frequência e amplitude. 
n,:"'som mais agudo é som de: 
7· A) maior intensidade . 
B) menor intensidade. 
C) menor frequência. 
(ô)imaior frequência. 
E) maior velocidade de propagação . 
n/(IME) Uma fonte sonora, de 60 Hz, desloca-se a 30 m/s, r · entre duas paredes paralelas, em direção normal a elas. 
Determine o número de batimentos por segundo entre os ecos . 
Dados: velocidade do som v, = 330 m/s. 
~(UFMG) Uma pessoa toca no piano uma tecla correspondente 
à nota Mi e, em seguida, a que corresponde a Sol. Pode-se 
afirmar que serão ouvidos dois sons diferentes porque as ondas 
sonoras correspondentes a essas notas têm: 
amplitudes diferentes . 
requências diferentes. 
ntensidades diferentes. 
D) timbres diferentes. 
E) velocidades de propagação diferentes. 
oJf Uma experiência de demonstração divertida em mudar r · a tonalidade da VOZ enchendo a boca de gás hélio : 
uma voz grave transforma-se em aguda (cuidado: não 
procure fazer isso por sua conta l - inalar hélio é perigoso, 
podendo levar à sufocação). Para explicar o efeito, admita 
que os comprimentos de onda, associados à voz, são 
determinados pelas dimensões das cordas vocais, laringe 
e boca, estas funcionando como cavidades ressonantes, 
de modo que a var iação de tonalidade seria devido 
unicamente à variação da velocidade do som (embora isso 
não seja bem correto) . 
A Calcule a velocidade do som no héii a 20 ºC. É um gás 
monoatómico, de massa atômica = oi, com y = 1,66 . 
~,) constante universal dos gases R vale ,314 J/mol · K. 
,J" 5xplique o efeito calculando a razão entre as frequências 
do som no hélio e no ar para o mesmo comprimento de 
onda. 
;)6- (ITA) Um pelotão desfila em um ritmo de 120 passos por 
minuto, ao som de uma fanfarra, que o precede; nota-se 
que a última fila está com o pé esquerdo à frente quando 
os componentes da fanfarra estão com o pé direito à frente. 
Sabendo que a velocidade do som no ar é de 340 m/s, 
o comprimento do pelotão, incluindo a fanfarra, é de, 
?Rt:oximadamente, 
w1o m 
B) 680 m 
C) 85 m 
D) 200 m 
E) 490 m 
FíSICA li 
Volume 2 
Y.(Fuvest-SP) Uma fonte emite ondas sonoras de 200 Hz. A uma 
distancia de 3400 m da fonte, está instalado um aparelho que 
registra a chegada das ondas através do ar e as remete de volta 
por meio de um fio metálico retilíneo. O comprimento dessas 
ondas no fio é 17 m. Qual o tempo de ida e volta das ondas? 
Dado: velocidade do som no ar igual a 340 m/s. 
(Ã))11 s 
)rf 17 s 
C) 22 s 
D) 34 s 
E) 200 s 
~ (UFPE) Diante de uma grande parede vertical, um garoto bate 
palmas e recebe o eco um segundo depois. Se a velocidade 
do som no ar é 340 m/s, o garoto pode concluir que a parede 
está situada a uma distancia aproximada de: 
A) 17 m B) 34 m 
C)68 m ~ 170 m 
E) 340 m 
~ O ouvido humano é capaz de ouvir sons entre 20 Hz e 
20000 Hz, aproximadamente. A velocidade do som no ar é, 
aproximadamente, 340 m/s. O som mais grave que o ouvido 
humano é capaz de ouvir tem comprimento de ondas: 
f 1,7 cm B) 59,8 mm 17m D)6800m 6800 km 
,><{' O aparelho auditivo, considerado no seu conjunto uma 
"caixa-preta", que detecta um sinal sonoro no ar e o transmite 
A cérebro, tem como grandezas de entrada e saída: 
~ ariação de pressão - impulsos elétricos. 
B) variação de pressão- compressão e distensão de moléculas. 
C) variação de velocidade de moléculas - concentração iônica 
nas células. 
D) variação de velocidade - impulsos elétricos. 
E) variação de pressão - concentração iônica nas células. 
Jf.' (IME) Há dez batimentos por segundo entre o 2° harmônico 
de um tubo aberto de órgão, de 8,5 m de comprimento, e o 
3º harmônico de outro tubo fechado; entre os dois, o som mais 
grave é o primeiro. Qual o comprimento do tubo fechado? 
Velocidade do som v, = 340 m/s. 
@ (ITA) Um diapasão de 440 Hz soa acima de um 
tubo de ressonancia contendo um êmbolo 
móvel, como mostrado na figura. A uma 
temperatura ambiente de O ºC, a primeira 
ressonancia ocorre quando o êmbolo está a 
uma distancia h abaixo do topo do tubo. Dado 
que a velocidade do som no ar (em m/s) a uma 
temperatura T (em ºC) é v = 331,5 + 0,607 T, 
conclui-se que a 20 ºC a posição do êmbolo 
para a primeira ressonância, relat iva à sua 
posição a O ºC, é: 
A) 2,8 cm acima. 
B) 1,2 cm acima. 
C) 0,7 cm abaixo. 
D) 1.4 cm abaixo. 
E) 4,8 cm abaixo. 
_) 
1 
h 
1 
êmbolo 
JÍ- (IME) Dois harmônicos consecutivos de um tubo sonoro têm 
frequências iguais a 425 Hz e 595 Hz. Determine a ordem desses 
harmônicos e a frequência fundamental do tubo. 
14. Um alto-falante de um aparelho de som emite 1 W de potência 
sonora na frequência f = 100 Hz. Admitindo que o som se 
distribua uniformemente em todas as direções, determine, 
em um ponto situado a 2 m de distância do alto-falante: 
16. 
A) o nível sonoro em dB. 
B) a amplitude de pressão. 
C) a amplitude de deslocamento. Tome a densidade do ar como 
1,3 kg/m3 e a velocidade do som como 340 m/s. 
D) a que distância do alto-falante o nível sonoro estaria a 
1 O dB abaixo do calculado em (A)? 
O tubo de Kundt, que costumava ser empregado para medir a 
velocidade do som em gases, é um tubo de vidro que contém 
o gás, fechado em uma extremidade por uma tampa M, que 
se faz vibrar com uma frequênciaf conhecida (por exemplo, 
acoplando-a a um alto-falante), e na outra por um pistão P, 
que se faz deslizar, vanando o comprimento do tubo. O tubo 
contém um pó fino (serragem, por exemplo). Ajusta-se o 
comprimento do tubo com o auxílio do pistão até que ele entre 
em ressonância com a frequência f, o que se nota pelo reforço 
da intensidade sonora emitida. 
p 
., ·i)-...... 
Observa-se então que o pó fica acumulado em mont ículos 
igualmente espaçados, de espaçamento M, que se pode medir . 
A) A que correspondem as posições dos topos dos mont ículos? 
B) Qual é a relação entre M, f e a velocidade do som no gás? 
C) Com o tubo cheio de CO2, a 20 ºC e f = 880 Hz, o 
espaçamento médio medido é de 15,2 cm. Qual é a 
velocidade do som no CO
2
, a 20 ºC? 
17. Um tubo de PVC, com 5 cm de diametro e 180 cm de 
comprimento, tendo as duas extremidades abertas, encontra-se 
quase totalmente imerso na água de uma lagoa, como 
representa a figura abaixo. • 
Um diapasão de frequência igual a 256 Hz é posto a vibrar 
bem perto da extremidade superior do tubo. Erguendo-se o 
tubo lenta e verticalmente, com o diapasão sempre vibrando 
nas proximidades de sua extremidade superior, ouve-se, pela 
primeira vez, um reforço do som (ressonância) quando o 
comprimento da parte emersa do tubo é igual a 33 cm. 
A) Calcule a velocidade de propagação do som no ar no local 
do experimento. 
B) Erguendo-se mais o tubo, até sua extremidade inferior 
atingir a superfície livre da água, outros reforços do som são 
percebidos. Determine os comprimentos da parte emersa, 
em centímetros, nessas ocasiões. 
ffA/ IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• e 
~ 
• • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• ) 
~ (IME-RJ) Ao encher-se um recipiente com água, o som produzido 
fica mais agudo com o passar do tempo. 
A) Explique por que isso ocorre. 
B) Determine uma expressão para a frequência fundamental 
do som em função do tempo, para o caso de um recipiente 
cilíndrico com 6 cm de diâmetro e 30 cm de altura, sabendo 
que a vazão do liquido é de 30 cm3/s. Suponha que a velocidade 
do som no ar no interior do recipiente seja 340 mts . 
19:" Uma corda de um instrumento musica l, de 50 cm de 
comprimento e densidade linear igual a 2,50 gim, vibra no 
modo fundamental com frequência igual a 260 Hz. Per1o 
dela, um tubo aberto ressoa também no modo fundamental 
e são percebidos batimentos com frequência igual a 4 Hz. 
Observou-se que uma ligeira diminuição da intensidade da 
força tensor~ na corda acarretou um aumento da frequência 
dos batimentos. Considerando a velocidade do som no ar igual 
a J30 m/s, determine: 
-t<v frequência fundamental f do tubo aberto. 
;e} o comprimento L do tubo. 
,0"'a intensidade F da força tensora na corda quando foram 
observados os batimentos de 4 Hz. , 
20 Uma fonte sonora fixa emite som de frequência f
0
: O som 
é ref letido por um objeto que se aproxima da fonte com 
velocidade u . O eco refletido volta para a fonte, onde interfere 
com as ondas que estão sendo emitidas, dando origem a 
batimen tos, com frequências M. 
Mostre que é possível determinar a magnitude lul da velocidade 
do objeto móvel ~m função de 6f, f
0 
e da velocidade do som v. 
21 . (PUC -PR) Uma ambulância dotada de uma sirene percorre, 
em uma estrada plana, a trajetória ABCDE, com velocidade de 
módulo constante de 50 km/h. Os trechos AB e DE são retilíneos 
e BCD, um arco de circunferência de raio 20 m, com centro no 
ponto O, onde se posiciona um observador que pode ouvir o 
som emitido pela sirene. 
A B 
, . , ' . , 
, , 
, , , 
o ""----------- D 
E 
Ao passar pelo ponto A, o motorista aciona a sirene cujo som 
é emitido na frequência de 350 Hz. Analise as proposições a 
seguir. 
1. Quando a ambulância percorre o trecho AB, o observador 
ouve um som mais grave que o som de 350 Hz; 
li. Enquanto a ambulância p~rcorre o trecho BCD, o observador 
ouve um som de frequência igual a 350 Hz; 
Il i. A medida que a ambulância percorre o trecho DE, o som 
percebido pelo observador é mais agudo que o emitido pela 
ambulância, de 350 Hz; 
IV. Durante todo o percurso, a frequência ouvi da pelo 
observador será de frequência igual a 350 Hz. 
Está correta ou estão corretas: 
A) IV. B) li e Il i. 
C) Apenas li . D) 1 e Ili. 
E) 1 e 11 . 
ITA/IME 
fíSICA li 
Volume 2 
/ Uma onda sonora considerada plana, proveniente de uma sirene 
em repouso, propaga-se no ar parado, na direção horizontal, 
com velocidade V igual a 330 m/s e comprimento de onda igual 
a16,5cm. 
frentes de onda 
Na região em que a onda está se propagando, um atleta corre, 
em uma pista horizontal, com velocidade U igual a 6,60 m/s, 
formando um ângulo de 60º com a di reção de propagação da 
onda . O som que o atleta ouv~m frequência aproximada de: 
A) 1960 Hz '8.)/1980 Hz 
C) 2000 Hz D) 2020 Hz 
E) 2040 Hz 
W. (ITA-SP) Um diapasão de frequência 400 Hz é afastado de um 
observador, em direção a uma parede plana, com velocidade 
de 1,7 m/s. São nominadas: f 1, a frequência aparente das 
ondas não refletidas, vindas diretamente at é o observador; 
f 2, a frequência aparente das ondas sonoras que alcançam o 
observador depois de refletidas pela parede; e f
3
, a frequência 
dos batimentos. Sabendo que a velocidade do som é 340 mts, 
os valores que melhor representam as frequências em hertz de 
f 1, f2 e f 3, respectivamente, são: 
A) 392, 408 e 16 B) 396, 404 e 8 
C) 398, 402 e 4 D) 402, 398 e 4 
E) 404, 396 e 4 
\ 
12j. (ITA-SP) Um violinista deixa cair um diapasão de frequência 
440 Hz . 
-------~-----ã:;,. 
I 
h 
A frequência que o violinista ouve na iminência do diapasão 
tocar no chão é 436 Hz. Determine a altura da queda, 
desprezando a resistência do ar . 
., / (ITA-SP) Considere a velocidade máxima permitida nas estradas 
_r· ~orno sendo exatamente 80 km/h. A si rene de um posto 
rodoviár io soa com uma frequência de 700 Hz, enquanto 
um veículo de passeio e um policial rodoviário se aproximam 
emparelhados. O policial dispõe de um medidor de frequências 
sonoras. Dada a velocidade do som, de 350 m/s, ele deverá 
multar o motorista do carro quando seu aparelho medir uma 
frequência sonora de, no mfn~: 
A) 656 Hz ~45 Hz 
C) 655 Hz D) 740 Hz 
E) 860 Hz 
e 
FíSICA li 
Volume 2 
/. Uma jovem encontra-se no assento de um carrossel circular 
' - que gira a uma velocidade angular constante com período T. 
Uma sirene posicionada fora do carrossel emite um som de 
' 1 frequência f0 em direção ao centro de rotação. 
No instante t = O, a jovem está a menor distância em relação 
à sirene. Nessa situação, assinale a melhor representação da 
frequência f ouvida pela jovem. 
A) ~ 
f /f o 1---.--.....-~-~ f/fo 1--~-~~~ 
o T/4 T/2 3T/4 T t o T/4 T/2 3T/4 T t 
C) D) 
f/fo f/fo 
1 ---f----~---~----
o T/4 T/2 3T/4 T t o T/4 T/2 3T/4 T t 
E) 
f/fo 
O T/4 T/2 3T/4 T t 
'JÁ. (ITA) Uma pessoa de 80,0 kg deixa-se cair verticalmente de uma 
/ ponte amarrada a uma corda P.lástica de tungee jumping com 
16,0 m de comprimento. Considere que a corda se esticará até 
20,0 m de comprimento sob a ação do peso. 
Suponha que, em todo o trajeto, a pessoa toque continuamente 
uma buzina, cuja frequência natural é de 235 Hz. Qual(is) é(são) 
a(s) distância(s) abaixo da ponte em que a pessoa se encontra 
para que um som de 225 Hz seja percebido por alguém parado 
sobre a ponte? 
1,4 m 
1.4 me 18.4 m 
1,4 m, 14,4 me 18,4 m 
B) 11,4 me 14.4 m 
D) 14.4 me 18.4 m 
;:(. Das afirmações abaixo, a mais correta é: 
A) A altura é a qualidade que permite diferenciar um som forte 
de um som fraco. 
B) A velocidade do som independe da natureza do gás em que 
se propaga. 
C) A velocidade do som na atmosfera em relação a um 
observador fixo na terra independe da velocidade do ar em 
relação à terra. 
@j3uando uma fonte sonora se afasta do observador, ele ouve 
uma frequência mais baixa do que a emitida. 
E) A velocidade do som independe da temperatura do meio 
em que se propaga. 
J'- Com que velocidade escalardeve um observador deslocar-se entre 
duas fontes sonoras estacionárias que emitem sons de mesma 
).rtquência, para que perceba frequências na razão de 9:8? 
~0m/s 
B) 25 m/s 
C) 40 m/s 
D)10m/s 
E) Nenhuma das respostas acima. 
"J'. (ITA/1989) Um automóvel, movendo-se a 20 m/s, passa próximo. 
a uma pessoa parada junto ao meio-fio. A buzina do carro está 
emitindo uma nota de frequência f = 2,000 kHz. O ar está 
parado e a velocidade do som em relação a ele é 340 m/s. Que 
frequência o observador ouvirá: 
1. quando o carro está se aproximando? 
li. quando o carro está se afastando? 
1 
A) 2,00 kHz 
Jl_ 1,88 kHz 
(92,13 kHz 
D) 2, 10 kHz 
E) 1,88 kHz 
li 
2,00 kHz 
2, 12 kHz 
1,89 kHz 
1,87 kHz 
2, 11 kHz 
~- (ITA/2007) Em uma planície, um balão meteorológico com um 
emissor e receptor de som é arrastado por um vento fonte de 
40 m/s contra a base de uma montanha. A frequência do som 
emitido pelo balcão é de 570 Hz e a velocidade de propagação 
do som no ar é de 340 m/s. Assinale a opção que indica a 
frequência refletida pela montanha e registrada no receptor 
do balão. 
faz 450 Hz 
( C)i646 Hz 
E) 1292 Hz 
B) 510 Hz 
1 
l-, D) 722 Hz 
7i (ITA/2003) Quando em repouso, uma corneta elétrica emite 
um som de frequência 512 Hz. Em uma experiência acúst ica, 
um estudante deixa cair a corneta do alto de um edif ício . 
Qual a distância percorrida pela corneta, durante a queda, até 
o instante em que o estudante detecta o som na frequência 
de 485 Hz? (Despreze a resistência do ar). 
A) 13,2 m B) 15,2 m 
~ 16,lm D) 18,3m 
(:!_)19,3 m 
33. (IME) Uma montanha-russa denominada '•Canto do Dragão" 
possui uma sirene no carro que emite um som com frequência 
constante de 4000 Hz. Na parte do percurso mostrada na figura, 
o loop tem raio r = 40 me os segmentos BC e FG são arcos 
de circunferência com raio r.fi.. No segmento AB, o carrinho 
desloca-se em um plano horizontal com velocidade constante. 
Considerando que g = 10 m/s2, que a velocidade do som é 
320 m/s e que não há atrito no sistema, pede-se: 
!E 
Sirene 
/ ~ ----~ 
A 
H 
• • 
• • • • • 
~ 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • 
A) A frequência ouvida por um observador no ponto O, quando 
o carrinho passa por B com a velocidade mínima necessária 
para executar o loop circular completo . 
B) Qual a frequência percebida por um observador no centro 
quando a sirene está nos intervalos BC e FG? 
C) Esboce um gráfico pela frequência percebida por um 
observador no centro durante todo o percurso de A até H. 
?m observador parado percebe uma perseguição de dois 
carros que estão "buzinando" para livrar o trânsito. Um dos 
dois se aproxima, e o outro se afasta com a mesma velocidade. 
O resultado disso é a percepção de batimentos com frequência f. 
Encontre a velocidade de cada carro. As frequências das buzinas 
são de f0 e a velocidade do som no ar ( v . 
@u = ~, [ FITT -,] B) u = 2 ~ , [ [ITT-,] 
C) u='f[ fITT-2] D) u = ~; [ fITT -1] 
vf 
E) u =--º-
f 
~ A figura representa frentes de ondas esféricas emitidas por 
um avião que se movimenta horizontalmente para a direita, 
ao longo da reta r, com velocidade constante. 
Considere A a velocidade de propagação do som no ar igual a 
3 m/s e ./3 = 1, 7 . 
Calcule a velocidade do avião . 
m um determinado instante, o avião está na mesma vertical 
que passa por um observador parado no solo. Sabendo que 
3,0 s após esse instante o observador ouve o estrondo sonoro 
causado pela onda de choque gerada pelo avião, calcule a 
altura do avião em relação a esse observador . 
36. Uma fonte sonora F, emitindo um som de frequência igual a 
500 Hz, desloca-se para Oeste, com velocidade vF = 2ofi. m/s . 
N NE 
/ ....... 
w---------E F O 
s 
O vento sopra de Oeste para Leste, com velocidade 
v. = 40 m/s. Sabendo que, na ausência de vento, a velocidade 
do som no ar é v, = 340 m/s e que todas as velocidades citadas 
são relativas ao solo, calcule a frequência do som ouvida pelo 
observador localizado no ponto O . 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
37. Uma sirene que emite uma frequência f sobe verticalmente para 
cima a partir do solo a uma velocidade constante V. O ponto 
~V,:>artida é a sirene a uma distância d de um observador. r ~ssumindo o observador parado, calcule, com base nos 
dados, a frequência que o observador perceberá decorridos 
t segundos. 
B) Considere agora que o observador começa a se afastar 
horizontalmente do ponto de partida, a uma velocidade V', 
no mesmo momento em que a sirene inicia o movimento . 
Calcule, com base nos dados, a frequência percebida pelo 
observador após ter decorrido t segundos . 
(Velocidade do som: v) 
}' Uma unidade de intensidade sonora é: ~~~r~cm2 
't,{rg/cm 
D) dina/c2 
E) joule/cm2 
J Se um orador elevar o nível sonoro de sua voz de 40 dB para r · 80 dB, ele passa a consumir energ ia: 
~
40 vezes maior. 
104 vezes maior . 
4 vezes maior. 
D) 2 vezes maior . 
E) 1092 vezes maior. 
40: (ITA) Em uma banda de rock irradia uma certa potência em um 
/ - · nível de intensidade sonora igual a 70 decibels. Para elevar esse 
nível a 120 decibels, a potência irradiada deverá ser elevada de: 
A) 71% 
8)171% _ 
Ç.)/100% 
(0)3999900% 
E) 10000000% 
e (OBF) Em uma indústria há uma bancada com 1 O lixadeiras de 
metal próximas uma das outras. No manual, o fabricante afirma 
que cada uma emite um ruído com intensidade sonora de 
80,0 dB. Funcionando todas elas ao mesmo tempo, o ruído 
por elas emitido terá uma intensidade sonora, em dB, igual a: 
A)81 ,0 B) 88,0 
C) 90,0 D) 160 
E) 800 
d Que nível de intensidade, em decibels, terá o som recebido por 
/
4
• uma pessoa a 1 O m de um instrumento musical que emite uma 
onda sonora de potência constante igual a 125,6 µW? 
Dados: n = 3, 14 e I,.r = 10-12 W/m. 
~ (UFPA) Uma fonte puntiforme produz a 50 m de distância um 
som cujo nível de intensidade vale 50 dB. Em watts, a potência 
da fonte vale: A 
A) 1t · 10- 1 'ª1)t · 10-3 
C) 2n · 10-2 D) 4n · 10-3 
E) Sn · 10-2 
d A orelha de um ouvinte normal recebe um som de intensidade r· ,, = 1000 ,,.,. em que ,,.ré uma intensidade sonora tomada como 
referência. 
Em seguida, recebe um som de mesma frequência, mas de 
intensidade 1
2 
igual ao dobro da anterior, ou seja, 12 = 21,. 
A sensação sonora também dobrou? Justifique com cálculos. 
Dado: log2 = 0,30 
FíSICA li 
Volume 2 
45. (Unicamp-SP) É usual medirmos o nível de uma fonte sonora 
em decibels (dB). O nível em dB é relacionado à intensidade 1 
da fonte pela fórmula 
Nível sonoro (dB) = 1 O log10 .!.., 
lo 
em que 1
0 
= 10-12 W/m2 é um valor-padrão de intensidade muito 
próximo do limite de audibil idade humana. 
Os níveis sonoros necessários para uma pessoa ouvir variam 
de individuo para individuo. No gráfico abaixo, esses níveis 
estão representados em função da frequência do som para 
dois indivíduos, A e B. O nível sonoro mencionado, quando um 
ser humano começa a sentir dor, é aproximadamente 120 dB, 
independentemente da frequência. 
120 r--.-""r""T-rnn-rr--.----r--....,..,.,.rr--r-.-r,-,-T!T'"--,--., 
: 
100 
e: 
ãi 
::9. 80 
o 
õ 60 e: 
o .,, 
ã:i 
> 
40 
z 
20 
o 
10 100 1000 10000 
Frequência (Hz) 
®?ue frequências o indivíduo A consegue ouvir melhor que 
o indivíduo B? 
BYQual a intensidade I mínima de um som (em W/m2) que 
;:__· causa dor em um ser humano? 
@jm beija-flor bate as asas 100 vezes por segundo, emitindo 
um rufdo que atinge o ouvinte com um nível de 1 O dB. 
Quanto a intensidade I desse ruído precisa ser amplificada 
para ser audível pelo individuo B? 
uf A uma distância de 20,0 m de uma fonte pontual isotrópica, 
/ - · o nível de intensidade sonora é de 30,0 dB. Desprezando o 
amortecimento da onda sonora, pode-se afirmar que a distância 
mínima na qual não é possível uma pessoa com audição normal 
A utar mais é: ..ijíf_ 
\_&0,63 km B) 0,40 km .( ~ \"4~>-
C) 0,23 km D) 1,2 km 
E) 2,1 km 
47. Para cada sentença a seguir, julgue verdadeiro ou fa lso. 
( ) Os raiosde onda são sempre perpendicu lares às 
superfícies de onda. 
Em meios isotrópicos, os raios de onda são perpendiculares 
às superfícies de onda. 
Os raios de onda são sempre retilfneos. 
Em meios homogêneos e isotrópicos, os raios de onda 
silo retillneos. 
Os raios de onda representam a direção e o sentido de 
propagação de uma onda. 
Em meios homogêneos e isotrópicos, as superfícies de 
onda de uma onda tridimensional só podem ser planas 
ou superfícies esféricas. 
Consideremos uma fonte puntiforme, produzindo ondas 
em um meio tridimensional, homogêr:ieo e isotrópico. 
As superfícies de onda são superfícies esféricas, cujo 
centro é a fonte. 
Assinale o item com os correspondentes julgamentos. 
A) F, V, F, V, V, F e V B) V, V, F, V, V, F e V 
C) F, V, V, V, V, F e F D) F, V, F, F, V, F e F 
E) V, V, V, V, V, V e V 
48. Assinale o item que contém as afirmativas verdadeiras. 
1. A energia média em uma onda estacionária em uma corda 
presa nas extremidades é proporcional ao quadrado do 
número de antinós. 
li. A equação de Taylor não pode se r utilizada em ondas 
longitudinais. 
Ili. Os tsunamis produzidos em alto mar possuem pequenas 
amplitudes e alta ve locidade. Entretanto, ao chegar 
próximo à praia, a velocidade diminui com a profundidade 
e a amplitude aumenta, tornando-se ondas gigantes, para 
conservar a energia. 
IV. A intensidade de uma onda eletromagnética depende do 
quadrado da amplitude e do quadrado da frequência. 
A) 1 e li 
B) 1, li e Ili 
C) 1 e Ili 
D) 1 e IV 
E) Somente o item Ili está correto. 
49. Duas ondas planas estão se propagando no espaço . 
As equações que regem tais movimentos são dadas por: 
1;1 (x, t) = a · cos(oot - kx) 
1;
2 
(y,t) = a · cos(oot - ky) 
Uma se propagando no eixo x e a outra no eixo y. Pode-se 
afirmar que: 
A) Se ambas forem transversais, o lugar geométrico dos pontos 
nos quais possuem interferência destrutivas são hipérboles 
que passam pela origem. 
B) Se ambas forem transversais, o lugar geométrico dos pontos 
nos quais possuem interferência destrutivas são parábolas 
que não passam pela origem. 
C) Se ambas forem longitudinais, a trajetória de uma partícula 
do meio elástico na qual a onda se propaga é uma 
circunferência quando y = x ± ( n ± i)~-
D) Se ambas forem longitudinais, a trajetória de uma partícula 
do meio elástico na qual a onda se propaga é uma elipse 
com semieixos diferente para qualquer ponto do plano. 
E) O lugar geométrico das interferências destrutivas será sempre 
hipérboles, não importando se as ondas são transversais ou 
longitudinais. 
Jfi}Três auto-falantes, que estão ligados a uma mesma fonte, 
estão alinhados sobre a mesma vertical. Um microfone, que 
se encontra muito longe, e a reta, que o liga ao auto-falante 
do meio, fazem um ângulo de 60º com a vertical (ver figura) . 
' 
8
1 
' 
--
1/.
--- --- --- ........... ...... 
M 
'T 
Sendo a separação entre os auto-falantes t muito menor que 
a distância ao microfone e o comprimento de onda produzido 
À= 0.75 m. Assinale o item que corresponde ao menor valor 
de t para que o microfone não consiga captar som algum. 
A) 0,5 m B) 0,75 m 
C) 1,25 m D) 1,5 m 
E) 0,25 m 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
51. A velocidade de propagação do som no oceano va ria com a 
profundidade de temperatura e sa linidade. A f igura (a ) abaixo 
mostra a variação de velocidade do som e com a profundidade z, 
para um caso em que um valor de velocidade mínima c
0 
ocorre a meio cami nho entre a superfície do oceano e o 
leito do mar. No te que, por conveniência, adotou-se z = O 
na profundidade desse som de velocidade mínima, z = z5 
na superfíc ie e z = -zl no leito do mar. Acima de z = O, e é 
da do pela expressão 
C = C0 ± bz, 
onde b é a magnitude do gradiente de velocidade do som com 
a profundidade; b é assumido constante. 
Figura (a) 
z 
~ -----------------------
X 
0 ---------------------- • X s H 
- zb - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Figura (b) 
A Figura (b) mostra uma secção do plano x - z através do 
oceano, em que x é a direção horizontal. A variação de e em 
relação a z é mostrada na figura (a). Na posição z = O, x = O, 
se encontra uma fonte cje som F. Um " raio sonoro" emitido a 
parti r de F faz um ângulo 00 com a vertical. Por conta da variação 
de e com z, o ra io será refratado. Mostre que a trajetória do 
raio, deixando a fonte F e restringida às formas planas z - x, 
será um .arco de ci rcunferência com um raio R. Determine R 
em função dos parâmetros acima. 
y. (MNPEF) Intensidades sonoras acima de 1,0 W/m2 podem 
produzir sensações audit ivas dolorosas e danos no aparelho 
audit ivo humano. Suponha que intensidades mais baixas que 
essa são seguras pa ra nós. Considere uma fonte sonora com 
potência média de 200 W, emit indo uniformemente em todas 
as direções. Desprezando ecos, reverberações e perdas de 
energia sonora para o ar, a menor distância que alguém pode 
chegar dessa fonte sem sofrer sensações audit ivas dolorosas é 
de, aproximadamente, 
A) 1 cm 
~20cm 
(d)4 m 
D) 200 m 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
/-(MNPEF) Uma das evidências de que o universo está em 
expansão é o "Deslocamento para o Vermelho" observado nas 
linhas espectrais emitidas pelas estrelas de galáxias distantes, 
em comparação com os espectros observados em sistemas 
terrestres. O responsável por isso é o efeito Doppler-Fizeau, 
que altera as linhas espectrais devido ao movimento relat ivo 
entre fonte e observador. No caso, universo em expansão 
signif ica que as galáxias observadas (fonte) estão se afastando 
de nós (observador). No contexto da astronomia, o termo 
"Deslocamento para o Vermelho" significa que: 
A) as linhas espectrais das galáxias se tornam vermelhas . 
@s comprimentos de onda das linhas espectrais das galáxias 
são maiores que os observados nos laboratórios da Terra . 
C) as estrelas das galáxias distantes se apresentam avermelhadas 
quando observadas ao telescópio . 
D) as intensidades das linhas espectrais se apresentam menores 
que as esperadas . 
@(MNPEF) Um astrônomo observa que t odo o espectro de 
absorção de uma estrela p róxima encontra-se deslocado para 
comprimentos de onda menores que os previstos a partir da 
composição química esperada nessa estrela. Isso significa que: 
A) A estrela está se aproximando do Sistema Solar . 
B) A estrela está se afastando do Sistema Solar. 
C) A estrela está p raticamente em repouso relativo ao Sistema 
Solar. 
D) Na estrela existem elementos químicos que não são 
encontrados no Sol. 
(s's)- O esquema abaixo representa um trombone de Quincke. 
A fonte é um diapasão próximo a F. O ouvido percebe uma 
intensidade mínima para d igual a 5 cm e novamente para 
d igual a 15 cm. Qual o comprimento de onda dentro do 
tubo? 
Ouvido 
( : d •• J 
F 
Fonte 
A) 10 cm 
B) 20 cm 
C) 40 cm 
D) 25 cm 
E) 35 cm 
J6'- (Enem) Ao assistir uma apresentação musical, um músico 
que estava na p lateia percebeu que conseguiu ouvir quase 
perfei tamente o som da banda, perdendo um pouco de 
nitidez nas notas mais agudas. Ele verificou que havia 
muitas pessoas bem mais altas à sua frente, bloqueando a 
visão direta do palco e o acesso aos alto-f alantes. Sabe-se 
que a velocidade do som no ar é 340 m/s e que a região 
de frequências das notas emitidas é de, aproximadamente, 
20 Hz e 4000 Hz. Qual fenômeno ondulat ório é o principal 
responsável para que o músico percebesse essa diferenciação 
om? 
ifração . 
eflexão. 
C) Refração . 
D) Atenuação. 
E) Interferência. 
FíSICA li 
Volume 2 
@(Enem/Enade) "Na camara de cozimento de um forno micro-
ondas, a flutuação de campo elétrico é adequada para o 
aquecimento da água. Esse tipo de forno utiliza micro-ondas 
com frequência de 2.45 GHz para alterar a orientação das 
moléculas de água bilhões de vezes a cada segundo. Essa foi a 
frequência escolhida, porque ela não é usada em comunicações 
e também porque dá àsmoléculas de água o tempo necessário 
para completar uma rotação. Dessa forma, um forno de micro-
ondas funciona por meio da ressonância, transferindo energia 
para os alimentos." 
TORRES, C. M. A. et ai. Flslca: ciência e tecnologia. 
Sao Paulo: Moderna, 2001 (adaptado). 
O comprimento de onda da micro-onda presente no forno, em 
cm, é 
A) O, 12 
C) 8,17 
E) 817 
B) 1,22 
D) 12,2 
~ Enem) Ao contrário dos rádios comuns (AM ou FM), em que 
uma única antena transmissora é capaz de alcançar toda a 
cidade, os celulares necessitam de várias antenas para cobrir 
um vasto território. No caso dos rádios FM, a frequência de 
transmissão está na faixa dos MHz (ondas de rádio), enquanto, 
para os celulares, a frequência está na casa dos GHz (micro-
ondas). Quando comparado aos rádios comuns, o alcance de 
um celular é muito menor. 
Considerando as informações do texto, o fator que possibilita 
essa diferença entre propagação das ondas de rádio e as de 
micro-ondas é que as ondas de rádio são 
A) facilmente absorvidas na camada da atmosfera superior 
conhecida como ionosfera. 
@ capazes de contornar uma diversidade de obstáculos como 
árvores, edifícios e pequenas elevações. 
C) mais refratadas pela atmosfera terrestre, que apresenta maior 
lndice de refração para as ondas de rádio. 
D) menos atenuadas por interferência, pois o número de 
aparelhos que utilizam ondas de rádio é menor. 
E) constituldas por pequenos comprimentos de onda que lhes 
conferem um alto poder de penetração em materiais de 
baixa densidade. 
i;c/ As moléculas de água são dipolos elétricos que podem se alinhar 
7 · com o campo elétrico, da mesma forma que uma bússola se 
alinha com um campo magnético. Quando o campo elétrico 
oscila, as moléculas de água fazem o mesmo. No forno de 
micro-ondas, a frequência de oscilação do campo elétrico é 
igual à frequência natural de rotação das moléculas de água. 
Assim, a comida é cozida quando o movimento giratório das 
moléculas de água transfere a energia térmica às moléculas 
circundantes. 
A propriedade das ondas que permite. nesse caso, um aumento 
da energia de rotação das moléculas de água é a: 
reflexão. B) refração. 
essonância. D) superposição. 
difração. 
6tf.' A medida da velocidade de um veiculo, utilizando radar, 
/' baseia-se no fato de que as ondas emitidas pelo radar e 
detectadas após serem refletidas pelo ve'.culo em movimento 
têm frequências diferentes. Esse fenômeno é denominado 
efeito Doppler. 
A onda refletida pelo veículo citada no texto é uma: 
~ onda mecânica, e se propaga com a velocidade do som. 
~nda eletromagnética, e se propaga com a velocidade da luz. 
C) onda mecânica, e tem mesmo comprimento de onda da 
onda incidente. 
D) onda eletromagnética, que tem o mesmo comprimento de 
onda da onda incidente. 
E) onda eletromagnética, que, devido à sua alta frequência, se 
propaga com velocidade maior que a velocidade da luz. 
y{ Em apresentações musicais real izadas em espaços onde o 
público fica longe do palco, é necessária a insta lação de 
alto-falantes adicionais a grandes distâncias, além daqueles 
localizados no palco. Como a velocidade com que o som se 
propaga no ar (v""" = 3.4 · 102 m/s) é muito menor do que 
a velocidade com que o sinal elétrico se propaga nos cabos 
(v~,,.1 = 2,Q · 10
8 m/s), é necessário atrasar o sinal elétrico 
de modo que este chegue pelo cabo ao alto-falante no 
mesmo instante em que o som vindo do palco chega pelo ar. 
Para tentar contornar esse problema, um técnico de som pensou 
em simplesmente instalar um cabo elétrico com comprimento 
suficiente para o sinal elétrico chegar ao mesmo tempo que 
o som, em um alto-falante que está a uma distância de 680 
metros do palco. 
A solução é inviável, pois seria necessário um cabo elétrico de 
comprimento mais próximo de: 
A) 1, 1 . 103 km 
B) 8,9 · 104);m 
C) 1,3 . 105 km 
@ s,2 · 105 km 
E) 6,0 · 1013 km 
j'Í. Para afinar um violão, um músico necessita de uma nota para 
referência, por exemplo, a nota Lá em um piano. Dessa forma, 
ele ajusta as cordas do violão até que ambos os instrumentos 
toquem a mesma nota. Mesmo ouvindo a mesma nota, é 
possível diferenciar o som emitido pelo piano e pelo violão. 
Essa diferenciação é possível, porque: 
A) a ressonância do som emitido pelo piano é maior. 
B) a potência do som emitido pelo piano é maior. 
C) a intensidade do som emitido por cada instrumento é 
diferente. 
(Dili timbre do som produzido por cada instrumento é diferente . 
1f a amplitude do som emitido por cada instrumento é 
diferente. 
j (ITA) Supondo que você estivesse ouvindo a "Ária da corda de sol" durante um banho de imersão. Sabendo ser a velocidade 
do som na água cerca de quatro vezes maior do que no ar, 
imagine que lhe ocorresse fazer a seguinte experiência: durante 
a execução de uma daquelas notas muito longas do violino, 
mergulhar por um instante a cabeça toda na água. Certamente 
constataria que: 
A) o som da mesma nota se tornaria agudo. 
o som da mesma nota se tornaria grave. 
altura do som não mudaria. 
o comprimento de onda na água seria cerca de ¼ do valor 
percebido no ar. 
~ (UFRGS) Dois sons no ar, com a mesma altura, diferem em 
intensidade. O mais intenso tem, em relação ao outro, 
J\hapenas maior frequência. 
(fil)ipenas maior amplitude. 
C) apenas maior velocidade de propagação. 
D) maior amplitude e maior velocidade de propagação. 
E) maior amplitude, maior frequência e ma ior velocidade de 
propagação. 
ITA/IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • -• • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• e 
• • • • • • • • • • • • 1• • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
~ 
~ (Unisinos-RS) "Walkman pode causar surdez. Por mais resistente 
/ J• que seja o ouvido, o volume exagerado do aparelho é um 
convite explícito a futuras complicações auditivas. " 
Caderno Vida - Zero Hora, 914194 . 
Em relação à intensidade sonora, afirma-se que: 
1. Aumenta de acordo com a frequencia do som; 
li. Está relacionada com a energia transportada pela onda 
sonora; 
Ili. Diminui com o timbre do som . 
Das afirmativas: 
A) somente I é correta. @ somente li é correta . 
C) apenas I e li são corretas. D) apenas I e Ili são corretas . 
E) 1, li e Ili são corretas. 
6 Um senhor de idade repousa em seu apartamento que possui 
altura h em relação ao solo. A uma distancia d da base do 
prédio, aproxima-se uma sirene com velocidade v e frequência 
f0• Sabendo que a velocidade do som vale e e o ar se move em 
sentido cont rário à velocidade da sirene com velocidade v', 
assinale o item que indica a frequência percebida pelo senhor. 
A) f=f c -~ -v'-d 
0 
c -Jh2 + d2 - v'-d -v -d 
B) f = f C · ~ + v'- d 
0 
c -Jh2 + d2 -v'·d - v ·d 
C) f = f v'-d 
0 
c -Jh2 +d2 -v'-d-v -d 
D) f=f c -~ - v'-d 
O i 2 2 
c -~h +d -v'-d+v · d 
E) f=fo c -~ -v'- d 
c-Jh2 +d2 
ftff A nota Lá-padrão tem frequência igual a 440 Hz. Em um piano, 
7· · é possível atingir três oitavas acima e quatro oitavas abaixo 
dessa nota. Calcule, então, as frequências mínima e máxima 
das notas Lá desse instrumento. 
68. (Uepa) Para detectar o relevo do fundo de rios, o sonar pode ser 
utilizado gerando uma imagem acústica do fundo. Considere 
que o sonar pode ser representado por uma fonte pontual 
que produz onda esférica e registra o eco em um receptor 
localizado praticamente na mesma posição da fonte. A Figura 1 
representa um levantamento de dados de sona r em uma 
região de leito plano e inclinado, nas posições 1 e 2 do navio . 
Os intervalos de tempo entre a emissão e a recepção do eco. 
para duas posições da fonte, estão representados na Figura 2. 
Nesse experimento, as leis da óptica geométrica descrevem 
precisamente o comportamento das frentes de ondas sonoras. 
=• 
ITA/IME 
' \ .... , , 
, ".,u.Y I 
1 ' .,. JL '>/ 
" ' ' ' ' 
111 ! , 1 
' ' ' '' ' t \ .. 
1 
' ' ' ' ' ' ' ' • • 
X 
•• 1 li 1 ' \ .... ,, ' 2 ·-:::>' 
1 300 
o 
a. 
E 
~ 250 
X 
~ Sinal refletido ! 
Figura 2 
Nessas condições, responda. 
FíSICA li 
Volume 2 
2 
Posição 
~ Sinal refletido ! 
A)Quando a fonte está na p osição 1, qual dos pontos 
indicados sobre o leito do rio pode ser considerado 
responsável pelo eco reg istrado no receptor? Justifique 
sua resposta. 
B)· Considere que a velocidade do som na água é 1500 m/s 
e que o angu lo 0 é de 60º. Nessas condições, determine a 
p'rbfundidade do ponto sobre o leito do rio onde ocorre a 
reflexão do sinal detectado quando o navio se encontra na 
posição 2. 
,./. Um men ino faz um api to de bambu. Fecha uma das 
7-v extremidades e sopra pela outra, emit indo uma nota musical. 
Seu companheiro faz outro apito, deixando uma extremidade 
aberta e soprando pela outra, produzindo uma nota, uma 
oitava mais aguda (ou seja, de frequência igual ao dobro da 
frequência do primeiro apito). Supondo sons fundamentais 
nos dois casos, determine a relação entre os comprimentos 
dos dois apitos. 
~Unifor-CE) Quando uma ambulancia, com sirene ligada, se 
aproxima de um observador, este percebe: 
~ umento da intensidade sonora e da frequência . 
B) aumento da intensidade sonora e diminuição da frequência. 
C) mesma intensidade sonora e mesma frequência. 
D) diminuição da altura e variação no timbre sonoro. 
E) variação no timbre e manutenção da altura . 
f Analise as seguintes afirmações. 
(O 1) Durante a apresentação de uma orquestra. um som grave 
emitido por um contrabaixo e um agudo emitido por 
um violino propagam-se com a mesma velocidade até a 
plateia. ~ 
(02) Uma locomotiva parada em uma estação emite um som 
(apito) que se propaga no ar (sem vento) a 340 m/s. 
Se, em vez de estar parada, a locomotiva estivesse 
passando pela mesma estaçao a 20 m/s, o som emitido 
(apito) se propagaria, no sentido do movi mento da 
locomotiva, a 360 m/s. '>( 
(04) Quando aumentamos o volume do rád io, a velocidade do 
som emitido por ele também aumenta . .,._ 
(08) Ondas sonoras de maior amplitude são sempre mais 
velozes que as de amplitude menor. .,,._ 
Dê como resposta a soma dos números associados às afirmações 
corretas . 
fíSICA li 
Volume 2 
y-(UFPR) A figura a seguir mostra uma lilmina presa a um suporte 
rígido, a qual oscila passando 100 vezes por segundo pela 
posição vertical, onde estaria se estivesse em repouso. 
Ê correto afirmar que: 
. ' . ' \ 1 , , 
\ ' ' , 
\ ' ' ,' 
\\ :/ ,, ,, ,, ,, ,,,, ,, 
(01) a frequência da onda sonora emitida no ar pela vibração 
da lâmina é de 50 Hz. 1......,./" 
(02) se a lâmina vibrass~o vácuo, não seriam produzidas 
ondas sonoras. V 
(04) aumentando a amplitude da oscilação da lâmina e 
mantendo a mesma frequência, haverá uma diminuição > 
do comprimento de onda da onda sonora emitida no ar. 
(08) a velocidade de propagação da ondJ sonora emitida pela 
vibração da lâmina no ar depende da amplitude dessa 
vibração. >'-
Dê como resposta a soma dos números assoc iados às 
afirmações corretas. 
J3. ~PA) As qualidades fisiológicas do som são: 
~ltura, intensidade e timbre. 
B) altura, sonoridade e timbre. 
C) intensidade, sonoridade e timbre. 
D) timbre, volume e sonoridade. 
E) limpidez, sonoridade e volume. 
1( Dois diapasões vibram com frequências f 1 = 32000 Hz e 
f2 = 30000 Hz. Se os dois diapasões forem colocados próximos 
~ do outro, um ouvinte: 
~ouvirá um som de frequência 2000 Hz. 
B) não ouvirá som algum. 
C) ouvirá apenas o som de frequência 32000 Hz. 
D) ouvirá apenas o som de frequência 30000 Hz. 
~ (Enade) Na flauta, o tubo sonoro ressoa notas diferentes, 
com frequências diferentes, de acordo com o número de 
furos fechados pelos dedos do flautista. Com os furos todos 
tampados, é gerada a nota Lá, de 440 Hz. Abrindo alguns furos, 
de modo a ressoar 2/3 do tubo, a frequência, em hertz, será: 
• • •• 
A) 145 
)U._293 
l__g)560 
D)880 
E) 1000 
79. Suponha que você tenha um tubo de comprimento L 
contendo um gás cuja temperatura pretende encontrar. Uma 
extremidade é fechada, e a outra extremidade está aberta . 
Um pequeno alto-falante de som, produzindo de frequência 
variável, é colocado nessa extremidade. Você aumenta, 
gradualmente, a frequência do alto-falante até que o som se . 
torna muito intenso. Se continuar aumentando a frequência, a 
intensidade diminui, mas, em seguida, percebe um som muito 
intenso novamente em frequências ainda mais altas. Olhando 
para a frequência mais baixa em que o som é muito intenso, 
i a o que se pode. · Mostre que a temperatura absoluta desse gás é dada por: 
16 ML2f2 T= o 
yR 
Onde M é a massa molar do gás, y é a razão entre as 
suas capacidades térmicas e R é a constante dos gases 
. perfeitos. 
~Qual próxima frequência, acima de f
0
, terá um máximo de 
intensidade sonora? 
E) ouvirá um som de frequência 31000 Hz. 
/
. A respeito das ondas estacionárias sonoras produzidas no ar, 
podemos afirmar que: 
(ão: Para c~lcular a amplitude de vibração de um diapasão, faz-se 
~em um nó de deslocamento, a pressão é constante. 
lfil}em um nó de deslocamento, a pressão varia. 
C) em um ventre de deslocamento, a pressão varia. 
D) a pressão é constante tanto nos ventres como nos nós de 
deslocamento. 
@' No instante t
0 
= O, um garoto abandona uma pequena fonte 
sonora, que emite um som de frequência igual a 720 Hz, 
na boca de um poço cillndrico vertical de profundidade H. 
Essa fonte despenca, atingindo o fundo do poço no instante T. 
No local, o módulo da velocidade de propagação do som no 
ar é de 320 m/s. Admitindo que no instante em que o garoto 
vê o impacto da fonte sonora no fundo do poço ele ouça o 
som dessa fonte com frequência igual a 640 Hz, determine, 
desprezando a resistência do ar e considerando g = 1 O m/s2: 
A) o valor de T. 
B) o valor de H. 
77. (Saraeva) Sabe-se que, se uma fonte sonora e um homem 
encontram-se, por exemplo, a uma mesma altura, então, na 
direção do vento ouve-se melhor,o som do que em sentido 
contrário. Como explicar esse fenômeno? 
o seguinte experimento. . · 
1. Coloca-se o diapasão para vibrar com frequência f e, em 
seguida, aproxima-se uma bolinha de massa muito menor 
do que a massa do diapasão; 
li. A bolinha entra em contato várias vezes com o diapasão e 
ganha velocidade horizontal. Com isso, eleva-se até certa altura . 
A maior altura percebida, após várias medidas, vale H. 
Adotando a gravidade local como g, pode-se afirmar que a 
amplitude de vibração do diapasão é dada por: 
A) A=-1- /gH 
2rcf -.JT 
B) A=~ /gH 
2t v2 
C) A= °3..JgH 
f 
D) A=~ {gH 
dT 
E) A= -
1 
-.f2gH 
21tf 
ITA/IME 
• • 
• ., 
• • • • • -• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
l e r. 
• • • • • • • -• • • • • 
• • • • • • 
1• 
1 • 
• • • • • • 
• • • • l 
81. Um veiculo aéreo não tripulado possui uma fonte sonora 
que emite ondas com frequência constante e igual a 500 Hz. 
Da base de operações, o veiculo parte em baixa altitude para 
rernnhecer o terreno segundo um determinado azimute. Um 
receptor fixo, na base, monitora a frequência aparente emitida 
pela fonte sonora do veiculo. Após reconhecer seu objetivo 
(alvo) e passar por cima dele, o veículo faz uma manobra e 
inicia o retorno à base, segundo o contra-azimute. O gráfico a 
seguir apresenta os dados colhidos pelo receptor. Determine a 
distância em que o objetivo se encontra da base. Considere a 
velocidade do som constante e igual a 340 m/s. 
505 
soo 
495 
490 
485 
Frequência 
-----. -----, ---- f ---- 1 ---- --------.--
• 1 1 f 
1 1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 
t 1 1 1 
1 f t 1 
-----~----+-----+-- .... --1 
1 1 ' 1 
1 1 1 
1 1 1 -----~-----.......... 1 1 1 
1 1 1 
1 1 1 1 -----~----~----~ 1 t I f 
1 1 1 1 
1 1 1 1 
1 1 1 1 
f 1 1 1 
1 1 1 1 
1 O 20 30 40 50 60 70 Tempo (s) 
82. (Professor Carlos Eduardo) Um dado instrumento, de massa 
1 kg, emitindo um único som de frequência f0, é solto no 
instante t = O de uma altura h em relação ao chão, onde você, 
imóvel, mede a frequência f que a cada instante chega aos 
seus ouvidos. O gráfico resultante de ~ x t mostra uma reta 
de coeficiente angular -3,00 x 1 o-s. Desprezando a resistência 
do ar, determine o valor da frequência f0• Sabe-se que esse 
instrumentoestá carregado com carga q = +2C e que existe 
um campo elétrico contrário à gravidade de valor E = 4N / C. 
Adote: g vale 1 O m/s2 e v, = 340 m/s . 
83. (lberoamericana - Adaptada) 
O estudo dos modos normais de vibração em uma coluna de ar 
pode ser realizado por meio de uma experiência de ressonância. 
Um alto-falante, de frequência conhecida f (variável), emite 
ondas sonoras em uma coluna de ar contida em um tubo de 
vidro, com liquido no fundo (ver figura). Consideremos que o 
liquido seja mercúrio. 
A) Suponha que, à temperatura T1, a altura da coluna de 
mercúrio é 1
1
• A velocidade do som, a essa temperatura, vale 
v
1
• Se a altura total do tubo for de L, obtenha a expressão 
da frequência fundamental de ressonância f 1 em função de 
L, 11 e v1 • 
ITA /IME 
FíSICA li 
Volume 2 
B) A mesma experiência é feita à temperatura T2 > T1. Sabendo 
que a seção reta do tubo tem área A e o coeficiente de 
dilatação volumétrica do mercúrio vale p, obtenha a 
expressão da nova altura da coluna de mercúrio, Ir Despreze 
a dilatação do vidro, assim como efeitos de capilaridade . 
Considere que o volume do reservatório de mercúrio, VR, é 
muito maior que o volume ocupado pela coluna de mercúrio . 
C) Obtenha a relação entre as velocidades do som v2 / v1 em 
função das temperaturas T1 e T2 • 
D) Obtenha a expressão para a nova frequência fundamental 
de ressonância f 2 • 
E) Suponha que às temperaturas T1 = 17 ºC e T2 = 27 ºC as 
frequências fundamentais de ressonância são f 1 = 200 Hz 
e f 2 = 210 Hz, respectivamente. Sabendo que a razão 
entre VR e A é 9 me que à temperatura de 17 ºC, (L-11) = 
42,8 cm, calcule numericamente o coeficiente de dilatação 
do mercúrio. 
Considere que: [3o "' 1,0171 . \/29 
Mum avião supersônico (ponto A) voa a uma velocidade v (v > v,; 
v sen e = v,: velocidade do som) a uma distância h sobre o ponto 
P, conforme a figura abaixo. A trajetória do avião faz um ângulo 
p com a horizontal, e o ponto P parte do repouso no instante 
mostrado na figura . Calcule o valor mlnimo da aceleração 
constante do ponto P para que a onda de choque (ponto C) não 
o alcance. Escreva sua resposta como função de vscm, h, 9 e p. 
v 
e p 
85. Um avião a jato supersônico está voando a Mach 2. Determine 
o angulo de abertura do cone. Sabe-se que 2,5 s depois de o 
avião ter passado diretamente acima de uma casa, a onda de 
choque causada pela sua passagem atinge a casa, provocando 
um estrondo sônico. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. 
Qual é a altitude do avião em relação à casa? 
86. Um professor, ministrando uma aula experimental, explica para 
os alunos do curso de engenharia que, na verdade, a variação 
de pressão só se anula um pouco adiante da extremidade 
aberta: a coluna de ar vibrante se estende um pouco além da 
extremidade aberta. Para um tubo de secção circular e paredes 
nao muito espessas, esta correção terminal equivale a corrigir o 
comprimento efetivo do tubo, acrescentando-lhes 0,6 R, onde 
R é o raio do tubo. O aluno, extremamente entusiasmado, 
emite a nota lá (440 Hz) nas proximidades do tubo aberto em 
cima e contendo liquido até uma certa altura. A medida que 
vai baixando o nível de água no tubo, a 1 • ressonancia aparece 
quando a altura da coluna de ar é de 17 ,5 cm e a 2ª quando 
é de 55,5 cm. 
A) Qual o comprimento de onda? 
B) Qual o valor da correção terminal? 
C) Calcule o diâmetro do tubo. 
FíSICA li 
Volume 2 
87. Um automóvel e uma ambulância movem-se numa estrada, 
lado a lado, no mesmo sentido, com velocidades constantes 
e iguais a 72 km/h. A sirene da ambulância emite um som 
de frequência igual a 1280 Hz. A partir de certo instante, o 
motorista do automóvel imprime à sua viatura a aceleração de 
1 m/s2 no sentido do movimento. Sabendo que a velocidade 
de propagação do som no ar é de 340 m/s, determine o 
espaço percorrido pelo automóvel até seu motorista ouvir um 
som de frequência igual a 1240 Hz. Admita que o ar esteja 
parado em relação à Terra, à qual são referidas as velocidades 
mencionadas. 
A) 250 m 
C) 360 m 
E) 450 m 
B) 320 m 
D) 420 m 
88. Tendo em vista a mudança no código de transito em 
relação à proibição de qualquer som que possa ser 
ouvido do lado de fora do carro, uma viatura entra em 
perseguição para aplicar a multa em um jovem que se 
encontra infringindo a nova lei. Sendo a velocidade da 
viatura vv = 20 rn/s, a velocidade do infrator v, = 1 O m/s 
e a velocidade do som no ar vs, determine o batimento 
percebido pela viatura na situação em que os dois entram 
em uma rua sem saída. Sabe-se que a frequência emitida 
pelo infrator era constante e igual a f = 440 Hz. 
A) 128, 1 Hz 
B) 92,3 Hz 
C) 75,2 Hz 
D) 54,0 Hz 
E) 27,4 Hz 
li QFique de Olho 
Mas afinal de contas, qual o erro de Doppler? O erro estava 
contido no seu artigo, que recebia o seguinte título: Sobre a luz 
colorida das estrelas Duplas. O título nos revela o que Doppler 
pensava: Ora, se uma estrela estivesse se afastando de nós, sua luz 
ficaria avermelhada, pois a luz emitida teria frequências menores. 
Na verdade, isso não se dá por dois motivos. Primeiro, 
o espectro de luz de uma estrela se estende muito além da faixa 
visível. Logo, mesmo que esse espectro fosse deslocado, a luz 
ultravioleta emitida pela estrela seria deslocada para a faixa visível, 
ocupando o lugar da faixa azul que se deslocou na direção de 
menores frequências. No final, a luz emitida continuaria branca. 
Outro ponto é que, para haver deslocamento apreciável no 
espectro, a velocidade relativa da estrela deveria ser muito grande. 
As estrelas na qual o artigo se referia não possuíam, nem de 
perto, tais velocidades. Hoje, sabe-se que galáxias distantes estão 
se afastando com tremendas velocidades e, por causa do efeito 
Doppler, o espectro que elas enviam, e chega até nós, é deslocado 
para frequências mais baixas. Esse fonômetro é conhecido como 
deslocamento para o vermelho. Quem primeiro observou isso foi 
o astrofísico americano Edwin Hubble, em 1929. Daí o surgimento 
da ideia de que o universo está em expansão. 
Essa expansão, de certo modo, sustenta a teoria do Big 
Bang. Inúmeras explicações cosmológicas surgem anos após anos . 
Hoje, porém, já são conhecidas várias comprovações experimentais 
que concordam com tal. Uma das mais festejadas foi a descoberta, 
em 1965, por Arno Penzias e Robert Wilson, da radiação de fundo, 
que ocupa todo o espaço e é exatamente o que os modelos e os 
cálculos dos cosmologistas previam como decorrente do Big Bang . 
Hubble foi homenageado quando teve seu nome usado para 
o telescópio espacial que hoje está em órbita. As ob~ervações desse 
telescópio confirmam a hipótese de expansão do universo. Quem 
diria! Afinal de contas, Doppler estava correto. 
Exercícios Resolvidos 
01 . Uma fonte sonora de frequência f0 ::; 1,8 kHz se move 
uniformemente ao longo de uma linha separada de uma 
estação por uma distância 1 ::; 250 m. A velocidade da fonte 
é igual a ri ::; 0,8 da velocidade do som. A frequência do som 
percebida pelo observador quando a fonte se encontra no 
ponto mais próximo da estação é: 
A) 9 kHz B) 8 kHz 
C) 7 kHz D) 6 kHz 
E) 5 kHz 
Solução: 
Quando o observador recebe o som, a fonte ainda está a uma 
certa distância x (na horizontal) do ponto mais próximo. Veja: 
+- x --. 
s~a  
' ' ' ' ' ' 1 
' o 
Assim, a frequência percebida será de 
f - fo(vs_:;cose)-1 - ri:ose 
Lembre-se que: 
X ~ 
- ::; --- ~ cose ::; ri 
V1 V, 
Logo: 
fo f::;--=5 KHz 
1- T)2 
Resposta: E 
02. Um refletor parabólico, que tem um raio de abertura ci rcular 
de 0,5 m, é usado para focalizar sons. Se a energia é emitida 
do foco para o ouvido de um detetive, por meio de um tubo 
de diâmetro 1,0 cm, com 12% de eficiência, a que distância 
uma conversa sussurrada poderá ser ouvida? Considere o nível 
de som de uma conversa sussurrada como sendo de 20 dB a 
1,0 m da fonte, considerada pontual, e o mínimo para escuta 
como O dB. Adote Jj = 1, 73 . 
A) 820 m B) 544 m 
C)346m D) 173m 
E) 59 m 
ITA/IME 
., 
• 
• • • • • •-• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ,,,.. 
• • 
• • • • • • • • • e 
• • • • 
1 • 
• • 
1• • • • • • • • • • • 
Solução: 
No instrumento de captação, como 12 % da energia por tempo 
é transmitida para o ouvido do detetive pelo tubo, temos: 
( -2 )2 12 ( )2 Pot = lde1e11ve1t O, 5 · 1 O = 
1 
00 ~ecebido1t O, 5 
ldetetive = 1 2 00 l,ecebido 
1 O log (!detetive) = 1 O log ( 12 0Ol,.,ebído ) = 
= 1 O log (1200) + 1 O log(l,e,ebido) 
Em seguida, devemos saber qual a distância mínima. Como a 
fonte é pontual, devemos ter: 
P04 = l 4rt(1}2 = I,ocebido 47td2 
1 O log (1) = 1 O log (1,e,ebído d2 ) = 1 O log (~ocebido ) + 1 O log ( d2 ) 
Substituindo, temos: 
1 0log (ldeteuve ) = 1 O log (1200) + 1 0log (1) - 1 O log( d2 ) 
No caso de não se perceber mais a conversa, devemos ter 
10log(ldetelive) = O dB. Assim: 
10log(1200)+20 = 10log(d2) 
109(1200) + 2 = log( d2 ) 
109(120000) = log( d2 ) 
d= .J120000 = 2 -1, 73 · 100 = 346 m 
Resposta: C 
03. Uma barra de cobre de comprimento 1 = 50 cm é fixada no 
ponto médio deixando suas extremidades livres. Quantas 
frequências naturais (harmônicos) existem entre 20 kHz e 
50 kHz? As oscilações são longitudinais. 
Dados: 
Módulo de Young do cobre: Ec., = 130 GPa; 
Densidade do cobre: p = 8,9 g/cm3 . 
Solução: 
A barra de cobre com as duas extremidades livres possui seu 
primeiro harmônico do tipo: 
O próximo harmônico possível, por conta do ponto médio estar 
preso, deve ser do tipo: 
Assim, as frequências são do t ipo: 
f = 2n+1 [ 
" 21 VP 
1l f0 = - - = 3, 8 kHz 
21 p 
ITA/IME 
FíSICA li 
Volume 2 
3! f1 = - - = 11,4 kHz 
21 p 
si f2 = - - = 19 kHz 21 p 
7l f3 = - - = 26,6 kHz 
21 p 
9i f4 =- - =34,2 kHz 21 p 
t5 = .!._! [ = 41 8 kHz 2I Vp ' 
13t f6 = - - = 49.4 kHz 
21 p 
15! f7 = - - > 50 kHz 21 p 
Logo, as frequências desejadas são 4: 26,6 kHz, 34,2 kHz, 
41,8 kH z, 49.4 kHz . 
Bibliografia 
CALÇADA, Caio Sérg io. Física Clássica - Óptica e Ondas - 2° Grau. 
FEYNMAN, Richard P. Lições de Física de Feynman. Editora: Artmed . 
IRODOV. Prob/ems in General Physics. MIR MOSCOU. 
NUSSENZVEIG, Hersh Moyses. Curso de Física Básica 2 - Fluidos, 
Oscilações e Ondas de Calor. 
TIPLER , Paul A.; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros, 
vol. 1. 
lndian National Physics Olympiads - Theory Problems. Compiled. 
by Vijay A. Singh e Shirish R. Pathare . 
Anotações 
FíSICA li 
Volume 2 
Anotações 
ITA / IM E 
• -~ 
• • • • • • • • • • -• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • e 
• • • • • • • • • 
• • • • • • • • 
• • • • • 
FíSICA Ili 
CORRENTE ELÉTRICA E f LETRODINÃMICA 
Conteúdo: 
CORRENTE EL~TRICA 
Introdução .................................................................................................................................................................................................................. 82 
Unidade de corrente ................................................................................................................................................................................................... 82 
Continuidade da corrente elétrica ............................................................................................................................................................................... 83 
Teoria microscópica da condução ............................................................................................................................................................................... 84 
Unidade de resistência ............................................................ .-................................................................................................................................... 85 
O efeito da temperatura na resistência ....................................................................................................................................................................... 86 
Exercícios ................................................................................................................................................................................................................... 86 
RESISTORES 
Introdução .................................................................................................................................................................................................................. 89 
Simetrias .............................................................................................................. ........ .............................................................. ... .......................... .... 93 
Exercícios ............................................................................................................... .... ................................................................................................ 96 
CIRCUITO ELITRICO 
Sentido do movimento de elétrons livres .................................................................... .... ... .............................. .... .................................................. .. 105 
Exercícios .................................................................................................................... .... ............................... ......................................................... 115 
FiSICA Ili 
Volume 2 
Corrente Elétrica 
Introdução 
Consideramos uma região do espaço em que exista uma 
distribuição de cargas em movimento. Seja uma superfície de área A, 
real ou imaginária, nesta região. 
Definimos a corrente elétrica média como sendo a razão 
entre a carga líquida que atravessa a superfície num determinado 
sentido, e o intervalo de tempo transcorrido. 
=0 ,. -- ' 
I = 0 , 
=0 1 , 
' 1 =0 ="/3) \ 
- I ~0 
=0 ~0 : 
\. =0,\ 
' -- '"'A 
Movimento de cargas ordenado 
É evidente que, se o movimento de cargas é aleatório, com 
portadores de carga se movendo em todas as direções, devemos 
ter uma corrente elétrica média nula, pois a cada portador que 
atravessa a superfície em um sentido, corresponde a outro que a 
atravessa no sentido contrário. Neste caso: 
óq 
I = - =O 
ót 
Porém, se existe um sentido preferencial de movimento dos 
portadores, o que acontece é bem diferente, pois a contagem dos 
portadores indica que um número maior deles atravessa a superflcie 
nesse sentido. Isto nos dá uma carga total (líquida) óq não nula e 
uma corrente elétrica média dada por: 
I = 6q 
6t 
Podemos também definir a corrente elétrica instantânea 
na forma: 
. óq dq 
I = hm -=-
111 .... 0 ót dt 
Aqui, q(t) e i(t) são funções do tempo. A pa rtir da 
representaçao gráfica da corrente elétrica, ou seja, da forma de 
ondas da corrente elétrica, podemos calcular a carga que atravessa 
a superfície de referência, em um intervalo de tempo 6t. Basta 
calcular a integral (ou seja, a "área" sob o gráfico) da corrente 
elét rica no tempo: 
óq = J i( t) dt ,, 
i (t) 
GrMico de corrente elétrica contra o tempo 
Costumamos classificar a corrente elétrica de acordo com a 
situação a que corresponde o movimento de cargas. Uma corrente 
elétrica de convecção ocorre quando se verifica a translaçao de uma 
nuvem de elétrons (como em tubos catódicos) ou de fons, ou ainda 
quando observamos as cargas estáticas de um corpo carregado em 
movimento. Uma corrente elétrica de condução se dá quando os 
portadores se movem em um material estacionário, como em um 
metal; em que os elétrons de valência atravessam uma rede cristalina 
com íons positivos em posições fixas. 
Quanto ao sentido da corrente, costumamos classificá-la 
como contínua quando o campo elétrico externo possui sempre o 
mesmo sentido e alternada quando o senti<:Jo do campo externo é 
invertido periodicamente. 
A) 
B) 
C) 
D) 
'l (a) 
• 
t 
r---7 (c) 
1 1 , __ , 1 1 
'-----' 
i~b) • t 
(d) 
Forma de onda de uma corrente contínua (a) e corrente alternada em forma de 
onda harmônica (b), quadrada (C) e triangular (D) 
Quanto à duração da corrente elétrica elapode se r 
classificada como transiente, se for curta duração, como a que 
surge no processo de redistribuição de cargas em um condutor até 
ating ir o equilíbrio eletrostático; ou estacionária se é produzida por 
uma diferença de potencial mantida por um agente externo (como 
veremos mais adiante, uma corrente estacionária deve ser produzida 
por uma fonte ou gerador - de tensão ou corrente). 
Unidade de corrente 
A unidade de corrente elétrica no SI é o ampere. O ampere 
é definido originalmente como segue: 
"Quando dois condutores retilíneos paralelos, afastados um 
metro, interagem com uma força por unidade de comprimento de 
2 x 10-7 N/m, a corrente elétrica que os atravessa vale um ampere (1 A)." 
Esta definição, decorrente do eletromagnetismo equivale 
exatamente ao fluxo de uma carga de 1 C na superfície de referência 
após 1 s: 
l A = ~ 
1 s 
ITA/IME 
• 
~ 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
~ 
• • 
• • • • • • • • • • • • -• • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Por vezes usaremos submúltiplos do ampere como 
miliampere (1 mA = 10-3 A) e o microampere (1 mA = ,0-6 A). 
No sistema CGS (ES) a unidade é o statAmpere, ta l que: 
2997924536,8431 statA, ou seja: 1A"' 3,0 · 109 statA. 
O vetor densidade de corrente elétrica 
A definição da corrente elétrica como razão entre carga e 
tempo nos leva a concluir que ela se trata de uma grandeza escalar . 
Não obstante, o movimento de cargas deve conter uma 
informação de direção e sentido, que só pode ser descrito por uma 
grandeza vetorial. 
Tal grandeza é a densidade de corrente (1) cujo caráter 
vetorial ficará evidente na definição a seguir. Consideremos um meio 
condutor com uma densidade de portadores (número de portadores 
por unidade de volume) dada por: 
N 
'1 = -
V 
N-+ números de portadores 
V-+volume 
Suporemos que a carga dos portadores é igual a e e que eles 
se movem pelo condutor com um vetor velocidade média igual a v. 
Consideremos uma seção plana de área A, um versar n, perpendicular 
a ela, outra seção, de igual área, paralela e anterior a ela conforme 
a figura: 
Definindo como ,M o tempo necessário para um portador; 
inicialmente na seção 1 chegar à seção 2, geramos um ci lindro, de 
base A em altura h = V ót cos e = V· n ót. 
O volume deste cilindro é dado por: V = Ah e a carga total 
de todos eles é: óq = '1 e Av· n ót. 
Podemos dizer que: 
. óq dq - -
I = l1m - =-= 11 e Av · n 
õl--+O ót dt 
Quando a secção é perpendicular à velocidade, temos: 
1 = 11Ave 
Para definirmos o vetor densidade de corrente basta 
formarmos: 
Considerando uma superfície de referência que possa ser 
dividida em várias pequenas áreas M, temos: 
ITA/IME 
FíSICA Ili 
Volume 2 
Partição de uma superfície de referência em um conjunto 
de pequenas superfícies M, tais que o vetor 1 seja praticamente 
constante. 
A corrente elétrica total será a soma de todas as correntes 
elementares que atravessam cada uma das superfícies t.A..,: 
r = L~ = L1 . iik6Ak 
k k 
Transformando-se em integral quando fazemos o limite: 
, = p-n dA 
A corrente elétrica, portanto, pode ser considerada como o 
fluxo do vetor 1, ou seja, a integral de superfície da densidade de 
corrente. 
Ou seja, a densidade da corrente é a corrente elétrica por 
unidade de área. É evidente que a unidade de densidade de corrente 
no SI é o ampere por metro quadrado (A/m2) . _ _ 
É importante observar que, da expressão J = '1 ev, decorre 
que o sentido da densidade de corrente (e, portanto, o "sentido" 
atribuído da corrente) só coincide com o sentido do vetor velocidade, 
no caso em que os portadores de carga são positivos. 
Entretanto, o principal caso que estudaremos será o da 
condução em metais, que têm como portadores de cargas livres 
os elétrons, de carga negativa. No caso dos metais o "sentido" 
da corrente é contrário ao sentido do movimento real de cargas 
(comumente denomina-se o primeiro sentido convencional e o 
segundo sentido real da corrente) . 
~0 =0 =0 =0 
=0 =0 =0 -=::0 
=0 =0 =0 =0 
-+ sentido real da corrente 
+- sentido convencional da corrente 
Amostra de um condutor metálico representando os sentidos real e 
convencional da corrente elétrica. 
Continuidade da corrente elétrica 
Consideremos uma superfície fechada A. definindo o volume 
finito V, em uma dada região do espaço: 
A 
Superflcie fechada ("gaussiana") 
FíSICA Ili 
Volume 2 
Através da superfície sai (o versor aponta para fora da 
superfície) uma corrente elétrica total: 
1 = J} · n dA 
É evidente que a superficie A envolve todas as cargas 
distribufdas pelo volume v. A carga total em questão vale: 
q = f pdV 
V 
Em que pé a densidade volumétrica de ca rgas. De acordo 
com o princípio de conservação da carga total deve conservar-se. 
Seja a carga total denotada por Q, a carga contida no volume q e 
a carga que deixa o volume q', temos: 
Q = q + q' = constante 
dQ dq dq' 
-=-+-
dt dt dt 
Mas a derivada da carga que deixa o vclume V nada mais é 
do que a corrente que sai através da superfície A, ou seja: 
d f pdV _ 
-- + j1 · n dA = O 
dt A 
Esta é a forma integral da equação da continuidade da carga 
elétrica. Quando a carga contida no volume permanece constante, 
ou seja, quando não há acúmulo de cargas, esta equação reduz-se 
simplesmente a: 
fJ · n dA = O 
A 
Se dividirmos a superficie fechada A em um conjunto de 
superfícies abertas t:,,Ak, e associarmos a cada uma delas uma 
corrente ik, podemos chegar ao resultado: 
I = 2:ik = O 
k 
Superfície A, submetida ã partição em k superfície 6.Ak. 
Se o volume envolvido pela superfície A for pequeno, 
de modo a poder tratá-lo como um ponto de conjunção ou 
ramificação no condutor (o que conheceremos como "nó" do 
circuito elétrico) podemos chegar ~ primeira Lei de Kirchoff, que 
admite os enunciados: 
"A soma algébrica das correntes que fluem de um nó é 
nula". 
ou 
"A soma das correntes que 'entram' em um nó é igual à 
soma das correntes que 'saem' do mesmo nó". 
Ambas correspondem à expressão ~) = o, em que as 
k 
correntes que "saem" são consideradas positivas e as que "entram" 
são consideradas negativas. A 1 ª Lei de Kirchoff aparece exemplificada 
a seguir: 
C) 
Teoria microscópica da condução 
Consideremos um condutor metálico filiforme (em forma de 
fio), de dimensões L (comprimento) e A (área de seção transversal), 
sobre o qual se aplica uma ddp de valor v: 
V 
('-----_------>,,,,,10 · 
Representação de um condutor filiforme. 
A diferença de potencial aplicada faz surgir um campo 
elétrico que, suposto uniforme e na direção do fio, tem módulo 
dado por: 
V 
E=-
L 
Como vimos anteriormente, devido à estrutura eletrônica 
dos metais, que possuem um ou dois elétrons na última camada por 
átomo, estes elétrons tornam-se " livres" compondo a "banda de 
condução" do metal. Ta is elétrons, enquanto não há campo elétrico 
no metal, possuem um movimento completamente aleatório. Este 
movimento é permeado de colisões com os íons de rede cristalina 
do metal, (na realidade eles são repelidos pelos elétrons de valência 
que compõem a eletrosfera do fon), conforme a figura abaixo. 
O resultado é um movimento de cargas inteiramente caótico, 
correspondendo a uma corrente elétrica média nula. 
0 
0 0 
0 0 
0 0 
Trecho de um condutor metálico mostrando 6 comportamentos de um 
elétron livre quando não há ddp aplicada. O movimento é aleatório 
e a corrente elétrica média é nula. 
ITA/IME 
•• • • • • • • • • • • • • -• • • • • • • • • • 
• • • • • • • • 
• -• e 1• • • • • --• -• • • • • • e 
• • • • • • • • • • • • • • • • • 
Ao se aplicar uma ddp (e, portanto, um campo externo, 
surge uma força elétrica que tende a acelerar os elétrons na direção 
oposta. Porém, a característica aleatória do movimento eletrônico 
não desaparece completamente, e as colisões com os íons da rede 
cristalina persistem. No resultado final é que aparece uma corrente 
elétrica média não nula, correspondendo a um vetor densidade de 
corrente na direção e sentido do campo,ou seja, do maior para o 
menor potencial. Esta corrente elétrica sofre uma resistência tanto 
maior quanto maior for o número de colisões dos elétrons como 
os íons. O fenômeno é ilustrado na figura a seguir: 
0 
0 0 
0 C~J 0 
E J 
Trecho de um condutor metálico, mostrando o comportamento de um 
elétron livre quando há ddp aplicada . O movimento não deixa de ser 
caótico, mas há uma corrente elétrica média não nula no sentido do 
campo elétrico. 
É evidente que as colisões sofridas pelo elétron têm, sobre 
ele, o efeito de uma força de retardamento. A suposição mais 
simples que se pode fazer acerca do comportamento médio desta 
força é do tipo: 
f =-bii 
Isto é bastante razoável. na medida em que se trata de 
uma força de oposição ao movimento eletrônico e que o número 
de choques, e, portanto, a força média, deve ser proporcional à 
velocidade com que o elétron se desloca no meio. 
O comportamento dessa força média é equivalente ao de 
uma "força viscosa" exercida por um f luido sobre um corpo que nele 
se desloca. Assim como a resistência do ar, o atrito, e outras, esta 
força é claramente dissipativa. (Basta verificar que a integral de linha 
desta força, ou seja, o trabalho por ela realizado, é sempre negativo). 
Como o efeito mais imediato da ação de uma força dissipativa é a 
transformação de energia mecânica em energia interna (térmica), 
a condução de corrente elétrica num condutor deve-se dar às custas 
do aquecimento do meio, da mesma forma que duas superfícies se 
aquecem ao serem atritadas ou que um corpo se aquece ao se mover 
na atmosfera terrestre. A dissipação de energia por um meio condutor 
ao conduzir uma corrente elétrica denomina-se efeito Joule e será 
estudado em maiores detalhes na seção VIII. 
Podemos mostrar que, ao estabelecermos uma ddp no 
condutor da Figura, os elétrons são acelerados até atingirem uma 
velocidade média limite, que corresponde à corrente estacionária. 
Neste caso, a força de resistência equilibra a força elétrica, conforme 
o esquema a seguir: 
--+ 
lfl=bv ---e--- lFl=eE 
Elétron submetido à ação da força elétrica e de força de resistência. 
eV 
bv = eE-+ v = -
bL 
Considerando que há 11 elétrons por unidade de volume no 
condutor, a densidade de corrente é dada por: 
J= ri e v 
ITA/IME 
Logo: 
1 = N e2 A V 
bl 
FíSICA Ili 
Volume 2 
A corrente elétrica que surge no condutor é, portanto, 
proporcional à ddp que lhe é aplicada. O fator de proporcionalidade 
é dito condutância (G)', tal que: 
N e2 A 
I =GV :::>G=--
bL 
A equação que relaciona corrente e ddp pode ser invertida, 
resultando: 
V= ~ I 
Ne2A 
O fator de proporcionalidade é identificado como a 
resistência do condutor (R), tal que: 
R=~ 
Ne2 A 
Dessa forma, escrevemos que: 
j V= Rij 
A equação destacada é dita 1 • Lei de Ohm, proposta 
inicialmente de um ponto de vista empírico. 
Percebemos que tanto a condutância como a resistência, 
contêm, nas suas expressões, parâmetros que dependem do tipo 
de material condutor em questão (b e N) e medidas das dimensões 
do condutor (L e A). É conveniente agruparmos a dependência 
do material em duas novas grandezas: a condutividade (cr) e a 
resistividade (p), tais que: 
Iª =¾I 
b 
Em que P = Ne2 
Assim, podemos obter a seguinte relação: 
IR =p¼I 
A equação destacada é a 2ª Lei de Ohm que estabelece a 
dependência da resistência de um condutor filiforme em função do 
material de que é constituído e de suas dimensões . 
Agora que você está entrosado com essas grandezas, é fácil 
mostrar que: 
J"i=crEJ 
Unidade de resistência 
A unidade de resistência elétrica no Sistema Internacional 
é o Ohm (O), dado por: 
V= RI 
1 Ohm = 1 volt 
1 ampere 
Ou seja, o Ohm é a resistência de um elemento passivo de 
circuito tal que uma diferença de potencial constante é igual a um 
volt, aplicada em seus terminais. faça circular nele uma corrente 
elétrica invariável, igual a um ampere. 
É fácil deduzir que, no SI, a unidade de resistividade é tal que: 
p = R ~ ~ unid (p) = unid. (R) ~ 
f 
unid (A) . _ 
=> . ( ) => unid. (P) - n . m 
unid P. 
A unidade de condutancia no SI, evidentemente ao inverso 
do Ohm, é o sistema (S), tal que: 
1S = 1n-1 
FíSICA Ili 
Volume 2 
A condutividade é medida em siemens por metro, como 
verificamos facilmente: 
P 'd. ( ) .d (G) unid. ( f) o = G - =:) Uni o = Uni . . ( ) =:) 
A un1d. A 
:::) unid. (cr) = Sim 
A seguir, apresentamos alguns valores de condut ividade para 
materiais condutores e dielétricas: 
Material Condutividade (Sim) 
Cobre 5,8 X 107 
Ferro 1,0 X 107 
Agua do Mar 5,0 X 10º 
Areia 2,ox10-3 
Quartzo 8,3 X 10-13 
Comparaçao entre valores de condutividade elétrica. 
O efeito da temperatura na resistência 
As variações de temperatura provocam, em geral, 
modificações nas características de condução dos materiais. 
Consideremos inicialmente o caso dos metais. Ao se elevar 
a temperatura de um metal, aumenta a amplitude de oscilação dos 
íons da rede cristalina. Isto faz com que os choques dos elétrons de 
condução com os fons se tornem mais frequentes. A consequência 
imediata é que a condução de corrl:'nte elétrica se torna mais penosa. 
A condutividade do metal se reduz e a resistividade aumenta com 
o aumento da temperatura. . 
Nos semicondutores, o efeito é completamente oposto. 
Como sabemos, a elevação da temperatura faz crescer o número 
de portadores, com a promoção de elétrons~ banda de condução. 
A condutividade cresce e a resistividade diminui ao aumentarmos 
a temperatura . 
As soluções eletrolíticas também conduzem mais facilmente 
quando a temperatura cresce. Como sabemos, temos uma corrente 
de convecção, e não de condução. Não existe o confronto com 
átomos praticamente fixos, como nas correntes de condução. 
O efeito preponderante é o aumento da velocidade com que se 
deslocam os portadores. 
Outros exemplos importantes são o de grafite, cuja 
resist ividade cai com o aumento da temperatura e ligas metálicas 
como a manganina e a constantan, cujas resist ividades são 
prat icamente constantes com a temperatura. 
A dependência da resistência de um condutor em função da 
temperatura pode ser representada pela expansão em série abaixo: 
R = Ro (1 + aót + ... ) 
Como a variação da resistência com a temperatura é pequena, 
o que se faz comumente é considerar a aproximação linear: 
R = R0 {1 + aóT) 
A seguir apresentamos a resistividade de vários materiais a 
20 ºC e o coeficiente a. Como se espera, a é positivo para metais 
e negativo para semicondutores, soluções e a grafite. 
RESISTIVIDADE COEFICIENTE DE MATERIAL TEMPERATURA A 70°c (ºC) 
Metais Prata 1,59x10-8 0,0041 
Cobre 1,67 X 10-8 0,0068 
Ouro 2,35 X 1 o-s 0,0040 
Alumínio 2,65 X 10-S 0,0043 
Tungstênio 5,51 X 10-8 0,0045 
Niquei 6,84 X 10-8 0,0069 
Ferro 9,71 X 10·8 0,0065 
Platina 1, 10 X 10-7 0,0039 
Chumbo 2, 10 X 10·7 0,0042 
Mercúrio 9,58x 10-7 0,0009 
Ligas Metálicas Latão 8,00 X 10-8 0,0015 
Niquelina 4,20 X 10-7 0,0002 
Manganina 4,20 X 10-7 0,0000 
Constantan 4,90 X 10-7 0,0000 
Nicromo 1,00 X 10-6 0,0004 
Semicondutores Germanio (puro) 0,46 -0,0480 
Gerrnanió (+ As a 0,01 1 ·--Sx1~%) 
Outros Grafite 1,40 X 10-5 - 0,0007 
Condutores 
Solução 
(saturada) de 0,044 -0,0050 
Nall 
Dielétricos lodo 1,30 X 107 ·-· 
Madeira 108-1011 ·-· 
Vidro 1010:.10" ----
Quartzo 1,30x10'3 ----
Óxido de 1,0 X 1014 ·-· 
alumínio 
Enxofre 2,0 X 1015 ---
Exercícios de Fixação 
01. Uma esfera de raio R condutora tem carga q e gira em 
torno de um fio isolante com velocidade angular ro . 
Determine a corrente média representada por esta carga em rotação. 
A) ooq : 
2Jt ~ w 
B) 2wq 
!t 
C) 3c.oq 
Jt 
D) ooq 
7t 
E) n.r.a. 
02. Um condutor é atravessado por uma corrente cuja intensidade 
varia com o tempo, segundo a lei: 
i = 12 + 2t (SL) 
Determine: 
A) a carga elétrica que passa por uma seção reta do condutor 
nos 1 O primeiros segundos. 
B) a corrente elétrica média nesse intervalo de tempo. 
ITA/IME 
• -
-• • • • • --• • • • • • • • -e 
• • • • • • • • • •• • • • •• --• • • • • • --• -• • • • -• e 
e 
• -• e 
• -• • • • • • • • • ,. 
03. Uma haste muito longa é carregada com uma densidade linear 
de carga À. e se move com velocidade v na direção do seu eixo. 
Prove que a corrente elétrica estabelecida é dada por i = À.V • 
04. Ao acionar um interruptor de uma lâmpada elétri ca, esta 
se acende quase instantaneamente, embora possa estar a 
centenas de metros de distância. Isto vem provar que: 
A) a velocidade dos elétrons na corrente elétrica é igual à 
velocidade da luz. 
8) os elétrons se põem em movimento quase imediatamente 
em todo circuito embora sua velocidade seja relativamente 
baixa. 
C) a velocidade dos elétrons na corrente elétrica é muito 
elevada. 
D) não é necessário que os elétrons se movimentem, para que 
a lâmpada acenda. 
05. Duas lâmpadas incandescentes têm fi lamento de mesmo 
comprimento, feitos do mesmo material. Uma delas obedece 
às especificações 220 V, 100 W e a out ra 220 V, 50 W. A razão 
m
5
/ m
100 
da massa do filamento da segunda para a massa do 
filamento da primeira é: 
A) 1,5 
8) 2 
C) Ji 
D) Ji 
2 
E) 0,5 
06. Um resistor ôhmico tem uma resistência constante e igual a 
100 n. Aplica-se em seus terminais uma ddp variável com o 
tempo, segundo a lei V= 2t (SI). Determine: 
A) a carga que atravessa o condutor entre os instantes zero e t. 
8) a potência dissipada no resistor em função do tempo. 
C) a energia dissipada no primeiro minuto de funcionamento 
do circuito . 
07. Um cilindro de seção transversal de raio a = 1,0 cm carregado 
uniformemente em sua superfície, move-se ao longo do seu 
eixo com uma velocidade constante v = 1 O m/s. A intensidade 
do campo elétrico diretamente sobre a superfície do cilindro, 
E = 0,9 kV/cm. Quanto vale a corrente de convecção surgida 
por translação mecânica de carga? 
08. Prove que um condutor percorrido por uma corrente elétrica 
produz na sua vizinhança, um campo elétrico, cuja componente 
é igual ao campo no seu interior. 
09. A densidade de corrente elét rica, num condutor de seção 
circular de raio R varia de acordo com J = Jat, em que J0 é uma 
constante. Calcule a corrente total que passa pelo condutor . 
10. Uma corrente de 1 OA passa através de um f io cuja seção é 
1 mm2• Sendo a densidade eletrônica do fio 1027m-3, determine 
a velocidade média dos elét rons . 
11. Um cilindro de densidade ~1. altura h e raio Ré carregado de 
tal forma que a carga se distribui exclusivamente sobre sua 
superfície lateral, com uma densidade superficial de carga 
uniforme e igual a 6. Ele é então abandonado numa região 
em que atuam o campo gravitacional terrestre g e um campo 
elétrico vertical, dirigido para cima de intensidade E. O cilindro 
cai e gera uma corrente i(t ), dada por: 
ITA/IM E 
FíSICA Ili 
Volume 2 
[ m -------- s 
A) i = btR cr( g - ~crRE} 8) i = 21tR cr(g - 1t:2:E} 
C) 1 = - cr g - - t . 1tR
2 
( 2crE) 
h µR D) i = 2 R cr( g - 1t:
2t} 
E) nenhuma das anteriores. 
12. Um cilindro oco de comprimento L tem seus raios iguais a R 
e R
2
• Aplicando-se uma d.d.p . entre as suas extremidades, flui 
uma corrente I paralelamente ao eixo do cilindro. Mostre que, 
se cr é a condutividade do material, a resistência é L 
ncr(Ri - Rf )' 
13. O perigo decorren te da util ização da imensa variedade de 
aparelhos elétricos presentes nos hospitais e clínicas modernas, 
fez surg ir, pelo menos nos países desenvolvidos. a profissão 
de "engenheiro clínico", definida pela American Hospital 
Association, como o profissional que "mantém, adapta e 
aprimora o uso seguro de equipamentos e instrumentos 
em um hospital" . A figura A resume os efeitos fisiológicos 
provenientes de uma exposição, de 1 s de duração, a diferentes 
níveis de corrente alternada (valores eficazes), com uma 
frequência de 60 Hz, aplicada de braço a braço. A corrente 
/et go é definida como a máxima corren te para a qual uma 
pessoa pode, voluntariamente, afastar-se do estímulo elét rico. 
As extremidades inferiores, esquerda e direita, das figuras 
geométricas que aparecem na f igura, são os valores limites 
(aproximados) para os diversos efeitos mencionados. Considere 
a seguinte situação: Enquanto mantém uma das mãos em 
contato com a parede, um médico toca, com a outra mão, um 
equipamento não aterrado e defeituoso, o qual, devido a um 
vazamento de corrente, apresenta uma grande ddp (de 1 kV) 
entre sua carcaça e a Terra. 
Figura A 
Queimaduras, ferimentos 
Contração miocardial continua 
Fibrilação ventricular 
Paralisia respiratóné' sífihfi· 
Corrente let ggà 
Limiarde...Â.. 
percepç~ 
Figura B 
0,0001 0,001 0,01 O, 1 1,0 10,0 100,0 corrente (A) 
A) Se a resistência do seu corpo for 1 O kn , a que efeitos 
fisiológicos o médico está sujeito? 
8) Suponha que o aparelho estivesse aterrado, mas que fosse 
tocado exatamente no instante em que o vazamento de 
corrente acontecesse. A figura B é uma representação 
esquemática dessa situação. Admitindo que a mesma corrente 
total do caso anterior escoasse para a Terra (parte através do 
médico e parte através do aterramente), determine o que 
aconteceria com o médico nessas novas condições. 
fíSICA Ili 
Volume 2 
14. Duas pequenas esferas metálicas de raio a estão bastante 
afastadas a uma distc'lncia d e imersas profundamente no 
mar de condutividade cr. Aplica-se a elas uma tensão V. 
Determine a densidade de corrente a meia distc'lncia entre elas. 
A) J = 4Voa 
d2 
C) J = i Voa 
3 d2 
E) n.r.a. 
B) J = 2Voa 
d2 
2 Voa 
D) J=3d2 
15. l.Jm feixe de elétrons move-se ao longo de uma órbita circular 
de raio R com velocidade de módulo V em um acelerador. 
A corrente média correspondente para esse movimento é 1. 
Determine o número de elétrons N do feixe. 
Seja e a carga elementar. 
A) 21tRI 
3Ve 
) 1tRI 8 -
Ve 
C) 31tRI 
Ve 
D) 2nRI 
Ve 
) 41tRI 
E -
Ve 
16. Se a velocidade de migração dos elétrons livres em um fio de cobre 
é 8· 1 O .... m/s, determine o módulo do campo elétrico no condutor. 
Dados: 
Carga elementar: 1,6· 10-19 c 
Número de elétrons por metros cúbicos no cobre: 
8,5· 1028 
Resistividade do cobre: 1,7 · 1 o-a n cm. 
A) 4 · 1 O 3 N/C B) 4,8 · 10-3 N/C 
C) 1 ,8 · ,0-3 N/C D) 4,2 · 10-3 N/C 
E) 2,4 · ,0-3 N/C 
17. A experiência de Tollamam-Stewart (1916) demonstrou que as 
cargas livres de um metal são negativas e fornecem um método 
quantitativo para a determinação da razão !_g_! entre módulo da 
m 
carga e a massa do portador de carga. A experiência consiste 
em interromper repentinamente a rotação de um carretel com 
um fio enrolado e medir a diferença de potencial entre suas 
extremidades. Em um modelo simplificado dessa experiência. 
considere uma barra metálica de comprimento L que se desloca 
com aceleração ã da esquerda para a direita. Inicialmente. as 
cargas se deslocam para a parte esquerda da barra produzindo 
um campo elétrico E ao longo da barra. No estado estacionário, 
esse campo exerce uma força sobre as cargas livres acelerando-as 
através da barra. 
ã 
b '-'----------------~( +----- ----- - -- -- - -- - --- • 
L 
lql - -A) Determine - em termos de E e da aceleração a . 
m 
Supondo que todas as cargas livres da barra metá lica 
possuam a mesma aceleração, o campo elétrico é o mesmo 
em todos os pontos da barra . Calcule a diferença de 
potencial Vtx entre as extremidades da barra. 
18. Uma corrente I flui através de um fio feito de cobre e alumínio, 
conforme a figura. Eles têm a mesma área de secção 22 
transversal. A resistividade do cobre e do alumínio valem 
pCU e pAf . A permissividade do meio é 1:0• Existe carga 
acumulada na fronteira entre os metais? Caso haja, ca lcule 
o seu valor. 
o Cu 1 Ae D 
l 
19. Considere a figura abaixo: 
O cilindro de altura 2,5 me raio de base r está uniformemente 
carregado com uma densidade de carga p = 1 ,00 mC/m3• 
No instante t = O o cilindro encontra-se na situação mostrada na 
figura e inicia um MUV a partir do repouso com uma aceleração 
de 4 m/s2 no sentido positivo de x. Assinale a alternativa que 
corresponde à corrente média quepassa por O a partir do 
instante em que o cilindro atinge este ponto até a sua passagem 
por completo através deste mesmo ponto. 
A) 1 O mA B) 30 mA 
C) 50 mA D) 20 mA 
E) 40 mA 
20. Uma carga q, massa m, descreve um movimento circular 
uniforme de raio R com aceleração centrípeta de módulo igual 
à aceleração do ponto C (centro da barra abaixo). Conforme 
se pode verificar, a barra rígida está apoiada no canto de uma 
sala. O extremo A desliza pela parede enquanto o extremo B 
desliza pelo solo com velocidade n constante e os atritos são 
desprezíveis. Calcule o valor da corrente elétrica I gerada pela 
carga q no refendo movimento. 
A) 1 = ~ ,,-
2nsencx V~ 
B)l=~,,-
4nsencxV~ 
C)l=~ ,,-
7tSencxV~ 
D)l=~,,-
6nsencxV~ 
E) n .r.a . 
B v 
21 . Um fio de prata com diâmetro d transporta uma carga Q em 
um intervalo de tempo ~t. A prata contém N elétrons livres por 
unidade de volume (no SI) e tem resistividade p. Seja - e a carga 
do elétron. O coeficiente de viscosidade dinc'lmico do elétron na 
prata vale: 
A) 1tpNe2 
C) 2npNe2 
B) 1td2 pNe2 
4 
d2 
D) -pNe2 
4 
• -
• • • • • • -e 
• • -• • • • • -e 
• • • -• -• • • • • • • E) pNe2 
======== ===== ====----------=====·· • • ITA/IME 
• -
-• • • • • --• -
1-• • • • • --• -• e 
• e 
• • • • • • • • • 
1 •• 
22. A figura representa um fio muito longo enrolado em duas polias 
de raio R, sobre as quais não sofre escorregamento. O fio está 
uniformemente eletrizado de maneira que, com as polias em 
repouso, o campo elétrico em um ponto P muito próximo à 
região central de uma das regiões retas do fio é Ê . Determine 
a corrente representada pelo movimento do fio quando as 
polias giram com velocidade angular 0>. Seja 1:
0 
a permissividade 
elétrica. 
23. Um aro isolante contém n cargas +Q distribuídas ao longo 
do mesmo. Tal aro tem rotação em torno do eixo que passa, 
perpendicular ao centro C com frequência f. 
Sabendo-se que n é igual ao número de "interferências 
construtivas" na circunferência de raio R, em que no diametro 
estão localizadas simetricamente em relação ao centro O duas 
fontes que emitem som de comprimento de onda À em fase 
(a distancia entre as fontes é 20 À). Determine a corrente elétrica 
gerada no esquema da figura. 
~ 20À o 
~ " 
F, o Fz 
FiguraQ) 
24. Os sistemas 1 e 2 têm os mesmos perlodos de rotação e 
vibração, respectivamente. Analisando-os, determine a corrente 
produzida pelo sistema 1. 
Sistema 1: Um fio com densidade 
linear de carga À tem a forma de uma 
circunferência de raio f e tem uma 
rotação em torno do eixo que passa 
perpendicular ao seu centro C. 
Sistema 2: Um pêndulo simples 
(massa M, comprimento P) 
oscila sobre uma plataforma de 
massa 2 M, a qual está sobre 
em um superfície livre de atritos, 
e, 
: l . 
em um local onde o módulo da ....,....,,...,...,~,.,._,,...,...,,..,....,,..,....,1-+,...,...,""T7' 
aceleração da gravidade é g . 
ITA / IM E 
FíSICA Ili 
Volume 2 
25. Uma placa de 50 cm de largura por 40 cm de altura possui 
uma carga positiva de 1 O µC distribulda uniformemente em sua 
superflcie. Um dispositivo possui uma haste feita de material 
isolante de 1 O cm de comprimento, com um dos extremos 
conectado a uma mola espiral e o outro conectado a uma 
carga positiva pontual de 1 µC. Este dispositivo está montado 
em frente a uma escala graduada em graus, na qual a posição 
Oº corresponde ao ponto de equillbrio no qual nenhuma 
força elétrica é aplicada à carga de 1 µC. O torque de reação 
da mola t R é dado por t R = -1<8, onde k é uma constante de 
proporcionalidade e e é o angulo de deslocamento . 
Placa 
Determine: 
-+ 
E 
Mola espiral 
Oº 
1 
... - 9 
1 45° 
A) o valor de k, sabendo que o ilngulo de equilíbrio do sistema 
nas condições iniciais é 45º; 
A corrente que ci rculou na chave S, não ideal, de resistência 
igual a O, 1 mn, sabendo que ela foi fechada durante 1 Os, 
que durante esse período o fluxo de carga pela chave se 
manteve aproximadamente constante e que, após a chave 
ser aberta, o sistema atingiu o equilíbrio em um ilngulo de 
30º; 
B) a energia dissipada na chave, para as condições do item b . 
Considerações: 
• para o problema em questão, a placa possui dimensões 
infinitas; 
• despreze a massa da carga pontual e da haste. 
• Permissividade elétrica do meio: i:
0 
= 8,85 . 10-12 F/m 
Resistores 
Introdução 
Para fazer uma corrente fluir, você tem que empurrar as 
cargas. A velocidade com que elas se movem em resposta a um 
determinado empurrão depende da natureza do material. Para a 
maioria das substancias, a densidade de corrente J é proporcional 
à força por unidade de carga, i : 
J = af 
FíSICA Ili 
Volume 2 
O fator de proporcionalidade cr (que não deve ser confundido 
com a densidade superficial de ca rga) é uma constante empírica 
que varia de um material para outro. Já vimos anteriormente que é 
chamado de condutividade. É interessante salientar que até mesmo 
os isolantes são ligeiramente condutores, emhra a condutividade 
do metal seja astronomicamente maior (por um fator de 1022) . 
De fator, para a maioria dos fins, os metais podem ser considerados 
como condutores perfeitos, com cr = ao. 
Em princípio, a força que move as cargas para produzir a 
corrente pode ser de qualquer natureza: química, gravitacional ou 
até mesmo pulgas (treinadas em um circo russo) puxando com 
cordas minúsculas. Para nosso objet ivo, no entanto, é geralmente 
uma força eletromagnética que realiza tal ação. Logo: 
} = cr{E + V X s) 
Normalmente, a velocidade das cargas é tão pequena que 
o segundo termo pode ser ignorado': 
A equação acima é conhecida como Lei de Ohm. Acalme-se, 
eu já ia falar da outra forma que ela pode aparecer. Como vimos 
anteriormente, podemos reescrever tal expressão da seguinte 
maneira: 
Demonstramos isso na apostila anterior! Se não lembra, 
volte e leia novamente. 
A Lei de Ohm pode ser enunciada da seguinte maneira: 
Para alguns materiais, mantidos a uma temperatura constante, 
a sua resistência elétrica é constante e determinada pela razão 
entre a d.d.p. aplicada sobre a corrente percebida. 
Agora eu acho que você deve estar confuso porque foi 
dito que E = O dentro de um condutor. Mas isso para cargas 
estacionárias {1 = O). Além disso, para condutores perfeitos E = O 
mesmo que a corrente esteja fluindo. Na prática, os metais são 
condutores tão bons que neles o campo elétrico necessário pa ra 
movimentar a corrente é desprezível. Assim, rotineiramente tratamos 
os fios conectores dos circuitos elétricos como equipotenciais. 
Os resistores, em contrapartida, são feitos de materiais mal 
condutores. 
'Nos plasmas. por exemplo, a contribu1çao magnética para f deve ser significativa. 
Resistores 
Denominamos resistor a todo condutor que, ao ser 
atravessado por corrente elétrica, transforme energia elétrica 
exclusivamente em energia térmica. Percebemos, portanto, que 
a característica fundamental de um componente e resistivo é a 
resistência oferecida à passagem da corrente elétrica. 
Como vimos, a resistência de um condutor é dada pela razão 
entre a d.d.p. aplicada em seus terminais e a corrente elétrica que 
nele se estabelece: 
R = V/1 
Em um circuito, um resistor aparece comumente representado 
na forma: 
Representaçao convencional de um resistor. 
Quando a resistência de um condutor não varia, diz-se que o 
resistor é ôhmico. Da 1ª Lei de Ohm, que é a equação que descreve 
o resistor, podemos mostrar que a curva característica (gráfico de 
corrente contra tensão) de um resistor é uma reta: 
V 
Curva característica de um resistor õhmico. 
No caso de R não ser constante, o resistor (ou o material) 
é dito não ôhmico, tendo um comportamento não linear. Alguns 
exemplos de curvas de resistores não ôhmicos são apresentadas a 
seguir: 
{a) 
V 
Curva característica de um resistor 
nao ôhmico (a) e de um eletrólito (b). 
(b) 
V 
Entre os resistores não ôhmicos encontramos os termistores, 
cuja resistência varia com a temperatura, os varistores, cuja 
resistência varia com acorrente elétrica, resistores que dependem 
da incidência de luz etc. Entretanto, dos resistores não lineares, os 
mais importantes e que formam a base da eletrônica são aqueles 
baseados em junções de semicondutores, com diodo de função 
pn (positivo-negativo) que apresenta baixa resistência em 
"polarização direta" e alta resistência em "polarização inversa" e 
o transistor ("transfer resistor''). O diodo tem a sua representação 
e sua curva característica apresentadas abaixo: 
-----E0----
{a) 
---{)i-
{b) 
Esquema de um diodo de junçao pn (a) 
e sua representaçllo em circuitos (B) 
Curva característica de um diodo semicondutor, 
mostrando a baixa resistência em tensao dire ta 
e a alta resistência em tensao reversa. 
V 
ITA/IME 
• -
• • • • • • -e 
• --• • • • • -e 
• 
~ 
• -• -• • • • • • • • • • 
• --• • • • • • -e ---• • • -• --• -• • • -• • • • • -• • • • 
Um reostato é um resistor de resistência ajustável. Um 
exemplo típico de reostato é o reostato de cursor, ilustrado a seguir: 
B 
No reostato de cursor a resistência R varia continuamente 
de R = O a um valor máximo R = Rm~,· de acordo com a porção do 
fio que participa do circuito. No caso da figura a seguir, quando o 
cursor está na posição A, a resistência é nula, e quando o cursor 
está na posição B, a resistência é máxima. 
Um reostato é simbolizado, em circuitos, pela notação: 
Representaç3o de um reostato. 
Já comentamos anteriormente que a resistividade pode variar 
com a temperatura. Lembre-se que: 
Para uma aproximação de primeira ordem. 
Existem materiais, como a grafite, em que· a resistividade 
diminui quando a temperatura aumenta, tendo, pois, coeficiente 
de temperatura a negativo. 
Existe ainda um fenômeno chamado supercondutividade, 
onde para uma dada temperatura, a resistência se torna nula. 
Em 1911, o físico holandês Heike Kamerlingh Onnes, 
trabalhando com mercúrio em baixas temperaturas, descobriu 
que a sua resistividade desaparecia totalmente para temperatura 
abaixo de 4,2 K, denomir.ada t.emperatt.:ra crítica (T,). 
Na realidade, ela cola repentinamente a zero quando a 
temperatura se aproximava de 4,2 K. Tal fenômeno é conhecido 
como supercondutividade . 
Uma característica importante do supercondutor é a 
seguinte: se fizermos um anel de material supercondutor, criamos 
nele uma corrente elétrica e, a seguir, retiramos a fonte, a corrente 
elétrica continuará a ci rcular. Não haverá perda de energia elétrica 
na forma de ca lor; ou seja, a corrente continuará a circular por 
tempo indefinido. 
As aplicações tecnológicas da supercondutividade logo 
após a sua descoberta eram poucas, pois o custo operacional 
para trazer o metal até a temperatura critica era muito alto . 
Atualmente, novas e recentes descobertas foram feitas e já são 
conhecidas muitas substancias, supercondutores. Por exemplo: 
alumínio, titanio, vanádio, zinco, estanho etc são supercondutores 
para a temperatura abaixo de T c- Alguns metais como prata, cobre 
e o ouro não apresentam supercondutividade. 
Unidade de resistência 
A unidade de resistência elétrica no Sistema Internacional 
é o Ohm (O), dado por: 
ITA/ IME 
V =RI 
1 ohm = ~ 
ampere 
FíSICA Ili 
Volume 2 
Associação de resistores 
Dois ou mais resistores podem ser conectados entre si, 
formando uma associação. Definimos o resistor equivalente como 
um único resistor que, submetido à mesma d.d.p. da associação, 
é atravessado por uma corrente elétrica igual à corrente total da 
associação. Podemos formar associações de resistores em série, em 
paralelo ou misto. 
Associação em série 
Um conjunto de resistores ligados sem terminais sucessivos 
formam uma associação em série, como indica a figura . 
Ao aplicarmos uma d.d.p. entre os terminais A e B da associação, 
verificamos faci lmente, pela continuidade da corrente elétrica, que 
todos os resistores são percorridos pela mesma corrente i. 
Chamaremos v,. - V, = V1 (que é a d.d.p. sentida pelo 
resistor R,), v, - V0 = V2, que é a d.d.p. sentida pelo resistor R2 e 
assim sucessivamente. Dessa forma, obtemos: 
V1 = R11 
V2 = R21 
V" = R,,I 
n n 
L Vi= I,R,I 
1- 1 1- 1 
V,01a1 = V,. - Ve = R.ql 
Concluímos que: 
n 
Req = I,R, 
1- 1 
Associação em paralelo 
Um conjunto de resistores ligados de tal forma que os seus 
terminais estejam submetidos à mesma diferença de potencial. 
i, 
i, - R 
1 
--A- - --L--------1----- B 
V 
• . 
FíSICA Ili 
Volume 2 
Pela lei de Ohm, temos: 
V= R,I, = R2I2 = R3I3 = Rnln 
Pela lei da conservação da continuidade da corrente, 
devemos ter: 
. n n V V 
l= í:l = í:-=-
1. 1 ' 1. 1 R, Req 
Como devemos ter a seguinte relação para a resistência 
equivalente 
1 n 1 1 1 1 1 
-= I,-=-+- + -+ ... -
Req , • 1 R1 R, R 2 R3 R0 
Ê importante analisar bem o circuito antes e perceber quais 
resistências estão em série e quais estão em paralelo. Além disso, 
devemos atentar para duas situações em l•:n primeiro instante: 
Fio liso e curto-circuito. 
Fio liso: os fios, que não contêm resistência (R = O), têm o 
mesmo potencial em todos os pontos, pois, da Lei de Ohm, qualquer 
corrente finita i, produz uma d.d.p. nu la: 
V= RI-+ V= O 
Daí, todos os pontos ligados por fios de resistência nula são 
equivalentes entre si, podemos "transportar" os pontos A e B ao longo 
dos mesmos. No exemplo dado é vislvel que todos os resistores se 
ligam aos mesmos terminais, estando, portanto, ligados em paralelo. 
B 
A 
Exemplo de resistores em paralelo. 
Curto-circuito: quando um resistor (bem como qualquer 
componente) está ligado entre pontos de mesmo potencial, dizemos 
que ele está em curto-circuito. No caso de um resistor, se a d.d.p. 
em seus terminais é nula, temos: 
V = RI = O -+ 1 = O 
Pelo fato de não haver corrente elétrica percorrendo o 
resistor, o mesmo não " funciona", podendo, portanto, ser eliminado 
do circuito, como se vê no exemplo: 
,,,---- Resistor em 
( A curto-circuito 
A A 
Resistor em curto. 
Transformação Li -+ Y 
A transformação de um delta de resistores para uma 
estrela de resistores é bastante úti l na solução de problemas. 
O procedimento é bem simples, porém as vezes pode cair num 
mar de contas. 
Podemos encontrar um par de configurações, uma em 6 e 
outra em Y, que possuem a mesma resistência equivalente entre 
quaisquer dois pontos dentre três pontos dados A, B e C. 
8 
A 
R' 
2 
(b) 
Associações em 6 (a) e y (b) equivalentes 
Da figura (a) e (B) encontramos a resistência equivalente 
entre os pontos A e B, B e C, A e C: 
R,(R2 + R3) 
RAB =-'--"----'-'-
R, + R2 + R3 
R3 (R, + R3) 
Rec = ---------'-'-
R1 + R2 + R3 
R2 (R1 + R3) 
RAC =----'--'----'--'-
R, + R2 + R3 
Como desejamos que estes valores de resistência sejam os 
mesmos em ambas as associações, temos: 
R, + R2 = R,R1 + R2R3 (1) 
R, + R2 + R3 
R,' + R/ = R,R2 + R2R1 (li) 
R1 + R2 + R3 
R2' + R3' = R,R2 + R,R1 (111) 
R, + R2 + R3 
Resolvendo o sistema para as variáveis R/ , obtemos: 
Estes são os valores dos resistores partindo do formato delta 
e indo para o formato estrela. Se a transformação for contrária 
(Y -+ 6), obtemos: 
Esse truque tirará você de sérios apuros. 
ITA/IME 
• -• -• • • • ----e -• • • -• -e 
• • • • • --• • • • -• • • • 
• ---• • • • --e --
1 e • -• -• --• -• • • • • • • • • • • • • • 
Simetrias 
A presença de simetrias em uma associação nos permite 
encontrar, em geral, pontos submetidos ao mesmo potencial. 
1° exemplo: Consideremos o tradicional exemplo da associação 
de resistores idênticos, localizados nas arestas de um cubo, em 
que se deseja encontrar a resistência equivalente entre pontos de 
diagonal do mesmo: 
R B 
B 
R 
A 
Associação "em cubo" de resistores 1dénticos 
Se permutarmos os pontos C, D e E entre si e os pontos F. G e H 
entre si, não modificamos a associação, e, portanto, os pontos C, 
D e E são equivalentes, bem como os pontos F, G e H. 
Daí. podemos rearranjar a associação na forma: 
R 
R R 
A B 
R 
Circuito reescrito com ajuda da simetria. 
Assim, fica fácil encontrar que a resistênciaequivalente da 
associação é: 
R R R SR 
R =-+ - +-=-
eq 3 6 3 6 
2º exemplo: Tomemos o circuito abaixo, também um clássico. Todas 
as resistências do circuito valem R. O que fazemos para determinar 
a resistência equivalente entre A e B? 
Primeiramente, olhamos para o Lircuito e facilmente 
imaginamos um plano de simetria que passa pelo ci rcuito 
perpendicular à reta AB e corta exatamente na metade. 
Perceba que para haver simetria, devemos separa r a 
resistência de cima e a de baixo em duas resistências em série: 
R/2 R/2 
R/2 R/2 
ITA/IME 
FíSICA Ili 
Volume 2 
O plano de simetria é um equipotencial. A questão se resume 
a calcular a resistência equivalente entre A e o plano e depois 
multiplicar por 2 (devido à simetria) . Calculemos então a resistência 
equivalente en tre R e R/2 em para lelo . 
Veja como f ica o ci rcuito: 
R/3 
R/3 
Calculamos agora R e R/3 em série: 
R + ~ = 4R 
3 3 
Calculamos o restante em paralelo: 
_1 =_i_+R+_i_ 
R
0
q 4R '4R 
R = 2R 
l"1 5 
E agora, para f inalizar, multiplicamos por 2. Concluindo que 
a resistência equivalente entre A e B é: 
4R 
RAB =s 
3º exemplo: Vamos analisar o mesmo circuito e determinar a 
resistência equivalente por outro método de simetria . Imaginemos 
agora um plano de simetria que passa pela reta AB. Vamos então 
analisar as correntes que saem de A (caso A e B sejam expostos a 
uma d.d.p.). 
Perceba que C e D possuem o mesmo potencial. Isso é devido 
à simetria, pois a corrente enxerga os dois caminhos igualmente, ou 
seja, não existe caminho preferencial. Logo, a queda de potencial 
- Ri é igual entre AC e AD. Esse raciocínio é aplicado aos outros 
pontos de simet ria e isso permite d izer que todos os resistores que 
formam par objeto imagem em relação à AB estão em paralelo. Por 
exemplo, o resistor AC está em paralelo com o resistor AD . 
Fechamos então o circuito e reduzimos à metade cada 
resistor que forma um par objeto imagem. Veja: 
R/2 
A ~ B 
R R 
FíSICA Ili 
Volume 2 
Transformando o delta em estrela, temos: 
R/6 R/6 
A ~ B 
R R 
Aqui encontramos uma ponte equilibrada e fica fácil terminar. 
1 1 3 
-=-+-
R.q 2R 4R 
4R 
RAB = -
5 
Cuidado para não confundir quando dividimos por dois e 
quando multiplicamos por dois. Estude bem as técnicas antes de 
sair aplicando! 
4° exemplo: Deseja-se calcular a resistência equivalente entre 
os pontos A e B da rede bidimensional infinita (ver figura abaixo) 
formada por células quadradas cujos lados são resistores de 
resistência R. Far-se-á uso dos princípios da simetria e superposição. 
A 8 
Devido à simetria da rede, os nós no infinito estão a um 
mesmo potencial, façamos, então, igual a zero. 
li e' ~ k l i 
i° A- 8 ,-
' t 1 ' 
Ligaremos aos pontos A e Bum gerador de força eletromotriz 
E ideal, o qual será responsável pela produção da corrente elétrica i. 
Podemos então imaginar o circuito como sendo: 
& 
Roq 
A 
Em que: 
+ 
1 
---+ 
i 
~ 
B 
Pela suposta simetria, só podemos garantir que: 
i1 = i3 = i~ = i6 e is = i2 e mais nada. Não podemos garantir que as 
quatro direções possíveis para a corre·nte no nó 8 são equiprováveis, 
se o sorvedouro estiver em A. E se tivermos sorvedouros no infinito? 
---'"-"t-+"11-=~ ~ ~ l '· , ,, 
12 - ,,..--.. 
-+ -+ J. - e -
,, 1,f ,, l ,, 
Veja que agora podemos afirmar que todas as correntes 
são igualmente prováveis se pegarmos cada lado separadamente. 
~ Flr. 1-2 ~ -.......;. H 
- - A - B v,-!rt v, 
.,. 
1F -4cl--.. .J r--....... T 
A ..!..! a-<4 • 
Procedendo à superposição dos dois circuitos imediatamente 
anteriores, a única corrente conhecida será a corrente do ramo AB, 
felizmente a que precisamos: 
A 1 " 
í 
R 
Substituindo, teremos: 
• -• • • • • • • --e 
• -• e 
• -• • • • e 
• • • -e 
• • • • • • 
==========R=e=q===dl=1 ==============-U•AB_ =.R.i/2• ;•U•A•B •=•R•eq• ·•i •Re•q•=• R•/2-•IT•A•/•l•M•E-=====-=· 
• 
• -• -• • • • • 1• --• ---• • • • -• -• • • -e 
• • • • • • • • • 
Este método é bem útil quando se trabalha nessa linha de 
problemas. 
Veja outra aplicação desse método. Determine a resistência 
equivalente entre dois pontos consecutivos sabendo que a cada dois 
pontos existe uma resistência R . 
' , , 1, 1, I ' I' I ,, ,, , ,,, , , , , 
Rapidamente utilizamos o resultado anterior para concluir 
que a resistência equivalente entre AB vale R/3 . Podemos generalizar 
o resultado da seguinte maneira: caso a malha seja infinita e exista 
simetria nas resistências, a resistência equivalente entre dois pontos 
consecutivos é dada por: 
2R 
RA.B =-
n 
Em que n é o número de resistores ligados ao ponto A ou 
ao ponto B. 
Esses são alguns dos métodos de simetria. Existem vários e 
não temos como abordar todos aqui. Trabalharemos mais em sala 
de aula e através dos exercícios. 
Compreendendo o curto-circuito 
Geralmente um curto-circuito é visto como algo perigoso . 
De fato, um acidente ou um incêndio podem até ser efei tos 
de um curto-circuito, mas não é o que ocorre na maioria dos casos. 
Vejamos um exemplo: 
Considere, na figura a seguir, que as lâmpadas L1 e L2 
tenham sido fabricadas para funcionar sob tensão de 11 O V. Da 
maneira como estão ligadas, a corrente no circuito é de 1,0 A. Como 
U = Ri, a lâmpada L1 está operando sob tensão de 55 V (portanto, 
subalimentada), enquanto a lâmpada L2 está operando com 165 V 
(sobrecarregada e com sério risco de queimar). 
L, 
A 
110 V 
ov 
_1_ e -110V 
Entretanto, se fizermos um curto-circuito ligando os pontos 
b e t , ambas as lâmpadas passam a funcionar em condições normais, 
pois agora a tensão sobre as lâmpadas é de 11 O V: 
ITA/IM E 
A 
110V 
OV T e 
- 110V 
FíSICA Ili 
Volume 2 
Após um curto entre os pontos B e Tas lâmpadas funcionam 
normalmente. 
Para não sermos parcia is, vejamos também um exemplo 
desastroso. Considere uma lâmpada L3 com resistência de 108 n 
ligada por dois f ios de resistência 1 n cada a uma tomada de 11 O V. 
A 
D 
e 
Ligação de uma 13mpada . 
A , n B 
110V 
1 A j 1080 
o 1n 
o e 
Representacão simolif,cada. 
No esquema, a lâmpada está funcionando normalmente. 
No entanto, imagine que, por excesso de manipulação, os trechos 
dos fios bem próximos à lâmpada descascassem e o ponto B entrasse 
em contato com o ponto C. Esses pontos ficariam em curto. A tensão 
na lâmpada ficaria nula, faíscas pulariam no ponto de contato, e o 
circuito obedeceria ao esquema abaixo . 
A 10 B 
L, 
108 O 
10 
e 
Um curto-circuito desastroso 
A intensidade da corrente iria subir para 55 A. Valor superior à 
intensidade de corrente suportada por muitas soldas elétricas. Se não 
houver um fusível ou um disjuntor para abrir a alimentação do circuito, 
provavelmente o plástico do fio vai entrar em combustão, exalando 
vapores e odores que alguns chamam de cheiro de curto-circuito . 
Como as situações desastrosas são mais marcantes, esta última 
ideia é que acaba prevalecendo na visão cotidiana de curto-circuito . 
Ponte Wheatstone 
É um circuito constituído de quatro resistores, que permite 
a determinação do valor de uma resistência elétrica com precisão. 
Constitui-se de quatro resistores alimentados por um gerador 
e de um galvanômetro, conforme a figura . 
A 
B 
Ponte de Wheatstone 
FíSICA Ili 
Volume 2 
Quando a ponte está equilibrada, a corrente no galvanômetro 
é nula: 
ic, = o ~ VG = RGiC, = o 
Ou seja, o potencial dos pontos A e B é o mesmo. Quanto 
às correntes, podemos deduzir as seguintes relações: 
i, = ic, + i, 
i3 + i6 = i4 
Como A e B têm o mesmo potencial, as tensões abaixo entre 
elas e os pontos P e Q são tais que: 
Dividindo as duas equações, obtemos: 
M = R) i) ~ R R = R R 
R2 i2 R • i• ' • 2 3 
Na ponte de Wheatstone equilibrada, os produtos das 
resistências opostas são iguais, e qualquer componente que esteja 
entre os pontos A e B estará em curto-circuito. É evidente que, 
se conhecemos duas resistências com precisão e tomarmos um 
reostato, podemos determinar uma resistência desconhecida Rx 
qualquer, bastando regular o reostato até equilibrarmosa ponte. 
A 
B 
Ponte de Wheatstone usada para a determinaçao 
de uma resistência desconhecida. 
Da expressão deduz ida anteriormente pa ra a ponte 
equilibrada, temos: 
RR 
R.R = R R -+ R = - 2-
, i ' R, 
. .· ~ 
Exercícios _.»-
01 . Um arame de comprimento L e resistência R é dobrado 
unindo os seus extremos, de tal maneira que se forma uma 
circunferência. Determine a resistência entre dois pontos 
separados por uma distancia a medida ao longo do perlmetro. 
( 02. Det~rmine a resistência equivalente R.b no trecho de ci rcuito 
abaixo. a.---------... 
A) 10n 
B) 22,2 n 
C) 33,3 n 
D) 41,4 n 
E) n.r.a. 
300 300 
03. 
• 
Encontre a resistência de um cubo em que cada aresta tem 
resistência R, entre os pontos: 
A)Ae H 
B) A e E 
C)Ae B 
G H 
D~ 
~E 
A B 
04. A figura representa dois cubos ligados aos vértices por fios de 
resistência R. Cada aresta dos cubos também tem resistência R. 
Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B. 
05. Encontre a resistência equivalente entre os pontos A e B. Cada 
resistor vale R. 
A 
06. Encontre a resistência equivalente entre os pontos A e B. Cada 
resistor vale R. 
B 
07. Um retangulo ADC é constituído de arames de igual área 
de seçao reta S, soldados entre si. Os lados e a diagonal são 
todos de um mesmo material de resistividade e dimensões 
AD = BC = a e AC = BD = b. 
D B 
l~I 
A C 
Encontre a resistência equivalente entre os pontos: 
A)Ae 8 
B) c e D 
C)Ae c 
ITA/IME 
• e 
• • • • • • ---e 
• e 
• -• • • • • • e 
• • • --• • • • • • • • • 
-• -• • ----• 
1 -• -• • -• ---• -• -e 
• • • • -• • 
09. 
10. 
Qual deve ser o valor da resistência Rx no circuito abaixo para 
que a resistência entre os pontos A e B não dependa do número 
de células? 
3R 3R 
Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B. 
A R R R 
R R 
R R 
R R 
R R R 
B 
Determine a resistênoa equivalente entre A e B. 
A 
B 
11 . O raio da seção de condutor mostrada na figura a seguir varia 
linearmente de a até b ao longo de seu eixo. A resistência para 
a corrente elétrica ao longo do eixo vale: 
Dado: p é a resistividade do material. 
i e i 
·~ ~ b 
A) 
pf B) ...e!_ 
1e(b - a) 1tba 
C) 
pf2 
D) 
pP3 
1e(b - a) p(b - a)3 
pP2 
E) b2a2 
, 
ITA/IME 
fíSICA Ili 
Volume 2 
12. Um resistor cilíndrico tem raio b, comprimento L e condutividade 
o- 1• No centro do resistor existe um defeito consistido de um 
pequeno cilindro de raio a e comprimento a dentro do qual 
a condutividade é o-
2
• A corrente elétrica flui distribuída 
uniformemente ao longo da seção transversal do resistor. 
Determine a resistência do citado resistor . 
a, 
Considere: 
1. L >> a e b >> a. 
li. O cilindro de raio a é concêntrico com o cilindro de raio b. 
13. Um semicondutor dopado tem resistividade p = 10-3 nm. 
Se 1 ~,m de espessura t desse material tem uma resistência igual 
a 100 n, que dimensões devemos escolher para este material? 
t = 1 µm 
A) W = 1 O µm e L = 1 ~,m 
B) W = 1 µm e L = 1 µm 
C) W = 1 µm e L = 100 µm 
D) W = O, 1 µm e L = 100 µm 
E) W = 100 µm e L = 1 µm 
14. Determine a resistência de um hemisfério 
oco de ra ios R1 interno e R2 externo, 
quando se aplica uma ddp entre as 
superfícies interna e externa. ~v 
Dado: a resistividade do material é 
uniforme e igual a p . 
A) p (R2 - R1) 
4nR1R2 
E) n.r.a. 
B) p (R2 -R1) 
21tR1R2 
15. Determine a resistência do circuito elétrico para dois sentidos 
de corrente: 
A) a corrente passa de A para B (resistência R.b); 
B) a corrente passa de B para A (resistência Rba) . 
R, 
A B 
R, 
Os valores das resistências são R,= 300 n e R2= 600 n . Na rede 
está indicado o diodo ideal D (diodo ideal é aquele no qual a 
resistência no sentido direto pode ser considerada nula, e no 
sentido inverso infinita.) 
FíSICA Ili 
Volume 2 
16. No circuito abaixo a corrente que passa por cada um dos 
resistores de 2 n vale 1 O A. Qual a corrente, em amperes, 
através do resistor de 1 n situado entre os pontos C e D? 
2n e 1 n 
A 8 
1n 
1 n D 2n 
V 
17. Encontre a resistência equivalente do trecho do circuito entre 
os pontos A e B. 
R R 
R R R 
R 
A 
R R R B 
18. (ITA) Considere um arranjo em forma de tetraedro construido 
com 6 resistências de 100 n, como mostrado na figura. Pode-se 
afirmar que as resistências equivalentes RAB e RCD entre os 
vértices A, B e C, D, respectivamente, são: 
e 
D 
A 
B 
A) RAa = Rco = 33,3 n 
B) RA8 = Rco = so n 
C) RAB = Rco = 66,7 n 
D) RAB = Rco = 83,3 n 
E) RAe = 66.7 n e R, 0 = 83,3 n 
19. Na figura, todas as resistências sao iguais a R. A diferença de 
potencial entre os pontos A e B é V. Determine a intensidade 
de corrente elétrica entre os pontos A e B. 
A) 30 'i_ 
7 R 
B) nula 
15 V 
C) 7R 
40 V 
D) --
7 R 
E) 60 V 
7 R 
A 
V 
-i 
1 -
20. No circuito da figura, dado R0, 
qual deve ser o valor da 
resistência R
1
, para que a 
resistência entre os terminais 
A e B seja R/ 
= f,.J ,. 
B 
A)~ 
Ji B) 73 
C) 2 R 
4 o 
D) 2R
0 
E) ~R 
2 o 
21 . Determine a resistência equivalente entre A e B: 
::~ ::~ , 
R R B R 
22. Determine a resistência 
equivalente entre A e B do 
trecho de circuito ao lado. 
n células 
e R D 
23. Muitos dos dispositivos eletrônicos tão úteis em circuitos são 
dispositivos de junção. Tais dispositivos têm uma ou mais junções, 
que separam abruptamente o material tipo n do material tipo p. 
O mais simples de tais dispositivos é o diodo de junção pn. Um 
diodo é um elemento de circuito que permite facilmente aos 
portadores de carga fluírem em uma direção, mas não na outra. 
Quando se aplica a uma diferença de potencial através de um 
elemento de circuito, referimo-nos à d.d.p. como bias (inglês para 
tendenciosidade). Se o elemento tem propriedades direcionais, 
como é o caso do diodo. então ele pode apresentar tendência para 
frente (forward-biased) ou tendência para trás (reverse-biase<!) . 
Em um diodo fordwardbiased, a corrente flui rapidamente, mas 
praticamente nenhuma corrente flui em um diodo reverse-biased. 
É como se o diodo forward-biased tivesse resistência nula, mas o 
reverse-biased é como se tivesse resistência infinita. A expressão 
teórica que dá, com bastante precisão a corrente i em um diodo 
de junção pn em termos da d.d.p. através dele é 1 = li e~ ' - 1) em 
que 1
0 
é um parâmetro que depende do diodo particular, k é 
a constante de Boltzmann, T é a temperatura (em Kelvins) e q é 
o módulo da carga eletrônica e = 1,6 · 1 O 19 C. 
A razão entre as resistências reverse-biased e forward-biased 
vale: 
A) e -qv11.1 
C) e -<l"11., - 1 
E) e qv11.t 
B) eqv11:t - 1 
D) e 11v11., + 1 
ITA/IME 
--• • --• • -• -e 
• e 
• ~ 
• • • -e -e 
• • • --• • • • • • • ... 
---• • -• • -• -• • • • -1: 
1e -• • -• • • --• 
24. No trecho de circuito abaixo, determine a resistência equivalente AB. 
A 
25. O circuito da f igura estende-se inf inita e periodicamente nos 
dois sentidos indicados. A resistência elétrica equivalente entre 
A e B vale: 
A)~ 
2 
C) ( 9 + s.fii} 
E) n.r.a. 
B} (9-s.fii} 
D) .fii R 
20 
26. Considere o arranjo plano de resistência representado na 
figura abaixo, no qual duas cadeias infinitas se interceptam nos 
pontos a, b, e e d. Se cada resistência é R, calcule a resistência 
equivalente entre os pontos a e b . 
R 
R 
27. Considere a rede de resistores a seguir. Cada resistor tem 
• resistência r. Determine a resistência equivalente entre os 
FíSICA Ili 
Volume 2 
28. Sabendo que todos os resistores da malha infinita da f igura 
têm resistência R, a resistência equivalente entre A e B é: 
R R 
R R 
A 8 
A) R(l + li) R(1+-./3) 
B) 
2 2 
C) 3R R(1 + Js) 
2 D) 2 
E) 
R(l + ./6) 
2 
29. A resistência equivalente entre os pontos A e B do esquema 
abaixo vale: 
A 2r r r r r B 
R'T&¾t:l·--7 
' ' ' ' 
,___· - -----· ·-----------------~ 
A)~ 
n+l 
B) !._ 
n 
C)~ 
nz 
D} !.. 
2 
E) r 
30. A resistência equivalente entre os pontos a e b vale: 
A) Rli 
C) (li+;} 
E) (1i +1)R 
R 
R 
2 
R -
4 
R 
8 
B) ( li-i)R 
D) (li -1)R 
pontosA e C. 31 . Considere a associação infinita de resistores em paralelo, 
• representada na figura abaixo. As resistências são R, i..R, Ã.2R, 
i..3R, ,._ 4R, ... em que À = 1,8 e R = 3 n. A associação é ligada a 
• A ---.iwv..__--,-----,,rvw-----r---1WV'-,----------- -oo uma bateria de 12 V. Assinale a alternativa que corresponde à 
corrente drenada da bateria. 
: B ---.JV'N---+-,NVV"----i-'YVVV'--+ ~~~A f ,, f AR f A'R , ,,, ,,,, , ,,, 
· = =--•e•-•-. -.11• M:. -....... _ -. -.11• M:. -. ..,_• -. ~. w• ._ _ __,_--=======E=) o=A================ • ITA/ IME 
FíSICA Ili 
Volume 2 
32. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B. 
33. A configuração consta de um arame de secção transversal 
constante A. O lado do quadrado maior é igual a a e um metro 
de comprimento do arame tem resistência p. Determine a 
resistência entre os pontos A e B. 
Obs.: Os pontos P dividem o lado do quadrado em dois 
segmentos iguais. 
34. Cada elemento no circuito finito mostrado na figura é R = 1 n. 
A corrente de 1 A flui no resistor f inal. As correntes que fluem 
em cada resistor formam a série de Fibonacci. 
A série de Fibonacci é: 
A) 1, 2, 3, 7, 9, 13, 21 
C) 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5 
E) 2, 2, 3, 3, 7, 9, 13, 21 
B) 1, 1,2,3,5, 8, 13,21 
D) 1, 4, 7, 9, 13, 15, 17, 23 
35. Calcule a resistência equivalente entre os pontos A e B na rede 
infinita abaixo. Todos os lados têm os mesmos comprimentos 
e as mesmas resistências, no caso, cada lado tem resistência R. 
B 
A 
Obs.: Os pontos A e B estão nos meios dos lados. 
36. Considere uma rede formada por infinitos cubos. Cada lado 
do cubo tem resistência R. Determine a resistência equivalente 
entre os pontos A e B. 
A)~ 
2 
B) 2R 
3 
R 
C) -
3 
D)~ 
4 
R 
E) -
6 
., ,, 
37. Considere a rede triangular abaixo. Cada lado do triangulo 
tem resistência R. Determine a resistência equivalente entre os 
pontos A e B. 
38. Cada um dos seis terminais a, b, e, d, 
e e f está ligado aos outros terminais 
por um condutor de resistência R. Os 
condutores estão isolados, de modo 
que os contatos elétricos não existem a~ -+--4'--+-....:;ad 
nos terminais. Ache a resistência entre 
quaisquer dois terminais. 
A)~ 
2 
C) 2R 
3 
E) ~ 
5 
B) ~ 
3 
D)~ 
4 
39. No esquema ao lado o valor da 
resis tência da aresta de cada 
quadrado é R. No quadrado central 
solda-se uma lamina de material 
con dutor (área sombreada) . 
Determine a resistência entre os 
pontos A e B. 
r---,----,--~B 
40. Um arame possui uma resistência por unidade de comprimento 
igual a p. O arame é dobrado de modo a adquirir a forma da figura 
abaixo. A resistência equivalente vale, entre os pontos a e b: 
A) 2rr.rp.fi. 
7t + 2"2 
B) mp.fi. 
C) 2rtrp 
D) rr.rp./3 
~ 
E) 2rr.rp 
rr. + 2 
a b 
41. No circuito abaixo, todos os resistores valem 2 n. Sabendo que 
a corrente no resistor em destaque vale 2A, determine a f.e.m . 
da bateria. Utilize argumentos de simetria. 
A)40V 
B) 45 V 
C) 50V 
D) 52 V 
E) 60 V 
ITA/IME 
-e 
• -• -• • • • • e --• • • • • • • • • • • • • -• • • • • • • • 
~ 
• --• • • • • • • • -• -• • • • • • -• • 1: 
• -• • • • • • • • e 
} 
42. Um diodo é um dispositivo que em uma boa aproximação se 
comporta como um condutor de resistência desprezível quando 
é percorrido pela corrente de modo direito (figura a), mas 
assume resistência infinita quando a corrente vai no sentido 
inverso (figura b). Se a resistência interna do gerador e do 
amperímetro A são desprezíveis, quanto vale a corrente indicada 
no instrumento A do circuito a seguir? 
12 V 
A) 10 mA 
C) 30 mA 
E) 50 mA 
D, 
200n 
D, 
B) 20 mA 
D) 40 mA 
r r a 
L bL 
43. Entre os pontos A e B do circui to se mantém uma tensão 
constante U = 25 V. Determine o valor e o sentido da corrente 
no ramo CD, sabendo-se que as resistências são: R, = 1 n, 
R
2 
= 2 n , R
3 
= 3 n e R4 = 4 n . 
A)4A 
C) 2 A 
E) OA 
K 
R, R, 
B) 3 A 
D) 1 A 
B 
44. Encontre a resistência equivalente entre os pontos a e b . Cada 
resistência R vale 100 n. 
R R 
R 
b --,M/IN--'---'---.J'M/\J'--'---' 
A) 200 n 
C) 275 n 
E) 325 n 
R 
B) 250 n 
D) 300 n 
R 
R 
45. Considere o circuito abaixo onde todos os resistores têm a 
mesma resistência R. O formato do circuito é um octaedro . 
Determine: 
A) a resistência equivalente "sentida" pela bateria, em função 
de R. 
B) sendo R = 4 n e E= 48 V, determine a corrente i em destaque 
no circuito. 
ITA/IME 
46. 
47. 
FíSICA Ili 
Volume 2 
Cinco resistências de 1 n são conectadas como mostrado na figura. 
Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B . 
A) 1 n 
B) 5 n f'--/ _______ ,,/ 
C) 0,5 n 
D) 1,5 n 
E) 2 n 
111 l 111 111 Ili 1 111 
AI - - i - 1- - 1° 
.__ ________ _.,,,1/ 
Determine a intensidade em A (ampere) da corrente total que 
circula entre os pontos A e B do esquema mostrado na figura 
abaixo, se a d.d.p. entre os pontos A e B é 120 V. Todas as 
resistências são idênticas e de valor R = 1 O n . 
A) 1 
B) 2 
C)3 
D) 6 
E) 12 
R 
R 
48. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B. 
A)5n 
B) 10 n 
C)20 n 
D)40 n 
E) 80 n 
A 
20 1l 
49. A estrela regular abaixo é formada por um f io uniforme. 
Sabendo que a resistência entre os pontos EL é R, determine a 
resistência equivalente entre os pontos F e C. 
Dado: Use sen 18° = 1/3 
A) R 
B) 2 R 
C)~ 
2 
D) 3R 
2 
E) ~ 
4 Estre.fa re<Juklr 
50. Observe a f igura abaixo, onde há um prisma reto de base com 
resistência R, conforme mostra a figura. 
R 
R 
Sabendo-se que R = 45 n, determine o valor da resistência 
equivalente entre os pontos A e B . 
A) 20 n B) 25 n 
C) 26 n D) 42 n 
E) 45 n 
FíSICA Ili 
Volume 2 
51 . Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B. 
A) ~n 
3 
4 
B) -n 
3 
C) sn 
D) 20 n 
7 
E) 3R n 
4 
10 20 30 
30 20 10 
52. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B do 
circuito abaixo: 
A) R 
B) 2R 
) ~R e 13 
D) _!3.R 
23 
47 
E) - R 
48 
A 8 
53. Na malha abaixo, todos os resistores possuem a mesma 
resistência R. Determine a resistência equivalente entre A e B. 
A) SR 
3 
B) 7R 
3 
) 
11R 
(3 
D) 13R 
3 
E) n.r.a. A s 
54. A resistência equivalente entre os terminais A e B da f igura 
abaixo é: 
8 0----+--- -+---
2R 
2R 
A<>---+----+-- -
A) 1/3 R 
B) 1/2 R 
C) 2/3 R 
D) 4/3 R 
E) 2R 
55. A figura abaixo representa um icosaedro (poliedro com 20 faces, 
12 vértices, 30 arestas, cada face é um triângulo equilátero). 
Considerando que cada aresta tem resistência R, determine a 
resistência equivalente entre os pontos A e B. 
A)~ A 
4 
B) ~ 
2 
C) R 
D)2R 
E) 3R 
2 
B 
56. Determine a resistência equivalente entre os pontos C e D. 
A) iR 
5 
4 
C) -R 
7 
E) ~R 
7 
R 
R 
R 
R R A 
R 
R 
R R R 
57. Determine a corrente que passa pelo diodo ideal D no circuito 
representado na figura abaixo. 
58. Um cubo de aresta a é const ituído por um material cuja 
resistividade é p e tem uma cavidade esférica no centro, de raio 
r = a/50. Aplicando-se uma d.d.p. U ent re um eletrodo que 
encapa toda a superfície do cubo e um outro eletrodo encaixado 
na cavidade, gera uma corrente elétrica que atravessa o cubo 
U/R, em que Ré a resistência do cubo. Com relação à resistência 
R, é válida a seguinte desigualdade: 
48p ( ./3) p A) - < R < 49 - - -
4xa 2 4xa 
B) 48p < R < _J!_ (so -2../31) 
4na 4na 73 
47p ( ./3) p C) -< R< 50 - - -
4 na 3 4na 
D) 49P < R < (so -./3)_.e_ 
4xa 3 4na 
E) n.r.a. 
ITA/IME 
-·-
• • • • • • • -• • -• -• • • • • • -• • • • • • • • • • • • • 
• --• • • • • • • • • • • • 1• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
59. O circuito elétrico abaixo é constituído de um número infinito 
de quadrados. O quadrado subsequente é exatamente 2, menor 
que o anterior. A resistência do fio do lado do quadrado maior 
é R. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B. 
A 
B 
60. Seis resistores de 1 n, 2 n, 3 n, 4 n, 5 n e 6 n são conectados 
conforme a configuração abaixo. As resistências medidas entre 
os três terminais são: 
3 9 1 
RAB = 7- º· RAC= 6-0 e Rec = 10-0 
13 13 13 
Determine o valor de cada resistor. 
A B 
e 
61 . Dois condutores com coeficientes de temperatura a 1 e a 2 
possuem, a O ºC, resistências iguais a R1 e R2• Determine o 
coeficiente de temperatura do circuito constituído destes 
condutores, se os condutores estão unidos em série e em 
paralelo . 
62. Uma malha infinita é representada na figura abaixo. Cada aresta 
possui uma resistência e são todas iguais. Calcule a resistência 
equivalente entre 1 e 4, sabendo que a resistência equivalente 
entre os pontos 1 e 2 vale R e a resistência equivalente entre 
os pontos 1 e 3 vale r. 
A) R-.!:. 
6 
r 
B) 2R--
2 
r 
C) 3R--
2 
r 
D) 2R--
3 
E) n.r.a. 
ITA/lME 
fíSICA Ili 
Volume 2 
63. Na figura abaixo, infinitos triãngulos equiláteros são conectados 
sempre pelos pontos médios. Sendo a resistência por unidade 
de comprimento p e a aresta AB = a, determine a resistência 
equivalente entre AB . 
A) 
(./7 + 1) 
ap--
3 
B) 
(./7 -1) 
ap--
6 
C) (./7 + 1) ap--
6 
D) (./7 -1) ap--
5 
E) (./7 - 1) ap--
3 
a 
64. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B . 
R R B ,roJ, 
A R R 
B 
65. Calcule a resistência equivalente entre os pontos A e B, sabendo 
que a resistência de cada aresta vale R . 
,J11 + 1 R 
A) J2i+s 
C) ,J11+ l R 
5 
E) ,ffi R 
5 
,J11-1 R 
B) Ji", + 5 
,J11+1R D)--
3 
66. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B do 
famoso circuito de malhas infinitas. Entretanto, sem a resistência 
que une os pontos diretamente. Cada resistência vale R. 
A)R 
C) R/4 
E) Nula 
' 
A 
' 
8 
B) R/2 
D) R/8 
' . 
FíSICA Ili 
Volume 2 
67. Determine a resistência equivalente entre os ponto A e B: 
R R/2 R/4 R/8 
68. Considere uma placa semi-infinita, de espessura negligenciável, 
feita de um material isotrópico condutivo. A tensão V é aplicada 
através de pontos A e B da placa (ver Figura). À distancia de 
1 cm a partir da extremidade, uma tensão de 0, 1 V é medida 
entre os pontos C e D. Determine a diferença de potencial 
entre dois pontos, análogos, .li uma distancia arbitrária a partir 
da extremidade da placa V(x). 
Utilize que a diferença de potencial V(x+dx) - V(x) = aV(x)dx 
69. Determine a resistência equivalente entre dois pontos (mais 
distantes) de um icosaedro regular em que cada aresta possui 
resistência R. 
A) 7R/6 
C) 4R/3 
E) 31R/19 
B) 6R/7 
D) 19R/31 
70. Encontre a resistência equivalente entre os pontos A e B do 
trecho de circuito abaixo. (Considere r = 40) 
A)40 
B) 20 
C) 160 
D) 90 
E) n.d.a. 
A B 
71 . A configuração abaixo representa uma colmeia de abelhas. 
Denota-se os pontos A, B e C como mostrados na figura. 
Sabendo que a resistência de cada aresta vale R, determine a 
resistência entre os pontos A e C. 
A) R,,.c = R/5 
B) R,,.c = R/3 
C) R,,.c = R/2 
D) R,,.c = R 
E) R,,.c = 2R 
72. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B do 
circuito infinito abaixo. Cada resistência vale R. 
73. Encontre a resistência elétrica, do circuito a seguir, entre os 
pontos A e B. As resistências das arestas do hexágono maior 
são iguais a R, já as do hexágono menor valem i. A resistência 
de cada fio entre os hexágonos vale ~ e a dos fios no interior 
R 2 
do menor, valem - . 
4 
R 
A) ~R 
20 
B) ~R 
20 
C) ~R 
22 
D) g R 
13 
E) gR 
19 
ITA/IME 
--• • • • • • • • • • • • • • • • • • • -• • • • • • • • • • • • • • • 
-• -• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Circuito Elétrico 
Sentido do movimento de elétrons livres 
Normalmente, o movimento de elétrons livres no interior 
de um condutor metálico é caótico e sem nenhuma orientação. 
Podemos ordenar esse movimento usando um gerador elétrico nos 
terminais do condutor. 
Vamos supor que o nosso condutor seja um fio de cobre e 
que o gerador seja uma pilha de lanterna. Ela possui dois polos de 
cargas elétricas: um positivo e um negativo. No polo negativo há 
uma concentração de cargas elétricas negativas, e no polo positivo, 
uma concentração de cargas elétricas positivas. 
Os elétrons saem do polo negativo e caminham pelo circuito, 
passando pela lâmpada, até retornar pelo polo positivo. Este é o 
sentido real da corrente elétrica. No entanto, se os portadores 
fossem cargas positivas, sairiam do polo positivo da pilha e voltariam 
a ela pelo polo negativo . 
Por razões históricas, usa-se a seguinte convenção para o 
sentido da corrente elétrica: 
-i 
1 -Corrente P.:2trica 
A seta da corrente é desenhada sempre no sentido em que se 
movimentariam as partículas positivamente carregadas, mesmo 
que estes portadores sejam negativos, como os elétrons. 
Força eletromotriz (fem) 
Se você pensar em um circuito elétrico como o da figura 
anterior (uma pilha ligada a uma lâmpada) surge uma questão 
desconcertante: na prática, a corrente é a mesma à volta toda, 
a qualquer momento; por que isso acontece se a única força motriz 
óbvia está dentro da bateria? Na hora você poderia esperar que isso 
gerasse uma grande corrente na bateria e nenhuma na lâmpada . 
Quem está empurrando no restante do circuito e como é que esse 
alguém empurra de uma forma exata que resulta na mesma corrente 
em cada segundo? E mais: dado que as cargas em um fio t ípico 
movem-se a passo de lesma, por que não leva meia hora para a 
notícia chegar até a lâmpada? Como as cargas sabem movimentar-se 
no mesmo instante? 
Resposta: se a corrente nao é a mesma Pa volta toda (por 
exemplo, durante a primeira fração de segundo depois que a chave 
é fechada), então a carga está se acumulando em algum lugar e 
(aqui está a questão crucial) o campo elétrico dessa carga que se 
acumula está em uma direção tal que regulariza o fluxo. Suponha, 
por exemplo, que a corrente que entre na curva ~ 
da figura ao lado é maior que a que sai. A carga, ~ 
então, acumula-se no cotovelo, e isso cria um T\ j 
campo que aponta na direção contrária à dobra. 1 i2 
Esse campo se opõe à co rrente que está 
entrando (desacelerando-a) e estimula a corrente que está saindo 
ITA/IME 
FíSICA Ili 
Volume 2 
(acelerando-a) até que essas correntes se igualem, ponto no qual 
não ocorre mais acúmulo de carga e o equilíbrio se estabelece. 
É lindo um sistema que se autocorrige de forma automática para 
manter a corrente uniforme. E ele faz isso com tanta rapidez que, 
na prática, você afirma com segurança que a corrente é a mesma 
à volta toda do circuito, mesmo nos sistemas que oscilam em 
frequência de rádio . 
A conclusão de tudo isso é que existem, na realidade, 
duas forças envolvidas na movimentação de uma corrente por um 
circuito: a fonte ~"""' que normalmente está contida a uma parte 
do circuito (à bateria, digamos), e a força eletrostática, que serve 
para normalizar o fluxo e comunicar a influência da fonte a partes 
distantes do circuito: 
f = {onte + Ê 
O agente responsável por ~""" pode ser qualquer uma 
de várias coisas: em uma bateria é a força química; em um cristal 
piezoelétrico a pressão mecânica é convertida em impulso elétrico, 
e assim vai. Seja qual for o mecanismo, seu efeito final é determinado 
pela integral de linha de f em volta do circuito: 
E=~ f-dl = ~ tnte·dl 
Pois iJ,Ê · dl = O para campos eletrostáticos. E é a chamada 
força eletromotriz, ou tem do circuito. 
De onde vem a energia para fazer esse transporte? No caso 
de uma pilha, há uma conversão de energia química em elétrica, 
o que justifica o aparecimento dessa força e principalmente da 
energia interna . 
A fem corresponde ao trabalho, por unidade de carga, para 
transportar as partículas de carga elétrica, desde o polo negat ivo 
até o polo positivo . 
Em uma fonte ideal de fem (bateria sem resistência interna), 
a força líquida sobre as cargas é nula. 
Alguns exemplos de geradores de corrente contínua são: 
(i ) pilhas: 
Uma pilha é um dispositivo que transforma energia química 
em energia elétrica. Como exemplos, temos a pilha voltaica e a pilha 
seca, esquematizadas abaixo. 
zinco 
eletrodo 
negativo 
elet rodo 
positivo 
eletrodo 
pastosoAs pilhas podem ser divididas em primárias - quando 
as reações químicas destroem um dos eletrodos (normalmente 
o negativo) e secundários - quando os eletrodos e a solução 
eletrolítica são alterados pela reação química. Normalmente, nas 
pilhas primárias ou substitui-se o eletrodo e renova-se o eletrólito, 
ou então, simplesmente joga-se a pilha fora. Já uma pilha secundária 
pode ser recarregada (ter seus componentes originais recuperados) 
fazendo-se passar através dela uma corrente em sentido contrário 
à de descarga. 
FíSICA Ili 
Volume 2 
(ii) baterias: 
Uma bateria é constituída de um conjunto de pilhas ou de 
elementos equivalentes num mesmo recipiente. Uma bateria de 
ácido+ chumbo, por exemplo, é esquematizada a seguir. 
terminais 
para conexão 
conjuntos de 
placas positivas 
conJuntos de 
r-1<-1-J.-1---t~ placas negativas 
soluçao de ~cido 
separador 
Equação característica do gerador 
Quando um gerador não é percorrido por corrente elétrica, 
ele possui uma ddp característica entre seus terminais. Esta ddp é 
denominada, certamente, com alguma dose de impropriedade, de 
força eletromotriz (fem) ou tensão em aberto do gerador. 
Porém, uma corrente elétrica ao percorrer o interior do 
gerador sofre resistência, como em qualquer material condutor, 
devido aos choques entre os elétrons de condução e os átomos 
do material que constitui o gerador. Somos, então, levados a 
estabelecer o conceito de resistência interna do gerador que, em 
primeira aproximação, pode-se supor de comportamento ôhmico 
(de valor constante). 
Em alguns casos, pode-se desprezar a resistência interna 
do gerador, tratando-o, neste caso, como um gerador ideal, 
representado na figura a seguir. O gerador ideal é claramente 
caracterizado, de forma exclusiva, por sua força eletromotriz, 
e qualquer que sejam os componentes aos quais se liga o gerador 
ideal, a tensão por ele fornecida é exatamente igual à sua fem (e). 
Aee-------~1 l+ E e B 
Um gerador real, por sua vez, pode ser representado por 
um gerador ideal mais um resistor que representa a sua resistência 
interna. Sua representação é mostrada a seguir. 
A~ 1-,+_E ______ B 
Ê óbvio que, agora, a ddp nos terminais do gerador vai 
depender da corrente que o percorre, pois, além da elevação do 
potencial pela fonte E, devemos considerar a queda de tensão 
ôhmica ri . Deduzimos, portanto, que a tensão fornecida pelo 
gerador ao ser percorrido pela corrente i é dada por: 
Onde subtraímos, da fem, a tensão que se perde na 
resistência interna. A expressão acima é conhecida como a equação 
característica do gerador. A partir dela, pode-se construir a curva 
característica do gerador (ddp contra corrente), que é a de uma 
função do 1 º grau. 
Tomaremos dois casos particulares: aquele em que o gerador 
está em aberto (i = O, V = E) e aquele em que o gerador está em 
curto (V= O, ic = €Ir), em que ic é conhecida como a corrente de 
curto-circuito do gerador. 
V=O 
Circuito simples 
São ditos circuitos simples aqueles que contam com apenas 
uma fonte de tensão, sendo de resolução bastante trivial, na maioria 
dos casos. 
Consideremos um circuito simples, constituído por um 
gerador e um resistor. 
I 
j 
R 
a---=-...,_-_---=--. --~o 
1 1 
A tensão elétrica nos terminais do gerador é de acordo com 
a equação do gerador: · 
V=c-r·i 
A tensão elétrica nos terminais do resistor externo (R) é dada, 
segundo a Lei de Ohm, por: 
V= R · i 
i(r + R) = E 
~ 
(Lei de Pouillet) 
Podemos generalizar essa lei substituindo R por Req, que é a 
resistência equivalente entre as extremidades do gerador. 
E 
A curva característica do gerador é apresentada abaixo: 
• e 
1 - -' r 
V 
(a) e.r--------
Curvas características de um gerador real (a ) e ideal (b). 
Potência nos circuitos 
(b) 
Considerando um condutor de resistência R submetido a 
uma ddp V, a carga transportada através dele em um intervalo de 
tempo dt é tal que: 
dq =idt 
O trabalho realizado pela força elétrica para transportar esta 
carga dq de um ponto para outro cujo potencial é V volts menor 
é dado por: 
dW = -dU = - (-V)dq = Vdq 
ITA/IME 
• -
• -• • • • • • • • • • --• • • • • • • • • • -• • • • • • • • • 
---• -• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • -• • • • • • • • 
Logo: 
p V R·2 v 2 
di .. pada = , = , = R 
Podemos dizer que esta é a potência instanU\nea fornecida 
pela fonte de ddp (quando a corrente é dada em amperes e a ddp 
em volts. a potência calculada é medida em watts). 
Percebe-se que, quando se estabelece o regime de corrente 
estacionária, a velocidade média dos portadores; e, portanto, sua 
energia cinética média (k) deixa de variar. Do Teorema do Trabalho 
Energia Cinética. temos: 
dW,..,,lldnte = dK = O 
Ou seja, o trabalho real izado pela força resultante, e, 
logicamente, a potência a ela relacionada se anulam . 
A potência da força resultante é a soma das potências 
desenvolvida por cada uma das forças (elétrica e de resistência): 
P,esultante = p forne<id• + p dl,~pada = O 
O resul tado indica que, no regime estacionário, toda a 
potência fornecida pela fonte é dissipada pelo ci rcuito resistivo . 
Podemos encontrar, também, a potência dissipada por 
unidade de volume no condutor. No caso particularmente simples 
do condutor filiforme de dimensões I e A, temos: 
p - -
R = p- e i = J · A 
A 
Pd,.~pac1a = Ri2 = pJ2 
volume AP 
Esse resultado é geral! 
A potência elétrica fornecida por uma fonte é dada por: 
Pu =V i 
Este valor será conhecido como potência útil de um gerador, 
correspondendo à potência elétrica transferida do gerador aos 
demais componentes do circuito . 
A potência total produzida no gerador é, portanto, a soma 
da potência que dele é transferida ao restante do circuito (potência 
útil) com a potência que nele mesmo se desperdiça (potência 
dissipada). Daí, temos: 
p to i.1 = Vi - ri2 = &i 
Rendimento 
Define-se o rendimento do gerador como a razão entre as 
potências útil e total: 
P.·,u1 V T] =-- =-
P,o,ol E 
Um esquema ilustrativo seria o seguinte: 
Potência e) ~ Potência elétrica ~1----1 (000 não elétrica GERADOR 
(total) . C:---,.., 
~ Perdas (potência 
dissipada) 
ITA/IME 
FíSICA Ili 
Volume 2 
Muitas vezes interessa-nos saber em que condições 
conseguimos obter um valor máximo para a potência út il, ou seja, 
em que condições temos uma máxima transferência de potência. 
Consideremos o circuito abaixo . 
A potência útil (transferida) será dissipada no resistor R; 
como estudamos. Daí: 
pu = Ri2 ---+ p = ~ 
u (r + R) 
Considerando que e e r são constantes, a potência transferida 
será função apenas de R. A função Pu,,i(R) será máxima quando sua 
derivada se anular: 
dPu 2 (r + R)
2 - R-2(r+R) 
-=& -
dR (r + R)2 
e
2(r + R)(r + R- 2R) _ e2(r - R) = O ---+ R = r 
(r + R)2 (r + R)2 
Ou seja, obteremos o máximo valor de potência transferida, 
quando a "carga" que está sendo alimentada pelo gerador tiver 
resistência igual à resistência interna do mesmo. Este valor de 
potência r:'bx será: 
2R 2 
prn~x =_E_=~ 
u (r+R)2 4r 
O rendimento do gerador no regime de máxima transferência 
de potência será: 
E 
E- -
T]=--2 =50% 
E 
É interessante observar que o regime de transferência 
máxima de potência não corresponde a um rendimento eficiente . 
Pelo contrário, apesar de a potência transferida ser máxima; 
a quantidade igual à energia transferida (e consumida de maneira útil) 
será desperdiçada por dissipação no próprio gerador. Usualmente. 
não utilizamos este regime, mas sim, um outro em que a potência 
transferida seja menor, mas em que o rendimento seja maior. 
Associação de geradores 
Aprenderemos aqui a trabalhar com geradores em série e 
paralelo para facilitar a resolução de alguns problemas . 
Série 
Seja um conjunto de geradores ligad os a terminais 
sucessivos, conforme o esquema abaixo. 
Associação de geradores em série. 
É fácil verificar o conjunto de relações: 
VBA = VB - VA = e, - r,i 
VCB = VC - VB = 1:2 - r2i 
VDC = VD - VC = 1:3 - r 3i 
• 
• 
• 
VZY = VZ - VY = E - ri n n 
Que, somados, resultam em: 
VZA =V= (e, + 1:2 + ... + e,,) - (r, + r2 + ... + rn)i 
FíSICA Ili 
Volume 2 
Percebemos, então, que a associação pode ser substituída 
por um único gerador equivalente: 
__i____. 
:- - ----,IN\\\/NW,NIW,NIWW..W'l-1 -----1) 11------z 
r eq eq 
Gerador equivalente 
A única maneira de igualarmos os dois resultados para VZA 
para qualquer valor de corrente é considerando: 
11 
Eeq = E1 + E2 + ... + En ---+ Eeq = L, E1 
j • 1 
n 
req = r1 + r2 + ... + rn ---+ req = I, r1 r 
i - 1 
Quando dispomos de n geradores idênticos associados em 
série, cada um com fem igual a E e resistência interna igual a r, as 
expressões anteriores nos dá o: 
E = n E r = nr eq eq 
Paralelo 
Usualmente só faz sentido falar de uma associação em 
paralelo de geradores idênticos, pois, do contrário, dependendo 
dos valores da fem, alguns geradores passariam a funcionar como 
receptores. 
Considerando então que dispomos de n geradores idênticos 
ligados aos mesmos terminais (associados em paralelo), cada um 
com fem igual a E e resistência igual a r. 
A B 
Associação de geradores em paralelo 
Como a tensão nos terminais de todos os geradores é a 
mesma, temos: 
VBA = E - ri, = E - ri2 = ... = E - rin---+ i, = i2 = ... in 
Da continuidade da corrente elétrica: 
A ddp entre os terminais A e B será, portanto: 
i 
VAe = E-r.-
n 
Substituindo a associação por um único gerador equivalente, 
temos: 
_..i_. 1 -•-----N#N--Nll-----11 1------· 
A ~ ~ B 
Gerador equivalente 
A única maneira de tornarmos os dois resultados para V8A 
correntes é fazendo: 
Eeq = E e r eq = r/n 
Depois veremos alguns teoremas para trabalhar com fem 
diferentes nas associações em paralelo. 
O receptor elétrico 
Um receptor é um dispositivo que consome energia elétrica e 
a converte em outra forma de energia que não seja exclusivamente 
térmica (como no resistor). 
Exemplos de receptor são o motor elétrico, uma bateria 
sendo carregada etc. Nestes dispositivos, que funcionam ao serem 
percorridos por uma corrente elétrica, além da perda de energia 
elétrica transformada de modo útil (mecc'.lnica, por exemplo) há uma 
outra parcela dissipada pela característica resistiva do receptor, que 
como qualquer condutor, é dotado de resistência interna. 
Ao desprezarmos a resistência interna, definimos o receptor 
ideal, caracterizado pela queda de tensão não õhmica, associada à 
transformação da energia elétrica em outra forma de energia. Esta 
queda de tensão é denominada força contraeletromotriz (fcem) . 
A seguir, representamos um receptor de fcem igual a E: 
+ -
--· -------111--1 .---A· 
- E i 
Representação de um receptor ideal 
Um receptor pode ser apresentado por ser representado por 
um gerador ideal mais um resistor que representa a sua resistência 
interna. 
1 
• ~ '---~111----· 
r' t' 
Representaçlío de um receptor ideal 
A queda total de tensão nos terminais do receptor vai ser 
dada pela soma entre a queda ôhmica (r'i) e a queda não ôhmica (e') . 
V= i:'+ r' i 
Esta é a equação característica do receptor, a partir da qual 
construímos a sua curva característica, que, supondo r' constante, 
é uma função do 1° grau. 
Curvas caracterist,cas de um gerador real (a ) e ideal (b). 
Potência elétrica no receptor 
Consideremos um circuito constituído de um gerador 
alimentando um receptor. 
.---+----,E' -----------r 
E 
-
V 
.______~'-----+---J ________ _ __ l _ 
Circuito com um gerador e um receptor 
ITA /IME 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
\• 
Como sabemos, a potência transferida do gerador para o 
receptor, ou seja, a potência total que chega ao receptor é dada por: 
P,01.,1 = Vi 
como V= i::' + r'i, temos: 
P,otal = (E' + r' i)i = E'i + r' i2 
Ou seja, a potência que chega ao receptor se divide em dois 
termos: o primeiro representa a potência transformada de forma útil 
no receptor; o segundo representa a potência desperdiçada dentro 
dele por efeito Joule. Em suma: 
P'u111 = E'i 
P',o,a1 = r'i2 
Definimos o rendimento do receptor como: 
O rendimento total do circuito também pode ser encontrado, 
sendo definido como a razão entre a potência transformada de 
forma útil pelo receptor e a potência total fornecida ao gerador: 
H 
Pu,i s' , 
=-=-= T)TJ 
P,otal E 
Podemos, então, resumir os processos de transformação de 
energia (e potência) no circuito anterio r na forma: 
Perdas 
(poléncia 
dissipada no ' 
gerador) rnE 
R 
A 
Potência g 
não elétrica .. R 
(total) 
Observações: 
Poténcla elê1rlca 
(transferida do 
gerador ao 
receptor) 
m T 
Potência 
.. não e létrica 
(útil) 
' Perdas 
(poténcla 
dissipada 
no receptor) 
1. Ao bloquearmos a rotação de um motor elétrico, anu lamos 
a sua força contraeletromotriz. Como a tensão aplicada nos 
terminais do receptor U = e' + r'i não muda, temos que o 
mesmo passa a funcionar apenas como resistor, e, além disso, 
é percorrido por uma corrente muito grande. A consequência 
mais natural é a ocorrência de danos no motor devido à elevada 
dissipação de energia na forma de calor. 
2. Como já dissemos, é possível fazer um gerador funcionar como 
receptor, ou vice-versa. Um exemplo é o do acumulador dos 
automóveis, que funciona como gerador, e no processo de 
recarga pelo dínamo, atua como receptor. 
Leis de Kirchoff 
Previamente, é importante definirmos alguns termos que 
aparecem comumente no estudo dos circuitos elétricos. 
1. Ramo: trecho de circuito constituído de um ou mais bipolos 
(componentes de dois polos: resisto r, gerador receptor) ligados 
em série. Une dois nós consecutivos . 
2. Nó ou nodo: ponto de interseção entre dois ou mais ramos. 
Para o estabelecimento das equações dos circuitos elétricos só 
nos interessarão os nós resultantes da interseção de três ou mais 
ramos . 
ITA/IME 
FíSICA Ili 
Volume 2 
3. Malha: qualquer caminho fechado, que possa ser tomado 
em um circuito elétrico. Ê constituído de ramos. Por exemplo, 
consideremos o circuito a seguir: 
Circuito elétnco 
A, B, C, E e F são nós, dentre os quais somente C e F podem 
resultar em equações. AB, FC e ED são ramos . 
A•e----< 1----~N#M,._' ---• B (a) 
F ••---~I 1-1----/-N#N,._ ____ C (b) 
e• NN-N-/",._------•o (c) 
Ramos do circuito elétrico da figura (A), (B) e (C) ABCFA, 
FCDEF e ABCDEFA são malhas. 
A 
e 
E 
(e) 
D 
Malhas do circuito elétrico da anterior (A), (B) e (e). 
Podemos, agora, enunciar as Leis de Kirchoff (a primeira já 
foi discutida em notas de aulas anteriores). 
1ª Lei de Kirchoff (Lei dos Nós) 
"A soma algébrica das correntes que fluem de um nó é 
nula." "A soma das correntes que 'entram' em um nó é igual à das 
correntes que ·saem· do mesmo nó." 
2& Lei de Klrchoff (Lei das Malhas) 
"A soma algébrica das diferenças de potencial em uma 
malha é nula." 
Na realidade, a 2ª Lei de Kirchoff pode ser facilmente 
entendida, se considerarmos que um nó do circuito tem o seu 
potencial definido e que, portanto, em qualquer caminho fechado 
(malha) devemos obter uma ddp total nula. 
Pa ra encontrarmos uma expressão algébrica para a lei das 
malhas em um circuito linear (com resistores, geradores e receptores) 
devemos considerar que: 
fíSICA Ili 
Volume 2 
• a ddp em um gerador (ou receptor) cresce do valor de sua fem 
ao ser percorrido do polo negativo para o positivo, e decresce 
do mesmo valor ao ser percorrido no sentido contrário. 
--------- -------+ 
A•e------i_l 1~+----•• t) 
6 
V""'• r 
v...,-- c: 
-- --------------+ 
A••------i+I 1~------· 1b) 
e 
Gerador percorrido do polo negativo para 
o polo positivo (a) e vice-versa (b). 
A ddp num resistor decresce do valor V = Ri, segundo a 
1 ª Lei de Ohm, ao ser percorrido de acordo com o sentido da corrente, 
e cresce do mesmo valor ao ser percorrido no sentido contrário. 
--- .. -. ----------• 
A••-----~N,N-N,l,l~•R~--~• B 
(a) 
V_,. a-RI 
................ .. ........ . .... . V,,.s Ri 
A••------,N,N,N# R e B 
(a) 
Resistor