EM_V12_MATEMÁTICA PROFESSOR

Prévia do material em texto

Livro do Professor
Matemática
Volume 12
©Editora Positivo Ltda., 2015
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
N434 Nemitz, Vanderlei.
 Matemática : ensino médio / Vanderlei Nemitz ; reformulação dos originais de: Jorge Luiz 
Farago, Lúcio Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Eduardo Borges. – Curitiba : Positivo, 
2016.
 v. 12 : il.
 Sistema Positivo de Ensino
 ISBN 978-85-467-0669-3 (Livro do aluno)
 ISBN 978-85-467-0670-9 (Livro do professor)
 1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Farago, Jorge Luiz. II. Carneiro, Lúcio 
Nicolau dos Santos. III. Borges, Eduardo. IV. Título.
CDD 373.33
Presidente: Ruben Formighieri
Diretor-Geral: Emerson Walter dos Santos
Diretor Editorial: Joseph Razouk Junior
Gerente Editorial: Júlio Röcker Neto
Gerente de Arte e Iconografia: Cláudio Espósito Godoy
Autoria: Vanderlei Nemitz; reformulação 
dos originais de: Jorge Luiz Farago e Lúcio Nicolau dos Santos Carneiro
Supervisão Editorial: Jeferson Freitas
Edição de Conteúdo: Lélia Longen Fontana (Coord.) e Walderez Soares Melão
Edição de Texto: Alessandra Domingues e André Maurício Corrêa
Revisão: Alessandra Cavalli Esteche, Mariana Bordignon e Priscila Rando Bolcato
Supervisão de Arte: Elvira Fogaça Cilka 
Edição de Arte: Cassiano Darela
Projeto Gráfico: YAN Comunicação
Ícones: ©Shutterstock/ericlefrancais, ©Shutterstock/Goritza, ©Shutterstock/Lightspring, 
 ©Shutterstock/Chalermpol, ©Shutterstock/Macrovector e ©Shutterstock/Kalenik Hanna
Imagens de abertura: ©Istockphoto.com/bo1982
Editoração: Expressão Digital
Ilustrações: Eduardo Borges
Pesquisa Iconográfica: Janine Perucci (Supervisão) e Karine Ribeiro de Oliveira Buzinaro 
Engenharia de Produto: Solange Szabelski Druszcz
Produção
Editora Positivo Ltda.
Rua Major Heitor Guimarães, 174 – Seminário
80440-120 – Curitiba – PR
Tel.: (0xx41) 3312-3500
Site: www.editorapositivo.com.br
Impressão e acabamento
Gráfica e Editora Posigraf Ltda.
Rua Senador Accioly Filho, 431/500 – CIC
81310-000 – Curitiba – PR
Tel.: (0xx41) 3212-5451
E-mail: posigraf@positivo.com.br
2018
Contato 
editora.spe@positivo.com.br
Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.
28
29
Geometria espacial II ................................ 4
Tronco de pirâmide .................................................................................... 5
 Área da superfície de um tronco de pirâmide regular ........................................................................ 8
 Volume de um tronco de pirâmide .................................................................................................... 9
Tronco de cone ........................................................................................... 13
 Área da superfície de um tronco de cone reto .................................................................................... 15
 Volume de um tronco de cone ........................................................................................................... 16
Geometria espacial III ............................... 24
Esfera ......................................................................................................... 25
 Volume da esfera .............................................................................................................................. 26
 Área da superfície esférica ................................................................................................................. 28
Inscrição e circunscrição de sólidos ............................................................ 32
 Cubo e esfera ..................................................................................................................................... 32
 Cilindro reto e esfera ......................................................................................................................... 34
 Cone reto e esfera .............................................................................................................................. 35
Estatística II ............................................. 48
Dados agrupados em classes ..................................................................... 49
Histograma e polígono de frequências ...................................................... 52
Medidas de tendência central .................................................................... 55
Medidas de dispersão ................................................................................ 58
Sumário
30
Acesse o livro digital e 
conheça os objetos digitais 
e slides deste volume.
4
Geometria 
espacial II
28
 Na foto da esquerda, temos a Usina do Gasômetro, na capital gaúcha, com sua chaminé no formato de tronco 
de cone com altura de 117 m. À direita, o Obelisco do Ibirapuera, em São Paulo, no formato de um tronco de 
pirâmide com 72 m de altura. 
 Nesta unidade, vamos estudar troncos de cones e de pirâmides.
1. Você sabe como são obtidos esses troncos?
2. Cite objetos e construções cujos formatos lembrem troncos de cone ou de pirâmide. 
N f t d d t U i d G ô t it l ú h h i é f t d t
Ponto de partida 
©Shutterstock/Lisandro Luis Trarbach ©Shutterstock/Filipe Frazao
55
 Ao completar este estudo, você deverá ter retomado algumas ideias a respeito de pirâmides e de 
cones e acrescentado a elas as noções de tronco de pirâmide e tronco de cone. É esperado também que 
você utilize esses conhecimentos para desenvolver estratégias de resolução de problemas que envol-
vem cálculo de área e de volume dessas figuras.
retomado algumas ideias a respeito de pirâmides e de
o de pirâmide e tronco de cone. É esperado também que
Tronco de pirâmide 
No volume 6, você estudou alguns tipos de sólidos geométricos, 
entre eles a pirâmide e o cone. Agora, vamos conhecer relações para o 
cálculo da área da superfície e do volume de um tronco de pirâmide e 
de um tronco de cone.
Algumas construções apresentam formato próximo ao de um 
tronco de pirâmide, embora muitas vezes as pessoas refiram-se a elas 
simplesmente como pirâmides.
Quando uma pirâmide é seccionada por um plano paralelo à base, ficam determinados dois sólidos:
 • uma pirâmide menor que contém o vértice da pirâmide original;
 • um poliedro cuja base é a base da pirâmide original denominado tronco de pirâmide.
V
C’
C
A’
A
D’
D
B’
B
α
Pirâmide menor
V
C’
A’
D’
B’
Tronco de pirâmide
C’
C
A’
A
D’
D
B’
B
A pirâmide menor e a pirâmide original têm algumas características em comum. Além de suas bases serem po-
lígonos semelhantes, as faces homólogas são triângulos também semelhantes. Dizemos que as duas pirâmides são 
semelhantes. Note que a pirâmide menor é uma cópia reduzida da pirâmide original. 
Veja algumas relações entre os elementos de duas pirâmides semelhantes:
h
H
Lℓ
a1
a2
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/P
ak
hn
yu
sh
ch
yy
6 Volume 12
 • A razão entre as medidas de dois segmentos homólogos é sempre a mesma.
L
h
H
a
a
k= = =1
2
(k é a razão de semelhança)
Nessa proporção, relacionamos as medidas de duas arestas das bases, de duas arestas laterais e das alturas. A razão 
continua a mesma para quaisquer outras medidas de dois segmentos homólogos. 
 • A razão entre as áreas das bases é o quadrado da razão de semelhança.
A
A
kb
B
= 2
Como consequência, podemos escrever proporções envolvendo as áreas das bases e as medidas de segmentos 
homólogos. Veja algumas: 
• = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
A
A L
b
B
2
• = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
A
A
h
H
b
B
2
• =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
A
A
a
a
b
B
1
2
2
Essa propriedade da razão entre as áreas das bases pode ser estendida para a razão entre as áreas das superfícies 
laterais e para a razão entre as áreas das superfícies totais.
 • A razão entre os volumes é o cubo da razão de semelhança.
V
V
k1
2
3=
Consequentemente, temos:
• = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
V
V L
1
2
3
• = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
V
V
h
H
1
2
3
• =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟V
V
a
a
1
2
1
2
3
Acompanhe o exemplo.
 • Uma pirâmide quadrangular regular é seccionada por um plano paralelo à base e que dista 6 cm do vértice. A 
altura da pirâmide é 18 cm e as arestas da base medem 15 cm. Qual é o volume da pirâmide menor determi-
nada por esse plano?
6 cm
18 cm
15 cm
Vamos calcular o volume da pirâmide menor de duas maneiras, uma delas por meio da fórmula e outra usando a 
razão entre os volumes.
1. Chamando de ℓ a medida das arestas da base da pirâmide menor, temos:
15
6
18
5= ⇒ = cm
Assim, o volume V da pirâmide menor é:
V cm= ⋅ ⋅ =1
3
5 6 502 3
1 Nota de esclarecimento.
Matemática 7
2. O volume da pirâmide maior é 
1
3
15 18 13502 3⋅ ⋅ = cm . Sendo V o volume da pirâmide menor, temos:
V V V
V cm
1350
6
18 1350
1
3 1350
1
27
50
3 3
3= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⇒ = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⇒ = ⇒ =
Resolva o problema a seguir.
 • Um plano secciona uma pirâmide paralelamente à base e na metade de sua altura. Qual é a razão entre os volu-
mes da pirâmide menor e do tronco de pirâmide formados? A figura abaixo ilustra essa situação. p g ç
Vamos chamar de V1 o volume da pirâmide menor e de V2 o volume da pirâmide maior. Assim:
V
V
H
H
V
V
H
H
V
V
V V1
2
3
3
1
2
3
3
1
2
2 1
2 8 1
8
8=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⇒ = ⇒ = ⇒ =
 
O volume do tronco é dado por V2 – V1.
V
V
V
V V
V
V V
V
Vtronco
1 1
2 1
1
1 1
1
18 7
=
−
=
−
= =
1
7
A razão indica que o volume do tronco é 7 vezes o volume da pirâmide menor.
H
H/2
Estudaremos agora, detalhadamente, os troncos de pirâmide. Veja quais são seus principais elementos.
Base maior
Base menor
Face lateral
h (altura)
 • As bases são polígonos semelhantes.
 • As faces laterais são trapézios.
 • A altura é a distância entre as bases.
Quando um tronco é obtido de uma pirâmide regular, dizemos que esse tronco também é regular. Em um tronco 
de pirâmide regular, as bases são polígonos regulares e semelhantes, e as faces laterais são trapézios isósceles e con-
gruentes. A altura de cada face lateral denomina-se apótema do tronco.
hpt
L
ℓ
ℓ
L
ℓ: medida das arestas da base menor
L: medida das arestas da base maior
pt: apótema do tronco
8 Volume 12
Área da superfície de um tronco de pirâmide regular 
A superfície de um tronco de pirâmide é composta de uma superfície lateral e de duas bases. A superfície lateral 
é formada por trapézios e as bases são polígonos semelhantes. Vamos nos ater aos troncos de pirâmides regulares. 
Observe a figura de um tronco de pirâmide hexagonal regular e de sua planificação.
25
6
20
25 25
6
20
a) Na figura que representa o tronco, estão indicadas as medidas das arestas das bases e das arestas laterais. Indi-
que essas medidas no trapézio destacado na planificação.
b) Calcule a área desse trapézio. Em seguida, determine a área da superfície lateral do tronco. 
O trapézio está representado na figura a seguir de modo ampliado, para facilitar as indicações das medidas.
Como o trapézio é isósceles, ficam determinados dois triângulos retângulos congruentes. Utilizamos 
o Teorema de Pitágoras.
25 7
576 24
2 2 2
2
= +
= ⇒ =
h
h h
 
Área do trapézio:
Atrapézio =
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ =
20 6
2
24 312
A área da superfície lateral corresponde a 6 vezes a área desse trapézio. Assim: A L = ⋅ =6 312 1872.
25h25
6
6 77
Para calcular a área da superfície lateral, basta multiplicar o número de faces laterais pela área de uma dessas faces, 
ou seja, pela área de um dos trapézios. 
c) Calcule a área de cada uma das bases.
As bases são hexágonos regulares cujos lados medem 6 e 20.
A
A
b
B
= ⋅ =
= ⋅ =
6
6 3
4
54 3
6
20 3
4
600 3
2
2
d) Qual é a área da superfície total do tronco? 
A área da superfície total é a soma da área da superfície lateral e das áreas das bases. 
A A A A
A
A
T L b B
T
T
= + +
= + +
= +
1872 54 3 600 3
1872 654 3 
A área da superfície total tem um valor aproximado de 3 005 unidades de área. O uso da calculadora agiliza os cálculos nesse caso.
Matemática 9
Volume de um tronco de pirâmide 
Para calcular o volume de um tronco de pirâmide, podemos usar um raciocínio simples: subtrair o volume de uma pirâmi-
de menor do volume de uma pirâmide maior. Veja o exemplo de um tronco de pirâmide quadrangular regular.
8 cm
24 cm
12 cm
Inicialmente, vamos imaginar a pirâmide que deu origem a esse tronco.
8 cm
24 cm
12 cm
x
Chamamos de x a altura da pirâmide menor. Como essa pirâmide e a maior são semelhantes, temos a seguinte 
proporção:
8
24 12
6=
+
⇒ =x
x
x
A altura da pirâmide menor é 6 cm e a da pirâmide maior é 18 cm. Agora, podemos calcular o volume do tronco.
= −
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= −
=
tronco pirâmide maior pirâmide menor
2 2
tronco
tronco
3
tronco
V V V
1 1
V 24 18 8 6
3 3
V 3456 128
V 3328 cm
Existe uma fórmula que nos permite obter o volume de um tronco de pirâmide em função das áreas das bases e 
da altura do tronco.
Use essa fórmula para verificar que o volume do tron-
co de pirâmide acima é 3 328 cm3. 
Área da base maior: A cmB = =24 576
2 2 
Área da base menor: A cmb = =8 64
2 2
Altura do tronco: h = 12 cm
V
h
A A A A
V
V
tronco B b B b
tronco
tronco
= ⋅ + + ⋅
= ⋅ + + ⋅
3
12
3
576 64 576 64
( )
( )
== ⋅ + ⋅
=
4 640 24 8
3328 3
( )
V cmtronco
O volume de um tronco de pirâmide é dado por:
V =
h
3
A + A + A Atronco B b B b⋅ ⋅( )
Nessa fórmula, temos: 
h: altura do tronco
AB: área da base maior
Ab: área da base menor
2 Demonstração da fórmula do volume do tronco de uma pirâmide.
10 Volume 12
Acompanhe mais um exemplo.
 • Um tronco de pirâmide tem como bases quadrados cujos lados medem 10 dm e 4 dm. A altura do tronco mede 
4 dm.
4 dm
10 dm
4 dm
Vamos calcular a área da superfície total e o volume desse tronco. Com as informações que temos, é possível cal-
cular o volume.
V
h
A A A A
V
V
tronco B b B b
tronco
tronco
= ⋅ + + ⋅
= ⋅ + + ⋅
=
3
4
3
10 4 10 42 2 2 2
( )
( )
44
3
100 16 10 4
208 3
⋅ + + ⋅
=
( )
V dmtronco
Observe a figura, na qual as medidas estão indicadas em decímetros.
4
N4
10
10
MH
O’ 
O
4
Os pontos O e O' são os centros das bases. O segmento MN é apótema do tronco. Assim, no triângulo retângulo 
MHN, temos:
4 pt
N
M3
5 – 2
H
O segmento HN mede 4 dm, pois é a altura do tronco.
O segmento HM mede 3 dm, pois HM = O'M – O'H.
HM = 5 – 2 = 3
Usando o Teorema de Pitágoras, temos:
( )p pt t
2 2 23 4 5= + ⇒ =
Portanto, o apótema do tronco mede 5 dm.
Agora, podemos calcular tanto a área lateral quanto a área da superfície total.
A A A A
A
A
total lateral B b
total
total
= + +
= ⋅ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ + +
=
4
10 4
2
5 10 4
1
2 2
440 100 16
256 2
+ +
=A dmtotal
Matemática 11
1. Uma pirâmide de 6 metros de altura tem como base 
um quadrado cujos lados medem 12 metros. Um plano 
paralelo à base secciona essa pirâmide a 4 metros do 
vértice, formando uma pirâmide menor e um tronco de 
pirâmide.
a) Qual é a área da seção obtida? 
A altura da pirâmide menor é 4 metros. Sendo Ab a área da 
seção obtida, temos:
A
A A m
b
b b
12
4
6
144 4
9
64
2
2
2
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⋅
⇒ =
 
b) Qual é a razão entre os volumes da pirâmide menor 
e da pirâmide original?
Sendo V1 o volume da pirâmide menor e V2 o volume da pirâ-
mide original, temos:
V
V
V
V
1
2
3
1
2
3
4
6
2
3
8
27
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⇒ = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
c) Qual é a razão entre os volumes da pirâmide menor 
e do tronco de pirâmide?
V
V
V
V V
V
V
V
V
V
tronco
1 1
2 1
1
1
1
1
127
8
19
8
8
19
=
−
=
−
= =
2. Uma pirâmide de 20 cm de altura é feita de madeira 
maciça e pesa 2 kg. Deseja-se cortar essa pirâmide 
paralelamente à base para obter uma pirâmide menor. 
Qual será a massa em gramas dessa pirâmide caso o 
corte seja feito a 8 cm da base? 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/r
a-
de
sig
n
A altura da pirâmide menor é 12 cm. A massa é diretamente 
proporcional ao volume. Sendo m a massa da pirâmide me-
nor, temos:
 
m
m m
m
2
12
20
2
3
5 2
27
125
0 432
3
3
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⇒ = ⇒ = ,A massa da pirâmide menor será 0,432 kg = 432 g.
3. Um tronco de pirâmide quadrangular regular tem bases 
cujas arestas medem 30 cm e 50 cm. A altura do tron-
co mede 24 cm.
a) Calcule o volume do tronco.
V
V
V
tronco
tronco
tr
= ⋅ + + ⋅
= ⋅ + + ⋅
24
3
50 30 50 30
8 2500 900 50 30
2 2 2 2( )
( )
oonco cm= 39200
3
b) Calcule a área da superfície total do tronco.
Na figura, as medidas indicadas 
estão em centímetros.
( )
( )
g
g g cm
t
t t
2 2 2
2
10 24
676 26
= +
= ⇒ =
 
A
A
A
total
total
total
= + + ⋅
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
= + +
50 30 4
50 30
2
26
2500 900 4160
2 2
== 7560 2cm
50
15 10
gt2424
50
30
30
15
Atividades
12 Volume 12
4. (UDESC) Uma caixa de um perfume tem o formato de 
um tronco de pirâmide quadrangular regular fechado. 
Para embrulhá-la, Pedro tirou as seguintes medidas: 
aresta lateral 5 cm e arestas das bases 8 cm e 2 cm. 
A quantidade total de papel para embrulhar esta caixa, 
supondo que não haja desperdício e nem sobreposição 
de material, foi:
a) 88 cm2 c) 80 cm2 X e) 148 cm2
b) 168 cm2 d) 68 cm2
Na figura, as medidas indi-
cadas estão em centímetros.
5 3
16 4
2 2 2
2
= +
= ⇒ =
( )
( )
p
p p cm
t
t t
 
A
A cm
total
total
= + + ⋅
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
=
8 2 4
8 2
2
4
148
2 2
2
5
3
2
2
3
5
pt
5. (UESPI) Uma pirâmide regular de base quadrada e al-
tura 1 é dividida por um plano paralelo à base, em uma 
pirâmide menor e um tronco de pirâmide, ambos de 
mesmo volume, conforme ilustrado a seguir. Qual a al-
tura do tronco de pirâmide obtido?
a) 1 23/ c) 2 13 − e) 2 43 /
X b) 1 1 23− / d) 2 23 /
Sejam h a altura e V o volume da pirâmide menor. Como o 
volume do tronco também é V, o volume da pirâmide maior 
é 2V. Assim:
V
V
h
h h
2 1
1
2
1
2
3
3
3
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⇒ =
Portanto, a altura do tronco de pirâmide é 1
1
23
− . 
6. (UNICAMP – SP) Uma caixa-d’água tem o formato de 
um tronco de pirâmide de bases quadradas e paralelas, 
como mostra a figura abaixo, na qual são apresentadas 
as medidas referentes ao interior da caixa.
a) Qual o volume total da caixa-d’água?
Seja x a medida das arestas da base da caixa-d’água.
1 1 3
2
1
2x
x m=
+
⇒ = 
= ⋅ + ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= + +
=
3
3
2
1
2
2
1
2
4
1
4
1
21
4
2
2
2
2
3m
Vcaixa-d'água
Vcaixa-d'água
Vcaixa-d'água
b) Se a caixa contém (13/6) m3 de água, a que altura 
de sua base está o nível de água?
Volume da pirâmide de altura 1 m cuja base é a base da 
caixa-d’água:
V m= ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ =
1
3
1
2
1
1
12
2
3 
Seja h o nível da água. Como a pirâmide menor é seme-
lhante à pirâmide cuja base é a seção determinada pela 
superfície da água, temos:
1
12
1
12
13
6
1
1
1
27
1
1
1
1
1
3
2
3
3
+
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⇒
+
= ⇒ =
h
h h
h m
 
Sugestão de atividades: questões 2, 6, 7, 13 e 14 da seção Hora 
de estudo.
Matemática 13
Tronco de cone 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/J
ef
fe
rs
on
 B
er
na
rd
es
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/F
irm
af
ot
og
ra
fe
n
A catedral da foto e algumas cúpulas de abajur são exemplos de construções humanas com formatos próximos de 
troncos de cone.
Quando um cone é seccionado por um plano paralelo à base, ficam determinados dois sólidos:
 • um cone menor que contém o vértice do cone original;
 • um sólido que contém a base do cone original denominado tronco de cone.
V
α
Cone menor
V
 
Tronco de cone
Assim como nas pirâmides, o cone menor e o cone original são semelhantes e também podemos estabelecer 
relações entre seus elementos. 
Veja algumas relações entre os elementos de dois cones semelhantes.
g h
r
G H
R
14 Volume 12
 • A razão entre as medidas de dois segmentos homólogos é sempre a mesma.
r
R
=
h
H
=
g
G
= k
(k é a razão de semelhança)
 • A razão entre as áreas das bases é o quadrado da razão de semelhança.
A
A
= kb
B
2
Assim:
• = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
A
A
r
R
b
B
2
• = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
A
A
h
H
b
B
2
• = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
A
A
g
G
b
B
2
Essa propriedade também é válida para a razão entre as áreas das superfícies laterais e para a razão entre as áreas 
das superfícies totais.
 • A razão entre os volumes é o cubo da razão de semelhança.
V
V
= k1
2
3
Consequentemente, temos:
• = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
V
V
r
R
1
2
3
• = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
V
V
h
H
1
2
3
• = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
V
V
g
G
1
2
3
Vamos estudar com mais detalhes os troncos de cones retos. Veja quais são seus principais elementos.
gt (geratriz)
Base menor
Base maior
h (altura)
A
B
 • As bases são círculos.
 • A altura é a distância entre as bases.
 • Uma geratriz do tronco de cone é um segmento com extremidades nas bases e que está contido em uma ge-
ratriz do cone que originou o tronco.
Matemática 15
Área da superfície de um tronco de cone reto 
Observe um tronco de cone reto e sua planificação.
gt
O r
R
O’
gt
2πR
2πr
R
r
O’
O
A superfície de um tronco de cone é composta de dois círculos e de um setor da coroa circular formada pela dife-
rença entre os círculos das bases.
Demonstra-se que a área da superfície lateral é dada por:
A R r glateral t= + ⋅( )π π
A área da superfície total é obtida somando-se a área da superfície lateral e as áreas das bases.
A A A A
A R r g r R
total lateral b B
total t
= + +
= + ⋅ + +( )π π π π2 2
Vamos calcular a área das superfícies lateral e total do tronco de cone representado pela figura a seguir.
2
5
4
2O
O’
N
H
5
3 M
4 gt4
2
Usando o Teorema de Pitágoras, temos:
( )g gt t
2 2 23 4 5= + ⇒ =
A R r glateral t= + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =( ) ( )π π π π π5 2 5 35
Atotal = + ⋅ + ⋅ =35 2 5 64
2 2π π π π
3 Demonstração da fórmula da área da superfície 
lateral do tronco de um cone.
16 Volume 12
O volume de um tronco de cone é dado por:
V =
h
3
( R + r + Rr)tronco
2 2⋅ π π π
Nessa fórmula, temos: 
h: altura do tronco
R: medida do raio da base maior
r: medida do raio da base menor
Essa fórmula é análoga àquela que usamos para calcular o volume de um tronco de pirâmide. Como a área de um 
círculo de raio R é πR2, temos:
Tronco de pirâmide Tronco de cone
V
h
A A A AB b B b= ⋅ + + ⋅3
( ) V
h
A A A A
A R A r
V
h
R r R r
V
h
B b B b
B b
= ⋅ + + ⋅
• = • =
= ⋅ + + ⋅
=
3
3
3
2 2
2 2 2 2
( )
( )
π π
π π π π
⋅⋅ + + ⋅ ⋅
= ⋅ + +
( )
( )
π π π
π π π
R r R r
V
h
R r Rr
2 2 2 2 2
2 2
3
Volume de um tronco de cone 
Para calcular o volume de um tronco de cone, podemos usar a mesma ideia utilizada para os troncos de pirâmides: 
obter a diferença entre os volumes de dois cones. Também existe uma fórmula para o volume de um tronco de cone. 
Vamos a um exemplo.
Um tronco de cone tem bases com 10 cm e 4 cm de diâmetro e altura 9 cm, como mostra a figura.
9 cm
4 cm
10 cm
Podemos calcular seu volume com base no cone que deu origem a esse tronco. Veja, 
na figura, as medidas em centímetros. Chamamos de x a altura do cone menor. Como 
esse cone e o maior são semelhantes, temos:
2
5 9
6=
+
⇒ =x
x
x
Assim, a altura do cone menor é 6 cm e a do cone maior é 15 cm.
V V V
V
V
tronco cone maior cone menor
tronco
= −
= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅1
3
5 15
1
3
2 62 2π π
ttronco
troncoV cm
= −
=
125 8
117 3
π π
π 4 Demonstração da fórmula do volume do tronco de um cone.
9
x
2
5
Matemática 17
1. Um reservatório de água tem o formato interno de um 
cone de altura 8 metros e raio da base de 6 metros.
8 m
6 m
a) Qual é a capacidade do reservatório em litros? Use 
a aproximação π 3,14. 
V
V m
cone
cone
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
3
6 8
96
2
3
π
π
A capacidade do reservatório é 96π m3, que corresponde a 
aproximadamente 301 440 litros. 
b) Calcule o volume de água quando o nível está a 
4 metros de distância do vértice do cone.
Sendo V o volume de água, temos: 
V
V
V m
96
4
8
96
1
8
12
3
3
π
π
π
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟= ⇒ =
 
Outra possibilidade é determinar o raio da base do cone me-
nor (formada pela superfície da água) e, em seguida, calcular 
o volume desse cone.
Usando a fórmula para calcular o volume do tronco de cone anterior, de altura 9 cm, base maior com raio de medi-
da 5 cm e base menor cujo raio mede 2 cm, temos:
V
h
R r Rr
V
V
tronco
tronco
tronc
= ⋅ + +
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
3
9
3
5 2 5 2
2 2
2 2
( )
( )
π π π
π π π
oo
troncoV cm
= ⋅ + +
=
3 25 4 10
117 3
( )π π π
π
 • Um copo tem a forma aproximada de um tronco de cone, cujas dimensões internas estão indicadas na figura. 
Qual é a capacidade desse copo?
4 cm
2,5 cm
12 cm
h cm R cm r cm
V
V
copo
copo
= = =
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
=
12 4 2 5
12
3
4 2 5 4 2 5
4
2 2
, , ,
( , , )π π π
⋅⋅ + +
=
( , )16 6 25 10
129 3
π π π
πV cmcopo
 
Usando 3,14 como aproximação para π e a equivalência 1 cm3 = 1mℓ, a capacidade do copo é 
aproximadamente 405 mℓ.
Atividades
18 Volume 12
c) Calcule o volume de água quando o nível está a x 
metros de distância do vértice do cone.
Sendo V o volume de água, temos: 
V x
V x
V
x
m
96 8
96 512
3
16
3
3 3
3
π
π
π
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⇒ =
 
Aqui também podemos determinar o raio da base do cone me-
nor (formada pela superfície da água) e, em seguida, calcular 
o volume desse cone.
r x
r
x
V r x
V
x
x V
x
m
6 8
3
4
1
3
1
3
3
4
3
16
2
2 3
3
= ⇒ =
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⇒ =
π
π
π
 
2. (UFSM – RS) Na hora do recreio, Susanita comprou um 
copo de sorvete com a forma de um cone com altura h 
de 8 cm e raio da base R de 3 cm. Para enchê-lo com 
quantidades iguais de sorvete de creme e de chocola-
te, a altura x atingida pelo primeiro sabor deve ser 
R
x
h
a) 4 3 cm X c) 4 43 cm e) 4 cm
b) 3 3 cm d) 4 2 cm
Como as quantidades de sorvete de creme e de chocolate 
devem ser iguais, o volume do cone menor deve ser igual 
ao volume do tronco. Consequentemente, o volume do cone 
maior é o dobro do volume do cone menor. Assim:
2
2
8
8
2
8
2
8
2
4
4
8 4
2
4 4
3
3
3
3
3
3 3
3
3
3
3
V
V
h
x
x
x x x cm
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
= ⇒ = = ⋅ = ⇒ =
3. (UFRN) Um recipiente cônico foi projetado de acordo 
com o desenho ao lado, no qual o tronco do cone foi 
obtido de um cone de altura igual a 18 cm. O volume 
desse recipiente, em cm3, é igual a:
a) 216π X b) 208π c) 224π d) 200π
V
V
V
tronco
tronco
tronco
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ + +
12
3
6 2 6 2
4 36 4 12
2 2( )
( )
π π π
π π π
== 208 3π cm
 
O volume do recipiente também pode ser obtido pela diferen-
ça entre os volumes de dois cones.
4. (MACKENZIE – SP) Uma xícara de chá tem a forma 
de um tronco de cone reto, conforme a figura. Supondo 
π = 3, o volume máximo de líquido que ela pode conter é: 
X a) 168 cm3 c) 166 cm3 e) 164 cm3
b) 172 cm3 d) 176 cm3
Os raios das bases medem 4 cm e 2 cm. Assim:
V
V
V
tronco
tronco
tronco
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ + +
=
6
3
4 2 4 2
2 16 4 8
5
2 2( )
( )
π π π
π π π
66
56 3 168
3
3
π cm
V cmtronco ⋅ =
Matemática 19
Organize as ideias
Nesta unidade, estudamos os troncos de pirâmide e de cone. Complete as frases com uma das opções entre parên-
teses. Em seguida, escreva as fórmulas que correspondem às áreas e aos volumes indicados.
 • Em um tronco de pirâmide, as bases são polígonos semelhantes e as faces laterais são trapézios . (parale-
logramos, trapézios)
 • Em um tronco de cone reto, as bases são círculos e a superfície lateral é uma região denomina-
da setor de coroa circular. A área dessa região pode ser obtida pela diferença entre as áreas de dois 
 setores circulares . (círculos, setores circulares)
5. (FUVEST – SP) As bases de um tronco de cone circular 
reto são círculos de raios 6 cm e 3 cm. Sabendo-se 
que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas 
das bases, calcule:
a) a altura do tronco de cone.
A A A
R r g R r
g
g
lateral B b
t
t
t
= +
+ ⋅ = +
⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅
=
( )
( )
π π π π
π π π π
2 2
2 26 3 6 3
366 9
6 3
45
9
5
π π
π π
π
π
+
+
= =
 
5
33
h h
3
 
5 3
25 9
16 4
2 2 2
2
2
= +
= −
= ⇒ =
h
h
h h cm
 
b) o volume do tronco de cone.
V R r Rr
V
V
tronco
tronco
tronc
= ⋅ + +
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
4
3
4
3
6 3 6 3
2 2
2 2
( )
( )
π π π
π π π
oo
troncoV cm
= ⋅ + +
=
4
3
36 9 18
84 3
( )π π π
π
6. (UnB – DF) Os copos descartáveis, em geral, têm a for-
ma de um tronco de cone, cuja superfície lateral pode 
ser planificada, dando origem a um setor de coroa cir-
cular, como ilustrado na figura adiante.
5
216°
10
 Representando por V o volume, em cm3, do copo cujo 
setor de coroa circular tem ângulo interno de 216°, raio 
menor medindo 5 cm e raio maior medindo 10 cm, cal-
cule, em centímetros cúbicos, o valor de 
V
π
. Despreze 
a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
Sendo R e r os raios das bases do tronco de cone, temos:
360
216
2 10
2
360
216
20
2
6
°
°
⋅
= ⇒ =
π
π
π
π
R
R
R
360
216
2 5
2
360
216
10
2
3
°
°
⋅
= ⇒ =
π
π
π
π
r
r
r
A geratriz do tronco mede 10 cm – 5 cm = 5 cm.
5 3
25 9
16 4
2 2 2
2
2
= +
= −
= ⇒ =
h
h
h h cm
 
V R r Rr
V
V
= ⋅ + +
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ + + ⇒
4
3
4
3
6 3 6 3
4
3
36 9 18
2 2
2 2
( )
( )
( )
π π π
π π π
π π π VV cm= 84 3π
Portanto, 
V
π
= 84. Note que esse tronco é o mesmo da ati-
vidade anterior.
5
33
h h
3
Sugestão de atividades: questões 1, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11 e 12 da 
seção Hora de estudo.
Hora de estudo
5 Gabaritos.
20 Volume 12
1. (ENEM) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, 
utiliza uma forma no formato representado na figura:
 Nela identifica-se a representação de duas figuras geo-
métricas tridimensionais.
 Essas figuras são
a) um tronco de cone e um cilindro.
b) um cone e um cilindro.
c) um tronco de pirâmide e um cilindro.
X d) dois troncos de cone.
e) dois cilindros.
2. (ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina em forma 
de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura 
e 6 cm de aresta da base.
 Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altu-
ra — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pi-
râmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre 
eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual 
à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de 
ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, 
conforme a figura.
6 cm
6 c
m
 Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, re-
tirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm 
de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, 
quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar 
uma vela?
a) 156 cm3 d) 216 cm3
X b) 189 cm3 e) 540 cm3 
c) 192 cm3
3. (ENEM) Uma empresa precisa comprar uma tampa para 
o seu reservatório, que tem a forma de um tronco de 
cone circular reto, conforme mostrado na figura. Consi-
dere que a base do reservatório tenha raio r = 2 3 m 
e que sua lateral faça um ângulo de 60° com o solo. Se 
a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser compra-
da deverá cobrir uma área de
Volume de um tronco de pirâmide
V
h
A A A Atronco B b B b= ⋅ + + ⋅
3
( ) 
Área da superfície lateral de um tronco de cone A R r glateral t= + ⋅( )π π
Volume de um tronco de cone
V
h
R r Rrtronco = ⋅ + +
3
2 2( )π π π
A resolução das questões desta seção deve ser feita no caderno.
Matemática 21
60o
a) 12π m2 d) 300π m2
X b) 108π m2 e) ( )24 2 3 2 2+ π m
c) ( )12 2 3 2 2+ π m
4. (UECE) Um plano paralelo à base de um cone circular 
reto o secciona de tal modo que a altura do tronco de 
cone resultante é 
2
3
 da altura do cone. A razão entre o 
volume do cone e o volume do tronco de cone é
a) 
4
3
 c) 
19
17
b) 
16
15X d) 
27
26
5. (ENEM) Para comemorar o aniversário de uma cidade, 
um artista projetou uma escultura transparente e oca, 
cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. 
 Ela é formada por três partes de mesma altura: duas 
são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A 
figura é a vista frontal dessa escultura.
 No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte 
água, para dentro dela, com vazão constante. O gráfico 
que expressa a altura (h) da água na escultura em fun-
ção do tempo (t) decorrido é
a) h
t
b) h
t
c) h
t
X d) h
t
e) h
t
6. (UEPG – PR) Uma pirâmide quadrangular regular de 
aresta da base 10 cm e altura 12 cm é seccionada por 
um plano paralelo à base na metade da altura. Nesse 
contexto, assinale o que for correto.
X ( 01 ) A área da secção transversal é 25 cm2. 
X ( 02 ) O volume da pirâmide é 400 cm3.
X ( 04 ) A razão entre o volume do tronco e o volume da 
pirâmide original é 
7
8
.
X ( 08 ) A razão entre as áreas das bases do tronco (da 
menor para a maior) é 
1
4
.
X ( 16 ) O volume do tronco é 350 cm3.
22 Volume 12
7. (UNESP – SP) Com o fenômeno do efeito estufa e 
consequente aumento da temperatura média da Ter-
ra, há o desprendimento de icebergs (enormes blocos 
de gelo) das calotas polares terrestres. Para calcular-
mos o volume aproximado de um iceberg podemos 
compará-lo com sólidos geométricos conhecidos. 
Suponha que o sólido da figura, formado por dois 
troncos de pirâmides regulares de base quadrada si-
métricos e justapostos pela base maior, represente 
aproximadamente um iceberg.
12 dam
40 dam
30 dam
 As arestas das bases maior e menor de cada tronco 
medem, respectivamente, 40 dam e 30 dam e a altura 
mede 12 dam. Sabendo que o volume VS da parte sub-
mersa do iceberg corresponde a aproximadamente 7/8 
do volume total V, determine VS.
8. (UFT – TO) Em uma aula de Matemática, o professor 
fez uma demonstração prática de como o nível da água 
de um recipiente sobe ao introduzir um objeto em seu 
interior. O professor utilizou um recipiente que tinha o 
formato do tronco de um cone reto e imergiu totalmente 
um cubo maciço neste recipiente. Esta demonstração 
está representada nas figuras a seguir
40 cm
3
0
 c
m
20 cm 20 cm
 Durante a demonstração verificou-se que o volume do 
objeto é 
3
7
 do volume de água já existente no recipien-
te. Tomando por base a demonstração prática realizada 
pelo professor de Matemática, conclui-se que a aresta 
do objeto introduzido no recipiente é (considere π = 3)
a) 3 cm X d) 10 93 cm 
b) 9 cm e) 100 93 cm
c) 93 cm
9. (FURG – RS) Um pote de mel possui a forma de um 
tronco de cone circular reto, conforme mostra a figura 
abaixo.
 O diâmetro da boca do pote mede 22 cm, o diâmetro 
da base mede 10 cm, e a altura do pote é de 12 cm. 
Suponha que o pote estava completamente cheio de 
mel e que, após um dia de consumo por uma família, o 
mel restante preenche o pote até uma altura de 10 cm, 
medida a partir da base menor. Considerando que a 
referida família consome a mesma quantidade diária, o 
pote cheio de mel ficará vazio durante o
22 cm
10 cm
12 cm
a) segundo dia. d) quinto dia.
b) terceiro dia. e) sexto dia.
X c) quarto dia.
10. (UEM – PR) A superfície de uma piscina tem formato 
de um círculo de raio 4 metros. A profundidade abaixo 
de cada ponto na superfície da piscina é descrita pela 
função
p x
x
se x
se x
( ) =
+ ≤ ≤
< ≤
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
3
3
0 3
3 3 4
 
 
 em que x é distância, em metros, do ponto na superfí-
cie da piscina até a borda da piscina. Assinale o que for 
correto.
 ( 01 ) A profundidade da piscina em um ponto que está 
a 2 metros da borda é de 2,5 metros.
X ( 02 ) Uma pessoa que não deseje ir a uma parte da pis-
cina que tenha profundidade acima de 1,5 metro 
pode afastar-se, no máximo, 1,5 metro da borda.
 ( 04 ) Se dois pontos estão a distâncias distintas da 
borda da piscina, então as profundidades abaixo 
deles também são distintas.
X ( 08 ) O sólido que descreve a piscina é a união de dois 
cilindros com um tronco de cone.
X ( 16 ) O volume de água que cabe dentro da piscina é 
24π m3.
Matemática 23
11. (UDESC) Um recipiente de uso culinário com 16 cm 
de altura possui o formato de um tronco de cone reto 
(conforme ilustra a figura 2) e está com água até a 
metade da sua altura.
Figura 2: Recipiente culinário
 Sabendo que a geratriz desse recipiente é igual a 
20 cm e que o diâmetro de sua base é igual a 4 cm, 
classifique as proposições abaixo e assinale (V) para 
verdadeira ou (F) para falsa.
( F ) O volume de água no recipiente corresponde à 
quarta parte da quantidade necessária para en-
chê-lo totalmente. 
( V ) Se a água do recipiente for retirada à taxa cons-
tante de 28 cm3 por segundo, então o tempo 
necessário para esvaziá-lo será superior a 20 se-
gundos. 
( V ) Para aumentar 4 cm do nível de água no recipien-
te, é necessário acrescentar mais 364π cm3 de 
água. 
A alternativa correta, de cima para baixo, é:
a) V – F – F d) F – F – V
b) F – V – F e) V – V – F
X c) F – V – V 
12. (UFMG) Um funil é formado 
por um tronco de cone e 
um cilindro circular retos, 
como representado na fi-
gura ao lado.
 Sabe-se que g = 8 cm, 
R = 5 cm, r = 1 cm e 
h cm= 4 3 .
1. Calcule o volume do 
tronco de cone, ou seja, do corpo do funil.
2. Calcule o volume total do funil.
3. Suponha que o funil, inicialmente vazio, começa a 
receber água a 127 mL/s. Sabendo que a vazão do 
funil é de 42 mL/s, calcule quantos segundos são 
necessários para que o funil fique cheio.
13. (UFES) Numa obra de construção civil, para escoar 
material de um andar para outro foi construído um 
dispositivo formado por dois recipientes, A e B. O re-
cipiente A, localizado no andar superior, é uma justa-
posição de um tronco de pirâmide regular T, de altura 
10 dm, com um prisma reto P, de altura 12 dm. A 
base inferior (base menor) de T coincide com a base 
superior de P, que é um quadrado de lado 3 dm. A 
base maior de T é um quadrado de lado 9 dm. O 
recipiente B, localizado no andar inferior, é uma caixa 
(prisma reto) de altura h e base retangular de lados 6 
dm e 8 dm. Todas as bases estão em planos horizon-
tais. No dispositivo, há uma pequena porta, localizada 
na base inferior de P, que é aberta no momento de 
cada escoamento. Suponha que, num determinado 
momento, haja uma certa quantidade de líquido no 
recipiente A e que a superfície livre desse líquido seja 
um quadrado de lado a que está a uma altura x da 
base inferior de P. Ao abrir a pequena porta, o líquido 
é totalmente escoado para o recipiente B, sem trans-
bordar, e lá a superfície livre do líquido fica a uma 
altura y da base inferior da caixa. Desprezando a es-
pessura das paredes do dispositivo, determine 
a) o valor de a e o de y para x = 12 dm; 
b) o valor de h de forma que, para x = 22 dm, se tenha 
y = h; 
c) uma expressão para a e uma para y, em função de 
x, sendo x entre 0 e 22 dm.
14. (UFRGS – RS) Considere a planificação do sólido for-
mado por duas faces quadradas e por quatro trapézios 
congruentes, conforme medidas indicadas na figura 
representada abaixo.
4
2
2
2
 O volume desse sólido é
a) 
16 2
3
 d) 16 2
X b) 
28 2
3
 e) 20 2
c) 8 2
E R
r
g
H
h
M
24
Geometria 
espacial III
29
 Rolamento é um dispositivo que tem, entre outras, a função de reduzir o atrito entre componentes de um me-
canismo. Alguns modelos utilizam esferas como elemento rolante entre dois anéis, um interno e outro externo. 
Cada anel toca cada uma das esferas em um ponto apenas, o que propicia muita suavidade ao movimento. 
1. Você já viu um rolamento funcionando?
2. Cite mecanismos que utilizam rolamentos em seu funcionamento.
RRolamento é umdispositivo que tem entre outras a função de reduzir o atrito entre componentes de um me
Ponto de partida 
1
©iStockphoto.com/Sashkinw©i
Sto
ckp
ho
to.c
om/
bisla
2525
Esfera 
Os objetos com formato esférico são muito frequentes em nosso cotidiano. Veja alguns: 
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/a
ng
el
he
ll
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/iv
el
ly
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/C
re
at
iv
ey
e9
9
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/A
le
xL
M
X
É provável que alguns desses objetos ou todos eles não tenham formato perfeitamente esférico, mas aproximado. 
Mesmo assim, sugerem-nos a ideia de esfera, bem como muitos outros objetos que conhecemos. O nosso planeta, por 
exemplo, tem a forma aproximada de uma esfera. Estudaremos esse sólido detalhadamente no decorrer desta unida-
de. Embora tenhamos familiaridade com ele, quando comparado com os sólidos estudados anteriormente, verificamos 
que não é simples obter seu volume e a área de sua superfície. 
Vejamos, inicialmente, a definição de esfera.
Denomina-se esfera de centro O e raio R o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual a R 
ou menor que R.
Esfera de centro O e raio R
O
R
Uma esfera, assim como o cilindro e o cone retos, também é um sólido de revolução, pois pode ser obtido pela 
rotação de um semicírculo em torno da reta que contém seu diâmetro.
O
R
O
R
 Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de reconhecer a definição de esfera e nomear seus 
elementos. Espera-se também que utilize os raciocínios apresentados para resolver problemas que 
abrangem o cálculo da área da superfície e do volume de uma esfera.
26 Volume 12
Quando uma esfera é seccionada por um plano, a intersecção é um círculo.
Sendo R o raio da esfera, r o raio do círculo determinado na esfera pelo 
plano α e d a distância do centro da esfera ao plano, temos:
R r d2 2 2= +
Quanto menor a distância do plano ao centro da esfera, maior a medida do raio do círculo determinado por esse 
plano. No caso particular de o plano passar pelo centro da esfera, o círculo recebe o nome de círculo máximo. A cir-
cunferência que delimita um círculo máximo denomina-se equador. Um círculo máximo de uma esfera divide-a em 
dois sólidos denominados hemisférios (ou semiesferas).
Círculo máximo
Hemisférios
Volume da esfera 
Para obter o volume de uma esfera, vamos utilizar o Princípio de Cavalieri, que estudamos no volume 6.
Considere dois sólidos apoiados em um plano α. Se todo plano paralelo a α determina nos dois sólidos regiões 
planas de mesma área, então os sólidos têm o mesmo volume. 
A1 A2
β
α
Se A1 = A2 para qualquer plano β paralelo ao plano α, os dois sólidos têm o mesmo volume. 
Lembre-se também de que os volumes de um cilindro e de um cone, de altura h e base com raio R, são dados por:
V R h
V R h
cilindro
cone
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
π
π
2
21
3
Considere agora uma semiesfera de raio R e um sólido S apoiados no plano α. O sólido foi obtido ao retirarmos 
um cone reto de um cilindro reto, ambos de altura R e bases com raio R.
R R
R
α
Matemática 27
Um plano paralelo a α e a uma distância d de α determina na semiesfera um círculo de raio r e no sólido S uma 
coroa circular, como mostra a figura a seguir.
d
r
R
R
R
α
d
d
A área do círculo é igual a π . r2. No triângulo retângulo destacado na semiesfera, temos:
R d r r R d2 2 2 2 2 2= + ⇒ = −
Assim:
Acírculo = ⋅ −π ( )R d2 2 
A coroa circular é limitada por duas circunferências, uma de raio R e outra de raio d (pense no porquê disso). 
Portanto:
A R d
A R d
coroa circular
coroa circular
= ⋅ − ⋅
= ⋅ −
π π
π
2 2
2 2( )
Pelo Princípio de Cavalieri, como a área do círculo é igual à área da coroa circular, os volumes da semiesfera e do 
sólido S são iguais. Desse modo, o volume de uma esfera de raio R é o dobro do volume de S. Como o volume do sólido 
S é dado pela diferença entre os volumes de um cilindro reto e de um cone reto, ambos de altura R e bases também 
com raio R, temos:
V V V
V R R R R
esfera cilindro cone
esfera
= ⋅ −
= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠
2
2
1
3
2 2
( )
π π ⎟⎟
V R R
V
R
esfera
esfera
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅
2
1
3
2
2
3
3 3
3
π π
π
V =
4 R
3
esfera
3π
Note que o volume de uma esfera de raio R é quatro vezes o volume de um cone cujos raio da base e altura tam-
bém são iguais a R. Considerando esfera e cone maciços e feitos de um mesmo material, a massa de cada sólido é 
diretamente proporcional ao seu volume. Desse modo, uma esfera e quatro cones nas condições descritas ficam em 
equilíbrio em uma balança de dois pratos.
Ed
ua
rd
o 
Bo
rg
es
. 2
01
5.
 D
ig
ita
l.
28 Volume 12
Área da superfície esférica 
A superfície lateral de um cilindro reto pode ser transformada em um retângulo, e a de um cone reto, em um setor 
circular. A mesma coisa não pode ser feita com a superfície de uma esfera, ou seja, não podemos planificá-la. Por isso, 
precisamos usar outro método para calcular a área da superfície esférica.
Observe, na figura a seguir, uma esfera de raio R. Vamos imaginar que a superfície dessa esfera seja dividida em uma 
grande quantidade de regiões não planas. Essas regiões são bases de sólidos com vértice comum no centro da esfera 
e as chamaremos de “quase pirâmides”.
“Quase pirâmide”
Superfície esférica dividida
em regiões não planas
Ed
ua
rd
o 
Bo
rg
es
. 2
01
5.
 D
ig
ita
l.
Quanto maior a quantidade n de regiões não planas em que a superfície esférica for dividida, as “quase pirâmides” 
se aproximarão cada vez mais de pirâmides de altura R. Assim, o volume da esfera se aproxima cada vez mais da soma 
dos volumes de n pirâmides. Sendo A A A An1 2 3, , , , as áreas das n regiões em que a superfície da esfera fica dividida, 
temos:
A A A A A
V V V V V
n
esfera n
soma dos volumes
das
= + + + +
= + + + +
1 2 3
1 2 3
…
…� ���� �����
…4
3
1
3
1
3
1
3
1
3
4
3
1
3
3
1 2 3
3
1
π
π
R
A R A R A R A R
R
R A
n= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅( ++ + + +
= ⋅ ⋅
A A A
R
R A
n2 3
34
3
1
3
… )
π
superfície esférica
superfície esférica
n pirâmides
Asuperfície esférica = 4 πR
2
É importante dizer que o raciocínio usado para obter a área da superfície de uma esfera não é uma demons-
tração, pois utilizamos aproximações, e isso pode causar a impressão de que o resultado não é exato, mas apenas 
muito próximo. Os sinais de igualdade (=) que escrevemos ao comparar o volume da esfera e a soma dos volumes 
das pirâmides e também a área da superfície esférica e a soma das áreas das regiões não planas indicam os limites 
dessas somas quando n tende ao infinito. No entanto, é possível demonstrar esse resultado com o uso de ferramen-
tas matemáticas que não são estudadas no Ensino Médio. 
Matemática 29
Atividades
4. Uma panela cilíndrica, com 12 cm de altura e diâme-
tro de 20 cm (medidas internas), está preenchida com 
doce até 
3
4
 de sua altura. Quantos brigadeiros com 
formato aproximadamente esférico de diâmetro 4 cm 
poderão ser feitos? Se a panela 
tivesse o formato interno de um 
tronco de cone, com diâmetros su-
perior e inferior de 20 cm e 16 cm, 
altura 12 cm e estivesse comple-
tamente cheia de doce, quantos 
brigadeiros poderiam ser feitos? 
Volume de cada brigadeiro de raio 2 cm:
V cmbrigadeiro = ⋅ ⋅ =
4
3
2
32
3
3 3π
π
 
Volume de doce na panela cilíndrica de altura 12 cm e base 
com raio 10 cm:
V cmpanela cilindro( ) = ⋅ ⋅ ⋅ =
3
4
10 12 9002 3π π
Como 
900
32
3
84 375
π
π = , , poderão ser feitos aproximadamente 
84 brigadeiros.
Vamos, agora, calcular o volume da panela com formato de 
um tronco de cone de altura 12 cm e bases com raios 10 cm 
e 8 cm.
V cmpanela tronco( ) ( )= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
12
3
10 8 10 8 9762 2 3π π π π
Como 
976
32
3
915
π
π = , , poderiam ser feitos aproximadamente 91 
brigadeiros.
5. Um recipiente tem formato cilíndrico e está com água 
até a metade da altura. Mergulha-se uma esfera de 
aço nesse recipiente, que fica totalmente submersa e 
faz com que o nível da água suba 1 cm.O recipiente 
tem 15 cm de altura e base com 6 cm de raio. 
a) Qual é o volume da esfera? 
O volume da esfera é exatamente 
o volume de água que foi deslo-
cado. Esse volume corresponde a 
um cilindro de altura 1 cm e base 
com raio 6 cm, como mostra a 
figura (fora de escala). Assim:
V
V cm
esfera
esfera
= ⋅ ⋅
=
π
π
6 1
36
2
3
1 cm
6 cm
2 Gabaritos.
1. Calcule o volume e a área da superfície de uma esfera 
de raio 6 cm. Use 3,14 como aproximação para π. 
V
R
V cm
A R
A cm
=
=
⋅ ⋅
=
=
= ⋅ ⋅ =
4
3
4 3 14 6
3
904 32
4
4 3 14 6 452 16
3
3
3
2
2 2
π
π
,
,
, ,
2. Qual é a medida do raio de uma esfera que tem o volu-
me numericamente igual à área de sua superfície? 
Vamos indicar que o volume e a área são numericamente 
iguais por V A
N
. Assim:
V A
R
R
R
R
N=
=
= ⇒ =
4
3
4
3
1 3
3
2π π
 
3. Assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as 
falsas.
a) ( V ) A área da superfície de uma esfera cujo volume 
é 
500
3
3π cm é igual a 100π cm2.
b) ( V ) O volume de uma esfera é igual ao volume de 
um cilindro reto de altura 4 dm e cujos raios 
das bases medem 3 dm. Portanto, o raio da 
esfera mede 3 dm.
c) ( F ) Os raios de uma esfera e da base de um cone 
reto são iguais e a altura do cone mede 12 cm. 
Se a área da superfície da esfera é igual à área 
da superfície total do cone, então o raio da es-
fera mede 2 3 cm . 
d) ( V ) Se a razão entre os volumes de duas esferas é 
1
8
, então a razão entre as medidas dos raios 
correspondentes é 1
2
. 
e) ( V ) Considere uma esfera de raio R, um cilindro 
reto de altura R e bases com raio R e um cone 
reto de altura R e base com raio R. Sendo V1, V2 
e V3, respectivamente, os volumes da esfera, 
do cilindro e do cone, V1 = V2 + V3. 
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/A
lb
er
to
Ch
ag
as
30 Volume 12
b) Qual é a medida do raio da esfera? 
Seja R a medida do raio da esfera.
V
R
R
R cm
esfera =
=
=
=
36
4
3
36
27
3
3
3
π
π
π
 
6. (UFPR) Um tanque para armazenamento de produtos 
corrosivos possui, internamente, o formato de um cilin-
dro circular reto com uma semiesfera em cada uma de 
suas bases, como indica a figura.
6 m
2 m
 Para revestir o interior do tanque, será usada uma tinta 
anticorrosiva. Cada lata dessa tinta é suficiente para 
revestir 8 m2 de área. Qual o número mínimo de latas 
de tinta que se deve comprar para revestir totalmente o 
interior desse tanque? (Use π = 3,14).
a) 3 latas. c) 5 latas e) 10 latas.
b) 4 latas. X d) 7 latas. 
 Utilize as informações a seguir para as questões 7 e 8. 
 (INSPER – SP) Considere uma esfera de raio medindo 
R e um plano que a tangencia. Pode-se associar a ela 
um outro sólido, obtido da seguinte maneira:
 • constrói-se um cilindro equilátero de raio R com 
uma das bases contida no plano;
 • retiram-se desse cilindro dois cones circulares, sen-
do que a base de cada um deles coincide com uma 
das bases do cilindro e os vértices coincidem em V, 
no centro desse cilindro.
 O sólido que resta após a retirada dos cones é chamado 
de anticlepsidra e tem o mesmo volume da esfera. Am-
bos os sólidos estão representados na figura abaixo.
2R
R
V
7. Apesar de terem o mesmo volume, a esfera e a anti-
clepsidra associada não têm a mesma área superficial. 
A razão entre a área da superfície esférica e a área da 
superfície da anticlepsidra é 
a) 2 2 1( )− . X d) 2 2− .
b) 2. e) 2 1+ .
c) 2 2. 
A área da superfície esférica é 4πR2.
A área da superfície da anticlepsidra é dada pela área da su-
perfície lateral de um cilindro mais as áreas das superfícies 
laterais de dois cones. Seja g a medida da geratriz do cone.
g R R g R g R2 2 2 2 22 2= + ⇒ = ⇒ = 
A R R R R
A R R
anticlepsidra
anticlepsidra
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
= + =
2 2 2 2
4 2 2 22 2
π π
π π ππR 2 2 2⋅ +( )
 
Portanto:
A
A
R
R
A
A
anticlepsidra
anticlepsidra
=
⋅ +
=
+
=
=
+
⋅
4
2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
π
π ( )
−−
−
=
⋅ −
−
= −
2
2 2
2 2 2
4 2
2 2
( )
superfície esférica
superfície esférica
8. Uma anticlepsidra tem volume igual a π. O raio da es-
fera associada tem medida 
a) 
12
4
3
. d) 
3
2
.
X b) 
6
2
3
. e) 
3
4
. 
c) 
4
3
3 .
A anticlepsidra tem o mesmo volume que a esfera associada.
4
3
3
4
3
4
6
8
6
2
3
3
3 3
3
π
π
R
R
R
=
=
= = =
Matemática 31
9. Retira-se a quarta parte de uma esfera maciça de raio 
R e obtém-se o sólido representado na figura. Calcule 
o volume e a área da superfície desse sólido. 
O volume do sólido corresponde a três quartos do volume da 
esfera.
= ⋅
=
3
4
4
3
3
3
π
π
R
RVsólido
Vsólido
A área da superfície do sólido corresponde a três quartos da 
área da superfície esférica mais a área de dois semicírculos 
de raio R, ou seja, de um círculo de raio R.
Asólido
Asólido
Asólido
= ⋅ +
= +
=
3
4
4
3
4
2 2
2 2
2
π π
π π
π
R R
R R
R
Note que a área da superfície do sólido é igual à área da su-
perfície esférica.
10. (UERJ) Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é 
tangente ao plano α de uma mesa em um ponto T. 
Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo 
que F, A e T são colineares. Observe a ilustração:
 Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo 
de centro T definido pela sombra da esfera projetada 
sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à sua su-
perfície esférica, então a distância FT, em decímetros, 
corresponde a: 
a) 10 b) 9 X c) 8 d) 7
Seja R a medida do raio da base do cone.
Acírculo = Asuperfície esférica
π πR R dm2 24 3 6= ⋅ ⇒ = 
Os triângulos FTQ e FPA são semelhantes. Seja FP = x. Assim:
6
3
2= ⇒ =
FT
x
FT x 
No triângulo retângulo FPA, temos:
( )2 3 3
4 12 9 9
4 0 0 4
2 2 2
2 2
2
x x
x x x
x x x ou x
− = +
− + = +
− = ⇒ = =
 
Portanto, x = 4 dm e FT = 2 . 4 dm = 8 dm.
F
T R
Q
P
A
3
3
x
11. Denomina-se calota esférica cada uma das duas par-
tes em que uma esfera fica dividida quando é cortada 
por um plano. Ao considerarmos a superfície da calota, 
estamos excluindo a superfície da parte plana.
Calota esférica
Calota esférica
R
α
 A área de uma calota esférica é dada por Acalota = 2πRh, 
em que R é o raio da esfera e h é a altura da calota. O 
volume do correspondente segmento esférico é dado 
por V
h
R hsegmento = ⋅ −
π 2
3
3( ). 
R
h
a) Um plano intersecta uma esfera de raio 15 cm e 
determina nela um círculo de raio 9 cm. Calcule a 
área da menor calota obtida e o volume do corres-
pondente segmento esférico.
Sendo d a distância do centro da esfera ao plano, temos:
15 9
144 12
2 2 2
2
= +
= ⇒ =
d
d d cm
 
Assim, a altura da menor calota é 3 cm.
A Rh
A
A cm
V
h
calota
calota
calota
segmento
=
= ⋅ ⋅
=
= ⋅
2
2 15 3
90
3
3
2
2
π
π
π
π
( RR h
V
V cm
segmento
segmento
−
=
⋅
⋅ ⋅ −
=
)
( )
π
π
3
3
3 15 3
126
2
3
 
15
d
9
32 Volume 12
b) Supondo que a Terra é uma esfera de raio 6 400 km, 
qual é a fração da superfície terrestre visualizada 
por um astronauta que se encontra a 6 400 km de 
distância da Terra?
Observe a figura:
6400
6400
P
r AC
6400 – h
h
B
O
A porção da superfície terrestre vista pelo astronauta cor-
responde a uma calota esférica de altura h. No triângulo 
retângulo OAP, em que O é o centro da Terra e P o ponto em 
que se encontra o astronauta, temos:
( )
( )
OA OP OC
h
h h
2
26400 12800 6400
6400 3200 3200
= ⋅
= ⋅ −
− = ⇒ =
 
Portanto:
= = = =
2
4 2
3200
12800
1
42
π
π
Rh
R
h
RAsuperfície esférica
Acalota
Veja no manual uma generalização desse problema.
12. (UNICAMP – SP) Uma peça esférica de madeira ma-
ciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como 
mostra a figura abaixo. Observe que, na escavação, re-
tirou-se um cilindrode madeira com duas tampas em 
formato de calota esférica.
h
R
 Sabe-se que uma calota esférica tem volume 
V
h
R hcal = −
π 2
3
3( ), em que h é a altura da calota e R 
é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da 
calota esférica (excluindo a porção plana da base) é 
dada por A Rhcal = 2π .
 Atenção: não use um valor aproximado para π.
a) Supondo que h = R/2, determine o volume do anel 
de madeira, em função de R.
b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá 
uma camada de verniz, tanto na parte externa como 
na interna. Supondo, novamente, que h = R/2, de-
termine a área sobre a qual o verniz será aplicado.
Sugestão de atividades: questões 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9 e 10 da 
seção Hora de estudo.
Inscrição e circunscrição de sólidos 
Existem muitas possibilidades para inscrever um sólido em outro. Daremos ênfase às inscrições e circunscrições de 
uma esfera. Os raciocínios apresentados nos conduzirão a algumas fórmulas. É importante dizer que você não precisa 
memorizá-las, pois, sempre que necessário, poderá obtê-las ou mesmo resolver um problema apenas utilizando co-
nhecimentos simples da geometria plana.
Cubo e esfera 
Uma esfera está inscrita em um poliedro quando tangencia todas as faces desse poliedro. 
Matemática 33
Veja uma esfera inscrita em um cubo.
 • A esfera tangencia as seis faces do cubo.
 • Dizemos que a esfera está inscrita no cubo e também que o cubo está 
circunscrito à esfera.
Um plano que passa pelo centro da esfera e é paralelo a uma face do cubo determina uma seção plana que corres-
ponde a um círculo inscrito em um quadrado.
a
a
a
a
r r
r
O diâmetro da esfera é igual à medida das arestas do cubo. Assim:
2r = a ⇒ r a=
2
Uma esfera está circunscrita a um poliedro quando todos os vértices desse poliedro pertencem à superfície da 
esfera.
Veja uma esfera circunscrita a um cubo.
 • Os vértices do cubo pertencem à superfície da esfera.
 • Dizemos que a esfera está circunscrita ao cubo e também que o cubo 
está inscrito na esfera.
Considere agora um plano que passa pelo centro da esfera e contém uma das arestas do cubo, determinando um 
retângulo inscrito em um círculo.
a
a
R
R
a
2R
a√2
34 Volume 12
A aresta do cubo, a diagonal de uma das faces e a diagonal do cubo, que coincide com o diâmetro da esfera, for-
mam um triângulo retângulo.
( ) ( )2 22 2 2R a a= +
4 3
3
4
2 2 2
2
R a R
a= ⇒ = ⇒ R = a 3
2
A relação anterior pode ser obtida diretamente observando que qualquer diagonal do cubo coincide com um 
diâmetro da esfera. Assim, a R3 2= . 
Cilindro reto e esfera 
Uma esfera inscrita em um cilindro reto tangencia suas bases e todas as geratrizes. Qual-
quer plano que contém o eixo do cilindro determina um círculo inscrito em um quadrado. 
Desse modo, o cilindro é equilátero, pois sua altura é igual ao diâmetro da base. 
Mostre que a razão entre o volume de um cilindro e o da esfera nele inscrita é 
3
2
 e que essa 
também é a razão entre as áreas de suas superfícies. 
Sendo r o raio da esfera e da base do cilindro equilátero, temos:
V
V
r r
r
V
V
r
r
cilindro
esfera
cilindro
esfera
=
⋅
= = ⋅ =
π
π
2
3
3
3
2
4
3
2
4
3
2
3
4
33
2
 
A
A
r r r
r
A
A
r
r
cilindro
esfera
cilindro
esfera
=
⋅ +
= =
2 2 2
4
6
4
2
2
2
2
π π
π
π
π
33
2
Assim, tanto o volume quanto a área da superfície total do cilindro são 50% maiores que o volume e a área da superfície esférica, 
respectivamente.
Quando uma esfera está circunscrita a um cilindro reto, as circunferências das 
bases desse cilindro estão contidas na superfície da esfera. Qualquer plano que 
contém o eixo do cilindro determina um retângulo inscrito em um círculo.
R
R
r r
h
A altura do cilindro, o diâmetro da base do cilindro e o diâmetro da esfera 
formam um triângulo retângulo. 
( ) ( )2 22 2 2R h r= +
Matemática 35
Cone reto e esfera
Uma esfera inscrita em um cone reto tangencia sua base e todas as geratrizes. Qualquer plano que contém o eixo 
do cone determina um círculo inscrito em um triângulo.
h
h – r
O
C R A
R
T
r
r
g
g – R
V
Observe que os triângulos VCA e VTO são semelhantes. Assim:
VC
VT
VA
VO
CA
TO
h
g R
g
h r
R
r
= =
−
=
−
=
Em um cone reto de altura 12 cm e base com raio de 5 cm é inscrita uma esfera. Qual é a medida do raio da esfera?
Sejam r o raio da esfera e g a medida da geratriz do cone.
g
g g cm
2 2 2
2
12 5
169 13
= +
= ⇒ =
 
Da semelhança entre os dois triângulos retângulos, temos:
5 13
12
13 60 5
18 60
10
3
r r
r r
r r cm
=
−
= −
= ⇒ =
12
12 – r
5
r
r
Quando uma esfera está circunscrita a um cone reto, a circunferência da base desse cone 
está contida na superfície da esfera. Além disso, o vértice do cone pertence à superfície es-
férica. Qualquer plano que contém o eixo do cone determina um triângulo inscrito em um 
círculo.
Em uma esfera de raio 10 cm, está inscrito um cone reto cuja base tem raio 6 cm. Qual é 
o volume do cone? 
No triângulo retângulo destacado na figura, temos:
10 6
64 8
2 2 2
2
= +
= ⇒ =
x
x x cm
Assim, a altura do cone mede 10 cm + 8 cm = 18 cm.
V
V cm
cone
cone
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
3
6 18
216
2
3
π
π
 
10
10
6
x
36 Volume 12
Atividades
1. Em cada item, calcule o que for solicitado.
a) A área total de um cubo inscrito em uma esfera de 
raio 15. 
b) O volume de um cubo circunscrito a uma esfera de 
raio 3.
c) A área da superfície de uma esfera que circunscreve 
um cilindro reto de altura 9 e raio da base 6. 
d) O volume de um cilindro circunscrito a uma esfera 
de raio 5.
e) O volume de uma esfera inscrita em um cone reto 
de altura 8 e diâmetro da base 12.
f) A área da superfície de uma esfera que circunscreve 
um cone reto de altura 18 e raio da base 12.
2. Uma esfera de raio 4 está inscrita em um cone equilá-
tero. Calcule a razão entre o volume da esfera e o do 
cone. 
Como o cone é equilátero, um plano que contém seu eixo 
determina um círculo inscrito em um triângulo equilátero. 
Assim, o raio da esfera é 
1
3
 
da altura do cone, ou seja, a al-
tura do cone é 12. Além disso, 
sendo R o raio da base e g a 
geratriz do cone, g = 2R.
g R h
R R R R
2 2 2
2 2 2 22 12 48 4 3
= +
= + ⇒ = ⇒ =( )
V
V
esfera
cone
=
⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
= =
4 4
3
1
3
4 3 12
256
16 3 12
16
36
4
9
3
2
π
π ( )
h 2R
4
R
3. (FGV – RJ) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 
5 175 cm3, cabem exatamente três bolas de tênis.
3 Gabaritos.
a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas.
O raio da base da lata é r e a altura é 6r, sendo r o raio de 
cada bola, supostamente esféricas. Assim:
V
r r
r
lata =
⋅ ⋅ =
=
5 175
6 5 175
1725
2
2
3
π
π
 
V
r
V cm
bolas
bolas
3
3
3
3
3
4
3
4
1725
2
3 450
= ⋅
= ⋅ =
π
π
π
 
Volume da lata não ocupado pelas bolas:
5 175 3 450 17253 3 3cm cm cm− =
b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o 
volume da lata?
V
V
bolas
lata
3 3 450
5 175
2
3
= =
4. Observe na figura uma esfera inscrita em um tronco de 
cone reto.
C A
r
T
R
BR – rr
HRD
g
r
x
x
O
x
 Considere R e r os raios das bases do tronco, x o raio 
da esfera e g a geratriz do tronco.
a) Justifique a seguinte condição: g = R + r
Os pontos A e B são exteriores à esfera. Portanto, sendo T 
o ponto de tangência da geratriz AB, e C e D os centros das 
bases do tronco, temos:
AT AC r BT BD R
AB AT BT g r R
= = = =
= + = +
Matemática 37
b) Prove que x R r= ⋅ . 
Triângulo retângulo ABH:
( ) ( ) ( )
R
R r R r x
R Rr r R Rr r x
x Rr
x Rr x
+ = − +
+ + = − + +
=
= ⇒ =
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
2
2 2 4
4 4
rr
 
Observação:
Também podemos mostrar usando o triângulo AOB, retângu-
lo em O (pergunte aos alunos por que ele é retângulo).
OT AT BT
x r R x r
2
2
= ⋅
= ⋅ ⇒ = R
 
c) Calcule o volume de uma esfera inscrita em um 
tronco de cone cujos raios das bases são 9 cm e 
3 cm.
Usando a relação obtida, temos:
R r
x Rr x
= =
= ⇒ = ⋅ =
9 3
9 3 3 3
 
V
x
VV cm
esfera
esfera esfera
=
=
⋅
⇒ =
4
3
4 3 3
3
108 3
3
3
3
π
π
π
( )
5. (UFF – RJ) Em 1596, em sua obra Mysterium 
Cosmographicum, Johannes Kepler estabeleceu um 
modelo do cosmos onde os cinco poliedros regulares 
são colocados um dentro do outro, separados por esfe-
ras. A ideia de Kepler era relacionar as órbitas dos plane-
tas com as razões harmônicas dos poliedros regulares.
 A razão harmônica de um poliedro regular é a razão 
entre o raio da esfera circunscrita e o raio da esfera 
inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um polie-
dro regular é aquela que contém todos os vértices do 
poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é aquela que é 
tangente a cada uma das faces do poliedro.
 A razão harmônica de qualquer cubo é igual a:
a) 1 b) 2 c) 2 X d) 3 e) 23
A medida das arestas do cubo é a, R é o raio da esfera cir-
cunscrita e r é o raio da esfera inscrita, então:
r
a
a R R
a
=
= ⇒ =
2
3 2
3
2
 
Portanto, a razão harmônica é igual a 
R
r
a
a
= =
3
2
2
3 .
6. (UECE) Um cone circular reto está inscrito em uma es-
fera, isto é, o vértice do cone e a circunferência que 
delimita sua base estão sobre a esfera. Se a medida do 
raio da esfera é 3 m e se a medida da altura do cone 
é igual a 
2
3
 da medida do diâmetro da esfera, então o 
volume do cone, em m3, é
X a) 
32
3
π
. b) 
28
3
π
. c) 
26
3
π
. d) 
22
3
π
.
A altura do cone é h m= ⋅ =
2
3
6 4 . Observe a figura:
3
3
r
1
 
3 1
8 2 2
2 2 2
2
= +
= ⇒ =
r
r r m
 
V r h
V
V m
cone
cone
cone
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
3
1
3
2 2 4
32
3
2
2
3
π
π
π
( )
38 Volume 12
7. (UEL – PR) Um joalheiro resolveu presentear uma 
amiga com uma joia exclusiva. Para isto, imaginou um 
pingente, com o formato de um octaedro regular, con-
tendo uma pérola inscrita, com o formato de uma esfera 
de raio r, conforme representado na figura a seguir.
r
#
 Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de compri-
mento, o volume da pérola, em cm3, é:
a) 
2
3
π
 c) 
8 2
9
π
 X e) 
8 6
27
π
b) 
8
3
π
 d) 
4 6
9
π
8. (UFPR) Um cilindro de raio r está inscrito em uma es-
fera de raio 5, como indica a figura abaixo. Obtenha o 
maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro 
seja igual a 72π.
x 5
r
a) 13 2− . c) 3 2 . X e) 4.
b) 3. d) 2 5 .
Vamos falar um pouco sobre superfícies e sólidos de revolução.
Em um plano, considere uma reta e, que chamaremos de eixo, e uma linha L, que não corta essa reta. Girando essa 
linha em torno do eixo, cada ponto dela descreve uma circunferência perpendicular ao eixo, com centro nele.
e
L
e
A superfície gerada denomina-se superfície de revolução.
Veja alguns exemplos.
 • A rotação do segmento AB, paralelo ao eixo, gera a superfície lateral de um cilindro.
ee
A
B
Sugestão de atividades: questões 11 e 13 da seção Hora de 
estudo.
Matemática em detalh
es
Matemática 39
 • A rotação da poligonal retangular ABCD gera a superfície total de um cilindro.
ee
A
B
D
C
 • A rotação da poligonal triangular ABC gera a superfície total de um cone.
ee
A
B
C
Quando uma superfície S gira em torno da reta e, é gerado um sólido denominado sólido de revolução.
 • Um cilindro de revolução é gerado pela rotação de um retângulo em torno do eixo que contém um de seus 
lados.
ee
A
B
D
C
 • Um cone de revolução é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do eixo que contém um de 
seus catetos.
ee
A
B
C
Algumas superfícies, quando rotacionadas em torno de um eixo, produzem sólidos diferentes daqueles que já 
estudamos. Por exemplo, observe a rotação de um trapézio retângulo ABCD em torno de um eixo paralelo ao lado AD.
40 Volume 12
e e
CD
A B
O sólido gerado corresponde a um tronco de cone com um furo cilíndrico.
Acompanhe agora a resolução de uma questão do vestibular.
 • (PUCSP) Considere o quadrilátero que se obtém unindo quatro das intersecções das retas de equações 
x = 0, y = 0, y = 6 e 3x – y – 6 = 0 e suponha que uma xícara tem o formato do sólido gerado pela rotação desse 
quadrilátero em torno do eixo das ordenadas. Assim sendo, qual o volume do café na xícara no nível da metade 
de sua altura?
a) 31π b) 29π c) 24π d) 21π X e) 19π
Solução
Observe inicialmente a representação das retas no plano cartesiano. Em seguida, o sólido gerado pela rotação do 
trapézio determinado por essas retas em torno do eixo das ordenadas. 
y
6
0
–6
2 4 x
y = 6
3x – y – 6 = 0
6
3
3
4
r
2
Há mais de uma maneira de calcularmos o volume de café na metade da altura do tronco de cone. Veja uma delas.
Primeiro, determinamos a medida r.
r
r
3 6
2
6
3
+
= ⇒ =
O volume de café é dado pela diferença entre os volumes de dois cones, um de altura 9 e base com raio r = 3 e 
outro com altura 6 e base com raio 2.
= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
= −
=
1
3
3 9
1
3
2 6
27 8
19
2 2π π
π π
π
Vcafé
Vcafé
Vcafé
4 Sugestão de encaminhamento. 
Matemática 41
Atividades
1. Calcule a área da superfície total e o volume de cada 
sólido gerado pela rotação das seguintes figuras em 
torno do eixo correspondente. 
a) Triângulo equilátero em torno de uma altura.
6 6
6 3
3√3
O sólido obtido é um cone de altura 6 3
2
3 3= (altura do 
triângulo equilátero) e base com raio 3.
V
V
cone
cone
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
3
3 3 3
9 3
2π
π
 
A
A A
cone
cone cone
= ⋅ ⋅ + ⋅
= + ⇒ =
π π
π π π
3 6 3
18 9 27
2
b) Quadrante de um círculo em torno de um raio.
6
6
O sólido obtido é uma semiesfera de raio 6.
V
V
semiesfera
semiesfera
= ⋅
⋅
=
1
2
4 6
3
144
3π
π
 
A
A
A
semiesfera
semiesfera
semiesfera
=
⋅
+ ⋅
= +
=
4 6
2
6
72 36
108
2
2π π
π π
π
5 Gabaritos.
c) Triângulo equilátero em torno de um lado.
6
6
6
3
3√3
O sólido obtido é composto de dois cones de altura 3 (me-
tade da medida dos lados do triângulo) e base com raio 
6 3
2
3 3= (altura do triângulo equilátero).
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
2
1
3
3 3 3
54
2π
π
( )Vsólido
Vsólido
Asólido
Asólido
= ⋅ ⋅ ⋅
=
2 3 3 6
36 3
π
π
d) Paralelogramo em torno de um lado maior.
3
5
6
4
O sólido obtido é composto de um cone reto e de um cilindro 
reto com uma cavidade em formato de cone reto. Observe 
que o sólido é equivalente (mesmo volume) ao cilindro.
=
= ⋅ ⋅
=
Vcilindro
π
π
4 6
96
2
Vsólido
Vsólido
Vsólido
A área da superfície do sólido é dada pela área da superfí-
cie lateral do cilindro mais duas vezes a área da superfície 
lateral do cone.
Asólido
Asólido
Asólido
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
= +
=
2 4 6 2 4 5
48 40
88
π π
π π
π
42 Volume 12
2. As dimensões de um retângulo ABCD são 4 cm e 6 cm.
 Calcule a razão entre o volume do sólido 1, obtido pela 
rotação do retângulo em torno do lado AB, e o volume 
do sólido 2, obtido pela rotação do retângulo em torno 
do lado AD.
6 cm
4 cm
B
C
A
D
As rotações do retângulo em torno dos lados AB e AD pro-
duzem, respectivamente, um cilindro de altura 6 cm e base 
com raio 4 cm e um cilindro de altura 4 cm e base com raio 
6 cm. Assim:
V
V
1
2
2
2
4 6
6 4
4
6
2
3
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= =
π
π
3. (UEPB) A área total do sólido obtido através da rotação 
da figura plana ABCD em torno de AD é igual a:
D
5 cm
A 4 cm B
2 cm
C
a) 60π cm2 d)14π cm2
b) 88π cm2 X e) 52π cm2
c) 104π cm2 
O sólido obtido é composto de um cilindro reto de altura 2 cm 
e base com raio 4 cm e de um cone reto de altura 3 cm e 
base comum a uma das bases do cilindro. Assim, a área da 
superfície total desse sólido é a soma das áreas das superfí-
cies laterais do cilindro e do cone e da área de uma das bases 
do cilindro.
3
g
2
4
g
g g cm
2 2 2
2
4 3
25 5
= +
= ⇒ =
 
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
= + +
=
2 4 2 4 5 4
16 20 16
52
2
2
π π π
π π π
π cm
Asólido
Asólido
Asólido
4. Considere o trapézioda atividade anterior e o sólido 
obtido pela rotação em torno do lado BC. 
a) Descreva esse sólido.
O sólido obtido é um cilindro reto de altura 5 cm e base com 
raio 4 cm, com uma cavidade com formato de um cone reto 
de altura 3 cm e base comum a uma das bases do cilindro. 
b) Qual é a área total da superfície desse sólido? Essa 
área é igual à obtida na atividade anterior? 
A área da superfície total do sólido é a soma das áreas das 
superfícies laterais do cilindro e do cone e da área de uma 
das bases do cilindro.
3
5
g
2
4
g
g g cm
2 2 2
2
4 3
25 5
= +
= ⇒ =
 
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
= + +
=
2 4 5 4 5 4
40 20 16
76
2
2
π π π
π π π
π cm
Asólido 2
Asólido 2
Asólido 2
As áreas dos dois sólidos não são iguais.
c) Compare os volumes dos sólidos obtidos nas duas 
situações.
O volume do primeiro sólido é a soma dos volumes do cilin-
dro e do cone.
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
= +
=
π π
π π
π
4 2
1
3
4 3
32 16
48
2 2
3cm
Vsólido 1
Vsólido 1
Vsólido 1
O volume do segundo sólido é a diferença entre os volumes 
do cilindro e do cone.
Vsólido 2
Vsólido 2
Vsólido 2
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
= −
=
π π
π π
π
4 5
1
3
4 3
80 16
64
2 2
3cm
Matemática 43
5. (FATEC – SP) Considere o losango cujos lados medem 
6 cm e um dos ângulos internos mede 60°. A rotação 
desse losango em torno de um de seus lados gera um 
sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é
a) 146 3π c) 162 3π e) 178 3π
X b) 162π d) 178π 
O sólido formado é equivalente (mesmo volume) a um cilin-
dro de altura 6 cm e base com raio r.
r
6
6
6
60°
sen
r
r
r cm
60
6
3
2 6
3 3
° =
= ⇒ =
= ⋅ ⋅
=
π
π
( )3 3 6
162
2
3cm
Vsólido
Vsólido
6. (UNIFOR – CE) Seja o triângulo cujos vértices são as 
intersecções das retas de equações x = 0, x – 4y = 0 
e x + y – 5 = 0. A rotação desse triângulo em torno do 
eixo das ordenadas gera um sólido cujo volume é
a) 
16
3
π
 X c) 
80
3
π
 e) 
92
3
π
b) 
64
3
π
 d) 
88
3
π
 
7. (PUCSP) Num plano cartesiano ortogonal, seja o triân-
gulo ABC, em que A, B e C são as intersecções das 
retas de equações:
 y x= − −
3
2
1, y x= −
3
2
1, e y = 2.
 Considerando que a unidade das medidas nos eixos 
coordenados é o metro e π = 3,14, então a rotação do 
triângulo ABC em torno do eixo das ordenadas gera um 
recipiente cuja capacidade, em litros, é um número 
X a) menor que 15 000.
b) compreendido entre 15 000 e 18 000.
c) compreendido entre 18 000 e 21 000.
d) compreendido entre 21 000 e 24 000.
e) maior que 24 000.
8. (UESPI) Qual o volume do sólido obtido, pelo giro de um 
quadrado de lado medindo 3 2, em torno de uma de 
suas diagonais?
a) 14π b) 15π c) 16π d) 17π X e) 18π
9. (UFPR) Um sólido de revolução é um objeto obtido a 
partir da rotação de uma figura plana em torno de um 
dos eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se 
um retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um 
cilindro, como na figura abaixo.
 Considere agora a região R do primeiro quadrante do 
plano xy delimitada pelas retas r1: y = x, r2: x = 0 e 
r3: x = 1 e pela circunferência γ: x y
2 24 1+ − =( ) .
a) Utilize os eixos cartesianos abaixo para fazer um 
esboço da região R e do sólido de revolução obtido 
pela rotação dessa região em torno do eixo y.
x2 + (y – 4)2 = 1
R
0
x = 1
y = x
y
x
b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no 
item acima.
Sugestão de atividades: questões 5, 6, 12, 14 e 15 da seção Hora 
de estudo.
44 Volume 12
Nesta unidade, estudamos a esfera. Com isso, terminamos nosso estudo de geometria espacial. Complete o quadro 
a seguir com algumas relações dos principais sólidos estudados.
Volume de um prisma V A hB= ⋅
Volume de uma pirâmide V A hB= ⋅ ⋅
1
3
Volume de um cilindro V R h= ⋅π 2
Área da superfície total de um cilindro reto A R h Rtotal = ⋅ + ⋅2 2
2π π
Volume de um cone V R h= ⋅ ⋅
1
3
2π
Área da superfície total de um cone reto A Rg Rtotal = +π π
2
Volume de uma esfera V
R
=
4
3
3π
Área da superfície de uma esfera A R= 4 2π
Organize as ideias
Hora de estudo
Matemática 45
1. (ENEM) Uma empresa farmacêutica produz medica-
mentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro 
com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro 
em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas 
são moldadas por uma máquina programada para que 
os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, 
adequando o raio de acordo com o volume desejado. 
Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm 
de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir 
esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por 
consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação 
da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor 
aproximado para π. A redução do volume da pílula, em 
milímetros cúbicos, após a reprogramação da máqui-
na, será igual a
a) 168. c) 306. X e) 514.
b) 304. d) 378. 
2. (ENEM) Se pudéssemos reunir em esferas toda a água 
do planeta, os diâmetros delas seriam:
1 385 km
Toda água do planeta 
1,39 bilhões de km3
406 km
Água doce do planeta 
35,03 milhões de km3
272 km
Água doce subterrânea 
10,53 milhões de km3
58 km
Água doce superficial 
104,59 mil km3
Guia do Estudantes: Atualidades e Vestibulares+ENEM. Abril: São Paulo, 2009.
 A razão entre o volume da esfera que corresponde à 
água doce superficial e o volume da esfera que corres-
ponde à água doce do planeta é
X a) 
1
343
 c) 
1
7
 e) 
136
203
b) 
1
49
 d) 
29
136
3. (ENEM) Em um casamento, os donos da festa serviam 
champanhe aos seus convidados em taças com for-
mato de um hemisfério (figura 1), porém um acidente 
na cozinha culminou na quebra de grande parte des-
ses recipientes. Para substituir as taças quebradas, 
utilizou-se um outro tipo com formato de cone (figura 
2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de 
champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
R = 3 cm
R = 3 cm
h
Figura 1 Figura 2
 Considere:
 V Resfera =
4
3
3π e V R hcone =
1
3
2π
 Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é 
servida completamente cheia, a altura do volume de 
champanhe que deve ser colocado na outra taça, em 
centímetros, é de
a) 1,33. c) 12,00. e) 113,04.
X b) 6,00. d) 56,52. 
4. (ENEM) Um artista plástico construiu, com certa quan-
tidade de massa modeladora, um cilindro circular reto 
cujo diâmetro da base mede 24 cm e cuja altura mede 
15 cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu trans-
formar aquele cilindro em uma esfera.
 Volume da esfera: V
r
esfera =
4
3
3π
 
 Analisando as características das figuras geométricas 
envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim 
construída é igual a
a) 15 c) 24 e) 6 303
b) 12 X d) 3 603 
6 Gabaritos.
A resolução das questões desta seção deve ser feita no caderno.
46 Volume 12
5. (ENEM) Numa feira de artesanato, uma pessoa cons-
trói formas geométricas de aviões, bicicletas, carros 
e outros engenhos com arame inextensível. Em certo 
momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de 
apoio outro arame retilíneo e rígido, cuja aparência é 
mostrada na figura seguinte:
A G
B C
D
E F Arame rígido
 Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a ima-
gem de um foguete, que pode ser pensado como 
composição, por justaposição, de diversos sólidos 
básicos de revolução.
 Sabendo que, na figura, os pontos B, C, E e F são coli-
neares, AB = 4FG, BC = 3FG, EF = 2FG, e utilizando-se 
daquela forma de pensar o foguete, a decomposição 
deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada 
pela seguinte sequência de sólidos:
a) pirâmide, cilindro reto, cone reto,