Cap 25 - Capacitancia

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Capítulo 25:
Capacitância
 Capacitor 
Capacitância
 Calculo da capacitância
 Capacitores em paralelo e em série
 Energia armazenada em um campo elétrico
 Capacitor com dielétrico
 Dielétricos: uma visão atômica
 Dielétricos e a Lei de Gauss
Cap. 25: Capacitância
Índice
Cap. 25: Capacitância
Dois condutores isolados entre si e do ambiente, formam um capacitor. Quando
este dispositivo está carregado, as cargas nos condutores ou placas, tem o mesmo
valor absoluto q, e sinais opostos. Este tipo de dispositivo serve para armazenar
cargas elétricas e fornecê-las em um momento futuro.
Capacitor
Cap. 25: Capacitância
 Sempre podemos escrever a diferença de potencial V, em termos da carga q.
Capacitância
C
q
V 
 C é uma constante geométrica denominada de Capacitância. No SI sua unidade
de medida é o coulomb por volt denominado de farad [C/V = F].
Cap. 25: Capacitância
Capacitância
• Quando a chave S é fechada passa a ter corrente elétrica entre os terminais devido
ao campo elétrico criado pela bateria.
• Os elétrons se deslocam da placa a do capacitor para o terminal positivo da
bateria e a placa a fica positivamente carregada.
• Os elétrons se deslocam do terminal negativo da bateria para a placa b e ela fica
negativamente carregada. O capacitor está completamente carregado quando a
diferença de potencial do capacitor atingir o mesmo valor da bateria.
Obs: Para análise futura: as cargas não podem passar de uma placa para a outra e o capacitor
conserva a carga.
Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
Capacitor de placas paralelas
 Calcular o campo elétrico, E, entre as placas
em função de q.
0
int

q
dAnE 

EAq 0
 Calcular a diferença de potencial V entre as
placas em função de E.
 Calcular C a partir dos valores de q e V.
 
d
EdssdEV
0
 E = cte entre as placas e
tem sentido oposto ao
de ds.
EdV 
C
q
V  Ed
EA
V
q
C 0


d
A
C 0


A é a área de uma das placas do Capacitor e d é a distância que separa as placas.
Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
Capacitor Cilíndrico
 Calcular o campo elétrico, E, entre as placas em
função de q.
0
int

q
dAnE 

EAq 0
 Calcular a diferença de potencial V entre as placas
em função de E.
 Calcular C a partir
dos valores de q e V.
  sdEV

 
a
b
L
q
q
V
q
C
ln
2 0
  
a
b
L
C
ln
2 0
rLEq  20
a
br
L
q
V |ln
2 0


 
a
b
dr
rL
q
V )(
2 0
 -drds 
 
a
b
L
q
V ln
2 0

Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
Capacitor Esférico
 Calcular o campo elétrico, E, entre as placas em função
de q.
0
int

q
dAnE 

EAq 0
 Calcular a diferença de potencial V entre as placas em
função de E.
 Calcular C a partir
dos valores de q e V.
  sdEV






 

ab
abq
q
V
q
C
04








ab
ab
C 04
2
0 4 rEq 
 -drds  
a
b
dr
r
q
V )(
4 20







ba
q
r
q
V ab
11
4
|
4 00 





 

ab
abq
V
04
2
04 r
q
E


Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
A Esfera Isolada
Consideremos um capacitor esférico com a casca
esférica externa de raio infinito!
b








ab
ab
C 04
 
b
a
a
C


1
4 0
RC 04 R é o raio da esfera, neste caso R = a.
Cap. 25: Capacitância
Capacitores em Paralelo
Calculando as cargas em cada capacitor.
VCq 11  VCq 33 VCq 22 
321 qqqq 
321 CCCC 



n
j
jeq CC
1
Capacitores ligados em paralelo: A diferença de
potencial é a mesma em todos os capacitores,
inclusive no capacitor equivalente!
 A carga total armazenada no circuito (carga do
capacitor equivalente) é igual à soma da carga de
cada um dos capacitores!
VCVCVCCV 321 
Cap. 25: Capacitância
Capacitores em Série
Calculando a diferença de potencial.
321 VVVV 
321
1111
CCCCeq




n
j jeq
CC
1
11
 Capacitores ligados em série: A carga em cada um dos
capacitores é igual, inclusive no capacitor equivalente.
 A diferença de potencial do capacitor equivalente é
definida pela soma das diferenças de potencial de cada
um dos capacitores.
321 C
q
C
q
C
q
C
q
eq

CVq 
Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
Exemplo 2) pg. 119
a) Determine a capacitância equivalente da combinação de capacitores que
aparece na figura abaixo, na qual, C1 = 12 F, C2 = 5,30 F e C3 = 4,50 F.
Passo 1: Em paralelo.
Passo 2: Em série.
FCCC peq 3,173,51221 
3
111
CCC peqeq
 FCeq 57,3
b) Determine a carga acumulada no capacitor C1
quando a diferença de potencial é de 12,5 V.
CVCq eq 6,445,12)1057,3(
6
123 

abpeq VCqq  12123
VCqV peqab 58,2/12 
CVCq ab 3111 
Encontrar a carga equivalente emC123 que será a mesma em C3 e Ceq p
Calcular a diferença de potencial entre A e B.
Cap. 25: Capacitância
Cálculo da Capacitância
Exemplo 3) pg. 120
O capacitor 1, com C1 = 3,55 F, é carregado por uma bateria com
diferença de potencial de 6,3 V. A bateria é removida e o
capacitor é ligado, como na figura ao lado, a um capacitor 2 com
C2 = 8,95 F. Determine a carga dos capacitores depois que o
equilíbrio é atingido.
• Calcular q0 quando apenas o capacitor 1 é carregado.
• Após a chave ser fechada, sem a bateria, q0 = q1 + q2, assim como, V1 = V2 (Circuito em
Paralelo).
2
2
1
1
C
q
C
q

2
10
1
1 )(
C
qq
C
q 

Cq 35,61 
Cqqq 16102 
Cap. 25: Capacitância
Energia armazenada em um 
campo elétrico
 A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está associado
ao campo elétrico que existe entre as placas.
Para transferir uma carga dq’ ao capacitor
(imaginando o carregamento do capacitor), é
necessário que um agente externo realize um
trabalho dW descrito como:
C
q
dq
C
q
VdqdW
qq
ag
2
'
'
'
2
00
 
C
q
Wag
2
2

Como o capacitor estava inicialmente carregado, a variação
de Energia Potencial pode ser descrita pela energia final
acumulada no capacitor durante o processo de carga!
2
2
2
1
2
CV
C
q
WU ag 
q
W
V
ag

Cap. 25: Capacitância
Densidade de Energia
 A densidade de energia, u, é definida pela razão entre a energia acumulada e
o volume necessário para acumulá-la.
Volume
U
u 
 Para um capacitor de placas paralelas:
2
2
0
2
2
2
1
d
V
Ad
CV
u


d
A
C 0


2
0
2
1
Eu  Densidade de Energia
Cap. 25: Capacitância
Energia armazenada em um 
campo elétrico
Exemplo 5) pg 124
Uma esfera condutora isolada de raio 6,85 cm possui uma carga de 1,25 nC. a)
Qual é a energia potencial armazenada no campo desse condutor? b) Qual a
densidade de energia na superfície da esfera?
Uma esfera isolada possui capacitância dada por: RC 04
mJ
R
q
U 103
)4(2 0
2


Sabendo o Campo Elétrico na superfície da esfera, temos:
3
4
0
2
2
2
2
0
0
2
0 /4,25
)32(42
1
2
1
mmJ
R
q
R
q
Eu 










Cap. 25: Capacitância
Capacitor com um Dielétrico
Michael Faraday, constatou que em um capacitor contendo um material dielétrico -
isolantes, plásticos, óleo mineral... – a capacitância é multiplicada por uma constante
dependente da composição do dielétrico. Essa constante é chamada de constante
dielétrica, . Sendo assim, sempre que uma região for totalmente preenchida por um
material dielétrico de constante dielétrica , o valor da permissividade do vácuo, 0, deve
ser substituído por  0 em todas as equações.
0C
C

00  
Vantagens do uso dos dielétricos em capacitores:
 Facilidade em manter as placas dos capacitores separados.
 Aumento na capacitância, e por consequência, aumento no
acumulo de cargas.
 Permite aumento na diferença de potencial entre as placas
sem que haja ruptura.
Rigidez dielétrica: Campo elétrico máximo que o material 
pode tolerar sem que ocorra a ruptura. 
0 
Cap. 25: Capacitância
Capacitor com um Dielétrico
Exemplo 6) pg. 126
Um capacitor de placas paralelas cuja capacitância C é 13,5 pF é carregado por uma bateria
até que haja uma diferença depotencial V = 12,5 V entre as placas. A bateria é desligada e
uma placa de porcelana (κ = 6,5) é introduzida entre as placas. Qual a energia potencial do
capacitor (antes e depois) da introdução da placa cerâmica? (1100 pJ; 160 pJ)
Antes da introdução da placa:
2
00
2
1
VCU  pJU 11000 
Depois da introdução da placa: A carga é a mesma da situação inicial!

0
0
22
22
U
C
q
C
q
U  pJU 160
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
As moléculas dos materiais dielétricos podem ser polares ou apolares. Na presença de um
campo elétrico todas as moléculas de um dielétrico apresentam polarização. Sendo assim,
quando um campo elétrico é aplicado, os dipolos elétricos se alinham parcialmente na
direção do campo. Esse alinhamento é parcial, por causa da agitação térmica que tende a
desorientar os dipolos.
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
Do ponto de vista de um capacitor:
Se q = cte
V diminui
Se V = cte
q aumenta
101 VCq 
202 VCq 
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
Analise das cargas de um capacitor com a mesma diferença de potencial
'0 qqq 
0q
Sem dielétrico
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
Com dielétrico
0q
q
´q
q
´q
q0 = carga do capacitor sem polarizador
q = carga livre induzida na placa do
capacitor devido a inserção do dielétrico.
q’ = carga de polarização (fixa na sup. Do
dielétrico).
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
Na presença de um material dielétrico, podemos escrever a lei de Gauss da seguinte
forma:
00
int
'

qqq
dAnE



A
qq
E
0
'



Sabemos que na presença de um material
dielétrico o campo elétrico diminui:
/0EE 
A
q
E
0

'0 qq
q
q 

0

q
dAnE 

qdAnD 
 ED

 0
Vetor Deslocamento Elétrico
q é a carga livre (placa metálica).
q’ é a carga de polarização
(induzida no dielétrico).
q0 é a carga do cap. sem dielétrico.
0EE 
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
Exemplo 7) pg. 129
A figura ao lado mostra um capacitor de placas paralelas com área das placas A, distância
de separação d, carregado por meio de uma diferença de potencial V0 de uma bateria. A
bateria é removida e é introduzido um dielétrico de espessura b, com constante dielétrica
. Suponha que A = 115 cm2, d= 1,24 cm, V0 = 85,5 V, b = 0,78 cm e  = 2,61. Determine:
a) Qual a capacitância C0 antes da introdução do dielétrico?
pFC 21,80 
d
A
C 00


b) Qual o valor da carga das placas na
situação a)?
00VCq  pCq 702
c) Qual é o valor do campo elétrico entre as placas e o dielétrico?
 Na região sem a presença do dielétrico,  = 1, temos:
0
q
dAnE 

A
q
E
0
 mkVE /9,6
Cap. 25: Capacitância
Natureza dos Dielétricos
Exemplo 7) pg. 129 A = 115 cm2, d= 1,24 cm, V0 = 85,5 V, b = 0,78 cm e  = 2,61.
C0 = 8,21 pF, q = 702 pC e E0 = 6,9 kV/m.
d) Qual é o valor do campo elétrico dentro do dielétrico?
e) Qual é a diferença de potencial entre as
placas depois da introdução do dielétrico?
f) Qual é a capacitância do capacitor com o dielétrico?
 A carga antes e depois da inserção é a mesma!
qdAnE 

10
A
q
E
0
1


mkVE /64,21 
bEbdEsdEV 101 )(  



VV 3,521 
pF
V
q
C 4,13
1
1 
Cap. 25: Capacitância
Lista de Exercícios 8ª Edição
5, 7, 12, 13, 15, 17, 19, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 45, 49, 50, 53, 54, 63.
Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física:
Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3.
TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2.
SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física:
Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.
Lista de Exercícios 10ª Edição
3, 5, 14, 17, 13, 15, 21, 23, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 49, 50, 55, 54, 59.