Breve resumo sobre circuito RLC

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HENRIQUE ALVES DE LIMA 
 
BREVE RESUMO SOBRE CIRCUITO RLC 
 
DEFINIÇÃO 
 
O circuito RLC é um circuito elétrico composto por um ou mais resistores, indutores e 
capacitores, o mesmo também é conhecido como circuito ressonante ou aceitador. Pode ser 
construído tanto em série quanto em paralelo. 
É chamado de circuito de segunda ordem uma vez que qualquer tensão ou corrente no 
mesmo pode ser descrita por uma equação diferencial de segunda ordem. 
 
ANÁLISE DE CIRCUITO RLC SÉRIE SEM FONTE 
 
Considerando um circuito RLC série sem fonte, temos que o indutor nos fornecerá a 
corrente inicial I0 armazenada e o capacitor a tensão inicial armazenada V0. Temos então em t 
= 0: 
𝑣(0) =
1
𝐶
∫ 𝑖 𝑑𝑡
0
−∞
= 𝑉0 
𝑖(0) = 𝐼0 
Aplicando LKT, temos: 
𝑅𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝐶
∫ 𝑖(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
−∞
= 0 
Diferenciando e reorganizando: 
𝑑2𝑖
𝑑𝑡²
+
𝑅
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
𝑖
𝐿𝐶
= 0 
Para resolvê-la, são necessários duas condições iniciais: o valor inicial de i e sua 
primeira derivada ou os valores iniciais de alguma i e v. Como já demos o valor inicial de i 
anteriormente, conseguimos obter o valor inicial de sua derivada como demonstrado abaixo: 
𝑅𝑖(0) + 𝐿
𝑑𝑖(0)
𝑑𝑡
+ 𝑉0 = 0 
𝑑𝑖(0)
𝑑𝑡
= −
1
𝐿
(𝑅𝐼0 + 𝑉0) 
Como em circuitos de primeira ordem, podemos sugerir que a solução é na forma 
exponencial. Assim: 
𝑖 = 𝐴𝑒𝑠𝑡 
Onde determinaremos A e s, substituindo nas equações anteriores: 
𝐴𝑒𝑠𝑡 (𝑠2 +
𝑅
𝐿
𝑠 +
1
𝐿𝐶
) = 0 
Como i = Aest, apenas o que está entre parênteses pode ser 0. Assim obtemos a equação 
característica da equação diferencial, uma vez que as raízes da equação ditam as características 
básicas de i. 
𝑠1 = −
𝑅
2𝐿
+ √((
𝑅
2𝐿
)
2
−
1
𝐿𝐶
) 
𝑠2 = −
𝑅
2𝐿
− √((
𝑅
2𝐿
)
2
−
1
𝐿𝐶
) 
Assim indicando que i possui duas soluções possíveis: 
𝑖1 = 𝐴1𝑒
𝑠1𝑡, 𝑖2 = 𝐴2𝑒
𝑠2𝑡 
Assim, a resposta natural do circuito RLC em série é: 
𝑖(𝑡) = 𝐴1𝑒
𝑠1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑠2𝑡 
 
ANÁLISE DE CIRCUITO RLC PARALELO SEM FONTE 
 
Supondo que a corrente inicial no indutor e a tensão inicial no capacitor sejam: 
𝑖(0) =
1
𝐿
∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
0
−∞
= 𝐼0 
𝑣(0) = 𝑉0 
Como os três dispositivos estão em paralelo, a tensão é a mesma em todos, e a corrente 
que passa sobre eles sai do nó superior. Assim: 
𝑣
𝑅
+
1
𝐿
∫ 𝑣(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
−∞
+ 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 0 
Derivando em t e dividindo por C, temos: 
𝑑2𝑣
𝑑𝑡2
+
1
𝑅𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
1
𝐿𝐶
𝑣 = 0 
Substituindo a primeira derivada por s e a segunda por s², temos a seguinte equação 
característica: 
𝑠2 +
1
𝑅𝐶
𝑠 +
1
𝐿𝐶
= 0 
 
RESPOSTA A UM DEGRAU DE UM CIRCUITO RLC SÉRIE 
 
Considerando a figura abaixo, com a aplicação repentina de uma fonte CC, obtemos a 
reposta a um degrau. 
 
Figura 1 – Circuito RLC série com uma fonte de tensão 
 
 
Assim para t>0: 
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 + 𝑣 = 𝑉𝑠 
Onde: 
𝑖 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
Substituindo i, temos: 
𝑑2𝑣
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑣
𝐿𝐶
=
𝑉𝑠
𝐿𝐶
 
A solução para esta equação possui duas componentes: regime transitório vt(t) e regime 
permanente vss(t). 
𝑣(𝑡) = 𝑣𝑡(𝑡) + 𝑣𝑠𝑠(𝑡) 
O regime transitório é a componente da resposta total que se extingue após certo 
período, sua forma é a mesma para o circuito sem fonte e ela varia para cada amortecimento: 
𝑣𝑡(𝑡) = 𝐴1𝑒
𝑠1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑠2𝑡 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 
𝑣𝑡(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 
𝑣𝑡(𝑡) = (𝐴1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 + 𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 𝑠𝑢𝑏𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 
Já o regime permanente é o valor final de v(t). Assim: 
𝑣𝑠𝑠(𝑡) = 𝑣(∞) = 𝑉𝑠 
Assim, as soluções completas são: 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑠 + 𝐴1𝑒
𝑠1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑠2𝑡 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑠 + (𝐴1 + 𝐴2𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑠 + (𝐴1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 + 𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 𝑠𝑢𝑏𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 
Onde A1 e A2 são obtidos das condições iniciais: v(0) e dv(0)/dt. 
 
RESPOSTA A UM DEGRAU DE UM CIRCUITO RLC EM PARALELO 
 
Considerando o circuito RLC da figura abaixo 
 
Figura 2 – Circuito RLC em paralelo com uma fonte de corrente 
 
Após uma subida aplicação de corrente CC podemos calcular i ao aplicar LKC no nó 
superior para t>0: 
𝑣
𝑅
+ 𝑖 + 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝐼𝑠 
Sendo, 
𝑣 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Substituindo: 
𝑑2𝑖
𝑑𝑡2
+
1
𝑅𝐶
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
𝑖
𝐿𝐶
=
𝐼𝑠
𝐿𝐶
 
Sua solução completa dá-se por: 
𝑖(𝑡) = 𝑖𝑡(𝑡) + 𝑖𝑠𝑠(𝑡) 
Onde it é a parte transitória e iss é a parte permanente. A resposta para a parte transitória 
é a mesma para o circuito RLC paralelo sem fonte e para a parte permanente é o valor da fonte 
de corrente Is. Assim: 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑠 + 𝐴1𝑒
𝑠1𝑡 + 𝐴2𝑒
𝑠2𝑡 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑠 + (𝐴1 + 𝐴2𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑠 + (𝐴1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 + 𝐴2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡)𝑒
−𝛼𝑡 𝑠𝑢𝑏𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜