Calculo Várias Variáveis - A2 - Marco

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Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551202 - 202020.ead-12552.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 05/11/20 11:49
Enviado 05/11/20 12:43
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 54 minutos
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Pergunta 1
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Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis temos que o domínio desse tipo de função 
como o conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de formação da função . Assim, para determina
função precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
 
 
 Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
O domínio da função é o conjunto .
O domínio da função é o conjunto .
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para os valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é, 
 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é, 
 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo, .
Pergunta 2
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, e são funções de expressas por 
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Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde 
. Assim, . Dado que , temo
.
Pergunta 3
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Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradien
perpendicular à curva de nível que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto
conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como 
 . 
 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à função no ponto P(
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são: e . Calculando 
e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: , e . Assim, trocando essas inform
equação do plano obtemos 
 
.
Pergunta 4
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No ca
de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a dir
 
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Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é . Precisamos então determinar o v
vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
 - 
 
- 
 
- 
 
 
 A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . 
 
Assim, a direção de maior crescimento é .
Pergunta 5
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resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor 
 . Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expres
 . 
 
 
 Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto .
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): . 
Pergunta 6
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resposta:
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a part
Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função 
 
 Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do vetor .
 
 
 
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor gradiente são: , 
. Assim, dado o ponto (3,4), temos . O vetor é unitário, então a derivada direcio
fornecer a taxa de variação desejada: .
Pergunta 7
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resposta:
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, q
entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função no pont
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor gradiente são: , 
. Logo, . Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário c
direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado é .
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
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exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funçõ
domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função é o conjunto .
 
II - O domínio da função é o conjunto .
III - O domínio da função é o conjunto .
IV - O domínio da função é o conjunto .
 
 
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto .
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis 
fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função co
qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário. 
 
 Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa qu
derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .
 
 
 
necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional procurada é
.
Pergunta 10
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Resposta Correta: 
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da
resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivad
 com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que p
derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com relação à variável . 
 
 
 A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável , sab
 e . 
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , , e 
regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada: . Troca
expressões de e temos .