Livro - Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matematica

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Justina Motter Maccarini
Fundamentos e 
Metodologia do 
Ensino de Matemática
2ª Edição
Curitiba
2015
Fundamentos e 
Metodologia do Ensino 
de Matemática
Justina Motter Maccarini
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
M123f Maccarini, Justina Motter
Fundamentos e metodologia do ensino de matemática / Justina 
Motter Maccarini. – 2. ed. – Curitiba: Fael, 2015.
182 p.: il.
ISBN 978-85-60531-31-8
1. Matemática – Estudo e ensino I. Título
CDD 372.7
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão
Elaine Monteiro
Justina Motter Maccarini
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Imagem da Capa Shutterstock.com/abstract
Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim
A cada um dos meus familiares que caminham comigo e sem-
pre estão presentes, inclusive nas horas mais incertas.
Aos grandes professores que tive ao longo do percurso, que 
sempre me impulsionaram a buscar, a experimentar, a avançar.
A todos os alunos que estiveram comigo nesses anos de cami-
nhada, contribuindo significativamente para o meu crescimento 
pessoal e profissional.
Agradecimentos
Prefácio
Neste início do século XXI, há consenso mundial sobre a 
importância da formação dos professores para a melhoria do ensino 
e dos resultados da escola fundamental. Há consenso, também, 
sobre a necessidade de o ensino da matemática constituir-se em prá-
tica efetiva de educação matemática, campo de conhecimento que 
articula a matemática com os saberes da psicologia cognitiva, da 
história, da antropologia, entre outros, e que objetiva formar cida-
dãos instrumentalizados para agir com autonomia, responsabilidade 
e precisão nos processos culturais da atualidade.
Mas como aprimorar os processos de educação matemática? 
Como auxiliar professores e futuros professores de matemática a 
desempenharem a função didática com eficiência? Como articular 
saberes essenciais à prática de ensino de conteúdos matemáticos? 
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Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Como realizar práticas de ensino que, ao mesmo tempo, superem a repetição 
mecânica de registros gráficos e ultrapassem a compreensão ingênua de que o 
pensamento matemático independe de desafios e de sistematização didática? 
Como professores podem aprender a planejar e a efetivar práticas de 
ensino na forma de situações-problema, focadas no estudo e na aprendizagem 
de relações entre números, operações, espaços, formas, grandezas, medidas e 
tratamento de informações cotidianas?
Essas indagações estão presentes no dia a dia de professores e de gestores 
educacionais que objetivam melhorar a qualidade do ensino e os resultados 
escolares brasileiros. Este livro de Maccarini traz, de forma clara e bem dosada, 
uma resposta a essas indagações. Uma resposta metodicamente organizada de 
formação em educação matemática para professores e futuros professores dos 
anos iniciais. Uma resposta elaborada na pauta de conexão que somente uma 
professora-pesquisadora consegue construir: a que une fundamentos teóricos 
à prática pedagógica, no rumo da aprendizagem de professores para a efetiva 
aprendizagem de seus alunos.
Nara Salamunes1 
1 Mestre em educação pela Universidade Federal do Paraná e Doutora em informática na 
educação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Além de escritora, atualmente é 
professora universitária e diretora do Departamento de Ensino Fundamental da Prefeitura 
Municipal de Curitiba. Possui experiência na área de educação, com ênfase em currículos espe-
cíficos para níveis e tipos de educação, atuando principalmente nos seguintes temas: formação 
docente, alfabetização, currículo e avaliação.
Sumário
 Apresentação | 9
1 Do ensino tradicional à educação matemática | 11
2 A criança e o conhecimento matemático | 23
3 Objetivos do ensino da matemática | 31
4 Conteúdos matemáticos | 47
5 Abordagem metodológica dos conteúdos | 67
6 Operações mentais lógico-matemáticas | 89
7 Números e geometria | 107
8 Operações fundamentais | 129
9 Resolução de problemas | 149
10 Avaliação | 167
 Referências | 177
Apresentação
A produção de um material destinado à formação pedagógica 
de profissionais pedagogos em educação matemática remete-me à 
trajetória relacionada às minhas vivências e aos contatos com profes-
sores, nas mais diversas situações de formação: inicial, continuada 
ou permanente, e dos mais diferentes locais e contextos.
Algumas lacunas deixadas pela formação acadêmica em 
torno do conhecimento de conceitos, conteúdos e encaminhamen-
tos metodológicos básicos da matemática, referentes à Educação 
Infantil e aos anos iniciais do Ensino Fundamental, evidenciam-se 
na observação e no contato com profissionais que atuam nesses seg-
mentos educacionais escolares.
– 10 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Por isso, este material foi produzido com base nessas vivências, nos estu-
dos, nas diretrizes nacionais e nas pesquisas em educação matemática, deline-
ando o que é essencial e imprescindível para a formação do profissional peda-
gogo, com ênfase na construção significativa do saber matemático, aliando 
teoria e prática. A reflexão contínua e permanente permeia o estudo de cada 
tópico, favorecendo o desenvolvimento da autonomia de estudo do leitor.
Outro aspecto relevante, levado em consideração nesta produção, é a 
busca constante pela excelência profissional que está presente em todos os 
segmentos da sociedade. Nesse universo, o pedagogo se depara com a exigên-
cia na competência de educar e de articular os elementos componentes da 
formação acadêmica do educando. A educação matemática é parte integrante 
deste cenário educacional e social, cujas relações são bastante complexas.
A educação matemática percebida e proposta no cenário nacional atual 
é o resultado de uma longa trajetória de pesquisas, estudos e enfrentamentos 
ocorridos nas últimas décadas. Isso foi possibilitado pelo empenho de educa-
dores e pesquisadores matemáticos insatisfeitos com o ensino da Matemática, 
cuja antiga ênfase estava na memorização de procedimentos e técnicas, na 
repetição mecânica de exercícios modelos, passando a ideia de uma matemá-
tica pronta e acabada, muitas vezes, sem compreensão e sem significado.
Atualmente, propõe-se uma educação matemática voltada para a cons-
trução e apropriação do conhecimento com compreensão e com significado, 
percebendo a sua trajetória histórica e a sua relevância social e cultural.
Portanto, ensinar e aprender matemática consiste em perceber o sentido 
matemático de cada conteúdo e/ou conceito, seja na geometria, nas quanti-
dades numéricas, nas operações, nas medidas, nas informações veiculadas na 
mídia, bem como nas abstrações, nos registros simbólicos, na linguagem e na 
lógica interna de sua estruturação.
A autora1 
1 Justina Motter Maccarini é especialista em educação matemática e Educação a Distância e 
Mestre em educação. Professora de matemática da rede pública e privada de Curitiba (PR) e 
de cursos de Pós-graduação. É, também, autora de diversas obras didáticas e paradidáticas, 
inclusive com obra didática aprovada pelo PNLA/MEC e consultora e docente de cursos e ofi-
cinas de formação continuada de professores em educação matemática para Educação Infantil 
e Ensino Fundamental.
Historicamente há diferentes formas de perceber e con-
ceber o ensino e a aprendizagem da matemática de acordo com 
os diferentes contextos culturaise sociais em que as sociedades 
estão imersas.
Isso nos leva a perceber que o conhecimento matemático foi 
sendo construído pela humanidade. Portanto, é um conhecimento 
histórico, conquistado em um processo contínuo e cumulativo, com 
acertos e erros, que foi se compondo em um corpo de conhecimen-
tos estruturados e organizados, com características e linguagem pró-
prias. Essa construção do conhecimento foi avançando, e avança, 
de acordo com as necessidades apresentadas pelos seres humanos e 
pelas relações decorrentes da vida em sociedade.
Do ensino tradicional à 
educação matemática
1
– 12 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Para situar a educação matemática no contexto histórico atual e compre-
ender alguns fatos e encaminhamentos utilizados atualmente, cabe descrever 
uma breve trajetória do ensino da matemática no Brasil, ocorrido nas últimas 
décadas, nos reportando à década de 1950. Esse período foi marcado por 
inúmeras e grandes discussões em torno do ensino da matemática no país, 
influenciadas pelas discussões que estavam ocorrendo internacionalmente.
As discussões sobre o ensino da matemática e a busca por novos cami-
nhos são impulsionadas pela expansão industrial e pela necessidade de recons-
trução social e econômica do período Pós-Guerra1, na tentativa de que o 
ensino favorecesse uma política social e econômica em prol da modernização 
de tais estruturas.
D’Ambrósio (2001) faz referência a esse período, destacando a impor-
tância da matemática como instrumento de base para a reconstrução social e 
econômica social.
Instrumentos materiais (armamento e tecnologia de suporte) e intelec-
tuais (ideologias e teorias sociais e econômicas) foram desenvolvidos 
como suporte ao conflito. Esses instrumentos materiais e intelectuais 
tinham e têm, como base, a matemática.
Para o desenvolvimento desses instrumentos surgiram, como aconteceu 
em outros tempos da história, novas áreas de pesquisa matemática. Não 
só nos conteúdos, mas também novos conceitos de rigor e de critérios 
de verdade (D’AMBRÓSIO, 2001, p. 16).
Nesse período, as escolas brasileiras trabalhavam com o ensino tradicio-
nal da matemática, o que vinha gerando certa insatisfação entre os pesquisa-
dores e os professores diante dessa forma de conceber e ensinar matemática.
1.1 Ensino tradicional da matemática
Pensar sobre o ensino tradicional da matemática é referir-se a uma prá-
tica educacional que perpassa várias décadas e ainda se faz presente em mui-
tos momentos da prática pedagógica, que, por vezes, se mostra disfarçada 
1 Período após 1945. A Segunda Guerra Mundial ocorreu no período de 1939 a 1945, sendo 
considerada uma das maiores catástrofes provocadas pelo ser humano em toda a sua história. 
Envolveu setenta e duas nações dos cinco continentes, alguns de forma direta e outros, indire-
tamente; mas afetou a todos.
– 13 –
Do ensino tradicional à educação matemática
por novos discursos ou tendências de novos encaminhamentos. No entanto, 
essa forma de conceber o ensino da matemática está fortemente presente até 
a década de 1950 e 1960, quando surgem grandes discussões em torno do 
ensino da matemática no país.
Na concepção tradicional de ensino da matemática, evidenciam-se dois 
papéis bem distintos no processo do ensinar e do aprender:
 2 o do professor que – ensina, avalia, pergunta, cobra, enfim, detém 
o saber, o poder e o controle sobre o que ensina e deve ser ensinado;
 2 do aluno que – aprende, busca o saber que não possui, responde, 
reproduz o que o professor ensina, somente é avaliado (não par-
ticipa do processo de avaliação), enfim, é um ser passivo que só 
recebe o saber. A responsabilidade pela aprendizagem recai toda 
sobre o aluno.
Segundo Micotti (1999):
Este ensino acentua a transmissão do saber já construído, estruturado 
pelo professor; a aprendizagem é vista como impressão, na mente dos 
alunos, das informações apresentadas nas aulas. O trabalho didático 
escolhe um trajeto “simples” – transferir para o aprendiz os elementos 
extraídos do saber criado e sistematizado, ao longo da história das ciên-
cias, fruto do trabalho dos pesquisadores. As aulas consistem, sobre-
tudo, em explanações sobre temas do programa; entende-se que basta o 
professor dominar a matéria que leciona para ensinar bem (MICOTTI, 
1999, p. 156-157).
De acordo com Micotti (1999), o ensino tradicional da matemática 
priorizava a memorização pela memorização, ou seja, a “decoreba”, a repe-
tição mecânica de exercícios modelos, muitas vezes sem compreensão e sem 
significado para o aluno.
A prática do ensino tradicional da matemática conduzia o indivíduo a 
atitudes passivas, de simples aceitação frente às situações que se apresenta-
vam nos diversos contextos sociais, com destaque ao ambiente escolar, cujo 
questionamento e a criticidade não eram bem-aceitos, contribuindo para a 
formação de pessoas alienadas e submissas.
É evidente que essa forma, com certa rigidez no ensino da matemática e 
papéis bem definidos entre professor e aluno, presente no contexto educacio-
– 14 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
nal, sofre alterações e se flexibiliza no decorrer da segunda metade do século 
XX. No entanto, são perceptíveis, ainda, algumas marcas do ensino tradicio-
nal no contexto educacional atual.
No final da década de 1950 e no decorrer da década de 1960, foram 
realizados cinco congressos nacionais (1955, 1957, 1958, 1962 e 1966) para 
discutir a situação do ensino da matemática no Brasil, acompanhando as dis-
cussões e tendências internacionais.
1.2 Movimento da Matemática Moderna (MMM)
A partir da mobilização dos professores e educadores matemáticos, 
desencadeada nos congressos nacionais citados anteriormente, é criado o 
Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (GEEM), em 1961, em São 
Paulo, sob a coordenação do professor Osvaldo Sangiorgi, que foi também 
um dos pioneiros na divulgação da Matemática Moderna no Brasil.
Ao situar a trajetória do ensino da matemática no processo histórico das 
reformas, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 19) assim 
se expressam em relação ao Movimento da Matemática Moderna no Brasil:
A Matemática Moderna nasceu como um movimento educacional ins-
crito numa política de modernização econômica e foi posta na linha 
de frente do ensino por se considerar que, juntamente com a área das 
Ciências, ela constituía uma via de acesso privilegiada para o pensa-
mento científico e tecnológico. Para tanto procurou-se aproximar a 
matemática desenvolvida na escola da matemática como é vista pelos 
estudiosos e pesquisadores.
O ensino proposto fundamentava-se em grandes estruturas que orga-
nizavam o conhecimento matemático contemporâneo e enfatizava 
a teoria dos conjuntos, as estruturas algébricas, a topologia, etc. Esse 
movimento provocou em vários países do mundo inclusive no Brasil, 
discussões e amplas reformas no currículo de matemática.
Portanto, o Movimento da Matemática Moderna buscou reformular e 
modernizar os currículos escolares, procurando aproximar a matemática esco-
lar da matemática pura. Com isso, foi dada ênfase às estruturas que compõem 
o conhecimento matemático apoiado na lógica, na álgebra, na topologia, na 
– 15 –
Do ensino tradicional à educação matemática
ordem, com destaque para a teoria dos conjuntos. Houve uma preocupação 
exagerada com as abstrações, ocorrendo o excesso de formalização.
Segundo Fiorentini (1995), houve um destaque excessivo no uso da lin-
guagem e no uso correto dos símbolos, tratando-os com precisão, com rigor, 
deixando de lado os processos que os produzem, porque a ênfase era dada ao 
lógico sobre o psicológico, o formal sobre o social, o sistemático-estruturado 
sobre o histórico. A matemática foi tratada como se fosse neutra, pronta e 
acabada e não tivesse relação alguma com questõessociais e políticas.
Com uma matemática extremamente formal, centrada em sua estrutura 
e no rigor das suas regras, símbolos e procedimentos, os alunos começaram a 
apresentar dificuldades na aprendizagem, não conseguindo estabelecer cone-
xão entre o que era ensinado e a realidade vivida. Para os alunos, a matemática 
ensinada nas escolas passa a estar distante da realidade, fora do contexto no 
qual eles viviam.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 19) também 
destacam que o Movimento da Matemática Moderna não levou em conside-
ração a questão da linguagem e da simbologia adequadas às crianças em suas 
diferentes faixas etárias, não observando a fase do desenvolvimento psicoló-
gico e neurológico infantil. Com isso, determinados conteúdos eram inaces-
síveis às crianças no momento escolar em que eram trabalhados. “Essas refor-
mas deixaram de considerar um ponto básico que viria a tornar-se seu maior 
problema: o que se propunha estava fora do alcance dos alunos, em especial 
daqueles das séries iniciais do Ensino Fundamental.”
No final da década de 1970, começa o declínio do Movimento da Mate-
mática Moderna, como é denominado por vários pesquisadores e educadores 
como: “o fracasso da Matemática Moderna”.
Mesmo diante desse cenário, com inúmeras críticas, vários educado-
res e pesquisadores do ensino da matemática consideram que o Movimento 
da Matemática Moderna deixou um saldo positivo, no sentido de favorecer 
novas formas de conduzir o ensino da matemática em sala de aula, ampliando 
o debate e as discussões em torno do processo do ensinar e do aprender 
matemática. Outro aspecto destacado por educadores, tais como Ubiratan 
D’Ambrósio (2002), foi de que o Movimento da Matemática Moderna con-
tribuiu positivamente para a diminuição na ênfase, quase que exclusiva, em 
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Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
contas e “carroções” e cálculos envolvendo muita “decoreba”, favorecendo, 
assim, uma participação maior do aluno e de novas formas de pensar o ensino 
da matemática.
Assim como há práticas pedagógicas adequadas e não adequadas do 
ensino tradicional da matemática, que persistem no âmbito escolar até hoje, 
há também questões relacionadas ao Movimento da Matemática Moderna 
que permeiam as práticas pedagógicas, as quais nem sempre estão em conso-
nância com os anseios da sociedade atual.
 Reflita
“A matemática precisa ser ensinada como um instrumento para a inter-
pretação do mundo em seus diversos contextos. Isso é formar para a 
criticidade, para a indignação, para a cidadania e não para a memo-
rização, para alienação, para a exclusão.” (ROCHA, 2001, p. 30).
Faça uma reflexão sobre esse pensamento de Rocha confrontando-o 
com as principais características do ensino tradicional da matemática e 
do Movimento da Matemática Moderna.
1.3 Novas tendências: ensino da 
matemática e educação matemática
A partir da década de 1980, algumas tendências do ensino da matemá-
tica ganharam força, tais como a modelagem, a etnomatemática e a resolução 
de problemas. Onuchic (1999, p. 204) destaca que “a Resolução de Proble-
mas ganhou espaço no mundo inteiro. Começou o movimento a favor do 
ensino de resolução de problemas”.
Outra tendência que ganhou destaque nesse período é a que considera 
a matemática uma ciência em construção relacionada a um contexto social e 
histórico, conforme relata Fiorentini (1995).
A matemática, sob o ponto de vista histórico-crítica não pode ser con-
cebida como um saber pronto e acabado, mas, ao contrário, como 
um saber vivo, dinâmico e que, historicamente, vem sendo constru-
– 17 –
Do ensino tradicional à educação matemática
ído, atendendo a estímulos externos (necessidades sociais) e internos 
(necessidades teóricas de ampliação dos conceitos) (FIORENTINI, 
1995, p. 31).
Essa tendência, relacionada à importância de se pensar a matemática 
como uma construção relacionada à realidade e que o conhecimento mate-
mático é uma construção constante, também é destacada por Onuchic (1999, 
p. 215), o qual afirma que: “a atividade matemática escolar não se resume a 
olhar para as coisas prontas e definidas, mas para a construção e a apropria-
ção, pelo aluno, de um conhecimento do qual se servirá para compreender e 
transformar a realidade.”
As diversas tendências e formas de ver e conceber a matemática no 
âmbito educacional começam a estruturar a educação matemática no Brasil 
como campo profissional e científico, que recebe um grande impulso quando 
pesquisadores, professores e educadores se agregam no Primeiro Encontro 
Nacional de Educação Matemática (I ENEM), em 1987, na cidade de São 
Paulo. Foi um encontro científico com dimensões nacionais e a sua realização 
confirmou a existência de uma comunidade de educadores preocupados com 
o ensinar e o aprender matemática na escola, ou seja, com a educação mate-
mática de fato.
Esse grupo de educadores matemáticos articulou o Segundo Encontro 
Nacional de Educação Matemática (II ENEM) e a criação de uma sociedade 
para congregar os educadores matemáticos de todo o país e fortalecer as ten-
dências da educação matemática no país. Em janeiro de 1988, em Maringá, 
no Paraná, acontece o II ENEM, com a criação e a oficialização da Sociedade 
Brasileira de Educação Matemática (SBEM).
Portanto, a SBEM2 se constitui em um fórum permanente de debate, 
de troca de ideias, experiências, informações e resultados de pesquisas, assim 
como incentiva a pesquisa e divulga as tendências e questões relacionadas 
à educação matemática. Os Encontros Nacionais de Educação Matemática 
(ENEM) que congregam pesquisadores, educadores e professores que tra-
balham e desenvolvem atividades relacionadas à educação matemática são 
realizados periodicamente em diferentes regiões do país.
2 Para mais informações, consulte o site: <http://www.sbem.com.br>.
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Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Diante desse cenário, o conhecimento matemático ficou em evidência e 
a sua importância desencadeou inúmeras reflexões e pesquisas com o foco nos 
processos que envolvem o seu ensino e a sua aprendizagem.
Podemos pensar então: o que caracteriza o ensino da matemática? E 
a educação matemática? Há diferença entre ensino da matemática e edu-
cação matemática?
Alguns pesquisadores matemáticos que desenvolvem pesquisas voltadas 
para a matemática educacional, como é o caso de Baldino (1991, p. 51), 
fazem algumas considerações em torno dessas questões, dizendo que: “falar 
em ensino lembra ‘didática’, lembra ‘instrução’, ‘transmissão’, ‘apresentação’; 
abre o campo da técnica. Falar em educação lembra “pedagogia’, lembra 
‘aprendizagem’, ‘motivação’, ‘desejo’; abre o campo do sujeito situado no con-
texto social.”
O foco do ensino da matemática está em como ensinar determinado 
assunto ou conteúdo, isto é, “como desenvolver determinada habilidade, rela-
cionada a algum pedaço específico dessa disciplina, é parte da educação mate-
mática, mas está longe de ser o todo” (BICUDO, 1991, p. 33).
Por outro lado, ao expressar o que significa a educação matemática, 
Bicudo (1991, p. 33) recorre, primeiramente, ao conceito de educação, 
dizendo que o seu estudo implica a compreensão mais completa possível do 
significado de Homem e da sociedade, portanto: “a educação matemática 
deve compreender a reflexão de em que medida pode a matemática concorrer 
para que o homem e a sociedade satisfaçam o seu destino.”
O ensino da matemática é um dos aspectos da educação matemática, 
que se caracteriza como um processo educacional imbuído da totalidade e se 
desenvolve a partir do conhecimento matemático.
A educação matemática é uma área do conhecimento das ciências 
sociais e humanas que estuda o ensino e a aprendizagem da matemá-
tica. De modo geral, poderíamos dizer que a educação matemática 
caracteriza-se como uma práxis que envolve o domíniodo conteúdo 
específico (a matemática) e o domínio das ideias e processos peda-
gógicos relativos à transmissão/assimilação e/ou à apropriação/cons-
trução do saber matemático escolar (FIORENTINI; LORENZATO, 
2006, p. 5).
– 19 –
Do ensino tradicional à educação matemática
Diante disso, evidencia-se o ensino da matemática como uma prática 
pedagógica voltada para as questões metodológicas. Nesse sentido, o ensino 
da matemática se depara com questionamentos do tipo:
 2 Que recursos são mais adequados para se trabalhar um determi-
nado conteúdo?
 2 Como desenvolver, da melhor forma possível, os conteúdos em sala 
de aula?
 2 Que atividades podem ser mais interessantes para que o aluno 
aprenda matemática com mais facilidade?
 2 Qual é a forma mais adequada de transmitir esse ou aquele 
conteúdo?
Nesse tipo de encaminhamento, percebe-se que a busca está voltada para 
o melhor método ou técnica para o ensino da matemática.
A prática pedagógica, na perspectiva da educação matemática, além de 
incluir os métodos e técnicas utilizadas no ensino da matemática, dá ênfase 
aos aspectos sociais, políticos, históricos e culturais do conhecimento mate-
mático. Nesse sentido, a educação matemática se depara, além dos questio-
namentos anteriores, com questões do tipo:
 2 Que matemática deve ser trabalhada com estes alunos que perten-
cem a este grupo social inserido nessa sociedade?
 2 Esse ou aquele conteúdo matemático é relevante ou não para 
estes alunos?
 2 Qual é a relevância histórica desse conteúdo matemático?
 2 Que contribuições esse conhecimento matemático pode dar aos 
alunos em um determinado momento e espaço?
 2 Como o aluno aprende?
 2 Que relações podem ser estabelecidas entre o conteúdo matemático 
e a vida social, política e cultural dos alunos?
 2 Qual é a contribuição social do estudo de um determinado conte-
údo matemático?
– 20 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 2 Como trabalhar uma matemática inclusiva? Ou seja, como incluir 
o indivíduo para uma participação social mais efetiva por meio do 
conhecimento matemático?
Nessa perspectiva de trabalho pedagógico, evidenciam-se as inúmeras 
relações que se estabelecem em uma sociedade humana, que vão além dos 
conteúdos, métodos e técnicas. Convém ressaltar que, na educação mate-
mática, há uma preocupação, também, com o não esvaziamento do conhe-
cimento matemático, ou seja, os conteúdos não podem ser trabalhados de 
forma superficial.
Diante do exposto, fica evidente que a educação matemática é um 
campo do conhecimento que estabelece relações com as outras áreas do 
conhecimento, como a sociologia, a psicologia, a pedagogia, a linguística, a 
história, a epistemologia da ciência, além da matemática, é evidente. A educa-
ção matemática é uma área que dialoga com várias disciplinas, apresentando 
características interdisciplinares, cujo centro é a matemática.
 Reflita
“Ao passar de uma sociedade rural, onde ‘poucos precisavam conhe-
cer matemática’, para uma sociedade industrial onde mais gente ‘pre-
cisava aprender matemática’ em razão da necessidade de técnicos 
especializados, daí para uma sociedade de informação onde a maioria 
das pessoas ‘precisa saber matemática’ e, agora, caminhando para 
uma sociedade do conhecimento que exige de todos ‘saber muita 
matemática’, é natural que o homem se tenha interessado em pro-
mover mudanças na forma de como se ensina e como se aprende 
matemática.” (ONUCHIC, 1999, p. 200).
Faça uma reflexão sobre a afirmação de Onuchic, identificando os 
diferentes momentos históricos e sociais em que o conhecimento 
matemático se fez presente, como ele era considerado pelas pes-
soas e como se destacou nesses diferentes momentos. Reflita também 
sobre as formas como a matemática se faz presente na sociedade atual 
e a sua importância no contexto social atual.
– 21 –
Do ensino tradicional à educação matemática
 Da teoria para a prática
A utilização do livro didático nas escolas é uma das práticas esco-
lares que se intensificaram a partir do Movimento da Matemática 
Moderna e que ganhou força nessas últimas décadas.
• Providencie alguns livros didáticos de matemática, se possível de 
diferentes épocas.
• Analise as diferentes formas de encaminhamento dos conteúdos 
matemáticos que são utilizados para favorecer a aprendizagem 
dos alunos, confrontando essas formas de apresentação dos con-
teúdos com o texto estudado anteriormente.
• Agora, resolva as questões a seguir.
1. É possível identificar alguma situação analisada nesses livros 
didáticos, com enfoque no ensino tradicional da matemática? 
Destaque e justifique a sua resposta.
2. É possível identificar alguma situação, nesses livros didáticos, 
que possa fazer referência ao Movimento da Matemática 
Moderna? Por quê?
3. É possível identificar alguma situação encontrada no livro 
didático cujo foco está no ensino da matemática? Destaque e 
justifique.
4. É possível identificar alguma situação encontrada no livro 
didático cujo foco está na educação matemática? Destaque 
e justifique.
Síntese
A educação matemática no Brasil mostrou seus primeiros sinais na 
década de 1950, por meio da movimentação dos professores e educadores 
insatisfeitos com o ensino da matemática. Nesse período, o ensino da mate-
mática era caracterizado pela forma tradicional, cujo foco era a aprendiza-
– 22 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
gem por repetição mecânica de exercícios modelos, sem a preocupação com a 
compreensão e o significado dos símbolos, propriedades, registros e procedi-
mentos. O professor e o aluno tinham papéis bem distintos e definidos.
No decorrer da década de 1960, foi implantado o Movimento da Mate-
mática Moderna no Brasil, procurando reformular e modernizar os currícu-
los escolares, dando ênfase aos aspectos formais da matemática, apoiado na 
lógica, na álgebra, na topologia, na ordem, com destaque para a teoria dos 
conjuntos. Houve uma preocupação exagerada com as abstrações, ocorrendo 
um excesso de formalização.
Na década de 1980, com o declínio da Matemática Moderna, inten-
sificaram-se as discussões em torno do ensino da matemática, e começam a 
ganhar força as propostas que enfatizam a educação pela matemática e não a 
educação para a matemática. Com isso, a educação matemática, como campo 
do conhecimento, ganha espaço e se consolida como uma área significativa 
nas pesquisas e no âmbito escolar. A educação matemática tem como foco a 
matemática e todas as relações humanas, sociais, culturais e históricas envol-
vidas com o conhecimento matemático e no processo do ensinar e do apren-
der matemática.
Desde o seu nascimento, inúmeras ideias e raciocínios mate-
máticos estão presentes, mesmo que intuitivamente, nos espaços e 
ambientes da vida da criança. Sendo assim, cultural e socialmente, 
ela está em permanente contato com situações que envolvem mate-
mática. No entanto, a aquisição da linguagem matemática formal, 
o estudo organizado e sistematizado do conhecimento matemático 
se dá a partir da sua iniciação na escolarização, que começa desde a 
Educação Infantil.
No decorrer do processo do ensino e da aprendizagem de 
matemática, é necessário estar atendo para algumas características 
importantes do desenvolvimento da criança.
A criança e o 
conhecimento 
matemático
2
– 24 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
2.1 Fases do desenvolvimento da criança 
e o conhecimento matemático
Nos primeiros anos de vida, de acordo com Piaget, a criança está na fase 
sensório-motora, que se caracteriza, principalmente, pelo brincar sozinha e 
pela não vinculação de regras nas brincadeiras. O que predomina, nessa fase, 
é o que lhe chama mais a atenção momentânea e intuitivamente. Não se des-
taca nos aspectos de lógica formal. A relação da criança com o conhecimentomatemático é basicamente intuitiva e apoiada em objetos concretos e que 
perpassam as experiências sensoriais.
Para ilustrar, podemos citar uma situação que é bastante comum no 
meio social em que vivemos: é o caso de quando solicitado para uma criança 
que está fazendo um ano de idade: “quantos aninhos você está fazendo?” e ela 
imediatamente mostra:
Ao levar um dedo indicando um ano de idade, não significa que ela 
conhece o número 1 ou que estabelece relação entre o número 1 e a quanti-
dade mostrada: 1 dedo. Essa é uma ação intuitiva adquirida pela interferência 
e estímulos advindos do meio social em que ela vive.
Em seguida, a partir dos dois ou três anos de idade, a criança começa a per-
ceber e estabelecer relações com outras crianças e com outros elementos presentes 
no espaço. Ela entra na fase denominada por Piaget como pré-operatória, cuja 
relação com outras crianças começa a ser significativa, e o estabelecimento de 
pequenos comandos e regras comuns aos participantes das brincadeiras come-
– 25 –
A criança e o conhecimento matemático
çam a ser percebidos e respeitados pela criança. Nessa fase, a criança brinca, 
também, de faz de conta, ou seja, começa a criar representações simbólicas para 
situações do real; ela mostra sinais da ação do imaginário, com isso, as regras 
começam a ser estabelecidas e a fazer parte das suas brincadeiras e jogos.
Para ilustrar, podemos citar as representações que as crianças fazem a 
partir de brincadeiras que vivenciam com outras crianças. Uma dessas brinca-
deiras é o lançamento de dados.
 
Ao lançar um dado e sair o número 3, a criança consegue estabelecer 
relações entre o símbolo numérico e a quantidade de objetos que ele repre-
senta, assim como percebe quantidades maiores e menores, ao compará-las 
entre si.
três tampinhas menos de três tampinhas mais de três tampinhas
Com o desenvolvimento das estruturas mentais proporcionadas pelo pró-
prio desenvolvimento do ser humano e pelas experiências culturais e sociais e 
as interferências do meio, a criança entra na fase das operações concretas, que, 
segundo Piaget, inicia-se por volta dos 5 a 7 anos de idade. Nessa fase, a criança 
organiza as experiências em um todo consciente, faz juízo racional de suas expe-
riências, faz classificações, seriações e agrupamentos, utilizando critérios iso-
lados ou simultâneos com diferentes formas de organização, torna reversíveis 
as operações que executa e pensa sobre um determinado evento de diferentes 
– 26 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
perspectivas, faz operações aditivas e multiplicativas com números inteiros e 
fracionários, resolve situações problemas por meio de representações e registros 
matemáticos, estima resultados e confere-os, entre outras características.
Em seguida, a criança entra na fase das operações formais, período da 
pré-adolescência ou adolescência, que tem como principais características: o 
pensamento formal, as abstrações e o raciocínio sobre hipóteses. Citamos essa 
fase do desenvolvimento, enquanto informação, mas não vamos detalhá-la, 
pois não é objetivo deste trabalho.
2.2 Para além das fases do desenvolvimento
Sabe-se, no entanto, que pesquisas recentes mostram que a aprendi-
zagem matemática está relacionada às fases de desenvolvimento sim, mas, 
também, a estímulos e interferências proporcionadas nas relações sociais. Por-
tanto, as crianças, quando estimuladas por meio da convivência com outras 
pessoas, podem apresentar um desenvolvimento cognitivo diferenciado de 
outras crianças da mesma idade, de acordo com as intervenções do meio em 
que ela está inserida.
Nesse sentido, o professor exerce papel fundamental no desenvolvi-
mento e na relação da criança com o conhecimento matemático, na medida 
em que valoriza e aproveita as experiências já vivenciadas por ela, fazendo 
– 27 –
A criança e o conhecimento matemático
as devidas intervenções e proporcionando a ampliação desse conhecimento. 
Nesse sentido, Nunes e Bryant (1997, p. 230) se expressam, afirmando:
As crianças raciocinam sobre matemática e seu raciocínio melhora à 
medida que elas crescem. Elas herdam o poder das ferramentas cultu-
rais matemáticas, em parte, como resultado de serem ensinadas sobre 
elas, e, em parte, devido a experiências informais fora da escola. A varie-
dade de experiências matemáticas que as afetam em quase todas as eta-
pas de suas vidas pode, a princípio, causar-lhes dificuldades, pois um 
dos seus maiores problemas é compreender que relações matemáticas 
e símbolos não estão vinculados a situações específicas. Mas o valor de 
suas experiências informais e a genuinidade de sua aprendizagem mate-
mática fora da escola deveriam ser reconhecidos por pais, professores e 
pesquisadores igualmente. Devemos ajudar as crianças a reconhecer o 
poder de seu raciocínio e devemos ajudá-las a formar uma visão nova, 
uma nova representação social da matemática que torne fácil para elas 
levar sua compreensão da vida cotidiana para a sala de aula.
Portanto, a relação da criança com o conhecimento matemático se dá 
a partir das relações que ela estabelece com o mundo em que vive, inicial-
mente, de forma intuitiva e vai se ampliando e adquirindo novas estruturas à 
medida que ela cresce e estabelece novas relações com o meio social e cultural 
em que está inserida. Posteriormente, ao ser inserida no processo educacio-
nal escolar, a criança se depara com as representações abstratas da linguagem 
formal e simbólica da matemática, cujos raciocínios são ampliados e adqui-
rem novos significados.
 Reflita
“Compreender é inventar ou reconstruir através da reinvenção, e será 
preciso curvar-se ante tais necessidades se o que se pretende, para 
o futuro, é termos indivíduos capazes de produzir ou de criar, e não 
apenas de repetir.” (PIAGET).
Partindo do pressuposto que a criança deve compreender os signi-
ficados de cada aprendizagem matemática, faça uma reflexão sobre 
esse pensamento de Piaget e estabeleça um paralelo entre ele e a 
relação que a criança tem com o conhecimento matemático na vida 
cotidiana e no âmbito escolar.
– 28 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 Da teoria para a prática
Muitos educadores e pesquisadores atualizados destacam a 
importância da atividade lúdica para o desenvolvimento inte-
lectual das crianças nas diferentes fases da aprendizagem e 
consideram-na indispensável à prática educativa, destacando 
a sua importância no desenvolvimento dos raciocínios lógico-
-matemáticos.
Com esse pensamento, realize a atividade lúdica a seguir.
 2 Providencie:
 2 2 dados comuns;
 2 tabela com os números e as sete figuras de petecas;
 2 alguns marcadores, sendo um marcador para cada participante;
 2 2 a 4 participantes.
 2 Regras da atividade lúdica:
 2 cada participante, na sua vez, lança os dois dados simultane-
amente;
 2 adiciona os dois números e marca o resultado na sua tabela 
numérica;
 2 se a soma dos dois números que saíram nas faces superiores 
dos dados for 7, marcar uma das petecas;
 2 poderá ser combinado que, se sair uma soma de números que 
já está marcada, será feita uma anotação ao lado do número 
para, depois, verificar qual foi a soma que saiu mais vezes no 
lançamento dos dados;
 2 a brincadeira termina quanto um dos participantes consegue 
marcar todos os números ou todas as petecas;
 2 após a análise dos dados, podem ser feitas outras rodadas da 
atividade.
– 29 –
A criança e o conhecimento matemático
 2 Análise dos dados:
 2 Por que não tem o número 1 na tabela numérica?
 2 Por que o último número é o 12?
 2 Quais são as possibilidades de, ao lançar dois dados, 
sair a soma 2? E a soma 3? E as demais somas?
 2 Qual foi a soma que mais saiu?
 2 Ao lançar os dois dados, há maior probabilidade de 
sair a soma 7 ou a soma 9? Explique porquê.
 2 Esta atividade lúdica coloca o indivíduo frente a diver-
sos conhecimentos matemáticos, tais como: contagem; 
relação – símbolo numérico X quantidade; sequência 
numérica; comparação entre quantidades; operação de 
adição; levantamento de possibilidades; análise de resul-
tados, etc.
 2 Relacione esses conhecimentos matemáticos, e outros 
que você identifica nessa atividade lúdica, com as 
fases do desenvolvimento cognitivo da criança.
 2 Redija um pequeno texto com as suas conclusões da ati-
vidade lúdica, relacionando-as com o conteúdo estudado 
no capítulo.
Tabela: Atividade lúdica – as sete petecas.
2 3 4 5 6
8 9 10 11 12
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Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Síntese
A aquisição do conhecimento matemático se dá desde o nascimento da 
criança, inicialmente de forma intuitiva, e se amplia de acordo com as inter-
ferências sociais e culturais presentes no ambiente em que ela está inserida. 
Além dessas interferências, a aprendizagem matemática está relacionada a 
determinadas fases do desenvolvimento da criança.
De acordo com Piaget, a primeira fase de desenvolvimento da criança 
denomina-se sensório-motora; em seguida, ela passa pela fase pré-operatória 
e, depois, pela fase das operações concretas até chegar à fase das abstrações.
Pesquisas recentes mostram que o conhecimento matemático da criança 
pode ser ampliado no decorrer do seu desenvolvimento, de acordo com as 
intervenções sociais e culturais do meio em que vive.
A área de matemática e seu ensino estão contemplados nos 
currículos escolares da Educação Infantil e do Ensino Fundamen-
tal com uma carga horária expressiva na matriz curricular. Partindo 
dessa constatação, levantamos dois questionamentos:
 2 Por que ensinar matemática?
 2 Qual é a finalidade do ensino da matemática?
Ao refletir sobre esses questionamentos você pode ter pen-
sado em alguns argumentos, dos quais destacamos dois:
1º – o ensino da matemática desenvolve o raciocínio lógico 
do indivíduo;
Objetivos do ensino 
da matemática
3
– 32 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
2º – é importante aprender matemática porque ela está presente no coti-
diano das pessoas. Ela permeia as ações humanas.
Esses dois argumentos mostram certa dicotomia entre matemática 
formal e matemática utilitária (teoria x prática) que se constituiu, his-
toricamente, de acordo com os objetivos a que se propunha o ensino 
da matemática, nos diferentes momentos históricos e para as diferentes 
classes sociais.
De fato, o meio social e cultural em que vivemos está impregnado de 
matemática. É quase impossível pensar em viver um dia na sociedade atual 
sem ter contato algum com ideias, raciocínios, registros ou linguagens que 
tenham matemática na sua essência.
De acordo com D’Ambrósio (1993, p. 13), o ensino da matemática 
ganhou uma importância significativa nas últimas décadas, ao considerar os 
aspectos socioculturais no estudo dessa área, “e pode-se dizer que representa 
o início de um pensar mais abrangente sobre a educação matemática” na 
formação do cidadão.
[...] a educação matemática não depende de revisões de conteú-
dos, mas da dinamização da própria Matemática, procurando levar 
novas práticas à geração de conhecimento. Tampouco depende de 
uma metodologia “mágica”. Depende essencialmente de o professor 
assumir sua nova posição, reconhecer que ele é companheiro de seus 
estudantes na busca de conhecimento, e que a matemática é parte 
integrante desse conhecimento. Um conhecimento que dia a dia se 
renova e se enriquece pela experiência vivida por todos os indivíduos 
deste planeta (D’AMBRÁOSIO, 1993, p. 14).
Portanto, ao pensar nos objetivos do ensinar e do aprender matemá-
tica, é necessário vislumbrar o contexto histórico em que o conhecimento 
foi construído e os motivos que levaram a humanidade a tal construção, bem 
como, a sua utilização e aplicação nos diferentes contextos sociais e culturais.
Dessa forma, o estudante passa a ver a matemática não apenas como 
uma linguagem simbólica e abstrata, com fórmulas sem sentido, com poucos 
significados, chegando a pensar, erroneamente, que aprender matemática é 
apenas desenvolver o hábito de repetir procedimentos e aplicações mecânicas 
e memorizá-las.
– 33 –
Objetivos do ensino da matemática
Aprender matemática é muito mais do que isso; é utilizá-la como uma 
ferramenta imprescindível para a inserção e participação do indivíduo na 
sociedade em que vive, de forma a resolver as problematizações que fazem 
parte do seu contexto social e cultural, buscando a melhoria da sua qualidade 
de vida e dos seus pares, enquanto cidadãos.
Outro aspecto que nos remete ao ensino da matemática é o desenvolvi-
mento do raciocínio lógico.
De fato, o ensino da matemática contribui para o desenvolvimento 
do raciocínio lógico, por ser uma área do conhecimento que trabalha 
com a abstração, a simbologia, a organização do pensamento, exercita a 
argumentação e a análise, desenvolve formas de pensar sobre fatos e pro-
blematizações, estimula a fazer previsões e levantar possibilidades, entre 
outras. No entanto, quando o ensino dessa disciplina se baseia na simples 
memorização de cálculos, fórmulas e procedimentos mecânicos de reso-
lução, ele não favorece, adequadamente, o desenvolvimento do raciocínio 
lógico do indivíduo.
Portanto, a construção do raciocínio lógico-matemático se dá à 
medida que ocorrem situações que permitam ao indivíduo desenvolver 
ações, externa ou internamente, que favoreçam a resolução de problemas, a 
análise e a argumentação que façam sentido, a tomada de decisão acertada, 
o raciocínio construtivo e crítico, indutivo ou dedutivo, entre outros, os 
quais são importantes não só para as atividades escolares, mas, também, 
para a vivência no cotidiano e para a obtenção de sucesso nos diversos 
aspectos da sua vida.
A seguir, destacamos os principais objetivos do ensino da matemática na 
Educação Infantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
3.1 Educação Infantil
Para pensar nos objetivos da educação matemática para as crianças da 
Educação Infantil é necessário ter presente os aspectos cognitivos relaciona-
dos ao desenvolvimento próprio da criança nas diferentes idades, suas neces-
sidades, prioridades e formas de contato que ela estabelece com o mundo que 
a cerca.
– 34 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
A criança está inserida em um mundo bastante “matematizado”, que 
permite, desde o seu nascimento, conhecê-lo e interagir com ele, de modo a 
desenvolver, gradativamente, suas potencialidades.
A seguir, você terá os objetivos pensados e organizados nacionalmente 
para a Educação Infantil no que se refere ao conhecimento matemático 
para a formação da criança desta faixa etária, tendo em vista que “é direito 
da criança dessa fase do desenvolvimento, ter como princípios norteadores 
do trabalho pedagógico: as interações e a brincadeira.” (BRASIL/MEC, 
2010, p. 25).
a) Objetivos da educação matemática para crianças de 0 a 3 anos
Dar oportunidade para que as crianças 
desenvolvam a capacidade de estabelecer 
aproximações a algumas noções matemáticas 
presentes no cotidiano, como contagem, rela-
ções espaciais, etc. (BRASIL, RCN, 1998). 
Esse objetivo pode ser pensado a partir dos seguintes objetivos específicos:
 2 perceber que há diferentes espaços que compõem o meio social 
em que ela vive, aprendendo a localizar-se gradativamente nes-
ses espaços;
 2 desenvolver, de forma progressiva, noções de orientação, movimen-
tação e localização do próprio corpo em relação a si próprio, às 
outras pessoas, aos objetos e ao espaço em que a criança está;
 2 identificar gradativamente as noções de: dentro, fora, perto, longe, 
aberto, fechado, entre outras;
 2 compreender e executar comandos lógicos simples, estabelecendo 
relaçãode causa e efeito, como: bater palmas (relacionar o comando 
ao som); empurrar um objeto (pode produzir som ou cair); andar 
– 35 –
Objetivos do ensino da matemática
até a mesa; procurar um objeto que está sobre a mesa; tentar abrir 
ou fechar uma caixa; buscar um objeto que está na frente ou atrás 
de outro; abrir a porta; fechar a porta; entre outros;
 2 desenvolver, de forma progressiva, noções de tempo por meio 
das atividades do cotidiano da criança, como: hora do almoço, 
hora do lanche, hora da higiene pessoal, hora de brincar, hora de 
dormir, etc.;
 2 desenvolver a habilidade de comparar por meio da observação, 
estabelecendo semelhanças e diferenças, iniciando, dessa forma, as 
primeiras noções das operações mentais de classificar e seriar;
 2 resolver situações diversas do seu cotidiano, estabelecendo relações 
quantitativas e noções simples de lógica-matemática, como: pegar 
um objeto; abraçar um amigo; ficar na frente do amigo; ficar de 
costas para a mesa; entre outros.
b) Objetivos da educação matemática para crianças de 4 e 5 anos
Reconhecer e valorizar os números, 
operações numéricas, as contagens 
orais e as noções espaciais como fer-
ramentas necessárias no seu coti-
diano (BRASIL, RCN, 1998).
Esse objetivo pode ser alcançado a partir dos seguintes objetivos 
específicos:
 2 identificar e compreender os números utilizados em diferentes con-
textos sociais, apreendendo os números naturais utilizados na con-
tagem e na representação de quantidades;
 2 perceber a diversidade de formas geométricas que compõem o 
espaço, identificando algumas características dessas formas;
– 36 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 2 classificar e seriar objetos, pessoas, ações, formas geométricas e 
quantidades numéricas presentes no espaço social e cultural em que 
a criança vive;
 2 ampliar as relações quantitativas, desenvolvendo, progressivamente, o 
conceito de número e as noções das operações básicas da matemática, 
por meio de situações concretas presentes no cotidiano da criança;
 2 perceber as relações de inclusão, comparação e conservação entre 
quantidades numéricas e sua relação com a simbologia matemática.
Comunicar ideias matemáticas, 
hipóteses, processos utiliza-
dos e resultados encontrados 
em situações-problema rela-
tivas a quantidades, espaço 
físico e medidas, utilizando a 
linguagem oral, escrita, pictó-
rica e a linguagem matemática 
(BRASIL, RCN, 1998). 
Esse objetivo pode ser alcançado a partir dos seguintes objetivos específicos:
 2 desenvolver noções de localização, movimentação e orientação 
espacial tendo como referência o próprio corpo, o de outras pessoas 
e objetos, estabelecendo relações entre si;
 2 desenvolver as noções de medida de tempo, identificando algumas 
unidades de medidas básicas (manhã, tarde, noite, dia, entre outros) 
e o tempo de deslocamento do próprio corpo em relação ao espaço;
 2 favorecer o desenvolvimento das diversas formas de expressar o 
pensamento e o conhecimento matemático, seja por meio da orali-
dade ou do registro (recorte e colagem, pictórico, escrita, simbolo-
gia matemática, entre outros);
 2 resolver situações-problema relacionadas ao contexto social e cul-
tural da criança, favorecendo o levantamento de hipóteses e dife-
rentes formas de resolução, além da aplicação de diversos conhe-
cimentos matemáticos;
– 37 –
Objetivos do ensino da matemática
 2 conhecer e utilizar unidades e instrumentos de medidas, padroniza-
das ou não padronizadas, relacionadas ao seu contexto social e cultu-
ral, como: tamanho, altura, largura, comprimento, espessura, quanto 
cabe, quanto “pesa”, etc.; iniciando com unidades não padronizadas 
até chegar a algumas unidades de medidas padronizadas.
Ter confiança em suas próprias estra-
tégias e na sua capacidade para lidar 
com situações matemáticas novas, 
utilizando seus conhecimentos pré-
vios (BRASIL, RCN, 1998). 
Esse objetivo pode ser alcançado a partir dos seguintes objetivos 
específicos:
 2 classificar e seriar objetos, seres e ações a partir da observação e 
análise, estabelecendo critérios de organização do pensamento e 
das ações;
 2 resolver situações-problema relacionadas ao contexto social e cultu-
ral das crianças, envolvendo números, operações, formas geométri-
cas e noções de medidas.
3.2 Anos iniciais do Ensino Fundamental
Ao pensar nos objetivos do ensino e da aprendizagem da matemática 
para os cinco primeiros anos do Ensino Fundamental, é necessário procurar 
respostas para o seguinte questionamento: “que indivíduos queremos formar 
com a Educação Matemática no âmbito escolar?” Isso nos leva a estabelecer 
os objetivos que queremos atingir ao propormos o trabalho com a educação 
matemática na escola.
– 38 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, PCN, 1997) apontam os 
principais objetivos da educação matemática para os anos iniciais do Ensino 
Fundamental, como eixo norteador do trabalho pedagógico a ser desenvol-
vido nacionalmente no que se refere ao ensino e a aprendizagem dessa área 
do conhecimento.
1. Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compre-
ender, interagir e modificar, se necessário, o mundo à sua volta e per-
ceber o caráter de jogo intelectual, característico da matemática, como 
aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação 
e o desenvolvimento da capacidade de analisar e de resolver problemas 
(BRASIL, PCN, 1997, p. 51). 
– 39 –
Objetivos do ensino da matemática
2. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos do 
ponto de vista do conhecimento e estabelecer o maior número possível 
de relações entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemático 
(aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, probabilístico); 
selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-
-las e avaliá-las criticamente (BRASIL, PCN, 1997, p. 51).
3. Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, 
desenvolvendo formas de raciocínios e processos, como dedução, intui-
ção, analogia, estimativa e utilizando conceitos e procedimentos mate-
máticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis (BRASIL, 
PCN, 1997, p. 51).
– 40 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
4. Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apre-
sentar resultados com precisão e argumentar sobre conjecturas, fazendo 
uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes 
representações matemáticas (BRASIL, PCN, 1997, p. 51).
5. Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e 
entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares, perce-
bendo a aplicação do conhecimento matemático em situações reais da 
vida (BRASIL, PCN, 1997, p. 52).
– 41 –
Objetivos do ensino da matemática
6. Desenvolver a autonomia nas formas de pensar e de agir em situações 
do cotidiano que envolvem matemática, percebendo a sua capacidade 
de construir e aplicar os conhecimentos matemáticos, valorizando a 
sua autoestima e a perseverança na busca de soluções para as mais 
diversas problematizações que envolvem o pensamento matemático 
(BRASIL, PCN, 1997, p. 52).
7. Perceber que o conhecimento matemático é uma produção humana, 
social e cultural, identificando a linguagem matemática como uma 
forma de expressar as relações sociais, que está em constante evolução e 
que, portanto, é um conhecimento construído historicamente.
Século um dois três quatro cinco seis sete oito nove zero
VI (indiano)
IX (indiano)
X (árabe ocidental)
X (europeu)
XI (árabe oriental)
XII (europeu)
XIII (árabe europeu)
XIII (europeu)
XIV (árabe ocidental)
XV (árabe oriental)
XV (europeu)
8. Interagir comas outras pessoas de forma cooperativa, trabalhando cole-
tivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando 
aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o 
– 42 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
modo de pensar dos colegas e/ou outras pessoas, aprendendo com elas 
(BRASIL, PCN, 1997, p. 52).
Ampliando a discussão desses objetivos, o Pacto Nacional pela Alfabeti-
zação na Idade Certa (PNAIC) aponta os direitos de aprendizagem que todo o 
aluno tem, ao iniciar a sua escolarização no Ensino Fundamental, em matemá-
tica (BRASIL/MEC/PNAIC, 2014, p. 45-46), das quais destacamos a seguir:
I. O aluno pode utilizar caminhos próprios na construção do conheci-
mento matemático.
II. O aluno precisa reconhecer e estabelecer relações entre regularidades em 
diversas situações.
III. O aluno tem necessidade de perceber a importância das ideias matemá-
ticas como forma de comunicação.
IV. O aluno precisa desenvolver seu espírito investigativo, crítico e criativo, 
no contexto de situações-problema, produzindo registros próprios e bus-
cando diferentes estratégias de solução.
V. O aluno precisa fazer uso do cálculo mental, exato, aproximado e de 
estimativas, utilizando as Tecnologias da Informação e Comunicação em 
diferentes situações. 
Para atingir esses objetivos, e garantir os direitos de aprendizagem do 
aluno, é necessário desenvolver o trabalho com conteúdos matemáticos con-
sistentes e socialmente relevantes, assim como adequados ao desenvolvimento 
das crianças dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Além disso, é neces-
sário pensar em estratégias e encaminhamentos metodológicos que, de fato, 
– 43 –
Objetivos do ensino da matemática
favoreçam a construção de significados e que atinjam os objetivos propostos, 
com avaliações constantes e periódicas.
Nos próximos capítulos, serão apresentados os conteúdos e alguns enca-
minhamentos metodológicos que apontam possíveis caminhos para que esses 
objetivos possam ser alcançados.
 Reflita
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB – n. 
9.394, de 24 de dezembro de 1996, que rege a educação brasi-
leira, afirma no seu artigo 32 que: “O ensino fundamental terá por 
objetivo a formação básica do cidadão, mediante [...] a compreensão 
do ambiente natural e social, do sistema político, da tecnologia, das 
artes e dos valores em que se fundamenta a sociedade.”
Partindo-se do pressuposto de que o ensino da matemática, como 
parte integrante do currículo escolar e com carga horária significativa, 
faz parte de um dos objetivos expressos na LDB, deve-se refletir 
sobre as relações entre o ensino da matemática escolar e esse obje-
tivo do Ensino Fundamental.
 Da teoria para a prática
Propomos duas atividades práticas relacionadas aos objetivos 
da educação matemática, como aplicação deste trabalho na 
Educação Infantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
1. Um dos objetivos da educação matemática na Educação 
Infantil é favorecer à criança o conhecimento do mundo 
que a cerca. Como sabemos, vivemos em um mundo 
letrado e repleto de simbologias.
Observe e analise os registros simbólicos representados 
a seguir.
– 44 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 2 Classifique os registros simbólicos que aparecem ante-
riormente em:
 2 números;
 2 letras e palavras;
 2 outros símbolos.
 2 Identifique a função social de cada um desses registros 
simbólicos.
2. Um dos objetivos da educação matemática nos anos ini-
ciais do Ensino Fundamental é estimular a criança a fazer 
– 45 –
Objetivos do ensino da matemática
previsões, estimativas, identificando as possibilidades de 
um evento ocorrer assim como, desenvolver a análise de 
resultados obtidos.
a) Ao lançar um dado comum, qual é a chance de sair 
um número maior que 4?
b) Para resolver essa situação, pense:
 2 Quantas faces têm um dado comum?
 2 Em quantas faces aparecem números maiores que 4?
 2 Ao lançar uma única vez o dado, quais números 
podem cair na face superior?
 2 Em quais em quantas dessas possibilidades o 
número é maior que 4?
c) Providencie um dado comum e faça lançamentos para 
verificar se as possibilidades se efetivam. Registre o 
resultado de cada lançamento.
Em seis lançamentos saíram duas vezes números maiores que 
4? O que você constatou?
O que significa: possibilidades de um evento ocorrer?
– 46 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Síntese
Estudos recentes sobre o desenvolvimento e as formas como as crian-
ças aprendem mostram que ela está, desde o nascimento, em contato com 
um universo do qual os conhecimentos matemáticos são parte integrante. 
Por isso a importância de pensar em situações que levem a criança a inte-
ragir com o meio de forma a construir estruturas que favorecem a apren-
dizagem de noções matemáticas desde os seus primeiros contatos com o 
mundo que a cerca.
Em seguida, desenvolvemos os objetivos gerais propostos para os anos 
iniciais do Ensino Fundamental para a educação matemática. Muito mais do 
que descrever objetivos que favoreçam a mecanização de símbolos, fórmulas e 
procedimentos de resolução, os objetivos do ensinar e do aprender matemá-
tica devem vislumbrar o desenvolvimento do raciocínio lógico e a capacidade 
de argumentar, compreender, interpretar, projetar, de criar e atribuir signifi-
cados para as mais diversas situações sociais em que aparecem ideias, racio-
cínios e conhecimentos matemáticos, criando, dessa forma, um ambiente 
favorável ao exercício dos direitos de aprendizagem matemática dos alunos.
A matemática deve ser percebida como ciência das relações 
e está presente nos mais diversos contextos sociais e culturais. Para 
tanto, deve ser usada como ferramenta para o desenvolvimento do 
raciocínio lógico, assim como na formalização de novas formas de 
pensar e de agir.
Constantemente nos deparamos com questionamentos do 
tipo: “quais conteúdos são relevantes para o trabalho pedagógico? 
Por que trabalhar com ‘esse’ ou ‘aquele’ conteúdo? Por que apren-
der esse conteúdo matemático? Onde são usados ‘esses’ ou ‘aqueles’ 
conteúdos matemáticos?”
Conteúdos matemáticos
4
– 48 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Esses questionamentos nos levam a refletir sobre a importância da sele-
ção dos conteúdos matemáticos que devem ser trabalhados em cada momento 
da vida escolar do estudante, levando-se em consideração os aspectos sociais 
e culturais do conhecimento matemático.
O conhecimento matemático entendido como uma construção 
social, como um produto cultural, abre possibilidades para que o 
aprendiz [...] se veja como sujeito que constrói, que é capaz de teo-
rizar e confrontar suas teorias com outros sujeitos e com objetos 
(ARAÚJO, 2007, p. 4-5).
O conhecimento construído socialmente deve ser traduzido em 
conhecimentos específicos, os quais devem servir de base para a defini-
ção dos conteúdos específicos de matemática para serem trabalhados no 
âmbito escolar.
Ao abordar os conteúdos, deve-se colocar a criança como sujeito e 
ser principal do processo, ela deve participar ativamente de cada situ-
ação apresentada, pois, para compreender, entender, trabalhar ou criar 
matemática, as crianças precisam estar envolvidas com ideias, símbolos, 
conceitos e representações, participando da construção e incorporação 
do conhecimento.
O conhecimento matemático adquire significado na medida em que 
alunos e professores estudam, analisam e contribuem na seleção do que deve 
ser ensinado e aprendido, como deve ser ensinado e aprendido, relacionado 
aos porquês da importância de tal conteúdo na formação do cidadão.
Ao pensar no desenvolvimento do trabalho com os conteúdos mate-
máticos escolares, é necessário vislumbrar conteúdos adequados à sociedade 
atual, percebendo o conhecimentoem constante construção. Conforme 
expressa Fiorentini (1995, p. 31), a matemática “não pode ser concebida 
como um saber pronto e acabado, mas, ao contrário, atendendo estímulos 
externos (necessidades sociais) e internos (necessidades teóricas de ampliação 
dos conceitos)”.
A seguir, destacamos os conteúdos matemáticos pensados, nacional-
mente, para a Educação Infantil e para os anos iniciais do Ensino Fundamen-
tal, por meio de algumas ideias relacionadas a esses conteúdos para as crianças 
nessas fases da escolarização.
– 49 –
Conteúdos matemáticos
4.1 Educação Infantil
A Educação Infantil deve favorecer a iniciação da criança a ser inserida 
no mundo letrado em que vive, de forma a conhecer criticamente a realidade 
social, favorecendo a sua independência e autonomia.
Para o desenvolvimento pleno das potencialidades da criança, é impres-
cindível o trabalho pedagógico com a matemática, a qual é necessária tanto 
para a vida na nossa sociedade como para o desenvolvimento do raciocínio 
lógico e da criatividade. Conforme expressam Nunes e Bryant (1997, p. 17), 
“as crianças precisam aprender sobre matemática a fim de entender o mundo 
ao seu redor.”
Essa necessidade da matemática para compreender o mundo e interagir 
com ele pode ser percebida, inicialmente, como algo espontâneo e natural 
no cotidiano da criança, por meio das ações que ela desempenha para vencer 
obstáculos, desafios e dificuldades que enfrenta.
A Educação Infantil é um momento bastante propício para o contato e o 
trabalho com o conhecimento matemático. Por ser uma fase em que a criança 
está totalmente aberta a novas descobertas, é importante trabalhar com elas 
tendo o objetivo de desenvolver estruturas de pensamento e ação, com vistas 
à sua flexibilidade e criatividade.
Inúmeras ações do cotidiano da criança estão permeadas pelo pensa-
mento matemático, como: agrupar, juntar, comparar, separar, retirar, contar, 
entre tantas outras. Por meio dessas atividades do dia a dia, a criança estabe-
lece correspondência entre objetos, seres ou ações, descobrindo e vivenciando 
propriedades relacionadas ao conhecimento matemático.
Para estabelecer os conteúdos matemáticos que devem ser trabalhados 
na Educação Infantil, é necessário ter presentes os aspectos relacionados:
 2 ao período de desenvolvimento cognitivo em que a criança está;
 2 ao meio social e cultural em que a criança vive;
 2 às experiências vividas pela criança.
Os conteúdos matemáticos propostos para a Educação Infantil não são 
pré-requisitos para o trabalho com os conteúdos de matemática propostos 
– 50 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
para os anos iniciais do Ensino Fundamental; mas são conteú dos estrutu-
rantes para o trabalho da matemática nos anos seguintes. Isso significa que 
os conteúdos desenvolvidos na Educação Infantil propiciam estruturas signi-
ficativas para a continuidade do trabalho com o conhecimento matemático. 
Por exemplo: a contagem de objetos é condição estruturante para o trabalho 
com a numeração.
O conhecimento matemático não se constitui num conjunto de fatos 
a serem memorizados; que aprender números é mais do que contar, 
muito embora a contagem seja importante para a compreensão do 
conceito de número; que as ideias matemáticas que as crianças apren-
dem na Educação Infantil serão de grande importância em toda a sua 
vida escolar e cotidiana (SMOLE; DINIZ; CÂNDIDO, 2000, p. 9).
De acordo com essas autoras, o trabalho de matemática na Educação 
Infantil deve favorecer a exploração das inúmeras ideias matemáticas, desde 
as pré-numéricas, numéricas, formas geométricas e medidas até as noções de 
estatística, envolvendo a criança na construção de significados a cada conte-
údo desenvolvido.
De acordo com o Referencial Curricular Nacional para a Educação Infan-
til – RCN – (BRASIL, 1998), a organização e seleção dos conteúdos mate-
máticos, para cada etapa do trabalho, é imprescindível para o planejamento 
das atividades que favoreçam o desenvolvimento integral da criança. O RCN 
(BRASIL, 1998, p. 217) destaca que, ao selecionar os conteúdos, deve-se 
levar em conta estes dois aspectos:
aprender matemática é um processo contínuo e de abstração no qual 
as crianças atribuem significado e estabelecem relações com base nas 
observações, experiências e ações que fazem, desde cedo, sobre ele-
mentos do seu ambiente físico e sociocultural;
a construção de competências matemáticas pela criança ocorre simul-
taneamente ao desenvolvimento de inúmeras outras de naturezas 
diferentes e igualmente importantes, tais como comunicar-se oral-
mente, desenhar, ler, escrever, movimentar-se, cantar, etc.
Os primeiros conteúdos matemáticos dos quais as crianças da Educa-
ção Infantil fazem inferências estão relacionados à aritmética e ao espaço. 
Portanto, cabe à educação escolar o dever de trabalhar esse conhecimento, 
partindo da vivência da criança, gradativamente, para a construção de signi-
ficados matemáticos mais complexos e abstratos.
– 51 –
Conteúdos matemáticos
a) Conteúdos de educação matemática para crianças de 0 a 3 anos
O RCN (BRASIL, 1998, p. 217) destaca os seguintes conteúdos mate-
máticos para essa faixa etária da Educação Infantil.
1. Utilização da contagem oral, de noções de quantidade, de tempo e 
de espaço em jogos, brincadeiras e músicas junto com o professor e 
nos diversos contextos nos quais as crianças reconheçam essa utili-
zação como necessária.
2. Manipulação e exploração de objetos e brinquedos, em situações 
organizadas de forma a existirem quantidades individuais suficien-
tes para que cada criança possa descobrir as características e pro-
priedades principais e suas possibilidades associativas: empilhar, 
rolar, transvasar, encaixar, etc.
– 52 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
b) Conteúdos de educação matemática para crianças de 4 e 5 anos
Nessa fase do desenvolvimento, o trabalho pedagógico visa ao apro-
fundamento dos conteúdos desenvolvidos na fase anterior e à construção de 
novos conhecimentos matemáticos.
De acordo com o RCN (BRASIL, 1998), os conteúdos estão organiza-
dos em três blocos: números e sistema de numeração, grandezas e medidas, 
espaço e forma, com o intuito de favorecer a organização pedagógica. No 
entanto, os conteúdos não podem ser trabalhados de forma linear e fragmen-
tados e, sim, de forma integrada para que a criança os relacione em situações 
do dia a dia e os perceba nas atividades do cotidiano.
Veja os conteúdos matemáticos indicados nacionalmente para essa fase, 
com base no RCN e em outros autores que estudam os processos de aprendi-
zagem em crianças da Educação Infantil.
1. Números e sistema de numeração
• Classificação de objetos e quantidades, identificando e utili-
zando diferentes critérios.
• Comparação de objetos e quantidades reconhecendo igualda-
des e diferenças.
• Inclusão hierárquica.
• Conservação de quantidades.
• Utilização da contagem oral nas brincadeiras e em situações 
nas quais as crianças reconheçam sua necessidade.
• Utilização de noções simples de cálculo mental como ferra-
menta para resolver problemas.
• Comunicação de quantidades, utilizando a linguagem oral, a 
notação numérica e/ou registros não convencionais.
• Identificação da posição de um objeto ou número em uma 
série, explicitando a noção de sucessor e antecessor.
• Identificação de números nos diferentes contextos em que se 
encontram.
– 53 –
Conteúdos matemáticos
• Comparação de escritas numéricas, identificando algumas re-
gularidades (BRASIL, 1998, p. 219-220).
2. Grandezas e medidas
• Exploração de diferentes procedimentos para comparar grandezas.
• Introdução às noções de medida de comprimento, massa, ca-
pacidade e tempo, pela utilização de unidades não convencio-
nais e convencionais.
• Marcação do tempo pormeio de calendários.
• Experiências com dinheiro em brincadeiras ou em situação do 
universo das crianças (BRASIL, 1998, p. 225).
– 54 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
3. Espaço e forma
• Explicitação e/ou representação da posição de pessoas e obje-
tos, utilizando vocabulário pertinente nos jogos, nas brinca-
deiras e nas diversas situações nas quais as crianças considerem 
necessária essa ação.
• Exploração e identificação de propriedades geométricas de ob-
jetos e figuras, relacionadas ao universo da criança.
• Representações bidimensionais e tridimensionais de objetos.
• Identificação de pontos de referências para situar-se e deslo-
car-se no espaço.
• Descrição e representação de pequenos percursos e trajetos, 
observando pontos de referência (BRASIL, 1998, p. 229).
 
Dessa forma, as práticas pedagógicas devem garantir às crianças experi-
ências que recriem contextos significativos, que propiciem o desenvolvimento 
de “relações quantitativas, medidas, formas e orientações espaço temporais”. 
(BRASIL/MEC, 2010, p. 25-26).
4.2 Anos iniciais do Ensino Fundamental
Na perspectiva de desenvolver um trabalho pedagógico que vise à inter-
-relação entre os conteúdos, rompendo com o excesso de linearidade, frag-
mentação, como se os conteúdos fossem colocados em degraus diferenciados 
e, muitas vezes, isolados e sem significado. Machado (1993, p. 31) propõe que:
– 55 –
Conteúdos matemáticos
Conhecer, é cada vez mais, conhecer o significado, de que significado 
de A se constrói através de múltiplas relações que podem ser estabe-
lecidas entre A e B, C, D, E, X, T, G, K, W, etc., estejam ou não as 
fontes de relações no âmbito da disciplina que se estuda. Insistimos: 
não se pode pretender conhecer A para, então, poder-se conhecer B, 
ou C, ou X, ou Z, mas o conhecimento de A, a construção do signi-
ficado de A, faz-se a partir das relações que podem ser estabelecidas 
entre A e B, C, X, G, ... e o resto do mundo.
Portanto, a assimilação/apropriação do conhecimento matemático se dá 
à medida que a criança constrói e atribui significados aos conceitos, cujos 
conteúdos se entrelaçam formando uma rede de conhecimento, favorecendo 
a construção de novas relações e conhecimentos. É dessa forma que os con-
teúdos matemáticos devem ser propostos e desenvolvidos na prática pedagó-
gica. É evidente que, para efeitos de organização, é necessário selecionar os 
conteúdos, colocando-os de forma linear. No entanto, a prática pedagógica 
não pode ser linear e fragmentada.
De acordo com os PCN (BRASIL, 1998) e com estudos recentes, pro-
postos nos Cadernos do Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa de 
Matemática (PNAIC, 2014), os conteúdos historicamente construídos e sis-
tematizados podem ser organizados, para efeitos didáticos, em cinco grandes 
eixos que estruturam os conteúdos a serem abordados nos Anos Iniciais do 
Ensino Fundamental, a saber: números e operações; pensamento algébrico; 
grandezas e medidas; geometria; estatística e probabilidade.
4.2.1 Números e operações
O conhecimento numérico desenvolve-se a partir das experiências que 
o aluno possui, num processo de construção e apropriação, destacando o sig-
nificado de cada ideia, registro ou símbolo matemático. Isso ocorre também 
no desenvolvimento das operações fundamentais. O trabalho se concentra 
na compreensão dos diferentes significados das ideias, operações e registros 
e nas relações existentes entre elas, bem como na compreensão, por meio da 
análise, da reflexão e do compartilhar de ideias dos diferentes tipos de cálcu-
los, sejam eles, mentais, aproximados (estimativas) ou exatos, bem como, a 
valorização no uso da calculadora no espaço educacional e das tecnologias da 
informação e da comunicação a serviço da Educação Matemática.
– 56 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
A resolução de problemas e a construção de significados devem permear 
o trabalho com os números e as operações fundamentais, de modo a garantir 
o direito de aprendizagem dos alunos em relação à compreensão dos Siste-
mas de Numeração utilizados na sociedade contemporânea, assim como, as 
operações fundamentais, valorizando a diversidade de cálculos, as múltiplas 
aplicações e as diferentes estratégias de resolução.
4.2.2 Pensamento algébrico
O pensamento algébrico procura desenvolver uma “série de habilidades que, 
de alguma forma, já constam nos outros eixos, seja no reconhecimento de padrões 
numéricos e na realização de determinados tipos de problemas, dentro do eixo de 
números e operações, seja no reconhecimento de padrões geométricos e de clas-
sificação, presentes no eixo geometria.” (BRASIL/MEC/PNAIC, 2014, p. 50).
Dessa forma, destaca-se a importância de dar visibilidade, a partir desse 
eixo, no trabalho pedagógico com as abstrações e as generalizações, conforme 
expressa Kaput (1999, p.134-135, in Van de Walle, 2009, p. 288) ao se referir 
ao pensamento algébrico como algo que “envolve generalizar e expressar essa 
generalização usando linguagens cada vez mais formais, onde a generalização se 
inicia na aritmética, em situações de modelagem, em geometria e virtualmente 
em toda a matemática que pode ou deve aparecer nas séries elementares.” 
Nesse sentido, Van de Wallle (2009, p. 288) destaca que os raciocínios 
algébricos estão nas generalizações da aritmética e nos padrões presentes em 
toda a matemática; no uso significativo dos simbolismos; no estudo das estru-
turas que formam o Sistema de Numeração Decimal; no estudo de padrões e 
funções e nos processos de modelagem.
Assim sendo, procura-se garantir o direito de aprendizagem dos alunos 
em desenvolver, gradativamente, a linguagem abstrata, simbólica e de genera-
lização do conhecimento matemático.
4.2.3 Geometria
O conhecimento geométrico surge, historicamente, de fenômenos 
empíricos que se destacam em ações de percepção, construção e represen-
tação, tornando-se, dessa forma, valioso instrumento entre a linguagem do 
cotidiano e o formalismo matemático. 
– 57 –
Conteúdos matemáticos
Assim, o estudo do espaço geométrico e das formas parte do que é per-
cebido ao que é concebido, isto é, realiza-se por meio da percepção das for-
mas geométricas básicas e de suas características, desenvolvendo assim, um 
tipo especial de pensamento que permite ao aluno, compreender, descrever 
e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Dessa forma, o 
aluno desenvolve e estabelece relações entre o pensar e o raciocinar sobre 
formas, figuras, espaços e representações.
O estudo da Geometria pode ser pensado a partir de dois grandes aspec-
tos: “o primeiro é relativo à localização e movimentação e o segundo trata das 
formas geométricas”. (BRASIL/MEC/PNAIC, 2014, p. 51).
Diante disso, destaca-se a importância de permear o trabalho peda-
gógico da Geometria com problematizações variadas, contribuindo com o 
desenvolvimento das habilidades relacionadas à Resolução de Problemas. 
A Geometria contribui também, no estudo e na compreensão de números, 
medidas, pensamento algébrico, pois estimula o aluno a observar, a perceber 
semelhanças e diferenças, a identificar regularidades, a perceber representa-
ções simbólicas, entre tantas outras habilidades.
4.2.4 Grandezas e medidas
O conhecimento dos conteúdos relacionados a Grandezas e Medidas se 
dá com certa facilidade, em razão de sua forte relevância social, seu caráter 
prático e utilitário e pela possibilidade de variadas conexões com outras áreas 
do conhecimento. As medidas estão presentes nas mais diversas situações e 
atividades exercidas na sociedade. Desse modo, desempenham papel impor-
tante nas experiências e aprendizagens escolares, pois evidenciam a utilidade 
do conhecimento matemático no cotidiano.
Partindo-se dessa forma de ver e pensar esse campo da matemática, enfa-
tizamos que, “grandezassão atributos mensuráveis de fenômenos, objetos 
ou espaços especificados. Assim, em circunstâncias variadas, fazemos uso da 
quantificação, ou seja, associamos valores numéricos à duração do tempo, à 
capacidade de armazenamento de recipientes ou à extensão de terrenos, entre 
outras grandezas.” (MEC, 2014, p. 101).
Portanto, medir uma grandeza é essencialmente compará-la, por meio de 
uma razão, com um padrão previamente determinado, denominado unidade.
– 58 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
4.2.5 Estatística e probabilidade
Vivemos numa sociedade repleta de informações e imersa em tecnolo-
gias da Informação e da Comunicação. Isso nos leva a destacar a importância 
das informações estatísticas e as maneiras de apresentá-las à sociedade, diante 
da relevância que ocupam em nossa realidade social. 
Em jornais, revistas, folderes, panfletos, televisão, internet, é comum 
serem veiculadas informações matemáticas que, muitas vezes, estão orga-
nizadas em quadros, tabelas e gráficos, fazendo, assim, parte do cotidiano 
das pessoas.
Isso mostra a relevância de levar o aluno a “reconhecer e produzir 
informações, em diversas situações e diferentes configurações” (BRASIL/
MEC/PNAIC, 2014, p. 54), de modo a estudar processos de obtenção e 
de análise de dados estatísticos, bem como prever e tirar conclusões sobre 
um fenômeno em estudo. Ao trabalhar com o aluno, conceitos e aplicações 
básicas de informações matemáticas que aparecem na mídia, estamos favo-
recendo a interpretação, leitura e análise dessas informações, que são utili-
zadas nos diferentes setores da sociedade, favorecendo assim, a formação do 
aluno enquanto cidadão. 
4.2.6 Organização dos conteúdos
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) fazem algumas 
considerações importantes que devem ser relevadas no momento em que se 
organizam os conteúdos para cada um dos anos iniciais do Ensino Funda-
mental, as quais destacamos a seguir.
 2 Deve-se considerar a variedade de relações que podem ser estabele-
cidas entre os conteúdos dos diferentes eixos.
 2 Estabelecer ênfase maior ou menor no estudo de cada conteúdo 
de acordo com a sua relevância social e cultural, assim como na 
formação do indivíduo.
 2 Deve-se considerar o nível de aprofundamento de cada conteúdo 
de acordo com o nível de compreensão da criança.
– 59 –
Conteúdos matemáticos
4.2.7 Quadro de conteúdos
Há certo consenso tanto entre os educadores matemáticos e pedagogos 
como entre as propostas curriculares nacionais e regionais em relação aos 
conteúdos que compõem a base de estudos da matemática em cada ano dos 
anos iniciais do Ensino fundamental.
Os quadros a seguir mostram esses conteúdos matemáticos básicos, 
como sugestão de distribuição desses conteúdos, que, para efeitos de organi-
zação, foram colocados na forma linear. É importante salientar que não existe 
rigidez na distribuição desses conteúdos por ano de escolarização.
1.º ano
Números e 
operações
Pensamento 
algébrico Geometria
Grandezas 
e medidas
Estatística e 
probabilidade
• Comparações 
quantitativas.
• Função social 
dos números.
• Conservação de 
quantidade.
• Inclusão 
hierárquica.
• Contagem.
• Construção 
do número.
• Sistema de 
Numeração 
Decimal (unidade 
e dezena).
• Relações 
numéricas de 
comparação.
• Ideias das 
quatro operações 
fundamentais e 
algumas de suas 
propriedades.
• Operações de 
adição e de 
subtração.
• Cálculo mental.
• Classificação.
• Sequência.
• Seriação/
ordenação.
• Correspondên-
cia biunívoca 
(um a um).
• Reconhecimento 
de padrões em 
uma sequência.
• Noções topológi-
cas: lateralidade, 
aberto/fechado, 
interior/exterior, 
longe/perto, sepa-
rado/unido, contí-
nuo/descontínuo, 
alto/baixo, dentro/
fora, fronteira.
• Reconhecimento 
de formas 
tridimensionais: 
esfera, cone, 
cubo, paralelepí-
pedo, pirâmide 
e outras.
• Relações com 
objetos do espaço 
e do plano.
• Reconhecimento 
de formas 
bidimensio-
nais: quadrado, 
retângulo, círculo, 
triângulo e outras.
• Medida de tempo: 
construção do 
calendário.
• Medida de valor: 
cédulas e moedas.
• Noções de 
medidas de com-
primento, massa 
e capacidade.
• Uso social do 
número.
• Tabelas e gráficos 
simples, com pou-
cas informações.
• Noções de 
probabilidade: de 
certo, provável e 
impossível, em 
contextos simples 
do cotidia-no.
– 60 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
2.º ano
Números e 
operações
Pensamento 
algébrico Geometria
Grandezas 
e medidas
Estatística e 
probabilidade
• Contagem.
• Agrupamentos para 
facilitar a contagem.
• Construção do Sis-
tema de Numeração 
Decimal (até a centena 
– podendo ser iniciado 
o trabalho com a 
unidade de milhar).
• Pares e ímpares.
• Antecessor e sucessor.
• Composição e 
decomposição.
• Proporcionalidade 
(relação multiplicativa 
entre duas grande-
zas, dois números 
ou duas medidas).
• Noções históricas da 
construção numérica 
(contagem, dife-
rentes sistemas de 
numeração, função 
dos números).
• Operação de adição.
• Operação de multi-
plicação (raciocínios 
aditivo, combinatório 
e proporcional).
• Cálculo mental.
• Dobro.
• Operação de subtração 
(ideia aditiva, subtra-
tiva e comparativa).
• Operação de divisão 
(ideia subtrativa 
e repartitiva).
• Metade.
• Sequências.
• Padrões 
numéricos e 
geométricos.
• Regularidades 
aditivas.
• Classificação. 
• Ordenação.
• Noções topoló-
gicas: laterali-
dade, aberto/
fechado, interior/
exterior, longe/
perto, separa-do/
unido, contínuo/
descontínuo, alto/
baixo, fronteira.
• Representação do 
espaço (malhas 
quadriculadas, 
mapas, maquetes 
e outras) com 
noções de 
escala (propor-
cionalidade).
• Formas tridimen-
sionais: esfera, 
cone, cubo, 
paralelepípedo, 
pirâmide e outras.
• Obtenção de 
figuras planas 
por meio das 
faces das formas 
tridimensionais.
• Formas bidimen-
sionais: quadrado, 
retângulo, círculo, 
triângulo e outras.
• Simetria obtida 
por um eixo.
• Medida 
de tempo: 
construção do 
calendário, hora 
e meia hora.
• Medida de 
valor: cédulas 
e moedas.
• Medidas de 
comprimento: 
metro e 
centímetro.
• Medida de 
massa: grama 
e quilograma.
• Medida de 
medidas de 
capacidade: 
litro e mililitro.
• Uso do número 
em diferentes 
contextos 
sociais.
• Utilização de 
tabelas e gráficos 
de barras.
• Identificação da 
possibilidade 
de um evento 
ocorrer em: 
certo, provável 
e impossível.
– 61 –
Conteúdos matemáticos
3.º ano
Números e 
operações
Pensamento 
algébrico Geometria
Grandezas 
e medidas
Estatística e 
probabilidade
• História dos 
números (contagem, 
diferentes sistemas 
de numeração, fun-
ção dos números).
• Sistema de Nume-
ração Decimal 
(até milhar).
• Antecessor e 
sucessor.
• Composição e 
decomposição.
• Proporcionalidade 
(relação multiplica-
tiva entre duas gran-
dezas, dois números 
ou duas medi-das).
• Operação de adição.
• Multiplicação 
(raciocínios aditivo, 
combinatório e 
proporcional).
• Dobro, triplo, etc.
• Operação de 
subtração (ideia 
aditiva, subtrativa 
e comparativa).
• Operação de divisão 
(com ideia subtra-
tiva e repartitiva).
• Metade e 
terça parte.
• Cálculo mental.
• Relações entre 
as operações na 
solução de dife-
rentes problemas.
• Sequências.
• Padrões 
numéricos e 
geométricos.
• Regularida-
des aditivas.
• Agrupa-
mentos, 
classificações 
e ordenações.
• Noções de 
localização de um 
objeto e orienta-
ção no espaço.
• Representação do 
espaço (malhas 
quadriculadas, 
mapas, maquetes 
e outras) com 
noções de escala 
(proporcionalidade).
• Formas tridimen-
sionais:esfera, 
cone, cubo, 
parale- lepípedo, 
pirâmide e outras.
• Planificação.
• Formas bidimen-
sionais: quadrado, 
retângulo, círculo, 
triângulo e outras.
• Simetria.
• Medida de tempo: 
construção do 
calendário, hora 
e minutos.
• Medida de valor: 
cédulas e moedas 
reais e centavos.
• Medida de massa: 
quilograma 
e grama.
• Medida de 
capacidade: litro 
e partes do litro.
• Medida de 
comprimento: 
quilômetro, metro 
e centímetro.
• Tabelas e gráficos 
de barras e 
pictogramas.
• Possibilidades de 
um evento ocorrer 
em: certo, prová-
vel e impossível.
• Uso da calcula-
dora (tecnologia).
– 62 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
4.º ano
Números e 
operações
Pensamento 
algébrico Geometria
Grandezas 
e medidas
Estatística e 
probabilidade
• Aspectos históricos 
da construção 
numérica.
• Sistema de Nume-
ração Decimal 
(até milhares).
• Antecessor e 
sucessor.
• Composição e 
decomposição.
• Raciocínio 
proporcional.
• As quatro opera-
ções fundamen-
tais, suas ideias 
e propriedades 
(até a classe dos 
milhares).
• Cálculo mental.
• Dobro, triplo, 
quádruplo, etc.
• Metade, terça 
parte, quarta 
parte, etc.
• Relações entre 
as operações na 
solução de dife-
rentes problemas.
• Números racionais 
(representações 
fracionária, deci-
mal e percentual).
• Frações de unidade 
e de quantidade.
• Equivalência 
de frações.
• Operações com 
números decimais 
(adição e subtração).
• Sequências.
• Padrões 
numéricos e 
geométricos.
• Regularida-
des aditivas e 
multiplicativas.
• Padrões decora-
tivos (faixas).
• Localização 
e orientação 
no espaço.
• Representação 
do espaço em 
diferentes tipos 
de malhas, mapas 
e maquetes, 
com noções de 
escala (propor-
cionalidade).
• Formas tridi-
mensionais: 
poliedros e corpos 
redondos.
• Ângulos: 90º, 
180º e 360º.
• Planificação.
• Formas bidimen-
sionais: polígonos 
e círculos.
• Ampliação 
e redução.
• Simetrias.
• Medida de tempo 
e suas unidades.
• Medida de valor 
monetário: reais 
e centavos.
• Medida de 
comprimento: 
quilômetro, 
metro, centímetro 
e milímetro.
• Noções de perí-
metro e de área.
• Medida de massa: 
quilograma, 
grama e tonelada.
• Medida de 
capacidade: litro 
e mililitro.
• Cálculo entre 
as diferentes 
grandezas.
• Chances e possi-
bilidades de um 
evento ocorrer.
• Estimativas.
• Tabelas e gráfi-
cos: leitura, cons-
trução e análise.
• Noção de 
porcentagem.
• Uso da calcula-
dora (tecnologia).
– 63 –
Conteúdos matemáticos
5.º ano
Números e operações Pensamento algébrico Geometria
Grandezas 
e medidas
Estatística e 
probabilidade
• Sistema de Numeração 
Decimal (até milhões).
• Antecessor e sucessor.
• Composição e 
decomposição.
• Raciocínio proporcional.
• História da cons-
trução numérica.
• As quatro operações 
fundamentais, suas 
ideias, propriedades, 
nomenclatura dos 
termos, inversas.
• Dobro, triplo, quá-
druplo e outros.
• Metade, terça parte, 
quarta parte e outros.
• Cálculo mental.
• Relações entre as 
operações na solução de 
diferentes problemas.
• Números racionais 
(representações 
fracionária, decimal 
e percentual).
• Frações de unidade 
e de quantidade.
• Equivalência de frações
• Ideias sobre operações 
fundamentais com fra-
ções: adição e subtração, 
multiplicação (natural 
por fracionário) e divi-
são (fração por natural).
• Operações com 
números decimais: 
adição e subtração, 
multiplicação (natural 
por decimal) e divisão 
(decimal por natural).
• Sequências.
• Padrões 
numéricos e 
geométricos.
• Regularidades 
aditivas e mul-
tiplicativas.
• Padrões deco-
rativos com 
figuras geomé-
tricas (faixas).
• Localização 
de um objeto 
e orientação 
no espaço.
• Representação 
do espaço 
em diferentes 
malhas, mapas e 
maquetes, com 
escala (propor-
cio-nalidade).
• Formas 
tridimensionais: 
poliedros e 
corpos redondos.
• Planificação.
• Ângulos.
• Formas bidimen-
sionais: polígo-
nos e círculos.
• Ampliação 
e redução de 
figuras.
• Simetrias.
• Medida de 
comprimento.
• Cálculo de perí-
metro e de área.
• Medida de 
massa: quilo-
grama, grama 
e tonelada.
• Medida de 
capacidade: 
litro, mililitro.
• Noções de 
medida de 
volume: metro 
cúbico e decí-
metro cúbico.
• Relação entre 
dm³ e litro.
• Medida de 
tempo: hora, 
minutos, 
segundos.
• Medida de valor 
monetário: reais 
e centavos.
• Cálculo entre 
as diferentes 
grandezas.
• Chances e 
possibilidades 
de um evento 
acontecer.
• Estimativas.
• Noções 
de média 
aritmética.
• Pesquisa de 
opinião: amos-
tra, população, 
tabulação de 
dados e análise.
• Tabelas.
• Gráfico de bar-
ras, de colunas, 
de segmentos de 
reta e de setores.
• Porcentagem.
• Uso da 
calculadora 
(tecnologia).
– 64 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 Reflita
Os conteúdos matemáticos fazem parte do trabalho pedagógico 
desenvolvido nas escolas. O conhecimento como um todo deve 
valer a pena ser aprendido. Veja o que diz Antônio Nóvoa, num dos 
documentos do MEC (BRASIL, 2009, p. 6) sobre essa questão:
“[...] vale a pena ser ensinado tudo o que une e tudo o 
que liberta. Tudo o que une, isto é, tudo o que integra 
cada indivíduo num espaço de cultura e de sentidos. Tudo 
o que liberta, isto é, tudo o que promove a aquisição de 
conhecimentos, o despertar do espírito científico. [...] e 
tudo o que torna a vida mais decente.”
a) Faça uma reflexão sobre esse pensamento de Nóvoa e estabeleça 
um paralelo entre ele e os conteúdos matemáticos trabalhados em 
cada ano da vida escolar da criança.
b) De acordo com as suas reflexões, responda:
 2 o conhecimento matemático escolar contribui para a integra-
ção e a liberdade do indivíduo em todos os sentidos e na sua 
forma mais ampla?
 2 o conhecimento matemático escolar contribui para tornar a 
vida mais decente? Exemplifique.
 Da teoria para a prática
A cantiga descrita a seguir é bastante apreciada pelas crianças.
– 65 –
Conteúdos matemáticos
Os indiozinhos
(Cantiga popular)
Um, dois, três indiozinhos
Quatro, cinco, seis indiozinhos
Sete, oito, nove indiozinhos
Dez indiozinhos.
Num pequeno bote,
Iam navegando rio abaixo,
Quando um jacaré se aproximou,
E o pequeno bote do indiozinho,
Quase, quase virou...
Agora responda:
a) A letra dessa cantiga sugere alguns conteúdos matemáti-
cos. Que conteúdos matemáticos são possíveis explorar 
com a letra dessa cantiga?
b) Esses conteúdos (listados no item anterior) fazem parte de 
quais eixos descritos nos quadros de conteúdos?
c) Para que ano(s) da escolarização da criança você trabalha-
ria com essa cantiga?
d) Descreva uma situação concreta de trabalho pedagógico 
utilizando essa cantiga.
Síntese
O Referencial Curricular Nacional – RCN – (BRASIL, 1998) e as Dire-
trizes Curriculares Nacionais para a Educação Infantil (BRASIL/MEC, 2010) 
dão indicativos dos conteúdos matemáticos que devem ser trabalhados na 
Educação Infantil, mostrando a relevância desse trabalho desde os primeiros 
anos de vida da criança. Os conteúdos desenvolvidos nessa fase do desenvol-
vimento são estruturantes no trabalho com o conhecimento matemático, 
favorecendo a construção de estruturas mentais de pensamento e ação que 
contribuem diretamente para a formação integral do indivíduo.
– 66 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Os conteúdos matemáticos que fazem parte do currículo escolar dos 
anos iniciais do Ensino Fundamental, normalmente, estão contemplados 
em campos da matemática e organizados em eixos conforme orientações dos 
Parâmetros Curriculares Nacionais(BRASIL, 1997) e de estudos recentes 
propostos pelo Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa de Mate-
mática (BRASIL/MEC/PNAIC, 2014), a saber: números e operações; pensa-
mento algébrico; grandezas e medidas; geometria; estatística e probabilidade.
A organização dos conteúdos em eixos estruturantes do conhecimento 
matemático deve favorecer a visualização, organização e o estudo aprofun-
dado dos temas envolvidos no trabalho pedagógico. No entanto, a prática 
pedagógica não pode ser linear. Ela deve ser pensada no sentido de estabele-
cer relações entre os diferentes conteúdos, ultrapassando a linha imaginária 
que divide os eixos de conteúdos, assim como utilizar informações e ideias 
de outras áreas do conhecimento, para que o trabalho pedagógico seja dinâ-
mico e interativo, em uma construção contínua e significativa do conheci-
mento matemático.
Vivemos em uma sociedade na qual o conhecimento mate-
mático é fator indispensável para a participação social e, portanto, 
todo o cidadão tem o direito de acesso a esse conhecimento. Os 
PCN (BRASIL, 1998, p. 27) destacam essa importância ao comen-
tar sobre as informações veiculadas na mídia: “para exercer a cidada-
nia é necessário saber calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar 
informações estatisticamente, etc.”
Os PCN (BRASIL, 1998, p. 27) destacam que a matemática 
contribui significativamente na construção da cidadania, na medida 
em que desenvolve metodologias que favoreçam a “construção de 
estratégias, a comprovação e justificativa de resultados, a criativi-
dade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda 
da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios.”
Abordagem 
metodológica 
dos conteúdos
5
– 68 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Ao pensar na formação do indivíduo enquanto cidadão, Ferreira (1993, 
p. 16) comenta sobre a importância de um trabalho pedagógico com a mate-
mática que favoreça a construção de significados.
Se não se permitir que o aluno aceite “verdades” apenas por autori-
dade (seja do professor, do livro, etc), mas que fomente uma atitude 
crítica em que qualquer “verdade” é sempre verificada pelo aluno; Se 
se encara o professor como alguém que faz matemática e não como 
um detentor de uma série de conhecimentos estáticos; Se o aluno é 
levado a recriar a matemática, baseando-se na sua intuição e lógica, 
chegando a diferentes níveis de abstração e rigor, conforme seu pró-
prio desenvolvimento e as necessidades por eles sentidas.
Dessa forma, o ambiente escolar passa a ser um espaço investigativo em 
que os sujeitos (aluno e professor) estão constantemente frente a situações 
desafiadoras e em busca das melhores formas de resolver cada situação apre-
sentada. Assim sendo, a “missão dos educadores é preparar as novas gerações 
para o mundo em que terão que viver.” (SANTALÓ, 2001, p. 11).
Diante disso, cabe destacar que a diversidade de estratégias e encami-
nhamentos metodológicos no trato com os conteúdos certamente contribuirá 
para as inúmeras possibilidades de perceber e construir os conhecimentos 
matemáticos indispensáveis para a vida social e na formação da sua cidadania.
Estudos e pesquisas mostram que não existe um único e melhor cami-
nho para se ensinar e aprender Matemática. É fundamental que os educa-
dores matemáticos conheçam as mais diferentes possibilidades de trabalho 
pedagógico para que possam planejar e construir a sua prática de forma signi-
ficativa na construção do conhecimento matemático.
A seguir vamos mostrar algumas possibilidades metodológicas e estraté-
gias para encaminhar o trabalho pedagógico com a matemática. É fundamen-
tal, no entanto, destacar que, neste capítulo, não vamos abordar a resolução 
de problemas, dos quais dedicamos um capítulo inteiro devido à sua rele-
vância no trato com a matemática.
5.1 Modelagem matemática
A modelagem matemática é uma forma de abordagem metodológica 
que privilegia o contexto social do indivíduo ao mesmo tempo em que pro-
– 69 –
Abordagem metodológica dos conteúdos
cura levantar situações problematizadoras a partir de questionamentos da 
realidade. É uma forma de criar “um ambiente de aprendizagem no qual os 
alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, 
situações oriundas de outras áreas da realidade” (BARBOSA, 2001, p. 6) e 
que, por vezes, inicialmente, nem possui ligação direta com a matemática.
Essa forma de conduzir o trabalho com a matemática propõe que os 
sujeitos (professor e aluno) levantem problematizações que os instiguem e 
que tenham significado no contexto real no qual estão inseridos. A partir da 
proposição de uma problemática, os sujeitos vão se envolver na “formulação 
de hipóteses e simplificações adequadas na criação de modelos matemáticos 
para analisar o problema em estudo, para ser vista como uma alternativa para 
inserir aplicações matemáticas no currículo escolar sem, no entanto, alterar as 
formalidades inerentes ao ensino” (ALMEIDA; DIAS, 2004, p. 22).
Portanto, a modelagem matemática possibilita a articulação entre o con-
texto social real e os conteúdos matemáticos, bem como estabelece conexão 
com as outras áreas do conhecimento, ao estudar as problematizações levan-
tadas a partir da realidade.
5.2 História da matemática
Nos últimos anos tem sido discutido muito sobre a importância da 
utilização da história da matemática como um recurso pedagógico em sala 
de aula.
Os PCN (BRASIL, 1998, p. 42) consideram importante o uso da histó-
ria da matemática ao dizer que ela:
Pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino 
e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a matemá-
tica como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocu-
pações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, 
ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos mate-
máticos do passado e do presente, o professor cria condições para 
que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante 
do conhecimento.
É possível verificar nos PCN (BRASIL, 1998, p. 43) que a história da 
matemática pode contribuir no sentido de levar o aluno a compreender mui-
– 70 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
tas ideias e conceitos matemáticos que estão sendo estudados, “especialmente 
para dar respostas a alguns ‘porquês’ e, desse modo, contribuir para a consti-
tuição de um olhar mais crítico sobre os objetos do conhecimento”.
Dessa forma, há certo consenso entre educadores e pesquisadores mate-
máticos quanto à importância da utilização da história da matemática como 
forma de favorecer ao aluno a construção de significados para os conhecimen-
tos matemáticos estudados no âmbito escolar.
5.3 Etnomatemática
A etnomatemática é considerada um programa de ensino e de aprendi-
zagem da matemática, cujo mentor é o professor Ubiratan D’Ambrósio, que, 
na década de 1970, propôs que os sistemas educacionais deveriam dar ênfase 
às matemáticas produzidas pelas diferentes culturas e grupos sociais.
D’Ambrósio (2002, p. 9) define a etnomatemática como um programa 
que trabalha com a “matemática praticada por grupos culturais, tais como 
comunidades urbanas e rurais, grupos de trabalhadores, classes profissionais, 
crianças de certa faixa etária, sociedades indígenas e tantos outros grupos que 
se identificam por objetivos e tradições comuns aos grupos”.
De acordo com o autor, a utilização da etnomatemática no desenvolvi-
mento do trabalho pedagógico em matemática destaca a importância e a valo-
rização dos diferentes saberes matemáticos, não excluindo um em detrimento 
do outro, mas enfatizando o saber matemático de cada cultura, de cada grupo 
social, mostrando que todo o conhecimento matemático pertencente a um 
grupo social tem significado.
5.4 Tecnologia
A utilização das tecnologias, sejam elas as calculadoras,os computado-
res, os vídeos, etc., no âmbito escolar tem favorecido a compreensão e o signi-
ficado de diversos conteúdos matemáticos, assim como tem ampliado as for-
mas e possibilidades de resolução de problemas, proporcionando, também, 
um leque maior de informações.
– 71 –
Abordagem metodológica dos conteúdos
Partindo do pressuposto que a escola deve contribuir significativamente 
para a inserção do indivíduo na sociedade em que vive e sabendo que vivemos 
em uma sociedade tecnológica, é imprescindível que os recursos tecnológicos 
façam parte do processo do ensinar e do aprender matemática como ferra-
mentas pedagógicas fundamentais no trabalho em sala de aula.
Os PCN (BRASIL, 1997, p. 46) colocam que o acesso à calculadora, 
aos computadores e a outros recursos tecnológicos já é realidade para parte 
significativa da população, destacando ainda que
Estudos e experiências evidenciam que a calculadora é um instru-
mento que pode contribuir para a melhoria do ensino da matemática. 
A justificativa para essa visão é o fato de que ela pode ser usada como 
um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de 
investigação.
Além disso, ela abre novas possibilidades educativas, como a de levar 
o aluno a perceber a importância do uso dos meios tecnológicos dis-
poníveis na sociedade contemporânea. A calculadora é também um 
recurso para verificação de resultados, correção de erros, podendo ser 
um valioso instrumento de autoavaliação.
A utilização da calculadora no âmbito escolar está bastante difundida, 
visto que hoje se tornou instrumento básico para a realização de diversas ati-
vidades. Ela pode ser utilizada, não para substituir o cálculo escrito e o cál-
culo mental que o aluno deve realizar, mas, principalmente, para desenvolver 
algumas atividades, como: descobrir algumas curiosidades matemáticas envol-
vendo cálculos ou sequências numéricas; realizar cálculos extensos e complexos 
em que é mais importante dar ênfase no raciocínio e na resolução do problema 
e, com isso, o aluno ganha tempo; verificar resultados, utilizando-a como ins-
trumento de autocorreção; trabalhar e descobrir regularidades nas operações; 
entre outras situações em que o cálculo pode ser feito pelo uso da calculadora.
5.5 Jogos
As brincadeiras e jogos fazem parte do mundo infantil. Portanto, a 
matemática apresentada por meio de atividades lúdicas torna-se envolvente 
e favorece a construção de significados de conhecimentos matemáticos pró-
prios do mundo da criança.
– 72 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
A aceitação e a utilização de jogos e brincadeiras como uma estratégia 
no processo do ensinar e do aprender matemática têm ganhado força entre os 
educadores e pesquisadores matemáticos nesses últimos anos, por considera-
rem, em sua grande maioria, uma forma de trabalho pedagógico que estimula 
o raciocínio e favorece a vivência de conteúdos matemáticos e a relação com 
situações do cotidiano.
O jogo como estratégia de ensino e de aprendizagem matemática em 
sala de aula deve favorecer à criança a construção do conhecimento cientí-
fico, propiciando a vivência de situações “reais” ou “imaginárias”, propondo à 
criança desafios e instigando-a a buscar soluções para as situações que se apre-
sentarem durante o jogo ou mesmo nas problematizações que surgirem como 
consequência do jogo, levando-a a raciocinar, trocar ideias e tomar decisões.
Os PCN (BRASIL, 1998, p. 46) destacam o recurso aos jogos como 
uma importante ferramenta na proposição e na resolução de problemas,
pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e 
favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução 
e busca de soluções. Propiciam a simulação de situa ções-problema 
que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o planeja-
mento das ações; possibilitam a construção de uma atitude positiva 
perante os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente 
e podem ser corrigidas de forma natural, no decorrer da ação, sem 
deixar marcas negativas.
A atividade de brincar e de jogar promove a busca da compreensão de 
regras, a imaginação, a criatividade, a resolução de situações que aparecem 
no decorrer do jogo, tendem a promover o ensino e a aprendizagem que per-
mitem a utilização de conhecimentos prévios da criança, levando-a a atribuir 
novos significados e a construir e elaborar novos conhecimentos.
De acordo com Muniz (2014, p. 56),
No brincar podemos encontrar tanto a aplicação do conhecimento 
escolar quanto do conhecimento espontâneo, que são dois tipos de 
conhecimentos considerados como participantes da cultura infantil. 
A presença de uma trama entre diferentes modos de conhecimento 
matemático no brincar pode revelar como a criança estabelece rela-
ções complexas entre a reprodução do conhecimento escolar e o uso 
de sua potencialidade criativa para construir e resolver situações-pro-
blema. E mais, devemos tomar o brincar como um espaço onde as 
– 73 –
Abordagem metodológica dos conteúdos
crianças estão à vontade para comunicar entre si suas maneiras de 
pensar e onde tentam explicar e validar essas maneiras de pensar para 
o grupo que participa da atividade lúdica.
O jogo na educação matemática propicia a introdução da linguagem 
matemática que pouco a pouco vai sendo incorporada aos conceitos mate-
máticos formais, ao desenvolver a capacidade de lidar com informações e ao 
criar significados culturais para os conceitos matemáticos e o estudo de novos 
conceitos. Para tanto, a escolha dos jogos e brincadeiras para utilização na 
educação matemática deve ser bem criteriosa e com objetivos bastante claros 
e definidos, para que, de fato, a criança incorpore novos conhecimentos e/ou 
ressignifique os conhecimentos já construídos, ampliando-os.
5.6 Textos, imagens e literatura infantil
O trabalho com literatura infantil, textos e imagens está cada vez 
mais presente na prática pedagógica da Educação Infantil e dos anos ini-
ciais do Ensino Fundamental para trabalhar conteúdos relacionados à 
educação matemática.
Com o intuito de desenvolver diversas habilidades nas crianças, desde 
o aprendizado da língua materna falada e escrita, a representação de perso-
nagens das histórias infantis, a percepção e a imaginação desenvolvidas por 
meio das imagens e dos textos das histórias em quadrinhos, o encadeamento 
sequencial da história ou de imagens, desenvolvimento do raciocínio, da 
representação, do ouvir, da escrita, da compreensão da realidade e muitas 
outras, favorecem o contato e o aprendizado de conhecimentos matemáticos.
Smole, Cândido e Stancanelli (1999, p. 12-13) defendem a ideia do tra-
balho de educação matemática em conexão com a literatura infantil de forma 
a integrar a literatura no trabalho pedagógico em matemática, ao destacar que 
essa integração
[...] representa uma substancial mudança no ensino tradicional da 
matemática, pois, em atividades deste tipo, os alunos não aprendem 
primeiro a matemática para depois aplicar a história, mas exploram a 
matemática e a história ao mesmo tempo.
Interrogado pelo texto, o leitor volta a ele muitas vezes para acres-
centar outras expectativas, percepções e experiências. Desta forma, a 
– 74 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
história contribui para que os alunos aprendam e façam matemática, 
assim como exploram lugares, características e acontecimentos na 
história, o que permite que habilidades matemáticas e de linguagem 
desenvolvam-se juntas, enquanto os alunos lêem, escrevem e conver-
sam sobre as ideias matemáticas que vão aparecendo ao longo da lei-
tura. É neste contexto que a conexão da matemática com a literatura 
infantil aparece.
O mundo mágico da literatura infantil, o colorido das imagens e a obser-
vação e análise de cenas prendem a atenção de qualquer criança, despertando 
o seu mundoimaginário e sua criatividade. Portanto, abordar conteúdos a 
partir de histórias infantis, imagens, representações de cenas da realidade e 
do mundo da criança, torna a aprendizagem da matemática agradável, com 
significado e de fácil assimilação.
5.7 Materiais manipuláveis
Algumas das possibilidades metodológicas descritas anteriormente tam-
bém utilizam materiais manipuláveis, como: jogos, uso da calculadora, entre 
outros. Porém, neste tópico, queremos destacar outros materiais pedagógicos 
manipuláveis que são fortes aliados do professor no desenvolvimento do tra-
balho em educação matemática. Aqui vamos apresentar alguns desses mate-
riais; há inúmeros outros que podem contribuir significativamente para o 
processo do ensinar e aprender matemática.
Os materiais manipuláveis, ao serem utilizados adequadamente, podem 
favorecer a diminuição nos processos puramente mecânicos, proporcionando 
ao aluno a oportunidade de construir e vivenciar situações de raciocínios, 
observação e construção de procedimentos de cálculo, formas diversificadas 
de pensar e perceber a realidade, atribuindo significado aos conteúdos e aos 
conceitos matemáticos.
Dessa forma, a educação matemática favorece o desenvolvimento do 
pensar e do atuar, construindo habilidades, valores e atitudes que ampliam a 
visão de mundo e a construção do conhecimento matemático.
Os materiais manipuláveis favorecem a construção e a vivência de ati-
vidades matemáticas escolares, em que não há espaço para uma matemática 
pronta e acabada, privilegiando a memorização sem compreensão, mas con-
– 75 –
Abordagem metodológica dos conteúdos
tribui para a construção e apropriação, pela criança, de um conhecimento 
dinâmico, significativo, que lhe permita compreender e intervir na realidade.
Diante disso, a utilização adequada de materiais manipuláveis passa a 
ser fundamental na prática pedagógica do educador, uma vez que ensinar e 
aprender matemática consiste em perceber o significado e o sentido de cada 
conteúdo matemático e a aplicação nos diferentes contextos sociais.
Carvalho (1991, p. 107) destaca a importância do uso de materiais mani-
puláveis adequados para o trabalho com conteúdos matemáticos, dizendo 
que “na manipulação do material didático a ênfase não está sobre objetos e 
sim sobre as operações que com eles se realizam”.
Portanto, a utilização adequada de materiais manipuláveis pode auxiliar 
o aluno a compreender e perceber com mais facilidade e com significativi-
dade determinados conteúdos e as relações neles presentes. Ao observar e 
vivenciar concretamente determinadas aplicações de regras, estruturas mate-
máticas, propriedades, procedimentos, cálculos, entre outros, torna-se mais 
acessível a compreensão e a relação que se estabelece entre o vivenciado e o 
registro simbólico.
A utilização de materiais manipuláveis na prática pedagógica deve ser 
planejada e com objetivos bem definidos. Para isso, é necessário usar material 
manipulável adequado para o conteúdo em estudo, deve ajudar e facilitar a 
compreensão do conteúdo, atribuindo-lhe significado, favorecendo, também, 
a compreensão dos registros simbólicos matemáticos.
Ao iniciar o trabalho pedagógico com material manipulável, são favo-
recidas atividades que coloquem a criança em contato com o material para 
ela explorá-lo livremente. É nesse momento que o aluno percebe a forma, a 
constituição e os tipos de peças de cada material, para poder, depois, explorar 
a maior quantidade possível de conteúdos matemáticos, estabelecendo todas 
as relações possíveis.
A participação da criança como sujeito na construção do conhecimento 
matemático contribui nas formas de abordar notações e convenções da lin-
guagem matemática, incentivando a criança a criar seus próprios métodos de 
resolver problemas com materiais concretos e pensar as notações e expressões 
que usará para representar suas soluções. Assim sendo, a criança é levada a 
– 76 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
perceber que toda notação é um dos muitos modos válidos para expressar seu 
pensamento e suas formas de raciocínio.
A seguir apresentamos alguns recursos manipuláveis que podem ser usa-
dos na prática pedagógica a fim de contribuir para o ensino e a aprendizagem 
de conteúdos e conceitos matemáticos.
5.7.1 Material dourado
O material dourado foi criado por Maria Montessori, médica italiana 
(1879-1952). Ela desenvolveu o trabalho de construção e apropriação do 
Sistema de Numeração Decimal (SND), suas propriedades e operações, por 
pessoas que apresentavam dificuldades de aprendizagem em matemática.
O material dourado é utilizado, principalmente, para desenvolver o tra-
balho com:
 2 o Sistema de Numeração Decimal;
 2 as operações fundamentais;
 2 o desenvolvimento de algumas habilidades, como: observação, 
comparação, percepção, autonomia, criatividade, raciocínios lógi-
cos, entre outras;
 2 a percepção entre o simbólico e o manipulável;
 2 a resolução de problemas.
– 77 –
Abordagem metodológica dos conteúdos
Além disso, o material dourado pode favorecer a concentração, o inte-
resse, o raciocínio lógico, desenvolver a inteligência e a imaginação criadora, 
pois a criança, por natureza, está sempre predisposta ao jogo.
O material dourado se baseia nas regras do Sistema de Numeração Deci-
mal e é composto por:
Cubinho cada cubinho representa uma unidade:
1 unidade = 1 U
Barra cada barra é composta por 10 unidades:
10 unidades = 10 U
1 dezena = 1 D
Placa cada placa é composta por 100 unidades:
100 unidades = 100 U
10 dezenas = 10 D
1 centena = 1 C
Cubo cada cubo é composto por 1 000 unidades:
1 000 unidades = 1 000 U
100 dezenas = 100 D
10 centenas = 10 C
1 unidade de milhar = 1 UM
Na falta do material dourado tridimensional, é comum confeccionar um 
material similar no plano, com quadradinhos de 1cm x 1cm, com o objetivo 
– 78 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
de desenvolver as atividades pedagógicas relacionadas à construção da nume-
ração decimal. As peças ficam assim:
 1 centena 1 dezena 1 unidade
Como esse material é feito no plano, não é possível confeccionar o cubo; 
por isso a sua representação se limita ao trabalho pedagógico até a centena. 
Mesmo assim, é possível desenvolver um bom trabalho em relação à numeração.
É imprescindível destacar que o material dourado, por si só, não evi-
dencia o valor posicional do número, princípio fundamental do Sistema de 
Numeração Decimal.
5.7.2 Quadro valor de lugar
– 79 –
Abordagem metodológica dos conteúdos
O quadro valor de lugar (Q. V. L.), também denominado de cartaz valor 
de lugar (conhecido pela sua abreviatura: cavalu), é um material manipulável 
utilizado, principalmente, para a construção e compreensão do Sistema de 
Numeração Decimal (SND) e para a resolução das operações fundamentais.
É um material de fácil confecção, pois pode ser confeccionado 
colando-se uma folha de papel pardo pregueado (cada prega pode ter 
aproximadamente a profundidade de 3 centímetros) sobre um pedaço de 
papelão ou uma folha de papel cartão. Fazer duas ou mais separações 
verticais, usando fita adesiva colorida ou fita crepe. Com o quadro valor 
de lugar e palitos de picolé, pode-se representar quantidades numéricas, 
fazendo o reagrupamento de ordens e estimular a compreender a repre-
sentação da resolução das operações fundamentais, principalmente as adi-
ções e as subtrações.
O quadro valor de lugar (cavalu) é um material manipulável que pode 
ser utilizado como variação para a representação numérica e a resolução das 
operações fundamentais realizadas com o ábaco e com o material dourado.
5.7.3 Ábaco
DM UM C UD C UD
O ábaco é um instrumento milenar utilizado para a representação numé-
rica e para a realização de cálculos. Como os cálculos eram feitos basicamenteem ábacos, ele é considerado a primeira máquina de calcular inventada.
É muito usado ainda, principalmente, nas escolas, para a representação e 
compreensão do Sistema de Numeração Decimal e para a resolução das ope-
rações fundamentais. Nas escolas, é mais usado o ábaco aberto, que é formado 
– 80 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
por hastes, uma base de madeira ou outro material e várias pecinhas para serem 
colocadas nas hastes, de acordo com a representação numérica em questão.
Mas, além da escola, ele ainda é usado em países como Índia, China, 
Japão e Rússia, nas mãos de pessoas que operam com facilidade e agilidade 
esse instrumento.
É um recurso material que favorece a visualização da representação do 
Sistema de Numeração Decimal, a base 10 e o valor posicional dos algaris-
mos, além de ser um instrumento utilizado na resolução das operações fun-
damentais, com destaque para a adição e a subtração.
5.7.4 Blocos lógicos
Os blocos lógicos foram criados pelo matemático húngaro Zoltan Paul 
Dienes, na década de 1950, com o principal objetivo de desenvolver o racio-
cínio lógico, a análise, pensamento flexível e as operações mentais estrutu-
rantes do pensamento matemático, que ocorrem por meio da manipulação 
de peças com atributos lógicos, favorecendo a articulação de raciocínios e a 
busca de múltiplas soluções para os problemas que possam surgir.
Os blocos lógicos são compostos por um conjunto de 48 peças (tridi-
mensionais) com quatro atributos: forma, cor, tamanho e espessura.
– 81 –
Abordagem metodológica dos conteúdos
 2 4 formas
Cilindro / Prisma de base triangular / 
Prisma de base quadrada / Prisma de base retangular
 2 2 tamanhos
 
Grande / Pequeno
 2 2 espessuras
Fino / Grosso
– 82 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 2 3 cores
Azul / Amarelo / Vermelho
Observação: por questões de praticidade e para não incorrer no erro de 
tratar um bloco tridimensional de quadrado, triângulo, retângulo ou círculo 
(que são figuras planas – bidimensionais), as peças (ou blocos) podem ser 
nominadas de acordo com a forma geométrica de sua base. Por exemplo:
 cilindro peça (ou bloco) de base circular.
 prisma de base triangular peça (ou bloco) de base trian-
gular.
 prisma de base quadrada peça (ou bloco) de base qua-
drada.
 prisma de base retangular peça (ou bloco) de 
base retangular.
5.7.4.1 Sólidos geométricos
 
– 83 –
Abordagem metodológica dos conteúdos
Os sólidos geométricos são representações das formas tridimensionais 
presentes no espaço que nos rodeia.
Conhecer e utilizar os sólidos geométricos ou seus modelos contribui 
significativamente para a compreensão das características e propriedades que 
compõem as diferentes formas geométricas presentes no espaço em que vive-
mos. Por meio dos sólidos geométricos (representações tridimensionais) obte-
mos, também, as figuras planas (bidimensionais).
Observe que alguns sólidos geométricos têm todas as suas superfícies (faces) 
planas, enquanto outros têm superfícies curvas. Essa característica matemática é 
o critério de classificação dos sólidos geométricos em dois grandes grupos. Veja:
Sólidos geométricos
Corpos redondos (superfícies arredondadas)Poliedros (faces planas)
EsferaCilindroConePrismas Pirâmides Outros
É possível afirmar que o ensino da geometria por meio da construção e da 
manipulação das formas proporciona a compreensão do conhecimento, atribuindo 
– 84 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
significado às características e propriedades geométricas, assim como desenvolve 
inúmeras habilidades relacionadas ao raciocínio e ao pensamento geométrico.
 Reflita
Leia e reflita sobre as quatro afirmações a seguir.
1. As mudanças sociais têm ocorrido numa velocidade nunca imagi-
nada há bem pouco tempo. A educação como parte integrante 
desta sociedade deve procurar se integrar eficazmente às mudan-
ças de forma crítica e construtiva.
2. A educação exerce papel fundamental no processo de constru-
ção dos conhecimentos necessários à inserção do indivíduo na 
sociedade.
3. O professor exerce papel fundamental enquanto orientador, ins-
tigador e mediador entre o conhecimento e o aluno.
4. Ao favorecer a manipulação de materiais, a criança agrega novas 
experiências à sua vida, favorecendo a construção de novas 
aprendizagens e, com isso, a construção e assimilação de novos 
conceitos matemáticos.
a) Faça uma reflexão sobre cada uma dessas afirmações e rela-
cione-as com as abordagens metodológicas desenvolvidas no 
capítulo.
b) A partir das suas reflexões, estabeleça um paralelo entre essas 
afirmações e as abordagens metodológicas que contribuem 
na efetivação do ensino e da aprendizagem matemática no 
âmbito escolar.
 Da teoria para a prática
1. A etnomatemática tem como objetivo valorizar e 
trabalhar a matemática utilizada por diferentes grupos 
sociais. Partindo dessa afirmação, podemos estabe-
– 85 –
Abordagem metodológica dos conteúdos
lecer que as crianças, com suas brincadeiras especí-
ficas, formam um grupo social. Além dessa forma de 
abordar as brincadeiras infantis, podemos pensá-las, 
também, na abordagem metodológica dos jogos, 
enquanto forma articuladora do ensinar e do apren-
der matemática.
Uma das brincadeiras infantis apreciadas pelas crianças 
é a amarelinha.
Então, vamos brincar de amarelinha?
a) Há diferentes formas de desenhar a amarelinha. 
Veja duas possibilidades.
1
2
3
54
6
8 7
9
Céu Céu
1
2 3
6
4
5
9
7
8
10
b) Regras da brincadeira.
 2 Cada criança, na sua vez, joga uma pedrinha, ini-
ciando na casa de número 1, devendo acertá-la 
dentro da casa.
– 86 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 2 Em seguida, pula com um só pé nas casas isoladas 
e com dois pés nas casas duplas, evitando a que 
contém a pedrinha.
 2 Chegando ao céu, pisa-se com os dois pés, e 
retorna da mesma forma que foi.
 2 No retorno deve pegar a pedrinha do chão, sem 
perder o equilíbrio, nem pisar no traçado e nem 
fora das figuras, voltando ao ponto de partida.
 2 Se não cometer erros, joga a pedrinha na casa de 
número 2 e assim sucessivamente.
 2 Se cometer algum erro passa a vez para a outra 
criança e aguarda a próxima vez de jogar.
 2 Ganha o jogo quem alcançar o céu.
c) Agora, analise a brincadeira e responda.
 2 Quais são as abordagens metodológicas envolvi-
das nessa atividade?
 2 Quais os conteúdos matemáticos que podem ser 
trabalhados com essa brincadeira?
d) É possível iniciar o trabalho com o conhecimento 
matemático desde o traçado da amarelinha.
 2 Que formas geométricas são essas? As linhas são retas 
ou curvas? Onde estão as linhas retas? E as curvas?
 2 Quais números vamos colocar nas casas? Qual é 
a sequência numérica usada?
 2 O que significa cada um desses números?
 2 Qual é a quantidade que cada número representa?
 2 Qual é o antecessor do 3? E o sucessor?
* Elaborar outros questionamentos, de acordo com a reali-
dade das crianças, durante a brincadeira.
– 87 –
Abordagem metodológica dos conteúdos
Síntese
O conhecimento matemático faz parte da sociedade contemporânea e 
a sua aprendizagem é imprescindível na formação da cidadania e para uma 
participação efetiva no meio social em que vivemos. Há diversas abordagens 
metodológicas que contribuem para que essa aprendizagem se efetive com 
compreensão e significado para a criança.
O trabalho pedagógico com o conhecimento matemático pode adquirir 
maior significado na medida em que é desenvolvido por meio de diferentes 
abordagens metodológicas. Entre as diversas possibilidades de “fazer” mate-
mática em sala de aula, destacamos: a modelagem matemática, a etnomate-
mática, a história da matemática, jogos, ouso da tecnologia, o uso de textos, 
imagens e literatura infantil e os materiais manipuláveis. A resolução de pro-
blemas permeia essas abordagens metodológicas, além de ser uma das possi-
bilidades de trabalho pedagógico da matemática. Não abordamos a resolução 
de problemas neste momento, pois será trabalhado um capítulo, neste livro, 
sobre essa abordagem metodológica.
Os jogos, atividades lúdicas, brincadeiras, literatura infantil e materiais 
manipuláveis, se usados adequadamente, contribuem significativamente na 
construção e compreensão do conhecimento matemático. Essas formas de 
trabalhar o conhecimento matemático devem visar à construção e à apropria-
ção da linguagem simbólica e dos raciocínios matemáticos.
As operações mentais se constituem por meio das ações 
motoras e sensoriais vivenciadas pelo ser humano desde a mais tenra 
idade. As experiências vivenciadas concretamente pela criança favo-
recem o desenvolvimento das estruturas de pensamento e ação, que 
fazem parte do desenvolvimento do pensamento lógico-matemático.
As operações mentais que permitem à criança estabelecer rela-
ções entre os elementos, iguais ou diferentes, presentes no meio em 
que ela está inserida se desenvolvem com maior intensidade quando 
o egocentrismo diminui, e a convivência e a cooperação com outras 
crianças assumem o lugar do brinquedo isolado.
Operações mentais 
lógico-matemáticas
6
– 90 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
As variações nas idades das crianças, em que ocorrem os processos de 
apropriação de determinadas estruturas mentais e de raciocínio lógico-mate-
mático, devem-se às ações e às relações da vida social da criança e aos estímu-
los proporcionados em função do seu desenvolvimento humano.
A contagem numérica, por exemplo, pode ser iniciada pelas crianças em 
diferentes idades, de acordo com a interferência do meio social na aquisição 
dessa habilidade. Destaca-se, no entanto, que uma criança que aprendeu a 
contar até dez ou mais, mesmo que relacione corretamente o número falado 
à quantidade de objetos reais, não garante que ela já possua as estruturas 
mentais desenvolvidas para a compreensão dos números ou mesmo para a 
resolução de operações matemáticas mais complexas. Isso ainda pode levar 
algum tempo.
Para construir e atribuir significado ao conhecimento matemático, como 
o Sistema de Numeração Decimal, é necessária a construção de determinadas 
estruturas mentais, bem como a formação de certos hábitos de pensamento 
e ação. Por isso, destacamos a seguir as principais operações mentais lógico-
-matemáticas fundamentais para a construção das estruturas lógicas de pen-
samento e ação.
6.1 Operação de classificação
Desde pequena, a criança começa a reconhecer objetos, pessoas ou seres 
que ocupam o espaço. Ao reconhecer, por meio do contato, o mundo ao seu 
redor, começa a nomear e identificar brinquedos, pessoas, animais, objetos, 
entre outros, identificando intuitivamente características dos seres e coisas 
que fazem parte do seu mundo.
Dessa forma, a criança inicia o desenvolvimento da operação mental de 
classificação, a qual se modifica à medida que ela cresce e sofre as influências 
e intervenções do meio social em que vive.
Durante o seu desenvolvimento, a criança percebe e identifica, por 
exemplo, que um cachorro é diferente de um pássaro, classificando-os em 
grupos distintos, pois apresentam características diferentes. Mais tarde, a 
criança aprenderá que o cachorro e o pássaro pertencem a um grupo 
maior, denominado animais; ou seja, mesmo com características tão dife-
– 91 –
Operações mentais lógico-matemáticas
rentes, eles pertencem ao mesmo grupo – o de animais –, pois há caracte-
rísticas comuns entre eles. Essa capacidade de identificar e incluir em um 
grupo maior animais, objetos, seres, pessoas, ações que apresentam deter-
minadas características comuns mostra que a criança adquiriu a noção de 
inclusão. A ideia de inclusão é essencial para o desenvolvimento do pensa-
mento lógico-matemático.
Portanto, de acordo com Piaget (1975), a classificação é uma opera-
ção lógica que consiste na capacidade de separar objetos, pessoas, fatos, 
ações ou ideias em classes ou grupos, tendo por critério uma ou várias 
características comuns.
Outras palavras que são associadas à operação mental de classificar:
 2 organizar;
 2 juntar;
 2 separar;
 2 reagrupar.
Para classificar é necessário estabelecer critérios ou atributos, que visam 
identificar se um elemento pertence ou não àquele grupo, ou seja, se faz parte 
de um determinado grupo ou classe.
6.1.1 Estabelecendo classificações
a) Classificar os objetos representados a seguir, em dois grupos, de 
acordo com a cor.
– 92 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 2 Critério (ou atributo) de classificação: objetos com cores escuras e 
objetos com cores claras.
Essa classificação fica assim representada:
cor escura cor clara
Se designarmos de “A” o grupo de objetos de cor escura e de “B” 
o grupo de objetos de cor clara, podemos dizer que um elemento 
de cor branca pertence ao grupo B, isto é, esse elemento faz parte 
do grupo B, estabelecendo assim a relação de pertinência entre o 
elemento e o grupo a que ele pertence.
b) Classificar os objetos em dois grupos de acordo com a forma 
geométrica.
250g
Extrato de
tomate
Suco
de uva
200ml
– 93 –
Operações mentais lógico-matemáticas
 2 Critério (ou atributo) de classificação: objetos que apresentam 
todas as faces planas e objetos que apresentam alguma face arre-
dondada ou curva.
Esta classificação fica assim representada:
todas as faces planas alguma face arredondada ou curva
Suco
de uva
200ml
250g
Extrato de
tomate
O 1.º grupo é composto por objetos que apresentam todas as faces 
planas, e o 2.º grupo, por objetos que possuem faces arredondadas.
Ao estabelecer a relação de pertinência ou de inclusão, podemos 
dizer que uma bola de futebol pertence e pode ser incluída no 2.º 
grupo de objetos.
6.1.2 Ampliando o conceito de critério
Critério é um padrão que se usa como norma para julgar ou comparar. 
O critério é estabelecido pelas pessoas de acordo com o que se pretende frente 
à situação que se apresenta.
Podemos ter, basicamente, três tipos de critérios:
a) Critério objetivo – caracteriza-se por apresentar padrão comum a qual-
quer pessoa. É critério lógico-matemático.
Por exemplo:
– 94 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 2 Organizar os objetos de acordo com a cor.
 
Grupo 1 – cor clara 
Grupo 2 – cor escura 
O critério cor é objetivo.
b) Critério comparativo – caracteriza-se por apresentar um elemento de 
comparação como medida de padronização. É critério lógico-matemático.
Exemplos:
 2 Separar os objetos em dois grupos – grandes e pequenos.
Questões para se pensar:
 2 O que caracteriza um objeto grande? Ele é grande em relação 
a quem?
 2 O que caracteriza um objeto pequeno? Ele é pequeno em rela-
ção a quem?
 
Objetos maiores (grandes) 
Obejtos menores (pequenos) 
Ao comparar os objetos entre si, estabelecemos o critério de tamanho, 
separando-os em grandes e pequenos.
– 95 –
Operações mentais lógico-matemáticas
O critério tamanho (grande e pequeno) é comparativo.
 2 Organizar as pessoas em dois grupos – as altas e as baixas.
Questões para pensar:
 2 Quanto deve medir uma pessoa para ser considerada alta? Ela 
é alta em relação a quem?
 2 Quanto deve medir uma pessoa para ser considerada baixa? 
Ela é baixa em relação a quem?
Ao comparar as pessoas entre si, estabelecemos o critério de altura, 
classificando-as em altas e baixas.
O critério altura (alto e baixo) é comparativo.
Note, porém, que se compararmos a pessoa mais alta, das represen-
tadas anteriormente, com a altura de um prédio,é possível afirmar 
que essa pessoa é baixa. Isso se deve ao fato de mudarmos o parâ-
metro de comparação.
– 96 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Por isso, é necessário ter um elemento de comparação que serve 
como parâmetro nos critérios comparativos.
c) Critério subjetivo – a subjetividade nem sempre é considerada um cri-
tério. No entanto, optamos por citá-lo, pois, ao trabalhar com crianças, 
percebe-se que é bastante comum, entre elas, a utilização da subjetivi-
dade como critério, padrão pessoal, para organizar, separar ou agrupar 
objetos ou seres. O subjetivo não é critério lógico-matemático, pois 
está relacionado ao individual; é válido somente para o sujeito que o 
estabelece. Não apresenta padrão comum às pessoas.
Por exemplo:
 2 Ao classificar os brinquedos em dois grupos, a criança identificou 
os que ela gosta, separando-os dos que ela não gosta.
– 97 –
Operações mentais lógico-matemáticas
Não gosta Gosta
Essa é uma forma de separar e organizar coisas, objetos, seres, entre 
outros, utilizada no cotidiano das pessoas, porém, é uma forma 
subjetiva de classificar.
 
O desenvolvimento da operação mental de classificação contri-
bui significativamente na formação de hábitos e atitudes neces-
sários à vida cotidiana das pessoas. Por exemplo: classificação 
de produtos de mercado – ao realizarmos compras, separamos 
os produtos de limpeza dos de alimentação, entre outros; 
classificamos as roupas na hora de lavá-las ou guardá-las; etc.
A operação de classificação contribui, em especial, na 
formação da estrutura mental de construção do número 
e das operações lógico-matemáticas, ao desenvolver 
a observação, a comparação, a lógica, de modo a per-
ceber semelhanças e diferenças e, dessa forma, esta-
belecer relações de pertinência e de inclusão.
 
6.2 Operação de seriação
A seriação é a organização em sequência lógica, utilizando um critério 
que estabelece relações entre os elementos.
– 98 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Por exemplo:
c) Organização das crianças por ordem de idade – da que tem menor idade 
à que tem a maior idade.
Pedro 
7 anos
Felipe 
9 anos
Tiago 
5 anos
Por estabelecer relações entre os elementos, a seriação apresenta duas 
propriedades fundamentais: a transitividade e a reciprocidade.
 2 Transitividade: é a propriedade que se caracteriza por estabe-
lecer a relação entre o primeiro e o último elemento de uma 
série, a partir da relação existente entre um elemento e o seu 
antecessor e sucessor. Por exemplo: se Tiago é mais novo que 
Pedro, e Pedro é mais novo que Felipe, então, Tiago é mais novo 
que Felipe.
Se T P F, então T F
 2 Reciprocidade: é a propriedade que se caracteriza por eviden-
ciar a relação entre um elemento e outro na série que, ao inverter 
esses elementos na série, a relação entre eles também se inverte. 
Por exemplo: se Tiago é mais novo que Pedro, então, Pedro é mais 
velho que Tiago.
Se T < P, então P > T
– 99 –
Operações mentais lógico-matemáticas
Ao trabalhar com seriação, desenvolvemos estruturas mentais impor-
tantes relacionadas ao raciocínio lógico-matemático que contribuem para 
a aprendizagem significativa dos conceitos e propriedades relacionados aos 
conteúdos matemáticos. Para se obter uma seriação é necessário estabelecer 
um critério que organize a sequência lógica.
Por exemplo:
d) Organizar uma sequência de cubos em ordem crescente de tamanho.
Critério: ordem crescente de tamanho dos cubos.
Esta série de cubos tem como característica a ordem crescente de tama-
nho: o 2.º cubo é maior que o 1.º; o 3.º é maior que o 2.º; o 4.º é maior 
que o 3.º; e assim sucessivamente. Há uma relação de “vizinhança” entre 
os elementos, ou seja, a série estabelece relações entre os elementos ante-
riores e posteriores.
e) Organizar uma sequência com os objetos, observando a forma geométrica.
Critério: forma geométrica dos objetos.
Essa série tem como característica as faces dos objetos: um objeto 
com face plana e dois objetos com faces arredondadas. Nessa série 
é possível perceber, também, a sequência de cores entre os elemen-
tos que a compõem: escuro, claro, claro; escuro, claro, claro; e assim 
sucessivamente.
– 100 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Além da contribuição na formação de hábitos e atitudes 
necessários à vida cotidiana das pessoas, a operação mental 
de seriação, contribui fortemente na construção das estru-
turas lógicas do conhecimento matemático, em especial, 
na formação do Sistema de Numeração Decimal, ao esta-
belecer relações entre o elemento anterior e o posterior.
 
6.3 Inclusão hierárquica
A inclusão hierárquica é a relação entre dois ou mais termos, em que um 
dos quais faz parte do outro, estabelecendo rigorosamente uma hierarquia, 
isto é, uma ordem crescente.
Essa relação permite estabelecer a quantificação de um grupo de objetos. 
Ao solicitar que uma criança mostre seis objetos, é natural que ela ordene-os 
para facilitar a contagem e, depois de ordenado, mostre que seis objetos são o 
grupo todo e não somente o sexto objeto. Se a criança apontar somente para 
o sexto objeto, isto significa que ela não percebeu a inclusão dos elementos 
anteriores na composição da quantidade seis e, portanto, não construiu o 
significado da quantidade seis.
Veja algumas exemplificações de inclusão hierárquica em quanti-
ficações do cotidiano, identificando a importância da construção dessa 
estrutura mental de pensamento e ação no desenvolvimento do raciocínio 
lógico-matemático.
a) Na medida de valor monetário
Se há R$ 5,00, para obter R$ 7,00 é necessário incluir R$ 2,00.
R$ 5,00
R$ 7,00
R$ 2,00
– 101 –
Operações mentais lógico-matemáticas
b) Na medida de tempo/idade
Para completar 6 anos é necessário ter 5 anos e 
incluir mais 1 ano.
5 anos
6 anos
1 ano
5 anos + 1 ano = 6 anos
c) No Sistema de Numeração Decimal
• 1 • 2 • 3 • 4 • 5
Cada elemento da série numérica é uma unidade a mais que seu anteces-
sor e uma a menos que o seu sucessor.
6.4 Comparação: semelhanças e diferenças
Por meio da observação e da comparação, identificamos características 
semelhantes e diferentes entre objetos, pessoas e fatos, permitindo a organiza-
ção e reorganização do pensar e do agir.
A operação mental de comparar favorece a correspondência termo a 
termo, identificando quantidades diferentes ou semelhantes entre grupos de 
objetos, pessoas, animais, fatos, entre outros.
Veja as exemplificações de comparação mostradas a seguir, identificando 
a importância da construção dessa estrutura mental de pensamento e ação no 
desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático.
Vou fazer 
6 anos
– 102 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
a) Os cubos representados a seguir possuem características comuns (seme-
lhanças) e diferentes.
 2 Semelhanças: forma geométrica; consequentemente os dois cubos 
têm a mesma quantidade de faces, de vértices e de arestas.
 2 Diferenças: tamanho, cor, volume.
b) Ao comparar, termo a termo, a quantidade de objetos que compõem os 
dois grupos a seguir, temos:
A
B
A cada dado do grupo A corresponde um botão do grupo B. No entanto, 
nem todos os botões do grupo B correspondem a um dado do grupo A, ou 
seja, há mais botões do que dados. Portanto, a quantidade de elementos entre 
os grupos é diferente.
Há seis dados e seis botões mais um botão, ou seja, sete botões.
Ao comparar características e quantidades de objetos e seres, 
percebendo semelhanças e diferenças, desenvolvemos a obser-
vação e a análise de algo visível e perceptível. Esse trabalho 
é a base para o desenvolvimento de estruturas mentais de 
– 103 –
Operações mentais lógico-matemáticas
raciocínio lógico voltadas para a análise de ideias,opiniões, 
conhecimentos e saberes que exigem uma abstração maior.
 
6.5 Conservação de quantidade
É a operação mental que nos permite perceber que uma determinada 
quantidade pode ser representada de diferentes formas e maneiras.
Os exemplos a seguir mostram a importância da construção dessa 
estrutura mental de pensamento e ação no desenvolvimento do raciocínio 
lógico-matemático.
a) A disposição dos cubinhos e a mudança nas cores não alteram a sua 
quantidade em cada um dos grupos.
b) A quantidade 7 pode ser representada de diferentes maneiras.
7 
7 
7 
– 104 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
A conservação de quantidade está relacionada à ação mental de fazer e 
desfazer uma mesma situação, favorecendo a flexibilidade e a reversibili-
dade de pensamento e ação.
 Reflita
Leia este pensamento de Piaget.
“É através da atividade concreta que a criança desenvolve a capaci-
dade lógica; a ação deve anteceder ou acompanhar o raciocínio em 
todas as atividades.”
Faça uma reflexão sobre esse pensamento e estabeleça um para-
lelo entre ele e as operações mentais estruturantes do pensamento 
lógico-matemático.
 Da teoria para a prática
A seguir, propomos duas atividades práticas de aplicação das 
operações mentais lógico-matemáticas.
1. Providencie algumas embalagens vazias (que não sejam de 
vidros ou cortantes)
Macarrão
500g
Leite
1 litro
500g
Detergente Sabão em pó
500g
a) Classifique as embalagens vazias em dois grupos, de 
acordo com os seguintes critérios:
– 105 –
Operações mentais lógico-matemáticas
 2 cor (por exemplo: predominância de cores claras 
X predominância de cores escuras);
 2 tamanho (por exemplo: embalagens maiores X 
embalagens menores);
 2 tipo de material usado na confecção da embalagem 
(por exemplo: embalagens de papelão X outras);
 2 tipo de produto que havia na embalagem (por 
exemplo: alimentos X não alimentos; ou produtos 
de higiene X outros; etc.);
 2 tipo de medida registrada na embalagem (por 
exemplo: medidas de massa X outras medidas).
b) Além dos critérios descritos anteriormente que outros 
critérios é possível utilizar para classificar essas embala-
gens em dois grupos?
 2 Faça as classificações e registre os critérios utilizados.
 2 Faça a maior quantidade possível de classificações 
com essas embalagens.
c) Organize as embalagens em diferentes sequências 
lógicas, registrando o critério utilizado em cada uma 
das sequências.
d) Pegue duas embalagens aleatoriamente.
 2 Compare-as.
 2 Descreva todas as características semelhantes e 
diferentes existentes entre elas.
2. Com um jogo de blocos lógicos, realize a atividade: “Des-
cobrindo a peça escondida”.
 2 Espalhe as 48 peças dos blocos lógicos sobre uma 
mesa ou mesmo no chão;
 2 Um participante da atividade esconde uma das 
peças sem que os demais participantes vejam qual 
foi a peça escondida;
– 106 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 2 Os participantes que não viram qual foi a peça 
escondida têm de descobrir, por meio da observa-
ção, da classificação e da análise das 47 peças que 
sobraram, qual foi a peça escondida, descrevendo 
as suas características;
 2 Misturam-se novamente todas as peças e um novo par-
ticipante esconde uma peça e os demais tentam desco-
brir qual foi a peça escondida; e assim sucessivamente.
Síntese
As operações mentais lógico-matemáticas favorecem o desenvolvimento 
de estruturas que propiciam a construção do conhecimento e dos saberes 
matemáticos com compreensão e significado.
As operações mentais de classificação, seriação, inclusão hierárquica, compa-
ração e conservação de quantidade são necessárias para a formação de certos hábi-
tos de pensamento e ação e no desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático.
A operação de classificação consiste na capacidade de organizar grupos 
de objetos, pessoas, animais, fatos ou ações, por meio de critérios lógicos, 
tendo uma ou várias características comuns. A operação de seriação consiste 
na capacidade de organizar elementos em sequência lógica, estabelecendo 
relação entre o elemento anterior e o posterior. A inclusão hierárquica con-
siste na capacidade de perceber e compreender a relação existente entre dois 
ou mais termos, na qual um deles faz parte do outro, estabelecendo rigorosa-
mente uma hierarquia, isto é, uma ordem crescente.
A operação de comparar consiste na capacidade de identificar semelhan-
ças e diferenças de características e de quantidades, desenvolvendo a observa-
ção, a análise e o raciocínio lógico-matemático.
Por fim, a operação de conservação de quantidade consiste na capaci-
dade de perceber que uma determinada quantidade pode ser representada de 
diferentes formas e maneiras, favorecendo a flexibilidade e a reversibilidade 
de pensamento e ação.
A construção e o conhecimento dos números e da geometria 
são essenciais para o exercício da cidadania na sociedade em que 
vivemos, uma vez que interagimos em um ambiente social e cultural 
em que a numeração e as formas são partes constituintes do meio.
O contato da criança com os números e com as formas geo-
métricas ocorre antes mesmo que ela comece a frequentar a escola. 
Por ser uma construção social e objeto de uso do cotidiano, os 
números são usados pelas crianças nas mais diversas situações, como 
as brincadeiras, jogos, páginas de livros de história, canais de tele-
visão, teclas de telefone, entre tantas outras situações. Da mesma 
maneira, o mundo ao redor da criança está repleto de formas geo-
métricas, sejam elas tridimensionais ou bidimensionais.
 Números e geometria
 7
– 108 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Gundlach (1992, p. 1) destaca a importância do conhecimento das 
informações relativas a números e formas, considerando-as úteis e necessárias.
De todas as formas de vida conhecidas sobre a terra, a espécie humana 
é a única a ter desenvolvido um procedimento sistemático para arma-
zenar informações úteis e transmiti-las de uma geração a outra. Uma 
parte considerável dessas informações relaciona-se com forma e quan-
tidade. Uma linguagem para relacionar forma e quantidade e suas 
várias inter-relações é uma necessidade.
7.1 Construção do número
A construção do número é considerada por muitos pesquisadores em 
educação matemática como uma das noções mais importantes da matemática 
ensinadas nos anos iniciais da escolarização da criança. De acordo com Verg-
naud (2009, p. 125),
longe se ser uma noção elementar, ela se apoia em outras noções, tais 
como a de aplicação, correspondência biunívoca, de relação de equi-
valência, de relação de ordem. [...] Enfim, é a possibilidade de fazer 
adições que dá à noção de número seu caráter específico em relação às 
noções sobre as quais ela se baseia.
A construção do número envolve diversas habilidades e operações, tais 
como: classificação, seriação, inclusão hierárquica, comparação, conservação 
de quantidade; assim, essas operações, juntamente com as noções de adição, 
se fundem no conceito de número.
Kamii (1998, p. 13) destaca que “o número é construído pela criança a 
partir de todos os tipos de relações que ela cria entre os objetos”. Assim sendo, 
a formação da ideia de número é interna e indivi dual, que o sujeito constrói 
a partir das relações que ele estabelece com o mundo que o cerca. Portanto, 
quanto maior e mais diversificadas forem as experiências vivenciadas pelo 
sujeito maior será a sua compreensão numérica.
Partindo-se desse princípio, podemos dizer que o número é uma 
construção mental e individual, portanto, é uma construção interna e 
abstrata, que se dá na medida em que o sujeito vivencia e estabelece rela-
ções entre a realidade e as estruturas mentais do conhecimento que vão 
se constituindo.
– 109 –
 Números e geometriaPara que a construção do número se efetive, além do desenvolvimento 
das operações mentais trabalhadas no capítulo anterior, consideramos essen-
cial o trabalho pedagógico e o desenvolvimento de algumas habilidades, 
raciocínios e vivências, os quais destacamos nos três tópicos a seguir.
a) Contagem numérica sequencial
As crianças, desde pequenas, fazem contagens numéricas que vão se 
modificando de acordo com o contexto, a compreensão e o significado 
que elas atribuem ao número. As contagens, normalmente, são usadas 
em um determinado contexto para a execução de uma ação e, por isso, 
têm significado para a criança.
A regularidade sequencial vai sendo adquirida “pela criança por meio 
da vivência social, com intervenções de pessoas adultas, ou de outras 
crianças maiores” (MACCCARINI, 2009, p. 15), dos quais ela passa a 
perceber a formação do conjunto de números que compõem a sequência 
utilizada para fazer contagens.
De acordo com Vergnaud (2009), a contagem sequencial adquire dife-
rentes estágios de acordo com o desenvolvimento da criança (cresci-
mento físico), ou seja, vai adquirindo novos elementos e novas com-
preensões. A partir do momento que a criança faz contagens ela pode 
apresentar dois níveis diferentes:
• No nível da simples recitação (do “canto” como se diz às vezes): 
a criança se limita a recitar as palavras que ela sabe que devem vir 
uma após a outra. [...] Na verdade, a atividade de contar implica 
não apenas que a criança recite a sequência numérica, mas que, ao 
mesmo tempo, faça corresponder esta recitação à exploração de 
um conjunto de objetos;
• No nível da contagem, propriamente dito: a recitação da sequência 
numérica é então acompanhada de gestos da mão e de movimen-
tos dos olhos que mostram que a criança executa sua atividade de 
estabelecer uma correspondência entre o conjunto de objetos, de 
um lado, e a sequência numérica falada, de outro (VERGNAUD, 
2009, p. 125-126).
Portanto, a contagem é uma estratégia fundamental para estabelecer a 
relação entre a fala e a representação do conjunto de objetos estabelecido 
pela quantidade numérica.
– 110 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
O zero não aparece nas contagens realizadas pelas crianças. Para elas, é 
natural não contar se não há elementos a serem contados, isto é, não faz 
sentido contar a partir do zero, ou se não aparecem elementos. A cons-
trução do zero é posterior à construção dos demais números.
b) Relação quantidade X representação simbólica
A simples contagem sequencial dos números não garante a relação entre 
a representação do conjunto de objetos e o símbolo numérico corres-
pondente à quantidade. Cabe destacar que os registros simbólicos dos 
números são uma produção humana, historicamente construídos para 
registrar e guardar as informações quantitativas, repassadas socialmente 
e culturalmente para as novas gerações.
De acordo com Vergnaud (2009, p. 127), a construção do número 
envolve propriedades, sobre os quais o autor enuncia que, o “número 
quatro é uma propriedade comum a todos os conjuntos de objetos que 
têm quatro elementos. Essa propriedade é chamada de ‘cardinal’”.
Para que essa propriedade seja construída internamente pela criança, ela deve 
estabelecer relação biunívoca, identificando cada um dos quatro elementos 
que compõe o quatro com a representação dos objetos, com a contagem 
recitada e, posteriormente, com representação e relação com o símbolo 4.
Veja essas relações no esquema a seguir.
Representação Contagem
um
dois
três
quatro
1 mais1 mais1 mais1
1 + 1 + 1 + 1
4
– 111 –
 Números e geometria
É no estabelecimento dessas relações entre contagem, representação dos 
objetos, relação objeto x símbolo, relação biunívoca e inclusão hierárquica 
que vai se constituindo a base da construção numérica mental no sujeito.
c) Significado e contextualização do número
A aplicação do conceito de número em contextos reais permite identificar 
se a criança, de fato, incorporou o significado de cada número construído.
Podemos questionar: quem é o 5?
Para responder a esse questionamento, utilizamos diversos recursos, como:
 2 a representação pictórica de objetos
 2 a conservação de quantidade
a) 
 2 + 3
b) 
 1 + 4
c) 
 1 + 1 + 1 + 1 + 1
– 112 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 2 a contextualização
Essas são algumas formas de expressar e 
externar o significado do número 5, que 
são construídas mentalmente pela criança 
durante o processo de aquisição do conceito 
de número.
7.2 Sistema de 
Numeração Decimal – SND
O trabalho pedagógico com o Sistema de Numeração Decimal (SND) 
merece atenção especial tanto nos aspectos da compreensão histórica, sua 
constituição e propriedades, quanto nos aspectos de seus significados.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) mostram a 
importância do trabalho desse conteúdo com as crianças, desde os primeiros 
anos de sua escolarização, propondo que no 1.º ciclo (1.º, 2.º e 3.º anos do 
Ensino Fundamental) seja dada ênfase aos números naturais e, no 2.º ciclo 
(4.º e 5.º anos do Ensino Fundamental), haja continuidade com os números 
naturais e a ampliação para os números racionais positivos.
Destaca-se a importância de iniciar o trabalho com números que fazem 
parte do cotidiano da criança, para que ela atribua significado ao que está 
sendo estudado para, depois, desenvolver o estudo dos princípios e funda-
mentos que constituem o Sistema de Numeração Decimal.
Explorar as escritas pessoais elaboradas pelos alunos não exclui outro 
aspecto fundamental que é o de caminhar em direção às escritas con-
vencionais, sem as quais não terão referências para se apropriarem 
do conhecimento socialmente estabelecido. [...] É no trabalho com 
números “maiores” e menos frequentes na vivência da criança que 
será necessário explorar os procedimentos de leitura, associando-os à 
representação escrita do número (BRASIL, 1997, p. 100).
O Sistema de Numeração Decimal (SND) é adotado em quase todo o 
mundo e conhecido também como Sistema de Numeração Decimal Indo-
-arábico, por ter sido criado pelo povo hindu e divulgado pelos árabes.
Tenho 5 
figurinhas!
– 113 –
 Números e geometria
7.2.1 Princípios do Sistema de Numeração Decimal
O Sistema de Numeração Decimal organiza-se em ordens e classes, da 
direita para a esquerda. Cada algarismo ocupa uma ordem no número, e a 
cada três ordens forma-se uma classe numérica. Dessa forma, o SND possui 
alguns princípios básicos, dos quais destacamos três.
a) Princípio decimal
A cada 10 elementos forma-se um grupo, passando-o para a ordem 
seguinte à esquerda; quando esta ordem formar 10 grupos (de 10 ele-
mentos cada um) forma-se um grupo maior, passando-o para a ordem 
seguinte, à esquerda, e assim sucessivamente. Portanto, a cada grupo de 
10, forma-se um grupo na ordem imediatamente superior (à esquerda, 
no número). Por isso, dizemos que o Sistema de Numeração Decimal é 
de base dez.
Por exemplo:
65 (com 65 unidades é possível compor 6 grupos de 10 (6 x 10 = 
60) e 5 elementos unitários. De acordo com a base dez do Sistema de 
Numeração Decimal, a cada 10 unidades, formamos uma dezena. No 
número 65 é possível compor 6 grupos de 10 e restam 5 unidades.
b) Princípio aditivo
Os números naturais têm por base a ideia aditiva. Qualquer número pode 
ser composto ou decomposto por meio da adição de outros números.
Em um sistema de numeração com uma base, a composição adi-
tiva do número por unidades de valores diferentes é um conceito 
fundamental. Sem este entendimento, é difícil para as crianças 
aprenderem a ler e escrever números. A composição aditiva, por sua 
vez, parece basear-se mais na compreensão das crianças de adição 
do que em correspondência termo a termo (NUNES; BRYANT, 
1997, p. 80).
Por exemplo,o número 38 pode ser obtido por meio de diversas possi-
bilidades aditivas:
• 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 38
• 30 + 8 = 38
– 114 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
• 20 + 13 + 5 ou
• 15 + 15 + 3 + 3 + 2 ou
• 5 + 5 + 20 + 2 + 2 + 2 + 2 ou
• 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 1 + 1
E assim sucessivamente.
c) Princípio posicional
Como o próprio nome diz, o princípio posicional refere-se à posição do 
algarismo no número, ou seja, o valor de um mesmo algarismo varia de 
acordo com a posição (ordem) que ele ocupa no número.
De acordo com esse princípio, é possível obter e registrar qualquer quan-
tidade numérica usando somente dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 
9, que são denominados algarismos.
Por exemplo:
Os números 63 e 36 utilizam os mesmos símbolos numéricos (algaris-
mos), no entanto, eles representam quantidades diferentes, pois os alga-
rismos ocupam ordens diferentes em cada um dos números.
6 3 = 60 + 3
neste número, o 6 representa seis dezenas, porque ocupa 
a ordem das dezenas, e o 3 representa três unidades, 
porque ocupa a ordem das unidades.
3 6 = 30 + 6
neste número, o 3 representa três dezenas, porque 
ocupa a ordem das dezenas, e o 6 representa seis unida-
des, porque ocupa a ordem das unidades.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, p. 100) destacam 
que “as características do sistema de numeração – agrupamentos de 10 
em 10, valor posicional – serão observadas, principalmente, por meio da 
análise das representações numéricas e dos procedimentos de cálculo em 
situações-problema”.
– 115 –
 Números e geometria
De acordo com a construção histórica dos números, fica 
evidente que eles foram criados para atender as neces-
sidades sociais do ser humano. A necessidade de repre-
sentar a ausência de quantidade surgiu da necessidade da 
existência de um símbolo para representar a ausência de 
valor em uma determinada posição (ordem) no número.
Por exemplo: na representação de uma centena e três unida-
des, como não há dezenas na ordem das dezenas, é necessário 
um símbolo para representar a ausência de dezenas nessa 
ordem. Então, o número fica assim representado: 1 0 3. O 
zero (0) foi criado inicialmente para suprir essa necessidade.
De acordo com Gundlach (1992, p. 34), a forma hindu 
mais antiga de representação do zero era um ponto preto 
e “era comumente usada em inscrições e manuscri-
tos para assinalar um espaço em branco, e era chamada 
sunya, significando ‘lacuna’ ou ‘vazio’. Essa palavra 
entrou para o árabe como sifr, que significa ‘vago’.
 
7.2.2 Representações numéricas
O ábaco, o material dourado e o quadro valor de lugar são materiais 
manipuláveis construídos com determinadas características que procuram 
viabilizar o trabalho com o Sistema de Numeração Decimal.
Carvalho (1991, p. 107), ao destacar a importância do uso de materiais 
manipuláveis adequados para o trabalho com conteúdos matemáticos, afirma 
que “na manipulação do material didático a ênfase não está sobre objetos e 
sim sobre as operações que com eles se realizam”.
Dessa forma, utilizamos materiais manipuláveis para compreender os 
princípios que regem o Sistema de Numeração Decimal (SND), favore-
cendo a construção de significados das propriedades e estruturas matemáti-
cas presentes no SND.
– 116 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Acompanhe algumas representações numéricas:
a) Representação do número 1 207 no quadro valor de lugar.
1 2 0 7
1 unidade de milhar, 2 centenas e 7 unidades
1 000 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =
1 000 + 200 + 7 = 1 207
b) Representação do número 346 no material dourado.
É fundamental destacar que o material dourado não eviden-
cia o valor posicional do número, princípio fundamental do Sis-
tema de Numeração Decimal. Ele evidencia a quantidade indicada 
pelo número.
3 centenas, 4 dezenas e 6 unidades
100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =
300 + 40 + 6 = 346
– 117 –
 Números e geometria
c) Representação do número 1 049 no ábaco.
DM UM C UD
1 unidade de milhar, 4 dezenas e 9 unidades
1 000 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=
1 000 + 40 + 9 = 1 049
Observe que, no ábaco, cada pino equivale a uma posição (ordem) do 
número; a primeira, da direita para a esquerda, representa a unidade e 
as imediatamente posteriores representam a dezena, centena, unidade de 
milhar e assim por diante.
De acordo com a base dez do sistema indo-arábico, cada vez que se 
agrupam dez peças em um pino, é necessário retirá-las e trocá-las por 
uma peça que deverá ser colocada no pino imediatamente à esquerda, 
representando uma unidade na ordem subsequente.
7.3 Geometria
O espaço em que vivemos é composto por inúmeras formas geométri-
cas. Estudar e compreender as propriedades das formas favorece o desenvol-
vimento do pensamento geométrico, permite interpretar, descrever, analisar e 
representar de maneira organizada o mundo em que vivemos.
As atividades de geometria desenvolvem também o sentido espacial, a 
melhor ocupação do espaço, a observação, a análise e o pensamento lógico.
Mas o que é geometria?
– 118 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
No sentido etimológico, temos que:
geo Terra
metria medida
medida da Terra
Esse significado foi atribuído ao surgimento da geometria quando se 
realizava, na Grécia Antiga, as demarcações de Terra. Hoje, atribui-se esse 
trabalho aos agrimensores (especialistas em medição de terras). A geometria 
passou a ter um sentido mais amplo, ocupando-se dos saberes relaciona-
dos às formas (planas e espaciais) e suas propriedades, destacando-se como 
principais objetos de estudo as questões relacionadas às formas geométricas, 
às relações entre elas e suas propriedades, às possibilidades de ocupação do 
espaço, à localização e ao deslocamento de objetos no espaço, vistos sob 
diferentes ângulos.
Os PCN (BRASIL, 1998, p. 122) enfatizam a importância do traba-
lho pedagógico com a geometria e o desenvolvimento do pensar geometrica-
mente, dizendo que: “é cada vez mais indispensável que as pessoas desenvol-
vam a capacidade de observar o espaço tridimensional e de elaborar modos de 
comunicar-se a respeito dele, pois a imagem é um instrumento de informação 
essencial no mundo moderno.”
O ensino da geometria ganhou espaço maior na prática pedagógica nes-
ses últimos anos, talvez por que contribui significativamente no desenvol-
vimento cognitivo da criança. Há pesquisas que mostram que crianças que 
trabalham com formas geométricas desde cedo tornam-se mais organizadas, 
desenvolvem melhor a coordenação motora e visual, melhoram a leitura e 
a análise, compreendem melhor as representações gráficas, tabelas, mapas, 
assim como desenvolvem o raciocínio proporcional e formas diferenciadas de 
pensamento e ação.
De acordo com Maia (2000, p. 26), é possível perceber duas aborda-
gens no estudo da geometria: “a atividade geométrica enquanto constatação 
empírica, verificação e medição do espaço sensível, e a atividade geométrica 
enquanto experiência racional de dedução, visando, em última instância, à 
– 119 –
 Números e geometria
demonstração.” Dessa forma, podemos dizer que o ensino da geometria deve 
se pautar em duas faces: utilitária e formativa.
7.3.1 Princípios fundamentais no 
trabalho pedagógico de geometria
O estudo do espaço e das formas deve privilegiar 
a observação e a compreensão de relações e a utilização das noções 
geométricas para resolver problemas, em detrimento da simples 
memorização de fatos e vocabulários específicos. Porém, isso não sig-
nifica que não se deva ter preocupação em levar os alunos a fazer uso 
de um vocabulário mais preciso (BRASIL, 1998, p. 68).
Portanto, o estudo da geometria deve ter significado. Porisso, destaca-
mos alguns princípios que devem nortear a prática pedagógica no trabalho 
com os saberes relacionados à geometria.
a) O desenvolvimento do pensamento geométrico inicia-se por meio da 
observação; portanto, o estudo das formas e propriedades geométricas 
deve partir do espaço ocupado pela criança e do seu redor.
b) A manipulação de objetos que ocupam o espaço favorece a experimen-
tação e a identificação de características semelhantes e diferentes; isso é 
essencial para que a criança atribua significado aos componentes geomé-
tricos. Portanto, deve-se iniciar o trabalho geométrico com a manipula-
ção de objetos que compõem o espaço da criança.
c) O trabalho em geometria deve favorecer as relações entre os proprieda-
des, princípios e conceitos de modo que a criança as perceba de forma 
simultânea nos objetos e formas que compõem o espaço em que ela vive.
d) O desenvolvimento da prática pedagógica deve favorecer à criança a 
construção gradativa e progressiva do conhecimento geométrico, atri-
buindo significado a cada conteúdo trabalhado de forma que ela rela-
cione-o com o meio em que está inserida.
e) Vivemos em um mundo tridimensional (três dimensões); por isso, 
é fundamental que o estudo tenha como ponto de partida o mundo 
físico em que vivemos. Deve-se favorecer à criança a manipulação, 
a observação e a análise dos corpos tridimensionais, por meio do 
– 120 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
uso de sólidos geométricos ou da construção de modelos de sólidos 
geométricos.
f ) A partir do conhecimento das propriedades geométricas dos corpos tri-
dimensionais, pode-se introduzir o trabalho com as representações no 
plano, diferenciando as representações tridimensionais das figuras planas.
g) Ao identificar e estudar os elementos das figuras tridimensionais das 
figuras planas e as suas representações no plano pode-se desenvolver o 
estudo dos conceitos primitivos da geometria.
h) O estudo da geometria poderá ser mais rico e com mais significado se ele 
for conduzido de forma a utilizar a maior variedade possível de recur-
sos e encaminhamentos metodológicos que favoreçam a construção dos 
conceitos e propriedades.
i) O estudo da geometria deve favorecer a resolução de problemas. Por 
isso, é fundamental que o conhecimento geométrico seja trabalhado por 
meio da resolução e da proposição de problemas.
j) O trabalho pedagógico de geometria deve favorecer o pensamento dedu-
tivo, de forma a aplicar os conceitos e propriedades estudadas em outras 
situações concretas em seu entorno.
Portanto, ao pensar na prática pedagógica do trabalho em geometria, 
referimo-nos ao pensamento de Gálvez (2001, p. 251), que destaca a impor-
tância de gerar, no âmbito escolar, “situações nas quais os alunos formulem 
problemas relativos ao espaço e tentem resolvê-los baseados em suas concep-
ções ‘espontâneas’ introduzindo-se em um processo no qual deverão elaborar 
conhecimentos adequados e reformular suas concepções teóricas para resolver 
problemas formulados”.
7.3.2 As forma geométricas
As formas geométricas podem ser organizadas em dois grandes grupos.
a) Formas geométricas tridimensionais
– 121 –
 Números e geometria
As formas tridimensionais possuem três dimensões: largura, compri-
mento e altura, isto é, são todas as formas geométricas que ocupam um 
lugar no espaço e são denominadas de sólidos geométricos.
O esquema a seguir mostra os sólidos geométricos mais comuns:
Formas geométricas tridimensionais
Sólidos geométricos
Poliedros Corpos redondos
EsferaCilindroConeOutrosPirâmidesPrismas
Muitos objetos que compõem o espaço em que vivemos possuem for-
mas mistas, ou seja, utilizam formas geométricas diferenciadas na sua 
composição.
b) Formas geométricas bidimensionais
As formas geométricas bidimensionais possuem duas dimensões, largura 
e comprimento, e são denominadas de figuras planas.
O esquema a seguir mostra as figuras planas mais comuns:
– 122 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Formas geométricas bidimensionais
Figuras planas
Polígonos
Quadriláteros
Paralelogramos
Não polígonos
Triângulos Pentagonos Hexágonos Outros Círculo OutrosCircunfe-
rência
Quadrados Losango
Retângulos Paralelogramo
Trapézios
– 123 –
 Números e geometria
 Reflita
O trabalho com noções geométricas contribui com a aprendizagem 
de números e medidas, pois estimula o aluno a observar, perceber 
semelhanças e diferenças, identificar regularidades, etc.. [...] É funda-
mental que o estudo do espaço e forma sejam explorados [sic] a partir 
dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, 
esculturas e artesanatos, de modo que permita ao aluno estabele-
cer conexões entre a matemática e outras áreas do conhecimento 
( BRASIL, 1998, p. 51).
Partindo-se dessas afirmações em relação ao estudo da geometria, faça 
uma reflexão sobre essas ideias, e estabeleça um paralelo entre elas e 
as possibilidades de conexões da geometria a outras áreas do conheci-
mento e levante alguns indicativos concretos que mostrem a contribui-
ção do estudo da geometria na aprendizagem de números e medidas.
 Da teoria para a prática
Propomos duas atividades práticas sobre o Sistema de Nume-
ração Decimal.
1. Jogo do Nunca 10!
Esta atividade prática objetiva o trabalho com a compreensão 
dos princípios básicos do Sistema de Numeração Decimal.
a) Organizar pequenos grupos (com 2, 3, 4 ou 5 partici-
pantes). Cada participante deve ter um ábaco aberto, 
cada grupo de participantes deve ter dois dados comuns.
b) Cada participante, na sua vez, lança os dois dados 
simultaneamente.
Após o lançamento dos dois dados, o participante 
representa no seu ábaco o total de pontos consegui-
dos. Suponha este lançamento dos dois dados:
– 124 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
O participante deve representar, no ábaco, as duas 
quantidades, uma de cada vez, adicionando-as. Assim:
DM UM C UDDM UM C UDUM C UDDM
2 + 6 → 8
Atenção! Quando acumular 10 peças (pontos) na 
haste das unidades, o participante deve retirar estas 
10 peças e trocá-las por 1 peça, que deverá ser colo-
cada na haste das dezenas, pois 10 unidades valem 1 
dezena (nunca 10 na mesma haste).
c) Em seguida, passa-se a vez para o próximo partici-
pante. E assim sucessivamente.
d) Há várias possibilidades de estabelecer o término da 
atividade de lançamento dos dados, como:
 2 é vencedor quem chegar a colocar a primeira peça 
na ordem das centenas;
 2 é vencedor quem fizer mais pontos após cinco 
rodadas;
 2 é vencedor quem fizer mais pontos após oito (ou 
dez) rodadas;
 2 é vencedor quem, primeiro, conseguir deixar a ordem 
das unidades vazia, depois da primeira rodada.
e) Após o término dos lançamentos, trabalhar as infor-
mações matemáticas obtidas durante a realização da 
atividade. Levantar questões, como:
– 125 –
 Números e geometria
 2 Quem fez mais pontos? Quantos pontos fez?
 2 Decompor esse número de cinco maneiras dife-
rentes. Escrevê-lo por extenso.
 2 Quem fez menos pontos? Quantos pontos fez?
 2 Decompor esse número de diferentes maneiras. 
Escrevê-lo por extenso.
 2 Qual a diferença na qualidade de pontos entre o 
que fez mais e o que fez menos pontos?
 2 Qual a diferença na qualidade de pontos entre o 
participante “X” e o participante “Y”?
 2 Como compor a quantidade de pontos do par-
ticipante “A” usando somente a face do dado 
de número 4? Ou seja, quantas vezes cabe o 4 
nesse número?
f) Elabore outras problematizações a partir dos resulta-
dos obtidos no lançamento dos dados e que foram 
representados no ábaco.
* Variação! Essa atividade pode ser realizada substi-
tuindo o ábaco pelo material dourado.
2. O uso de materiais manipuláveis
Usando o quadro valor de lugar e palitosde picolé, ou 
outro tipo de palito, o material dourado e o ábaco, repre-
sentar números significativos, como:
a) número de alunos que estão na sala hoje.
Exemplo: suponha que tenha 25 alunos
Material dourado
2 dezenas e 5 unidades
20 + 5
25
– 126 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
C
centena
D
dezena
U
unidade
2 dezenas e 5 unidades
20 + 5
25
DM UM C UD
2 dezenas e 5 unidades
20 + 5
25
É possível representar, também:
a) o ano em que estamos.
b) o ano passado.
c) o próximo ano.
d) o ano em que nasci.
Entre outros.
– 127 –
 Números e geometria
Síntese
Vivemos em uma sociedade repleta de formas e números. Estudar, com-
preender e utilizar adequadamente esses conhecimentos para a resolução de pro-
blemas da vida cotidiana é indispensável para a prática consciente da cidadania.
O pensamento quantitativo, as relações e os significados envolvidos na 
construção do número devem ser desenvolvidos desde cedo nas crianças, 
favorecendo a vivência de situações que as levem a construir e incorporar 
tal conhecimento. A construção do número vai se consolidando à medida 
que a criança desenvolve a contagem sequencial, a relação da representação 
quantitativa de objetos com a representação simbólica do número, atribui 
significado e contextualiza o número em situações concretas.
O Sistema de Numeração Decimal (SND) possui três princípios bási-
cos: decimal (base dez – agrupamentos de 10), aditivo (composição aditiva 
do número por meio de potências de 10, ou mesmo por outros números), 
e posicional (o algarismo assume o valor da posição que ocupa no número). 
Por isso, com 10 símbolos numéricos, denominados algarismos, é possível 
pensar em qualquer quantidade numérica.
Por fim, destacamos algumas ideias geométricas e sua importância no 
desenvolvimento cognitivo da criança. A geometria tem como principais 
objetivos desenvolver o olhar e o pensar geométrico por meio das formas que 
ocupam o espaço em que vivemos, sejam elas tridimensionais ou bidimensio-
nais. Destaca-se, também, a importância do estudo das propriedades, relações 
e tudo o que envolve o espaço e as formas contidas nele.
As operações básicas da matemática são consideradas, social 
e culturalmente, tão importantes que as pessoas que as conseguem 
resolver rapidamente, mesmo que mecanicamente, são consideradas 
boas em matemática. Mas ser bom em matemática não se resume 
a isso. É necessário compreender o significado, os raciocínios e as 
ideias presentes em cada operação. Para isso é necessário pensar, 
raciocinar, analisar e saber aplicar corretamente as operações na 
resolução de situações-problema.
A todo o momento nos deparamos com situações que exi-
gem soluções, as quais o indivíduo resolverá com mais qualidade de 
acordo com a quantidade de estratégias e possibilidades de resolu-
ção que foram trabalhadas na prática pedagógica.
Operações 
fundamentais
8
– 130 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
A resolução das operações fundamentais deve ser desenvolvida com sig-
nificado para a criança. O significado está em propor a resolução de situações-
-problema, que envolvem as operações fundamentais, coerente com a reali-
dade social e cultural, levantando as possibilidades de estratégias e raciocínios 
que podem ser utilizadas.
Os PCN (BRASIL, 1997, p. 55) mostram que o trabalho com as opera-
ções deve se realizar com o foco “na compreensão dos diferentes significados de 
cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cál-
culo, contemplando diferentes tipos – exato e aproximado, mental e escrito”.
Os PCN (BRASIL, 1997, p. 105) destacam, ainda, que “a construção dos 
diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedi-
mentos de solução”. As primeiras ideias do estudo das operações fundamentais 
iniciam-se na Educação Infantil e perpassam todos os anos o Ensino Fundamen-
tal, devido às dificuldades lógicas, específicas de cada operação e da sua aplicação 
na resolução de problemas. Isso se deve, também, a uma grande variedade de tipos 
de problemas que podem ser resolvidos por meio das operações fundamentais.
O estudo das operações fundamentais deve partir da ação concreta para 
a abstrata. A compreensão dos fatos fundamentais e dos procedimentos de 
resolução deve sobrepor-se à memorização. Com isso, destaca-se a importân-
cia da utilização de jogos, desafios e materiais manipuláveis na construção da 
compreensão das propriedades, conceitos e procedimentos de resolução das 
operações fundamentais.
Ressalta-se, no entanto, que os jogos e materiais manipuláveis são recur-
sos pedagógicos que devem ser utilizados como meio que favorece a compre-
ensão dos conceitos e fatos fundamentais das operações; esses recursos são um 
meio e não um fim em si mesmo.
Portanto, é necessário saber como resolver as operações, porém, de modo a 
compreender e significar os processos mentais e as propriedades que as envolvem.
8.1 Operação de adição
A operação de adição está associada às ideias de juntar, reunir, acrescen-
tar. Essas ideias intuitivas que a criança leva para a escola constituem o ponto 
de partida para o aprendizado formal da adição.
– 131 –
Operações fundamentais
Historicamente, o ser humano começou a contar de um em um, depois 
percebeu que a contagem em pequenos grupos facilitava a obtenção de um 
todo e, assim, aprendeu a reunir quantidades.
Como se pode perceber, adicionar está relacionada ao processo de con-
tar. A contagem numérica traz em si a ideia de adição.
Por exemplo:
a) 28 vinte e oito 10 + 10 + 8
b) 147 100 + 40 + 7
c) 2 1 + 1; 3 2 + 1; 4 3 + 1; e assim sucessivamente.
Alguns pesquisadores matemáticos diferenciam duas ideias presentes nas 
problematizações que envolvem a operação de adição, a saber:
a) ideia de juntar
Por exemplo:
Sandro e Jane gostam de brincar de bolinha de gude. Sandro tem 28 boli-
nhas de gude e Jane tem 23. Quantas bolinhas de gude os dois têm juntos?
Para resolver essa situação, juntamos as duas quantidades respeitando as 
ordens numéricas, ou seja, unidade com unidade, dezena com dezena; 
sempre que ultrapassar 10 em uma ordem, formamos grupos de 10 exatos, 
reagrupando-os na ordem imediatamente à esquerda (superior). Assim:
D U
+
2 8 quantidade de Sandro
2 3 quantidade de Jane
5 1 quantidade que os dois têm juntos
Ao juntar as duas quantidades, temos 51 bolinhas de gude.
b) ideia de acrescentar
Por exemplo:
Sandro e Jane gostam de brincar de bolinha de gude. Sandro tem 28 boli-
nhas de gude e, ao jogar com Jane, ganhou 18 bolinhas de gude. Quantas 
bolinhas de gude Sandro tem agora?
– 132 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Para resolver essa situação, acrescentamos a quantidade que Sandro 
ganhou à quantidade que ele já tinha. Assim:
D U
+
2 8 quantidade de Sandro
1 8 quantidade que Sandro ganhou a mais
4 6 quantidade que Sandro tem agora
Ao acrescentar uma nova quantidade à quantidade que já havia, tem-se 
um novo valor.
Observe que a diferenciação entre essas duas ideias é tão sutil que muitos 
educadores matemáticos não fazem distinção entre elas. O importante é 
compreender o significado da adição, suas propriedades e a sua aplicação 
na resolução de problemas.
É fundamental destacar que a utilização de materiais 
manipuláveis pode facilitar a compreensão das ideias 
e dos procedimentos envolvidos em cada cálculo.
Para isso acompanhe a resolução de uma adição, com reagru-
pamento de ordens e a utilização de material manipulável.
Marcos tinha R$ 148,00. Recebeu mais R$ 
367,00. Quanto Marcos tem agora?
Vamos convencionar que cada cubinho do material dourado 
representa R$1,00. Então, temos a seguinte representação:
100 + 40 + 8
300 + 60 + 7
– 133 –Operações fundamentais
+
100 + 40 + 8
300 + 60 + 7
400 + 100 + 15
Reagrupando as ordens, temos:
400 + 100 + 10 + 5
500 + 10 + 5 = 515
Marcos tem, agora, R$ 515,00.
 
8.2 Operação de subtração
A operação de subtração é menos intuitiva para a criança do que a adi-
ção. De acordo com Piaget, isso ocorre porque é mais natural o sujeito se 
voltar para ações, percepções e cognição que apontam para aspectos positivos, 
do que aspectos com ideias negativas.
A operação de subtração apresenta três ideias básicas diferentes: subtra-
tiva, comparativa e aditiva. Essas ideias estão presentes nas problematizações 
do cotidiano, como você pode acompanhar nos exemplos a seguir.
a) Ideia subtrativa: é a ideia presente em situações em que há uma quanti-
dade em que é necessário tirar parte dela. Por exemplo:
Bia tinha 83 figurinhas. Ao jogar com as amigas perdeu 27. Quantas figu-
rinhas Bia tem agora?
A quantidade 27 está dentro da quantidade 83. É necessário tirar 27 de 83.
– 134 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
No algoritmo, fica assim representado:
D U
–
8 3 Bia tinha
2 7 Bia perdeu: tirar
5 6 Bia tem agora
Bia tem 56 figurinhas.
b) Ideia comparativa: é a ideia presente em situações em que há as duas 
quantidades e é solicitada a comparação entre elas, a fim de calcular a 
diferença entre as quantidades, quanto há mais ou a menos entre elas.
Jane tem 63 figurinhas e sua amiga Pietra tem 29. Qual é a diferença na 
quantidade de figurinhas entre elas?
Ou então:
Quantas figurinhas Jane tem a mais que Pietra?
Quantas figurinhas Pietra tem a menos que Jane?
A ideia, nessa situação, é utilizar a operação de subtração, para comparar 
as duas quantidade existentes identificando a diferença entre elas.
Jane Pietra
60 + 3 = 63 20 + 9 = 29
No algoritmo, fica assim representado:
D U
–
6 3 Jane tem
2 9 Pietra tem – comparação entre as duas quantidades
3 4 Diferença na quantidade de figurinhas que elas têm
Ao comparar as duas quantidades, por meio de uma operação de subtra-
ção, percebemos que a diferença é de 34 figurinhas. Ou então, Jane tem 
– 135 –
Operações fundamentais
34 figurinhas a mais que Pietra. Ou, ainda, Pietra tem 34 figurinhas a 
menos que Jane.
c) Ideia aditiva: é a ideia presente em situações em que há uma quantidade 
menor do que a que se pretende ter. Portanto, calcula-se quanto falta 
para se chegar à quantidade maior.
Jonas tem R$ 45,00. Ele quer comprar uma calça que custa R$ 91,00. 
Quantos reais faltam para que Jonas consiga ter o valor da calça?
A ideia presente nessa problematização é a de chegar a uma quantidade 
maior do que a que se tem de fato. Então, a quantidade existente é a menor.
No algoritmo, fica assim representado:
D U
–
9 1 Jonas quer ter este valor
4 5 É o valor que Jonas tem
4 6 Jonas precisa deste valor
Faltam R$ 46,00 para que Jonas consiga comprar a calça que custa 
R$ 91,00.
As três ideias da subtração estão presentes em situações do cotidiano. 
Por isso, destaca-se a importância de perceber o significado de cada uma 
delas e os procedimentos de resolução.
De acordo com Vergnaud (2009, p. 180), as dificuldades presentes nos 
processos de resolução da subtração são evidentes, desde as diferenças nas 
ideias até os procedimentos hierárquicos de reagrupamento de ordens. “Para 
superar estas diferentes dificuldades, a ajuda de material de bases múltiplas, 
mais precisamente de pequenas bases, é de grande valia.” Isso equivale dizer 
que a utilização de materiais manipuláveis pode contribuir significativamente 
na compreensão e resolução da operação de subtração.
– 136 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
8.3 Operação de multiplicação
A operação de multiplicação nos leva a pensar na ideia de adição de 
parcelas iguais. De acordo com Vergnaud (2009, p. 183), ao ensinar a mul-
tiplicação, utilizando-se de materiais concretos, introduzimos, obrigatoria-
mente, “a multiplicação como adição reiterada de uma mesma quantidade e, 
em consequência, a fazer do multiplicando uma medida, e do multiplicador 
um simples operador sem dimensões física”. 
Exemplificando:
Suponha que, ao lançar um dado 5 vezes, coincidentemente, caia sempre a 
mesma quantidade de pontos.
5 lançamentos x 4 pontos cada lançamento do dado = 20 pontos.
O algoritmo pode ser indicado assim:
4 pontos em cada lançamento do dado
5 quantidade de lançamentos
20 pontos
Nesse exemplo, de acordo com Vergnaud (2009), é possível perceber 
que o 4 (pontos) representa uma medida que se repetiu por 5 vezes.
A operação de multiplicação pode ser vista a partir de diferentes enfoques.
a) Adição de parcelas iguais: conforme já visto anteriormente, é a ideia 
básica da operação de multiplicação. Por exemplo:
Em um jogo, cada rodada valia 5 pontos. Marcelo ganhou 3 rodadas, e Jane, 
4 rodadas. Quantos pontos cada um fez?
Marcelo 3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15 pontos
Jane 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 pontos
– 137 –
Operações fundamentais
b) Ideia de comparação: em muitas situações multiplicativas aparece a 
ideia de comparar grandezas. Por exemplo:
Alice tem R$ 145,00. Sua irmã tem o triplo dessa quantidade. Quantos 
reais tem a irmã de Alice?
A grandeza R$ 145,00 é o valor de referência para a resolução; a partir 
desse valor, temos o parâmetro de comparação: triplo, ou seja, três vezes 
o valor de referência.
3 x 145 = 435
A irmã de Alice tem R$ 435,00.
c) Ideia de proporcionalidade: o raciocínio proporcional está presente em 
inúmeras situações do cotidiano com o enfoque multiplicativo.
Leia a informação, por exemplo:
Leve 5 caixas de 1 litro de leite e pague 4!
Se Paula levar 30 caixas de 1 litro de leite, quantas ela pagará, de fato?
Vamos visualizar esta situação em um quadro.
Quantidade de caixas 
de 1 litro levadas 5 10 15 20 25 30
Quantidade de caixas 
de 1 litro pagas. 4 8 12 16 20 24
Ao levar 30 caixas de 1 litro de leite Paula pagará, de fato, 24 caixas de 
1 litro de leite.
Observe que, na primeira linha da tabela, aparecem resultados da multi-
plicação por 5; na segunda linha, são resultados da multiplicação por 4.
d) Ideia de combinação: ao levantar as possibilidades de combinação dos 
elementos envolvidos em um determinado contexto, estamos usando o 
raciocínio combinatório. Por exemplo:
O clube em que Juliano joga utiliza 3 tipos de short e 2 tipos de camisetas 
para compor o seu uniforme. Quantos trajes diferentes é possível formar com 
essas peças de roupa?
– 138 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Podemos representar essa situação de diversas formas. Observe uma das 
formas de representação:
Camisetas
Short 
É possível compor 6 trajes diferentes, ou seja, 2 x 3 = 6 trajes.
e) Ideia de multiplicação retangular: por meio da obtenção de retângulos 
em malhas quadriculadas desenvolvemos os produtos multiplicativos. 
Por exemplo:
– 139 –
Operações fundamentais
3 × 6 = 18 6 × 3 = 18
Os retângulos: 3 x 6 e 6 x 3 são compostos por 18 quadradinhos 
internos.
Então, 3 x 6 = 6 x 3 = 18.
Por meio do raciocínio multiplicativo retangular é que calculamos e 
obtemos as áreas dos polígonos.
O termo tabuada é muito antigo e é utilizado para designar o 
conjunto de fatos fundamentais da multiplicação. As tendências 
atuais da educação matemática propõem a construção desses 
fatos básicos fundamentais da multiplicação com compreen-
são e significado, de forma contextualizada, por meio do uso 
de materiais manipuláveis, jogos e brincadeiras relaciona-
dos ao registro matemático gradativo de cada fato construído 
e vivenciado, e não à simples memorização da tabuada.
 
8.4 Operação de divisão
A palavra dividir, na língua materna, nem sempre significa divisão em 
partes iguais.
– 140 –
Fundamentos e Metodologia doEnsino de Matemática
Por exemplo:
O presidente do clube falou sobre as novas regras, o que dividiu a opinião 
dos seus associados.
Observe que o termo dividir, nessa frase, não significa, necessariamente, 
que a divisão de opinião entre os sócios do clube foi feita em partes iguais.
A operação matemática de divisão, por sua vez, supõe a ação de separar, 
repartir, um certo número em subgrupos com a mesma quantidade de ele-
mentos, ou mesmo um inteiro em partes iguais.
De acordo com Vergnaud (2009, p. 190), “a divisão é uma operação 
complexa. Há para isso várias razões: algumas são de ordem conceitual, outras 
são ligadas à complexidade das regras operatórias implicadas pela divisão”.
Ao trabalhar com a operação de divisão, na prática pedagógica, é funda-
mental proporcionar à criança a vivência de diversas situações que envolvem 
ideias de repartir e distribuir, sejam elas em partes iguais ou não. Isso favo-
rece o que Saiz (2001, p. 182) afirma ao dizer que “temos que permitir que 
as crianças comprovem seus próprios procedimentos, suas próprias soluções, 
antes de conhecer os algoritmos tradicionais”.
A operação de divisão envolve duas ideias distintas.
a) Ideia repartitiva ou distributiva: essa ideia aparece em situações pro-
blemas em que o todo deve ser distribuído em partes iguais. 
Por exemplo:
Célia tem 12 bombons e vai repartir igualmente entre ela e suas três melho-
res amigas. Quantos bombons cada uma vai receber?
A ideia é repartir os 12 bombons em 4 partes iguais.
12
1 + 1 + 1 = 3
1 + 1 + 1 = 3
1 + 1 + 1 = 3
1 + 1 + 1 = 3
12 : 4 = 3
Cada uma recebeu 3 bombons.
– 141 –
Operações fundamentais
b) Ideia subtrativa ou de medida: essa ideia está presente em situações-
problema que querem saber quantas vezes um número cabe em outro.
Por exemplo:
O professor de educação física quer formar grupos com 6 alunos para um 
torneio de jogos na escola. Quantos grupos de alunos ele vai formar com os 
72 alunos das turmas de 5.º ano?
Nessa situação, a ideia consiste em verificar quantas vezes é possível 
formar grupos de 6 com a quantidade 72. Ou seja, quantas vezes o 
6 cabe no 72. A ideia da divisão é a de sucessivas subtrações (ideia 
de medida):
72 – 6 = 66
66 – 6 = 60
60 – 6 = 54
54 – 6 = 48
48 – 6 = 42
42 – 6 = 36
36 – 6 = 30
30 – 6 = 24
24 – 6 = 18
18 – 6 = 12
12 – 6 = 6
6 – 6 = 0
72 : 6 = 12
O 6 cabe 12 vezes no 72. Portanto, o professor vai conseguir formar 12 
grupos com 6 alunos.
No estudo da operação de divisão, devem ser exploradas as duas ideias, 
apresentando os diferentes registros, para que a criança perceba a contextuali-
zação da divisão e construa os significados com compreensão.
Para resolver uma operação de divisão há vários procedimentos e formas 
de registros. Destacamos, a seguir, dois processos de resolução: convencional 
e por estimativa.
– 142 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Por exemplo:
Marta tem 25 flores para distribuir igualmente em 3 vasos. Quantas flores 
ela colocará em cada vaso?
A ideia presente nessa situação-problema é a de divisão em partes iguais, 
ou seja, ideia de distribuição, repartitiva. Vamos resolvê-la por meio dos dois 
processos de resolução para perceber as diferentes possibilidades de registro 
matemático de uma operação de divisão, além do registro pictórico.
a) Processo convencional de resolução
D U
–
2 5 3
2 4 D U
0 1 0 8
Resposta: 8 flores em cada vaso e sobrou uma flor; 
ou 8 flores em 2 vasos e 9 flores em um vaso.
No processo convencional, a operação é resolvida dividindo-se cada 
uma das ordens numéricas do dividendo pelo divisor. Pode ser usado 
o método “curto” ou “longo”; ou seja, os cálculos auxiliares, à esquerda 
da operação, podem aparecer todos, detalhadamente, conforme mos-
trado acima (método longo), ou, então, pode-se resolver a operação de 
subtração (à esquerda da operação) mentalmente e registrar somente o 
resultado obtido (método curto).
b) Processo de resolução por estimativa
Há várias formas de registro por estimativa. Veja algumas:
25 3
– 12 4 + 4 = 8
13
– 12
1
R1 = 8 flores em cada vaso e sobrou 1 flor; ou
R2 = 8 flores em 2 vasos e 9 flores em um vaso.
– 143 –
Operações fundamentais
25 3
– 3 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8
22
– 3
19
– 3
16
– 3
13
– 3
10
– 3
7
– 3
4
– 3
1
R1 = 8 flores em cada vaso e sobrou 1 flor; ou
R2 = 8 flores em 2 vasos e 9 flores em um vaso.
25 3
– 3 1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 8
22
– 6
10
– 6
4
– 3
1
R1 = 8 flores em cada vaso e sobrou 1 flor; ou
R2 = 8 flores em 2 vasos e 9 flores em um vaso.
– 144 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
25 3
– 15 5 + 1 + 2 = 8
10
– 3
7
– 6
1
R1 = 8 flores em cada vaso e sobrou 1 flor; ou
R2 = 8 flores em 2 vasos e 9 flores em um vaso.
Em todas as resoluções chegou-se ao mesmo resultado. Na resolução por 
estimativa, os registros variam de acordo com a compreensão e o desenvolvi-
mento cognitivo de cada criança. Elas vão abreviando os cálculos na medida 
em que desenvolvem o cálculo mental e a habilidade de estimar e fazer cálcu-
los aproximados.
 Reflita
De acordo com Lins e Gimenez, (1997, p. 83) a escola é cobrada 
socialmente e culturalmente para que a criança domine determinados 
cálculos em determinadas idades, como o domínio da tabuada no 3.º 
ano do Ensino Fundamental. “Parece-nos que se esquecem de que 
o objetivo maior é que, ao finalizar a formação básica, o aluno tenha 
um domínio de cálculo aproximado, de modo que possa estimar 
quocientes aproximados, resultados de operações em geral, e saiba 
quando aplicar uma operação a uma situação dada.”
Partindo-se do pressuposto que a criança deve compreender os 
significados de cada uma das operações fundamentais, resolvê-
-las corretamente e aplicá-las adequadamente nas situações pro-
blemas do cotidiano, faça uma reflexão sobre esse posiciona-
mento dos autores acima e estabeleça um paralelo entre ele e o 
desenvolvimento do trabalho pedagógico da escola em relação 
às operações fundamentais.
– 145 –
Operações fundamentais
 Da teoria para a prática
Brincando com números e cálculos.
1. Coloque sobre a mesa um punhado de cubinhos do 
material dourado ou outro material, como: tampinhas, 
sementes, etc.
Por exemplo:
a) Quantos cubinhos você acha que tem sobre a mesa? 
Registre o seu “palpite”.
Antes de contar a quantidade exata de cubinhos, analise:
 2 o número que você estimou é par ou ímpar?
 2 o que é um número par? E ímpar?
 2 quais são números pares? E quais são ímpares?
 2 por que você estimou essa quantidade?
b) Faça a contagem, agrupando os cubinhos de 2 em 2. 
Se não sobrar resto é porque o número é par, pois ele 
permitiu formar exatos grupos de 2. Ou seja, a divisão 
do total de cubinhos por 2 é exata. O máximo de 
resto possível é 1.
– 146 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Por que o resto de cubinhos não pode ser 2 ou mais?
c) Com os cubinhos é possível compor a seguinte 
expressão numérica:
68 x 2 + 1 =
Calcule essa expressão numérica.
d) Represente essa quantidade com o material dourado, 
de acordo com as regras do Sistema de Numeração 
Decimal: centenas, dezenas e unidades.
e) Decomponha esse número de cinco ou mais formas 
diferentes.
Veja duas possibilidades:
137 = 100 + 30 + 7
137 = 50 + 50 + 10 + 10 + 10 + 1 + 3 + 1 + 2
f) O 137 não é um número par, pois ao agrupar de 2 
em 2 a divisão não deu exata; portanto, o 137 não é 
múltiplo do 2, e o 2 não é divisor do 137.
Que outros números são divisores do 137?
g) Quantos cubinhos faltam para se obter duas centenas?
h) Se tivesse sido colocado o triplo de cubinhos sobre a 
mesa, quantos cubinhos teria?
i) Elabore uma situação problema que envolva a ideia sub-
trativa da subtraçãocom a quantidade 137, resolvendo-a.
Síntese
As quatro operações fundamentais fazem parte do currículo dos anos 
iniciais do Ensino Fundamental como um dos conteúdos de grande relevân-
cia, iniciando-se o estudo das suas primeiras ideias desde a Educação Infantil.
– 147 –
Operações fundamentais
A ênfase no estudo de cada uma das operações fundamentais deve ser 
no sentido de compreender os significados de cada uma delas e de aplicar 
as operações na resolução de problemas coerentes com a realidade social 
e cultural, desenvolvendo diversas possibilidades de estratégias, técnicas e 
raciocínios de resolução.
As operações fundamentais são: adição, que apresenta ideias de jun-
tar, reunir, acrescentar. A subtração que apresenta três ideias distintas: ideia 
subtrativa, que sugere tirar uma quantidade de outra; ideia comparativa, que 
sugere a comparação entre duas quantidades, calculando a diferença exis-
tente entre elas; ideia aditiva, que sugere o complemento de uma quantidade 
para se obter uma quantidade maior. A multiplicação, cuja ideia básica é a 
soma de parcelas iguais, possui também outros enfoques, os quais destaca-
mos: o raciocínio proporcional, comparativo, combinatório e retangular. A 
divisão, que é considerada a operação mais complexa, apresenta duas ideias 
básicas: distributiva (ou repartitiva) e a subtrativa (também denominada de 
ideia de medida). A operação de divisão pode ser resolvida por diferentes 
processos, os quais destacamos a resolução pelo método convencional e a 
resolução por estimativas.
A necessidade de desenvolver habilidades lógicas para resol-
ver problemas se coloca cada vez mais como uma meta a ser atingida 
no âmbito escolar, levando em consideração que todos os cidadãos 
convivem, diariamente, com problemas matemáticos.
A prática pedagógica tem mostrado certa limitação no traba-
lho com a resolução de problemas, pois apresenta ainda muitas situ-
ações de forma descontextualizada. É fundamental que se pense em 
formas e alternativas de problematizar o trabalho pedagógico com 
os conteúdos matemáticos, por meio de situações significativas da 
vida real ou de suposições interessantes, utilizando os conhecimen-
tos matemáticos como ferramenta para a resolução de problemas de 
ordem natural, histórica, social e cultural.
Resolução de problemas
9
– 150 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
A educação matemática tem proposto e valorizado a resolução de pro-
blemas “ao longo dos últimos anos, sendo um dos tópicos mais difíceis de 
ser trabalhado na sala de aula. É comum os alunos saberem efetuar todos os 
algoritmos (as “continhas” de adição, subtração, multiplicação e divisão) e 
não conseguirem resolver um problema que envolva um ou mais desses algo-
ritmos” (DANTE, 1998, p. 8).
De acordo com os PCN (BRASIL, 1997, p. 42) a prática pedagógica 
de resolução de problemas nem sempre tem desempenhado sua função no 
processo do ensinar e do aprender matemática, se limitando a ser usado basi-
camente “como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anterior-
mente pelos alunos”.
Na abordagem de resolução de problemas como uma metodologia 
de ensino, o aluno tanto aprende matemática resolvendo proble-
mas como aprende matemática para resolver problemas. O ensino 
de resolução de problemas não é um processo isolado. Nessa meto-
dologia o ensino é fruto de um processo mais amplo, um ensino 
que se faz por meio da resolução de problemas (ONUCHIC, 1999, 
p. 210-211).
A educação matemática concebe que resolução de problemas é a prin-
cipal razão do ensinar e do aprender matemática. Por meio da resolução de 
problemas o aluno desenvolve o pensar matematicamente, adquire e reorga-
niza conceitos e habilidades e aplica conhecimentos e saberes matemáticos, 
atribuindo significado aos mesmos.
9.1 O que é um problema?
A resolução de problemas nem sempre é direta e óbvia. A dificuldade 
encontrada pelas crianças está na própria natureza da resolução de problemas 
como metodologia de trabalho pedagógico, como é apontada por Medei-
ros (2001, p. 33), dizendo que o problema “precisa ser desafiador para o 
aluno, não podendo ser resolvido por meio de procedimentos padronizados. 
O meio, aqui, significa as condições didáticas da resolução”. De acordo com 
Ribeiro (1992), um problema só passa a existir quando surge uma situação 
que requer solução e que o indivíduo, ao tentar resolver, fica pelo menos tem-
porariamente frustrado na busca dessa solução.
– 151 –
Resolução de problemas
A resolução de problemas, em geral, exige criatividade para analisar, 
sintetizar e avaliar as situações, enquanto que a resolução de exercí-
cios requer somente aplicação rotineira de fatos e de procedimentos 
aprendidos previamente. Portanto, a resolução de exercícios é rápida 
e certa, porém a resolução de problemas é difícil e imprecisa, fazendo 
com que o sucesso não possa ser garantido (RIBEIRO, 1992, p. 14).
A prática pedagógica deve ser permeada pela resolução de problemas 
desafiadores, reais, simuladores e interessantes, para que o aluno seja desafiado 
e construa o seu conhecimento com significado, aplicando-o adequadamente.
Ampliando essa discussão, George Polya (apud ONUCHIC, 1999, p. 
217) afirma que:
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sem-
pre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O 
problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser 
em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios 
meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Expe-
riências tais, numa idade suscetível, poderá gerar o gosto pelo traba-
lho mental e deixar por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter.
Portanto, a resolução de problema possibilita que o indivíduo seja insti-
gado a pensar e a raciocinar sobre situações desafiadoras, favorecendo o levan-
tamento de possibilidades de resolução, o desenvolvimento da análise das 
possibilidades e a resolução, de fato, do problema.
Todo o problema matemático exige raciocínios, saberes e conhecimen-
tos matemáticos para serem resolvidos, isto é, a resolução utiliza a matemática 
como ferramenta para solucioná-lo.
Alguns educadores matemáticos procuram classificar as problema-
tizações matemáticas em diferentes grupos de acordo com determinadas 
características. Butts (1997) ampliou a discussão em torno da resolução de 
problemas, incluindo diferentes níveis de conhecimento e de aplicação dos 
exercícios e da resolução de problemas, classificando-os em cinco categorias.
1. Exercícios de reconhecimento: são as atividades que exigem do aluno 
a aplicação direta de algum conhecimento matemático adquirido ante-
riormente. Por exemplo:
Dos números indicados a seguir, destaque os que são primos:
3 6 9 13 15 18 21 29
– 152 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
2. Exercícios algorítmicos: são as atividades que são resolvidas por meio 
da utilização de algoritmos, aplicando-os passo a passo. Por exemplo:
Qual é o resultado da expressão: 2 × 4 + 1
3
 – 1 ?
3. Problemas de aplicação: são as problematizações elaboradas em lin-
guagem materna, cuja resolução deve ser feita por meio da linguagem 
matemática e pela aplicação de cálculos já conhecidos. Por exemplo:
Paulo comprou um aparelho de TV em 5 parcelas fixas de R$ 268,00. Qual 
é o preço total desse aparelho de TV?
4. Problemas em aberto: são as problematizações que não contém no 
enunciado uma estratégia explicita para a sua resolução. As estratégias 
são construídas pelo aluno de acordo com os seus raciocínios e a sua 
compreensão do problema. Por exemplo:
Quantos retângulos diferentes você pode obter com perímetro igual a 30 cm?
5. Situações-problema: são as situações problematizadoras mais amplas, 
em que é necessário primeiro identificar o problema existente na situa-
ção,para depois resolvê-la, assim como testar as soluções encontradas. 
Por exemplo:
Faça uma planta da casa que você gostaria de morar.
Parece evidente que as últimas três categorias de Butts (1997) favore-
cem, com maior intensidade, o desenvolvimento do indivíduo para a resolu-
ção de problemas necessários para a sua vida enquanto cidadão inserido em 
uma sociedade que exige, cada vez mais, pessoas com habilidades de resolver 
problemas das mais diversas formas e situações.
9.2 Princípios e objetivos
Ao destacar a resolução de problemas como foco de trabalho com o 
conhecimento matemático, os PCN (BRASIL, 1997, p. 43-44) indicam 
alguns princípios fundamentais, a saber:
a) o ponto de partida da atividade matemática deve ser o problema e 
não as definições e os conceitos.
– 153 –
Resolução de problemas
b) o problema deve ir além da simples aplicação mecânica do conhe-
cimento matemático. O problema deve propor ao aluno o pensar 
produtivamente, favorecendo o desenvolvimento do raciocínio e 
dos saberes matemáticos.
c) a resolução de problemas deve favorecer as aproximações sucessivas 
de conceitos e conteúdos, ampliando-os de acordo com a evolução 
na aplicação de novos problemas.
d) o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, 
mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido em um 
campo de conceitos.
e) a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida 
em paralelo a outras atividades matemáticas, mas à metodologia 
orientadora da prática pedagógica em educação matemática.
Dante (1998) destaca os principais objetivos da resolução de proble-
mas como possibilidade da prática pedagógica em educação matemática, que 
podem ser assim descritos:
 2 fazer o aluno pensar produtivamente;
 2 desenvolver o raciocínio do aluno;
 2 ensinar o aluno a enfrentar situações novas;
 2 dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da 
matemática;
 2 tornar as aulas de matemática mais interessantes e desafiadoras;
 2 equipar o aluno com estratégias para resolver problemas;
 2 dar uma boa base matemática às pessoas.
Ao escolher um problema para desenvolver com os alunos em sala de 
aula é importante estarmos atentos a algumas questões:
 2 o assunto deve ser interessante e relacionado ao cotidiano dos alunos;
 2 a linguagem deve ser adequada, não deixar dúvidas e ser acessível;
 2 é preciso, inicialmente, que os dados do problema possam ser 
representados concretamente, para que haja maior compreensão.
– 154 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Outro aspecto relevante na abordagem metodológica da resolução de 
problemas está relacionado à variedade e à flexibilidade dos problemas apre-
sentados, enfatizando os procedimentos utilizados pelos alunos, visando à 
construção dos conceitos matemáticos, ao desenvolvimento de habilidades e 
não somente aos resultados finais.
9.3 Formas de apresentação e 
resolução de problemas
Ao pensar na resolução de problemas como estratégia organizadora do 
trabalho em educação matemática, é necessário ter presente a dinamicidade 
e a flexibilidade que esta forma de encaminhar o processo ensino-aprendiza-
gem proporciona e exige do professor.
De acordo com Onuchic (1999, p. 211), em uma sala de aula que uti-
liza a abordagem metodológica da resolução de problemas para o ensino da 
matemática, o professor utiliza tudo o que há de bom nas diversas reformas 
educacionais ocorridas até então: “repetição, compreensão, o uso da lingua-
gem matemática da teoria dos conjuntos, resolver problemas e, às vezes, até 
a forma de ensino tradicional.”
Há diferentes formas de apresentar uma problematização na abordagem 
metodológica da resolução de problemas. Para isso, destacamos algumas des-
sas formas.
a) Problema de aplicação de conceitos e/ou conteúdos matemáticos: o 
texto apresenta todos os dados necessários para a resolução. Ler, analisar 
e resolver o problema.
Por exemplo:
Em um restaurante, há mesas com 8 cadei-
ras e mesas com 4 cadeiras. Chegaram 
163 pessoas para jantar. Se todas 
as 15 mesas com 8 lugares forem 
preenchidas antes, quantas mesas 
de 4 lugares, no mínimo, serão 
necessárias para acomodar todas 
as pessoas ao mesmo tempo?
– 155 –
Resolução de problemas
Veja uma possibilidade de resolução:
15 x 8 = 120 120 pessoas ocupam as 15 mesas com 8 lugares
163 – 120 = 43
43 : 4 = 10 e sobram 3 pessoas.
Portanto, são necessárias, no mínimo, 11 mesas com 4 lugares.
b) Apresentação de um texto problematizador sem a pergunta: elaborar 
um questionamento a partir do texto matemático enunciado.
Por exemplo:
Jonas e Bia estão jogando dardos. Cada um lança três dardos em cada 
rodada. Observe o alvo.
20 15 10 5
Veja algumas possibilidades de resolução:
a) Quantos pontos Jonas fez se ele acertou os dardos no 10, no 15 e no 5?
Ele fez 10+ 15 + 5 = 30 pontos.
b) Quantos pontos fez Bia se ela acertou os dardos no 20, no 5 e no 10?
Ela fez 20 + 5 + 10 = 35 pontos
c) Onde Jonas acertou os três dardos se ele fez 20 pontos?
Ele acertou no 10, no 5 e no 5, pois: 10 + 5 + 5 = 20.
d) Bia fez a maior quantidade de pontos possíveis. Onde ela acertou 
os dardos? Quantos pontos ela fez?
Ela acertou no centro: 20 + 20 + 20 = 60 pontos.
– 156 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
e) É possível fazer mais de 60 pontos com três dardos? Por quê?
Não, pois a maior pontuação para cada dardo é 20 pontos; portanto,
3 x 20 = 60 pontos.
c) Problemas com excesso de informações: fornecer um texto proble-
matizador com excesso de dados, solicitando a reescrita do mesmo, eli-
minando as informações desnecessárias para a resolução. Em seguida, 
resolver o problema.
Por exemplo:
Beatriz foi ao supermercado com R$ 300,00. No supermercado, havia mui-
tos produtos em promoção. Alguns produtos estavam com 10% de desconto, 
outros, com 15% de desconto, e outros, ainda, chegavam a 40% de desconto. 
Beatriz comprou 5 caixas de leite. Cada caixa continha 12 unidades de um 
litro de leite. Se cada caixa custou R$ 25,80, qual foi o preço que Beatriz 
pagou em cada litro de leite?
Veja uma possibilidade de resolução:
Beatriz foi ao supermercado e pagou R$ 25,80 por uma caixa de leite, 
que continha 12 unidades de um litro de leite. Quanto Beatriz pagou 
em cada litro de leite?
R$ 25,80 : 12 = R$ 2,15
Beatriz pagou R$ 2,15 em cada litro de leite.
– 157 –
Resolução de problemas
d) Problemas envolvendo figuras: elaborar uma problematização, um 
questionamento matemático, a partir de uma figura dada.
Por exemplo:
Observe atentamente a figura a seguir. Elabore uma questão matemática a 
partir desta figura e resolva-a.
Veja algumas possibilidades de resolução:
 2 Quantos quadrados há na figura?
Resposta: há um quadrado.
 2 Quantos triângulos há na figura?
Resposta: há 9 triângulos.
 2 Quantas figuras geométricas é possível observar na figura?
Resposta: 10 figuras
 2 No quadrado há duas linhas retas que se cruzam no centro. Qual é 
o nome dessas duas linhas?
Resposta: as duas linhas retas são denominadas diagonais do qua-
drado. Diagonal é o segmento de reta que liga dois vértices não 
consecutivos de um polígono.
 2 É possível estabelecer uma relação de área ocupada entre os quatro 
triângulos que compõem o quadrado?
Resposta: todos os quatro triângulos ocupam a mesma área do 
quadrado.
 2 Quantos segmentos de reta foram usados para compor a figura?
Resposta: há 9 segmentos de reta.
– 158 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
e) Elaboração de um problema a partir de um questionamento: for-
necer uma pergunta como referência para a elaboração de um texto-
-problema, resolvendo-o.
Por exemplo:
Há quantas possibilidades de compor trajes diferentes, usando uma 
calça e uma camiseta?
Veja uma possibilidade de resolução:Mariana comprou 3 calças: uma listrada, uma branca e uma preta; e 3 
camisetas: uma branca, uma preta e uma com bolinhas. Há quantas pos-
sibilidades de compor trajes diferentes, usando uma calça e uma camiseta?
Vamos representar a situação:
Calça listrada 
camiseta branca
Calça listrada 
camiseta preta
Calça listrada cami-
seta com bolinhas
Calça branca cami-
seta branca
Calça branca 
camiseta preta
Calça branca cami-
seta com bolinhas
– 159 –
Resolução de problemas
Calça preta cami-
seta branca
Calça preta cami-
seta preta
Calça preta cami-
seta com bolinhas
Com cada uma das calças é possível compor 3 trajes diferentes:
3 x 3 = 9
Há 9 possibilidades de combinar as peças de roupas, formando trajes 
diferentes.
f ) Elaboração de um problema a partir de uma resposta: fornecer uma 
resposta como referência para a elaboração de um texto-problema, resol-
vendo-o.
Por exemplo:
Ela usou 15 caixas para guardar todos os ovos.
Veja uma possibilidade de resolução:
Dona Marta cria muitas galinhas. Todos os dias ela recolhe os ovos e guar-
dados em caixas contendo uma dúzia, para vender. Em um desses dias ela 
recolheu 178 ovos. Quantas caixas Dona Marta usou para guardar todos 
esses ovos?
Resolvendo:
178 – 12 = 166 1 caixa
166 – 12 = 154 1 caixa
– 160 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
154 – 12 = 142 1 caixa
142 – 12 = 130 1 caixa
130 – 12 = 118 1 caixa
118 – 12 = 106 1 caixa
106 – 12 = 94 1 caixa
94 – 12 = 82 1 caixa
82 – 12 = 70 1 caixa
70 – 12 = 58 1 caixa
58 – 12 = 46 1 caixa
46 – 12 = 34 1 caixa
34 – 12 = 22 1 caixa
22 – 12 = 10 1 caixa
10 .............. 1 caixa
Outra forma de resolver essa situação é por meio de uma operação de 
divisão. Assim:
–
1 7 8 12
1 2 C D U
–
0 5 8 0 1 4
4 8
1 0
Portanto, ela usou 15 caixas para guardar todos os ovos.
Observação: 14 caixas estão completas com 12 ovos em cada uma, e 
uma caixa está com 10 ovos; com isso, foram usadas 15 caixas para colo-
car todos os ovos.
g) Apresentação inicial de um enunciado de um problema: dar conti-
nuidade ao texto problematizador já iniciado, resolvendo-o.
– 161 –
Resolução de problemas
Por exemplo:
Na festa infantil promovida por Bia, havia muitas crianças. Do total de 
150 participantes ....
Veja uma possibilidade de resolução:
Na festa infantil promovida por Bia, havia muitas crianças. Do total de 
150 participantes, somente 
1
6
 eram pessoas adultas. Quantas crianças 
havia na festa? E quantos eram os adultos?
Resolvendo:
1
6
 de 150 participantes 150 : 6 = 25
150 participantes – 25 adultos = 125 crianças.
Havia 125 crianças e 25 adultos participando da festa.
h) Elaboração de um problema a partir de uma operação ou expres-
são numérica dada: fornecer uma operação ou expressão numérica 
como referência para a elaboração de um texto-problema, resol-
vendo-o.
Por exemplo:
157 : 6
Veja uma possibilidade de resolução:
A direção da escola organizou um campeonato de voleibol. Houve 157 ins-
crições de alunos. Se cada equipe era composta por 6 alunos, quantas equipes 
foram formadas?
Resolvendo:
157 : 6 = 26 e sobra um aluno.
Portanto, foram formadas 26 equipes; podendo ser: 25 equipes com 6 
alunos e uma equipe com 7 alunos, para que todos os inscritos pudessem 
participar do campeonato de voleibol.
i) Apresentação de um problema sem números explícitos: ler, analisar e 
resolver o problema.
– 162 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Por exemplo:
No Brasil foi instituído, há alguns anos, o Dia Nacional da Matemática. 
Esse dia corresponde a um número formado por um único algarismo e é par; 
ele pode ser obtido pela média aritmética do maior número par de um só 
algarismo com o antecessor par do próprio número. O mês é indicado por um 
número formado por meia dezena. Em que dia e mês comemora-se o Dia 
Nacional da Matemática?
Resolvendo:
Os números pares formados por um só algarismo são: 0, 2, 4, 6, 8
O maior número par de um só algarismo é o 8.
Se o número for o 6, então o seu antecessor par é o 4.
Calculando a média aritmética entre 8 e 4 temos:
8 + 4 = 12 12 : 2 = 6
Então, o dia é 6.
O mês corresponde ao número que representa meia dezena, ou seja, 5.
Portanto, o Dia Nacional da Matemática é 6 de maio.
Essas são algumas possibilidades de dinamizar o trabalho pedagógico de 
resolução de problemas em sala de aula, objetivando o desenvolvimento do 
raciocínio lógico-matemático, a autonomia de pensamento e ação, a amplia-
ção do conhecimento matemático, a descoberta de novas formas de resolver 
problemas, o desenvolvimento da criatividade, entre outros.
A riqueza do trabalho pedagógico de resolução de problemas se dá na 
medida em que o professor promove o debate, o confronto de ideias e opi-
niões sobre as formas diferentes de pensar em torno das possibilidades de 
resolução de cada problematização proposta.
Portanto, a resolução de problemas na perspectiva da educação mate-
mática tende a dar ênfase à aplicação da matemática em situações reais, assim 
como desenvolver o estudo de conceitos e conteúdos, ampliando os limites 
da própria disciplina e aprofundando as teorias e práticas envolvidas, direta 
ou indiretamente, com o conhecimento matemático.
– 163 –
Resolução de problemas
 Reflita
De acordo com Dante (1998, p. 11), 
um dos principais objetivos do ensino da matemática é 
fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso, nada 
melhor que apresentar-lhe situações-problema que o envol-
vam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las. Essa é 
uma das razões pela qual a resolução de problemas tem 
sido reconhecida no mundo todo como uma das metas 
fundamentais da matemática no Ensino Fundamental.
a) Faça uma reflexão sobre esse pensamento de Dante e estabeleça 
um paralelo entre essas ideias e os problemas que são trabalha-
dos, normalmente, nas aulas de matemática dos anos iniciais do 
Ensino Fundamental, atualmente.
b) De acordo com as suas reflexões, responda:
• os problemas trabalhados em sala de aula favorecem o pen-
samento produtivo do aluno? Por quê?
• os problemas trabalhados em sala de aula envolvem, motivam 
e desafiam o aluno? Por quê?
 Saiba mais
No dia 6 de maio, é comemorado o Dia Nacional da Matemática, 
que foi instituído, em 2004, pelo congresso nacional. Esta data é 
uma homenagem ao grande matemático brasileiro Professor Júlio 
César de Mello e Souza, conhecido como Malba Tahan, natural do 
Rio de Janeiro, filho de professores, nascido em 6 de maio de 1895 
e falecido em 18 de junho de 1974, aos 79 anos, no Recife.
 Da teoria para a prática
A resolução de problemas está na ordem do dia!
– 164 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Propor estratégias diferenciadas para a resolução de um pro-
blema, desenvolvendo a criatividade, a imaginação, a desco-
berta e os raciocínios também está na ordem do dia!
Portanto, resolva os problemas apresentados a seguir, utili-
zando e registrando diferentes estratégias de resolução.
1. Providencie um panfleto de propaganda de produtos 
de supermercado, ou utilize a ideia de folder represen-
tada a seguir.
Leia e analise as informações contidas neste modelo 
de folder:
Suco
de uva
200ml
R$ 1,55 R$ 2,20
Leite
1 litro
 
Café
500g
R$ 6,20
900ml
Óleo
R$ 5,28 
500ml
Detergente
R$ 1,35 
Macarrão
500g
R$ 4,98 
Maionese
500g
R$ 3,25 
250g
Extrato de
tomate
R$ 2,98
Margarina
500g
R$ 3,78 
Sabonete
90g
R$ 0,98
– 165 –
Resolução de problemas
Sabão em pó
1kg
R$ 5,45 R$ 8,16
Açúcar
5kg
2. Agora, resolva as problematizações propostas a seguir, de 
acordo com as informações contidas no folder.
a) Qual é o produto mais caro?Quanto ele custa?
b) Qual é o produto mais barato? Quanto ele custa?
c) Quais os tipos de medidas que aparecem no 
folder?
d) Que produtos são comercializados em medida de 
massa? E de capacidade?
e) Qual é mais caro: 1 kg de macarrão ou 1,5 kg de 
margarina? Justifique.
f) O que é possível comprar com R$ 10,00? Escreva 
três possibilidades.
3. Você foi a esse supermercado com R$ 30,00. Gastou 
exatamente esse valor na compra de produtos que estão 
representados nesse folder. Quais são os produtos que, 
possivelmente, você comprou?
Há outras possibilidades?
4. Elabore dois problemas a partir das informações contidas 
no folder. Resolva-os.
– 166 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
Síntese
A resolução de problemas como forma de encaminhar o trabalho peda-
gógico com o conhecimento matemático tem ganhado força nas últimas 
décadas, tanto no aspecto da aplicação de conceitos e conteúdos, quanto 
na resolução de problemas como forma de aprender novos conteúdos e 
conceitos matemáticos.
Muitos educadores matemáticos defendem a ideia de que um problema 
só existe se ele apresenta uma situação que requer solução, deixando o indi-
víduo, mesmo que por um pequeno período de tempo, pensativo e desafiado 
a buscar a solução.
A resolução de problemas promove o desenvolvimento da criatividade, 
autonomia de pensamento e ação, raciocínio lógico, análise, argumentação, 
habilidade de levantar possibilidades e hipóteses, e habilidade de testar resul-
tados obtidos, aceitando-os ou refutando-os.
Butts (1997) classifica as questões matemáticas, relacionadas à resolução 
de problemas, em cinco categorias distintas: exercícios de reconhecimento, 
exercícios algorítmicos, problemas de aplicação, problemas em aberto e situ-
ações-problema.
Há diversas formas de desenvolver o trabalho com a resolução de pro-
blemas evidenciando a dinamicidade e a flexibilidade que esse tipo de enca-
minhamento metodológico proporciona ao processo ensino-aprendizagem 
da matemática.
Quanto maior a variedade de problematizações desenvolvidas em sala de 
aula, maiores serão as oportunidades proporcionadas aos alunos na ampliação 
do conhecimento matemático e no desenvolvimento de competências rela-
cionadas à resolução de problemas.
A avaliação da aprendizagem é parte integrante do processo 
do ensinar e do aprender matemática. Ao optar por um trabalho 
em educação matemática que privilegie a compreensão, a constru-
ção e o significado dos conceitos e do conhecimento matemático 
em estudo, é necessário, também, coerência nas formas de avaliar 
a aprendizagem e os processos de ensino utilizados na construção e 
apropriação desses saberes. Por isso, faz-se necessária uma nova visão 
na abordagem da avaliação no âmbito escolar.
Avaliação
10
– 168 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
A avaliação deve fazer parte de todo o processo do ensinar e aprender, 
estando presente em todos os momentos e possuindo características for-
mativas. Isso quer dizer que a avaliação deve acontecer tanto nos aspectos 
do ensino (professor), quanto nos aspectos da aprendizagem (aluno), bem 
como nos meios e recursos utilizados para percorrer os caminhos do ensinar 
e aprender matemática.
A avaliação permanente, visando à aprendizagem contínua do aluno, está 
expressa na Lei de Diretrizes e Bases da Educação (BRASIL, LDB n. 9.394, 
1997, p. 14) no Art. 24, que diz: “a avaliação contínua e cumulativa do desem-
penho do aluno, com prevalência dos aspectos qualitativos sobre os quantitati-
vos e dos resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais”, 
deve fazer parte do processo educacional e da prática pedagógica. Dessa forma, 
entendemos que é um direito do aluno ter uma avaliação em prol da sua apren-
dizagem, e, portanto, sendo sempre repensada e reorganizada de tal modo que 
privilegie, de fato, a construção e apropriação do seu conhecimento matemático.
10.1 O que é avaliar?
Muito se fala em avaliação no âmbito escolar. Ela está presente cons-
tantemente na prática pedagógica; no entanto, a clareza do significado e das 
suas implicações, na perspectiva da educação matemática, nem sempre está 
evidenciada entre os sujeitos que fazem parte do processo educacional.
A avaliação é um elemento da prática educativa que deve estar em fun-
ção da formação do sujeito. Na perspectiva da educação matemática, a ava-
liação deve subsidiar a prática pedagógica, de forma a redirecionar o trabalho 
com o ensinar e o aprender matemática.
O processo avaliativo possui características de um processo de inves-
tigação, de pesquisa, que visa às transformações e que leva às classi-
ficações. A avaliação só tem sentido se tiver como ponto de partida 
e ponto de chegada o processo pedagógico para que sejam estabele-
cidas estratégias de enfrentamento da situação de sucesso ou fracasso 
(SILVA, 2003, p. 47).
A avaliação, segundo Luckesi (2003, p. 27), é “um ato subsidiário da 
prática pedagógica, com vistas à obtenção de resultados os mais satisfatórios 
possíveis diante do caminho de desenvolvimento de cada educando”.
– 169 –
Avaliação
A avaliação pressupõe objetivos claros e bem definidos em busca de 
metas que atendam à qualidade que todos os sujeitos envolvidos no pro-
cesso almejam, ou seja, a busca constante da formação do indivíduo. Por 
isso, ao avaliar, todos assumem responsabilidades de possíveis mudanças, 
casos os resultados não sejam satisfatórios, em todos os segmentos envolvidos 
no processo educacional: alunos, professores, gestores, instrumentos e méto-
dos utilizados no processo do ensinar e do aprender, conteúdos, conceitos e 
saberes presentes no ato de ensinar. Tudo deve ser revisto e repensado a cada 
momento do processo.
Diante disso, cabe destacar a fala de Luckesi (1999, p. 118), que diz: 
“enquanto o planejamento é o ato pelo qual decidimos o que construir, a 
avaliação é o ato crítico que nos subsidia na verificação de como estamos 
construindo o nosso projeto.”
10.2 Avaliar para aprender
O trabalho pedagógico na perspectiva da educação matemática não é 
compatível com a avaliação que apresenta características exclusivas de exami-
nar a aprendizagem do aluno.
De acordo com Luckesi (2003), a avaliação praticada pela escola ainda 
possui características de exame, as quais ele destaca: tem por objetivo julgar, 
aprovar ou reprovar; é pontual; é classificatória; é seletiva; é antidemocrática 
e fornece subsídios para uma prática pedagógica autoritária.
Essas características de exame, como forma de avaliação, ainda são 
perceptíveis no processo do ensinar e do aprender matemática. Em mui-
tas situações é colocada toda a responsabilidade do fracasso na apren-
dizagem do aluno. Não se faz uma reflexão sobre todos os elementos 
envolvidos no processo e nem sempre se propõe mudanças no ato do 
ensinar matemática.
Por outro lado, Luckesi (2003, p. 13-14) destaca as características 
de uma avaliação da aprendizagem, que promovem a formação contí-
nua do indivíduo, em que todos os sujeitos são responsáveis pelos avan-
ços e pela qualidade do processo do ensinar e do aprender. Dessa forma, 
a avaliação:
– 170 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
1º Tem por objetivo diagnosticar a situação de aprendizagem do edu-
cando, tendo em vista subsidiar a tomada de decisões para a melhoria 
da qualidade do desempenho;
2º É diagnóstica e processual, ao admitir que, aqui e agora, este edu-
cando não possui um determinado conhecimento ou habilidade, mas, 
depois, se ele for cuidado, poderá apresentar o conhecimento ou a 
habilidade esperada. A avaliação opera com resultados provisórios 
(sempre há a possibilidade de um novo estado de qualidade, melhor 
e mais satisfatório) e sucessivos (o estado mais satisfatório, ainda não 
foi atingido, mas poderá sê-lo);
3º É dinâmica, ou seja, nãoclassifica o educando em um determinado 
nível de aprendizagem, mas diagnostica a situação para melhorá-la a 
partir de novas decisões pedagógicas; assim sendo, é oposta ao modo 
estático dos exames;
4º É inclusiva, na medida em que não seleciona os educandos melho-
res dos piores, mas sim subsidia a busca de meios pelos quais todos 
possam aprender aquilo que é necessário para o seu próprio desen-
volvimento; o ato de avaliar é um ato pelo qual se inclui o educando 
dentro do processo educativo, da melhor forma possível;
5º Decorrente do fato de ser inclusiva, é democrática, devido incluir 
todos. A prática avaliativa na escola está a serviço de todos, no sentido 
de que deve oferecer subsídios para um trabalho pedagógico junto 
a todos, os que têm mais e os que têm menos dificuldades; o que 
importa é que todos aprendem e, consequentemente, se desenvolvem;
6º E isso exige uma prática pedagógica dialógica entre educadores e 
educandos, tendo em vista estabelecer uma aliança negociada, um pacto 
de trabalho construtivo entre todos os sujeitos da prática educativa.
Portanto, é nessa perspectiva que deve ser organizada a avaliação da 
aprendizagem em educação matemática, de modo a vislumbrar a formação 
do indivíduo em todos os momentos do processo.
10.3 Alguns instrumentos de avaliação
A avaliação deve fornecer subsídios para que o professor repense, a cada 
momento, a sua prática educativa e sua função social enquanto formador de seres 
pensantes. Essa reflexão da prática educativa permite ao professor tomar novas 
decisões diante dos resultados obtidos, de forma contínua e permanente, bus-
cando sempre a melhoria na qualidade do ensino-aprendizagem da matemática, 
visando à construção de uma educação e formação matemática para a cidadania.
– 171 –
Avaliação
Para que a avaliação da aprendizagem seja, de fato, diagnóstica, forma-
tiva, contínua, processual e permanente, deve utilizar os mais diversos recur-
sos e instrumentos possíveis, para que os resultados possam propor a reflexão 
da situação real de cada momento da formação matemática do aluno.
A seguir, destacamos alguns instrumentos que podem ser usados na ava-
liação da aprendizagem.
a) Observação e registros do professor: observar, analisar e intervir na 
participação dos alunos, no seu interesse e no espírito colaborativo, 
registrando as informações obtidas com o objetivo de retomar com 
o aluno cada situação em que há indícios de não ter ocorrido a 
aprendizagem do conteúdo ou conceito em estudo.
b) Provas e testes: devem ser rotineiros, desafiadores, em vários 
momentos do processo educativo, e de várias maneiras: oral, escrito, 
agendado, não agendado; sempre com o objetivo de diagnosticar o 
ensinar e o aprender para intervir com mais qualidade.
c) Resolução de problemas: deve ser desafiadora e estimuladora da 
aprendizagem matemática. Deve estar presente continuamente 
na prática avaliativa, uma vez que é a mola propulsora da educa-
ção matemática.
d) Trabalhos e participação em atividades: atividades de sala de aula 
(individual ou em grupo), teatro, cinema, música, pesquisas de 
campo, pesquisas bibliográficas, pesquisas na internet, leituras de 
livros paradidáticos de matemática, coleta de informações, jogos, 
debates, entre outros.
e) Portfólio3 e caderno do aluno: a organização de um portfólio pos-
sibilita ao professor acompanhar e intervir nas produções dos alu-
nos, pois ele pode visualizar o crescimento do aluno na aquisição 
do conhecimento. No portfólio podem ser colocados também os 
testes, provas e produções feitas pelo aluno, assim como pode ser 
feito o registro das retomadas das atividades propostas de todos 
esses trabalhos.
3 Portfólio é um conjunto de trabalhos e atividades realizadas e registradas pelo aluno durante 
um determinado período, que podem ser organizadas em uma pasta ou arquivo.
– 172 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
f ) Entrevistas e conversas informais: é fundamental que o professor 
estabeleça um vínculo de diálogo com o aluno.
g) Autoavaliação: contribui para que o aluno faça uma autoanálise 
do processo ensino-aprendizagem, desenvolvendo a sua autono-
mia ao identificar os elementos que contribuem, ou não, para a 
sua aprendizagem, assim como construir uma análise crítica do 
seu desempenho.
A diversidade e a flexibilidade de instrumentos e formas de avaliar, 
quando usadas adequadamente, podem contribuir significativamente para a 
qualidade do ato de avaliar que, segundo Luckesi (2003, p. 94), “é um ato 
rigoroso de acompanhamento da aprendizagem do educando, ou seja, ela 
permite tomar conhecimento do que se aprendeu e do que não se aprendeu 
e reorientar o educando para que supere suas dificuldades e carências, na 
medida em que o que importa é aprender”.
10.4 Para além do erro!
A avaliação tem caráter formativo e se propõe a acompanhar a aprendi-
zagem matemática do aluno, favorecendo o desenvolvimento do seu poten-
cial e ampliando-o sempre mais.
Um dos aspectos da avaliação que tem chamado a atenção dos pesquisa-
dores e educadores matemáticos é o trabalho pedagógico a ser desenvolvido a 
partir do erro matemático do aluno. A utilização da tentativa e erro na reso-
lução de problemas e atividades matemáticas permite ao professor identificar 
estratégias, caminhos e possibilidades de resoluções que o aluno utilizou para 
resolver uma determinada situação, permitindo o olhar sobre as diferentes 
formas de pensar uma mesma situação.
Dessa forma, Cury (2007, p. 35-36) mostra que: “se a ênfase da avalia-
ção dos estudantes se desloca do produto para o processo, há a possibilidade 
de que os erros cometidos venham a ser discutidos e possam ser fonte de 
novas aprendizagens.”
A partir do erro do aluno, é fundamental desenvolver reflexões e análi-
ses, elaborando novas estratégias de ensino e de aprendizagem, que favoreçam 
– 173 –
Avaliação
novas aprendizagens. O erro pode indicar a forma de pensar do aluno, que 
mostra as dificuldades encontradas na resolução do que foi proposto. Essa 
dificuldade pode estar no conteúdo, no conceito, no raciocínio, na estratégia, 
ou mesmo na compreensão da situação proposta.
Os erros podem ocorrer por diferentes motivos: falta de atenção, não 
domínio do conteúdo em questão, utilização de uma estratégia inade-
quada, enfim, diferentes condutas podem levar ao erro, e o professor 
deve estar atento a isso, pois para cada erro deve haver uma estratégia 
diferente para superá-lo (PEREGO; BURIASCO, 2005, p. 48).
O professor deve proporcionar o desenvolvimento de atitudes de análise 
e reflexão constante por meio de questionamentos que favoreçam a troca de 
ideias, o confronto de opiniões e a comparação de processos de resolução uti-
lizados entre os alunos, na construção de raciocínios, conteúdos e conceitos 
matemáticos. Dessa forma, os alunos comparam os possíveis erros cometidos 
e procuram identificar os porquês desses erros, desenvolvendo, assim, novas 
aprendizagens, ou reconstruindo algumas lacunas da aprendizagem.
Portanto, a avaliação deve realimentar a qualidade do trabalho peda-
gógico, direcionando e redirecionando a ação educativa e o desempenho do 
aluno e do professor no processo ensino-aprendizagem.
 Reflita
Refletir sobre o erro do aluno é uma das atribuições do professor na 
prática pedagógica em educação matemática. Cury (2007, p. 80) 
destaca “a ideia de que o erro se constitui como um conhecimento é 
um saber que o aluno possui, construído de alguma forma, e é neces-
sário elaborar intervenções didáticas que desestabilizem as certezas, 
levando o estudante a um questionamento sobre as suas respostas”.
Partindo do pressuposto que a criança deve compreender os signi-
ficados de cada conceito e/ou conteúdo matemático trabalhado, e 
que as pessoas aprendem de maneiras e em tempos diferentes, faça 
uma reflexão sobre esse pensamentode Cury e estabeleça um para-
lelo entre ele e a prática pedagógica da escola em relação a possíveis 
estratégias de trabalho com o erro do aluno em matemática.
– 174 –
Fundamentos e Metodologia do Ensino de Matemática
 Da teoria para a prática
1. Suponha a seguinte situação:
a) Uma professora de 3.° ano elaborou esta questão 
para avaliar os seus alunos em um dos tópicos do con-
teúdo Sistema de Numeração Decimal.
Uma entidade beneficente promoveu um sorteio de 
prêmios, por meio do sorteio dos números correspon-
dentes a cada prêmio. Os números sorteados estão 
escritos, por extenso, no quadro a seguir.
Leia cada um dos números e registre-os em algarismos 
na linha correspondente.
Escrita por extenso Número
Sessenta e sete
Duzentos e nove
Dezoito
Oitocentos e quarenta
Dois mil e nove 
b) Um dos alunos fez os seguintes registros numéricos:
Escrita por extenso Número
Sessenta e sete
Duzentos e nove
Dezoito
Oitocentos e quarenta
Dois mil e nove 
c) Agora imagine que você é o(a) professor(a) desse aluno:
Quais são as suas reflexões sobre essa situação?
Como você avalia esse aluno nessa situação?
– 175 –
Avaliação
A partir dessa avaliação, que procedimentos você 
adotaria com esse aluno? Por quê?
d) Elabore uma nova problematização envolvendo esse 
conteúdo (SND) para avaliar novamente esse aluno.
Síntese
A avaliação é um elemento inerente à prática pedagógica, que deve ser 
realizada com cuidado e coerência, envolvendo todos os sujeitos envolvidos 
no processo educacional, assim como os recursos e estratégias utilizados no 
ensinar e no aprender matemática.
A avaliação deve subsidiar a prática pedagógica, dando indicativos para 
o planejamento e/ou replanejamento das ações que favoreçam a construção e 
apreensão do conhecimento matemático pelos alunos.
Luckesi (2003) mostra a importância de ultrapassar o sentido de exa-
minar, ainda presente na sala de aula, assumindo o real sentido de avaliar. A 
avaliação é processual, tem por objetivo diagnosticar, é dinâmica, é inclusiva, 
é democrática e exige uma prática pedagógica dialógica. Dessa forma, temos 
uma prática avaliativa formativa.
A avaliação pode ser feita por meio de diversos instrumentos, como: 
observações e registros, provas e testes, resolução de problemas, trabalhos e 
participação em atividades, portfólio e caderno do aluno, entrevistas e con-
versas informais, autoavaliação, entre outros.
Outros aspectos relevantes, que devem fazer parte da avaliação forma-
tiva, são a análise, a reflexão e o trabalho pedagógico, que devem ser desen-
volvidos a partir do erro do aluno. Conforme expressam os PCN (BRASIL, 
1998, p. 55), “na aprendizagem escolar o erro é inevitável e, muitas vezes, 
pode ser interpretado como um caminho para buscar o acerto”. Ao analisar 
e refletir sobre o erro do aluno, o professor obtém informações sobre como 
o estudante está pensando, que conhecimentos e raciocínios ele já domina e 
quais ele ainda não conseguiu adquirir.
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Pensar na formação do pedagogo é pensar na complexidade de sua 
atuação e no desenvolvimento de competências para o melhor desempenho 
profissional. 
Na competência do profissional pedagogo está inserida a educação ma-
temática, que se manifesta por meio do domínio do conteúdo matemático a 
ser desenvolvido na prática escolar da Educação Infantil e dos anos iniciais do 
Ensino Fundamental, pela clareza dos objetivos que devem ser atingidos e pelo 
domínio dos recursos e meios de comunicação que devem ser usados para me-
diar esse ensino e a aprendizagem dos alunos. Manifesta-se, ainda, pelo domí-
nio da articulação do conhecimento matemático com os outros elementos que 
fazem parte da formação dos alunos, na escola, e pela percepção e reflexão sobre 
as complexas relações entre a matemática do âmbito esco lar e suas implicações 
para a sociedade, na qual estão inseridos os educandos.
Há diversas formas, meios e modalidades para desenvolver e se apro-
priar desses elementos que compõem a competência do futuro profissional pe-
dagogo em educação matemática. Neste livro, destacamos a modalidade de 
Educação a Distância como uma real possibilidade de desenvolvimento do co-
nhecimento matemático com qualidade e de modo significativo, promovendo 
a construção e a apropriação desses saberes.
ISBN 978-85-60531-31-8 
 
9 788560 531318