EP8-CIII-2013-2-Aluno

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP8 – CA´LCULO III
Exerc´ıcio 1 Seja C a curva obtida pela intersec¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 2y e o parabolo´ide
z = 4− (x2 + y2).
(a) Determine uma parametrizac¸a˜o para C.
(b) Fac¸a um esboc¸o de C.
(c) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` C, que seja perpendicular ao plano x− y + 2z = 4.
(d) Determine o comprimento da curva obtida como projec¸a˜o de C no plano-xy.
Exerc´ıcio 2 Seja a func¸a˜o f(x, y) =
√
1− x2 − y
2
9
.
(a) Determine o dom´ınio de f e esboce-o.
(b) Determine a imagem de f , Im(f).
(c) Determine a curva de n´ıvel de f que passa pelo ponto (0, 2) e esboce-a no mesmo gra´fico do
item (a).
(d) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
(e) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
,
∂f
∂y
(f) Seja C a curva de intersec¸a˜o do gra´fico de f com o plano y = 2. Determine a equac¸a˜o da reta
tangente a C no ponto P
(1
2
, 2,
√
11
6
)
.
Exerc´ıcio 3 Calcule, ou prove que na˜o existe, os seguintes limites.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
2x3y
x6 + 2y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x4 cos(x2 + y2)
x2 + y2
Exerc´ıcio 4 Seja a func¸a˜o f(x, y) =
{
(x2 + y2)2 − 2, se x2 + y2 ≤ 2
3(x2 + y2)− 4, se x2 + y2 > 2 , determine os pontos
onde f e´ cont´ınua.
Exerc´ıcio 5 .
(a) Determine as derivadas parciais da func¸a˜o f(x, y) =


(x− 2)4
(x − 2)2 + y2 se (x, y) 6= (2, 0)
0 se (x, y) = (2, 0)
.
(b) A func¸a˜o f , do item (a), e´ diferencia´vel em R2?