FQ-2020QS - Lista 1- Gabarito

Prévia do material em texto

Física Quântica Semipresencial 2020.1
- Lista 1 - GABARITO -
1. Questões:
(a) O que é um corpo negro e quais são as características da radiação por ele emitida?
Resp: Um corpo negro é um objeto que absorve toda radiação incidente sobre ele.
As suas características são: A radiação emitida em equilíbrio térmico é determinada
somente pela temperatura; a radiação é isotrópica e um corpo negro é um emissor
ideal, ou seja, ele emite mais radiação que outros corpos na mesma temperatura.
(b) Comente os resultados experimentais que levaram Stefan a propor que a energia total
emitida por um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura abso-
luta. Enuncie e explique qual foi a contribuição de Boltzmann para a assim chamada
Lei de Stefan-Boltzmann.
Resp: Experimentalmente verifica-se que um corpo negro emite mais radiação com
o aumento da temperatura. A lei diz que RT = σT 4, o que comprova a observação
anteirior. Stefan obteve essa lei experimentalmente, alguns anos depois Boltzmann a
deduziu a partir da termodinâmica clássica.
(c) Porque a lei de deslocamento de Wien recebeu este nome?
Resp: A lei de Wien diz que λmax.T = constante, ou seja, o comprimento de onda
máximo vai se deslocando conforme a temperatura aumenta, por isso é chamada de
lei de deslocamento de Wien.
(d) Explique (qualitativamente) como Rayleigh chegou a "Lei Clássica da Radiação"e o
que é a catástrofe do ultravioleta.
Resp: Considere uma cavidade esférica a temperatura T que esta emitindo como
um corpo negro. Dentro dessa cavidade existem ondas eletromagnéticas estacionárias
com nós nas superfícies metálicas. Usando um argumento geométrico podemos contar
o número de ondas no intervalo ν, ν + dν. Usando um resultado de teoria cinética
podemos calcular a energia média dessas ondas, que só depende de T. Multiplicando
o número de ondas pela energia média e dividindo pelo volume da cavidade nos dá o
resultado de Rayleigh:
ρT (ν)dν =
8πν2
c3
kTdν
Este resultado contén o que é chamado a catástrofe do ultravioleta: conforme a
frequência aumenta, a densidade de energia aumenta. Como não há limite para a
frequência, a energia emitida seria infinita, o que está em claro desacordo com os
dados experimentais.
(e) Quais foram os argumentos de Planck que o levaram a introduzir o quanta?
Resp: Para resolver o problema da catástrofe do ultravioleta, Planck assumiu que
a energia das ondas não deveria ser uma variável continua, mas sim discreta. Ele
assumiu também que estes quantas de energia seriam proporcionais a frequência:
δ� = hν, onde h seria uma constante de proporcionalidade adequada (obtida por
interpolação da curva dos dados experimentais) e que, posteriormente, foi denominada
de constante de Planck.
2. Problemas:
(a) Sabendo que um gás idal de radiação com energia E, densidade de energia U , e pres-
são p = 13U , e utilizando as relações termodinâmicas
∂E
∂V = T
∂p
∂T − p e
∂E
∂V = U ,
mostre que U = σT 4, com σ uma constante. Esta é a dedução simplificada da Lei de
Stefan-Boltzmann.
Resp: Começando com as relaçõs trigonométricas:
p =
1
3
U ; (1)
∂E
∂V
= T
∂p
∂T
− p; (2)
∂E
∂V
= U. (3)
Substituindo (1) e (3) em (2), obtemos:
4p = T
∂p
∂T
(4)
Integrando obtemos p ∝ T 4 por fim, substituindo novamente em (1), obtemos a lei
de Stefan-Boltzmann:
U = σT 4
.
(b) Um pêndulo simples de massa 0,1 kg, está suspenso por um fio de 0,1 m de com-
primento. Considerando o limite de pequenas oscilações, determine a frequência do
pêndulo, sua energia total e compare-a com ∆E = hν.
Resp:No limite de pequenas oscilações temos que a força resultante no pêndulo é
F = −mg sin θ ∼ −mgθ = −mgx/l (5)
Aplicando a segunda lei de Newton:
d2x
dt2
= −gx
l
(6)
Assumindo condições iniciais x(0) = x0 e dxdt (0) = 0, obtemos:
Page 2
x(t) = x0 cos
(√g
l
t
)
(7)
O periodo é simplesmente dado por
√
g
l T = 2π, com isso obtemos a f =
1
2π
√
g
l ≈
1.58s−1.
Para determinar a energia basta somar a energia cinética com a potencial, por exem-
plo, em x = 0, em que só temos energia cinética, asim obtemos:
E =
1
2
mx20
g
l
= 2π2mx20f
2 (8)
Para determinar a energia é preciso conhecer x0. Comparando com a energia quântica
do oscilador harmônico E = hν, notamos que a energia clássica depende da frequen-
cia ao quadrado enquanto a energia quântica depende somente da frequência.
(c) Mostre que a lei de Stefan-Boltzmann está contida na lei de deslocamento de Wien.
Resp: A lei de Wien é uma das aproximações da lei de Planck. No limite de altas
frequênciaa temos a lei de Wien e para baixas frequências temos Rayleigh-Jeans. A
expressão da lei de Wien é:
ρT (λ)−
2hc2
λ5
e−hc/λkT
Vamos mostrar que basta conhecer a lei de Wien para obter a lei de Stefan-Boltzmann.
Para isso, integrando em todos os comprimentos de onda:
RT =
∫ ∞
0
ρT (λ)dλ =
∫ ∞
0
2hc2
λ5
e−hc/λkTdλ
Agora definindo a variável auxiliar x = hc/λkT , temos:
RT = 2hc
2
[
kT
hc
]4 ∫ ∞
0
x3e−xdx
A integral é um número que não depennde de T, assim podemos juntar todas as
contasntes em σ e obter RT = σT 4
(d) A temperatura da superfície do sol é de cerca de 5800 K. Se fizessemos a suposição de
que o sol é um corpo negro radiador, qual seria o comprimento de onda do pico de seu
espectro? Verifique em que região do espectro visível se encotra este comprimento de
onda. (Dica: use a lei de deslocamento de Wien.)
Resp: A temperatura do Sol é T = 5800K. Usando a lei de Wien obtemos que o
comprimento de onda do máximo da distribuição é λm = 4.98 × 10−7m = 498nm,
que está na região visível do espectro eletromagnético (400nm− 700nm).
(e) A medida do comprimento de onda para a qual a radiação R(λ) é máxima indica que
a temperatura da superfície da estrela é 3000 K. Se a potência irradiada pela estrela
é 100 vezes maior que a potência irradiada pelo Sol, qual é o tamanho da estrela?
Dado: temperatura da superfície do Sol = 5800 K? Dica: para um corpo negro R = PA ,
Page 3
onde R é a potência irradiada por unidade, P a potência total irradiada e A a área
do corpo e suponha que as estrelas são corpos negros.
Resp: Sabendo que R = P/A, com RT = σT 4, e que r∗ = 100rsol, obtemos:
R∗
Rsol
=
P∗Asol
PsolA∗
= 100
Asol
A∗
então:
T 4∗
T 4sol
= 100
Asol
A∗
→ A∗ = 1397Asol
Portanto, considerando que a área superficial de uma esfera é A = 4πr2, então:
r∗ = 37, 4rsol.
Page 4