P1 Cálculo Engenharia USP

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USP/ICMC/DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
QUESTÕES NOTAS
1.a PROVA DE SMA0354-CÁLCULO II 18/09/2019 — 08:10 1.a
2.a
NOME: 3.a
N.o USP: TOTAL
1. (Vale 2,0) Para x ∈ [4, b], o volume V (b) e a área da superf́ıcie lateral A(b) do sólido obtido por
rotação do gráfico da função f(x) =
1√
x ln(x)
em torno do eixo Ox são dados por
V (b) =
∫ b
4
πf(x)2 dx e A(b) =
∫ b
4
2πf(x)
√
1 + f ′(x)2 dx .
Passando o limite com b→ +∞, o sólido obtido se parece com uma trombeta ilimitada.
a) Calcule V (b) e lim
b→+∞
V (b).
b) Observando que 2πf(x)
√
1 + [f ′(x)]2 ≥ 2πf(x) ≥ 2π
x
para x ∈ [4,∞), determine o lim
b→+∞
A(b)
e compare o resultado com o item a).
2. Calcule (cada item vale 2, 0):
(a)
∫ 2
0
√
2− x dx (b)
∫
1
(x+ 1)(x2 + 4)
dx (c)
d
dx
(∫ ln(x2+1)
x3
√
2 + cos(t)
t4 + 1
dt
)
3. (Vale 2,0) Calcule a área da região mostrada ao lado que é
limitada pelo eixo x, pelas retas x = 0 e x = π e pela função
y = x sen(x).