Apostila Matematica financeira 4

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MATEMÁTICA FINANCEIRA - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
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DESCONTOS 
 
Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título na 
sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação. 
 
A operação de se liquidar um título antes do seu vencimento envolve geralmente uma 
recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. 
 
Dessa maneira, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um 
título e o seu valor atualizado n períodos antes do seu vencimento. 
 
Por outro lado, valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo 
determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto. 
 
Vamos considerar que: 
 
Valor descontado = A (valor atual após o desconto) 
Valor nominal = N (valor original de resgate) 
Desconto = d 
 
Então temos: 
 
A = N - d 
 
Suponha, por exemplo, que uma empresa tome um empréstimo, a uma determinada taxa de 
juros, para ser pago (N) dentro de 5 meses. Passados 3 meses, a empresa resolve pagar sua 
dívida de forma antecipada. O banco oferece, então, um desconto (D) para que essa 
antecipação ocorra. Dessa forma, a empresa paga ao banco um valor descontado (A). Essa 
operação de desconto pode ser ilustrada em um diagrama do fluxo de capitais (DFC) – 
apresentado na figura abaixo: 
 
 
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Vamos analisar o seguinte exemplo para entender os tipos de descontos existentes. 
 
Uma pessoa tem uma conta de R$ 100,00 para pagar daqui a 60 dias. Essa conta foi calculada 
considerando-se uma taxa de juros de 10% ao mês. Essa pessoa resolve antecipar esse 
pagamento para a data atual. Qual o valor a ser pago? 
 
Raciocínio 1: 
 
Como os juros são de 10% ao mês, o desconto para um mês seria de R$ 10,00 (10% de 100). 
Como são dois meses de antecipação, o desconto seria de R$ 20,00 e o valor a ser pago seria 
de R$ 80,00. 
 
Raciocínio 2: 
 
Vamos achar o valor que hoje (Capital), considerando as condições do problema, nos dá o valor 
futuro de R$ 100,00 (Montante). 
 
Considerando a capitalização de juros simples teríamos: 
 
M = 100 
n = 2 meses 
i = 10% ao mês = 0,1 
C=? 
 
Aplicando a fórmula abaixo: 
 
M = C (1 + i.n) 
 
100 = C (1 + 0,1 x 2) 
100 = C (1,2) 
C = 100 / 1,2 = R$ 83,33 
 
Raciocínio 3: 
 
Considerando a mesma análise do Raciocínio 2, porém utilizando a capitalização de juros 
compostos. 
 
Aplicando a fórmula abaixo: 
 
M = C (1 + i)
n 
 
100 = C (1 + 0,1)
2 
100 = C (1,1)
2
 
C = 100 / 1,21 
C = R$ 82,64 
 
Dependendo do desconto utilizado o benefício será maior para o credor ou para o devedor. 
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As operações de desconto podem ser realizadas tanto no regime de juros simples como no de 
juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto 
prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo. 
 
O desconto utilizado no Raciocínio 1 é chamado de desconto comercial simples (ou bancário 
simples ou “por fora” ou irracional). 
 
O desconto utilizado no Raciocínio 2 é chamado de desconto racional simples (ou “por 
dentro”). 
 
O desconto utilizado no Raciocínio 3 é chamado de desconto racional composto (ou “por 
dentro”). 
 
DESCONTO SIMPLES 
 
O desconto simples é baseado nos conceitos e no ferramental matemático desenvolvido no 
estudo do regime de capitalização de juros simples. 
 
• Desconto comercial simples ou bancário simples ou “por fora” ou irracional 
 
Este tipo de operação é muito utilizado por empresas que necessitam de capital de giro e 
possuem em sua carteira duplicatas originadas por suas vendas a prazo cujo valor só será 
recebido na data do vencimento. Este recebimento pode ser antecipado mediante esta 
modalidade de crédito em que o banco adianta para a empresa o dinheiro de suas vendas a 
prazo. 
 
O desconto comercial simples ou “por fora” é apurado sobre o valor do resgate (valor 
nominal - N). 
 
Exemplos 
 
1 - Suponha que uma empresa tenha emitido um título, com valor nominal (de face) de R$ 
8.500,00, vencível em 10 de dezembro e descontado em 10 de agosto à taxa de 2,5% ao mês. 
Qual será o valor do desconto e o valor atual do título se for adotado desconto comercial 
simples ou “por fora”? 
 
O fluxo de caixa do nosso problema é o seguinte: 
 
 
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No nosso exemplo, estamos fazendo uma antecipação de 4 meses e para cada mês de 
antecipação será concedido um desconto de 2,5% a.m. 
 
Neste método de desconto a taxa incide sobre o valor nominal (N) do título. O valor do 
desconto comercial é calculado através da seguinte fórmula: 
 
d = N.i.n (equivalente à fórmula J = C.i.n) 
 
Para o cálculo do valor atual, vamos aplicar a seguinte fórmula: 
 
A = N - d 
 
Temos: 
 
N = 8.500 
n = 4 meses 
i = 2,5 % a.m = 0,025 
 
Calculando d temos: 
 
d = 8.500 x 0,025 x 4 
d = R$ 850,00 
 
Calculando A temos: 
 
A = 8.500 – 850 = R$ 7.650,00 
 
2 - Determinar a taxa mensal de desconto comercial simples de uma nota promissória 
negociada 90 dias antes da data de seu vencimento, sendo seu valor nominal igual a R$ 
27.000,00 e seu valor líquido na data do desconto de R$ 24.107,14. 
 
Temos: 
 
n = 90 dias = 3 meses 
N = 27.000 
A = 24.107,14 
i = ? 
 
Primeiro temos que calcular o desconto (d) obtido: 
 
Usando a fórmula A = N – d concluímos que d = N – A então: 
 
d = 27.000 – 24.107,14 = 2.892,86 
 
Agora aplicando a fórmula d = N.i.n podemos calcular a taxa mensal de desconto. 
 
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2.892,86 = 27.000 x i x 3 
2.892,86 = 81.000 x i 
i = 2.892,26 / 81.000 
i = 0,0357 = 3,57% a.m. 
 
3 - O Banco do Futuro descontou uma nota promissória por R$ 15.000,00. O banco opera com 
desconto comercial simples e a taxa de desconto é de 27,60 % ao ano. Sabendo que o prazo de 
vencimento da nota promissória é de 5 meses, calcule o valor nominal. 
 
Temos: 
 
A = 15.000 
i = 27,60 % a.a = 27,60 / 12 = 2,3% a.m. = 0,023 
n = 5 meses 
N = ? 
 
Usando as fórmulas d = N.i.n e A = N – d podemos fazer: 
 
A = N – N.i.n ------- Vamos colocar N em evidência 
A = N (1 – i.n) 
 
N = A / (1 – i.n) 
 
Então: 
 
N = 15.000 / (1 – 0,023 x 5) 
N = 15.000 / 0,885 
N = R$ 16.949,15 
 
4 – Qual o prazo de antecipação de um título de valor nominal de R$ 1.200,00 que, descontado 
comercialmente a uma taxa de 9% ao mês, gera um valor de pagamento de R$ 1.056,00? 
 
Temos: 
 
A = 1.056 
N = 1.200 
i = 9% ao mês = 0,09 
n = ? 
 
Primeiramente devemos calcular o desconto que foi dado usando a fórmula: 
 
A = N – d logo d = N – A 
 
d = 1.200 – 1.056 
d = 144 
 
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Agora, aplicando a fórmula d = N.i.n temos: 
 
144 = 1.200 x 0,09 x n 
144 = 108 x n 
n = 144 / 108 
n = 1,333 meses = 1,333 x 30 dias = 40 dias 
 
5 – Qual o desconto comercial simples de uma promissória de valor nominal de R$ 30.000,00, 
descontada à taxa de 4% a.m., oito meses antes do vencimento? 
 
Temos: 
 
N = 30.000 
i = 4% ao mês = 0,04 
n = 8 
d = ? 
 
Aplicando a fórmula d = N.i.n temos: 
 
d = 30.000 x 0,04 x 8 
d = R$ 9.600,00 
 
• Desconto racional ou “por dentro” 
 
Para o cálculo do desconto racional ou “por dentro” deve-se achar o desconto (dr) através da 
fórmula já vista: 
 
dr = N – A 
 
Para o cálculo do valor descontado (A) deve-se usar a seguinte fórmula: 
 
N = A (1 + i.n) (equivalente à fórmula M = C (1 + i.n)) 
 
A partir dessa fórmula concluímos que: 
 
A = N / (1 + i.n) 
 
O desconto racional simples ou “por dentro” é apurado sobre o valor descontado (valor atual 
- A). 
 
Exemplos1 - Suponha que uma empresa tenha emitido um título, com valor nominal (de face) de R$ 
8.500,00, vencível em 10 de dezembro e descontado em 10 de agosto à taxa de 2,5% ao mês. 
Qual será o valor do desconto e o valor atual do título se for adotado desconto racional simples 
ou “por dentro”? 
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Temos: 
 
N = 8.500 
n = 4 meses 
i = 2,5% a.m = 0,025 
 
Para o cálculo de A vamos utilizar a seguinte fórmula: 
 
A = N / (1 + i.n) 
 
A = 8.500 / (1 + 0,025 x 4) 
A = 8.500 / 1,1 
A = R$ 7.727,27 (comparar com o exemplo 1 do Desconto Comercial) 
 
Calculando dr através da fórmula dr = N – A temos 
 
dr = 8.500 – 7.727,27 = R$ 772,73 (comparar com o exemplo 1 do Desconto Comercial) 
 
Obs.: Nas mesmas condições de financiamento, o desconto racional implica em um desconto 
menor do que o desconto comercial. O desconto racional acaba favorecendo o credor. Já 
para o devedor o desconto comercial é mais favorável. 
 
2 - Uma pessoa deseja antecipar o pagamento de uma duplicata com valor nominal de R$ 
100,00 um mês antes do vencimento à taxa de 10 % ao mês. Sabendo que o banco utiliza o 
desconto racional simples, calcule o valor do desconto e o valor líquido do título. 
 
Temos: 
 
N = 100 
n = 1 mês 
i = 10% a.m = 0,1 
 
Para o cálculo de A vamos utilizar a seguinte fórmula: 
 
A = N / (1 + i.n) 
 
A = 100 / (1 + 0,1 x 1) 
A = 100 / 1,1 
A = R$ 90,91 
 
Calculando dr através da fórmula dr = N – A temos 
 
dr = 100 – 90,91 = R$ 9,09 
 
 
 
 
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3 - Determinar a taxa mensal de desconto racional simples de uma nota promissória negociada 
90 dias antes da data de seu vencimento, sendo seu valor nominal igual a R$ 27.000,00 e seu 
valor líquido na data do desconto de R$ 24.107,14. 
 
Temos: 
 
N = 27.000 
n = 90 dias = 3 meses 
A = 24.107,14 
i = ? 
 
Para o cálculo de i podemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
A = N / (1 + i.n) 
 
24.107,14 = 27.000 / (1 + 3i) 
24.107,14 (1 + 3i) = 27.000 
24.107,14 + 72.321,42i = 27.000 
72.321,42i = 27.000 – 24.107,24 
72.321,42i = 2.892,76 
i = 2.892,76 / 72.321,42 
i = 0,04 = 4% ao mês 
 
4 – Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado pelo valor de R$ 50.000,00. 
Sabendo-se que foi aplicado o desconto racional simples à taxa de 60% ao mês, calcular em 
quantos meses o título foi resgatado antes do vencimento. 
 
Temos: 
 
N = 110.000 
n = ? 
A = 50.000 
i = 60% a.m = 0,6 
 
Para o cálculo de n podemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
N = A (1 + i.n) 
 
110.000 = 50.00 (1 + 0,6n) 
110.000 = 50.000 + 30.000n 
30.000n = 110.000 – 50.000 
30.000n = 60.000 
n = 60.000 / 30.000 
n = 2 meses 
 
 
 
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5 – Marcos tem em mãos um título de valor nominal R$ 3.024,00 vencível daqui a 4 meses. 
Necessitando de dinheiro, resolveu descontá-lo hoje e têm duas propostas, ambas com juros 
de 24% ao ano. O Banco A utiliza o desconto racional simples e o Banco B utiliza o desconto 
comercial simples. Qual a diferença do valor do desconto, em reais, entre as duas propostas? 
 
Temos: 
 
N = 3.024 
n = 4 meses 
i = 24% ao ano = 2% ao mês = 0,02 
d = ? 
dr = ? 
 
Precisamos calcular o desconto pelos dois métodos (racional simples e comercial simples). 
 
Para o cálculo do desconto racional temos as seguintes fórmulas: 
 
dr = N – A 
A = N / (1 + i.n) 
 
Primeiramente temos que calcular o valor de A. 
 
A = 3.024 / (1 + 0,02x4) 
A = 3.024 / 1,08 
A = 2.800 
 
Agora vamos calcular o valor de dr. 
 
dr = 3.024 – 2800 = R$ 224,00 
 
Para o cálculo do desconto comercial temos a seguinte fórmula: 
 
d = N.i.n 
 
d = 3.024 x 0,02 x 4 
d = R$ 241,92 
 
Logo, a diferença dos descontos é: 
 
Diferença descontos = 241,92 – 224,00 
Diferença descontos = R$ 17,92 
 
 
 
 
 
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EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS - DESCONTO SIMPLES 
 
1 - Um título no valor nominal de R$ 7.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por 
outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% 
ao mês, qual o valor nominal do novo título, sendo adotado desconto comercial simples? 
 
Neste tipo de problema temos que achar um título equivalente a outro título, aplicando as 
fórmulas de desconto. 
 
O Valor Atual (A) para ambas as situações é o mesmo. Devemos achar o Valor Atual do título 
original e a partir desse valor, acharmos o novo Valor Nominal (N). 
 
Temos: 
 
N1 = 7.000 
n = 5 meses 
N2 = ? 
n = 3 meses 
i = 3% ao mês = 0,03 
 
Temos a seguinte fórmula: 
 
N = A / (1 – i.n) 
 
Onde deduzimos que: 
 
A = N (1 – i.n) 
 
Temos que fazer A1 ser equivalente a A2, sendo que para A2 precisamos calcular o N2, logo: 
 
7.000 (1 – 0,03 x 5) = N2 (1 – 0,03 x 3) 
7.000 (1 – 0,15) = N2 (1 – 0,09) 
7.000 x 0,85 = N2 x 0,91 
N2 = 5.950 / 0,91 
N2 = R$ 6.538,46 
 
2 – Um devedor precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 60.000,00 como prazo de 
vencimento em três meses, e outro de R$ de 200.000,00 com prazo de vencimento em quatro 
meses. O credor cobra juros com taxa igual a 4% ao mês. O devedor, contudo, propõe ao 
credor saldar a dívida, em uma única prestação ao final do sexto mês. Qual o valor nominal do 
novo título? (Desconto comercial simples)? 
 
Temos: 
 
N1 = 60.000 
n1 = 3 meses 
N2 = 200.000 
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n2 = 4 meses 
i = 4% ao mês = 0,04 
N3 = ? 
n3 = 6 meses 
 
Temos que achar o Valor Atual dos dois títulos e considerar esse valor para o cálculo do Valor 
Nominal do novo título a ser pago. 
 
Utilizando a fórmula: 
 
A = N (1 – i.n) 
 
Temos então: 
 
60.000 (1 – 0,04 x 3) + 200.000 (1 – 0,04 x 4) = N (1 – 0,04 x 6) 
60.000 (1 – 0,12) + 200.000 (1 – 0,16) = N (1 – 0,24) 
60.000 x 0,88 + 200.000 x 0,84 = N – 0,24N 
52.800 + 168.000 = 0,76N 
N = 220.800 / 0,76 
N = R$ 290.526,32 
 
3 – Temos um título de valor R$ 100,00 para vencer em 2 meses e desejamos antecipá-lo com 
um título para 1 mês. Sabendo que o desconto é comercial simples e a taxa é de 10% ao 
mês, qual o valor do novo título? 
 
Temos: 
 
N1 = 100 
n1 = 2 meses 
N2 = ? 
n2 = 1 mês 
i = 10% ao mês = 0,1 
 
Utilizando a fórmula: 
 
A = N (1 – i.n) 
 
Temos então: 
 
100 (1 – 0,1 x 2) = N (1 – 0,1 x 1) 
100 (1 – 0,2) = N (1 – 0,1) 
100 x 0,8 = N – 0,1N 
80 = 0,9N 
N = 80 / 0,9 
N = R$ 88,89 
 
 
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4 - Um título de R$ 200.000,00 para 45 dias vai ser substituído por outro com vencimento para 
65 dias. Considerando um desconto comercial simples de 4% a.m., qual o valor nominal do 
novo título? 
 
Temos: 
 
N1 = 200.000 
n1 = 45 dias 
N2 = ? 
n2 = 65 dias 
i = 4% ao mês = 4 / 30 = 0,133% ao dia = 0,00133 
 
Utilizando a fórmula: 
 
A = N (1 – i.n) 
 
Temos então: 
 
200.000 (1 – 0,00133 x 45) = N (1 – 0,00133 x 65) 
200.000 (1 – 0,05985) = N (1 – 0,08645) 
200.000 x 0,94015 = N – 0,08645N 
188.030 = 0,91355N 
N = 188.030 / 0,91355 
N = R$ 205.823,44 
 
5 - Uma nota promissória de valor nominal R$ 3.000,00 vence daqui a 3 meses, porém seu 
pagamento será adiado por mais 2 meses. Determine o valor do novo pagamento, 
considerando como data de referência (focal) a data zero, com taxa de 3% a.m. e desconto 
comercial simples. 
 
Temos: 
 
N1 = 3.000 
n1 = 3 meses 
N2 = ? 
n2 = 3 meses + 2 meses = 5 meses 
i = 3% ao mês = 0,03 
 
Utilizando a fórmula: 
 
A = N (1 – i.n) 
 
Temos então: 
 
3,000 (1 – 0,03 x 3) = N (1 – 0,03 x 5) 
3.000 (1 – 0,09) = N (1 – 0,15) 
3.000 x 0,91 = N x 0,85 
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2.730 = 0,85N 
N =2.730 / 0,85 
N = R$ 3.211,76 
 
DESCONTO COMPOSTO 
 
Para o cálculo do desconto racional composto ou “por dentro” deve-se achar o desconto (dr) 
através da fórmula já vista: 
 
dr = N – A 
 
Para o cálculo do valor descontado (A) deve-se usar a seguinte fórmula: 
 
N = A (1 + i)
n
 (equivalente à fórmula M = C (1 + i)
n
) 
 
A partir dessa fórmula concluímos que: 
 
A = N / (1 + i)
n 
 
Exemplos 
 
1 - Uma duplicata de R$ 24.500,00, com 75 dias a decorrer até o seu vencimento, foi 
descontada pelo método do desconto composto racional em um banco à taxa de 3,5% ao mês. 
Calcular o valor líquido creditado na conta do cliente. 
 
Temos: 
 
N = 24.500 
n = 75 dias = 2,5 meses 
i = 3,5% ao mês = 0,035 
A = ? 
 
Utilizando a fórmula: 
 
A = N / (1 + i)
n
 
 
A = 24.500 / (1 + 0,035)
2,5 
A = 24.500 / 1,08981 
A = R$ 22.480,98 
 
2 - Uma empresa possui uma duplicata em seu departamento de contas a receber com 
vencimento programado para 120 dias e valor nominal igual a R$ 36.000,00. Se a empresa 
descontasse essa duplicata racionalmente a uma taxa de juros compostos igual a 5% ao mês, 
qual seria o valor líquido recebido? 
 
 
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Temos: 
 
N = 36.000 
n = 120 dias = 4 meses 
i = 5% ao mês = 0,05 
A = ? 
 
Utilizando a fórmula: 
 
A = N / (1 + i)
n
 
 
A = 36.000 / (1 + 0,05)
4 
A = 36.000 / 1,2155 
A = R$ 29.617,44 
 
3 – Achar o valor de um título resgatado três meses antes do seu vencimento por R$ 
2.940,00, a uma taxa de desconto composto de 1,4% ao mês. 
 
Temos: 
 
N = ? 
n = 3 meses 
i = 1,4% ao mês = 0,014 
A = 2.940 
 
Utilizando a fórmula: 
 
N = A (1 + i)
n
 
 
N = 2.940 (1 + 0,014)
3 
N = 2.940 x 1,0426 
N = R$ 3.065,24 
 
4 - Um título de valor nominal igual a R$ 18.522,00 vencerá daqui a 3 trimestres. Sabe-se que 
ele será resgatado antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto, a 
uma taxa de juros de 5% ao trimestre. 
Supondo-se que a primeira opção será resgatar o título 2 trimestres antes do vencimento e a 
segunda opção será resgatar o título 1 trimestre antes do vencimento, o valor de resgate do 
título referente à segunda opção supera o valor de resgate do título referente à primeira 
opção, em quanto? 
 
 
 
 
 
 
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Temos: 
 
N = 18.522 
n1 = 2 trimestres 
n2 = 1 trimestre 
i = 5% ao trimestre = 0,05 
A1 = ? 
A2 = ? 
 
Utilizando a fórmula: 
 
A = N / (1 + i)
n
 
 
A1 = 18.522 / (1 + 0,05)
2 
A1 = 18.522 / 1,1025 
A1 = R$ 16.800,00 
 
A2 = 18.522 / (1 + 0,05)
1 
A2 = 18.522 / 1,05 
A2 = R$ 17.640,00 
 
A2 – A1 = 17.640,00 – 16.800,00 = R$ 840,00 
 
5 – Que taxa de desconto composto sofreu um título de R$ 20.000,00 que, pago 5 meses antes 
do prazo, se reduziu a R$ 14.950,00? 
 
Temos: 
 
N = 20.000 
n = 5 meses 
i = ? 
A = 14.950 
 
Utilizando a fórmula: 
 
N = A (1 + i)
n 
 
20.000 = 14.950 (1 + i)
5 
20.000 / 14.950 = (1 + i)
5 
1,33779 = (1 + i)
5
 ----------� Aplicando a radiciação (raiz quinta) 
1,33779
1/5
 = 1 + i 
1,0599 = 1 + i 
i = 1,0599 – 1 = 0,0599 = 5,99% ao mês 
 
 
 
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6 - Murilo deve a Gabriel os seguintes valores: R$ 50.000,00 com vencimento para 30 dias e R$ 
70.000,00 com vencimento em 150 dias. Sentindo que não poderá pagar essas quantias nas 
datas previstas, propõe a seu credor o pagamento total da dívida daqui a 4 meses. Calcule de 
quanto deverá ser esse pagamento, se foi combinada a taxa de juros compostos de 2% a.m. 
 
Situação 1 
 
C = 50.000 
n = 30 dias = 1 mês 
 
O pagamento será adiado para 4 meses após a data atual. Como o primeiro pagamento seria 1 
mês da data atual, o novo pagamento será feito três meses após o combinado, logo o novo 
valor de n será 3. 
 
C = 50.000 
n = 3 meses 
i = 2% ao mês = 0,02 
M = ? 
 
Utilizando a fórmula: 
 
M = C (1 + i)
n 
 
M = 50.000 (1 + 0,02)
3
 
M = 50.000 x 1,06121 
M = R$ 53.060,50 
 
Situação 2 
 
N = 70.000 
n = 150 dias = 5 meses 
 
O pagamento será adiado para 4 meses após a data atual. Como o segundo pagamento seria 5 
meses a data atual, o novo pagamento será feito um mês antes do combinado, logo será dado 
um desconto e o novo valor de n será 1. 
 
Utilizando a fórmula: 
 
A = N / (1 + i)
n
 
 
A = 70.000 / (1 + 0,02)
1
 
A = 70.000 / 1,02 
A = R$ 68.627,45 
 
Valor a ser pago = R$ 53.060,50 + R$ 68.627,45 = R$ 121.687,05