APOSTILA_CDI_2_INTEGRAIS

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2 
 
PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS DERIVADAS 
 
Nesta tabela, f, g, u e v são funções deriváveis de x, e k, a e n são constantes 
 
1) [ k ] ’ = 0 
 
2) [ x ] ’ = 1 
 
3) [ k . f ] ’ = k. f ’ 
 
4) [ f  g] ’ = f ’  g ’ (sendo válida para mais de duas funções) 
 
5) [ f . g] ’ = f ’ . g + f . g ’ 
 
6) [ x n ] ’ = n . x n -1 
 
7) [ u n ] ’ = n . u n – 1 . u ’ 
 
8) 
2
' 
g
' g f - g ' f
 

=





g
f
 
 
9) [ a u ] ’ = a u . ln a . u ' (para a > 0 e a  1) 
 
10) [ e u ] ’ = u ' . eu 
 
11) [ ualog ] ’ = 
aln u 
' 

u
 (para a > 0 e a  1e u > 0) 
 
12) [ u ln ] ’ = 
u
' u
 (para u > 0) 
 
13) [ vu ] ’ = ' vu ln u 'u u v v1-v + (para u > 0) 
 
14) [ sen u ] ’ = u ’ . cos u 
 
15) [ cos u ] ’ = - u ’ . sen u 
 
16) [ tg u ] ’ = u ’ . sec2 u 
 
17) [ cotg u ] ’ = - u ’ . cossec2 u 
 
18) [ sec u ] ’ = u ’ . sec u . tg u 
 
19) [ cossec u ] ’ = - u ’ . cossec u . cotg u 
 
20) [ arc sen u ] ’ = 
u'
1 - u 2
 
 
21) [ arc tg u ] ’ = 
2u + 1
' u
 
 
22) [ arc cos u ] ’ = 
2u - 1
'u
− 
 
23) [ arc cotg u ] ’ = 2u + 1
'u
− 
 
24) [ arc sec u ] ’ = 
1 - u u
'
2
u
 
 
 
3 
25) [ arc cossec u ] ’ = 
1 - u u
'
 2
−
u
 
 
4 
PRINCIPAIS REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
(Neste quadro, u e v são funções deriváveis de x. Por outro lado, k, a, m e n são constantes.) 
 
FUNÇÃO DERIVADA 
1. ky = com k 0'=y 
2. xy = 1'=y 
3. uky = com k '' uky = 
4. vuy = ''' vuy = 
5. muuuuy = ...321 com 
*Nm  '...'''' 321 muuuuy = 
6. nuy = com n ''
1 uuny n = − 
7. vuy = ''' vuvuy += 
8. muuuuy = ...321 com 
*Nm  '.........'...'' 321321321 mmm uuuuuuuuuuuuy +++= 
9. 
v
u
y = )0( v 
2
''
' 
v
vuvu
y
−
= 
10. uay = com )10(  aea aauy u ln'' = 
11. uey = ueuy = '' 
12. ualogy = com )0,10(  uaea 
aln u
' 
 ' 

=
u
y 
13. uy ln= com 0)(u  
 
u
' u
 ' y = 
14. vuy = com 0)(u  u ln vu ' v 'u 1-vu v ' +=y 
15. useny = uuy cos'' = 
16. uy cos= usenuy −= '' 
17. utgy = uuy 2sec'' = 
18. ugy cot= uuy 2seccos'' −= 
19. uy sec= utguuy = sec'' 
20. uy seccos= uguuy cotseccos'' −= 
21. usenarcy = 
 
 u - 1
'
'
2
u
y = 
22. uarcy cos= 
 
 u - 1
'
'
2
u
y −= 
23. utgarcy = 
 2u + 1
' 
'
u
y = 
 
 
• Definição de Derivada geral: 
x
xfxxf
x
y
dx
df
dx
dy
xfy
xx 
−+
=


====
→→
)()(
limlim)( ' ' 
00
 
 
• Definição de Derivada em um ponto p: 
px
)p(f)x(f
lim (p)' f
px −
−
=
→
 
 
• Velocidade Instantânea: )(' lim
0
ts
dt
ds
t
s
v
t
i ==


=
→
 
 
• Aceleração Instantânea: )('' (t)' lim
0
tsv
dt
dv
t
v
a
t
i ===


=
→
 
 
• Equação da reta tangente: )()(')( pxpfpfy −=− Normal: )(
)('
1
)( px
pf
pfy −−=− 
• Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
= 
• Derivada da função 
inversa: 
dx
dy
dy
dx
= 1 
 
5 
FÓRMULAS E PROPRIEDADES DE INTEGRAIS 
 
1)  = dx )(kdx )( xfxfk 
2)  = dx )(dx )(dx )]()([ xgxfxgxf (sendo válida para mais de duas funções) 
3) k
n
nx
x +
+
+
= 1
1
dx n (para 1−n ) 
4) k
x
x |x| lndx 
1
dx 1 - +== (para 0x ) 
5) 





=+
+
+
+
=
-1n se , |x|ln 
-1n se ,
1
1
dx n
k
k
n
nx
x (resumindo as fórmulas (3) e (4)) 
6) kx += dx (caso particular da fórmula (3)) 
7) k
u
u
 |u| lndu 
' 
+= (extensão da fórmula (4)  += kuduu
ln
1
) 
8) kee x += dx 
x ou kedue uu += 
9) k
e
e += 


.x
.x dx (consequência da fórmula (8)) 
10) k
a
a += a ln
dx 
x
x ( caso geral da fórmula (8)) 
11) kee u += du u'
u (extensão da fórmula (8)) 
12) ku += cos- duu sen 
13) ku += sen duu cos 
14) k |u cos|ln-duu tg += 
15) k |u sen |ln dxu cotg += 
16) k u tgduu sec2 += 
17) k u cotg-duu cossec2 += 
18) k u sec dxu tgu sec += 
19) k ucossec-duu cotgu cossec += 
20) k
u
 u tgarc du 
1
1
2
+=
+
 
21) k
au
 
a
u
 tgarc 
1
du 
a
1
22
+=
+
 (extensão da fórmula (20)) 
22) k
u
 usen arc du 
1
1
2
+=
−
 
23) k
u
 
a
u
sen arc du 
a
1
22
+=
−
 (extensão da fórmula (22)) 
24) kaxdx
ax
+−=
−
||ln
1
 
25)  ++= kutguduu |sec|lnsec 26)  du sec
3 u =   kutguutgu +++ | sec|ln sec
2
1
 
 
27) Fórmulas de recorrência: Guidorizzi (2005) vol.1, pág 387, ex.4. 
 
6 
PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS 
 
1)  = du )(du )( ufkufk 
2)  = du )(du )(du )]()([ ugufuguf (sendo válida para mais de duas funções) 
3) k
n
nu
u +
+
+
= 1
1
du n (para 1−n ) 
4) k
u
u |u| lndu 
1
du 1 - +== (para 0u ) 
5) 





=+
+
+
+
=
-1n se , |u|ln 
-1n se ,
1
1
du n
k
k
n
nu
u (resumindo as fórmulas (3) e (4)) 
6) kedue uu += 
7) k
a
a += a ln
du 
u
u 
8) ku += cos- duu sen 
9) ku += sen duu cos 
10) k |u cos|ln-duu tg += 
11) k |u sen |ln dxu cotg += 
12) k u tgduu sec2 += 
13) k u cotg-duu cossec2 += 
14) k u sec dxu tgu sec += 
15) k ucossec-duu cotgu cossec += 
16) k
u
 u tgarc du 
1
1
2
+=
+
 e k
u
 
a
u
 tgarc 
a
1
du 
a
1
22
+





=
+
 
17) k
u
 usen arc du 
1
1
2
+=
−
 e k
u
 
a
u
sen arc du 
a
1
22
+





=
−
 
18)  ++= kutguduu |sec|lnsec e  +++= kutguutguduu ]|sec|ln[sec2
1
sec3 
19)  = du v- vu dvu (integração por partes) 
20) kaxdx
ax
+−=
−
||ln
1
 
 
• Algumas aplicações das integrais: 
 








+=+=
==
==



dy )]('[1oudx )]('[1ArcodeoCompriment
dy )]([Voudx )]([VVolume
dy )(oudx )(Área
22
22
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
yfCxfC
yfxf
yfAxfA
 
 
• 1cos
22 =+ sen  2cos
2
1
2
1
cos2 += 
22 sec1 =+ tg 
 
 
7 
DEFINIÇÕES E FORMULÁRIO DE REVISÃO 
 
• Definição de Derivada geral: 
x
xfxxf
x
y
dx
df
dx
dy
xfy
xx 
−+
=


====
→→
)()(
limlim)( ' ' 
00
 
 
 
• Definição de Derivada em um ponto p: 
px
)p(f)x(f
lim (p)' f
px −
−
=
→
 
 
1) Equação da Reta Tangente: p)-(x (p) ' )( =− fpfy 
 
• Equação da Reta Normal: )(
)(p' 
1
)( px
f
pfy −−=− 
 
• Velocidade Instantânea: )(' lim
0
ts
dt
ds
t
s
v
t
i ==


=
→
 
 
• Aceleração Instantânea: )('' (t)' lim
0
tsv
dt
dv
t
v
a
t
i ===


=
→
 
 
• Variação da Função: 






=

0 (x) ' f edecrescent Função
0 (x) ' f constante Função
0 (x) ' f crescente Função
 
 
• Concavidade da Função: 





0 (x) '' f baixo para Voltada
0 (x) '' f cima para Voltada
 
 
• Ponto de máximo local: 0)(''0)(' = xfexf 
 
• Ponto de mínimo local: 0)(''0)(' = xfexf 
 
• Ponto de inflexão: 0)('''0)('' = xfexf 
 
• Regra da Cadeia: 
( ) ( )





=
=
dx
du
du
dy
dx
dy
xgxgfxgf )(')(']')([
 
 
• Regra de L’Hospital: 
)('
)('
lim
)(
)(
lim
0
0
xg
xf
xg
xf
px
ou
px →


→
= 
 
• Derivada da função inversa: 
dy
dxdx
dy 1
= 
 
• Derivação Implícita: 
dy
dF
dx
dF
dx
dy
yxF
−
== 0),( 
 
8 
 
• Primitivas ou Antiderivadas:  =+= )( f(x)(x) ' Fk F(x) dx )( fDomxxf 
 
• Teorema Fundamental do Cálculo (TFC): )()()]([ )( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−== onde 
bxaxfxF = ),()(' 
 
 
A integral definida significa, geometricamente, a medida da área da superfície limitada pelo gráfico da 
curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b. =
b
a
dxxf )(Área 
 
• Integrais aplicações:









=
==
==
==



FerraudoeRighettoVer
xf
tvd
xfA
b
a
b
a
b
a
Revolução de Superfície da Área
dx )]([VVolume
dt )(Distância
dx )(Área
2
 
 
• Aplicação Física: 




==
==


)( ' )( pois ,dt )()(
)( ' )( pois ,dt )()(
tvtatatv
tstvtvts
 
Nota: As constantes serão determinadas pelas condições iniciais. 
 
• Integrais por partes:





=
=


du v- vu dvu
ou
dx g(x)(x)'f - g(x) f(x) dx (x)'gf(x)
 
 
• Integração por frações parciais: Seja  −−
dx
xx
xP
)()(
)(

, com   e P(x) um polinômio. 
Então: 
 
1) Se o grau de P for estritamente menor que o grau do denominador (grau de P < 2), então: 
)()()()(
)(
 −
+
−
=
−− x
B
x
A
xx
xP
 
 e, assim, 
 −−
dx
xx
xP
)()(
)(

= kxBxA ||ln||ln +−+−  
 
Resumindo: Com  nm,,,,  , temos: 
 
kxBxAdx
x
B
dx
x
A
dx
xx
nmx
+−+−=
−
+
−
=
−−
+
 ||ln||ln)()(


 
 
2) Se o grau de P for maior ou igual ao do denominador, precisamos antes fazer a divisão. 
 
 
9 
• ALGUMAS FÓRMULAS ÚTEIS EM CIRCUITOS E MEDIDAS: 
 
 TENSÃO CORRENTE POTÊNCIA 
 
RESISTÊNCIA 
iRv = 
R
v
i = 
Riivp == 2 
 
INDUTÂNCIA 
dt
di
Lv = = dtvL
i
1
 
dt
di
iLivp == 
 
CAPACITÂNCIA = dtiC
v
1
 
dt
dv
Ci = 
dt
dv
vCivp == 
 
• POTÊNCIA MÉDIA: =
T
dtp
T
P
0
1
 onde T é o período e 


2
1
==
T
f 
 
• ENERGIA: =
2
1
t
t
dtpW ou 
T
tW
P

= 
 
• ALGUMAS APLICAÇÕES DO CDI-1 À FÍSICA 
 tvss
tt
ss
t
s
v
t
+=
−
−
=


=
=
0
0
0
0
0
 e tavv
tt
vv
t
v
a
t
+=
−
−
=


=
=
0
0
0
0
0
 
 
 Se tavv += 0 e em ,0=t temos ,0ss = então: 
 
2
00
2
00
2
1
2
1
)(
0
tatvsskattvdttavs
sk
++=++=+=
=
 
 
• Pesquisar: Trabalho e Resistência dos Materiais: Momento fletor e esforço cortante 
 
- SÉRIE DE TAYLOR: Seja f derivável até a ordem n no intervalo I e seja x0  I. O polinômio 
 
nn xxxf
n
xxxfxxxfxxxfxfxP )()(
!
1
...)()('''
!3
1
)()(''
!2
1
)()(')()( 00
)(3
00
2
00000 −++−+−+−+= 
 
denomina-se polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de x0. 
 
 
• Definição de limites:  −−==
→
|)(|0||0/)(,0)(lim
px
LxfpxseLxf 
 
• Limites especiais: 1) 1lim
0
=
→ x
xsen
x
 2) e
x
x
x
=





+
+→
1
1lim  e
x
x
x
=





+
−→
1
1lim e ( ) ex x
x
=+
→
1
0
1lim 
 
• CONTINUIDADE: f é contínua em x = p )()(lim pfxf
px
=
→
 
 
• Fourier: Pesquisar 
 
• Laplace: Pesquisar 
 
 
 
10 
• FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, com a  0 
 
1) 
2
 x: temos,4b doconsideran e 0 22
a
b
cacxbxaSe

−
=−==++ 
2) 
xx
xx
: temos0 
21
21
2






−=+
=
=++
a
b
a
c
cxbxaSe 
 
3) )()( 21
2 xxxxacxbxa −−=++ 
 
4) Vértice da parábola: V(xv, yv), onde: 
2
 x x
 
2
x 21V
+
=

−=
a
b
e 
a

−=
4
yV 
 
5) Decomposição de polinômios: )(...)()()()( 321 nn rxrxrxrxaxP −−−−= 
 
6) Fatorações especiais: )...()( 122321 −−−−− +++++−=− nnnnnnn aaxaxaxxaxax 
 
• MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO: 



−

=
0 xse x,
0 x se x,
 || x 
 
• SOMATÓRIO: n
n
i
i xxxx +++=
=
...21
1
 
 
• GEOMETRIA ESPACIAL 
 
 Prisma: 




=
+=
AlturaBasedaÁreaVolume
BasedaÁreaLateralÁreaTotalÁrea 2
 
 
 Cilindro: 





=
+=
==
hrVolume
LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea
hrLateralÁrearBaseÁrea
2
2
;2
2;


 
 
 Cone: 







=
+=
==
hrVolume
LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea
grLateralÁrearBaseÁrea
2
2
3
1
;
;


 
 
 Esfera: 





=
=
3
2
3
4
4
rVolume
rÁrea


 
 
 
 
 
 
 
 
11 
• FUNÇÃO EXPONENCIAL: 1a 0 a ay
x = e, 
 
 
• Propriedades das potências: 
 
1) 
n termos
 x ... x = xxn 2) 
nmnm xxx =+ 3) 
n
m
nm
x
x
x =− 
 
4) 
1
n
n
x
x =− 5) nmm xx = )( n 6) n
m
n m xx = 
 
7) )0(10 = aa 
 
• FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 











+==
=
+→
..2,7182818.
1
1lim e :onde ,log x ln
,log
x
x
x
e
x
a
x
0 x e 1a e 0 a y
 
 
• Propriedades logarítmicas: 
1) ( ) ( ) ( )B log A log BA log aaa += 2) ( ) ( )B log A log 
B
A 
 log aaa −=





 
 
2) ( ) ( ) A log n A log n aa = 4) base) de mudança como (conhecida 
B log
A log
 log
a
a=A
B
 
 
5) xa
x
a =
log
 e por consequência xe
x =ln 
 
• GEOMETRIA ANALÍTICA: 
 
1) Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares forem 
iguais, isto é: 
 
sr mmsr =// 
 
2) Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes 
angulares for igual a menos um, isto é: 
 
1 −=⊥ sr mmsr ou 
r
s
m
msr
1
 −=⊥ 
 
 
• A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r é 
dado por: 222 )()( ryyxx cc =−+− . 
 
• Considerando a circunferência com centro na origem, 
temos: 222 )0()0( ryx =−+−  222 ryx =+ . 
 
 
 
22 xry −=
 
2) Equação fundamental da reta: )x-(x p=− myy p , onde 
x
y
tgm


== 
 
12 
TRIGONOMETRIA - Definições, Relação Fundamental e Algumas Consequências: 
 
1) 
hip
co
hipotenusa
oposto cateto
==sen 2) 
hip
ca
hipotenusa
adjacente cateto
cos == 
 
3) 
ca
co
adjacente cateto
oposto cateto
==tg ou 



cos
sen
tg = 4) 



sen
g
cos
cot = ou 


tg
g
1
cot = 
 
5) 


cos
1
sec = 6)


sen
1
 cossec = 
 
7) 1 cos 22 =+ sen 8)  22 s tg 1 ec=+ 
 
9)  22 secctg1 osco =+ 
 
10) Soma de arcos: 







+=−
−=+
−=−
+=+
bsen asen b cos a cos)(cos
bsen asen b cos a cos)(cos
a cosbsen b cos a )(
a cosbsen b cos a )(
ba
ba
senbasen
senbasen
 
 
11) Arcos duplos: 



=
−=


cossen2 2
 cos 2cos 22
sen
sen
 
 
 
12) Relação fundamental trigonométrica e consequências: 




=−=−
=+


2222
22
cos1cos1
1cos
senesen
sen
 
 
13) Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos: 






−=
+=


2cos
2
1
2
1
2cos
2
1
2
1
cos
2
2
sen
 
 
14) Transformação de soma em produto: 


















 −





 +
−=−





 −





 +
=+





 +





 −
=−





 −





 +
=+
2
 
2
 2coscos
2
 cos 
2
 cos2coscos
 
2
 cos 
2
 2
 
2
 cos 
2
 2
qp
sen
qp
senqp
qpqp
qp
qpqp
senqsenpsen
qpqp
senqsenpsen
 
 
 
15) Lei dos Senos e Lei do Cossenos: 





−+=
==
Acbcba
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
ˆcos2
ˆˆ
222

 
 
13 
PRIMITIVAS 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Em muitos problemas, embora a derivada de uma função seja conhecida, torna-se necessário 
determinar a própria função. 
 
É o caso dos seguintes exemplos: 
 
• Um sociólogo que, conhecendo a taxa de crescimento da população, poderá usar tal dado para 
prever futuras taxas de crescimento daquela população; 
• Um físico que, conhecendo a velocidade de um corpo, será capaz de determinar a posição 
futura do corpo; 
• Um economista que, conhecendo a taxa de inflação, poderá fazer estimativas de preço, no 
futuro; 
• Entre outros. 
 
Ao processo de determinação de uma função a partir de sua derivada dá-se o nome de cálculo das 
primitivas ou integração. 
 
 
2. DEFINIÇÃO 
 
Uma função F(x) para a qual F ’ (x) = f(x) para todo x pertencente ao domínio de f é uma primitiva 
(ou integral indefinida) de f. 
 
Exemplo: 
1) Mostre que F(x) = 25
3
1 3 ++ xx é uma primitiva de f(x) = x2 + 5 
Solução: F(x) é uma primitiva de f(x)  F ’ (x) = f(x). Assim, derivando F(x), temos: 
 
 F ’ (x) = x2 + 5 = f(x) 
 
3. PRIMITIVA GENÉRICA DE UMA FUNÇÃO 
 
 
Uma função possui mais de uma primitiva. Por exemplo, F(x) = x3 é uma primitiva da função 
f(x) = 3x2, pois F ’ (x) = 3x2 = f(x). Da mesma forma, G(x) = x3 + 12 também é uma primitiva de f(x), 
pois a derivada da constante 12 é zero e G ’ (x) = 3x2 = f(x). 
 
Em geral, se F for uma primitiva de f, qualquer função obtida ao acrescentarmos uma constante a F 
também será uma primitiva de f. Na realidade, podemos obter todasas primitivas de f somando 
constantes a qualquer primitiva de f. 
 
Assim, se F e G forem primitivas de f, existe uma constante k tal que: G(x) = F(x) + k 
 
4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
 
Existe uma explicação geométrica simples para o fato de duas primitivas quaisquer de uma função 
diferirem entre si de um valor constante. Se F for uma primitiva de f, então F ’ (x) = f(x). Isto significa 
que, para cada valor de x, f(x) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de F(x). Se G for 
outra primitiva de f, o coeficiente angular de sua reta tangente também é f(x). Logo, o gráfico de G é 
“paralelo” ao gráfico de F e pode ser obtido transladando-se verticalmente o gráfico de F. Assim, 
existe uma constante k, tal que G(x) = F(x) + k. A figura a seguir ilustra esta situação para várias 
primitivas da função f(x) = 3x2. 
 
 Figura: Alguns exemplos das primitivas de 3x2 
y = x3 + k 
 
14 
5. NOTAÇÃO DE INTEGRAÇÃO 
 
Costuma-se escrever: kxFdxxf += )( )( para exprimir o fato de toda primitiva de f(x) ser da forma 
F(x) + k. 
 
Por exemplo, para expressar o fato de toda primitiva de 3x2 ser da forma x3 + k, escrevemos: 
 
 += kxdxx
323 
 
O símbolo  chama-se sinal de integração e indica que queremos encontrar a forma mais genérica 
da primitiva da função que o segue. O sinal de integração lembra um “S” alongado, que representa 
“SOMA”. Veremos, uma relação tão importante entre derivadas e somas, que recebe o nome de 
Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
Na expressão  += k F(x) dx )(xf , a função f(x) a ser integrada denomina-se integrando. A constante 
k (não especificada), acrescentada a F(x) a fim de tornar mais genérica a expressão da primitiva, 
denomina-se constante de integração. 
O símbolo dx que segue o integrando serve para indicar que x é a variável em relação a qual 
efetuaremos a integração. 
 
Definição da integral indefinida (ou primitiva) utilizando a notação de integral 
 
 =+= Dom(f) x f(x), (x) ' F k F(x) dx )(xf 
 
6. REGRAS DE INTEGRAÇÃO 
 
A integração é a operação inversa da diferenciação. Logo, podemos formular várias regras de 
integração partindo das correspondentes (porém no sentido inverso) regras de diferenciação 
(derivadas). 
 
6.1 REGRAS DA POTÊNCIA PARA INTEGRAÇÃO 
 
Segundo a regra de potencia: 1−=



 nxnnx
dx
d
, ou seja, para derivar uma função potência, retiramos 
uma unidade do expoente e multiplicamos o expoente original pela função elevada ao novo expoente. 
Enunciando esta regra no sentido inverso, teremos que, para integrar uma função potência, devemos 
aumentar seu expoente de uma unidade e dividir o resultado pela nova potência. 
 
Segue-se um enunciado mais preciso da regra. Para 1−n ,  +
+
+
= knxnx 1
1n
1
 dx 
 
ou seja, para integrar 
nx ( 1−n ), aumenta-se o expoente de uma unidade, e divide-se a função 
elevada ao novo expoente por este novo expoente. 
 
Para comprovar esta regra, basta observar que: 
nxnx
n
nnx
ndx
d
=
+
+
=




 +
+ 1
11
1
1
 
 
 
 
 
 
15 
 
Exemplos: 
1) Calcule as integrais 
a)  +=++
=
+
k
x
k
x
dxx
413
413
3 b)   +=+=+
+
==
+
kxk
x
k
x
dxdxx 2
32
3
1
2
1
2
1
3
2
2
3
1
2
1
 x 
c) kxk
x
k
x
dxx +=+=+=
+
+
3
5
3
5
3
5
1
3
2
1 
3
2
3
2
 .
5
3
 d)    +=+=++
===
+
kxk
x
k
x
dxdxdx
110
 x 1 
110
0 
e)   +=+=+
+−
==
+−
−
kxk
x
k
x
dxxdx
x
2
2
1
1
2
1
1 2
1
1
2
1
2
1
 
A regra da potência vale para todos os valores de n, à exceção de n = - 1 (caso em que 
1 
1
+n
 é 
indefinido). 
 
6.1.1. Como determinar uma primitiva de x–1 
Precisamos determinar uma função cuja derivada é 
x
1
. O logaritmo natural ln x é a tal função, logo 
 += k x ln
1
dx
x
. Na realidade, isto só é válido quando x for positivo, pois ln x não é definido para 
valores negativos de x. Quando x é negativo, segue-se que ln |x| é a primitiva de 
x
1
, pois, sendo x 
negativo, |x| = - x e 
x
1
x-
1-
 x)](- [ln|]x| [ln ===
dx
d
dx
d
. 
 
Quando x é positivo, segue-se que ln |x| é a primitiva de 
x
1
, pois sendo x positivo, |x| = x e 
x
1
 x][ln|]x| [ln ==
dx
d
dx
d
. 
Assim, a integral de 
x
1
 é dada por: k |x| ln
1
+= dxx
. 
 
6.2. INTEGRAL DE ex 
 
A integração da função exponencial ex é trivial, pois ex é sua própria derivada. Assim, 
 
 += k
xedxxe 
 
6.3. REGRAS DA CONSTANTE MULTIPLICADA E DA SOMA 
 
É fácil rescrever as regras de derivação para soma e constante multiplicada e transformá-las em regras 
de integração para estes casos. 
 
6.3.1 Regra da constante multiplicada para integrais 
 
Para qualquer constante k, 
 = dxxfkdxk )(f(x) 
 
 
ou seja, a integral de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela 
integral da função. 
 
16 
6.3.2. Regra da soma para integrais 
 
 
 +=+ dxxgdxxfdx )()( g(x)]f(x)[ 
 
 
ou seja, a integral da soma é a soma de cada uma das integrais. 
 
Exemplo: 
1) Calcule as integrais 
a)   +== k5x1dx5 dx 5 
b)   ++=+++=+=+ ke
x
kek
x
dxedxxdxex xxxx
33
][
3
21
3
22 
c) kxxek
x
xedxxdx
x
dxedxx
x
e xxxx +−+=+−+=−+=





−+  
3
3
22
6
1
||ln23
32
1
||ln23
2
11
23
2
12
3 
 
 
Nota: pelo exemplo c, temos que ao invés de adicionarmos uma constante a cada uma das 3 primitivas, 
basta adicionar apenas uma constante k ao final do resultado encontrado. 
 
6.4 INTEGRAIS DE PRODUTOS E QUOCIENTES 
 
Não existem regras gerais de integração de produtos e quocientes. Ocasionalmente, conseguiremos 
exprimir um produto ou um quociente de uma forma integral, com o auxílio das regras já apresentadas. 
 
Exemplos: 
1) Calcule dx
x
xx
 
523
3
5

−+
 
Fazendo a divisão indicada, temos: 322
333
5
3
5
523
523523 −− −+=−+=
−+
xxx
xx
x
x
x
x
xx
 
Assim, 
 
   =+−
−
−
+=−+=−+=
−+ −−−−−− k
xxx
dxxdxxdxxdxxxxdx
x
xx
2
.5
1
2
3
3523 ]523[
523 213322322
3
5
 
k
xx
x ++−=
2
3
2
52
 
2) Calcule dx
x
x
 
2
83
 −
−
 
Fazendo a divisão indicada, temos : 
0 
84
84 
42x-
82x 
42 x2x-
2 8- x
2
2
223
3
+−
−
+
−
+++
−
x
x
x
xx
x
  42
2
8 2
3
++=
−
−
xx
x
x
, pois 8)42).(2( 32 −=++− xxxx 
Assim: 
 
    +++=+++=++=++=−
−
kxx
x
kx
xx
dxdxxdxxdxxxdx
x
x
4
3
4
2
2
3
 14 2 ]42[ 
2
8 2
323
22
3
 
 
17 
APLICAÇÕES 
 
Nos exemplos que se seguem a taxa de variação é conhecida e o objetivo consiste em calcular a 
expressão da própria grandeza. Como a taxa de variação é a derivada, calculamos sua expressão por 
integração. 
 
 Crescimento Populacional 
Exemplo: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de 
t62 + pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses? 
Solução: 
Seja P(t) a população da cidade daqui a t meses. Então, a derivada de P é a taxa de variação da 
população em relação ao tempo, ou seja, 
t
dt
dP
62 += 
Segue-se que a função população P(t) é uma primitiva de t62 + , ou seja, 
 
  ++=+== ,42)t6(2dt )( 2
3
kttdt
dt
dP
tP para alguma constante k. 
 
Para determinar k, usamos a informação de que a população atual (quando t = 0) é de 5.000, ou seja: 
 
,000.54020000.5 2
3
=++= kk 
logo 000.542)( 2
3
++= tttP e a população daqui a 9 meses será: 
 
126.5000.59492)9( 2
3
=++=P 
Exemplos: 
1) Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades é de 3q2 – 60q + 400 
reais por unidade. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o 
custo total de produção das cinco primeiras unidades? 
Solução: 
Vale lembrar que o custo marginal é a derivada da função custo total c(q). Logo, 
 
c’(q) = 3q2 – 60q + 400 
e, portanto, c(q) deve ser a primitiva 
 
  ++−=+−== ,40030 )400603( )(')( 
232 kqqqdqqqdqqcqc para alguma constante k. 
 
O valor de k é determinado combase no fato de que c (2) = 900. 
 
Em particular, 900 = (2)3 – 30(2)2 + 400(2) + k  k = 212 
 
Então, c(q) = q3 – 30q2 + 400q + 212 
 
e o custo de produção das 5 primeiras unidades é de: 
 
 
C(5) = (5)3 – 30(5)2 + 400(5) + 212 = R$ 1.587,00 
2) Um fabricante constata que o custo marginal da produção de x unidades de uma componente de 
copiadora é dado por 30 – 0,02x. Se o custo da produção de uma unidade é R$ 35,00, determine a 
função custo e o custo de produção de 100 unidades? 
Solução: Seja C a função custo, então o custo marginal é a taxa de variação de C em relação a x, isto é: 
 
C ’ (x) = 30 – 0,02x 
 
18 
Logo 
kdxxdxxC +=−= 
20,01x -30x C(x) )02,030( )( ' 
para algum k. 
 
Com x = 1 e C(1) = 35, obtemos: 
 
35 = 30 – 0,01 + k, ou k = 5,01 
 
Consequentemente 
C(x) = 30x – 0,01x2 + 5,01 
 
Em particular, o custo da produção de 100 unidades é 
 
C(100) = 3.000 – 100 + 5,01 = R$ 2.905,01 
 
3) Um fabricante de bicicletas espera que daqui a x meses os consumidores estarão adquirindo 
F(x) = 5.000 + 60 x bicicletas por mês ao preço de P(x) = 80 + 3 x u.m. (unidades monetárias) 
por bicicleta. Qual é a receita total que o fabricante pode esperar da venda das bicicletas durante os 
próximos 16 meses? Resposta: R’ (x) = F(x).P(x)  R (x) = ... assim, R(x) = 7.267.840 
 
Solução: 
 
R’ (x) = F(x).P(x)  R’ (x) = [5000 + 60 x ] . [80 + 3 x ] 
 
R’ (x) = 400.000 + 15.000 x + 4800 x + 180x  R’ (x) = 400.000 + 19.800 x + 180x 
 
Assim, 
 ++ dxxx )180800.19000.400( = 400.000x+19.800
2
3
2
3
x
+
2
180 2x
+k=400.000x + 13.200 x 2
3
+ 90x2 + k 
R(x) = 400.000 x + 13.200 x 2
3
 + 90x2 (produção nula  k = 0) 
 
Logo, 
R(16) = 400.000  (16) + 13.200  (16) 2
3
+ 90  (16)2  R(16) = 6.400.000 + 844.800 + 23.040 
 
R(16) = 7.267.840 unidades monetárias. 
 
19 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivando-as. 
a)  dxx
5 Resposta: k
6
x6
+ 
 
b)  dx
x
1
2
 Resposta: k
x
1
+− 
 
c)  dx5 Resposta: kx5 + 
 
d)  +− dt)2t5t3(
2 Resposta: kt
t
tkttt ++−=++− 2
3
52
2
3
52 333 23 
 
e)  





+− dy
y
1
y
2
y3
3
 Resposta: kyn
y
ykyn
y
y +++=+++ 1
1
21
1
2
2
3
2
2
3
 
 
f)  






+ dxxx
2
ex
 Resposta: kx
e
kx
e xx
++=++ 5
5
2
25
2
2
2
5
 
 
g)  







++− du
2
u
e
u2
3
u3
1 2
2
 Resposta: k
u
ue
u
unk
u
ue
u
un ++++=++++
32
3
 1
3
1
32
3
 1
3
1 322
2
3
 
 
h) dx
x
1x2x
2
2

++
 Resposta: k
x
xnx +−+
1
 1 2 
 
i)  





−− dx
x
xx 5
1
)2( 23 Resposta: kxx
3
11
x
4
5 234 +−+− 
 
j)  − dttt )1(
2 Resposta: kttktt +−=+−
37
3
2
7
2
3
2
7
2
2
3
2
7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
PROCEDIMENTO DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO SIMPLES 
 
Algumas integrais não têm soluções imediatas, porém, através de uma mudança de variável adequada, 
muitas dessas integrais podem ser calculadas com uso das regras conhecidas. Considere a integral 
 
O objetivo desta técnica é transformar o integrando, que é uma função composta, em uma função 
simples. Entretanto, a técnica só funciona se no integrando aparece uma função (u) e sua derivada 
(c.u’), onde c  *. 
 
Passo 1: Introduza a letra u para substituir alguma expressão em x que seja escolhida para simplificar 
a integral. 
Passo 2: Reescreva a integral em termos de u. Para reescrever dx, calcule 
dx
du
 e resolva 
algebricamente como se o símbolo 
dx
du
 fosse um quociente, lembrando dos diferenciais. 
Passo 3: Calcule a integral resultante e então substitua u por sua expressão em termos de x na resposta. 
 
Nota: Se o integrando é um produto ou quociente de dois termos e um termo é múltiplo da derivada de 
uma expressão que aparece no outro, então esta expressão é provavelmente uma boa escolha 
para u. 
 
Exemplos: 
1) Calcule:  + dxx
5)1( 
Solução: 
Fazendo: u = x +1, temos: dxdu
dx
du
== 1 
Logo,  +=+==+ k
u
k
u
duudxx
66
)1(
66
55 = k
x
+
+
6
)1( 6
 
2) k
x
dxx +
+
==+ 8
)12(
... )12(
4
3 
3) kxdxx ++==+
3)75(
15
2
...75 
4) k
x
dxx +
+
==+ 48
)12(
... x.)12(
83
273 
5) kdxx +−== 16
)6x-(7
...)6x-(7 . 
3 42
3 2 
6) k
xx
dx
x
x
+
+−
−==
+−
−
 5363
2
)13(15
1
... 
)13(x
)1(
 
7) k
x
dxxx +
+
==+ 3
)1(
... 1
32
2
 
8) k
xx
dxxx +
+
−
+
==+ 3
)1(
5
)1(
... 1
3252
23
(dica: u = 1 + x2  du = 2x dx) 
9) kxxdxxxx +++==+++
9282 )53(... )32()53(9 
10) kxkdx
x
x
++=+
+
==
+
2
2
2
1ln
2
|x1| ln
... 
1
 
 
22 
11) kdx
x
x
+
−
==
− 2
|1x| ln3
... 
1
3 2
2
 
12) kdx
x
+
+
==
+ 3
|23x| ln
... 
23
1
 
13) kxdx
x
x
++−+==
+
|x1| ln1... 
1
 (dica: u = 1 + x u – 1 = x e du = dx) 
14) k
x
dx
x
+
++
==
++
+
 2
382x3
... 
382x
63x 2
2
 
15) k
e
dxe
x
x +== 7
...
7
7 
16) k
e
dxex
x
x +==
+
+
 4
... .
2
23
4
4
 
17) k
xs
dx +== 4
)4(en 
... (4x) cos 
18) k
xs
dxx +== 2
)(en 
... )(x cos.
2
2 
19) kxdx
x
x
+== sen2... 
cos
 (dica: 
xdx
du
xu
2
1
== ) 
20) k
x
dx +−== 20
5cos
... 5x)sen 5x(cos
4
3 (dica: x
dx
du
xu 5sen55cos −== ) 
21) kdx
x
+== 3
 x)(ln
... 
(ln x) 32
 
22) kdx
x
+== 2
 x)(ln
... 
ln x 2
 
23) k
x
dx
x
+−== ln
1
... 
ln x)(
1
2
 
24) kxdx
x
+== |ln| ln... ln x . 
1
 
25) k
n
dx
x
+
+
==
+
 1
 x)(ln
... 
(ln x) 1nn
, }1/n { − n 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
1) Prove, utilizando mudança de variável ou o método da substituição, que: 
a)  +=−
k |a-x| ln
1
dx
ax
, a 
b)  += k 


x
x edxe , 
*  
c)  +−= k 
 cos
 



x
dxxsen , 
*  
d)  += k 
 
 cos



xsen
dxx , 
*  
e)   +−== k | xcos| ln cos
 dx
x
senx
dxxtg 
f)   +== k |sen x| ln 
cos
 cot dx
xsen
x
dxxg 
 
 
23 
2) Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição: 
Exercício Resposta 
a)  − dx)2x3(
3 
 
 
b)  − dx 2x3 
 
c) dx
x
 
23
1
 −
 
 
d) dx
x −
 
)23(
1
2
 
e)   dx sen x 
2x 
 
 
f) dxx 
2xe 
 
 
g) dxx 
3x2 e 
 
 
h)  dxx 5sen 
 
 
i) dxxx 
43 cos 
 
 
 
j)  dxx 6cos 
 
 
 
k) dxxsenx cos3  
 
 
 
l)   dxxxsen cos
5 
m) dx
x
 
3
2
 +
 
n) dx
x
 
34
5
 +
 
o) dx
x
x
 
41 2 +
 
 
p) dx
x
x
 +
 
65
3
2
 
 
q) dx
x
x
 
)41( 22 +
 
 
r) dxxx 31 2 + 
 
s)  + dxee
xx 1 
t) 
−
dx
)1x(
1
3
 
 
u) dx
x
x
 
cos
sen
2 
 
 
v)   dx e 
2-xx 
a) k
12
)2x3( 4
+
−
 
b) k)2x3(
9
2 3 +− 
c) k2x3ln
3
1
+− 
d) k
)2x3(3
1
+
−
− 
e) kxcos
2
1 2 +− 
f) ke
2
1 2x + 
g) ke
3
1 3x + 
h) kx5cos
5
1
+− 
i) kxsen
4
1 4 + 
j) kx6sen
6
1
+ 
 
 
k) kxcos
4
1 4 +− 
 
 
l) kxsen
6
1 6 + 
 
m) k3xln2 ++ 
 
n) k3x4ln
4
5
++ 
o) k)x41ln(
8
1 2 ++ 
p) k)x65ln(
4
1 2 ++ 
q) k
x
+
+
−
)41(8
1
2
 
r) k)x31(
9
1 32 ++ 
 
s) ke x ++ 3)1(
3
2
 
t) k
)1x(2
1
2
+
−
− 
u) k
xcos
1
+ 
v) ke
2
1 2x +− − 
 
 
24 
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS 
 
Sabemos que: 
• [ sen x ] ’ = cos x 
• [ cos x ] ’ = - sen x 
• [ tg x ] ’ = sec2 x 
• [ cotg x] ’ = - cossec2 x 
• [ sec x ] ’ = sec x . tg x 
• [ cossec x ] ’ = - cossec x . tg x 
 
Assim, 
•  +−= kxdxx cos sen 
•  += kxdxx sen cos 
•  += kxtgdxx sec
2 
•  +−= kxgdxx cot seccos
2 
•  += kxdx sec x tg x sec 
•  +−= kxdxx seccos x cotg seccos 
 
Exemplos: 
 
1) Mostre, utilizando derivadas, que  +−= kxdx | cos|ln x tg 
(caso i) cos x > 0 
[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (cos x) + k] ’ = xtg
x
x
x
 
cos
sen
cos
(-sen x)
==− 
(caso ii) cos < 0 
[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (- cos x) + k] ’ = xtg
xxcos
sen x
cos
sen x
==
−
− 
  +−= kxdx | cos|ln x tg 
 
Nota de revisão: 



−

=
0 xse ,
0 xse , 
 ||
x
x
x , logo: | x | = x se x  0 e | x | = - x se x < 0 
 
2) Mostre, utilizando derivadas, que  ++= kxdx | tg x sec|ln x sec 
(caso i) sec x + tg x > 0 
[ ln | sec x + tg x | + k]’ = [ ln (sec x + tg x) + k]’ = 
 x tg x sec
sec x tg x sec 2
+
+ x
 = 
x
x
 sec xtg
) sec x tg( x sec
+
+
 = sec x 
(caso ii) sec x + tg x < 0 
[ln | sec x + tg x | + k]’=[ ln (- (sec x + tg x)) + k]’ =
 x) tg x (sec-
sec x tg x sec- 2
+
− x
 = 
x
x
 sec xtg
) sec x tg( x sec
+
+
= sec x 
  ++= kxdx | tg x sec|ln x sec 
 
3)   +−== kxxdxdx tg 1)- x(sec x tg
22 
Nota de revisão: 
sen 2 x + cos 2 x = 1 e 1 + tg 2 x = sec 2 x , pois: x
xx
xx
x
x 2
22
22
2
2
sec
cos
1
cos
sencos
cos
sen
1 ==
+
=+ 
 
 
25 
4)   ++=++=





+= kkdxdxos 
4
2xsen 
2
x
 
2
2xsen 
.
2
1
x
2
1
 2x cos
2
1
2
1
 x c 2 
Nota de revisão: 
cos 2x = cos (x + x) = cos x . cos x - sen x . sen x = cos2 x - sen2 x = cos2 x - (1 - cos2 x) = 2 cos2 x - 1, 
logo cos 2x = 2 cos2 x - 1  cos2 x = x2cos
2
1
2
1
+ 
 
5)   +−=+





+== kkdxcdx 
4
2xsen 
2
x
 
4
2xsen 
2
x
- x x)os-(1 x sen 22 
 
6)  =+ dxxx )cos(sen
2 ... = k
x
x +−
2
2cos
 (Sugestão:  cos22 = sensen ) 
 
7)  =+ dxxx )cos(sen
2 ... = kxx +− 2cos 
 
8)  =+ dxxx )cos(sen
2 ... = kxsenx ++ 2 
 
9)  =dxx
x
 
2cos
4sen
... = - cos 2x + k (Sugestão:  cos22 = sensen ) 
 
10)  =+ dxxxsen )cos1( 
2 ... = k
x
+
+
−
3
)cos1( 3
 
 
11) dx
xgx
 
 cot cos
1
 
= dx
xgx
 
 cot 
1
cos
1
 





 = ( )dxtgxx sec  = sec x + k 
Nota de revisão: 
x
x
cos
1
sec = ;
x
x
sen
1
seccos = ;
x
x
xtg
cos
sen
 = ;
xtg
xg
 
1
 cot = 
 
12) Mostre, utilizando mudança de variável, que  +−= kxdx | cos|ln x tg 
Solução: k | xcos|ln- k |u|-lndu 
1
1-
du
 
1
dx 
cos
1
dx 
cos
dx 
*
+=+=−====  uu
senx
xx
senx
xtg 
* u = cos x  x
dx
du
sen−=  dxx
du
 sen
1
=
−
 
 
13) Mostre, utilizando mudança de variável, que  += kxdx | sen|ln x cotg 
Solução: k |sen x|ln k |u|lndu 
1
du 
1
dx cos
1
dx 
cos
dx cot
*
+=+=====  uu
x
senxsenx
x
xg 
* u = sen x  x
dx
du
cos=  dxxdu cos= 
 
14) k
xs
dxx +== 2
)(en 
... )(x cos
2
2 
 
15) kxdx
x
x
+== sen2... 
cos
 (Dica: 
xdx
du
xu
2
1
== ) 
 
16) k
x
dx +−== 20
5cos
... 5x)sen 5x (cos
4
3 (Dica: x
dx
du
xu 5sen55cos −== ) 
 
 
26 
17) Resolva a equação diferencial f ’’ (x) = 5 cos x + 2 sen x sujeita às condições iniciais f(0) = 3 e 
f ’ (0) = 4. Resposta: f(x) = -5 cos x – 2 sen x + 6x + 8 
 
 
18) Resolva a equação diferencial f ’’ (x) = 16 cos 2x – 3 sen x sujeita às condições iniciais f(0) = -2 e 
f ’ (0) = 4. Resposta: f(x) = 3 sen x – 4 cos 2 x + x + 2. 
 
19) Mostre, utilizando o método de substituição, que: 
(i)   dxxxsen cos = k
x
+
2
sen2
 (Faça: u = sen x) 
(ii)   dxxxsen cos = k
x
+−
2
cos2
 (Faça: u = cos x) 
 
20) Mostre que   dxxxsen cos = k
x
+−
4
2cos
 (Lembre-se:  cos22 = sensen ) 
Solução: Como sen 2x = 2 sen x cos x  xxsen
xsen
cos 
2
2
= 
Assim, 
  dxxxsen cos = k
x
kuduu
du
udxxdx
x
+−=+−====   4
2cos
cos
4
1
 sen
4
1
2
 sen
2
1
 2sen
2
1
 
2
2sen **
 
* u = 2x  2=
dx
du
 e dx
du
=
2
 
 
21) Prove, utilizando o método da substituição, que  +−= k 
 cos
 



x
dxxsen , 
*  
Solução:   +−=+== k 
 cos
k cos
1
 
*




x
u
du
usendxxsen 
 * u = x  =
dx
du
 e dx
du
=

 
 
22) Prove, utilizando o método da substituição, que  += k 
 
 cos



xsen
dxx , 
*  
Solução:   +=+== k 
en 
k 
1
 os os
*




xs
usen
du
ucdxxc 
 
* u = x  =
dx
du
 e dx
du
=

 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
Suponhamos f e g funções definidas e deriváveis em um mesmo intervalo I. Temos, pela regra do 
produto: 
 
[ f(x).g(x)] ' = f ' (x).g(x) + f(x).g ' (x) 
ou 
 
f(x).g ' (x) = [ f(x).g(x)] ' – f ' (x).g(x) 
 
Supondo, então, que f ' (x).g(x) admita primitiva em I e observando que f(x).g(x) é uma primitiva de 
[f(x).g(x)] ' , então f(x).g ' (x) também admitirá primitiva em I e 
 
 = dx )()('- g(x)f(x) dx )(')( xgxfxgxf (1) 
 
 
que é a regra de integração por partes. 
 
Fazendo u = f(x) e v = g(x), teremos du = f ' (x) dx e dv = g ' (x) dx, o que nos permite escrever a regra 
(1) na seguinte forma usual: 
 
 = - vu duvdvu 
 
Suponha, agora, que se tenha que calcular   dxxx )()(  . Se você perceber que, multiplicando a 
derivada de uma das funções do integrando por uma primitiva da outra, chega-se a uma função que 
possui primitiva imediata, então aplique a regra de integração por partes. 
 
 
Exemplos: Calcule as seguintes integrais: 
 
1)   dx x cosx = ... = kxxx ++ cossen. 
 
 
2)   dx x senx = ... = kxxx ++− sencos. 
 
 
3)   dx x cos
2x = ...= kxxxxx +−+ sen2cos.2sen.
2
 
 
 
4)   dx x senx
2
= ...= kxxxxx +++− cos2sen.2cos.
2
 
 
 
5)   dx x cos
xe = ... = kxx
e x
++ )cos(sen
2
 
 
 
6)   dx x sen
xe = ... = kxx
e x
+− )cos(sen
2
 
 
 
29 
7) Sabendo que  += kxdxx
 ||ln 
1
, mostre que:  dxln x = x.
 (ln x – 1) + k 
Resposta: fazendo: f = ln x e g ’ = 1   dxln x = kxx +− )1(ln 
 
8) Sabendo que:  +=+
karcdx
x
 x tg 
1
1
2
, mostre que: 
 dx x tgarc = =++−=++− kxxkxx
22 1ln x tgarc )1ln(
2
1
 x tgarc 
 
9) Sabendo que:  +=
−
karcdx
x
sen x 
1
1
2
, mostre que: 
 dxsen x arc = x
.arc sen x + 21 x− + k 
 
 
10)  dx x cos
2 = ... = k
xx
++
4
2sen
2
 
 
 
11)  dx x sen
2 = ... = k
xx
+−
4
2sen
2
 
 
 
12) Sabendo que  ++= ktgxdxx |sec|lnsec e xxtg
22 sec1 =+ mostre que 
k ] | x tg x sec|ln x tg x[sec
2
1
sec3 +++= x . 
 
13) Mostre, por integração por partes, que: kbxsenabxb
ba
e
dxbxsene
ax
ax ++−
+
= ]cos[22 , com 
0, ba . 
14) Mostre, por integração por partes, que: kbxsenbbxa
ba
e
dxbxe
ax
ax ++
+
= ]cos[cos 22 , com 
0, ba . 
 
 
30 
EXEMPLOS DE INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS 
 
1) Calcule dxx
2sec . 
Solução: 
kxtgdxx +=
2sec 
 
 
2) Calcule dxxtg
2 . 
Solução: 
kxxtgdxdxxdxxdxxtg +−=−=−=   1sec]1[sec
22
*
2 
 
Onde: 
xxtg 22
*
sec1 =+ 
 
3) Calcule dxx
2seccos . 
Solução: 
kxgdxx +−= cotseccos
2 
 
 
4) Calcule dxxg
2cot . 
Solução: 
kxxgdxdxxdxxdxxg +−−=−=−=   cot1seccos]1sec[coscot
22
*
2 
 
Onde: 
xxg 22
*
seccoscot1 =+ 
 
 
31 
5) Calcule dxx sec . 
Solução: Multiplicando e dividindo o integrando por ,sec xtgx + temos: 
 
dx
xtgx
xtgxx
dx
xtgx
xtgx
xdxx  +
+
=
+
+
=
sec
secsec
sec
sec
secsec
2
 
 
Considerando a substituição: dxxxtgxduxtgxu )sec(secsec 2+=+= 
 
Assim, 
  ++=+== kxtgxkuduu
dxx |sec|ln||ln
1
sec 
 
6) Calcule dxx seccos . 
Solução: Multiplicando e dividindo o integrando por ,cotseccos xgx + temos: 
 
dx
xgx
xgxx
dx
xgx
xgx
xdxx  +
+
=
+
+
=
cotseccos
cotseccosseccos
cotseccos
cotseccos
seccosseccos
2
 
 
Considerando a substituição: dxxxgxduxgxu )seccoscotseccos(cotseccos 2−−=+= 
 
Assim, 
  ++−=+−=−= kxgxkuduu
dxx |cotseccos|ln||ln
1
seccos 
 
 
32 
7) Utilizando resultados anteriores, calcule dxx
3sec . 
Solução: 
  =−=−== dxxtgxxtgxtgxduvvudxxxdxx
dvu
secsecsecsecsec
*
23

 
 
 =−−=−= dxxxxtgxdxxtgxxtgx )1(secsecsecsecsec
2
**
2 
 
|sec|lnsecsecsecsecsec 3
***
3 xtgxdxxxtgxdxxdxxxtgx ++−=+−=   
 
Onde: 
 ===== xtgdxxvdxxdvdxxtgxduxu
22
*
secsecesecsec 
 
xxtg 22
**
sec1 =+ 
 
 += |sec|lnsec
***
xtgxdxx 
 
Assim, 
 
kxtgxxtgxdxxxtgxxtgxdxx+++=++=  ]|sec|ln[sec2
1
sec|sec|lnsecsec2 33 
 
 
8) Mostre que kxgxxgxdxx +−−−= ]|cotseccos|lncotsec[cos2
1
seccos 3 . 
 
 
33 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Calcule as integrais indefinidas: 
a) dx e x x Resposta: (x – 1) e
x + k 
b) dx e x2 x Resposta: e
x (x2 – 2x + 2) + k 
c)   dxln x x Resposta: fazendo u = ln x e dv = xdx => k2
1
xln
2
x2
+





− 
d)   dxln x 
2x Resposta: fazendo: u = ln x e dv = x2dx  k
3
1
xlnx
3
1 3 +





− 
e)   dx x sec 
2x Resposta: fazendo: u = x e dv = sec 2 x dx  x tg x + ln | cos x | + k 
f)   dx (ln x) 
2x Resposta: k
2
1
xln)x(ln
2
x 2
2
+





+− 
g)  dx (ln x) 
2 Resposta: x (ln x)2 – 2x (ln x – 1) + k 
h) dx .e 2x x Resposta: k2
1
xe 
2
1 2x +





− 
i) dxsen x e -2x  Resposta: k)xsen2x(cose 5
1 2x- ++− 
j) dx e 
2x3
 x Resposta: fazendo: u = x
2 e dv dxex x
2
=  ke )1x(
2
1 2x2 +− 
k) dx xcos 23 x Resposta: fazendo: u = x
2 e dv = x.cos x2 dx  k)xcosxsenx(
2
1 222 ++ 
l) dx2x cos e -x  Resposta: fazendo: u = e
-x e dv = cos 2x dx  k)x2cosx2sen2(
5
e x
+−
−
 
m)   dxln x 
nx Resposta: k
n
x
n
xn
+





+
−
+
+
1
1
ln
1
1
 ( 1−n ) 
 
2) Calcule as integrais definidas: Nota: resolva este exercício após a definição de integral definida. 
a) dxx 10 e x  Resposta: 1 
b)  dx x ln 
2
1
 Resposta: 2 ln 2 – 1 
c)   dx x cose 
x2
0

 Resposta: 








−1e
2
1
2
π
 
d) 
2
1
0
dxsen x arc Resposta: 1
2
3
 
2
1
sen rc
2
1
−+a = 1
2
3
12
−+

 
 
e)  
t
dxxx
1
 ln Resposta: 
4
1
4
ln
2
22
+−
t
t
t
 
3) Mostre, por integração por partes, que: kbxsenabxb
ba
e
dxbxsene
ax
ax ++−
+
= ]cos[22 , com 
0, ba . 
 
4) Mostre, por integração por partes, que: kbxsenbbxa
ba
e
dxbxe
ax
ax ++
+
= ]cos[cos 22 , com 
0, ba . 
 
34 
INTEGRAIS INDEFINIDAS DO TIPO:  −−
dx
xx
xP
)()(
)(

 
 
Para calcular integrais desse tipo, precisamos do seguinte teorema. 
 
TEOREMA: 
 
Sejam  n m, , β α, e   então existem constantes A e B tais que: 
 
• 
)()()).((  −
+
−
=
−−
+
x
B
x
A
xx
nmx
 • 22 )()()(  −
+
−
=
−
+
x
B
x
A
x
nmx
 
 
Nota: A demonstração decorre da teoria sobre polinômios. 
 
Q(x) )(
)-).(x-(x )(
xR
xP 
  ( )xRxxxQxP +−−= )).().(()(  , onde: )(xR tem grau menor que 2 
 
Assim, podemos escrever: 
)).((
)(
)(
)).((
)(
 −−
+=
−− xx
xR
xQ
xx
xP
 
Lembre-se:  +=−
k |a-x|lndx 
1
ax
 
Prova: Fazendo: u = x– a  1=
dx
du
du = dx e   +=+==−
k |a-x|lnk |u|lndu 
1
dx 
1
uax
 
(c. q. d.) 
 
Exemplos: 
1)  −
+
dx 
1
12
2x
x
= ... = kxx |1|ln
2
1
|1|ln
2
3
+++− 
Solução: 
)1()1()1).(1(
12
1
12
2 +
+
−
=
+−
+
=
−
+
x
B
x
A
xx
x
x
x
=
)1).(1()1).(1(
)1.()1.(
+−
−++
=
+−
−++
xx
BBxAAx
xx
xBxA
= 
 
=
)1).(1(
)()(
+−
−++
xx
BAxBA




=−
=+
1
2
BA
BA
 32 =A 
2
3
=A e 
2
1
=B 
Logo 
 −
+
dx 
1
12
2x
x
=  






+
+
−
dx 
11
2
1
2
3
xx
=   +
+
−
 
1
1
2
1
 
1
1
2
3
dx
x
dx
x
= * 
 
Fazendo: u = x –1  1=
dx
du
du = dx e v = x + 1  1=
dx
dv
 dv = dx 
 
Assim, 
* =  + 
1
2
1
 
1
2
3
dv
v
du
u
= kvu ||ln
2
1
||ln
2
3
++ = kxx |1|ln
2
1
|1|ln
2
3
+++− 
 
  −
+
dx 
1
12
2x
x
= kxx |1|ln
2
1
|1|ln
2
3
+++− 
 
35 
2)  −−
++
dx 
32
13
2
2
xx
xx
= ... = kxxx |1|ln
4
1
 |3|ln
4
19
+++−+ 
Solução: 
45x 
1 32
32 13 
2
22
+
++−
−−++
xx
xxxx
 
Assim, 
32
45
1
32
13
22
2
−−
+
+=
−−
++
xx
x
xx
xx
 
 
)1()3(
)3()(
)1()3(
)3()1(
)1()3()1).(3(
45
32
45
2 +−
−++
=
+−
−++
=
+
+
−
=
+−
+
=
−−
+
xx
BAxBA
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
xx
x
 
 
4
19
A 
4
1
14
43
5
===



=−
=+
 eBB
BA
BA
 
Logo: 
 −−
++
dx 
32
13
2
2
xx
xx
=  =+
+
−
+=








+
+
−
+ dx
)1(
1
4
1
dx
)3(
1
4
19
dxdx
)1(
4
1
)3(
4
19
1
xxxx
 
 
= kxx |1|ln
4
1
 |3|ln
4
19
x +++−+ 
 
3)  +−
++
dx 
12
1
2
3
xx
xx
= ... = k
x
xx
x
 
)1(
3
|1|ln42
2
2
+
−
−−++ 
Solução: 
14x 
 
242
12 
2 x 2
12 1 
2
2
23
23
−
−+−
+
+−+−
+−++
xx
x
xxx
xxxx
 
Assim, 
12
14
)2(
12
1
22
3
+−
−
++=
+−
++
xx
x
x
xx
xx
 
 
2222 )1(
)(
)1(
)1(
)1()1()1(
14
−
+−+
=
−
+−
=
−
+
−
=
−
−
x
BAAx
x
BxA
x
B
x
A
x
x
 3 4
1
4
==



−=+−
=
 BeA
BA
A
 
 
Logo: 
  −
+
−
++=
+−
++
dx
x
dx
x
dxx
xx
xx
22
3
)1(
1
3
1
1
4)2(dx 
12
1 *
= k
x
xx
x
 
)1(
3
|1|ln42
2
2
+
−
−−++ 
 
* Fazendo: 11 dxdu
dx
du
xu ==−= e assim   −=−
==
−
−
u
u
duudu
u
1
1
1 12
2
 
 
Lembre-se : kaxdx
ax
+−=
−
||ln
1
 
 
36 
NOTA: Para calcular integrais do tipo  −
dx
x
xP
n)(
)(

 com *Nn , é mais interessante fazer a mudança 
de variável −= xu do que utilizar a segunda parte do teorema anterior. Ás vezes, torna-se mais 
fácil a resolução se for realizada a divisão de )(xP por nx )( − antes de aplicar a mudança de 
variável. 
 
Exemplos: 
 
1)  −
+
=
−+−
+
dx 
)2(
1
8126
1
3
2
23
2
x
x
dx
xxx
x
= ... = k
xx
x +
−
−
−
−−
2)2.(2
5
)2(
4
|2|ln 
Fazendo: 1 22 dxdu
dx
du
euxxu ==+=−= 
Assim, 
 
  





++=
++
=
+++
=
++
=
−
+
du
uuu
du
u
uu
du
u
uu
du
u
u
x
x
323
2
3
2
3
2
3
2 54154144
)(
1)2(
dx 
)2(
1
= 
 
=   +−
−
−
−−=+−−=++ −− k
xx
xk
uu
uduuduudu
u 22
32
)2(2
5
)2(
4
|2|ln
2
54
||ln54
1
 
 
2) dx
xx
x
 +−
+
12
2
2
3
=  −
+
dx 
)1(
2
2
3
x
x
= ... = k
x
xx
x
+
−
−−+−+
−
)1(
3
|1|ln3)1.(3
2
)1( 2
 
 
Fazendo: u = x – 1  u + 1 = x e du = dx 
 
Assim, 
 
 −
+
dx 
)1(
2
2
3
x
x
=  
++++
=
++
du 
2133
du 
2)1(
2
23
2
3
u
uuu
u
u
=  





+++ du
u
u
u
2
3
3
3 = 
 
= k
u
uu
u
+−++
3
||ln33
2
2
= k
x
xx
x
+
−
−−+−+
−
)1(
3
|1|ln3)1(3
2
)1( 2
 
 
 
 
 
37 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Resolva as integrais do tipo  −−
dx
xx
xP
)()(
)(

 
 
EXERCÍCIO RESPOSTA 
 
a) 
−
dx
4x
1
2
 
 
b) 
−
dx
4x
x
2
 
 
c) dx 
1x
1x5 2

−
+
 
 
 
d) dx 
xx
3x
2 −
+
 
 
e) dx 
9x
3x
2
2

−
+
 
 
f) 
+−
dx 
6x5x
x
2
 
 
g) 
−
+
dx 
)1x(
3x
2
 
 
h) 
−
++
dx 
xx
1xx
2
2
 
 
i) 
+−
++
dx 
3x4x
1xx
2
3
 
 
j) 
−−
dx 
2xx
1
2
 
 
 
a) k
x
x
+
+
−
2
2
ln
4
1
 
 
b) k4xln
2
1 2 +− 
 
c) kxxx +++− 5
2
5
1ln6 2 
 
 
d) k1xln4xln3 +−+− 
 
 
e) k3xln23xln2x ++−−+ 
 
 
f) k3xln32xln2 +−+−− 
 
g) k
1x
4
1xln +
−
−− 
 
 
 
h) k1xln3xlnx +−+− 
 
 
i) k3xln
2
31
1xln
2
3
x4
2
x2
+−+−−+ 
 
j) k2xln
3
1
1xln
3
1
+−++− 
 
 
38 
INTEGRAIS INDEFINIDAS DO TIPO:  −−−
dx
xxx
xP
)()()(
)(

 
 
Para calcular integrais desse tipo, precisamos do seguinte teorema. 
 
TEOREMA: 
 
Sejam  p n, m, ,, β α,  e  , e distintos entre si, então existem constantes A, B e C tais que: 
 
• 
)()()()()()(
2
 −
+
−
+
−
=
−−−
++
x
C
x
B
x
A
xxx
pnxmx
 
 
• 22
2
)()()()()(  −
+
−
+
−
=
−−
++
x
C
x
B
x
A
xx
pnxmx
 
 
Nota: A demonstração decorre da teoria sobre polinômios. 
 
Exemplos: 
 
1)  −−
++
dx 
2
12
23
4
xxx
xx
= ... = kxxx
x
 |2|ln
2
7
||ln
2
1
2
2
+−+−+ 
 
2)  +−−
+
dx 
1
12
23 xxx
x
= ...= k
x
xx 
)1(2
3
|1|ln
4
1
|1|ln
4
1
+
−
−−++− =...= k
xx
x
+
−
−








+
−
)1(2
3
1
1
ln 4 
 
 
Sugestão: Resolva também os exercícios do Guidorizzi, Vol. 1, 5 ed. pág. 378-379. 
 
 
39 
INTEGRAIS QUE RESULTAM EM FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:ARCO TANGENTE E ARCO SENO – MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO SIMPLES 
 
De acordo com as derivadas calculadas no capítulo de derivadas, temos: 
 
 +=+
k x tgdx
x1
1
 
2
arc  +=
−
ksen x dx
x1
1
 
2
arc 
 
Exemplos: 
1)  +
dx
x 5
1
2
 = ... = kxtgarc +








5
5
 
5
5
 
Solução:    +
=






+
=








+
=








+
=
+
du
u
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
5
1
1
5
1
5
1
1
5
1
5
1
1
5
1
5
15
1
5
1
2
*
2222
= 
 kxtgarckutgarcdu
u
+








=+=
+
=  5
5
 
5
5
 
5
5
1
1
5
5
2
 
 
* Fazendo: dxdu 5
5
1
5
===
dx
dux
u 
 
2)  +
dx
x 24
5
 = ... = k
x
tgarc +





2
 
2
5
 
Solução:    =






+
=








+
=








+
=
+
=
+
*
22222
2
1
1
4
5
4
1
1
4
5
4
14
1
5
4
1
5
4
5
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
 
 =+
=
+
= du
u
du
u
 
1
1
2
5
 2
1
1
4
5
22
k
x
tgarckutgarc +=+
2
 
2
5
 
2
5
 
 
* Fazendo: dxdu 2
2
1
2
===
dx
dux
u 
 
 
 
3)  +
dx
x 223
2
 = ... = kxtgarc +








3
6
 
3
6
 
Solução:   =+
=








+
=








+
=
+
du
u
dx
x
dx
x
dx
x 2
3
1
1
3
2
3
2
1
1
3
2
3
2
13
1
2
23
2
2
*
222
 
kxtgarckxtgarckutgarcdu
u
+








=+








=+=
+
=  3
6
 
3
6
3
2
 
23
32
 
23
32
1
1
23
32 **
2
 
 
* Fazendo: dxdu 
2
3
3
2
3
2
===
dx
du
xu 
 
** Racionalizando: 
3
6
2.3
62
2
2
.
23
32
23
32
=== e 
3
6
3
3
.
3
2
3
2
== 
 
40 
 
4) Sabendo que  +=+
k x tgdx
x1
1
 
2
arc , mostre que:  +





=
+
k
a
x
 tg
1
dx
xa
1
 
22
arc
a
, com +a 
Solução:   =






+
=
+
=








+
=
+
*
222
2
22
2
2
22
dx
a
x
1
1
 
a
1
dx
a
x
1
1
 
a
1
dx
a
x
1a
1
 dx
xa
1
 
=  =+
=
+
du 
u1
1
 
a
1
du a
u1
1
 
a
1
222
k tg
1
ku tg
1
+=+
a
x
arc
a
arc
a
 
 
* Fazendo: dxdu 
1
=== a
adx
du
a
x
u 
 
5)  +
+
dx
x
x
9
1
2
 = ... = k
x
tgarcx +





++
3
 
3
1
)9ln(
2
1 2 
Solução:  +
+
dx
x
x
9
1
2
=  +
dx
x
x
92
+  +
dx
x 9
1
2
*
=  2
1 du
u
+ 






+
dx
x
2
3
1
1
9
1
 
**
=  duu
1
2
1
+  +
dv
v
3
1
1
9
1
2
 = 
=  dxu
1
2
1
 +  +
dv
v 21
1
3
1
 = karcxkarcu +++=++
3
x
 tg
3
1
)9( ln
2
1
 v tg
3
1
||ln
2
1 2 
 
* Fazendo: dx
2
du
 292 xx
dx
du
xu ==+= e 
* * 
dx3dv 
3
1
3
===
dx
dvx
v 
 
6)  +
dx
x
x
41
 = ... = ktgarc +2 x 
2
1
 
Solução: 
*
41
=
+
dx
x
x
k x tg
2
1
k u tg
2
1
1
1
2
1
21
1 2
22
+=+=
+
=
+ 
arcarcdu
u
du
u
 
 
* Fazendo: dx
2
du
 22 xx
dx
du
xu === 
 
 
7) Utilizando o exercício anterior, mostre que: dx
x +
2
0 24
4
 = ... = 
2

 
Solução: Comparando com o que provamos anteriormente, nesse caso a = 2, temos: 
dx
x
dx
x  +
=
+
2
0 2
2
0 2 4
1
.4
4
4
= =





2
02
x
 tg
2
1
.4 arc =





−
2
0
 tg
2
1
2
2
 tg
2
1
.4 arcarc 
=





− 0 tg
2
1
1 tg
2
1
.4 arcarc
2
 
8
 
.40 .
2
1
4
 
2
1
.4

=





=





− 
 
8) Sabendo que  +=
−
ksen x dx
x1
1
 
2
arc , mostre que  +





=
−
ksen dx
xa
1
 
22 a
x
arc , com a>0. 
Solução:   
−
=
−
=






−
=






−
=
−
du
ua
a
dua
ua
dx
22
*
2
2
2
2
22 1
1
 
1
1
a
1
dx
a
x
1
1
 
1
 
a
x
1a
1
dx
xa
1
 = 
=  +





=+=
−
karcdu
u a
x
sen arc k u sen 
1
1
2
 (c. q. d.) 
* Fazendo: dxdu 
1
=== a
adx
du
a
x
u
 
41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Objetivo do cálculo: Desenvolver as capacidades de reflexão e de cálculo necessárias para o estudo da 
engenharia (ou tecnologia). 
 
As principais técnicas de integração são: 
• Método da substituição; 
• Integração por partes; 
• Por decomposição. 
• Frações parciais; 
• Integração de funções racionais; 
• Integração de funções irracionais; 
• Substituição trigonométrica; 
• Integrais impróprios de 1.ª e de 2.ª espécie; 
• Fórmulas de recorrências. 
 
Sabemos da importância da integração, principalmente as integrais definidas no cálculo da área de uma 
região compreendida entre a função dada e o eixo das abscissas (eixo x). Desta forma, duas questões 
nos fazem refletir: 
1) Por que integrais envolvendo radicais são importantes? 
2) Como calcular a área de um círculo, a área de uma elipse, utilizando integrais definidas? 
 
Nesse momento, motivados por estas duas questões estudaremos a técnica de integração por 
substituição trigonométrica. 
 
Pré-requisitos: 
 
• Integrais imediatas, primitivas. 
• Integração por substituição; 
• Integrais definidas; 
• Integrais por partes; 
• Geometria plana; 
• Geometria analítica; 
• Trigonometria. 
 
Objetivo específico da mudança de variável trigonométrica: 
Transformar expressões com radicais, em uma expressão trigonométrica sem radicais. 
 
Nota: A ocorrência de raiz no integrando é algo muito desagradável. Se perceber uma mudança de 
variável que a elimine, não vacile. 
 
Quadro resumo da substituição trigonométrica: (r > 0, e x é a variável) 
 
Expressão no integrando Substituição trigonométrica 
22 xr − sen rx = 
22 xr +  tgrx = 
22 rx −  sec rx = 
 
Nota: Ao fazer uma substituição trigonométrica, admitimos que θ esteja no contradomínio da função 
trigonométrica inversa correspondente. Assim, para a substituição sen =x , temos 





−
22
 



, 
ou seja, 





−
2
,
2
 

 , ou ainda, o ângulo está no 1o ou 4o quadrante. Neste caso, 0 cos  e: 
 
 cos | cos| || cos)1( 222222222 ===−=−=− rrrsenrsenrrxr 
 
43 
Exemplos: 
 
1) Calcule: dxx −
21 
 
Solução: Fazendo as mudanças: 
 
• xsenarcsenx ==  
• 

ddx
d
dx
coscos == 
•  cos|cos| cos11 222 ===−=− senx 
Assim, 
dxx −
21 =    d cos cos =   d cos
2 =  d 2cos
2
1
2
1
 + =  24
1
2
1
sen+ k+ = 
=  cos sen 2
4
1
2
1
+ k+ =  
2x-1
xsen x 
cos sen 
2
1
2
1
 +
arc
k+ 
 dxx −
21 = 2x-1x
2
1
 
2
1
+xsenarc k+ =  2x-1x 
2
1
+xsenarc k+ 
 
2) Utilizando o resultado anterior, calcule: dxx −
1
0
21 
Solução: 
 
dxx −
1
0
21 = ( )
1
0
2x-1 xsen x 
2
1






+arc = ( ) ( )  0-10 0sen arc1-11 1sen arc 
2
1 22 +−+ = 





22
1 
=
4

 
 dxx −
1
0
21 = 
4

 
 
3) Mostre que as substituições trigonométricas indicadas no quadro anterior, eliminam a raiz. 
 
44 
4) Aplicação: Prove, utilizando integral definida, que a área do círculo de raio r é dada por Ao = 
2 r . 
 
Solução: 
 
Consideremos uma circunferência de raio r e de centro na origem (0, 0). Assim, a sua equação 
reduzida é dada por: 222 )0()0( ryx =−+−  222 ryx =+ . Isolando y e considerando-o como 
positivo, temos: 
22 xry −= 
Geometricamente, temos: 
 
 
Assim, Ao =  −
r
dxxr
0
224 
 
Fazendo as devidas mudanças: 
 
• senrx = 
• 

cosr
d
dx
=   drdx cos= 
•  .cos | cos|rcoscos)1( 2222222222 ====−=−=− rrrsenrsenrrxr 
• Se 0=x  rsen=0  
r
senarc
0
 =  0 senarc=  0= 
• Se rx =  rsenr =  
r
r
senarc =  1 senarc=  
2

 = 
 
Logo, 
 
 =+===− 20
2
0
222
0
2
0
22 2cos
2
1
2
1
coscoscos

 drdrdrrdxxr
r
 
= 2r
2
02
2
2
1
2
1


 





+
sen
 = ( ) =





+−











+ 0.2
4
1
0.
2
1
2
.2
4
1
2
.
2
12 sensenr

 
 
= 2r ( )
4
.
000.
4
1
4
2r
=+−





+ 
 
Como Ao =  −
r
dxxr
0
224 , temos: Ao = 
2
2
4
.
4 r
r
= 

 
 
 
2
0 rA =  (c.q.d.) 
 
 
456) Sem usar o resultado do exemplo 1, calcule: dxx −
1
0
21 
Solução: Fazendo as mudanças: 
• senx = 
• 

ddx
d
dx
coscos == 
•  cos|cos| cos1sen11 222 ==−=−=− x 
• Se senx == 00  0 senarc=  0= 
• Se senx == 11  1 senarc= 
2

 = 
Logo, 
 =+===− 20
2
0
22
0
1
0
2 2cos
2
1
2
1
coscoscos1

 ddddxx 
=
2
02
2
2
1
2
1


 





+
sen
= ( ) =





+−











+ 0.2
4
1
0.
2
1
2
.2
4
1
2
.
2
1
sensen

4
)00(0
4
1
4

=+−





+ 
 
 dxx −
1
0
21 = 
4

 
 
7) Calcule: dxx +
1
0
21 
Solução: 
Lembre-se:  du sec
3 u =   kutguutgu +++ | sec|ln . sec
2
1
, fizemos anteriormente quando 
trabalhamos com integração por partes:  
'
23 secsecsec
gf
xxx = , revise, se julgar necessário. 
Fazendo as mudanças: 
• tgx = 
• 

2sec=
d
dx
   d sec2=dx 
•  sec|sec| sec11 222 ===+=+ tgx 
• Se 0x =  tg=0  0 g tarc=  0= 
• Se 1x =  tg=1  1 g tarc= 
4

 = 
Assim, 
=+ dxx
1
0
21 

dss 40
2 ec ec = 

ds ec 4
0
3
 =  
4
0| sec| ln tg sec
2
1

 tg++ = 
 
= ( )





++−





++ 0 0 sec ln0 tg0 sec
4
 
4
 sec ln
4
 tg
4
 sec
2
1
tgtg

= 
 
= ( ) ( )  |01|ln 01|12|ln 12 
2
1
++−++ =  )12( ln2
2
1
++ 
 
 dxx +
1
0
21 =  )12( ln2
2
1
++ 
 
46 
8) Calcule: dxx +
21 
Solução: 
Lembre-se:  du sec
3 u =   kutguutgu +++ | sec|ln sec
2
1
, fizemos anteriormente quando 
trabalhamos com integração por partes:  
'
23 secsecsec
gf
xxx = , revise, se julgar necessário. 
Fazendo as mudanças: 
• tgx = 
• 

2sec=
d
dx
   d sec2=dx 
•  sec|sec| sec11 222 ===+=+ tgx 
Assim, 
=+ dxx
21  dss ec . ec
2 =  ds ec3 =  | sec| ln tg. sec2
1
 tg++ + k = 
 
=   kxxxx +++++ |1| ln .1
2
1 22 =   kxxxx +++++ |1| ln1.
2
1 22 
 
 dxx +
21 =   kxxxx +++++ |1| ln1.
2
1 22 
9) Calcule: dxxr −
22
 
Solução: 
Fazendo as mudanças: 
• senrx = 
• 

 cos r
d
dx
=   drdx cos= 
•  .cos | cos|.cos.|| )sen1(sen 22222222 rrrrrrxr ===−=−=− 
 
Assim, 
dxxr −
22
=   dr cos.r cos. =   dr cos.
22 =  d 2cos
2
1
2
1
.2  +r = 





+  2sen
4
1
2
1
.2r +k = 
 
= 





+  cos sen 2.
4
1
2
1
.2r + k =  










+
−





r
xarc
r
22r
r
x
r
x
sen 
2 cos sen 2.
4
1
2
1
.   + k = 
 
= 







 −
+





r
xr
r
x
arcr
22
2 ..
2
1
 
r
x
sen 
2
1
+ k = 







 −
+





2
222 .
 
r
x
sen 
2 r
xrx
arc
r
+ k 
 
 dxxr −
22
= 







 −
+





2
222 .
 
r
x
sen 
2 r
xrx
arc
r
 + k 
 
47 
MUDANÇA DE VARIÁVEL EM 
222222 e, axaxxa −+− 
 
A integração de funções envolvendo radicais do tipo 222222 e, axaxxa −+− pode simplificar-
se fortemente por meio do uso das variáveis senax = ou cos= ax , tgax = ou 
gax cot= , sec= ax ou seccos= ax , uma vez que as substituições referidas transformam os 
radicandos em quadrados perfeitos. Tais considerações decorrem diretamente da identidade 
trigonométrica fundamental e consequências dessa. 
1cos22 =+ sen  22 sec1 =+ tg  22 seccoscot1 =+ g 
 
Por exemplo, as substituições senax = , tgax = e sec= ax transformam os radicais 
222222 e, axaxxa −+− , respectivamente, em cosa , seca e tga  . 
 
Integração por Substituição Trigonométrica - Adaptado de: Doherty Andrade 
 
Integrar é uma técnica, assim como derivar. Existem muitas técnicas de integração: integração por 
substituição, integração por partes, integração por frações parciais, integração por substituição 
trigonométrica. Todas bem simples, é só pegar o jeito. 
 
Continuando veremos a integração por substituição trigonométrica. Usada quando o integrando contém 
uma das seguintes formas 222222222 e, axbaxbxba −+− 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1) Para dxxba −
222 faça a substituição sen
b
a
x = 
 
2) Para dxaxb +
222 faça a substituição tg
b
a
x = 
 
3) Para dxaxb −
222 faça a substituição sec
b
a
x = 
 
Fazendo essas substituições obteremos integrais na variável  . A expressão da integral na variável 
original x pode ser obtida por meio do auxílio de um triângulo retângulo. Como se faz? 
 
Exemplo: Na integral  − dxx
21 fazendo a substituição senx = , eliminamos o radical. Por outro 
lado, façamos um triângulo indicando a substituição trigonométrica realizada. 
 
Do triangulo observamos que senx = e 21cos x−= . 
 
48 
ANEXO I - LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Mostre que: − −
4
4
216 dxx = 8 
2) Mostre que:  −
4
0
216.2 dxx = 8 (interprete geometricamente o resultado) 
3) Mostre que:  −
3
0
29 dxx = 
4
9
 
4) Mostre que:  −
3
0
29.4 dxx = 9 (interprete geometricamente o resultado) 
5) Mostre que:  −
6
0
236.4 dxx = 36 (interprete geometricamente o resultado) 
6) Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando 
a)  − dxx
29 Resposta: senx 3= 
b)  + dxx
29 Resposta: tgx 3= 
c)  − dxx 9
2
 Resposta: sec3=x 
d)  − dxxx
22 1 Resposta: senx = 
e)  − dxx
243 Resposta: senx
2
3
= 
Solução: 














−=





−=−
2
22
3
2
13
3
4
1343
x
xx , pois: se xsen
x
sen == 
2
3
3
2
 
f)  − dxx
245 Resposta: senx
2
5
= 
g)  − dxx
241 Resposta: senx
2
1
= 
Solução:  cos|cos|cos)(1)2(1 222 ===−=− senx , pois:  senxxsen
2
1
2 == 
h)  + dxx
243 Resposta: tgx
2
3
= 
i)  −− dxx
2)1(1 Resposta: sec1+=x Solução:  senxsenx +==− 11 
j)  − dxxx 1 Resposta: ou 0,1
2 += uux Assim  =+=− ...2)1(1
2 duuuudxxx 
Outra forma:  tgtgxx ==−=−= 222 1sec1sec . 
Assim, ...sec2sec2sec1 2422 ===−   dtgdtgtgdxxx 
 
7) Mostre que: k
r
xrx
arc
r
dxxr +







 −
+





=− 2
222
22 
r
x
sen 
2
 
 
8) Mostre que:  + dxx
21 = ( ) k| x tg x sec|ln x x tgecs
2
1
+++ 
 Dica:  du sec
3 u =   kutguutgu +++ sec|ln . sec
2
1
 
 
49 
Referências: 
 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração, 5a 
ed. São Paulo: Makrow Books, 1992. 
 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais 
Duplas e Triplas. São Paulo: Makrow Books, 1999. 
 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálculo C: Funções Vetoriais, Integrais Curvilíneas, 
Integrais de Superfície. São Paulo: Makrow Books, 1999. 
 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. I, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e 
Científicos Editora S. A., 2001 
 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. II, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e 
Científicos Editora S. A., 2001 
 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. III, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e 
Científicos Editora S. A., 2001 
 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. IV, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e 
Científicos Editora S. A., 2001 
 
HOFFMANN, L. D., Cálculo: Um Curso Moderno e suas Aplicações, 7a ed. Rio de Janeiro: LTC - 
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2004. 
 
RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. I, São Paulo: IBEC – 
Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982 
 
RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. II, São Paulo: IBEC – 
Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982 
 
Bibliografia de Apoio: 
 
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto 
Alegre: Bookman, Vol.I, 2000. 
 
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto 
Alegre: Bookman, Vol.II,2000. 
 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. I, São Paulo: Harbra, 1986. 
 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. II, São Paulo: Harbra, 1986. 
 
MUNEN, F. Cálculo. Vol. II, Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1982. 
 
LARSON, H. E. Cálculo com Aplicações. Trad. Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 1995. 
 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. I, São Paulo: Makrow Books, 
1994. 
 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. II, São Paulo: Makrow Books, 
1994. 
 
SIMMONS, G. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, v. 2, 1987. 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
INTEGRAL DEFINIDA (Adaptado de Guidorizzi, 2005, vol.1, 5 ed. p. 299ss) 
 
Objetivo: Introduzir o conceito de integral de Riemann, suas propriedades e aplicações. 
 
1. Partição de um intervalo 
 
Uma partição P de um intervalo [a, b] é um conjunto finito P = {x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn}, onde: 
 
a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b 
 
Uma partição P de [a, b] divide [a , b] em n intervalos [xi-1 , xi], i = 1, 2, ..., n 
 
 
 
 
 
A amplitude do intervalo [xi-1 , xi] será indicada por ix = xi-1 - xi. Assim, 
 
x1 = x1 – x0 ; x2 = x2 – x1; x3 = x3 – x2 ; ... ; xn = xn - xn-1 
 
Os números x1 , x2 , ... , xn não são necessariamente iguais. O maior deles denomina-se amplitude 
(ou norma) da partição P e indica-se por máx xi . 
 
Uma partição P = {x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn} de [a , b] será simplesmente indicada por: 
 
P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b 
 
Exemplo: [a , b] = [0 , 1] 
 
 P = {0, ½ ,1} 
 
 
 
P = {0, ¼ , ½ , ¾, 1} 
 
 
 
P = {0, 1/10 , 1} 
 
 
2. Soma de Riemann 
 
Sejam f uma função definida em [a , b] e P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b uma partição de [a , b]. 
Para cada índice i (i = 1, 2, 3, ... , n) seja ci um número em [xi-1 , xi] escolhido arbitrariamente. 
 
 
 
 
Pois bem, o número: 
 

=
+++=
n
i
nnii xcfxcfxcfxcf
1
2211 )(...)()()( 
 
denomina-se soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos números ci. 
a = x0 x1 x2 ... xi-1 xi ... xn-1 xn = b 
 0 ½ 1 
0 ¼ ½ ¾ 1 
0 1/10 1 
Amplitude = máx xi = ½ 
 
Amplitude = máx xi = ¼ 
 
Amplitude = máx xi = 9/10 
 
a = x0 x1 x2 ... xi-1 xi ... xn-1 xn = b 
. . . . c1 c2 ... ci ... cn 
 
52 
Observe que, se f(ci) > 0, ii xcf )( será então a área do retângulo Ri determinado pelas retas x = xi-1, 
x = xi, y = 0 e y = f(ci). 
 
 
 
Área de Ri = ii xcf )( 
 
Por outro lado, se f(ci) < 0, a área de tal retângulo será: ii xcf − )( 
 
 
 
Área de Ri = ii xcf − )( 
 
Geometricamente, podemos então interpretar a soma de Riemann 
=

n
i
ii xcf
1
)( como a diferença 
entre a soma das áreas dos retângulos Ri que estão acima do eixo x e a soma das áreas dos que estão 
abaixo do eixo x. Uma dessas situações é evidenciada na figura a seguir. 
 
 
 

=

6
1
)(
i
ii xcf = soma das áreas dos retângulos acima do eixo Ox menos a soma das áreas dos 
abaixo do eixo Ox. 
 
 
53 
Exemplo: 
 
Seja F uma função definida em [a, b] e seja P: a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 = b uma partição de [a, b]. O 
acréscimo F(b) – F(a) que F sofre quando se passa de x = a para x = b é igual à soma dos acréscimos 
F(xi) – F(xi-1) para i variando de 1 a 4: 
 
 
F(b) - F(a) = F(x4) – F(x0) = [F(x4) – F(x3)] + [F(x3) – F(x2)] + [F(x2) – F(x1)] + [F(x1) – F(x0)] 
 
 
Isto é: 

=
−−=−
4
1
1)()([)()(
i
ii xFxFaFbF 
 
De modo geral, se P: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b for uma partição de [a, b], então: 
 
 

=
−−=−
n
i
ii xFxFaFbF
1
1)()([)()( 
Teoremas: 
 
 
Teorema 1: Teorema de Rolle. 
 
Se f for contínua em (a, b) e derivável em (a, b) e f(a) = f(b), então existirá pelo menos um c em (a, b) 
tal que f ’(c) = 0 
 
 
Geometricamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 2: Teorema do Valor Médio (TVM). 
 
 
Se f for contínua em [a , b] e derivável em ]a , b[, então existirá pelo menos um c em ]a , b[ tal que: 
 
 
(c) ' 
)()(
f
ab
afbf
=
−
−
 ou )( (c). ' )()( abfafbf −=− 
 
 
Geometricamente, este teorema conta-nos que se s é uma reta passando pelos pontos (a, f(a)) e 
(b, f(b)), então existirá pelo menos um ponto (c, f(c)), com a < c < b, tal que a reta tangente ao gráfico 
de f, nesse ponto, é paralela à reta s. Como 
ab
afbf
−
− )()(
 é o coeficiente angular de s e f ’ (c) o de T, 
(c) ' 
)()(
f
ab
afbf
=
−
−
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a c b x 
f(b) 
 
 
 
f(a) 
y 
T 
s f 
a c b 
 
54 
Exemplo do T. V. M. 
 
1) Seja f (x) = x2 onde 20  x e encontremos um ponto (c, f (c)) que satisfaça o T.V.M. 
Represente geometricamente. 
 
Solução: 
 
Temos f (x) = x2, logo f ’ (x) = 2x 
 
Pelo T. V. M. 
 
x
ff
2
02
)0()2(
=
−
−
  x2
02
04
=
−
−
 2 = 2x x = 1 
 
 O ponto é (1, 1) 
 
Teorema 3: 
 
 
Sejam F e f definidas em [a , b] e tais que: F ’ = f em [a, b], assim F é uma primitiva de f em [a, b]. 
Seja a partição P: a = x0 < x1 < x2 <...< xn = b de [a, b], escolhendo conveniente ic em ],[ 1 ii xx − tem-se: 
 

=
=−
n
i
ii xcfaFbF
1
).()()( 
Prova: 
Pelo que vimos anteriormente: 
=
−−=−
n
i
ii xFxFaFbF
1
1 )]()([)()( 
 
Pelo TVM, existe ic em [xi-1 , xi] tal que: )).(c( ' )()( 1i1 −− −=− iiii xxFxFxF 
 
e como F ’ = f em [a , b] e 1−−= iii xxx resulta: 
 

=
=−
n
i
ii xcfaFbF
1
).()()( 
 
Nota: Se f é contínua em [a , b] e se os ix são suficientemente pequenos, para qualquer escolha de ci 
em [xi-1, xi] temos: 
 
)()( ii cfcf  
Logo 
 

=
−
n
i
ii xcfaFbF
1
).()()( 
 
É razoável esperar que a aproximação será tanto melhor quanto menor forem os ix . 
 
 
 
55 
3. Integral de Riemann: Definição 
 
Sejam f uma função definida em [a, b] e L um número real. Dizemos que 
=

n
i
ii xcf
1
)( tende a L, 
quando 0 → ixmáx , e escrevemos: 
Lxcf
n
i
ii
xmáx i
=
=
→
1
0 
)(lim 
 
 
se, para todo 0 , existir um 0 que só depende de  mas não da particular escolha dos ci, tal 
que: 
 
−
=
Lxcf
n
i
ii
1
)( 
 
 
 
para toda partição P em [a , b], com  ixmáx 
 
Tal número L, que quando existe é único, denomina-se integral (de Riemann) de f em [a , b] e indica-
se por dx )(
b
a
xf . Então por definição: 
 
dx )(
b
a
xf = 
=
→

n
i
ii
xmáx
xcf
i 1
0 
)(lim 
 
Se dx )(
b
a
xf existe , então diremos que f é integrável (segundo Riemann) em [a , b]. 
 
É comum nos referirmos a dx )(
b
a
xf como integral definida de f em [a , b]. 
 
Definimos, ainda: 
 
• 0dx )( =
a
a
xf 
 
 
• dx )(dx )(  −=
b
a
a
b
xfxf (com a < b) 
 
 
 
 
56 
4. Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) 
 
Se f for integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b], então: F(a)-F(b)dx )( =
b
a
xf . 
 
 
Prova: Temos pelo teorema 3 que se P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b é uma partição de [a , b], 
existem ic em ],[ 1 ii xx − tal que 
=
=−
n
i
ii xcfaFbF
1
)()()( . 
Assim, 
)()( aFbF − = 
=
→

n
i
ii
xmáx
xcf
i 1
0 
)(lim = dx )(
b
a
xf 
Notas: 
• A integral definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral indefinida, obtidos 
para x = a e x = b, respectivamente. 
 
• É possível provar que toda função contínua em [a, b] é integrável em [a, b]. 
 
• Temos então pelo TFC que, se f é contínua em [a, b] e F é uma primitiva de f em [a , b], então: 
 
F(a)-F(b)dx )( =
b
a
xf 
 
• É usual denotar a diferença )]()([ aFbF − por ba )]([ xF. Assim, 
 
F(a)-F(b) )]([dx )( ba == xFxf
b
a
 
Exemplos: Calcule 
1) dx 
2
1
2
 x = ... = 3
7
 
Solução: 
3
)(
3x
xF = é uma primitiva de f(x) = x2 e f é contínua em [1 , 2] 
Assim, dx 
2
1
2
 x = 3
1
-
3
8
3
2
1
3
=




 x
 
3
7
 
2) −
3
1
2 3 dxx = ... = 28 3) dx 4
3
1− = ... = 16 
4) dx )13(
2
0
3
 −+ xx = ... = 8 5) dx 
12
1 2 x
= ... = 
2
1
 
5) 
4
1
 
2
dx
x
 = ... = ln 16  2,77 6) dx 
112
1 3 




+
xx
= ... = 
8
32ln8 +
 
7) dx 
1
0
−xe = ... = 
e
1
1− 8) 
−
2
2
 x os

 dxc = ... = 2 
9) dx 2sen8
0

x = ... = 
4
22 −
 10)  −
1
0
10 dx )1(x = mudança de variável = ... = 
11
1
 
11) dxx −
1
2
1 12 = mudança de variável = ... = 
3
1
 
12) 
1
0
3 dxe x = mudança de variável = ... = 
3
13 −e
 
13)  +
1
0 2 1
dx
x
x
 = mudança de variável = ... = 
2
2ln
 
14)  +
2
1
2 1x . dxx = mudança de variável = ... = 
3
2255 −
 
 
57 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Calcule as seguintes integrais definidas 
a)  
21
0 dxx Resposta: 
3
1
 
b)  + dxx )52(
3
1
 Resposta: 18 
c)  dxx
32
0
 Resposta: 4 
d)  − dxx
30
2
 Resposta: - 4 
e)  − dxx
32
2
 Resposta: 0 
f)  +− dxxx )34(
25
0
 Resposta: 
3
20
 
g)  − dxx)1(
3
1
 Resposta: - 2 
h)  
25
0 dxx Resposta: 
3
125
 
i)  
73
0 dxx Resposta: 
8
561.6
 
j)  7
1
0 dx Resposta: 7 
k)  9
7
3 dx Resposta: 36 
l)  
34
1 dxx Resposta: 
4
255
 
m)  dxx
25
2
 Resposta: 39 
n)  − 
53
1 dxx Resposta: 
3
364
 
o)  − dxx
53
16 Resposta: 728 
p)  + dxx )73(
2
0 Resposta: 20 
q)  ++ dxxx )35(
23
0
 Resposta: 
2
81
 
r)  −+− dxxx )85(
32
1
 Resposta: 
4
51
− 
s)  +− dxxx )(
52
2 Resposta: 0 
t)  cos20 dxx

 Resposta: 1 
u)  dxxs en 20

 Resposta: 1 
v)  dxxc os0
 Resposta: 0 
w)  en 0 dxxs
 Resposta: 2 
x)  dxe
x1
0 Resposta: e - 1 
y)  − dxe
x1
1
 Resposta: 
e
e
1
− 
z) Represente geometricamente e interprete o resultado das seguintes integrais 
(i)  − 
21
1 dxx Resposta: 
3
2
 
(ii)  − 
31
1 dxx Resposta: 0 
 
58 
INTEGRAL DEFINIDA 
Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de Administração, 
Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p. 
Seja a função y = f(x) e consideremos o seguinte problema: calcular a área A limitada pelo gráfico 
dessa função, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, conforme a Figura abaixo. Vamos dividir o 
intervalo [a, b] em n subintervalos tais que: 
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi-1 < xi < ... < xn = b 
 
Seja ci um ponto qualquer de um subintervalo e xi = xi - xi-1 o seu comprimento. Para cada retângulo 
construído, a sua base é xi e a sua altura f(ci). 
Conforme a Figura anterior, a soma das áreas dos n retângulos é dada por: 

=
=+++=
n
i
iinnn xcfxcfxcfxcfA
1
2211 )()(...)()( 
sendo conhecida como soma de Riemann da função f sobre o intervalo [a, b]. 
Note que, à medida que n cresce, o valor de xi decresce fazendo que a área An se aproxime da área 
sob a curva. 
Assim, podemos dizer que a área limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x, de a até b, é dada pelo 
limite 

=
→
=
n
i
ii
xmáx
xcfA
i 1
0
)(lim ou equivalentemente 
=
→
=
n
i
ii
n
xcfA
1
)(lim 
Este limite recebe o nome de integral definida da função f sobre o intervalo [a, b], sendo indicada 
pela notação dxxf
b
a )( , ou seja, 

=
→
=
n
i
ii
xmáx
b
a
xcfdxxf
i 1
0
)(lim)( 
onde: a = limite inferior de integração e b = limite superior de integração. 
Como o cálculo do limite anterior é muito trabalhoso, a integral definida poderá ser calculada através 
do Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
 
59 
INTEGRAL DEFINIDA (Adaptado de: RIGHETTO e FERRADAUTO, 1982) 
 
Introdução: Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Tomemos nesse intervalo 
os pontos: 
x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn-1, xn 
tais que: 
a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn-1 < xn = b 
 
 
 
Esses pontos estabelecem uma partição do intervalo fechado [a , b], decompondo-o nos subintervalos 
 
[x0 , x1], [x1 , x2], [x2 , x3], ..., [xi-1 , xi], ..., [xn-2 , xn-1], [xn-1 , xn] 
 
cujos comprimentos: 
 
x1 – x0 = x1 , x2 – x1 = x2 , xi – xi-1 = xi , ... , xn-1 – xn-2 = xn-1 , xn - xn-1= xn 
 
Portanto, de modo geral: 
xi = xi – xi-1 , i = 1, 2, ..., n 
 
O maior dos comprimentos: x1 , x2 , ..., xn-1, xn é chamado amplitude ou norma da partição. 
 
Tomemos, para cada índice i um ponto i  [xi-1 , xi] e consideremos o valor yi = f(i) da função neste 
ponto. 
 
Se multiplicarmos cada valor de f(i) pelo comprimento do correspondente subintervalo teremos as 
áreas dos retângulos de base xi e altura f(i). 
 
A1 = x1 . f(1) , A2 = x2 . f(2) , ... , An = xn . f(n) 
 
Somemos estas áreas: 

=
+++=
n
i
nnii xfxfxfxf
1
2211 ).(...).().().(  
 
A soma 
=

n
i
ii xf
1
).( aproxima-se de um número real L, tal que: 
 
 − 
=
n
i
ii xfL
1
).( , 
 
sendo  um número positivo arbitrário, tão pequeno quanto se desejar, então: 
 
Lxf
n
i
ii
n
=
=→
→
1)(
0x
).( lim
i
 
 
O número L diz-se integral definida da função f(x) no intervalo [a, b]. 
 
60 
Esta integral é indicada pelo símbolo 
b
a
dxxf )( . Temos, assim: 
b
a
dxxf )( = Lxf
n
i
ii
n
=
=→
→
1)(
0x
).( lim
i
 
 
A integral definida significa, geometricamente, a medida da área da superfície limitada pelo gráfico da 
curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b. 
 
No nosso caso: 
b
a
dxxf )( = Área da superfície AabB 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 
Habitualmente, indicamos: )()()]([ )( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−== 
 
que é a expressão do teorema fundamental do cálculo. 
 
A integral definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral indefinida, obtidos para 
x = a e x = b, respectivamente. 
 
Exemplos: 
1) −
3
1
2 3 dxx = ... = 28 2) 
4
1
 
2
dx
x
 = ... = ln 16  2,77 3) 
−
2
2
 x os

 dxc = ... = 2 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
 
Nas aulas sobre derivadas resolvemos problemas do tipo: Dada uma função f, determinar a sua 
derivada, ou seja, determinar f'. Estudaremos agora um problema relacionado: Dada uma função f, 
achar uma função F tal que F' = f. 
 
Este relevante teorema possibilita achar valores exatos de integrais definidas utilizando uma anti 
derivada ou integral indefinida. Esse processo pode ser encarado como o inverso da determinação da 
derivada de uma função. 
Este teorema estabelece uma relação entre derivadas e integrais – um resultado chave para o cálculo. 
 
Notação: 
→ sinal (símbolo) de Integral 
→ dxxf )( integral indefinida de f(x) 
k→constante de integração 
f(x)→ integrado 
Usa-se o adjetivo indefinido pois dxxf )( representa uma família de antiderivadas e não uma função 
específica. 
dx → símbolo que especifica a variável independente. 
 
A notação dxxf
b
a
 )( foi criada por LEIBNIZ (1646-1716) para representar a integral de f(x) em 
[a, b], o símbolo S se origina de um S alongado, pois decorre da associação da integral com uma soma 
onde as parcelas ii xcf ).( são representadas por f(x) dx. 
 
A integral definida surge de modo natural quando consideramos o problema da determinação da área 
de uma região do plano xy. Salienta-se que esta é apenas uma das aplicações (pode ser utilizada por 
exemplo para...). 
 
FÓRMULAS: dxxfAÁrea ba )(== dttvdDistância
b
a )(== dxxfVolume
b
a
2))((=
 
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A ÁREA DE UMA FIGURA PLANA – Adaptado de: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/ 
 
Sabemos calcular a área de algumas figuras planas como, por exemplo, retângulos, triângulos,