APOSTILA_OPER_UNITARIAS_IFAM

Prévia do material em texto

OPERAÇÕES UNITÁRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS 
 
 
Objetivos 
Apresentar os princípios fundamentais envolvidos nas operações unitárias relacionadas a 
sistemas particulados, de forma a permitir tanto o projeto quanto a análise do desempenho de 
equipamentos que lidam com estes sistemas. 
 
Ementa 
Fundamentos. Caracterização de partículas e de sistemas particulados. Dinâmica da 
interação sólido-fluido. Aplicações a sistemas diluídos. Separação sólido-fluido: Elutriação, 
câmaras de poeira, ciclones, centrifugas, e hidrociclones. Separações sólido-sólido: 
Peneiração, Classificação Jigagem, Flotaçâo. Aplicações a sistemas concentrados: 
escoamento monofásico em meios porosos, filtração, sedimentação, fluidização, transporte 
pneumático, e hidráulico de partículas. Escoamento bifásico em meios porosos. 
 
Livro texto: Fluidodinâmica em Sistemas Particulados. Massarani, G. 2a edição e-papers, 
Rio de Janeiro, 2002. 
Bibliografia: 
Perry, R.H.; and Green, D.W. Perry´s Chemical Engineering Handbook. 5a edição. 
McGraw-Hill, New York. 1999 
Allen, T. ; Particle Size Measurement. 3a edição. Chapman and Hall, 1981. 
Coulson, J.M. and Richardson, J.F. :Chemical Engineering, vol. 2 3a edicao. Pergamon 
Press, Oxford, 1978. 
Kunii, e Levenspiel; Fluidization Engineering. J. Wiley. 1969. 
Svarovsky, L.; Solid-Gas Separation. Elsevier Scientific P. Co. 1981. 
Wills, B. A. Mineral Processing Technology. 4a Edicao. Pergamon Press, Oxford, 1988. 
Conversão de unidades. http://www.gordonengland.co.uk/conversion/ 
Fontes adicionais de informação: 
1. Science direct. (www.sciencedirect.com/) Acesso direto a artigos das principais 
revistas técnicas e científicas do mundo. 
2. Capes. (www.periodicos.capes.gov.br/) 
3. Brazilian Journal of Chemical Engineering. 
4. Revistas específicas sobre sistemas particulados: 
• Powder Technology 
• Particulate Systems 
• International Journal of Mineral Processing 
• Journal of Porous Media 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES UNITÁRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS NOTAS DE AULAS... ............1 
OPERAÇÕES UNITÁRIAS I ...............................................................................................1 
 1
I. Partículas e Distribuições de Tamanhos.................................................................. .........3 
I.1 Caracterização de Partículas Isoladas....................................................................3 
I.2.Estatística de Partículas: distribuições........................................................... ...........4 
I.3 Determinação Experimental da Distribuição de Tamanhos.............................. .......5 
I.4 Balanços Materiais................................................................................... ...............7 
II.PENEIRAÇÃO............................................................................................. ......................8 
III. COMINUIÇÃO, MOAGEM................................................................. ..............................9 
III.1 Introdução...................................................................................................... ............9 
III.2 Moagem Primária.......................................................................................................9 
III.3 Moagem Secundária....................................................................... .........................10 
III.4 Moagem Autógena...................................................................................................10 
III.5 Consumo de Energia e Potencia para Redução de Tamanhos...............................10 
IV. DINÂMICA DA INTERAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO................ ............................................11 
IV.1 Movimento da Partícula.............................................. ............................................ 11 
IV.1.1 Regime de Stokes, de Newton e Intermediário....... .............................................12 
IV.2 VelocidadeTerminal.................................................. ...............................................13 
IV.3 Diâmetro de Sedimentação.................................... .................................................14 
IV.4 Efeito de Parede.................................................... ..................................................15 
IV.5 Efeito da Concentração de Partículas ....................... Erro! Indicador não definido. 
IV.6 Partículas em Fluidos não-Newtonianos .................................................................17 
V. DECANTAÇÃO E SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO.......................................................18 
V.1 Câmara de Poeira .....................................................................................................18 
V.2 Projetos de Ciclones Industriais................................................................................19 
IV.3 Hidrociclones............................................................................................................22 
VI INTRODUÇÃO AO BENEFICIAMENTO DE MINÉRIOS ...............................................23 
VI.1 Elutriaçao .................................................................................................................24 
VI.2 Flotação ...................................................................................................................25 
VI.3 Jigagem....................................................................................................................28 
VII SISTEMAS PARTICULADOS........................................................................................28 
VII.1 Balanços de massa.................................................................................................28 
VII.2 Balanços de Momento ............................................................................................30 
VII.3 Escoamentos através de Meios Porosos ...............................................................31 
VII.4 Permeabilidade .......................................................................................................33 
VII .5 Escoamentos de Fluidos Não-Newtonianos..........................................................35 
VII.6 Aplicações...............................................................................................................35 
VIII FLUIDIZAÇÃO ..............................................................................................................36 
VIII.1 Teoria da Fluidização.............................................................................................37 
VIII.2 Tipos de Fluidização a Gás ...................................................................................38 
VIII.3 Teoria das Duas Fases............................. ............................................................39 
VIII.4 Mistura e Segregação............................ ..... ..........................................................40 
IX SEPARAÇÃO DE FASES...............................................................................................41 
IX.1 Referencias e Aspectos Gerais ...............................................................................41 
IX.2 Sedimentação em Batelada.....................................................................................42 
IX.3 Sedimentação Contínua..................................................... .....................................44 
IX.4FILTRAÇÃO..............................................................................................................46 
Seleção de um sistema de filtração....................................................................... .........46 
Teoria simplificada da filtração com formação de torta.......................................... ........47 
Filtração a pressão constante.........................................................................................48 
Lavagem datorta............................................................................................................49 
Produção máxima, dimensionamento de um filtro..........................................................49 
IX.5Filtração em filtro rotativo......................................................................................... 51 
IX.6 Avaliação da teoria simplificada...............................................................................51 
IX.7 Filtração em leito granular .......................................................................................52 
 
 2
affonso
Inserted Text
I. Partículas e Distribuições de Tamanhos 
Esta disciplina trata de diversos sistemas, operações e equipamentos nos quais há a 
participação de uma fase descontínua, composta por partículas sólidas, ou gotas de um 
líquido, quase sempre interagindo com uma fase gasosa ou líquida. A primeira destas duas 
será denominada “fase particulada”, e a segunda de “fase contínua” ou “fluida”. Suas 
aplicações vão desde o controle da emissão de particulados para a atmosfera ao projeto de 
processos e de equipamentos comuns a diferentes indústrias de processamento químico. 
É possível fazer a distinção entre os métodos de estudo dos sistemas particulados por 
sua faixa de aplicação a sistemas diluídos e sistemas concentrados. Nos sistemas diluídos a 
atenção é dirigida à fase particulada, e o estudo das possíveis interações sólido-fluido tem por 
base o que acontece a uma partícula isolada, uma vez que estas estão distantes, uma das 
outras, e os efeitos da concentração de partículas são pequenos e podem, quando 
necessário, ser considerados como correções a serem introduzidas nos resultados 
simplificados. No outro extremo têm-se os sistemas concentrados, para os quais as duas 
fases interagem fortemente, tornando-se mais eficiente a abordagem do sistema por seus 
parâmetros macroscópicos, e menosprezando-se o comportamento individual das partículas. 
Com esta abordagem estudam-se os escoamentos em meios porosos em particular ou a 
teoria mecânica de sistemas multifásicos. 
Na primeira parte deste curso trataremos dos sistemas diluídos visando à descrição dos 
processos de arraste e coleta de sólidos particulados. Antes porem é necessário a 
caracterização das partículas isoladamente e em conjunto. 
I.1 Caracterização de Partículas Isoladas 
Consideramos uma amostra de partículas, a cada uma delas podemos associar certas 
propriedades, algumas das quais estão listadas no seguinte quadro. 
propriedade símbolo descrição unidades 
densidade ρp massa /p.u.volume Kg/m3 (g/cm3) 
tamanho Dp, L uma dimensão linear m; mm; µm, nm 
área superficial Sp área da superfície m2; mm2; µm2, nm2
volume Vp m3; mm3; µm3, nm3
esfericidade φ sem dimensão 
massa mp p pm / Vρ = p Kg; g 
 
A esfericidade é um fator de forma definido como a relação entre a área superficial da 
esfera de mesmo volume e a área superficial da partícula. 
2
3
p
p
6 V
S
π ⎛ ⎞φ = ⎜ ⎟π⎝ ⎠ .
1,
 
Uma vez que a esfera é o sólido de menor área superficial, conclui-se que0 ≤ φ ≤ e φ=1 
se e apenas quando a partícula é esférica. 
Exercício 1. 
Calcule a esfericidade de um cubo e de um paralelepípedo com arestas l, l, e 1,5l. 
Partículas irregulares são caracterizadas por diferentes tipos dimensões lineares, 
denominadas diâmetros ou tamanhos. 
Alguns destes são apresentados a seguir: 
• Diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula 
1
3
p p
6D V⎛ ⎞= ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ; 
• D# diâmetro de peneira, valor médio das aberturas de malhas de peneiras 
consecutivas pelas quais a partícula passa e é retida ( )1# 2D D D+ −= + ; 
 3
• Diâmetro de Ferret, DFe, valor médio da distancia entre tangentes paralelas à área 
projetada da partícula. Obtido por microscopia; 
• Diâmetro de sedimentação Dsed, diâmetro da esfera de mesma densidade, que 
sedimenta com a mesma velocidade que a partícula; 
• Diâmetro de Stokes diâmetro de sedimentação no regime de Stokes; 
 
I.2. Estatística de Partículas: distribuições 
Uma amostra de um sistema particulado conterá partículas de diferentes tamanhos. Assim 
poderemos observar, ou medir as distribuições associadas a cada uma das seguintes 
quantidades: 
1. número de partículas, 
2. massa total da amostra, 
3. volume total da amostra, 
4. área superficial de todas as partículas, 
5. tamanho, soma dos tamanhos individuais. 
As distribuições estatísticas têm por base a quantidade de partículas associadas a uma 
determinada propriedade de seu conjunto, ou de uma amostra. Alguns exemplos servirão 
para elucidar estas questões. 
¾ Número de partículas com massa menor que m, ( )pN m ; 
¾ Fração numérica de partículas com massa menor que m, ; ( )pn m
¾ Massa de partículas com massa menor que m, ( )pM m ; 
¾ Fração ponderal de partículas com massa menor que m, ; ( )pX m
¾ Volume de partículas com massa menor que m, ( )pV m ; 
¾ Fração volumétrica de partículas com massa menor que m, ; ( )pv m
Distribuições associadas à área superficial, ou ao tamanho podem também ser definidas. 
O argumento das distribuições apresentadas pode ser outro no lugar da massa. Assim 
podemos falar de ( ) ( ) ( )p pN V , ou M S , ou M Dp para: 
• o número de partículas com volume menor que V; 
• a massa de partículas com área superficial menor que S; 
• a massa de partículas com tamanho menor que D. 
A distribuição mais freqüentemente utilizada na descrição de sistemas particulados é 
aquela que representa a fração ponderal de partícula com diâmetros menores que D, 
denominada distribuição granulométrica. 
As derivadas destas distribuições em relação aos respectivos argumentos representam: 
( ) ( ) ( ) ( )dX Dx D , x D dD dX D
dD
≡ = = fração de partículas com diâmetros entre 
 D e D+dD.
A inversa desta relação determina a distribuição original. 
( ) ( )D
0
X D x D dD.= ∫ (I.2.1) 
As duas funções ( ) (X D , e x D ,)
expressão aplica-se a diâmetros compreendidos entre .
 possuem a mesma informação, pois o conhecimento de 
uma delas fornece o conhecimento da outra através de uma simples operação matemática. 
Análise granulométrica diz respeito a uma técnica experimental que visa a determinação 
da distribuição de tamanho de partículas de uma dada amostra. Expressões matemáticas 
para distribuições são múltiplas, e quase todas são contínuas, i.e. o argumento da expressão 
é um número real variando numa faixa de valores conhecidos. Assim, por exemplo, a 
min maxD D D≤ ≤ Existem muitos 
 4
analisadores de distribuição de tamanhos de partículas, que ara o controle da 
produção de pós. Em diversos setores industriais como: cimentos e cerâmicos; corantes e 
pigmentos; alimentos; fármacos; e muitos outros o controle da distribuição granulométrica é 
crítica. 
As técnicas mais empregadas para medida de distribuições granulométricas são: 
 são usados p
• a análise de peneiras [ ]200 m D 20mmµ ≤ ≤ 
• observação microscópica 
• difração de laser [ ]0,04 mµ ≤ D 2000 m≤ µ 
Algum e as para as distribuições granulométricas são dadas abaixo. as xpressões analític
i). Distribuição de Weibull a três parâmetros: 
( ) D DX D 1 exp 0,
α⎧ ⎫
, D D, D 0,
D
⎛ ⎞ ′ >⎨ ⎬⎜ ⎟′⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
 (I.2.2) 
 
−⎪ ⎪= − − ≥ α >� �
( )
1
D D D Dx D exp
D D D
α− α⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞α − −⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣
� �
⎥⎦
. (I.2.3) 
 é um diâmetro inferior de corte para o qual se supõe que inexistam partículas menores 
D por 
D�
´, e α são parâmetros indicativos da dispersão das partículas, e devem ser determinados 
ajuste aos dados da distribuição de tamanhos. 
ii). Distribuição de Weibull a 2 parâmetros 
 É a que resulta quando se faz D 0=� , i.é: 
( ) DX D 1 exp 0,α⎡ ⎤⎛ ⎞= − − ≥⎢ ⎥ , D 0, D 0,
D
′α > >⎜ ⎟′⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 (I.2.4) 
( ) 1D Dx D exp .
D D D
α− α⎡ ⎤α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎟′ ′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎣ ⎥⎦
 (I.2.5) 
Estas duas distribuições são muito utilizadas para as distribuições de tamanho de partículas. 
r iii) Distribuição lognormal A distribuição norma não deve ser utilizada por não faze
sentido seu ramo negativo. Uma variável X é de distribuição lognormal se Y =lnX é de 
distribuição normal, 
( ) ( )
2
1x D 2
lnD
exp , D 0, 0.
2 D 2
⎧ ⎫⎪ ⎪= − ≥ σ >⎨ ⎬πσ σ⎪ ⎪⎩ ⎭
 (I.2.6) 
( ) lnDX D ,⎛ ⎞= φ⎜ ⎟σ⎝ ⎠ (I.2.7) 
 
I.3 Determinação Experimental da Distribuição de Tamanhos 
Análise de 
is simples e diretas para a determinação da distribuição de tamanho 
de 
Peneira 
Uma das técnicas ma
uma amostra de partículas é a análise de peneiras. Peneiras padronizadas, com malhas 
precisas, formando uma série com abertura de malhas cada vez mais finas. As peneiras 
selecionadas são empilhadas, como mostra a figura, e colocadas sobre um vibrador, a 
amostra sendo colocada na peneira superior, a mais aberta. 
 
 5
 
 
As peneiras ficam encaixadas sobre uma panela destinada a recolher a parcela de 
partículas mais finas, que passam por todas as malhas das peneiras. Após certo tempo, 
previamente determinado retira-se e pesa-se o material retido em cada uma das peneiras do 
sistema. 
As peneiras de serie Tyler são produzidas de diferentes materiais, formando uma malha 
quadrada com aberturas que decrescem na proporção de 42, ou 2 . 
Exemplo 2. A seguinte seqüência de uma série Tyler é dada, com resultados de uma 
análise. Para esta análise determine as curvas de x(D) e a distribuição cumulativa, X(D), e 
ainda determine os parâmetros ótimos para a distribuição de Weibull. 
 
 
 
 
Peneira 
# 
Abertura 
(µm) 
Massa 
retida(g)
Peneira 
# 
Abertura 
(µm) 
Massa 
retida(g) 
4 4750,0 8,8534 50 299,9 51,231
6 3350,0 21,592 60 248,8 26,97 
8 2360,0 39,33 80 178,9 21,708
12 1680,0 60,048 100 148,9 17,445
16 1180,0 79,764 140 105,0 15,178
20 850,9 87,026 200 74,1 15,894
30 601,0 71,288 270 53,0 17,61 
40 426,1 66,549 fundo 0 12,08 
 
Difração de Laser 
Analisadores da distribuição de tamanhos de partículas por difração de laser são 
empregados para o controle da produção de pós em todas as situações onde o estado da 
distribuição é determinante da qualidade do produto. Entre estas exclui se a produção de 
materiais cerâmicos, de fármacos e de alimentos. 
Os analisadores por difração de laser dão resultados rápidos, seguros e precisos sobre a 
distribuição de tamanhos permitindo o controle de qualidade. Produzem resultados bem 
precisos na análise de partículas numa larga faixa de tamanhos desde 0,1 mícron até 2mm. 
 6
Malvern é um dos produtores de sistemas automáticos para esta faixa de tamanhos. A 
Polymer Laboratories lançou recentemente um sistema que alcança a faixa de 
nonopartículas, compreendendo de 5nm ate 300nm. 
I.4 Balanços Materiais 
Consideremos uma corrente de particulados com distribuição de tamanhos conhecida que 
alimenta um sistema de separação por tamanhos. O sistema possui uma alimentação A, com 
vazão mássica MA, e produtos de topo T, e de fundo F, respectivamente com vazões 
mássicas MT, e MF.. 
Balanço Global: (para o regime permanente) 
A TM M M= + F. (I.2.8) 
Balanço de partículas com diâmetros na faixa D e D+dD ( ) ( ) ( )A A T T F F
A A T T F F
M x D dD M x D dD M x D dD, ou
M x M x M x .
= +
= + (I.2.9) 
Quanto da alimentação é retirado pelo fundo é dado pela relação Com ela 
podemos escrever o balanço acima sob a forma: 
F F AR M /M= .
( )A F T Fx 1 R x R x= − + F.
T
 (I.2.10) 
Note que a situação em que A Ff f f= = representa uma solução trivial, para a qual o 
sistema nada faz; os dois produtos de fundo e de topo são idênticos à entrada. 
A eficiência de coleta das partículas é definida pela relação entre o que sai pelo fundo 
sobre a alimentação. 
( ) F F A AD M x /M xη = . (I.2.11) 
F A T
F F
1x x , x
R 1 R
η −= = − Ax .
η (I.2.12) 
Note que esta eficiência depende do tamanho da partícula. Partículas diferentes serão 
coletadas com eficiências diferentes. Em geral a eficiência de coleta é maior para as maiores 
partículas. Conhecida uma expressão para a eficiência de coleta em função do diâmetro 
podemos calcular a eficiência média de coleta pela expressão: 
( ) ( )A
0
D x D dD.
∞
η = η∫ (I.2.13) 
Outros arranjos de correntes de sistemas particulados são possíveis. Alguns exemplos 
são: 
1) Mistura de duas (ou mais) correntes P
Ai
1x
M
= ∑ Ai AiM x .∑ (I.2.14) 
2) Associação de separadores, pelo fundo ou pelo topo. 
Balanço no primeiro separador 
1 1
A TM M M= + 1F,
1
F,
A
1 ,
 (I.2.15) 
1 1 1 1 1 1
A A T T F FM x M x M x .= + (I.2.16) 
Balanço no segundo separador 
2 2 2 2
A T F AM M M , M M= + = (I.2.17) 
1 1 2 2 2 2
F F T T F FM x M x M x .= + (I.2.18) 
Razões de fundo 
1 1 1 2 2 2 2 1
F F A F F A FR M /M , R M /M M /M .= = = (I.2.19) 
Eficiências de coleta 
( )1 1 1 1F F A AD M x /M xη = (I.2.20) 
 7
( )2 2 2 2F F A AD M x /M xη = 2 . (I.2.21) 
As soluções destas equações dão os seguintes resultados: 
1 1
1 1 1
F A T1
F F
1x x , x
R 1 R
η −= = −
1
A1 x ;
η (I.2.22) 
2 2
2 1 2
F F T2
F F
1x x , x
R 1 R
η −= = −
1
F2 x ;
η (I.2.23) 
2 1 2 1
2 1 2
F A T2 1 2 1
F F F F
1x x , x
R R 1 R R
η η − η η= = −
1
Ax . (I.2.24) 
II. PENEIRAÇÃO 
Sistemas de peneiração podem ser empregados para produzir de 2 a 4 correntes de 
produtos. Uma boa capacidade é alcançada pela “vibração circular” no plano vertical. 
Usualmente são fabricadas de aço carbono ou aço inoxidável, e ativadas por um motor com 
excêntrico ajustável. Este ajuste permite características de vibração diferentes, para uma 
peneiração suave e grandes tempos de residência, ou alta capacidade mesmo para materiais 
de difícil tratamento. A capacidade das peneiras depende do seguinte: 
1. largura da área onde o material está sendo alimentado; 
2. relação entre abertura da malha e tamanho das partículas; 
3. vibração imposta à peneira; 
4. inclinação da peneira. 
Pode-se aumentar a capacidade da peneira aumentando a freqüência da vibração, ou o 
ângulo de sua inclinação. Usualmente as peneiras são calculadas para suportar 5g de 
aceleração. 
 
 8
 
 
III. COMINUIÇÃO, MOAGEM 
III.1 Introdução 
Os termos “redução de tamanho”, “moagem”, ou “Cominuição” referem-se a todas as 
técnicas pelas quais materiais sólidos são cortados ou quebrados em pedaços menores, 
independentemente dos diferentes propósitos da redução. Blocos de minérios são 
esmagados a tamanhos apropriados, materiais sintéticos são moídos e transformados em 
pós, folhas de plásticos são cortadas em pequenos cubos. Na produção de polpa de papel a 
madeira é feita em lascas de tamanho adequado para permitir um cozimento eficiente. Na 
produção de cimento os materiais empregados como matéria prima são moídos até que a 
distribuição adequada de tamanhos de partículas seja obtida. A mistura é então queimada 
para transformar-se no clinquer e este é novamente moído. Na produção de tintas diversos 
pigmentos são empregados. Uma vez que a tinta recobre a superfície a ser pintada tão 
melhor quanto mais finamente moído estiver o pigmento, este deve ser eficientemente moído. 
A redução de tamanho das matérias-primas minerais consiste de três fases: 
mineração 
moagem primaria ou britagem 
moagem secundaria ou moagem 
III.2 Moagem Primária 
A moagem primária aplica-se diretamente ao material minerado, ou a qualquer outro 
material grosseiro e consiste de uma ou varias etapas de aplicação de pressão ou de impacto 
sobre o material com tamanho de partícula adequado para ser alimentado a umequipamento 
de moagem primaria. O tamanho máximo difere substancialmente com o equipamento 
empregado, e o produto obtido possui comumente cerca de 10mm. 
Britadores 
Para a moagem primária são empregados três classes de britadores: 
¾ Britadores de mandíbulas, Pesquisa Google: britadores de mandibulas 
¾ Britadores giratórios, Pesquisa Google: britadores giratórios 
¾ Britadores de rolos, Pesquisa Google: britadores de rolos 
¾ Britadores de impacto Pesquisa Google: britadores de impacto 
Britadores de Mandíbulas 
Britadores de mandíbulas operam sob o princípio de compressão. O material é 
comprimido entre uma superfície fixa e outra móvel. As duas mandíbulas formam uma câmara 
na forma de V, larga na parte superior, e estreita na parte baixa. A moagem se dá nesta 
câmara. A mandíbula móvel está fixa em um ponto, e é acionado por um excêntrico. A carga 
a ser moída é introduzida no topo, a mandíbula móvel se afasta e a carga desce. No 
movimento de retorno a mandíbula comprime o material e resulta a moagem. No próximo 
movimento de abertura das mandíbulas o material moído desce para uma abertura mais 
 9
estreita e o ciclo se repete. A abertura máxima determina o tamanho máximo de partícula que 
pode ser admitido, enquanto que a mínima relaciona-se com o tamanho do produto. A razão 
de moagem de um britador de mandíbulas varia entre 3 e 7. 
Britadores Giratórios 
Os britadores giratórios possuem um elemento central, vertical, rotativo em forma de 
cone, operando numa câmara aberta. A cabeça de moagem na forma de um cone truncado 
está montada num eixo vertical excêntrico. O espaço entre o cone e a parede da câmara 
decresce gradualmente. O material a ser moído é alimentado no topo. Quando o britador é 
acionado o cone gira em torno de seu eixo. O material é comprimido entre o cone móvel e o 
cone fixo. A relação de moagem situa-se entre e 3 e 10. 
 
Britador de Rolos 
Um britador de rolos consiste de dois rolos com superfície de aço com eixos horizontais 
entre os quais a moagem se dá. O eixo de um dos rolos é fixo à estrutura do britador, por 
rolamentos e o outro rolo é sustentado por molas. O ajuste do britador, i.e. a distância entre 
os rolos é ajustável. Britadores de rolos são empregados para moagem fina. 
Britador de impacto 
Britadores de impacto são usados para materiais friáveis ou maleáveis. Uma de suas 
características é que a moagem é baseada no impacto e não na pressão, como nos 
britadores comuns. Impactos se sucedem continuamente, em séries rápidas. A relação de 
moagem é muito alta. Depende do material a ser moído, da velocidade de rotação dos 
martelos e do ajuste entre martelos e a carcaça. O britador é frequentemente aberto no fundo, 
mas pode possuir uma superfície de peneiramento. Assim o material não deixa o britador 
antes de estar suficientemente moído. 
III.3 Moagem Secundária 
Na britagem secundária o material é transformado em pós finos levados até a ordem de 
alguns micra, ou até a nanômetros, atualmente necessários à nanotecnologia. 
Moinho de bolas Pesquisa Google: moinhos de bolas
Moinho de bastões 
III.4 Moagem Autógena 
Na moagem autógena o material a ser moído tem a função de moer. Tipicamente um 
moinho de cilindro rotativo, semelhante ao moinho de bolas é utilizado, mas o agente da 
moagem é o próprio material a ser moído. O material é alimentado ao moinho e sua 
movimentação causada pela rotação do moinho provoca a moagem. Um catalogo da Metso 
Minerals Industries encontra-se no: http://www.metsominerals.com/ 
III.5 Consumo de Energia e Potencia para Redução de Tamanhos 
O custo da energia despendida na moagem é elevado, por conseqüência seu controle é 
importante. A mais antiga relação proposta para o cálculo da energia gasta na moagem é a lei 
de Rittinger, segundo a qual o trabalho é proporcional à criação de superfície. Para a moagem 
de m [ de matéria prima alimentada ao moinho, há um consumo de energia kg / s]�
 m r
prod. a lim.
1 1P /m K
Dp Dp
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� . 2m p
p
dP D
dD
−∼ (III.5.1) 
Nesta equação Kr é a constante de Rittinger, alim.Dp é diâmetro médio da alimentação 
prod.Dp é o diâmetro médio do produto. 
 10
A lei de Kick tem por base a suposição de que o trabalho para moer certa quantidade de 
sólido só depende da relação entre os tamanhos da alimentação e produto. 
 alim.m k
prod.
DpP /m K ln ,
Dp
⎛ ⎞= ⎜⎜⎝ ⎠
� ⎟⎟ 1m p
p
dP D
dD
−∼ (III.5.2) 
onde Kk é a constante de Kick. 
A lei de Bond que emprega um expoente entre os dois resultando em dependência com o 
inverso da raiz do diâmetro da partícula. 
bond 80 80
prod a lim
1 1P /m K
D D
⎛ ⎞⎜= −⎜ ⎟⎝ ⎠
� ⎟ . (III.5.3) 
Esta lei foi especialmente desenvolvida para a determinação da potencia necessária à 
moagem em moinhos de bolas. A equação descreve a potência específica necessária para 
reduzir o tamanho de uma alimentação em que 80% passa pela mallha , a um produto no 
qual 80% passa pela malha . 
80
alimD
80
prodD
IV. DINÂMICA DA INTERAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO 
IV.1 Movimento da Partícula 
Este capítulo se inicia com o estudo do movimento de uma partícula sólida de massa mp 
no seio de um fluido. O movimento é regido pela 2a lei de Newton que é escrita sob a forma: 
p
p p p
S
m dA= +∫a Tn m .g (IV.1.1) 
Nesta T é o tensor tensão que atua em cada ponto da superfície da partícula, n é a 
normal unitária e o produto Tn nos dá a força por unidade de área, i.é. que atua em cada 
ponto da superfície. A ação do campo externo é dada pelo produto da massa vezes o campo 
gravitacional g. A interação sólido-fluido pode ser decomposta em duas parcelas: 
a) uma ação estática representando o empuxo do fluido sobre a partícula. Esta 
parcela, é dada pela expressão de Arquimedes da forma , oposta ao 
campo gravitacional. 
F pV−ρ g
b) Uma força resistiva, dinâmica, que se anula quando a velocidade relativa entre 
fluido e partícula é nula. Será esta designada por A . 
Tem-se então, quando a aceleração da partícula se anula: ( ) ( )p F p p p FV V ,= + ρ ρ = + ∆ρ ∆ρ = ρ ρ0 g g-� �A A .-
)
 (IV.1.2) 
A parcela resistiva é função de diversas variáveis dentre as quais são citadas: a 
velocidade relativa, , a densidade e viscosidade do fluido, o tamanho e a forma 
da partícula. Escreve-se: 
p∞= −u v v
( p, , ,A ,= ρ µuA A (IV.1.3) 
onde Ap é a área projetada da partícula sobre um plano perpendicular ao vetor unitário na 
direção da velocidade relativa /=ue u u . Com base na análise dimensional é possível 
estabelecer a seguinte definição do coeficiente de arraste: 
 21p F D2A u C , u .= ρ =ueA u (IV.1.4) 
O coeficiente de arraste assim definido é adimensional, mas depende de diversos fatores 
incluindo propriedades físicas dos fluidos, da velocidade relativa, tamanho e forma da 
partícula, sua orientação,..A figura abaixo mostra o coeficiente de arraste para uma esfera e 
para um cilindro em função do número de Reynolds 
 11
 
O gráfico mostra uma assintota, reta com inclinação logarítmica igual a -1, válida para 
pequenos valores do número de Reynolds ( ) DuRe 0,2 , Re ρ≤ = µ , e uma segunda assintota 
para ( )25 *10 Re 3 *10≤ ≤ 5
ue
. Na região entre este valor e há uma redução do valor 
do coeficiente de arraste causado pela redução da região de separação da camada limite. 
7Re 10≈
IV.1.1 Regime de Stokes, de Newton e Intermediário 
Um caso especial, simples, mas importante é o da solução dada por Stokes, com a forma: 
 . (IV.1.5) p p3 D 3 D u= πµ = πµuA
Esta solução aplica-se quando as seguintes condições são válidas: 
a) partícula esférica, 
b) regime laminar, 
c) escoamento lento com aceleração desprezível, 
d) fluido newtoniano, 
e) partícula lisa, 
f) partícula isolada, 
g) região infinita (longe de quaisquer outros sólidos). 
Regimede Stokes 
Sob qualquer desvio destas condições aplicam-se correções e assim torna-se necessário 
levantar cada uma das restrições listadas. Para exemplificar estes efeitos vamos comparar as 
expressões (IV.1.4) e (IV.1.5), obtendo-se: 
 ( )2 2p F D p D
p
D / 8 u C 3 D u C 24 ,
D u
µπ ρ = πµ ⇒ = ρ (IV.1.6) 
Isto é (IV.1.7) DC 24 /Re, Re D u /= = p .ρ µ
A expressão para o coeficiente de arraste inversamente proporcional ao número de 
Reynolds permanece sujeita às sete restrições enumeradas acima. Em especial aplica-se 
para valores do número de Reynolds menores que 0,2. Por outro lado a definição do 
coeficiente de arraste, CD dada pela eq.(IV.1.4), é geral e válida para todo número de 
Reynolds. 
 Regime de Newton 
Para altos valores do número de Reynolds verifica-se que o coeficiente de arraste atinge 
o valor assintótico, 
 (IV.1.8) DC 0,43.=
As duas assíntotas podem ser combinadas e expressas por uma equação geral, i.e. válida 
para todos os valores de Re, com a forma: 
 12
 ( )
1
nn
n
D
24C 0,
Re
⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
43 ⎥ . (IV.1.9) 
O ajuste desta expressão aos dados experimentais fornece como o melhor valor para o 
expoente n = 0,63. 
Até aqui consideramos apenas as expressões do coeficiente de arraste para partículas 
esféricas, a primeira restrição presente na lista. Uma correção aplicável a partículas para as 
quais está determinada sua esfericidade consiste na alteração das duas constantes que 
determinam as duas assíntotas. Escreve-se: 
 
1
nn
n
D 2
1
24C K , se 0,6 0,9 n 0,9,
K Re
 e se 0,9 1 n 3,15 2,59 .
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ≤ φ ≤ ⇒ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
≤ φ ≤ ⇒ = − φ
 (IV.1.10) 
Nesta equação há primeiramente um ajuste dos fatores de correção a partir de 
dados com partículas com esfericidade conhecidas, 
1K , e K2
 ( )1 10 2K 0,843log / 0,065 , e K 5,31 4,88 , 0,85 1.= φ = − φ ≤ φ ≤ (IV.1.11) 
E a seguir o ajuste do expoente n na expressão (IV.1.10) resultando n = 0,85. Esta forma 
de abordagem do ajuste é devida ao prof. Massarani. Como veremos ela é de grande 
utilidade. 
IV.2 Velocidade Terminal 
Há uma solução da equação do movimento (IV.1.2) para a qual a aceleração da partícula 
é nula. Tal situação costuma ocorrer, por exemplo, sempre que a partícula parte do repouso 
sob a ação de um campo externo g, como o campo gravitacional, e enquanto se acelera, sua 
velocidade aumenta até que a força de arraste se iguala ao efeito do campo externo na forma 
de peso – empuxo. Partimos da equação do movimento da partícula, escrita sob a forma da 
eq.(IV.1.2): 
 21p p p F p D g p g2m A v C V g= − ρ + ∆ρa e .e (IV.2.1) 
Os termos à direita na equação têm sinais opostos. Inicialmente a velocidade da partícula 
é baixa e a ação do campo externo prevalece e a aceleração é positiva. Com a aceleração o 
termo de araste aumenta até o instante no qual a aceleração se anula. A velocidade da 
partícula é chamada de “velocidade terminal”. 
 
21
p F t D p2A v C V g
força de arraste=peso-empucho.
ρ = ∆ρ
 (IV.2.2) 
 p p pD p D2
F t p p F t
V V 2 D2 gC , D , C
v A A v2
g∆ρφ∆ρ= ≈ φ ⇒ =ρ ρ (IV.2.3) 
 pD 2
F t
2 D g
C
v
∆ρφ= ρ . (IV.2.4) 
É importante ressaltar que o coeficiente de arraste depende da velocidade da partícula, e 
que portanto a fórmula acima não é conveniente para o cálculo da velocidade terminal. Ela se 
reduz às seguintes expressões para os regimes de Stokes e o de Newton: 
 
2
p1
t
g DKv , para o regime de Stokes,
18
∆ρ φ= µ (IV.2.5) 
e pt
2 F
g D4v , para o regime de Newton.
3K
∆ρ φ= ρ (IV.2.6) 
 13
Note a diferença de comportamento da velocidade terminal em função das variáveis 
presentes nas duas expressões. Por exemplo versus viscosidade, ou da densidade do 
fluido; e em função do diâmetro da partícula. 
tv
Suponha que se deseje calcular a velocidade terminal de uma determinada partícula 
imersa num fluido. Qual das duas expressões deve ser usada? São conhecidos os seguintes 
valores: , em conseqüência o número de Reynolds não pode ser calculado, e, 
a priori não se conhece o regime em que a velocidade terminal se estabelece. Há também 
que se considerar o regime intermediário para o qual não há uma fórmula explicita para a 
velocidade terminal. A solução por tentativa e erro, ou qualquer outro método numérico pode 
ser empregado. Por exemplo partindo da suposição de que o número de Reynolds é inferior a 
0,2 calcula-se a velocidade terminal empregando-se a eq.(IV.2.5). Este valor permite que 
p FD , , , , e φ ∆ρ ρ µ
p t FD vRe
ρ= µ seja calculado e se o resultado for menor que 0,2 fica validada a hipótese do 
regime de Stokes e, por conseguinte o resultado obtido esta correto. No caso contrário é 
necessário recalcular a velocidade partindo agora do número de Reynolds, no seguinte 
esquema: 
 
eq.II.1.10 eq.II.2.7
D t
 
Re C v Re⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯→
↑ ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ↓
Um método direto para o cálculo da velocidade terminal foi desenvolvido por Massarani 
tendo por base o fato do número de Kármán ser independente da velocidade, i.e.: 
 
3
F2 2
D 2
g D4Ka C Re .
3
ρ ∆ρ φ= = µ
p (IV.2.7) 
Os dados necessários á solução do problema do cálculo da velocidade terminal permitem 
o cálculo do número de Kármán. Por outro lado a multiplicação da expressão (IV.1.10) por 
Re2, e subseqüente inversão para o número de Reynolds conduz à expressão 
 
( )
( )
2
1
1/ nn0,5 0,521 2
D
K / 24 CdRe
Re , se 0,6 0,9 n 0,8, 
K K1 C Re
24
 e se 0,8 1 n 2,7 1,75 .
= ≤ φ ≤
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪+⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
⇒ =
≤ φ ≤ ⇒ = − φ
 (IV.2.8) 
Esta expressão permite a determinação da velocidade terminal diretamente em função 
dos dados do problema. 
 
( )
( )
2
1
T 1/ nn0,5f p 0,521 2
D
K / 24 CdRe
v
D K K1 C Re
24
µ= ρ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪+⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
, (IV.2.9) 
IV.3 Diâmetro de Sedimentação 
O problema inverso ao do cálculo da velocidade terminal é o da determinação do tamanho 
de partícula que sedimenta com determinada velocidade. Isto é dados 
calcular o tamanho da partícula que sedimenta com a velocidade . Novamente tanto C
t Fv , , , , e φ ∆ρ ρ µ
tv D 
quanto Re dependem simultaneamente da velocidade e do diâmetro, o que exige uma 
solução numérica por tentativas ou outro método numérico. Entretanto nota-se que a relação 
não depende do diâmetro. DC /Re
 14
 D 2 3
F t
2C /Re .
v
∆ρµφ= ρ
g (IV.3.1) 
A divisão da eq. (IV.1.10) pelo número de Reynolds e solução da expressão resultante 
para o número de Reynolds dá 
 ( ) ( )
1
n n
2 n
2
p
f t 1 D D
K24D
v K C /Re C /Re
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡µ ⎪= +⎢ ⎥ ⎢⎨ρ ⎢ ⎥ ⎢⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭
⎤ ⎪⎥ ⎬⎥⎦
 (IV.3.2) 
A síntese dos problemas, em regimes permanentes, relacionados ao movimento de 
partículas isométricas é: dadas as propriedades físicas p F, , ,ρ ρ µ e a esfericidade 
1. dadas calcular . p tD ,e v → A p t F II.1.10 II.1.4D
D v
Re C
ρ= ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→µ A 
2. dadas . p t, e D calcular v→A� eq.II.2.92D tC Re v⎯⎯⎯⎯→
3. dadas . t p, e v calcular D→A� eq.II.3.2D pC /Re D⎯⎯⎯⎯→
O resumo destas correlações sobre a dinâmica de partículas isométricas é dado na 
seguinte tabela. 
IV.4 Efeito de Parede 
A queda de partículas no interior de tubos, ou entre placas, ou ainda na proximidade de 
uma ou mais paredes planas já foi suficientemente estudada. Alguns exemplos são dados: 
Entre duas placas paralelas às distancias l1 e l2. 
 pp
1 2
9D 1 13 D 1
32 h h
⎡ ⎤⎛ ⎞= − πµ + +⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
vA p.⎥ (IV.4.1) 
No interior de tubos com diâmetro Dt. 
 pp
t
D
3 D 1 2,1
D
⎡ ⎤= − πµ +⎢⎣ ⎦
vA p.⎥ (IV.4.2) 
Avelocidade terminal é corrigida calculando-se a relação ( )t tv / v ∞=f entre a velocidade 
terminal sob o efeito das paredes com a velocidade terminal no fluido infinito, supondo que 
esta relação é uma função de p
t
D
D
e do número de Reynolds. 
 (IV.4.3) ( ) ( )t t pv / v ,Re , D /D∞= = λ λ =f f t
As seguintes expressões são encontradas na literatura: 
Haberman e Sayre1958
3 5
5
1 2,105 2,0865 1,7068 0,72603
1 0,75857
− λ + λ − λ += − λf
6λ (IV.4.4) 
Isaac Newton ( )( )0,521 1 0,5= − λ − λf 2 (IV.4.5) 
Munroe (1889) (IV.4.6) 1,51- λf =
Di Felice (1996) 1 3,3, 0
1 0,33 0,85
α
,1Re∞
− λ − α⎛ ⎞= ⎜ ⎟− λ α −⎝ ⎠f = (IV.4.7) 
Uma referência importante sobre este assunto é Chhabra, et al. Powder Technology 129 
(2003) 53 – 58. 
 15
Variável 
a ser 
estimada 
Assíntota para Re<0,2 Desvio máximo 
s% 
CD D 1 p tC 24 /K Re, Re D v /= = .ρ µ 12 
( )tRe v ( )21 DK C Re
24
 
6 
( )pRe D 
( )
0,5
1 D
24
K C /Re
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
12 
Assíntota 
para 
Re>3x103
Correlação n 
 
K2 1nn
n
D 2
1
24C K
K Re
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 
se 0,6 0,9 n 0,9≤ φ ≤ ⇒ = 
se0,9 1, n 3,15 2,5≤ φ ≤ = − φ 
0,52
D
2
C Re
K
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( )
( )
2
1
1/ nn0,5 0,521 2
D
K / 24 CdRe
Re
K K1 C Re
24
=
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪+⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
 
se 0,6 0,8, n 1,3
se 0,8 1, n 2,7 1,75
≤ φ ≤ =
≤ φ ≤ = − φ 
( )2D
K
C /Re
 
( ) ( )
1
n n
2 n
2
1 D D
K24Re
K C /Re C /Re
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥
se 0,6 0,8, n 1,5
se 0,8 1, n 3,62 2,65⎪ ⎪= +⎢ ⎥ ⎢⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
≤ φ ≤ =
≤ φ ≤ = − φ
( )1 2K 0,843log 15,4 , K 5,31 4,88 .φ = − φ 
 
Ref. Prof. Giulio Massarani: “Novas Correlações para a Dinâmica de Partículas 
Isométricas”. 
 
Relatório n0 4/84, LSP PEQ, COPPE/UFRJ (1984). 
 
 
IV.5 Efeito da Concentração de Partículas 
A concentração volumétrica das partículas é a principal variável determinante do efeito de 
população. Esta é definida pelo volume total das partículas sólidas numa determinada região 
do espaço V. É definida pela expressão 
 ( ) ( )s sV = ε∫ x
V
V , t dV.
t dV.
 (IV.4.8) 
De modo análogo define-se a concentração volumétrica de fluido, também denominada 
de porosidade: 
 (IV.4.9) ( ) ( )fV ,= ε∫ x
V
V
 
Se o espaço é integralmente ocupado pelas duas espécies, partículas sólidas e fluido, 
então verifica se a relação: 
 (IV.4.10) s 1.ε + ε =
 16
Foi Einstein, em seu estudo sobre o movimento Browniano quem determinou a seguinte 
relação entre a velocidade terminal reduzida pelo efeito de população e a velocidade terminal à 
diluição infinita. 
 (IV.4.11) (t t sv / v 1/ 1 2,5 .∞ = + ε )
ε
∞ ≤
≤
Este trabalho foi complementado por Richardson e Zaki com base na seguinte expressão: 
 (IV.4.12) ( ) nt tv / v f Re , ,∞ ∞= ε =
 (IV.4.13) 
0,03
0,1
n 4,65 para Re 0,2
n 4,45Re para 0,2 Re 1,
n 4,45Re para 1 Re 500,
n 2,39 para Re 500.
∞
−
∞
−
∞ ∞
∞
= ≤
= ≤
= ≤
= >
IV.6 Partículas em Fluidos não-Newtonianos 
O movimento de partículas no seio de um fluido não-Newtoniano é determinado pelas 
equações apresentadas nos itens anteriores, substituindo-se a viscosidade pela viscosidade 
efetiva , definida pela relação entre a tensão de cisalhamento efµ
( ) xdv, onde taxa de cisalhamento.
dy
τ = γ γ = =τ � � é a taxa de cisalhamento. 
( )γτ � é a curva material do fluido com a qual define-se a viscosidade efetiva: 
 ( ) tef ef ef ef 2
p
v1/ , onde 9 ,
D
− εµ = γ γ γ = ε φτ � � � (IV.5.1) 
conforme dados experimentais de Massarani. Em todas as equações onde está presente a 
viscosidade do fluido, esta deve ser substituída pela viscosidade efetiva efµ dada pela eq.(IV.5.1). 
Por exemplo no caso de um fluido que se ajusta à lei da potência ( ) n 1−γ = κ γ γτ � � � , a viscosidade 
efetiva será dada por: 
 
n 1
t
ef 2
p
v19
D
−− εµ = κ ε φ . (IV.5.2) 
 
 17
V. DECANTAÇÃO E SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO 
Alguns sistemas empregados para a coleta de poeira visando a redução da emissão de 
particulados, tanto para a atmosfera quanto para corpos de água serão analisados agora. As 
principais finalidades são: 
• Controle de poluição; 
• Segurança industrial, prevenção de acidentes, redução de risco à saúde: 
• Produção de ar, ou de outros gases de processo; 
• Coleta de produtos como Leite em pó; Café solúvel; Óxido de Zinco; Negro de fumo. 
Tamanho comum das partículas 
Sólidos na atmosfera –poeiras de 1 mµ a 200 mµ 
 fumaças de 0,001 mµ a 1 mµ 
Líquidos na atmosfera neblina 0,01 mµ a 2 mµ 
 nuvens 2 mµ a 50 mµ 
 chuva 100 mµ a 5000 mµ 
Partículas típicas CO2 0,0005 mµ 
 negro de fumo 0,01 mµ a 0,5 mµ 
 pigmentos 0,1 mµ a 5 mµ 
 vírus 0,005 mµ a 0,05 mµ 
 bactérias 0,3 mµ a 20 mµ 
 
 A análise tem por base a velocidade terminal estudada no capítulo anterior. 
V.1 Câmara de Poeira 
A Câmara de poeira é simplesmente uma caixa suficientemente ampla de modo a reduzir a 
velocidade do fluido a um valor que permita a sedimentação das partículas. O fluido contendo 
partículas é admitido através da face de altura H e largura B, e o comprimento da caixa é L. A 
velocidade média do fluido é conhecida em função da vazão, 
 ( )u Q / BH .= (V.1.1) 
Admite-se que as partículas sejam arrastadas pelo fluido, sem deslizamento i.e.: xv u= , e 
que caem por ação do campo gravitacional com velocidade yv vt= . Uma partícula admitida na 
posição h a partir da base da caixa será depositada no fundo da caixa se o seu tempo de queda 
for menor que seu tempo de residência. 
 (V.1.2) queda t resid.t h / v t L /= ≤ = u.
.
Vale dizer que serão integralmente coletadas todas as partículas com velocidade terminal 
maior que uH . /L
 (V.1.3) tv uH/L 1≥ ⇒ η =
Partículas menores serão recolhidas com eficiência menor, e partículas admitidas a uma 
altura h < H , com t
uhv
L
= terão eficiência de coleta p hD u h /H.L
⎡ ⎤⎛ ⎞η =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ Considerando que 
poeiras possuem pequeno diâmetro, é justificável supor que a queda se dê no regime de Stokes. 
 18
 
2
p 1
t
gD K uh uH h uHv
18 L L H L
∆ρ= = = =µ .η (V.1.4) 
Ou seja: 
 
2
p 1
p
1
gD KL se 1,
uH 18
18 uH/L1 se D .
gK
⎧ ∆ρ η ≤⎪ µ⎪η = ⎨ µ⎪ >⎪ ∆ρ⎩
 (V.1.5) 
 
Diâmetro de corte é definido como aquele para o qual a eficiência de coleta é de 50%. Isto é: 
para , (diâmetro de corte ou Dp pc0,5 D D Dη = = = 50 50). Fazendo na eq.(V.1.5)e 
resolvendo para o diâmetro obtêm-se: 
0,5η =
 pc
1 1
9 uH/L 9 QD , onde u Q /BH.
gK BL gK
µ µ= = =∆ρ ∆ρ (V.1.6)
Tamanho da menor partícula coletada com 100% de eficiência: 
 pm pc
1
18 uH/LD
gK
µ= =∆ρ 2D . (V.1.7) 
 
Com o auxílio da expressão para a eficiência, eq.(V.1.5) podemos escrever 
 
2
p
p pc p
pc
D1 , para D 2D , e 1, para D 2D .
2 D
⎛ ⎞η = ≤ η = >⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ pc
 (V.1.8) 
Esta expressão para a eficiência de coleta de uma câmara de poeira é, usualmente 
substituída por uma expressão, de base empírica, contínua e diferenciável com a forma: 
 
( )
( )
2
p pc
2
p pc
D /D
.
1 D /D
η =
+
 (V.1.9) 
Exercício 
Dados: Vazão de ar a 1atm e 30C, Q = 0,9 m3/s, contendo um corante, na 
faixa com a seguinte distribuição cumulativa: X(15)=10%, X(30)=20%, 
X(50)=40%, X(80)=70%, X(100)=90%, X(120)=100%. A vazão mássica de corante é de10 kg/hr. 
Projetar uma câmara de poeira para recuperar 95% do corante. 
( )3p 1500kg/mρ =
p5 m D 120 mµ ≤ ≤ µ
V.2 Projetos de Ciclones Industriai 
Configurações padronizadas de ciclones industriais para a remoção de particulados estão 
disponíveis como resultados de uma compilaçãode resultados experimentais. A tabela abaixo 
lista alguns dos projetos padronizados. Estão grupados e 3 classes: alta eficiência, media 
eficiência, e multi- propósito. Todas as dimensões listadas estão normalizadas pelo diâmetro do 
corpo do ciclone. 
 
 
 
 
 19
 Alta eficiência Mêdia 
eficiência 
Multi-propósito 
Símbolo Descrição Stairmand Swift Shephard & 
Lapple 
Swift Peterson & Whitby 
Dc, D Diâmetro do corpo 1 1 1 1 1 
Hc, b Altura da admissão Ka=a/D 0,5 0,44 0,5 0,5 0583 
Bc,a Comprimento da 
saída 
=b/D 0,2 0,21 0,25 0,25 0,208 
s Diâmetro da saída 
de gás 
Ks=S/D 0,5 0,5 0,625 0,6 0,588 
Lc Altura do corpo 
cilíndrico 
KH=H/D 1,5 1,4 2 1,75 1,33 
Hc Altura Total H 4 3,9 4 3,75 3,17 
Bc Diâmetro da saída 
do pó 
Kb=B/D 0,375 0,4 0,25 0,4 0,5 
 
 
 
 
Eficiência de Coleta - Modelo de Lapple 
O primeiro modelo foi desenvolvido por Lapple, baseado na suposição de escoamento 
empistonado, sem mistura axial ou radial. Para o cálculo da eficiência calcula-se primeiramente o 
diâmetro de corte com base no seguinte argumento de transposição dos resultados da câmara 
de poeira: 
H → Bc, 
B → Hc, 
L → , c cN Dπ
g → , ( )2F cv / D / 2
 
( )
0,50,5
F c c c
pc 2
c c c F c c F
9 v B H 9 B9 QD .
BL g H N D v / D / 2 2 N v
⎛ ⎞⎛ ⎞ µ µµ= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ρ π ∆ρ π∆ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 (V.2.1) 
Nesta expressão Nc é o número efetivo de voltas que o fluido dá desde a admissão até o 
centro do ciclone. 
( )
( )
2
2
Dp /Dpc
1 Dp /Dpc
η = + (V.2.2)
 20
 
Nc é determinado experimentalmente e situa-se na faixa c5 N 10≤ ≤ , e para um ciclone 
Lapple bem operado, quando então a re - suspensão de partícula e pouco significativa, e 
é um valor conservativo empregado com o propósito de dimensionamento. cN 5=
Perda de Carga 
Como o funcionamento do ciclone depende da velocidade do fluido, e alta eficiência 
depende da alta velocidade o aumento de eficiência é acompanhado por um aumento da 
queda de pressão, que se traduz em custo operacional. 
A queda de pressão pode ser calculada por: 
 21 F F F F2p v 0,068 v ,∆ = βρ = ρ 2 (V.2.3) 
O valor apresentado é o empregado para o ciclone Lapple. A potencia do ventilador é 
, o custo de bombeamento é vP Q p= ∆ vC P $= , e $ o custo da energia elétrica. 
Fatores de Projeto. 
Note que a eficiência cresce com a velocidade do fluido na entrada. Por outro lado a 
perda de carga é proporcional ao quadrado desta velocidade. Estabelece-se um balanço 
entre: ganhos devidos ao aumento de eficiência, versus perdas com o consuma de energia. A 
velocidade recomendada situa-se na faixa F6 m/ s v 21m/ s≤ ≤ , sendo de 15 a 
velocidade usualmente recomendada. Para este valor, e para um ciclone de 0,5m de diâmetro 
tem-se um campo 
m / s
( ) ( )2 215 / 0,5 / 2 900 m/ s 90g s′≈ ∼ . Para o projeto são dados: 
Q a vazão de gás m3/s, 
p F, ,ρ ρ µ propriedades físicas, 
( )px D distribuição de tamanhos de partículas. 
Seqüência de cálculo 
a) arbitrar , Fv 15 m/ s= 2c c cA B H D / 8= = , c
F
8Q 8QD
v 15
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
o diâmetro do ciclone 
e todas as demais dimensões do ciclone estão determinas. 
b) cpc
c F
9 BD
2 N v
µ= π∆ρ , pode ser calculado, e também, a eficiência de coleta associada ao 
tamanho das diferentes partículas. 
c) com estes resultados é possível calcular a eficiência média de coleta, 
 ( ) ( ) ( ) ( )p,max p,max
p,minp,min
D D
p p pc p p,i p,i pc p,i
DD
x D D /D dD x D D /D D .η = η ≈ η ∆∑∫ (V.2.4) 
Se a distribuição de tamanhos das partículas segue a distribuição de Weibull a dois 
parâmetros, então a eficiência média pode se calculada pela expressão: 
 ( ) pcpc
1,11n
0,118 n D /D ,
1,81 0,332n D /D
+ ′η = ′− + (V.2.5) 
que só depende de Dpc, e dos dois parâmetros da distribuição n, e D´. 
d) cálculo da perda de carga 2 21 F F H F F2p v N 0,068∆ = ρ = ρ v
F
. 
e) os valores obtidos para a eficiência média e para a perda de carga permitem a 
avaliação econômica do custo total e alteração do valor para a velocidade vF empregada. 
Aumento da velocidade traz como conseqüência o aumento da eficiência, e da perda de 
carga. 
Observe a expressão que determina o diâmetro do ciclone, cD 8Q / v= . Grandes vazões 
determinam grandes ciclones ( , e por conseqüência o campo centrifugo )cQ D↑⇒ ↑
 21
(2F cv / D / 2) torna-se pequeno e ineficaz. Neste caso é recomendável a divisão da vazão total 
por dois ou mais ciclones em paralelo. Testando o caso de 2 ciclones Dc fica dividido por 2, e 
a eficiência de coleta aumenta. Mantida a mesma velocidade a perda de carga não é alterada. 
Exercício 
Projetar uma bateria de ciclones Lapple e o compressor, para tratar 100 m3/min de gás 
com cinzas de carvão , com eficiência 
superior a 90%. A distribuição granulométrica se ajusta à de Weibull com: 
3 3
p F2300kg/m , 0,443kg/m , 0,035cpρ = ρ = µ =
( ) ( ){ }np pX D 1 exp D /D , D 37,3, n 1,5.′ ′= − − = = (V.2.6) 
IV.3 Hidrociclones 
Hidrociclones são empregados para uma grande faixa de aplicações dentre as quais cita-
se: 
a) clarificação de líquidos com baixa concentração de sólidos; 
b) concentração de lamas; 
c) classificação de sólidos; 
d) separação de líquidos imiscíveis. 
Dentre suas vantagens inclui-se os fatos de serem simples, baratos, fáceis de instalar, 
baixo custo de manutenção, e baixo custo operacional. Adicione-se o fato de serem pequenos 
em relação a outros separadores. Em contrapartida são inflexíveis, e uma vez instalados 
apresentam forte dependência da eficiência nas variáveis de projeto, em especial na vazão de 
alimentação e na concentração de sólidos. Acresce os problemas de abrasão e a formação 
de incrustações. 
Três tipos de hidrociclones disponíveis no mercado têm suas proporções listadas na 
tabela abaixo 
 
 Di/Dc Do/Dc l/Dc L/Dc θ K Np A B C β 
Rietema 0,28 0,34 0,40 5,00 20o 0,039 0,134 1,73 145 4,76 1200 
Bradley 0,133 0,20 0,33 6,85 9o 0,016 0,323 1,73 55,3 2,63 7500 
Di diâmetro do tubo de admissão. l altura da parte cilíndrica. θ ângulo do cone. 
Do diâmetro do tubo de saída. L altura total. 
Há um grande número de configurações para arranjos de hidrociclones em paralelo. 
Diâmetro de corte 
Segundo Massarani o diâmetro de é dado pela seguinte expressão: 
 ( ) ( )
1
2
c
p pc L s
DD /D K f R g ,
Q
µ⎡ ⎤= ⎢ ⎥∆ρ⎣ ⎦ ε (V.3.1) 
onde ( )L
L
1f R
1 AR
= + , (V.3.2) 
 ( ) ( ) ( ) 12s 2s s
1g
4,8 1 3,8 1
ε =
⎡ ⎤− ε − − ε⎣ ⎦
. (V.3.3) 
A razão de líquido pode ser estimada pela seguinte relação: 
 [ ]CL u cR B D /D= . (V.3.4) 
Eficiência de coleta 
A expressão empregada para o cálculo da eficiência de coleta de partículas é puramente 
empírica e tem a forma: 
( ) ( )( )p pcp pc p pc
exp 5D /D 1
D /D
exp 5D /D 146
−′η = + . (V.3.5) 
 22
Esta é uma eficiência reduzida ao efeito do campo centrífugo, da qual é subtraída o efeito do 
ansporte de sólidos carreados pela vaz
obrigatoriamente com uma vazão de fundo, dada por , e que esta vazão aporta sólidos, 
tr ão de fundo. Uma vez que os hidrociclones operam 
L
então o efeito centrífugo se dá apenas sobre a vazão 
QR
( )LQ 1 R− . De acordo com esta 
hipótese escreve-se para a eficiência média: 
 ( ) ( ) ( )L p p pc p L
0
1 R x D ,D ,n D ,D dD R
∞
′ ′η = − η +∫ . (V.3.6) 
O integrando desta equação, para a distribuição d
 
e Weibull pode ser estimado pelo seguinte 
sultado: re
( )0,118 n D /D ,+′ ′η = (V.3.7) pc
pc
1,11n
1,81 0,322n D /D′− +
 ( )L L1 R R′η = − η + (V.3.8) 
 queda de pressão é calculada por umA a expressão similar à empregada para ciclones,
2
F F
1p
2
∆ = β ρ v , 
onvêm ressaltar qu
aralelo, e de pe
ção do número de 
Re 50x10
y 3x10 Re x10
≤ ≤
≤ ≤ 
ExercícioProjetar uma bateria de hidroc
para tratar 200 m3/hr de uma suspensão de um sal insoluvel em água 
, 1000kg/m , 1,5cpρ = ρ = µ = , com eficiência superior a 90%, e queda de 
 (V.3.9) 
na qual β está listado na tabela acima. 
C e a questão levantada a respeito da necessidade de se ter hidrociclones 
em p queno diâmetro para boa eficiência é muito mais crítica. No seguinte 
endereço 
 http://www.natcogroup.com/Content.asp?t=ProductPage&ProductID=71, 
são mostrados equipamentos com mais de 50 hidrociclones que operam em paralelo, 
contidos no interior de um vaso de pressão. 
A especificação da velocidade do fluido nos hidrociclones é dada em fun
Reynolds. Tem-se: 2c cQ /N / 4D v= π , onde Q é a vazão total e N o número de ciclones em 
paralelo. Re D v /= ρ µ , e: c c F
3 3Rietema 5x10
Bradle 20
 (V.3.10) 
3 3
iclones Rietema e Bradley e o sistema de bombeamento, 
3 3
p F3500kg/m
pressão 5p 3x10 Pa∆ ≤ . A distribuição granulométrica se ajusta à de Weibull com: 
( ) ( ){ }np pX D 1 exp D /D , D 37,3, n 1,5.= (V.3.11) ′ ′= − − =
VI INTRODUÇÃO AO BENEFICIAM
Minérios são distribuídos na crosta terrestre em diversas constituições, composições, 
esta ecessitam 
de listadas a 
seg
Cominuição
ENTO DE MINÉRIOS 
dos de agregação, etc. Raramente são comercializados no estado natural e n
um beneficiamento. Algumas das operações do tratamento de minérios são 
uir: 
Amostragem 
Caracterização Mineralógica de Minérios 
 
e Peneiração Classificação 
Elutriaçao 
Separação em Meio Denso 
Separação Magnética e Eletrostática 
 23
Flotação 
Flotação em Coluna 
tamento de Efluentes na Mineração 
neficiamento: Princípios Básicos 
ecialistas no Processamento de Minérios 
ção 
A cominui III, e agora trataremos a elutriação. 
VI.1
ada para separar 
par manhos, ou para o beneficiamento de minérios em razão da 
dife es das partículas que compõe o minério. Usualmente todo minério 
compõe-se de um mineral com valor econômico em mistura com uma ganga imprestável que 
dev
rminais são menores que a velocidade da corrente de fluido são por este 
arra
 partículas 
com
Floculação 
Separação Sólido-Líquido 
Briquetagem 
Processos para o Tra
Reciclagem 
Simulação de Usinas de Be
Sistemas Esp
Elaboração e Avaliação Econômica de Projetos de Minera
ção já foi tratada no capítulo
 Elutriaçao 
A elutriação que aqui trataremos é uma operação que pode ser empreg
tículas por faixas de ta
rença entre as densidad
e ser descartada. A elutriação emprega uma corrente ascendente de um fluido que, 
preferencialmente, arrasta as partículas mais leves enquanto que as mais pesadas se 
sedimentam. 
A velocidade terminal das diferentes partículas é a propriedade básica responsável pela 
separação e/ou beneficiamento. Uma corrente de partículas sólidas vai ter ao elutriador, onde 
há uma corrente ascendente de um fluido. Este pode ser água ou ar. Partículas cujas 
velocidades te
stadas, enquanto que todas as partículas cujas velocidades terminais superam a 
velocidade do fluido se sedimentam. Há portanto uma corrente de alimentação dos sólidos e 
duas correntes de saída, o produto de fundo, composto principalmente das partículas mais 
pesadas e a corrente de topo composta principalmente das partículas mais leves. 
Com o emprego das equações que permitem o cálculo da velocidade terminal, e do 
diâmetro de sedimentação, eqs.(IV.2.9), e (IV.3.2) é possível calcular todos os parâmetros de 
desempenho de um elutriador. Assim, consideremos em primeiro lugar o problema de separar 
um conjunto de partículas em duas faixas de tamanhos. Tem-se: Um conjunto de
 densidade ρp, e diâmetros na faixa m p MD D D≤ ≤ e deseja-se separar em um número de 
frações com diâmetros intermediários ( ) ( ) ( )m 1 1 2 N MD ,D , D ,D D ,D… . Para tanto basta calcular 
as velocidades terminais correspondentes aos diâmetros D1 ... DN, e utilizar elutriadores com 
correstes de fluido correspondentes a es es. Para uma separação em batelada, 
um único elutriador é suficiente fazen ades correspondentes às 
velocidades terminais das partículas D
tas velocidad
do-o operar com velocid
. 
stura de um mineral com valor econômico 
agr a ganga sem valor. A liberação das duas espécies se processa por moagem 
sufi diâmetros na faixa . O que 
va correspon
aior que a velocidade
1, ...DN
Exercício 
Resolva o problema no 1, pg. 34 do livro texto. 
 Os problemas relacionados ao beneficiamento de minérios são mais interessantes. 
Considere um minério composto de uma mi
egado a um
cientemente fina, conduzindo a um produto com m p M
se deseja é obter a separação completa entre as duas espécies. Suporemos conhecidas suas 
densidades P L P L, e , onde .ρ ρ ρ > ρ A curva da velocidade terminal do material pesado, que 
denominaremos de minério, situa-se, para todo valor de D
D D D≤ ≤
p, acima da cur dente à 
ganga. Pode acontecer que não existam para, os dois materiais, partículas com idênticas 
velocidades terminais. Isto se dá quando a velocidade terminal da menor partícula do material 
pesado é m terminal da maior partícula da ganga. I.e. não existem 
partículas equitombantes na mistura dos dois materiais. Tem-se: 
 24
 ( ) ( )P Lt m t Mv D v D .> (VI.1.1) 
Neste caso a separação completa entre as duas espécies pode ser realizada em um único 
elutriador operando com uma corrente ascendente de fluido com velocidade 
( ) ( )Lm t Mv D .⎤+ ⎦ (VI.1.2) Ptu Q / A v D⎡= = ⎣
funda e e sai na 
orrente de fundo. 
os mais complexos ocorrem quand
ta situação é 
ompleta pode ser obtida
1
2
Esta velocidade é maior que a de todas as partículas da ganga, e menor que a de todas as 
partículas do minério. Toda ganga é arrastada para o topo, e todo minério a
c
Cas o existem partículas equitombantes. Neste caso 
inverte-se a desigualdade (VI.1.1), i.e.: 
 ( ) ( )P Lt m t Mv D v D .< (VI.1.3) 
Não existe uma velocidade do fluido que determine a separação completa dos dois materiais. 
Ou produto de fundo ou o produto de fundo, um dos dois conterá uma mistura de minério e 
ganga. Es tratada na fre igura abaixo na qual se verifica que a separação 
c com a passagem por uma única peneira. 
 
Velocidade Terminal
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Dp (m)
vt
(c
m
/s
)
leve
pesado
 
Exercício 
Determine a melhor dimensão de malha de peneira capaz de produzir duas correntes de 
partículas inteiramente separáveis por elutriação. 
eneficiamento de minérios. É um processo 
par m mineral de valor econômico contido num minério. O minério bruto 
é m sturado com água, agentes espumantes, e coletores. Quando ar é 
bombeado através da mistura, as partículas do mineral se aderem às bolhas de ar, e sobem 
par
VI.2 Flotação 
A flotação é hoje o processo dominante de b
a a concentração de u
oído a um pó fino, mi
a a superfície formando uma camada de espuma. A ganga sedimenta no fundo do 
equipamento. A espuma é retirada, e o mineral é separado da água e os agentes químicos 
adicionados são removidos restando um concentrado do mineral limpo. 
 25
Um bom texto sobre o processo da flotação, incluindo alguns aspectos de sua físico-
química está disponível em: 
 http://www.engr.pitt.edu/chemical/undergrad/lab_manuals/flotation.pdf
alcopirita (CuFeS ), galena (PbS), esfarelita (ZnS), pirita (FeS) 
Age odem ser tados incluindo, certos álcoois alifáticos com de 5 a 8 
áto ois cíclicos, óleo e eucalipto polipropileno, e polietileno 
glic lecular. 
o: 
Alg rocessos estão colecionados na tabela. 
Exemplos de minérios beneficiados por flotação são listados a seguir: 
¾ Sulfetos complexos: c 2
¾ Minerios de cobre Cobre e molibdênio 
¾ Cobre/chumbo/zinco Ouro e pirita 
¾ Cobre e níquel Prata 
¾ Cobre e cobalto Platina 
¾ Carvão mineralntes espumante p ci
mos de carbono, álco de pinho, e d
ois de baixo peso mo
Alguns dos agentes coletores, principalmente para os minerais sulfetados são diferentes 
misturas de: Ditiofosfatos, mercaptobenzotiazol, tiocarbamato. 
São três as tecnologias de flotaçã
1. flotação mecânica; 
2. flotação por ar dissolvido; 
3. auxiliada. 
uns dados sobre estes p
Processo de Fluxo de ar 
Flotação m água -3
Ta
Nl.
manho 
de bolhas
Consumo de energia 
por m3 (Wh/m-3) 
Tempo de retenção 
(min ) 
Flotação 
A ruxiliada (po
adiç ) 
5-15 100-400 2-5 mm 5-10 
ão de óleo
Flotação 
Mecanica (por
espuma) 
10.000 0.2-2 mm 6 0-120 4-16 
Ar Dissolvido
(clarificação) 
15-50 40-70 µm 40-80 20-40 indo 
a floculação) 
 (exclu
 
Cinética da
A recup
 flo
eração do mineral desejado em uma flotação em batel m função do 
mpo por uma expressão do tipo: 
tação 
ada é dada e
te
( )max b .+⎣ ⎦ (VI.2.1) 
onde R
(R R 1 exp k t⎡= − − )⎤
ação possível, e k é uma constante de tempo de primeira 
ordem, e onde b um deslocamen
do fluxo de área superficial das b
max é a máxima recuper
to da origem de t. A constante k é linearmente dependente 
olhas, S , S 6J /Db b g b= , e J é o fluxo de gás e D o diâmetro g b
médio das bolhas. A relação é usualmente expressa como bk S , onde é =℘ ℘ um “fator de 
flotabilidade”, que inclui diferentes efeitos c fobicidade, tamanho de bolha, etc. A 
referência: 
“Estimation of flotation kinetic parameters by consider e operating 
variables”, Çilek, E.C., Minerals Engineering 17 (2004) 81–85”, contem algumas expressões 
para os parâmetro
om a hidro
ing interactions of th
s presentes nestas equações. 
 arranjados em serie e paralelo. Uma boa 
refe
O dimensionamento de um sistema de flotação contínuo depende da determinação 
experimental dos valores destes parâmetros, e baseia-se no tempo de residência, da 
suspensão que se divide em tanques de flotação
rencia sobre este assunto encontra-se em “Flotation scale up: use of separability curves 
q”.,J.B. Yianatos, L.G. Bergh, J. Aguilera. Minerals Engineering 16 (2003) 347–352. 
Para um arranjo de N flotadores, idênticos, de mistura perfeita, em série, com um tempo 
total de residência F TOTALNV / Qτ = . 
 26
( )
1 N
k1 1
−⎧ ⎫
max
1
N
R R k N 1
N
⎡ ⎤− + ⎬⎜ ⎟τ⎪ ⎪⎛ ⎞− ⎨⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭= τ −
. (VI.2.2) 
Células de flotação 
Uma geometria de célula de flotação em batelada está representada na figura abaixo. 
Tra com um agitador, por cuja haste o ar necessário é admitido. O 
agit
ta-se de um tanque 
ador garante, simultaneamente a manutenção do sólido em suspensão e a dispersão do 
ar em pequenas bolhas. Na superfície da suspensão forma-se a camada de espuma, 
contendo o concentrado do mineral desejado, que retirado da célula. A ganga hidrofílica se 
acumula no fundo da célula, e é descartada ao final do processamento. 
 
Células para a operação contínua são semelhantes às mostrada acima tendo, no entanto, 
um sistema para a admissão da suspensão e outro para a retirada do rejeito, continuamente. 
Flo
 
tação em Colunas 
O desenho esquemático de uma coluna de flotação contínua está representado no desenho 
 de flotação são eficientes e estão sendo empregadas para efetuarque segue. As colunas
beneficiamentos difíceis. A remoção de enxofre de finos de carvão é um exemplo. 
 27
 
VI.3 Jigagem 
A jigagem é uma das mais antigas técnicas de beneficiamento de minérios, por gravidade. 
Nela a mistura minério e ganga, suspensa em água é conduzida a um equipamento onde é 
imposta uma pulsação à mistura por intermédio de um movimento alternativo, com uma 
freqüência relativamente alta. Nestas circunstâncias a aceleração e deceleração tornam-se os 
termos dominantes da equação do movimento da partícula, e responsáveis pela separação. A 
jigagem é uma operação simples e barata, mas de eficiência relativamente baixa. 
 
VII SISTEMAS PARTICULADOS 
VII.1 Balanços de massa 
Este novo capítulo começa a tratar de sistemas de misturas sólido – fluidos intimamente 
dispersos em uma região do espaço. As duas fases são vistas como uma mistura, e para 
cada ponto da região ocupada pelas duas fases, e a cada instante, é possível estabelecer: 
¾ εs a concentração volumétrica de sólido, ( ) ( ) ss s s
R
VV R ,t dV, ;
V
∂= ε ε = ∂∫ x (VII.1.1) 
¾ εf a concentração volumétrica de fluido, ( ) ( ) ff f f
R
dVV R ,t dV, ;
dV
= ε ε =∫ x (VII.1.2) 
Como não há um terceiro componente nesta mistura, então cada parte da região parte da 
região R, é ocupada ou pelo sólido ou pelo fluido, e portanto: 
 (VII.1.3) s f 1.ε + ε =
εf é comumente denominado de “porosidade”, ε, e s 1ε = − ε .
¾ ρf densidade parcial do fluido, massa de fluido por volume total, 
 
¾ ρs densidade parcial do sólido, massa de sólido por volume total,; 
 (VII.1.4) ( )s s
R
m R dV,= ρ∫
 28
 ( )f fm R dV,= ρ∫ 
R
 (VII.1.5) 
¾ ρS densidade material do sólido, massa de sólido por volume de sólido 
 ( ) sdVm R dV dV dV ,= ρ = ρ = ρ ε ⇔ ρ = ρ ε∫ ∫ ∫ s S s S S s s S s
R R RdV
 (VII.1.6) 
¾ ρF densidade material do fluido, massa de fluido por volume de fluido 
 ( ) fdVm R dV dV dV ,= ρ = ρ = ρ ε ⇔ ρ = ρ ε∫ ∫ ∫ f F f F F f f F f
R R RdV
 (VII.1.7) 
¾ vs campo de velocidade do sólido; 
belecimento dos balanços de massas para cada uma 
das
¾ vf campo de velocidade do fluido. 
Estas definições permitem o esta
 duas fases. Em palavras estas são descritas por: “a taxa de variação da massa de uma 
das fases contida no interior da região A, é igual ao balanço do que entra menos o que sai 
através da superfície de A, acrescida da taxa de produção desta fase”. 
{ }
a a a a
R R R
dV dA r dV.∂ ρ = − ρ ⋅ +∫ ∫ ∫v nt
variação entrada menos
geração
da massa saida
∂∂
⎧ ⎫⎧ ⎫⎨ ⎬⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭ (VII.1.8) 
A aplicação do teorema da divergência permite transformar a integral de superfície em 
integral de volume, e disto resulta: 
( )a div r dV 0.⎡ ⎤∂ρ + ρ − =∫ v a a a
R t
⎢ ⎥∂⎣ ⎦ (VII.1.9) 
A integral é nula qualquer que seja R, independentemente de seu tamanho ou formato, por 
conseqüência seu integrando deve anular-se. Daí resultam as equações da continuidade para 
cada uma das fases da mistura, 
( )a div r .∂ρ + ρ =v a a at∂ (VII.1.10) 
Escreve-se para cada uma das duas fases, a fase de sólidos particulados e para o fluido, 
 
( ) ( )s S ss s s S s s sdiv r div r ,t t
∂ρ ∂ρ ε+ ρ = ⇔ + ρ ε =∂ ∂v v (VII.1.11) 
 
( ) ( )f F ff f f F f f fdiv r div r .t t
∂ρ ∂ρ ε+ ρ = ⇔ + ρ ε =∂ ∂v v (VII.1.12) 
As duas formas de cada um dos balanços para 
equ
as massas de sólidos e de fluidos são 
ivalentes. Formas simplificadas podem ser escritas, válidas para os casos em que as 
densidades materiais são constantes, i.e.: 
para um sólido incompressível 
( )s div r / ,∂ε + ε = ρv s s s St∂ (VII.1.13) 
para um fluido incompressível 
( )f div r / .∂ε + ε = ρv f f f Ft∂ (VII.1.14) 
A densidade total, e a
som
ε + ρ ε ρ = ρ ε + ρ εv v v (VII.1.15) 
 velocidade do centro de massa da mistura são definidos pelas 
as, 
ρ = ρS s F f S s s F f f, ,
 29
e a soma das duas equações de balanços de massas nos dá: 
 ( ) s fdiv 0 r r 0.∂ t
ρ + ρ = ⇔ + =v ∂ (VII.1.16) 
ão da continuidade para a
A velocidade vf, é denominada de 
do f
f ,q v (VII.1.18) 
e qf é a velocidade superficial. Uma velocidade 
Interpretações a
sóli
dA dA.∫ ∫v n q n (VII.1.20) 
No caso em que o fluxo seja uniform
 (VII.1.21) 
Expressões para o divergent
A equaç mistura é válida se e apenas quando a soma das gerações 
é nula. Isto significa que as fases podem ganhar ou perder massa, mas o que uma perde a 
outra ganha, vale dizer que a mudança de fase se dá semalteração da massa. 
Se a concentração volumétrica de sólidos é constante, vale dizer que o sólido particulado 
tem porosidade constante, tanto em relação ao tempo, quanto em relação ao espaço, então: 
( ) ( )s s s f f fdiv r / , e div r / .= ρ = ρv v (VII.1.17) 
velocidade intersticial, visto que descreve o movimento 
luido no interior dos poros do meio poroso. Seja A uma seção do escoamento. A vazão de 
fluido através desta seção é dada por: 
f f f fQ dA dA, onde= ε ⋅ = ⋅ = ε∫ ∫v n q n f f
A A
calculada como se o fluido ocupasse toda a 
seção do escoamento. No caso em que o perfil da velocidade é constante temos: 
f f fQ A A.= ε =v q (VII.1.19) 
nálogas aplicam-se à fase sólida. Define-se a vazão volumétrica de 
dos 
sQ = − ε ⋅ = − ⋅s s s
A A
e em todos os pontos de A, tem-se: 
( )s s s s sQ A 1 A A.= ε = − ε =v v q 
e 
1. Coordenadas cartesianas ( )x,y,z 
yx z
qq qdiv ,
∂∂ ∂= + +q (VII.1.22) 
x y z∂ ∂ ∂
2. Coordenadas cilíndricas ( ) ( )r, z base , , q q qθ = + +e e e q e e e r z r r z zθ θ θ
 x r cos , y rsen , z z.= θ = θ = 
r zqrq qdiv
r z
θ∂∂ ∂= + +∂ ∂θ ∂
1q
r
 (VII.1.23) 
3. Coordenadas esféricas ( ) ( )r, , base , , q q qr r rθ φ θ θ φ φθ φ = + +e e e q e e e 
 z r cosx rsen cos , y rsen sen= φ θ = φ θ = φ 
 
( )2 r sen qr q 1 1 qdiv .
r rsen rsen
φθ∂ θ∂= + +1q ∂∂ θ ∂θ θ ∂φ2r (VII.1.24) 
Outras expressões para o divergente de um campo vet
VII.2 Balanços de Momento 
pelas equações de balanço de momento, que 
repr
orial para 
O movimento das fases é determinado 
esentam expressões para a segunda lei de Newton. Massa, por unidade de volume, 
vezes a aceleração, de cada fase é igual à soma das forças que sobre cada fase atuam. As 
acelerações são compostas de dois termos correspondentes a uma parcela de aceleração 
local, e outra de aceleração convectiva. 
 30
( )
{ } {
a
a agradt
 local convectiva .
∂= +∂
+
va v
}
av (VII.2.1) 
Esta expressão é válida para as duas fases. 
As forças que atuam sobre estas são divididas em: 
1. forças de tensão sobre a superfície de cada região (VII.2.2) a
R
dA;
∂
∫ T n
2. forças de interação entre as fases a
R
dV;∫ l (VII.2.3) 
3. forças de campo externo . (VII.2.4) a
R
dVρ∫ g
Em conformidade com a lei de Newton escreva-se, para cada fase 
 (VII.2.5) ( )a a a a a
R R R
dV dA dV.
∂
ρ = + + ρ∫ ∫ ∫a T n l g
Novamente a equação de balanço apresenta duas integrais de volume e uma integral de 
superfície. A aplicação do teorema da divergência transforma a integral de superfície em 
integral de volume, e obtêm-se: 
 [ ]a a a a a
R
div dV .ρ − − − ρ =∫ a T l g 0
g
 (VII.2.6) 
A integral deve anular-se independentemente da região de integração, isto é, 
independentemente de seu tamanho ou formato, e deste fato conclui-se que o próprio 
integrando seja nulo em todos os pontos da região, e para todo instante, 
a a a a adiv .ρ = + + ρa T l (VII.2.7) 
Estas são as equações do movimento das fases. Elas se assemelham às equações para 
movimento de um fluido puro em escoamento monofásico, 
( )grad div .
t
⎡ ⎤∂ρ = ρ + = + ρ⎢ ⎥∂⎣ ⎦
va v v T g (VII.2.8) 
O termo da esquerda, correspondente à aceleração de cada fase é perfeitamente análogo, e 
à direita da equação há a divergência da tensão e o termo de força de campo externo. 
Acrescentou-se apenas um termo de interação entre as duas fases, que pode ser descrito 
como a força que cada fase faz sobre a outra. No caso do sistema sólido-fluido, ls é a força 
que o fluido faz sobre o sólido particulado, e lf a força que o sólido faz sobre o fluido. A 
terceira lei de Newton conduz à reciprocidade destas duas forças, que se expressa por: 
s f .+ =l l 0 (VII.2.9) 
Com o auxílio das expressões para as acelerações provenientes da eq.(VII.2.1) escreve-se: 
( ) Eff f f f f s f f fgrad gradp div , p ,t
⎡ ⎤∂ρ + = − + − + ρ = − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦
v v v T l g T 1 TEf (VII.2.10) 
( ) Ess s s s s s s s sgrad gradp div , p .t
⎡ ⎤∂ρ + = − + + + ρ = − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦
v v v T l g T 1 TEs
Consideramos o escoamento de um fluido newtoniano através de um meio poroso rígido 
com porosidade constante, e estacionário. O escoamento é permanente, e a aceleração do 
fluido é nula, ou ao menos desprezível. A equação do movimento do fluido se simplifica para 
 (VII.2.11) 
Estas são equações gerais capazes de descrever o movimento simultâneo das duas fases 
nas mais diversas situações. Um caso particular, mas de grande importância será estudado a 
seguir. 
VII.3 Escoamentos através de Meios Porosos 
 
 31
f s Fgradp ,= − − + ρ ε0 l g (VII.3.1) 
( )s s Sgradp 1 .= − + + ρ − ε0 l g (VII.3.2) 
lf representa a ação do flu
parcelas, a primeira delas é 
forma oposta à gravidade e prop
 de dinâm
relativa entre as fases é nula, m
)1 .− ε g (VII.3.5) 
A equação (VII.3.4), para
piezométrica, 
ido sobre os sólidos particulados. Esta pode ser dividida em duas 
uma ação de empuxo, estática, que segundo Arquimedes tem a 
orcional ao peso do volume de fluido deslocado, 
( )s s F F1 .= −ε ρ − = − − ε ρ −l g m g m (VII.3.3) 
a segunda, m, é a força dinâmica devida à velocidade relativa entre as duas fases. Estamos 
qualificando esta força ica por que se anula se e apenas quando a velocidade 
⇔ =0 v 0 . A substituição desta expressão nas duas f
equações simplificadas dá: 
f Fgradp ,= − − + ρ0 m g (VII.3.4) 
( )(s Sgradp= − + + ρ − ρ0 m
=
F
 o movimento do fluido pode ser escrita em termos da pressão 
f f Fp gH, onde g ,℘ = − ρ = g 
o fluido fica: 
 
marc
da a
A força dinâmica m foi estu
 (VII.3.6) 
que acrescenta a carga de altura de fluido à pressão estática. Com esta definição a equação 
do movimento d
f
Deve ficar claro que a “causa” do movimento é o gradiente da pressão piezométrica, pois 
grad 0℘ = ⇔ = ⇔ =m 0 v
grad .− ℘ = m (VII.3.7) 
f f .0 Manômetros contendo o fluido que satura o meio poroso, 
ilíbrio, valores idênticos para a pressão piezométrica, independentemente arão, no equ
ltura da tomada de pressão. 
dada primeiramente por Darcy, que propôs a linear da força a 
velocidade do fluido. Propôs ainda a dependência na viscosidade do fluido, chegando a 
seguinte relação: 
f f .k k
µε µ= =m v q (VII.3.8) 
Nela k é a permeabilidade do meio poroso, uma grandeza com dimensões de L2, portanto de 
natureza geométrica
movimento do fluido 
. Substituindo a lei de Darcy na forma simplificada da equação do 
obtêm-se a equação de Darcy, 
f f
k grad .= − ℘µq (VII.3.9) 
Esta equação foi durante um longo tempo interpretada como uma equação constitutiva, à 
semelhança com as leis: de Fourier ( )kgrad= − θq que determina o fluxo térmico proporcional 
ao gradiente da temperatura; a lei de Fick ( )gradc= −j D que determina o fluxo de um 
componente químico em solução pro gradiente de sua concentração; e diversas 
outras “leis” lineares entre fluxos e forç micas. Acresce que sua substituição na 
eq.(VII.1.14) escrita para o regime permanen nula dá como resultado uma 
equação idêntica à da condução de calor. 
porcional ao 
as termodinâ
te e geração
( ) 2f f fkdiv div grad 0 0.= − ℘ = ⇒ ∆ ℘ =µq (VII.3.10) 
Note que a formulação desta equação só depende da equação de balanço de massa do 
fluido e da equação de Darcy. Nela se ob
condições de regime permanente, e geraçã
entr
serva a analogia com a condução de calor nas 
o nula. Existem duas diferenças fundamentais 
e a lei de Darcy e a de Fourier. A primeira fica aparente na diferença entre as equações 
que regem o transiente. 
 32
2
f
k 0;
t
∂ε − ∆ ℘ =∂ µ
2 0.
t
∂θ − α∆ θ =∂
 (VII.3.11) 
Na primeira destas o balanço