Engenharia_de_Separacao_2015

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE 
Operações Unitárias A 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA DE SEPARAÇÃO 
 
 
 
Prof. Marcos Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Toledo – PR 
2015 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. ELUTRIAÇÃO 01 
2. SEDIMENTADOR LAMELADO, CÂMARA 
GRAVITACIONAL E SEPARADORES INERCIAIS 
03 
3. CENTRÍFUGA 12 
4. CICLONE 17 
5. SEDIMENTAÇÃO CONTÍNUA 22 
6. FILTRAÇÃO 28 
7. PENEIRAMENTO 45 
8. SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 51 
9. CRISTALIZAÇÃO 64 
10. FLOTAÇÃO 76 
11. SEPARAÇÕES MAGNÉTICA E ELETROSTÁTICA 77 
12. PRECIPITADORES ELETROSTÁTICOS E 
SEPARADORES ÚMIDOS 
80 
 
BIBLIOGRAFIA 84 
PROF. DR. GIULIO MASSARANI – UM BREVE HISTÓRICO 85 
LISTA DE EXERCÍCIOS 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Desconfiança é a melhor parte do conhecimento.” (Mahatma Ghandi) 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
Na grande maioria dos processos industriais estão presentes 
suspensões do tipo gás-sólido e líquido-sólido onde se deseja recuperar a 
fase sólida ou então, por exemplo, purificar a fase fluida. A fim de se 
conseguir tais objetivos foram desenvolvidos equipamentos e processos 
adequados, os quais serão apresentados neste texto. De forma geral serão 
abordados os seguintes equipamentos no texto: 
 
- Elutriador; 
- Câmara de Poeira; 
- Centrífuga; 
- Ciclone; 
- Sedimentador; 
- Filtro; 
- Peneira; 
- Separador de Membrana; 
- Cristalizador; 
- Flotador; 
- Separadores magnético e eletrostático, e 
- Precipitador eletrostático e separador úmido. 
 
Ao final da apostila estão presentes uma lista de exercícios e uma 
seção de anexos. 
 
Prof. Marcos Moreira 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 1 
1. ELUTRIAÇÃO 
 
A elutriação refere-se à operação de separação baseada na diferença entre a 
velocidade média do fluido e a velocidade terminal da partícula. Conforme apresentado 
na figura a seguir, uma amostra de partículas é alimentada perto do topo da primeira 
coluna, de diâmetro D1, enquanto o fluido (água por exemplo) é alimentado com vazão 
volumétrica Q perto da base dessa mesma coluna. 
 
 
Esquema dos elutriadores 
 
Na situação em que a velocidade do fluido é maior que a velocidade terminal das 
partículas, as partículas de diâmetro ou massa específica menor são carregadas para uma 
nova coluna de diâmetro D2, enquanto as partículas que apresentam maior diâmetro ou 
massa específica do que aquelas carreadas são coletadas no fundo da coluna. No caso da 
elutriação, o valor do diâmetro das partículas que teoricamente ficariam paradas na 
coluna, ou seja, o diâmetro critíco, é dado por: 
 
T
P
v.
Re.
d


 (1.1) 
 
Para uma partícula esférica isolada e Re<50.000 tem-se que: 
 
 
-1/0,95-0,95/2
2
D
0,95-
2
D
43,0
ReC
24
ReC
Re 

















 (1.2) 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 2 
onde 
2
S
3
P2
D
g)..(.d
.
3
4
ReC

 
 (1.3) 
 
A relação entre a vazão volumétrica a ser empregada na operação e o diâmetro da 
coluna a fim de se obter um determinado diâmetro crítico é dada por: 
4
.vπD
Q T
2
 (1.4) 
 
 
Para partícula isométrica isolada para Re<50.000 e 0,65<<1 tem-se que: 
 
-1/1,2
-1,2/2
2
2
D
1,2-
2
D1
K
ReC
24
Re.CK
Re





















 (1.5) 
 
onde 







0,065
log.843,0K1

 (1.6) 
.88,431,5K2  (1.7) 
 
 
 
 
 
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2. SEDIMENTADOR LAMELADO, CÂMARA GRAVITACIONAL E 
SEPARADORES INERCIAIS 
 
 
2.1 Sedimentador Lamelado 
 
 
 
 
Considere a Figura 2.1. A trajetória descrita nesta figura representa a trajetória 
crítica descrita pela menor partícula que é coletada com eficiência de 100% pelas placas 
de um sedimentador lamelado. As dimensões e inclinação das placas estão assinaladas 
na própria figura. 
Desprezando a aceleração da partícula, resulta da equação do movimento que: 
 
Componente x: )v-u(Cv-u
2
A
)V.g.sen-(0 XXDS   
(2.1) 
Componente y: )v-0(Cv-u
2
A
)V.g.cos-(0 YDS   
(2.2) 
 
Combinando as duas equações, vem que o módulo da velocidade relativa ( v-u ) 
é a velocidade terminal da partícula, v, no fluido estagnado, 
 
 
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










 v
C.
2
A
)V-(
v-u
2/1
D
S


 (2.3) 
 
Resulta das equações 2.1 – 2.3 que 
 
 
senvuv XX  (2.4) 
 
 
 
Figura 2.1. Dinâmica da partícula no escoamento entre placas paralelas. 
 
 
cosvvY  (2.5) 
 
O tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra na direção x 
a distância L é 
 
sen-vu
L
dyv
L.H
t
H/2
H/2-
X



 (2.6) 
 
onde <u> é a velocidade média do fluido entre as placas relativa à vazão Q1, 
 
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H.B
Q
u 1 (2.7) 
 
O tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra na direção y 
a distância H é 
 
cosv
H
t

 (2.8) 
 
Combinando as equações 2.6 e 2.8 resulta a expressão para o cálculo da 
velocidade terminal relativa à partícula de diâmetro crítico, 
 
 H.senL.cos
uH.
v


 (2.9) 
 
a qual conduz, através do grupo CD/Re, ao valor deste diâmetro crítico. 
No sedimentador lamelado industrial o comprimento das placas L é 
aproximadamente 20 vezes maior que a distância H entre elas e a inclinação  depende 
da configuração do escoamento sólido-fluido (40
o
 concorrente e 60
o
 contracorrente). 
A equação (2.9) pode ser simplificada para 
 
H
.L.cosv
u
 (2.10) 
 
resultando para uma vazão Q de suspensão e para um sistema com m lamelas ativas 
 
 .vAum.B.HQ PROJ (2.11) 
onde 
m.B.LcosAPROJ  (2.11a) 
 
é sendo APROJ a área projetada das lamelas no plano horizontal. Portanto, a velocidade 
terminal da partícula de diâmetro crítico é dada por: 
 
PROJA
Q
v  (2.12) 
Cabe ressaltar que o valor do diâmetro crítico está relacionado às condições de 
operação do equipamento (vazão de suspensão) e às suas dimensões. Partículas maiores 
que aquelas de diâmetro crítico são também coletadas com eficiência de 100%; as 
menores com eficiência inferior. 
 
 
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2.2 Câmara Gravitacional (Câmara de Poeira) 
 
Todas as equações apresentadas para o sedimentador lamelado são válidas para a 
Câmara de Poeira esquematizada na Figura 2.2. O ângulo de inclinação  é tomado 
igual a 0
o
. 
 
 
Figura 2.2. Câmara gravitacional. 
 
Assim, tem-se que a menor partícula coletada com eficiência de 100% no 
comprimento L da câmara terá velocidade terminal dada por: 
 
L
H.u
v

 (2.13) 
ou 
 
L.B
Q
v  (2.14) 
sendo 
 
B.H
Q
u  (2.15) 
 
 
Para o projeto da câmara de poeira pode-se admitir a seção transversal como 
quadrada, ou seja, B=H. 
Já para a velocidade do gás na câmara, <u>, deve-se assumir valores de 0,02-0,6 
m/s a 1,5-3,0 m/s a fim de se evitar a redispersão das partículas, o que ocorre para 
velocidades elevadas. 
 
 
 
 
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2.3 Eficiência da Separação Sólido-Fluido 
 
O projeto e a análise do desempenho do equipamento de separação sólido-fluido 
em fenda deseção retangular podem ser realizados em base aos seguintes resultados: 
a) Equação que relaciona o diâmetro de corte D
*
 (diâmetro das partículas que são 
coletadas com eficiência de 50% no equipamento de separação) às propriedades 
físicas do sistema particulado, às dimensões do equipamento e ás condições 
operacionais; 
b) Função eficiência individual de coleta relativa à partícula com diâmetro D, 
=(D/D
*
), que depende da configuração do equipamento, do regime de escoamento 
do fluido e da dinâmica da partícula; 
c) Função eficiência global de coleta que depende da distribuição granulométrica do 
conjunto de partículas, X=X(D), 
 
dX)D/D(
1
0
*
  ; (2.16) 
d) Equação que relaciona a queda de pressão e a vazão de fluido no equipamento de 
separação. 
 
Considere a Figura 2.3 quando se deseja estimar a eficiência proporcionada pelo 
decantador lamelado na coleta de partículas com diâmetro D. 
 
 
Figura 2.3. Decantador lamelado. 
 
 
O cálculo da eficiência será feito dentro das seguintes hipóteses: 
a) As partículas estão igualmente distribuídas em x=0, Figura 2.3, independentemente 
do tamanho. Portanto, a eficiência de coleta da partícula com diâmetro D que 
percorre a trajetória assinalada na Figura 1.3 é 
H
h
D)(  ; (2.17) 
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b) O escoamento do fluido na fenda é laminar, 















2
H
y
H
y
u6u (2.18) 
 

1
0
h u.dy
h
1
u (2.19) 
 
H
h
H
h
3
1
2
1
u6u h 





 (2.20) 
 
HH/2 uuu  (2.21) 





 

L
p
12
BH
uH.BQ
3

 (2.22) 
 
onde Q é a vazão de fluido e p é a queda de pressão no equipamento. 
 
c) A partícula sólida movimenta-se no regime de Stokes (Re<0,1; Re=.v.dP/), 
 


18
g.D)(
Kv
2
S
1t

 (2.23) 
 







0,065
log.843,0K1

 (2.24) 
Sabendo que 
L
h.u
v ht

 (2.25) 
e com as equações (2.17), (2.20) e (2.23) tem-se que: 
 
2
*
1
t
h
t
D
D
H
h
H
h
3
1
2
1
12
1
u
)L(v
u
)L(v
2
1
(H/2)
h
2
1
H
h
D)(
*























D
D

 
 (2.26) 
Portanto, a função eficiência individual de coleta para o equipamento em questão, 
dentro das hipóteses consideradas, é 
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 
2
*
2
D
D
2
1
23 





  para D/D* 2 (2.27) 
1 para D/D* 2 (2.28) 
 
Tabela 2.1. Alguns valores para a equação 2.27. 
 D/D
* 
0,1 0,237 
0,2 0,456 
0,3 0,657 
0,4 0,839 
0,5 1,00 
0,6 1,14 
0,7 1,25 
0,8 1,34 
0,9 1,39 
0,95 1,41 
1 
2 
Conhecidas a eficiência individual de coleta e a análise granulométrica pode-se 
calcular a eficiência global de coleta através da equação (2.16). 
D
*
 está relacionado com as propriedades físicas do sistema sólido-fluido, com as 
condições de operação e com as dimensões do equipamento de separação. Sabe-se pelas 
equações (2.10) e (2.21) que 
 
 
 2L.cos
uH.
2L.cos
uH.
v H/2
Dt *



 (2.29) 
 
e prevalecendo o regime de Stokes, 
 
 
 


18
g.D)(
Kv
2*
S
1t *


D (2.30) 
 
resulta que 
 
2
1
PROJS1
*
A)(.gK
Q9
D 









 (2.31) 
 
onde APROJ é dada pela equação (2.11a) para o decantador lamelado e por 
 
B.LAPROJ  (2.32) 
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para a câmara de poeira. 
 
No caso em que o escoamento do fluido entre as placas é turbulento chega-se que 
2
*D
D
5,0 





 para D/D* 2 (2.33) 
 
sendo D
*
 fornecido pela equação (2.31). A função eficiência de coleta e a equação que 
fornece o diâmetro de corte D
*
 caracterizam completamente o desempenho do 
equipamento de separação. Comparando, por exemplo, as equações (2.27) e (2.33) 
chega-se à conclusão de que para um mesmo diâmetro reduzido (D/D
*
<1) o escoamento 
laminar do fluido propicia uma maior eficiência de separação do que o escoamento 
turbulento. 
 
2.4 Separadores Inerciais ou de Impacto 
 
A separação nestes equipamentos baseia-se na diferença bastante grande entre a 
quantidade de movimento das partículas sólidas ou gotículas e a do gás. 
Consequentemente as partículas não seguirão o caminho do gás se este mudar 
bruscamente de direção. Sua trajetória será menos curvada do que as linhas da corrente 
do gás, sendo fácil obriga-las a atingir anteparos como chicanas ou material poroso de 
enchimento. Por gravidade as partículas chegarão aos pontos de descarga. 
 
 
 
 
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Os separadores desta classe de equipamentos são os seguintes: 
 
a) câmara inercial 
b) torre de chicanas 
c) bateria de separadores inerciais 
d) coluna de enchimento 
e) separador tipo veneziana 
 
 
 
 
 
 
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3. CENTRÍFUGA 
 
 
 
Centrífuga tubular 
 
 
 
 Centrífuga de discos 
 
 
3.1 Dinâmica da Partícula no Campo Centrífugo 
 
No campo centrífugo representado na Figura 3.1, as componentes da velocidade 
do fluido são: 
 
0u r  (3.1) 
 
 r.u (3.2) 
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Figura 3.1. Dinâmica da partícula no campo centrífugo. 
 
onde  é a velocidade angular da carcaça cilíndrica que aloja o fluido. A intensidade do 
campo centrífugo b é dado por: 
 
0b  (3.3) 
r
v
b
2
r
 (3.4) 
 
Desprezando a aceleração da partícula, resulta da equação do movimento e das 
equações (3.1) e (3.2) que 
  r.uv  (3.5) 
2/1
D
rS
tr
.CA.
V.b)..(2
v
dt
dr
v 




 



 (3.6) 
 
onde V é o volume da partícula e vt é a velocidade terminal da partícula no fluido 
estagnado, num campo com intensidade 
 
2
2
r r.
r
v
b   (3.7) 
 
A integração da equação (3.6) para a partícula esférica e regime de Stokes leva ao 
valor do tempo desejado, 
 
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







r
R
ln
D)(
18
t
22
S 

 (3.8) 
onde D é o diâmetro da partícula. 
 
 
3.2 O Conceito Sigma () e a Especificação de Centrífugas 
 
Vamos estabelecer a relação entre o diâmetro de corte D
*
 e as propriedades físicas 
do sistema sólido-fluido, dimensões do equipamento e condições de operação. 
As hipóteses de cálculo são: 
a) As partículas estão igualmente espalhadas em z=0, independentemente do tamanho; a 
trajetória assinalada na Figura 3.2 refere-se à partícula D
*
 coletada com eficiência de 
50%, onde: 
 
)R-(R)R-(R 2o
2
1
2
1
2   (3.9) 
e, portanto, 
2
1
2
o
2
1
2
R-R
R 





 (3.10) 
 McCabe assume que 




 

2
RR
R o1 
 
b) Prevalece o regime de Stokes na dinâmica da partícula; 
 
c) Movimento empistonado do fluido na centrífuga. 
 
 
 
Figura 3.2. Esquema da centrífuga tubular. 
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Em relação à trajetória crítica assinalada na Figura 3.2, o tempo necessário para 
que a partícula percorra a distânciaL na vertical é: 
 
 2o2 R-R
Q
L
u
L
t




 (3.11) 
 
e o tempo necessário para que a partícula percorra a distância radial de R1 a R é dada 
pela equação (3.8) 








1
2*2
S1 R
R
ln
D)(K
18
t


 (3.12) 
 
Combinando as equações (3.11) e (3.12) e lembrando que 
 
2
o
2
2
o
2
1 R3R
R-R
R
R
ln







 (3.13) 
 
resulta a expressão para o diâmetro de corte D
*
 
 
2
1
2
o
22
S1
*
)R3R(L)(K
Q18
D 









 (3.14) 
 
Explicitando a vazão de suspensão da alimentação, vem 
 





 





 

g2
)R3R(L
.
18
D)(g.K
2Q
22
o
22*
S1 


 (3.15) 
ou 
 .v2Q t (3.16) 
 
onde vt é a velocidade terminal da partícula de diâmetro D
*
 no campo gravitacional e  
um fator característico da centrífuga. 
A equação (3.15) mostra que a capacidade da centrífuga pode ser expressa pelo 
produto de dois termos, um que caracteriza o sistema particulado (a velocidade terminal 
da partícula no campo gravitacional) e outro que caracteriza a configuração, as 
dimensões e a rotação da centrífuga, o fator sigma. 
No caso da centrífuga tubular o fator sigma é dado por 
 
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g2
)R3R(L 22o
2 


 (3.17) 
de acordo com a equação (3.15). 
Para a centrífuga a discos, por exemplo, o fator sigma é dado por 
 



g.tan3
)rr(2 221
2
2 n
 (3.18) 
 
onde n é o número de espaços entre os discos da pilha, r2, e r1 os raios externo e interno 
da pilha de discos e  o ângulo de abertura do cone. 
A equação (3.16) é a base para a ampliação de escala entre centrífugas do mesmo 
tipo operando com uma mesma suspensão. Conhecendo-se o desempenho de uma 
centrífuga de laboratório pode-se dimensionar uma centrífuga industrial de acordo com 
a seguinte relação: 
 
21
QQ














 (3.19) 
 
De acordo com o procedimento utilizado anteriormente para se determinar D
*
, 
também é possível de se determinar o valor D do diâmetro das menores partículas que 
são coletadas com eficiência de 100%. Assim, tem-se que: 
 
2
1
2
o
22
S1
o
)RR(L)(K
)Q.ln(R/R.18
D 









 (3.20) 
 
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4. CICLONE 
 
 
O ciclone é um equipamento destinado à separação gás-sólido e que tem na força 
centrífuga a sua ação separadora. Os ciclones destinados à separação líquido-sólido são 
chamados de hidrociclones. A Figura 4.1 apresenta o esquema de funcionamento de um 
ciclone. A entrada da suspensão de gás e partículas ocorre lateralmente e de forma 
tangencial à parede do ciclone. O movimento circular ao qual é forçada a suspensão 
devido à geometria do equipamento faz com que surja uma força centrífuga que atua 
sobre a suspensão e cria uma força sobre as partículas fazendo com que essas tendam a 
ficar “presas” à parede até atingirem o fundo do ciclone onde são coletadas. Já o gás por 
sua vez, ao chegar ao fundo do ciclone encontra uma região de pressão mais baixa 
proporcionada pelo tubo central, por onde então acaba escapando. 
 
 
Figura 4.1. Esquema de movimentação das fases em um ciclone. 
 
 
4.1 O Diâmetro de Corte e o Ciclone 
 
A partícula com o diâmetro de corte D
*
 atravessa a espessura de separação Bc/2, 
Figura 4.1, no tempo de residência do fluido no ciclone. Dessa forma, 
 


18
Db)(
2/B
Q
V
2*
rS
ca


 (4.1) 
onde Va é o volume ativo do ciclone, Q a vazão volumétrica de suspensão e br (=
2.r
) a intensidade média do campo centrífugo. 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 18 
 
Figura 4.1. Vista superior do ciclone. 
 
Considera-se nesta análise rudimentar que prevaleça o regime de Stokes, que a 
partícula seja esférica, que 
 .ru (4.2) 
e que 
Q/V
N2
S
e (4.3) 
u e Ne são respectivamente o valor médio da velocidade da suspensão na seção de 
entrada e o número de espiras que o fluido forma no interior do ciclone. 
Resulta das equações (4.1) a (4.3) a expressão para o diâmetro de corte, 
 
2
1
eS
c*
N2)(u
B9
D 









 (4.4) 
 
Para o ciclone Lapple verifica-se experimentalmente que Ne=5. 
 
 
4.2 Ciclones para Separação Sólido-Gás 
 
Os diferentes modelos de ciclones caracterizam-se pelas proporções peculiares 
entre suas dimensões. Dentre os ciclones destinados à separação sólido-gás estão o 
modelo Lapple, o Stairmand e o Niigas-11 conforme apresenta a Figura 4.2. Segundo 
Massarani na comparação entre os modelos Lapple e Niigas-11, o ciclone Lapple tem 
uma eficiência um pouco maior que o ciclone Niigas-11, mas em compensação a queda 
de pressão no ciclone Lapple é o dobro da queda de pressão no ciclone Niigas-11. 
Na tabela 4.1 estão apresentados os parâmetros dos ciclones Lapple, Stairmand e 
Niigas-11. 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 19 
 
 
Figura 4.2. Ciclone Lapple/Stairmand e ciclone Niigas-11. 
 
Tabela 4.1. Parâmetros dos ciclones Lapple, Stairmand e Niigas-11. 
 Lapple Stairmand Niigas-11 
Bc/Dc 0,25 0,20 0,26 
De/Dc 0,50 0,50 0,60 
Hc/Dc 0,50 0,50 0,48 
Lc/Dc 2,00 1,50 2,08 
Sc/Dc 0,13 0 - 
Sc
’
/Dc - - 1,30 
Zc/Dc 2,00 2,50 2,00 
Jc/Dc 0,25 0,37 0,22 
Inclinação da 
alimemtação 
0
o 
0
o
 11
o
 
 
Para os ciclones de separação sólido-gás, a equação (4.4) pode ser generalizada 
para 
2
1
S
c
c
*
)(Q
D.
K
D
D










 (4.5) 
 
onde Dc é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone. 
 
A tabela 4.2 apresenta os valores de K para os ciclones Lapple, Stairmand e 
Niigas-11, além da velocidade média recomendada para a suspensão e a queda de 
pressão. Na tabela 4.2  é a massa específica do fluido e a velocidade uc na é dada por: 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 20 
4/D
Q
u
2
c
c

 (4.6) 
 
A eficiência de coleta individual varia de ciclone para ciclone e depende do 
diâmetro de corte do ciclone, que por sua vez, depende das dimensões do ciclone. O 
Quadro 4.1 apresenta a eficiência de coleta individual para os ciclones Lapple, 
Stairmand e Niigas-11. 
 
 
Tabela 4.2. Parâmetros dos ciclones Lapple, Stairmand e Niigas-11. 
Ciclone Velocidade média 
recomendada para a 
suspensão na seção 
BcHc 
K Queda de pressão 
(Pa) 
Lapple 5 – 21 m/s 0,095 157,5..uc
2 
Stairmand 10 – 30 m/s 0,041 200..uc
2
 
Niigas-11 15 – 24 m/s 0,128 78,75..uc
2
 
 
 
Quadro 4.1.  para os ciclones Lapple, Stairmand e Niigas-11. 
Ciclone Eficiência individual de coleta () 
Lapple 
2*
2*
)D/D(1
)D/D(

 (4.7) 
3/2
64,2
*D/D
25,1
1
















 (4.8) 
 
Stairmand 
146)D/D5exp(
1)D/D5exp(
*
*


 (4.9) 
 
Niigas-11 4,0
4,0
*
4,4
* D/D
71,8
D/D
26,1






















 (4.10) 
 
 
Conhecida a distribuição granulométrica das partículas, é possível estabelecer o 
valor da eficiência global de coleta no campo centrífugo de acordo com a equação 
(3.11), 
dX)D/D(
1
0
*
  ; (4.11) 
Supondo que a distribuição granulométrica seja do tipo RRB, 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 21 
n)-(D/D'e1X  (4.12) 
 
Massarani obteve a eficiência de coleta global para os ciclones Lapple e Stairmand 
utilizando respectivamente as equações (4.7) e (4.9). 
 
** D
D'
)/DD'(n322,081,1
n0,118
1,11n


(Lapple) (4.13) 
 
** D
D'
)/DD'(n279,044,1
n0,138
1,13n


 (Stairmand) (4.14) 
 
 
4.3 Cálculo da Potência do Soprador 
 
Considerando apenas a perda de carga nos ciclones, a potência requerida para a 
separação é dada por 
E
pQ.
Pot

 (4.15) 
 
com Pot em W, a vazão total Q em m
3
/s e a queda de pressão no ciclone p em Pa. “E” 
é a eficiência elétrica do motor, da ordem de 0,5 para motores de baixa potência. 
 
 
4.4 Etapas para o Dimensionamento de uma Bateria de Ciclones 
 
a) Define-se a eficiência de coleta global desejada ( ), a vazão a ser tratada (Q) e o 
ciclone desejado; 
b) Da equação de  = (D*), determina-se D*; 
c) Arbitra-se u de acordo com o recomendado e com a equação (4.4) calcula-se Bc e 
depois Dc a partir da tabela 4.1; 
d) Com Dc calcula-se Q1 a partir de Q1=u.Bc.Hc; 
e) Com a razão Q/Q1 determina-se o número de ciclones necessário; 
f) O número de ciclones deve ser um número inteiro N. A vazão tratada em um único 
ciclone será Q1=Q/N. Substituindo Q1 na equação (4.5) determina-se Dc final. Com Dc 
calcula-se Bc da tabela 4.1, e então determina-se a velocidade u (Q1=u.Bc.Hc) que deve 
estar dentro da faixa recomendada; 
g) Calcula-se a perda de carga em cada ciclone pela tabela 4.2 e com a equação (4.15) 
determina-se a potência necessária para o soprador. 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 22 
5. SEDIMENTAÇÃO CONTÍNUA 
 
 
 
 
 
Dentre todos os equipamentos de separação sólido-fluido, é o sedimentador 
contínuo tipo Dorr o que pode atingir capacidades mais impressionantes. O enorme 
tanque de concreto, em muitos casos com mais de 100m de diâmetro, permite tratar 
centenas de metros cúbicos de suspensão por hora. 
O projeto do sedimentador, do ponto de vista da Engenharia Química, consiste no 
cálculo da área de sedimentação e da altura de espessamento. 
 
5.1 Cálculo da área de sedimentação 
 
No estabelecimento do balanço de massa das fases sólida e líquida no 
sedimentador contínuo, figura 5.1, considera-se que o extravasante não contenha 
partículas sólidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 – O sedimentador contínuo. 
 
 
 
Lodo 
Suspensão 
Extravasante 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 23 
Balanço de massa de sólido 
 
 
*
LLS
*
S
*
aaS cLLccL   (5.1) 
ou 
*
L
*
L
c
L.c
L  (5.2) 
 
Balanço de massa de líquido (entre um nível qualquer do sedimentador e a descarga de 
lodo) 
 
)c-(1L.V.)c-L(1. *LL
*   (5.3) 
 
Das equações 5.1 a 5.3 resulta: 
 
)
c
1
-
c
1
(cLV
*
L
*
*
aa (5.4) 
 
Nas equações de 5.1 a 5.4, 
 
a - índice referente à alimentação de suspensão; 
c
*
 - concentração volumétrica de sólidos numa seção tranversal qualquer do 
sedimentador, m
3
 de sólido/m
3
 de suspensão; 
cL
*
 - concentração volumétrica de sólidos no lodo, m
3
 de sólido/m
3
 de suspensão; 
L – vazão de suspensão descendente numa seção transversal qualquer do sedimentador, 
m
3
/s; 
V – vazão de líquido ascendente numa seção transversal qualquer do sedimentador, 
m
3
/s; 
 - massa específica do líquido, kg/m
3
; 
S - massa específica do sólido, kg/m
3
. 
 
A equação 5.4 pode ser escrita em termos da área de sedimentação, 
 
 
)
c
1
-
c
1
(
v
cL
A
*
L
*
*
aa (5.5) 
 
onde v=V/A é a velocidade ascensional de líquido numa seção qualquer do 
sedimentador. Assumindo que c=S.c
*
, então 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 24 
)
c
1
-
c
1
(
v
cL
A
L
aa (5.6) 
 
onde c é a massa de sólido por volume de suspensão. 
 
Em termos da capacidade de sedimentação tem-se que: 
 
)
c
1
-
c
1
(c
v
A
L
L
a
a 
 (5.7) 
 
Para se ter um extravasante límpido é necessário que a velocidade ascensional de 
líquido v não exceda a velocidade de sedimentação do sólido. Os valores da capacidade 
La/A, equação 5.7, devem ser calculados para toda a gama de concentrações presentes o 
sedimentador, isto é, para caccL, com suas respectivas velocidades, e o projeto deve 
se basear no valor mínimo da capacidade (La/A) em função dos pares (c;v). 
A relação c versus v a ser utilizada na equação 5.7, específica para o sistema 
sólido-fluido em estudo, pode ser determinada através do ensaio de proveta na versão 
Kynch (veja a Figura 5.2). O ensaio é conduzido com a suspensão na concentração 
inicial ca; onde determina-se a curva z versus t. A partir dessa curva obtém-se a curva c 
versus v. 
 
 
Figura 5.2 – Ensaio de proveta na versão Kynch. 
 
Quando a decantação tem início (veja a Figura 5.2), a suspensão encontra-se a 
uma altura Zo e sua concentração é uniforme (=ca). 
Pouco tempo depois (veja o instante 3 na Figura 5.2) é possível distinguir cinco 
zonas distintas no cilindro: 
 
a – Líquido clarificado. No caso de suspensões que decantam muito rapidamente esta 
camada poderá ficar turva durante um certo tempo por causa das partículas mais finas 
que permanecem em suspensão. 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 25 
b – Suspensão com a mesma concentração inicial ca. A linha divisória entre a e b é 
geralmente nítida. 
c – Zona de Transição. A concentração da suspensão aumenta gradativamente de cima 
para baixo nesta zona, variando entre o valor inicial ca até a concentração da suspensão 
espessada. A interface bc é geralmente nítida. 
d – Suspensão espessada na zona de compressão, que é a suspensão na qual os sólidos 
decantados sob a forma de flocos acham-se dispostos uns sobre os outros, sem, contudo 
atingirem a máxima compactação, uma vez que ainda existe líquido aprisionado entre os 
flocos. A separação entre as zonas c e d geralmente não é nítida e apresenta diversos 
canais através dos quais o líquido proveniente da zona de compressão escoa. A 
espessura desta zona vai aumentado durante a operação. 
e – Sólido grosseiro que decantou logo no início do ensaio. A espessura desta zona não 
aumenta muito durante o ensaio. 
 
Quando a curva de sedimentação resulta na combinação reta-exponencial a 
capacidade de sedimentação é dada por: 
 
min
oa
t
z
A
L






proj
 (5.8) 
 
sendo tmin o tempo relativo a zmin dado por: 
 
L
oa
min
c
.zc
z  (5.9) 
obtido de acordo com a Figura 5.3. 
 
 
Figura 5.3 – Determinação do tempo mínimo. 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 26 
 
5.2 Cálculo da altura do sedimentador 
 
A altura do sedimentador é dada como a soma das parcelas indicadas na figura 
5.4. 
321 HHHH  (5.10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.4 – Altura do sedimentador. 
 
 
onde H1 é a altura da região clarificada, que pode variar entre 0,45 e 0,75m, H2 a altura 
da região de espessamento e H3 a altura do fundo do sedimentador, sendo D o seu 
diâmetro. 
 
A altura H3 pode ser dada por: 
 
D.073,0H3  (5.11) 
 
A altura da região de espessamento, H2, pode ser estimada através de um balanço 
de massa estabelecido para esta região, 
 


 


L
S
S
raa
2
A
tcL
3
4
H (5.12) 
 
onde tr é o tempo de residência da partícula sólida, calculado como indicado na Figura 
5.5, e L a massa específica do lodo. O fator 4/3 permite corrigir a imprecisão no 
emprego da massa específica do lodo em vez da massa específica média na região de 
espessamento. 
 
H1 
H2 
H3 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 27 
 
Figura 5.5 – Determinação do tempo de residência na região de espessamento com 
o auxílio da curva de sedimentação. 
 
O tempo de residência é obtido pela diferença entre tE e tc (tempocrítico). O valor 
de tE é obtido traçando-se a reta que se inicia em z=ca.zo/cL e t=0. Encontrando-se o 
ponto onde essa reta tangencia a curva z versus t, determina-se tE. 
O ponto crítico é o momento onde a suspensão entra em compressão. Este ponto 
pode ser determinado por um gráfico de log (z-zf) versus o tempo como apresenta a 
Figura 5.6. O ponto crítico se localiza na descontinuidade da curva obtida. 
 
 
 
Figura 5.6 – Determinação do ponto e do tempo críticos. 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 28 
6. FILTRAÇÃO 
 
No vasto panorama da filtração, limitaremos nossa análise à separação sólido-
fluido com formação de torta. As partículas sólidas retidas pelo meio filtrante 
constituem um corpo poroso que cresce e se deforma continuamente – a torta – e o 
líquido, percolando pela torta e meio filtrante, dá origem ao filtrado. 
O projeto do filtro industrial é feito com o auxílio de dados obtidos no filtro-
piloto, através de uma formulação que tem como base a chamada Teoria Simplificada 
da Filtração. 
Os filtros podem ser classificados em relação a diferentes aspectos como regime 
de operação e força motriz. A força motriz da filtração pode ser a pressão (bomba ou 
compressor por exemplo), a gravidade, a força centrífuga ou o vácuo. Os filtros a vácuo 
podem ser classificados de acordo com o esquema a seguir. 
 
 
 
A seguir são apresentadas figuras relativas a diferentes tipos de filtros. Um 
resumo geral de tipos de filtros pode ser encontrado no endereço: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=oae_jnoBrFg 
 
 
 
 
 
Filtro de mangas 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 29 
 
Filtro rotativo a discos 
 
 
 
Filtro de leito fixo 
 
 
 
Filtro de folhas 
 
Filtro de ar 
 
 
Filtro Nutsche 
 
 
 
 
Filtração centrífuga 
 
 
 
Filtro de cinta horizontal 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 30 
6.1 Equação da Filtração (Teoria da Filtração com Formação de 
Torta) 
 
 
Seja o caso simples, porém de interesse tecnológico, da filtração com deformação 
plana esquematizado na figura a seguir: 
 
 
Figura 6.1. Filtração plana com formação de torta. 
 
 
Pela equação da continuidade tem-se para as fases fluida e sólida que: 
 
0)vdiv(
t
)(
FF
F 


ερ
ερ
 (6.1) 
 
0]v)-div[(1
t
])-(1[
SS
S 


ρε
ρε
 (6.2) 
 
Supondo que o sólido e o líquido sejam incompressíveis, então: 
 
F=cte (6.3) 
 
 
Meio 
filtrante 
Torta 
Suspensão 
l(t) lm 
z 
p(0, t) 
p(-lm, t) 
p(l, t) 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 31 
S=cte (6.4) 
logo: 
 
0)vdiv(
t
)(
FFF 


ερ
ε
ρ (6.5) 
 
0]v)-div[(1
t
)-(1
SSS 


ερ
ε
ρ (6.6) 
 
ou 
0)vdiv(
t
)(
F 


ε
ε
 (6.7) 
 
0]v)-div[(1
t
)-(1
S 


ε
ε
 (6.8) 
 
Somando as equações (6.7) e (6.8) chega-se a: 
 
0]v)-(1vdiv[
t
)]-(1[
SF 


ε
ε


 (6.9) 
ou 
0]v)-(1vdiv[ SF  ε (6.10) 
Fazendo 
 
FF vq  (6.11) 
 
SS v)-(1q ε (6.12) 
 
e considerando apenas a variação em z a equação (6.10) torna-se: 
 
0)q(q
z
SF 


 (6.13) 
 
Integrando (6.13) tem-se que: 
 
t)(0,qt)(0,qt)(z,qt)(z,q SFSF  (6.14) 
 
mas junto ao meio filtrante qS(0,t)=0, então 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 32 
t)(0,qt)(z,qt)(z,q FSF  (6.15) 
 
Admitindo que qF(z,t)>> qS(z,t), então 
 
t)(0,qt)(z,q FF  (6.16) 
ou 
(t)(t)v(t)qq FFF  (6.17) 
 
Considerando a torta incompressível (=cte) tem-se: 
 
(t)v(t)qq FFF  (6.18) 
 
e a equação da continuidade para a fase fluida dada por: 
 
0)v(
t
)(
F 





ε
z
ε
 (6.19) 
torna-se: 
0
)v( F 


z
 (6.20) 
 
A equação do movimento para o fluido com todas as hipóteses assumidas é dada 
por: 
 
zF
SFF
F
F g
k
)vv(
z
p
z
)(v
v
t
)(v


 














 F
F (6.21) 
 
Considerando que não há aceleração do fluido e que a influência do campo 
gravitacional é desprezível, então: 
 
k
q
k
)qq(
k
)vv(
z
p FSFSF FFF  






 (6.22) 
Assim teremos: 
dz
k
q
dp FF

 (6.23) 
 
Sendo M a massa de sólido seco que compõe a torta, então 
 
A.dz)1(dM   S (6.24) 
 
Substituindo (6.24) em (6.23) tem-se: 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 33 
 
dM
A)1(k
q
dp
S
F



 F (6.25) 
 
onde a resistividade local ( - unidade = m/kg) é dada por: 
 
)1(k
1
S 


 (6.26) 
Assim: 
dM
A
q
dp FF

 (6.27) 
 
Integrando (6.27) tem-se: 
 
A
Mqt)p(0,t)p(l,dp F0
t)p(0,t)p(l,
F




   (6.28) 
onde 
 


0
t)p(0,t)p(l,
dp
t)p(0,t)p(l,


 (6.29) 
 
sendo <> a resistividade média da torta. 
 
Assim, 
 
A
Mq
t)p(0,t)p(l, FF

  (6.30) 
 
A equação do fluido no meio filtrante pode ser dada de forma análoga à da 
equação para o fluido através da torta, ou seja, 
 
m
F
k
q
z
p F


 (6.31) 
 
onde agora usamos km, a permeabilidade do meio filtrante e não mais a permeabilidade 
da torta (k). 
 
Integrando de 0 a –lm tem-se: 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 34 
mF
m
mF
m Rq
k
lq
t),p(-lt)p(0, F
F 

 (6.32) 
 
onde a razão lm/km é a resistência do meio filtrante (Rm) 
 
Somando-se as eq. (6.30) e (6.32) tem-se: 
 
 Totalmm Pt),p(-l-t)p(l,t)],p(-lt)[p(0,t)]p(0,t)[p(l, 
 
 
FmmF
F qR
A
M
Rq
A
Mq
FF
F 



 







 (6.33) 
 
Como, pela convenção feita, vF é negativo, qF também será e o PTotal será 
positivo, assim a equação (6.33) pode ser escrita da seguinte forma: 
 
FmTotal qR
A
M
P F









 (6.34) 
Como 
Filtrado
F
dt
dV
A
1
q 





 (6.35) 
 
e fazendo 
FiltradoFV
M
c

 (6.36) 
ou 
FiltradoV
M
c*  (6.37a) 
 
pode-se escrever a Equação Fundamental da Filtração Plana como: 
 
F
















m
TotalFFiltrado
R
A
M
PA
1
qA
1
dV
dt
 (6.38) 
 
ou ainda 
 
BVK
PA
R
PA
.Vc
dV
dt
Filtradop
Total
m
Total
2
Filtrado
Filtrado















 FFF 
 
(6.39) 
 
onde <>=<>(p). 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 35 
Passaremos a considerar que VFiltrado=V. 
 
c
*
 (kg/m
3
) se relaciona com a concentração de sólidos na alimentação (cAL
*
 - kg de 
sólido por m
3
 de suspensão) por: 
F
 *c.
-1
*c
c*
AL
AL
 (6.36a) 
1
m
m
ts
tm  (6.36b) 
onde mtm é a massa de torta molhada e mts é a massa de torta seca. 
 
6.2 Filtração a Pressão Constante 
 
Quando PTotal é constante, ou seja, quando se utiliza na filtração umabomba 
centrífuga, a equação da filtração pode ser integrada 
 














V
o
FFF dV
PA
R
PA
Vc
dt
Total
m
Total
2
t
0

 (6.40) 
para dar 









 m
Total
R
A2
Vc.
A.P
.V
t
 FF
 (6.41) 
ou 
B.V
2
.VK
t
2
P  (6.42) 
 
A equação (6.40) transformada para: 
 





















A.P
R.
V
AP2
.c.
V
t
Total
m
2
Total
FFF 
 (6.40a) 
ou 
ba.Vy  (6.40b) 
onde 
 
2
Total AP2
.c.
a



 FF
 (6.40c) 
 
A.P
R.
b
Total
m

 F

 (6.40d) 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 36 
 
permite calcular a resistividade média da torta <> e a resistência do meio filtrante (Rm) 
a partir das medidas de volume do filtrado e tempo de filtração obtidas na operação sob 
queda de pressão constante segundo o que apresenta a figura a seguir. 
 
 
Figura 6.2. Determinação gráfica de <> e Rm. 
 
A resistividade média da torta aumenta com a queda de pressão enquanto que a 
resistência do meio filtrante mantém-se praticamente constante. 
 
 
6.3 Equação Empírica para <> 
 
Experiências conduzidas a diferentes quedas de pressão mostram que a 
resistividade média da torta <> varia de acordo com a seguinte equação: 
 
n
TotalP o (6.42a) 
 
onde os parâmetros o e n dependem da natureza da torta. 
Já a resistência do meio filtrante é pouco afetada pela queda de pressão. 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 37 
6.4 Filtração Contínua 
 
A filtração contínua é a forma de filtração dos filtros rotativos como é o caso do 
filtro rotativo de tambor apresentado a seguir. 
 
 
Vídeos sugeridos: https://www.youtube.com/watch?v=29FGhBp7juQ 
 https://www.youtube.com/watch?v=u_h2IfmWFb0 
 
Na filtração contínua a resistência do meio filtrante é quase sempre desprezível 
frente à resistência da torta, logo a equação (38) torna-se 
 
VK
dV
dt
p





 (6.43) 
e integrando 
2
VK
t
2
p
 (6.44) 
2
Total
F
A
V
P.2
c.
t 







 F

 (44) 
ou 
t.c.
P.2
A.t
V
F
Total
F 

 (6.44a) 
 
onde A é a área submersa do filtro, dada por: 
.fAA T (6.45) 
 
O tempo para a formação da torta é sempre uma fração de um ciclo completo, ou 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 38 
seja 
cf.tt  (6.45a) 
Assim 
.tc.
fP.2
t.A
V
F
2
Total
T F 

 (6.45b) 
 
cF
Total
T .tc.
fP.2
t.A
V
F 

 (6.46) 
ou 
F cF
Total
T
tc.
fP.2
AProd


 (6.47) 
onde Prod é a produção de filtrado num ciclo completo. A produção se relaciona com a 
alimentação por: 
 
*c
*Alim.c
Prod AL (6.47a) 
 
Se <> for dado pela equação (42), então: 
 
FoF  c
n-1
Total
T
tc.
fP.2
AProd

 (6.47b) 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 39 
6.5 Filtração à Velocidade Constante 
 
Se a velocidade é constante então: 
 
At
V
qF  (6.48) 
Sendo 
Torta
F
P
A
Mq
t)p(0,t)p(l, 
F (6.49) 
 
e substituindo (6.48) e (6.36) em (6.49) tem-se: 
 
2
Torta
A
V
t
.c.P









FF 

 (6.50) 
 
Se <> for dado pela equação (42), então: 
 
  tKtq*ct
At
V
c.ΔPΔPP r
2
F
2
F
1
mTotal
1
Torta 







FoFo
nn
μα
 (6.51) 
 
Tomando 
  tKΔPΔP r
n1
mTotal 

 (6.52) 
 
e tirando o logaritmo de cada lado, tem-se: 
 
  )Klog(ΔPΔPlog)n(1log(t) rmTotal  (6.53) 
 
 
 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 40 
6.6 Filtro Prensa 
 
 
 
Vídeos sugeridos: https://www.youtube.com/watch?v=g7vump_1zwA 
 https://www.youtube.com/watch?v=FDHnW7LZcIM 
 https://www.youtube.com/watch?v=Nx6CaKe4gcg 
 
A operação de um filtro prensa compreende as seguintes etapas: a filtração (tempo 
t), a lavagem da torta (tempo tL) e o desmantelamento, limpeza e montagem do filtro 
(tempo tD). A produção de filtrado (Prod) num ciclo completo é, portanto, 
 
DL ttt
V
Prod

 (6.54) 
 
Quando a filtração e a lavagem são conduzidas numa mesma queda de pressão p, 
o tempo de filtração é dado por: 
 









 m
F
Total
R
A2
Vc.
A.P
.V
t
F
 (6.55) 
 
e o tempo de lavagem é dado por: 
 
filtração da final
L
L
dV/dt)(
4V
t  (6.56) 
 
onde VL é o volume de líquido de lavagem. O tempo de desmantelamento, limpeza e 
montagem, obviamente, independe da teoria da filtração. 
A especificação do filtro industrial para uma produção de filtrado requerida pode 
ser feita facilmente através dos dados obtidos numa unidade piloto. 
Admitiremos que a queda de pressão e a temperatura no filtro piloto e na unidade 
industrial sejam iguais entre si e que a resistência do meio filtrante seja desprezível face 
à resistência oferecida pela torta. Resulta da primeira hipótese que as propriedades 
médias da torta no piloto e na unidade industrial são também iguais entre si, 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 41 
21t A.e
2V
A.e
2V
v
V












 (6.57) 
onde vt é o volume de torta e “e” é a espessura do quadro. 
 
)1(
ccv
V S
S
S
t












F
F
 (6.58) 
 
1
m
m
ts
tm  (6.59) 
onde mtm é a massa de torta molhada e mts é a massa de torta seca. 
 
Vem das equações (56)-(59) que: 
 
 
  1
2
1
2
e
e
V/A
V/A
 (60) 
 
  
  
2
1
2
2
1
2
2
1
2
e
e
V/A
V/A
t
t






 (61) 
 
2
t
2
L
V
v
8
t
t






  (62) 
 
t
L
v
V
 (63) 
  DL222 ttt.PV  (64) 
 
 
2
1
1
2
12
e
e
.
V
V
AA  (65) 
   A-1
.V*c
x
S
 (66) 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 42 
6.7 Filtração Centrífuga 
 
A figura a seguir apresenta um esquema da filtração centrífuga. 
 
 
 
 
Figura 6.3. Esquema da filtração centrífuga. 
 
 
Suponha que os efeitos da gravidade e as variações de energia cinética do líquido 
são desprezíveis. Suponha que a torta seja incompressível e que a resistência do meio 
filtrante (Rm) seja constante. 
 
 
Supondo também que a espessura da torta seja pequena e que o diâmetro da 
centrífuga seja muito grande, então a velocidade superficial do fluido pode ser dada por: 
 
A
Q
dt
dV
A
1
qF  (6.67) 
 
onde V é o volume de filtrado e A é a área do meio filtrante. 
 
Sendo a queda de pressão total (meio filtrante + torta) dada por: 
 
 
)R
A
Mα
(qμΔP mFFTotal 

 (6.68) 
 
onde M é a massa de sólido seco que compõe a torta, então: 
 
Torta Suspensão 
Centro da centrífuga 
r1 
ri 
r2 
altura=b 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 43 
)
A
R
A
Mα
Q(μΔP m
2FTotal


 (6.69)A diferença de pressão de um líquido newtoniano com F e F constantes em uma 
centrífuga pode ser dada por: 
 















r
p
z
v
v
r
vv
r
v
r
v
v
t
v r
z
rr
r
r
F )(
2


 
 
  rF
rr
r g
z
vv
r
v
r
rv
rr


 

























2
2
22
2
2F
211
r
μ (6.70) 
 
 
sendo vr e gr desprezíveis e v não variando em , tem-se: 
 
r
p
r
v
ρ
2
θ


 (6.71) 
onde 
w.rvθ  (6.72) 
Integrando (6.71), 
 
2
1
2
1
r
r
2
F
p
p
r.drwρdp (6.73) 
tem-se que: 
 
)r-(r
2
wρ
ΔP 21
2
2
2
F
Total  (6.74) 
 
Igualando as equações (6.69) e (6.74) e isolando Q tem-se: 
 
 










A
R
A
Mα
2μ
)r(rwρ
Q
m
2F
2
1
2
2
2
F
 (6.75) 
 
Quando a variação da área A não é desprezível em função de r, tem-se: 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 44 












m
m
MEDL
F
2
1
2
2
2
F
A
R
AA
Mα
2μ
)r(rwρ
Q
 (6.76) 
 
onde 
 
br.2A 2m π (6.77) 
 
)rb(r.
2
AA
A 2i
2i
MED 

 π (6.78) 
 
)
r
r
ln(
)rb(r.2
A
i
2
i2
L


π
 (6.79) 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 45 
7. PENEIRAMENTO 
 
O peneiramento é uma operação mecânica de separação que se prende a duas 
finalidades: 
- dividir o sólido granular em frações homogêneas, e 
- obter frações com partículas de mesmo tamanho. 
 
O sólido alimentado A é movimentado sobre a peneira; as partículas que passam 
pelas aberturas são os finos (F) e as que ficam retidas são os grossos (G). 
 
 
Figura 1. Esquema da operação de peneiramento. 
 
 
Uma peneira separa apenas duas frações que são chamadas não classificadas 
porque se conhece apenas as medida extrema de cada fração (a da maior partícula da 
fração fina e a menor da fração grossa). Com mais peneiras é possível obter frações 
classificadas; neste caso, não é mais um simples peneiramento, mas uma classificação 
granulométrica. 
Se um material A, com a análise granulométrica acumulada dos retidos mostrado 
na Figura 2.a, for peneirado de maneira ideal em uma peneira de abertura Dc, o ponto C 
da curva será o ponto de corte. A operação origina uma fração Fi (partículas mais finas 
que Dc) e uma fração Gi (partículas maiores que Dc). Na Figura 2.c os três valores 
indicados, φA, φF e φG representam respectivamente as frações acumuladas de grossos 
Dc em cada um dos materiais A, F e G. 
 
 
 
Figura 2. Curvas granulométricas das frações. 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 46 
Se o peneiramento fosse ideal teríamos que ϕF =0 e ϕG =1. 
Aplicando um balanço de massa global e um para as partículas de tamanho Dc 
tem-se que: 
GFA  (7.1) 
 
GF
GFA  
A
 (7.2) 
de onde chega-se a: 
   
AGFG
AF   (7.3) 
 
   
FAFG
AG   (7.4) 
 
ou pela regra da alavanca: 
   GAAGFF  (7.5) 
 
   AFAGFG  (7.6) 
 
   AGGFAF  (7.7) 
 
A fração dos grossos Dc alimentados à peneira e que chegam finalmente ao 
produto grosseiro G é uma medida da eficiência de recuperação de grossos: 
 
A
G
G
.A
.G
E



 (7.8) 
 
Por outro lado, a quantidade de finos na alimentação que finalmente chega à 
fração fina é uma medida da eficiência de recuperação de finos: 
 
 
 
A
F
F
1A
1F
E





 (7.9) 
 
O produto dessas duas eficiências representa a eficiência de peneiramento: 
 
 
 
AA
2
FG
1A
1FG
E





 (7.10) 
Substituindo (7.3) e (7.4) em (7.10) tem-se que: 
 
    
   
AA
2
FG
FGFAAG
1
1
E





 (7.11) 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 47 
7.1 Dimensionamento Genérico de uma Peneira 
 
O cálculo da área necessária para realizar um peneiramento é feito com base em 
dados experimentais de capacidade mencionados nos catálogos dos fabricantes. 
Geralmente são fornecidos os valores da capacidade específica C em toneladas por 24 
horas contínuas de operação, por metro quadrado e por milímetro de abertura das 
malhas da peneira. A área pode ser obtida por: 
 
c
C.D
t.A
Á

rea
 (7.12) 
 
onde A é a vazão mássica de alimentação. 
 
7.2 Tipos de Peneiras 
 
A classificação das peneiras pode ser feita do seguinte modo: 
 
 
 
 
Entre as peneiras estacionárias a mais conhecida é a peneira Grizzly. Entre as 
peneiras rotativas a peneira mais conhecida é a peneira Trommel. 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 48 
 
Peneira Estacionária 
 
 
 
Peneira Rotativa Trommel 
 
 
 
 
Peneira Agitada (na vertical) 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 49 
 
 
Peneira Vibratória Retangular 
 
 
 
 
 
Peneira Vibratória Grizzly 
 
7.3 Dimensionamento de Peneira Rotativa 
 
A capacidade específica de uma peneira rotativa varia de 3 a 20 ton/(m
2
.24h.mm) 
com uma rotação entre 30 e 50% da crítica, que é aproximadamente de 
 
D
0,705
n
CRÍTICO
 (7.13) 
 
onde D está em metros e n em Hz. 
A rotação típica é da ordem de 15 rpm. A inclinação mais utilizada é de 5
o
 (até 
7
o
). 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 50 
O dimensionamento pode ser feito a partir da seguinte equação: 
 
D.K0,4.
Q
L


 (7.14) 
 
onde L é o comprimento (m), D é o diâmetro do tambor (m), Q é a vazão de sólido que 
passa pela tela (m
3
/h) e K é a capacidade de peneiramento (m
3
/h.m
2
). O valor de K pode 
ser obtido a partir da seguinte equação: 
 
54321
....K kkkkk (7.15) 
 
onde k1 depende da capacidade da tela de acordo com sua abertura, k2 depende da 
fração acumulada de retidos pela tela, k3 depende da eficiência de peneiramento, k4 
depende da inclinação da peneira e k5 do tipo de abertura (quadrada ou redonda) e da 
umidade. 
 
A potência consumida (em HP) será de aproximadamente: 
 
K'.L.DPot  (7.16) 
 
onde K’ varia de 0,9 a 1,3. 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 51 
8. SEPARAÇÃO POR MEMBRANAS 
 
A separação por membranas é uma espécie de filtração que pode ser aplicada a 
suspensões formadas por partículas muito pequenas ou a soluções de macromoléculas. 
A seguir são apresentadas algumas figuras de diferentes configurações das membranas. 
 
 
Vídeos sugeridos: https://www.youtube.com/watch?v=rK7UVY_7K8w 
 https://www.youtube.com/watch?v=L3_pEsatmNw 
 
 
 Plana Tubular 
 
 
 Oca 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 52 
 
 Espiral 
 
A Figura 8.1 apresenta as faixas de aplicação dos principais processos de 
separação por membranas e dos processos clássicos de separação em função dos 
tamanhos das espécies dissolvidas/dispersas a recuperar. 
 
Figura 8.1 Faixas de aplicação dos principais PSM e dos processos clássicos de 
separação em função dos tamanhos das espécies dissolvidas/dispersasa recuperar. 
 
A separação por membranas pode ser resumida pelo seguinte esquema. 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 53 
 
Figura 8.2. Esquema simplificado da separação por membranas. 
 
Tanto o permeado quanto o retentado podem ser o produto de interesse de um 
determinado processo. No Quadro 8.1 são apresentadas as principais características dos 
processos de separação por membranas. 
 
 
Quadro 8.1. Força motriz na SPM. 
 
 
 
Microfiltração – É a filtração para suspensões com partículas muito pequenas (0,1 a 10 
micra). 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 54 
Ultrafiltração – É a filtração para soluções de moléculas grandes (0,001 a 0,5 micra). 
Os termos hiperfiltração e nanofiltração são utilizados às vezes para separações de 
moléculas ou íons pequenos, mas o termo Osmose Reversa também se aplicaria em tais 
situações quando a pressão osmótica tem um efeito maior no fluxo. 
 
Diafiltração – É um processo que remove sais e solutos de baixo peso molecular de 
uma solução de macromoléculas. Difere-se da diálise onde uma diferença de pressão é 
utilizada para forçar a solução salina através da membrana deixando as moléculas 
maiores para trás. 
 
Diálise – Membranas porosas finas são utilizados em diálise, um processo para a 
remoção seletiva de solutos de baixo peso molecular na solução permitindo-os se 
difundirem para regiões de concentração mais baixa. Existe pouca ou nenhuma 
diferença de pressão através da membrana, e o fluxo de cada soluto é proporcional à 
diferença de concentração. Solutos de peso molecular elevado são na sua maioria 
retidos na solução de alimentação porque a sua difusividade é baixa e porque a difusão 
em pequenos poros é grandemente prejudicada quando as moléculas são quase tão 
grande quanto os poros. 
 
Pervaporação – É um processo de separação no qual um ou mais componentes de uma 
mistura líquida se difundem através de uma membrana seletiva, evaporando sob baixa 
pressão no lado a jusante e sendo removidos por uma bomba de vácuo ou um 
condensador refrigerado. 
 
Osmose Reversa – Quando soluções miscíveis de diferentes concentrações são 
separadas por uma membrana que é permeável ao solvente, mas não ao soluto, difusão 
de solvente ocorre do lado menos concentrado para o lado mais concentrado. A difusão 
do solvente é chamada de osmose. A difusão osmótica de água ocorre em muitas células 
de plantas e animais. A transferência de solvente pode ser cessada pelo aumento da 
pressão da solução concentrada. Se solvente puro é a composição de um dos lados da 
membrana, a pressão necessária para igualar a atividade de solvente e fazer o processo 
osmótico cessar é a pressão osmótica da solução (). Se pressões maiores do que a 
pressão osmótica são aplicadas sobre a solução concentrada ocorrerá o processo de 
osmose reversa. Osmose reversa é usada principalmente para a obtenção de água pura a 
partir de soluções aquosas diluídas, mas também é utilizada como uma alternativa à 
evaporação para a concentração de soluções aquosas. 
 
 
8.1 Separação de Gases 
 
A velocidade de separação de gases em membranas depende do fenômeno de 
transferência de massa que está envolvido na operação, o qual está relacionado com o 
tipo de membrana que é utilizada na operação. 
Quando utilizam-se membranas porosas e os poros da membrana são muito 
menores do que o caminho livre na fase gasosa, os gases se difundem de forma 
independente de acordo com a difusão de Knudsen. Para a difusão de Knudsen de um 
gás A em poros cilíndricos tem-se que: 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 55 
A
A
M
T
97.r.D 
 (8.1) 
 
onde r é o raio médio do poro, T é a temperatura absoluta em Kelvin e DA é dada em 
m
2
/s. 
O fluxo por unidade de área da membrana depende da difusividade efetiva DEF 
que é dada por: 
AAEF
D
4
1
DD 


 (8.2) 
 
O fluxo de cada gás é proporcional ao gradiente de concentração, que é linear se a 
estrutura da membrana é uniforme e os gases não interagem. 
Considerando ainda que os gases têm comportamento ideal o fluxo será dado por: 
 

















z
/RTp
D
z
c
DJ A
EF
A
EFA
 (8.3) 
 
A composição do permeado dependerá do fluxo de todas as espécies, mas para um 
sistema binário tem-se que: 
 
BA
A
A
JJ
J
y


 (8.4) 
 
Quando utilizam-se membranas 
densas não porosas (polímeros) ocorre o 
mecanismo de difusão em solução. O gás 
dissolve-se no polímero do lado de alta 
pressão das membranas, difunde-se 
através da fase polimérica até atingir o 
lado de baixa pressão. A taxa de 
transferência de massa depende do 
gradiente de concentração na membrana, 
que é proporcional ao gradiente de 
pressão parcial através da membrana se a 
solubilidade é proporcional à pressão. 
Assume-se que a Lei de Henry seja válida 
para os gases e que haja equilíbrio na 
interface. As resistências no filme gasoso 
são negligenciadas e o fluxo para o gás A 
é dado por: 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 56 





 







z
cc
D
dz
dc
DJ A2A1
A
A
AA
 (8.5) 
 
 
Considerando que (Lei de Henry): 
 
AAA
.Spc  (8.6) 
 
onde S é o coeficiente de solubilidade 
 
 
A2A1A
A2A1
AA
ppQ
z
pp
qJ 




 

 (8.7) 
 
onde qA (=DASA) é o fluxo por unidade de gradiente de pressão e é chamado de 
coeficiente de permeabilidade e é expresso em Barrer, onde 
 
.s.mHgm
.mNm
10Barrer 1
2
3
12
 (8.8) 
 
QA é chamado de permeabilidade. A razão das permeabilidades para um sistema 
binário é conhecida como a seletividade  da membrana, ou seja 
 













B
A
B
A
B
A
S
S
D
D
Q
Q

 (8.9) 
 
Uma seletividade elevada pode ser atingida tanto por uma razão favorável de 
difusividades (D) como por uma grande diferença nas solubilidades (S). 
 
os poros da membrana são muito menores do que o caminho livre na fase gasosa, 
os gases se difundem de forma independente de acordo com a difusão 
 
 
8.2 Equacionamento da Separação em Contracorrente 
 
Os fluxos dos gases A e B numa separação contracorrente são dados por: 
 
 
21AA
y.Px.PQJ  (8.10) 
 
    
21BB
.Py1.Px1.QJ  (8.11) 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 57 
onde x representa a fração molar da espécie mais permeável (A) do lado da alimentação 
e y representa a fração molar da espécie mais permeável do lado do permeado. A fração 
molar de A na superfície da membrana (y’) é dada por: 
 
BA
A
JJ
J
'y


 (8.12) 
 
Fazendo RP2/P1 e substituindo (8.9), (8.10) e (8.11) em (8.12) chega-se a: 
 
R.y)/R-x-(1R.y-x
R.y-x
'y


 (8.13) 
 
No ponto onde o lado da alimentação está mais pobre em A tem-se que y=y’ e 
(8.13) torna-se: 
 
0
R
αx
y'
R
1)x(α
R
1
α11)y'-(α 2 



 

 (8.14) 
 
Uma diminuição em R causa um aumento em y. 
A Figura a seguir apresenta as composições do permeado (média e local) e do 
resíduo ao longo de um separador de membrana operando em contracorrente. 
 
 
Composição do permeado e do resíduo ao longo de um separador em 
contracorrente 
 
 
Para R=0 a Equação (8.13) torna-se: 
 
1)x-(α1
αx
y'


 (8.15) 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 58 
Para R=1 não ocorre separação em um sistema binário. Caso um terceiro 
componente seja adicionado ao permeado, é possível ocorrer separação mesmo que R 
seja igual a 1. Em uma pressão fixa a separaçãomelhora com o aumento da 
seletividade, mas há um limite máximo para y’. A pressão parcial de A no permeado 
não excede a pressão parcial na alimentação, assim 
 
.R.y'Py'PxP
121
 (8.16) 
 
R
x
y'
MÁX
 (8.17) 
 
A figura a seguir apresenta condições onde x=0,4 e 0,2 e R=0,2 e 0,5. É possível 
verificar que para R=0,5 mesmo que a seletividade seja muito elevada não é possível 
obter A puro. Já com R=0,2 quando se utiliza uma membrana com alta seletividade é 
possível obter A puro. 
 
 
 
Para prever o desempenho de um separador de membranas é necessário combinar 
as equações de fluxo com balanços de massa e realizar a integração numérica. 
O balanço global de massa e o balanço para o componente A são dados por: 
 
SAISAIENT
VLL  (8.18) 
 
SAISAISAISAIENTENT
yVxLxL  (8.19) 
 
Se as mudanças em x não são grandes, a composição do permeado é estimada pela 
média da composição do permeado na entrada e na saída, assim 
 
2
y'y'
y SAIENT
SAI

 (8.20) 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 59 
 
A área necessária à membrana é obtida da equação de fluxo para o gás mais 
permeável. 
 
MÉDIO21A
SAISAI
y)Px(PQ
yV
A


 (8.21) 
 
Para a avaliação do desempenho de um separador é melhor iniciar a análise com 
um valor especificado para xSAI e um valor arbitrário para LSAI. Dessa forma, calcula-se 
y’de (8.14) e JA e JB de (8.10) e (8.11). Calcula-se V e L para um pequeno 
incremento de área: 
 
  AJJLV
BA
 (8.22) 
 
Novos valores de x e y são calculados a partir dos balanços de material e das 
equações de fluxo até que se atinja o valor de x na alimentação (xENT). Daí calcula-se o 
valor de LSAI a partir de (8.18) e (8.19) e recomeçam-se os cálculos até que não haja 
mais variação no valor obtido para LSAI. 
Um comprimento diferencial do separador é apresentado a seguir: 
 
 
 
As outras equações a serem utilizadas são: 
 
jjk
VLL  (8.23) 
 
jij
VVV  (8.24) 
 
jjjjkk
y'VxLxL  (8.25) 
 
)/R.yR-x-(1R.y-x
R.y-x
'y
jjjj
jj
j


 (8.26) 
 
 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 60 
8.3 Queda de Pressão 
 
Considere o seguinte processo de separação por membranas. 
 
 
 
Nesse processo a queda de pressão a ser vencida dentro das fibras é laminar e o 
gradiente de pressão pode ser calculado a partir da equação de Hagen-Poiseuille: 
 
2D
.μV32.
dL
dp
 (8.27) 
 
onde V é a velocidade média e D é o diâmetro interno da fibra. A velocidade pode ser 
obtida a partir de um balanço de massa em uma seção transversal de uma única fibra 
cilíndrica obtendo-se: 
 
π.D.dLJ.Vd
4
πD 2
 (8.28) 
e 
D
LJ.4
V  (8.29) 
onde J é o fluxo do fluido [m
3
/(m
2
.s)]. 
A queda de pressão será dada por: 
 
3
2
D
.L64.J.
p

 (8.30) 
 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 61 
8.4 Separação de Líquidos 
 
Existem diversos processos de separação de líquidos utilizando membranas 
porosas ou membranas poliméricas assimétricas. Nas membranas porosas a separação 
depende das diferenças de difusividade, como é o caso da diálise, onde soluções 
aquosas estão em ambos os lados da membrana. Na extração líquido-líquido usando 
membranas porosas, as fases refinado e extrato estão separadas pela membrana, e as 
diferenças no equilíbrio da distribuição do soluto, assim como as diferenças nas 
difusividades determinam a composição do extrato. 
Com membranas assimétricas ou com membranas poliméricas densas, a 
permeação do líquido ocorre pelo mecanismo de difusão em solução. A seletividade 
depende da razão de solubilidade, assim como da razão de difusividade, e essas razões 
são fortemente dependentes da estrutura química do polímero e dos líquidos. A força 
motriz é o gradiente de atividade na membrana e, ao contrário da separação gasosa, a 
mudança na pressão praticamente não altera a força motriz, pois a atividade da fase 
líquida é pouco influenciada pela pressão. 
Na pervaporação um lado da membrana é exposto a uma alimentação líquida sob 
pressão atmosférica, e vácuo ou gás são utilizados para formar o lado do permeado. Isso 
diminui a pressão parcial das espécies permeantes e fornece força motriz para a 
permeação. 
Na osmose reversa, o permeado é água quase pura sob pressão atmosférica, e uma 
pressão muito alta é aplicada na solução alimentada a fim de fazer a atividade de água 
ligeiramente maior do que no permeado. Isso fornece um gradiente de atividade através 
da membrana, mesmo que a concentração de água no produto seja mais elevada do que 
aquela na alimentação 
Cada processo de separação tem seu fluxo determinado a partir do fenômeno de 
transferência de massa que o caracteriza. 
No caso da Ultrafiltração tem-se que: 
 
 


.32.L.
D-p
J
2
UF


 (8.31) 
 
onde JUF é o fluxo superficial em volume (velocidade superficial),  é a diferença de 
pressão osmótica através da membrana, L é a espessura nominal da camada ativa, D é o 
tamanho médio do poro,  é a porosidade e  é a tortuosidade. Assim como foi feito para 
a equação (8.7), a equação (8.31) pode ser modificada para: 
 
  -p.QJ
MUF
 (8.32) 
 
onde QM é a permeabilidade da membrana. 
A equação (8.32) pode ser reescrita em termos da resistência da membrana RM, 
 
 
M
UF
R
-p
J


 (8.33) 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 62 
A equação (8.33) é preferida, pois permite incluir resistências adicionais como a 
resistência hidráulica da camada de gel que pode se formar na superfície. Dessa forma, 
 
 
GELM
UF
RR
-p
J



 (8.34) 
 
Para operações acima da temperatura ambiente, ou para um permeado que não é 
água pura, a resistência da membrana pode ser corrigida pela mudança na viscosidade 
do permeado por: 
 
 
0
0MM
'
R'R



 (8.35) 
 
No caso da Osmose Reversa o fluxo da água será dado por: 
 
 
 
z


-p
RT
VDc
J H2OH2OH2O
H2O
 (8.36) 
 
onde c é a concentração média da água (kg/m
3
), D é a difusividade na membrana (m
2
/s) 
e V é o volume parcial molar da água (m
3
/mol). O fluxo de soluto é considerado como: 
 





 

z
c
SDJ S
SSS
 (8.37) 
 
No caso da Pervaporação, considerando negligenciáveis os efeitos não-lineares e 
considerando valores médios de permeabilidade, os fluxo dos componentes A e B serão 
dados por: 
 
 
 
2AAAAAA
.Py'.PxQJ   (8.38) 
 
    
2ABABB
.Py1'.Px1.QJ 
B
 (8.39) 
 
 
BA
A
A
JJ
J
'y


 (8.40) 
 
onde  é o coeficiente de atividade, x e y são as frações molares no líquido e no vapor e 
P’ é a pressão de vapor do componente puro. 
Substituindo (8.38) e (8.39) em (8.40) e fazendo: 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 63 
'P
P
R
AA
2
A


 (8.41) 
 
'P
P
R
BB
2
B


 (8.42) 
 
 
'PQ
'PQ
'
BBB
AAA


 
 (8.43) 
 
tem-se a seguinte equaçãopara representar a concentração local de A (y’): 
 
  0xα'y')x(Rα'1-xR)y'R-R'(
AB
2
BA
 (8.44) 
 
Para o escoamento empistonado de líquido através do separador o valor de y’ é 
maior na extremidade de alimentação, e a composição final do permeado y é uma média 
integrada dos valores locais. Os cálculos tem que permitir a diminuição da temperatura 
do líquido, o que diminui a força motriz para a difusão e também a permeabilidade. A 
mudança de temperatura é calculada de um balanço de entalpia dado por: 
 
VSAIPSAIENTPENT
HVTcLTcL  (8.45) 
 
No caso da Diálise, o fluxo de soluto será dado por: 
 
 
 
A2A1AA
ccKJ  (8.46) 
 
 
2AmA1AA
k
1
k
1
k
1
K
1

 (8.47) 
 
onde kmA é o coeficiente de transferência da membrana e k1 e k2 são os coeficientes de 
transferência de massa do lado da alimentação e do lado do produto e dependem das 
vazões, das propriedades físicas e da geometria da membrana. 
 
 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 64 
9. CRISTALIZAÇÃO 
 
A cristalização é a formação de partículas sólidas dentro de uma fase homogênea. 
Pode ocorrer como a formação de partículas sólidas em meio a uma fase gasosa, como é 
o caso da neve; como no caso da solidificação de um líquido fundido ou ainda como na 
formação de cristais a partir de uma solução líquida. 
Na cristalização industrial a partir de uma solução, a mistura de duas fases (de 
uma solução-mãe e cristais de todos os tamanhos) que ocupa o cristalizador e é retirada 
como produto, é chamado de magma. 
Na prática, muito da solução-mãe é separada dos cristais por filtração ou 
centrifugação, e o restante é removido por lavagem com solvente. A eficiência desta 
purificação depende do tamanho e da uniformidade dos cristais. 
Claramente , um bom rendimento e elevada pureza são importantes objetivos na 
cristalização, mas a aparência e a faixa de tamanho do produto cristalino também são 
significantes. Caso os cristais venham a ser processados posteriormente, o tamanho e a 
uniformidade serão importantes para a filtração, lavagem, reação com outros produtos 
químicos, transporte ou armazenagem. Caso os cristais sejam o produto final, é 
necessário que sejam resistentes, que não formem agregados e tenham uniformidade de 
tamanho. Por essas razões a distribuição granulométrica dos cristais (DGC) deve ser 
controlada e é o objetivo primordial no projeto e operação de cristalizadores. 
 
9.1 Projeto de Cristalizadores 
 
Basicamente o projeto de cristalizadores está sustentado no cálculo teórico do 
rendimento da operação que é obtido a partir dos balanços de massa e energia e na 
estimativa da DGC do produto a partir da cinética de nucleação e crescimento. 
 
9.2 Balanço de Energia e Área de Troca Térmica 
 
O balanço de energia em um cristalizador é muito similar ao balanço de energia 
em um evaporador. Consideremos um evaporador de simples efeito como o apresentado 
na figura a seguir. 
 
 
Figura 9.1. Esquema de um evaporador de um único efeito. 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 65 
A vazão mássica de vapor saturado é denominada de “S”, a vazão mássica de 
alimentação do líquido a ser concentrado é denominada de Fm e a do licor 
concentrado é denominada de m . A taxa de fluxo de vapor produzido (vapor) que sai 
para o condensador, supondo que os sólidos do licor não precipitam, é dada por 
mmF   . A temperatura condensante do vapor de aquecimento é denominada de TS, a 
temperatura de ebulição do líquido no evaporador é denominada de T e a temperatura da 
alimentação denominada de TF. 
Costuma-se supor que o fluxo de não condensáveis seja desprezível. 
O vapor que entra na camisa pode ser superaquecido e o condensado comumente 
deixa a camisa algo sub-resfriado abaixo de seu ponto de ebulição. Ambos, 
superaquecimento e subresfriamento do condensado, são pequenos e é aceitável 
desprezá-los ao se fazer o balanço de energia. O pequeno erro cometido ao desprezá-los 
é aproximadamente compensado pelas perdas de calor na camisa de vapor. Sob estas 
suposições, a diferença entre entalpia do condensado e a do vapor é simplesmente o 
calor latente de condensação do vapor. 
 
 
Balanço de entalpia para o lado do vapor 
 
SCSS SHHSq .).(  (9.1) 
onde 
 
qS é a taxa de transferência de calor através da superfície de aquecimento do lado do 
vapor; 
HS é a entalpia específica do vapor saturado; 
HC é a entalpia específica do condensado; 
S é o calor latente de condensação de vapor, e 
S é a vazão mássica de vapor saturado. 
 
Balanço de entalpia para o lado do líquido 
 
HmHmHmmq FFVFL   )( (9.2) 
 
onde 
qL é a taxa de transferência de calor da superfície de aquecimento para o líquido; 
HV é a entalpia específica do vapor; 
HF é a entalpia específica da alimentação, e 
H é a entalpia específica do licor grosso. 
 
Na ausência de perdas de calor, o calor transferido do vapor para os tubos se 
iguala àquele transferido dos tubos ao licor. 
Assim, combinando as equações (10) e (11) tem-se: 
 
HmHmHmmSq FFVFS   )(. (9.3) 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 66 
 
As entalpias do lado do licor HF, HV e H dependem das características da solução 
sendo concentrada. A maioria das soluções não apresenta calor de diluição apreciável. 
Isto é verdadeiro para soluções de substâncias orgânicas e de soluções moderadamente 
concentradas de muitas substâncias inorgânicas. Assim, açúcar, sal e líquidos do 
processo de fabricação de papel não possuem calores de diluição apreciáveis ou de 
mistura. 
Ácido sulfúrico, hidróxido de sódio e cloreto de cálcio por outro lado, 
especialmente em soluções concentradas, liberam consideráveis quantidades de calor 
quando são diluídas e assim possuem apreciáveis calores de diluição. Uma quantidade 
equivalente de calor é requerida, além do calor latente de vaporização, quando as 
soluções diluídas destas substâncias são concentradas até altas densidades. 
 
9.2.1 Balanço de entalpia com calor de diluição desprezível 
 
Para soluções que possuem calores de diluição desprezíveis, os balanços de 
entalpia sobre um evaporador a simples efeito, podem ser calculados dos calores 
específicos e das temperaturas das soluções. 
A taxa de transferência de calor que sobre o lado do licor inclui qF, o calor 
transferido para o licor frio para mudar sua temperatura de TF para T (temperatura de 
ebulição), e qEV, o calor para desenvolver a evaporação, isto é: 
 
EVF qqq  (9.4) 
 
Se o calor específico do licor fraco se supõe constante sobre a faixa de TF a T, 
logo: 
 
)( FFFF TTCpmq   (9.5) 
).( mmq FEV   (9.6) 
][ VV EPECp   (9.7) 
onde 
CpF é o calor específico do licor fraco; 
CpV é o calor específico da água que se transforma em vapor; 
 é o calor latente de vaporização do licor grosso, e 
V é o calor latente de vaporização da água que se transforma em vapor. 
Se a elevação do ponto de ebulição (EPE) do licor concentrado é desprezível,  = 
V, sendo este último o calor latente de vaporização da água à pressão no espaço de 
vapor. Quando a EPE é apreciável, o vapor que deixa a solução é superaquecido por 
uma quantidade em graus igual à EPE e V difere de . 
Em muitas situações na prática é correto supor que  = V, utilizando-se assim 
diretamente as tabelas de vapor. 
Assim, a equação final para o balanço de entalpia sobre um evaporador a simples 
efeito quando o calor de diluição é desprezível é dada por: 
 
Engenharia de Separação – Prof. Marcos Moreira 67 
]).[()( VVFFFF EPECpmmTTCpmq   (9.8) 
 
 
Se a temperatura TF do licor fraco