Medidas_de_Tendencia_Central

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Medidas de Posição - Tendência 
Central 
Profº. André Pita 
Medidas de Posição 
 São medidas da estatística descritiva, que tendem a 
localizar um determinado ponto do conjunto de dados. As 
medidas de posição podem ser: 
 
Tendência Central: são medidas que tendem a 
localizar pontos que ficam no centro de um 
conjunto de dados ordenados; 
 
Separatrizes: são medidas que dividem um conjunto 
de dados ordenados em partes iguais. 
 
2 
 
 
Medidas de Tendência Central -Média 
Aritmética 
  Média Aritmética Simples: É a medida de tendência central mais 
comumente utilizada para descrever resumidamente uma distribuição 
de frequência. 
 
 
 
 
 
 onde : xi = valor genérico da observação 
 n = tamanho da amostra ou no total de observações 
 
 
3 
n
x
X
n
i
i
 1
Medidas de Tendência Central -
Média Aritmética 
 
 Ex: Nos 12 meses de 1990, uma delegacia registrou: 
 4; 3; 5; 5; 10; 8; 9; 6; 3; 4; 8; 7 
 
 assaltos à mão armada. 
 
 Calcule a média, isto é, o número médio de 
 assaltos por mês. 
 
 
 
 
 
4 
6
12
7845534




X
Medidas de Tendência Central -Média 
Aritmética 
 
 Média aritmética ponderada:Em algumas situações, os 
números que queremos sintetizar têm graus de importância diferentes. 
Utiliza-se então uma média ponderada. Quando os dados estão 
agrupados por freqüências (absolutas ou relativas) os ponderadores 
serão as freqüências. 
5 




n
i
i
n
i
ii
f
.fx
X
1
1
Medidas de Tendência Central -
Média Aritmética 
 
 Ex: Nº de defeitos apresentados por aparelhos de raio X. 
 
6 
No. de defeitos No. de aparelhos 
1 7 
2 7 
3 4 
4 2 
Total 20 
Média em Distribuição de Frequência 
Simples 




n
i
i
n
i
ii
f
.fx
X
1
1
7 
05,2
20
2.44.37.27.1


X
Medidas de Tendência Central -Média 
Aritmética 
 
 Ex: Encontre a nota média dos alunos 
 
8 
Nota No. de alunos 
(Frequência absoluta) 
4,7 ⊢ 5,2 6 
5,2 ⊢ 5,7 30 
5,7 ⊢ 6,2 26 
6,2 ⊢ 6,7 15 
6,7 ⊢ 7,2 3 
Total 80 
 
 
Medidas de Tendência Central -Média 
Aritmética 
 
 4,7 ⊢ 5,2 :Ponto Médio é 
 5,2 ⊢ 5,7: Ponto Médio é 
 5,7 ⊢ 6,2: Ponto Médio é 
 6,2 ⊢ 6,7: Ponto Médio é 
 6,7 ⊢ 7,2: Ponto Médio é 
 
 Para Calcular a Média de uma distribuição com intervalos de 
classes,faremos o produto do ponto médio (xi) de cada classe com a 
frequência absoluta, divido pelo total de ocorrência. 
9 
95,4
2
2,57,4


X
45,5
2
7,52,5


X
95,5
2
2,67,5


X
45,6
2
7,62,6


X
95,6
2
2,77,6


X
61,4
80
3*95,615*45,626*95,530*45.56*95.4


X
Medidas de Tendência Central -Média 
Aritmética 
 
 A desvantagem da média aritmética 
relaciona-se com a existência de valores 
extremos (muito grandes ou muito 
pequenos), que podem distorcer o 
resultado final; 
 
 Há casos em que outros tipos de média 
são mais adequados, como a média 
geométrica ou harmônica. 
10 
Medidas de Tendência Central -Moda (Mo): 
 Moda (Mo): A moda é definida como o valor mais frequente do 
conjunto de dados. É a medida de tendência central menos 
importante. 
 
 Ex:Uma amostra dos registros de uma inspetoria de veículos revela que 10 
motoristas em certa faixa etária receberam: 
 
 3; 2; 0; 0; 2; 3; 3; 1; 0; 3 
 
 notificações por infração durante os três últimos anos. 
 Determine a moda: 
 Resposta: 3, pois é notificação mais frequente. 
 
 
 
 
11 
Moda (Mo): 
 Moda para dados agrupados em 
classes: Para dados agrupados em classes a 
moda pode ser obtida por três 
procedimentos. Trabalharemos apenas com a 
moda bruta; 
 
 Moda Bruta: A moda bruta é simplesmente 
o ponto médio da classe de maior frequência 
absoluta simples. 
 
 
12 
Moda (Mo): 
 Ex: para a tabela das notas dos alunos encontre a 
nota modal. 
 
 A moda bruta é simplesmente o ponto médio da 
classe de maior frequência absoluta simples. 
 
 5,2 ⊢ 5,7: Ponto Médio é 
13 
45,5
2
7,52,5


X
Mediana - Md 
 Um outro conceito para a tendência central é a 
Mediana; 
 Quando todas as observações estão ordenadas 
de grandeza (em rol), a mediana é o valor de 
observações central; 
 Encontra-se o elemento cujo valor representa a 
Mediana, ou seja, é um número de ordem). 
 
14 
2
1

n
Md
Exemplos: Mediana – Md 
 Participando da primeira eliminatória numa competição de natação, 
há um grupo de crianças com idades representados pelos seguintes 
valores: 
 
 6, 6, 7, 7 , 8, 9, 9, 10, 10; 
 
 
 
 O número 8 ocupa a posição central entre valores obtidos. 
 
15 
5
2
19


Md
Mediana - Md 
 Quando o número de dados é par, a mediana é a média dos dois 
dados centrais; 
 Caso o número de informações seja par, a mediana desses valores 
será a média aritmética dos valores centrais; 
 
 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 9, 9, 10, 10; 
 
16 
5,7
2
78


Md
Calcular Md em dados agrupados 
 Como os 61 dados estão agrupados, a mediana é o valor do 31º elemento .Ou seja, é o 
número de filhos que a 31º família, que são 3 e que se encontra na 4ª classe da 
distribuição cujo Fa = 48 
 
17 
i Xi (nº filhos) Fi (nº família) Fai 
(acumulada) 
1 0 2 2 
2 1 7 9 
3 2 21 30 
4 3 18 48 
5 4 9 57 
6 5 4 61 
Total 61 
 
 
 
 TABELA – NÚMERO DE FILHOS DAS FAMÍLIAS NO 
AMAPA 
 
 
 
2
1

n
Md
18 
Determinar a Md com os dados estão agrupados em 
intervalos de classes 
i Pontos fi Fai 
1 1 ⊢ 3 2 2 
2 3 ⊢ 5 4 6 
3 5 ⊢ 7 8 14 
4 7 ⊢ 9 4 18 
5 9 ⊢ 11 2 20 
Total 20 
TABELA: PONTOS AFERIDOS PELAS 
EQUIPES NO CAMPEONATO DE VOLEIBOL 
2
 i.f
Primeiramente, deve-se 
identificar o intervalo de 
classes em que ela se 
encontra. Como a mediana 
é o elemento central da 
distribuição, deve-se 
identificar a classe através 
do cálculo 
Como os 20 dados estão agrupados em intervalos de classes, a 
mediana é o valor da 10º elemento, que se encontra na 3ª 
classes da distribuição. Neste caso, para se determinar a 
mediana deve-se utilizar o seguinte modelo matemático 
hi
fi
anteriorFaf
liMd
i
*]
)(
[ 2



19 
hi
fi
anteriorFaf
liMd
i
*]
)(
[ 2



Onde: 
 li = limite inferior da classe mediana. 
Fai (anterior) = frequência acumulada da classe anterior à mediana 
fi = Frequência da classe mediana. 
hi = amplitude da classe mediana. 
 
Determinar a Md com os dados estão 
agrupados em intervalos de classes 
20 
3 5 ⊢ 7 8 14 
A classe acima contém 
a mediana, porque 
 
2
 i.f
10
2
20

e esta na terceira 
classe. Ou seja é a 
10ª equipe, a qual 
está na terceira 
classe da 
distribuição. 
Assim, vamos aplicar a fórmula da mediana 
retirando desta classe todos os dados que 
precisamos 
pontosMd 62*]
8
610
[5 


Determinar a Md com os dados estão 
agrupados em intervalos de classes