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ED UNIP Complemento de Física – 4º Semestre
Exercício 1 – Resposta E 
Na posição de equilíbrio a elongação da mola é igual a amplitude do movimento: 
 Fm=k.ym
Na análise das forças, o módulo da força da mola acaba sendo igual a força peso:
 Fm=P
 K.ym =m.g
 k.0,05=4.10
 k=800 (N/m )
 A energia mecânica do sistema é dada por EM=0,5.k .(ym )^2 
EM=0,5.800.0,05^2
 EM=1 J
 Como no estado de equilíbrio tem apenas energia cinética, a energia cinética acaba sendo igual a energia mecânica do sistema.
 EM=ECequilíbrio=1 J
Exercício 2 – Resposta B
EM=EC+EP
1=0,5.m.v^2+0,5.k .x^2 
Substituindo:
2=4.v^2+800.0,02^2
4.v^2=1,68
v=0,648 m /s
Exercício 3 – Resposta D
w=2.pi.f
w=2.3,14.2,5
w=15,7
ym =(y(0)^2+( v(0)/w)^2) ^1/2
ym =(0,011^ 2+(0,011/15,7) ^2)^1/2
ym =0,0146 m = 1,46 cm
Exercício 4 – Resposta A
vm=ym.w
vm=1,46.15,7
vm=22,9 (cm/s)
Exercício 5 – Resposta D
Primeiro analisamos as forças envolvidas no movimento:
-Fm-F v=Fr
Fm=Força da mola; Fv=Força viscosa; e Fr=Força resultante.
-y.k-v.b=m.a
Substitui se o que der e resolve se a equação diferencial:
-y.32000-v.640 -80.a=0 (divide por 80)
-y.400-v.8 -a=0
Resolvendo a equação diferencial, chega-se ao seguinte:
y=e^(-4t).[A.cos (19,6t) + B.sen(19,6t)]
Derivando a equação acima obtemos a equação da velocidade:
V=-4. e^(-4t) .[ A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)] + e^(-4t) .[-19,6. A.sen(19,6t) +19,6.B.cos(19,6t)]
Substituindo as condições iniciais, descobre-se o valor de A e de B, chegando a equação do movimento completa:
y= e^(-4t) .[0,49 2.cos(19,6t) + 0, 609.sen(19,6t)]
Agora termina-se de resolver o exercício :
y(0,4) = e^(-4.0,4).[ 0,492.cos(19,6.0,4) + 0,609.sen(1 9,6.0,4)]
y(0,4) = 0,202.[0, 0069+0,6089]
y(0,4) = 0,124 m
Exercício 6 – Resposta E
0 = e^(-4t) .[0,49 2.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)]
0 = 0,492.cos(19, 6t) + 0,60 9.sen(19,6t)
- 0,492.cos(19,6t) = + 0,609.sen(19,6t)
-0,492/0,609 = tg(19,6t)
tg(19,6t) = -0,808
19,6t = -0,679
O valor encontrado é negativo , a tangente tem um a periodicidade de Pi rad, então basta somar Pi ao valor de - 0,679:
19,6t=2,462
t = 0,126 s
Exercício 7 – Resposta D
0,5.b/m = (k/m)^(1/2)
0,5.b/80 = (3200 0/80)^(1/2)
0,00625.b = 20
b = 3200 N.s/m
Exercício 8 – Resposta B
y= (C1 + C2.t).e^(-g.t)
g = 0,5.b/m
g = 20
0,1 = (C1 + C2.0). e^(-20.0)
0,1 = (C1 +0).1
0,1 = C1
v = C2.e^(-g.t) + (0,1 + C2.t ).(-20).e^(-20.0t)
2 = C2.e^(-g.t0) + (0,1 + C2 .0).(-20).e^(-20. 0)
2=C2 -2
C2 = 4
y = (0,1 + 4.t).e ^(-20.0t)
As raízes da equação nos darão os instantes em que o corpo está na posição de equilíbrio:
0 = (0,1 + 4.t).e ^(-20.0t)
0 = (0,1 + 4.t)
-0,1= 4.t
t = -0,025s
E a outra raiz, como não existe logaritmo de zero, colocamos um número muito pequeno no lugar de zero = 0,001
0,001= e^(-20. 0t)
-6,9077= -20.t
t= 0,345s
A diferença entre os dois instantes dará o intervalo necessário para que o corpo volte para posição de equilíbrio:
T = 0,345 - (- 0,025)
T = 0,37s
Exercício 9 – Resposta C
A = 2.ym.cos [(Pi/4).0,5]
A = 2.1.cos[P i/8]
A = 1,85 mm
Exercício 10 – Resposta D
Para descobrir a diferença de fase pedida, basta usar a mesma equação usada no exercício anterior, porém sem substituir o valor da fase e substituir a amplitude.
2 = 2.1.cos[o.0, 5]
1 = cos[0,5.o]
0,5.o = arccos(1)
0,5.o = 0
o = 0
Exercício 11 – Resposta A
y = 15.sen[Pi.x/4 ].cos[30.P i.t + Pi/3]
vt = 15.sen[Pi.x/ 4].(- 30.Pi)sen[30.Pi.t + Pi/3]
vt = -1414.sen[P i.x/4].sen[30.Pi.t + Pi/3]
vt (2;2) = -1414.sen[Pi.2/4].sen[30.Pi.2 + Pi/3]
vt (2;2) = -1225 cm/s
Exercício12 - Resposta E
Para descobrir a amplitude da oscilação em dado ponto e em dado instante, basta pegar a parte da equação que é o termo da amplitude e substituir a condições:
y = 15.sen[Pi.x/4 ].cos[30.P i.t + Pi/3]
A = 15.sen[Pi.x/4]
A (2;2) = 15.sen[Pi.2/4]
A (2;2) = 15 cm
Exercício 13 – Resposta C
Primeiro descobrimos as densidades lineares de cada fio:
d1 = 2,6.0,01 = 0,026 g/cm
d1 = 0,0026 kg/m 
d2 = 7,8.0,01 = 0,078 g/cm
d2 = 0,0078 kg/m
Agora através da equação que relaciona a frequência com comprimento de onda, tensão na corda e densidade linear, substituímos os valores que temos de cada parte da corda e igualamos as equações:
f1 = [n1/(2.L1)] .[F/d1]^(1/2)
f2 = [n2/(2.L2)] .[F/d2]^(1/2)
Igualam- se as duas equações e substitui as variáveis conhecidas: [n1/(2.0,6)].[100 /0,0026] ^(1/2) = [n2/(2.0,8 66)].[100/0,0078] ^(1/2) [n1/(2.0,6)]^2.1/2,6 = [n2/( 2.0,866)]^2.1/7,8
n1 = [3,74.(n2) ^2/23,4]^(1/2 )
n1 = 0,4.n2
n2 = 2,5.n1
Uma vez que se descobriu a relação entre o número da corda de aço e o número da corda de alumínio, isolam os a razão n2/n1:
n2/n1= 2,5
n2/n1= 2/5(Na forma de fração mais simplificada)
Onde n2 = 5, que corresponde ao aço e n1 = 2, que corresponde ao alumínio. Através das propriedades no fio de aço ou no fio de alumínio, é possível determinar a frequência.
f = [ n1 / (2. L1) ].[ ( F/d1 )^(1/2)]
f = [2/(2. 0,6) ].[ ( 100/0,0026 )^(1/2)]
f = 327 Hz
f = 1034 Hz
Exercício 14 – Resposta E
Visto que no exercício anterior determinou-se o número de ventre de cada parte da corda temos o número total de ventres = 7, logo o número total de nós é 8, descontando os nós das extremidades, temos:
Nnós = 6.
 
Exercício 15 – Resposta D
Primeiro identificam os em qual parte do gráfico está o instante pedido , então calculamos o fluxo magnético nesta parte do gráfico:
Calculando o fluxo magnético entre 0 e 2 segundos.
f = 0,2.t.(PI.r ^2) = 0,2.t.(3,1 4.3,99^2)
f = -10.t
E = df/dt = -10
Portanto o módulo da força eletromotriz é: 10 V
Exercício 16 – Resposta B
Primeiro identificam os em qual parte do gráfico está o instante pedido , então calculamos o fluxo magnético nesta parte do gráfico:
Calculando o fluxo magnético entre 5 e 10 segundos.
f = -0,08.(PI.3,99 ^2).t
f = -4.t
E= +4V
E = R.I
4 = 20.I
I = 0,2ª
Sentido horário.
Exercício 17 – Resposta E
Req = R1.R2/(R 1 + R2)
Req = 10.15/(10 +15)
Req = 6ohm
I= (B.l/Req).v
I = (0,5.0,4/6).20
I = 0,667A
Exercício 18 – Resposta B
Uma vez que já temos a corrente, calcula da no exercício anterior, basta substituir na equação
P = I^2.Req
P = 0,667^2.6
P = 2,67W
Exercício 19 – Resposta D
Primeiro calculamos o valor de k:
c = w/k
k = 10^15/3.10^8
k = 3,33.10^6
O vetor velocidade de propagação é igual ao produto vetorial entre o campo elétrico e o campo magnético dividido pelo produto escalar do campo magnético por ele mesmo:
cv = Ev x Bv/(Bv.Bv)
-3.10^8.i = [( E.k) x (10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x).j ]/((10^-7.sen(10^15.t + 3,33. 10^6.x)^2) (3.10^8.k ). (10^-7.sen(10^15.t + 3,33.10 ^6.x) = Ek
E = 30.sen(10^15.t +3,33.10^6.x) (N/C)
Ev = 30. sen(10 ^15.t + 3,33.10 ^6.x).k (N/C)
Exercício 20 – Resposta A
Primeiro calculamos o valor médio do vetor poynting
S = 0,5.8,85.10^-12.3.10 ^8.900
S = 1,19
Agora calculam os a energia eletromagnética:
Dw = S.A.Dt
Dw = 1,19.3.7200
Dw = 25807J 
Exercício 21 – Resposta A
Como o campo magnético é uniforme na região e varia somente com o tempo, não há a necessidade da integração.
f = B.n.A
f = (0,2t^2 – 2,4t +6,4)k .k.(0,5.0,5)
f(2) = (0,2.(2) ^2 – 2,4.(2) +6,4).0,25
f(2) = 0,6weber
f(9) = (0,2.(9) ^2 – 2,4.(9)+6,4).0, 25
f(9) = 0,25 weber
Exercício 22 – Resposta E
Através da derivada temporal da equação que descreve o fluxo, obtemos a equação da força eletromotriz.
E = - (0,1t - 0,6)
E(2) = - (0,1.(2) – 0,6)
E(2) = 0,4V
I(2) = 0,4/40
I(2) = 0,01A (anti-horário)
E(9) = - (0,1.(9) – 0,6)
E(9) = -0,3V
I(9) = - 0,3/40
I(9) = - 0,0075A (horário)
Exercício 23 – Resposta B
Primeiro deve-se descobrir a função que descreve o fluxo em função do tempo:
f = B.A
O campo magnético não varia em função do tempo porém a área varia em função do tempo:
A = 0,5.w.t.r^2
A = 0,5.300.t.0,25^2
A = 9,375m^2
Portanto o fluxo é:
f = 0,1.9,375.t
f = 0,9375wb
Agora basta fazer a derivada temporal negativa do fluxo que obtém-se a força eletromotriz:
E(0---P1) = - 0,9375V
Exercício 24 – Resposta C
O potencial de cada ponta da barra será o mesmo, logo a diferença de potencial entre eles será zero.
Vp2 – Vp1 = 0V
Exercício 25 – Resposta D
O fluxo magnético quando não há variação de área com o tempo é
f = B.n.A
f = (0,5 –0,125t).1,7.2,1
f = 1,785 – 0,44625t
A derivada temporal negativa do fluxo é a fem:
E = 0,44625
I = E/R
I = 0,44625/25
I = 0,01785A (anti-horário)
Exercício 26 – Resposta B
A força necessária para manter a barra em repouso é calculada pela formula:
F = I.L.B
F = 0,01785.1,7. 0,5
F = 0,0152N
O sentido é contrário ao da força que movimenta a barra, logo:
F = -0,0152i N 
Exercício 27 – Resposta C
Existem duas formulas para calcular a intensidade da onda, uma relaciona a potência com a área e a outra relaciona a amplitude do campo elétrico com a velocidade da luz e constante de permissividade elétrica:
I = P/A
I = [e.c.(Em )^2]/2
0,25/(4.Pi.r ^2) = [8,85.10^- 12.3.10^8.(0,2) ^2]/2
r^2 = 370
r = 19,4m
Exercício 28 – Resposta E
Considerando que o sentido de propagação da onda é j positivo, a direção e sentido do campo magnético, n o dado instante em que o campo elétrico é i negativo, é k positivo.
Bv = +kB
Exercício 29 – Resposta A
A direção e o sentido de um a onda eletromagnética é igual a direção e sentido do produto vetorial do campo elétrico com o campo magnético.
v = (i) x (k )
v = (-j)
Exercício 30 – Resposta E
A velocidade de propagação da onda eletromagnética é igual ao valor da velocidade da luz, mas também é obtida pela razão entre o produto vetorial do campo elétrico e campo magnético pelo produto escalar do campo magnético por ele mesmo.
c = (E x B)/(B. B)
3.10^8 = E/B
E = 3.10^8.91,5.10^-6
E = 27450V/m
Exercício 31 – Resposta A
A intensidade da onda é a razão entre a potência e a área.
I = P/A
I = 0,02/(Pi.10 ^-12)
I = 6,366.10^9
A intensidade da onda também pode ser calculada em uma formula que contém a amplitude do campo elétrico.
6,366.10^9 = 0,5.8,85.10^- 12.3.10^8.(Em )^2
(Em)^2 = 4,796.10^12
Em = 2,19.10 ^6V/m
Exercício 32 – Resposta A
A equação do campo magnético tem a parte oscilante igual a do campo elétrico, logo só precisa calcular a amplitude do campo magnético e descobrir a direção e sentido.
B = E/c
B = 1,1.10^6/(3.1 0^8)
B = 3,7.10^-3T
A direção e sentido da velocidade de propagação da onda é igual ao do produto vetorial do campo elétrico pelo campo magnético.
/c/ = /E/ x /B/
-k= j x (ai + bj + ck)
-k = -ka +ic
c = 0
a = 1
Logo, a direção e o sentido do vetor campo magnético é i positivo:
B = 3,7.sen(5, 9.10^6.z + 1,77.1 0^15.t).i (W b/m^2)
Exercício 33 – Resposta B
A curva A, é característica de um amortecimento fraco, visto que oscila antes de estabilizar. A curva B estabiliza o movimento antes que a curva A, porém , apenas depois que a curva C, isso ocorre devido ao alto valor do coeficiente de resistência viscosa, logo a curva B, é característica de um amortecimento supercrítico. A curva C é a primeira a estabilizar, isso quer dizer que a relação entre o coeficiente de resistência viscosa e a constante elástica possui a melhor relação possível, característica do amortecimento crítico.
A, C, B.
Exercício 34 – Resposta C
A posição inicial pode ser definida por interpretação do gráfico:
y(0) = 0,2m
No gráfico há um a reta tangente as curvas no instante zero. O coeficiente angular desta reta é igual a derivada temporal da equação de posição no instante zero, que é por definição a velocidade da partícula no instante zero.
v(0) = (0,5 – 0,2)/0,2
v(0) = 1,5m/s
Exercício 35 – Resposta E
Analisando o gráfico podemos extrair a posição inicial do termo da amplitude, ou seja, considerando apenas a curva exponencial auxiliar:
ym .e^-g0=0,4
ym = 0,4 m
Agora que tem os a amplitude inicial, podem os calcula r a fase inicial com o auxílio da curva principal, ou seja, a curva que descreve o movimento. A posição inicial da partícula é 0,2m.
0,2 = 0,4.cos( o)
o =arccos (0,5)
o = -Pi/3
Agora através do período podemos calcular a velocidade angular.
Pelo gráfico tem os que o período é 1,4 s.
w = 2.Pi/1,4
w = 1,43.Pi(rad/s)
Falta descobrir o valor de g (gama) . Para isso pegam os um ponto conhecido no gráfico, vamos pegar o ponto (1;-0,2).
-0,2 = 0,4.e^-g.cos(1,43.Pi - Pi/3)
-0,5 = -e-g.0,954
1/1,84 = e^-g
-g = -0,61
g = 0,61
Agora montamos a equação:
y = 0,4.e^(-0,61t).cos(1,43. Pi.t - Pi/3) (SI)
Exercício 36 – Resposta B
Primeiro calcular a velocidade angular inicial, w0.
W ^2 = (w0)^2 – g^2
(1,43.Pi)^2 = ( w0)^2 –(0,61)^2
(w0)^2 = 20,55
w0 = 4,5 rad/s
Agora calculamos o k da mola:
(4,5)^2 = k/m
(4,5)^2.0,8 = k
k = 16,44 N/m
Agora calculamos o coeficiente de viscosidade:
0,61 = c/(2.0,8)
c = 0,976 N.s/m
Agora calculamos o grau de amortecimento:
B = g/w0 = 0,61/4,5
B = 0,135
Exercício 37 – Resposta C
Primeiro calculamos o valor de gama.
g = (k/m) ^(1/2)
g = (16,43/0,8) ^(1/2)
g = 4,53
Agora calculamos o valor da constante de viscosidade.
g = c/2m
4,53 = c/(2.0,8)
c = 7,25 N/(m/s)
Exercício 38 – Resposta A
Uma vez que temos o valor de gama, basta descobrir as constantes através de pontos do gráfico:
0,2 = A1
Agora com a velocidade inicial descobrimos a outra constante A2:
1,5 = [-4,53.0,2 +A2]
2,41 = A2
Agora montamos a equação:
y = [0,2 +2,41.t]. e^(-4,53t) (SI)
Exercício 39 – Resposta A
Com o valor do grau de amortecimento calculamos o coeficiente de resistência viscosa:
1,2836 = g/w0
g = c/2m
w0 = (K/m )^(1/2)
Logo,
1,2836 = (c/2m ).[(m /k)^(1/2)]
1,6476 = [(c2)/2, 56].[0,8/16 ,43]
86,624 = c^2
c = 9,307 N/(m/s)
Exercício 40 – Resposta B
Primeiro calculamos o valor de w0 e do g:
w0 = (16,43/0,8) ^(1/2)
w0 = 4,532 rad/s
g = 9,307/1,6
g = 5,817
Agora com as condições iniciais y(0) = 0,2 m , e v(0) = 1,5 m /s, calculam os as constantes A1 e A2.
0,2 = A1 + A2
A2 = 0,2 – A1
e,
1,5=A1.[-5,817+(5,817^2–4,532^2)^(1/2)]+A2.[-5,817-(5,817^2–4,532^2)^(1/2)]
1,5=A1.[-5,817+(5,817^2–4,532^2)^(1/2)]+( 0,2 – A1)[-5,817-(5,817^2–4,532 ^2)^(1/2)]
1,5=A1.(-2,1703)+(0,2 – A1).(-9,4637)
3,393 = 7,2934 .A1
A1 = 0,465
A2 = 0,2 – 0,4 65
A2 = - 0,265
Agora basta montar a equação e simplificar:
y = 0,465.e ^(-5,817+3,6467) t – 0,265.e^(-5,81 7-3,6467)t
y = 0,465.e ^(-2,17)t – 0,265. e ^(-9,46)t (SI)