COMPLEMENTO DE FISICA I

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OSILAÇÃO
Oscilação significa avanço e retrocesso que se alternam, podendo ter um processo periódico ou não. Fenômenos oscilatórios ocorrem incessantemente e de variados modos na natureza, além de estarem presentes em quase todos os processos na ciência e na técnica. Além disso, o conhecimento de oscilações está na base de estudo de ondas (Vibração: Oscilação mecânica rápida).
· Exemplos de oscilador: pistão em motor a explosão; cordas de violino; pêndulo, tensão e corrente elétrica alternantes em rede elétrica; elétrons em antena; átomos em moléculas, vetores em onda eletromagnética.
A oscilação só pode existir em equilíbrio estável.
Os fenômenos oscilatórios, em suas múltiplas modalidades e manifestações, é um campo extenso e complexo.
Estando o sistema em posição genérica (fora do equilíbrio), age necessariamente uma “força de restituição”, como diz o nome, é uma força que age no sentidode reconduzir o sistema à configuraçãode equilíbrio estável (força elástica).
CONSIDERANDO UMA OSCILAÇÃO VERTICAL
As forças que interferem sistemas oscilantes:
Força Peso: P⃗→ = m ⃗g→ = m g j→
· Massa do corpo oscilante (m);
· Aceleração da gravidade (g);
Força Elástica: ⃗F→elástica = −k y j→
· Constante elástica da mola (k);
· Deformação da mola (y).
Força Viscosa: ⃗F→ viscosa = −c v →j
· Coeficiente de resistência viscosa (c);
· Velocidade (v).
Essa força resulta de processo dissipador de energia mecânica.
Dispositivo construído para exercer força viscosa é chamado de amortecedor: ⃗F→ result. = m ⃗a→ j→
 (
COMPLEMENTO FÍSICA
 
I
)
Força Resultante: 𝐹→𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡. = 𝑚 𝑑2𝑦 𝑗 𝑜𝑢 𝐹→𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡. = 𝑚
𝑑𝑡2
𝑦̈
𝑗→
Equivalente á soma vetorial de todas as forças exercidas na partícula oscilante. Oscilação unidimensional segundo o eixo 0y.
ENERGIA EM SISTEMAS OSCILANTES
Energia Cinética:
E cinética =
1 m v 2
2
· Massa (m);
· Velocidade (V).
Força Elástica:⃗⃗F→ = −k y j→
Energia Potencial Elástica:
1
 (
2
)EP = 2 k y
Teorema da Energia Cinética (TEC): τ resultante = ΔE cinética
Ao incrementar a energia cinética do sistema equivalente ao trabalho resultante de todas as forças atuantes.
Teorema da Energia Mecânica (TEM): τ força dissipativa = ΔE mecânica
Ao incrementar a energia mecânica do sistema é igual ao trabalho resultante da força.
OSCILAÇÃO LIVRES SEM AMORTECIMENTO
O sistema mecânico oscilatório mais simples, é formado por um corpo, de massa m, e uma mola (constante elástica k). A mola tem uma extremidade fixa e em sua outra extremidade fixa-se o corpo. Um operador externo transfere energia ao sistema, que passa a oscilar num campo gravitacional uniforme de intensidade g.
Analisando o movimento do corpo: Não velando em consideração a massa da mola e considerando que o sistema estáimerso num ambiente se o ar atmosférico (vácuo). Assim, as forças que atuam no corpo serão somente a força peso exercida pela Terra e a força elástica exercida pela mola.
· A força da mola segue a lei de Hooke: 𝐹 𝑚𝑜𝑙𝑎 = 𝑘 . 𝑦 𝑚𝑜𝑙𝑎
Em uma mola helicoidal:
𝐺𝑟4
Constante elástica k: 𝑘 = 4𝑁𝑅3
· Módulo de rigidez do material que é constituído o fio (G);
· Número de espiras da mola (N);
· Raio das espiras (R);
· Raio do fio (r).
A posição do corpo y tem como origem a posição em as forças da mola e força peso se anulam.
Com base na equação diferencial:
𝑦 = 𝑦𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔 𝑡 + 𝜃)
Equação da Velocidade:
Equação da Aceleração:
v = dy = −ω ym sen(ωt + θ) dt
a = dv = −ω2 ym cos(ωt + θ) 𝑜𝑢 𝑎 = −𝑤 𝑦2
dt
Supondo que as condições iniciais do movimento y(0) e v(0), ficam definidas a amplitude ym e a fase inicial:
𝑦(0)	𝑣(0)
𝜃 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 (
𝑦𝑚
) 𝑜𝑢 𝜃 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 (−
)
𝜔 𝑦𝑚
Os gráficos da posição, velocidade escalar e aceleração em função tempo no MHS:
ENERGIA MECÂNICA NO MHS
O movimento harmônico simples (MHS) é aquele em que um corpo oscila em torno de uma posição de equilíbrio devido à ação de uma força restauradora, cuja natureza pode ser elástica, gravitacional, elétrica, entre outras.
A energia mecânica do sistema pode ser calculada supondo que o corpo passe pela posição em que a mola não está deformada na posição:
Com velocidade: v0= v(0);
𝑦(0) = −
𝑚 𝑔
𝑘
A partir desse instante, o corpo, pela ação da força peso que atua sobre ele, desce e deforma a mola, de maneira que sobre o corpo atuam, ao mesmo tempo, duas forças: a força peso e a força elástica.
Então, o trabalho resultante da força peso e da força elástica confere ao corpo uma variação de energia cinética dada por:
1	2
𝐸𝑚 = 2 𝑚𝑣𝑚
Considerando que somente forças conservativas, a energia mecânica no pêndulo de mola é expressa por:
Gráfico da equação anterior:
1	2
𝐸𝑚 = 2 𝑚 𝑣
1	2
+ 2 𝐾𝑦
OBSERVAÇÃO: O que ocorre na realidade, nessa análise de energia do MHS, é uma troca de energia entre o corpo e a mola. Quando não é levada em conta a massa da mola, a sua energia é só potencial e a do corpo é somente cinética.
PÊNDULO SIMPLES
Um pêndulo simples é constituído por um corpo de massa m, ligado a um fio de comprimento L (com uma extremidade do fio é fixa). O corpo é abandonado num campo de gravidade de intensidade g e passa a ter um movimento oscilatório, com período T.
Período:
Equação do Movimento Angular:
2π T = ω
g ou T = 2π√
L
θ = θmcos(ω t + α)
Equação de Velocidade Angular:
σ̇ = −ω θmsen(ω t + α)
Equação da Aceleração Angular:
σ̈ = − ω2θmcos(ω t + α)
· Amplitude de oscilação (θm);
· Velocidade angular máxima (ωθm);
· Aceleração angular máxima (ω2 θm).
OBSERVAÇÃO: Uma característica peculiar do pêndulo simples é que o seu período de oscilação independe da massa do corpo, em analogia com o que ocorre com a queda livre de um corpo num campo de gravidade uniforme, em que o tempo de queda, partindo do repouso, numa mesma altura, também não depende da massa do corpo.
MOVIMENTO AMORTECIDO
O movimento de um oscilador fica sujeito a uma força que atua sempre em sentido contrário à velocidade do oscilador, então o movimento é chamado de amortecido. É dessa forma que atua, por exemplo, o amortecedor de um automóvel. Numa primeira aproximação, vamos considerar que a força exercida pelo amortecedor seja diretamente proporcional à velocidade do oscilador.
Considerando que uma partícula de massa m move-se sobre o eixo 0y sob ação de força elástica e uma força viscosa:
𝐹 𝑒𝑙á𝑡𝑖𝑐𝑎 = −𝑘𝑦 ; 𝐹 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 = −𝑏𝑑𝑦
𝑑𝑡
Grau de amortecimento
𝖰 =
𝑚𝟎
Há três tipos de amortecimento para o movimento amortecido, conforme o intervalo de variação do grau de amortecimento:
 (
0
)Amortecimento fraco 0 < β < 1;
𝑦 = 𝑦𝑚𝑒−𝛾𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃) ; 𝜔 = √𝜔2 − 𝛾2
Amortecimento crítico β = 1:
𝑦 = (𝐴1 + 𝐴2 𝑡 )𝑒−𝛾𝑡
 (
0
) (
0
)Amortecimento forte β > 1:
	
𝑦 = 𝐴1 𝑒
(−𝛾+√𝛾2+𝜔2)
+ 𝐴2 𝑒
(−𝛾+√𝛾2+𝜔2)𝑡
ATENUAÇÃO EXPONENCIAL
Ocorre não só em oscilações amortecidas, mas também em outros fenômenos transitórios como decaimento radioativo, circuito RC, circuito RL e circuito RLC com amortecimento crítico ou supercrítico. É comum o fenômeno das oscilações pseudo-harmônicas amortecidas exponencialmente, cuja amplitude decai com o tempo segundo a lei
𝑦 = 𝑦𝑚𝑒−𝛾𝑡