Aula 04 - CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB FLEXÃO NORMAL

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Docente: Lucas da Silva Moraes
DISCIPLINA: ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
		FACULDADE ESTÁCIO DE NATAL
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB FLEXÃO NORMAL
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ÍNDICE:
DOMÍNIOS POSSÍVEIS
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB FLEXÃO NORMAL
EQUACIONAMENTO PARA CONCRETOS DE CLASSE ATÉ C50
EQUILÍBRIO DA SEÇÃO
VERIFICAÇÃO DO DOMÍNIO EM QUE A PEÇA ATINGIRÁ O ESTADO LIMITE ÚLTIMO
CÁLCULO DA ÁREA NECESSÁRIA DE ARMADURA (As)
VERIFICAÇÃO DO DOMÍNIO EM QUE A PEÇA ATINGIRÁ O ESTADO LIMITE ÚLTIMO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
DOMÍNIOS POSSÍVEIS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Para a flexão simples, dentre os domínios estado-limite último:
Desconsiderar
(seção totalmente tracionada – domínio 1)
Desconsiderar
(seção totalmente comprimida – domínio 4a e 5)
Seção subarmada (domínio 2 e 3)
Seção superarmada (domínio 4)
Seção normalmente armada 
( limite domínio ¾)
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DOMÍNIOS POSSÍVEIS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Domínio 2 - deformação plástica excessiva do aço 
(εsu = 10‰; εc = 0 à 3,5‰)
d
?
 
d - x
 
 
X2 de início = 0 / x2 de final = 0,259d
A linha neutra corta a seção ( a seção resistente é composta de aço tracionado e do concreto comprimido).
o concreto não trabalha com sua capacidade máxima e, portanto, é mal aproveitado.
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DOMÍNIOS POSSÍVEIS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Domínio 3 - ruptura do concreto com deformação máxima
(εs = εyd à 10‰; εc = 3,5‰)
?
 
 
 
*εyd varia com o tipo de aço empregado
X3 de início = x2 (0,259d) / x3 de final = slide
No caso do CA 50, por exemplo, sua resistência (fyk) é equivalente a 500 Mpa. O módulo de elasticidade do aço pode ser admitido como sendo 210 Gpa.
A ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento da armadura: situação ideal, pois os dois materiais atingem sua capacidade resistente máxima (são aproveitados integralmente).
A ruína acontece com aviso (grandes deformações)
As peças que chegam ao estado limite último no domínio 3 são chamadas de “subarmadas” e normalmente armadas na fronteira entre os domínios 3 e 4.
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DOMÍNIOS POSSÍVEIS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Domínio 4 - ruptura do concreto com deformação máxima
(εs = 0 à εyd ; εc = 3,5‰)
?
εyd 
X4 = d
 
*Sugestão de leitura: Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto armado 4° Edição (pág. 120 à 125)
X4 de início = x3 final / x4 de final = “d”
O dimensionamento nesse domínio é uma solução antieconômica, além de perigosa, pois a ruína se dá por ruptura do concreto e sem escoamento do aço. É
uma ruptura brusca, ou seja, ocorre sem aviso. Quando as peças de concreto são dimensionadas nesse domínio, diz-se que elas são superarmadas, devendo ser evitadas; para isso pode-se usar uma das alternativas:
• Aumentar a altura h, porque normalmente b é fixo, dependendo da espessura da parede em que a viga é embutida;
• Fixar x como x (limite 3-4), ou seja, βx = βx34, e adotar armadura dupla;
• Outra solução é aumentar a resistência do concreto (fck).
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Para o cálculo da quantidade de armadura longitudinal, para seções transversais retangulares, devem ser conhecidos os dados:
Resistência do concreto (fck);
Largura da seção (b);
Altura útil (d);
Tipo de aço (fyd e εyd ).
O cálculo é feito de maneira simples, a partir do equilíbrio das forças atuantes na seção.
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB FLEXÃO NORMAL
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Normalmente seria estudada a flexão normal pura e simples, representada pelos domínios 2, 3 e 4.
Porém o item 14.6.4.3 da NBR 6118 (2014) permite uso de apenas do domínio 2 e parte do domínio 3. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB FLEXÃO NORMAL
“A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade.”
Para proporcionar o adequado comportamento dúctil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:
x/d ≤ 0,45
para concretos com fck ≤ 50 MPa;
b) x/d ≤ 0,35 
para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90MPa.
Encontrar relação limite para o domínio 3
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Considerando que os dados sejam conhecidos:
Resistência do concreto (fck);
Largura da seção (b ou bw);
Altura útil (d);
Tipo de aço (fyd e εyd );
Momento atuante (M);
Momento externo de cálculo (Md, Md = 1,4 . M ).
Deseja-se determinar a área da armadura longitudinal necessária (As) para resistir a esse momento
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
3.	EQUACIONAMENTO PARA CONCRETOS DE CLASSE ATÉ C50
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a) EQUILÍBRIO DA SEÇÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
3.	EQUACIONAMENTO PARA CONCRETOS DE CLASSE ATÉ C50
Resistência final de cálculo do concreto obtido
profundidade da linha neutra
resultante de compressão no concreto
resultante de tração na armadura
distância entre as resultantes
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a) EQUILÍBRIO DA SEÇÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Equilíbrio das forças atuantes normais à seção transversal:
A resultante de compressão do concreto (Rcc) deve ser igual a resultante de tração da armadura (Rst).
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a) EQUILÍBRIO DA SEÇÃO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Equilíbrio dos momentos: momento das forças internas em relação ao C.G. da armadura deve ser igual ao momento externo de cálculo (Md):
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b) POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Conhecendo a posição da linha neutra (LN), é possível saber o domínio em que a peça está trabalhando e calcular a resultante das forças (Rcc e Rst) e o braço de alavanca (Z).
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b) POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Nota-se que a variação de x não é linear com o esforço solicitante (Md)...
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c) CÁLCULO DA ÁREA NECESSÁRIA DE ARMADURA (As)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Com o valor de “x” determinado é possível encontrar As. A força resultante na armadura (Rst) vem do produto da área de aço (As) pela tensão atuante no aço (σsd). 
Admitindo que a peça esteja trabalhando com um melhor aproveitamento da armadura (εs ≥ εyd), resultando na tensão na armadura de escoamento σsd = σyd = fyd. 
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d) VERIFICAÇÃO DO DOMÍNIO EM QUE A PEÇA ATINGIRÁ O ESTADO LIMITE ÚLTIMO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
RELAÇÃO ENTRE DEFORMAÇÕES
Como as seções permanecem planas após a deformação, por semelhança dos triângulos ABC e ADE do diagrama de deformações, obtemos:
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d) VERIFICAÇÃO DO DOMÍNIO EM QUE A PEÇA ATINGIRÁ O ESTADO LIMITE ÚLTIMO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA
No domínio 3, a deformação específica do concreto é εc = 0,35% (0,0035):
*εyd varia com o tipo de aço empregado
** 
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d) VERIFICAÇÃO DO DOMÍNIO EM QUE A PEÇA ATINGIRÁ O ESTADO LIMITE ÚLTIMO
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
AÇO CA50 (εyd = 0,207% | no limite entre os domínios 3 e 4)
No domínio 3, a deformação específica do concreto é εc = 0,35% (0,0035):
Limite entre os domínios 3 e 4 | x = 0,6283.d
Limite entre os domínios 2 e 3 | x = 0,259.d
PARA X < 0,259.d | DOMÍNIO 2
PARA 0,259.d < X < 0,6283.d | DOMÍNIO 3
(COM LIMITE DE X = 0,45.d)
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EXEMPLO 01: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m e d = 0,29m sob a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (As). Dados: fck = 20 MPa e aço CA50. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Conversões:
fck = 20 Mpa = 20.000 kN/m²
CA50 – fyd = fyk/1,15 = 500 MPa/ 1,15 = 434,78 Mpa = 43,478 kN/cm²
Momento externo de Cálculo (Md)
Md = M x 1,4 = 12,2 x 1,4 = 17,08 kNm 
Determinação de “X” (linha neutra)
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EXEMPLO 01: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m e d = 0,29m sob a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (As). Dados: fck = 20 MPa e aço CA50. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
A primeira solução, x = 0,6705m, indica que a linha neutra passa fora da seção transversal, não atendendo ao caso de deflexão simples. 
Assim o valor correto é x = 0,0545m
Verificação do domínio:
No limiteentre os domínios 2 e 3, temos: 
x = 0,259.d = 0,259 . 0,29 = 0,0751m
Como o valor encontrado para x foi maior, o problema indicado ocorre no domínio 2.
*Portanto, o aço já escoou
σsd = σyd = fyd = 500 MPa/ 1,15 = 434,78 Mpa = 43,478 kN/cm²
Cálculo do braço de alavanca (Z):
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EXEMPLO 01: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m e d = 0,29m sob a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (As). Dados: fck = 20 MPa e aço CA50. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Cálculo de As:
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
EXEMPLO 02: Para uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, determinar o momento resistente da seção e o valor da área de aço necessária correspondente a esse momento. Dados: fck = 20 MPa e aço CA50. Para efeito de comparação, os cálculos serão feitos para o limite entre os domínios 3 - 4 e para a relação x/d = 0,45.
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
CÁLCULO PARA O LIMITE ENTRE OS DOMÍNIOS 3 e 4:
Momento resistente
Para a linha neutra em X3-4, temos as deformações específicas dos materiais:
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
CÁLCULO PARA O LIMITE ENTRE OS DOMÍNIOS 3 e 4:
Momento resistente
Para a linha neutra em X3-4, temos as deformações específicas dos materiais:
EXEMPLO 02: Para uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, determinar o momento resistente da seção e o valor da área de aço necessária correspondente a esse momento. Dados: fck = 20 MPa e aço CA50. Para efeito de comparação, os cálculos serão feitos para o limite entre os domínios 3 - 4 e para a relação x/d = 0,45.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
CÁLCULO PARA O LIMITE ENTRE OS DOMÍNIOS 3 e 4:
O máximo momento que pode atuar na viga:
Armadura:
EXEMPLO 02: Para uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, determinar o momento resistente da seção e o valor da área de aço necessária correspondente a esse momento. Dados: fck = 20 MPa e aço CA50. Para efeito de comparação, os cálculos serão feitos para o limite entre os domínios 3 - 4 e para a relação x/d = 0,45.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
b) CÁLCULO PARA A RELAÇÃO X/d = 0,45
Momento resistente
EXEMPLO 02: Para uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, determinar o momento resistente da seção e o valor da área de aço necessária correspondente a esse momento. Dados: fck = 20 MPa e aço CA50. Para efeito de comparação, os cálculos serão feitos para o limite entre os domínios 3 - 4 e para a relação x/d = 0,45.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
b) CÁLCULO PARA A RELAÇÃO X/d = 0,45
O máximo momento que pode atuar na viga:
Armadura:
Verifica-se que, com a redução da relação x/d, o momento resistente da viga é menor, com redução da armadura necessária.
EXEMPLO 02: Para uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, determinar o momento resistente da seção e o valor da área de aço necessária correspondente a esse momento. Dados: fck = 20 MPa e aço CA50. Para efeito de comparação, os cálculos serão feitos para o limite entre os domínios 3 - 4 e para a relação x/d = 0,45.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I