Aula 05 - CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB FLEXÃO NORMAL parte02

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Docente: Lucas da Silva Moraes
DISCIPLINA: ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
		FACULDADE ESTÁCIO DE NATAL
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB FLEXÃO NORMAL – parte02
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ÍNDICE:
CÁLCULO DO MÁXIMO MOMENTO RESISTENTE DA SEÇÃO, CONHECIDA A ARMADURA LONGITUDINAL
CÁLCULO DA ALTURA MÍNIMA DE UMA SEÇÃO COM ARMADURA SIMPLES
FÓRMULAS ADIMENSIONAIS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES
CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA – Carvalho e Filho (2001)
CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA - Tepedino (1980)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Situação prática: conhecidas a largura (b) e a altura útil (d) de uma seção transversal retangular, a resistência do concreto à compressão (fck), o tipo de aço (fyk) e a área de aço (As), qual o valor do momento máximo resistido? 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
1. CÁLCULO DO MÁXIMO MOMENTO RESISTENTE DA SEÇÃO, CONHECIDA A ARMADURA LONGITUDINAL
Condições:
A seção poderá trabalhar entre o início do domínio 2 até o limite x = 0,45.d do domínio 3.
Em qualquer destes domínios, 
o aço estará escoando, ou seja, εs ≥ εyd e fs = fyd.
Nesse caso, conhecendo a área de aço e força resultante na armadura (Rst):
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
1. CÁLCULO DO MÁXIMO MOMENTO RESISTENTE DA SEÇÃO, CONHECIDA A ARMADURA LONGITUDINAL
Com a expressão da força no concreto pode-se obter o valor de x (L.N.) a partir do equilíbrio:
Depois de determinado, é preciso verificar se ele é inferior ao limite ( x=0,45.d)
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
1. CÁLCULO DO MÁXIMO MOMENTO RESISTENTE DA SEÇÃO, CONHECIDA A ARMADURA LONGITUDINAL
Caso ocorra x ≤  0,45.d, portanto fs = fyd, o máximo momento resistido (Md) pela seção é obtido pelo produto da força resultante na armadura (ou concreto) pelo braço de alavanca z.
Se o limite x=0,45.d não for atendido, aumentar a altura útil da viga ou utilizar armadura de compressão.
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EXEMPLO 01: Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, para as seguintes situações:
 a) As = 0,5 cm²;
 b) As = 2,0 cm². 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Armadura As = 0,5 cm² 
Profundidade da linha neutra, considerando inicialmente que a seção trabalhe nos domínios 2 ou 3 (Fs = Fyd), determina-se a posição da linha neutra :
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EXEMPLO 01: Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, para as seguintes situações:
 a) As = 0,5 cm²;
 b) As = 2,0 cm². 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Armadura As = 0,5 cm² 
Verificação da posição da linha neutra (domínio) em que a viga trabalha: 
Com os limites entre os domínios 2 e 3 (x23) e entre 3 e o limite x = 0,45.d, verifica-se a posição da linha neutra para o valor encontrado de x = 0,0186 m. 
*Lembrando que entre os domínios 2 e 3 o aço tem deformação especifica de 1,0%; 
Como o valor encontrado x = 0,0186 m é menor que x23 = 0,0457 m, trata-se do domínio 2. 
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EXEMPLO 01: Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, para as seguintes situações:
 a) As = 0,5 cm²;
 b) As = 2,0 cm². 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Armadura As = 0,5 cm² 
Cálculo do momento 
Como a viga trabalha no domínio 2, calcula-se o momento resistente com a equação: 
E, portanto, o máximo momento que pode atuar na viga é:
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EXEMPLO 01: Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, para as seguintes situações:
 a) As = 0,5 cm²;
 b) As = 2,0 cm². 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
b) Armadura As = 2,0 cm²
Como o valor encontrado x = 0,0746 m é menor que xlim = 0,45.d e maior que x2-3 = 0,0457 m, trata-se do domínio 3.
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Para uma viga, com armadura simples, submetida a um momento fletor Md em uma determinada seção. A menor altura necessária (dmín) para a seção resistir a esse momento é aquela em que a posição da linha neutra acarreta o maior momento que a viga é capaz de resistir, ou seja, o momento aplicado será igual ao momento resistente máximo da seção.
Dessa forma: 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
2. CÁLCULO DA ALTURA MÍNIMA DE UMA SEÇÃO COM ARMADURA SIMPLES
A partir das equações do momento fletor e x/d:
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A altura útil da viga fica dada por:
Como a altura mínima útil ocorre em ξ = 0,45:
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
2. CÁLCULO DA ALTURA MÍNIMA DE UMA SEÇÃO COM ARMADURA SIMPLES
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EXEMPLO 02: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m sob a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, determinar altura mínima (dmín) e a quantidade de armadura longitudinal necessária (As).
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
A altura mínima útil ocorre em ξ = 0,45:
Cálculo da armadura necessária para dmín = 19,96 cm
Nessa situação temos:
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CÁLCULO E DETALHAMENTO DE ESTRUTURAS USUAIS DE CONCRETO ARMADO
Sempre que possível é conveniente trabalhar com fórmulas adimensionais, pois facilitam o emprego de diversos sistemas de unidades e permitem o uso de tabelas de modo mais racional.
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
3. FÓRMULAS ADIMENSIONAIS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES
Equação de Md:
Dividiremos ambos os membros por “b.d².fcd”:
Chamando:
, substituindo na equação anterior:
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Equação de Md:
A equação possui apenas termos adimensionais e KX só pode variar entre 0 e 1 (x = 0 e x = d):
X = 0 (início do domínio 2): KX = x/d = 0 → KMD = 0
X = d (fim do domínio 4): KX = x/d = 1 → KMD = 0,408
Expressão para o braço de alavanca “z”:
Dividindo os dois termos por “d” resulta
 
Chamando:
, substituindo na equação anterior
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Expressão para o cálculo da armadura:
 , substituindo 
Expressão que relaciona as deformações com a altura da linha neutra:
, substituindo 
* KX só pode variar entre 0 e 1 (x = 0 e x = d), contudo, só tem validade os valores abaixo de KX = x/d = 0,45 (KMD ~ 0,25)
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Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares para concretos até classe C50
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
3. FÓRMULAS ADIMENSIONAIS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES
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EXEMPLO 03: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m sob a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, admitindo primeiramente, uma altura útil d = 0,29m e em seguida que ela não seja conhecida. Determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (As) pelas fórmulas adimensionais e tabela.
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Admitindo que a altura útil seja conhecida ( d = 0,29m)
Cálculo de KMD:
Consultar tabela...
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Admitindo que a altura útil seja conhecida ( d = 0,29m)
Para KMD = 0,12, temos:
KX = 0,1911;
KZ = 0,9236;
εc = 0,23621%;
εs = 1,00000%.
Como KX = x/d ≤ 0,45, portanto abaixo do limite imposto pela norma, podemos continuar com os cálculos.
Domínio em que a peça atingirá o estado limite último:
εc = 0,23621% < 0,35%;
εs = 1,00000%.
Logo, domínio 2
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EXEMPLO 03: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m sob a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, admitindo primeiramente, uma altura útil d = 0,29m e em seguida que ela não seja conhecida. Determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (As) pelas fórmulas adimensionais e tabela.
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Admitindo que a altura útil seja conhecida ( d = 0,29m)
Cálculo de As:
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EXEMPLO 03: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m sob a ação de um momentofletor M = 12,2 kNm, admitindo primeiramente, uma altura útil d = 0,29m e em seguida que ela não seja conhecida. Determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (As) pelas fórmulas adimensionais e tabela.
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Admitindo que a altura útil não seja conhecida
Primeiro, calcula-se dmín:
Cálculo do KMD (com d = dmín): 
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Admitindo que a altura útil não seja conhecida
Para KMD = 0,250, temos:
KX = 0,4479;
KZ = 0,8208;
εc = 0,35000%;
εs = 0,43144%.
Como KX = x/d ≤ 0,45, portanto abaixo do limite imposto pela norma, podemos continuar com os cálculos.
Domínio em que a peça atingirá o estado limite último:
εc = 0,35%
εs = 0,43% < 1,0%
Logo, domínio 3
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EXEMPLO 03: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m sob a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, admitindo primeiramente, uma altura útil d = 0,29m e em seguida que ela não seja conhecida. Determinar a quantidade de armadura longitudinal necessária (As) pelas fórmulas adimensionais e tabela.
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Admitindo que a altura útil não seja conhecida
Cálculo de As:
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Podem ocorrer situações em que, por imposições de projeto, seja necessário utilizar para a viga uma altura menor que a mínima exigida (dmín) pelo momento fletor atuante de cálculo (Md).
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA
Nesse caso, determinamos Mlim 
Altura real da peça (d)
A diferença será chamada de M2
Determinamos M2 = Md - Mlim 
Armadura apenas tracionada (As1) - inferior
Trabalhando no limite x =0,45.d (domínio3)
Armadura de compressão (As’) – superior
Armadura tracionada (As2) – inferior
Verificação da compressão máxima = 0,35% ( do concreto)
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil (domínio 4 por exemplo)
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA
Determinação de Mlim – (TRAÇÃO) 
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA
Determinação de As1 – (TRAÇÃO) 
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA
Fazendo o equilíbrio com M2 (não há mais colaboração do concreto)
Determinação de As2 (TRAÇÃO) correspondente ao momento M2.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA
Chamando de As o total de armadura TRACIONADA, ou seja, As = As1 +As2, temos:
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA
Fazendo o equilíbrio dos momentos em relação ao C.G. da armadura tracionada M2 , 
obtém-se As’ (COMPRESSÃO):
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EXEMPLO 04: Para um momento fletor M = 45 kNm, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com b = 0,12m e d = 0,29m. Considerar estribos de Ø6 mm, barras longitudinais de Ø10 mm e cobrimento de 2,5 cm (classe de agressividade I).
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Cálculo da altura mínima da seção para M = 45 kNm:
Como d < dmín, usar armadura dupla 
A) Cálculo do momento limite (Mlim):
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EXEMPLO 04: Para um momento fletor M = 45 kNm, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com b = 0,12m e d = 0,29m. Considerar estribos de Ø6 mm, barras longitudinais de Ø10 mm e cobrimento de 2,5 cm (classe de agressividade I).
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
B) Cálculo de M2:
C) Cálculo de As (KXlimite = Xlimite/d = 0,45) armadura tracionada As = As1 +As2:
d’ = Distância da armadura comprimida à borda comprimida = recobrimento + Ø estribo + Ø/2 aço longitudinal.
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EXEMPLO 04: Para um momento fletor M = 45 kNm, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com b = 0,12m e d = 0,29m. Considerar estribos de Ø6 mm, barras longitudinais de Ø10 mm e cobrimento de 2,5 cm (classe de agressividade I).
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
C) Cálculo de As’ (aço de compressão), sendo necessário conhecer fs’:
*Como εs’ > εyd’ (εyd’ = 0,00207 para CA50), logo, adotar fs’ = fyd
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
5. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA - Tepedino (1980)
Para obtenção da área de aço necessária para a armadura (tracionada), utiliza-se:
As ≥ As1 + As2
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
5. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA - Tepedino (1980)
Em que:
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
5. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA - Tepedino (1980)
Em que:
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
5. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA - Tepedino (1980)
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
5. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA - Tepedino (1980)
Valores de d’/d para Ø = 1