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Aula 12
Raciocínio Lógico-Matemático p/ Banco
do Brasil (Escriturário) Com Videoaulas -
2020
Autores:
Brunno Lima, Guilherme Neves
Aula 12
17 de Fevereiro de 2020
 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
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1.	 Análise de Investimentos ................................................................................................................................. 2	
1.1.	 Valor Presente Líquido ..................................................................................................................................... 3	
1.2.	 Taxa Interna de Retorno .................................................................................................................................. 7	
2.	 Índice de Lucratividade e Taxa de Rentabilidade ............................................................................................ 12	
3.	 Payback ......................................................................................................................................................... 16	
4.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 20	
5.	 Gabaritos ....................................................................................................................................................... 25	
6.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 26	
7.	 Considerações Finais ...................................................................................................................................... 38	
 
 
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Lembrem-se de me acompanhar pelo Instagram @profguilhermeneves para receber dicas diárias e 
questões comentadas. 
Na aula de hoje vamos estudar análise de investimentos. Vamos lá? 
1. ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
 
Utilizaremos os principais conceitos da Matemática Financeira para abordar alguns critérios de 
avaliação de investimentos. Aproveitaremos os “modelos” já desenvolvidos para aplicá-los à 
tomada de decisão financeira em seus aspectos quantitativos. 
 
De um modo geral, a classificação dos investimentos é a mais variável possível. Deixaremos os 
aspectos qualitativos dos investimentos de lado e focaremos nosso objetivo no aspecto 
quantitativo da avaliação de investimentos. 
 
Consideraremos os fluxos de caixa de certas alternativas de investimentos para compará-las entre 
si e formar uma “escala” de prioridades na consecução da mais lucrativa. 
Sob esse aspecto de avaliação, estudaremos dois critérios básicos de análise de investimentos que 
são: 
- Critério do Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual. 
- Critério da Taxa Interna de Retorno. 
 
Esses critérios levam em consideração a taxa mínima de atratividade (TMA). É taxa mínima que o 
investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, o qual representa o custo de 
oportunidade do capital. 
Não existe um cálculo para determinar o valor da TMA. 
Pode ser que eu, Guilherme, só tope entrar em um negócio se o rendimento for de 15% ao ano. 
Esta é a minha taxa mínima de atratividade. Pode ser que você só tope entrar em um negócio se o 
rendimento for de 20% ao ano. Esta será a sua TMA. 
 
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1.1. VALOR PRESENTE LÍQUIDO 
 
A visualização de um problema envolvendo receitas e despesas que ocorrem em instantes 
diferentes do tempo é bastante facilitada por uma representação gráfica simples chamada 
diagrama de fluxo de caixa. 
Ou seja, quando desejamos analisar diferentes valores muitas vezes é difícil imaginar a sua 
distribuição nas datas disponíveis, sem que para isso não lancemos mão de um esquema financeiro 
que nos permita visualizar, ao longo do tempo, todos aqueles recebimentos a serem auferidos 
(entradas de recursos) e todos aqueles pagamentos a serem realizados (saída de recursos). 
Normalmente, representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para baixo 
no caso de pagamentos (negativo). 
 
O valor presente líquido (VPL) de um projeto é o valor presente (data 0) de seu fluxo de caixa, valor 
este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa que reflita o custo de oportunidade 
do capital investido. 
 
Em outras palavras, para calcular o VPL, devemos transportar todos os valores para a 
data 0 e realizar a soma algébrica. 
 
Lembrando que para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 + 𝑖)&. 
 
Quanto maior o valor presente, melhor é o projeto. Caso existam duas ou mais formas de 
investimento, será escolhida aquela que possuir o maior valor presente líquido. 
 
No caso de haver apenas uma alternativa para o projeto, o VPL de seu fluxo de caixa indicará se o 
projeto é viável, inviável ou indiferente. 
Nesse caso, caso VPL > 0, o projeto é viável. 
Se VPL < 0, então o projeto é inviável. 
E se VPL = 0, então o projeto é indiferente. 
No método do Valor Presente Líquido (VPL), utilizaremos a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) 
para efetuar o transporte dos valores. 
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(FEPESE 2009/Prefeitura Municipal de Brusque) 
 
Considerando o fluxo de caixa de $50.000, $30.000, $80.000 e $20.000 para o 1o, 2o, 3o e 4o 
ano, respectivamente, assinale a alternativa que demonstra corretamente o valor presente 
desse fluxo, no ano zero, com a aplicação das taxas de desconto de 10% a.a., 5% a.a. e 0% 
a.a., respectivamente. 
a) $ 144.013 ; $ 180.000 ; $ 160391 
b) $ 180.000 ; $ 160391 ; $ 144.013 
c) $130.000 ; $ 140.000 ; $ 150.000 
d) $ 144.013 ; $ 160.391 ; $ 180.000 
e) $ 180.000; $ 170.000; $ 160.000 
Resolução 
Vejamos o desenho do fluxo de caixa. 
 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 + 𝑖)&. 
Dessa forma, o valor presente líquido desse fluxo de caixa (X) será igual a 
𝑋 =
50.000
(1 + 𝑖), +
30.000
(1 + 𝑖). +
80.000
(1 + 𝑖)0 +
20.000
(1 + 𝑖)2 
 
Calcularemos o valor presente líquido com a aplicação das taxas de desconto de 
10% a.a. = 0,10 a.a., 5% a.a. = 0,05 a.a. e 0% a.a 
i) i = 0,10 
𝑋 =
50.000
1,10, +
30.000
1,10. +
80.000
1,100 +
20.000
1,102 
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Vamos reduzir as frações ao um mesmo denominador comum. O m.m.c. dos denominadores 
é igual a 1,104. Então dividiremos esse valor pelo denominador e multiplicaremos o resultado 
pelo numerador. Por exemplo, olhemos para a primeira fração. 1,104 dividido por 1,101 é 
igual a 1,103, isso porque para dividir potências de mesma base repetimos a base e 
subtraímos os expoentes. Então o numerador será 50.000 vezes 1,103. Repetiremos o mesmo 
processo nas 4 frações. 
 
𝑋 =
50.000 ∙ 1,100 + 30.000 ∙ 1,10. + 80.000 ∙ 1,10, + 20.000
1,102 
 
𝑋 =
66.550 + 36.300 + 88.000 + 20.000
1,4641 =
210.850
1,4641 = 144.013,39 
i) i = 0,05 
 
𝑋 =
50.000
1,05, +
30.000
1,05. +
80.000
1,050 +
20.000
1,052 
 
Vamos reduzir as frações ao um mesmo denominador comum. Om.m.c. dos denominadores 
é igual a 1,054. Então dividiremos esse valor pelo denominador e multiplicaremos o resultado 
pelo numerador. Por exemplo, olhemos para a primeira fração. 1,054 dividido por 1,051 é 
igual a 1,053, isso porque para dividir potências de mesma base repetimos a base e 
subtraímos os expoentes. Então o numerador será 50.000 vezes 1,053. Repetiremos o mesmo 
processo nas 4 frações. 
 
𝑋 =
50.000 ∙ 1,050 + 30.000 ∙ 1,05. + 80.000 ∙ 1,05, + 20.000
1,052 
 
𝑋 =
57.881,25 + 33.075 + 84.000 + 20.000
1,21550625 ≅
194.956,25
1,2155 ≅ 160.391 
 
iii) i = 0% 
Se a taxa é de 0%, então os valores não serão alterados ao longo do tempo. Em qualquer 
época, a soma dos valores será igual a R$ 180.000,00. Basta somar os 4 valores. Na verdade, 
você nem precisava fazer as contas acima. Se você percebesse que quando a taxa é de 0% o 
VPL é 180.000 reais, já dava para marcar a resposta. 
Gabarito: D 
 
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(FEPESE 2010/ICMS-SC) 
Podemos afirmar que o resultado do Valor Presente Líquido (VPL) depende do custo inicial, 
dos retornos e suas datas de ocorrência, e da taxa requerida ajustada ao nível de risco de um 
determinado projeto. A partir da análise do fluxo de caixa abaixo, considerando uma taxa de 
juros de 10% ao ano, 
 
Calcule o VPL e assinale a alternativa que indica a resposta correta. 
a) $ 89.790,57 
b) $ 87.029,57 
c) $ 80.920,57 
d) $ 78.290,57 
e) $ 72.790,57 
Resolução 
Para calcular o VPL devemos transportar todos os valores para a data 0. 
 
𝑉𝑃𝐿 = −800.000 +
200.000
1,10, +
250.000
1,10. +
300.000
1,100 +
400.000
1,102 
 
𝑉𝑃𝐿 = −800.000 +
200.000 ∙ 1,100 + 250.000 ∙ 1,10. + 300.000 ∙ 1,10, + 400.000
1,102 
 
𝑉𝑃𝐿 = −800.000 +
266.200 + 302.500 + 330.000 + 400.000
1,4641 
 
𝑉𝑃𝐿 = 87.029,57 
Gabarito: B 
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1.2. TAXA INTERNA DE RETORNO 
 
Taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do 
investimento. 
 
 
A TIR é taxa que torna VPL = 0. 
 
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em qualquer outra data. 
Assim, você pode escolher qualquer data como data focal para realizar o cálculo. Em muitos casos, 
será mais fácil escolher como data focal a data mais à direita (é melhor multiplicar do que dividir, 
não é?). 
 
A taxa interna de retorno indica o quanto o capital rendeu no projeto. 
 
Lembra da TMA? A TMA é a menor taxa que o investidor aceita para entrar no projeto. 
 
• Como a TIR representa o rendimento do projeto, então o projeto será viável se 
𝑇𝐼𝑅 ≥ 𝑇𝑀𝐴. 
• Se 𝑇𝐼𝑅 < 𝑇𝑀𝐴, o projeto será inviável. 
 
Há autores que dizem que se 𝑇𝐼𝑅 = 𝑇𝑀𝐴, então o projeto é indiferente. Eu não acho isso muito 
lógico, pois se a TMA é a menor taxa de juros aceitável e se o projeto me dá essa taxa, então eu 
aceito entrar no projeto. J 
 
 
 
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(FEPESE 2010/ICMS-SC) 
 
Considerando o Gráfico abaixo, onde o eixo Y representa os VPL(s) em $ e o Eixo X, as taxas 
em %. 
 
Assinale a alternativa que identifica corretamente a Taxa Interna de Retorno (TIR). 
a) 30% 
b) 25% 
c) 20% 
d) 15% 
e) 0% 
Resolução 
A Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de 
caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
O gráfico mostra claramente que VPL = 0 para uma taxa de 20%. 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(FCC 2010/SEFAZ-SP) 
O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de investimento (com os valores em reais), 
em que se apurou uma taxa interna de retorno igual a 20% ao ano. 
 
O valor de X é igual a 
a) R$ 13.824,00 
b) R$ 12.960,00 
c) R$ 12.096,00 
d) R$ 11.232,00 
e) R$ 10.368,00 
Resolução 
Por definição, a taxa interna de retorno é aquela que torna o valor presente líquido igual a 0. 
Se o valor presente líquido é igual a 0, então em qualquer outra data o somatório de entradas 
e saídas será igual a 0. 
Adotaremos como data focal a data 3. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por . 
Assim, a equação de equivalência de capitais será: 
 
(5𝑥 − 13.500) ∙ 1,200 = 𝑥 ∙ 1,20. + 2𝑥 ∙ 1,20, + 3𝑥 
 
(5𝑥 − 13.500) ∙ 1,728 = 6,84𝑥 
 
8,64𝑥 − 23.328 = 6,84𝑥 
	
(1 )ni+
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1,8𝑥 = 23.328 
	
𝑥 = 12.960,00	
Gabarito: B 
 
(FCC 2006/Banco do Brasil) 
Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano: 
 
O valor de X é igual a 
a) R$ 11 000,00 
b) R$ 11 550,00 
c) R$ 13 310,00 
d) R$ 13 915,00 
e) R$ 14 520,00 
Resolução 
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de 
caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em qualquer outra data. 
Assim, daremos preferência em usar como data focal aquela que estiver mais a direita do 
fluxo. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (𝟏 + 𝒊)𝒏. 
−25.000 ∙ 1,100 + 0 + 𝑋 ∙ 1,10, + 17.303 = 0 
 
−33.2750 + 1,10 ∙ 𝑋 + 17.303 = 0 
 
−33.275 + 1,10 ∙ 𝑋 + 17.303 = 0 
 
1,10 ∙ 𝑋 = 15.972 
 
𝑋 = 14.520 
Gabarito: E 
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(FCC 2006/SEFAZ-SP) 
A representação gráfica abaixo corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento 
com a escala horizontal em anos. 
 
Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao ano e 
(X+Y) = R$ 10.285,00, tem-se que X é igual a 
a) R$ 3.025,00 
b) R$ 3.267,00 
c) R$ 3.388,00 
d) R$ 3.509,00 
e) R$ 3.630,00 
Resolução 
A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de 
caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0. 
E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em qualquer outra data. 
Assim, daremos preferência em usar como data focal aquela que estiver mais a direita do 
fluxo. A data focal será a data 3. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (𝟏 + 𝒊)𝒏. 
Representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para baixo no caso de 
pagamentos (negativo). 
−10.000 ∙ 1,10 + 2.200 ∙ 1,1. + 𝑋 ∙ 1,1 + 𝑌 = 0 
1,1 ∙ 𝑋 + 𝑌 = 10.648 
Como o enunciado nos disse que X + Y = 10.285, então Y = 10285 – X. Substituindo na 
equação anterior: 
1,1 ∙ 𝑋 + (10.285 − 𝑋) = 10.648 
0,1 ∙ 𝑋 + 10.285 = 10.648 
0,1 ∙ 𝑋 = 363 
𝑋 = 3630 
Gabarito: E 
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2. ÍNDICE DE LUCRATIVIDADE E TAXA DE RENTABILIDADE 
 
Vamos agora falar sobre o “índice de lucratividade”. 
Observe a questão seguinte. 
(FCC 2010/SEFAZ-RO) 
Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 
25.000,00. A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade apresenta um valor 
de 1,176. 
 
O valor de X é igual a 
a) R$ 17.280,00 
b) R$ 15.000,00 
c) R$ 14.400,00 
d) R$ 13.200,00 
e) R$ 12.000,00 
Resolução 
O que significa este fluxo de caixa? 
Ora, significa que alguém desembolsou R$ 25.000,00 em um projeto; ganhou X reais no primeiro 
ano e R$ 21.600,00 no segundo ano. 
E o que significa dizer que o índice de lucratividade é igual a 1,176? 
Pois bem, o índice de lucratividade é igual ao VPL dos recebimentos dividido pelo investimento no 
projeto. 
Como assim, Guilherme? 
Veja bem, para você calcular o índice de lucratividade, você deve transportar todos AS RECEITAS 
LÍQUIDAS para a data 0, somar tudo, e dividir pelo desembolso inicial. Observe que ao transportar 
as receitas para a data 0, não devemos subtrair o valor investido inicialmente. 
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Lembre-se que para transportar valores para o passado, devemos dividir por (1 + 𝑖)&. 
 
1º passo: Transportar X reais para a data 0. 
Para tanto, devemos dividir X reais por (1 + 𝑖)& = (1 + 0,2), = 1,2 
𝑥
1,2 
2º passo: Transportar R$ 21.600,00 para a data 0. 
Para tanto devemos dividir R$ 21.600,00 por (1 + 𝑖)& = (1 + 0,2). = 1,44 
 
21.600
1,44 = 15.000 
 
Pronto! Agora somamos esses dois valores e dividimos pelo desembolso inicial, que foi de R$ 
25.000,00. Este valor é exatamente o índice de lucratividade. 
 
𝑥
1,2 + 15.000
25.000 = 1,176 
 
O número 25.000 que está dividindo o primeiro membro da equação, “passa” multiplicando para o 
segundo membro. 
𝑥
1,2 + 15.000 = 25.000 × 1,176 
𝑥
1,2 + 15.000 = 29.400 
𝑥
1,2 = 14.400 
𝑥 = 1,2 × 14.400 = 17.280 
Gabarito: A 
Fácil, não? 
Vamos agora resolver a outra questão. 
 
 
 
 
 
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(FCC 2009/TJ-SE) 
Sejam os fluxos de caixa abaixo referentes aos projetos P e Q, mutuamente excludentes, a uma 
taxa de atratividade de 10% ao ano (capitalização anual). 
 
Se o índice de lucratividade do projeto P é igual ao índice de lucratividade do projeto Q, o valor de 
Y é igual a 
a) R$ 38.743,00 
b) R$ 38.731,50 
c) R$ 38.720,00 
d) R$ 36.300,00 
e) R$ 33.000,00 
Resolução 
No projeto P, temos um desembolso inicial de R$ 10.000,00 e um recebimento de R$ 26.015,00 no 
segundo ano. Para calcular seu índice de lucratividade, devemos transportar R$ 26.015,00 para a 
data 0 (dividindo por (1 + 𝑖)&) e, em seguida, dividir o resultado por R$ 10.000, que é o 
desembolso inicial. 
 
𝐼𝐿L =
26.015
(1 + 0,1).
10.000 =
26.015/1,21
10.000 =
21.500
10.000 = 2,15 
 
Já que os índices de lucratividade dos dois projetos são iguais, vamos calcular o índice de 
lucratividade do projeto Q e igualar a 2,15. 
𝑦
(1 + 0,1). +
12.100
(1 + 0,1),
20.000 = 2,15 
O número 20.000 que está dividindo o primeiro membro da equação, “passa” multiplicando para o 
segundo membro. 
𝑦
1,21 +
12.100
1,1 = 20.000 × 2,15 
𝑦
1,21 + 11.000 = 43.000 
𝑦
1,21 = 32.000 
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𝑦 = 38.720 
Gabarito: C 
 
O cálculo da taxa de rentabilidade (TR) é bem parecido. 
No cálculo do índice de lucratividade nós dividíamos o valor presente das receitas pelo 
investimento inicial. 
No cálculo da taxa de rentabilidade, deveremos subtrair o investimento inicial do valor presente 
das receitas e depois dividir o resultado pelo investimento inicial. Em outras palavras, a taxa de 
rentabilidade é o VPL dividido pelo investimento inicial. 
 
A taxa de rentabilidade é igual ao índice de lucratividade menos 1. 
𝑇𝑅 = 𝐼𝐿 − 1	𝑜𝑢	𝐼𝐿 = 𝑇𝑅 + 1 
 
Vejamos novamente a seguinte questão. 
 
(FEPESE 2010/ICMS-SC) 
Podemos afirmar que o resultado do Valor Presente Líquido (VPL) depende do custo inicial, dos 
retornos e suas datas de ocorrência, e da taxa requerida ajustada ao nível de risco de um 
determinado projeto. A partir da análise do fluxo de caixa abaixo, considerando uma taxa de juros 
de 10% ao ano, 
 
Calcule o VPL e assinale a alternativa que indica a resposta correta. 
a) $ 89.790,57 
b) $ 87.029,57 
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c) $ 80.920,57 
d) $ 78.290,57 
e) $ 72.790,57 
Resolução 
Já vimos que 
𝑉𝑃𝐿 = 87.029,57 
 
Se questão pedisse a taxa de rentabilidade, bastaria dividir o VPL por 800.000 reais. 
𝑇𝑅 =
87.029,57
800.000 ≅ 0,1087 
 
𝑇𝑅 ≅ 10,87% 
 
E podemos rapidamente calcular o índice de lucratividade. 
 
𝐼𝐿 = 𝑇𝑅 + 1 
 
𝐼𝐿 ≅ 1,1087 
 
3. PAYBACK 
Payback é o tempo necessário para recuperação do investimento. 
O Payback Simples não leva em consideração a taxa de juros e, consequentemente, desconsidera o 
valor do dinheiro no tempo. 
Imagine que você fez um investimento de 1.000 reais hoje e receberá 300 reais nos próximos 6 
meses. 
 
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Ao final do terceiro mês, já teremos recuperado 300 + 300 + 300 = 900 reais. Falta pouco para ter 
recuperado todo o investimento inicial. 
Ao final do quarto mês, teremos recebido mais 300 reais e o total recuperado terá sido 1.200 reais, 
que é um valor maior que o investimento inicial. 
 
Assim, o payback está entre 3 e 4 meses. 
Para calcular o valor exato, vamos fazer uma regrinha de 3. Depois do terceiro mês, precisamos 
recuperar apenas mais 100 reais. 
Se fosse um mês completo, teríamos recuperado 300 reais. Queremos saber em quanto tempo 
vamos recuperar 100 reais. 
Tempo (dias) Dinheiro recuperado (R$) 
30 300 
x 100 
 
300𝑥 = 30 ∙ 100 
 
𝑥 = 10	𝑑𝑖𝑎𝑠 
Assim, recuperamos os 1.000 reais investidos em 3 meses e 10 dias. Este é o payback simples. 
O Payback Simples é um método muito falho, pois não leva em consideração a taxa de juros e o 
valor do dinheiro no tempo. 
Vamos agora aprender o método do Payback Desconto através de uma questão. O método é bem 
parecido, mas antes de realizar o cálculo, deveremos calcular o valor presente de cada um dos 
recebimentos na data 0. 
Vejamos uma questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(FCC 2010/SEFAZ-SP) 
 
A tabela abaixo registra o fluxo de caixa anual de um projeto de investimento com duração de 4 
anos. A terceira coluna fornece os respectivos valores atuais (na data 0) em função da taxa mínima 
requerida de 10% ao ano. 
 
Utilizando interpolação linear, obtém-seque, pelo método do Payback descontado, o tempo 
necessário para recuperar o investimento é 
a) 3,2 anos 
b) 2,8 anos 
c) 2,6 anos 
d) 2,4 anos 
e) 2,2 anos 
Resolução 
Perceba que a questão já calculou o valor presente de cada uma das receitas. Para calcular tal 
valor, basta dividir cada receita por (1 + 𝑖)&. Por exemplo, o valor presente da última receita é: 
1.756,92
(1 + 0,10)2 = 1.200 
 
No segundo ano, o somatório dos VPLs das receitas é de 800 + 1.000 = R$ 1.800,00. 
 
Já que o investimento inicial foi de R$ 2.000,00 precisamos de R$ 200,00 para recuperar o 
investimento. No terceiro ano, recuperamos mais R$ 1.000,00. Então fazemos a interpolação. 
Tempo (anos) Dinheiro recuperado (R$) 
1 1.000 
x 200 
 
 
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1.000 ∙ 𝑥 = 200 
 
𝑥 = 0,2 
 
Assim o payback descontado é de 2 + 0,2 = 2,2 anos. 
Gabarito: E 
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4. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
1. (CESPE 2018/CAGE-RS) 
A respeito de avaliação de investimentos, valor presente líquido (VPL) e taxa interna de retorno 
(TIR), julgue os itens a seguir. 
 
I No caso de dois projetos com o mesmo investimento inicial e o mesmo prazo, sob uma mesma 
taxa de desconto, o maior VPL será daquele que tiver menores recebimentos a cada período. 
 
II Para um fluxo que consiste de um único investimento inicial na data 0 e recebimentos 
periódicos, com TIR igual a 5% ao período, se a taxa de desconto for de 6%, então o VPL será 
negativo. 
 
III Dado um investimento inicial seguido de um fluxo de 20 recebimentos periódicos iguais, caso se 
amplie o prazo dos recebimentos para 25 recebimentos iguais, para que a TIR não mude, o valor de 
cada recebimento deverá ser menor. 
 
Assinale a opção correta. 
a) Apenas o item I está certo. 
b) Apenas o item II está certo. 
c) Apenas os itens I e III estão certos. 
d) Apenas os itens II e III estão certos. 
e) Todos os itens estão certos. 
 
2. (CESPE 2016/TCE-PA) 
O engenheiro de uma empreiteira recebeu a tarefa de, mediante técnicas de análise de 
investimento, realizar o estudo de viabilidade econômico-financeira de um projeto de construção 
de uma linha de transmissão. 
O projeto de construção da linha de transmissão é considerado viável econômica e 
financeiramente quando o resultado do cálculo do VPL é maior que zero. 
 
 
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3. (CESPE 2016/TCE-PA) 
O engenheiro de uma empreiteira recebeu a tarefa de, mediante técnicas de análise de 
investimento, realizar o estudo de viabilidade econômico-financeira de um projeto de construção 
de uma linha de transmissão. 
Se a taxa de remuneração de mercado for maior que a TIR, o projeto de construção da linha de 
transmissão será considerado viável econômica e financeiramente. 
 
 
4. (CESPE 2016/TCE-PA) 
O engenheiro de uma empreiteira recebeu a tarefa de, mediante técnicas de análise de 
investimento, realizar o estudo de viabilidade econômico-financeira de um projeto de construção 
de uma linha de transmissão. 
Para obter a TIR do projeto de construção da linha de transmissão, é necessário calcular a taxa de 
juros que torna o VPL igual a zero. 
 
5. (CESPE 2016/TCE-PA) 
O engenheiro de uma empreiteira recebeu a tarefa de, mediante técnicas de análise de 
investimento, realizar o estudo de viabilidade econômico-financeira de um projeto de construção 
de uma linha de transmissão. 
Considerando as técnicas usadas pelo engenheiro, julgue o item subsequente, acerca da situação 
apresentada. 
 
O payback simples tem como objetivo calcular o período (prazo) que a empreiteira irá precisar 
para recuperar contabilmente o capital investido no projeto de construção da linha de 
transmissão. 
 
 
6. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
Acerca de análise e avaliação financeira, julgue o seguinte item. 
Na avaliação de projetos pelo método do valor presente líquido (VPL), o fluxo de caixa do projeto é 
sempre descontado a valor presente pela taxa interna de retorno (TIR) associada ao projeto. 
 
7. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
Se a avaliação financeira para aceitação de um projeto de investimento inicial de R$ 1.000 e fluxo 
de caixa com duas entradas anuais e postecipadas de R$ 600, a uma taxa mínima de atratividade 
de 10% ao ano, for feita pelo critério do valor presente líquido (VPL), então o projeto deverá ser 
aceito. 
 
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8. (CESPE 2018/TCE-PB) 
Um aplicador possui duas opções para investir R$ 500.000 e, em ambas as opções, ele começará a 
receber os rendimentos um ano após a aplicação. Na opção A, os rendimentos serão anuais, iguais 
a R$ 150.000 e por 5 anos consecutivos. Na opção B, os ganhos serão anuais, iguais a R$ 126.000 e 
por 6 anos consecutivos. 
 A taxa de desconto do investidor em ambos os casos será de 10% ao ano. 
 Nessa situação, considerando-se que 0,62 e 0,56 sejam os valores aproximados, respectivamente, 
para 1,1UV e 1,1UW, a análise das opções pelo valor presente líquido (VPL) permite concluir que a 
opção mais vantajosa e a diferença entre os VPLS das duas opções são, respectivamente, 
a) A e R$ 14.400. 
b) A e R$ 22.440. 
c) B e R$ 100.000. 
d) A e R$ 15.600. 
e) B e R$ 6.000. 
 
9. (CESPE 2015/MPU) 
Considere que na aquisição de um título a expectativa seja de 5 pagamentos semestrais, 
postecipados, no valor de R$ 5.000,00 cada, que, atualmente, o valor de mercado desse papel seja 
de R$ 20.000,00 e que a remuneração paga a um investidor deva ser de 10% ao semestre para que 
ele atinja seu objetivo de poupança. Nessa situação, considerando 0,62 como valor aproximado 
para 1,1UV, o valor presente líquido desse investimento é negativo e, portanto, o título em questão 
não é uma boa alternativa de investimento. 
 
10. (CESPE 2015/MPU) 
Caso, na análise da viabilidade de um projeto, se constate que, à medida que se aumenta a taxa de 
desconto mínima aceitável, diminui o valor presente líquido, a decisão favorável à realização desse 
projeto só se dará se houver uma diferença positiva entre o valor presente dos fluxos futuros de 
caixa e o valor presente do investimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(CESPE 2014/ANATEL) 
 
A tabela acima apresenta dados de fluxos de caixa esperados dos investimentos relativos aos 
projetos A, B e C. Considerando a taxa de atratividade definida para investimento igual a 5% a.a. e 
que 1,10 e 1,15 sejam valores aproximados para 1,05. e 1,050, respectivamente, julgue os 
próximos itens. 
11. A taxa de rentabilidade do projeto B é inferior à taxa de rentabilidade do projeto C. 
12. De acordo com o método do valor presente líquido, a melhor alternativa de investimento 
é o projeto A. 
13. O índice de lucratividade do projeto B é superior a 1,03. 
 
 
14. (CESPE 2014/ANTAQ) 
Uma concessionária ganhou a concessão para explorar economicamente uma rodovia federal pelo 
períodode 20 anos. A concessionária realizará melhorias na via como a duplicação de trechos, 
manutenção do asfalto, da iluminação, reforço na sinalização. 
 
Considerando que a concessionária esteja autorizada a cobrar pedágios, julgue o item 
subsequente. 
 
Suponha que a concessionária avalie a possibilidade de investir R$ 500 mil esperando um benefício 
anual de caixa de R$ 432 mil nos dois anos subsequentes. Suponha ainda que a concessionária 
tenha definido em 20% ao ano a taxa de desconto a ser aplicada aos fluxos de caixa desse 
investimento. Nessa situação, o valor presente líquido indica que esse investimento é 
economicamente atraente. 
 
15. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
A taxa interna de retorno de um projeto resultante do investimento inicial de R$ 2.000 e de uma 
única entrada de caixa, em dois anos, de R$ 2.420 é de 10% ao ano. 
 
 
 
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16. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
Uma empresa analisa a viabilidade de um projeto de expansão que apresenta o perfil de valor 
presente líquido (VPL) listado na tabela a seguir e que tem investimento inicial de R$ 500.000. Os 
fluxos de caixa são de R$ 20.000 no primeiro ano, de R$ 30.000, no segundo ano e de R$ 90.000 
em cada ano, do terceiro ao décimo segundo ano. 
 
Com base nessas informações, julgue o item que se segue. 
 A taxa interna de retorno do projeto de expansão é de 10%. 
 
 
17. (CESPE 2015/MPU) 
Julgue o item subsecutivo, relativo à taxa interna de retorno (TIR) e à avaliação de investimentos. 
 
Considere que um investimento de R$ 10,00 produza dois pagamentos mensais sucessivos: o 
primeiro, pago um mês após a data da aplicação, de R$ 6,00, e o segundo, de R$ 5,50. Nessa 
situação, a TIR para essa aplicação é superior a 9%. 
 
 
 
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5. GABARITOS 
 
 
 
01. D 
02. C 
03. E 
04. C 
05. C 
06. E 
07. C 
08. D 
09. C 
10. C 
11. E 
12. C 
13. E 
14. C 
15. C 
16. C 
17. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
1. (CESPE 2018/CAGE-RS) 
A respeito de avaliação de investimentos, valor presente líquido (VPL) e taxa interna de retorno 
(TIR), julgue os itens a seguir. 
 
I No caso de dois projetos com o mesmo investimento inicial e o mesmo prazo, sob uma mesma 
taxa de desconto, o maior VPL será daquele que tiver menores recebimentos a cada período. 
 
II Para um fluxo que consiste de um único investimento inicial na data 0 e recebimentos 
periódicos, com TIR igual a 5% ao período, se a taxa de desconto for de 6%, então o VPL será 
negativo. 
 
III Dado um investimento inicial seguido de um fluxo de 20 recebimentos periódicos iguais, caso se 
amplie o prazo dos recebimentos para 25 recebimentos iguais, para que a TIR não mude, o valor de 
cada recebimento deverá ser menor. 
 
Assinale a opção correta. 
a) Apenas o item I está certo. 
b) Apenas o item II está certo. 
c) Apenas os itens I e III estão certos. 
d) Apenas os itens II e III estão certos. 
e) Todos os itens estão certos. 
Resolução 
Item I. 
Se os dois projetos têm o mesmo prazo e o mesmo investimento inicial, então o maior VPL será 
daquele que tiver MAIORES recebimentos a cada período. O item está errado. 
 
Item II. 
O VPL é igual a zero quando utilizamos a TIR. Assim, se utilizamos uma taxa de desconto maior que 
a TIR, o VPL será negativo. O item está certo. 
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Item III. 
A TIR representa o rendimento do investimento. Se vamos aumentar o número de recebimentos 
com a mesma TIR, então o valor de cada recebimento será menor. O item está certo. 
Gabarito: D 
 
2. (CESPE 2016/TCE-PA) 
O engenheiro de uma empreiteira recebeu a tarefa de, mediante técnicas de análise de 
investimento, realizar o estudo de viabilidade econômico-financeira de um projeto de construção 
de uma linha de transmissão. 
 
O projeto de construção da linha de transmissão é considerado viável econômica e 
financeiramente quando o resultado do cálculo do VPL é maior que zero. 
 
Resolução 
O item está perfeito. Quando temos apenas uma opção de projeto, o projeto é considerado viável 
se seu VPL é positivo. 
Gabarito: Certo 
 
3. (CESPE 2016/TCE-PA) 
O engenheiro de uma empreiteira recebeu a tarefa de, mediante técnicas de análise de 
investimento, realizar o estudo de viabilidade econômico-financeira de um projeto de construção 
de uma linha de transmissão. 
 
Se a taxa de remuneração de mercado for maior que a TIR, o projeto de construção da linha de 
transmissão será considerado viável econômica e financeiramente. 
 
Resolução 
 
A TIR representa o rendimento do projeto. Se o mercado paga uma taxa maior que a TIR, então é 
melhor aplicar o dinheiro no mercado. Assim, o projeto é considerado inviável. 
 
Gabarito: Errado 
 
 
 
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4. (CESPE 2016/TCE-PA) 
O engenheiro de uma empreiteira recebeu a tarefa de, mediante técnicas de análise de 
investimento, realizar o estudo de viabilidade econômico-financeira de um projeto de construção 
de uma linha de transmissão. 
 
Para obter a TIR do projeto de construção da linha de transmissão, é necessário calcular a taxa de 
juros que torna o VPL igual a zero. 
 
Resolução 
Esta é a própria definição de taxa interna de retorno: é a taxa que torna o VPL igual a zero. 
Gabarito: Certo 
5. (CESPE 2016/TCE-PA) 
O engenheiro de uma empreiteira recebeu a tarefa de, mediante técnicas de análise de 
investimento, realizar o estudo de viabilidade econômico-financeira de um projeto de construção 
de uma linha de transmissão. 
Considerando as técnicas usadas pelo engenheiro, julgue o item subsequente, acerca da 
situação apresentada. 
 
O payback simples tem como objetivo calcular o período (prazo) que a empreiteira irá precisar 
para recuperar contabilmente o capital investido no projeto de construção da linha de 
transmissão. 
 
Resolução 
 
Perfeito. Esta é a própria definição do payback simples: o tempo para que o investimento inicial 
seja recuperado. Lembre-se que no payback simples não levamos em consideração a taxa de juros 
nem o valor do dinheiro no tempo. 
 
Gabarito: Certo 
 
6. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
Acerca de análise e avaliação financeira, julgue o seguinte item. 
Na avaliação de projetos pelo método do valor presente líquido (VPL), o fluxo de caixa do projeto é 
sempre descontado a valor presente pela taxa interna de retorno (TIR) associada ao projeto. 
Resolução 
Para calcular o VPL, devemos sempre utilizar a Taxa Mínima de Atratividade. Portanto, o item está 
errado. 
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A TIR é a taxa que tornao VPL igual a zero. 
Gabarito: Errado 
7. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
Se a avaliação financeira para aceitação de um projeto de investimento inicial de R$ 1.000 e fluxo 
de caixa com duas entradas anuais e postecipadas de R$ 600, a uma taxa mínima de atratividade 
de 10% ao ano, for feita pelo critério do valor presente líquido (VPL), então o projeto deverá ser 
aceito. 
Resolução 
Tecnicamente deveríamos transportar todos os valores para a data 0 para calcular o VPL. 
O projeto será aceito se VPL > 0. 
Ora, se o fluxo de caixa for positivo na data 0, então será positivo em qualquer data. 
Assim, em vez de calcular o VPL, vamos calcular o capital equivalente na data 2, pois é mais fácil 
multiplicar por (1 + 𝑖)& do que dividir. 
 
Vamos transportar todos os valores para a data 2, lembrando que o investimento será considerado 
negativo no fluxo de caixa. 
−1.000 ∙ (1 + 𝑖). + 600 ∙ (1 + 𝑖) + 600 = 
 
= −1.000 ∙ (1 + 0,10). + 600 ∙ (1 + 0,10) + 600 
 
= 50 
Assim, o fluxo de caixa foi positivo na data 2 e o projeto deverá ser aceito. 
Veja que as contas seriam bem piores se fôssemos calcular o VPL. 
𝑉𝑃𝐿 = −1.000 +
600
1,10, +
600
1,10. ≅ 41,32 
Gabarito: Certo 
 
8. (CESPE 2018/TCE-PB) 
Um aplicador possui duas opções para investir R$ 500.000 e, em ambas as opções, ele começará a 
receber os rendimentos um ano após a aplicação. Na opção A, os rendimentos serão anuais, iguais 
a R$ 150.000 e por 5 anos consecutivos. Na opção B, os ganhos serão anuais, iguais a R$ 126.000 e 
por 6 anos consecutivos. 
 A taxa de desconto do investidor em ambos os casos será de 10% ao ano. 
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 Nessa situação, considerando-se que 0,62 e 0,56 sejam os valores aproximados, respectivamente, 
para 1,1UV e 1,1UW, a análise das opções pelo valor presente líquido (VPL) permite concluir que a 
opção mais vantajosa e a diferença entre os VPLS das duas opções são, respectivamente, 
a) A e R$ 14.400. 
b) A e R$ 22.440. 
c) B e R$ 100.000. 
d) A e R$ 15.600. 
e) B e R$ 6.000. 
Resolução 
A opção mais vantajosa será aquela que possuir o maior VPL. 
 
Neste caso, será bem fácil calcular o VPL, pois temos duas séries de pagamentos uniformes. 
𝑉𝑃𝐿 = 𝑃 ∙
1 − (1 + 𝑖)U&
𝑖XYYYYZYYYY[
\]^_`	]ab]^	c]	dé`fg	cg	h]i]jg&a_d
− 500.000XYZY[
k&lgdafjg&a_	f&fmf]^
 
 
Opção A 
𝑉𝑃𝐿n = 150.000 ∙
1 − (1 + 0,10)UV
0,10 − 500.000 
 
𝑉𝑃𝐿n = 150.000 ∙
1 − 0,62
0,10 − 500.000 
𝑉𝑃𝐿n = 70.000 
 
Opção B 
𝑉𝑃𝐿o = 126.000 ∙
1 − (1 + 0,10)UW
0,10 − 500.000 
 
𝑉𝑃𝐿o = 126.000 ∙
1 − 0,56
0,10 − 500.000 
 
𝑉𝑃𝐿o = 54.400 
 
A opção A é mais vantajosa porque seu VPL é maior. A diferença entre os VPLs é: 
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𝑉𝑃𝐿n − 𝑉𝑃𝐿o = 70.000 − 54.400 = 15.600 
Gabarito: D 
9. (CESPE 2015/MPU) 
Considere que na aquisição de um título a expectativa seja de 5 pagamentos semestrais, 
postecipados, no valor de R$ 5.000,00 cada, que, atualmente, o valor de mercado desse papel seja 
de R$ 20.000,00 e que a remuneração paga a um investidor deva ser de 10% ao semestre para que 
ele atinja seu objetivo de poupança. Nessa situação, considerando 0,62 como valor aproximado 
para 1,1UV, o valor presente líquido desse investimento é negativo e, portanto, o título em questão 
não é uma boa alternativa de investimento. 
Resolução 
Temos um aporte inicial de 20 mil reais e uma série uniforme de recebimentos semestrais de 5 mil 
reais. 
Vamos calcular o VPL. 
 
𝑉𝑃𝐿 = 𝑃 ∙
1 − (1 + 𝑖)U&
𝑖XYYYYZYYYY[
\]^_`	]ab]^	c]	dé`fg	cg	h]i]jg&a_d
− 20.000XYZY[
k&lgdafjg&a_	f&fmf]^
 
 
 
𝑉𝑃𝐿 = 5.000 ∙
1 − (1 + 0,10)UV
0,10 − 20.000 
 
𝑉𝑃𝐿 = 5.000 ∙
1 − 0,62
0,10 − 20.000 
 
𝑉𝑃𝐿 = 5.000 ∙ 3,8 − 20.000 
 
𝑉𝑃𝐿 = −1.000 
Como o VPL é negativo, então o projeto é inviável. 
Gabarito: Certo 
 
 
 
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10. (CESPE 2015/MPU) 
Caso, na análise da viabilidade de um projeto, se constate que, à medida que se aumenta a taxa de 
desconto mínima aceitável, diminui o valor presente líquido, a decisão favorável à realização desse 
projeto só se dará se houver uma diferença positiva entre o valor presente dos fluxos futuros de 
caixa e o valor presente do investimento. 
Resolução 
Se houver uma diferença positiva entre o valor presente dos fluxos futuros e o valor presente do 
investimento, então o VPL será positivo. Neste caso, o projeto será viável. 
Gabarito: Certo 
 
(CESPE 2014/ANATEL) 
 
A tabela acima apresenta dados de fluxos de caixa esperados dos investimentos relativos aos 
projetos A, B e C. Considerando a taxa de atratividade definida para investimento igual a 5% a.a. e 
que 1,10 e 1,15 sejam valores aproximados para 1,05. e 1,050, respectivamente, julgue os 
próximos itens. 
11. A taxa de rentabilidade do projeto B é inferior à taxa de rentabilidade do projeto C. 
12. De acordo com o método do valor presente líquido, a melhor alternativa de investimento 
é o projeto A. 
13. O índice de lucratividade do projeto B é superior a 1,03. 
 
Resolução 
 
Vamos calcular o VPL de cada projeto. Para tanto, vamos transportar todos os valores para a data 
0. 
 
𝑉𝑃𝐿n = −100 +
30
1,05 +
40
1,05. +
50
1,050 
 
𝑉𝑃𝐿n = −100 +
30
1,05 +
40
1,10 +
50
1,15 
 
𝑉𝑃𝐿n ≅ 8,41 
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𝑉𝑃𝐿o = −150 +
50
1,05 +
50
1,05. +
70
1,050 
 
𝑉𝑃𝐿o = −150 +
50
1,05 +
50
1,10 +
70
1,15 
 
𝑉𝑃𝐿o ≅ 3,94 
 
𝑉𝑃𝐿p = −200 +
10
1,05 +
100
1,05. +
120
1,050 
 
𝑉𝑃𝐿p ≅ 4,78 
 
Para calcular a taxa de rentabilidade de cada projeto, basta dividir cada VPL pelo valor inicial. Para 
calcular o índice de lucratividade, basta somar 1 à taxa de rentabilidade. 
𝑇𝑅n =
𝑉𝑃𝐿n
100 =
8,41
100 = 0,0841 
 
𝐼𝐿n = 1,0841 
 
𝑇𝑅o =
𝑉𝑃𝐿o
150 =
3,94
150 = 0,0263 
 
𝐼𝐿o = 1,0263 
 
𝑇𝑅p =
𝑉𝑃𝐿p
200 =
4,78
200 = 0,0239 
 
𝐼𝐿p = 1,0239 
Vamos analisar os itens. 
 
I. A taxa de rentabilidade do projeto B é inferior à taxa de rentabilidade do projeto C. 
 
Errado, pois 𝑇𝑅o > 𝑇𝑅p. 
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II. De acordo com o método do valor presente líquido, a melhor alternativa de investimento é o 
projeto A. 
O valor presente líquido de A é o maior e, portanto, é a melhor alternativa de investimento pelo 
método do VPL. O item está certo. 
 III. O índice de lucratividade do projeto B é superior a 1,03. 
O item está errado, pois 𝐼𝐿o = 1,0263 < 1,03. 
 
Gabarito: Errado, Certo, Errado 
 
14. (CESPE 2014/ANTAQ) 
Uma concessionária ganhou a concessão para explorar economicamente uma rodovia federal pelo 
período de 20 anos. A concessionária realizará melhorias na via como a duplicação de trechos, 
manutenção do asfalto, da iluminação, reforço na sinalização. 
 
Considerando que a concessionária esteja autorizada a cobrar pedágios, julgue o item 
subsequente. 
 
Suponha que a concessionária avaliea possibilidade de investir R$ 500 mil esperando um benefício 
anual de caixa de R$ 432 mil nos dois anos subsequentes. Suponha ainda que a concessionária 
tenha definido em 20% ao ano a taxa de desconto a ser aplicada aos fluxos de caixa desse 
investimento. Nessa situação, o valor presente líquido indica que esse investimento é 
economicamente atraente. 
Resolução 
Para calcular o VPL, devemos transportar todos os valores para a data 0. 
 
𝑉𝑃𝐿 = −500.000 +
432.000
1,20, +
432.000
1,20. 
 
𝑉𝑃𝐿 = 160.000 
Como o VPL é positivo, então o investimento é economicamente atraente. 
Gabarito: Certo 
 
 
 
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15. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
A taxa interna de retorno de um projeto resultante do investimento inicial de R$ 2.000 e de uma 
única entrada de caixa, em dois anos, de R$ 2.420 é de 10% ao ano. 
Resolução 
Se a taxa interna de retorno for de 10%, então o VPL será igual a 0. Vamos calcular o VPL. 
𝑉𝑃𝐿 = −2.000 +
2.420
(1 + 0,10). 
𝑉𝑃𝐿 = −2.000 + 2.000 = 0 
 
Ao utilizar a taxa de 10% ao ano, obtivemos VPL = 0. Portanto, a taxa interna de retorno é igual a 
10% ao ano. O item está certo. 
Vamos supor agora que o problema não forneça a TIR. Como calculamos? 
Ora, basta utilizar uma taxa i e dizer que o VPL é igual a 0. 
−2.000 +
2.420
(1 + 𝑖). = 0 
 
2.420
(1 + 𝑖). = 2.000 
 
2.000 ∙ (1 + 𝑖). = 2.420 
 
(1 + 𝑖). = 1,21 
 
1 + 𝑖 = r1,21 
 
1 + 𝑖 = 1,10 
 
𝑖 = 0,10 = 10%	𝑎𝑜	𝑎𝑛𝑜 
Gabarito: Certo 
 
 
 
 
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16. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
Uma empresa analisa a viabilidade de um projeto de expansão que apresenta o perfil de valor 
presente líquido (VPL) listado na tabela a seguir e que tem investimento inicial de R$ 500.000. Os 
fluxos de caixa são de R$ 20.000 no primeiro ano, de R$ 30.000, no segundo ano e de R$ 90.000 
em cada ano, do terceiro ao décimo segundo ano. 
 
Com base nessas informações, julgue o item que se segue. 
 A taxa interna de retorno do projeto de expansão é de 10%. 
Resolução 
A taxa interna de retorno é aquela tal que VPL é igual a 0. A tabela mostra que o VPL é igual a 0 
para uma taxa de 10%. Esta é, portanto, a TIR. 
Para evitar confusão, seria melhor a questão ter dito que a taxa é anual. 
Gabarito: Certo 
17. (CESPE 2015/MPU) 
Julgue o item subsecutivo, relativo à taxa interna de retorno (TIR) e à avaliação de investimentos. 
 
Considere que um investimento de R$ 10,00 produza dois pagamentos mensais sucessivos: o 
primeiro, pago um mês após a data da aplicação, de R$ 6,00, e o segundo, de R$ 5,50. Nessa 
situação, a TIR para essa aplicação é superior a 9%. 
 
Resolução 
Vamos calcular o VPL com a taxa de 9%. 
𝑉𝑃𝐿 = −10 +
6
1,09 +
5,50
1,09. 
 
𝑉𝑃𝐿 ≅ 0,13 
Para zerar o VPL, precisaríamos de uma taxa um pouquinho maior que 9%. O item está certo. 
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Para calcular a taxa interna de retorno exatamente, seria um pouquinho trabalhoso. Vamos 
colocar uma taxa genérica i e igualar o VPL a zero. 
 
−10 +
6
(1 + 𝑖), +
5,50
(1 + 𝑖). = 0 
 
Para facilitar os cálculos, vamos substituir 1 + 𝑖 por 𝑥. 
 
−10 +
6
𝑥 +
5,50
𝑥. = 0 
 
Vamos multiplicar todos os termos por 𝑥.. 
−10𝑥. +
6
𝑥 ∙ 𝑥
. +
5,50
𝑥. ∙ 𝑥
. = 0 
 
−10𝑥. + 6𝑥 + 5,50 = 0 
Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = −10, 𝑏 = 6 e 𝑐 = 5,50. 
A solução desta equação é dada por: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏. − 4𝑎𝑐
2𝑎 
 
𝑥 =
−6 ± r6. − 4 ∙ (−10) ∙ 5,50
2 ∙ (−10) 
 
𝑥 =
−6 ± 16
−20 
 
𝑥 = −0,5	𝑜𝑢	𝑥 = 1,1 
Como a taxa é positiva, então 𝑥 = 1,1. 
1 + 𝑖 = 1,10 
𝑖 = 0,10 = 10% 
A TIR é 10% > 9% e o item está certo. 
Gabarito: Certo 
 
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7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
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