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Aula 10
Raciocínio Lógico-Matemático p/ Banco
do Brasil (Escriturário) Com Videoaulas -
2020
Autores:
Brunno Lima, Guilherme Neves
Aula 10
13 de Março de 2020
Matemática para BNB (Analista Bancário 1)
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1. Equivalência Composta de Capitais .................................................................................................................. 2
1.1. Capitais Equivalentes ....................................................................................................................................... 3
2. Progressão Geométrica .................................................................................................................................. 20
2.1 Cálculo da razão ............................................................................................................................................ 21
2.2 Termo geral ................................................................................................................................................... 21
3. Séries uniformes ............................................................................................................................................ 24
3.1 Elementos de uma série uniforme ................................................................................................................. 25
3.2 Classificação das séries uniformes ................................................................................................................. 25
3.3 Representação em fluxo de caixa .................................................................................................................. 26
3.4 Valor futuro ou montante de uma renda certa (F) ........................................................................................ 26
3.5 Valor atual ou valor presente de uma renda certa (A) .................................................................................. 28
4. Rendas certas perpétuas ou Perpetuidades ................................................................................................... 42
5. Problemas envolvendo rendas diferidas ........................................................................................................ 49
6. Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 57
7. Gabaritos ....................................................................................................................................................... 72
8. Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 74
9. Tabelas financeiras ...................................................................................................................................... 118
10. Considerações Finais .................................................................................................................................... 119
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Oi, pessoal.
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!!
Vamos começar a nossa aula sobre Equivalência de Capitais?
1. EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS
Tudo em Matemática Financeira gira em torno do conceito de Equivalência de Capitais. Coloque na
sua cabeça que NUNCA podemos comparar dois valores que estão em datas diferentes. O valor do
dinheiro está diretamente associado a uma data.
Imagine, por exemplo, que você tem duas opções para pagar uma televisão.
• Três prestações de R$ 150,00.
• Seis prestações de R$ 80,00.
Nos dois casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Qual a melhor opção de
pagamento?
O leigo em Matemática Financeira raciocinará da seguinte forma:
3 × 150 = 450 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
6 × 80 = 480 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Como R$ 450 < R$ 480, então a primeira opção é mais vantajosa. Este raciocínio está errado!!!
Como falei no início, nunca podemos comparar quantias em épocas diferentes. As prestações são
pagas em épocas distintas, e, portanto, não podem ser comparadas da forma como fizemos.
É aqui que entra a equivalência de capitais. Para que possamos comparar as duas opções de
pagamento, devemos transportar todos os valores para uma mesma data. Esta data é chamada de
data focal.
No regime de capitalização composta, qualquer data pode ser a data focal.
O elemento que efetua o transporte de valores na linha do tempo é a taxa de juros.
Recordemos a fórmula dos juros compostos.
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)6
Esta fórmula é equivalente à fórmula da operação de desconto racional composto.
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖)6
Nesta aula, o valor nominal (montante) será chamado de valor futuro e será representado por F.
O valor atual continuará sendo chamado de valor atual e será representado por A.
Assim, temos:
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𝐹 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖)6
Esta fórmula diz que se tenho um valor atual e quero calcular o valor futuro, devo multiplicar o
valor atual por (1 + 𝑖)6.
Rearranjando a fórmula, temos:
𝐴 =
𝐹
(1 + 𝑖)6
Desta forma, concluímos que se tenho um valor futuro e quero calcular o valor atual, devo dividir o
valor futuro por (1 + 𝑖)6 .
No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar quantias no tempo.
Essa é a fórmula fundamental de equivalência de capitais:
Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por .
Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por .
Ou seja, para avançar um valor para o futuro, multiplicamos por (1 + 𝑖)6.
Para retroceder um valor para o presente, dividimos por (1 + 𝑖)6.
1.1. CAPITAIS EQUIVALENTES
Dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos equivalentes quando,
transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa de juros, produzem, nessa data,
valores iguais.
(1 )ni+
(1 )ni+
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Em juros compostos, se dois conjuntos de capitais são equivalentes em determinada
data focal, então eles também serão equivalentes em qualquer outra data focal.
Assim, para resolver os problemas de equivalência composta de capitais, podemos escolher
qualquer data para ser a data focal.
Exemplo: Se a taxa de juros é de 10% ao mês, então um capital de R$ 55.000,00 na data 3 (mês)
equivale a um capital de R$ 50.000,00 na data 2.
Dizer que estes capitais equivalentes é o mesmo que dizer o seguinte: é indiferente receber 50 mil
reais daqui a 2 meses ou receber 55 mil reais daqui a 3 meses, se a taxa de juros é de 10% ao mês.
Como podemos confirmar este fato?
Ora, não podemos comparar quantias em datas diferentes. Para comparar estes dois valores,
devemos colocá-los em uma mesma data, que é a chamada data focal.
Vamos tomar como data focal a data 3.
O valor de R$ 55.000,00 já está na data 3 e não precisa ser transportado.
Como vamos transportar a quantia de R$ 50.000,00 da data 2 para a data 3?
Como o valor vai para o futuro, devemos multiplicar por (1 + 𝑖)6. A taxa de juros é de 10% e o
tempo é n = 1 (da data 2 para a data 3).
50.000 ∙ (1 + 0,10)< = 55.000
Poderíamos também ter transportadoo valor de R$ 55.000,00 da data 3 para a data 2. Para tanto,
bastaria ter dividido por (1 + 𝑖)6.
55.000
(1 + 0,10)< = 50.000
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Como é mais fácil multiplicar do que dividir, na maioria dos casos colocarei a data focal a data mais
à direita.
Carlos contraiu um empréstimo que deverá ser pago da seguinte forma: dois anos após a
data do fechamento do negócio, R$ 20.000,00; três anos após a data do fechamento do
negócio, R$ 30.000,00. Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros
compostos de 3% ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema.
A quantia que Carlos tomou emprestada está na data 0 (presente). O valor de X reais na data
0 equivale a R$ 20.000,00 daqui a 2 anos (24 meses) mais R$ 30.000,00 daqui a 3 anos (36
meses).
24 36
20.000 30.000
1,03 1,03
+
2 3
20.000 30.000
1,03 1,03
+
2 31,03 20.000 1,03 30.000´ + ´
21,03 20.000 1,03 30.000´ + ´
2,06 20.000 3,09 30.000´ + ´
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E como calcularemos o valor de X?
Obviamente o valor de X não é igual a R$ 50.000,00 (R$ 20.000,00 + R$ 30.000,00). Isso
porque não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Devemos transportar esses
valores na linha do tempo. Para isso, lembre o fato de que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
No nosso caso, estamos interessados em transportar valores do futuro para o presente. Para
isso devemos dividir esses valores por .
Ou seja, R$ 20.000,00 daqui a dois anos valem hoje .
Assim como R$ 30.000,00 daqui a três anos valem hoje .
Dessa forma, .
Gabarito: A
(1 )ni+
(1 )ni+
(1 )ni+
( )24 24
20.000 20.000
1,031 0,03
=
+
( )36 36
30.000 30.000
1,031 0,03
=
+
24 36
20.000 30.000
1,03 1,03
X = +
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Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4
meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a
taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na
resposta.)
a) R$ 2.122,00.
b) R$ 1.922,00.
c) R$ 4.041,00.
d) R$ 3.962,00.
e) R$ 4.880,00.
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema:
Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 3.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
Dessa forma:
𝑋 = 2.000 ∙ (1 + 0,02)? +
2.000
(1 + 0,02)< = 4.041,58
Gabarito: C
(1 )ni+
(1 )ni+
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Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa,
um comprador propõe uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma
de R$ 30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A
primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 30.000,00,
vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A
transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a
imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais,
desconsiderando os centavos, será igual a:
a) R$ 35.000,00
b) R$ 27.925,00
c) R$ 32.500,00
d) R$ 39.925,00
e) R$ 35.500,00
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema.
Queremos calcular o valor da prestação X de modo que pagar R$ 85.000,00 hoje seja o
mesmo que pagar (seja equivalente) R$ 15.000,00 hoje, mais X reais daqui a 6 meses, mais R$
30.000,00 daqui a 12 meses, mais X reais daqui a 18 meses.
Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos escolher alguma
data como referência. No regime composto, você pode escolher qualquer data para servir
como referência. Dê preferência à última data (aquela que está na extrema direita do
desenho). Isso porque estamos deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
(1 )ni+
(1 )ni+
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E é fato que preferimos multiplicar por a dividir por . Assim, nossa estratégia
será transportar todos os valores para o futuro.
Temos dois conjuntos de capitais:
- A proposta do comprador (as quatro parcelas).
- A proposta da imobiliária (pagar R$ 85.000,00 a vista).
Utilizaremos como data focal o 18º mês.
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 18º mês.
Para transportar R$ 85.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por .
Para transportar R$ 15.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por
Para transportar X reais (6º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por .
Para transportar R$ 30.000,00 (12º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por .
Não precisamos transportar X reais (18º mês), pois ele já está na data focal.
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:
Estas potências são fornecidas pelas bancas.
(1 )ni+ (1 )ni+
18(1 )i+
18(1 )i+
12(1 )i+
6(1 )i+
18 18 12 685.000 1,04 15.000 1,04 1,04 30.000 1,04X X× = × + × + × +
85.000 2,025816 15.000 2,025816 1,601032 30.000 1,265319X X× = × + × + × +
172.194,36 30.387,24 1,601032 37.959,57X X= + × + +
1,601032 172.194,36 30.387,24 37.959,57X X× + = - -
2,601032 103.847,55X× =
103.847,55
2,601032
X =
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Gabarito: D
Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma
entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um
comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito
meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, sem
considerar os centavos, o valor de entrada deverá ser igual a:
a) R$ 23.455,00
b) R$ 23.250,00
c) R$ 24.580,00
d) R$ 25.455,00
e) R$ 26.580,00
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema
O problema se resume no seguinte:
Dar uma entrada de X reais e efetuar um pagamento de R$ 17.000,00 daqui a 8 meses é o
mesmo que (é equivalente a) dar uma entrada de R$ 20.000,00 e efetuar um pagamento de
R$ 20.000,00 daqui a 6 meses.
Não podemos comparar quantias em épocasdiferentes. Para isso, devemos escolher alguma
data como referência. No regime composto, você pode escolher qualquer data para servir
como referência. Dê preferência à última data (aquela que está na extrema direita do
desenho). Isso porque estamos deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
E é fato que preferimos multiplicar por a dividir por . Assim, nossa estratégia
será transportar todos os valores para o futuro!
39.925,52X =
(1 )ni+
(1 )ni+
(1 )ni+ (1 )ni+
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Temos dois conjuntos de capitais. Utilizaremos como data focal o 8º mês. Vamos efetuar o
transporte de cada uma dessas quantias para o 8º mês.
Para transportar R$ 20.000,00 (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por .
Para transportar R$ 20.000 (6º mês) para o 8º mês devemos multiplicar por .
Para transportar X reais (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por .
Não precisamos transportar R$ 17.000,00 (8º mês), pois ele já está na data focal.
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:
Gabarito: B
*Não se preocupe. Todas as potências são fornecidas pelas provas.
8(1 )i+
2(1 )i+
8(1 )i+
8 8 21,02 17.000 20.000 1,02 20.000 1,02X × + = × + ×
8 8 21,02 17.000 20.000 1,02 20.000 1,02X × + = × + ×
81,02 17.000 20.000 1,171659 20.000 1,0404X × + = × + ×
81,02 23.433,18 20.808 17.000X × = + -
81,02 27.241,18X × =
23.250,07X =
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Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00
ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de
sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital
equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros
compostos de 4% ao mês.
a) R$ 62.200,00
b) R$ 64.000,00
c) R$ 63.232,00
d) R$ 62.032,00
e) R$ 64.513,28
Resolução
Há duas alternativas de pagamento:
i) Pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta dias (1 mês) e R$ 31.200,00 ao fim
de noventa dias (3 meses).
ii) Pagamento único ao fim de sessenta dias (2 meses).
Eis o desenho da questão:
Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 2.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
(1 )ni+
(1 )ni+
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Dessa forma:
𝑋 = 20.000 ∙ (1 + 0,04)? + 10.000 ∙ (1 + 0,04)< +
31.200
(1 + 0,04)<
𝑋 = 21.632 + 10.400 + 30.000
𝑋 = 62.032,00
Gabarito: D
Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a
um capital de R$ 100.000,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ 110.000,00 que vai
vencer daqui a seis meses?
a) R$ 210.000,00
b) R$ 220.000,00
c) R$ 221.000,00
d) R$ 230.000,00
e) R$ 231.000,00
Resolução
Já que a taxa fornecida é semestral, coloquemos os prazos expressos em semestres.
O primeiro capital venceu há um ano, portanto, 2 semestres.
O segundo capital vencerá daqui a 6 meses, portanto, 1 semestre.
Eis o desenho da questão:
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Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 0.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
Dessa forma:
𝑋 = 100.000 ∙ (1 + 0,10)? +
110.000
(1 + 0,10)<
𝑋 = 121.000 + 100.000
𝑋 = 221.000,00
Gabarito: C
A compra de um equipamento por uma indústria poderá ser feita por uma das duas opções
seguintes: à vista por R$ 41.600,00 ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores
(1 )ni+
(1 )ni+
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iguais, vencendo a primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de
juros compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o valor de
cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na data da compra, as
duas opções é
a) R$ 20.400,00
b) R$ 20.800,00
c) R$ 21.600,00
d) R$ 22.064,00
e) R$ 23.328,00
Resolução
Questão sobre equivalência de capitais.
É sempre importante construir o “desenho” da questão. Ei-lo:
Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos escolher alguma
data como referência. No regime composto, você pode escolher qualquer data para servir
como referência. Dê preferência à última data (aquela que está na extrema direita do
desenho). Isso porque estamos deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
E é fato que preferimos multiplicar por a dividir por . Assim, nossa estratégia
será transportar todos os valores para o futuro.
(1 )ni+
(1 )ni+
(1 )ni+ (1 )ni+
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Temos dois conjuntos de capitais:
- As duas parcelas de X reais.
- O valor a vista de R$ 41.600,00
Utilizaremos como data focal o 2º ano.
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 2º ano.
Para transportar R$ 41.600,00 (data 0) para o 2º mês devemos multiplicar por .
Para transportar X reais (data 1) para o 2º ano devemos multiplicar por .
Não precisamos transportar X reais (2º ano), pois ele já está na data focal.
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:
Letra E
Uma rede de lojas, que atua na venda de eletroeletrônicos, anuncia a venda de notebook da
seguinte forma:
2(1 )i+
1(1 )i+
1 21,08 41.600 1,08X X× + = ×
2,08 48.522,24X× =
23.328,00X =
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- R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou
- 3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira prestação no ato
da compra.
Embora na propaganda seja utilizada a expressão “sem juros”, os clientes que escolhem a
segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente:
(Utilize se necessário:√7 = 2,646.)
a) 13,5%
b) 20,0%
c) 21,5%
d) 19,0%
e) 9,5%
Resolução
Eis o “desenho” da questão.
Efetuemos o transporte dos valores para a data 0. As duas formas de pagamento devem ser
equivalentes nesta data.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
1.125 = 450 +
450
(1 + 𝑖)< +
450
(1 + 𝑖)?
(1 )ni+
(1 )ni+
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675 −
450
(1 + 𝑖)< −
450
(1 + 𝑖)? = 0
Para facilitar os cálculos, adotemos que 1 + 𝑖 = 𝑥
675 −
450
𝑥< −
450
𝑥? = 0
675 ∙ 𝑥? − 450 ∙ 𝑥 − 450
𝑥? = 0
675 ∙ 𝑥? − 450 ∙ 𝑥 − 450 = 0
Simplificando os termos por 225:
3 ∙ 𝑥? − 2 ∙ 𝑥 − 2 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏? − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−2) ± G(−2)? − 4 ∙ 3 ∙ (−2)
2 ∙ 3
𝑥 =
2 ± √28
6
Observe que o enunciado sugeriu utilizar √7 = 2,646.
Assim, √28 = √4 ∙ 7 = √4 ∙ √7 = 2 ∙ 2,646 = 5,292
𝑥 =
2 ± 5,292
6
Como 𝑥 > 0,
𝑥 =
2 + 5,292
6
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𝑥 ≅ 1,215
1 + 𝑖 ≅ 1,215
𝑖 ≅ 0,215 = 21,5%
Letra C
Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes,
por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada
é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-
se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de
cada prestação mensal será:
(A) R$ 525,68.
(B) R$ 545,34.
(C) R$ 568,24.
(D) R$ 576,19.
(E) R$ 605,00.
Resolução
Escolhendo a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o futuro devemos
multiplicar o seu valor por (1 + 𝑖)6.
A equação da equivalência fica:
𝑋 + 𝑋 ∙ (1 + 𝑖)< = 1.000 ∙ (1 + 𝑖)?
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𝑋 + 1,1 ∙ 𝑋 = 1.000 ∙ (1 + 0,10)?
2,1 ∙ 𝑋 = 1.210
𝑋 = 576,19
Gabarito: D
2. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Fiz um resuminho sobre P.G. com o intuito de poder utilizar livremente as fórmulas nos assuntos
subsequentes de Matemática Financeira.
Considere uma sequência de números reais (𝑎<, 𝑎?, 𝑎L, … , 𝑎6).
Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo,
for igual ao produto do anterior com uma constante real 𝑞.
O número real 𝑞 é denominado razão da progressão geométrica.
𝑎< é o primeiro termo, 𝑎? é o segundo termo, e assim por diante. O termo 𝑎6 de ordem n é
chamado n-ésimo termo.
Exemplos:
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Progressão Geométrica Primeiro termo (𝒂𝟏) Razão (𝒒)
(3, 6, 12, 24, 48, 96, … ) 3 2
(96, 48, 24, 12, 6, 3, … ) 96
1
2
(2, 2, 2, 2, 2, … ) 2 1
(1, −2, 4, −8, 16, −32,… ) 1 −2
(5, 0, 0, 0, 0, … ) 5 0
2.1 CÁLCULO DA RAZÃO
Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é diferente de 0 (ver
último exemplo do tópico anterior).
Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o cociente entre dois termos consecutivos.
No nosso primeiro exemplo, 𝑞 = 6 3R =
12
6R = ⋯ = 2.
No nosso segundo exemplo, 𝑞 = 48 96R =
24
48R = ⋯ =
1
2R .
No nosso terceiro exemplo, 𝑞 = 2 2R =
2
2R = ⋯ = 1.
No nosso quarto exemplo, 𝑞 = −2 1R =
4
−2R = ⋯ = −2.
2.2 TERMO GERAL
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Considere a progressão geométrica (𝑎<, 𝑎?, 𝑎L, … , 𝑎6). Existe uma expressão que permite calcular
qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão.
Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a
razão.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒒𝒏U𝟏
Em que 𝑎< é o primeiro termo, 𝑞 é a razão da progressão e 𝑎6 é o termo de ordem n (n-ésimo
termo).
Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica (3, 6, 12, 24, … )?
Resolução
Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, 𝑛 = 11.
Utilizemos a fórmula do termo geral:
𝑎<< = 𝑎< ∙ 𝑞<<U< = 𝑎< ∙ 𝑞<X
𝑎<< = 3 ∙ 2<X = 3.072
Obviamente não seremos obrigados a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não somos obrigados a
conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer da P.G. Vejamos um exemplo análogo
ao da progressão aritmética.
Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o décimo sexto termo
sabendo que a razão da progressão é 3.
Resolução
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Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo.
Assim, a expressão do termo geral ficará:
𝑎<Y = 𝑎<X ∙ 𝑞Y
𝑎<Y = 4 ∙ 3Y = 2.916
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita
A soma dos 𝑛 termos iniciais de uma progressão geométrica é:
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏 ∙ (𝒒𝒏 − 𝟏)
𝒒 − 𝟏
Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (3, 6, 12, 24, … ).
Resolução
A razão, como já vimos, é igual a 2.
𝑆<X =
𝑎< ∙ (𝑞<X − 1)
𝑞 − 1
𝑆<X =
3 ∙ (2<X − 1)
2 − 1 =
3 ∙ (1.024 − 1)
1 = 3 ∙ 1.023
𝑆<X = 3.069
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita
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Se (𝑎<, 𝑎?, 𝑎L, … , 𝑎6, … ) é uma P.G. com razão −1 < 𝑞 < 1, então:
𝑺 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒏 +⋯ =
𝒂𝟏
𝟏 − 𝒒
Exemplo
Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. (9, 6, 4, … ).
Resolução
Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro:
𝑞 =
6
9 =
2
3
Assim,
𝑆 =
𝑎<
1 − 𝑞 =
9
1 − 23
=
9
1/3 = 9 ∙
3
1 = 27
Observação: Utilizaremos este conceito no estudo das Rendas Perpétuas.
3. SÉRIES UNIFORMES
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O principal objetivo da Matemática Financeira é a movimentação do dinheiro na linha do tempo.
Vimos que um conjunto de diferentes capitais podem se transformar em outros conjuntos
equivalentes.
Estudaremos nesta aula algumas sequências particulares de capitais. A esses casos particulares
denominamossequências ou séries uniformes. Há quem denomine também de rendas certas ou
anuidades.
Em diversas situações, surge uma série de valores iguais que serão pagos ou recebidos em
períodos iguais.
O fluxo de caixa que vamos estudar ilustra uma série uniforme de N pagamentos iguais a P
(utilizaremos a letra P, pois na calculadora financeira HP-12C esses pagamentos são denominados
PMT - Periodic Payment Amount (valor do pagamento periódico, em inglês).
3.1 ELEMENTOS DE UMA SÉRIE UNIFORME
• Intervalo de tempo de pagamento: é o intervalo de tempo entre dois pagamentos.
• Anuidade ou Renda: é o valor de cada pagamento efetuado em intervalos de tempos iguais.
3.2 CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES UNIFORMES
• Rendas Temporárias: Número de pagamentos finito.
• Perpétuas: Número de pagamentos infinito.
• Antecipadas: Pagamentos efetuados no início de cada período (no ato do negócio).
• Postecipadas: Pagamentos efetuados no final de cada período (um período após a
negociação do negócio).
• Imediata: Quando o primeiro pagamento é efetuado no primeiro período.
• Diferida: Quando houver carência para o pagamento da primeira anuidade.
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3.3 REPRESENTAÇÃO EM FLUXO DE CAIXA
O modelo que estudaremos como padrão será o de renda temporária, imediata e postecipada.
Eis o fluxo de caixa correspondente.
3.4 VALOR FUTURO OU MONTANTE DE UMA RENDA CERTA (F)
Para calcular o montante de uma renda certa, devemos efetuar o transporte de todas as quantias
para a data n. Lembre-se que para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (𝟏 + 𝒊)𝒏.
𝐹 = 𝑃 + 𝑃 ∙ (1 + 𝑖) + 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)< + 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)? + ⋯+ 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)6U<
𝐹 = 𝑃 ∙ [1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)< + (1 + 𝑖)? + ⋯+ (1 + 𝑖)6U<]
A expressão dentro dos colchetes é a soma de uma Progressão Geométrica tal que:
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è O primeiro termo é igual a 1.
è A razão é igual a (𝟏 + 𝒊)𝒏
Devemos aplicar a fórmula da soma de uma P.G. finita.
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏 ∙ (𝒒𝒏 − 𝟏)
𝒒 − 𝟏
1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)< + (1 + 𝑖)? + ⋯+ (1 + 𝑖)6U< =
1 ∙ ((1 + 𝑖)6 − 1)
(1 + 𝑖) − 1
1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)< + (1 + 𝑖)? + ⋯+ (1 + 𝑖)6U< =
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖
Assim,
𝐹 = 𝑃 ∙ [1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)< + (1 + 𝑖)? + ⋯+ (1 + 𝑖)6U<]
𝐹 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖
Não se preocupe com a demonstração desta fórmula. Apenas guarde o resultado.
O número (<cd)
eU<
d
é denominado fator de valor futuro de séries uniformes ou fator de
acumulação de capitais em uma série de pagamentos.
O número (<cd)
eU<
d
é representado por 𝑠6¬d 𝑜𝑢 𝑠(𝑛, 𝑖).
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor futuro em rendas certas:
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𝐹 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖 𝑜𝑢 𝐹 = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
3.5 VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE DE UMA RENDA CERTA (A)
Para calcular o Valor Atual ou Presente de uma renda certa basta efetuar o transporte do valor
futuro F para a data 0.
Para calcular o valor atual, basta transportar cada uma das prestações P para a data 0.
𝐴 =
𝑃
(1 + 𝑖)< +
𝑃
(1 + 𝑖)? +
𝑃
(1 + 𝑖)L + ⋯+
𝑃
(1 + 𝑖)6
𝐴 = 𝑃 ∙ i
1
(1 + 𝑖)< +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)L + ⋯+
1
(1 + 𝑖)6j
Entretanto, há uma maneira bem legal de chegar em uma fórmula mais simples, visto que já temos
uma fórmula desenvolvida para F.
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
(1 )ni+
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𝐴 =
𝐹
(1 + 𝑖)6
𝐴 = 𝐹 ∙
1
(1 + 𝑖)6
𝐴 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖 ∙
1
(1 + 𝑖)6
𝐴 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)6
O número (<cd)
eU<
(<cd)e∙d
é denominado fator de valor atual de séries uniformes ou simplesmente fator
de valor atual.
O número (<cd)
eU<
(<cd)e∙d
é representado por 𝑎6¬d 𝑜𝑢 𝑎(𝑛, 𝑖).
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor atual em rendas certas:
𝐴 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)6 = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d
Fazendo algumas manipulações algébricas, é possível reescrever a fórmula acima da seguinte
maneira:
𝐴 = 𝑃 ∙
1 − (1 + 𝑖)U6
𝑖
Utilizaremos esta segunda forma quando a questão fornecer potências com expoente negativo.
Quando queremos calcular o valor da prestação em função do valor atual, teremos:
𝐴 = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d
𝑃 =
𝐴
𝑎6¬d
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𝑃 = 𝐴 ∙
1
𝑎6¬d
O número 𝟏
𝒂𝒏¬𝒊
é chamado de Fator de Recuperação do Capital.
Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante
doze meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo.
Quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos
de 2% ao mês? Considere 𝑠<?¬?% = 13,412090.
a) R$ 7.455,96
b) R$ 7.600,00
c) R$ 7.982,12
d) R$ 8.270,45
e) R$ 9.000,00
Resolução
O objetivo desta questão é calcular a prestação de uma série uniforme de pagamentos de
forma que o montante seja R$ 100.000,00.
𝐹 = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
Serão 12 prestações (𝑛 = 12) e a taxa de juros compostos é igual a 2% ao mês.
100.000 = 𝑃 ∙ 𝑠<?¬?%
𝑃 =
100.000
𝑠<?¬?%
De acordo com a tabela fornecida na prova, 𝑠<?¬?% = 13,412090.
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𝑃 =
100.000
13,412090 = 7.455,96
Gabarito: A
Depositando R$ 20.000,00 no início de cada ano, durante 10 anos, à taxa de juros compostos
de 10% ao ano, obtém-se, na data do último depósito, um montante igual ao gerado por uma
aplicação de valor único feita no início do primeiro ano à taxa de juros compostos de 25% ao
ano, durante doze meses. Desprezando-se os centavos, o valor da aplicação de valor único é
de
a) R$ 217.272,00
b) R$ 231.816,00
c) R$ 254.998,00
d) R$ 271.590,00
e) R$ 289.770,00
Observação: Considere 𝑠<X¬<X% = 15,9374
Resolução
O montante ou valor futuro da série de pagamentos é dado por:
𝐹 = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
𝐹 = 20.000 ∙ 𝑠<X¬<X%
𝐹 = 20.000 ∙ 15,9374 = 318.748,00
Queremos determinar o capital C tal que:
𝐶 ∙ (1 + 𝑖)6 = 318.748
A taxa é de 25% ao ano e será aplicado durante 12 meses (1 ano).
𝐶 ∙ (1 + 0,25)< = 318.748
𝐶 ∙ 1,25 = 318.748
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119
𝐶 = 254.998,00
Gabarito: C
Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o
primeiro pagamento ao fim de um mês por outra anuidade equivalente de dezesseis
pagamentos vencendo também o primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor
mais próximo do valor do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de
juros compostos de 3% ao mês.
Considere 𝑎k¬L% = 7,019692 𝑒 𝑎<Y¬L% = 12,561102.
a) R$ 500,00
b) R$ 535,00
c) R$ 542,00
d) R$ 559,00
e) R$ 588,00
Resolução
Já que as duas anuidades são equivalentes, então os valores atuais são iguais.
𝐴< = 𝐴?
𝑃< ∙ 𝑎k¬L% = 𝑃? ∙ 𝑎<Y¬L%
1.000 ∙ 7,019692 = 𝑃? ∙ 12,561102
𝑃? =
1.000 ∙ 7,019692
12,561102 ≅ 558,84
Gabarito: D
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119
Um investidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada ano em um banco que remunera os
depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar
o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é
igual a
a) R$ 52.800,00
b) R$ 52.246,00
c) R$ 55.692,00
d) R$ 61.261,20
e) R$ 63.888,00
Resolução
O objetivo é calcular o valor futuro (montante) de uma série de 4 depósitos.
𝐹 = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
𝐹 = 12.000 ∙ 𝑠l¬<X% (𝑣𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑛𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑎𝑢𝑙𝑎)
𝐹 = 12.000 ∙ 4,641 = 55.692,00
Gabarito: C
Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de
valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será
feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando uma taxa de
juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate
foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a
a) R$ 10.000,00
b) R$ 10.500,00
c) R$ 11.000,00
d) R$ 11.500,00
e) R$ 12.000,00
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119
Observe que os pagamentos são efetuados no início de cada ano. Assim, devemos
transportar o montante que se encontra três anos após a data do primeiro pagamento para o
ano 2. Para isso, devemos dividir o valor do montante por (1 + 𝑖)<. Devemos efetuar esse
transporte porque a exigência do nosso modelo é de que o montante seja calculado na data
do último pagamento.
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 2 =
43.692
1,10 = 39.720
O montante da série de pagamentos na data 2 é R$ 39.720,00.
𝐹 = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
39.720 = 𝑃 ∙ 𝑠L¬<X%
𝑃 =
39.720
𝑠L¬<X%
=
39.720
3,31 = 12.000
Gabarito: E
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Uma série de doze valores monetários relativos ao fim de cada um de doze períodos de
tempo representa o fluxo de caixa esperado de uma alternativa de investimento.
Considerando que o valor atual desse fluxo de caixa no início do primeiro período é de R$
30.000,00, calcule o valor futuro desse fluxo ao fim do décimo segundo período,
considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao período. (Despreze os centavos)
a) R$ 94.152,00
b) R$ 85.593,00
c) R$ 77.812,00
d) R$ 70.738,00
e) R$ 66.000,00
Resolução
Utilizaremos para resolver esta questão o mesmo raciocínio que foi feito na demonstração da
fórmula para o valor atual em uma série uniforme de pagamentos. Foi dado o valor atual da
série e para calcular o valor futuro devemos efetuar o transporte deste valor para a data do
último pagamento. Lembre-se que para avançar uma quantia para o futuro devemos
multiplicar seu valor por (1 + 𝑖)6.
Dessa forma:
𝐹 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖)<?
𝐹 = 30.000 ∙ (1 + 0,10)<? = 94.152,00
Gabarito: A
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A quantia de R$ 1.000,00 é aplicada mensalmente durante seis meses; a quantia de R$
2.000,00 é aplicada mensalmente durante os seis meses seguintes e, finalmente, a quantia de
R$ 3.000,00 é aplicada mensalmente durante mais seis meses. Qual o valor mais próximo do
montante das aplicações ao fim dos dezoito meses de prazo, considerando que as aplicações
foram sempre realizadas ao fim de cada mês e renderam uma taxa de juros compostos de 4%
ao mês?
a) R$ 41.040,00
b) R$ 47.304,00
c) R$ 51.291,00
d) R$ 60.000,00
e) R$ 72.000,00
Resolução
Segue abaixo o fluxo de caixa que representa o enunciado
Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00
mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis
meses.
Ora, este conjunto de aplicações não se encaixa no modelo de rendas certas que tratamos na
exposição teórica porque os pagamentos não possuem os mesmos valores. Devemos,
portanto, efetuar alguns ajustes para poder aplicar as fórmulas de anuidades.
Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos
de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
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Observe o terceiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de
R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
O fluxo de caixa tomará a seguinte forma:
Dessa forma, teremos três anuidades:
i) 18 pagamentos de R$ 1.000,00
𝐹< = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
𝐹< = 1.000 ∙ 𝑠<k¬l% = 1.000 ∙ 25,645413 = 25.645,41
ii) 12 pagamentos de R$ 1.000,00
𝐹? = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
𝐹? = 1.000 ∙ 𝑠<?¬l% = 1.000 ∙ 15,025805 = 15.025,80
iii) 6 pagamentos de R$ 1.000,00
𝐹L = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
𝐹L = 1.000 ∙ 𝑠Y¬l% = 1.000 ∙ 6,632975 = 6.632,97
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Assim, o valor futuro total é dado por:
𝐹 = 𝐹< + 𝐹? + 𝐹L
𝐹 = 25.645,41 + 15.025,80 + 6.632,97 = 47.304,18
Gabarito: B
Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de
pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$
3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada
pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é
de 4% ao período.
a) R$ 33.448,00
b) R$ 31.168,00
c) R$ 29.124,00
d) R$ 27.286,00
e) R$ 25.628,00
Resolução
Eis o fluxo de caixa do problema.
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Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 3.000,00 durante seis períodos, R$ 2.000,00
mensalmente durante os seis períodos seguintes e R$ 1.000,00 mensalmente durante mais
seis períodos.
Ora, este conjunto de aplicações não se encaixa no modelo de rendas certas que tratamos na
exposição teórica porque os pagamentos não possuem os mesmos valores. Devemos,
portanto, efetuar alguns ajustes para poder aplicar as fórmulas de anuidades.
Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos
de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
Observe o primeiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos
de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00
O fluxo de caixa tomará a seguinte forma:
Dessa forma, teremos três anuidades:
i) 18 pagamentos de R$ 1.000,00
𝐴< = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d
𝐴< = 1.000 ∙ 𝑎<k¬l% = 1.000 ∙ 12,659297 = 12.659,30
ii) 12 pagamentos de R$ 1.000,00
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𝐴? = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d
𝐴? = 1.000 ∙ 𝑎<?¬l% = 1.000 ∙ 9,385074 = 9.385,07
iii) 6 pagamentos de R$ 1.000,00
𝐴L = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d
𝐴L = 1.000 ∙ 𝑎Y¬l% = 1.000 ∙ 5,242137 = 5.242,14
Assim, o valor atual total é dado por:
𝐴 = 𝐴< + 𝐴? + 𝐴L
𝐴 = 12.659,30 + 9.385,07 + 5.242,14 = 27.286,51
Gabarito: D
Abaixo encontram-se valores de uma tabela de fator de valor presente de séries uniformes de
pagamento, na qual n é o número de prestações mensais e i a taxa de juros.
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Um indivíduo comprou uma geladeira em 4 prestações mensais, sucessivas e uniformes, no
valor de R$ 500 cada, com a 1ª prestação a ser paga no ato, formando uma série uniforme de
pagamentos antecipada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês, o valor presente da
geladeira é
a) R$ 2.000,00
b) R$ 1.858,55
c) R$ 1.895,43
d) R$ 1.914,30
e) R$ 1.654,80
Resolução
O ideal é que com a prática você não precise ficar desenhando o fluxo de caixa todas as
vezes. Com a prática, você fará o diagrama apenas de fluxos mais complicados.
Devemos projetar para o presente apenas as três últimas prestações, pois a primeira já se
encontra na data 0 (1ª paga no ato).
𝐴 = 500 + 500 ∙ 𝑎6¬d = 500 + 500 ∙ 𝑎L¬L% = 500 + 500 ∙ 2,8286 = 1.914,30
Gabarito: D
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4. RENDAS CERTAS PERPÉTUAS OU PERPETUIDADES
Neste caso, o número de pagamentos P tende ao infinito.
Observe que não há sentido em falar no Valor Futuro de uma perpetuidade, visto que este valor
tende ao infinito.
Para calcular o valor atual de uma perpetuidade, devemos transportar todos os valores para a
data 0.
𝐴 =
𝑃
1 + 𝑖 +
𝑃
(1 + 𝑖)? +
𝑃
(1 + 𝑖)? +
𝑃
(1 + 𝑖)L + ⋯
𝐴 = 𝑃 ∙ i
1
1 + 𝑖 +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)L + ⋯ j
A expressão dentro dos colchetes do segundo membro constitui a soma de uma progressão
geométrica infinita com:
i) Primeiro termo: <
<cd
ii) Razão: <
<cd
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Vimos que se (𝑎<, 𝑎?, 𝑎L, … , 𝑎6, … ) é uma P.G. com razão −1 < 𝑞 < 1, então:
𝑆 = 𝑎< + 𝑎? + ⋯+ 𝑎6 +⋯ =
𝑎<
1 − 𝑞
Assim,
𝑆 =
1
1 + 𝑖 +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)L + ⋯
𝑆 =
1
1 + 𝑖
1 − 11 + 𝑖
=
1
1 + 𝑖
1 + 𝑖 − 1
1 + 𝑖
=
1
1 + 𝑖
𝑖
1 + 𝑖
=
1
1 + 𝑖 ∙
1 + 𝑖
𝑖 =
1
𝑖
Temos então:
𝐴 = 𝑃 ∙ i
1
1 + 𝑖 +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)L + ⋯ j
𝐴 = 𝑃 ∙ 𝑆
𝑨 =
𝑷
𝒊
Não se preocupe muito com o passo a passo da dedução desta fórmula, ok?
É muito fácil entender o resultado final. Imagine que você aplicou R$ 10.000,00. Assim, o valor
atual A é igual a 10.000.
Se você consegue aplicar este dinheiro a uma taxa de 10% ao mês, então todo mês você consegue
sacar P = 0,10 x 10.000 = 1.000 reais e o dinheiro aplicado nunca será mexido. Você pode
eternamente sacar 1.000 reais do seu banco.
Assim, a prestação que você pode sacar é o produto do valor aplicado pela taxa, ou seja:
𝑃 = 𝑖 ∙ 𝐴
Vamos a um caso particular deste assunto que raramente cai em provas.
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Aquela renda perpétua P é sem crescimento, pois todas as prestações são iguais, ou seja, são
constantes.
Suponha agora que você queira que as prestações, que no caso que acabamos de estudar eram
constantes, cresçam a uma taxa g (growth = crescimento).
Assim, se a primeira prestação é de P, as seguintes serão 𝑃(1 + 𝑔), 𝑃(1 + 𝑔)?, e assim por diante.
O valor presente será:
𝐴 =
𝑃
1 + 𝑖 +
𝑃(1 + 𝑔)
(1 + 𝑖)? +
𝑃(1 + 𝑔)?
(1 + 𝑖)L +
𝑃(1 + 𝑔)L
(1 + 𝑖)l + ⋯
Temos novamente uma PG infinita tal que:
- o primeiro termo é P/(1+i)
- a razão é (1+g)/(1+i)
Vamos aplicar a fórmula da soma da PG infinita.
𝐴 =
𝑎<
1 − 𝑞 =
𝑃
1 + 𝑖
1 − 1 + 𝑔1 + 𝑖
=
𝑃
1 + 𝑖
1 + 𝑖 − 1 − 𝑔
1 + 𝑖
=
𝑃
1 + 𝑖
𝑖 − 𝑔
1 + 𝑖
=
𝑃
1 + 𝑖 ∙
1 + 𝑖
𝑖 − 𝑔 =
𝑃
𝑖 − 𝑔
𝐴 =
𝑃
𝑖 − 𝑔
Que é a fórmula do valor atual de uma renda perpétua crescente.
Assim, se a renda for com crescimento, devemos dividir o primeiro fluxo pela diferença entre a
taxa de desconto e a taxa de crescimento. Lembre-se que sempre a taxa de crescimento tem que
ser menor que a taxa de desconto.
Aqui você também não precisa se preocupar com a demonstração desta fórmula, ok?
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Um indivíduo recebeu como herança um título perpétuo que paga R$ 2.000 por trimestre.
Esse indivíduo quer vender o título. Sabendo que a taxa de juros semestral, juros compostos,
é de 44%, o valor presente de venda desse título é
a) R$ 2.880,00
b) R$ 4.545,45
c) R$ 10.000,00
d) R$ 16.547,85
e) R$50.000,00
Resolução
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O
valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como
𝐴 =
𝑃
𝑖
Onde P é o valor da perpetuidade.
Devemos calcular a taxa trimestral equivalente à taxa semestral de 44%. Lembrando que um
semestre é composto por 2 trimestres,
(1 + 𝑖v)? = (1 + 𝑖w)<
(1 + 𝑖v)? = 1,44
1 + 𝑖v = 1,2
𝑖v = 0,20 𝑎𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
Dessa forma, o valor presente (atual) é dado por
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𝐴 =
2.000
0,2 = 10.000,00
Gabarito: C
Antônio possui um investimento que dá uma renda líquida de 0,6% ao mês (no sistema de
juros compostos) e deseja dar à sua filha uma renda mensal perpétua de R$ 450,00. A quantia
que Antônio deve investir para que sua filha tenha essa renda é de:
a) R$ 45.000,00
b) R$ 27.000,00
c) R$ 54.000,00
d) R$ 72.000,00
e) R$ 75.000,00
Resolução
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O
valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como
𝐴 =
𝑃
𝑖
Onde P é o valor da perpetuidade.
A quantia que Antônio deve investir é o valor presente da perpetuidade.
𝐴 =
450
0,006 = 75.000,00
Gabarito: E
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Um indivíduo comprou um título perpétuo que paga R$ 500,00 por semestre. Sabendo que a
taxa de juros anual, juros compostos, é de 21%, o valor presente desse título é:
a) R$ 4.761,90.
b) R$ 5.000,00.
c) R$ 6.857,25.
d) R$ 7.500,00.
e) R$ 25.000,00.
Resolução
Devemos calcular a taxa trimestral equivalente à taxa semestral de 44%. Lembrando que um
semestre é composto por 2 trimestres,
(1 + iz)? = (1 + i{)<
(1 + iz)? = 1,21
1 + iz = 1,1
i| = 0,10 ao semestre
Dessa forma, o valor presente é dado por
VP =
A
i =
500
0,1 = 5.000,00
Gabarito: B
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==132685==
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(FGV 2015/SMF-Niterói)
Para usufruir perpetuamente R$ 2.000,00 por mês, reajustados mensalmente a uma taxa de
6%, o valor da renda um mês antes do primeiro pagamento, supondo taxa de juros de 10% ao
mês, é, em reais:
a) 12.500;
b) 20.000;
c) 22.000;
d) 50.000;
e) 55.000.
Resolução
Este é o caso da renda perpétua com crescimento. Vamos calcular o valor atual.
𝐴 =
𝑃
𝑖 − 𝑔 =
2.000
0,10 − 0,06 =
2.000
0,04 = 50.000
Gabarito: D
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5. PROBLEMAS ENVOLVENDO RENDAS DIFERIDAS
O modelo que estudamos como padrão foi o de renda temporária, imediata e postecipada.
Eis o fluxo de caixa correspondente.
Há casos em que o problema trabalha com a renda diferida, ou seja, quando houver carência para
o pagamento da primeira anuidade.
É comum aparecer a seguinte situação: “Compre agora a sua televisão e pague a primeira
prestação só depois do Natal!!”.
A loja faz isso porque ela gosta de você? É óbvio que não. Neste período de carência (a carência é a
diferença entre hoje e a data do primeiro pagamento) você pagará juros. Neste tópico
colocaremos a “solução” para esses tipos de problemas.
No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imóvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$
20.000,00. A primeira parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10
dos meses subsequentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 4% ao mês. Assim, o valor
financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de:
a) R$ 155.978,00
b) R$ 155.897,00
c) R$ 162.217,00
d) R$ 189.250,00
e) R$ 178.150,00
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Resolução
Vamos construir o fluxo de caixa. Dia 10 de setembro será a data zero. Dia 10 de outubro será a
data 1 e assim por diante.
O primeiro pagamento ocorre em 10 de novembro, que é a data 2.
O fluxo de caixa original está representado pelas setas vermelhas. Vamos usar a tabela II para
achar o valor do fluxo de caixa na data 1 (seta verde). Lembrem-se que, com a tabela II,
conseguimos trazer todo o fluxo de caixa para um período antes do primeiro pagamento.
Vamos consultar a tabela II para n = 10 (porque são dez pagamentos) e i = 4%.
O valor obtido é de aproximadamente 8,1109
Portanto, o valor do fluxo de caixa na data 1 é:
(valor aproximado)
inaPS ¬´=
218.1621109,8000.20 =´=S
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Vamos agora pegar este valor e transportar para a data zero. Estamos voltando 1 mês na linha do
tempo. Haverá um desconto.
Estamos trocando a seta verde, referente à data 1, correspondente a R$ 162.218, por um valor
referente à data zero. Este valor será igual ao valor financiado.
E podemos usar a tabela II para transformar esta divisão em uma multiplicação. É como se
tivéssemos uma série de 1 pagamento. E queremos transportar toda esta série para um período
antes do primeiro (e único) pagamento. Basta usar o fator de valor atual para n=1 e i = 4%.
Consultando a tabela II:
Portanto:
Gabarito: A
Esta solução, apesar de válida, é um pouco demorada, pois exige duas multiplicações, sendo que a
segunda foi meio “chata” de fazer, pois envolveu números mais complicados.
Uma outra ideia, que diminui as contas, é a que segue.
No fluxo de caixa original, podemos “criar” um pagamento adicional, referente à data 1. Vejam:
ni
NA
)1( +
=
1)04,01(
218.162
+
=A
9615,0
04,1
1
=
988.1559615,0218.162
)04,01(
218.162
1 =´=+
=A
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Mas, para não alterarmos o fluxo de caixa, devemos criar, na mesma data 1, um recebimento de
20.000,00, para cancelar o pagamento acrescentado. Vou representar o recebimento com uma
seta azul para cima, para diferenciar dos pagamentos.
Não existe regra para representar as setas no diagrama. O diagrama de fluxo de caixa é só uma
ferramenta, você usa do jeito que preferir. O importante é que você seja organizado, e mantenha
um padrão do início ao fim. Neste desenho, estou representando os pagamentos com setas
vermelhas para baixo e o recebimento com seta azul para cima. Ok?
Para transportar todos os pagamentos (setas vermelhas) para a data zero, devemos consultar a
tabela II para n = 11 e i = 4%.
Com isso, o valor dos doze pagamentos, na data zero, fica:
Mas ainda falta transportar o recebimento de 20.000. Recebimentos e pagamentos devem ter
sinais opostos. Como usei o sinal “+” para os pagamentos, vou usar “–” para os recebimentos.
Para transportar 20.000 da data 1 para a data 0, devemos dividir por (1 + 𝑖)6.
−
20.000
(1 + 0,04)<
Outra opção para efetuar o transporte de 20.000 para a data 0:
Temos uma série de 1 recebimento e queremos transportá-la para um período antes do primeiro
(e único) recebimento. Basta consultar a tabela II para n=1 e i=4%.
O valor do recebimento, na data zero, é de:
Com isso, o valor do fluxode caixa na data zero será de
=
760,8760477,8%4,11 @=a
760,8000.20 ´
962,0961538,0%4,1 @=a
962,0000.20 ´-
76,8000.20 ´ 962,0000.20 ´-
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=
=
= 155.960
Esta segunda solução é muito melhor. Ficamos com apenas uma multiplicação, que é bem
tranquila. Isto porque multiplicar por 20.000 é fácil. Basta dobrar o número e andar 4 casas com a
vírgula.
Este fato inclusive ajuda a achar a resposta com exatidão. Como a multiplicação é fácil, nem
precisaríamos ter aproximado. Bastaria fazer:
= 7,798939
= 155.978,78
Um financiamento no valor de R$ 10.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 24% ao ano para
ser amortizado em doze prestações semestrais iguais vencendo a primeira prestação seis
meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros
semestrais devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Desprezando os
centavos, calcule a prestação semestral do financiamento.
a) R$ 1.614,00
b) R$ 2.540,00
c) R$ 3.210,00
d) R$ 3.176,00
e) R$ 3.827,00
Resolução
Antes de começarmos a resolver o problema temos que achar a taxa efetiva.
)962,076,8(000.20 -´
798,7000.20 ´
)961538,0760477,8(000.20 -´
´000.20
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A taxa de 24% ao ano é apenas nominal. O exercício não disse expressamente que o período
de capitalização é semestral. Ele apenas deixa isso meio que implícito. Na minha opinião, não
custava nada deixar isso bem claro.
Para calcular a taxa semestral efetiva, basta dividir a taxa nominal anual por 2.
𝑖 =
24%
2 = 12% 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
Agora vamos realmente à questão.
Vou fazer direto a resolução mais rápida, nos moldes do que vimos no exercício anterior. Vou
usar aquele atalho que “cria pagamentos”.
Vamos colocar datas para ficar mais fácil visualizar o problema. O financiamento foi feito em
01/01/2003. Esta é a data zero.
Em 01/07/2003 temos a data 1.
Em 01/01/2004 temos a data 2.
Em 01/07/2004 temos a data 3.
Em 01/01/2005 temos a data 4. E aqui termina o período de carência. O primeiro pagamento
é feito seis meses após esta data.
Em 01/07/2005 temos a data 5, quando é feito o primeiro pagamento.
Estes pagamentos “reais” serão representados por setas vermelhas.
Em verde temos os pagamentos “criados”.
E o fluxo de caixa fica assim (a unidade de tempo está em semestres):
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Queremos trazer todo este fluxo de caixa para a data zero.
Temos 16 pagamentos (12 reais e 4 criados). Usando a tabela II, conseguimos transportar
todo este fluxo de caixa para a data zero, um período antes do primeiro pagamento.
Da tabela II, temos:
Logo, o valor do fluxo de caixa, na data zero, é de:
Mas ainda precisamos excluir o valor referente aos quatro pagamentos criados.
Vamos ver qual o valor atual destes 4 pagamentos. Para tanto, basta consultar a tabela II,
para n= 4 e i = 12%.
O valor dos pagamentos “criados” (setas verdes), quando transportados para a data zero, é
de:
𝑋 ∙ 3,037349
Portanto, o valor atual do fluxo de caixa original (ou seja, que contempla apenas os 12
pagamentos em vermelho) é de:
𝑋 ∙ (6,973986 − 3,037349) = 3,936635𝑋
E nós sabemos que o valor do financiamento é de R$ 10.000,00.
973986,6%12,16 =a
973986,6´X
037349,3%124 =¬a
936635,3
000.10000.10936635,3 =Þ= XX
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Como o denominador é um pouquinho menor que 4, então a fração será um pouquinho
maior que 2.500. Com isso já dá para marcar a letra B.
Gabarito: B
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6. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES
01. (FCC 2019/AFAP – Economista)
O resultado mais próximo do valor presente de um fluxo de caixa uniforme com 5 termos positivos
de R$ 2.000,00, descontado a uma taxa de 2% ao mês, é de R$
a) 9.400,00.
b) 8.900,00.
c) 9.700,00.
d) 9.600,00.
e) 9.000,00.
02. (FCC 2018/ALE-SE)
A Cia. Construtora adquiriu um terreno para ser pago em 5 parcelas iguais de R$ 10.000,00,
vencíveis em 30, 60, 90, 120 e 150 dias, respectivamente. Ao pagar a terceira parcela, a Cia.
verificou que possuía condições financeiras para quitar as duas parcelas restantes.
Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pela instituição financeira era de 4% ao mês, a
equação que indica o valor que a Cia. deveria desembolsar para quitar o terreno, após pagar a
terceira parcela e na data de vencimento desta, é
a) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = <X.XXX
(<,Xl)
+ <X.XXX
(<,Xl)�
b) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = ?X.XXX
(<,Xl)�
c) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = ?X.XXX
(<,Xk)
d) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = 10.000 + <X.XXX
(<,Xl)
e) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = <X.XXX
(<,Xl)
+ <X.XXX
<,Xk
03. (FCC 2018/SEGEP-MA)
Para adquirir um lote de mercadorias, uma empresa obteve um empréstimo para ser pago em 5
parcelas mensais e iguais, cujo valor é R$ 20.000,00. A primeira parcela venceu 30 dias após a data
de obtenção do empréstimo e as parcelas subsequentes a cada 30 dias. Na data de vencimento da
terceira parcela, e antes do seu pagamento, a empresa optou pelo pagamento das 3 parcelas que
faltavam ser pagas para a liquidação do empréstimo. Se a taxa de juros compostos negociada na
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data da obtenção do empréstimo foi 2% a.m., o valor que a empresa desembolsou para fazer a
liquidação foi, em reais,
a) 58.838,61.
b) 60.000,00.
c) 58.800,00.
d) 58.831,22.
e) 56.539,34.
04. (FCC 2018/SEGEP-MA)
Uma empresa obteve um empréstimo à taxa de juros compostos de 2% ao mês e ainda restam
duas parcelas trimestrais de mesmo valor para sua liquidação. O valor de cada parcela é R$
30.000,00 e a primeira das duas parcelas vencerá em 90 dias. A empresa pretende alterar a forma
de pagamento, mantendo a mesma taxa de juros, e propõe à instituição financeira a liquidação da
seguinte forma:
− Uma parcela de R$ 25.000,00, na data de hoje.
− Uma parcela complementar, daqui a 60 dias.
A equação que permite calcular corretamente o valor da parcela complementar identificada pela
incógnita x, é
a) 25.000(1,02)? + 𝑥 = LX.XXX
<,X?
+ LX.XXX
(<,X?)�
b) 25.000 + 𝑥 = LX.XXX
(<,X?)�
+ LX.XXX
(<,X?)�
c) 𝑥 = LX.XXX
(<,X?)�
+ LX.XXX
(<,X?)�
− 25.000
d) 25.000 + �
<,X?
= LX.XXX
(<,X?)�
+ LX.XXX
(<,X?)�
e) 𝑥(1,02)? = LX.XXX
<,X?
+ LX.XXX
(<,X?)�
− 25.000
05. (FCC 2018/SEGEP-MA)
A Cia. Devedora adquiriu umimóvel para ser pago em 4 prestações iguais de R$ 30.000,00,
vencíveis em 30, 60, 120 e 180 dias, respectivamente. A taxa de juros composta cobrada foi de 3%
ao mês. Se a Cia. Devedora desejasse comprar o imóvel à vista, a equação que permite identificar o
valor que a Cia. desembolsaria, identificado pela variável x, é
a) 𝑥 = LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
b) 𝑥 = <?X.XXX
(<,XL)�
c) 𝑥 = LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
d) 𝑥 = 30.000 + LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
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e) 𝑥 = LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
<,XY
+ LX.XXX
<,<?
+ LX.XXX
<,<k
06. (FCC 2018/SEGEP-MA)
Uma empresa obteve um empréstimo no passado à taxa de juros compostos de 3% ao mês e ainda
resta uma parcela para sua liquidação. O valor da parcela é R$ 40.000,00 e vencerá em 90 dias. A
empresa pretende alterar a forma de pagamento, mantendo a mesma taxa de juros, e propõe à
instituição financeira a liquidação da seguinte forma:
− Uma parcela de R$ 15.000,00 na data de hoje.
− Uma parcela complementar daqui a 60 dias.
O valor da parcela complementar deve ser, em reais,
a) 21.605,67.
b) 25.000,00.
c) 26.522,50.
d) 22.921,45.
e) 22.348,17.
Resolução
07. (FCC 2018/TCE-RS)
A Cia. Copas obteve um empréstimo à taxa de juros compostos de 3% ao mês e restam três
parcelas trimestrais de mesmo valor para sua liquidação. O valor de cada parcela é R$ 40.000,00 e
a primeiras das três parcelas vencerá em 90 dias. A Cia. Copas quer alterar a forma de pagamento,
mantendo a mesma taxa de juros compostos, e propõe à instituição financeira a liquidação da
seguinte forma:
− Uma parcela de R$ 40.000,00 daqui a 60 dias.
− Uma parcela complementar daqui a 120 dias.
A equação que indica corretamente o valor da parcela complementar, indicada por X, que a Cia.
Copas precisará pagar é
a) 40.000 + 𝑋 = 40.000 × (1,03) + lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
b) 40.000 × (1,03)? + 𝑋 = 40.000 × (1,03) + lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
c) 40.000 × (1,03)l + 𝑋 = 40.000 × (1,03) + lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
d) 40.000 + �
(<,XL)�
= lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
e) 40.000 × (1,03)? + �
(<,XL)�
= lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
08. (FCC 2018/TCE-RS)
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Determinada empresa adquiriu um terreno para ser pago em 4 prestações iguais no valor de R$
60.000,00. A primeira parcela vencia após 30 dias, a segunda após 90 dias, a terceira após 180 dias
e a quarta após 210 dias, com estes prazos contados sempre a partir da data da compra. A taxa de
juros compostos cobrada foi 8% ao trimestre.
Se a empresa desejasse comprar o terreno à vista, a equação que permite calcular o valor (X) que a
empresa deveria desembolsar é
a) 𝑋 = YX.XXX
<c�,���
+ YX.XXX
(<,Xk)
+ YX.XXX
(<cX,Xk×?)
+ YX.XXX
�<cX,Xk���
b) 𝑋 = YX.XXX
(<,Xk)
+ YX.XXX
(<,Xk)�
+ YX.XXX
(<,Xk)�
+ YX.XXX
(<,Xk)�
c) 𝑋 = YX.XXX
(<,Xk)
�
�
+ YX.XXX
(<.Xk)
+ YX.XXX
<,Xk�
+ YX.XXX
(<,Xk)
�
�
d) 𝑋 = ?lX.XXX
(<,Xk)�/�
e) 𝑋 = YX.XXX
<,Xk
+ YX.XXX
<,?l
+ YX.XXX
<,lk
+ YX.XXX
<,�Y
09. (FCC 2018/SEFAZ-GO)
O preço à vista de um apartamento é R$ 210.000,00. Jorge fez uma proposta ao proprietário para
adquirir esse imóvel pagando o em três parcelas iguais, a primeira à vista, a segunda após 1 ano e a
terceira depois de 2 anos. O proprietário aceitou a proposta, desde que fossem cobrados juros
compostos de 100% ao ano sobre o saldo devedor após o pagamento de cada parcela. Nas
condições impostas pelo proprietário, o valor de cada uma das três parcelas a serem pagas por
Jorge, em reais, deverá ser igual a
a) 120.000,00.
b) 90.000,00.
c) 100.000,00.
d) 70.000,00.
e) 130.000,00.
10. (CESPE 2013/TCU)
Suponha que Fábio tenha decido depositar mensalmente, sempre no dia 2 de cada mês, a quantia
fixa de R$ 360,00 em uma conta que remunera o capital a uma taxa composta de 2% ao mês.
Considerando essa situação hipotética, julgue o item que se segue. Considere que Fábio tenha
feito o primeiro depósito no dia 2 de fevereiro, mas que tenha deixado de depositar os valores
correspondentes aos dias 2 de março e 2 de abril. Se Fábio atualizar os depósitos no dia 2 de maio,
de forma que o montante final corresponda ao valor que deveria constar na conta caso tivessem
sido realizados os dois depósitos não efetuados, então o depósito a ser realizado por Fábio deverá
ser superior a R$ 1.100,00.
11. (CESPE 2009/TCE-AC)
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Uma pessoa comprou um veículo pagando uma entrada, no ato da compra, de R$ 3.500,00, e mais
24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. A primeira prestação foi paga um mês
após a compra e o vendedor cobrou 2,5% de juros compostos ao mês. Considerando 0,55 como
valor aproximado para 1,025U?l, é correto afirmar que o preço à vista, em reais, do veículo foi
A) inferior a 16.800.
B) superior a 16.800 e inferior a 17.300.
C) superior a 17.300 e inferior a 17.800.
D) superior a 17.800 e inferior a 18.300.
E) superior a 18.300.
12. (CESPE 2013/TCU)
Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no
valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo,
terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha
concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a
antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Considere que, no contrato assinado entre a empresa e o órgão público, tenha sido acordado que
o pagamento das quatro parcelas, com valores iguais a R$ 132.000,00, possa, de comum acordo
entre as partes, ser feito ao final dos quatro anos, sendo a taxa composta de juros incidente sobre
as parcelas igual a 1,5% ao mês. Nessa situação, caso houvesse previsão dessa cláusula para o
pagamento das parcelas, e tomando 1,2 como valor aproximado para 1,01512, é correto afirmar
que o pagamento à empresa que seria feito quatro anos após a contratação seria superior a R$
576.000,00.
13. (CESPE 2017/SEDF )
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada, a
respeito de juros, divisão proporcional e regra de três.
Um objeto cujo valor à vista é de R$ 2.100,00 foi comprado para ser pago em duas prestações
mensais, iguais e consecutivas, com a primeira vencendo um mês após a compra. A taxa de juros
compostos do financiamento foi de 10% ao mês.
Nessa situação, cada prestação teve valor inferior a R$ 1.200,00.
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14. (CESPE 2016 /FUNPRESP)
Com relação às anuidades e aos sistemas de amortização,
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