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Aula 10
Raciocínio Lógico-Matemático p/ Banco
do Brasil (Escriturário) Com Videoaulas -
2020
Autores:
Brunno Lima, Guilherme Neves
Aula 10
13 de Março de 2020
Matemática para BNB (Analista Bancário 1)
www.estrategiaconcursos.com.br
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1. Equivalência Composta de Capitais .................................................................................................................. 2
1.1. Capitais Equivalentes ....................................................................................................................................... 3
2. Progressão Geométrica .................................................................................................................................. 20
2.1 Cálculo da razão ............................................................................................................................................ 21
2.2 Termo geral ................................................................................................................................................... 21
3. Séries uniformes ............................................................................................................................................ 24
3.1 Elementos de uma série uniforme ................................................................................................................. 25
3.2 Classificação das séries uniformes ................................................................................................................. 25
3.3 Representação em fluxo de caixa .................................................................................................................. 26
3.4 Valor futuro ou montante de uma renda certa (F) ........................................................................................ 26
3.5 Valor atual ou valor presente de uma renda certa (A) .................................................................................. 28
4. Rendas certas perpétuas ou Perpetuidades ................................................................................................... 42
5. Problemas envolvendo rendas diferidas ........................................................................................................ 49
6. Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 57
7. Gabaritos ....................................................................................................................................................... 72
8. Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 74
9. Tabelas financeiras ...................................................................................................................................... 118
10. Considerações Finais .................................................................................................................................... 119
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Oi, pessoal.
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!!
Vamos começar a nossa aula sobre Equivalência de Capitais?
1. EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS
Tudo em Matemática Financeira gira em torno do conceito de Equivalência de Capitais. Coloque na
sua cabeça que NUNCA podemos comparar dois valores que estão em datas diferentes. O valor do
dinheiro está diretamente associado a uma data.
Imagine, por exemplo, que você tem duas opções para pagar uma televisão.
• Três prestações de R$ 150,00.
• Seis prestações de R$ 80,00.
Nos dois casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Qual a melhor opção de
pagamento?
O leigo em Matemática Financeira raciocinará da seguinte forma:
3 × 150 = 450 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
6 × 80 = 480 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Como R$ 450 < R$ 480, então a primeira opção é mais vantajosa. Este raciocínio está errado!!!
Como falei no início, nunca podemos comparar quantias em épocas diferentes. As prestações são
pagas em épocas distintas, e, portanto, não podem ser comparadas da forma como fizemos.
É aqui que entra a equivalência de capitais. Para que possamos comparar as duas opções de
pagamento, devemos transportar todos os valores para uma mesma data. Esta data é chamada de
data focal.
No regime de capitalização composta, qualquer data pode ser a data focal.
O elemento que efetua o transporte de valores na linha do tempo é a taxa de juros.
Recordemos a fórmula dos juros compostos.
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)6
Esta fórmula é equivalente à fórmula da operação de desconto racional composto.
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖)6
Nesta aula, o valor nominal (montante) será chamado de valor futuro e será representado por F.
O valor atual continuará sendo chamado de valor atual e será representado por A.
Assim, temos:
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𝐹 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖)6
Esta fórmula diz que se tenho um valor atual e quero calcular o valor futuro, devo multiplicar o
valor atual por (1 + 𝑖)6.
Rearranjando a fórmula, temos:
𝐴 =
𝐹
(1 + 𝑖)6
Desta forma, concluímos que se tenho um valor futuro e quero calcular o valor atual, devo dividir o
valor futuro por (1 + 𝑖)6 .
No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar quantias no tempo.
Essa é a fórmula fundamental de equivalência de capitais:
Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por .
Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por .
Ou seja, para avançar um valor para o futuro, multiplicamos por (1 + 𝑖)6.
Para retroceder um valor para o presente, dividimos por (1 + 𝑖)6.
1.1. CAPITAIS EQUIVALENTES
Dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos equivalentes quando,
transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa de juros, produzem, nessa data,
valores iguais.
(1 )ni+
(1 )ni+
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Em juros compostos, se dois conjuntos de capitais são equivalentes em determinada
data focal, então eles também serão equivalentes em qualquer outra data focal.
Assim, para resolver os problemas de equivalência composta de capitais, podemos escolher
qualquer data para ser a data focal.
Exemplo: Se a taxa de juros é de 10% ao mês, então um capital de R$ 55.000,00 na data 3 (mês)
equivale a um capital de R$ 50.000,00 na data 2.
Dizer que estes capitais equivalentes é o mesmo que dizer o seguinte: é indiferente receber 50 mil
reais daqui a 2 meses ou receber 55 mil reais daqui a 3 meses, se a taxa de juros é de 10% ao mês.
Como podemos confirmar este fato?
Ora, não podemos comparar quantias em datas diferentes. Para comparar estes dois valores,
devemos colocá-los em uma mesma data, que é a chamada data focal.
Vamos tomar como data focal a data 3.
O valor de R$ 55.000,00 já está na data 3 e não precisa ser transportado.
Como vamos transportar a quantia de R$ 50.000,00 da data 2 para a data 3?
Como o valor vai para o futuro, devemos multiplicar por (1 + 𝑖)6. A taxa de juros é de 10% e o
tempo é n = 1 (da data 2 para a data 3).
50.000 ∙ (1 + 0,10)< = 55.000
Poderíamos também ter transportadoo valor de R$ 55.000,00 da data 3 para a data 2. Para tanto,
bastaria ter dividido por (1 + 𝑖)6.
55.000
(1 + 0,10)< = 50.000
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Como é mais fácil multiplicar do que dividir, na maioria dos casos colocarei a data focal a data mais
à direita.
Carlos contraiu um empréstimo que deverá ser pago da seguinte forma: dois anos após a
data do fechamento do negócio, R$ 20.000,00; três anos após a data do fechamento do
negócio, R$ 30.000,00. Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros
compostos de 3% ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema.
A quantia que Carlos tomou emprestada está na data 0 (presente). O valor de X reais na data
0 equivale a R$ 20.000,00 daqui a 2 anos (24 meses) mais R$ 30.000,00 daqui a 3 anos (36
meses).
24 36
20.000 30.000
1,03 1,03
+
2 3
20.000 30.000
1,03 1,03
+
2 31,03 20.000 1,03 30.000´ + ´
21,03 20.000 1,03 30.000´ + ´
2,06 20.000 3,09 30.000´ + ´
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E como calcularemos o valor de X?
Obviamente o valor de X não é igual a R$ 50.000,00 (R$ 20.000,00 + R$ 30.000,00). Isso
porque não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Devemos transportar esses
valores na linha do tempo. Para isso, lembre o fato de que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
No nosso caso, estamos interessados em transportar valores do futuro para o presente. Para
isso devemos dividir esses valores por .
Ou seja, R$ 20.000,00 daqui a dois anos valem hoje .
Assim como R$ 30.000,00 daqui a três anos valem hoje .
Dessa forma, .
Gabarito: A
(1 )ni+
(1 )ni+
(1 )ni+
( )24 24
20.000 20.000
1,031 0,03
=
+
( )36 36
30.000 30.000
1,031 0,03
=
+
24 36
20.000 30.000
1,03 1,03
X = +
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Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4
meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a
taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na
resposta.)
a) R$ 2.122,00.
b) R$ 1.922,00.
c) R$ 4.041,00.
d) R$ 3.962,00.
e) R$ 4.880,00.
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema:
Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 3.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
Dessa forma:
𝑋 = 2.000 ∙ (1 + 0,02)? +
2.000
(1 + 0,02)< = 4.041,58
Gabarito: C
(1 )ni+
(1 )ni+
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Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa,
um comprador propõe uma entrada de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma
de R$ 30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A
primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 30.000,00,
vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A
transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a
imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais,
desconsiderando os centavos, será igual a:
a) R$ 35.000,00
b) R$ 27.925,00
c) R$ 32.500,00
d) R$ 39.925,00
e) R$ 35.500,00
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema.
Queremos calcular o valor da prestação X de modo que pagar R$ 85.000,00 hoje seja o
mesmo que pagar (seja equivalente) R$ 15.000,00 hoje, mais X reais daqui a 6 meses, mais R$
30.000,00 daqui a 12 meses, mais X reais daqui a 18 meses.
Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos escolher alguma
data como referência. No regime composto, você pode escolher qualquer data para servir
como referência. Dê preferência à última data (aquela que está na extrema direita do
desenho). Isso porque estamos deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
(1 )ni+
(1 )ni+
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E é fato que preferimos multiplicar por a dividir por . Assim, nossa estratégia
será transportar todos os valores para o futuro.
Temos dois conjuntos de capitais:
- A proposta do comprador (as quatro parcelas).
- A proposta da imobiliária (pagar R$ 85.000,00 a vista).
Utilizaremos como data focal o 18º mês.
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 18º mês.
Para transportar R$ 85.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por .
Para transportar R$ 15.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por
Para transportar X reais (6º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por .
Para transportar R$ 30.000,00 (12º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por .
Não precisamos transportar X reais (18º mês), pois ele já está na data focal.
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:
Estas potências são fornecidas pelas bancas.
(1 )ni+ (1 )ni+
18(1 )i+
18(1 )i+
12(1 )i+
6(1 )i+
18 18 12 685.000 1,04 15.000 1,04 1,04 30.000 1,04X X× = × + × + × +
85.000 2,025816 15.000 2,025816 1,601032 30.000 1,265319X X× = × + × + × +
172.194,36 30.387,24 1,601032 37.959,57X X= + × + +
1,601032 172.194,36 30.387,24 37.959,57X X× + = - -
2,601032 103.847,55X× =
103.847,55
2,601032
X =
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Gabarito: D
Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma
entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um
comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito
meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, sem
considerar os centavos, o valor de entrada deverá ser igual a:
a) R$ 23.455,00
b) R$ 23.250,00
c) R$ 24.580,00
d) R$ 25.455,00
e) R$ 26.580,00
Resolução
Temos o seguinte “desenho” do problema
O problema se resume no seguinte:
Dar uma entrada de X reais e efetuar um pagamento de R$ 17.000,00 daqui a 8 meses é o
mesmo que (é equivalente a) dar uma entrada de R$ 20.000,00 e efetuar um pagamento de
R$ 20.000,00 daqui a 6 meses.
Não podemos comparar quantias em épocasdiferentes. Para isso, devemos escolher alguma
data como referência. No regime composto, você pode escolher qualquer data para servir
como referência. Dê preferência à última data (aquela que está na extrema direita do
desenho). Isso porque estamos deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
E é fato que preferimos multiplicar por a dividir por . Assim, nossa estratégia
será transportar todos os valores para o futuro!
39.925,52X =
(1 )ni+
(1 )ni+
(1 )ni+ (1 )ni+
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Temos dois conjuntos de capitais. Utilizaremos como data focal o 8º mês. Vamos efetuar o
transporte de cada uma dessas quantias para o 8º mês.
Para transportar R$ 20.000,00 (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por .
Para transportar R$ 20.000 (6º mês) para o 8º mês devemos multiplicar por .
Para transportar X reais (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por .
Não precisamos transportar R$ 17.000,00 (8º mês), pois ele já está na data focal.
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:
Gabarito: B
*Não se preocupe. Todas as potências são fornecidas pelas provas.
8(1 )i+
2(1 )i+
8(1 )i+
8 8 21,02 17.000 20.000 1,02 20.000 1,02X × + = × + ×
8 8 21,02 17.000 20.000 1,02 20.000 1,02X × + = × + ×
81,02 17.000 20.000 1,171659 20.000 1,0404X × + = × + ×
81,02 23.433,18 20.808 17.000X × = + -
81,02 27.241,18X × =
23.250,07X =
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Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00
ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de
sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital
equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros
compostos de 4% ao mês.
a) R$ 62.200,00
b) R$ 64.000,00
c) R$ 63.232,00
d) R$ 62.032,00
e) R$ 64.513,28
Resolução
Há duas alternativas de pagamento:
i) Pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta dias (1 mês) e R$ 31.200,00 ao fim
de noventa dias (3 meses).
ii) Pagamento único ao fim de sessenta dias (2 meses).
Eis o desenho da questão:
Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 2.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
(1 )ni+
(1 )ni+
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Dessa forma:
𝑋 = 20.000 ∙ (1 + 0,04)? + 10.000 ∙ (1 + 0,04)< +
31.200
(1 + 0,04)<
𝑋 = 21.632 + 10.400 + 30.000
𝑋 = 62.032,00
Gabarito: D
Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a
um capital de R$ 100.000,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ 110.000,00 que vai
vencer daqui a seis meses?
a) R$ 210.000,00
b) R$ 220.000,00
c) R$ 221.000,00
d) R$ 230.000,00
e) R$ 231.000,00
Resolução
Já que a taxa fornecida é semestral, coloquemos os prazos expressos em semestres.
O primeiro capital venceu há um ano, portanto, 2 semestres.
O segundo capital vencerá daqui a 6 meses, portanto, 1 semestre.
Eis o desenho da questão:
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Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 0.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
Dessa forma:
𝑋 = 100.000 ∙ (1 + 0,10)? +
110.000
(1 + 0,10)<
𝑋 = 121.000 + 100.000
𝑋 = 221.000,00
Gabarito: C
A compra de um equipamento por uma indústria poderá ser feita por uma das duas opções
seguintes: à vista por R$ 41.600,00 ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores
(1 )ni+
(1 )ni+
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iguais, vencendo a primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de
juros compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o valor de
cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na data da compra, as
duas opções é
a) R$ 20.400,00
b) R$ 20.800,00
c) R$ 21.600,00
d) R$ 22.064,00
e) R$ 23.328,00
Resolução
Questão sobre equivalência de capitais.
É sempre importante construir o “desenho” da questão. Ei-lo:
Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos escolher alguma
data como referência. No regime composto, você pode escolher qualquer data para servir
como referência. Dê preferência à última data (aquela que está na extrema direita do
desenho). Isso porque estamos deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
E é fato que preferimos multiplicar por a dividir por . Assim, nossa estratégia
será transportar todos os valores para o futuro.
(1 )ni+
(1 )ni+
(1 )ni+ (1 )ni+
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Temos dois conjuntos de capitais:
- As duas parcelas de X reais.
- O valor a vista de R$ 41.600,00
Utilizaremos como data focal o 2º ano.
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 2º ano.
Para transportar R$ 41.600,00 (data 0) para o 2º mês devemos multiplicar por .
Para transportar X reais (data 1) para o 2º ano devemos multiplicar por .
Não precisamos transportar X reais (2º ano), pois ele já está na data focal.
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais:
Letra E
Uma rede de lojas, que atua na venda de eletroeletrônicos, anuncia a venda de notebook da
seguinte forma:
2(1 )i+
1(1 )i+
1 21,08 41.600 1,08X X× + = ×
2,08 48.522,24X× =
23.328,00X =
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- R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou
- 3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira prestação no ato
da compra.
Embora na propaganda seja utilizada a expressão “sem juros”, os clientes que escolhem a
segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente:
(Utilize se necessário:√7 = 2,646.)
a) 13,5%
b) 20,0%
c) 21,5%
d) 19,0%
e) 9,5%
Resolução
Eis o “desenho” da questão.
Efetuemos o transporte dos valores para a data 0. As duas formas de pagamento devem ser
equivalentes nesta data.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por .
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
1.125 = 450 +
450
(1 + 𝑖)< +
450
(1 + 𝑖)?
(1 )ni+
(1 )ni+
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675 −
450
(1 + 𝑖)< −
450
(1 + 𝑖)? = 0
Para facilitar os cálculos, adotemos que 1 + 𝑖 = 𝑥
675 −
450
𝑥< −
450
𝑥? = 0
675 ∙ 𝑥? − 450 ∙ 𝑥 − 450
𝑥? = 0
675 ∙ 𝑥? − 450 ∙ 𝑥 − 450 = 0
Simplificando os termos por 225:
3 ∙ 𝑥? − 2 ∙ 𝑥 − 2 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏? − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−2) ± G(−2)? − 4 ∙ 3 ∙ (−2)
2 ∙ 3
𝑥 =
2 ± √28
6
Observe que o enunciado sugeriu utilizar √7 = 2,646.
Assim, √28 = √4 ∙ 7 = √4 ∙ √7 = 2 ∙ 2,646 = 5,292
𝑥 =
2 ± 5,292
6
Como 𝑥 > 0,
𝑥 =
2 + 5,292
6
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𝑥 ≅ 1,215
1 + 𝑖 ≅ 1,215
𝑖 ≅ 0,215 = 21,5%
Letra C
Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes,
por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada
é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-
se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de
cada prestação mensal será:
(A) R$ 525,68.
(B) R$ 545,34.
(C) R$ 568,24.
(D) R$ 576,19.
(E) R$ 605,00.
Resolução
Escolhendo a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o futuro devemos
multiplicar o seu valor por (1 + 𝑖)6.
A equação da equivalência fica:
𝑋 + 𝑋 ∙ (1 + 𝑖)< = 1.000 ∙ (1 + 𝑖)?
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𝑋 + 1,1 ∙ 𝑋 = 1.000 ∙ (1 + 0,10)?
2,1 ∙ 𝑋 = 1.210
𝑋 = 576,19
Gabarito: D
2. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Fiz um resuminho sobre P.G. com o intuito de poder utilizar livremente as fórmulas nos assuntos
subsequentes de Matemática Financeira.
Considere uma sequência de números reais (𝑎<, 𝑎?, 𝑎L, … , 𝑎6).
Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo,
for igual ao produto do anterior com uma constante real 𝑞.
O número real 𝑞 é denominado razão da progressão geométrica.
𝑎< é o primeiro termo, 𝑎? é o segundo termo, e assim por diante. O termo 𝑎6 de ordem n é
chamado n-ésimo termo.
Exemplos:
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Progressão Geométrica Primeiro termo (𝒂𝟏) Razão (𝒒)
(3, 6, 12, 24, 48, 96, … ) 3 2
(96, 48, 24, 12, 6, 3, … ) 96
1
2
(2, 2, 2, 2, 2, … ) 2 1
(1, −2, 4, −8, 16, −32,… ) 1 −2
(5, 0, 0, 0, 0, … ) 5 0
2.1 CÁLCULO DA RAZÃO
Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é diferente de 0 (ver
último exemplo do tópico anterior).
Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o cociente entre dois termos consecutivos.
No nosso primeiro exemplo, 𝑞 = 6 3R =
12
6R = ⋯ = 2.
No nosso segundo exemplo, 𝑞 = 48 96R =
24
48R = ⋯ =
1
2R .
No nosso terceiro exemplo, 𝑞 = 2 2R =
2
2R = ⋯ = 1.
No nosso quarto exemplo, 𝑞 = −2 1R =
4
−2R = ⋯ = −2.
2.2 TERMO GERAL
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Considere a progressão geométrica (𝑎<, 𝑎?, 𝑎L, … , 𝑎6). Existe uma expressão que permite calcular
qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão.
Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a
razão.
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒒𝒏U𝟏
Em que 𝑎< é o primeiro termo, 𝑞 é a razão da progressão e 𝑎6 é o termo de ordem n (n-ésimo
termo).
Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica (3, 6, 12, 24, … )?
Resolução
Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, 𝑛 = 11.
Utilizemos a fórmula do termo geral:
𝑎<< = 𝑎< ∙ 𝑞<<U< = 𝑎< ∙ 𝑞<X
𝑎<< = 3 ∙ 2<X = 3.072
Obviamente não seremos obrigados a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não somos obrigados a
conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer da P.G. Vejamos um exemplo análogo
ao da progressão aritmética.
Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o décimo sexto termo
sabendo que a razão da progressão é 3.
Resolução
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Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo.
Assim, a expressão do termo geral ficará:
𝑎<Y = 𝑎<X ∙ 𝑞Y
𝑎<Y = 4 ∙ 3Y = 2.916
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita
A soma dos 𝑛 termos iniciais de uma progressão geométrica é:
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏 ∙ (𝒒𝒏 − 𝟏)
𝒒 − 𝟏
Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (3, 6, 12, 24, … ).
Resolução
A razão, como já vimos, é igual a 2.
𝑆<X =
𝑎< ∙ (𝑞<X − 1)
𝑞 − 1
𝑆<X =
3 ∙ (2<X − 1)
2 − 1 =
3 ∙ (1.024 − 1)
1 = 3 ∙ 1.023
𝑆<X = 3.069
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita
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Se (𝑎<, 𝑎?, 𝑎L, … , 𝑎6, … ) é uma P.G. com razão −1 < 𝑞 < 1, então:
𝑺 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒏 +⋯ =
𝒂𝟏
𝟏 − 𝒒
Exemplo
Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. (9, 6, 4, … ).
Resolução
Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro:
𝑞 =
6
9 =
2
3
Assim,
𝑆 =
𝑎<
1 − 𝑞 =
9
1 − 23
=
9
1/3 = 9 ∙
3
1 = 27
Observação: Utilizaremos este conceito no estudo das Rendas Perpétuas.
3. SÉRIES UNIFORMES
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O principal objetivo da Matemática Financeira é a movimentação do dinheiro na linha do tempo.
Vimos que um conjunto de diferentes capitais podem se transformar em outros conjuntos
equivalentes.
Estudaremos nesta aula algumas sequências particulares de capitais. A esses casos particulares
denominamossequências ou séries uniformes. Há quem denomine também de rendas certas ou
anuidades.
Em diversas situações, surge uma série de valores iguais que serão pagos ou recebidos em
períodos iguais.
O fluxo de caixa que vamos estudar ilustra uma série uniforme de N pagamentos iguais a P
(utilizaremos a letra P, pois na calculadora financeira HP-12C esses pagamentos são denominados
PMT - Periodic Payment Amount (valor do pagamento periódico, em inglês).
3.1 ELEMENTOS DE UMA SÉRIE UNIFORME
• Intervalo de tempo de pagamento: é o intervalo de tempo entre dois pagamentos.
• Anuidade ou Renda: é o valor de cada pagamento efetuado em intervalos de tempos iguais.
3.2 CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES UNIFORMES
• Rendas Temporárias: Número de pagamentos finito.
• Perpétuas: Número de pagamentos infinito.
• Antecipadas: Pagamentos efetuados no início de cada período (no ato do negócio).
• Postecipadas: Pagamentos efetuados no final de cada período (um período após a
negociação do negócio).
• Imediata: Quando o primeiro pagamento é efetuado no primeiro período.
• Diferida: Quando houver carência para o pagamento da primeira anuidade.
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3.3 REPRESENTAÇÃO EM FLUXO DE CAIXA
O modelo que estudaremos como padrão será o de renda temporária, imediata e postecipada.
Eis o fluxo de caixa correspondente.
3.4 VALOR FUTURO OU MONTANTE DE UMA RENDA CERTA (F)
Para calcular o montante de uma renda certa, devemos efetuar o transporte de todas as quantias
para a data n. Lembre-se que para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (𝟏 + 𝒊)𝒏.
𝐹 = 𝑃 + 𝑃 ∙ (1 + 𝑖) + 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)< + 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)? + ⋯+ 𝑃 ∙ (1 + 𝑖)6U<
𝐹 = 𝑃 ∙ [1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)< + (1 + 𝑖)? + ⋯+ (1 + 𝑖)6U<]
A expressão dentro dos colchetes é a soma de uma Progressão Geométrica tal que:
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è O primeiro termo é igual a 1.
è A razão é igual a (𝟏 + 𝒊)𝒏
Devemos aplicar a fórmula da soma de uma P.G. finita.
𝑺𝒏 =
𝒂𝟏 ∙ (𝒒𝒏 − 𝟏)
𝒒 − 𝟏
1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)< + (1 + 𝑖)? + ⋯+ (1 + 𝑖)6U< =
1 ∙ ((1 + 𝑖)6 − 1)
(1 + 𝑖) − 1
1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)< + (1 + 𝑖)? + ⋯+ (1 + 𝑖)6U< =
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖
Assim,
𝐹 = 𝑃 ∙ [1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)< + (1 + 𝑖)? + ⋯+ (1 + 𝑖)6U<]
𝐹 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖
Não se preocupe com a demonstração desta fórmula. Apenas guarde o resultado.
O número (<cd)
eU<
d
é denominado fator de valor futuro de séries uniformes ou fator de
acumulação de capitais em uma série de pagamentos.
O número (<cd)
eU<
d
é representado por 𝑠6¬d 𝑜𝑢 𝑠(𝑛, 𝑖).
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor futuro em rendas certas:
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𝐹 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖 𝑜𝑢 𝐹 = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
3.5 VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE DE UMA RENDA CERTA (A)
Para calcular o Valor Atual ou Presente de uma renda certa basta efetuar o transporte do valor
futuro F para a data 0.
Para calcular o valor atual, basta transportar cada uma das prestações P para a data 0.
𝐴 =
𝑃
(1 + 𝑖)< +
𝑃
(1 + 𝑖)? +
𝑃
(1 + 𝑖)L + ⋯+
𝑃
(1 + 𝑖)6
𝐴 = 𝑃 ∙ i
1
(1 + 𝑖)< +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)L + ⋯+
1
(1 + 𝑖)6j
Entretanto, há uma maneira bem legal de chegar em uma fórmula mais simples, visto que já temos
uma fórmula desenvolvida para F.
Para retroceder um valor para o presente dividimos por .
(1 )ni+
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𝐴 =
𝐹
(1 + 𝑖)6
𝐴 = 𝐹 ∙
1
(1 + 𝑖)6
𝐴 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖 ∙
1
(1 + 𝑖)6
𝐴 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)6
O número (<cd)
eU<
(<cd)e∙d
é denominado fator de valor atual de séries uniformes ou simplesmente fator
de valor atual.
O número (<cd)
eU<
(<cd)e∙d
é representado por 𝑎6¬d 𝑜𝑢 𝑎(𝑛, 𝑖).
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor atual em rendas certas:
𝐴 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)6 = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d
Fazendo algumas manipulações algébricas, é possível reescrever a fórmula acima da seguinte
maneira:
𝐴 = 𝑃 ∙
1 − (1 + 𝑖)U6
𝑖
Utilizaremos esta segunda forma quando a questão fornecer potências com expoente negativo.
Quando queremos calcular o valor da prestação em função do valor atual, teremos:
𝐴 = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d
𝑃 =
𝐴
𝑎6¬d
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𝑃 = 𝐴 ∙
1
𝑎6¬d
O número 𝟏
𝒂𝒏¬𝒊
é chamado de Fator de Recuperação do Capital.
Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante
doze meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo.
Quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos
de 2% ao mês? Considere 𝑠<?¬?% = 13,412090.
a) R$ 7.455,96
b) R$ 7.600,00
c) R$ 7.982,12
d) R$ 8.270,45
e) R$ 9.000,00
Resolução
O objetivo desta questão é calcular a prestação de uma série uniforme de pagamentos de
forma que o montante seja R$ 100.000,00.
𝐹 = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
Serão 12 prestações (𝑛 = 12) e a taxa de juros compostos é igual a 2% ao mês.
100.000 = 𝑃 ∙ 𝑠<?¬?%
𝑃 =
100.000
𝑠<?¬?%
De acordo com a tabela fornecida na prova, 𝑠<?¬?% = 13,412090.
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𝑃 =
100.000
13,412090 = 7.455,96
Gabarito: A
Depositando R$ 20.000,00 no início de cada ano, durante 10 anos, à taxa de juros compostos
de 10% ao ano, obtém-se, na data do último depósito, um montante igual ao gerado por uma
aplicação de valor único feita no início do primeiro ano à taxa de juros compostos de 25% ao
ano, durante doze meses. Desprezando-se os centavos, o valor da aplicação de valor único é
de
a) R$ 217.272,00
b) R$ 231.816,00
c) R$ 254.998,00
d) R$ 271.590,00
e) R$ 289.770,00
Observação: Considere 𝑠<X¬<X% = 15,9374
Resolução
O montante ou valor futuro da série de pagamentos é dado por:
𝐹 = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
𝐹 = 20.000 ∙ 𝑠<X¬<X%
𝐹 = 20.000 ∙ 15,9374 = 318.748,00
Queremos determinar o capital C tal que:
𝐶 ∙ (1 + 𝑖)6 = 318.748
A taxa é de 25% ao ano e será aplicado durante 12 meses (1 ano).
𝐶 ∙ (1 + 0,25)< = 318.748
𝐶 ∙ 1,25 = 318.748
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119
𝐶 = 254.998,00
Gabarito: C
Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o
primeiro pagamento ao fim de um mês por outra anuidade equivalente de dezesseis
pagamentos vencendo também o primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor
mais próximo do valor do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de
juros compostos de 3% ao mês.
Considere 𝑎k¬L% = 7,019692 𝑒 𝑎<Y¬L% = 12,561102.
a) R$ 500,00
b) R$ 535,00
c) R$ 542,00
d) R$ 559,00
e) R$ 588,00
Resolução
Já que as duas anuidades são equivalentes, então os valores atuais são iguais.
𝐴< = 𝐴?
𝑃< ∙ 𝑎k¬L% = 𝑃? ∙ 𝑎<Y¬L%
1.000 ∙ 7,019692 = 𝑃? ∙ 12,561102
𝑃? =
1.000 ∙ 7,019692
12,561102 ≅ 558,84
Gabarito: D
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33
119
Um investidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada ano em um banco que remunera os
depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar
o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é
igual a
a) R$ 52.800,00
b) R$ 52.246,00
c) R$ 55.692,00
d) R$ 61.261,20
e) R$ 63.888,00
Resolução
O objetivo é calcular o valor futuro (montante) de uma série de 4 depósitos.
𝐹 = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
𝐹 = 12.000 ∙ 𝑠l¬<X% (𝑣𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑛𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑎𝑢𝑙𝑎)
𝐹 = 12.000 ∙ 4,641 = 55.692,00
Gabarito: C
Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de
valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será
feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando uma taxa de
juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate
foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a
a) R$ 10.000,00
b) R$ 10.500,00
c) R$ 11.000,00
d) R$ 11.500,00
e) R$ 12.000,00
Resolução
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119
Observe que os pagamentos são efetuados no início de cada ano. Assim, devemos
transportar o montante que se encontra três anos após a data do primeiro pagamento para o
ano 2. Para isso, devemos dividir o valor do montante por (1 + 𝑖)<. Devemos efetuar esse
transporte porque a exigência do nosso modelo é de que o montante seja calculado na data
do último pagamento.
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 2 =
43.692
1,10 = 39.720
O montante da série de pagamentos na data 2 é R$ 39.720,00.
𝐹 = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
39.720 = 𝑃 ∙ 𝑠L¬<X%
𝑃 =
39.720
𝑠L¬<X%
=
39.720
3,31 = 12.000
Gabarito: E
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Uma série de doze valores monetários relativos ao fim de cada um de doze períodos de
tempo representa o fluxo de caixa esperado de uma alternativa de investimento.
Considerando que o valor atual desse fluxo de caixa no início do primeiro período é de R$
30.000,00, calcule o valor futuro desse fluxo ao fim do décimo segundo período,
considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao período. (Despreze os centavos)
a) R$ 94.152,00
b) R$ 85.593,00
c) R$ 77.812,00
d) R$ 70.738,00
e) R$ 66.000,00
Resolução
Utilizaremos para resolver esta questão o mesmo raciocínio que foi feito na demonstração da
fórmula para o valor atual em uma série uniforme de pagamentos. Foi dado o valor atual da
série e para calcular o valor futuro devemos efetuar o transporte deste valor para a data do
último pagamento. Lembre-se que para avançar uma quantia para o futuro devemos
multiplicar seu valor por (1 + 𝑖)6.
Dessa forma:
𝐹 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖)<?
𝐹 = 30.000 ∙ (1 + 0,10)<? = 94.152,00
Gabarito: A
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A quantia de R$ 1.000,00 é aplicada mensalmente durante seis meses; a quantia de R$
2.000,00 é aplicada mensalmente durante os seis meses seguintes e, finalmente, a quantia de
R$ 3.000,00 é aplicada mensalmente durante mais seis meses. Qual o valor mais próximo do
montante das aplicações ao fim dos dezoito meses de prazo, considerando que as aplicações
foram sempre realizadas ao fim de cada mês e renderam uma taxa de juros compostos de 4%
ao mês?
a) R$ 41.040,00
b) R$ 47.304,00
c) R$ 51.291,00
d) R$ 60.000,00
e) R$ 72.000,00
Resolução
Segue abaixo o fluxo de caixa que representa o enunciado
Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00
mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis
meses.
Ora, este conjunto de aplicações não se encaixa no modelo de rendas certas que tratamos na
exposição teórica porque os pagamentos não possuem os mesmos valores. Devemos,
portanto, efetuar alguns ajustes para poder aplicar as fórmulas de anuidades.
Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos
de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
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Observe o terceiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos de
R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
O fluxo de caixa tomará a seguinte forma:
Dessa forma, teremos três anuidades:
i) 18 pagamentos de R$ 1.000,00
𝐹< = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
𝐹< = 1.000 ∙ 𝑠<k¬l% = 1.000 ∙ 25,645413 = 25.645,41
ii) 12 pagamentos de R$ 1.000,00
𝐹? = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
𝐹? = 1.000 ∙ 𝑠<?¬l% = 1.000 ∙ 15,025805 = 15.025,80
iii) 6 pagamentos de R$ 1.000,00
𝐹L = 𝑃 ∙ 𝑠6¬d
𝐹L = 1.000 ∙ 𝑠Y¬l% = 1.000 ∙ 6,632975 = 6.632,97
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Assim, o valor futuro total é dado por:
𝐹 = 𝐹< + 𝐹? + 𝐹L
𝐹 = 25.645,41 + 15.025,80 + 6.632,97 = 47.304,18
Gabarito: B
Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de
pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$
3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada
pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é
de 4% ao período.
a) R$ 33.448,00
b) R$ 31.168,00
c) R$ 29.124,00
d) R$ 27.286,00
e) R$ 25.628,00
Resolução
Eis o fluxo de caixa do problema.
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Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 3.000,00 durante seis períodos, R$ 2.000,00
mensalmente durante os seis períodos seguintes e R$ 1.000,00 mensalmente durante mais
seis períodos.
Ora, este conjunto de aplicações não se encaixa no modelo de rendas certas que tratamos na
exposição teórica porque os pagamentos não possuem os mesmos valores. Devemos,
portanto, efetuar alguns ajustes para poder aplicar as fórmulas de anuidades.
Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos
de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00.
Observe o primeiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em pagamentos
de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00
O fluxo de caixa tomará a seguinte forma:
Dessa forma, teremos três anuidades:
i) 18 pagamentos de R$ 1.000,00
𝐴< = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d
𝐴< = 1.000 ∙ 𝑎<k¬l% = 1.000 ∙ 12,659297 = 12.659,30
ii) 12 pagamentos de R$ 1.000,00
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𝐴? = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d
𝐴? = 1.000 ∙ 𝑎<?¬l% = 1.000 ∙ 9,385074 = 9.385,07
iii) 6 pagamentos de R$ 1.000,00
𝐴L = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d
𝐴L = 1.000 ∙ 𝑎Y¬l% = 1.000 ∙ 5,242137 = 5.242,14
Assim, o valor atual total é dado por:
𝐴 = 𝐴< + 𝐴? + 𝐴L
𝐴 = 12.659,30 + 9.385,07 + 5.242,14 = 27.286,51
Gabarito: D
Abaixo encontram-se valores de uma tabela de fator de valor presente de séries uniformes de
pagamento, na qual n é o número de prestações mensais e i a taxa de juros.
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Um indivíduo comprou uma geladeira em 4 prestações mensais, sucessivas e uniformes, no
valor de R$ 500 cada, com a 1ª prestação a ser paga no ato, formando uma série uniforme de
pagamentos antecipada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês, o valor presente da
geladeira é
a) R$ 2.000,00
b) R$ 1.858,55
c) R$ 1.895,43
d) R$ 1.914,30
e) R$ 1.654,80
Resolução
O ideal é que com a prática você não precise ficar desenhando o fluxo de caixa todas as
vezes. Com a prática, você fará o diagrama apenas de fluxos mais complicados.
Devemos projetar para o presente apenas as três últimas prestações, pois a primeira já se
encontra na data 0 (1ª paga no ato).
𝐴 = 500 + 500 ∙ 𝑎6¬d = 500 + 500 ∙ 𝑎L¬L% = 500 + 500 ∙ 2,8286 = 1.914,30
Gabarito: D
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4. RENDAS CERTAS PERPÉTUAS OU PERPETUIDADES
Neste caso, o número de pagamentos P tende ao infinito.
Observe que não há sentido em falar no Valor Futuro de uma perpetuidade, visto que este valor
tende ao infinito.
Para calcular o valor atual de uma perpetuidade, devemos transportar todos os valores para a
data 0.
𝐴 =
𝑃
1 + 𝑖 +
𝑃
(1 + 𝑖)? +
𝑃
(1 + 𝑖)? +
𝑃
(1 + 𝑖)L + ⋯
𝐴 = 𝑃 ∙ i
1
1 + 𝑖 +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)L + ⋯ j
A expressão dentro dos colchetes do segundo membro constitui a soma de uma progressão
geométrica infinita com:
i) Primeiro termo: <
<cd
ii) Razão: <
<cd
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Vimos que se (𝑎<, 𝑎?, 𝑎L, … , 𝑎6, … ) é uma P.G. com razão −1 < 𝑞 < 1, então:
𝑆 = 𝑎< + 𝑎? + ⋯+ 𝑎6 +⋯ =
𝑎<
1 − 𝑞
Assim,
𝑆 =
1
1 + 𝑖 +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)L + ⋯
𝑆 =
1
1 + 𝑖
1 − 11 + 𝑖
=
1
1 + 𝑖
1 + 𝑖 − 1
1 + 𝑖
=
1
1 + 𝑖
𝑖
1 + 𝑖
=
1
1 + 𝑖 ∙
1 + 𝑖
𝑖 =
1
𝑖
Temos então:
𝐴 = 𝑃 ∙ i
1
1 + 𝑖 +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)? +
1
(1 + 𝑖)L + ⋯ j
𝐴 = 𝑃 ∙ 𝑆
𝑨 =
𝑷
𝒊
Não se preocupe muito com o passo a passo da dedução desta fórmula, ok?
É muito fácil entender o resultado final. Imagine que você aplicou R$ 10.000,00. Assim, o valor
atual A é igual a 10.000.
Se você consegue aplicar este dinheiro a uma taxa de 10% ao mês, então todo mês você consegue
sacar P = 0,10 x 10.000 = 1.000 reais e o dinheiro aplicado nunca será mexido. Você pode
eternamente sacar 1.000 reais do seu banco.
Assim, a prestação que você pode sacar é o produto do valor aplicado pela taxa, ou seja:
𝑃 = 𝑖 ∙ 𝐴
Vamos a um caso particular deste assunto que raramente cai em provas.
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Aquela renda perpétua P é sem crescimento, pois todas as prestações são iguais, ou seja, são
constantes.
Suponha agora que você queira que as prestações, que no caso que acabamos de estudar eram
constantes, cresçam a uma taxa g (growth = crescimento).
Assim, se a primeira prestação é de P, as seguintes serão 𝑃(1 + 𝑔), 𝑃(1 + 𝑔)?, e assim por diante.
O valor presente será:
𝐴 =
𝑃
1 + 𝑖 +
𝑃(1 + 𝑔)
(1 + 𝑖)? +
𝑃(1 + 𝑔)?
(1 + 𝑖)L +
𝑃(1 + 𝑔)L
(1 + 𝑖)l + ⋯
Temos novamente uma PG infinita tal que:
- o primeiro termo é P/(1+i)
- a razão é (1+g)/(1+i)
Vamos aplicar a fórmula da soma da PG infinita.
𝐴 =
𝑎<
1 − 𝑞 =
𝑃
1 + 𝑖
1 − 1 + 𝑔1 + 𝑖
=
𝑃
1 + 𝑖
1 + 𝑖 − 1 − 𝑔
1 + 𝑖
=
𝑃
1 + 𝑖
𝑖 − 𝑔
1 + 𝑖
=
𝑃
1 + 𝑖 ∙
1 + 𝑖
𝑖 − 𝑔 =
𝑃
𝑖 − 𝑔
𝐴 =
𝑃
𝑖 − 𝑔
Que é a fórmula do valor atual de uma renda perpétua crescente.
Assim, se a renda for com crescimento, devemos dividir o primeiro fluxo pela diferença entre a
taxa de desconto e a taxa de crescimento. Lembre-se que sempre a taxa de crescimento tem que
ser menor que a taxa de desconto.
Aqui você também não precisa se preocupar com a demonstração desta fórmula, ok?
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Um indivíduo recebeu como herança um título perpétuo que paga R$ 2.000 por trimestre.
Esse indivíduo quer vender o título. Sabendo que a taxa de juros semestral, juros compostos,
é de 44%, o valor presente de venda desse título é
a) R$ 2.880,00
b) R$ 4.545,45
c) R$ 10.000,00
d) R$ 16.547,85
e) R$50.000,00
Resolução
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O
valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como
𝐴 =
𝑃
𝑖
Onde P é o valor da perpetuidade.
Devemos calcular a taxa trimestral equivalente à taxa semestral de 44%. Lembrando que um
semestre é composto por 2 trimestres,
(1 + 𝑖v)? = (1 + 𝑖w)<
(1 + 𝑖v)? = 1,44
1 + 𝑖v = 1,2
𝑖v = 0,20 𝑎𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
Dessa forma, o valor presente (atual) é dado por
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𝐴 =
2.000
0,2 = 10.000,00
Gabarito: C
Antônio possui um investimento que dá uma renda líquida de 0,6% ao mês (no sistema de
juros compostos) e deseja dar à sua filha uma renda mensal perpétua de R$ 450,00. A quantia
que Antônio deve investir para que sua filha tenha essa renda é de:
a) R$ 45.000,00
b) R$ 27.000,00
c) R$ 54.000,00
d) R$ 72.000,00
e) R$ 75.000,00
Resolução
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para sempre. O
valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como
𝐴 =
𝑃
𝑖
Onde P é o valor da perpetuidade.
A quantia que Antônio deve investir é o valor presente da perpetuidade.
𝐴 =
450
0,006 = 75.000,00
Gabarito: E
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Um indivíduo comprou um título perpétuo que paga R$ 500,00 por semestre. Sabendo que a
taxa de juros anual, juros compostos, é de 21%, o valor presente desse título é:
a) R$ 4.761,90.
b) R$ 5.000,00.
c) R$ 6.857,25.
d) R$ 7.500,00.
e) R$ 25.000,00.
Resolução
Devemos calcular a taxa trimestral equivalente à taxa semestral de 44%. Lembrando que um
semestre é composto por 2 trimestres,
(1 + iz)? = (1 + i{)<
(1 + iz)? = 1,21
1 + iz = 1,1
i| = 0,10 ao semestre
Dessa forma, o valor presente é dado por
VP =
A
i =
500
0,1 = 5.000,00
Gabarito: B
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==132685==
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(FGV 2015/SMF-Niterói)
Para usufruir perpetuamente R$ 2.000,00 por mês, reajustados mensalmente a uma taxa de
6%, o valor da renda um mês antes do primeiro pagamento, supondo taxa de juros de 10% ao
mês, é, em reais:
a) 12.500;
b) 20.000;
c) 22.000;
d) 50.000;
e) 55.000.
Resolução
Este é o caso da renda perpétua com crescimento. Vamos calcular o valor atual.
𝐴 =
𝑃
𝑖 − 𝑔 =
2.000
0,10 − 0,06 =
2.000
0,04 = 50.000
Gabarito: D
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5. PROBLEMAS ENVOLVENDO RENDAS DIFERIDAS
O modelo que estudamos como padrão foi o de renda temporária, imediata e postecipada.
Eis o fluxo de caixa correspondente.
Há casos em que o problema trabalha com a renda diferida, ou seja, quando houver carência para
o pagamento da primeira anuidade.
É comum aparecer a seguinte situação: “Compre agora a sua televisão e pague a primeira
prestação só depois do Natal!!”.
A loja faz isso porque ela gosta de você? É óbvio que não. Neste período de carência (a carência é a
diferença entre hoje e a data do primeiro pagamento) você pagará juros. Neste tópico
colocaremos a “solução” para esses tipos de problemas.
No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imóvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$
20.000,00. A primeira parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10
dos meses subsequentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 4% ao mês. Assim, o valor
financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de:
a) R$ 155.978,00
b) R$ 155.897,00
c) R$ 162.217,00
d) R$ 189.250,00
e) R$ 178.150,00
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Resolução
Vamos construir o fluxo de caixa. Dia 10 de setembro será a data zero. Dia 10 de outubro será a
data 1 e assim por diante.
O primeiro pagamento ocorre em 10 de novembro, que é a data 2.
O fluxo de caixa original está representado pelas setas vermelhas. Vamos usar a tabela II para
achar o valor do fluxo de caixa na data 1 (seta verde). Lembrem-se que, com a tabela II,
conseguimos trazer todo o fluxo de caixa para um período antes do primeiro pagamento.
Vamos consultar a tabela II para n = 10 (porque são dez pagamentos) e i = 4%.
O valor obtido é de aproximadamente 8,1109
Portanto, o valor do fluxo de caixa na data 1 é:
(valor aproximado)
inaPS ¬´=
218.1621109,8000.20 =´=S
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Vamos agora pegar este valor e transportar para a data zero. Estamos voltando 1 mês na linha do
tempo. Haverá um desconto.
Estamos trocando a seta verde, referente à data 1, correspondente a R$ 162.218, por um valor
referente à data zero. Este valor será igual ao valor financiado.
E podemos usar a tabela II para transformar esta divisão em uma multiplicação. É como se
tivéssemos uma série de 1 pagamento. E queremos transportar toda esta série para um período
antes do primeiro (e único) pagamento. Basta usar o fator de valor atual para n=1 e i = 4%.
Consultando a tabela II:
Portanto:
Gabarito: A
Esta solução, apesar de válida, é um pouco demorada, pois exige duas multiplicações, sendo que a
segunda foi meio “chata” de fazer, pois envolveu números mais complicados.
Uma outra ideia, que diminui as contas, é a que segue.
No fluxo de caixa original, podemos “criar” um pagamento adicional, referente à data 1. Vejam:
ni
NA
)1( +
=
1)04,01(
218.162
+
=A
9615,0
04,1
1
=
988.1559615,0218.162
)04,01(
218.162
1 =´=+
=A
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Mas, para não alterarmos o fluxo de caixa, devemos criar, na mesma data 1, um recebimento de
20.000,00, para cancelar o pagamento acrescentado. Vou representar o recebimento com uma
seta azul para cima, para diferenciar dos pagamentos.
Não existe regra para representar as setas no diagrama. O diagrama de fluxo de caixa é só uma
ferramenta, você usa do jeito que preferir. O importante é que você seja organizado, e mantenha
um padrão do início ao fim. Neste desenho, estou representando os pagamentos com setas
vermelhas para baixo e o recebimento com seta azul para cima. Ok?
Para transportar todos os pagamentos (setas vermelhas) para a data zero, devemos consultar a
tabela II para n = 11 e i = 4%.
Com isso, o valor dos doze pagamentos, na data zero, fica:
Mas ainda falta transportar o recebimento de 20.000. Recebimentos e pagamentos devem ter
sinais opostos. Como usei o sinal “+” para os pagamentos, vou usar “–” para os recebimentos.
Para transportar 20.000 da data 1 para a data 0, devemos dividir por (1 + 𝑖)6.
−
20.000
(1 + 0,04)<
Outra opção para efetuar o transporte de 20.000 para a data 0:
Temos uma série de 1 recebimento e queremos transportá-la para um período antes do primeiro
(e único) recebimento. Basta consultar a tabela II para n=1 e i=4%.
O valor do recebimento, na data zero, é de:
Com isso, o valor do fluxode caixa na data zero será de
=
760,8760477,8%4,11 @=a
760,8000.20 ´
962,0961538,0%4,1 @=a
962,0000.20 ´-
76,8000.20 ´ 962,0000.20 ´-
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=
=
= 155.960
Esta segunda solução é muito melhor. Ficamos com apenas uma multiplicação, que é bem
tranquila. Isto porque multiplicar por 20.000 é fácil. Basta dobrar o número e andar 4 casas com a
vírgula.
Este fato inclusive ajuda a achar a resposta com exatidão. Como a multiplicação é fácil, nem
precisaríamos ter aproximado. Bastaria fazer:
= 7,798939
= 155.978,78
Um financiamento no valor de R$ 10.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 24% ao ano para
ser amortizado em doze prestações semestrais iguais vencendo a primeira prestação seis
meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual os juros
semestrais devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor. Desprezando os
centavos, calcule a prestação semestral do financiamento.
a) R$ 1.614,00
b) R$ 2.540,00
c) R$ 3.210,00
d) R$ 3.176,00
e) R$ 3.827,00
Resolução
Antes de começarmos a resolver o problema temos que achar a taxa efetiva.
)962,076,8(000.20 -´
798,7000.20 ´
)961538,0760477,8(000.20 -´
´000.20
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A taxa de 24% ao ano é apenas nominal. O exercício não disse expressamente que o período
de capitalização é semestral. Ele apenas deixa isso meio que implícito. Na minha opinião, não
custava nada deixar isso bem claro.
Para calcular a taxa semestral efetiva, basta dividir a taxa nominal anual por 2.
𝑖 =
24%
2 = 12% 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
Agora vamos realmente à questão.
Vou fazer direto a resolução mais rápida, nos moldes do que vimos no exercício anterior. Vou
usar aquele atalho que “cria pagamentos”.
Vamos colocar datas para ficar mais fácil visualizar o problema. O financiamento foi feito em
01/01/2003. Esta é a data zero.
Em 01/07/2003 temos a data 1.
Em 01/01/2004 temos a data 2.
Em 01/07/2004 temos a data 3.
Em 01/01/2005 temos a data 4. E aqui termina o período de carência. O primeiro pagamento
é feito seis meses após esta data.
Em 01/07/2005 temos a data 5, quando é feito o primeiro pagamento.
Estes pagamentos “reais” serão representados por setas vermelhas.
Em verde temos os pagamentos “criados”.
E o fluxo de caixa fica assim (a unidade de tempo está em semestres):
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Queremos trazer todo este fluxo de caixa para a data zero.
Temos 16 pagamentos (12 reais e 4 criados). Usando a tabela II, conseguimos transportar
todo este fluxo de caixa para a data zero, um período antes do primeiro pagamento.
Da tabela II, temos:
Logo, o valor do fluxo de caixa, na data zero, é de:
Mas ainda precisamos excluir o valor referente aos quatro pagamentos criados.
Vamos ver qual o valor atual destes 4 pagamentos. Para tanto, basta consultar a tabela II,
para n= 4 e i = 12%.
O valor dos pagamentos “criados” (setas verdes), quando transportados para a data zero, é
de:
𝑋 ∙ 3,037349
Portanto, o valor atual do fluxo de caixa original (ou seja, que contempla apenas os 12
pagamentos em vermelho) é de:
𝑋 ∙ (6,973986 − 3,037349) = 3,936635𝑋
E nós sabemos que o valor do financiamento é de R$ 10.000,00.
973986,6%12,16 =a
973986,6´X
037349,3%124 =¬a
936635,3
000.10000.10936635,3 =Þ= XX
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Como o denominador é um pouquinho menor que 4, então a fração será um pouquinho
maior que 2.500. Com isso já dá para marcar a letra B.
Gabarito: B
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6. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES
01. (FCC 2019/AFAP – Economista)
O resultado mais próximo do valor presente de um fluxo de caixa uniforme com 5 termos positivos
de R$ 2.000,00, descontado a uma taxa de 2% ao mês, é de R$
a) 9.400,00.
b) 8.900,00.
c) 9.700,00.
d) 9.600,00.
e) 9.000,00.
02. (FCC 2018/ALE-SE)
A Cia. Construtora adquiriu um terreno para ser pago em 5 parcelas iguais de R$ 10.000,00,
vencíveis em 30, 60, 90, 120 e 150 dias, respectivamente. Ao pagar a terceira parcela, a Cia.
verificou que possuía condições financeiras para quitar as duas parcelas restantes.
Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pela instituição financeira era de 4% ao mês, a
equação que indica o valor que a Cia. deveria desembolsar para quitar o terreno, após pagar a
terceira parcela e na data de vencimento desta, é
a) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = <X.XXX
(<,Xl)
+ <X.XXX
(<,Xl)�
b) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = ?X.XXX
(<,Xl)�
c) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = ?X.XXX
(<,Xk)
d) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = 10.000 + <X.XXX
(<,Xl)
e) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = <X.XXX
(<,Xl)
+ <X.XXX
<,Xk
03. (FCC 2018/SEGEP-MA)
Para adquirir um lote de mercadorias, uma empresa obteve um empréstimo para ser pago em 5
parcelas mensais e iguais, cujo valor é R$ 20.000,00. A primeira parcela venceu 30 dias após a data
de obtenção do empréstimo e as parcelas subsequentes a cada 30 dias. Na data de vencimento da
terceira parcela, e antes do seu pagamento, a empresa optou pelo pagamento das 3 parcelas que
faltavam ser pagas para a liquidação do empréstimo. Se a taxa de juros compostos negociada na
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data da obtenção do empréstimo foi 2% a.m., o valor que a empresa desembolsou para fazer a
liquidação foi, em reais,
a) 58.838,61.
b) 60.000,00.
c) 58.800,00.
d) 58.831,22.
e) 56.539,34.
04. (FCC 2018/SEGEP-MA)
Uma empresa obteve um empréstimo à taxa de juros compostos de 2% ao mês e ainda restam
duas parcelas trimestrais de mesmo valor para sua liquidação. O valor de cada parcela é R$
30.000,00 e a primeira das duas parcelas vencerá em 90 dias. A empresa pretende alterar a forma
de pagamento, mantendo a mesma taxa de juros, e propõe à instituição financeira a liquidação da
seguinte forma:
− Uma parcela de R$ 25.000,00, na data de hoje.
− Uma parcela complementar, daqui a 60 dias.
A equação que permite calcular corretamente o valor da parcela complementar identificada pela
incógnita x, é
a) 25.000(1,02)? + 𝑥 = LX.XXX
<,X?
+ LX.XXX
(<,X?)�
b) 25.000 + 𝑥 = LX.XXX
(<,X?)�
+ LX.XXX
(<,X?)�
c) 𝑥 = LX.XXX
(<,X?)�
+ LX.XXX
(<,X?)�
− 25.000
d) 25.000 + �
<,X?
= LX.XXX
(<,X?)�
+ LX.XXX
(<,X?)�
e) 𝑥(1,02)? = LX.XXX
<,X?
+ LX.XXX
(<,X?)�
− 25.000
05. (FCC 2018/SEGEP-MA)
A Cia. Devedora adquiriu umimóvel para ser pago em 4 prestações iguais de R$ 30.000,00,
vencíveis em 30, 60, 120 e 180 dias, respectivamente. A taxa de juros composta cobrada foi de 3%
ao mês. Se a Cia. Devedora desejasse comprar o imóvel à vista, a equação que permite identificar o
valor que a Cia. desembolsaria, identificado pela variável x, é
a) 𝑥 = LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
b) 𝑥 = <?X.XXX
(<,XL)�
c) 𝑥 = LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
d) 𝑥 = 30.000 + LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
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e) 𝑥 = LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
<,XY
+ LX.XXX
<,<?
+ LX.XXX
<,<k
06. (FCC 2018/SEGEP-MA)
Uma empresa obteve um empréstimo no passado à taxa de juros compostos de 3% ao mês e ainda
resta uma parcela para sua liquidação. O valor da parcela é R$ 40.000,00 e vencerá em 90 dias. A
empresa pretende alterar a forma de pagamento, mantendo a mesma taxa de juros, e propõe à
instituição financeira a liquidação da seguinte forma:
− Uma parcela de R$ 15.000,00 na data de hoje.
− Uma parcela complementar daqui a 60 dias.
O valor da parcela complementar deve ser, em reais,
a) 21.605,67.
b) 25.000,00.
c) 26.522,50.
d) 22.921,45.
e) 22.348,17.
Resolução
07. (FCC 2018/TCE-RS)
A Cia. Copas obteve um empréstimo à taxa de juros compostos de 3% ao mês e restam três
parcelas trimestrais de mesmo valor para sua liquidação. O valor de cada parcela é R$ 40.000,00 e
a primeiras das três parcelas vencerá em 90 dias. A Cia. Copas quer alterar a forma de pagamento,
mantendo a mesma taxa de juros compostos, e propõe à instituição financeira a liquidação da
seguinte forma:
− Uma parcela de R$ 40.000,00 daqui a 60 dias.
− Uma parcela complementar daqui a 120 dias.
A equação que indica corretamente o valor da parcela complementar, indicada por X, que a Cia.
Copas precisará pagar é
a) 40.000 + 𝑋 = 40.000 × (1,03) + lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
b) 40.000 × (1,03)? + 𝑋 = 40.000 × (1,03) + lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
c) 40.000 × (1,03)l + 𝑋 = 40.000 × (1,03) + lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
d) 40.000 + �
(<,XL)�
= lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
e) 40.000 × (1,03)? + �
(<,XL)�
= lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
08. (FCC 2018/TCE-RS)
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Determinada empresa adquiriu um terreno para ser pago em 4 prestações iguais no valor de R$
60.000,00. A primeira parcela vencia após 30 dias, a segunda após 90 dias, a terceira após 180 dias
e a quarta após 210 dias, com estes prazos contados sempre a partir da data da compra. A taxa de
juros compostos cobrada foi 8% ao trimestre.
Se a empresa desejasse comprar o terreno à vista, a equação que permite calcular o valor (X) que a
empresa deveria desembolsar é
a) 𝑋 = YX.XXX
<c�,���
+ YX.XXX
(<,Xk)
+ YX.XXX
(<cX,Xk×?)
+ YX.XXX
�<cX,Xk���
b) 𝑋 = YX.XXX
(<,Xk)
+ YX.XXX
(<,Xk)�
+ YX.XXX
(<,Xk)�
+ YX.XXX
(<,Xk)�
c) 𝑋 = YX.XXX
(<,Xk)
�
�
+ YX.XXX
(<.Xk)
+ YX.XXX
<,Xk�
+ YX.XXX
(<,Xk)
�
�
d) 𝑋 = ?lX.XXX
(<,Xk)�/�
e) 𝑋 = YX.XXX
<,Xk
+ YX.XXX
<,?l
+ YX.XXX
<,lk
+ YX.XXX
<,�Y
09. (FCC 2018/SEFAZ-GO)
O preço à vista de um apartamento é R$ 210.000,00. Jorge fez uma proposta ao proprietário para
adquirir esse imóvel pagando o em três parcelas iguais, a primeira à vista, a segunda após 1 ano e a
terceira depois de 2 anos. O proprietário aceitou a proposta, desde que fossem cobrados juros
compostos de 100% ao ano sobre o saldo devedor após o pagamento de cada parcela. Nas
condições impostas pelo proprietário, o valor de cada uma das três parcelas a serem pagas por
Jorge, em reais, deverá ser igual a
a) 120.000,00.
b) 90.000,00.
c) 100.000,00.
d) 70.000,00.
e) 130.000,00.
10. (CESPE 2013/TCU)
Suponha que Fábio tenha decido depositar mensalmente, sempre no dia 2 de cada mês, a quantia
fixa de R$ 360,00 em uma conta que remunera o capital a uma taxa composta de 2% ao mês.
Considerando essa situação hipotética, julgue o item que se segue. Considere que Fábio tenha
feito o primeiro depósito no dia 2 de fevereiro, mas que tenha deixado de depositar os valores
correspondentes aos dias 2 de março e 2 de abril. Se Fábio atualizar os depósitos no dia 2 de maio,
de forma que o montante final corresponda ao valor que deveria constar na conta caso tivessem
sido realizados os dois depósitos não efetuados, então o depósito a ser realizado por Fábio deverá
ser superior a R$ 1.100,00.
11. (CESPE 2009/TCE-AC)
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Uma pessoa comprou um veículo pagando uma entrada, no ato da compra, de R$ 3.500,00, e mais
24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. A primeira prestação foi paga um mês
após a compra e o vendedor cobrou 2,5% de juros compostos ao mês. Considerando 0,55 como
valor aproximado para 1,025U?l, é correto afirmar que o preço à vista, em reais, do veículo foi
A) inferior a 16.800.
B) superior a 16.800 e inferior a 17.300.
C) superior a 17.300 e inferior a 17.800.
D) superior a 17.800 e inferior a 18.300.
E) superior a 18.300.
12. (CESPE 2013/TCU)
Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no
valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo,
terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha
concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a
antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Considere que, no contrato assinado entre a empresa e o órgão público, tenha sido acordado que
o pagamento das quatro parcelas, com valores iguais a R$ 132.000,00, possa, de comum acordo
entre as partes, ser feito ao final dos quatro anos, sendo a taxa composta de juros incidente sobre
as parcelas igual a 1,5% ao mês. Nessa situação, caso houvesse previsão dessa cláusula para o
pagamento das parcelas, e tomando 1,2 como valor aproximado para 1,01512, é correto afirmar
que o pagamento à empresa que seria feito quatro anos após a contratação seria superior a R$
576.000,00.
13. (CESPE 2017/SEDF )
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada, a
respeito de juros, divisão proporcional e regra de três.
Um objeto cujo valor à vista é de R$ 2.100,00 foi comprado para ser pago em duas prestações
mensais, iguais e consecutivas, com a primeira vencendo um mês após a compra. A taxa de juros
compostos do financiamento foi de 10% ao mês.
Nessa situação, cada prestação teve valor inferior a R$ 1.200,00.
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14. (CESPE 2016 /FUNPRESP)
Com relação às anuidades e aos sistemas de amortização,julgue o item subsequente.
O valor atual (VA) de uma anuidade postecipada que pague R$ 200 ao ano, pelo prazo de três anos,
à taxa de juros de 5% ao ano, será corretamente calculado pela expressão VA = 200 × (1 + 0,05) +
200 × (1 + 0,05)2 + 200 × (1 + 0,05)3.
15. (CESPE 2016 /TCE-SC)
No item que se segue, é apresentada uma situação hipotética a respeito de avaliação de
investimentos e de taxas de juros, seguida de uma assertiva a ser julgada.
João comprou um equipamento, cujo preço à vista era de R$ 800, em duas prestações mensais,
consecutivas e distintas. A primeira prestação, de R$ 440, foi paga um mês após a compra, e a taxa
de juros compostos desse negócio foi de 10% ao mês. Nessa situação, o valor da segunda
prestação foi superior a R$ 480.
16. (CESPE 2016/TCE-SC)
No item que se segue, é apresentada uma situação hipotética a respeito de avaliação de
investimentos e de taxas de juros, seguida de uma assertiva a ser julgada.
Uma casa foi colocada à venda por R$ 120.000 à vista, ou em três parcelas, sendo a primeira de R$
20.000 no ato da compra e mais duas mensais e consecutivas, sendo a primeira no valor de R$
48.000 a ser pago um mês após a compra e a segunda, no final do segundo mês, no valor de R$
72.000. Se a taxa de juros compostos na venda parcelada for de 20% ao mês, a melhor opção de
compra é pela compra parcelada.
17. (CESPE 2016/TCE-PR)
Ao estudar uma proposta de negócio com duração de dois anos, um investidor espera o cenário
apresentado na tabela precedente, em que os valores estão em reais.
Nessa situação, se a taxa anual de juros para desconto do fluxo for de 10% ao ano, e se o investidor
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desejar um fluxo equivalente ao do cenário apresentado, mas com retornos iguais nos dois anos, o
valor de cada retorno será igual a
a) R$ 61.000.
b) R$ 60.000.
c) R$ 64.000.
d) R$ 63.000.
e) R$ 62.000.
18. (CESPE 2014/MTE )
Eduardo abriu, em 5/4/2010, uma conta remunerada que paga juros compostos de 10% ao ano.
Nos dias 5/4/2010, 5/4/2011 e 5/4/2012, ele depositou, nessa conta, uma mesma quantia, de
modo que esses três depósitos foram os únicos feitos na conta. No dia 5/3/2013, Eduardo fez um
empréstimo de R$ 60.000,00, o qual deve ser quitado pelo sistema de amortização francês (SAF)
em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 3.641,00, com a primeira prestação
vencendo um mês após a tomada do empréstimo.
Se, na data do pagamento da primeira prestação, o saldo na conta remunerada for igual ao valor
da prestação do empréstimo, então cada uma das 3 quantias depositada por Eduardo foi inferior a
R$ 1.050,00.
19. (CESPE 2014/CEF)
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada
com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que
remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata.
Para a aquisição de um bem apenas com recursos investidos na aplicação financeira X, Bruno
dispõe das seguintes opções de pagamento:
opção A – pagamento à vista, com desconto de 2% do valor de tabela; ou
opção B – pagamento em duas parcelas, cada uma delas igual à metade do valor de tabela do bem,
a primeira vencendo no ato da compra e a segunda vencendo 1 mês após a compra.
Nessa situação, a opção B é financeiramente mais vantajosa para Bruno.
20. (CESPE 2014/CEF )
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada
com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que
remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata.
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Para adquirir um bem apenas com recursos investidos na aplicação financeira X, Carlos dispõe das
seguintes opções de pagamento:
opção A – pagamento à vista, com desconto de 3% do valor de tabela; ou
opção B – pagamento em duas parcelas, cada uma delas igual à metade do valor de tabela do bem,
a primeira vencendo 1 mês após a compra e a segunda vencendo 2 meses após a compra.
Nessa situação, a opção A é financeiramente mais vantajosa para Carlos.
21. (CESPE 2014/CEF)
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada
com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que
remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata.
No dia 3/12/2013, Alberto iniciou um investimento mediante um depósito de R$ 100,00 na
aplicação financeira X. No dia 3/1/2014, ele fez um segundo depósito desse mesmo valor, e, no dia
3/2/2014, fez um terceiro depósito, também no valor de R$ 100,00. Durante todo esse período,
nenhum montante foi retirado dessa aplicação. Nessa situação, no dia 3/2/2014, após ter efetuado
o terceiro depósito, Alberto possuía mais de R$ 304,00 investidos na aplicação X.
22. (CESPE 2014/CEF )
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada
com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que
remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata.
Para comprar um bem apenas com recursos investidos na aplicação financeira X, Daniel dispõe das
seguintes opções de pagamento:
opção A – pagamento à vista, com desconto de 10% do valor de tabela; ou
opção B – pagamento em doze parcelas mensais, cada uma delas igual a 1/12 do valor de tabela do
bem, a primeira vencendo 1 mês após a compra.
Para verificar qual dessas opções de pagamento seria financeiramente mais vantajosa para ele,
Daniel utilizou 11,26 como valor aproximado para a expressão
�
1
1,01�
<?
��<
.
Nessa situação, a opção B é financeiramente mais vantajosa para Daniel.
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23. (CESPE 2014/PF)
O item subsequente apresenta uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada, a
respeito de rendas ou anuidades.
Na venda de um veículo que custa R$ 40.000,00, uma concessionária ofereceu ao cliente as
seguintes opções de pagamento:
I à vista, com 12,5% de desconto;
II em 4 parcelas mensais, iguais e consecutivas, de R$ 10.000,00, à taxa de juros de 10% ao mês; a
primeira deve ser paga no ato da compra.
Nesse caso, considerando 0,91, 0,83 e 0,75 valores aproximados para 1,1-1, 1,1-2 e 1,1-3,
respectivamente, a opção II será a mais vantajosa para o cliente.
24. (CESPE 2014 /TJ CE )
Um empresário possui as seguintes obrigações financeiras contratadas com o banco X: dívida de R$
12.900,00 vencível em 1 mês; dívida de R$ 25.800,00 vencível em 6 meses; dívida de R$ 38.700,00
vencível em 10 meses. Prevendo dificuldades para honrar o fluxo de caixa original, o banco X
propôs substituir o plano original de desembolso pelo pagamento de 2 prestações iguais: a
primeira com vencimento em 12 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Supondo-se
que a taxa de juros compostos vigente no mercado seja de 3% ao mês, e que 0,97, 0,84, 0,74, 0,7 e
0,59 sejam valores aproximados para 1,03U<, 1,03UY, 1,03U<X, 1,03U<? 𝑒 1,03U<k, respectivamente,
é correto afirmar que ovalor da prestação, em reais, é
a) superior a 40.000 e inferior a 45.000.
b) superior a 45.000 e inferior a 50.000.
c) superior a 50.000 e inferior a 55.000.
d) superior a 55.000.
e) inferior a 40.000.
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25. (CESPE 2013/SEGER ES)
Em uma loja de departamentos, pode-se comprar ternos à vista com 10% de desconto sobre o
preço divulgado na vitrine, ou em parcelas mensais iguais, sem juros, dividindo-se o preço de
vitrine por 3, mas a primeira parcela deve ser paga no ato da compra.
Considerando 27,9 como valor aproximado para √780, é correto afirmar que o custo efetivo do
dinheiro para quem compra, nessa loja, um terno a prazo é
a) superior a 13%.
b) inferior a 10%.
c) superior a 10% e inferior a 11%.
d) superior a 11% e inferior a 12%.
e) superior a 12% e inferior a 13%.
26. (CESPE 2013/SEFAZ ES )
Em certo estado, o IPVA pode ser pago à vista com 5% de desconto ou em três pagamentos iguais,
mensais e sucessivos: o primeiro pagamento deve ser feito na data de vencimento do pagamento à
vista. Nesse caso, considerando 2,9 como valor aproximado para 8,4</?, é correto afirmar que a
taxa de juros mensal embutida no financiamento será
a) superior a 3% e inferior a 4%.
b) superior a 4% e inferior a 5%.
c) superior a 5% e inferior a 6%.
d) superior a 6%
e) inferior a 3%.
27. (CESPE 2013/SERPRO )
O empréstimo feito por um indivíduo em uma instituição financeira será pago em 10 prestações,
anuais, consecutivas e fixas no valor de R$ 37.600,00; a primeira será paga um ano após a
contratação do empréstimo. A taxa de juros compostos cobrados pela instituição financeira nesse
tipo de empréstimo é de 10% ao ano. Caso o cliente adiante o pagamento de prestação, a
instituição financeira retirará os juros envolvidos no calculo daquela prestação.
Com base nessas informações e considerando 2,4 e 1,13 como aproximações para 1,19 e 1,0112,
respectivamente, julgue o item a seguir.
Se, no dia de pagar a primeira prestação, o indivíduo pagar também a última prestação, então,
nesse caso, ele pagará menos de R$ 55.000,00.
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28. (CESPE 2012/TRE RJ)
Um construtor comprou um terreno por R$ 10.000,00 e, três meses depois, construiu, nesse
terreno, uma casa popular, gastando R$ 30.000,00. Três meses após a construção ter sido
finalizada, a casa foi vendida por R$ 60.000,00.
Considerando que 1,33 e 1,77 são valores aproximados para 1,13 e 1,16, respectivamente, julgue o
item seguinte, relativo a situação hipotética acima.
Caso o construtor, no período em que adquiriu o terreno e construiu a casa, tivesse investido os
valores gastos no empreendimento em uma aplicação cujo rendimento fosse de 10% ao mês, sob o
regime de juros compostos, o montante dessa aplicação teria sido superior ao obtido por meio da
venda da casa na data correspondente.
29. (CESPE 2018 /TCE-PB)
O valor presente de um fluxo de 25 pagamentos iguais, mensais e postecipados, rendendo 5% ao
mês, é igual a R$ 10.000.
Nessa situação, se, em vez de postecipados, os pagamentos forem antecipados, o valor presente
do fluxo de pagamentos, em reais, será igual a
a) 12.500.
b) 9.523.
c) 10.000.
d) 10.020.
e) 10.500.
30. (CESPE 2018/CAGE RS )
João é credor de uma dívida a taxa de juros de 5% ao mês que lhe pagará R$ 1.200 por mês nos
próximos 12 meses. O devedor lhe propõe refazer o parcelamento para 18 vezes, oferecendo
pagar 6,2% de juros por mês.
Considerando-se 0,56 e 0,34 como aproximações para (1,05)-12 e (1,062)-18 , respectivamente, é
correto afirmar que João terá um fluxo de recebimentos equivalente ao que tem hoje se a nova
parcela mensal for
a) inferior a R$ 600.
b) superior a R$ 600 e inferior a R$ 800.
c) superior a R$ 800 e inferior a R$ 1.000.
d) superior a R$ 1.000 e inferior a R$ 1.200.
e) superior a R$ 1.200.
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31. (CESPE 2014/MTE)
Fabiana comprou um veículo financiado, sem entrada, em 50 prestações mensais e consecutivas
de R$ 1.000,00, à taxa de juros compostos de 2% ao mês, com a primeira prestação vencendo um
mês após a compra.
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item a seguir, considerando 39,5 e 0,37 valores
aproximados, respectivamente, para
�0,99�
l�
��X
𝑒 1,02U�X
À vista, o preço do veículo é superior a R$ 32.000,00.
32. (CESPE 2014 /CAM DEP)
O Fundo de Amparo ao Trabalhador (FAT) é um fundo contábil-financeiro destinado ao custeio do
programa do seguro-desemprego e do abono salarial e ao financiamento de programas de
desenvolvimento econômico. Entre esses programas, incluem-se as linhas de financiamentos a
micro, pequenas e médias empresas, realizados com recursos dos chamados depósitos especiais,
que o fundo faz nas instituições financeiras oficiais federais (IFOFs).
Com base nas informações do texto e da tabela acima apresentados e considerando que 1,244,
1,121, 1,006 e 1,018 sejam, respectivamente, os valores aproximados de 1,1407 × 1,091,
1,062 × 1,0556, 1,08</<? 𝑒 1,006L, julgue o próximo item.
Caso um microempresário contrate um financiamento em uma IFOF que opere com recursos do
FAT, para pagar uma prestação mensal e consecutiva de R$ 1.000,00, e consiga quitar o
financiamento 3 meses (pagando as 3 últimas prestações) antes do prazo final para pagar a última
prestação, a uma taxa de desconto composto racional de 8% ao ano, então ele obterá um
desconto total inferior a R$ 55,00.
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33. (CESPE 2018/CAGE RS )
Um pai, preocupado em compor recursos para a educação superior de seu filho, idealizou juntar
dinheiro em uma conta investimento que rende 8% ao ano. O pai depositaria, durante nove anos,
R$ 24.000 por ano nessa conta, para que o filho fizesse cinco saques de valores iguais, um a cada
ano, com o primeiro saque um ano após o último depósito. O saldo remanescente a cada saque
ficaria rendendo à mesma taxa até o quinto saque, quando o saldo se anularia.
Nessa situação, considerando-se 0,68 e 2 como valores aproximados para (1,08)-5 e (1,08)9,
respectivamente, cada saque anual teria o valor de
a) R$ 67.100.
b) R$ 75.000
c) R$ 150.000.
d) R$ 10.500.
e) R$ 43.200.
34. (CESPE 2016/TCE-PR )
Carla, que planeja viajar daqui a seis meses, realizará, a partir de hoje, seis depósitos mensais de
R$ 2.000 em uma conta que rende 1% de juros líquidos ao mês, para custear as despesas da
viagem programada para durar seis meses. Durante a viagem, ela pretende realizar seis saques
mensais e iguais da conta em questão. A viagem ocorrerá no mês seguinte ao último depósito,
ocasião em que fará o primeiro saque.
Nessa situação hipotética, considerando-se 1,0615 como valor aproximado para (1,01)Y, o valor
do saque mensal que esgotará o saldo da conta após o sexto saque é igual a
a) R$ 2.000.
b) R$ 2.123.
c) R$ 2.102.
d) R$ 2.085.
e) R$ 2.020.
35. (CESPE 2016/TCE PA)Antônio planeja garantir uma renda extra na sua aposentadoria. Atualmente, as aplicações
disponíveis pagam a taxa nominal de juros de 20% ao ano, e ele espera que essa condição se
mantenha até a sua aposentadoria, que ocorrerá daqui a dois anos. Conforme publicado no dia
1.º/7/2016, no boletim da empresa onde Antônio trabalha, sua aposentadoria será deferida no dia
1.º/7/2018. Consciente dessa informação, ele se programou para ter um montante de R$ 100.000
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na data de sua aposentadoria, advindos de aplicações semestrais, de capitais iguais, em um fundo
de investimentos com capitalização semestral.
Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que se segue, considerando que 1,22 seja
o valor aproximado de 1,05l.
Se Antônio aplicasse, por um ano, R$ 1.000 a cada trimestre em um fundo de investimento com
capitalização trimestral, iniciando suas aplicações no final do primeiro trimestre, ao final do
período, ele teria acumulado um montante superior a R$ 4.200.
36. (CESPE 2015/MPU )
A respeito de rendas uniformes, julgue o item a seguir.
Considere que Maria deseje comprar um bem por R$ 100.000,00 à vista daqui a 4 anos e, para
conseguir esse valor, ela pretenda fazer depósitos anuais, consecutivos e iguais, que serão
corrigidos à taxa de juros compostos de 10% ao ano. Suponha ainda que, com esse objetivo, Maria
tenha feito o primeiro depósito na data de hoje. Nessa situação, considerando 1,61 como valor
aproximado para 1,1�, é correto afirmar que, para obter o valor necessário juntamente com o
último depósito, a quantia que Maria deverá depositar anualmente é inferior a R$ 16.400,00.
37. (CESPE 2015/MPU)
Com relação a séries de valores, valores atual e futuro e contas a receber, julgue o item seguinte.
Com a finalidade de constituir-se um fundo para aposentadoria, deve-se adotar o modelo básico
de capitalização, caracterizado por pagamentos mensais, de igual valor, durante trinta anos, a
partir do momento da assinatura do contrato.
38. (CESPE 2014/PF)
Para adquirir um imóvel, Arnaldo deposita R$ 2.000,00, mensalmente, em uma conta que
remunera os depósitos à taxa de juros compostos mensais i. Considerando que os depósitos sejam
realizados sempre na mesma data e assumindo 1,172 como valor aproximado para 1,02k, julgue o
item seguinte. Se i for igual a 2%, então, no momento do oitavo depósito, o montante na conta
será inferior a R$ 17.000,00.
39. (CESPE 2013/SEGER ES )
Texto para a questão
Com a finalidade de conquistar novos clientes, uma empresa de turismo oferece gratuitamente um
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pacote de serviços que dá direito a até sete dias de estadia em hotéis de sua rede conveniada,
sendo necessário pagar somente uma taxa fixa — mas que pode variar de um hotel para outro —
de uso por dia e por pessoa. Caso o cliente deseje, poderá adquirir, por R$ 3.600,00, um título de
sócio que lhe dará direito a sessenta diárias por ano em qualquer hotel da rede.
Um comerciante viaja a negócios e, uma vez por mês, ele se hospeda em um mesmo hotel da rede
e paga R$ 400,00 por duas diárias. Em vez de comprar um título de sócio da empresa de turismo, o
comerciante investiu a quantia correspondente ao valor do título de sócio em uma aplicação que
paga 5% de juros líquidos ao mês. Se, a partir do mês seguinte ao da aplicação, o comerciante
retirar, a cada mês, apenas a quantia necessária para pagar as diárias daquele mês, é correto
afirmar que, considerando os valores aproximados da tabela mostrada acima, a quantidade de
viagens que ele poderá fazer pagando as diárias do hotel com essa aplicação será igual a
a) 13.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) 12.
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7. GABARITOS
01. A
02. A
03. D
04. A
05. C
06. D
07. B
08. C
09. A
10. C
11. B
12. C
13. E
14. E
15. C
16. C
17. B
18. C
19. E
20. C
21. E
22. E
23. C
24. B
25. D
26. C
27. C
28. E
29. E
30. C
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31. E
32. C
33. B
34. B
35. C
36. C
37. E
38. E
39. E
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8. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS
01. (FCC 2019/AFAP – Economista)
O resultado mais próximo do valor presente de um fluxo de caixa uniforme com 5 termos positivos
de R$ 2.000,00, descontado a uma taxa de 2% ao mês, é de R$
a) 9.400,00.
b) 8.900,00.
c) 9.700,00.
d) 9.600,00.
e) 9.000,00.
Resolução
A questão poderia ter sido um pouco mais clara sobre as características do fluxo de caixa. Vou
construir um fluxo de caixa com pagamentos nas datas 1, 2, 3, 4 e 5. Queremos calcular o valor
presente do fluxo (𝑥).
Para calcular o valor presente, devemos transportar cada uma das prestações para a data zero.
Para tanto, basta dividir cada prestação por (1 + 𝑖)6 = (1 + 0,02)6 = 1,026.
𝑥 =
2.000
1,02< +
2.000
1,02? +
2.000
1,02L +
2.000
1,02l +
2.000
1,02�
𝑥 = 9.426,92
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A resolução acima está correta, mas não é prática, pois exige muitos cálculos com números
decimais.
Poderíamos ter aplicado direto a fórmula do valor presente do fluxo de caixa.
𝐴 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)6
𝑥 = 2.000 ∙
1,02� − 1
0,02 ∙ 1,02�
𝑥 = 9.426,92
Gabarito: A
02. (FCC 2018/ALE-SE)
A Cia. Construtora adquiriu um terreno para ser pago em 5 parcelas iguais de R$ 10.000,00,
vencíveis em 30, 60, 90, 120 e 150 dias, respectivamente. Ao pagar a terceira parcela, a Cia.
verificou que possuía condições financeiras para quitar as duas parcelas restantes.
Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pela instituição financeira era de 4% ao mês, a
equação que indica o valor que a Cia. deveria desembolsar para quitar o terreno, após pagar a
terceira parcela e na data de vencimento desta, é
a) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = <X.XXX
(<,Xl)
+ <X.XXX
(<,Xl)�
b) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = ?X.XXX
(<,Xl)�
c) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = ?X.XXX
(<,Xk)
d) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = 10.000 + <X.XXX
(<,Xl)
e) 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 = <X.XXX
(<,Xl)
+ <X.XXX
<,Xk
Resolução
As parcelas são vencíveis nos meses 1, 2, 3, 4 e 5.
Queremos antecipar as parcelas dos meses 4 e 5 para o mês 3.
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Para transportar uma parcela para o passado, devemos dividi-la por (1 + 𝑖)6.
Do 4º para o 3º mês, devemos antecipar apenas 1 mês. Logo, o valor a ser pago referente à quarta
parcela será <X.XXX
(<,Xl)�
.
Do 5º para o 3º mês, devemos antecipar 2 meses. Logo, o valor a ser pago referente à quinta
parcela será <X.XXX
(<,Xl)�
.
O valor total a ser pago no terceiro mês referente às duas últimas parcelas será:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 =
10.000
(1,04) +
10.000
(1,04)?
Gabarito: A
03. (FCC 2018/SEGEP-MA)
Para adquirir um lote de mercadorias, uma empresa obteve um empréstimo para ser pago em 5
parcelas mensais e iguais, cujo valor é R$ 20.000,00. A primeira parcela venceu 30 dias após a data
de obtenção do empréstimo e as parcelas subsequentes a cada 30 dias. Na data de vencimento da
terceira parcela, e antes do seu pagamento, a empresa optou pelo pagamento das 3 parcelas que
faltavam ser pagas para a liquidação do empréstimo. Se a taxa de juros compostos negociada na
data da obtenção do empréstimo foi 2% a.m., o valor que a empresa desembolsou para fazer a
liquidação foi, em reais,
a) 58.838,61.
b) 60.000,00.
c) 58.800,00.
d) 58.831,22.
e) 56.539,34.
Resolução
As parcelas são vencíveis nos meses 1, 2, 3, 4 e 5.
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Queremos pagar as três últimas parcelas na data 3.
Para tanto, devemos transportar essas parcelas para a data 3.
A terceira parcela já está na data 3.
Para transportar uma parcela para o passado, devemos dividi-la por (1 + 𝑖)6.
Do 4º para o 3º mês, devemos antecipar apenas 1 mês. Logo, o valor a ser pago referente à quarta
parcela será ?X.XXX
(<,X?)�
.
Do 5º para o 3º mês, devemos antecipar 2 meses. Logo, o valor a ser pago referente à quinta
parcela será ?X.XXX
(<,X?)�
.
Assim, o valor que a empresa desembolsou para fazer a liquidação foi
𝑉 = 20.000 +
20.000
1,02 +
20.000
1,02?
𝑉 ≅ 58.831,22
Gabarito: D
04. (FCC 2018/SEGEP-MA)
Uma empresa obteve um empréstimo à taxa de juros compostos de 2% ao mês e ainda restam
duas parcelas trimestrais de mesmo valor para sua liquidação. O valor de cada parcela é R$
30.000,00 e a primeira das duas parcelas vencerá em 90 dias. A empresa pretende alterar a forma
de pagamento, mantendo a mesma taxa de juros, e propõe à instituição financeira a liquidação da
seguinte forma:
− Uma parcela de R$ 25.000,00, na data de hoje.
− Uma parcela complementar, daqui a 60 dias.
A equação que permite calcular corretamente o valor da parcela complementar identificada pela
incógnita x, é
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a) 25.000(1,02)? + 𝑥 = LX.XXX
<,X?
+ LX.XXX
(<,X?)�
b) 25.000 + 𝑥 = LX.XXX
(<,X?)�
+ LX.XXX
(<,X?)�
c) 𝑥 = LX.XXX
(<,X?)�
+ LX.XXX
(<,X?)�
− 25.000
d) 25.000 + �
<,X?
= LX.XXX
(<,X?)�
+ LX.XXX
(<,X?)�
e) 𝑥(1,02)? = LX.XXX
<,X?
+ LX.XXX
(<,X?)�
− 25.000
Resolução
Observe que a taxa é mensal e as parcelas são trimestrais. A primeira parcela vence em 90 dias, ou
seja, 3 meses. A segunda parcela vencerá ao final do 2º trimestre, ou seja, 6 meses.
Queremos substituir esse fluxo de caixa por outro fluxo de caixa equivalente com uma parcela de
25.000 na data 0 e uma parcela de x reais na data 2 (60 dias).
Observe que, nas alternativas A, B e C, a incógnita 𝒙 não é multiplicada por fatores. Isso indica que
foi escolhida a data 2 como data focal.
Na alternativa D, a incógnita 𝒙 foi dividida por 𝟏, 𝟎𝟐, o que indica que a data 1 foi escolhida como
data focal. Já na alternativa E a incógnita 𝒙 foi multiplicada por 𝟏, 𝟎𝟐𝟐, o que indica que a data 4 foi
escolhida como data focal (a parcela 𝒙 foi transportada duas datas para o futuro). Apesar de ser
matematicamente possível, não há sentido algum escolher as datas 1 ou 4 como datas focais.
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Dificilmente a resposta será uma dessas alternativas. Vamos focar nas alternativas A, B e C. Caso a
resposta não esteja entre elas, vamos para as alternativas remanescentes.
Vamos escolher a data 2 como data focal, como sugerem as alternativas A, B e C.
A parcela 𝒙 já está na data 2 e não precisa ser transportada. A parcela de 25 mil reais precisa ser
multiplicada por (𝟏 + 𝒊)𝟐 para ser transportada da data 0 para a data 2.
Assim, a segunda opção de pagamento fica:
𝟐𝟓. 𝟎𝟎𝟎 ∙ (𝟏, 𝟎𝟐)𝟐 + 𝒙
Vamos agora para a primeira opção de pagamento. Devemos transportar as duas parcelas de 30
mil reais para a data 2.
Do 3º para o 2º mês, devemos antecipar apenas 1 mês. Logo, o valor a ser pago referente à parcela
de 30 mil da data 3 será LX.XXX
<,X?�
.
Do 6º para o 2º mês, devemos antecipar 4 meses. Logo, o valor a ser pago referente à outra
prestação de 30 mil será LX.XXX
(<,X?)�
.
Logo, a equação de equivalência fica:
𝟐𝟓. 𝟎𝟎𝟎 ∙ (𝟏, 𝟎𝟐)𝟐 + 𝒙 =
𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟎𝟐𝟏 +
𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏, 𝟎𝟐)𝟒
Gabarito: A
05. (FCC 2018/SEGEP-MA)
A Cia. Devedora adquiriu um imóvel para ser pago em 4 prestações iguais de R$ 30.000,00,
vencíveis em 30, 60, 120 e 180 dias, respectivamente. A taxa de juros composta cobrada foi de 3%
ao mês. Se a Cia. Devedora desejasse comprar o imóvel à vista, a equação que permite identificar o
valor que a Cia. desembolsaria, identificado pela variável x, é
a) 𝑥 = LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
b) 𝑥 = <?X.XXX
(<,XL)�
c) 𝑥 = LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
d) 𝑥 = 30.000 + LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
(<,XL)�
+ LX.XXX
(<,XL)�
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e) 𝑥 = LX.XXX
<,XL
+ LX.XXX
<,XY
+ LX.XXX
<,<?
+ LX.XXX
<,<k
Resolução
As parcelas são vencíveis nos meses 1, 2, 4 e 6.
Queremos transportar todas as parcelas para a data 0.
Para transportar uma parcela para o passado, devemos dividi-la por (1 + 𝑖)6.
Logo, o valor da parcela 𝑥 será igual a:
𝑥 =
30.000
(1 + 𝑖)< +
30.000
(1 + 𝑖)? +
30.000
(1 + 𝑖)l +
30.000
(1 + 𝑖)Y
𝑥 =
30.000
(1,03)< +
30.000
(1,03)? +
30.000
(1,03)l +
30.000
(1,03)Y
Gabarito: C
06. (FCC 2018/SEGEP-MA)
Uma empresa obteve um empréstimo no passado à taxa de juros compostos de 3% ao mês e ainda
resta uma parcela para sua liquidação. O valor da parcela é R$ 40.000,00 e vencerá em 90 dias. A
empresa pretende alterar a forma de pagamento, mantendo a mesma taxa de juros, e propõe à
instituição financeira a liquidação da seguinte forma:
− Uma parcela de R$ 15.000,00 na data de hoje.
− Uma parcela complementar daqui a 60 dias.
O valor da parcela complementar deve ser, em reais,
a) 21.605,67.
b) 25.000,00.
c) 26.522,50.
d) 22.921,45.
e) 22.348,17.
Resolução
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Queremos trocar uma parcelade 40 mil reais que vence em 3 meses por uma parcela de 15 mil
reais hoje e mais uma parcela complementar que vence daqui a 2 meses.
Precisamos escolher uma data focal para transportar os valores. Eu gosto de enviar para a data
mais futura possível, pois evitamos efetuar divisões. Assim, vamos escolher a data 3 como data
focal.
O valor de 40 mil reais já está na data 3. Vamos transportar os outros valores para a data 3.
15.000 ∙ 1,03L + 𝑥 ∙ 1,03< = 40.000
1,03𝑥 = 40.000 − 16.390,905
1,03𝑥 = 23.609,095
𝑥 = 22.921,45
Gabarito: D
07. (FCC 2018/TCE-RS)
A Cia. Copas obteve um empréstimo à taxa de juros compostos de 3% ao mês e restam três
parcelas trimestrais de mesmo valor para sua liquidação. O valor de cada parcela é R$ 40.000,00 e
a primeiras das três parcelas vencerá em 90 dias. A Cia. Copas quer alterar a forma de pagamento,
mantendo a mesma taxa de juros compostos, e propõe à instituição financeira a liquidação da
seguinte forma:
− Uma parcela de R$ 40.000,00 daqui a 60 dias.
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− Uma parcela complementar daqui a 120 dias.
A equação que indica corretamente o valor da parcela complementar, indicada por X, que a Cia.
Copas precisará pagar é
a) 40.000 + 𝑋 = 40.000 × (1,03) + lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
b) 40.000 × (1,03)? + 𝑋 = 40.000 × (1,03) + lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
c) 40.000 × (1,03)l + 𝑋 = 40.000 × (1,03) + lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
d) 40.000 + �
(<,XL)�
= lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
e) 40.000 × (1,03)? + �
(<,XL)�
= lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
+ lX.XXX
(<,XL)�
Resolução
A primeira parcela de 40 mil reais vence no terceiro mês. Como as parcelas são trimestrais, as
outras parcelas vencem nos meses 6 e 9.
Queremos substituir essa forma de pagamento por uma parcela de 40 mil reais daqui a 2 meses e
uma parcela complementar daqui a 4 meses.
Precisamos escolher uma data focal.
As alternativas A, B e C escolheram a data 4 como data focal, pois a parcela X não foi multiplicada
nem dividia pelo fator (𝟏 + 𝒊)𝒏.
As alternativas D e E escolheram a data 0 como data focal, pois a parcela X foi dividida por (𝟏 +
𝒊)𝟒.
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Vamos começar tentando utilizar a data 4 como data focal.
A parcela X já está na data 4 e não precisa ser transportado. Para levar a parcela de 40 mil da data
2 para a data 4, devemos multiplicá-la por (𝟏 + 𝒊)𝟐.
𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏, 𝟎𝟑𝟐 + 𝑿
Vamos agora transportar as 3 parcelas de 40 mil para a data 4. Uma delas será avançada 1 mês
para o futuro e as outras serão levadas para o passado.
𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏, 𝟎𝟑𝟏 +
𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟎𝟑𝟐 +
𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟎𝟑𝟓
Agora é só igualar as duas formas de pagamento.
𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏, 𝟎𝟑𝟐 + 𝑿 = 𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏, 𝟎𝟑𝟏 +
𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟎𝟑𝟐 +
𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟎𝟑𝟓
Gabarito: B
08. (FCC 2018/TCE-RS)
Determinada empresa adquiriu um terreno para ser pago em 4 prestações iguais no valor de R$
60.000,00. A primeira parcela vencia após 30 dias, a segunda após 90 dias, a terceira após 180 dias
e a quarta após 210 dias, com estes prazos contados sempre a partir da data da compra. A taxa de
juros compostos cobrada foi 8% ao trimestre.
Se a empresa desejasse comprar o terreno à vista, a equação que permite calcular o valor (X) que a
empresa deveria desembolsar é
a) 𝑋 = YX.XXX
<c�,���
+ YX.XXX
(<,Xk)
+ YX.XXX
(<cX,Xk×?)
+ YX.XXX
�<cX,Xk���
b) 𝑋 = YX.XXX
(<,Xk)
+ YX.XXX
(<,Xk)�
+ YX.XXX
(<,Xk)�
+ YX.XXX
(<,Xk)�
c) 𝑋 = YX.XXX
(<,Xk)
�
�
+ YX.XXX
(<.Xk)
+ YX.XXX
<,Xk�
+ YX.XXX
(<,Xk)
�
�
d) 𝑋 = ?lX.XXX
(<,Xk)�/�
e) 𝑋 = YX.XXX
<,Xk
+ YX.XXX
<,?l
+ YX.XXX
<,lk
+ YX.XXX
<,�Y
Resolução
A taxa é dada é trimestral. Assim, a primeira parcela vence na data 1/3 (30 dias = 1/3 de trimestre),
a segunda parcela vence na data 1 (90 dias = 1 trimestre), a terceira prestação vence na data 2
(180 dias = 6 meses = 2 trimestres) e a quarta prestação vence na data 7/3 (210 dias = 7 meses =
7/3 de trimestre).
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Queremos saber o valor atual (valor na data 0) desse fluxo de caixa. Assim, devemos transportar
cada uma das prestações de 60 mil para a data zero.
Para tanto, basta dividir cada prestação por (1 + 𝑖)6 = (1 + 0,08)6 = 1,086.
𝑋 =
60.000
1,08</L +
60.000
1,08< +
60.000
1,08? +
60.000
1,08¢/L
Gabarito: C
09. (FCC 2018/SEFAZ-GO)
O preço à vista de um apartamento é R$ 210.000,00. Jorge fez uma proposta ao proprietário para
adquirir esse imóvel pagando o em três parcelas iguais, a primeira à vista, a segunda após 1 ano e a
terceira depois de 2 anos. O proprietário aceitou a proposta, desde que fossem cobrados juros
compostos de 100% ao ano sobre o saldo devedor após o pagamento de cada parcela. Nas
condições impostas pelo proprietário, o valor de cada uma das três parcelas a serem pagas por
Jorge, em reais, deverá ser igual a
a) 120.000,00.
b) 90.000,00.
c) 100.000,00.
d) 70.000,00.
e) 130.000,00.
Resolução
Observe o fluxo de caixa comparando as duas opções de pagamento.
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Não podemos comparar as quantias em épocas diferentes. Assim, devemos escolher uma data
focal para transportar todos os valores. Para evitar divisões, vamos escolher a data 2 como data
focal.
Vamos transportar todos os valores para a data 2 e igualar as duas formas de pagamento.
𝑥 + 𝑥 ∙ (1 + 𝑖)< + 𝑥 ∙ (1 + 𝑖)? = 210.000 ∙ (1 + 𝑖)?
Vamos substituir 𝑖 por 100% = 1.
𝑥 + 𝑥 ∙ (1 + 1)< + 𝑥 ∙ (1 + 1)? = 210.000 ∙ (1 + 1)?
𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 = 210.000 ∙ 4
7𝑥 = 840.000
𝑥 = 120.000
Gabarito: A
10. (CESPE 2013/TCU)
Suponha que Fábio tenha decido depositar mensalmente, sempre no dia 2 de cada mês, a quantia
fixa de R$ 360,00 em uma conta que remunera o capital a uma taxa composta de 2% ao mês.
Considerando essa situação hipotética, julgue o item que se segue. Considere que Fábio tenha
feito o primeiro depósito no dia 2 de fevereiro, mas que tenha deixado de depositar os valores
correspondentes aos dias 2 de março e 2 de abril. Se Fábio atualizar os depósitos no dia 2 de maio,
de forma que o montante final corresponda ao valor que deveria constar na conta caso tivessem
sido realizados os dois depósitos não efetuados, então o depósito a ser realizado por Fábio deverá
ser superior a R$ 1.100,00.
Resolução
Devemos atualizar os depósitos não feitos nos dias 2 de março e 2 de abril.
O depósito do mês de março será levado dois meses para o futuro. Devemos, portanto, multiplicá-
lo por (1 + 𝑖)?.
O depósito do mês de abril será levado um mês para o futuro. Devemos multiplicá-lo por (1 + 𝑖)<.
O depósito do próprio mês de maio não precisa ser transportado, ou seja, será igual a 360 reais.
Assim, o depósito a ser feito no dia 2 de maio é igual a:
360 ∙ (1 + 0,02)? + 360 ∙ (1 + 0,02)< + 360
≅ 374,54 + 367,20 + 360 = 1.101,74
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Gabarito: Certo
11. (CESPE 2009/TCE-AC)
Uma pessoa comprou um veículo pagando uma entrada, no ato da compra, de R$ 3.500,00, e mais
24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. A primeira prestação foi paga um mês
após a compra e o vendedor cobrou 2,5% de juros compostos ao mês. Considerando 0,55 como
valor aproximado para 1,025U?l, é correto afirmar que o preço à vista, em reais, do veículo foi
A) inferior a 16.800.
B) superior a 16.800 e inferior a 17.300.
C) superior a 17.300 e inferior a 17.800.
D) superior a 17.800 e inferior a 18.300.
E) superior a 18.300.
Resolução
Vamos calcular o valor atual da série de 24 pagamentos mensais e somar com o valor da entrada
de R$ 3.500,00.
𝐴 = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d
Lembrando que quando a questão fornece potências com expoente negativo, devemos usar:
𝑎6¬d =
1 − (1 + 𝑖)U6
𝑖
𝑎?l¬?,�% =
1 − (1 + 0,025)U?l
0,025 =
1 − 0,55
0,025 = 18
Assim, o valor atual é igual a:
𝐴 = 𝑃 ∙ 𝑎6¬d = 750 ∙ 18 = 13.500
O preço à vista do carro é 13.500 + 3.500 = 17.000 reais.
Gabarito: B
12. (CESPE 2013/TCU)
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Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no
valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo,
terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha
concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a
antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Considere que, no contrato assinado entre a empresa e o órgão público, tenha sido acordado que
o pagamento das quatro parcelas, com valores iguais a R$ 132.000,00, possa, de comum acordo
entre as partes, ser feito ao final dos quatro anos, sendo a taxa composta de juros incidente sobre
as parcelas igual a 1,5% ao mês. Nessa situação, caso houvesse previsão dessa cláusula para o
pagamento das parcelas, e tomando 1,2 como valor aproximado para 1,01512, é correto afirmar
que o pagamento à empresa que seria feito quatro anos após a contratação seria superior a R$
576.000,00.
Resolução
Antes de falar na série de pagamentos, vamos analisar a taxa de juros.
As prestações são anuais, mas a taxa é mensal. Vamos calcular a taxa anual equivalente.
(1 + 𝑖£)< = (1 + 𝑖¤)<?
1 + 𝑖£ = (1 + 0,015)<?
1 + 𝑖£ = 1,2
𝑖£ = 0,2
É com esta taxa que devemos trabalhar.
Poderíamos resolver esta questão utilizando apenas o conceito de equivalência de capitais.
Entretanto, como são 4 parcelas, podemos utilizar a fórmula do valor futuro de uma série de
pagamentos.
𝐹 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖
𝐹 = 132.000 ∙
(1 + 0,2)l − 1
0,2
𝐹 ≅ 132.000 ∙
2,0736 − 1
0,2
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𝐹 = 708.576
O item está certo.
Como comentei, poderíamos ter utilizado apenas o conceito de equivalência de capitais.
O pagamento de 132.000 que está previsto para a data 4 não precisa ser transportado.
O pagamento da data 3 será transportado 1 data para o futuro, será multiplicado por (1 + 𝑖)<.
O pagamento da data 2 será transportado 2 datas para o futuro, será multiplicado por (1 + 𝑖)?.
O pagamento da data 1 será transportado 3 datas para o futuro, será multiplicado por (1 + 𝑖)L.
Assim,
𝐹 = 132.000 + 132.000 ∙ (1 + 𝑖)< + 132.000 ∙ (1 + 𝑖)? + 132.000 ∙ (1 + 𝑖)L
𝐹 = 132.000 + 132.000 ∙ (1 + 0,2)< + 132.000 ∙ (1 + 0,2)? + 132.000 ∙ (1 + 0,2)L
𝐹 = 132.000 + 158.400 + 190.080 + 228.096
𝐹 = 708.576
Gabarito: Certo
13. (CESPE 2017/SEDF )
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada, a
respeito de juros, divisão proporcional e regra de três.
Um objeto cujo valor à vista é de R$ 2.100,00 foi comprado para ser pago em duas prestações
mensais, iguais e consecutivas, com a primeira vencendo um mês após a compra. A taxa de juros
compostos do financiamento foi de 10% ao mês.
Nessa situação, cada prestação teve valor inferior a R$ 1.200,00.
Resolução
Seja x o valor de cada prestação. Temos uma prestação na data 1 e outra prestação na data 2.
O valor à vista de R$ 2.100 está na data 0.
Para montar a equação de equivalência, devemos transportar todos os valores para a mesma data
(data focal).
Poderíamos transportar todos os valores para a data 0, por exemplo.
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- O valor à vista já está na data 0.
Para transportar um valor futuro para a data 0, devemos dividir cada prestação por (1 + 𝑖)6.
Nossa equação ficaria assim:
𝑥
(1 + 𝑖)< +
𝑥
(1 + 𝑖)? = 2.100
Mas dividir é bem trabalhoso na maioria dos casos.
Vamos então escolher como data focal a data 2.
Uma das prestações de x reais já está na data 2 (não precisa ser transportada). Para transportar a
outra prestação da data 1 para a data 2, devemos multiplicá-la por (1 + 𝑖)<.
Para transportar o valor à vista (data 0) de R$ 2.100 para a data 2, devemos multiplicá-lo por
(1 + 𝑖)?.
A nossa equação fica:
𝑥 + 𝑥 ∙ (1 + 𝑖)< = 2.100 ∙ (1 + 𝑖)?
𝑥 + 𝑥 ∙ (1 + 0,10)< = 2.100 ∙ (1 + 0,10)?
𝑥 + 1,1𝑥 = 2.541
2,1𝑥 = 2.541
𝑥 = 1.210 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Gabarito: ERRADO
14. (CESPE 2016 /FUNPRESP)
Com relação às anuidades e aos sistemas de amortização, julgue o item subsequente.
O valor atual (VA) de uma anuidade postecipada que pague R$ 200 ao ano, pelo prazo de três anos,
à taxa de juros de 5% ao ano, será corretamente calculado pela expressão VA = 200 × (1 + 0,05) +
200 × (1 + 0,05)2 + 200 × (1 + 0,05)3.
Resolução
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Queremos transportar as prestações futuras para a data 0. Para tanto, devemos DIVIDIR cada
prestação por (1 + 𝑖)6. O item está errado, pois as prestações estão sendo multiplicadas por
(1 + 𝑖)6.
Gabarito: ERRADO
15. (CESPE 2016 /TCE-SC)
No item que se segue, é apresentada uma situação hipotética a respeito de avaliação de
investimentos e de taxas de juros, seguida de uma assertiva a ser julgada.
João comprou um equipamento, cujo preço à vista era de R$ 800, em duas prestações mensais,
consecutivas e distintas. A primeira prestação, de R$ 440, foi paga um mês após a compra, e a taxa
de juros compostos desse negócio foi de 10% ao mês. Nessa situação, o valor da segunda
prestação foi superior a R$ 480.
Resolução
A taxa de juros é de 10% ao mês. João comprou um equipamento que vale R$ 800,00. Como João
não deu entrada, ele está devendo R$ 800,00 à loja.
Um mês após a compra, João está devendo 800 x 1,10 = R$880,00.
João então paga R$ 440,00. Desta maneira, João ainda está devendo 880 – 440 = 440 reais.
A taxa incidirá sobre o saldo devedor de R$ 440,00. Um mês depois, a divida será de 440 x 1,10 =
484 reais.
João precisa pagar 484 reais para saldar totalmente sua dívida.
O item está certo.
Vamos agora resolver utilizando o conceito de equivalência de capitais.
Não podemos comparar valores em datas diferentes. Vamos transportar todos os valores para a
data 2.
A prestação desconhecida de x reais já está na data 2.
A primeira prestação de R$ 440 está na data 1. Vamos multiplicá-la por (1 + 𝑖)<.
O valor à vista está na data 0. Para transportá-lo para a data 2, vamos multiplicá-lo por (1 + 𝑖)?.
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𝑥⏟
¦§¨©6ª£ «¬§wv£çã¯
+ 440 ∙ (1 + 0,10)<°±±±±²±±±±³
´¬d¤§d¬£ ´¬§wv£çã¯
= 800 ∙ (1 + 0,10)?°±±±±²±±±±³
µ£¶¯¬ à ¸dwv£
𝑥 + 484 = 968
𝑥 = 484
Gabarito: CERTO
16. (CESPE 2016/TCE-SC)
No item que se segue, é apresentada uma situação hipotética a respeito de avaliação de
investimentos e de taxas de juros, seguida de uma assertiva a ser julgada.
Uma casa foi colocada à venda por R$ 120.000 à vista, ou em três parcelas, sendo a primeira de R$
20.000 no ato da compra e mais duas mensais e consecutivas, sendo a primeira no valor de R$
48.000 a ser pago um mês após a compra e a segunda, no final do segundo mês, no valor de R$
72.000. Se a taxa de juros compostos na venda parcelada for de 20% ao mês, a melhor opção de
compra é pela compra parcelada.
Resolução
Para comparar as duas opções de pagamento, devemos transportar os valores para uma mesma
data (data focal). Vou escolher a data 0, calculando assim o valor presente líquido das duas opções.
Vamos transportar todos os valores para a data da compra.
A primeira opção, pagamento à vista, já está na data desejada. Vamos efetuar o transporte dos
valores da segunda opção.
𝐴 = 20.000 +
48.000
1,20 +
72.000
1,20?
𝐴 = 20.000 + 40.000 + 50.000 = 110.000
Assim, é mais vantajosa a segunda opção.
Gabarito: Certo
17. (CESPE 2016/TCE-PR)
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Ao estudar uma proposta de negócio com duração de dois anos, um investidor espera o cenário
apresentado na tabela precedente, em que os valores estão em reais.
Nessa situação, se a taxa anual de juros para desconto do fluxo for de 10% ao ano, e se o investidor
desejar um fluxo equivalente ao do cenário apresentado, mas com retornos iguais nos dois anos, o
valor de cada retorno será igual a
a) R$ 61.000.
b) R$ 60.000.
c) R$ 64.000.
d) R$ 63.000.
e) R$ 62.000.
Resolução
Queremos que os retornos em cada ano sejam iguais. Digamos que será de x reais no primeiro ano
e x reais no segundo ano.
Ora, não podemos comparar valores em épocas diferentes, ou seja, não podemos fazer 𝑥 + 𝑥 =
55.000 + 65.500.
Para montar a nossa equação, devemos transportar todos os valores para uma mesma data: a data
focal.
Para ficar mais rápido, vamos transportar os valores para a data 2.
Desta forma, vamos transportar os retornos do primeiro ano para o segundo ano multiplicando por
(1 + 𝑖)<.
Nossa equação fica:
𝑥 + 𝑥 ∙ (1 + 𝑖)< = 65.500 + 55.000 ∙ (1 + 𝑖)<
𝑥 + 𝑥 ∙ (1 + 0,10)< = 65.500 + 55.000 ∙ (1 + 0,10)<
2,1𝑥 = 126.000
𝑥 = 60.000
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Gabarito: B
18. (CESPE 2014/MTE )
Eduardo abriu, em 5/4/2010, uma conta remunerada que paga juros compostos de 10% ao ano.
Nos dias 5/4/2010, 5/4/2011 e 5/4/2012, ele depositou, nessa conta, uma mesma quantia, de
modo que esses três depósitos foram os únicos feitos na conta. No dia 5/3/2013, Eduardo fez um
empréstimo de R$ 60.000,00, o qual deve ser quitado pelo sistema de amortização francês (SAF)
em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 3.641,00, com a primeira prestação
vencendo um mês após a tomada do empréstimo.
Se, na data do pagamento da primeira prestação, o saldo na conta remunerada for igual ao valor
da prestação do empréstimo, então cada uma das 3 quantias depositada por Eduardo foi inferior a
R$ 1.050,00.
Resolução
Suponha que cada valor depositado tenha sido de x reais.
O primeiro depósito foi feito em 2010, o segundo em 2011 e o terceiro em 2012. O saldo em 2013
era de 3.641.
Obviamente não podemos fazer 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 3.641 porque estes valores estão em épocas
diferentes.
Para montar a equação, devemos transportar todos os valores para a mesma data (a data focal).
Vamos tomar como data focal o dia 5/4/2013.
O valor de 3.641 reais já está na data focal e não precisa ser transportado. Vamos multiplicar cada
uma das prestações de x reais por (1 + 𝑖)6.
𝑥 ∙ (1 + 𝑖)<°±±²±±³
ª§«ówdv¯ ª§ ?X<?
+ 𝑥 ∙ (1 + 𝑖)?°±±²±±³
ª§«ówdv¯ ª§ ?X<<
+ 𝑥 ∙ (1 + 𝑖)L°±±²±±³
ª§«ówdv¯ ª§ ?X<X
= 3.641°²³
w£¶ª¯ §¤ ?X<L
𝑥 ∙ 1,10< + 𝑥 ∙ 1,10? + 𝑥 ∙ 1,10L = 3.641
3,641𝑥 = 3.641
𝑥 = 1.000 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Cada depósito foi de 1.000 reais.
Gabarito: CERTO
19. (CESPE 2014/CEF)
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No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada
com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que
remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata.
Para a aquisição de um bem apenas com recursos investidos na aplicação financeira X, Bruno
dispõe das seguintes opções de pagamento:
opção A – pagamento à vista, com desconto de 2% do valor de tabela; ou
opção B – pagamento em duas parcelas, cada uma delas igual à metade do valor de tabela do bem,
a primeira vencendo no ato da compra e a segunda vencendo 1 mês após a compra.
Nessa situação, a opção B é financeiramente mais vantajosa para Bruno.
Resolução
Suponha que o valor do bem seja de 100 reais.
Na opção A, há um desconto de 2%. Portanto, o valor na data 0 é de 98 reais na opção A.
Na opção B, o indivíduo pagará duas prestações de 50 reais. A primeira prestação é paga na data 0
e a segunda prestação é paga na data 1.
Vamos transportar estas duas prestações para a data 0 para poder comparar com a opção A.
A primeira prestação de 50 reais já está na data 0. Para transportar a segunda prestação, devemos
dividir por (1 + 𝑖)<.
𝐵 = 50 +
50
1,01< = 99,50
O valor atual da opção A é menor. Portanto, a opção A é mais vantajosa.
Gabarito: ERRADO
20. (CESPE 2014/CEF )
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada
com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que
remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata.
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Para adquirirum bem apenas com recursos investidos na aplicação financeira X, Carlos dispõe das
seguintes opções de pagamento:
opção A – pagamento à vista, com desconto de 3% do valor de tabela; ou
opção B – pagamento em duas parcelas, cada uma delas igual à metade do valor de tabela do bem,
a primeira vencendo 1 mês após a compra e a segunda vencendo 2 meses após a compra.
Nessa situação, a opção A é financeiramente mais vantajosa para Carlos.
Resolução
Suponha que o valor do bem seja de 100 reais.
Na opção A, há um desconto de 3%. Portanto, o valor na data 0 é de 97 reais na opção A.
Na opção B, o indivíduo pagará duas prestações de 50 reais. A primeira prestação é paga na data 1
e a segunda prestação é paga na data 2.
Vamos calcular o valor atual (data 0) na opção B. Basta dividir cada prestação por (1 + 𝑖)6.
𝐵 =
50
1,01 +
50
1,01? = 98,52
O valor atual da opção A é menor. Portanto, a opção A é mais vantajosa.
Observe que quando transportamos os valores para a data 0, somos forçados a efetuar divisões
chatas.
Uma outra opção seria transportar todos os valores para a data 2. Neste caso, devemos multiplicar
os valores por (1 + 𝑖)6.
Opção A
97 ∙ (1 + 0,01)? = 98,95
Opção B
50 + 50 ∙ (1 + 0,01)< = 100,50
Novamente a opção A é mais vantajosa.
Gabarito: CERTO
21. (CESPE 2014/CEF)
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No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada
com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que
remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata.
No dia 3/12/2013, Alberto iniciou um investimento mediante um depósito de R$ 100,00 na
aplicação financeira X. No dia 3/1/2014, ele fez um segundo depósito desse mesmo valor, e, no dia
3/2/2014, fez um terceiro depósito, também no valor de R$ 100,00. Durante todo esse período,
nenhum montante foi retirado dessa aplicação. Nessa situação, no dia 3/2/2014, após ter efetuado
o terceiro depósito, Alberto possuía mais de R$ 304,00 investidos na aplicação X.
Resolução
Queremos saber o montante no dia 3/2/2014. Vamos transportar todos os valores para esta data.
A data 0 é 3/12/2013, a data 1 é 3/1/2014 e a data 2 é 3/2/2014.
Um dos depósitos foi feito na data 2. Este valor não precisa ser transportado.
O valor dos depósitos na data 2 será:
100»
ª§«ówdv¯ ª£ ª£v£ ?
+ 100 ∙ 1,01<°±±²±±³
ª§«ówdv¯ ª£ ª£v£ <
+ 100 ∙ 1,01?°±±²±±³
ª§«ówdv¯ ª£ ª£v£ X
= 303,01
O valor é inferior a R$ 304,00.
Gabarito: ERRADO
22. (CESPE 2014/CEF )
No item a seguir, é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada
com base nas seguintes informações: determinado banco oferece a aplicação financeira X, que
remunera a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês e tem liquidez imediata.
Para comprar um bem apenas com recursos investidos na aplicação financeira X, Daniel dispõe das
seguintes opções de pagamento:
opção A – pagamento à vista, com desconto de 10% do valor de tabela; ou
opção B – pagamento em doze parcelas mensais, cada uma delas igual a 1/12 do valor de tabela do
bem, a primeira vencendo 1 mês após a compra.
Para verificar qual dessas opções de pagamento seria financeiramente mais vantajosa para ele,
Daniel utilizou 11,26 como valor aproximado para a expressão
�
1
1,01�
<?
��<
.
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Nessa situação, a opção B é financeiramente mais vantajosa para Daniel.
Resolução
Vamos agora supor que o valor do bem seja de R$ 120,00.
Na opção A, com desconto de 10%, o valor à vista é de 120 ∙ 0,90 = 108 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠.
Na opção B, teremos 12 parcelas de 10 reais. A primeira parcela será na data 1, a segunda parcela
na data 2, e assim por diante, até a 12ª parcela na data 12. Para transportar todas essas parcelas
para a data 0, devemos dividir cada uma por (1 + 𝑖)6. O valor atual dessa série de pagamentos é:
𝐵 =
10
1,01< +
10
1,01? + ⋯+
10
1,01<?
Vamos colocar o número 10 em evidência.
𝐵 = 10 ∙ ¼
1
1,01< +
1
1,01? + ⋯+
1
1,01<?½
Esta soma que está dentro dos parênteses foi fornecida no enunciado. A banca utilizou a notação
de somatório. O símbolo
�
1
1,01�
<?
��<
significa que vamos somar parcelas <
<,X<¾
em que k varia de 1 a 12. Ficamos com:
𝐵 = 10 ∙ ¼
1
1,01< +
1
1,01? + ⋯+
1
1,01<?½ = 10 ∙ 11,26 = 112,60
A opção A é mais vantajosa.
Gabarito: ERRADO
23. (CESPE 2014/PF)
O item subsequente apresenta uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada, a
respeito de rendas ou anuidades.
Na venda de um veículo que custa R$ 40.000,00, uma concessionária ofereceu ao cliente as
seguintes opções de pagamento:
I à vista, com 12,5% de desconto;
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II em 4 parcelas mensais, iguais e consecutivas, de R$ 10.000,00, à taxa de juros de 10% ao mês; a
primeira deve ser paga no ato da compra.
Nesse caso, considerando 0,91, 0,83 e 0,75 valores aproximados para 1,1-1, 1,1-2 e 1,1-3,
respectivamente, a opção II será a mais vantajosa para o cliente.
Resolução
Na opção I, há um desconto de 12,5%. Assim, o valor à vista na opção I é de:
40.000 ∙ (1 − 0,125) = 35.000
Na opção II, temos uma prestação na data 0, uma prestação na data 1, outra na data 2 e outra na
data 3. Vamos transportar todas essas prestações para a data 0, para que possamos comparar com
a opção I.
10.000°±²±³
«¬§wv£ç㯠«£¨£ 6¯ £v¯ ª£ ¿¯¤«¬£
+
10.000
1,10<°±²±³
«¬§wv£ç㯠ª£ ª£v£ <
+
10.000
1,10?°±²±³
«¬§wv£ç㯠ª£ ª£v£ ?
+
10.000
1,10L°±²±³
«¬§wv£ç㯠ª£ ª£v£ L
Lembre-se que <
£e
= 𝑎U6.
= 10.000 + 10.000 ∙ 1,10U< + 10.000 ∙ 1,10U? + 10.000 ∙ 1,10UL
= 10.000 ∙ (1 + 1,10U< + 1,10U? + 1,10UL)
= 10.000 ∙ (1 + 0,91 + 0,83 + 0,75) = 34.900
A opção II é mais vantajosa.
Gabarito: CERTO
24. (CESPE 2014 /TJ CE )
Um empresário possui as seguintes obrigações financeiras contratadas com o banco X: dívida de R$
12.900,00 vencível em 1 mês; dívida de R$ 25.800,00 vencível em 6 meses; dívida de R$ 38.700,00
vencível em 10 meses. Prevendo dificuldades para honrar o fluxo de caixa original, o banco X
propôs substituir o plano original de desembolso pelo pagamento de 2 prestações iguais: a
primeira com vencimento em 12 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Supondo-se
que a taxa de juros compostos vigente no mercado seja de 3% ao mês, e que 0,97, 0,84, 0,74, 0,7 e
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0,59 sejam valores aproximados para 1,03U<, 1,03UY, 1,03U<X, 1,03U<? 𝑒 1,03U<k, respectivamente,
é correto afirmar que o valor da prestação, em reais, é
a) superior a 40.000 e inferior a 45.000.
b) superior a 45.000 e inferior a 50.000.
c) superior a 50.000 e inferior a 55.000.
d) superior a 55.000.
e) inferior a 40.000.
Resolução
Primeiro conjunto de capitais: dívida de R$ 12.900,00 vencível em 1 mês; dívida de R$ 25.800,00
vencível em 6 meses; dívida de R$ 38.700,00vencível em 10 meses.
Segundo conjunto de capitais: 2 prestações iguais (x reais cada) - a primeira com vencimento em
12 meses e a segunda com vencimento em 18 meses.
Os dois conjuntos de capitais são equivalentes a uma taxa de 3% ao mês. Pelas potências
fornecidas no enunciado, vamos escolher a data 0 como data focal. Vamos transportar todos os
valores para a data 0 dividindo cada um por (1 + 𝑖)6 = (1 + 0,03)6.
Lembre-se que dividir por (1 + 𝑖)6 é o mesmo que multiplicar o valor por (1 + 𝑖)U6.
12.900
1,03< +
25.800
1,03Y +
38.700
1,03<X =
𝑥
1,03<? +
𝑥
1,03<k
12.900 ∙ 1,03U< + 25.800 ∙ 1,03UY + 38.700 ∙ 1,03U<X = 𝑥 ∙ 1,03U<? + 𝑥 ∙ 1,03U<k
12.900 ∙ 0,97 + 25.800 ∙ 0,84 + 38.700 ∙ 0,74 = 𝑥 ∙ 0,7 + 𝑥 ∙ 0,59
62.823 = 1,29𝑥
𝑥 = 48.700
Gabarito: B
25. (CESPE 2013/SEGER ES)
Em uma loja de departamentos, pode-se comprar ternos à vista com 10% de desconto sobre o
preço divulgado na vitrine, ou em parcelas mensais iguais, sem juros, dividindo-se o preço de
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vitrine por 3, mas a primeira parcela deve ser paga no ato da compra.
Considerando 27,9 como valor aproximado para √780, é correto afirmar que o custo efetivo do
dinheiro para quem compra, nessa loja, um terno a prazo é
a) superior a 13%.
b) inferior a 10%.
c) superior a 10% e inferior a 11%.
d) superior a 11% e inferior a 12%.
e) superior a 12% e inferior a 13%.
Resolução
Vamos supor que o preço do terno é de 30 reais. O valor à vista tem 10% de desconto. Portanto, o
valor à vista é de 27 reais.
Na opção parcelada, serão 3 pagamentos de 10 reais, sendo o primeiro no ato da compra (data 0).
Para montar a equivalência de capitais, vamos escolher a data 2 como data focal (é melhor
multiplicar do que dividir J).
Para transportar o valor à vista para a data 2, devemos multiplicá-lo por (1 + 𝑖)?.
Temos 3 prestações de 10 reais. Uma delas já está na data 0. Vamos transportar as outras duas.
Nossa equação fica:
27 ∙ (1 + 𝑖)?°±±±²±±±³
¸£¶¯¬ à ¸dwv£
= 10 ∙ (1 + 𝑖)?°±±±²±±±³
«¬§wv£ç㯠6¯ £v¯ ª£ ¿¯¤«¬£
+ 10 ∙ (1 + 𝑖)<°±±±²±±±³
«¬§wv£ç㯠ª£ ª£v£ <
+ 10À
«¬§wv£ç㯠6£ ª£v£ ?
Para facilitar a resolução da equação, vamos fazer uma substituição de incógnita. Vamos fazer 𝑥 =
1 + 𝑖.
Assim, nossa equação fica:
27𝑥? = 10 + 10𝑥 + 10𝑥?
17𝑥? − 10𝑥 − 10 = 0
Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 17, 𝑏 = −10 𝑒 𝑐 = −10.
A solução de uma equação do tipo 𝑎𝑥? + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 é dada por:
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏? − 4𝑎𝑐
2𝑎
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𝑥 =
10 ± G(−10)? − 4 ∙ 17 ∙ (−10)
2 ∙ 17
𝑥 =
10 ± √780
34
A questão informou que √780 ≅ 27,9.
𝑥 =
10 ± 27,9
34
A taxa i é positiva. Vamos utilizar apenas +.
𝑥 =
10 + 27,9
34
𝑥 ≅ 1,1147
Como 𝑥 = 1 + 𝑖, temos:
1 + 𝑖 ≅ 1,1147
𝑖 ≅ 11,47%
Gabarito: D
26. (CESPE 2013/SEFAZ ES )
Em certo estado, o IPVA pode ser pago à vista com 5% de desconto ou em três pagamentos iguais,
mensais e sucessivos: o primeiro pagamento deve ser feito na data de vencimento do pagamento à
vista. Nesse caso, considerando 2,9 como valor aproximado para 8,4</?, é correto afirmar que a
taxa de juros mensal embutida no financiamento será
a) superior a 3% e inferior a 4%.
b) superior a 4% e inferior a 5%.
c) superior a 5% e inferior a 6%.
d) superior a 6%
e) inferior a 3%.
Resolução
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102
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Vamos supor que o valor do IPVA é de 30 reais. O valor à vista tem 5% de desconto. Portanto, o
valor à vista é de 28,50 reais.
Na opção parcelada, serão 3 pagamentos de 10 reais, sendo o primeiro na data do vencimento do
pagamento à vista (data 0).
Para montar a equivalência de capitais, vamos escolher a data 2 como data focal (é melhor
multiplicar do que dividir J).
Para transportar o valor à vista para a data 2, devemos multiplicá-lo por (1 + 𝑖)?.
Temos 3 prestações de 10 reais. Uma delas já está na data 0. Vamos transportar as outras duas.
Nossa equação fica:
28,50 ∙ (1 + 𝑖)?°±±±±²±±±±³
¸£¶¯¬ à ¸dwv£
= 10 ∙ (1 + 𝑖)?°±±±²±±±³
«¬§wv£ç㯠6¯ £v¯ ª£ ¿¯¤«¬£
+ 10 ∙ (1 + 𝑖)<°±±±²±±±³
«¬§wv£ç㯠ª£ ª£v£ <
+ 10À
«¬§wv£ç㯠6£ ª£v£ ?
Para facilitar a resolução da equação, vamos fazer uma substituição de incógnita. Vamos fazer 𝑥 =
1 + 𝑖.
Assim, nossa equação fica:
28,50𝑥? = 10 + 10𝑥 + 10𝑥?
18,50𝑥? − 10𝑥 − 10 = 0
Temos uma equação do segundo grau em que 𝑎 = 18,50, 𝑏 = −10 𝑒 𝑐 = −10.
A solução de uma equação do tipo 𝑎𝑥? + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 é dada por:
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏? − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
10 ± G(−10)? − 4 ∙ 18,50 ∙ (−10)
2 ∙ 18,50
𝑥 =
10 ± √840
37
A questão informou que 8,4</? = √8,4 ≅ 2,9. Portanto, √840 = √8,4 × 100 = 2,9 × 10 = 29.
𝑥 =
10 ± 29
37
A taxa i é positiva. Vamos utilizar apenas +.
𝑥 =
10 + 29
37
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𝑥 ≅ 1,054
Como 𝑥 = 1 + 𝑖, temos:
1 + 𝑖 ≅ 1,054
𝑖 ≅ 5,4%
Gabarito: C
27. (CESPE 2013/SERPRO )
O empréstimo feito por um indivíduo em uma instituição financeira será pago em 10 prestações,
anuais, consecutivas e fixas no valor de R$ 37.600,00; a primeira será paga um ano após a
contratação do empréstimo. A taxa de juros compostos cobrados pela instituição financeira nesse
tipo de empréstimo é de 10% ao ano. Caso o cliente adiante o pagamento de prestação, a
instituição financeira retirará os juros envolvidos no calculo daquela prestação.
Com base nessas informações e considerando 2,4 e 1,13 como aproximações para 1,19 e 1,0112,
respectivamente, julgue o item a seguir.
Se, no dia de pagar a primeira prestação, o indivíduo pagar também a última prestação, então,
nesse caso, ele pagará menos de R$ 55.000,00.
Resolução
Vamos transportar a prestação da data 10 para a data 1. Assim, vamos dividi-la por (1 + 𝑖)�.
O valor total pago na data 1 será a prestação referente à data 1 mais o valor atual da última
prestação na data 1.
37.600°±²±³
<ª «¬§wv£çã¯
+
37.600
1,10�°±²±³
<Xª «¬§wv£çã¯
37.600 +
37.600
2,4 = 53.266,67
Gabarito: CERTO
28. (CESPE 2012/TRE RJ )
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Um construtor comprou um terreno por R$ 10.000,00 e, três meses depois, construiu, nesse
terreno, uma casa popular, gastando R$ 30.000,00. Três meses após a construção ter sido
finalizada, a casa foi vendida por R$ 60.000,00.
Considerando que 1,33 e 1,77 são valores aproximados para 1,13 e 1,16, respectivamente, julgue o
item seguinte, relativo a situação hipotética acima.
Caso o construtor, no período em que adquiriu o terreno e construiu a casa, tivesse investido os
valores gastos no empreendimento em uma aplicação cujo rendimento fosse de 10% ao mês, sob o
regime de juros compostos, omontante dessa aplicação teria sido superior ao obtido por meio da
venda da casa na data correspondente.
Resolução
O terreno foi comprado na data 0. A casa foi construída na data 3.
Queremos transportar os valores investidos no terreno e na casa para a data 6.
Assim, vamos multiplicar o valor do terreno por (1 + 𝑖)Y e vamos multiplicar o valor da casa por
(1 + 𝑖)L.
10.000 ∙ 1,10Y + 30.000 ∙ 1,10L
10.000 ∙ 1,77 + 30.000 ∙ 1,33 = 57.600
Este valor é inferior ao valor da casa.
Gabarito: Errado
29. (CESPE 2018 /TCE-PB)
O valor presente de um fluxo de 25 pagamentos iguais, mensais e postecipados, rendendo 5% ao
mês, é igual a R$ 10.000.
Nessa situação, se, em vez de postecipados, os pagamentos forem antecipados, o valor presente
do fluxo de pagamentos, em reais, será igual a
a) 12.500.
b) 9.523.
c) 10.000.
d) 10.020.
e) 10.500.
Resolução
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O modelo que utilizamos para deduzir as fórmulas é o que segue:
Neste modelo, dizemos que que os pagamentos são postecipados, pois o primeiro pagamento é
efetuado 1 período após a efetivação do negócio.
• Antecipadas: Pagamentos efetuados no início de cada período (no ato do negócio).
• Postecipadas: Pagamentos efetuados no final de cada período (um período após a
negociação do negócio).
Assim, quando os pagamentos são postecipados, o valor presente A está na data 0. Quando os
pagamentos são antecipados, o valor presente A está na data 1. Neste segundo caso, o negócio é
efetivado na data 1.
Em suma: o enunciado disse que o valor de A na data 0 é 10.000 reais. Queremos calcular o valor
de A na data 1.
Para transportar o valor de A da data 0 para a data 1, devemos multiplicá-lo por (1 + 𝑖)<.
10.000 ∙ (1 + 0,05)< = 10.500
Gabarito: E
30. (CESPE 2018/CAGE RS )
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João é credor de uma dívida a taxa de juros de 5% ao mês que lhe pagará R$ 1.200 por mês nos
próximos 12 meses. O devedor lhe propõe refazer o parcelamento para 18 vezes, oferecendo
pagar 6,2% de juros por mês.
Considerando-se 0,56 e 0,34 como aproximações para (1,05)-12 e (1,062)-18 , respectivamente, é
correto afirmar que João terá um fluxo de recebimentos equivalente ao que tem hoje se a nova
parcela mensal for
a) inferior a R$ 600.
b) superior a R$ 600 e inferior a R$ 800.
c) superior a R$ 800 e inferior a R$ 1.000.
d) superior a R$ 1.000 e inferior a R$ 1.200.
e) superior a R$ 1.200.
Resolução
Se os fluxos são equivalentes, então os dois fluxos possuem o mesmo valor atual.
Vamos calcular o valor atual do primeiro fluxo: 12 pagamentos de R$ 1.200,00 a uma taxa de 5% ao
mês.
Como a potência dada no enunciado tem expoente negativo, vamos utilizar a seguinte fórmula:
𝐴 = 𝑃< ∙
1 − (1 + 𝑖)U6
𝑖
𝐴 = 1.200 ×
1 − 1,05U<?
0,05
𝐴 = 1.200 ×
1 − 0,56
0,05 = 1.200 × 8,8 = 10.560
Este é o valor da dívida hoje.
O devedor propõe refinanciar esta dívida por pagamentos iguais por 18 meses a uma taxa de 6,2%.
𝐴 = 𝑃? ∙
1 − (1 + 𝑖)U6
𝑖
10.560 = 𝑃? ∙
1 − (1 + 0,062)U<k
0,062
10.560 = 𝑃? ∙
1 − 1,062U<k
0,062
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10.560 = 𝑃? ∙
0,66
0,062
𝑃? = 10.560 ×
0,062
0,66
Como há 3 casas decimais no numerador, vou colocar 3 casas decimais no denominador e apagar
as vírgulas.
𝑃? = 10.560 ×
0,062
0,660
𝑃? = 10.560 ×
62
660 = 992 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Gabarito: C
31. (CESPE 2014/MTE)
Fabiana comprou um veículo financiado, sem entrada, em 50 prestações mensais e consecutivas
de R$ 1.000,00, à taxa de juros compostos de 2% ao mês, com a primeira prestação vencendo um
mês após a compra.
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item a seguir, considerando 39,5 e 0,37 valores
aproximados, respectivamente, para
�0,99�
l�
��X
𝑒 1,02U�X
À vista, o preço do veículo é superior a R$ 32.000,00.
Resolução
Simples aplicação da fórmula do valor atual. Lembre-se de utilizar a fórmula alternativa quando é
dada uma potência com expoente negativo.
𝐴 = 𝑃 ∙
1 − (1 + 𝑖)U6
𝑖
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𝐴 = 1.000 ∙
1 − (1 + 0,02)U�X
0,02
𝐴 = 1.000 ∙
1 − 1,02U�X
0,02
𝐴 = 1.000 ∙
1 − 0,37
0,02
𝐴 = 31.500
Gabarito: ERRADO
32. (CESPE 2014 /CAM DEP)
O Fundo de Amparo ao Trabalhador (FAT) é um fundo contábil-financeiro destinado ao custeio do
programa do seguro-desemprego e do abono salarial e ao financiamento de programas de
desenvolvimento econômico. Entre esses programas, incluem-se as linhas de financiamentos a
micro, pequenas e médias empresas, realizados com recursos dos chamados depósitos especiais,
que o fundo faz nas instituições financeiras oficiais federais (IFOFs).
Com base nas informações do texto e da tabela acima apresentados e considerando que 1,244,
1,121, 1,006 e 1,018 sejam, respectivamente, os valores aproximados de 1,1407 × 1,091,
1,062 × 1,0556, 1,08</<? 𝑒 1,006L, julgue o próximo item.
Caso um microempresário contrate um financiamento em uma IFOF que opere com recursos do
FAT, para pagar uma prestação mensal e consecutiva de R$ 1.000,00, e consiga quitar o
financiamento 3 meses (pagando as 3 últimas prestações) antes do prazo final para pagar a última
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prestação, a uma taxa de desconto composto racional de 8% ao ano, então ele obterá um
desconto total inferior a R$ 55,00.
Resolução
A taxa é de 8% ao ano. Vamos calcular a taxa mensal equivalente.
(1 + 𝑖£6©£¶)< = (1 + 𝑖¤§6w£¶)<?
1,08 = (1 + 𝑖¤§6w£¶)<?
1 + 𝑖¤§6w£¶ = 1,08</<?
1 + 𝑖¤§6w£¶ = 1,006
𝑖¤§6w£¶ = 0,006 = 0,6%
O microempresário tem uma prestação que vence daqui a um mês, outra que vence daqui a dois
meses e mais uma que vence daqui a três meses. Queremos saber o valor atual desta série de
pagamentos.
𝐴 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)6
𝐴 = 1.000 ∙
(1 + 0,006)L − 1
0,006 ∙ (1 + 0,006)L
𝐴 = 1.000 ∙
1,006L − 1
0,006 ∙ 1,006L
𝐴 = 1.000 ∙
1,018 − 1
0,006 ∙ 1,018
𝐴 = 1.000 ∙
0,018
0,006 ∙ 1,018
𝐴 = 1.000 ∙
3
1,018
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𝐴 =
3.000
1,018 = 2.946,95
O valor nominal das três prestações é de 3 × 1.000 = 3.000 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. Como o valor atual é
𝑅$ 2.946,95, então o desconto é:
𝐷 = 3.000 − 2.946,95 = 53,05
O desconto é inferior a 55 reais.
Gabarito: CERTO
33. (CESPE 2018/CAGE RS )
Um pai, preocupado em compor recursos paraa educação superior de seu filho, idealizou juntar
dinheiro em uma conta investimento que rende 8% ao ano. O pai depositaria, durante nove anos,
R$ 24.000 por ano nessa conta, para que o filho fizesse cinco saques de valores iguais, um a cada
ano, com o primeiro saque um ano após o último depósito. O saldo remanescente a cada saque
ficaria rendendo à mesma taxa até o quinto saque, quando o saldo se anularia.
Nessa situação, considerando-se 0,68 e 2 como valores aproximados para (1,08)-5 e (1,08)9,
respectivamente, cada saque anual teria o valor de
a) R$ 67.100.
b) R$ 75.000
c) R$ 150.000.
d) R$ 10.500.
e) R$ 43.200.
Resolução
O pai fará 9 depósitos anuais de R$ 24.000,00 a uma taxa de 8% ao ano. Vamos calcular o valor
futuro desta série de pagamentos. Lembre-se que o valor futuro calculado estará na mesma data
do último depósito.
𝑭 = 𝑷 ∙
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
𝑭 = 𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 ∙
𝟏, 𝟎𝟖𝟗 − 𝟏
𝟎, 𝟎𝟖
𝑭 = 𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 ∙
𝟐 − 𝟏
𝟎, 𝟎𝟖
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𝑭 = 𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 ∙
𝟏
𝟎, 𝟎𝟖
𝑭 = 𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
Assim, o pai acumulou R$ 300.000,00.
Um ano após, começará uma série de 5 saques. A taxa de juros é a mesma.
O valor atual desta série de saques é o valor acumulado de 300.000 reais.
Vamos calcular o valor de cada um desses saques.
𝑨 = 𝑷 ∙
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)U𝒏
𝒊
𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑷 ∙
𝟏 − (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟖)U𝟓
𝟎, 𝟎𝟖
𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑷 ∙
𝟏 − 𝟏, 𝟎𝟖U𝟓
𝟎, 𝟎𝟖
𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑷 ∙
𝟏 − 𝟎, 𝟔𝟖
𝟎, 𝟎𝟖
𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑷 ∙
𝟎, 𝟑𝟐
𝟎, 𝟎𝟖
𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑷 ∙ 𝟒
𝑷 = 𝟕𝟓. 𝟎𝟎𝟎
Gabarito: B
34. (CESPE 2016/TCE-PR )
Carla, que planeja viajar daqui a seis meses, realizará, a partir de hoje, seis depósitos mensais de
R$ 2.000 em uma conta que rende 1% de juros líquidos ao mês, para custear as despesas da
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viagem programada para durar seis meses. Durante a viagem, ela pretende realizar seis saques
mensais e iguais da conta em questão. A viagem ocorrerá no mês seguinte ao último depósito,
ocasião em que fará o primeiro saque.
Nessa situação hipotética, considerando-se 1,0615 como valor aproximado para (1,01)Y, o valor
do saque mensal que esgotará o saldo da conta após o sexto saque é igual a
a) R$ 2.000.
b) R$ 2.123.
c) R$ 2.102.
d) R$ 2.085.
e) R$ 2.020.
Resolução
Carla fará 6 depósitos mensais de R$ 2.000 a uma taxa de 1% ao mês. Vamos calcular o valor futuro
desta série de pagamentos. Lembre-se que o valor futuro calculado estará na mesma data do
último depósito.
𝑭 = 𝑷 ∙
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
𝑭 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 ∙
𝟏, 𝟎𝟏𝟔 − 𝟏
𝟎, 𝟎𝟏
𝐹 = 2.000 ∙
1,0615 − 1
0,01
𝐹 = 12.300
Assim, Carla acumulou R$ 12.300,00.
Um mês após, começará uma série de 6 saques. A taxa de juros é a mesma.
O valor atual desta série de saques é o valor acumulado de 12.300 reais.
Vamos calcular o valor de cada um desses saques.
𝐴 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)6
12.300 = 𝑃 ∙
(1 + 0,01)Y − 1
0,01 ∙ (1 + 0,01)Y
12.300 = 𝑃 ∙
1,01Y − 1
0,01 ∙ 1,01Y
12.300 = 𝑃 ∙
1,0615 − 1
0,01 ∙ 1,0615
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Perceba que se em vez de 12.300, tivéssemos escrito a fórmula desenvolvida que gerou o número
12.300, conseguiríamos simplificar muito.
𝟐. 𝟎𝟎𝟎 ∙
𝟏, 𝟎𝟔𝟏𝟓 − 𝟏
𝟎, 𝟎𝟏°±±±±±²±±±±±³
𝟏𝟐.𝟑𝟎𝟎
= 𝑃 ∙
1,0615 − 1
0,01 ∙ 1,0615
Com isso, conseguimos cortar (1,0615 − 1) nos numeradores e conseguimos cortar 0,01 nos
denominadores. Ficamos com:
𝟐. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑃 ∙
1
1,0615
𝑃 = 2.000 × 1,0615 = 2.123
Gabarito: B
35. (CESPE 2016/TCE PA)
Antônio planeja garantir uma renda extra na sua aposentadoria. Atualmente, as aplicações
disponíveis pagam a taxa nominal de juros de 20% ao ano, e ele espera que essa condição se
mantenha até a sua aposentadoria, que ocorrerá daqui a dois anos. Conforme publicado no dia
1.º/7/2016, no boletim da empresa onde Antônio trabalha, sua aposentadoria será deferida no dia
1.º/7/2018. Consciente dessa informação, ele se programou para ter um montante de R$ 100.000
na data de sua aposentadoria, advindos de aplicações semestrais, de capitais iguais, em um fundo
de investimentos com capitalização semestral.
Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que se segue, considerando que 1,22 seja
o valor aproximado de 1,05l.
Se Antônio aplicasse, por um ano, R$ 1.000 a cada trimestre em um fundo de investimento com
capitalização trimestral, iniciando suas aplicações no final do primeiro trimestre, ao final do
período, ele teria acumulado um montante superior a R$ 4.200.
Resolução
A taxa é de 20% ao ano com capitalização trimestral. Como cada ano é composto por 4 trimestres,
então a taxa efetiva é:
𝑖 =
20%
4 = 5% 𝑎𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
Queremos calcular o valor futuro de uma série de 4 pagamentos trimestrais de R$ 1.000,00 a uma
taxa de 5% ao trimestre.
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𝑭 = 𝑷 ∙
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
𝐹 = 1.000 ∙
(1 + 0,05)l − 1
0,05
𝐹 = 1.000 ∙
1,22 − 1
0,05
𝐹 = 4.400
Portanto, Antônio acumulou R$ 4.400,00, que é superior a R$ 4.200,00.
Gabarito: CERTO
36. (CESPE 2015/MPU )
A respeito de rendas uniformes, julgue o item a seguir.
Considere que Maria deseje comprar um bem por R$ 100.000,00 à vista daqui a 4 anos e, para
conseguir esse valor, ela pretenda fazer depósitos anuais, consecutivos e iguais, que serão
corrigidos à taxa de juros compostos de 10% ao ano. Suponha ainda que, com esse objetivo, Maria
tenha feito o primeiro depósito na data de hoje. Nessa situação, considerando 1,61 como valor
aproximado para 1,1�, é correto afirmar que, para obter o valor necessário juntamente com o
último depósito, a quantia que Maria deverá depositar anualmente é inferior a R$ 16.400,00.
Resolução
Temos uma série de 5 pagamentos (porque ela começa a fazer o depósito hoje e comprará o bem
daqui a 4 anos). O valor futuro da série é de 100.000 reais. Queremos saber o valor da prestação.
𝐹 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖
100.000 = 𝑃 ∙
(1 + 0,10)� − 1
0,10
100.000 = 𝑃 ∙
1,61 − 1
0,10
100.000 = 𝑃 ∙ 6,1
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𝑃 = 16.393,44
Gabarito: CERTO
37. (CESPE 2015/MPU)
Com relação a séries de valores, valores atual e futuro e contas a receber, julgue o item seguinte.
Com a finalidade de constituir-se um fundo para aposentadoria, deve-se adotar o modelo básico
de capitalização, caracterizado por pagamentos mensais, de igual valor, durante trinta anos, a
partir do momento da assinatura do contrato.
Resolução
Não há nada que obrigue as condições dadas no enunciado. Por exemplo, os pagamentos
poderiam ser semestrais, durante trinta anos. Nadaobriga inclusive que os pagamentos sejam
iguais.
Gabarito: ERRADO
38. (CESPE 2014/PF)
Para adquirir um imóvel, Arnaldo deposita R$ 2.000,00, mensalmente, em uma conta que
remunera os depósitos à taxa de juros compostos mensais i. Considerando que os depósitos sejam
realizados sempre na mesma data e assumindo 1,172 como valor aproximado para 1,02k, julgue o
item seguinte. Se i for igual a 2%, então, no momento do oitavo depósito, o montante na conta
será inferior a R$ 17.000,00.
Resolução
Queremos calcular o valor futuro de uma série de 8 pagamentos de R$ 2.000,00 a uma taxa de 2%
ao período.
𝐹 = 𝑃 ∙
(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖
𝐹 = 2.000 ∙
(1 + 0,02)k − 1
0,02
𝐹 = 2.000 ∙
1,172 − 1
0,02 = 17.200
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Gabarito: ERRADO
39. (CESPE 2013/SEGER ES )
Texto para a questão
Com a finalidade de conquistar novos clientes, uma empresa de turismo oferece gratuitamente um
pacote de serviços que dá direito a até sete dias de estadia em hotéis de sua rede conveniada,
sendo necessário pagar somente uma taxa fixa — mas que pode variar de um hotel para outro —
de uso por dia e por pessoa. Caso o cliente deseje, poderá adquirir, por R$ 3.600,00, um título de
sócio que lhe dará direito a sessenta diárias por ano em qualquer hotel da rede.
Um comerciante viaja a negócios e, uma vez por mês, ele se hospeda em um mesmo hotel da rede
e paga R$ 400,00 por duas diárias. Em vez de comprar um título de sócio da empresa de turismo, o
comerciante investiu a quantia correspondente ao valor do título de sócio em uma aplicação que
paga 5% de juros líquidos ao mês. Se, a partir do mês seguinte ao da aplicação, o comerciante
retirar, a cada mês, apenas a quantia necessária para pagar as diárias daquele mês, é correto
afirmar que, considerando os valores aproximados da tabela mostrada acima, a quantidade de
viagens que ele poderá fazer pagando as diárias do hotel com essa aplicação será igual a
a) 13.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) 12.
Resolução
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O comerciante faz n viagens gastando R$ 400,00 em cada uma delas. O valor atual desta série de
pagamentos é:
𝐴 = 400 ∙ 𝑎6¬d
Lembre-se que a ideia fator do valor atual é levar cada uma das prestações de R$ 400,00 para a
data 0, ou seja, estamos dividindo cada prestação por (1 + 𝑖)6 e somando todas as parcelas. A
taxa é i = 5% = 0,05 ao mês.
Assim, o valor atual é dado por:
𝐴 =
400
1,05< +
400
1,05? + ⋯+
400
1,056
Podemos reescrever as potências com expoentes negativos.
𝐴 = 400 ∙ 1,05U< + 400 ∙ 1,05U? + ⋯+ 400 ∙ 1,05U6
Colocando 400 em evidência, temos:
𝐴 = 400 ∙ (1,05U< + 1,05U? + ⋯+ 1,05U6)
O valor atual é justamente o valor investido de R$ 3.600,00.
3.600 = 400 ∙ (1,05U< + 1,05U? + ⋯+ 1,05U6)
9 = 1,05U< + 1,05U? + ⋯+ 1,05U6
Agora é só olhar na tabela dada pelo problema.
Para n = 12, temos que 1,05U< + 1,05U? + ⋯+ 1,05U<? = 8,86.
Para n = 13, temos que 1,05U< + 1,05U? + ⋯+ 1,05U<L = 9,39.
Como precisamos que a soma 1,05U< + 1,05U? + ⋯+ 1,05U6 seja igual a 9, o valor de n seria um
número entre 12 e 13.
Como ele não pode fazer um número fracionário de viagens, concluímos que ele consegue realizar
12 viagens completas.
Gabarito: E
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9. TABELAS FINANCEIRAS
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10. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula.
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no
nosso fórum de dúvidas.
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com.
Um forte abraço e até a próxima aula!!!
Guilherme Neves
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