aula-7

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 07: Integral De�nida – Parte I
Apresentação
Nesta sétima aula, iniciaremos o estudo das integrais. Certamente, já estamos familiarizados com as operações inversas.
Adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação já fazem parte do nosso universo de conhecimento.
Agora, começaremos a desenvolver a operação inversa da diferenciação, chamada de antidiferenciação. Para tanto,
começaremos com o conceito de antiderivada ou integral inde�nida.
Objetivos
De�nir integral;
Aplicar as propriedades da integral;
Empregar o teorema do valor médio para integrais.
Antidiferenciação
Aluno, esta aula contém um documento <galeria/aula7/pdf/aula7.pdf> com todos os exemplos da aula sintetizados. Durante a
leitura, os exemplos serão referenciados para que os consulte.
Uma função será chamada antiderivada de uma função em um intervalo , se para todo em .F  f  I F ’(x) = f(x) x I
Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 1, 2, 3 e 4 no documento.
Atenção
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0023/galeria/aula7/pdf/aula7.pdf
Os teoremas para as antiderivadas ou integrais inde�nidas das funções trigonométricas seguem imediatamente os teoremas
correspondentes para a diferenciação.
 
∫   sin x ⋅ dx = − cos x + C
∫   cos x ⋅ dx = sin x + C
∫ se x ⋅ dx = tgx + Cc2
∫  cose x ⋅ dx = −cotgx + Cc2
∫  secx ⋅ tgx ⋅ dx = secx + C
∫   cos ec x ⋅ cotgx ⋅ dx = − cos ec x + C
Agora, observe o exemplo 5 no documento.
Dica
É fundamental, quando você lidar com problemas que envolvem a determinação de antiderivadas de funções trigonométricas, que
você reconheça oito identidades trigonométricas cruciais:
 
sin x ⋅ cos ec x = 1
cos x ⋅ secx = 1
tgx ⋅ cotgx = 1
tgx =  sin x cos x/
cotgx = cos x sin x /
si x + co x = 1n2 s2
t x + 1 = se xg2 c2
cot x + 1 = cose xg2 c2
Agora, veja os exemplos 6, 7 e 8 no documento.
Equações diferenciais e movimento retilíneo
Agora estudaremos uma aplicação importante da antiderivação.
De�ne-se como equação diferencial uma equação contendo derivadas.
Alguns exemplos simples são:
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação.
Assim e , são equações diferenciais de primeira ordem.
Por sua vez, é uma equação diferencial de segunda ordem.
O tipo mais simples de equação diferencial é a equação diferencial de primeira ordem da forma:
Outro tipo de equação diferencial de primeira ordem é da forma:
Em ambos os casos, dizemos que as equações são equação diferenciais com variáveis separáveis, ou seja, o primeiro membro
envolve apenas a variável , enquanto o segundo membro somente envolve a variável .
A solução completa de tais equações diferenciais são:
= 2x;   = ; = 4x + 3
dy
dx
dy
dx
2x3
3y2
yd2
dx2
= 2x
dy
dx
=
dy
dx
2x3
3y2
= 4x + 3
yd2
dx2
 ou = f(x)dy
dx
dy = f(x) ⋅ dx
 ou =
dy
dx
g(x)
h(y)
h(y) ⋅ dy = g(x) ⋅ dx
y x
; ouy = F(x) + C
H(y) = G(x) + C
Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 9 e 10 no documento.
Comentário
Você viu em aula anterior a equação de movimento de uma partícula em linha reta.
Assim, deve lembrar de que:
Consequentemente, com o conceito de antiderivada apresentado, você deve ser capaz de resolver problemas como o do Exemplo
11.
, onde 𝑣 é a velocidade instantânea
, onde 𝑎 é a aceleração instantânea
s = f(t)
v = ds dt/
a = sd2 dt2/
Observe o exemplo 11 no documento.
A regra da cadeia para a antidiferenciação
Muitas antiderivadas não podem ser encontradas diretamente. É necessário, então, que você aprenda certas técnicas que podem
ser usadas no cálculo de tais antiderivadas.
Observe o teorema abaixo:
“Seja uma função diferenciável e seja o intervalo a imagem de . Suponha que seja uma função de�nida em e que 
 seja uma antiderivada de em .
Então:
O teorema acima é chamado regra da cadeia para a antidiferenciação.
Um caso particular do teorema é:
Se for uma função diferenciável e se n for um número racional,
 g   I   g   f   I 
 F    f   I 
∫  f(g(x))[ (x)dx] = F(g(x)) + Cg′
g
∫  [g(x) [ (x)dx] = + C         n ≠ −1]
n
g′
[g(x)]n+1
n+1
Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 12, 13, 14, 15 e 16 no documento.
Área
É bem provável que você já tenha uma ideia intuitiva sobre a área de certas �guras geométricas.
A área do retângulo, a área do triângulo e de outras regiões encerradas por �guras simples já devem ser de seu domínio.
 Figura 3: A área do polígono pode ser encontrada através da soma das áreas dos triângulos que foram usados para decompô-lo. Fonte: Google Imagens.
Contudo, como encontrar a área de uma região plana se esta for limitada por uma curva?
A resposta para essa pergunta será dada no penúltimo tópico desta aula. O importante aqui será você compreender o conceito de
somatória ( , letra sigma maiúscula do alfabeto grego) e a motivação que resultará no conceito de integral de�nida, que será
apresentado na aula 8.
∑
Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 17, 18 e 19 no documento.
Estimativa da área de uma região plana
Considere uma região no plano. A região é limitada pelo eixo dos , pelas retas e e pela curva tendo equação 
, onde é uma função contínua no intervalo fechado .
A �m de tornar a análise mais simples, considere para todo em .
S S x x = a x = b
y = f(x) f [a, b]
f(x) ≥ 0 x [a, b]
 Figura 4: Área S compreendida entre o eixo x e a função f(x) é delimitada pelas retas x=a e x=b. Fonte: Google Imagens.
Para calcular a área a ideia é dividir o intervalo fechado em subintervalos. Cada subintervalo terá o mesmo
comprimento, ou seja, .
Logo,
Denotando os extremos desses subintervalos, temos:
Seja o i-ésimo intervalo.
Como é contínua no intervalo , ela é contínua em cada um dos subintervalos.
Pelo teorema do valor extremo, existe um número em cada subintervalo para o qual tem um valor mínimo absoluto.
No i-ésimo subintervalo, seja esse número, assim será o valor mínimo absoluto de no subintervalo .
Se você considerar retângulos, cada um com um comprimento ∆x unidades e uma altura unidades, a soma das áreas
desses retângulos será:
Ou, com somatória,
S [a, b] n
∆x
∆x = b−a n
= a, = a + ∆x, … , = a + i ∆ x, … , = a +xo x1 xi xn−1
[ ,   ]xi−1 xi
f [a, b]
f
ci f( )ci  f  [ ,   ]xi−1  xi
n f( )ci
n
= f( ) ∆ x + f( ) ∆ x + ⋯ + f( ) ∆ x + ⋯ + f(Sn c1 c2 ci c
=  f( ) ∆ xSn ∑ni=1 ci
Dica
Você também poderia ter utilizado retângulos circunscritos ao invés de retângulos inscritos.
Neste caso, seria necessário tomar como medida das alturas dos retângulos, o valor máximo absoluto de em cada
subintervalo.
A existência desse valor máximo absoluto de em cada subintervalo é garantida pelo teorema do valor extremo.
As somas correspondentes das medidas das áreas dos retângulos circunscritos são, no mínimo, tão grandes quanto a medida da
área da região e pode ser mostrado que o limite dessas somas quando cresce inde�nidamente é exatamente igual ao limite
da soma das medidas das áreas dos retângulos inscritos.
Resumidamente, usando-se retângulos inscritos, a área da região será dada por:
f
f
S n
 Figura 5: Determinação da área S através da somatória da área de n retângulos inscritos. À medida que o número de retângulos inscritos aumenta, a somatória da área aproxima-se
cada vez mais da área da região S procurada. Fonte: Google Imagens.
S
A =        f( ) ∆ xlim
n → +∞
∑ni=1 ci
Para compreender a de�nição acima, observe o exemplos 20 no documento.
Comentário
Torna-se evidente que tal processo para a estimativa de áreas é árduo e cansativo. No entanto, na aula 8 introduziremos o
conceito de integral de�nida e a resolução deste tipo de problema será mais rápida e intuitiva.
O teorema do valor médio para integrais
Vamos primeiro analisar o teorema do ponto de vista geométrico.
Considere para todos os valores em .
Então, dá a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é , pelo eixo e pelas retas 
e .
O teorema dovalor médio para integrais estabelece que existe um número (qui, no alfabeto grego) em tal que a área do
retângulo AEFB com altura unidades e comprimento unidades seja igual à área da região ADCB.
Teorema:
Se a função for contínua no intervalo fechado , existe um número em tal que
f(x) ≥ 0 x [a, b]
f(x)dx∫ b
a
y = f(x) x x = a
x = b
x [a, b]
f(x) (b − a)
 Figura 7: Representação geométrica do Teorema do Valor Médio para integrais. Fonte: Google Imagens.
f [a, b] x [a, b]
f(x)dx = f(x) ⋅ (b − a)∫ b
a
Para compreender a de�nição acima e �nalizarmos a leitura do conteúdo, observe os exemplos 21 e 22 no documento.
Atividades
1. A antiderivada da função , ou seja, pode ser corretamente representada por:f(x) = 1−2x3
x3
∫  dx1−2x
3
x3
a) −  − 2x + C1
x2
b) −  − 2x + C1
2x2
c) − 2x + C1
2x2
d) + 2x + C1
2x2
e) −  − 2x + C1
2x2
2. Considere . A antiderivada é corretamente representada por:∫ ⋅ (2 − x ⋅ dxx 1 3/ )
2
a) 3   −     +     +  Cx
4
3/ 12
7 x
7
3/ 3
10x
10
3/
b) 3   −     −     −  Cx
4
3/ 12
7 x
7
3/ 3
10x
10
3/
c) 3   +     −     +  Cx
4
3/ 12
7 x
7
3/ 3
10x
10
3/
d) 3   +     +     +  Cx
4
3/ 12
7 x
7
3/ 3
10x
10
3/
e) −13   −     +     +  Cx
4
3/ 12
7 x
7
3/ 3
10x
10
3/
3. Suponha que um ponto se mova ao longo de uma curva no plano , de tal forma que, em cada ponto da
curva, a reta tangente tenha inclinação . Qual a equação da curva, sabendo que ela passa pelo ponto (-2,8)?
y = f(x) xy (x, y)
(1 + x)2
a) F(x) = [(1 + x + 25])3
b) F(x) = 1/3 ⋅ [(1 + x + 25])3
c) F(x) = 1/3 ⋅ [(1 + x + ])3 253
d) F(x) = [(1 + x + 2])2
e) F(x) = 1/3 ⋅ [(1 + x − 25])2
4. Qual a integral inde�nida para uma função cuja derivada segunda é ?x√
a) + + xx3 C1x2 C2
b) + xx 5 2/ C1
c) + x +4
15x
5
2/ C1 C2
d) F(x) = [(1 + x + 2])2
e) + +315x
5
2/ C1
x
2 C2
5. A integral inde�nida dada por apresenta como solução a função igual a:∫ si x ⋅ cosx ⋅ dxn2 F(x)
a) F(x) = + Cxsin23
b) F(x) = + Csin  x3
c) F(x) = + Ccos  x3
d) F(x) = + Cxsin33
e) F(x) = + Csi c x3
6. Utilizando as identidades trigonométricas veri�cadas ao longo desta aula, encontre uma fórmula geral para a integral inde�nida 
, onde é uma constante.∫ dx
+a2 x2
a ≠ 0
7. Encontre a integral inde�nida representada por ∫ dx5x
2 
 (1+x)
1
3
/
Notas
Teorema do Valor Médio 1
Seja contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto . Então, existe pelo menos um ponto em 
, tal que:
f [a, b] (a, b) c
(a, b)
(c) =f ′
f(b)−f(a)
b−a
 Interpretação geométrica para o Teorema do Valor Médio. Fonte: ANTON et al. (2007).
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
Teorema fundamental do cálculo;
Integração por partes;
Integração por substituição simples.
Explore mais
Nossa discussão sobre integrais apenas começou. A �m de revisar os tópicos aqui veri�cados e despertar o seu interesse no
assunto, seguem sugestões de vídeos para você assistir:
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 36 - Integração / Motivação Geométrica: Área - parte 1” <https://youtu.be/p-HMNfGRgvE> ;
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 37 - Motivação Geométrica: área - parte 2” <https://youtu.be/x60T7SmOCDg> ;
https://youtu.be/p-HMNfGRgvE
https://youtu.be/x60T7SmOCDg
“Somatório – Explicação” <https://youtu.be/ValQ4awhJUY> ;
Acesse também a Calculadora de integrais inde�nidas – Symbolab <//pt.symbolab.com/solver/inde�nite-integral-calculator> .
https://youtu.be/ValQ4awhJUY
http://pt.symbolab.com/solver/indefinite-integral-calculator