matematica 2° ano

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Capítulo 11
Capítulo 22
Capítulo 33
Matemática 1
 • Triângulo retângulo 
• Pitágoras e Razões Trigonométricas 
• Aplicações do Capítulo 1 
• Arcos de circunferência 
• Arcos côngruos e circunferência Trigonométrica 
• Aplicações do capítulo 2 
•Funções Trigonométricas 
•Seno, Cosseno e Tangente 
•Aplicações do Capítulo 3 
Módulo
Módulo I
2
• TRIÂNGOLO RETÂNGULO
• PITÁGORAS E RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
• APLICAÇÕES DO CAPÍTULO 1
C apítulo 1
 Relacionar etapas da história da trigonometria com 
a evolução da humanidade e da própria Matemática. 
 Analisar gráficos das funções trigonométricas. 
 Estabelecer e aplicar as relações no círculo trigono-
métrico, Resolver problemas que envolvam arcos e 
ângulos. 
 Definir e calcular domínio, imagem, zeros e períodos. 
 Construir gráficos das funções trigonométricas diretas. 
 Traduzir situações contextuais da linguagem corrente 
para a linguagem matemática (equações e gráficos) 
e vice-versa. 
Tagram é um quebra-cabeça chinês muito antigo que não se 
sabe ao certo quem foi o inventor. Formado por 7 peças (5 triângulos, 
1 quadrado e 1 paralelogramo). Com essas peças podemos formar 
várias figuras, mudando as posições, criando novos cenários para 
decorações, engenharia, etc.
Veja alguns exemplos:
Fonte: http://professoraclaudelice.blogspot.com/p/aulas.html
FONTE: http://mervy.in/index.php?pag=Blog&cat=Matem%E1tica&id=17
Módulo I
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a
te
m
á
ti
c
a
 1
3
1
INTRODUÇÃO: 
O que é a trigonometria?
O significado da palavra trigonometria (do grego trígônon, “tri-
ângulo”, e metron, “ medida”) nos remete ao estudo puro e 
simples das medidas dos lados, ângulos e outros 
elementos dos triângulos. A comprovada importância do tri-
ângulo – figura básica em qualquer estudo de Geometria – jus-
tifica o grande interesse pelo assunto. (extraído do livro Mate-
mática - Ciência e Aplicações – Ed.: ATUAL)
TRIÂNGULO RETÂNGULO
É o triângulo que possui o ângulo de 90° (ângulo reto).
TEOREMA DE PITÁGORAS
Em todo triângulo retângulo a medida da hipotenusa ao 
quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.
a2 = b2 + c2
Exemplo: Determine o valor de x na figura abaixo:
Solução
Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
x2 = 32 + 42
x2 = 9 + 16
x2 = 25 x = 
x = 5 cm
OBS.: O triângulo retângulo que possui os lados 3, 
4, e 5 é chamado de triângulo pitagórico. A hipotenusa é 
sempre o maior lado do triângulo retângulo. 
O triângulo pitagórico é utilizado como base para 
determinar outros triângulos retângulos, que possuem os 
lados proporcionais ao do pitagórico. 
Comentário
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Módulo I
4
Sen cateto oposto
hipotenusa
=
Cos cateto adjacente
hipotenusa
=
tg cateto oposto
cateto adjacente
= tgx senx
cosx
=
sen30 h
20
1
2
h
20
2h 20
h 10 m
1
2
° =
=
=
∴ =
��� cos30
x
20
3
2
x
20
2x 20 3
x 10 3 m
3
2
° =
=
=
∴ =
���
Fonte: http://revistaescola.abril.com.br/ensino-medio/estimule-boas-perguntas-
-obter-solucoes-ainda-melhores-432055.shtml
Anaxágoras viveu no século V a.C. e Eratóstenes, no 
século III a.C. Ambos conheciam bem a distância entre as 
cidades de Siene e Alexandria e sabiam que, em determinado 
dia do ano, em Siene, o Sol aparecia a pino, bem na vertical, 
no alto do céu, e refletia-se no fundo de um poço profundo. 
No mesmo dia, em Alexandria, o Sol encontrava-se cerca 
de 7,2 graus afastado da vertical (veja os quadros abaixo). 
Anaxágoras propôs-se a questão: “Qual a distância do Sol 
à Terra?”. Resolveu-a utilizando semelhança de triângulos 
e a hipótese adicional de que a Terra era plana. Errou feio.
Eratóstenes fez-se outra pergunta: “Qual a circunfe-
rência da Terra?”, e acertou em cheio, mesmo para padrões 
de precisão atuais.
CURIOSIDADE
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
a) Seno: Em um triângulo retângulo o seno de um ângulo 
agudo é a razão entre o cateto oposto a este ângulo e 
a hipotenusa.
 
b) Cosseno: Em um triângulo retângulo o cosseno de um 
ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a 
hipotenusa.
 
c) Tangente: Em um triângulo retângulo a tangente de um 
ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto 
adjacente. A tangente também é conhecida como a razão 
entre o seno pelo cosseno.
 
 
 ou 
TABELA TRIGONOMÉTRICA
Exemplo1: Mijardino estava brincando com sua pipa até que ele 
deixou prender no topo de um poste conforme a figura. 
Determine os valores x e h.
Solução
Exemplo2: Uma rampa plana de 26 m de comprimento faz 
ângulo de 300 com o plano horizontal. Uma pessoa que 
sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
a) 26 m
b) 13 m
c) 13 √3 m
d) 12 m
e) n.d.a
Módulo I
M
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 1
5
oposto a 30 hipotenusa
2
oposto a 60 hipotenusa
° =
° =





2
3.

sen60 h
500
3
2
h
500
h 250 3m
° =
=
∴ =
cos60 x
500
1
2
x
500
h 250 m
° =
=
∴ =
Se observarmos com atenção, percebemos que sen 30° 
= ½ e cos 60° = ½ , isto acontece porque os ângulos são com-
plementares (isto é, a soma dos ângulos resulta 90°).
O seno de um ângulo agudo é sempre igual ao cosseno 
do seu complemento e vice-versa:
Exemplo:
 Sen10° = cos80°; sen40° = cos50°; cos60° = sen30°, etc.
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual 
a 180°. Como no triângulo retângulo, já existe um ângulo co-
nhecido de 90°, concluímos que a soma dos outros dois é 90°.
θ β+ = ° 90
NOTA: Perceba que sen30° é ½ e sen60° é . Podemos 
concluir que todo cateto oposto a 30° é a metade da hipotenusa 
e todo cateto oposto a 60° é a metade da hipotenusa, multipli-
cado por √3. Quando um cateto está oposto a 45°, ele é igual 
a metade da hipotenusa multiplicado por √2. 
3
2
 TRIÂNGULO ISÓSCELES
O triângulo isósceles é um triângulo que possui dois lados 
congruentes sendo o 3° lado geralmente chamado de “base”. 
Os ângulos da base são iguais.
Uma questão clássica: Determine o valor de x e y na 
figura.
 OBSERVAÇÕES Solução
Desenvolvendo os ângulos internos na figura, temos:
Sendo assim, a hipotenusa do triângulo retângulo 
menor é 500 m, logo:
01. (J.J) Jenoveva costuma seguir todos os dias um trajeto, 
que vai de sua casa até a loja que trabalha. Este trajeto é 
representado pelo esquema abaixo.
Determine a menor distância da casa dela até o local de 
trabalho.
02. Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com 
a reta AC um ângulo de 30 0. Sabe-se que o móvel caminha 
com uma velocidade constante de 50 km/h. Qual a menor 
distância que o móvel se encontra da reta AC após 3 horas 
de percurso?
a) 50 km
b) 150 km
c) 100 km
d) 75 km
e) 65 km
Módulo I
6
03. Determine o valor do segmento na figura abaixo:
04. Uma pessoa vê o topo de uma torre sob um ângulo de 30°. 
Caminhando 100 m em linha reta, aproximando –se da tor-
re, alcança um segundo ponto, de onde vê o topo sob um 
ângulo de 60°. Qual a distância da torre ao segundo ponto?
05. (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Mate-
mática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento 
abaixo:
Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
“Quem és tu?”– indagou ele em ânsia radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa.”
...................................................................................
 (Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)
 A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao 
Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:
a) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hi-
potenusa.”
b) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me 
chamar de hipotenusa.”
c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me 
chamar de quadrado da hipotenusa.”
d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me 
chamar de quadrado da hipotenusa.”
e) n.d.a
06. (UFPel – RS) Em um recente vendaval um poste de luz de 
9 m de altura quebrou-se em um ponto a uma distância x 
do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua 
extremidade superior encostou no solo a uma distância de 
3 m da base do mesmo. A que altura x do poste quebrou?
a) 3 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 9 m
e) n.d.a
07. Obtenha o valor de x na figura abaixo:
08. Obtenha o valor de x na figura a seguir, de acordo com as 
mediadas indicadas.
09. A hipotenusa de um triângulo retângulo é 10 cm e a dife-
rença entre os catetos é 2 cm. Determine a soma dos lados 
deste triângulo.
10. Ao projetar um shopping center, um arquiteto idealizou 
o estacionamento no piso do térreo e hipermercado no 
primeiro piso, sendo de 8 m o desnível entre esses pisos. 
Para transportar os carrinhos de compras, foi projetada uma 
esteira rolante plana ligando um ponto A do piso do térreo 
a um ponto B do primeiro piso. Sabe-se que a distância AC 
é igual a 8√3m, determine o valor de α.
 
11. (UNICAMP – SP) Caminhando em linha reta ao longo de 
uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, 
cobrindo a distância de 1200 m. Quando em A, ele avista 
um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NÂB é 
de 60°; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45°.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita;
b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.
12. (PUC/ Campinas – SP) Uma pessoa encontra-se num ponto 
A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a 
figura abaixo.
 Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a 
um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob 
um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do 
ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, 
para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo 
de 30°?
AC
Módulo I
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Aplicações capítulo 1
01. Uma formiga está 
no vértice A de um 
cubo e quer ir até o 
vértice B, conforme 
nos mostra a figura. 
De acordo com essa 
mesma figura, ela tem 
duas opções para per-
correr: 
a) o percurso ACB, pas-
sando pelo vértice C;
b) o percurso AMB, passando pelo ponto M, que é o ponto 
médio da aresta CD.
 Sabendo que a aresta do cubo mede 10 cm e considerando 
√2 = 1,4 e √5 = 2,2, qual dos dois percursos é mais curto?
02. Dois ciclistas partem do ponto P, no mesmo instante, se-
guindo as direções indicadas na figura abaixo. A velocidade 
média de um é de 15 km/h e a do outro é de 20 km/h. após 
4 horas, eles estarão nos pontos A e B, 
respectivamente. Nesse instante, 
qual será a distância entre eles?
03. (UGF – RJ) A medida de ED, indicada na figura, é:
a) 5 √3 cm
b) 6 cm
c) 8 cm
d) 10 cm
e) 10 √3 cm
04. (UNAMA) A figura abaixo representa um barco atravessando 
um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte cor-
renteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um 
ângulo de 60°. Sendo a largura do rio de 120 m, a distância 
percorrida pelo barco até o ponto C, é:
a) 240 √3 m
b) 240 m
c) 80 √3 m
d) 80 m
e) 40 √3 m
05. Obtenha o valor de x na figura a seguir, de acordo com as 
mediadas indicadas.
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 10
06. (VUNESP) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade 
A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros 
de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu er-
radamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu 
a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C, 
de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que 
deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um 
triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.
Com base na figura, a distância em quilômetros 
que o avião voou partindo de A até chegar 
a B é:
a) 30 √3
b) 40 √3
c) 60 √3
d) 80 √3
e) 90 √3 
07. A figura mostra um poste, cravado verticalmente no solo e 
sustentado por dois cabos, que formam com a hori¬zontal 
ângulos a e b. Se os pontos de fixação dos cabos ao terreno, 
alinhados com a base do poste, distam uma medida d, a 
altura do poste pode ser calculada por:
 
 
08. (CESGRANRIO – RJ) Uma rampa plana de 36 m de com-
primento faz ângulo de 300 com o plano horizontal. Uma 
pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
 
FONTE: http://www.empiliz.com/empilhadores.htm
a) 36 m 
b) 18 m 
c) 18 3 m 
d) 12 m 
e) n.d.a
Módulo I
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a) 15 3m b) 12 3m c) 10 3m d) 20 3m e) 40 3m
09. O valor de x na figura é:
 
10. (PUC – SP) De um ponto A no solo, visam-se a base B e o 
topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de 
uma colina, sob um ângulo de 30° e 45°, respectivamente. 
Se o bastão mede 4 m de comprimento, a altura da colina, 
em metros, é igual a:
 
11. Nos triângulos retângulos apresentados nos itens a seguir, 
são fornecidos um ângulo interno e a medida de um de 
seus lados. Determinar as medidas das incógnitas indicadas 
pelas letras.
 
12. A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com 
uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do 
edifício. O comprimento dessa escada é de:
a) 12 m.
b) 30 m.
c) 15 m.
d) 17 m.
e) 20 m.
13. (ESPECEX 2005) Um topógrafo, querendo conhecer a altura 
de um penhasco, mediu a distância do ponto A até a beira 
do rio (ponto E), obtendo 20 metros. A largura do rio (EB) 
é desconhecida. A figura abaixo mostra os ângulos BÂC = 
30º e BÊC = 60º. A altura do penhasco encontrada pelo 
topógrafo foi:
 
 
14. (Cesgranrio-RJ) Um disco voador é avistado, numa região 
plana, a uma certa altitude, parado no ar. Em certo instante, 
algo se desprende da nave e cai em queda livre, conforme 
mostra a figura. A que altitude se encontra esse disco vo-
ador?
Considere as afirmativas:
l. a distância d é conhecida;
ll. a medida do ângulo α e a tgα do mesmo ângulo são conhe-
cidas.
Então, tem-se que:
a) a l sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas 
a ll, sozinha, não.
b) a ll sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas 
a l, sozinha, não.
c) l e ll, juntas, são suficientes para responder à pergunta, 
mas nenhuma delas, sozinha, o é.
d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder à per-
gunta.
e) a pergunta não pode ser respondida por falta de dados.
15. (Uesc-BA) Pretende-se construir uma rampa de menor 
compri¬mento d, ligando dois níveis diferentes de pisos, 
de modo que seu ângulo de inclinação a não seja maior 
que 20°.
 
Se os pisos têm altura, respectivamente, de 2,8 m e 1,1 m 
em relação ao solo, e sendo sen 20° = 0,34, então o com-
primento d que melhor satisfaz ao problema é:
a) 3,4 m 
b) 4,4 m 
c) 5,4 m
d) 6,4 m
e) 7,4 m
a) 3 m
b)5 m
c)5 3 m
d)5( 3 1) m
e)5( 3 3) m
+
+
a) 3
b)2
c)2 3
d)2( 3 1)
e)2( 3 3)
+
+
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Módulo I
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C apítulo 2
Arcos de circunferÊncia
Arcos côngruos e circunferência trigonométrica
Aplicações do capítulo 2
OS VELÓDROMOS
 Velocidade olímpica – Disputada apenas por 
homens, é realizada por dois times de três ciclistas. As 
equipes largam de posições opostas do velódromo e na 
primeira volta são lideradas por um ciclista, que sai de 
cena quando a volta é completada.Na segunda volta, 
outro ciclista assume a ponta saindo da pista ao término 
do percurso. Na última etapa, o terceiro competidor com-
pleta a prova e, em seguida, são somados os pontos dos 
três ciclistas para se estabelecer o vencedor.
Fonte: www.canalolimpico.com.br
Fonte: http://www.canalolimpico.com.br/artigos/a-historia-do-ciclismo-no-brasil-regras-e-infografico/
Seja uma circunferência de centro O a qual tomamos dois 
pontos distintos, A e B. A seguir, ainda sobre a circunferência, 
tomemos um terceiro ponto M, distinto dos anteriores. Relati-
vamente a A e B, M apresenta duas possibilidades:
a) Situar-se na parte assinalada na figura (o percurso mais 
curto entre A e B): ou
b) Ao contrário, situar-se na outra parte, não assinalada 
(o percurso mais longo entre A e B).
Dado dois pontos pertencentes à circunferência, eles 
dividem em duas partes. O sentido negativo é chamado de 
sentido horário e o sentido positivo é chamado de sentido 
anti – horário. 
MEDIDA DE ARCO
As unidades mais utiliza-
das na medição de arcos são o 
grau (°) e o radiano (rad). Estas 
medidas não levam em conside-
ração ao tamanho da circunferên-
cia, ou seja, uma circunferência 
de raio igual a 5 cm, por exemplo, 
possui 360° e uma circunferência 
de raio igual a 10 cm, por exem-
plo, possui 360°.
GRAU (°): Um arco mede 1 grau (1°) quando eqüivale a 
1/ 360 da circunferência que o contém.
RADIANO (rad): Um arco mede 1 radiano (1 rad) quando 
o seu comprimento é igual ao do raio da circunferência que o 
contém. 
 * Qualquer circunferência possui 360° ou 2π rad
CONVERSÃO DE MEDIDAS 
Já que, como unidade de medida, podemos utilizar tanto 
o grau como o radiano, precisamos aprender converter uma 
unidade na outra.
Como qualquer circunferência tem 360° ou 2π rad, po-
demos estabelecer a seguinte correspondência:
360° ⇔ 2π rad , simplificando por 2 temos:
180° ------------ πrad
____________________________________________
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Módulo I
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COMENTÁRIO SOBRE RADIANO
Se utilizarmos um 
objeto circular qualquer 
(a tampa de um vidro, por 
exemplo), um pedaço de 
barbante, uma tesoura e 
uma caneta, poderemos ob-
servar a relação de radiano 
e sua correspondência com 
a circunferência.
Primeiramente, cir-
cunde o objeto com um 
barbante. Em seguida, corte 
o barbante de modo que seu 
comprimento corresponda a 
uma volta completa no obje-
to; chame as extremidades 
de A e H. 
 Pela extremidade 
A, estenda o barbante como 
um diâmetro sobre o objeto 
circular, obtendo o ponto C.
Dobre ao meio o pedaço utilizado como diâmetro e você 
obterá o raio do objeto circular, localizando o ponto B. Você já 
terá dois raios marcados ( e ) no barbante.
 Continue fazendo marcas sucessivas, cada uma distan-
do da anterior a medida do raio; serão localizados os pontos D, 
E, F e G.
 Terão sido feitas – até o ponto G, inclusive – seis marcas 
e sobrará um pedaço do barbante ( ), correspondente a 
cerca de 28% do raio.
Esse fato significa que o raio “cabe” aproximadamente 
6,28 vezes na respectiva circunferência.
De volta ao objeto circular, 
circunde-o novamente com o bar-
bante (você obterá uma marcação 
parecida com esta!).
 Tome, agora, um para qual-
quer de pontos consecutivos (exce-
to A e G) e una esses dois pontos (C 
e D, por exemplo) ao centro O. você 
terá obtido um arco CD de medida 
igual a 1 rad, bem como um ângulo 
central CÔD de medida também igual a 1 rad. 
1 rad equivale aproximadamente 57°.
 Qualquer um dos arcos AB, BC, CD, DE, EF e FG que 
seja “retificado” fornecerá o raio da circunferência, uma vez 
que cada um deles mede 1 rad. 
 Com bastante precisão, pode-se demonstrar que o 
raio “cabe” 6, 283184... vezes na circunferência; esse número 
irracional 6,283184... é conhecido como 2π. 
 Assim, para se determinar o comprimento de uma 
circunferência, basta que seu raio seja conhecido:
C = 2π . r, ficando claro também que numa volta com-
pleta há 2π rad.
AB BC
GH
Fonte: GELSON IEZZI, OSVALDO DOLCE, DAVID DEGENSZAJN, ROBERTO PÉRIGO, 
NILZE DE ALMEIDA, Matemática e Aplicações, Ed. Atual, Ens. Médio 2, 1ª Edição.
Exemplo1: Determinar, em radianos, a medida do arco 60°
Exemplo2: Determinar, em graus, a medida do arco 
Exemplo3: Determinar o valor do arco 30° em radianos.
3
rad
2
�
ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS 
(HORA E MINUTO) DE UM RELÓGIO.
Nesta parte da trigonome-
tria é comum se depararmos 
com problemas sobre ângulos 
entre ponteiros de um relógio. 
Em geral, uma estratégia muito 
usada é aquela que com regra 
de três simples, mas também, 
podendo utilizar as funções.
Exemplos de ângulo entre os ponteiros de um relógio:
Como o relógio de ponteiros do tipo exemplificado 
acima, percebemos uma volta completa de 360º está dividida 
em 12 partes (horas) iguais, ou seja, cada arco entre horas 
consecutivas possui mesmo valor. Se dividirmos 360º por 12, 
teremos 30º para cada arco.
 Lembrete:
1º(um grau) corresponde a 60’ (sessenta minutos)
1’ (um minuto) corresponde a 60’’ (sessenta segundos)
1° = 60´ e 1´ = 60´´
A cada 60 minutos do ponteiro dos minutos, o ponteiro 
das horas gira 30°.
 60 min ---------------- 30°
Podemos encontrar o ângulo entre os ponteiros de um 
relógio através da expressão: θ = |60h-11m| , onde h repre-
senta o valor de horas até 12 h e m representa os minutos.
¸
60h 11m
2
=
−
Nota: Quando se deparamos com questões que pedem o menor 
ângulo, você deverá encontrar um ângulo que seja menor 
que 180°, caso contrário, encontre o replemento.
Exemplo: resultado de uma questão foi 200°(não deixa de ser 
um ângulo entre os ponteiros), então o menor ângulo 
será 360° - 200° = 160°.
Módulo I
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Exemplo: Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros 
de um relógio quando ele marcar:
a) 16h e 40 min.
b) 15h e 30 min.
c) 14h e 45 min.
d) 13h e 55 min.
RELAÇÃO DE ARCO E RAIO
Neste caso, iremos estudar o comprimento do arco, 
logo, o tamanho da circunferência é levado em consideração. 
O comprimento de arco utiliza unidades de comprimento como 
cm, dm, mm, etc., enquanto a medida de arco utilizamos grau 
e radiano, onde não é levado em consideração o tamanho da 
circunferência que o contém.
α± l
R
=
OBSERVAÇÃO:
MEDIDA DE ARCOS: π = 180°
COMPRIMENTO DE ARCOS: π ≅ 3,14
CUIDADO!
180° é utilizado quando queremos transformar um 
arco de graus em radianos ou vice-versa. Quando tratamos 
de questões que envolvem comprimento de arco (unidades 
de comprimento) o valor de π é aproximadamente 3,14. 
Exemplo 1: Um carro movimenta-se em uma pista circular 
de raio igual a 600 m. Sabe-se que este carro descreve 
uma trajetória em forma de arco de circunferência de A 
até B, formando um ângulo central de 60°. Determine o 
comprimento em metros do arco AB.
Exemplo 2:
Erguido com US$ 1 bilhão, o World 
Trade Center – um mega condomínio de 
escritórios com 339 unidades espalha-
das por 101 países – foi inaugurado em 
1973, a poucas quadras de Wall Street, 
o coração financeiro do país. Suas torres 
de 417 e 415 metros e seus 110 andares 
“Os ataques terroristas provocaram 
uma pane nos sistemas de comunicação 
do país, isolaram os americanos do mun-
do e congestionaram a conexão da aldeia 
global.”
ocupavam a quarta e a quinta posições entre os edifícios mais 
altos do mundo. (fonte: Istoé – 12 de setembro de 2001) 
No atentado terrorista de 11 de setembro, o avião que 
bateu a torre de 415 m, fez que o ponto mais alto da própria 
descrevesse um arco de 5m. Qual foi o ângulo formado por 
este arco?
Módulo I
12
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
As limitações que o triângulo retângulo nos impõe na 
utilização das razões trigonométricas que estudamos até aqui 
são notórias:seus ângulos internos, passíveis de aplicação a 
essas relações, são agudos.
Por motivos de limitações, iremos estender o conceito 
de razões trigonométricas aplicados aos arcos de circunferência, 
mantendo as propriedades já estudadas. O primeiro passo é 
definir uma circunferência importante chamada circunferência 
trigonométrica.
Definição: Chama-se circunferência trigonométrica a 
toda circunferência orientada de raio unitário (r = 1), onde 
possui um ponto A que é a origem de todos os arcos.
Nota: A circunferência trigonométrica é dividida em 4 
partes iguais chamadas de quadrantes.
Imagens – Matemática 8 – Pré vestibular, Ed. COC – Empreendimentos 
culturais LTDA, páginas 25 e 26.
Exemplo: Determine os quadrantes dos arcos:
a) 30º
b) 100º
c) 300º
d) -120º
e) -210º
f) π
 4
g) 2π
 3
h) π
 6
Curiosidade
Fonte: http://blog.brasilacademico.com/2011/07/matematicos-querem-substituir-o-pi.html
ARCOS CÔNGRUOS
São arcos de mesma extremidade, diferenciando no 
número de voltas. Dois arcos são côngruos quando a diferença 
entre eles é um múltiplo de 360° (ou 2π).
x = x0 + 360°.k, k ∈ Z ou x = x0 + 2kπ, k ∈ Z
(em graus) (em radianos)
x0 – 1° determinação (positiva ou negativa, depende do 
sentido)
k – representa o número de voltas
x – representa o “arco final”
Exemplo: Num teste de um novo modelo de carro em uma pista 
circular como mostra a figura, foi registrado voltas que 
totalizaram 1500º de um determinado. Relacionando o 
arco medido em um ciclo trigonométrico, determine:
A pista circular de testes da Porsche em Weissach, na Alemanha, década de 1970
a) O número de voltas completas
b) A 1ª determinação positiva
c) A 1ª determinação negativa
d) A equação dos arcos côngruos em graus
Módulo I
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Comentário
Exercícios de aprendizagem–capítulo 1
01. Determine os quadrantes dos arcos abaixo:
a) 60° 
b) 230° 
c) – 30° 
d) π/4 
e) – 200° 
02. Qual a primeira determinação positiva do arco 800°?
03. Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de 
um relógio em 50 minutos?
a) 16π
 9 
b) 5π
 3
c) 4π
 3
d) 4π
 2
e) 3π
 3
04. Expresse, em radianos, os arcos abaixo:
a) 30° 
b) 60° 
c) 270° 
d) 100° 
05. Determine a primeira determinação positiva dos arcos 
abaixo:
a) 400° 
b) 1080° 
c) 13π/ 2 
d) 17π/ 3 
06. Expresse, em graus, os arcos abaixo:
a) π b) 2π c) π d) π 
07. Determine o comprimento do arco de circunferência 
de raio 40 cm quando submetido a um ângulo central 
45°. 
 4 3 18 20 
08. Enquanto a tartaruga pronunciava sua pergunta, o co-
elho se distanciou 16,66 m, na pista circular de 31,83 
m de raio. Determine a medida, em radiano, do arco 
imediatamente após o término da infeliz pergunta.
09. Um pêndulo de 10 cm de comprimento oscila 
entre A e B através de um ângulo de 10°. Qual 
é o comprimento da trajetória descrita pela 
sua extremidade entre A e B?
10. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros 
de um relógio quando ele marcar:
a) 4h e 40 min 
b) 14h e 30 min 
c) 10h e 15 min 
d) 12h e 30 min 
11. (UFRGS-RS) Dentre os desenhos a seguir, aquele que 
representa o ângulo que tem medida mais próxima de 
1 radiano é:
 
 
12. (MACKENZIE-SP) O segmento OA descreve um ângulo 
de 30° em torno da origem, como indica a figura. Ado-
tando π = 3, a distância percorrida pelo ponto A é:
a) 2,5
b) 5,5
c) 1,7
d) 3,4
e) 4,5
Módulo I
14
C apítulo 3
13. (UFRS) Qual é a expressão geral, em radianos, dos arcos 
de extremidades nos pontos indicados?
 
14. Uma banheira tem o formato de uma semi–esfera de 
6 m de diâmetro. Uma criança deixa cair uma bola de 
borracha pelo interior da banheira quando ela estava 
vazia, conforme a figura abaixo:
Sabendo que o ângulo θ é igual a 60° e considerando 
o valor de π ≅ 3,14, podemos concluir que, o trajeto 
percorrido pela bola tem comprimento aproximada-
mente igual a:
a) 3,70 m
b) 3, 0 m
c) 2,30 m
d) 3,14 m
e) 31,40 m
15. As duas polias da figura giram simultaneamente em 
torno dos respectivos centros, por uma correia inex-
tensível. Quantos graus deve girar a maior polia para 
que a menor dê uma volta completa?
16. (U.F. Ouro Preto – MG) Um ciclista de uma prova de 
resistência deve percorrer 500 km em torno de uma 
pista circular de raio 200 m. o número aproximado de 
voltas que ele deve dar é:
a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
e) 500
17. (Fafi/ Fabrai – MG) Considerando que π ≅ 3,14, o nú-
mero de votas completas que uma roda de raio igual 
a 40 cm, incluindo o pneu, dará para que o automóvel 
se desloque 1 quilômetro será de:
a) 290
b) 398
c) 2000
d) 3980
e) 2189
Vamos ampliar as definições de seno, cosseno e tangente 
que eram aplicadas no triângulo retângulo para a circunferência 
trigonométrica. 
Funções trigonométricas
Seno, cosseno e tangente
Aplicações do capítulo 3
Espécie de braço (manipulador) robótico da Estação 
Espacial Internacional. É possível operar o braço con-
trolando o ângulo de suas juntas. O cálculo da posição 
final do astronauta no final do braço requer uma série 
de aplicações de funções trigonométricas em função 
desses ângulos.
Extraído em 27/11/2011 www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_trigonometria2/index.htm
INTRODUÇÃO
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“Sem sono” “Com sono”
Como o raio da circunferência trigonométrica é igual a 1, 
o valor máximo admitido é 1 e o valor mínimo admitido é – 1.
Então podemos concluir que uma função seno ou uma 
função cosseno admite valores pertencentes ao intervalo [ -1, 
1] que é chamado de imagem da função.
COMENTÁRIO SOBRE DOMÍNIO E IMAGEM
Em matemática, se x e 
y são duas variáveis tais que 
para cada valor atribuído a x 
existe, em correspondência, 
um único valor para y, dize-
mos que y é uma função de x. 
No eixo x (Eixo das 
abscissas) estão os elementos 
do conjunto domínio e no 
eixo y (Eixo das ordenadas) 
estão os elementos do conjunto imagem. O conjunto imagem 
é representado pelos elementos do eixo y que possui corres-
pondência direta com o gráfico através dos elementos do eixo x 
Comentário sobre os pontos notáveis da 
circunferência trigonométrica
Como já vimos anteriormente, os arcos côngruos pos-
suem mesma extremidade, mas diferenciam no número de vol-
tas. Desta maneira podemos observar que para um determinado 
arco, o seu côngruo terá mesmo valor para a função desejada.
Veja na circunferência.
Exemplos resolvidos: 
01. Determine o valor de y:
a) 
b) 
 
 
02. Determine o valor de:
a) 
b) 
Módulo I
16
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Fonte: http://tomasf-rodrigues-cfq-8c.blogspot.com/2011_06_01_archive.html
As ondas electromagneticas não necessitam de um, meio 
material para se propagarem, propagam-se “no vazio”.
FUNÇÃO SENO (f(x) = senx)
Denominamos uma função seno a função f: ℜ → ℜ que 
associa cada número real x ao seu seno.
Domínio: R
Imagem: [ -1, 1] ou {y ∈ R/ - 1 ≤ y ≤ 1}
Período: 2π
FUNÇÃO COSSENO (f(x) = cosx)
Denominamos uma função cosseno a função 
que associa cada número real x ao seu cosseno.
Domínio: R
Imagem: [ -1, 1] ou {y ∈ R/ - 1 ≤ y ≤ 1}
Período: 2π
Comentário
Sabemos que uma função seno ou cosseno possuem um 
gráfico padrão, para cada um deles, mas que pode ser de certa 
forma, alterado. Isso acontece por motivos de valores externos 
que alteram sua imagem.
Veja os casos mais comuns:
OBSERVAÇÃO
De modo geral, as funções seno e cosseno possuemimagem representada pelo intervalo [- 1, 1] e possui período 
2π. Mas a imagem e o período podem ser alterados.
Considere as seguintes funções 
Os valores a e b alteram a imagem a da 
função.
a é responsável para “deslocar o eixo prin-
cipal”, ou seja, um eixo de referência. Este eixo é 
paralelo ao eixo das abscissas, translada o gráfico 
para cima e para baixo.
b é amplitude do gráfico. Número de unida-
des que o gráfico aumenta ou diminui para o máximo 
ou para o mínimo, em relação a um eixo principal.
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f x x( ) .cos( )= +2 7
2
π
K altera o período da função. Dependendo do valor de 
k, o gráfico pode comprimir ou expandir.
O número que soma, subtrai, multiplica ou divide a fun-
ção altera a imagem e o número que multiplica a variável altera 
o período. Podemos encontrar o período da função através da 
fórmula onde k representa o número que multiplica 
o x (variável).
Quando igualamos kx + m = 0, encontraremos o valor 
de x que será o “arco inicial”.
Exemplo: Determine o domínio, imagem, período e esboce o 
gráfico da função f(x) = 3.sen2x.
Solução
Domínio: Df = R
Imagem: O número 3 está multiplicando a função, então 
[-1,1] será multiplicado por 3, logo, Imf = [-3, 3]
Período: Pela fórmula acima do período temos 
logo, Pf(x) = π
Achando os arcos côngruos, igualando com os pontos 
notáveis.
2x = 0 ⇒ x = 0 , 2x = π/2 π x = π/4 
2x = π ⇒ x = π/ 2 , 2x = 3π/2 ⇒ x = 3π/4
2x = 2π ⇒ x = π
3 é o máximo e – 3 é o mínimo.
Comentário
Antes de estudarmos o período da função f(x) = senx, 
vamos considerar algumas definições que irão auxiliar em nossa 
análise.
 Sabendo que sen(x + 2π) = senx, então o período da 
função f(x) = senx é 2π. Isto explica o fato de o gráfico ser uma 
repetição senóides de 2π em 2π.
Função seno.
Função cosseno
Exemplo: Determine a imagem e o período das funções 
abaixo.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
Módulo I
18
i) 
FUNÇÃO TANGENTE (f(x) = tgx)
Denominamos uma função tangente à função f : A → ℜ, ond
e que associa cada número real 
x ∈ A, a sua tangente. 
 
 
Domínio: 
Imagem: R Período: π
Comportamento da função:
 
O comportamento do gráfico da função tangente está entre 
 e , sendo que nestes pontos e seus côngruos, não existe 
tangente. 
De uma forma resumida, temos o domínio, imagem e 
período das funções seno, cosseno e tangente, de acordo com 
o gráfico a seguir:
Exemplos resolvidos:
01. Esboçar o gráfico de f(x) = 2 + senx.
 
02. Esboçar o gráfico de f(x) = - 1 + senx.
 
03. Esboçar o gráfico de f(x) = sen(2x).
Vamos calcular o perído da função e dividir por 4. Desta 
forma, encontraremos uma constante que nós auxiliará para 
determinar os pontos no eixo das abscissas. 
 (Neste caso, o perído da função é alterado e o gráfico 
será repetido de π em π.)
Agora vamos dividir o período por 4, encontraremos . 
Será razão de uma P.A. Temos:
 
Perceba que neste caso, o gráfico original foi comprimido, 
não alterando a imagem e domínio.
tgx senx
cosx
=
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Exercícios de aprendizagem–capítulo 3
04. Esboçar o gráfico da função .
 
05. Esboçar o gráfico da função .
 
01. Determine o domínio, imagem e período das funções 
abaixo:
a) 
b) 
c)
 
d) 
02. Esboce o gráfico das funções abaixo:
a) f(x) = 5.sen2x
b) f(x) = 4.cos3x
c) 
03. Determine os valores das expressões abaixo:
a)
 
b)
 
c) 
04. Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo 
tipo de peça. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o 
valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em 
milhares de reais, respectivamente, pelas funções:
 e , com 
Determine o lucro, em reais, obtido na produção de 
3 dezenas.
05. Estudando-se o fluxo de água em um ponto do estuário 
de um rio, determinou-se que a água flui para o oceano 
na vazão V, em milhões de litros por hora, em função 
do tempo t, em horas, de acordo com a equação:
 
Em que A, B e W são constantes reais positivas, e . A 
vazão na qual a água flui do rio para o oceano varia por causa 
das mares. Na maré baixa, a água flui mais rapidamente, com 
vazão máxima de vinte milhões de litros por hora e na maré alta, 
ela flui mais lentamente, com vazão mínima de quatro milhões 
de litros por hora. Nessa região, o tempo entre duas mares altas 
é igual a 12 horas e 24 minutos. Com base nessas informações:
a) Calcule os valores dos coeficientes A e B
b) Calcule o período em minutos, da vazão V e depois o 
coeficiente W
06. (Cefet – PR) Sejam as funções f(x) = 2.sen(x) e g(x) = 
sen(2.x). A respeito delas, pode-se afirmar que:
a) O período de f(x) é o dobro do período de g(x).
b) As funções f(x) e g(x) possuem os mesmos zeros.
c) O máximo de f(x) é igual ao máximo de g(x).
d) O máximo de g(x) é dobro do máximo de f(x).
e) O período de g(x) é o dobro do período de f(x).
07. Um físico, estudando o movimento de uma partícula, 
concluiu que a velocidade v dessa partícula, em cm/s, 
em função do tempo t, em s, é determinada por uma 
função do tipo v = a. sen kt, cujo gráfico é:
Desse mo, pode-se afirmar que:
a) a. k = 10
b) a. k = - 10 
c) a. k = 20
d) a. k = - 20
e) a = 10k
08. (U.Católica-DF) Admitindo que em um determinado 
lugar a temperatura média diária T (em °C) e a intensi-
dade média diária I da radiação solar, num período de s 
semanas, a partir de 1º de janeiro de um determinado 
ano, possam ser expressas por:
 
 e
 
Analise as afirmativas abaixo, colocando V ou F, confor-
me sejam verdadeiras ou falsas.
( ) Num período de 16 semanas, contadas a partir de 
1º de janeiro, a temperatura média diária é igual a 16°C.
( ) Num período de 11 semanas, a intensidade média 
diária da radiação vale 400.
( ) Num período de 18 semanas, contadas a partir 
de 1º de janeiro, a temperatura média diária atinge seu 
valor máximo.
( ) Se Im(T) e Im(I) indicam o conjunto imagem de 
T e o conjunto imagem de I, respectivamente, então 
Im(I) ⊂ Im(T).
Módulo I
20
01. (UFES) O gráfico da função , para é:
 
02. O PIB (Produto Interno Bruto) de um país, em bilhões 
de dólares, é dado por:
 , onde:
x = 0 corresponde ao ano de 1998;
x = 1 corresponde ao ano de 1999;
x = 2 corresponde ao ano de 2000 e assim por diante.
Sendo assim, o valor do PIB do ano 2018 é:
a) 1800 bilhões de dólares
b) 1810 bilhões de dólares
c) 1820 bilhões de dólares
d) 1830 bilhões de dólares
e) 1840 bilhões de dólares
03. (Adaptado – Manoel Paiva)
Saúde e bem estar
Em um modelo para descrever o processo respiratório, 
considera-se que o fluxo de ar F na traquéia, em ambos os 
sentidos (inspiração e expiração), e a pressão interpleural P – 
pressão existente na caixa torácica produzida pelo diafragma e 
por músculos intercostais – são funções periódicas do tempo t, 
havendo entre elas uma diferença de fase.
Essas funções são descritas, para t > 0, por:
 
em que K, A, B e C são constantes reais positivas e ω é 
a freqüência respiratória.
Podemos concluir que o período e a imagem que o 
gráfico do Fluxo de ar, em um osciloscópio, irá formar 
(para ω > 0) é:
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e) 
04. (U. E. Londrina-PR) O gráfico abaixo corresponde à 
função:
 
a) 
b)
 
c)
 
d) 
e) 
y 2.senx=
y sen2x=
y sen x
2
= 





y senx 2= +
y sen4x=
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05. (UEPA – 2004)Os praticantes de COOPER balançam seus 
braços ritmicamente, enquanto correm, para frente e 
para trás, descrevendo uma oscilação completa em de 
segundo, conforme figura abaixo. O ângulo θ varia em 
função do tempo t, em segundos, aproximadamente, 
de acordo com a equação:
 
Movimento dos braços para trás e para frente
Tomando por base os dados acima, podemos afirmar 
que o maior valor assumido pelo ângulo θ é:
a) 15º
b) 20º
c) 25º
d) 30º
e) 45°
06. (PSS 2 – 2008) O gráfico da função f por é:
a) b) 
c) d) 
e) 
Testes de vestibulares/ Enem/ Desafios
01. Dado o gráfico de uma função f(x), é correto afir¬mar 
que:
 
a) f(x) = sen x
b) f(x) = cos x
c) f(x) = tg x
d) f(x) = sen2 x
e) f(x) = cos2 x
02. Dado o gráfico de uma função f(x), é correto afir¬mar 
que:
 
a) f(x) = sen x
b) f(x) = cos x
c) f(x) = tg x
d) f(x) = sen2 x
e) f(x) = cos2 x
03. Dado o gráfico de uma função f(x), é correto afirmar 
que:
 
a) f(x) = sen x 
b) f(x) = cos x 
c) f(x) = tg x
d) f(x) = sen2 x
e) f(x) = cos2 x
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Módulo I
22
04. (UFES) O gráfico da função f(x) = cosx+|cosx| , para 
x ∉ [ 0,2π] é:
 
05. As duas polias da figura giram simultaneamente em 
torno dos respectivos centros, por uma correia inex-
tensível. Quantos graus deve girar a maior polia para 
que a menor dê uma volta completa?
06. (PSS 2 – 2007) Um engenheiro, responsável pela cons-
trução de uma pista de atletismo circular de 400m, 
precisa orientar o pintor responsável por pintar as 
linhas de largada e chegada e as faixas de corrida de 
cada corredor, de modo que cada corredor corra apenas 
400m entre sua linha de largada e a linha de chegada, 
dentro de uma faixa de 1m de largura. Considerando 
que 
a) o corredor que corre na faixa 1, a faixa mais próxima do 
centro da pista, parte da linha de chegada;
b) a linha de chegada e a linha de largada do sexto corredor 
formam um ângulo α de, aproximadamente, 0,457 ra-
dianos e que o comprimento do arco entre a linha de 
chegada e a linha de largada do sexto corredor é 31,43 
m (veja figura abaixo);
c) o raio de cada faixa é dado pelo segmento que une o 
centro da pista à circunferência menor da faixa;
 
então, admitindo que 2π = 6,28, o comprimento, apro-
ximado, do arco entre a linha de chegada e a linha de 
largada do sétimo corredor é
a) 41,25 m
b) 35,11 m
c) 36,12 m
d) 38,15 m
e) 40,10 m
07. Na figura abaixo, a seguir é igual a:
 
a) 1 
 
b) 5
 3 
c) √3
 2 
d) √2 
 2
e) 2 
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08. (PSS 2 – 2009) Se y = a + cos (x+b) tem como gráfico
 
 
09. (PSS 2 – 2007) O pêndulo simples é formado por uma 
partícula de massa m fixada na extremidade inferior 
de uma haste retilínea, de comprimento l (de massa 
desprezível se comparada com a massa da partícula), 
cuja extremidade superior está fixada. Suponhamos 
que o movimento do pêndulo se processe em um plano 
vertical e designemos por θ o ângulo que a haste faz 
com a reta vertical 0Y (Veja figura abaixo). Observemos 
que θ=θ(t) , isto é, θ é função do tempo t ≥ 0. O movi-
mento do pêndulo, para pequenas oscilações, é regido 
pela equação
 
em que A é uma constante positiva, g é a aceleração da 
gravidade e l é o comprimento da haste. Os valores de 
t ≥ 0, referentes à passagem do pêndulo pela posição 
vertical OY, isto é, ao momento em que θ(t) = 0 , são 
dados por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
10. (PSS 2 – 2005) Aristarco de Samos, matemático que 
viveu por volta de 300 a.C., querendo calcular as 
distâncias relativas da Terra ao Sol e da Terra à Lua, 
utilizou o seguinte raciocínio: “— No momento em 
que a Lua se encontra exatamente à meia-lua, os três 
astros formam um triângulo retângulo, com a Lua ocu-
pando o vértice do ângulo reto. Sabendo a medida do 
ângulo que a visão da Lua forma com a visão do Sol, 
será possível determinar a relação entre as distâncias 
daTerra à Lua e da Terra ao Sol”.
Módulo I
24
Sabe-se que o ângulo formado pelas direções Terra-Lua 
e Terra-Sol, na situação de meia-lua, é de, aproximadamente, 
89,85° e que a distância da Terra à Lua é de, aproximadamente, 
384.000 km. 
Para ângulos de medidas inferiores a 1° (um grau), uma 
boa aproximação para o seno do ângulo é a medida do mesmo 
ângulo em radianos. 
Utilizando esses dados e o raciocínio de Aristarco, 
pode-se concluir que a distância da Terra ao Sol é de, aproxi-
madamente,
a) 2.500.000 km
b) 3.800.000 km
c) 34.600.000 km
d) 147.000.000 km 
e) 7.000.000.000 km
11. (UEPB) As funções seno e co-seno são representadas, 
respectivamente, por duas curvas chamadas de senói-
de e co-senóide. De acordo com o gráfico a seguir, os 
valores de x que satisfazem a desigualdade sen x > cos 
x são:
 
 
12. Os triângulos que aparecem na figura da esquerda são 
retângulos e os catetos OA1, A1A2, A2A3, A3A4, A4A5,...
A9A10 têm comprimento igual a 1.
 
a) Calcule os comprimentos das hipotenusas OA2, OA3, 
OA4 e OA10.
b) Denotando por On o ângulo (AnOAn + 1), conforme 
figura da direita, descreva os elementos a1, a2, a3 e a9 
da seqüência (a1, a2, a3, ... a8, a9), sendo an = sen 
(θn)
13. (FUVEST – SP) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, 
E é um ponto sobre o lado tal que o ângulo 
mede 60° e os ângulos e são retos. Sabe-se 
ainda que e . Determine a medida 
de .
 
14. A figura representa uma fileira de n livros idênticos, em 
uma estante de 2 metros e 20 centímetros de compri-
mento.
AB = DC = 20 cm
AD = BC = 6 cm
 
Nas condições dadas, n é igual a:
a) 32 
b) 33 
c) 34 
d) 35 
e) 36
Módulo I
M
a
te
m
á
ti
c
a
 1
25
15. (UFSCar-SP) A seqüência de figuras mostra um único 
giro do ponto A, marcado em uma roda circular, quan-
do ela rola, no plano, sobre a rampa formada pelos 
segmentos RQ e QP.
 
Além do que indicam as figuras, sabe-se que o raio da 
roda mede 3 cm, e que ela gira sobre a rampa sem deslizar em 
falso. Sendo assim, o comprimento RQ + QP da rampa, em cm, 
é igual a:
a) 5π + 2√3 
b) 4π + 3√5
c) 6π + √3
d) 7π - √3
e) 8π - 3√5
16. (ENEM 2010) Um satélite de telecomunicações, t mi-
nutos após atingido sua órbita, está a r quilômetros de 
distância do centro da Terra. Quando r assume seus 
valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu 
o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, 
para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado 
por:
 
Um cientista monitora o movimento desse satélite para 
controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele 
precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e perigeu, 
representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S 
atinge o valor de:
a) 12 765 km 
b) 12 000 km 
c) 11 730 km 
d) 10 965 km
e) 5 865 km
17. Um poste localiza-se numa rampa plana que forma um 
ângulo de 28° com o plano horizontal (conforme figura). 
Num instante em que os raios solares são perpendicu-
lares à rampa, o poste projeta sobre essa rampa uma 
sombra de 2,3 m de comprimento. Calcule a altura do 
poste. (Dados: sen 28° = 0,46, cos 28° = 0,88 e tg 28° = 
0,53.)
 
18. (ENEM 2011) Para determinar a distância de um barco 
até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedi-
mento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual 
α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo 
o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B 
de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da 
praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura 
ilustra essa situação:
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 
α = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia 
percorrido a distância AB = 2000 m. Com base nesses dados e 
mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até 
o ponto fixo P será:
a)
 
b) 
 
c)d) 
e) 
19. (UFMT) Para determinar a altura de um morro, um 
topógrafo adotou o seguinte procedimento:
• Escolheu dois pontos A e B, situados no mesmo plano 
vertical que passa por C;
• Mediu a distância AB encontrando 162 m;
• Com auxílio de um teodolito mediu os ângulos α, β e λ, 
encontrando, respectivamente, 60º, 90º e 30º. 
A figura ilustra o procedimento descrito.
 
Qual altura do morro (h), em metros, encontrada pelo topógrafo?
20. A Polícia Federal localizou na floresta Amazônica uma 
pista de pouso clandestina com as seguintes caracte-
rísticas:
• A pista media 300 m de comprimento era plana e 
horizontal;
• No final da pista havia uma árvore de 30 m de altura, 
conforme a figura.
Determine a tgα, sabendo que o avião passa exatamen-
te 10 m acima da árvore.
a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/3 e) 1/2
r t 5865
1 0,15 cos 0,06t
( ) =
+ × ( )
1000 m
1000 3 m
2000 3
3
 m
2000 m
2000 3 m
Módulo I
26
21. João e Maria costumavam namorar atravessando um 
caminho reto que passava pelo centro de um canteiro 
circular, cujo raio mede 5m. Veja a figura 1.
Certo dia, após uma desavença que tiveram no ponto 
de partida P, partiram emburrados, e, ao mesmo tempo, para o 
ponto de chegada C. Maria caminhou pelo diâmetro do canteiro 
e João andou ao longo do caminho que margeava o canteiro 
(sobre a circunferência), cuidando para estar, sempre, à “mesma 
altura” de Maria, isto é, de modo que a reta MJ, formada por 
Maria e João, ficasse sempre perpendicular ao diâmetro do 
canteiro. Veja a figura 2
Quando a medida do segmento PM, percorrido por 
Maria, for igual a 7,5 = 5 + metros, o comprimento 
do arco de circunferência PJ, percorrido por João, será 
igual a :
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
22. (UFPB) O ângulo, sob o qual um observador vê o topo 
de um prédio de 88 m de altura, duplica quando esse 
observador se aproxima 110 m do prédio, e triplica 
quando ele se aproxima mais 50 m. Neste instante, a 
distância entre o observador e o prédio é:
 
a) 50 m
b) 22 m
c) 176 m
d) 16 m
e) 18 m
23. (ENEM 2009) Rotas aéreas são como pontes que ligam 
cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os 
estados brasileiros e a localização de algumas capitais 
identificadas pelos números. Considere que a direção 
seguida por um avião AI que partiu de Brasília-DF, sem 
escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta 
com extremidades em DF e em 4.
 
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br.
Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um 
avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135º 
graus no sentido horário com a rota Brasília-Belém e pousou em 
alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma 
conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que 
forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção 
seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando 
que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semir-
reta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade 
destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez 
uma conexão em
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
24. (UERJ 2002) A extremidade A de uma planta aquática 
encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um 
lago (fig.1). Quando a brisa a faz balançar, essa extre-
midade toca a superfície da água no ponto B, situado 
a 10 √3 cm do local em que sua projeção ortogonal 
C, sobre a água, se encontrava inicialmente (fig. 2). 
Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco 
AB uma trajetória do movimento da planta.
a) Qual a profundidade da lagoa?
b) Qual o comprimento do arco AB?
5
2
Módulo I
M
a
te
m
á
ti
c
a
 1
27
25. (PRISE)
 
Um arquiteto desenvolve um projeto para captação de 
águas pluviais, conforme a figura acima. A bomba sugerida nesse 
projeto injeta um valor máximo de volume (V) de água igual a 4 
litros, no intervalo de tempo (t) de 0 a 2 segundos . 
O rendimento dessa bomba é dado pela expressão algébrica 
O gráfico que melhor representa o volume (V) de água 
injetado, em função do tempo (t), é:
26. Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista 
brasileiro Sandro Dias, 
apelidado “Mineirinho”, 
conseguiu realizar a ma-
nobra denominada “900”, 
na modalidade skate ver-
tical, tornando-se o se-
gundo atleta no mundo 
a conseguir esse feito. 
A denominação “900” 
refere-se ao número de 
graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio 
corpo, que, no caso, corresponde a:
a) uma volta completa.
b) uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
d) duas voltas e meia.
e) cinco voltas completas.
27. (UFPA) O igarapé Tucunduba separa geograficamente 
o Campus Universitário do Guamá – UFPA em Belém, 
em duas partes. Unindo essas partes, existe uma ponte 
de pouca altura, em ferro para pedestres. Para chegar 
ao mercado, o barco São Benedito deve passar por 
debaixo da ponte. Duas dificuldades em geral acon-
tecem: a maré está muita baixa e o barco não pode 
navegar; ou a maré está muito alta e a ponte impede o 
barco de entrar. O São Benedito tem um calado (parte 
do barco abaixo da linha d’água) de 1,3 metro e a sua 
altura acima da linha d’água é de 1,9 metro. O fundo 
do igarapé está a 0,1 metro acima do nível do mar e 
a ponte, a 4,5 metros acima do nível do mar. Às dez 
horas da manhã de hoje, a maré estará em preamar 
(nível mais alto da maré) de 3,2 metros acima do nível 
do mar e às dezesseis horas estará em baixa-mar (nível 
mais baixo da maré) de 0,8 metro acima do nível do 
mar.
 
Modelando a oscilação da maré como uma função do tipo
 
 f(t) = A + B.sen(Ct + D),
onde t é o tempo e A, B, C e D são constantes, o primeiro ho-
rário, após as dez horas, e o último horário, antes das dezesseis 
horas, em que o barco São Benedito poderá passar por debaixo 
da ponte são, respectivamente, 
a) 10h30min e 15h30min.
b) 11h e 15h.
c) 11h30min e 14h30min.
d) 12h e 14h. 
e) 12h30min e 13h30min.
 
28. (PRISE) Em protesto ao Plano de Reforma Agrária, não 
realizada pelo governo Federal, um grupo de trabalha-
dores pertencentes ao MST, partiu em direção a uma 
fazenda, situada numa região próxima, na intenção de 
invadi-la. Após percorrerem certa distância pararam 
em um cruzamento porque alguns dos trabalhadores 
se manifestaram em dúvida quanto ao caminho a ser 
seguido. Após longa discussão, cinco afirmações foram 
feitas, sendo que apenas uma delas é a correta, pois, o 
caminho a ser seguido tinha a mesma direção e sentido 
do anterior. A afirmação correta foi:
a) Girando 8π rad, seguiremos na mesma direção e sentido.
b) Girando , seguiremos na mesma direção e sentido 
contrário.
c) Girando , seguiremos na mesma direção e sen-
tido.
d) Girando , seguiremos na mesma direção e 
sentido contrário.
e) Girando 5π rad, seguiremos na mesma direção e sentido.
0 t 2≤ ≤( )
Módulo I
28
29. (MACKENZIE – SP) Em [0, 2π], a melhor representação 
gráfica da função real definida por 
 é:
 
30. (UEPA 2012) As construções de telhados em geral são 
feitas com um grau mínimo de inclinação em função 
do custo. Para as medidas do modelo de telhado re-
presentado a seguir, o valor do seno do ângulo agudo 
ϕ é dado por:
(Fonte: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/
arquivos/933-2.pdf. Acesso em 9 de setembro de 2011 – Texto
adaptado)
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
31. (UEPA 2012) Os desfiles de moda parecem impor impli-
citamente tanto o “vestir-se bem” quanto o “ser bela” 
definindo desse modo padrões de perfeição. Nesses 
desfiles de moda, a rotação pélvica do andar feminino 
é exagerada quando comparada ao marchar masculino, 
em passos de igual amplitude.Esse movimento osci-
latório do andar feminino pode ser avaliado a partir 
da variação do ângulo ϴ, conforme ilustrado na figura 
abaixo, ao caminhar uniformemente no decorrer do 
tempo (t). Um modelo matemático que pode repre-
sentar esse movimento oscilatório do andar feminino 
é dado por: 
 
 Nestas condições, o valor de é:
a) 
 
 
b) 
 
c)
 
d) 
 
e) 
(Fonte: http://www.google.com.br/search?hl=PT – Acesso em 9
de setembro de 2011 – Texto adaptado)
32. (UERJ 2000) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.
 
 
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 
cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm.
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:
a) 10º
b) 11º
c) 12º
d) 13º
e) 14º
11
Capítulo 11
Capítulo 22
Matemática 2
 
• Introdução: Fatorial
• Princípio Fundamental da 
 Contagem (P.F.C) ou Princípio 
 Multiplicativo 
• Aplicações
• Introdução de Agrupamentos 
• Arranjo, Combinação e Permutação 
• Aplicações do capítulo 2 
Módulo
Módulo I
30
• FATORIAL
• INTRODUÇÃO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
• APLICAÇÕES
	 Aplicar	o	teorema	fundamental	da	contagem;	Uti-
lizar as fórmulas de agrupamentos; 
 Aplicar o teorema fundamental da contagem na 
resolução de problemas sobre agrupamentos com 
elementos	distintos	ou	repetidos;	
	 Utilizar	as	 fórmulas	de	agrupamentos	 simples	na	
resolução de problemas. 
Módulo I
31
1
INTRODUÇÃO – FATORIAL
Seja n	um	número	inteiro	não	negativo		(n	∈	N).	Defi-
nimos fatorial de n	(e	indicamos	por	n!) por meio da relação:
n! = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3) ..... 3.2.1 para n ≥ 2
OBSERVAÇÃO
•	 1! = 1
•	 0! = 1
Calcule:
a) 3!
b) 4!
c) 5!
d) 7! + 4! + 3!
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
 Solução
a) 3! = 3.2.1 = 6
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) 5! = 5.4.3.2.1 = 120
d) 7! + 4! + 3! = 7.6.5.4.3.2.1 +4.3.2.1 + 3.2.1 = 5040
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
APLICAÇÕES – FATORIAL
01.	 Calcule	o	valor	de:
a) 8!
b)			(13	-	6)!
c)			(3	+	2.4	-	5)!
d)
e)
f)
02.	 Simplifique	as	expressões:
03.	 Resolva	as	equações:
04. (UFPA)	Simplificando		,																obtemos:
05. (V. UNIF.RS)	A	expressão																	,	com	n	natural	
estritamente	positivo,	vale:
06.	 Assinale	verdadeiro	ou	falso:
07.	 Classifique	em	verdadeiro	(V)	ou	falso	(F):
08. (VUNESP) Dados os números n e m ∈ N:
09. (UNIMONTES – MG) A	solução	da	equação	(3x	-	5)!=	1		é:
 
10. (UNICAP – PE)	O	valor	de	n	em		(n	-	7)!	=	120	é:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
Exemplos resolvidos
10!
9!
10!
8!
12!
9! 3!
n 3 !
n 2 !
−( )
−( )
n 3 !
n!
+( )
10!
9!
10.9!
9!
10= =
10!
8!
10.9.8!
8!
90= =
12!
9! 3!
12.11.10.9!
9!.3.2.1
220= =
n 3 !
n 2 !
n 3
n 2 n 3 !
1
n-2
−( )
−( )
=
−( )
−( ) −( )
=
!
n 3 !
n!
n 3 n 2 n 1 n!
n!
n 3 n 2 n 1
+( )
=
+( ) +( ) +( )
= +( ) +( ) +( )
8! 5!
6! 9!
8! 6!
4! 10!
10! 7!
2.5! 12!
Módulo I
32
Extraído	em	10/12/2011	http://francisco-scientiaestpotentia.blogs-
pot.com/2010_11_01_archive.html
Exemplos resolvidos
11.	 O	valor	de	n	que	satisfaz	a	igualdade	(n	+	2)(n	+	1)N!=720		é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 7
12. (UNICAP – PE) O	valor	de	n	na	equação																						é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 7
13. (UEL PR – 2003)	 Tome	um	quadrado	de	 lado	20	cm	
(figura	1)	e	retire	sua	metade	(figura	2).	Retire	depois	
um	terço	do	resto	(figura	3).	Continue	o	mesmo	proce-
dimento,	retirando	um	quarto	do	que	restou,	depois	um	
quinto	do	novo	resto	e	assim	por	diante.	Desse	modo,	
qual	será	a	área	da	figura	100?
 
a) 0
b) 2 cm2
c) 4 cm2
d) 10 cm2
e) 40 cm2
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
(P.F.C) ou PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO.
Estratégias	e	procura	de	novas	possibilidades	são	ferra-
mentas	utilizadas	por	jogadores	de	dominó.	Estimar	as	combi-
nações	possíveis	de	uma	nova	jogada	está	ligado	aos	conceitos	
de	análise	combinatória.
O	que	é	Combinatória?
 O que é Análise Combinatória ou simplesmente 
Combinatória? A maior parte dos alunos do ensino médio 
responderia que ela é o estudo das combinações, arranjos 
e permutações. Isso, no entanto é uma resposta parcial 
pois, embora combinações, arranjos e permutações façam 
parte da Análise Combinatória, são conceitos que permitem 
resolver um tipo de problema desta parte.
 De maneira mais geral, podemos dizer que a Análise 
é a parte da matemática que analisa estruturas e relações 
discretas. 
(Análise	Combinatória	e	Probabilidade	–	Morgado/	PitombeiraS/	Paulo	César/	
Fernandez	–	SBM)
Suponha a seguinte situação:	Sabrina	foi	convidada	para	par-
ticipar	de	uma	festa	na	Estação	das	Docas	e	para	isto,	deveria	
trajar-se	adequadamente	para	ocasião.	Sabe-se	que	ela	dispõe	
de	3	camisas,	duas	bermudas	e	2	pares	de	sandálias.	De	quantas	
maneiras diferentes Sabrina poderia se arrumar de modo a usar 
uma	camisa,	uma	bermuda	e	um	par	de	sandálias?	
 
Situações	deste	tipo	são	discutidas	em	matemática	na	
parte	da	Análise	Combinatória.	Existem	estratégias	para	ajudar	
conseguir	as	respostas	como	vamos	ver	a	seguir:
Suponhamos	que	uma	ação	 seja	 constituída	de	duas	
etapas	 sucessivas.	A	1ª	etapa	pode	 realizada	de	n	maneiras	
distintas.	Para	cada	uma	dessas	possibilidades,	a	2ª	etapa	pode	
ser	realizada	de	m	maneiras	distintas.	Então,	o	número	de	se	
efetuar	a	ação	completa	é	dado	por	m.n.
Esse	princípio	pode	ser	generalizado	para	ações	consti-
tuídas	de	mais	de	duas	etapas	sucessivas.
01.	 Há	quatro	estradas	ligando	as	cidades	A e B,	três	es-
tradas ligando as cidades B e C.	De	quantas	maneiras	
diferentes pode-se ir de A a C,	passando	por B?
 
Módulo I
33
 Solução
02. Para	irmos	da	cidade	A	até	a	cidade	C,	obrigatoriamente	
passamos	pela	cidade	B.	Três	companhias	de	ônibus	
cobrem	o	percurso	entre	A	e	B	e	2	 companhias	de	
aviação	 ligam	B	e	C.	De	quantos	modos	diferentes	é	
possível	viajar	de	A	até	C?
 Solução
1ª	etapa:	3	companhias	de	ônibus
2ª	etapa:	2	companhias	de	aviação
3.2 = 6 maneiras diferentes.
03. Se uma pessoa tem 4 calças diferentes e 3 camisas 
diferentes,	de	quantas	formas	diferentes	ela	pode	se	
vestir?
 Solução
04. Três	companhias	de	ônibus	e	2	companhias	de	aviação	
cobrem	o	percurso	entre	as	cidades	A	e	B.	De	quantos	
modos	diferentes	podemos	 viajar	 entre	essas	duas	
cidades?
 Solução
								Como	neste	caso,	os	acontecimentos	independem um 
do	outro,	 isto	é,	viajar	de	ônibus	ou	de	avião	é	uma	
opção,	não interferindo uma ocorrência na outra,	o	
princípio	fundamental	da	contagem	(P.F.C)	não	é	válido.
		 3	maneiras,	se	formos	de	ônibus;
		 2	maneiras,	se	formos	de	avião.
Assim,	há	5	maneiras	diferentes	para	irmos	de	A	até	B.
05. (EEP – SP)	Utilizando-se	4	cores	distintas,	de	quantas	
formas pode-se pintar uma bandeira formada por lis-
tras	verticais,	sabendo-se	que	duas	listras	vizinhas	não	
podem	ser	de	mesma	cor?
a) 24
b) 108
c) 124
d) 324
e) 256
 Solução
1º)	Escolha	da	cor	da	1ª	lista:	4	possibilidades
2º)	Escolha	da	 cor	da	 segunda	 lista	 (não	 serve	a	 cor	es-
colhida	na	1ª	 lista,	pois	ela	é	vizinha	da	segunda):	3	
possibilidades
3º)	Escolha	da	cor	da	3º	lista:	deveríamos	escolher	apenas	
duas	cores,	após	a	escolha	da	cor	da	segunda	lista,	po-
rém	a	1ª	lista	não	é	vizinha	da	3ª	lista,	logo,	podemos	
utilizá-la	na	3ª:	3	possibilidades
4º)	Na	última	poderemos	repetir	a	cor	da	segunda	lista,	já	
que	não	é	vinha	da	4ª	lista:	3	possibilidades.
Desta	forma,	temos:
4.3.3.3 = 108
Resposta:	Letra	B
Módulo I
34
01.	 Quantos	automóveis	podem	ser	licenciados	no	sistema	
em	que	cada	placa	é	formada	por	2	letras	(de	um	total	
de	26)	e	4	algarismos	(de	0	a	9)?
02.	 O	centro	cívico	de	uma	escola	realiza	eleições	para	pre-
enchimento	de	vagas	de	sua	diretoria.	Para	presidente,	
apresentam-se	5	candidatos;	para	vice-presidente,	8	
candidatos;	e	para	secretário,	6	candidatos.	Quantas	
chapas	podem	formar?
03. (UFBA)	Existem	5	ruas	ligando	os	supermercados	S1 e 
S2 e 3 ruas ligando os supermercados S2 e S3. Quantos 
trajetosdiferentes	podem	ser	utilizados	para	irmos	de	
S1 a S3,	passando	por	S2?
04. (ESAN – SP) Quantas placas para identificação de 
veículos	podem	ser	confeccionadas	com	3	 letras	e	3	
algarismos?	(Considere	26	letras,	supondo	que	não	há	
nenhuma restrição).
05. (FGV – RJ) Existem	3	linhas	de	ônibus	ligando	a	cidade	
A à cidade B e 4 outras ligando B a C. Uma pessoa 
deseja	viajar	de	A a C,	passando	por	B. Quantas linhas 
de	ônibus	diferentes	poderá	utilizar	na	viagem	de	ida	
e	volta,	sem	usar	duas	vezes	a	mesma	linha?
06.	 Sabendo	que	um	quarto	 tem	5	portas,	determine	o	
número	de	maneiras	distintas	de	se	entrar	nele	e	sair	
por uma porta diferente.
07. Quantos são os números de 4 algarismos formados 
somente	por	algarismos	ímpares?
08.	 Quantos	números	de	5	algarismos	distintos	podemos	
formar	com	os	algarismos	1,2,3,4,5,6,7,8?
09.	 De	quantas	maneiras	podemos	responder	um	questio-
nário,	cujas	respostas	para	cada	pergunta	são:	sim	ou	
não?
10.	 Uma	loteria	(semelhante	à	loteria	esportiva)	apresenta	
10	jogos	com	4	possíveis	resultados.	Usando	a	aproxi-
mação 210 ≅ 103,	qual	é	o	número	total	de	resultados	
possíveis?
11.	 Em	um	computador	digital,	um	bit	é	um	dos	algarismos	
0	ou	1	e	uma	palavra	é	uma	sucessão	de	bits.	Qual	é	o	
número	de	palavras	distintas	de	32	bits?
12. (PUC-MG)	Cada	um	dos	participantes	de	uma	corrida	
de	bicicleta	é	 identificado	por	meio	de	um	número,	
múltiplo	 de	 cinco,	 formado	por	 três	 algarismos.	O	
algarismo	das	centenas	é	tirado	do	conjunto A = {1, 2, 
3, 4} e os demais pertencem ao conjunto B = {0, 5, 6, 
7, 8, 9}.	O	número	máximo	de	ciclistas	participantes	
dessa	corrida	é:
a) 40
b) 48
c) 120
d) 144
e) 156
http://www.sorocabaesportes.com/?p=2794
14.	 Uma	senhora	 idosa	 foi	 retirar	dinheiro	em	um	caixa	
automático,	mas	esqueceu	da	 senha.	 Lembrava	que	
não	havia	0,	que	o	primeiro	algarismo	era	8,	o	segundo	
era	par,	o	terceiro	era	menor	que	5	e	o	quarto	e	último	
era	ímpar.	Qual	o	maior	número	de	tentativas	que	ela	
pode	fazer,	no	intuito	de	acertar	a	senha?
a) 13 
b) 60 
c) 75 
d) 78 
e) 80
15. (PRSE 2008) Visando	obter	mais	 informações	 sobre	
a	denúncia	de	que	uma	 tribo	da	 região	Amazônica	
estava	 sendo	dizimada,	um	 repórter	 recorreu	a	 seu	
computador	para	acessar	a	 Internet,	entretanto	não	
lembrou	a	senha	de	acesso,	que	era	composta	por	três 
algarismos	distintos.	Lembrava	apenas	que	a	senha	era	
composta	por	três	dos	cinco	algarismos: 1, 3, 5, 6 e 9. 
Para	encontrar	a	senha,	o	repórter	escreveu	num	papel	
todos	os	possíveis	agrupamentos	com	esses	algarismos.	O	
número	de	agrupamentos	escritos	por	esse	repórter,	na	
tentativa	de	encontrar	a	senha	de	acesso	à	Internet,	é:
a) 120 
b) 108 
c) 84 
d) 60 
e) 56
16. Quando	Magali	se	aproximou,	os	vendedores	rapida-
mente	informaram	a	ela	as	seguintes	opções	de	comida:	
o	primeiro	ofereceu	hot	dog	simples	(maionese,	salsi-
cha,	catchup	e	mostarda)	ou	completo	(simples	mais	
purê,	batata	palha,	vinagre,	etc.),	e	o	segundo	sugeriu	
sorvete	de	chocolate,	flocos	ou	morango.
 
 Magali, entretanto, surpreendeu os vendedores, 
informando-lhes que acabara de almoçar e estava sem 
fome. Iria apenas “forrar o estômago”, servindo-se de um 
sanduíche e de uma bola de sorvete. De quantos modos 
distintos Magali pôde fazer sua refeição?
17.	 Um	ladrão	sabe	que	o	segredo	
de	um	cofre	é	formado	por	uma	
seqüência	 de	 três	 algarismos	
distintos.	Além	disso,	ele	sabe	
que	o	algarismo	das	centenas	é	
igual	a	4.	Se,	em	média,	o	ladrão	
leva	3	minutos	para	testar	uma	possível	seqüência,	qual	
o	tempo	máximo	para	o	ladrão	abrir	o	cofre?
13. (IBMEC-SP) Palíndromo	é	uma	seqüência	de	algarismos	
cuja	leitura	da	direita	para	a	esquerda	ou	da	esquerda	
para	direita	resulta	no	mesmo	número.	Por	exemplo,	
2.002	é	palíndromo.	Quantos	palíndromos	existem	com	
cinco	algarismos,	dado	que	o	primeiro	algarismo	é	um	
número	primo?
a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500
Módulo I
35
a) 3 horas b) 3 horas e 36 minutos c) 4 minutos
d) 4 horas e) 4 horas e 36 minutos
18. (UFMG)	Observe	o	diagrama:
O	número	de	ligações	distintas	entre	X	e	Z	é:
a) 41 c) 35
b)	45							d)	39
e) n.d.a
C apítulo 2
• Introdução de agrupamentos
• Arranjo, Combinação e Permutação
• Aplicações do capítulo 2
Vamos	 introduzir	 o	 programa	 com	 conceitos	 de	 es-
trutura	de	cálculo.
ARRANJO SIMPLES, PERMUTAÇÃO SIMPLES E 
COMBINAÇÃO SIMPLES.
Verificamos	até	agora	apenas	estrutura	de	cálculo	(de	
uma	maneira	quantitativa),	posteriormente	essa	estrutura	terá	
um	significado	qualitativo,	sendo	aplicado	em	condições	técni-
cas	e	em	situações	reais	que	estejam	associados	a	problemas	
cotidianos	ou	não.
ARRANJO SIMPLES
Sendo A = {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto com n elementos 
distintos	e	p	um	número	natural,	tal	que	p ≤ n,	chamamos	de	
arranjo simples dos n elementos de A,	tomados	p a p,	toda	p	–	
upla	ordenada	com	elementos	distintos,	obtida	do	conjunto	A.
De	modo	geral,	o	número	de	todos	os	arranjos	simples	
de n elementos	distintos,	tomados	p a p,	é	representado	por	
An,p	(arranjo	de	n	elementos	tomados p a p.
Exemplo1: Calcular A5,3.
Solução
 
Exemplo2: Calcular A6,5.
Solução
 
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Seja	 A	 um	 conjunto	 com	 n	 elementos,	 isto	 é,																																									
A = {a1,	a2,	...,	an}. Chamamos de permutação dos n elementos 
a todo	arranjo	em	que	p	=	n.
 
Exemplo1:	Calcular	P3.
Solução
P3 = 3! = 3.2.1 = 6
COMBINAÇÃO SIMPLES
Sendo A = {a1,	a2,	a3,	...,	an} um conjunto com n elementos 
e p	um	número	natural,	tal	que	p	<	n,	chamamos	de	combinação	
simples dos n elementos de A,	tomados	p a p,	todo	subconjunto	
de A com p elementos.
 
Exemplo1: Calcular C5,3.
 Solução
 
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
p ≤	n	(oservação	de	notação																							)A
n!
n p !n,p
=
−( )
A An,p n
p=
A 5!
5 3 !
5!
2!
5.4.3.2!
2!
5.4.3 605,3 = −( )
= = = =
A 6!
6 5 !
6!
1!
6!
1
6.5.4.3.2.1 7206,5 = −( )
= = = =
P A n!
n n !
n!
0!
n!
1
P n!n n,n n= = −( )
= = ⇒ =
C n!
p! n p !n,p
=
−( )
C Cn,p n
p=	,	observação	de	notação	
C 5!
3! 5 3 !
5.4.3!
3!2!
5.4
2
105,3 = −( )
= = =
Módulo I
36
Exercícios de aprendizagem–capítulo 1
01. Determine:
a) A7,	4
b) A8,	4
c) A7,	0
d) Am,	m
e)	 Px
f) 
g) 3.A7,6	+	4.P4 + 2.C9,8
h) 
02. (MACK – SP) Sabendo	que																					,	determine	o	
valor	de	p.
03. (EEM- SP)	Calcule	p,	sabendo	que	Am,	p = Cm,	p para todo 
m e 0 ≤ p < m.
04. (MACK - SP)	Calcule	Am,	3,	sabendo	que	Cm,	3 = 84.
05. Resolva	as	seguintes	equações:
a) Ax,	2 = 30
b) Ax	–	4,	2 + Ax	–	3,	2 + Ax	–	2,	2	= 20
c) 2.An,	2	+ 50 = A2n,	2
06. (UFMG) Se																			,	o	valor	de								é:
a)	 Primo
b)	 Múltiplo	de	10
c)	 Múltiplo	de	15
d)	 Divisor	de	1
e)	 Divisor	de	15
07. (UFES) Calcule x,	sabendo	que																										:
a)	 x	=	6
b)	 x	=	8
c)	 x	=	5
d)	 x	=	2
e)	 x	=	1
08. (UFPR) Qual	das	alternativas	contém	o(s)	valor(es)	de	
n	que	satisfaz(em)	a	igualdade		
a) 2 b)22 c) 24 d) 22 e 2 e) 22 e 24
Aplicações e comentários sobre arranjos, combinações e 
permutações.
Geralmente	em	um	problema	de	Análise	Combinatória,	
o	arranjo	está	ligado	a	“ordem”	nos	agrupamentos	enquanto	a	
combinação	não.	A	permutação	representa	a	troca	de	posições	
dos	elementos	e	um	problema	comum	desse	conceito	é	quando	
trabalhamos	 com	anagramas.	Existem	 também	permutações	
com	elementos	repetidos	que	será	comentado	a	seguir.		
Exemplos resolvidos
01.	 Cinco	grupos	dedança	disputam	a	final	de	uma	compe-
tição	de	festas	juninas.	De	quantas	maneiras	diferentes,	
podemos	 combinar	 estes	 grupos,	 de	 tal	 forma	que	
tenhamos	a	campeã	e	vice	–	campeã?
 Solução
Veja	que	queremos	encontrar	o	número	de	possibilida-
des		de	termos	campeã	e	vice	–	campeã,	ou	seja,	1°	e	
2°	lugares,	sendo	que	a	ordem	importa,	logo,	trata-se	
de arranjo de 5 elementos agrupados 2 a 2:
 
02.	 Uma	pizzaria	da	Cidade	Nova	está	oferecendo	uma	
promoção	em	todas	as	pizzas.	A	família	do	seu	Eduardo	
resolve,	então	aproveitar	a	promoção.	Sabendo	que	a	
pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza a seus 
clientes,	determine	de	quantas	maneiras	a	família	de	
se	Eduardo	pode	escolher	três	desses	sabores?
 Solução
						Veja	que	queremos	encontrar	o	número	de	possibili-
dades	de	encontrarmos	3	diferentes	sabores,	mas	não	
importando	a	ordem,	logo,	trata-se	de	combinação	de	
15 elementos agrupados 3 a 3:
 
03.	 Quantos	anagramas	têm	a	palavra	SOL?
 Solução
Para	encontrar	os	anagramas,	basta	fazer	a	permutação	
das	letras	S,	O,	L,	ou	seja,	P3.	Lembre-se	que	anagrama	
não	é	simplesmente	a	troca	das	letras	e	sim	as	novas	
possibilidades	que	serão	formadas	com	as	letras	exis-
tentes.
								P3 = 3! = 3.2.1 = 6 anagramas
Visualizando:
 SOL
 SLO
 OLS
 OSL
 LOS
 LSO
C
C
28,p 2
8,p 1
+
+
=
C6 = C 4Cn = C n C8Cn
3 x	A x	= 6.Cx 
-2
C n+	2,4 = An+1,3
A
A
m,2
m,3
A . n 4 ! :Pn,3, n−( ) 
A 5!
5 2 !
5.4.3!
3!
5.4 205, 2 = −( )
= = =
C 15!
3! 15 3 !
15.14.13.12!
3.2.1.12!
15.14.13
6
45515, 3 = −( )
= = =
Módulo I
37
04.	 Quantos	anagramas	têm	a	palavra	MITO?
 Solução
P4	=	4!	=	4.3.2.1	=	24	anagramas
05.	 Quantos	anagramas	têm	a	palavra	ARARA?
 Solução
 
 
06.	 Com	a	palavra	ADEUS,	podemos	forma:
a)	 Quantos	anagramas?
b)	 Quantos	anagramas	que	iniciam	com	a	letra	A?
c)	 Quantos	anagramas	que	iniciam	com	vogal?
d)	 Quantos	anagramas	que	iniciam	com	consoante?
e)	 Quantos	 anagramas	 que	 iniciam	 com	 consoante	 e	
terminam	com	vogal?
 Solução
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Cada	uma	das	maneiras	 distinta	de	dispor	 n	 (n	 ≥	 2)	
elementos	em	torno	de	um	círculo	é	denominada	permutação	
circular	dos	n	elementos,	 e	o	 total	 desses	 agrupamentos	é	
indicado por:
 
07. (OSEC) O número de maneiras de 4 pessoas se sentarem 
ao	redor	de	uma	mesa	circular	é:
a) 16
b) 24
c) 8
d) 6
e) n.d.a.
 Solução
P4	=	(4	–	1)!	=	3!	=	3.2.1	=	6	maneiras
Resposta: Letra D
08.	 De	 quantas	maneiras	 distintas	 7	 pessoas	 podem	
sentar-se	em	torno	de	uma	mesa	circular,	de	tal	modo	
que	duas	determinadas	pessoas	fiquem	sempre	aco-
modadas	juntas?
 Solução
Supondo	que	as	pessoas	A	e	B	fiquem	sentadas	juntas,	
podemos	considerar	que	os	agrupamentos	possíveis	
serão das seguintes formas:
a)	 (AB)XYZWK...........................P’n	=	(6-1)!	=	120
b)	 (BA)XYZWK...........................P’n	=	(6-1)!	=	120
Logo	o	número	total	será:	120+120	=	240.
01.	 Determine	o	número	de	anagramas	da	palavra	MIGRANTE,	
que:
a)	 Começam	por	M
b)	 Começam	por	M	e	terminam	por	E
c)	 Possuem	as	letras	RAN	sempre	juntas	e	nessa	posição
d)	 Possuem	as	 letras	RAN	 sempre	 juntas	em	qualquer	
posição
02.	 Tenho	três	livros	de	Matemática,	quatro	de	Física	e	cinco	de	
Química.	De	quantas	maneiras	posso	arrumá-los	em	uma	
estante,	de	modo	que	os	 livros	de	uma	mesma	matéria	
fiquem	sempre	juntos?
03.	 Sete	pessoas	vão	se	posicionar	para	uma	fotografia.	Deter-
mine	o	número	de	maneiras	possíveis	que	essa	fotografia	
pode	ser	tirada	sabendo	que:
a)	 Duas	das	pessoas	não	querem	ficar	juntas
b)	 Além	de	duas	das	pessoas	que	não	querem	ficar	juntas,	
duas	outras	querem	aparecer	juntas.
04.	 Uma	empresa	é	formada	por	4	sócios	paraenses	e	3	amazo-
nenses.	De	quantos	modos	podemos	formar	uma	diretoria	
de	3	sócios,	sendo	2	paraenses	e	1	amazonense?
Exercícios de aprendizagem–capítulo 2
Observação:	Quando	existir	elementos	repedidos	,	devemos	
seguir da seguinte maneira:
Onde:	a,	b,	c,	...	Representam	o	número	de	repetições	de	cada	
elemento.
P n!
a!.b!.c!...n
a,b,c,... =
A	palavra	ARARA	possui	5	letras,	sendo	3	letras	A e 2 letras 
R,	logo,	trata-se	de	uma	questão	de	elementos	repetidos.
P 5!
3!.2!
5.4.3!
3!.2
20
2
10 angramas= = = =
P n 1 !Cn = −( )
a)	 P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 anagramas
b)	 Fixando	a	letra	A	na	1ª	posição,	ficamos	com	4	posições	
disponíveis	e	4	letras	a	serem	permutadas.
1.P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24
c)	 De	maneira	análoga	à	anterior,	verificamos	que,	para	
cada	vogal,	temos	P4.
Como	são	3	as	vogais	da	palavra	ADEUS,	temos	3.P4 ana-
gramas:
3.P4 = 3.4! = 3.4.3.2.1 = 72
d)	 Fixando	as	consoantes	na	1ª	posição,	temos	P4 anagra-
mas	para	cada	consoante,	num	total	de	2.P4 anagramas:
2.P4 = 2.4! = 2.4.3.2.1 = 48
e) Temos:
2.P3.3 = 2.3.2.1.3 = 36
Módulo I
38
10.	 Quantos	anagramas	têm	a	palavra	MITO?
11.	 Quantos	anagramas	têm	a	palavra	MATEMÁTICA?
12.	 As	embalagens	dos	produtos	vendidos	por	uma	em-
presa	apresentam	uma	seqüência	formada	por	barras	
verticais:	quatro	de	largura	1,5	mm;	três	de	largura	0,5	
mm;	e	duas	de	largura	0,25	mm	como	na	figura	abaixo.	
Cada	seqüência	indica	o	preço	de	um	produto.	Quantos	
preços	podem	ser	indicados	por	essas	nove	barras?
13.	 De	quantas	maneiras	distintas	6	pessoas	podem	ser	
dispor	em	torno	de	uma	mesa	circular?
14.	 De	quantos	modos	5	crianças	podem	brincar	de	roda?
15.	 Palavras	obtidas	efetuando-se	todas	possíveis	entre	as	
letras	de	uma	palavra	dada	e	que	podem	ter	ou	não	
significado	na	linguagem	correta,	determine	quantos	
anagramas	podemos	formar	com	a	sigla	FCAP.
a) 14
b) 15
c) 18
d) 24
e)	 09
24.	 Sete	pessoas	vão	se	posicionar	para	uma	fotografia	lado	
a	lado.	Determine	o	número	de	maneiras	possíveis	que	
essa	fotografia	pode	ser	tirada.
25.	 De	quantos	modos	diferentes 5 crianças podem brincar 
de	roda?
26.	 Para	ir	ao	trabalhar,	Joberval	tem	as	seguintes	opções:	
CARRO,	MOTO,	ÔNIBUS	 ou	 CARONA.	 De	 quantas	
maneiras	ele	pode	ir	e	voltar	usando	essas	opções	de	
locomoção,	e	considerando	que	se	ele	for	de	CARRO	
ou	MOTO	ele	deve	voltar	no	próprio	veículo?
27.	 Breno	gosta	de	3	sabores	de	sorvete	(açaí,	chocolate	e	
graviola).	Na	sorveteria	CAIRU,	são	servidos	duas	bolas	
de	sabores	diferentes	para	cada	sorvete.	De	quantas	
maneiras	diferentes	Breno	pode	compor	o	seu	sorvete?
28.	 No	concurso	de	Rainha	das	Rainhas	do	2º	ano,	concor-
rem somente 7 alunas.	De	quantos	modos	diferentes	
podemos escolher a 1ª	colocada,	2ª colocada e a 3ª 
colocada?
29.	 No	concurso	de	Rainha	das	Rainhas	do	2º	ano,	con-
correm somente 3 alunas	(Aline,	Brenda	e	Carla).	De	
quantos	modos	 diferentes	 podemos	 escolher	 a	1ª 
colocada e a 2ª colocada?
30.	 Observe	a	tirinha.
 
05.	 Um	treinador	de	vôlei	dispõe	de	nove	jogadores.	De	
quantas	maneiras	ele	pode	armar	o	time,	sabendo	que	
todos	os	jogadores	têm	o	mesmo	nível	técnico?
06. 	Resolva	as	equações:
a)
b)
 
07.	 Dadas	duas	retas	paralelas,	em	uma	há	quatro	pontos	
e	na	outra	há	cinco	pontos.	Determine	o	número	de:
a)	 Triângulos	que	podem	ser	formados
b)	 Quadriláteros	que	podem	ser	formados
08.	 Num	campeonato	de	futebol	com	quinze	clubes,	quan-
tos	serão	os	jogos	num	turno?
09.	 (PRISE	2002)	Uma	organização	não	governamental	de	
proteção	ao	meio	ambiente	possui	em	seu	quadro	8 
técnicos	do	sexo	feminino	e	8	do	sexo	masculino.	Para	
sua	representação	em	um	encontro	internacional,	esta	
organização	deverá,	 com	seus	 técnicos,	 formar	uma	
equipe	de	5	pessoas,	sendo	3 homens e 2 mulheres. 
O	número	de	equipes	que	podem	ser	formadas	com	
esses	técnicos	é:
a) 18. 806
b) 1.568
c)	 936
d)	 392
e) 84
16.	 Em	um	armário	há	2	(dois)	livros	de	história,	3	(três)	de	
matemática	e	1	(um)	de	português...
a)	 De	quantas	maneiras	 diferentes	 podemos	 arrumar	
(organizar)	esses	livros	lado	a	lado	neste	armário?
b)	 De	quantas	maneiras	diferentes	podemos	arrumar	esses	
livros,	 sendo	que	uma	mesma	matéria	fique	sempre	
junta?
17.	 O	número	de	funcionários	de	uma	empresa	é	expressa	
pela	solução	da	equação