Medidas de Variabilidade

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MÉTODOS QUANTITATIVOS 
 
Medidas de Variabilidade 
Um aspecto fundamental da natureza é o fato que os objetos físicos não se repetem com 
precisão, pelo contrário estes são caracterizados por certa diferença entre os elementos. O 
que precisamos identificar é justamente o quanto os elementos se afastam da média. O grau 
de afastamento de um conjunto em relação à sua média é a medida que identifica a 
variabilidade do conjunto de dados. 
Exemplo: A especificação da temperatura de atuação de caldeiras em uma indústria é 
510
o
C. Suponha que se deseja comparar o desempenho duas destas caldeiras, para tanto 
foram registradas as temperaturas em lotes sucessivos de fabricação: 
 Observações Média 
Forno A: 500, 510, 490, 500, 500 500
o
C 
Forno B: 400, 600, 500, 420, 630 510
o
C 
Observando os valores médios das temperaturas amostradas, diríamos que o desempenho de 
B é melhor do que de A, já que B mantém, em média, na temperatura especificada. No 
entanto, se formos um pouco cuidadosos, percebemos que a temperatura de A varia de 490 
a 510 
o
C, ao passo que a de B varia de 400 a 630 
o
C, o que indica que o desempenho de A é 
mais uniforme do que de B. Por isto é importante sempre avaliar uma medida de 
variabilidade, junto a uma medida de tendência central. 
 
Amplitude 
É a medida estatística de variabilidade ou dispersão mais simples e é a única que não tem na 
média o seu ponto de referência. Define-se esta medida pela diferença entre o maior e o 
menor valor do conjunto de dados observados. A expressão que descreve esta medida é 
dada pela Equação 1. 
 Equação 1 
Exemplo: Em um restaurante, observou-se o tempo, em minutos, que os clientes 
permaneciam nas dependências do estabelecimento. Após 10 observações, registraram-se os 
seguintes tempos: 
 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
 
 
Tempo 
Observado 
112 108 57 84 112 67 90 67 111 92 900 
 
 
A amplitude dos tempos de permanecia dos clientes no estabelecimento é de 55 minutos. 
Variando entre 57 e 112 minutos. 
Variância: 
A média dos quadrados da distância de cada número em relação à média do conjunto de 
dados corresponde à medida que chamamos de variância. Ela leva em consideração todas as 
informações do conjunto em análise, fazendo uso da soma de quadrados dos desvios em 
torno da média. Denotada pelo símbolo σ2 (na população) e por s2 (na amostra). O cálculo 
da variância populacional é apresentado pelas Equação 3 e a amostral pela Equação 4. 
 
 
 
 
 
 Equação 2 
 
 
 
 
 Equação 3 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS – DESCRIÇÃO DE DADOS 
 
Prof.ª Vera Martins, M. Eng. 
 
Exemplo: Observando novamente o exemplo do tempo de permanência dos clientes no 
restaurante, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A variância da amostra dos tempos de permanência no restaurante é de 435,56 min². 
Obs.: Para esta medida a unidade associada é elevada ao quadrado. 
 
Desvio-Padrão: 
A variância é uma boa medida de dispersão, mas possui uma desvantagem: é difícil 
interpretar o seu valor numérico, por causa da unidade ao quadrado. Para resolver o 
problema da unidade de medida utiliza-se outra medida estatística, o desvio-padrão, que 
consiste em extrair a raiz quadrada da variância. Denotado pelo símbolo σ (na população) e 
s(na amostra). O cálculo do desvio-padrão populacional é apresentado pelas 
 Equação 4Equação 5 e o amostral pela Equação 6. 
 
 
 
 
 
 
 Equação 4 
 
 
 
 
 
 Equação 5 
Exemplo: Retornando outra vez ao exemplo do tempo de permanência dos clientes no 
restaurante, temos: 
 
 
 
 
 
 
O desvio-padrão da amostra dos tempos de permanência no restaurante é de 20,87 min. 
Coeficiente de variação: 
É uma medida relativa de concentração dos dados em torno da média, em geral é utilizado 
para a comparação de grupos distintos com médias diferentes ou unidades diferentes. 
Quanto menor o coeficiente de variação, mais homogêneo será o grupo de dados. A 
obtenção desta medida é apresentada pela Equação 7. 
 
 
 
 
 
 
 Equação 6 
Exemplo: Retomando o exemplo do tempo de permanência dos clientes no restaurante: 
 
 
 
 
 
 
 
Para este exemplo, o coeficiente de variação é de aproximadamente 23,19%. 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS – DESCRIÇÃO DE DADOS 
 
Prof.ª Vera Martins, M. Eng. 
 
 
Exercícios: 
1) O quadro abaixo apresenta o número de erros encontrados em uma amostra de 29 algoritmos: 
21 8 18 22 22 29 14 18 21 25 25 15 18 22 8 
21 21 22 23 21 22 15 18 23 23 22 23 21 15 
Encontre: Média, moda, mediana, amplitude, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação. 
 
2) Em um estudo com uma amostra de 12 funcionários de um setor produtivo de uma empresa, foi 
observado, entre outras variáveis, a produtividade do seu trabalho (escala de 0 a 10 pontos completos) 
e se é fumante ou não. Os dados observados seguem abaixo: 
Funcionário: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
É fumante: sim sim sim sim não não não não não não não não 
Produtividade: 6 7 8 9 10 9 8 9 9 10 7 10 
a) Calcule as medidas de tendência central das duas variáveis descritas acima. 
b) Calcule e compare a produtividade média dos funcionários fumantes com a produtividade média dos 
funcionários não fumantes 
c) Calcule o desvio padrão da produtividade dos funcionários. 
d) Sabe-se que a idade média dos funcionários pesquisados é de 30 anos com desvio padrão 2 anos. 
Qual das variáveis, produtividade ou idade é mais homogêneo? Justifique. 
 
 
 
 
 
Respostas: 1) 19,86; bimodal: 21 e 22; 21; 21; 21,83; 4,67; 0,2353 
Respostas: 2) A) Média (prod)=8,5; Md (prod)=9 ;Mo (prod)= 9; Mo (é fumante)= não 
 B) Média de produtividade dos fumantes = 7,5; Média de produtividade dos não fumantes=9; 
 Desvio-padrão da produtividade dos fumantes = 1,29; Desvio-padrão da produtividade dos não fumantes = 1,07 
 Coeficiente de variação de fumantes = 0,1721; Coeficiente de variação de não fumantes = 0,1188