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Aerodinâmica Básica Cap 4

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Aerodinâmica Básica Cap 4
Anderson Jr., John D.. Fundamentos de engenharia aeronáutica
Três princípios fundamentais da Física
• 1. A massa é conservada;
• 2. A segunda lei de Newton (força = massa × aceleração) é verdadeira; 
• 3. A energia é conservada.
Visualização do escoamento (permanente)
• Linhas de trajetória
• Linha de emissão
• Linha de tempo
Visualização do escoamento (Transitório)
• Linhas de trajetória
• Linha de emissão
• Linha de corrente
• Linha de tempo
Visualização do escoamento
• Linha de trajetória (“Path line“)
É o lugar geométrico dos pontos ocupados 
no tempo por um único elemento
infinitesimal do fluido. 
Visualização do escoamento
• Linha de emissão(“Streakline “)
É a curva obtida num dado instante de
tempo, definida pelo lugar geométrico dos
elementos infinitesimais do fluido que 
passaram previamente por um ponto fixo do
espaço.
Visualização do escoamento
• Linha de Corrente(“Streamline “)
•Linhas tangentes à direção do escoamento 
em cada ponto do campo de escoamento, 
em um dado instante.
•Duas linhas de corrente não podem se 
interceptar (o ponto teria duas velocidades)
•O tempo não é variável na equação da LC, já 
que o conceito se refere a um determinado 
instante (é uma fotografia instantânea).
Equação da continuidade
Considerando um tubo de corrente:
• Em um tempo dt um flúido com velocidade V1 
percorre uma distância V1.dt que define e um 
volume: dv = A1.V1.dt 
• sendo r1 a densidade deste flúido neste ponto tem-
se: dm = r1(A1.V.1dt)
• O fluxo de massa é a massa que cruza a área A1 em 
um determinado tempo. 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑚1 = 𝜌1. 𝐴1. 𝑣1
• O fluxo de massa é a massa que cruza a área A2 em 
um determinado tempo. 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑚2 = 𝜌2. 𝐴2. 𝑣2
• 𝑚1 = 𝑚2
• 𝝆𝟏. 𝑨𝟏. 𝒗𝟏 = 𝝆𝟐. 𝑨𝟐. 𝒗𝟐
Equação da continuidade
Escoamento incompressível.
• A densidade é constante ao longo de todo 
fluxo.
• 𝜌1 = 𝜌2
• 𝑨𝟏. 𝒗𝟏 = 𝑨𝟐. 𝒗𝟐
Equação do Movimento (Euler)
2ª Lei de Newton
(1) 
Massa do fluido Volume ds.da é:
(2)
Como o vetor da velocidade é sempre paralelo a linha de 
corrente:
(3) 
Substituindo (2) e (3) em 1
(4)
(5)
Equação do Movimento (Euler)
Na dedução da equação de Euler foram ignorados:
• Efeito da gravidade
• Efeito da Fricção (devido a viscosidade).
Escoamento Invíscido
Equação de Bernoulli
Considere dois pontos, 1 e 2, distantes um do outro no fluxo, 
mas na mesma linha de corrente. 
Para relacionar p1 e V1 no ponto 1 com p2 e V2 no ponto 
distante 2, pode-se usar Equação de Euler integrando entre os 
pontos 1 e 2.
Considerando primeiramente o fluxo incompressível.
Equações de Euler e Bernoulli
1. As Equações de Euler e Bernoulli valem apenas para 
fluxos incompressíveis invíscidos (sem fricção).
2. As Equações Euler e Bernoulli relacionam as 
propriedades entre diferentes pontos ao longo de uma linha de 
corrente.
3. Para um fluxo compressível, é preciso usar a Equação 
Euler, com p tratado como uma variável. A equação de 
Bernoulli não deve ser utilizada para fluxos compressíveis.
Equações de Euler e Bernoulli
Considere um duto convergente com área de entrada A1 = 5 m2. O ar entra por esse 
duto com velocidade de V1 = 10 m/s e escapa pela saída com velocidade de V2 = 30 
m/s. 
1) Qual é a área da saída do duto?
2) Se A pressão na entra do duto acima for 100.000 N/m2 qual será a pressão na 
saída considere a densidade de 1,225 kg/m3? 
Medição da velocidade do Ar
Escoamento compressível
• Mach > 0,3 ou 100 m/s
Um fluxo de gás de alta velocidade, a energia 
cinética dos elementos de fluido é grande e 
deve ser levada em consideração. 
Quando os fluxos de alta velocidade são 
desacelerados, a redução em energia cinética 
aparece como um aumento significativo de 
temperatura.
1ª Lei da termodinâmica 
dW = Trabalho por unidade de massa (realizado 
sobre ou pelo sistema) 
dq = Calor por unidade de massa (entrando ou 
saindo) 
de = mudança de energia interna = (Energia 
cinética + potencial) 
A energia interna de um sistema só é alterada 
quando: 
• Realizamos trabalho na sua fronteira 
• Adicionamos ou removemos calor 
(1)
Trabalho
Trabalho
Dw= (Força) x (distância)
Dw= (pdA) x (s)
Sendo p é constante (equilíbrio 
termodinâmico)
Trabalho sobre todo contorno
A integral ∫ s dA representa mudança de volume da unidade 
de massa do gás dentro do sistema. 
O símbolo dv representa a mudança de volume. Como o 
contorno está sendo empurrado para dentro, o volume 
diminui (dv é uma quantidade negativa).
(2)
(3)
(4)
1ª Lei da termodinâmica 
Substituindo (4) em (1)
(1)
(4)
(5)
Variáveis de estado
Saindo do ponto A para B o trabalho realizado é 
igual a área abaixo da curva AB. 
Retornando de B para A o trabalho realizado é 
igual a área abaixo da curva BA e o trabalho 
liquido é igual a área hachuriada em azul.
Indo de Apara B e retornando:
Pressão p, Volume V e energia Interna e se 
mantem constante os seja não dependem do 
caminho. 
No entanto se o caminho AB Diferente de BA a 
quantidade de calor se altera
A quantidade de calor q depende do caminho e não é 
uma variável de estado
Entalpia
Definindo entalpia uma como função das três 
variáveis de estado p, v e e: 
(5)
(6)
(7)
No Isolando de em 6 e substituindo em (5)
Calor específico
Definição: C ≡ dT/ dq (equivalente, congruente)
O valor de dt depende do tipo de processo em que δq é 
adicionado.
Volume constante:
Fronteira rígida
(8)
Pressão constante
(9)
Calor específico
cv e cp, combinados com a primeira lei, produzem relações úteis para a energia interna e e a 
entalpia 
Da equação 5 a volume constante tem-se :
(5a)
(10)
Substituindo 8 em 5:
(8)
Integrando e = CvT (11)
Da equação 7 a volume constante tem-se :
(7a)
Substituindo 9 em 7:
(9)
Integrando h = CTT 
(12)
(13)
Escoamento isentrópico
(14)
Transformação adiabática: dq=0
Transformação reversível: (sem efeitos dissipativos)
Transformação Isentrópica: Adiabática + reversível
Da equação (5) e (11)
dq = de + pdv = 0 -> -pdv = de -> -pdv = cvdT
Da equação (7) e (12)
dq = dh - vdp = 0 -> vdp = dh -> vdp = cpdT (15)
Dividindo equação (15) e (14)
−𝑝𝑑𝑣
𝑣𝑑𝑝
=
𝐶𝑣
𝐶𝑝
→
𝑑𝑝
𝑝
= −
𝐶𝑝
𝐶𝑣
𝑑𝑣
𝑣
→
𝑑𝑝
𝑝
= −𝛾
𝑑𝑣
𝑣
(16)
−𝛾 =
𝐶𝑝
𝐶𝑣
= 1,4onde
Integrando (16) entre o ponto 1 e 2 da linha de corrente
 1
2 𝑑𝑝
𝑝
= 𝛾 1
2 𝑑𝑣
𝑣
→ ln𝑝 1
2 = -𝛾 ln 𝑣 1
2 →
Escoamento isetrópico
𝑑𝑝
𝑝
= −𝛾
𝑑𝑣
𝑣
(16)
−𝛾 =
𝐶𝑝
𝐶𝑣
= 1,4onde
Integrando (16) entre o ponto 1 e 2 da linha de corrente
 
1
2 𝑑𝑝
𝑝
= 𝛾 
1
2 𝑑𝑣
𝑣
→ ln𝑝 1
2 = -𝛾 ln 𝑣 1
2 →
ln 𝑝2 − ln 𝑝1 = 𝛾 ln 𝑣2 − ln 𝑣1 →ln
𝑝2
𝑝1
= − 𝛾 ln
𝑣2
𝑣1
𝑝2
𝑝1
=
𝑣2
𝑣1
−𝛾
(17)
Lembrando que 𝜌 =
1
𝑣
substituindo na equação (17)
𝑝2
𝑝1
=
𝜌1
𝜌2
𝛾
(17)
Escoamento isentrópico
𝑝2
𝑝1
=
𝑣2
𝑣1
−𝛾
(17)
𝑝2
𝑝1
=
𝜌1
𝜌2
𝛾
(18)
Substituindo a equação de estado, temos ρ = p/(RT).em (18)
(19)
Combinando 18 e 19
(20)
Equação da energia
Lembrando da equação de Euler:
(7b)
Da equação (7) 1ª lei da termodinâmica na forma de 
entalpia, considerando o escoamento isentrópico: 
(21)
podemos rescrever a equação 21 como:
(23)
como v = 1/ρ: 
(24)
Integrando (24):
Como h = cpT
(25)
(26)
Equações dos escoamentos
Escoamento incompressível (M < 0,3):
𝑨𝟏𝑽𝟏 = 𝑨𝟐𝑽𝟐
𝒑𝟏 +
𝟏
𝟐
𝝆𝑽𝟏
𝟐 = 𝒑𝟐 +
𝟏
𝟐
𝝆𝑽𝟐
𝟐
𝑨𝟏𝑽𝟏𝝆𝟏 = 𝑨𝟐𝑽𝟐𝝆𝟐
𝒑𝟏
𝒑𝟐
=
𝝆𝟏
𝝆𝟏
𝜸
=
𝑻𝟏
𝑻𝟐
𝜸
𝜸−𝟏
𝑪𝒑𝑻𝟏 +
𝟏
𝟐
𝑽𝟏
𝟐 = 𝑪𝒑𝑻𝟐 +
𝟏
𝟐
𝑽𝟐
𝟐
𝒑 = 𝝆𝑹𝑻
Eq. continuidade
Eq. Bernoulli
Eq. continuidade
Relações Isentrópicas
Eq. da energia
Eq. de estado
Escoamento compressível (M > 0,3):
Em um túnel de vento supersônico a temperatura e a 
pressão do ar dentro do reservatório do túnel de vento são 
T0 = 1000 K e p0 = 10 atm, respectivamente. As 
temperaturas estáticas na garganta e na saída são T* = 833 K 
e Te = 300 K, respectivamente. O fluxo de

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