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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
 
 
 
 
Junho de 2010 
ISSN 1413-9022 CCAADDEERRNNOOSS DDOO IIMMEE 
SSéérriiee EEssttaattííssttiiccaa –– VVoolluummee 2288 
 
 
 
Análise de Modelos Matemáticos para o Problema 
Probabilístico de Localização-Alocação de Máxima Cobertura 
Vinícius Moreira Pontin; Ravilo Altoé Garcia; Pedro Bandeira 
Neto; Glaydston Mattos Ribeiro 
 
1 
Um Modelo de Previsão do Consumo Residencial de Energia 
Elétrica no Brasil 
Beatriz Helena Assis Mascarenhas de Oliveira; Jorge Machado 
Damázio; Rodrigo José Guerra Leone; Mihail Lermontov; Maria 
Augusta Soares Machado 
 
15 
A Importância dos Gráficos de Controle para Monitorar a 
Qualidade dos Processos Industriais: Estudo de Caso numa 
Indústria Metalúrgica 
Anderson Gomes dos Santos; Edivan Ferreira de Lacerda; Hélio 
Cavalcanti Albuquerque Neto; Weidson do Amaral Luna; Egidio 
Luíz Furlanetto 
 
33 
Estudo e Aplicação da Análise Multivariada de Dados para a 
Validação das Estruturas Físicas e Pedagógicas de Escolas 
Públicas do Sul do Paraná 
Antônio Carlos Machnicki; Anselmo Chaves Neto; Liliana 
Madalena Gramani 
 
47 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
apoio 
 
 CADERNOS DO IME 
Série Estatística 
 
 
Publicação semestral, com circulação em junho e dezembro, do Instituto de 
Matemática e Estatística (IME), da Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
(UERJ). 
 
Ricardo Vieiralves de Castro 
Reitor 
 
Maria Christina Paixão Maioli 
Vice-Reitora 
 
Maria Georgina Muniz Washington 
Diretora do Centro de Tecnologia e Ciência 
 
Sérgio Luiz Silva 
Diretor do Instituto de Matemática e Estatística 
 
Geraldo Magela da Silva 
Vice- Diretor do Instituto de Matemática e Estatística 
 
Normalização, divulgação e distribuição: 
Biblioteca do Centro de Ciências de Tecnologia A (CTC/A) da rede Sirius de 
Biblioteca da UERJ – ctca@uerj.br 
 
Editor: 
Prof. Dr. José Fabiano da Serra Costa - UERJ 
 
Corpo Editorial: 
Prof. Dr. Albert Cordeiro Geber de Melo - CEPEL 
Prof. Dr. Annibal Parracho Sant’Anna - UFF 
Prof. Dr. Carlos Alberto Nunes Cosenza - UFRJ 
Prof. Dra. Fernanda da Serra Costa – UERJ/CEPEL 
Prof. Dr. Fernando Antonio Lucena Aiube - PUC-RJ/PETROBRAS 
Prof. Dr. Helder Gomes Costa - UFF 
Prof. Dr. Jorge Machado Damázio - UERJ 
Prof. Dr. Luis Felipe Dias Lopes - UFSM 
 
 
 
Os artigos enviados para publicação deverão ser inéditos, com exceção de 
resumos ou teses, são de responsabilidade de seus autores, e não refletem, 
necessariamente, a opinião do IME. Sua reprodução é livre, em qualquer 
outro veículo de comunicação, desde que citada a fonte. 
 
 
 
 
EEddiittoorriiaall 
 
 
 
 
O Instituto de Matemática e Estatística (IME) e o Departamento de Estatística com o 
apoio do Centro de Tecnologia e Ciências (CTC) da Universidade do Estado do Rio de 
Janeiro (UERJ) têm trabalhado em conjunto no sentido de desenvolver a produção da 
revista Cadernos do IME - Série Estatística com qualidade e responsabilidade. 
Dessa forma, a partir de 2006, a Revista adotou um novo projeto gráfico e, a partir de 
2008 passou a circular também em versão eletrônica on-line, além da versão impressa, 
como forma de ampliar a divulgação dos artigos, que se encontra disponível em: 
http://www.ime.uerj.br/cadernos/cadest/. 
O volume 28 da revista Cadernos do IME - Série Estatística relativo a junho de 2010, 
apresenta uma seleção de 04 artigos científicos abordando temáticas variadas. 
O primeiro artigo, de autoria de Pontin, Garcia, Bandeira Neto e Ribeiro, analisa o 
problema probabilístico de localização-alocação de máxima cobertura através de uma 
comparação de modelos matemáticos. 
O segundo artigo, de autoria de Oliveira, Damázio, Leone, Lermontov e Machado, nos 
apresenta através de uma abordagem econométrica, um modelo de previsão do consumo 
residencial de energia elétrica. 
O terceiro artigo, de autoria de Santos, Lacerda, Albuquerque Neto, Lurna e Furlanetto, 
apresenta um estudo de caso de qualidade da indústria metalúrgica, com aplicação de 
contrôle estatístico de processos. 
E o quarto artigo, de autoria de Machnicki, Chaves Neto e Gramani nos apresenta um 
estudo de análise multivariada de dados aplicado ao ensino público fundamental e 
médio, com a finalidade de identificar as variáveis que melhor se correlacionam, com o 
desempenho dos alunos e com a eficiência das escolas. 
Aproveitamos a oportunidade para agradecer aos revisores, consultores ad-hoc 
pertencentes ao corpo de avaliadores da revista Cadernos do IME - Série Estatística, que 
têm trabalhado com muito entusiasmo para o desenvolvimento da revista. 
 
Saudações Acadêmicas, 
José Fabiano da Serra Costa – Editor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Junho de 2010 
ISSN 1413-9022 CCAADDEERRNNOOSS DDOO IIMMEE 
SSéérriiee EEssttaattííssttiiccaa –– VVoolluummee 2288 
 
 
 
 
Análise de Modelos Matemáticos para o Problema 
Probabilístico de Localização-Alocação de Máxima Cobertura 
Vinícius Moreira Pontin; Ravilo Altoé Garcia; Pedro Bandeira 
Neto; Glaydston Mattos Ribeiro 
 
1 
Um Modelo de Previsão do Consumo Residencial de Energia 
Elétrica no Brasil 
Beatriz Helena Assis Mascarenhas de Oliveira; Jorge Machado 
Damázio; Rodrigo José Guerra Leone; Mihail Lermontov; Maria 
Augusta Soares Machado 
 
15 
A Importância dos Gráficos de Controle para Monitorar a 
Qualidade dos Processos Industriais: Estudo de Caso numa 
Indústria Metalúrgica 
Anderson Gomes dos Santos; Edivan Ferreira de Lacerda; Hélio 
Cavalcanti Albuquerque Neto; Weidson do Amaral Luna; Egidio 
Luíz Furlanetto 
 
33 
Estudo e Aplicação da Análise Multivariada de Dados para a 
Validação das Estruturas Físicas e Pedagógicas de Escolas 
Públicas do Sul do Paraná 
Antônio Carlos Machnicki; Anselmo Chaves Neto; Liliana 
Madalena Gramani 
 
47 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA O 
PROBLEMA PROBABILÍSTICO DE LOCALIZAÇÃO-
ALOCAÇÃO DE MÁXIMA COBERTURA 
 
Vinícius Moreira Pontin 
Universidade Federal do Espírito Santo (CEUNES/UFES) 
vpontin@hotmail.com 
 
Ravilo Altoé Garcia 
Universidade Federal do Espírito Santo (CEUNES/UFES) 
raviloag@hotmail.com 
 
Pedro Bandeira Neto 
Universidade Federal do Espírito Santo (CEUNES/UFES) 
pedrobandeira@hotmail.com 
 
Glaydston Mattos Ribeiro 
Universidade Federal do Espírito Santo (CEUNES/UFES) 
Interuniversity Research Centre on Enterprise Networks, Logistics and Transportation - 
University of Montreal (CIRRELT/UofM) 
glaydstonribeiro@ceunes.ufes.br / Glaydston.Ribeiro@cirrelt.ca 
 
Resumo 
O Problema Probabilístico de Localização-Alocação de Máxima Cobertura (PPLAMC) 
é uma variação do problema de p-medianas que consiste em localizar facilidades 
(centros), maximizando o número de usuários atendidos (cobertos) e garantindo um 
bom nível de serviço. O nível de serviço está relacionado aos parâmetros de fila, ou 
seja, tempo de espera e quantidade de pessoas aguardando atendimento. Sabendo que 
os intervalos entre chegadas e atendimento variam segundo uma distribuição de 
probabilidade, os modelos de otimização combinatória do PPLAMC levam em 
consideração conceitos da Teoria de Filas. Sendo assim, este trabalho tem como 
objetivo avaliar modelos matemáticos para o PPLAMC utilizando instâncias 
disponíveis na literatura. 
Palavras-chave: PPLAMC, p-medianas, Teoria de Filas. 
CADERNOS DO IME – Série Estatística 
Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ 
Rio de Janeiro – RJ - Brasil 
ISSN 1413-9022 / v. 28, p. 01 - 14, 2010 
Cadernos do IME – Série Estatística Análise de Modelos Matemáticos para o PPLAMC... 
 2
1. Introdução 
Problemas de Localização de Máxima Cobertura (PLMC) têm sido 
consideravelmente reportados na literatura. O PLMC busca localizar uma quantidade 
pré-definida de facilidades de tal maneira que se atenda ao maior número possível de 
indivíduos de uma população, consideradauma dada distância ou um tempo padrão do 
ponto de demanda. Segundo Corrêa et al (2009a), não se busca com este modelo atender 
toda a população, mas oferecer o máximo de atendimento com os recursos disponíveis. 
O conceito de cobertura está relacionado ao fato de se verificar se um ponto está dentro 
de uma dada distância ou de um dado tempo de deslocamento até a facilidade. 
A localização de hospitais, de serviços de atendimento de emergência ou de 
estações do corpo de bombeiros, e a distância ou o tempo de deslocamento entre os 
pontos de demanda e as facilidades, constituem fatores importantes para estabelecer o 
nível de serviço oferecido aos usuários. Em sistemas reais como os citados, as chegadas 
dos usuários aos centros de atendimento normalmente constituem processos 
estocásticos, gerando, em muitos casos, o surgimento de filas (FOGLIATTI & 
MATTOS, 2007). Da Teoria de Filas, um sistema básico de filas é definido por um 
processo de chegada, um processo de atendimento, um determinado número de 
servidores (atendentes), se existe ou não limitação de capacidade e pela disciplina de 
atendimento. 
Como os processos reais de atendimento apresentam estocacidade, Marianov & 
Serra (1998) propuseram modelos matemáticos de PLMC que consideram esta questão 
nas restrições de capacidade. Os autores definem um limite mínimo para a qualidade 
dos seus serviços que é refletida no tempo de espera e/ou na quantidade de pessoas que 
aguardam o atendimento. 
Corrêa et al (2009b) definiram a abordagem de Marianov & Serra (1998, 2001) 
como o Problema Probabilístico de Localização-Alocação de Máxima Cobertura 
(PPLAMC). De maneira resumida, o PPLAMC busca localizar uma dada quantidade de 
facilidades com um ou vários servidores, de modo que a população, a uma distância 
padrão do centro, seja servida adequadamente, isto é, que ninguém fique na fila por 
um período maior que um dado tempo limite, ou que um usuário, ao chegar ao centro, 
não encontre um número de outros clientes acima do previsto, com probabilidade 
maior ou igual a dado valor definido a priori. 
Cadernos do IME – Série Estatística Pontin, Garcia, Bandeira Neto & Ribeiro 
 3
Assim, este artigo apresenta uma comparação entre modelos matemáticos 
encontrados na literatura para o PPLAMC. O modelo de Marianov & Serra (1998) e 
suas variações, conforme os trabalhos de Cornuéjols & Thizy (1982) e de Murray & 
Gerrard (1997), são avaliados. Testes computacionais foram realizados com o CPLEX 
10 (Ilog, 2006) aplicado às instâncias propostas por Marianov & Serra (1998), Corrêa 
e Lorena (2006) e Corrêa et al (2007). Espera-se com esse trabalho mostrar qual 
modelo matemático é mais adequado para o PPLAMC, comparando os tempos de 
resolução para cada caso e a qualidade das soluções, tendo em vista que Corrêa et al 
(2009b) encontraram a maioria das soluções ótimas. 
O restante do artigo está distribuído como segue. Na Seção 2 é apresentada uma 
breve revisão sobre o PPLAMC, bem como as formulações matemáticas de interesse: a 
proposta por Marianov & Serra (1998) e as suas variações obtidas a partir dos trabalhos 
de Cornuéjols & Thizy (1982) e Murray & Gerrard (1997). Na Seção 3 são apresentados 
os resultados computacionais obtidos. E por último, na Seção 4, são apresentadas as 
conclusões do trabalho que envolve a comparação dos modelos matemáticos. 
2. Formulações matemáticas para o PPLAMC 
O estudo do PLMC teve origem no artigo de Church & Revelle (1974) como 
uma alternativa mais real, pois tanto o SCLP (Set Covering Location Problem) – onde 
se procura identificar e localizar o número mínimo de facilidades, para que nenhuma 
das distâncias entre um ponto de demanda e a facilidade mais próxima seja superior à 
distância crítica – quanto o problema dos p-centros (p-Center Problem) – em que p 
facilidades são localizadas de modo que as medidas de dissimilaridade (distância ou 
tempo) máxima de qualquer ponto de demanda até sua facilidade mais próxima sejam 
mínimas – requerem que todos os pontos de demanda devem ser cobertos. Sabendo que 
nem sempre é possível que todos os pontos de demanda sejam cobertos, devido a 
restrições de recurso, este modelo possui melhor aplicação do que os demais. Assim 
sendo, a formulação do PLMC tem como objetivo maximizar a cobertura dos pontos de 
demanda numa distância ou tempo desejados, localizando para tal um número 
especificado de facilidades. 
A Figura 1 ilustra um caso de problema de localização-alocação com três 
facilidades e um dado raio de cobertura (distância) da facilidade. O termo localização 
está relacionado ao fato de se definir efetivamente a localização da facilidade. Já o 
Cadernos do IME – Série Estatística Análise de Modelos Matemáticos para o PPLAMC... 
 4
termo alocação, está relacionado à questão de se definir a associação entre os pontos de 
demanda e as facilidades, ou seja, de se definir a que facilidade um dado ponto está 
associado. 
Figura 1 – O Problema da Localização de Máxima Cobertura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Côrrea et al (2009a). 
Conforme Lorena (2003), a modelagem matemática do PPLAMC foi 
desenvolvida como um problema do tipo p-medianas, sendo modificada para 
contemplar as variáveis de localização e alocação. Atualmente, Corrêa et al (2009a) 
fizeram testes com relaxações Lagrangianas para o PPLAMC. Os resultados 
encontrados foram interessantes, porém, com a técnica de Geração de Colunas proposta 
pelos mesmos autores (CORRÊA et al, 2009b), várias soluções ótimas foram 
encontradas para instâncias propostas na literatura. 
Seja I o conjunto dos pontos de demanda a serem alocados e Ni o conjunto de 
localizações candidatas que estão dentro de uma dada distância ou tempo do ponto i. 
Sabe-se que as alocações são representadas por variáveis binárias definidas Ii xij ∈∈∈∈∀∀∀∀ e 
iNj ∈∈∈∈ . Assim, tem-se xij = 1, se o ponto de demanda i for alocado ao centro j e xij = 0, 
caso contrário. As localizações, representadas pelas variáveis binárias yj, recebem valor 
igual a 1, se o centro j for selecionado e valor igual a 0, caso contrário. Dado o exposto, 
normalmente, todo ponto de demanda i é um potencial centro de atendimento j. 
Cadernos do IME – Série Estatística Pontin, Garcia, Bandeira Neto & Ribeiro 
 5
Assim, a formulação do PPLAMC proposta por Marianov & Serra (1998) pode 
ser escrita como segue: 






= ∑∑
∈ ∈Ii Nj
iji
i
xaMaxPPLAMCv )( (1) 
(PPLAMC) Sujeito a: 
ijij Nj e Iiyx ∈∈∈∈∈∈∈∈∀∀∀∀≤≤≤≤ (2) 
Iix
iNj
ij ∈∈∈∈∀∀∀∀≤≤≤≤∑∑∑∑
∈∈∈∈
1 (3) 
jxf
Ii
b
jiji ∀−≤∑
∈
+2 1 ϕφ (4a) 
jxf
Ii
jiji ∀−+≤∑
∈
)1ln(
1
ϕ
τ
φ (4b) 
∑∑∑∑
∈∈∈∈
====
Ii
i py (5) 
{{{{ }}}} iijj Nj e Iix e y ∈∈∈∈∈∈∈∈∀∀∀∀∈∈∈∈ 10, (6) 
Sendo: 
- ai: população total do ponto de demanda i; 
- b : número máximo de usuários na fila com probabilidade de, no mínimo, 
αf; 
- τ : tempo máximo de espera na fila com probabilidade de, no mínimo, αf; 
- fi : taxa de chegadas dos usuários conforme um processo de Poisson; 
- φj: taxa média de atendimento em que o tempo médio de atendimento está 
exponencialmente distribuído; e 
- p : número de facilidades a serem localizados. 
A função objetivo descrita em (1) mostra que a população total coberta pelas p 
facilidades deve ser a maximizada. Já as restrições definidas em (2) indicam que só é 
possível alocar um ponto de demanda i a um centro j se houver um centro em j. As 
restrições descritas em (3) garantem que cada ponto de demanda deve ser alocado a, nomáximo, um centro, sendo que há a possibilidade de que um ponto de demanda não seja 
alocado a nenhum centro. A Figura 1 mostra que alguns pontos não foram alocados a 
nenhuma facilidade. 
Cadernos do IME – Série Estatística Análise de Modelos Matemáticos para o PPLAMC... 
 6
As restrições representadas por (4a) e (4b) dizem respeito à questão do 
comprimento máximo da fila e ao tempo máximo de atendimento, respectivamente, 
sendo que apenas uma delas é utilizada. As definidas por (4a) garantem que, com 
probabilidade ϕ, cada centro tenha no máximo b pessoas na fila, por outro lado, as 
definidas em (4b) garantem que, com probabilidade ϕ,, o tempo de atendimento em cada 
centro seja de no máximo τ. As restrições definidas em (5) garante que p centros serão 
selecionados, e as restrições descritas em (6) que todas as variáveis são binárias. 
As restrições descritas em (4a) e (4b) definidas por Marianov & Serra (1998) são 
para o modelo de fila M/M/1/∞/FIFO, no qual os intervalos entre chegadas estão 
exponencialmente distribuídos, o tempo de atendimento também está de acordo com 
uma distribuição exponencial, com apenas um servidor, sem limite de capacidade e a 
disciplina de fila é do tipo “o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido” (first in – 
first out). 
Os usuários de um ponto de demanda i chegam a um centro j com uma taxa de 
chegada fi conhecida. Como em um centro j, existe a possibilidade dos usuários virem 
de vários pontos de demanda i, é necessário levantar a taxa de chegada geral ao centro 
j. Considerando assim que as chegadas dos usuários de todos os pontos de demanda i 
acontecem de maneira superposta, a taxa de chegada ao centro j pode ser assim 
definida (MARIANOV & SERRA, 1998): ∑
∈
=
Ii
ijij xfω . 
Para haver um equilíbrio no processo de atendimento dos centros, faz-se 
necessário que jj ωφ ≥ . 
Marianov & Serra (1998) e Corrêa & Lorena (2006) mostraram que o lado 
direito das equações (4a) e (4b) são constantes quando calculados para φj, ϕ, b e τ, definidos a 
priori. De modo simplificado, essas restrições podem ser reescritas, respectivamente, pelos 
dois conjuntos de restrições a seguir, em que 2 1+ −= bj
j
bZ ϕµϕφ e )1ln(
1
ϕ
τ
µφτϕ −+= j
j
Z . 
jZxf
Ii
j
biji ∀≤∑
∈
ϕφ (7a) 
jZxf
Ii
j
iji ∀≤∑
∈
φτϕ (7b) 
Cadernos do IME – Série Estatística Pontin, Garcia, Bandeira Neto & Ribeiro 
 7
Com o modelo (1)-(6) originalmente proposto, é possível derivar novos modelos 
conforme os trabalhos Cornuéjols & Thizy (1982) e Murray & Gerrard (1997). Esses 
novos modelos são apresentados a seguir. 
O primeiro modelo considera o complemento das variáveis de localização, ou 
seja, jj yy −= 1 conforme indicado por Cornuéjols & Thizy (1982). Com esta inclusão, 
obtém-se o seguinte modelo: 






= ∑∑
∈ ∈Ii Nj
iji
CT
i
xaMaxPPLAMCv )( (8) 
(PPLAMCCT) Sujeito a: (3) e (7a) ou (7b), 
ijij Nj e Iiyx ∈∈∀≤+ 1 (9) 
∑
∈
−=
Ii
i pNy (10) 
{ } iijj Nj e Iix e y ∈∈∀∈ 1,0 (11) 
em que iIi NN ∈∪= . 
Observe que o modelo obtido acima (PPLAMCCT) apresenta agora restrições 
conhecidas como restrições de adjacência ou de conflitos (Restrição 9). Essas restrições 
foram exploradas por Corrêa et al (2009a, 2009b) para obter grafos de conflitos e grafos 
de cobertura. Os autores puderam assim aplicar relaxações Lagrangianas e técnicas de 
decomposição que permitiram resolver instâncias, até então, consideradas difíceis na 
literatura. Essa estratégia de decomposição a partir de problemas modelados em grafos 
de conflitos, foi inicialmente proposta por Ribeiro (2007) em sua tese de Doutorado. 
O segundo modelo é obtido a partir de outra alteração feita no modelo definido 
por Marianov & Serra (1998). Essa nova alteração consiste em considerar as restrições de 
Balinski (2) e de capacidade (4a ou 4b) em uma única restrição conforme o trabalho de 
Murray & Gerrard (1997). Desta forma, uma nova formulação (PPLAMCMG) pode ser 
obtida, conforme mostrado a seguir: 






= ∑∑
∈ ∈Ii Nj
iji
MG
i
xaMaxPPLAMCv )( (12) 
(PPLAMCMG) Sujeito a (3), (5), (6) 
 i
Ii
jbiji NjyZxf ∈∀≤∑
∈
ϕφ (13a) 
Cadernos do IME – Série Estatística Análise de Modelos Matemáticos para o PPLAMC... 
 8
 i
Ii
jiji NjyZxf ∈∀≤∑
∈
φτϕ (13b) 
As restrições (13a) substituem as restrições (2) e (7a), pois determinam que 
somente é possível alocar um ponto de demanda i a um centro j se houver um centro em 
j, como fazem as restrições (2), além de imporem restrições de capacidade, como fazem 
as definidas em (7a). De modo análogo, as restrições (13b) substituem as restrições (2) e 
(7b). Note que estas alterações reduzem o número de restrições. 
Com o objetivo de se avaliar qual dos três modelos mostrados é melhor, testes 
computacionais foram realizados com o auxílio do CPLEX 10. 
3. Resultados computacionais 
Para os experimentos computacionais, como citado anteriormente, foram 
utilizadas as instâncias propostas por Marianov & Serra (1998), Corrêa & Lorena 
(2006) e Corrêa et al (2007). Os testes foram realizados no solver CPLEX 10 (ILOG, 
2006) com as seguintes configurações: tempo máximo de processamento de 3600s ou 
0,01% de Gap (veja Equação 14). Gap representa a diferença, em termos percentuais, 
entre os dois limitantes fornecidos pelo CPLEX durante o seu algoritmo de Branch-and-
Bound: o limitante inferior e o limitante superior. O limitante inferior representa a 
melhor solução viável encontrada, ou seja, aquela solução que apresenta a maior função 
objetivo e que não viola nenhuma restrição do problema. Já o limitante superior 
representa o valor da função objetivo relaxada obtida durante o algoritmo de Branch-
and-Bound. 
Resumidamente, um algoritmo de Branch-and-Bound utiliza a técnica “dividir 
para conquistar”, ou seja, dado um problema de maximização P de natureza inteira 
mista, este é dividido em um subconjunto de problemas que são resolvidos 
independentemente. As soluções independentes, quando consideradas juntas, podem 
violar algumas restrições de P, gerando uma solução inviável, mas por outro lado, a 
soma das funções objetivo dos subproblemas formam um limitante superior. Além 
disso, quando uma solução inviável é transformada em uma solução viável, por alguma 
heurística dentro do algoritmo de Branch-and-Bound, tem-se um limitante inferior. 
Busca-se assim, realizar e analisar várias divisões buscando o maior limitante inferior 
possível com gap igual a zero. Para maiores detalhes sobre a técnica de Branch-and-
Bound, veja Wolsey (1998). 
Cadernos do IME – Série Estatística Pontin, Garcia, Bandeira Neto & Ribeiro 
 9
Um programa computacional foi elaborado para cada uma das formulações 
mostradas na Seção 2 com o objetivo de, dado uma instância do PPLAMC, fornecer um 
arquivo de entrada do modelo matemático para o CPLEX. Todos os experimentos foram 
realizados em um computador equipado com um Pentium IV 3.0 GHz com 1.0 GB de 
memória RAM. 
Tabela 1 – Resultados computacionais para as instâncias com 30 pontos para os três modelos 
matemáticos. 
Instância 
PPLAMC PPLAMCCT PPLAMCMG 
Limite 
Inferior 
Limite 
Superior 
GAP 
(%) 
Tempo 
 (s) 
Limite 
Inferior 
Limite 
Superior 
GAP 
(%) 
Tempo 
 (s) 
Limite 
Inferior 
Limite 
Superior 
GAP 
 (%) 
Tempo 
(s) 
30_2_0_0_85 3700 3700 0,00 0,14 3700 3700 0,00 0,67 3700 3718,06 0,49 3600 
30_3_0_0_85 5390 5390 0,00 0,08 5390 5390 0,00 0,14 5390 5390,00 0,00 0,16 
30_2_0_1_85 5100 5100 0,00 1,92 5100 5100 0,00 0,42 5100 5100,00 0,00 2,88 
30_3_0_1_85 5390 5390 0,00 0,055390 5390 0,00 0,17 5390 5390,00 0,00 0,25 
30_2_0_2_85 5210 5210 0,00 0,14 5210 5210 0,00 1,03 5210 5210,00 0,00 0,16 
30_3_0_2_85 5390 5390 0,00 0,06 5390 5390 0,00 0,09 5390 5390,00 0,00 0,19 
30_5_0_0_95 5330 5350 0,38 3600 5330 5350 0,38 3600 5330 5346,84 0,32 3600 
30_6_0_0_95 5410 5470 1,11 3600 5410 5470 1,11 3600 5410 5410,00 0,00 0,39 
30_3_0_1_95 5270 5270 0,00 65,31 5270 5280 0,19 307,60 5270 5270,00 0,00 77,84 
30_4_0_1_95 5390 5390 0,00 2,17 5390 5390 0,00 4,84 5390 5390,00 0,00 0,03 
30_2_0_2_95 4520 4520 0,00 1,22 4520 4520 0,00 2,81 4520 4539,56 0,43 3600 
30_3_0_2_95 5390 5390 0,00 0,08 5390 5390 0,00 0,11 5390 5390,00 0,00 0,27 
30_4_1_48_90 1920 1920 0,00 0,23 1920 1920 0,00 0,27 1920 1948,30 1,47 3600 
30_5_1_48_90 2400 2400 0,00 0,23 2400 2400 0,00 8,05 2400 2435,37 1,47 3600 
30_3_1_49_90 2160 2160 0,00 0,17 2160 2160 0,00 0,31 2160 2160,00 0,00 0,16 
30_4_1_49_90 2880 2880 0,00 0,23 2880 2880 0,00 0,30 2880 2880,00 0,00 0,05 
30_5_1_50_90 4700 4700 0,00 2,30 4700 4700 0,00 11,17 4700 4737,96 0,81 3600 
30_6_1_50_90 5390 5390 0,00 204,89 5390 5390 0,00 10,55 5390 5390,00 0,00 0,12 
30_5_1_40_85 3050 3050 0,00 2,05 3050 3050 0,00 3,73 3050 3086,40 1,19 3600 
30_6_1_40_85 3610 3610 0,00 17,80 3610 3634 0,66 3600 3610 3684,78 2,07 3600 
30_7_1_40_85 4060 4060 0,00 9,61 4060 4060 0,00 23,47 4060 4060,00 0,00 0,09 
30_6_1_41_85 5330 5340 0,19 3600 5330 5340 0,19 3600 5330 5349,45 0,36 3600 
30_7_1_41_85 5410 5410 0,00 61,59 5410 5470 1,11 3600 5410 5410,00 0,00 282,97 
30_8_1_41_85 5470 5470 0,00 0,08 5470 5470 0,00 0,28 5470 5470,00 0,00 0,03 
30_4_1_42_85 4600 4600 0,00 0,44 4600 4600 0,00 3,59 4600 4637,26 0,81 3600 
30_5_1_42_85 5390 5390 0,00 7,09 5390 5390 0,00 3,00 5390 5390,00 0,00 43.89 
Média 4533,08 4563,33 0,06 429,92 4533,08 4540,15 0,14 707,02 4533,08 4545,54 0,36 1454,62 
 
As Tabelas 1 e 2 apresentam os resultados encontrados neste artigo. A primeira 
coluna dessas tabelas apresenta o nome da instância que indica os valores de cinco 
parâmetros, sendo eles: tamanho da instância, p, b, µ, ϕ e τ: Por exemplo, a instância 
324_20_0_2_95 indica que são 324 pontos, 20 centros (facilidades), que a fila está 
restringida por tamanho (se o parâmetro fosse 1 a fila estaria restringida pelo tempo), 
Cadernos do IME – Série Estatística Análise de Modelos Matemáticos para o PPLAMC... 
 10
que existe um número máximo de duas pessoas na fila com probabilidade de pelo 
menos 95%. A coluna GAP nessas tabelas é calculada da seguinte maneira: 
100××××====
Inferior Limitante
Inferior) Limitante - Superior(Limitante
GAP(%)
 (14) 
Tabela 2 – Resultados computacionais para as instâncias com 324 pontos para os três modelos 
matemáticos. 
Instância 
PPLAMC PPLAMCCT PPLAMCMG 
Limite 
Inferior 
Limite 
Superior 
GAP 
(%) 
Tempo 
 (s) 
Limite 
Inferior 
Limite 
Superior 
GAP 
(%) 
Tempo 
 (s) 
Limite 
 Inferior 
Limite 
Superior 
GAP 
(%) 
Tempo 
(s) 
324_10_0_0_95 21458 21460 0,01 73,05 21459 21460 0,00 70,44 21460 21466,25 0,03 3600,00 
324_10_0_1_95 35359 35360,67 0,00 257,2 35359 35360,67 0,00 285,41 35360 35366,70 0,02 3600,00 
324_10_0_2_95 45387 45390 0,01 319,19 45386 45390,53 0,01 203,47 45390 45395,60 0,01 3600,00 
324_10_0_0_85 37177 37180,06 0,01 371,62 37178 37180 0,01 544,91 37177 37180,64 0,01 3457,00 
324_10_0_1_85 51000 51000 0,00 346,03 50995 51000 0,01 367,17 50996 51007,61 0,02 3600,00 
324_10_0_2_85 59735 59740,4 0,01 180,33 59736 59740,4 0,01 666,05 59672 59743,97 0,12 3600,00 
324_10_1_40_85 27698 27700 0,01 326,12 27698 27700 0,01 279,09 27690 27703,68 0,05 3600,00 
324_10_1_41_85 29359 29360 0,00 248,59 29358 29360 0,01 208,28 29360 29369,44 0,03 3600,00 
324_10_1_42_85 30949 30951,18 0,01 430,61 30948 30950,38 0,01 390,52 30937 30955,89 0,06 3600,00 
324_10_1_48_90 26918 26920 0,01 376,64 26918 26920 0,01 282,49 26908 26922,45 0,05 3600,00 
324_10_1_49_90 28329 28330 0,00 320,86 28329 28330 0,00 510,12 28327 28332,19 0,02 3600,00 
324_10_1_50_90 29678 29680 0,01 229,84 29679 29680 0,00 195 29679 29685,55 0,02 3600,00 
324_20_0_0_95 42916 42920 0,01 3368,45 42916 42920 0,01 3341,45 42914 42932,51 0,04 3600,00 
324_20_0_1_95 70714 70720,67 0,01 3353,7 70714 70720,67 0,01 557,48 70685 70733,40 0,07 3600,00 
324_20_0_2_95 90772 90780,56 0,01 3283,08 90772 90780,56 0,01 2248,61 90771 90971,19 0,22 3600,00 
324_20_0_0_85 74325 74360,06 0,05 3600,00 74350 74360,06 0,01 3600,00 74307 74361,28 0,07 3600,00 
324_20_0_1_85 101928 102000 0,07 3600,00 101940 102000 0,06 3600,00 101614 102015,22 0,39 3600,00 
324_20_0_2_85 119365 119480,4 0,10 3600,00 119253 119480,4 0,19 3600,00 119064 119487,93 0,36 3600,00 
324_20_1_40_85 55387 55400 0,02 3600,00 55391 55400 0,02 3600,00 55363 55407,36 0,08 3600,00 
324_20_1_41_85 58718 58720 0,00 902,44 58715 58720 0,01 1596,55 58704 58738,89 0,06 3600,00 
324_20_1_42_85 61895 61901,18 0,01 1772,06 61895 61901,17 0,01 3290,03 61887 61911,77 0,04 3600,00 
324_20_1_48_90 53835 53840 0,01 3574,97 53827 53840 0,02 3600,00 53823 53844,89 0,04 3600,00 
324_20_1_49_90 56649 56660 0,02 3600,00 56642 56660 0,03 3600,00 56646 56664,39 0,03 3600,00 
324_20_1_50_90 59355 59360 0,01 3244,34 59355 59360 0,01 3472,66 59344 59371,10 0,05 3600,00 
Média 52871,08 52883,97 0,02 1707,47 52867,21 52883,95 0,02 1671,26 52836,58 52898,75 0,08 3594,04 
 
Considere agora a Tabela 1 que reporta os resultados para instâncias de 30 
pontos de demanda. Para essas instâncias, o CPLEX apresenta bons resultados, 
resolvendo otimamente 23 das 26 instâncias com o modelo original de Marianov & 
Serra (1998), e 20 das 26 instâncias com o modelo PPLAMCCT. Porém, com o modelo 
PPLAMCMG, o CPLEX resolveu otimamente 16 das 26 instâncias. Com esses resultados, 
percebe-se que a formulação original de Marianov & Serra (1998) parece ser a mais 
adequada. Observe ainda que o CPLEX, com o modelo de Marianov & Serra (1998), 
Cadernos do IME – Série Estatística Pontin, Garcia, Bandeira Neto & Ribeiro 
 11 
utilizou um tempo de processamento médio menor quando comparado com os outros 
dois modelos. 
Avaliando agora a Tabela 2 que apresenta os resultados para instâncias de 324 
pontos de demanda, pode-se perceber novamente que o modelo original de Marianov & 
Serra (1998) mostrou-se mais consistente do que as outras duas variações. 
O CPLEX, com o modelo PPLAMCMG, apresentou os piores limitantes 
superiores e inferiores. Consequentemente, o gap médio obtido foi inferior, em termos 
de qualidade, que os demais gaps médios. 
Analisando os tempos computacionais médios, percebe-se que os dois primeiros 
modelos avaliados apresentam valores semelhantes. Por outro lado, o último modelo 
apresenta um tempo médio bem superior, próximo do tempo limite estipulado nos 
experimentos que foi de 3600 s. 
4. Considerações finais e conclusões 
Este trabalho apresentou comparações entre formulações matemáticas propostas 
para o Problema Probabilístico de Localização-Alocação de Máxima Cobertura 
(PPLAMC). O modelo proposto por Marianov & Serra (1998) foi avaliado juntamente 
com duas variações, conforme os trabalhos de Cornuéjols & Thizy (1982) e de Murray 
& Gerrard (1997). Para os testes computacionais, foram utilizadas instâncias propostas 
na literatura que possuem 30 e 324 pontos de demanda, com até 20 facilidades. 
Os experimentos mostraram que a formulação original de Marianov & Serra 
(1998) é mais eficiente do que as demais em termos de tempo de processamento, gaps e 
soluções. Em termos de solução, a formulação de Marianov & Serra (1998) gera, para 
as maiores instâncias (324 pontos), um limitante inferior médio melhor do que as 
demais formulações, ou seja, considerando a função objetivo, a formulação de Marianov 
& Serra (1998) gera soluções que atendem a um número maior de pessoas. Por outro 
lado, as duas variações da formulação original podem ser utilizadas para gerar, talvez, 
desigualdades válidasespecíficas para o PPLAMC. 
O solver de otimização utilizado nos experimentos computacionais foi o CPLEX 
10. Esse aplicativo, por ser extremamente eficiente e bem avaliado pela comunidade 
científica, apresenta uma série de estratégias de solução que permitem ganhar tempo 
computacional durante o seu branch-and-bound. Uma destas estratégias é a criação de 
restrições de corte bem conhecidas como os cortes de clique e de Gomory, que 
Cadernos do IME – Série Estatística Análise de Modelos Matemáticos para o PPLAMC... 
 12
dependem, basicamente, da estrutura do modelo matemático. Acredita-se assim que a 
baixa performance do CPLEX com as duas últimas formulações esteja atrelada a esta 
geração automática de cortes, que não está sendo eficiente. 
Como o PPLAMC é um problema de grande complexidade, encontra-se em 
estudo uma metaheurística para o mesmo. Espera-se obter resultados tão bons quanto os 
apresentados por Corrêa et al (2009b), porém em um tempo computacional menor. 
Além disso, espera-se trabalhar com instâncias maiores como as propostas por García et 
al (2009). 
 
Agradecimentos 
Glaydston Mattos Ribeiro agradece ao Conselho Nacional de Desenvolvimento 
Científico e Tecnológico - CNPq (Processo 201509/2009-1) pelo suporte financeiro 
dado ao trabalho. Os autores agradecem aos revisores pelas ótimas sugestões fornecidas. 
 
Referências 
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WOLSEY, L. A. Integer programming. Estados Unidos: Wiley-Interscience, 1998. 
Cadernos do IME – Série Estatística Análise de Modelos Matemáticos para o PPLAMC... 
 14
ANALYSIS OF MATHEMATICAL MODELS FOR THE 
QUEUING MAXIMAL COVERING LOCATION-
ALLOCATION PROBLEM 
 
 
Abstract 
The Queueing Maximal Covering Location-Allocation Problem (QMCLAP) is a 
variation of p-medians problems that consists of locating p facilities, maximizing the 
number of attended users and ensuring a good level of service. The level of service is 
related to the parameters of the queue, i.e., waiting time and number of people waiting 
for service. In this problem, intervals between arrivals and services vary according to 
probability distributions, so it is necessary take into account concepts of the Queuing 
Theory. Therefore, this paper aims to evaluate mathematical models for the QMCLAP 
using available instances in the literature. 
Key-words: QMCLAP, p-median, Queuing Theory.
 
 
 
 
 
 
 
UM MODELO DE PREVISÃO DO CONSUMO 
RESIDENCIAL DE ENERGIA ELÉTRICA NO BRASIL 
 
 
 Beatriz Helena Assis Mascarenhas de Oliveira 
IBMEC – RJ 
Centro de Pesquisas de Energia Elétrica (CEPEL) 
beatrizhelenadeoliveira@gmail.com 
 
Jorge Machado Damázio 
Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ) 
Centro de Pesquisas de Energia Elétrica (CEPEL) 
damazio@cepel.br 
 
Rodrigo José Guerra Leone 
Universidade Potiguar (UnP) 
r.leone@uol.com.br 
 
Mihail Lermontov 
Universidade Federal Fluminense (UFF) 
mihail@lermontov.com 
 
Maria Augusta Soares Machado 
IBMEC – RJ 
mmachado@ibmecrj.br 
 
 
 
 
Resumo 
O objetivo deste trabalho foi o desenvolvimento de um modelo previsão do consumo 
residencial de energia elétrica no Brasil. Dentre os métodos de previsão de demanda 
existentes, a metodologia adotada neste trabalho baseou-se na abordagem 
econométrica. O método aplicado consistiu na modelagem de um vetor autoregressivo e 
de um modelo de correção de erros vetoriais, utilizando-se os procedimentos de 
estimação e testes desenvolvidos por Johansen (1988 e 1991) e Johansen e Juselius 
(1990). Para o período analisado, as elasticidades preço e renda de longo prazo da 
demanda residencial de energia elétrica foram de –0,3912 e 0,9649 respectivamente. 
Palavras-chave: Previsão de consumo; Energia elétrica; Estimação. 
CADERNOS DO IME – Série Estatística 
Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ 
Rio de Janeiro – RJ - Brasil 
ISSN 1413-9022 / v. 28 p. 15 - 31, 2010 
Cadernos do IME – Série Estatística Um Modelo de Previsão do Consumo... 
 16
1. Introdução 
A compreensão da importância dos modelos de previsão de consumo de energia 
elétrica requer uma breve explicação sobre o funcionamento do Setor Elétrico 
Brasileiro. 
Fortunato et al (2001) classifica os sistemas elétricos em três grandes grupos: 
hidrelétricos, termoelétricos e hidrotérmicos. Em alguns países, o aproveitamento de 
recursos hidrelétricos de porte, aliado à possibilidade de compra de energia de sistemas 
vizinhos, resulta em sistemas exclusivamente hidrelétricos. Em outros países, as 
condições geográficas impossibilitam a existência de potencial hidrelétrico, originando 
sistemas exclusivamente termoelétricos. Na maioria dos países, contudo, coexistem os 
dois tipos de geração, que caracterizam os sistemas hidrotérmicos. Isto porque a geração 
hidrelétrica está sempre exposta à possibilidade de estiagens recorrentes, quando a 
capacidade de geração fica sensivelmente diminuída, sendo então necessário recorrer à 
construção de grandes reservatórios que armazenam água durante os períodos de 
grandes chuvas para uso durante as estiagens e/ou ao acoplamento de usinas térmicas 
que são utilizadas quando a água armazenada pelo sistema hidrelétrico cai a níveismuito baixos. 
O sistema brasileiro de produção de energia elétrica é um sistema hidrotérmico, 
com forte predominância de geração hidrelétrica e grande capacidade de 
armazenamento de água. O imenso potencial hidrelétrico brasileiro enfatiza a 
necessidade do planejamento da expansão da geração, tendo em vista que os prazos de 
construção de usinas hidroelétricas são bem maiores que os de usinas termoelétricas. O 
planejamento da operação tem também maior importância, dada a necessidade de 
coordenação das produções hidro e térmicas no controle do esvaziamento dos 
reservatórios. Neste contexto, é necessário avaliar com antecedência as condições de 
atendimento da demanda pelo sistema gerador. Por isso, no planejamento da expansão e 
no planejamento da operação trabalha-se com modelos de previsão de consumo de 
energia elétrica. 
O objetivo principal1 deste trabalho é o desenvolvimento de um modelo de 
previsão do consumo residencial de energia elétrica no Brasil. Elasticidades preço e 
 
1 Maiores detalhes podem ser encontrados em De Oliveira (2004). 
Cadernos do IME – Série Estatística Oliveira et al. 
 17 
renda são também estimadas. Estas elasticidades indicam como o consumo residencial 
de energia elétrica reage às variações de preço e renda. 
2. Revisão da Literatura 
2.1. Modelos Top-Down e Bottom-Up 
Antes da primeira crise de petróleo, os modelos de planejamento energético se 
limitavam à determinação da oferta de energia. A demanda de energia era tratada como 
uma variável exógena e a oferta de energia era determinada por modelos de otimização 
(COSTA & FALLOT, 2002). 
As mudanças ocorridas após a crise de petróleo de 1973-1974 provocaram 
variações importantes na elasticidade-renda do consumo de energia, cujo 
comportamento anterior era praticamente constante. Dentre estas mudanças, cabe 
destacar: 
− crescimento do setor de serviços nos países desenvolvidos e transferência de 
indústrias intensivas em energia para os países em desenvolvimento; 
− substituição de fontes energéticas; 
− inovações tecnológicas. 
Estas mudanças levaram ao aprimoramento dos modelos existentes e ao 
desenvolvimento de novos modelos. A partir de então, o debate entre os especialistas 
em energia concentrou-se em duas correntes de modelos. De um lado, os modelos Top-
Down (TD). Do outro lado, os modelos Bottom-Up (BU). 
A forma de representação do progresso técnico parece ser a principal diferença 
metodológica entre estas duas correntes de modelos (GRUBB et al, 1993, apud COSTA 
& FALLOT, 2002). Os modelos TD representam o progresso técnico de uma forma 
bastante agregada, enquanto que os modelos BU fazem uma representação altamente 
desagregada, com uma especificação tecnológica detalhada. 
Atualmente, verifica-se uma tendência no sentido de integrar estas duas 
correntes dentro de um mesmo modelo. O desenvolvimento de modelos denominados 
de híbridos tem sido possível, em consequência da identificação dos pontos fortes e 
fracos de cada corrente, além da não incompatibilidade entre as estruturas dos modelos 
(COSTA & AMERICANO, 1996). 
Cadernos do IME – Série Estatística Um Modelo de Previsão do Consumo... 
 18
2.2. Principais Artigos Nacionais 
Modiano (1984) analisou a evolução histórica do consumo e da tarifa média de 
energia elétrica das classes residencial, industrial, comercial e outros no período 
1963/1981. Com o propósito de avaliar quantitativamente a resposta da demanda de 
energia elétrica à variações da renda real e da tarifa real para as quatro classes distintas 
de consumidores, foram especificados e testados econometricamente dois modelos 
convencionais de determinação da demanda, ambos pressupondo que a oferta é 
infinitamente elástica. O primeiro modelo supôs que o ajustamento do consumo à 
demanda fosse instantâneo. O segundo modelo admitiu o ajustamento parcial do 
consumo à demanda, tendo sido estimadas as elasticidades renda e elasticidades preço 
de curto e longo prazos. As equações foram estimadas pelo método de mínimos 
quadrados com correção para correlação serial pelo método de Cochrane-Orcutt. 
Araújo (1988) discutiu as relações entre modelos e o processo de planejamento, 
sistematizando as etapas do processo com ênfase na utilização de cenários e modelos 
nesse processo. Inicialmente, discutiu as ligações entre energia e sociedade, energia e 
desenvolvimento e introduziu conceitos básicos para o estudo de modelos como 
instrumentos de análise da realidade. Na segunda parte do trabalho, fez uma tipologia e 
análise dos principais enfoques, segundo finalidades, mantendo a divisão familiar entre 
modelos de demanda, oferta e integrados. Dentro desta divisão, distinguiu os diversos 
instrumentais utilizados, bem como a abrangência e outros aspectos relevantes. O ponto 
focal desta parte foram as hipóteses subjacentes e implicações dos modelos, buscando 
explicitar os conceitos envolvidos. Na terceira parte apresentou os métodos clássicos de 
previsão, seus pressupostos e aplicabilidade. Discutiu métodos de prospectiva também 
conhecidos como métodos de cenários. Em seguida, apresentou alguns dos principais 
procedimentos para construção de cenários, analisando a utilização do método como 
suporte de planejamento, introduzindo a questão do risco. No último capítulo 
concentrou-se no processo de planejamento propriamente dito, focando no uso de 
modelos: seu papel, limitações, a escolha de métodos adequados ao problema, 
integração entre análise e implementação, execução do estudo e a crítica dos mesmos e 
extração de conclusões válidas para elaboração de um plano. No final, retomou a 
discussão inicial, dando atenção a aspectos institucionais e à ligação entre a natureza do 
planejamento energético e a existência de um projeto global de desenvolvimento. 
Cadernos do IME – Série Estatística Oliveira et al. 
 19 
Araújo (1992) realizou estudo econométrico da demanda de energia elétrica no 
Brasil para os setores industrial, residencial e outros consumos. A hipótese subjacente 
do estudo foi de que a demanda de eletricidade é mediada pelo estoque de 
equipamentos. No trabalho considera-se que, para cada categoria de usuários, variáveis 
renda e preços atuam sobre os estoques de equipamentos (através de compras de novos 
equipamentos e sucateamento dos velhos) e sobre o nível de sua utilização, a forma de 
atuação dependendo da categoria. No estudo foram feitas regressões nos logaritmos, 
obtendo-se elasticidades preço e elasticidades renda e foram testadas suas significâncias 
e a presença de autocorrelação serial nos resíduos. Sendo esta correlação significativa, 
prosseguiu com uma estimação em dois estágios. No caso do setor residencial, fez 
também a estimação de um modelo de defasagem distribuída. Vale mencionar que estas 
duas estimações correspondem a duas hipóteses distintas de como a inércia manifesta-
se: a estimação em dois estágios supõe que a inércia aparece nos desvios entre a 
regressão (i.e., o valor esperado do consumo, dados preços e renda) e o valor observado; 
já a estimação por defasagem distribuída (modelo de ajuste parcial) implica em que o 
nível do consumo atual depende do consumo passado. 
Andrade e Lobão (1997) analisaram a evolução do consumo residencial de 
energia elétrica no Brasil no período 1963/1965 e estimaram as elasticidades renda e 
elasticidades preço de sua demanda agregada. Além de atualizar parte do estudo feito 
por Modiano (1984), foram aplicados métodos econométricos mais eficientes para 
analisar a sensibilidade da função demanda residencial deste serviço de utilidade 
pública. A equação para demanda residencial de energia elétrica foi estimada por três 
diferentes métodos.O primeiro a ser utilizado foi o método de mínimos quadrados 
ordinários (MQO) sob a hipótese do modelo linear geral. Entretanto, os autores 
argumentam que como se trata da estimação de um modelo de demanda, é provável que 
a hipótese de correlação nula entre regressor e erro, fortemente requerida neste contexto 
de estimação, poderia estar sendo violada devido à existência de uma eventual 
simultaneidade entre o consumo e a tarifa de energia elétrica. Por este motivo, 
apresentam uma estimação de variáveis instrumentais (VI), do tipo dois estágios, com o 
intuito de corrigir os possíveis vieses gerados pela estimação direta de MQO. O terceiro 
método aplicado consistiu na modelagem de um vetor autoregressivo sob a 
representação de um modelo de correção de erros, utilizando-se os procedimentos de 
Cadernos do IME – Série Estatística Um Modelo de Previsão do Consumo... 
 20
estimação e testes desenvolvidos por Johansen (1988 e 1991) e ainda Johansen e 
Juselius (1990). 
Schmidt e Lima (2002) estimaram as elasticidades, principalmente as preço e 
renda, de longo prazo da demanda por energia elétrica nas três classes de consumo: 
residencial, comercial e industrial. Os autores apresentam um modelo microeconômico 
a ser utilizado nas estimações e uma resenha referente a estudos sobre elasticidades a 
nível internacional e nacional. O método de estimação utilizado no trabalho também foi 
o de Johansen (1988 e 1991) e Johansen e Juselius (1990); isto é, o de cointegração, que 
requer a modelagem de um vetor autoregressivo, sob a representação de um modelo de 
correção de erro vetorial, para levar em consideração a não estacionariedade das 
variáveis do modelo. 
3. Metodologia 
3.1. Tipo de Abordagem 
Dentre os principais métodos de previsão de demanda existentes, a metodologia 
adotada neste trabalho baseou-se na abordagem econométrica. Convém lembrar que esta 
abordagem busca analisar a evolução temporal de uma variável dependente ou 
explicada, em função da evolução temporal de variáveis independentes ou explicativas. 
Mais especificamente, o modelo de previsão de demanda desenvolvido visa 
quantificar as relações existentes entre o consumo residencial de energia elétrica e o 
Produto Interno Bruto (PIB), a tarifa real média residencial de energia elétrica e o preço 
de eletrodomésticos. 
A estimação dos parâmetros foi feita através de método estatístico, utilizando-se 
as séries históricas anuais das variáveis do modelo. O método aplicado consistiu na 
modelagem de um vetor autoregressivo e de um modelo de correção de erros vetoriais, 
utilizando-se os procedimentos de estimação e testes desenvolvidos por Johansen (1988 
e 1991) e Johansen e Juselius (1990). 
3.2. Dados e Fontes Utilizados 
A Tabela 1 mostra os dados do consumo residencial de energia elétrica, do PIB, 
da tarifa média residencial de energia elétrica e do preço de eletrodomésticos no período 
1980-2003. 
 
Cadernos do IME – Série Estatística Oliveira et al. 
 21 
Tabela 1 – Variáveis do Modelo 
Ano Consumo 
Residencial 
 
GWh 
PIB 
 
R$ Milhões de 2003 
Tarifa Média 
Residencia 
 
R$/MWh 
Preços de 
Eletrodomésticos 
 
1980 23.184 968 371,28 330,37 10,31 
1981 24.960 927 215,50 315,20 11,35 
1982 27.066 934 911,39 293,33 11,76 
1983 29.742 907 518,48 258,23 9,80 
1984 30.923 956 524,48 233,42 8,45 
1985 32.624 1 031 602,09 217,64 8,51 
1986 35.747 1 108 869,09 188,53 7,89 
1987 38.343 1 148 012,17 229,40 6,65 
1988 40.536 1 147 323,36 212,61 8,87 
1989 43.655 1 183 578,78 160,41 7,07 
1990 47.951 1 132 093,10 206,10 5,92 
1991 51.108 1 143 753,66 215,42 3,74 
1992 51.901 1 137 536,44 238,13 3,35 
1993 53.626 1 193 557,45 221,17 2,82 
1994 55.954 1 263 414,82 201,83 2,24 
1995 63.576 1 316 778,86 185,03 1,95 
1996 69.051 1 351 786,61 232,88 1,72 
1997 74.089 1 396 008,80 242,46 1,52 
1998 79.339 1 397 850,36 245,82 1,38 
1999 81.293 1 408 830,11 243,14 1,32 
2000 83.614 1 470 264,51 244,38 1,20 
2001 73.622 1 489 562,96 250,58 1,10 
2002 72.661 1 518 264,12 257,56 1,08 
2003 76.168 1 514 923,94 239,30 1,00 
A fonte dos dados do consumo residencial foi o Banco Central (BC). A tarifa 
média residencial de energia elétrica foi deflacionada pelo IGP-DI. A fonte dos dados 
da tarifa média residencial foi o Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA) para 
o período 1980-1994 e ANEEL (1995-2003). A série do IGP-DI foi coletada no IPEA. 
A série do PIB a preços constantes de 2003 foi coletada no BC. A série dos preços de 
eletrodomésticos foi obtida deflacionando o IPA-OG-eletrodomésticos pelo IGP-DI. A 
fonte dos dados foi o IPEA. 
O Quadro 1 sintetiza os indicadores utilizados na modelagem e as fontes dos 
dados. 
Quadro 1 – Fontes dos Dados 
Indicadores 
 
Fontes 
 
Consumo Residencial de Energia Elétrica BC 
IGP-DI IPEA 
IPA-OG-eletrodomésticos IPEA 
PIB BC 
Tarifa Média Residencial de Energia Elétrica IPEA 
Cadernos do IME – Série Estatística Um Modelo de Previsão do Consumo... 
 22
Após transformar os dados brutos para índice em base fixa (1980-2003), o 
Gráfico 1 foi plotado para a visualização da evolução das variáveis do modelo. 
Gráfico 1 – Evolução das Variáveis do Modelo 
4. Testes e Estimação do Modelo 
O modelo teórico foi construído utilizando-se a seguinte premissa: Toda 
quantidade de energia elétrica demandada pelos consumidores residenciais é 
efetivamente fornecida. Dito de outra maneira, de uma forma geral ou para grande parte 
dos consumidores, admite-se que a oferta do serviço seja infinitamente elástica. Com 
esta premissa, pode-se utilizar a quantidade consumida com uma boa aproximação para 
a quantidade demandada (ANDRADE & LOBÃO, 1997). 
Cabe destacar que, dada a premissa de oferta infinitamente elástica, na 
estimação do modelo não foram considerados os dados do período 2001-2003, pois 
houve racionamento de energia elétrica (restrição de oferta) nos anos de 2001 e 2002. 
A equação de demanda residencial de energia elétrica foi especificada da 
seguinte forma funcional (SCHMIDT & LIMA, 2002): 
δβα ⋅⋅⋅= tttt PEYPKC (4.1) 
em que: 0e0,0,0K <δ>β<α> 
Índice de Base Fixa (1980 = 100%)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Consumo PIB Tarifa Preços de Eletro
Cadernos do IME – Série Estatística Oliveira et al. 
 23 
onde: 
:C t consumo residencial de energia elétrica no tempo t; 
:Pt tarifa residencial de energia elétrica no tempo t; 
:Yt renda no tempo t; 
:PE t preço de eletrodomésticos no tempo t; 
Tomando logaritmo na equação (4.1), chega-se à seguinte equação linear para a 
demanda residencial de energia elétrica: 
tttt LogPELogYLogPLogKLogC δ+β+α+= (4.2) 
em que: 0e0,0,0K <δ>β<α> 
A escolha da forma funcional log-linear deveu-se ao fato de que as elasticidades 
são obtidas diretamente dos resultados da regressão e, diferentemente das formas 
lineares, são constantes e independentes dos valores assumidos pelas variáveis. 
Doravante, tttt PEeY,P,C representam, respectivamente, 
tttt LogPEeLogY,LogP,LogC 
Teoricamente, espera-se que o consumo reaja negativamente aos aumentos da 
tarifa residencial e do preço de eletrodomésticos e, positivamente, aos aumentos de 
renda. Os coeficientes δβα e, representam, respectivamente, as elasticidades da 
demanda residencial de energia elétrica com relação ao preço de energia elétrica, renda 
e preço de eletrodomésticos. 
Na estimação foram utilizados dados de séries temporais. Uma hipótese 
implícita na análise de regressão envolvendo dados de séries temporais é que tais dados 
são estacionários. 
4.1. Teste de Raiz Unitária 
O teste de raiz unitária é umteste para detectar não-estacionariedade. Neste 
trabalho, o teste foi realizado utilizando-se o software Eviews. 
De acordo com Gujarati (2000), tem-se o seguinte modelo: 
t1tt uYY += − (4.3) 
onde: 
tu é o termo de erro estocástico que tem média zero, variância 
2σ constante e é não-
autocorrelacionado. 
Cadernos do IME – Série Estatística Um Modelo de Previsão do Consumo... 
 24
Conforme ainda Gujarati (2000), a equação (4.3) é similar a uma regressão de 
primeira ordem, ou AR(1), onde o valor Y no instante t é regredido sobre seu valor no 
instante )1( −t . Se o coeficiente da regressão de 1−tY for igual a 1, tem-se o problema da 
raiz unitária; ou seja, uma situação de não estacionariedade. A variável estocástica Y 
tem uma raiz unitária, se ao se aplicar a regressão 
t1tt uYY +ρ= − (4.4) 
obtém-se 1=ρ . 
A equação (4.4) pode ser reescrita como 
ttttt uYuYY +=+−=∆ −− 11)1( δρ (4.5) 
onde: 
)1( −= ρδ e ∆ é o operador de primeira diferença. 
Se δ for 0 , obtém-se: 
t1ttt u)YY(Y =−=∆ − (4.6) 
Ou seja, as primeiras diferenças da série temporal tY é uma série temporal 
estacionária. 
Convenciona-se chamar uma série temporal integrada de ordem d, ou I(d), se for 
necessário diferenciá-la d vezes para torná-la estacionária. Uma série é não estacionária 
se for integrada de ordem maior ou igual a 1. 
Pode-se verificar a estacionariedade de uma série temporal tY , aplicando (4.4) e 
testando a hipótese nula 
^
ρ igual a 1 com base na estatística t . Neste caso, t é 
conhecida por estatística τ (tau) e seus valores críticos foram tabulados por Dickey e 
Fuller, utilizando-se simulações de Monte Carlo. O teste tau é conhecido como teste de 
Dickey-Fuller (DF). 
O teste de Dickey-Fuller é feito verificando-se a hipótese nula 0=δ nas 
seguintes regressões: 
t1tt uYY +δ=∆ − (4.5) 
t1t1t uYY +δ+β=∆ − (4.7) 
t1t21t uYtY +δ+β+β=∆ − (4.8) 
onde: 
t é a variável tempo ou tendência. 
Cadernos do IME – Série Estatística Oliveira et al. 
 25 
Se o termo de erro tu é autocorrelacionado, utiliza-se termos de diferenças 
defasados - teste aumentado de Dickey-Fuller (ADF). 
t1t
m
1i
i1t21t YYtY ε+∆α+δ+β+β=∆ −
=
− ∑ (4.9) 
Com o objetivo de testar a ordem de integração das séries temporais das 
variáveis do modelo, foi realizado o teste ADF. Os resultados do teste foram os 
seguintes: 
Tabela 2 – Teste ADF nas Séries Temporais 
Variável Equação de Teste Defasagem Estatística 
de Teste 
Valor Crítico 
(MacKinnon) 
 1% 5% 
tC constante 1 -1,0885 -3,8315 -3,0300 
tP sem constante e sem tendência 0 -0,5848 -2,6857 -1,9591 
tY sem constante e sem tendência 1 2,2676 -2,6924 -1,9602 
tPE constante 0 0,4443 -3,8085 -3,0207 
Estes resultados indicam que a hipótese nula de que existe uma raiz unitária não 
pode ser rejeitada ao nível de significância de 5%; ou seja, todas as séries temporais 
podem ser consideradas não-estacionárias. 
Em seguida, foram realizados testes de raiz unitária nas primeiras diferenças 
(Tabela 3), tendo sido constatado que as séries diferenciadas uma vez podem ser 
estacionárias ao nível de significância de 5%. Foi concluído que todas as séries 
temporais podem ser consideradas como integradas de ordem 1; ou seja, I(1). 
Tabela 3 – Teste ADF nas Séries Temporais em Primeira Diferença 
Variável Equação de Teste Defasagem Estatística de 
Teste 
Valor Crítico 
(MacKinnon) 
 1% 5% 
tC constante 1 -3,3539 -3,8574 -3,0404 
tP sem constante e sem tendência 0 -4,7617 -2,6924 -1,9602 
tY sem constante e sem tendência 0 -2,4480 -2,6924 -1,9602 
tPE constante 0 -4,7317 -3,8315 -3,0300 
Cadernos do IME – Série Estatística Um Modelo de Previsão do Consumo... 
 26
4.2. Teste de Co-Integração 
Conforme mencionado anteriormente, uma hipótese implícita na análise de 
regressão envolvendo dados de séries temporais é que tais dados são estacionários. Uma 
vez constatado que as séries temporais das variáveis do modelo são não-estacionárias, o 
método estatístico utilizado neste trabalho consistiu na modelagem de um vetor 
autoregressivo e de um modelo de correção de erros vetoriais, utilizando-se os 
procedimentos de estimação e testes desenvolvidos por Johansen (1988 e 1991) e 
Johansen e Juselius (1990). No caso de modelagem de séries temporais não-
estacionárias, este método é o que fornece o tratamento estatístico mais adequado para 
estimar a função de demanda de longo prazo e para realizar previsões do consumo de 
energia elétrica (ANDRADE & LOBÃO, 1997). 
Engle e Granger (1987) apontaram que uma combinação linear de duas ou mais 
séries não-estacionárias pode ser estacionária. Se tal combinação linear existir, as séries 
não estacionárias são co-integradas. A combinação linear estacionária é chamada de 
equação de co-integração e pode ser interpretada como uma relação de equilíbrio de 
longo prazo entre as variáveis. 
Dado que todas as séries temporais das variáveis do modelo têm a mesma ordem 
de integração, foi realizado o teste de co-integração para testar a existência de vetores 
de co-integração. Para a realização do teste de co-integração, é necessário que se defina 
a ordem do modelo VAR que será especificado. Utilizando o critério de Schwarz, 
concluiu-se que o modelo VAR deve ser especificado com apenas 1 defasagem das 
variáveis. Em seguida, utilizando o software EViews, foram realizados o traçoteste λ e o 
maxteste λ . O traçoteste λ indicou a existência de 2 vetores de co-integração ao nível de 
significância de 5% e, apenas 1 vetor de co-integração ao nível de significância de 1%. 
Tabela 4 – traçoTeste λ 
Nº Vetores de 
Co-integração 
Eigenvalue Estatística de Teste Valor Crítico 
(r) 1% 5% 
0r = 0,9560 90,31 45,58 39,89 
1r ≤ 0,5812 27,85 29,75 24,31 
2r ≤ 0,4039 10,44 16,31 12,53 
3r ≤ 0,0047 0,09 6,51 3,84 
Cadernos do IME – Série Estatística Oliveira et al. 
 27 
O maxteste λ , por sua vez, indicou a existência de apenas 1 vetor de co-
integração aos nivéis de significância de 1% e 5%. 
Tabela 5 – maxTeste λ 
Nº Vetores de 
Co-integração 
Eigenvalue Estatística de Teste Valor Crítico 
(r) 1% 5% 
0r = 0,9560 62,46 28,82 23,80 
1r ≤ 0,5812 17,41 22,99 17,89 
2r ≤ 0,4039 10,35 15,69 11,44 
3r ≤ 0,0047 0,09 6,51 3,84 
Os dois testes de co-integração indicam que as variáveis são co-integráveis, 
identificando a existência de um vetor de co-integração ao nível de significância de 1%. 
A relação de co-integração é dada pelo seguinte vetor normalizado: 
Tabela 6 – Vetor Normalizado 
tC tP tY tPE 
1,000 0,3912 -0,9649 0,2784 
Então, a relação de longo prazo entre as variáveis do modelo fica estimada pela 
seguinte equação de co-integração: 
tttt PE2784,0Y9649,0P3912,0C −+−= (4.10) 
A equação (4.10) indica que a elasticidade-preço de longo prazo da demanda 
residencial de energia elétrica é –0,3912, o que significa que um aumento de 1% da 
tarifa residencial de energia elétrica causará uma redução de 0,3912% no consumo 
residencial de energia elétrica. Da mesma forma, os coeficientes 0,9649 e –0,2784 
representam, respectivamente, a elasticidade-renda de longo prazo da demanda 
residencial de energia elétrica e a elasticidade preço de eletrodomésticos de longo prazo 
da demanda residencial de energia elétrica. 
4.3. Modelo de Correção de Erros Vetoriais 
Com a finalidade de realizar previsões, foi estimado o modelo de correção de 
erros vetorias (MCEV). O MCEV é um VAR restrito utilizado em séries não-
estacionárias co-integráveis. O MCEV possui uma relação de co-integração em sua 
especificação, que restringe o comportamento de longo prazo das variáveis, permitindo 
ajustes na dinâmica de curtoprazo. O termo de co-integração é conhecido como erro de 
Cadernos do IME – Série Estatística Um Modelo de Previsão do Consumo... 
 28
correção, na medida em que os desvios do equilíbrio de longo prazo são corrigidos 
gradualmente através de uma série de ajustes parciais de curto prazo. 
A equação de co-integração (4.10) foi utilizada para derivar o erro de correção 
defasado: 
1t1t1t1t1t PE2784,0Y9649,0P3912,0Cu −−−−− +−+= (4.11) 
Em seguida, foram testadas diversas especificações para tC∆ , acrescentando 
uma constante e as variáveis tP∆ , tY∆ , tPE∆ e 1tC −∆ . Como a variável de interesse é o 
consumo residencial de energia elétrica, só foi estimado um MCEV para esta variável. 
O melhor resultado obtido foi o seguinte: 
Tabela 7 – Estimação do MCEV 
Variável Coeficiente Desvio Padrão Estatística t Prob. 
Constante -0,0516 0,0192 -2,6915 0,0167 
1tu − 
-0,3348 0,0575 -5,8268 0,0000 
1tC −∆ 0,4157 0,1460 2,8467 0,0122 
tPE∆ -0,0615 0,0290 -2,1189 0,0512 
R2 = 0,7264 
0,7264 
F teste = 13,28 (0,0002) 
LM teste = 3,3208 (0,1901) 
Jarque-Bera teste = 0,6131 (0,7360) 
White teste = 3,6173 (0,7283) 
Nota: Os valores entre parênteses representam o p-value. 
Os coeficientes são significativos e não existem indícios de que os resíduos não 
sejam normalmente distribuídos (Jarque-Bera teste), homocedásticos (White teste) e 
não-autocorrelacionados (LM teste). 
Cabe ressaltar que a primeira diferença da variável preço )P( t∆ e a primeira 
diferença da variável renda )Y( t∆ não se mostraram significativas e por isso não fazem 
parte da equação do MCEV. 
Desta maneira, o modelo pode ser estimado com a equação (4.12), que 
representa as dinâmicas de curto e longo prazos para o consumo residencial de energia 
elétrica: 
t1t1tt PE0615,0C4157,0u3348,00516,0C ∆−∆+−−=∆ −− (4.12) 
Cadernos do IME – Série Estatística Oliveira et al. 
 29 
O MCEV indica que a velocidade de ajustamento em relação ao equilíbrio de 
longo prazo é –0,3348; ou seja, 33,5% do desequilíbrio de curto prazo em relação à 
trajetória de longo prazo são corrigidos a cada período. Isto significa que o ajuste total 
dos desvios do equilíbrio de longo prazo levaria cerca de 3 anos. 
5. Considerações Finais 
Este trabalho objetivou o desenvolvimento de um modelo de previsão do 
consumo residencial de energia elétrica no Brasil, importante ferramenta para o 
planejamento da expansão e o planejamento da operação do Setor Elétrico Brasileiro. 
Além disso, buscou contribuir para estimações de elasticidades preço e renda de longo 
prazo da demanda residencial de energia elétrica. 
O método aplicado consistiu na modelagem de um vetor autoregressivo (VAR) 
sob a representação de um modelo de correção de erros vetoriais, utilizando-se os 
procedimentos de estimação e testes desenvolvidos por Johansen (1988 e 1991) e ainda 
Johansen e Juselius (1990). 
Esta metodologia foi utilizada por Andrade e Lobão (1997) e Schmidt e Lima 
(2002), que analisaram a evolução do consumo residencial de energia elétrica no Brasil 
e estimaram as elasticidades preço e renda da demanda residencial de energia elétrica 
para diferentes períodos. 
Cabe destacar que neste trabalho foram utilizadas as séries temporais do 
consumo total de energia elétrica e do PIB, diferenciando-se do adotado nos dois 
trabalhos mencionados que utilizaram as séries temporais do consumo por consumidor 
de energia elétrica e o PIB per capita. Por isso, as elasticidades preço e renda da 
demanda residencial de energia elétrica estimadas neste trabalho não são comparáveis 
com as encontradas anteriormente. 
Por ultimo, vale ressaltar ainda que, dado que a restrição de oferta provocada 
pelo racionamento de energia elétrica de 2001-2002 viola a hipótese básica do trabalho 
de que a oferta do serviço seja infinitamente elástica, a estimação do modelo foi 
realizada com base nas observações do período 1980-2000. Para este período, as 
elasticidades preço e renda de longo prazo da demanda residencial de energia elétrica 
foram de –0,3912 e 0,9649 respectivamente. 
Cadernos do IME – Série Estatística Um Modelo de Previsão do Consumo... 
 30
Referências 
ANDRADE, T. A.; LOBÃO, W. J. A. Elasticidade Renda e Preço da Demanda Residencial de Energia 
Elétrica no Brasil. In: Texto para Discussão nº 489, IPEA, p. 1-20, 1997. 
ARAÚJO, J. L. R. H. Modelos de Energia para Planejamento. Tese (Concurso de Professor Titular), 
COPPE/UFRJ, 1984. 
ARAÚJO, J. L. R. H. Estudo Econométrico da Demanda de Energia Elétrica no Brasil, Relatório 
Final, IE/UFRJ, 1992. 
COSTA, R. C.; FALLOT, A. Top-down Versus Bottom-Up: Coupling Both Modelling Approaches for a 
Prospective Study on Biofuels. Comprehensive Economic and Spatial Bio-Energy Modelling. 48 ed. 
Chania: CIHEAM (Centre International de Hautes Etudes Agronomiques Méditerranéenes), 2002. 
COSTA, R. C.; AMERICANO, B. B. “Modelos Top-Down e Bottom-Up: Reflexões sobre o 
Planejamento Energético”. In: Congresso Brasileiro de Energia, Rio de Janeiro, 1996. 
DE OLIVEIRA, B. H. A. M. (2004), “Um Modelo de Previsão do Consumo Residencial de Energia 
Elétrica no Brasil”. Monografia de Final do Curso de MBA Executivo em Finanças, IBMEC/RJ. 
ENGLE, R. F.; GRANGER, C. W. J. Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation, 
and Testing. In: Econometrica, Vol. 55, No. 2, p. 251-276, 1987. 
FORTUNATO L. A. M.; ARARIPE NETO, T. A.; ALBUQUERQUE, J. C. R.; PEREIRA, M. V. F. 
Introdução ao Planejamento da Expansão e Operação de Sistemas de Produção de Energia Elétrica 
1a. ed. Niterói: Atlas, 2001. 
GUJARATI, D. N. Econometria Básica, São Paulo: MAKRON Books, 2000. 
JOHANSEN, S. Statistical Analysis og Cointegrating Vectors. In: Journal of Economic Dynamics and 
Control, Vol. 12., p. 231-254, 1988. 
JOHANSEN, S. Estimation and Hypothesis Testing of Cointegration Vectors in Gaussian Vector 
Autoregressive Models. In: Econometrica, Vol. 59, No. 6, p. 1551-1580, 1991. 
JOHANSEN, S.; JUSELIUS, K.. Maximum Likelihood Estimation and Inference on Cointegration – 
With Applications to the Demand for Money. In: Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 52, 
No. 2, p. 169-210, 1990. 
MODIANO, E. M. Elasticidade Renda e Preços da Demanda de Energia Elétrica no Brasil. In: Texto 
para Discussão nº 68, Departamento de Economia da PUC, p. 1-19, 1984. 
SCHMIDT, C. A. J.; LIMA, M. A. Estimações e Previsões da Demanda por Energia Elétrica no Brasil. 
In: Documento de Trabalho nº 16, Ministério da Fazenda. Secretaria de Acompanhamento Econômico – 
SEAE, p. 1-31, 2002. 
Cadernos do IME – Série Estatística Oliveira et al. 
 31 
 
A FORECASTING MODEL FOR RESIDENTIAL 
ELECTRICAL ENERGY CONSUMPTION IN BRAZIL 
 
 
Abstract 
The objective of this work was to develop a model to predict the residential electrical 
energy consumption in Brazil. Among the methods of demand forecasting in existence, 
the methodology adopted was based on an econometric approach. The method applied 
was based on the modeling of an autoregressive vector and an error correction vector, 
using the estimation procedures and tests developed by Johansen (1988 and 1991) and 
Johansen and Juselius (1990). For the period analyzed, the price and income 
elasticities of demand for long-term residential electricity were -0.3912 and 0.9649 
respectively. 
Key-words: Forecast; Electrical energy; Estimation. 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
A IMPORTÂNCIA DOS GRÁFICOS DE CONTROLE 
PARA MONITORAR A QUALIDADE DOS PROCESSOS 
INDUSTRIAIS: ESTUDO DE CASO NUMA INDÚSTRIA 
METALÚRGICA 
Anderson Gomes dos Santos 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) 
andersongsantosufcg@gmail.com 
 
Edivan Ferreira de Lacerda 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG)edvan.ferreira@yahoo.com.br 
 
Hélio Cavalcanti Albuquerque Neto 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) 
heliocnt@hotmail.com 
 
Weidson do Amaral Luna 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) 
weidson.a.l@gmail.com 
 
Egidio Luíz Furlanetto 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) 
elfurlanetto@terra.com.br 
Resumo 
Em um cenário competitivo, as empresas buscam a qualidade nos seus produtos. Para 
isto, é necessária a análise do empreendimento para avaliar o desempenho dos 
processos até o produto final, emergindo assim a importância do CEP para detectar e 
diminuir a variabilidade, garantido maior conformação além de redução do custo, 
tornando-se importante ferramenta para a competitividade. Este artigo exploratório, 
analisa o CEP em uma empresa metalúrgica. No inicio, por gráficos, foi possível 
verificar causas especiais, após a eliminação dessas, o processo passou a estar sob 
controle, porém, houve necessidade de ajuste da média do processo. Finalmente, foram 
sugeridas medidas para que a empresa mantivesse seu sistema produtivo sob controle. 
Palavras-chave: Controle Estatístico Processo, Qualidade, Metalúrgica. 
CADERNOS DO IME – Série Estatística 
Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ 
Rio de Janeiro – RJ - Brasil 
ISSN 1413-9022 / v. 28 p. 33 - 46, 2010 
Cadernos do IME – Série Estatística A Importância dos Gráficos de Controle... 
 34
1. Introdução 
Acompanhar as constantes alterações de mercado sem perder qualidade e 
mantendo a eficácia no atendimento ao cliente tem sido hoje um grande desafio para as 
empresas e corporações. Para tal, é necessário desenvolver produtos inovadores, que 
possuam um padrão de qualidade e que consigam satisfazer as necessidades dos 
clientes, gerando vantagem competitiva frente às demais empresas. 
Entretanto, a qualidade não deve ser atrelada apenas ao produto final, mas sim a 
todo o processo produtivo e administrativo, visto que cada produto imperfeito trás 
consigo desperdício de matéria-prima, tempo e energia. Quanto a isto, Shiba et al 
(1997) colocam a participação de cada etapa do processo como pilar na construção de 
uma filosofia organizacional orientada à qualidade total - Total Quality Management. 
Para os autores, ao invés de simplesmente realizar o trabalho que lhe foi designado, 
cada etapa do processo deverá procurar satisfazer da melhor forma possível seu cliente 
interno ou externo. 
Nesse sentido, Montgomery (2004) afirma que o Controle Estatístico de 
Processo (CEP) é extremamente útil, já que é uma poderosa coleção de ferramentas para 
a coleta, análise e interpretação de dados, com o objetivo de melhorar a qualidade por 
meio da eliminação de causas especiais, podendo ser utilizado para a maioria dos 
processos. Shiba et al (1997) ainda afirmam ser este um método pelo qual se possa 
atingir elevado percentual de qualidade sem rejeições, desde que sejam desenvolvidos 
formas padronizados de correções e de feedback em cada etapa ao longo do processo. 
Assim sendo, o presente artigo propõe-se a analisar, por meio do CEP, a 
fabricação de um dos componentes da linha de produtos de uma indústria metalúrgica 
usados na montagem de dobradiças e maçanetas de fechaduras. O estudo pôde detectar 
variações em suas dimensões, evidenciando a necessidade da elaboração da carta de 
controle, além de fornecer medidas mitigadoras para que a empresa mantenha o 
processo sob controle. 
2. Fundamentação teórica 
2.1 Causas de variabilidade do processo 
Segundo Costa et al (2008), a expressão variabilidade do processo está 
relacionada às diferenças existentes entre as unidades produzidas em um mesmo 
processo. Se esta variabilidade for grande, as alterações entre as unidades serão 
Cadernos do IME – Série Estatística Gomes, Ferreira, Cavalcanti & Furlanetto 
 35 
facilmente observadas, contudo, se esta variação for pequena, as diferenças serão 
praticamente imperceptíveis. 
Desta forma, é possível afirmar que os processos são passíveis de causas 
especiais, os quais são problemas ou modos de operação anormal no processo que 
podem ser eliminados. Estatisticamente estas causas ocasionam um efeito de 
deslocamento na centralidade (tirando a média do valor-alvo) da variável X e/ou 
alteram a sua dispersão. Alguns exemplos de causas especiais são: 
− Ajuste incorreto da máquina ou desregulagem provocada pelo tempo de uso; 
− Lote de matéria-prima fora das especificações; 
− Operador mal treinado ou desmotivado. 
Quando uma causa especial é detectada, ela deve ser imediatamente investigada 
com o objetivo de intervir para eliminá-la. Para isto, utilizam-se as cartas, ou gráficos de 
controle, que são capazes de identificar a presença destas causas nos processos. 
2.2 Cartas ou gráficos de controle 
De acordo com Galuch (2002), apud Barros (2008), os gráficos de controle 
analisam o comportamento do processo permitindo uma atuação de forma preventiva, 
efetuando ações corretivas no momento em que ocorrerem desvios, mantendo-o dentro 
de condições pré-estabelecidas. Ainda desempenham um papel importante na aceitação 
do produto, pois o CEP verifica a estabilidade e homogeneidade do produto ou serviço. 
Segundo Costa (1994), o método baseia-se na retirada de amostras aleatórias de 
tamanho n a cada h hora, devem ser coletadas para posterior cálculo da média e da 
amplitude amostral e assim investigar se o processo está ou não sob controle estatístico. 
Um processo está sob controle estatístico quando estiver isento de causas 
especiais, ou seja, se na carta de controle elaborada, todos os pontos estiverem inseridos 
entre os Limites Superior (LSC) e Inferior de Controle (LIC), não apresentando 
nenhuma tendência. Segundo Souza (2002), tendência é quando se encontra uma 
ascendência ou descendência de sete ou mais pontos no gráfico do processo. 
2.2.1 Condições para a construção e uso dos gráficos de controle: estimativa da 
variabilidade do processo 
Para a construção dos gráficos de controle é necessário conhecer o desvio-
padrão ( S ) do processo. Dependendo do caso em estudo, é preciso apenas estimar a 
média, ou avaliar se a estimativa desta está suficientemente próxima do valor alvo 
Cadernos do IME – Série Estatística A Importância dos Gráficos de Controle... 
 36
estabelecido para a conformidade. Estes parâmetros devem ser avaliados durante o 
período em que o processo permanecer isento de causas especiais de forma que se 
garanta uma construção correta dos gráficos. 
Segundo Costa et al (2008), existem quatro formas de se estimar a variabilidade 
de um processo ( aS , bS , cS e dS ), entretanto, segundo os autores as duas últimas são 
consideradas mais confiáveis, pois baseiam-se na dispersão dos valores encontrados 
entre as amostras, sendo insensíveis a causas especiais que possam alterar a média do 
processo e, portanto, no presente estudo a opção será por elas. 
As Equações 1 e 2 apresentam o modelo matemático necessário para o cálculo 
destes estimadores. 
4C
S
Sc
−
= (1) 
Onde: 
− 
−
S é o desvio-padrão médio do processo; 
− 4C é o fator relacionado ao tamanho dos subgrupos. 
2d
R
Sd
−
= (2) 
Onde: 
− 
−
R é a amplitude média do processo; 
− 2d é o fator relacionado ao tamanho dos subgrupos. 
2.2.2 Gráficos de controle por variáveis contínuas 
Nos casos em que a variável a ser observada seja contínua, depois de eliminadas 
as causas especiais, é necessário construir os gráficos da média amostral ( −X ), o da 
amplitude ( R ) e o do desvio-padrão ( S ). Neste processo são utilizados um dos gráficos 
para medir a dispersão ( R ou S ) e outro para detectar a centralidade do processo (
−
X ). 
2.2.2.1 Gráfico da média amostral 
−
X 
Observadas as amostras de tamanho n , calcula-se as médias de cada amostra, e 
posteriormente, plota-se um gráfico no qual tem como parâmetros