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WILLY ANK PARA O SETOR METAL-MECÂNICO
Book · March 2018
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Exhaust System welding View project
Willy Ank Morais
Universidade Santa Cecília
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https://www.researchgate.net/publication/324680688_WILLY_ANK_PARA_O_SETOR_METAL-MECANICO?enrichId=rgreq-fd1ab4636ab2c70fe87d4caa125fb42b-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMyNDY4MDY4ODtBUzo2MTc5NjE1NDI5MDk5NTJAMTUyNDM0NDkyMTA4Mw%3D%3D&el=1_x_3&_esc=publicationCoverPdf
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https://www.researchgate.net/project/Exhaust-System-welding?enrichId=rgreq-fd1ab4636ab2c70fe87d4caa125fb42b-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMyNDY4MDY4ODtBUzo2MTc5NjE1NDI5MDk5NTJAMTUyNDM0NDkyMTA4Mw%3D%3D&el=1_x_9&_esc=publicationCoverPdf
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OLUÇÕES
WILLY ANK
PARA O SETOR METAL-MECÂNICO
X
Y
Z
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑹𝑿𝒀
O
A
ANÁLISE DOS PROCESSOS 
DE CONFORMAÇÃO
Volume 1 – Fundamentos 
Matemáticos-Mecânicos
Willy Ank de Morais
2
1
3
2 0 1 8
𝜀𝑖𝑗 =
𝜀𝑥 𝛾𝑦𝑥 𝛾𝑧𝑥
𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑦 𝛾𝑧𝑦
𝛾𝑥𝑧 𝛾𝑦𝑧 𝜀𝑧
𝜎 =
𝐹
𝐴
𝜎𝑖𝑗 =
𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧
xy = yx
xz = zx
yz = zy
3 – I1
2 + I2 – I3= 0
I1= x + y + z
I2= xy + yz + xz - xy
2 - yz
2 - xz
2
I3= xyz + 2xyyzxz - xyz
2 - yxz
2 - zxy
2
1  2  3
ij =
𝜎𝑚 0 0
0 𝜎𝑚 0
0 0 𝜎𝑚
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑚 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 −𝜎𝑚 𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧 − 𝜎𝑚
3 – I1
2 + I2 – I3= 0
I1= x + y + z
I2= xy + yz + xz -
1
4
( xy
2 - yz
2 - xz
2 )
I3= xyz + 
1
4
xyyzxz -
1
4
(xyz
2 - yxz
2 - zxy
2 )
𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀
ij = Cijklkl
𝐺 =
𝐸
2 1 + 𝜈
𝐺 =
3 1 − 2𝜈 𝐾
2 1 + 𝜈
𝜈 =
1 − 2𝐺 3𝐾
2 + 2𝐺 3𝐾
𝐾 =
𝐸
9 − 3𝐸 𝐺
1 + 2 + 3 = 0
 1  2  3
𝜎𝑖 = 𝑆𝑖 ∙ 1 + 𝑒
𝜀 = 𝑙𝑛 1 + 𝑒
𝜀𝑓 = −𝑙𝑛 1 − RA
Cor. =  {0,0684[log ()]
3 + 0,0461[log ()]2 - 0,205[log ()] + 0,825]}
𝜎 = 𝐾 ∙ 𝜀𝑛
𝜎 = 𝜎0 + 𝐾° ∙ 𝜀
𝑛°
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔
𝜎2
𝜎1
𝑙𝑜𝑔
𝜀2
𝜀1
𝜀𝐹𝑚á𝑥 = 𝜀𝑢 = 𝑛
𝑅 =
𝑙𝑛
𝑤𝑖
𝑤0
𝑙𝑛
𝐿0 ∙ 𝑤0
𝐿𝑖 ∙ 𝑤𝑖
𝑅 =
𝑅0° + 2𝑅45° + 𝑅90°
4
∆𝑅 =
𝑅0° − 2𝑅45° + 𝑅90°
2
𝜎𝑒𝑓 =
1
2
𝜎1 − 𝜎2
2 + 𝜎2 − 𝜎3
2 + 𝜎1 − 𝜎3
2
𝜀𝑒𝑓 =
2
3
𝜀1
2 + 𝜀2
2 + 𝜀3
2
𝜎𝑚 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧
3
𝑑𝜀i =
𝑑𝜀𝑒𝑓
𝜎𝑒𝑓
𝜎i −
1
2
𝜎j +𝜎k 𝜀i =
𝜀𝑒𝑓
𝜎𝑒𝑓
𝜎i −
1
2
𝜎j +𝜎k 𝐹 = 𝜀𝑢 ∙ 𝑅 ∙ 𝑛 ∙
𝑆𝐿𝑅
𝑆𝐿𝐸
∙
1
2𝜆
 
 
 
WILLY ANK DE MORAIS 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DOS PROCESSOS 
DE CONFORMAÇÃO 
 
 
Volume 1 – Fundamentos 
Matemáticos-Mecânicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Vicente 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha catalográfica / Cataloguing card 
 
 
Morais, Willy Ank de 
Análise dos processos de conformação: volume 1 – fundamentos 
matemáticos-mecânicos / Willy Ank de Morais – São Vicente: WILLY 
ANK - Soluções para o Setor Metal-Mecânico, 2018, 91 p. 
ISBN 978-85-94420-02-2. 
 
1. Conformação 2. Metais 3. Processamento de Metais 
4. Produtos Metálicos 5. Comportamento Mecânico. 6. Análise de Tensões. 
I. Morais, Willy Ank de II. Título 
 
 CDD 671.3 
 
ISBN: 978-85-94420-02-2 
 
 
Direitos exclusivos desta edição reservados à WILLY ANK - Soluções para o 
Setor Metal-Mecânico 
 
Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida ou transmitida por meio eletrônico, 
mecânico, fotográfico, gravação ou quaisquer outros, sem a prévia autorização 
por escrito da WILLY ANK - SERVICOS DE APOIO ADMINISTRATIVO 
PARA O SETOR METAL-MECANICO EIRELI – ME. 
 
Este livro foi impresso na FM Impressos Personalizados Ltda. - CNPJ 13.555.994/0001-54 
 
 
 
 
WILLY ANK - SERVICOS DE APOIO ADMINISTRATIVO PARA O SETOR METAL-MECANICO EIRELI – ME 
Rua Onze de Junho, 316 A.102 – Itararé – 11.320-160 – São Vicente/SP 
Tel. +55-11-9.8201-2432 | +55-11-9.9660-2132 www.willyanksolucoes.com 
 
 
 
 
ANÁLISE DOS PROCESSOS 
DE CONFORMAÇÃO 
Volume 1 - Fundamentos 
Matemáticos-Mecânicos 
 
 
Willy Ank de Morais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Vicente 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na capa: alguns elementos empregados para a definição de estado de tensões visando o 
emprego na análise de processo de conformação mecânica em termos de sua capacidade 
e eficácia em impor uma deformação plástica. 
 
 
v 
PREFÁCIO 
Os processos de conformação plástica fazem parte da nossa tecnologia e do uso dos materiais, 
especialmente dos metais. Não é possível conceber um produto sem que a maioria das suas partes sofram 
alterações plásticas devido à aplicação de esforços mecânicos. Para isso é necessário conhecimento para 
executar eficientemente tais processos, reduzindo perdas materiais e de tempo, assim como aproveitando 
melhor as características dos materiais e equipamentos envolvidos. 
Os profissionais de Engenharia é são cada vez mais solicitados para atuarem de forma eficiente, promovendo 
o máximo de resultados, com o cada vez menos tempo e recursos disponíveis. Por isso, torna-se estratégico 
a capacidade de se estudar e analisar os processos de conformação plástica, com sólidas bases matemático-
mecânicas, de forma a ser possível que os(as) Engenheiros(as) possam propor conscientemente 
modificações, ajustes e melhorias em tais processos de forma a estes se adequarem e atenderem 
eficientemente às diferentes demanda dos dias de hoje. 
Foi com este objetivo que foi criada a série “Análise dos Processos de Conformação”, que contará com 7 
volumes, cada um dos quais abordará aspectos relevantes da Engenharia da Conformação em função do 
enfoque de cada volume, a saber: 
 Vol. 1 - Fundamentos matemáticos-mecânicos 
 Vol. 2 - Variáveis metalúrgicas Vol. 3 - Métodos analíticos 
 Vol. 4 - Processo de dobramento 
 Vol. 5 - Processo de trefilação 
 Vol. 6 - Processo de laminação 
 Vol. 7 - Outros processos 
Muitas das publicações existentes na língua portuguesa não abordam os processos de conformação plástica 
analiticamente e sim sob o ponto de vista descritivo ou oferecendo soluções empíricas. A série que ora se 
inicia por este volume objetiva justamente preencher este vazio, oferecendo aos seus leitores e usuários o 
ferramental necessário para compreender as operações de conformação no seu contexto mecânico e as 
relações destas com as propriedades dos materiais envolvidos. 
É importante deixar registrado que tal obra não seria possível sem o longo intercâmbio com os alunos da 
disciplina "Processos de Conformação dos Metais", da Universidade Santa Cecília – Unisanta. A participação 
e envolvimento de muitos destes, com a apresentação de dúvidas, questionamentos e curiosidades, 
impulsionaram o desenvolvimento de notas de aula que foram exaustivamente empregadas nesta disciplina 
ao longo dos últimos 15 anos até culminar com o aperfeiçoamento da atual publicação. 
Agradecimentos também devem ser dispensados ao Sr. Flávio Sargon da Engenharia Sigma que nos auxiliou 
no fornecimento de um estudo de caso de conformação via software Autoform® e que foi empregado para 
ilustrar o efeito dos parâmetros plásticos na conformabilidade de chapas de aço. Finalmente, o autor 
também gostaria de deixar um agradecimento especial ao apoio dado pelas colegas Ana Maria Racioppi 
Silveira, Coordenadora Geral do SIBi e Luciana Siqueira Alvarenga, Auxiliar de Biblioteca do SIBi Unisanta, 
que auxiliaram na formatação final e codificação deste livro. 
 
Santos, 13 de março de 2018. 
Prof. Willy Ank de Morais 
 
 
vi 
 
AUTOR 
Prof. Willy Ank de Morais 
Possui graduação em Engenharia Metalúrgica pela Universidade Federal de Ouro Preto (1995) e mestrado 
em Engenharia Materiais e de Processos Químicos e Metalúrgicos pela Pontifícia Universidade Católica do 
Rio de Janeiro (1999). 
Atualmente é Professor Adjunto da Universidade Santa Cecília; Professor mestre 1 da Universidade de 
Ribeirão Preto; instrutor de treinamentos do Instituto Nacional dos Distribuidores de Aço (INDA); 
coordenador geral do ENEMET, de cursos e de tema no Congresso na Associação Brasileira de Metalurgia, 
Materiais e Mineração além de vice-diretor de Ensino na ABM; Diretor Executivo e Consultor Técnico Sênior 
da WILLY ANK - Soluções para o Setor Metal-Mecânico. 
Tem experiência na área de Engenharia de Materiais e Metalúrgica, com ênfase em Propriedades Mecânicas 
dos Metais e Ligas, atuando principalmente nos seguintes temas: propriedades mecânicas, fadiga, fratura, 
soldagem e aço. 
Leciona a disciplina “Processos de Conformação dos Metais” para o curso de graduação em Engenharia 
Mecânica na Universidade Santa Cecília- UNISANTA desde março de 2003. 
 
 
 
vii 
 
SUMÁRIO 
PREFÁCIO ...................................................................................................... v 
 
AUTOR ........................................................................................................... vi 
 
VOLUME UM: FUNDAMENTOS .................................................................... 1 
1.1 Introdução ............................................................................................ 1 
1.2 Conceito de Tensão ............................................................................. 1 
1.3 Representação Matemática de um Estado de Tensões ...................... 6 
1.3.1 Tensões Principais ............................................................................ 6 
1.3.2 Componente Tensorial Hidrostático (esférico) e Desviatório 
(octaédrico) ...................................................................................... 8 
1.4 Círculo de Mohr.................................................................................... 8 
1.5 Conceito de Deformação ................................................................... 11 
1.5.1 Caráter Infinitesimal da Deformação................................................14 
1.6 Relações entre Tensão e Deformação no Regime Elástico .............. 16 
1.6.1 Deformação Volumétrica .................................................................18 
1.7 Implicações do Ensaio de Tração ...................................................... 20 
1.7.1 Parâmetros Elásticos e de Escoamento ..........................................21 
1.7.1.1 Módulo de Elasticidade (Módulo de Young), E .............................. 21 
1.7.1.2 Coeficiente de Poisson,  .............................................................. 21 
1.7.1.3 Módulo de Elasticidade Transversal (Módulo de Cisalhamento), G . 22 
1.7.1.4 Limite de Escoamento, SLE ............................................................ 22 
1.7.2 Parâmetros Plásticos .......................................................................23 
1.7.2.1 Tensão e Deformação de Engenharia (S×e) e Reais (×) ........... 24 
1.7.2.2 Relações tensão-deformação no regime plástico .......................... 30 
1.7.2.3 Expoente de encruamento (n) e Constante Plástica de Resistência 
(K) .............................................................................................. 32 
1.7.2.4 Coeficiente de anisotropia (R) ....................................................... 39 
1.8 Critérios de Escoamento .................................................................... 43 
 
 
 
viii 
 
 
 
1.8.1 Critério de máxima tensão normal (Rankine) ...................................43 
1.8.2 Critério de máxima tensão cisalhante (Tresca) ................................43 
1.8.3 Critério de máxima energia de deformação (von Mises) ..................44 
1.8.4 Tensão e Deformação efetivas ........................................................47 
1.9 Cálculos entre Tensão e Deformação no Regime Plástico ............... 49 
1.10 Limite Máximo de Deformação ........................................................ 52 
1.10.1 Conformabilidade ...........................................................................53 
1.10.1.1 Estudo de Caso de Estampagem – Engenharia Sigma ...54 
1.10.2 Curva Limite de Conformação (CLC) .............................................56 
1.11 Referências ...................................................................................... 61 
1.12 Exercícios de Fixação do Conteúdo ................................................ 63 
1.12.1 Questões Gerais Resolvidas .........................................................63 
1.12.2 Questões Empregadas em Avaliações (não resolvidas) ................70 
1.12.2.1 Questões da Avaliação de 29/03/2003 ........................................ 70 
1.12.2.2 Questões da Avaliação de 04/10/2003 ........................................ 71 
1.12.2.3 Questões da Avaliação de 31/03/2004 ........................................ 73 
1.12.2.4 Questões da Avaliação de 29/09/2004 e 30/09/2004 .................. 74 
1.12.2.5 Questões da Avaliação de 06/04/2005 ........................................ 76 
1.12.2.6 Questões da Avaliação de 28/09/2005 ........................................ 78 
1.12.2.7 Questões da Avaliação de 29/03/2006 ........................................ 79 
1.12.2.8 Questões da Avaliação de 28/03/2007 ........................................ 80 
1.12.2.9 Questões da Avaliação de 21/09/2011 ........................................ 81 
1.12.2.10 Questões da Avaliação de 28/03/2013 ...................................... 81 
1.12.2.11 Questões da Avaliação de 28/03/2014 e 03/04/2014................. 82 
1.12.2.12 Questões da Avaliação de 30/10/20117 .................................... 83 
1.12.3 Ouras Questões (não resolvidas) ..................................................84 
 
ÍNDICE REMISSIVO ..................................................................................... 89ix 
 
GLOSSÁRIO DOS SÍMBOLOS 
Letras Latinas 
a´, b´, n´ - Constantes plásticas da Equação de Voce. 
A0 - Área inicial antes do início de um processo de deformação plástica. 
AL0 e L0 - área e comprimento de referência inicial de um CP de dimensões não proporcionais. 
ALE - Área no limite de escoamento, valor da área de um corpo de prova de tração durante o início do 
processo de deformação plástica macroscópica. 
AlongL0 - alongamento convencional, obtido de um corpo de prova (CP) cuja área inicial (A0) e comprimento 
de referência inicial (L0) não estão inter-relacionados e, portanto, geram uma dependência dos valores de 
alongamento obtidos com o tamanho do CP. 
AlongProp - alongamento proporcional, obtido de um corpo de prova (CP) que possui uma área inicial (A0) e 
um comprimento de referência inicial (L0) definidos conforme uma relação de proporcionalidade entre estes 
(L0 = 5,65A0) de forma que os valores obtidos passam a serem independentes do tamanho do CP. 
CP - Sigla para corpo de prova, empregado para determinar propriedades conforme um ensaio. Tipicamente 
empregado para designar uma amostra metálica (de geometria prismática ou cilíndrica) que está sendo 
testada através de um ensaio de tração. 
cXY - Critério de escoamento devido ao autor(es) indicado(s) pelas iniciais XY, exemplo: cT  Tresca; cVM 
 Von Mises; cCMM  Coulomb-Mohr Modificado. 
DP - Estado plano de deformações ou de tensão triaxial (Z0 ; xz=zx0 e yz=zy0), geralmente encontrado 
em materiais espessos, com carregamentos complexos ou com tensões residuais. 
E - Módulo de Young. Outros nomes: módulo de elasticidade longitudinal, módulo de rigidez (longitudinal). 
Ei - Módulo secante da i-ésima parcela linear de uma curva tensão-deformação plástica. 
ei ou ex, ey, ez - Deformação linear normal padrão (de Engenharia) ao longo do eixo i (x, y ou z). 
FLE - Força no limite de escoamento, valor da carga aplicada no ensaio de tração na qual ocorre o início do 
processo de deformação plástica macroscópica. 
G - Módulo de rigidez por cisalhamento. Outros nomes: módulo de elasticidade transversal, módulo 
transversal, módulo de cisalhamento, módulo de rigidez (transversal) ou módulo de torção. 
I1, I2 e I3 - Invariantes de tensão, que são constantes associadas ao estado de tensão representado por um 
tensor de tensões genérico ou pelo seu tensor principal. 
L0 , A0 e V0 - Comprimento, área e volume inicias de um corpo de prova ou de um material a sofrer 
conformação plástica. 
Lf , Af e Vf - Comprimento, área e volume finais de um corpo de prova ou de um material após conformação 
plástica. 
Li , Ai e Vi - Comprimento, área e volume atuais de um corpo de prova ou de um material sob conformação 
plástica. 
 
 
 
x 
 
 
 
 
K - Constante plástica de resistência do material, representando o nível de resistência mecânica que pode 
ser obtido após encruamento ou limite de escoamento obtido após encruamento por uma deformação 
unitária (=1). 
K e n - Constantes plásticas da Equação de Hollomon. 
K* e n* - Constantes plásticas da Equação de Ramberg e Osgood. 
K’ e n’ - Constantes plásticas da Equação de Swift. 
K° e n° - Constantes plásticas da Equação de Ludwig. 
n - Expoente de encruamento, representa a taxa de incremento da resistência pelo efeito da deformação 
plástica (encruamento). 
R - Coeficiente de anisotropia ou de Lankford, quantifica a capacidade de deformação plástica na área de 
um material plano em relação à deformação em sua espessura. É um parâmetro direcional, sendo medido 
conforme uma orientação conhecida, tipicamente associada à deformação por laminação de uma chapa. 
𝐑 - Coeficiente de anisotropia normal, capacidade que o material tem de resistir à deformação ao longo da 
espessura. 
RA - Sigla para redução de área empregada para determinar a variação relativa da área final de um CP em 
relação à sua área inicial. Tipicamente empregada para ensaios de tração. 
R - Coeficiente de anisotropia ou de Lankford na direção  em relação à direção de processamento do 
material (laminação). 
SLE - Tensão limite de escoamento, valor de tensão que caracteriza o início do processo de deformação 
plástica macroscópica. 
SLE/SLR - Razão elástica, está ligada diretamente à capacidade de deformação plástica de um material dúctil. 
SLR - Tensão limite de resistência, valor de tensão, baseada na área inicial de um CP de tração, que caracteriza 
a máxima força que pode ser aplicada sob tração antes que a instabilidade plástica (estrição), reduza o nível 
de carga suportado pelo CP de tração. 
T - Temperatura. 
TP - Estado plano de tensões ou de tensão plana (Z=0 e xz=zx=yz=zy=0), geralmente encontrado em chapas 
finas. 
u, v e w - Variações dimensionais nas direções X, Y e Z, respectivamente. 
U0 - Energia de deformação elástica total por unidade de área. 
XYZ - Sistema de referência ortogonal qualquer. 
XYZ* - Sistema de referência ortogonal principal (no qual os componentes cisalhantes são nulos). 
 
 
 
xi 
 
 
Letras Gregas 
 - Coeficiente de dilatação térmica linear. 
L - Variação em uma dimensão linear em relação ao seu comprimento original. 
R - Coeficiente de anisotropia planar, indica o grau de alteração do grau de resistência à deformação ao 
longo da espessura ao se comparar as direções ortogonais e a 45° da direção de processamento do material 
(laminação). 
̇ - Taxa de deformação. 
e - Parcela elástica da deformação real. 
f - Deformação final ou deformação real de fratura de um corpo de prova de tração na região de estricção. 
Fmáx - Deformação máxima uniforme que pode ser obtida pela conformação por tração, que neste caso 
ocorre no valor da carga máxima (Fmáx) registrada neste ensaio. 
p - Parcela plástica da deformação real. 
u - Deformação máxima uniforme que pode ser obtida em um processo de conformação, geralmente 
quando este pode apresentar instabilidade plástica, como no caso do ensaio de tração. 
ij - Deformação cisalhante macroscópica contida no plano perpendicular ao eixo i (x, y ou z) e paralela ao 
eixo j (x, y ou z), valor tipicamente empregado para determinar G através de  = G. 
 - Parâmetro da Equação de Fonstein que quantifica a dificuldade de uma peça ser obtenível por um 
processo de conformação, normalmente estampagem. 
 - Coeficiente de Poisson, relação entre a deformação no sentido transversal pela deformação introduzida 
em uma determinada direção. No regime elástico os valores ficam geralmente entre 0,20 e 0,35. No regime 
plástico generalizado para materiais isotrópicos o coeficiente vale 0,50. 
Cor - Tensão real de fratura de um ensaio de tração corrigida pela expressão de Bridgman para considerar a 
alteração do campo de tensões devido à presença de estricção. 
f - Tensão real de fratura ou tensão real final de um material após encruamento por deformação plástica. 
x, y e z - Componentes de tensão normais genéricas ou gerais (sub índices em minúsculo). 
X, Y e Z - Componentes de tensão normais principais (sub índices em maiúsculo). 
1  2  3 - Componentes de tensão normais principais como empregados nos cálculos. 
xy, yx, xz, zx, yz e zy - Componentes de tensão cisalhantes genéricas (gerais, não principais). 
 
 
 
xii 
 
 
70 
1.12.2 Questões Empregadas em Avaliações (não resolvidas) 
1.12.2.1 Questões da Avaliação de 29/03/2003Questões da Avaliação de 29/03/2003Questões da Avaliação de 29/03/2003Questões da Avaliação de 29/03/2003 
1) Analise as seguintes afirmações e ofereça um parecer sobre cada uma 
a) Um material que apresenta 30% de alongamento em um ensaio de tração normal poderia ser 
conformado plasticamente a 40%, porquê ? 
b) Seria esperado que as tensões e deformações sejam homogêneas sobre os materiais e/ou 
componentes sob carregamento mecânico ? Dê um exemplo para ilustrar a resposta. 
c) Em um ensaio de tração normal de um metal dúctil, existirá uma região onde a deformação 
plástica é mais intensa ? Caso exista uma deformaçãoplástica localizada, qual seria o seu efeito 
sobre a curva tensão versus deformação em um ensaio de tração ? 
d) É possível representar com dois círculos de Mohr um único estado de tensões ? Desenhe um 
círculo de Mohr para um ensaio de tração no momento em que se aplica uma tensão de 150 MPa. 
e) Como pode ser representado ou descrito (numericamente, graficamente ou textualmente) um 
estado de tensões ? 
f) Qual a diferença entre a componente hidrostática e a componente desviadora de um estado de 
tensões ? 
 
2) Qual dos estados de tensão a seguir seria àquele que induziria mais facilmente a deformação plástica em 
um metal ? Explique o porquê. 
FX > 0 e FX = 2FY=2FZ (FY=FZ) FX < 0 e FY=FZ=0 FX > 0 e FY=FZ=- FX/2 
Obs.: Na representação em escala do círculo de Mohr do estado o valor de FX tem módulo constante em 
todos os casos. 
 
3) Imagine que a sua empresa necessita comprar uma máquina para conformar barras chatas e existem dois 
fornecedores deste equipamento no mercado. O fornecedor X fabrica uma máquina que puxa o material 
através de uma matriz por meio de um esforço de tração. O fabricante Y fornece um equipamento que possui 
um dispositivo que induz um esforço de compressão no molde, além do esforço de tração. É necessário 
escolher o equipamento que precise trabalhar com menores níveis de tensão, qual seria a escolha correta ? 
Faça um laudo argumentando tal escolha. 
 
4) Dados os seguintes estados de tensão, pede-se: 
a) qual dos estados é estado plano de tensões ? 
b) Utilizar a equação dada para calcular a condição de escoamento do estado para um aço que 
apresente 250 MPa de SLE. Qual destes estados é plano ? 
c) É possível afirmar qual seria o estado onde é mais fácil provocar deformação plástica: estado 
plano de tensões ou não plano ? 
d) Se fosse acrescentado um componente de cisalhamento de 60 MPa ao estado 3, isto auxiliaria o 
escoamento ? Calcule. 
 
71 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 21222222 6
2
1
XZYZXYXZZYYX τττσσσσσσ +++−+−+− 
10000
02000
000
−
 
15000
0500
00100
−
−
 
15000
01000
00100−
 
(estado 1) (estado 2) (estado 3) 
 
1.12.1.12.1.12.1.12.2.22.22.22.2 Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de 00004/10/20034/10/20034/10/20034/10/2003 
5) A respeito da Figura B.1, considere que o material seja aço, que ε1+ε2+ε3=e1+e2+e3=0, e que ε2=ε3 ou e2=e3. 
 
 
 
Figura B.1. Aspecto de um CP de tração antes e após o ensaio. A direção 1 é no sentido longitudinal, a direção 2 é no 
sentido transversal e a direção 3 no sentido da espessura do CP. As escalas mostradas estão em milímetros. 
 
 
72 
Agora responda às seguintes questões: 
a) Faça um gráfico (curva) dos valores das deformações reais e de engenharia ao longo do CP. Qual 
seria o gráfico mais representativo da capacidade de deformação plástica do material ? 
b) Qual seria, aparentemente, a maior deformação plástica imposta no material que este poderia 
suportar, de acordo com os dados deste ensaio ? (εef = ε1) 
c) Se o material estivesse encruado com 5% de deformação plástica (por meio de um ensaio de 
tração exatamente igual ao realizado), qual seria o efeito desta deformação nas propriedades do 
material e, especialmente, nos gráficos ? 
d) Qual seria o efeito de se aumentar a taxa de deformação do ensaio na temperatura ambiente ? 
E se o ensaio fosse realizado a maiores temperaturas, qual seria o efeito esperado nas 
propriedades obtidas (faça um gráfico) ? 
 
6) O quadro mostra valores de tensões principais σ1, σ2 e σ3 em MPa para quatro estados de tensão. 
Estado σ1 σ2 σ3 SLE = 200 MPa SLE = 290 MPa 
1 200 -125 -85 
2 200 125 -85 
3 200 125 85 
4 200 125 0 
 Tresca Von Mises Tresca Von Mises 
 
a) Para cada caso, calcule a valor de tensões obtido pelo critério de Tresca e de von Mises. Nas duas 
últimas colunas são mostrados dois valores de limite de escoamento (em MPa) preencha os 
campos indicando se o material que apresenta tais limites deverá escoa ou não. 
b) Trace o círculo de Mohr de cada um dos quatro estados de tensão da tabela. Quais seria a 
principal correlação geométrica dos círculos com os dados da tabela que foi competada ? 
c) Pelos dados e pelos círculos traçados, quais seriam os componentes de tensão mais importantes 
no que diz respeito à deformação plástica de um material (normais ou cisalhantes) ? Porquê ? 
 
7) Considere a Figura B.2, na qual cada círculo tinha um diâmetro inicial de 2 mm (note que em algumas 
regiões os círculos não foram alterados) e que ε1+ε2+ε3=0 / ε1=ε2 / ε3=-(ε1+ε2). Agora responda: 
a) Apesar de não estar mostrado na figura (o detalhe foi apagado digitalmente na própria figura), 
sabe-se que ocorreu uma trinca (dúctil) no material, trinca essa oriunda do esforço de 
conformação. Esta trinca tem, aproximadamente, 30mm (ou 3cm). Pede-se ao leitor explicar qual 
seria a mais provável localização desta trinca e desenhá-la na figura. 
b) Qual seria, aproximadamente, a deformação do material na região de fratura ? Faça uma 
comparação desta deformação com àquela que foi obtida no item (7a). Seria justo comparar estes 
dois valores máximos de deformação (seriam iguais ou compatíveis) ? Qual seria a 
correspondência entre estas deformações. 
c) Analise para quais dos aços ilustrados pelas suas respectivas curvas limite de conformação (CLCs), 
apresentados pela Fig. 1.44 e Fig. 1.45, que o processo de conformação evidenciado pela Fig. B.2 
poderia ser executado e para qual não ? Descreva também o nível de criticidade desta operação 
de conformação em relação aos dados disponíveis na Fig. 1.44 e Fig. 1.45. 
 
73 
Figura B.2. Mosaico de deformações em uma peça estampada constituída de aço dúctil de baixa espessura. 
 
1.12.1.12.1.12.1.12.2.32.32.32.3 Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de 31313131////00003/20043/20043/20043/2004 
8) Considere que esteja (muito bem) empregado(a) em uma empresa metalúrgica multinacional. Dentre as 
suas várias atribuições gerenciais está a resposta de perguntas de internauta (enviadas via um sistema de 
“Fale Conosco”). Assim sendo, pede-se que o Sr.(Srta.) responda hoje a pelo menos às questões abaixo: 
a) “Trabalho em uma estamparia e gostaria de saber para que serve e como utilizar a equação de 
Ludiwik. Tenho urgência, obrigado.” 
b) “Boa noite ! Estou fazendo um trabalho e preciso saber o que é encruamento e qual a relação do 
limite de escoamento com este.” 
c) “É verdade que as tensões normais são mais importantes que as de cisalhamento na conformação 
plástica dos metais ?” 
d) “Boa noite ! Sou aluno de graduação em Engª Mecª e preciso saber para que serve o expoente 
de encruamento (n) ?” 
e) “Bom dia ! Sou gerente da Alusan S/A e gostaria de saber se uma liga de alumínio que apresenta 
50% de alongamento em um ensaio de tração ASTM E8M vai poder ser reduzida em qual 
percentual na laminação que gerencio ?” 
9) A Tabela B.1 ilustra resultados práticos obtidos pelo prof. em ensaios de tração instrumentados. Utilizando 
estes dados reais, pede-se: 
a) Complete os campos vazios da tabela (a não ser àqueles marcados com “–“), utilize as equações 
necessárias. 
b) Na sua opinião, que tipo de processo produziria a diferença entra as duas amostras do aço LQ1 ? 
Justifique. 
c) Seria o mesmo tipo de processo que produziria a diferença entre as amostras LQ2 ? Com a mesma 
intensidade ? Justifique. 
d) Esquematize um gráfico da variação da ductilidade com a resistência mecânica. 
 
74 
e) Caso fosse necessário apontar o material mais resistente qual seria este ? Justifique. E o material 
mais dúctil ? Justifique. 
f) Idem o material que apresentasse um processo de deformação plástica mais homogêneo qual 
seria este ? Justifique. 
g) Discuta a possibilidade de se obter um material (aço) ao mesmo tempo resistente e dúctil. 
 
Tabela B.1. Dados experimentais coletadospelo autor para serem completados e discutidos. 
 
Todos os materiais foram testados segundo a norma NBR 8164, portanto os CP´s possuem uma largura de 12,5mm. 
 
1.12.1.12.1.12.1.12.2.42.42.42.4 Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de 29292929////00009999/2004/2004/2004/2004 e de 30/09/2004e de 30/09/2004e de 30/09/2004e de 30/09/2004 
10) As matrizes abaixo representam os tensores de tensão genéricos de estados de tensão: 










−
0100
101000
00100
(a) 










−−
−−
115100
105010
010200
(b) 










000
0100100
0100100
(c) 










−
−
−
2500
0250
0025
(d) 










606060
606060
606060
(e) 
d) Calcule as respectivas componentes hidrostáticas e desviatórias de cada caso. 
e) É possível um tensor de tensão puramente hidrostático ? Se sim, dê um exemplo de um tensor 
puramente hidrostático e o seu respectivo círculo de Mohr. 
f) É possível um tensor de tensão puramente desviatório ? Se sim, dê um exemplo de um tensor 
puramente desviatório e o seu respectivo círculo de Mohr. 
g) Qual é a implicação da quantidade de tensões desviatórias presentes em um processo de 
conformação mecânica ? Explique. 
11) Considerando válida a lei de Hooke em uma barra prismática de 10 x 10 mm de um aço, que está sendo 
tracionada uniaxialmente e cujas propriedades estão descritas a seguir: 
a) Qual seria a máxima redução de área (em %) devido à deformação elástica que esta barra 
apresentaria ? 
b) Qual seria esta máxima redução de área (em %) nestas mesmas condições caso a barra fosse da 
liga de alumínio AA2024-O, cujas propriedades também estão descritas a seguir ? 
Material Condição 
e LE LR εunif Along n 
K 
(MPa) 
Direção R Rm ∆R 
(mm) a 90o (MPa) (%) 
L0=50
mm 
Prop. a 90o 
LQ1 
 
2,0 
314 420 17,7 39 49 0,189 687 – – – – 
 365 434 11 30 – 0,127 636 – – – – 
LQ2 
 
5,0 
455 511 15,4 31 – 0,155 794 – – – – 
 578 648 4,7 15 – 0,071 842 – – – – 
LQ3 
“Como 
laminado” 
(recozido) 
4,8 627 693 10,5 22 0,109 983 – – – – 
LQ4 2,0 267 353 19,7 41 – 0,192 593 
0o 0,838 
 0,00745o 0,838 
90o 0,852 
LF1 0,7 153 318 23,7 47 – 0,243 571 
0o 1,592 
1,717 45o 1,605 
90o 2,067 
LF2 0,8 190 306 21,2 – 71 0,212 526 
0o 1,891 
 0,502 45o 1,554 
90o 2,222 
LF3 0,9 181 318 21,2 – 65 0,226 559 
0o 1,679 
1,636 45o 1,434 
90o 2,063 
 
 
75 
c) Na sua opinião, a deformação elástica nos metais é importante em relação à deformação total ? 
Por quê ? 
d) Estime a diferença entre a tensão real e a de engenharia para estas condições ? 
Aço: E=200GPa; ν=0,33; σys = 150MPa (aço IF – “Intersticial Free”) 
Alumínio: E=72GPa; ν=0,31; σys = 76MPa (liga AA2024-O) 
12) Observe as curvas tensão x deformação (ambas de engenharia), reproduzidas na Figura B.3 e considere: 
• que tais curvas foram obtidas em ensaios práticos de tração, realizados pelo presente autor em 
CP´s retirados de chapas de três tipos de aços para conformação (A, B, C); 
• já estão calculados e mostrados os parâmetros da equação de Hollomon para os três materiais 
testados; 
• pode-se considerar que as curvas são precisas (estas foram traçadas com base em 900 pontos, em 
média), assim sendo, é plausível que o alongamento do CP seja representado pelo último ponto da 
curva (neste caso valeria 41,2% para o aço A; 45,1% para o aço B e 49,1% para o aço C); 
• a espessura dos CP´s foram: 12,5mm para o aço A; 4,5mm para o aço B e 0,7mm para o aço C. 
a) Na sua opinião, qual seria o aço que deve apresentar maior capacidade de deformação plástica ? 
Justifique. 
b) Qual seria a diferença real entre os alongamentos do aço A e C ? Calcule pela equação de Oliver 
(norma ISO 2566/1). 
c) É possível aplicar, em um processo de conformação uma deformação efetiva e real de 50% nestes 
materiais ? Justifique. 
d) Calcule qual seria o valor da tensão real para os três aços com 10% de deformação plástica de 
engenharia ? 
e) O cálculo anterior poderia ser feito para todos os aços com 25% de deformação plástica de 
engenharia ? Por quê ? 
13) Considerando válida a equação de Hollomon e os dados dos três aços da questão anterior, calcule: 
a) Qual das três curvas (ou três aços) poderia ser melhor descrito pela equação de Hollomon ? E 
qual apresentaria maiores dificuldades ? 
b) Qual seria o limite de escoamento apresentado pelos três aços com 10% de deformação plástica 
de engenharia ? 
c) Indique se os aços (todos os três) deverão escoar ou não para os estados de tensão listados na 
questão 1 (utilize o critério de von Mises para tensores de tensão genéricos transcrito abaixo). 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 21222222 6
2
1
XZYZXYXZZYYX τττσσσσσσ +++−+−+− ≥ SLE 
14) Opine sobre os assuntos a seguir: 
a) É possível ter um método de conformação mecânica que aplique esforços homogêneos e que 
produza deformações bem distribuídas no material a ser conformado ? 
b) Qual a diferença entre tesão verdadeira (σ) e de engenharia (S) ? 
c) O que é tensão efetiva (σef) ? 
d) O que é a equação de Hollomon descreve ? (Eq. de Hollomon: σ = K·εn) 
 
 
 
76 
 
Figura B.3. Curvas Tensão-deformação e seus parâmetros plásticos associados. 
15) Estime a deformação que deveria ser imposta aos metais abaixo listados para se obter 50% de 
incremento no limite de escoamento (utilize a equação Hollomon σ = K·εn). Integre a equação de Hollomon 
em um 
a) Aço SAE J403 1010: n=0,195; K=720MPa e SLE =325 MPa. 
b) Aço SAE J403 1035: n=0,17; K=902MPa e SLE =370 MPa. 
c) Aço NBR 6656 LNE38: n=0,151; K=791MPa e SLE =457 MPa. 
d) Liga de alumínio 2024-T4: n=0,20; K=806 e SLE =303 MPa. 
e) Liga de magnésio AZ91C-T6: n=0,282; K=653 e SLE =40 MPa. 
 
1.12.1.12.1.12.1.12.2.52.52.52.5 Questões da AvQuestões da AvQuestões da AvQuestões da Avaliação de aliação de aliação de aliação de 06/04/200506/04/200506/04/200506/04/2005 
16) As matrizes abaixo representam os tensores de tensão genéricos de estados de tensão: 










−
0600
603000
00300 
(a) 










−−
−−
15100
105010
010200 
(b) 










000
0400100
0100400 
(c) 










−
−
−
2500
05000
00500 
(d) 










8006060
6080060
6060800 
(e) 
a) Calcule os componentes hidrostático e desviatório de cada um destes estados de tensão 
(matrizes de tensão ou tensores) 
b) Existe algum estado puramente desviatório ou puramente hidrostático nos casos acima ? Quais 
seriam ? 
c) Qual é o significado do componente hidrostático e desviatório ? Qual é a relevância destes para 
o estudo da deformação plástica dos metais ? 
d) Analisando os dados calculados, qual seria o estado (dentre os cinco listados) que mais facilmente 
induziria deformação plástica em um metal ? 
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
Deformação de engenharia, %
T
e
n
s
ã
o
 d
e
 E
n
g
e
n
h
a
ri
a
, 
M
P
a aço A
n = 0,22;
K = 758MPa
aço B
n = 0,21
K = 526MPa
aço C
n = 0,26 ; K = 600MPa
 
77 
17) O Quadro B.1 ilustra as características mecânicas de aços laminados a quente, sendo que o aço “LQ1” e 
“LQ2” apresentam-se em duas condições diferentes (veja as diferenças nas propriedades mecânicas). 
Quadro B.1. Dados experimentais coletados oriundos de ensaios de tração com chapas de aço (MORAIS, 2004). 
 
** - Resultado de alongamento que independe da espessura ou base de medida do CP. 
a) Qual seria o material que deveria apresentar melhor desempenho durante uma operação de 
conformação mecânica em sua opinião e por que ? Explique. 
b) Dos estados de tensão (a), (c) e (d) da questão anterior, quais seriam àqueles que produziriam 
deformação plástica no material #3 (primeira amostra do aço “LQ2”) ? Obs.: Utilize o critério de 
escoamento de Von Mises. 
c) As amostras #1 e #2 do aço “LQ1” e #3 e #4 do aço “LQ2” são do mesmo aço (composição 
química), porém apresentampropriedades diferentes. Que processo poderia provocar esta 
diferença ? Por que ? O grau de intensidade que este processo atuou seria o mesmo para os dois 
aços ? 
18) O gráfico da Figura B.4 ilustra uma curva de tração de engenharia e sua respectiva versão real, obtidas 
para o mesmo CP de tração. Explique como estas curvas são produzidas e qual a importância da curva real. 
19) Os círculos de Mohr abaixo estão representando o estado de tensões em um elemento de volume 
representativo de três processos de conformação plástica. 
 
Forjamento 
(Compressão direta) 
Trefilação 
(Compressão indireta) 
Estiramento 
(Tração) 
 
Na sua opinião, qual é o processo que mais eficientemente traduz a força aplicada em deformação plástica, 
considerando que estes círculos foram obtidos para cada processo com o mesmo nível de carregamento 
mecânico (força aplicada). 
 
78 
 
Figura B.4. Curvas Tensão-deformação real e de engenharia do aço SAEO J403 1020, versão em inglês de Dowling (2018). 
 
1.12.1.12.1.12.1.12.2.62.62.62.6 Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de 28/09/200528/09/200528/09/200528/09/2005 
20) Responda DESCRITIVAMENTE (ou seja, demonstre que sabe o que está respondendo) aos itens a seguir 
colocados: 
a) É possível ter, em um material, diferentes estados de tensão em diferentes regiões ao mesmo 
tempo ? 
b) Como um círculo de Mohr pode auxiliar na representação de um estado de tensão e na análise 
de um processo de conformação plástica ? 
c) Um ensaio de tração é um dos ensaios mais utilizados para a caracterização de materiais, inclusive 
para conformação plástica. Existe alguma limitação na utilização dos resultados deste ensaio ? 
d) Qual liga de alumínio apresenta maior capacidade de deformação plástica: a que apresenta um 
alongamento total em tração de 35% (com base L0 = 50mm) ou àquela que apresente um 
alongamento total de 30% (com base L0 = 80mm). Considere as demais dimensões do CP iguais 
(por exemplo, área da seção reta)? 
21) Responda aos itens a seguir por meio do resultado de cálculos simples, EXPLICANDO como este cálculo 
foi feito e/ou os resultados obtidos a partir destes: 
a) É possível obter um esforço de resistência de 530 MPa durante a conformação plástica (por 
exemplo, a laminação), de um material que apresenta 450 MPa de limite de resistência (com 
∆L/L0 = 18%) obtido em um ensaio de tração? 
b) O valor de alongamento de engenharia (por exemplo, e= ∆L/L0 = 18%) medido na carga máxima 
durante um ensaio de tração valeria quanto realmente ? Este valor encontra-se próximo da 
capacidade de deformação plástica do material em um processo de conformação plástica na 
prática ? 
c) Qual dos três estados de tensões pode produzir deformação plástica em um metal com 250 MPa 
de limite de escoamento: estado 1 (σ1 = 400MPa; σ2 = 300MPa; σ3 = 200MPa), estado 2 (σ1 = 
300MPa; σ2 = 60MPa; σ3 = 30MPa) ou estado 3 (σ1 = 25MPa; σ2 = -170MPa; σ3 = -200MPa) ? 
d) Qual dos metais encrua mais com ei=∆Li/L0=18%: metal 1 (SLE=250 MPa, n=0,2 e K=500 MPa), 
metal 2 (SLE=200 MPa, n=0,25 e K=450MPa), metal 3 (SLE =280 MPa, n=0,18 e K=600 MPa). 
 
79 
e) Escreva um tensor de tensões que vai produzir com certeza deformação plástica em um metal 
com limite de escoamento de 270 MPa, mas que não possua nenhum componente (σ1 ; σ2; σ3) 
com um módulo acima de 200 MPa. 
 
1.12.1.12.1.12.1.12.2.2.2.2.7777 Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de 29/03/200629/03/200629/03/200629/03/2006 
22) Responda DESCRITIVAMENTE (ou seja, demonstre que sabe o que está respondendo) aos itens a seguir 
colocados: 
a) É possível ter, em um sólido material, diferentes estados de tensão em diferentes regiões ao 
mesmo tempo ? Caso sim, represente um objeto metálico simples sofrendo carregamento 
mecânico indicando as forças atuantes e dois pontos diferentes com os respectivos estados de 
tensão por meio de um tensor de tensões (descreva valores razoáveis). 
b) Qual é o significado do componente hidrostático e desviatório de um estado de tensões. Para os 
estados de tensões a seguir (representado pelas suas respectivas tensões principais, valores em 
ksi), calcule os valores dos componentes hidrostático e desviatórios. 
c) Represente por meio de círculos de Mohr os estados de tensão acima (em escala ou o mais 
próximo o possível de uma escala). Existe alguma característica geométrica do círculo de Mohr 
associada ao componente hidrostático ? E ao componente desviatório ? 
2000
0100
0010
−
 
(a) 
1500
0250
0020
−
 
(b) 
500
0100
0030
−
−
 
(c) 
2500
0100
0040
 
(d) 
3500
0400
0050
 
(e) 
23) Sabe-se que as tensões (σ=F/Ai) e deformações reais (ε=ln Lf/Li) podem ser convertidas em tensões 
(S=F/A0) e deformações (e=∆L/L0) convencionais ou de engenharia por meio de equações descritas baixo, 
porém válidas apenas QUANDO A DISTRIBUIÇÕES DE CARGAS E DEFORMAÇÕES SÃO HOMOGÊNEAS. Na 
literatura existem diversas equações que correlacionam a tensão de escoamento plástica com o montante 
de deformação a frio sofrido pelo material. Uma destas equações é a equação de Hollomon, também 
reproduzida a seguir. Apesar das limitações de representatividade, o uso destas equações simplifica o estudo 
do comportamento plástico dos materiais metálicos. 
a) Esboce em escala (ou o mais próximo disto) um material cujas propriedades plásticas são dadas 
pelo expoente de encruamento (n) igual à 0,30 e uma constante plástica de resistência (K) igual 
à 600 MPa. Use o intervalo de deformações de 0,1 a 0,6. 
b) Qual seria o valor da tensão e deformação convencionais (ou de engenharia) medidas em um 
ensaio de tração quando este material apresentasse ε=0,1 ? E com ε=0,2 ? E com ε=0,5 ? Seria 
possível utilizar este último valor caso o material apresentasse um alongamento em tração (emáx) 
de 35% ? Por quê ? 
c) É possível provar matematicamente que o valor do coeficiente de encruamento vale a 
deformação real no ponto de início de estricção: n = εLR. No caso do material acima, qual seria a 
máxima força que seria esperada ocorrer em um ensaio de tração, caso o CP tenha uma área 
inicial de 25mm2 ? 
3) Existem diversos critérios de escoamento (Rankine, Tresca, Von Mises, Hill) que determinam se um estado 
de tensões, descrito matematicamente pelo respectivo tensor de tensões, produz deformação plástica em 
um material metálico. Geralmente estes critérios utilizam o limite de escoamento (SLE) obtido em um ensaio 
de tração comum como parâmetro de caracterização do material. 
Utilizando os critérios de Tresca e Von Mises, determine qual o único estado de tensão da questão 1 que irá 
produzir deformação plástica em um latão com limite de escoamento em tração de 290 MPa (lembre-se de 
converter as unidades). Qual destas equações é mais adequada para o caso ? 
 
80 
1.12.1.12.1.12.1.12.2.82.82.82.8 Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de 28/03/200728/03/200728/03/200728/03/2007 
24) O quadro B.2 ilustra dados reais de tração (L0 = 50mm / de um CP com 12,5×2,50 mm) de um aço DIN 
1614 Stw24, utilizado para estampagem: 
a) Complete o quadro com os valores reais de tensão e deformação 
b) Esboce um gráfico com os dados ao lado ilustrando a curva de engenharia e a real. A conversão 
feita no item (24a) é válida para todos os pontos ? 
c) Considerando aplicável a equação de Oliver, responda qual é o metal mais dúctil: o aço dos dados 
ao lado ou uma liga com alongamento de 35% (L0 = 50mm / CP com 12,5x0,80mm) ? Prove ! 
d) Qual é a maior limitação do ensaio de tração para representar as características plásticas de um 
metal ? 
Quadro B.2. Dados experimentais coletados de um ensaio de tração. 
Engenharia (S x e) Real (σσσσ x εεεε) 
S (MPa) e (mm/mm) σ (MPa) ε (mm/mm) 
0,0 0,0000 ou 0% 
207,9 0,006 ou 0,63% 
248,3 0,028 ou 2,76% 
304,2 0,084 ou 8,37% 
329,1 0,162 ou 16,2% 
335,60,233 ou 23,3% 
336,2 0,301 ou 30,1% 
332,2 0,378 ou 37,8% 
316,3 0,431 ou 43,1% 
 
25) A partir dos dados oferecidos no Quadro B.3, pede-se: 
a) Estime a deformação que deveria ser imposta aos metais abaixo listados para se obter 50% de 
incremento no limite de escoamento 
b) Integre a equação de Hollomon em um intervalo de deformação entre 10 e 20% e calcule a tensão 
de escoamento média destes materiais. 
Quadro B.3. Dados plásticos de materiais metálicos de engenharia. 
Material n (admensional) K (MPa) σσσσys (MPa) 
Aço SAE 1010 0,195 720 325 
Aço SAE 1035 0,170 902 370 
Aço NBR 6656 LNE38 0,151 791 457 
Liga de alumínio 2024-T4 0,200 806 303 
Liga de magnésio AZ91C-
T6 
0,282 653 40 
(utilize a equação Hollomon σ = K·εn) 
 
 
81 
1.12.1.12.1.12.1.12.2.92.92.92.9 Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de 21/09/201121/09/201121/09/201121/09/2011 
26) Responda às seguintes questões teóricas: 
a) É possível empregar-se a deformação linear convencional ou de engenharia (e) e a deformação 
verdadeira ou logarítma (ε). Qual é a diferença entre estas duas deformações ? A deformação 
empregada nos cálculos de conformação é a deformação de engenharia (e), ou não ? Porquê ? 
b) Qual relação parece existir e que pode ser observada entre os valores de “K” e “n” da equação 
de Hollomon com a capacidade de deformação plástica dos metais ? Um metal mais dúctil tende 
a apresentar que tipo de valores do expoente de encruamento ? 
c) Os ensaios mecânicos oferecem valores de parâmetros a serem empregados nos cálculos dos 
processos de conformação. Porém devem-se empregar tensões e deformações equivalentes 
neste procedimento. Porquê ? 
 
27) Responda às seguintes questões envolvendo cálculo: 
a) Uma barra necessitou de qual valor de tensão de tração para alongar-se 22,3% ? 
b) Considerando que a deformação máxima homogênea é numericamente igual ao expoente de 
encruamento, qual seria o maior comprimento que atingiria a barra em tração ? E se a barra 
tivesse um expoente de encruamento 15% menor ? E se tivesse um expoente de encruamento 
20% maior ? 
c) Um processo de conformação apresenta uma das deformações principais nula (ou seja ε2=0). 
Qual é o grau de deformação principal necessária a ser oferecida a esta barra para que ela encrue 
35% ? E se fosse em tração ? 
 
1.12.1.12.1.12.1.12.2.102.102.102.10 Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de 28/03/201328/03/201328/03/201328/03/2013 
28) Responda às seguintes questões teóricas: 
a) O que é um tensor de tensões ? Quantos componentes de tensão possui um tensor de tensões ? 
b) O que seria um componente hidrostático e um componente desviatório ? Esboçe um círculo de 
Mohr para ambos. 
 
29) Responda às seguintes questões envolvendo cálculo, adotando um específico de SLE válido para um aço 
de estampagem: 
a) Qual é a máxima redução de área que poderia ser obtida homogeneamente nesta barra se 
deformada por tração pura ? 
b) Prove matematicamente qual opção de estado de tensão (descrito pelos seus componentes 
principais) causaria mais encruamento, qual seria o novo limite de escoamento e o comprimento 
da barra final: 
1. σ1= 1,50⋅SLE / σ2= 0⋅SLE / σ3= -0,25⋅SLE 
2. σ1= 0,25⋅SLE / σ2= -0,25⋅SLE / σ3= -1,50⋅SLE 
3. σ1= 1,60⋅SLE / σ2= 0⋅SLE / σ3= 0⋅SLE 
 
c) Qual deve ser a tensão efetiva necessária para alongar uma barra em 10% ? 
d) Qual processo produz maior encruamento: (a), (b) ou (c) ? 
1. ε1= 0,250 / ε2= -0,125 / ε3= -0,250 
2. ε1= 0,250 / ε2= 0 / ε3= -0,250 
3. ε1= 0,250 / ε2= -0,167 / ε3= -0,083 
 
 
82 
1.12.1.12.1.12.1.12.2.112.112.112.11 Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de 28/03/2014 e 28/03/2014 e 28/03/2014 e 28/03/2014 e 03/04/201403/04/201403/04/201403/04/2014 
30) Utilize os parâmetros a seguir, que caracterizam plasticamente um determinando metal “X”, e responda 
às questões teóricas listadas: 
n = 0,28 ; K = 400 MPa ; SLE = 132 MPa ; SLR = 291 MPa. 
a) Apesar de não ser o ideal, adote o critério de escoamento de Tresca e escreva três tensores de 
tensão que produzam início de deformação plástica no metal “X” de tal forma que estes possam 
representar a principal região sendo deformada por três processos diferentes de conformação 
(“A”, “B” e “C”). 
b) Desenhe o círculo de Mohr de cada um dos casos que foram descritos na resposta do item (30a) 
anterior e calcule os valores dos componentes hidrostáticos e desviatórios. 
c) Analise, com base nos dados dos itens anteriores, qual deverá ser o processo de maior eficiência 
para conformação plástica (“A”, “B” ou “C”). Justifique o porquê seria. 
 
31) Utilize os parâmetros a seguir, que caracterizam plasticamente um determinando metal “X”, e calcule os 
resultados solicitados: 
n = 0,28 ; K = 400 MPa ; SLE = 132 MPa ; SLR = 291 MPa. 
a) Qual seria o valor da tensão real efetiva (σef) necessária para obter uma deformação real efetiva 
(εef) de 0,30 no metal “X” ? Qual seria o grau de encruamento obtido no metal “X” ? 
b) Seria possível deformar homogeneamente o metal “X”, como descrito no item (31a) (εef = 0,30), 
por tração pura ? 
c) Se o expoente de encruamento (n) do material fosse duplicado, seria possível executar esta a 
deformação por tração de forma homogênea ? Neste caso, qual é o significado que pode ser 
oferecido ao expoente de encruamento ? 
 
32) Qual é a condição que causa mais encruamento e qual seria este nível de encruamento: 
(a) ε1 = - (ε2+ε3) sendo ε2=ε3 ou 
(b) ε1 = - ε3 ? 
 
33) Qual é a condição que causa mais deformação e qual é esta deformação: 
(a) σ1 = -σ3 ; σ2 = 0 ou 
(b) σ1 = -(1,5×σ2) = -(2×σ3) ? 
34) Um tensor de tensões representa o estado de tesões submetido a um ponto material. O tensor de 
tensões pode ser dissociado em um componente hidrostático e outro desviatório. Qual o significado destes 
dois componentes ? Escreva um exemplo. 
 
35) Escreva um tensor de tesões e desenhe o respectivo círculo de Mohr nos quais: 
• σ1 = 2σ2 / σ3 = -SLE/2 
• Produza uma deformação efetiva de εef =0,25 no material com as características: K = 949 Mpa; n 
= 0,360; SLE = 405 MPa e SLR = 702 MPa. 
 
36) Qual seria a deformação efetiva (εef) para aumentar o limite de escoamento inicial do metal (SLE = 405 
MPa) em 40% ? Qual seria o grau de redução na espessura em um processo de laminação para obter este 
grau de encruamento ? 
 
83 
1.12.1.12.1.12.1.12.2.122.122.122.12 Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de Questões da Avaliação de 30/10/201730/10/201730/10/201730/10/2017 
37) Responda às seguintes questões teóricas: 
a) Conceitue e comente sobre o que é encruamento e como este fenômeno pode ser descrito pela 
Equação de Hollomon. 
b) O que seria um componente hidrostático e um componente desviatório ? Esboçe um círculo de 
Mohr para ambos. Um processo de conformação com grande grau de eficiência apresentaria que 
tipo de relação entre tais componentes de tensão ? 
38) Responda às seguintes envolvendo cálculos com os parâmetros plásticos listados a seguir: 
• K = 949 MPa 
• n = 0,33 (adimensional) 
• SLR = 696 MPa 
• SLE = 509 MPa 
a) Qual é a máxima redução de área que poderia ser obtida homogeneamente nesta barra se 
deformada por tração pura ? Qual seria o comprimento final que seria possível de ser obtido 
neste caso ? 
b) Prove matematicamente qual opção de estado de tensão (descrito pelos seus componentes 
principais) causaria mais encruamento, qual seria o limite de escoamento e o comprimento final 
desta barra (considerando como referência um estado de tração com tensão igual à efetiva): 
1. σ1=1,60⋅SLE / σ2= 0⋅SLE / σ3= -0,37⋅SLE 
2. σ1=0,32⋅SLE / σ2=-0,34⋅SLE / σ3= -1,45⋅SLE 
3. σ1=1,86⋅SLE / σ2=0⋅SLE / σ3= 0⋅SLE 
c) Qual processo produz maior encruamento: (a), (b) ou (c) ? 
1. ε1= 0,250 / ε2= -0,125 / ε3= -0,125 
2. ε1= 0,250/ ε2= 0 / ε3= -0,250 
3. ε1= 0,250 / ε2= -0,167 / ε3= -0,083 
 
 
84 
1.12.3 Outras Questões (não resolvidas) 
 
39) Um corpo de prova de tração cilíndrico de 12mm de diâmetro e base de medida de 50mm apresentou, 
sob teste, uma carga máxima de 8,1t e fraturou-se a 6,8t. O diâmetro mínimo da fratura, como mostrada 
na Figura C.1, foi de 8mm. 
a) Qual foi o limite de resistência obtido para o material ? 
b) Qual seria a máxima tensão de fratura real do material ? 
c) Qual a deformação real do material neste ensaio ? 
d) Qual seria a relação entre as áreas (RA) ? 
 
Figura C.1. Curvas Tensão-deformação real e de engenharia do aço SAEO J403 1020, versão em inglês de Dowling (2018). 
 
40) Qual seria a relação entre a deformação necessária na laminação (ε1=-ε2 e ε3=0) para produzir o mesmo 
efeito que uma determinada deformação em um ensaio de tração (ε1=-(ε2 + ε3)) ? 
40) Retirou-se um corpo de prova (CP), segundo a norma ASTM E8M, de um fardo de chapas de aço baixo 
carbono de 3,00 mm de espessura. O CP possui a geometria conforme mostrada na Figura C.2. A carga 
máxima, registrada no ensaio, foi de 1,3t e a carga de ruptura foi de 1t. 
a) Porque a carga de ruptura foi maior do que a carga máxima durante o ensaio ou o que ocorreu 
com o CP após a carga máxima ? 
b) Qual é a resistência mecânica do material em MPa ? Esta resistência é a convencional (de 
engenharia) ou real ? 
c) Supondo um limite de escoamento de 265 MPa, qual seria a deformação esperada para metade 
deste valor de tensão ? E no limite de escoamento ? 
d) Se o nível de tensão fosse aumentado de 10%, em relação ao limite de escoamento, você 
esperaria qual aumento relativo na deformação ? Faça uma tabela / gráfico e compare os 
resultados. 
 
 
85 
 
Figura C.2. Geometria de um CP de tração em conformidade à norma ASTM E8/E8M. 
41) Considere que seja o(a) gerente de uma estamparia de chapas de aço. Sua empresa está com uma grande 
encomenda de peças, que necessitam da matéria-prima conforme a especificação de fabricação mostrada 
no Quadro C.1. 
Quadro C.2. Dados comerciais de tipos de aços. 
 
Existem três fornecedores no mercado, também descritos. Escolha e justifique tecnicamente o porquê de 
não ter escolhido o fornecedor/material mais barato. 
 
42) Considere na Figura C.3 os pontos numerados de 1 a 4 e o carregamento axial nos orifícios, segundo 
indicado pelas setas em um corpo de prova de Mecânica de Fratura, segundo norma ASTM E1820-99. Os 
cubos infinitesimais representam os carregamentos nestes pontos, apesar de não indicar a qual ponto cada 
representação está vinculada. 
a) Identifique cada estado de tensão das situações ilustradas na Figura C.3. 
b) Trace os respectivos círculos de Mohr para as situações ilustradas na Figura C.3. 
 
Especificação Fornec. C Fornec. U Fornec. N 
SLE ≤ 280MPa SLE ≤ 320MPa SLE ≤ 270MPa SLE ≤ 280MPa 
SLR ≤ 450MPa SLR ≤ 500MPa SLR ≤ 450MPa SLR ≤ 440MPa 
Along. (50mm) 
≥ 25% 
Along. (50mm) 
≥ 25% 
Along. (50mm) 
≥ 22% 
Along. (200mm) 
≥ 19% 
Espessura de 
2,5mm 
Custo (aço + 
Frete + impostos) 
R$ 1450,00/ton 
Custo (aço + 
Frete + impostos) 
R$ 1500,00/ton 
Custo (aço + 
Frete + impostos) 
R$ 1550,00/ton 
SLE e SLR são valores máximos e Along. são valores mínimos de garantia 
O valor entre parêntesis no alongamento refere-se à base de medida (L0) 
Todos os resultados foram obtidos segundo ASTM E8M. 
 
 
86 
 
 
( a ) 
 
( b ) 
 
( b ) 
 
( d ) 
Figura C.3. Estados de tensões e regiões de deformação plástica em um 
CP de Mecânica de Fratura, segundo norma ASTM E1820-99. 
43) Qual seria o valor de X, nos estados de tensão a seguir, para provocar escoamento (deformação 
plástica) em uma barra de aço SAE 1006 (SLE = 165 MPa) laminado a quente e em uma barra de aço SAE 
1020 (SLE = 350 MPa) laminada a frio ? 
 
87 
 
44) Baseando-se nas respostas da questão 43, responda: 
a) Qual seria o valor de tensão que influenciaria mais a condição de escoamento do material: 
tensão normal ou cisalhante ? Por que ? 
b) Seria razoável conceber um processo de conformação de chapas finas cujos estados de tensão 
sejam representados pelos tensores acima ? Por que ? 
 
45) As duas fórmulas abaixo definem deformação, descreva quais são as características de cada fórmula: 
0
0
0 L
LL
L
L
e
f −=
∆
= 
0
ln
L
L f=ε 
46) Considere as equações da questão 45 e um cilindro, de altura inicial 50 mm, que sofreu compressão 
até atingir as alturas de 45, 40, 30, 25 e 10 mm, mostrado na Figura C.4. 
 
Figura C.4. Cilindro metálico sob compressão. 
a) Calcule as respectivas deformações por meio de cada definição e descreva o resultado em uma 
tabela. 
b) O quê poderia ser descrito a respeito dos valores calculadas para as deformações ? 
c) Qual fórmula consegue descrever melhor a deformação de um material ? Por que ? 
 
5000
075
0100
X
X
ij=σ 
600
000
075
−
=
X
X
ijσ 
1000
01000
00
X
X
ij −=σ 
1500
00
000
X
Xij=σ 
05075
500100
75100X
ij=σ 
X
ij
060
0075
60750
−
−
=σ 
01000
100100
01000
Xij −
−
=σ 
X
ij
1500
15000
000
=σ 
 
 
88 
47) Qual é a correspondência entre as tensões aplicadas e efetivas para os carregamentos mecânicos 
seguintes (considere que não ocorram estricções): 
a) tração (σ1≠0, σ2=σ3=0); 
b) torção (σ1=-σ3, σ2=0); 
c) compressão hidrostática (σ1=σ2=σ3<0) e 
d) especial (σ1=-2σ2=-2σ3; σ2=σ3). 
e) Qual deverá ser o processo (ensaio) que produz maiores quantidades de deformação para um 
mesmo nível de tensão aplicado ? 
f) A resposta do item (e) está de acordo com o esperado a partir de uma análise por um critério 
de escoamento ? 
 
 
 
 
 
 
89 
ÍNDICE REMISSIVO
AAAA 
Aço Arcelor 03 (CLC) .................................... 60 
Aço Arcelor 260 BH (CLC)............................. 60 
Aço Arcelor HSLA 280 (CLC) ......................... 60 
Aço Complex Phase (dados de tração) ......... 29 
Aço Dual Phase 45 (CLC) .............................. 60 
Aço IF (Intersticial Free) (dados de tração) .. 28 
Aço IF 260 (CLC) ........................................... 60 
Aço Isotropic E260i (CLC) ............................. 60 
Aço SAE J403 1010 (dados de tração) .......... 28 
Alongamento Proporcional.......................... 66 
Alumínio AA1050 H14 (dados de tração) ..... 30 
Autoform® ................................................... 55 
Bridgman, correção de ................................ 27 
CCCC 
Círculo de Mohr ........................................... 08 
Cobre puro (dados de tração) ...................... 29 
Coeficientes elásticos dos metais ................ 19 
Coeficiente de anisotropia (R) ..................... 39 
Coeficiente de anisotropia normal (R�) ... 41, 42 
Coeficiente de anisotropia planar (∆R) .. 41, 42 
Coeficiente de Poisson (ν) ..................... 21, 23 
Componentes de tensão.............................. 06 
 
 
 
 
Conformabilidade, conceito .................. 53, 54 
Conformação Plástica .................................. 01 
Constante plástica de resistência (K) ..... 32, 37 
Constantes elásticas, relações ..................... 18 
Correção de Bridgman ................................. 27 
Critério de Considère ................................... 35 
Critério de Escoamento ............................... 43 
Critério de Rankine ...................................... 43 
Critério de máxima energia cisalhante ........ 44 
Critério de máxima tensão cisalhante ......... 43 
Critério de máxima tensão normal .............. 43 
Critério de Tresca ........................................ 43 
Critério de von Mises .................................. 44 
Cubo Infinitesinal ........................................ 04 
Curva Limite de Conformação (CLC) ...... 56, 59 
Curvas tensão-deformação ......................... 26 
DDDD 
Decomposição vetorial ................................ 03 
Deformação, conceito .................................11 
Deformação, definição ................................ 15 
Deformação, volumétrica ............................ 18 
Deformação, tensor..................................... 13 
 
 
90 
 
 
 
 
 
 
 
Deformação de engenharia ........................ 24 
Deformação real ......................................... 24 
Desviatório, componente ........................... 07 
Distribuição de tensões .............................. 05 
Ductilidade ................................................. 53 
EEEE 
Encruamento, expoente ............................. 32 
Ensaio de tração ......................................... 20 
Equação de Fonstein (conformabilidade) ... 54 
Equação de Hollomon ................................. 30 
Equação de Ramberg e Osgood .................. 31 
Equação de Swift ........................................ 32 
Equação de Voce ........................................ 32 
Equações de Levy-Mises ............................. 30 
Equilíbrio estático ....................................... 02 
Estampabildade .......................................... 53 
Expoente de encruamento (n) .................... 32 
Expoente de encruamento, definição ......... 34 
Expoente de encruamento, valores ............ 37 
FFFF 
Fonstein, equação de conformabilidade de 54 
Forjabilidade ............................................... 54 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula de Oliver ........................................ 66 
HHHH 
Hidrostático, componente ........................... 08 
Hollomon, equação de ................................ 30 
Hooke, lei de ................................................ 16 
IIII 
Instabilidade plástica ................................... 35 
Invariantes de tensões................................. 07 
Invariantes de deformações ........................ 14 
LLLL 
Levy-Mises, equações .................................. 51 
Limite de escoamento ................................. 22 
Limite máximo de deformação .................... 52 
Locus de escoamento .................................. 43 
MMMM 
Maleabildade ............................................... 53 
Módulo de elasticidade longitudinal (E) ...... 21 
Módulo de elasticidade transversal (G) ....... 22 
Mohr, círculo ......................................... 08, 10 
NNNN 
Nakazima, corpos de prova de .................... 57 
 
91 
 
 
OOOO 
Oliver, fórmula de........................................ 66 
PPPP 
Poisson, coeficiente de .......................... 21, 23 
RRRR 
Ramberg e Osgood, equação de .................. 31 
Rankine, critério de ..................................... 43 
Redução de área .......................................... 27 
SSSS 
Swift, equação de ........................................ 21 
TTTT 
Tensão, definição ........................................ 02 
Tensão-deformação, efetivas ...................... 47 
Tensão-deformação, relações elásticas ....... 17 
Tensão-deformação, relações plásticas . 30, 49 
Tensão de engenharia ................................. 24 
Tensões principais, cálculo das .............. 07, 10 
Tensor de tensões, representação do ......... 06 
Tensor de deformações, representação do . 13 
Tensão real .................................................. 24 
Tensões tridimensionais .............................. 09 
Trefilabilidade .............................................. 53 
Tresca, critério de ........................................ 43 
 
 
VVVV 
Voce, equação de ........................................ 32 
von Mises, critério de 44 
 
 
92 
 
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https://www.researchgate.net/publication/324680688