APOSTILA - MECÂNICA DOS SOLIDOS I

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FACULDADE ÚNICA 
DE IPATINGA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gleysson Morais Andrade 
 
Especialista em Ensino de Física pela Faculdade Única de Ipatinga (2021). Possui 
graduação em Engenharia Mecânica pelo Centro Universitário do Leste de Minas Gerais 
(2018) e Licenciado em Física pela Faculdade Única de Ipatinga (FUNIP). Possui experiência 
como Professor na educação básica e na educação superior, atuando no curso de 
Licenciatura em Física e Engenharia Mecânica. Além dessa obra, “Mecânica dos Sólidos”, 
também redigiu “Termodinâmica” para os cursos de Física e Engenharia da Faculdade 
Única de Ipatinga. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS I 
1ª edição 
Ipatinga – MG 
2022 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FACULDADE ÚNICA EDITORIAL 
 
Diretor Geral: Valdir Henrique Valério 
Diretor Executivo: William José Ferreira 
Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos 
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira 
Revisão Gramatical e Ortográfica: Naiana Leme Camoleze 
Revisão/Diagramação/Estruturação: Bruna Luiza Mendes Leite 
 Fernanda Cristine Barbosa 
 Guilherme Prado Salles 
 Lívia Batista Rodrigues 
Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Eliza Perboyre Campos 
 
 
 
 
 
 
© 2021, Faculdade Única. 
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização 
escrita do Editor. 
 
 
 
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920. 
 
 
 
 
 
NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA 
Rua Salermo, 299 
Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG 
Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300 
www.faculdadeunica.com.br
http://www.faculdadeunica.com.br/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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abordado. 
 
Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações 
importantes nas quais você deve ter um maior grau de 
atenção! 
 
São exercícios de fixação do conteúdo abordado em 
cada unidade do livro. 
 
São para o esclarecimento do significado de 
determinados termos/palavras mostradas ao longo do 
livro. 
 
Este espaço é destinado para a reflexão sobre 
questões citadas em cada unidade, associando-o a 
suas ações, seja no ambiente profissional ou em seu 
cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
MECÂNICA GERAL .................................................................................... 8 
1.1 VETORES...................................................................................................................... 8 
1.2 OPERAÇÕES COM VETORES ............................................................................... 9 
1.3 INTRODUÇÃO À MECÂNICA............................................................................. 10 
1.3.1 A Primeira Lei de Newton (Lei Da Inércia) ................................................11 
1.3.2 Definição de Força .........................................................................................12 
1.3.3 A Segunda Lei de Newton ............................................................................13 
1.3.4 Força Gravitacional (𝐅𝐠) E Força Peso. .....................................................13 
1.4 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO EM ESTÁTICA DOS SÓLIDOS............................... 14 
1.5 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA ................................................ 18 
1.5.1 Centroide de uma Área ................................................................................18 
1.5.2 Áreas Compostas ............................................................................................19 
1.5.3 Exemplo Resolvido ..........................................................................................19 
1.5.4 Momento de Inércia de uma Área ............................................................21 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................... 23 
ESTUDO DAS TENSÕES ............................................................................. 28 
2.1 FORÇA VERSUS TENSÃO .................................................................................... 28 
2.2 TENSÕES NORMAIS (𝛔) ...................................................................................... 37 
2.3 TENSÕES DE CISALHAMENTO (𝛕) ....................................................................... 40 
2.4 TENSÕES DE ESMAGAMENTO ............................................................................ 44 
2.5 TENSÃO ÚLTIMA – TENSÃO ADMISSÍVEL – FATOR DE SEGURANÇA ................ 45 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................... 49 
TENSÃO X DEFORMAÇÃO ...................................................................... 55 
3.1 INTRODUÇÃO À DEFORMAÇÃO ....................................................................... 55 
3.2 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO ............................................................ 57 
3.3 MÉTODO DA DEFORMAÇÃO RESIDUAL ............................................................ 63 
3.4 FRAGILIDADE VS DUCTILIDADE ......................................................................... 64 
3.5 LEI DE HOOKE ..................................................................................................... 65 
3.6 COEFICIENTE DE POISSON ................................................................................ 67 
3.7 TENSÃO – DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO ................................................ 68 
3.8 FALHA POR FLUÊNCIA E FADIGA ...................................................................... 70 
3.9 PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT ........................................................................... 73 
3.10 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA EM BARRAS SUJEITA A CARREGAMENTO AXIAL .. 75 
3.11 BARRA SUBMETIDA A CARREGAMENTO ESTATICAMENTE INDETERMINADO.. 77 
3.12 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO EM ESFORÇOS AXIAIS .................................... 79 
3.12.1 Exemplo Resolvido: ..........................................................................................81 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................... 83 
ESTUDO DA TORÇÃO PURA .................................................................... 88 
4.1 INTRODUÇÃO À TORÇÃO ................................................................................. 88 
4.2 ÂNGULO DE TORÇÃO (𝛉), DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO NA 
SECÇÃO. ............................................................................................................ 89 
4.3 A FÓRMULA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO ............................ 91 
4.4 TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO (EXEMPLO RESOLVIDO) ............... 93 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................... 96 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
02 
UNIDADE 
03 
UNIDADE 
04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
ESTUDO DA FLEXÃO PURA .................................................................... 101 
5.1 INTRODUÇÃO À FLEXÃO ................................................................................. 101 
5.2 CONVENÇÃO DE SINAIS NA ANÁLISEcarga, o material entra em 
uma fase de endurecimento por deformação, até a inclinação da curva do 
diagrama tornar-se nula. Este ponto de máxima tensão é denominado de limite de 
resistência (𝜎𝑟), e a partir deste ponto ocorrerá a redução abrupta da área da 
secção transversal do corpo de prova (estricção) acompanhada da ruptura do 
material, a tensão registrada no momento da ruptura é denominada de tensão de 
ruptura (𝜎𝑟𝑢𝑝). A figura 33 abaixo mostra um corpo de prova durante a estricção e 
após a ruptura. 
 
Figura 33: Corpo de prova após sofre estricção e ruptura 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3uZmlmH. Acesso em: 06 ago. 2022 
 
Pela observação do diagrama tensão-deformação, verifica-se que tanto o 
diagrama real quanto o convencional são muito parecidos na região elástica, e 
como a grande parte dos projetos estruturais são elaborados para que os materiais 
trambalhem dentro da fase elástica, é mais comum a utilização do diagrama tensão 
deformação convencional. 
 
https://bit.ly/3uZmlmH
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
 
 
 MÉTODO DA DEFORMAÇÃO RESIDUAL 
Nem todas as ligas metálicas apresentam o ponto de escoamento bem 
definido como a do aço (tensão de escoamento constante). Em alguns casos, como 
a liga de alumínio, o escoamento do material ocorre sob tensão variável. Nestes 
casos, deve-se adotar um procedimento gráfico a fim de se obter o ponto de 
escoamento, o método da deformação residual. Tomamos o valor de deformação 
igual a 0,002 (0,2%) sob o eixo das abscissas (𝜖) e a partir deste ponto, traçamos uma 
linha paralela à reta da porção inicial da fase elástica, até tocar o diagrama. Este 
ponto de interseção entre a reta traçada e o diagrama corresponde ao ponto de 
escoamento do material. A figura 34 abaixo indica a forma de determinação correta 
do ponto de escoamento pelo método da deformação residual para a liga de 
alumínio. 
 
Figura 34: Método da deformação residual 
 
Fonte: Adaptado de Hibeller (2010) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 
 FRAGILIDADE VS DUCTILIDADE 
A maioria dos materiais pode ser classificada em duas categorias, os dúcteis e 
os frágeis. Os materiais dúcteis são aqueles capazes de se deformarem bastante 
antes de se romperem, portanto, são capazes de absorver maior energia. Já os 
materiais frágeis, quando submetidos a esforços de tração, quase não apresentam 
escoamento, uma vez que, após a fase elástica rapidamente se rompem. Um bom 
exemplo de material que se enquadra na categoria dúctil é o alumínio ou o aço 
doce (baixo percentual de carbono na sua composição química), e na classe dos 
materiais frágeis podemos citar o ferro fundido cinzento ou o concreto. Alguns 
materiais dúcteis como o aço de baixo teor de carbono são excelentes para suportar 
esforços axiais de tração. Já o ferro fundido cinzento e o concreto são ótimos para 
esforços axiais de compressão, todavia, péssimos quando são solicitados por tração. 
A figura 35 abaixo apresenta o diagrama tensão deformação para o ferro fundido 
cinzento. 
 
Figura 35: Resistência a tração x compressão 
 
Fonte: Adaptado de Hibeller (2010) 
 
Quando submetido à tração, a falha do material acontece com uma tensão 
𝜎𝑓 = 152 𝑀𝑃𝑎. A temperatura também é um fator determinante no que tange à 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 
fragilidade e a ductilidade dos materiais. Quanto menor a temperatura, mais frágil o 
material tende a ficar, e menos dúctil, ao passo que ao aumentar a temperatura o 
material se torna mais macio, mais dúctil. A figura 36 a seguir apresenta a diferença 
no diagrama 𝜎 − 𝜖 entre os materiais dúcteis e frágeis. 
 
Figura 36: Diagrama tensão x deformação para materiais dúcteis e frágeis 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 LEI DE HOOKE 
Conforme já esboçado no tópico anterior, durante a fase elástica, o material 
apresenta uma relação linear entre a tensão (𝜎) e a deformação (𝜖). A constante 
que garante a equidade dessa proporção é denominada módulo de elasticidade 
ou módulo de Young (em homenagem a Thomas Young), logo, a tensão se relaciona 
com a deformação durante a fase elástica pela equação abaixo: 
 
 σ = Eϵ (92) 
 
O módulo de elasticidade (𝑬) possui unidade de medida em Pascal [𝑃𝑎], uma 
vez que, a deformação (𝜖) é adimensional. Este Módulo de elasticidade está 
associado à rigidez do material, quanto mais rígido o material, como por exemplo, o 
aço 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎, maior o módulo de elasticidade. A borracha possui módulo de 
elasticidade 𝐸 = 0,7 𝑀𝑃𝑎. 
O módulo de resiliência é caracterizada pela densidade de energia9 de 
deformação durante a fase elástica do material, e pode ser calculada pelas 
 
9 A densidade de energia se caracteriza pela razão entre a energia de deformação e o 
volume do elemento material submetido ao ensaio mecânico. 𝑢 =
∆𝑈
∆𝑉
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
equações 93 e 94 abaixo: 
 
 
ur =
1
2
σlpϵlp (93) 
Ou 
 
ur =
1
2
σlp
2
E
 (94) 
 
Observando o diagrama tensão-deformação (𝜎 − 𝜖) de um material qualquer, 
percebemos que a área sombreada do triângulo, em que a base corresponde à 
deformação da fase elástica e a altura corresponde ao limite de proporcionalidade, 
essa área é igual à densidade de energia de deformação na fase elástica. 
 
Figura 37: Módulo de resiliência 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
O módulo de tenacidade é caracterizado pela densidade de energia de 
deformação de um material até a sua ruptura. A figura 38 abaixo apresenta o módulo 
de tenacidade de um material qualquer. A área sob o gráfico é numericamente igual 
a este módulo de tenacidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
Figura 38: Módulo de tenacidade 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Em projetos de elementos estruturais, que podem ser submetidos a esforços de 
maneira acidental, é aconselhável a utilização de materiais com alto módulo de 
tenacidade, pois estes serão capazes de absorver maior quantidade de energia 
antes de sofrer falha estrutural. 
 
 COEFICIENTE DE POISSON 
Quando um corpo de prova é submetido a um esforço axial de tração, 
percebe-se um alongamento longitudinal (𝜹) na sua dimensão e, simultaneamente, 
uma redução na secção transversal do material, evidenciado pela redução do raio 
(𝑹) no caso em que o corpo de prova possua geometria cilíndrica. O cientista francês 
S.D Poisson identificou que, ao dividir o valor da deformação longitudinal (𝝐𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕) pela 
deformação transversal (𝝐𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗), o resultado obtido era sempre o mesmo, ou seja, 
uma constante. Essa constante estava associada ao material, e ficou conhecida 
como coeficiente de Poisson (𝒗). No caso de um corpo de prova sendo submetido à 
tração, ocorre um aumento no comprimento (alongamento positivo) e redução da 
secção transversal (alongamento negativo). Já no caso de uma compressão ocorre 
a redução do comprimento (alongamento negativo) e uma expansão da secção 
transversal (alongamento positivo). 
A figura 39 abaixo apresenta um exemplo de uma barra cilíndrica sendo 
submetida a um esforço axial de tração, tendo um aumento no comprimento, cujo 
alongamento é, 
 δ = Lfinal − Linicial (95) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
E uma redução da secção transversal, cujo alongamento é 
 δ′ = r − R (96) 
 
Conforme estudado nos tópicos anteriores, a deformação longitudinal será: 
 
 
ϵlongit =
Lfinal − Linicial
Linicial
=
δ
Linicial
 (97) 
 
E a deformação transversal será: 
 
 
ϵtransv =
r − R
R
=
δ′
R
 (98) 
 
O coeficiente de Poisson é definido como, 
 v = −
ϵlongit
ϵtransv
 (99) 
 
Figura 39: Relação entre deformação axial e longitudinal 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Na maioria dos materiais não porosos o coeficiente de Poisson está entre 
1
4
 𝑒 
1
3
, 
e nunca maior que 
1
2
, ou seja, 
 0 ≤ v ≤ 0,5 (100) 
 
 TENSÃO – DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO 
Da mesma formaque a maior parte dos materiais aplicados na engenharia, 
quando submetidos a uma carga axial de tração, apresentam inicialmente um 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
comportamento linearmente elástico, escoamento, endurecimento por deformação 
até alcançar um limite de resistência e ao final do ensaio mecânico a ruptura, 
também existem formas de se realizar o ensaio do material visando compreender a 
relação entre a tensão e a deformação no cisalhamento. Neste caso, para o estudo 
do cisalhamento puro, o ensaio é realizado em tubos finos, submetidos a um torque 
controlado em que os ângulos de torção são medidos. Os dados são registrados no 
diagrama tensão–deformação de cisalhamento, em que os materiais apresentam 
incialmente um comportamento linearmente elástico, uma região de escoamento 
(indicada pela tensão no limite de proporcionalidade), endurecimento por 
deformação, limite de resistência ao cisalhamento e, por fim, a falha do material, sob 
uma tensão de ruptura ao cisalhamento. Para materiais homogêneos e isotrópicos, a 
lei de Hooke assume a seguinte forma para a região elástica; 
 
 τ = Gγ (101) 
Onde; 
τ → Tensão de cisalhamento [Pa] 
G → Módulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa] 
γ → deformação por cisalhamento [rad] 
 
A figura 40 abaixo apresenta um diagrama tensão – deformação de 
cisalhamento para um material dúctil. 
 
Figura 40: Diagrama tensão x deformação para material dúctil 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 
Para um mesmo material, o módulo de elasticidade ao cisalhamento poderá 
ser relacionado ao módulo de elasticidade normal (Módulo de Young) por meio de 
uma constante 𝑣 chamada de coeficiente de Poisson, que será estudada nos tópicos 
sucessivos. 
 
G =
E
2(1 + v)
 (102) 
 
G → Módulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa] 
E → Módulo de elasticidade á tração [Pa] 
v → Coeficiente de Poisson [adimensional] 
 
 FALHA POR FLUÊNCIA E FADIGA 
Materiais como metais e cerâmicos quando são submetidos a cargas 
constantes (tensão constantes) por longo período de tempo podem sofrer ruptura 
repentina, em que a tensão atuante encontra-se abaixo da tensão de escoamento 
(𝜎𝑒) do material. Neste caso, dizemos que o material sofreu falha por fluência. Via de 
regra, a fluência é considerada em materiais que estão sujeitos a uma temperatura 
de trabalho superior a 0,4 vezes a temperatura de fusão do material na escala 
absoluta Kelvin. Por exemplo, a temperatura de fusão da liga de alumínio é de 660,3 
°C, ou 933,45 K. logo, 
 0,4 ∙ 933,45 K = 373,38 K. (103) 
Passando novamente para a escala Celsius, 
 
 373,38 − 273,15 = 100,23 °C. (104) 
 
Logo, a possibilidade de falha por fluência será levada em consideração em 
situações em que a liga de alumínio esteja submetida à tensão constante, por longo 
período de tempo e temperatura de trabalho superior a 100,23 °C. 
Quanto maior a temperatura de trabalho ou quanto maior a tensão atuante, 
menor será o limite de resistência à fluência (𝜎𝑓). 
A figura 41 abaixo apresenta exemplos de falha por fluência em materiais 
metálicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
Figura 41: Falha por fluência 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3U89cCP. Acesso em: 08 jul. de 2022. 
 
A figura 42 abaixo apresenta um esquema de realização de ensaio de 
fluência,onde um corpo de prova é submetido a um esforço de tração no interior de 
um forno que mantêm a temperatura do corpo de prova simulando uma situação 
real de carregamento. 
 
Figura 42: Ensaio de fluência 
 
 Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3RLFNfU. Acesso em: 08 jul. 2022. 
https://bit.ly/3U89cCP
https://bit.ly/3RLFNfU
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 
Alguns materiais de engenharia são submetidos a esforços cíclicos e reversíveis, 
como por exemplo, eixos de vagões ferroviários, bielas e eixos virabrequim. Neste 
caso, o material pode sofrer ruptura, e este comportamento é denominado de 
fadiga. A figura 43 abaixo apresenta um componente mecânico (eixo de torção) 
que sofreu falha por fadiga. 
 
Figura 43: Eixo apresentando falha por fadiga 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3qBeSHZ. Acesso em: 08 jul. 2022. 
 
A falha por fadiga representa uma grande parcela das falhas de um modo 
geral nas indústrias. Duas considerações importantes são que a fadiga acontece em 
situações em que a tensão atuante no material está abaixo da tensão de 
escoamento (𝜎𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒concentrado axial externo, bem como outro carregamento P(x) 
distribuído ao longo da barra, variando também em função da posição 𝑥. Este 
carregamento distribuído 𝑃(𝑥) poderia ser, no caso de uma barra na posição vertical, 
a própria distribuição do peso ao longo da sua extensão, e no caso de uma barra na 
posição horizontal, como neste exemplo, forças de atrito externo realizado sobre a 
superfície lateral da barra. Observe na figura 47 abaixo. Pelo método das secção, 
retiramos uma porção infinitesimal da barra, localizada em uma posição 𝑥 qualquer. 
Essa porção da barra possui comprimento 𝒅𝒙 e área da secção transversal em 
função da posição, 𝑨(𝒙). O carregamento a que é submetida essa porção 
infinitesimal é apresentado na parte 𝑏 da figura 47 abaixo. 
 
Figura 47: Deformação em barra sujeita a carregamento axial 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
A tensão interna atuante no elemento da barra é definida pela razão entre o 
carregamento 𝑃(𝑥) no elemento e a área da secção transversal A(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
 
σ =
P(x)
A(x)
 (105) 
A deformação será definida pela razão entre o alongamento infinitesimal e o 
comprimento infinitesimal inicial do elemento da barra, logo: 
 
ϵ =
dδ
dx
 (106) 
A equação que estamos desenvolvendo é aplicável para o cálculo do 
alongamento total da barra sujeita a um carregamento axial, de maneira que a 
barra permaneça na sua região elástica, ou seja, o limite de proporcionalidade (𝜎𝑙𝑝) 
não pode ser alcançado. Considerando apenas a fase elástica do material, 
podemos lançar mão da lei de Hooke. 
 σ = Eϵ (107) 
 
Substituindo as equações 105 e 106 na equação 107, teremos para a fase 
elástica: 
 P(x)
A(x)
= E
dδ
dx
 (108) 
 
Explicitando o alongamento infinitesimal: 
 dδ =
P(x)dx
A(x)E
 (109) 
 
Para encontrar o alongamento ao longo de todo o comprimento L da barra, 
integramos ambos os membros (os dois lados) da equação: 
 
δ = ∫
P(x)dx
A(x)E
L
0
 (110) 
 
Para o caso de uma barra com área da secção transversal constante, material 
homogêneo (𝐸 → 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) e carregamento constante ao longo da posição 𝑥, 
como a figura 48 abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
Figura 48: Deformação em barra com secção uniforme 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Podemos escrever o alongamento relativo (𝛿) da barra: 
 
δ = ∫
P(x)dx
A(x)E
L
0
 (111) 
 
δ =
PL
AE
 (112) 
 
Para barras submetidas a vários esforços axiais diferentes ou barras com 
mudança repentina de módulo de elasticidade, o alongamento total da barra será 
a soma algébrica de cada segmento da barra, logo: 
 
 
δ = ∑
PL
AE
 (113) 
 
Onde: 
δ → Alongamento relativo das duas extremidades da barra [m]; 
P → Carregamento constante ao longo da posição [N]; 
L → Comprimento inicial da barra [m]; 
E → Módulo de elasticidade (módulo de Yong) do material [Pa] 
 
 BARRA SUBMETIDA A CARREGAMENTO ESTATICAMENTE INDETERMINADO 
Uma barra qualquer, fixada em apenas uma de suas extremidades e livre na 
outra, submetida a um carregamento axial, é considerada estatiacamente 
determinada, uma vez que, a a reação no ponto de fixação pode ser obtida 
aplicando-se a condição de equilíbrio na direção. Porém, em algumas situações, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
 
como por exemplo, uma barra rígida fixada em ambas as extremidades (barra 
engastada) como na figura 49 abaixo, têm-se apenas uma equação e duas variáveis 
(duas reações). Neste caso, a barra é dita como estaticamente indeterminada. 
Para solucinar problemas com carregamento estaticamente indeterminado 
desta natureza, deve-se adicionar uma nova equação observando a geometria do 
sistema estrutural. Na configuração esboçada na figura 49 abaixo, o deslocamento 
é limitado pela existência dos apoios fixos em ambas as extremidades da barra, 
portanto, pode-se assumir que o alongamento relativo entre os pontos A e B será nulo. 
Essa equação que especifica as condições do alongamento é denominada de 
condição de compatibilidade ou condição cinemática. 
 
Figura 49: Condição cinemática ou condição de compatibilidade 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Como o deslocamento relativo entre os pontos A e B é nulo, podemos 
escrever: 
 δA/B = 0 (114) 
Caso a força resultante interna no elemento AC é +𝐹𝐴 e no elemento BC é −𝐹𝐵, 
pode-se escrever: 
 FALAC
AE
−
FBLCB
AE
= 0 (115) 
Por meio dessa segunda relação, é possível determinar as reações em A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
 
 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO EM ESFORÇOS AXIAIS 
Um elemento estrutural submetido a um esforço axial de tração, conforme 
esboçado na figura 50, que apresenta uma distribuição de tensão e deformação 
não uniforme, em função das existências de pontos de descontinuidades. Conforme 
já abordado em tópicos anteriores, as tensões e deformações serão maiores próximas 
a essas descontinuidades, fazendo com que esses pontos de concentração de 
tensão recebam uma atenção especial por parte dos engenheiros projetistas. 
Observe a figura 50 abaixo, em que uma barra prismática é submetida a um 
esforço axial de tração por meio do carregamento 𝑷. Uma secção transversal 
escolhida arbitrariamente nesta barra está submetida a uma tensão normal média 
σ𝑚é𝑑 = 𝑃 𝐴⁄ , entretanto, a região da barra que é seccionada pelo plano 𝑎𝑎 possui 
menor área de secção transversal que resiste ao carregamento. 
 
Figura 50: Descontinuidade e a concentração de tensão 
 
Fonte: Google (online, 2022) 
 
Analisando a distribuição de tensão ao longo da secção seccionada pelo 
plano aa, percebemos que haverá uma maior concentração de tensão próximo da 
descontinuidade (neste caso, o furo na barra). 
 
Figura 51: Distribuição de tensão média e real nas regiões de concentração de tensão 
 
Fonte: Google (online, 2022) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
 
Em casos em que a análise da concentração de tensão é de extrema 
relevância, como por exemplo, quando se utiliza materiais frágeis, adotamos um fator 
de concentração de tensão 𝑲, de maneira que K é definido como a razão entre 
tensão máxima permitida (𝜎𝑚á𝑥) e a tensão média (𝜎𝑚é𝑑) atuante sobre a menor 
secção transversal do elemento, ou seja: 
 
 K =
σmáx
σméd
 (116) 
 
Os valores de 𝑲 são obtidos utilizando-se diagramas como os apresentados na 
figura 52 abaixo. Os valores de 𝑲 não estão associados ao tipo de material 
empregado no elemento, mas, sim, à geometria dos pontos de concentração de 
tensão. 
 
Figura 52: Fatores de concentração de tensão 
 
Fonte: Hibeller (2010) 
 
No primeiro diagrama, em que um determinado elemento sofre uma 
descontinuidade, aqui caracterizada pela redução da área da secção transversal, 
o valor do fator de concentração de tensão 𝐾 irá depender das relações (𝑟/ℎ) e 
(𝑤/ℎ). Ou seja, quanto maior o raio 𝒓 aplicado na região de redução de secção, 
maior a relação 𝑟/ℎ e, portanto, menor valor de 𝑘. Partindo dessa premissa, é de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
 
fundamental importância que o engenheiro saiba identificar os pontos de 
concentração de tensão, sobretudo, em materiais frágeis a fim de serem avaliados 
no projeto de máquinas ou estruturas. 
 
3.12.1 Exemplo resolvido: 
A barra prismática da figura 53 abaixo é submetida a um carregamento axial 
de tração de intensidade 𝑷. A barra sofre uma redução de secção 
transversalapresentando, portanto, uma região de concentração de tensão. A fim 
de reduzir o fator de concentração de tensão, foi inserido um filete de raio 𝒓 = 10 𝑚𝑚, 
objetivando cadenciar a redução de secção. Sabendo-se que a tensão admissível 
para esse elemento é de 110 Mpa, qual o valor máximo do carregamento 𝑷 que 
poderá ser aplicado sobre a barra? 
 
Figura 53: Exemplo resolvido 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 
 
σméd =
P
A
=
P
20 ∙ 10 ∙ (mm2)
 (117) 
 P = σméd ∙ 200 mm2 (118) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
 
Como, 
 K =
σmáxσméd
 (119) 
Então, 
 P =
σmáx
K
∙ 200 mm2 (120) 
Avaliando os parâmetros da geometria da descontinuidade, o fator de 
concentração de tensão 𝐾 pode ser obtido pelo diagrama da figura 53. 
 
 
 
r
h
=
10 mm
20 mm
= 0,5 (121) 
 
w
h
=
40 mm
20 mm
= 2,0 (122) 
Logo: 
 K = 1,4 (123) 
Como a tensão máxima que poderá atuar sobre o elemento é a tensão 
admissível, então: 
 P =
110 Mpa
1,4
∙ 200 mm2 (124) 
Logo, 
 P = 15,7 KN (125) 
 
 
 
 
https://bit.ly/3QIm93o
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. (Adaptada de Hibbeler, 2010). A barra rígida é sustentada por um pino em 𝐴 e pelos 
cabos 𝐵𝐷 e 𝐶𝐸. Se a carga 𝑃 aplicada à viga provocar um deslocamento de 10 𝑚𝑚 
para baixo na extremidade C, determine a deformação normal desenvolvida nos 
cabos 𝐶𝐸 e 𝐵𝐷. 
 
 
 
a) ϵCE = 0,00250
mm
mm
, ϵBD = 0,00107
mm
mm
 
b) ϵCE = 0,250
mm
mm
, ϵBD = 0,107
mm
mm
 
c) ϵCE = 0,00360
mm
mm
, ϵBD = 0,00209
mm
mm
 
d) ϵCE = 0,360
mm
mm
, ϵBD = 0,209
mm
mm
 
e) ϵCE = 0,00250
mm
m
, ϵBD = 0,00107
mm
m
 
 
2. (Adaptada de Hibbeler, 2010). A figura mostra o diagrama tensão-deformação de 
formação para duas barras de poliestireno. Se a área da seção transversal da 
barra 𝐴𝐵 for 950 𝑚𝑚² e a de 𝐵𝐶 for 2500 𝑚𝑚² determine a maior força 𝑷 que pode 
ser suportada antes que qualquer dos elementos sofra ruptura. Considere que não 
ocorre nenhuma flambagem. 
 
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
 
 
 
a) P = 54,27 kN 
b) P = 122,38 kN 
c) P = 656,3 kN 
d) P = 5,427 kN 
e) P = 65,63 kN 
 
3. (Adaptada de Hibbeler, 2010). O tampão tem diâmetro de 30 𝑚𝑚 e ajusta-se ao 
interior de uma luva rígida com diâmetro interno de 32 𝑚𝑚. Ambos, tampão e luva, 
têm 50 𝑚𝑚 de comprimento. Determine a pressão axial 𝒑 que deve ser aplicada à 
parte superior do tampão para que ele entre em contato com as laterais da luva. 
Determine também a que distância o tampão deve ser comprimido para baixo 
para que isso aconteça. O material do tampão tem 𝐸 = 5 𝑀𝑃𝑎 e 𝑣 = 0,45. 
 
 
 
a) p = 327 kPa, δ = 74,1 mm 
b) p = 826 Pa, δ = 2,36 mm 
c) p = 901 Pa, δ = 2,36 mm 
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
 
d) p = 741 kPa, δ = 7,41 mm 
e) p = 652 kPa, δ = 0,741 mm 
 
4. (Adaptada de BEER, 1995). Duas barras cilíndricas, uma de aço é igual (𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎) 
e outra de latão (𝐸 = 105 𝐺𝑃𝑎), são ligadas em 𝐶, e engastadas em 𝐴 e 𝐸. Para o 
carregamento indicado, determinar as reações em 𝐴 e 𝐵, e a deflexão do ponto 
𝐶. 
 
 
 
a) RA = 125,6 kN (→); RE = 74,4 kN (→); δC = 46,3 mm 
b) RA = 55,7 kN (←); RE = 29, kN (←); δC = 46,3 μm 
c) RA = 62,8 kN (←); RE = 37,2 kN (←); δC = 46,3 μm 
d) RA = 125,6 kN (←); RE = 74,4 kN (←); δC = 46,3 μm 
e) RA = 62,8 kN (→); RE = 37,2 kN (→); δC = 56,7 mm 
 
5. (Adaptada de BEER, 1995). Em um teste de tração, uma barra de 20 𝑚 de diâmetro 
feita de plástico que acaba de ser desenvolvida, é submetida a uma força 𝑷 de 
intensidade 6 𝑘𝑁. Sabendo-se que um alongamento de 14 𝑚𝑚 e um decréscimo 
de 0,85 𝑚𝑚 no diâmetro são observados, tem um trecho central de 150 𝑚𝑚 de 
comprimento, determinar o módulo de elasticidade longitudinal (𝐸) o módulo de 
elasticidade transversal (𝐺) e o coeficiente de Poisson (𝑣) do material. 
 
a) E = 98 MPa; G = 56,3 MPa; v = 0,104 
b) E = 205 MPa; G = 70,3 MPa; v = 0,455 
c) E = 410 MPa; G = 70,3 MPa; v = 0,355 
d) E = 615 MPa; G = 7,03 MPa; v = 0,5 
e) E = 106 MPa; G = 56,3 MPa; v = 0,225 
HP
Realce
HP
Realce
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
 
 
6. (Adaptada de BEER, 1995). O corpo de prova de alumínio mostrado é submetido a 
duas forças centradas e axiais e opostas, de intensidade 𝑷. Pede-se: a) sabendo-
se que 𝐸 = 70 𝐺𝑃𝑎 e 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 200 𝑀𝑃𝑎, determinar o máximo valor admissível de 𝑷 e 
correspondente alongamento para amostra total; b) resolver o ítem a, 
considerando que o corpo de prova foi substituído por uma barra de alumínio de 
mesmo comprimento, mas de seção transversal retangular uniforme de 60 𝑥 15 𝑚𝑚. 
 
 
 
a) (a) P = 97,3 kN; δ = 0,834 mm (b) P = 180 kN; δ = 1,714 mm 
b) (a) P = 9,73 kN; δ = 8,34 mm (b) P = 18,0 kN; δ = 17,14 mm 
c) (a) P = 194,6 kN; δ = 1,668 mm (b) P = 360 kN; δ = 3,428 mm 
d) (a) P = 291,9 kN; δ = 8,34 mm (b) P = 180 kN; δ = 3,428 mm 
e) (a) P = 3,26 MN; δ = 8,34 mm (b) P = 180 kN; δ = 3,428 mm 
 
7. (Adaptada de BEER, 1995). Uma força axial e centrada de intensidade 𝑷 = 40 𝑘𝑁 é 
aplicada à barra de aço mostrada. Determinar o máximo valor da atenção normal 
em A e em b. 
 
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
 
a) (a)325 Mpa (b)404 MPa 
b) (a)3,25 Mpa (b)2,96 MPa 
c) (a)582 Mpa (b)3,25 MPa 
d) (a)296 Mpa (b)202 MPa 
e) (a)2,96 Mpa (b)2,02 MPa 
 
8. (Adaptado de J. M. GERE, 2009). Um pedestal de concreto reforçado (𝐸 = 25 𝐺𝑃𝑎) 
tendo dimensões 𝐿1 = 2 𝑚 e 𝐿2 = 1,5 𝑚 é ilustrado na figura abaixo. As cargas 
aplicadas ao pedestal são 𝑃1 = 400 𝑘𝑁 e 𝑃2 = 650 𝑘𝑁. Sob a ação dessas cargas, o 
máximo encurtamento permitido do pedestal é 1,0 𝑚𝑚. Sejam 𝐴1 𝑒 𝐴2 as áreas de 
seção transversal das partes superior e inferior, respectivamente, do pedestal. (a) 
Se a área 𝐴2 for três vezes a área 𝐴1, qual é a máxima área permitida 𝐴1? (b) Se as 
áreas 𝐴1 𝑒 𝐴2 forem tais que as tensões de compressão em ambas as partes do 
pedestal forem as mesmas, qual é a máxima área permitida 𝐴1? 
 
 
 
a) (a)(A1)min = 43.000 mm2; (b)(A1)min = 63.000 mm2 
b) (a)(A1)min = 50.000 mm2; (b)(A1)min = 65.000 mm2 
c) (a)(A1)min = 53.000 mm2; (b)(A1)min = 56.000 mm2 
d) (a)(A1)min = 50.000 mm2; (b)(A1)min = 59.000 mm2 
e) (a)(A1)min = 47.000 mm2; (b)(A1)min = 54.000 mm2 
 
HP
Realce
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
 
ESTUDO DA TORÇÃO PURA 
 
 
 
 
 INTRODUÇÃO À TORÇÃO 
Nos tópicos anteriores abordamos os conceitos de tensão e deformação 
associados a um carregamento axial, entretanto, um tipo de esforço também muito 
aplicado, sobretudo, em eixos de transmissão de potência é o esforço por torção. O 
leque de aplicação é enorme, motores, redutores de velocidade, laminadores de 
aço, eixo cardan de ônibus e caminhões, dentre outros. Os eixos podem ser maciços 
ou vazados, e podem ser fabricados em diversos tipos de materiais. Na indústria 
mecânica, o aço é o material de maior aplicabilidade na confecção de eixos de 
transmissão. 
A figura 54 abaixo apresenta um eixo maciço sendo submetido a um esforço 
de torção, antes da aplicação do torque externo 𝑻 e depois da aplicação do torque. 
Diversas linhas na direção longitudinal ao eixo foram desenhadas na superfície 
externa, a fim de facilitar a visualização das deformações provocadas pelo momento 
torçor. 
 
Figura 54: Eixo de secção circular sujeito a um torque externo 
 
Fonte: Beer; et al (2015) 
 
Pelo método da secção podemos afirmar que após a aplicação do torque 
externo 𝑇 irá surgir um torque interno correspondente 𝑻′ em sentido contrário. 
 
UNIDADE 
04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
 
 ÂNGULO DE TORÇÃO (𝜽), DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO NA 
SECÇÃO 
A figura 55 abaixo apresenta uma linha na superfície externa do eixo na 
direção longitudinal de comprimento 𝑥 = 𝐿, com origem no ponto 𝐵 fixado em uma 
chapa. Quando o eixo é submetido a um torque externo 𝑇, surgirá um ângulo de 
torção 𝜃(𝑥) em que 𝑥 é a distância da origem em 𝐵 até o ponto onde mede-se o 
ângulo (𝜃). Perceba que o ângulo de torção é uma função de 𝑥, logo, quanto mais 
afastado do ponto fixo 𝐵, maior o ângulo de torção 𝜃. 
 
Figura 55: Ângulo de torção θ(x) 
 
Fonte: Beer; et al (2015). 
 
Devido à ocorrência dessa distorção ao longo do eixo haverá o surgimento de 
uma deformação por cisalhamento 𝛾. A deformação por cisalhamento em um 
elemento infinitesimal qualquer no interior do eixo depende somente da sua distância 
radial à linha central do eixo longitudinal. Essa deformaçãoé zero na linha central, e 
máxima na superfície externa do eixo, ponto de maior distância radial ao centro. A 
deformação por cisalhamento de um elemento no interior do eixo pode ser 
encontrada pela relação abaixo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90 
 
 
 γ = (
ρ
c
) γmáx (126) 
onde 𝛾 é a deformação do elemento, 𝜌 é a distância radial do elemento à linha 
central longitudinal, 𝑐 é a distância radial máxima e 𝛾𝑚á𝑥 é a deformação máxima do 
elemento encontrado na superfície do eixo, cujo raio vale 𝑐. 
Conforme apresentado no tópico anterior, quando um eixo é submetido a um 
momento torço oriundo de esforços externos, este irá desenvolver um torque interno 
de mesmo módulo. Mediante o surgimento desse torque interno, surgirão tensões de 
cisalhamento na secção transversal. A tensão de cisalhamento é nula na linha central 
do eixo longitudinal e máxima (𝜏𝑚á𝑥) na superfície externa, que representa o ponto 
mais distante da linha central. A distribuição de tensão, tanto em um eixo maciço 
como em um eixo vazado é apresentada na figura 56 abaixo. 
 
Figura 56: Distribuição de tensão de cisalhamento em eixos maciço e vazado 
 
Fonte: Beer; et al (2015) 
 
Se o material for linearmente elástico, ou seja, apresente um comportamento 
dentro da zona elástica obedecerá, portanto, à lei de Hooke em que, 𝜏 = 𝐺𝛾, 
realizando a combinação da equação de deformação e da lei de Hooke, podemos 
escrever a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer do eixo como função da 
distância radial do elemento a linha central da direção longitudinal, sendo assim, 
 
 τ = (
ρ
c
) τmáx (127) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
 
 
Figura 57: Elementos de área dA submetido à tensão de cisalhamento na torção 
 
Fonte: Beer; et al (2015) 
 
 A FÓRMULA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO 
A tensão de cisalhamento varia, linearmente, do centro até a superfície do 
eixo na direção radial. Na figura 57 acima um elemento de área 𝑑𝐴 submetido a uma 
força cisalhante 𝑑𝐹 = 𝜏 ∙ 𝑑𝐴. Para encontrarmos o torque internado total, devemos 
integrar ao longo da área da secção transversal, os toques infinitesimais em cada 
elemento de área 𝑑𝐴. Logo, como cada elemento é submetido a uma força 𝜏 ∙ 𝑑𝐴, o 
torque no elemento a um distância radial 𝜌 do centro do eixo será, 𝑑𝑇 = 𝜌(𝜏 ∙ 𝑑𝐴), 
logo, o torque interno no eixo, que equilibra o torque esterno, será: 
 
 T = ∫ ρ(τ ∙ dA)
A
= ∫ ρ (
ρ
c
) τmáxdA
A
 (128) 
 
Como 𝜏𝑚á𝑥 e 𝑐 são constantes, 
 T =
τmáx
c
∫ ρ2dA
A
 (129) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
92 
 
 
Perceba que a integral de área apresentada na equação depende, 
exclusivamente, da geometria da secção transversal do eixo de transmissão. Essa 
propriedade da secção transversal é denominada momento polar de inércia (𝐽) da 
secção em relação ao eixo central na direção longitudinal, possui unidade de 
dimensão elevada à quarta potência (𝑚𝑚4), possui sempre valor positivo, e não 
possui um significado do ponto de vista físico. 
Logo, a tensão de cisalhamento máxima, atuante em um eixo qualquer, será: 
 
 
τmáx =
Tc
J
 (130) 
Para um elemento a uma distância radial 𝜌 qualquer, em um eixo, pode-se 
escrever: 
 τmáx =
Tρ
J
 (131) 
Para um eixo circular maciço, o momento de inércia polar em relação à linha 
central, é: 
 J =
π
2
c4 (132) 
E para um eixo circular vazado, 
 J =
π
2
(c0 − ci)
4 (133) 
Onde 𝑐0 é o raio maior e 𝑐𝑖 é o raio menor. 
 
 
 
 
A imagem a seguir apresenta a relação de algumas figuras geométricas 
planas e seus respectivos momento de inércia em relação aos eixos x e y e em 
relação a linha neutra (𝐼)̅. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
93 
 
 
Figura 58: Momento de Inércia de algumas figuras planas 
 
 
 
 TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO (EXEMPLO RESOLVIDO) 
A figura 59 abaixo apresenta um eixo de transmissão com seção transversal 
circular, maciço, apoiado em dois mancais de rolamento (permite a rotação) 
submetido a três torques externos, de 4.250 𝑘𝑁 ∙ 𝑚𝑚, 3.000 𝑘𝑁 ∙ 𝑚𝑚 e 1.250 𝑘𝑁 ∙ 𝑚𝑚, 
respectivamente, da esquerda para a direta. O sentido dos torques aplicados é 
definido pela orientação das setas ao redor das polias. O eixo possui um diâmetro da 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
 
 
secção transversal, de 150 𝑚𝑚 ou seja, 𝑐 = 75 𝑚𝑚. Qual a tensão de cisalhamento 
máxima 𝜏𝑚á𝑥 a que o eixo estará submetido na secção transversal cortada pelo plano 
𝑎𝑎 ? 
 
Figura 59: Tensão de cisalhamento na torção (exemplo resolvido) 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
O ponto de partida para obter a tensão de cisalhamento máxima no eixo 
deverá ser obter o torque interno na secção transversal cortada pelo plano aa. Vale 
ressaltar que os torques em ambos os sentidos (horário e anti-horário) são iguais, logo, 
o eixo estará em equilíbrio. Caso o peso do eixo e das polias sejam desprezados, 
podemos afirmar que as reações no apoio serão nulas. Utilizando-se o método das 
secções e realizando um seccionamento sobre o plano 𝑎𝑎, podemos escrever a 
relação abaixo: 
 
 −Tinte ∓ 3000 kN ∙ mm ± 4.250 kN ∙ mm = 0 (134) 
 
Logo; 
 Tinte = 1.250 kN ∙ mm (135) 
 
Em seguida, deve-se obter o momento polar de inércia da secção transversal 
circular maciça. Logo, 
 J =
π
2
c4 (136) 
 J =
π
2
(75 mm)4 (137) 
 J = 4,97 x 107mm4 (138) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
95 
 
 
A tensão de cisalhamento máxima, de acordo com a distribuição de tensões 
na secção transversal, ocorrerá na superfície do eixo, a uma distância 𝑐 = 75 𝑚𝑚 da 
linha central do eixo perpendicular ao aplano 𝑎𝑎. Logo, podemos escrever para a 
tensão de cisalhamento máxima: 
 
τmáx =
Tc
J
 (139) 
 
τmáx =
(1250) kN ∙ mm (75)mm
4,97 x 107mm4
 (140) 
 
τmáx = 1,89 
N
mm2
 ou 1,89 Mpa (141) 
 
 
 
 
 
https://bit.ly/3Dl2hAe
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. (Adaptado de J. M. GERE, 2009). Um eixo sólido ABCD, tendo diâmetro d = 30 mm, 
gira livremente em mancais nos pontos A e E. O eixo é comandado pela 
engrenagem em C, que aplica um torque T2 = 450Nm na direção ilustrada na 
figura. As engrenagens B e D são giradas pelo eixo e têm torques de resistência 
T1 = 275 Nm e T3 = 175 Nm, respectivamente, agindo em direção oposta ao torque 
T2. Os segmentos BC e CD têm comprimentos LBC = 500 mm e LCD = 400 mm, 
respectivamente, e o módulo de cisalhamento G = 80 GPa. Determine a tensão de 
cisalhamento máxima em cada parte do eixo entre as engrenagens B e D. 
 
 
 
a) τBC = 5,19 MPa; τCD = 45,0 MPa 
b) τBC = 519 MPa; τCD = 45,0 MPa 
c) τBC = 66,3 MPa; τCD = 45,0 MPa 
d) τBC = 6,63 MPa; τCD = 33,0 MPa 
e) τBC = 51,9 MPa; τCD = 33,0 MPa 
 
2. (Adaptado de J. M. GERE, 2009). Um eixo sólido ABCD, tendo diâmetro d = 30 mm, 
gira livremente em mancais nos pontos A e E. O eixo é comandado pela 
engrenagem em C, que aplica um torque T2 = 450Nm na direção ilustrada na 
figura. As engrenagens B e D são giradas pelo eixo e têm torques de resistência 
T1 = 275 Nm e T3 = 175 Nm, respectivamente, agindo em direção oposta ao torque 
T2. Os segmentos BC e CD têm comprimentos LBC = 500 mm e LCD = 400 mm, 
respectivamente, e o módulo de cisalhamento G = 80 GPa. Determine o ângulo de 
torção entre as engrenagens B e D. Lembre-se que: θ =
TL
GI
. Em que I é o momento 
de inércia da secção transversal. Para circunferência, I =
πd4
32
. 
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
97 
 
 
 
 
a) θBC = −0,0216 rad; θCD = 0,0110 rad; θBD = −0,0106 rad 
b) θBC = −2,16 rad; θCD = 0,0110 rad; θBD = −0,06 rad 
c) θBC = −0,0216 rad; θCD = 0,110°; θBD = −0,016 rad 
d) θBC = −2,16 rad; θCD = 0,25°; θBD = −0,0106 rad 
e) θBC = 0,0216 rad; θCD = 0,30 rad; θBD = −10,6 rad 
 
3. (Adaptada de BEER, 1995). Um eixo circular vazado de aço tem comprimento L =
1,5 m e diâmetros interno/externo, respectivamente, de 40 e 60 mm. Qual é o maior 
momento de torção que pode ser aplicado ao eixo, para que as tensões de 
cisalhamento não excedam a 120MPa? Qual o valor mínimo da tensão de 
cisalhamento para esse caso? 
 
 
 
a) T = 408,0 kNm e τ = 80 MPa 
b) T = 2,04 kNm e τ = 60 MPa 
c) T = 2,04 kNm e τ = 70 MPa 
d) T = 4,08 kNm e τ = 80 MPa 
e) T = 40,8 kNm e τ = 60 MPa 
 
HP
Realce
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
98 
 
 
4. (Adaptada de BEER, 1995). O eixo circular BC é vazado, e tem diâmetros de 
90 mm e 120 mm, respectivamente, interno/externo. Os eixos AB e CD são maciços, 
com diâmetro d. Determinar para o carregamento indicado: (a) o valor máximo e 
o valor mínimo da tensão de cisalhamento no eixo BC; (b) qual o diâmetro 
necessário nos eixos AB e CD se a tensão admissível no material é 65 MPa. 
 
 
 
a) (a)τmáx = 36,7 MPa; τmín = 64, MPa (b) d = 25,6 mm 
b) (a)τmáx = 3,67 MPa; τmín = 68, MPa (b) d = 25,6 mm 
c) (a)τmáx = 86,2 MPa; τmín = 64, MPa (b) d = 77,8 mm 
d) (a)τmáx = 8,62 MPa; τmín = 68, MPa (b) d = 7,78 mm 
e) (a)τmáx = 0,862 MPa; τmín = 68, MPa (b) d = 25,6 mm 
 
5. (Adaptada de BEER, 1995). Determinar o torque 𝐓 que causará uma tensão de 
cisalhamento máxima de 45 MPa no cilindro vazado de aço, como indicado na 
figura abaixo. Qual a máxima tensão de cisalhamento causada pelo mesmo 
torque 𝐓, em um cilindro maciço de mesma área de secão transversal. 
 
 
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
99 
 
 
a) T = 61,4 kNm; τmáx = 8,72 Mpa 
b) T = 5,17 kNm; τmáx = 87,2 Mpa 
c) T = 517 kNm; τmáx = 25,6 Mpa 
d) T = 51,7 kNm; τmáx = 256 Mpa 
e) T = 6,14 kNm; τmáx = 2,56 Mpa 
 
6. (Adaptada de Hibbeler, 2010). O eixo está preso à parede A e é submetido aos 
torques mostrados na figura abaixo. Determine a tensão de cisalhamento máxima 
no eixo. Um filete de soda de raio 4,5 mm é usado para interligar os eixos em B. 
 
 
 
a) τmáx = 35,6 Mpa 
b) τmáx = 3,56 Mpa 
c) τmáx = 47,2 Mpa 
d) τmáx = 4,72 Mpa 
e) τmáx = 472 Mpa 
 
7. (Adaptada de Hibbeler, 2010). O eixo abaixo é usado para transmitir 660 W ao girar 
a 450 rpm. Determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo. Os segmentos 
são interligados por um filete de solda de raio 1,875 mm. 
 
 
HP
Realce
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 
 
 
a) τmáx = 47,48 MPa 
b) τmáx = 4,74 MPa 
c) τmáx = 474,8 MPa 
d) τmáx = 38,75 MPa 
e) τmáx = 3,875 MPa 
 
8. (Adaptada de BEER, 1995). Um tubo circular com um diâmetro externo de 80 mm e 
um diâmetro interno de 60 mm está submetido a um torque T = 4,0 kNm conforme 
a figura abaixo. O tubo é feito de uma liga de alumínio 7075-T6. Determine a tensão 
de cisalhamento máxima atuante no tubo. 
 
 
 
a) τmáx = 58,2 MPa 
b) τmáx = 5,82 MPa 
c) τmáx = 582,6 MPa 
d) τmáx = 32,4 GPa 
e) τmáx = 37,8 GPa 
 
HP
Realce
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
101 
 
 
ESTUDO DA FLEXÃO PURA 
 
 
 
 
 INTRODUÇÃO À FLEXÃO 
Um elemento estrutural pode sofrer vários tipos de esforços, como tração, 
compressão, torção, flexão e, na maioria dos casos, esforços combinados. Neste 
capítulo iremos estudar a flexão pura, que ocorre em vigas e eixos, importantes 
elementos de estrutura e máquinas aplicados na engenharia. Consideraremos 
elementos retos, feitos em materiais homogêneos, com secção transversal simétrica. 
De acordo com Hibbeler (2010, p.181), “Elementos delgados que suportam 
carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal são 
denominados vigas”. 
As vigas como um elemento reto pode ser classificada em função dos tipos de 
apoio a que estão sunmetidas. As principais são: 
Viga simplesmente apoiada: Neste tipo de viga, uma de suas extremidades é 
fixa e a outra extremidade está apoiada sobre um apoio móvel (ou rolete). 
 
Figura 60: Viga simplesmente apoiada 
 
Fonte: Google (online, 2022) 
 
Viga apoiada ou biapoiada: Neste tipo de viga, ambas as extremidades estão 
apoadas sobre apoios móveis (roletes). A figura 62 apresenta um exemplo. 
Viga em balanço: Neste tipo de viga, uma de suas extremidades encontra-se 
engastada e a outra extremidade encontra-se livre (em balanço). A figura 62 
apresenta um exemplo. 
Viga bi-engastada: Como sugere o próprio nome, ambas as extremidades 
encontram-se engastadas. A figura 62 apresenta um xemplo. 
UNIDADE 
05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102 
 
 
Viga apoiada com uma ou ambas as extremidades em balanço: Neste tipo 
de viga uma ou ambas as extremidades ultrapassam livremente o apoio. 
 
Figura 61: Viga apoiada com uma ou ambas as extremidades em balanço 
 
Fonte: Google (online, 2022) 
 
A figura 62 abaixo, apresenta alguns tipos de vigas em função do tipo de 
apoio. 
 
Figura 62: Tipos de apoio 
 
Fonte: Google (online, 2022) 
 
 
 
Para o desenvolvimento de projetos de eixos e vigas submetidos a esforços de 
flexão, aplicaremos o método das secções, a fim de se analisar os esforços de 
cisalhamento interno (força cortante) e o momento fletor gerado no interior da 
secção transversal da viga. Vale ressaltar que as vigas podem ser submetidas a 
esforços concentrados figura 63𝑎 (a), carregamentos distribuídos de maneira 
uniforme figura 63𝑏 ou carregamentos distribuídos variantes ao longo da posição da 
viga figura 63𝑐. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
103 
 
 
Figura 63: Tipo de esforços 
 
 
Fonte: Google (online, 2022) 
 
Os esforços aplicados nas vigas provocam o surgimento de esforços internos 
denominados de força cortante e momento fletor. Uma boa estratégia utilizada em 
engenharia é determinar os valores da força cortante máxima e do momento fletor 
máximo que atua sobre a viga ao longo de seu cumprimento total, e a partir desses 
valores, bem como da posição onde esses esforços máximos acontecem, o 
engenheiro projetista poderá dimensionar a secção transversal da viga ou eixo, bem 
como aplicar reforços sobre as regiões de maior força cortante e momento fletor. 
Para o cálculo do momento fletor máximo e força cortante máxima, e o 
desenvolvimento do diagrama de força cortante (𝑉 versus 𝑥) e diagrama de 
momento fletor (𝑀 versus 𝑥) é necessário adotar algumas de etapas. De acordo com 
Hibbeler (2010, p. 182 e 183): 
 
Calcular todas as reações de apoio, e decompor todas as forças 
inclinadas, em componentes perpendiculares e paralelas à viga. 
Fracionar a viga em vários segmentos, da esquerda para a direita, de 
acordo com os pontos de descontinuidades até a região da viga em 
que não há mais descontinuidade. 
Seccione a viga perpendicularmente ao seu eixo em cada distância 
XE faço diagrama de corpo livre de um dos segmentos. Não esqueça 
que as ações de força cortante e momento fletor devem ser 
mostradas no sentido positivo de acordo com a convenção de sinal. 
A força cortante ou o cisalhamento é obtido pela soma das forças 
perpendiculares ao eixo da viga. 
O momento fletor é obtido pela soma dos momentos em torno da 
extremidade seccionada do segmento. 
Por fim construa o diagrama de força cortante e o diagrama de 
momento fletor ambos em função da posição x da viga. Se os valores 
numéricos das fusões que descrevem a força cortante e o momento 
fletor forem positivos então estes estarão acima do eixo x ao passo que 
valores negativos serão plantados abaixo do eixo x. 
Normalmente representa se o diagrama de momento fletor e força 
cortante imediatamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
104 
 
 
 CONVENÇÃO DE SINAIS NA ANÁLISE DE FLEXÃO EM VIGAS 
Realizando-se o seccionamento da viga ou eixo a ser analisado, partindo da 
origem em sempre da esquerda para a direita (por convenção), a força cortante é 
considerada positiva apontando sempre para baixo, e o momento fletor é 
considerado positivo no sentido anti-horário. 
A figura 64 abaixo apresenta uma viga apoiada com extremidade em 
balanço, submetida a dois carregamentos. Um concentrado 𝑃 e outro distribuído 𝑤0 
a partir do ponto A, aumentando uniformemente ao longo da sua posição 𝑥, até o 
ponto B. 
 
Figura 64: Cálculo em viga submetida a flexão 
 
Fonte: Elaborado peloautor (2022). 
 
Realizando o seccionamento da viga, partindo do ponto A (𝑥 = 0) e 
finalizando entre os pontos C e D, e lançando mão da convenção de sinais adotados 
para a força cortante 𝑉 e o momento fletor 𝑀, podemos esboçar o diagrama de 
corpo livre após cada seccionamento, observando os pontos de descontinuidades 
nas aplicações dos carregamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
105 
 
 
Para 𝐴para baixo, 
coeficiente que acompanha o termo 𝑥2 é menor que zero, (𝑎por meio da relação: 
 
 p = 2πfT (227) 
 
UNIDADE 
06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
126 
 
 
Logo: 
 T =
P
2πf
 (228) 
 
Logo, 
 
 
c =
√2
P
2πf
πτ
3
 
(229) 
 
 
c = √
P
π2fτ
3
 (230) 
 
Como 𝑑 = 2𝑐, 
 
d = 2 ∙ √
15.000 
π2 ∙ 30 ∙ 50x106
3
 (231) 
 d = 20,087 mm (232) 
 
 
 
 
 DIMENSIONAMENTO DE EIXO (EXEMPLO RESOLVIDO II) 
Um eixo de transmissão de potência, maciço, fabricado em aço cujo módulo 
elasticidade transversal é 𝐺 = 77𝐺𝑃𝑎, tensão de cisalhamento admissível 50MPa, gira 
com uma frequência angular de 25 𝐻𝑧 . O eixo possui um comprimento de 3 metros. 
Projete o eixo a fim de que se possa transmitir uma potência de 12kW em que o 
ângulo de torção não exceda 10° 
Cálculo do diâmetro levando-se em conta a tensão admissível: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
127 
 
 
 d = 2 ∙ √
P
π2fτ
3
 (233) 
 d = 2 ∙ √
12.000
π2 ∙ 25 ∙ 50x106
3
 (234) 
 d = 19,82 mm (235) 
 
Cálculo do diâmetro levando-se em conta o ângulo máximo de torção: 
 
 θ =
TL
GI0
 (236) 
 
Onde; 
 I0 =
π
32
D4 (237) 
 
Logo, 
 D = √
32 ∙ T ∙ L
G ∙ π ∙ θ
4
 (238) 
 D = √
32 ∙ P ∙ L
2Gfθπ2
4
 (239) 
 
 
D = √
32 ∙ 12000 ∙ 3
2 ∙ 77x109 ∙ 25 ∙
10
180 π2
4
 (240) 
 D = 20,41 mm (241) 
 
 DIMENSIONAMENTO DE VIGA (EXEMPLO RESOLVIDO III) 
 
Projetar a viga mais econômica para suportar o carregamento mostrado na 
figura 69 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
128 
 
 
Figura 69: Projeto de viga sujeita a esforços de flexão 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
A viga apresentada na figura 69 acima, possui um apoio articulado fixo, 
portanto, de 2° gênero, com duas reações (nas direções 𝑥 e 𝑦) e um apoio móvel 
de 1° gênero, com uma reação na direção 𝑦. 
Pela estática podemos obter as reações de apoio. 
Equilíbrio na direção 𝑥, 
 
 ∑ Fx = 0 (242) 
Logo, 
 RA(x) = 0 (243) 
 
Equilíbrio na direção 𝑦, 
 ∑ Fy = 0 (244) 
 RA(y) + RB(y) = 80kN + 100 
kN
m
∙ 2,4 m (245) 
 RA(y) + RB(y) = 320 kN (246) 
 
Equilíbrio rotacional, 
 ∑ MA = 0 (247) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
129 
 
 
 RB(y) ∙ 0,8 − 240 ∙ 1,2 − 80 ∙ 2,4 = 0 (248) 
 RB(y) = 600 kN (249) 
 
Logo, 
 RA(y) + 600kN = 320 kN (250) 
 RA(y) = −280 kN (251) 
 
O sinal negativo encontrado na resposta indica que o sentido da reação de 
apoio em 𝐴 é o oposto do representado na figura 69. 
Analisando a viga para obtenção da força cortante máxima e momento fletor 
máximo. 
Para 0MPa 
c) σmáx = 81,8 MPa 
d) σmáx = 22,3 Mpa 
e) σmáx = 74,8 MPa 
 
 
 
 
 
 
HP
Realce
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
138 
 
 
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO 
 
UNIDADE 01 
 
 
 
UNIDADE 02 
 
QUESTÃO 1 C QUESTÃO 1 A 
QUESTÃO 2 D QUESTÃO 2 A 
QUESTÃO 3 A QUESTÃO 3 C 
QUESTÃO 4 B QUESTÃO 4 B 
QUESTÃO 5 C QUESTÃO 5 C 
QUESTÃO 6 D QUESTÃO 6 D 
QUESTÃO 7 E QUESTÃO 7 A 
QUESTÃO 8 A QUESTÃO 8 E 
 
 
UNIDADE 03 
 
 
 
 
UNIDADE 04 
 
QUESTÃO 1 A QUESTÃO 1 E 
QUESTÃO 2 E QUESTÃO 2 A 
QUESTÃO 3 D QUESTÃO 3 D 
QUESTÃO 4 C QUESTÃO 4 C 
QUESTÃO 5 B QUESTÃO 5 B 
QUESTÃO 6 A QUESTÃO 6 C 
QUESTÃO 7 D QUESTÃO 7 A 
QUESTÃO 8 C QUESTÃO 8 A 
 
 
UNIDADE 05 
 
 
 
UNIDADE 06 
 
QUESTÃO 1 A QUESTÃO 1 B 
QUESTÃO 2 A QUESTÃO 2 C 
QUESTÃO 3 C QUESTÃO 3 B 
QUESTÃO 4 D QUESTÃO 4 A 
QUESTÃO 5 A QUESTÃO 5 D 
QUESTÃO 6 B QUESTÃO 6 C 
QUESTÃO 7 C QUESTÃO 7 A 
QUESTÃO 8 B QUESTÃO 8 E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
139 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BARRIOS, D. B. Demonstração do efeito da concentração de tensões empregando o 
método dos elementos finitos no processo de ensino na engenharia mecânica. São 
Paulo, 2005. Disponível em: https://bit.ly/3UaNHRH. Acesso em: 08 ago. 2022. 
 
BEER, Ferdinand P.; E. JOHNSTON, Russell Jr., DEWOLF, John T.; MAZUREK, David. F. 
Estática e Mecânica dos Materiais. 1. ed. AMGH, 2013. 
 
BEER, Ferdinand, JOHNSTON, E. Russell. Resistência dos Materiais. 3° ed. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 1995. 
 
BEER, F. P. JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 7ª ed., 
São Paulo: McGraw Hill, 2006. 
GERE, James M. Mecânica dos Materiais. Editora Cengage Learning. 
 
BOTELHO, Manoel H. C. Resistência dos materiais. 2° ed. São Paulo: Blucher, 2013. 
Disponível em: https://bit.ly/3Bb2Qda. Acesso em: 08 ago. 2022. 
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7.ed. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2010. 637 p. 
 
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais - 20ª Edição Revisada. 
Editora Saraiva, 2018. E-book. 9788536528564. Disponível em: https://bit.ly/3BIG1it. 
Acesso em: 30 ago. 2022. 
 
POPOV, E. P. Introdução à Mecânica dos sólidos. São Paulo: Blucher, 1978. 
Disponível em: https://bit.ly/3Dse4wI. Acesso em: 08 ago. 2022. 
 
 
 
 
 
https://bit.ly/3UaNHRH
https://bit.ly/3Bb2Qda
https://bit.ly/3BIG1it
https://bit.ly/3Dse4wIDE FLEXÃO EM VIGAS ...................... 104 
5.3 CÁLCULO DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR (EXEMPLO RESOLVIDO 
I) ........................................................................................................................ 105 
5.4 CÁLCULO DE FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR (EXEMPLO RESOLVIDO 
II) ....................................................................................................................... 111 
5.5 TENSÃO E DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO. .......................................................... 117 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................. 120 
PROJETO DE VIGAS E EIXOS ................................................................. 125 
6.1 DIMENSIONAMENTO DE EIXO (EXEMPLO RESOLVIDO I). .............................. 125 
6.2 DIMENSIONAMENTO DE EIXO (EXEMPLO RESOLVIDO II). ............................. 126 
6.3 DIMENSIONAMENTO DE VIGA (EXEMPLO RESOLVIDO III). ........................... 127 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................. 133 
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ............................................. 138 
REFERÊNCIAS ......................................................................................... 139 
 
 
 
UNIDADE 
05 
UNIDADE 
06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
CONFIRA NO LIVRO 
 
Prezado estudante, nesta unidade você irá relembrar conceitos de 
Mecânica Newtoniana, com ênfase em estática. Iremos abordar 
conceitos de mecânica geral, como por exemplo, força, equações 
de equilíbrio de força e momento, propriedades de figuras planas 
como centroide e momento de inércia. O objetivo é prepará-lo 
para a introdução nos conceitos de resistência dos materiais. 
Nesta unidade iremos apresentar o estudo das tensões. 
Abordaremos a tensão normal, a tensão de cisalhamento e a 
tensão de esmagamento. Iremos adotar conceitos fundamentais 
em projetos de máquinas e estruturas como tensão admissível, 
coeficiente de segurança, dentre outros. 
 
 
Nesta unidade iremos apresentar o estudo das tensões e 
deformações, com ênfase em esforços axiais. Abordaremos o 
diagrama de tensão x deformação, como elemento indispensável 
em projetos estruturais. Estudaremos diversas propriedades dos 
materiais, bem como os ensaios mecânicos. Apresentaremos o 
estudo da tensão e deformação normal. 
 
Nesta unidade iremos apresentar o estudo dos esforços de torção 
pura. Abordaremos conceitos associados ao ângulo de torção e da 
distribuição das tensões e deformações ao longo da secção 
transversal de um eixo sujeito a um torque externo. 
 
 
 
 
 
Nesta unidade iremos apresentar o estudo dos esforços de flexão 
pura. Discutiremos os cálculos de força cortante e momento fletor 
em vigas e eixos submetidos à flexão pura. Apresentaremos a 
fórmula da tensão na flexão. Por fim, serão discutidos alguns 
exemplos resolvidos. 
 
Dedicamos essa unidade exclusivamente à apresentação de 
cálculos de dimensionamento de vigas e eixos, sujeitos a esforços 
de torção ou flexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
MECÂNICA GERAL 
 
 
 
 
 VETORES 
Um vetor é objeto matemático apresentado como um segmento de reta, 
basicamente uma “seta”. Esse segmento de reta representa uma grandeza física 
vetorial, pode ser a velocidade, a aceleração, a posição o deslocamento de um 
móvel, um campo elétrico, qualquer grandeza vetorial. Daremos um enfoque maior 
na grandeza física vetorial força (�⃗�), que estudaremos a seguir. Um vetor possui 
origem e fim e é representado por uma letra minúscula. O tamanho do vetor está 
relacionado com a intensidade da grandeza medida. Em uma mesma escala, o 
vetor que representa a força peso de um semáforo de 3 𝑘𝑁 deverá ser menor que o 
vetor que representa o peso de uma carreta de 100 𝑘𝑁. 
Observe a figura 1 abaixo, onde temos o Vetor 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ ou simplesmente vetor �⃗⃗�. A 
origem do vetor em 𝐀, e termina em 𝐁. O seu módulo pode ser representado da 
seguinte forma: 
 
Vetor Módulo do vetor 
�⃗⃗� |�⃗⃗�| 
 
Figura 1: Representação de um vetor no plano 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
UNIDADE 
01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 OPERAÇÕES COM VETORES 
Podemos somar dois ou mais vetores, subtrair dois ou mais vetores e até mesmo 
multiplicar dois vetores. Também podemos multiplicar ou dividir grandezas vetoriais 
por grandezas escalares. Para isso, precisamos utilizar as figuras para que consigamos 
visualizar a operação. 
Na figura 2 abaixo, temos três imagens com situações diferentes. Podemos 
perceber que ao inverter o sentido do vetor, devemos trocar o sinal do mesmo. Ou 
seja, o vetor −i⃗ representa o vetor de mesmo módulo (tamanho) na mesma direção, 
porém, sentido contrário do vetor i⃗. Também podemos perceber que a soma de dois 
vetores resulta em um terceiro vetor. Ao somarmos os vetores v⃗⃗ e u⃗⃗ obtemos um 
terceiro vetor, a⃗⃗. Neste caso em questão, a extremidade final do vetor v⃗⃗ coincide com 
a origem do vetor u⃗⃗. Vale ressaltar que, se invertermos o sentido do vetor, então o seu 
sinal também será invertido. Também é representada na figura 2 a soma entre dois 
vetores j⃗ e l⃗ que possuem a mesma origem em comum, o ponto 𝐃. Neste caso, 
utilizamos a regra do paralelogramo. Para isso, basta representar em linhas 
pontilhadas a projeção dos vetores j⃗ e l⃗. A partir de então, traçamos o vetor 
resultante, conforme a figura 2. 
 
Figura 2: Representação da soma de vetores 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
A soma dos vetores (v⃗⃗ + u⃗⃗) e (j⃗ + l⃗) é expressa abaixo: 
 a⃗⃗ = v⃗⃗ + u⃗⃗ (1) 
 k⃗⃗ = j⃗ + l⃗ (2) 
 
Ao invertemos todos os vetores, obtemos a mesma relação, porém, com sinal 
trocado: 
 −a⃗⃗ = −v⃗⃗ − u⃗⃗ (3) 
 −k⃗⃗ = −j⃗ − l⃗ (4) 
 
A estática é a área da mecânica que estuda a condição de equilíbrio das 
partículas ou de um corpo rígido. A figura 3 a seguir apresenta as ramificações da 
mecânica, por vezes, chamada de Mecânica Newtoniana. 
 
Figura 3: Ramificações da Mecânica 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 INTRODUÇÃO À MECÂNICA 
A Mecânica é dividida em três grandes áreas, são elas, a Cinemática, a 
Dinâmica e a Estática. Nesta unidade, estudaremos as três leis de Newton, com 
enfoque maior na segunda lei em situações em que a aceleração é igual a zero, ou 
seja, na estática, bem como na terceira lei. O estudo das relações entre força e 
aceleração é o que chamamos de Mecânica Newtoniana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 O que é força? 
Um móvel que apresenta variação de velocidade está realizando um 
movimento acelerado ou retardado. Dizemos que quando uma partícula recebe a 
ação de uma força, ela sofre variação em sua velocidade ou, simplesmente, sofre 
uma aceleração. Podemos definir força de maneira grosseira, como um puxão ou 
um empurrão que aplicamos em um objeto, fazendo variar a sua velocidade, para 
mais (acelerando-o) ou para menos (desacelerando-o). 
Um carro quando colide em uma parede, realiza uma força sobre a parede. 
Quando chutamos uma bola de futebol, fazemos variar a velocidade da bola, de 
𝐳𝐞𝐫𝐨 para �⃗⃗�, logo, aplicamos uma força sobre a bola. 
 
1.3.1 A primeira Lei de Newton (Lei da Inércia) 
Antes dos estudos de Isaac Newton, os cientistas acreditavam que o estado 
natural de um corpo é o repouso (parado), logo, para que um corpo se 
movimentasse com velocidade constante, era necessário que uma força atuasse 
continuamente sobre ele. Essa ideia fazia todo sentido, pois quando observamos um 
disco deslizando em uma superfície, rapidamente o disco fica em repouso. Porém, se 
colocarmos esse mesmo disco em uma pista de patinação de gelo, a distância 
percorrida pelo disco era muito maior, logo, se imaginarmos uma superfície em que 
não existe atrito, podemos presumir que o disco nunca entraria em repouso. Isso levou 
à primeira lei deNewton, enunciada abaixo: 
Primeira Lei de Newton: Se nenhuma força atua sobre um corpo, sua 
velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer aceleração. 
Logo, um corpo em repouso tende a permanecer em repouso e se estiver em 
movimento, tende a permanecer em movimento com a mesma velocidade 
(módulo, direção e sentido). 
No espaço sideral, por exemplo, afastado de qualquer objeto com massa, 
uma partícula em movimento tende a permanecer eternamente em movimento, até 
que uma força atue sobre ele. 
Essa é a famosa lei da inércia. Na figura 4 abaixo, a bicicleta sofre a ação de 
uma força, provocando uma aceleração (negativa). O ciclista tende a permanecer 
em movimento, portanto, ele é arremessado para frente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Figura 4: A Primeira Lei de Newton 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3ufxPkW. Acesso em março de 2022. 
 
1.3.2 Definição de força 
Imagine que apliquemos uma força em um corpo de massa 1 Kg em um 
ambiente sem atrito, de maneira que a sua aceleração seja de 1 m
s2⁄ . Assim, foi 
definida o Newton (N) a unidade de medida da força. Ou seja, a força necessária 
para provocar aceleração de 1 m
s2⁄ em um corpo de massa igual a 1 m
s2⁄ é de 1 N, 
logo: 
 
1 N = 1 Kg ∙
m
s2
 (5) 
 
Figura 5: Definição de força 
 
Fonte: Halliday Volume 1 (2010) 
 
Quando uma ou mais forças atua em um corpo, podemos calcular a força 
resultante ou força total através de uma soma vetorial. A força é uma grandeza 
vetorial, logo, ela assume todas as características de um vetor, estudadas na secção 
anterior. 
https://bit.ly/3ufxPkW
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
1.3.3 A Segunda Lei de Newton 
A Segunda Lei de Newton: A força resultante que age sobre um corpo, é igual 
ao produto da massa do corpo pela sua aceleração. 
 
 F⃗⃗R = m ∙ a⃗⃗ (6) 
 
Eventualmente, a segunda lei pode ser expressa com a notação a seguir: 
 
 ∑ F⃗⃗ = m ∙ a⃗⃗ (7) 
 
Em que: 
F⃗⃗R → Soma vetorial de todas as forças que atuam no corpo [N] 
m → Massa do corpo [Kg] 
a⃗⃗⃗ → Aceleração do corpo [𝑚
𝑠2⁄ ] 
Caso tenhamos três dimensões (x, y e z), devemos considerar a força resultante 
em cada uma dessas direções, sendo: 
Na direção x: FRx = m ∙ 𝑎𝑥 ou ∑ Fx = m ∙ 𝑎𝑥 
Na direção y: FRy = m ∙ 𝑎𝑦 ou ∑ Fy = m ∙ 𝑎𝑦 
Na direção z: FRz = m ∙ 𝑎𝑧 ou ∑ Fz = m ∙ 𝑎𝑧 
 
1.3.4 Força gravitacional (�⃗�𝐠) e Força Peso 
A força gravitacional é a força com que a terra1 atrai os objetos em sua 
superfície. O sentido dessa força é sempre vertical, para baixo, apontando para o 
centro da terra. Se soltarmos um objeto de massa 𝐦 em queda livre, desprezando as 
forças de resistência do ar atmosférico, como este corpo sofrerá a ação da força 
gravitacional (F⃗⃗g) então ele terá uma aceleração, que neste caso é a própria 
aceleração gravitacional do planeta terra (g⃗⃗). 
Como temos apenas a força gravitacional atuando no objeto, então essa 
 
1De acordo com a lei da Gravitação Universal de Newton, qualquer corpo que possui massa 
(M), exerce uma força gravitacional (F⃗⃗g) sobre outro corpo qualquer de massa (m) a uma 
distância d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
força será a força resultante, logo, pela segunda lei de Newton: 
 F⃗⃗g = m ∙ g⃗⃗ (8) 
 
 
 
 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO EM ESTÁTICA DOS SÓLIDOS 
A estática é a área da mecânica que estuda os sistemas de corpos rígidos em 
equilíbrio, ou seja, que atende duas condições principais: 
O somatório algébrico das forças que atuam em um corpo deve ser nulo, pois 
não há aceleração, logo: 
 
 ∑ F⃗⃗ = 0 (9) 
 
Em situações com duas dimensões do espaço, podemos escrever: 
 
 ∑ F⃗⃗x = 0 (10) 
 ∑ F⃗⃗y = 0 (11) 
 
Para espaços tridimensionais, podemos escrever o equilíbrio na terceira 
dimensão do espaço, 
 ∑ F⃗⃗z = 0 (12) 
 
Outra condição fundamental na a estática dos sólidos é o equilíbrio rotacional, 
e não apenas o translacional relacionada pelas equações anteriores, logo, como 
não há rotação, podemos escrever que a soma algébrica dos momentos deverá ser 
nula, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 ∑ M0 = 0 (13) 
 
O exemplo resolvido a seguir apresenta uma aplicação dos conceitos de 
equilíbrio, reações de apoio, forças internas em elementos estruturais 
Considere a treliça mostrada na Figura 6. Determine as forças e as reações nos 
apoios, em todas as barras, em função da carga externa aplicada P. 
 
Figura 6: Equilíbrio de força e momento em uma treliça 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3eQmwvq. Acesso em: 08 ago. 2022. 
 
O apoio C é do tipo articulado fixo, ou seja, permite apenas a rotação da 
treliça, esse apoio é denominado de 2° gênero, logo, haverá duas reações nesse 
ponto, uma horizontal 𝑹𝒄(𝒙) e uma vertical 𝑹𝒄(𝒚). Já apoio F é do tipo rolete, de 1° 
gênero, e limita o movimento da treliça apenas na direção x, no ponto. Logo, haverá 
apenas uma reação, 𝑹𝑭(𝒙). 
A imagem abaixo apresenta o diagrama de corpo livre da treliça 
 
Figura 7: Reações de apoio em uma treliça 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3BdPdK9. Acesso em: 08 ago. 2022. 
https://bit.ly/3eQmwvq
https://bit.ly/3BdPdK9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
Pelas condições de equilíbrio da estática: 
Equilíbrio da direção 𝑥, 
 
 ∑ F⃗⃗x = 0 (14) 
Logo, 
 
 RF(x) = Rc(x) (15) 
 
Equilíbrio da direção y, 
 
 ∑ F⃗⃗y = 0 (16) 
 Rc(y) = P (17) 
 
Equilíbrio de momento em um ponto arbitrário, (escolhendo o ponto 𝑐 
convenientemente), 
 ∑ Mc = 0 (18) 
 P ∙ (2a) − RF(x) ∙ (a) = 0 (19) 
 RF(x) = 2P (20) 
 
A próxima etapa consiste em isolar a treliça, cada nó, iniciando-se 
preferencialmente pelos nós próximos às reações de apoio, a fim de se obter as 
relações de semelhança nos triângulos. 
Isolando o nó 𝐹; 
 
Figura 8: Nós de uma treliça 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Após o desenvolvimento do diagrama de corpo livre DCL, verificamos que os 
esforços internos atuam ao longo do eixo de cada barra, logo, podemos relacionar 
o polígono de forças por meio de uma semelhança de triângulo, uma vez que os 
ângulos internos do polígono de forças e os ângulos internos da estrutura são os 
mesmos. 
Podemos relacionar os esforços internos nas barras, com o comprimento 
correspondente, da seguinte maneira; 
 
 
RF(x)
a
=
REF
a
2⁄
 (21) 
Sendo, portanto, 
 REF = 2RF(x) (22) 
 REF = 2P (23) 
 
O esforço interno na barra DF pode obtido pelo teorema de Pitágoras; 
 RFD = √P2 + (2P)2 (24) 
 RFD = √5P (25) 
 
 
Por se tratar de uma barra submetida a compressão, podemos escrever o 
esforço interno na barra FD sendo −√5𝑃, em que o sinal negativo indica um esforço 
axial de compressão na barra. 
Seguindo o mesmo raciocínio para as demais barras, os valores obtidos estão 
relacionados a seguir; 
 
Figura 9: Esforços internos em barras de uma treliça 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3U9SfYE. Acesso em: 08 ago. 2022. 
https://bit.ly/3U9SfYE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 
1.5.1 Centroide de uma área 
O centroide de uma área é definido como sendo o centro geométrico dessa 
área. Para encontrar o centroide de uma figura plana como um retângulo ou uma 
circunferência, o procedimento é geometricamente simples. Em casos em que a 
forma da figura não é bem definida, as coordenadas do centroide podem ser 
obtidas pelas relações abaixo: 
 
 x̅ =
∫ xdA
A
∫ dA
A
 e y̅ =
∫ ydA
A
∫ dA
A
 (26) 
 
Os numeradores estão associados ao momento das áreas com relação aos 
eixos x e y, respectivamente. Os denominadores são as áreas das figuras. A figura 10 
abaixo apresenta um sistema de coordenadas cartesianas de eixos 𝑥 e 𝑦, área 𝐴 de 
centóide 𝐶, em relação ao sistema de coordenada estabelecido. 
 
Figura 10: Centroide de uma área 
 
Fonte: Hibbeler (2010) 
https://bit.ly/3ePrh8D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
Nos casos emque a área apresenta simetria, o centroide estará exatamente 
sob o eixo de simetria da figura. A figura 11 abaixo apresenta a posição do centroide 
em duas áreas que são simétricas em relação ao eixo 𝑦. 
 
Figura 11: Centroide em áreas simétricas 
 
Fonte: Hibbeler (2010) 
 
1.5.2 Áreas compostas 
Em diversas situações, a área total de uma determinada figura pode ser 
dividida em áreas menores com geometrias simples para definição do centroide. 
Neste caso, basta que a área e o centroide de cada uma dessas figuras sejam 
conhecidos, podemos aplicar a equação abaixo: 
 
 x̅ =
∑ x̅A
∑ A
 e y̅ =
∑ y̅A
∑ A
 (27) 
 
1.5.3 Exemplo resolvido 
Localizando o centroide no ponto 𝐶 da área da secção transversal de uma 
viga, cujas dimensões são apresentadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
Figura 12: Exemplo de cálculo de centroide em área composta 
 
Fonte: Hibbeler (2010) 
 
Perceba a simetria das figuras. O eixo de simetria de ambas as figuras coincide 
com o eixo das ordenadas 𝑦, logo, o centóide encontra-se sobre esse eixo e, 
portanto, �̅� = 0. 
 
 x̅ =
∑ x̅A
∑ A
= 0 (28) 
 
Para obter a coordenada �̅� do centroide da figura total, calculamos o produto 
�̅�𝐴 de cada área separadamente e, por fim, realizamos a soma desse produto para 
todas as áreas. O resultado desse somatório é divido pelo somatório das áreas. A 
razão entre o somatório do produto �̅�𝐴 e o somatório das áreas fornece à 
coordenada �̅� do centroide em relação ao eixo de referência. 
 
 y̅ =
∑ y̅A
∑ A
=
(5 cm)(10 cm)(2 cm) + (11,5 cm)(3 cm)(8 cm)
(10 cm)(2 cm) + (3 cm)(8 cm)
 (29) 
 y̅ = 8,55 cm (30) 
 
Logo, as coordenadas do centroide em relação ao sistema de coordenadas 
cartesianas da figura 12 são (�̅� = 0, �̅� = 8,55) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
1.5.4 Momento de inércia de uma área 
Para o cálculo do centroide de uma área utilizamos um momento de primeira 
ordem da área em relação a um eixo de referência. Em certas situações, em 
resistência dos materiais, iremos nos deparar com momentos de segunda ordem de 
uma área em relação a um eixo de referência x e ou y. Denominamos esses 
momentos de segunda ordem como momento de inércia, e representamos o 
momento de inércia de uma elemento de área infinitesimal como 𝑑𝐼𝑥 = 𝑦2𝑑𝐴 e 𝑑𝐼𝑦 =
𝑥2𝑑𝐴, integrando essas relações, podemos encontrar o momento de inércia de toda 
a área da figura em torno dos eixos 𝑥 e 𝑦, respectivamente. 
 
 Ix = ∫ y2dA
A
 (31) 
 Iy = ∫ x2dA
A
 (32) 
 
𝑰𝒙 representa o momento de inércia da área A em relação ao eixo x, e 𝑰𝒚 o 
momento de inércia da área 𝐴 em relação ao eixo 𝑦. A figura 13 abaixo apresenta a 
área A e os eixos 𝑥 e 𝑦 como referências. 
 
Figura 13: Momento de inércia de uma área 
 
Fonte: Hibbeler (2010) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
O momento polar de inércia representa o momento da área em relação ao 
polo O, logo, se a relação 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 é verdadeira, podemos escrever o momento 
polar de inércia em temos dos momentos de inércia, sendo: 
 
 J0 = ∫ r2dA
A
= Ix + Iy (33) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
 
1. Na figura, um corpo massa m = 12232,41 g encontra-se em equilíbrio estático, 
suspenso por um conjunto de três fios ideais A, B e C. Calcule as intensidades das 
trações TA, TB e TC, respectivamente, nos fios A, B e C. Use sin θ = 0,6 e cos θ = 0,8. 
 
 
 
a) TA = 120 N, TB = 0 e Tc = 60 N 
b) TA = 200 N, TB = 120 N e Tc = 200N 
c) TA = 120 N, TB = 160 N e Tc = 200 N 
d) TA = 200 N, TB = 120 N e Tc = 160 N 
e) TA = 240 N, TB = 320 N e Tc = 400 N 
 
2. Um homem levanta uma viga de 10 kg e 10 m de comprimento puxando uma 
corda. Encontre a força de tração T na corda e a reação em A. Suponha a 
aceleração da gravidade igual a 9,81 m
s2⁄ . 
 
 
 
a) T = 245,7 N e R = 163,8 N 
b) T = 81,9 N e R = 245,7 N 
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
c) T = 163,8 N e R = 148 N 
d) T = 81,9 N e R = 148 N 
e) T = 163,8 N e R = 81,9 N 
 
3. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). Uma carga P á aplicada a rótula C 
da treliça abaixo. Determine as reações em A e B com: (a) α = 0º e (b) α = 45º. (V =
 vertical, H = horizontal). 
 
 
 
a) Para α = 0°; VA = −P; HA = P; VB = P 
Para α = 45; VA = 0; HA = 0,7P; VB = 0,7P 
b) Para α = 0°; VA = P; HA = P; VB = P 
Para α = 45; VA = P; HA = 0,7P; VB = 0,7P 
c) Para α = 0°; VA = −P; HA = −P; VB = −P 
Para α = 45; VA = −P; HA = 0,7P; VB = 0,7P 
d) Para α = 0°; VA = P; HA = P; VB = P 
Para α = 45; VA = 0; HA = 0,7P; VB = −0,7P 
e) Para α = 0°; VA = −P; HA = −P; VB = P 
Para α = 45; VA = P; HA = 0,7P; VB = 0,7P 
 
4. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). Observe-se na figura abaixo, três 
cargas aplicadas a uma viga. A viga é apoiada em um rolete em A (Reação 
apenas na vertical) e em uma articulação em B (uma reação de apoio na 
horizontal e outra na vertical). Desprezando o peso próprio da viga, determine as 
reações em A e B quando Q = 75 kN. 
HP
Realce
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
a) RA = 30 kN (↓); RB(y) = 105 kN (↓); RB(x) = 30 kN (←) 
b) RA = 105 kN (↑); RB(y) = 30 kN (↑); RB(x) = 0 
c) RA = 60 kN (↑); RB(y) = 210 kN (↓); RB(x) = 0 
d) RA = 105 kN (↓); RB(y) = 30 kN (↑); RB(x) = 30 (→) 
e) RA = 30 kN (↑); RB(y) = 105 kN (↑); RB(x) = 0 
 
5. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). Um guindaste montado em um 
caminhão é utilizado para erguer um compressor de 3 kN. O peso da lança AB e 
do caminhão estão indicados na figura abaixo, e o ângulo que a lança faz com a 
horizontal α é de 45º. Determine a reação em cada uma das rodas: (a) traseiras C 
e dianteiras D. 
 
 
 
a) RC = 19645 kN e RD = 25000 kN 
b) RC = 26250 kN e RD = 9605 kN 
c) RC = 19645 kN e RD = 9605 kN 
d) RC = 9605 e RD = 19645 kN 
e) RC = 26250 kN e RD = 25000 kN 
HP
Realce
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
6. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). A estrutura da figura suporta parte 
do telhado de um pequeno edifício. Sabendo que a tração no cabo é de 150 kN, 
determine a reação no extremo fixo E. 
 
 
 
a) RE(y) = 400 kN (↑); RE(x) = 90 kN (←); ME = 180 kN. m (antihorário) 
b) RE(y) = 150 kN (↑); RE(x) = 70 kN (→); ME = 180 kN. m (horário) 
c) RE(y) = 250 kN (↑); RE(x) = 90 kN (←); ME = 180 kN. m (antihorário) 
d) RE(y) = 200 kN (↑); RE(x) = 90 kN (←); ME = 180 kN. m (antihorário) 
e) RE(y) = 300 kN (↓); RE(x) = 80 kN (→); ME = 180 kN. m (horário) 
 
7. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). Uma treliça pode ser apoiada de 
duas maneiras, conforme figura. Determine as reações nos apoios nos dois casos. 
 
 
 
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
a) Caso I: RA = 5,27 kN e RB = 5,4 kN 
Caso II: RA = 2,50 kN e RB = 2,06 kN 
b) Caso I: RA = 6,24 kN e RB = 5,4 kN 
Caso II: RA = 2,50 kN e RB = 2,06 kN 
c) Caso I: RA = 6,24 kN e RB = 4,5 kN 
Caso II: RA = 1,50 kN e RB = 4,5 kN 
d) Caso I: RA = 3,52 kN e RB = 4,5 kN 
Caso II: RA = 1,50 kN e RB = 4,27 kN 
e) Caso I: RA = 4,27 kN e RB = 4,5 kN 
Caso II: RA = 1,50 kN e RB = 6,02 kN 
 
8. (Adaptada de Mecânica dos Sólidos, PUCRS). Uma empilhadeira de 2500 kgf é 
utilizada para levantar uma caixa de 1200 kgf. Determine a reação em cada par 
de rodas: (a) dianteiras e (b) traseiras. 
 
 
 
a) RA = 2566 kN e RB = 1134 kN 
b) RA = 1134 kN e RB = 2566 kN 
c) RA = 5112 kN e RB = 2268 kN 
d) RA = 1200 kN e RB = 2400 kN 
e) RA = 3566 kN e RB = 1134 kN 
 
HP
Realce
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
ESTUDO DAS TENSÕES 
 
 
 
 
 
A resistência dos materiais ou mecânica dos materiais é a ciência que estuda 
as tensões internas atuantes nos corpos e as deformações decorrentes da aplicação 
de cargas externas. 
Na Física Clássica, normalmente, trabalha-se com o conceito de corpo rígido. 
Por definição, um corpo rígido nãose deforma quando submetido a uma carga 
externa. Neste caso, não são objeto de estudo da física clássica as tensões e 
deformações. Já na resistência dos materiais, essas tensões internas e as 
consequentes deformações são extremamente relevantes, uma vez que o 
entendimento e a compreensão destes conceitos servirão como ferramental teórico 
para projeto de máquinas, projeto de construções civis, desenvolvimento de 
materiais etc. 
 
 FORÇA VERSUS TENSÃO 
Pela Segunda Lei de Newton podemos desenvolver um bom conceito de 
força. Força é o agente capaz de promover a aceleração de um corpo. Se um corpo 
está se movimentando com variação positiva ou negativa de velocidade, então ele 
está sujeito à ação de uma força resultante. Neste caso, a força resultante é diferente 
de zero, o corpo não está em equilíbrio estático. Todavia, ainda que o corpo esteja 
em equilíbrio estático, não significa que ele esteja livre de forças. Nesta obra, por 
vezes, substituiremos palavra força por carga. 
As cargas externas que atuam em um corpo poderão ser de duas naturezas 
distintas, são elas: forças de corpo ou força de superfície. 
As forças de superfícies são forças de contato, ou seja, para que elas existam 
deve ocorrer a interação física entre os corpos. Por exemplo, ao empurrarmos uma 
mesa, estamos exercendo uma força de superfície. As forças de superfície podem ser 
distribuídas linearmente w(s) ou podem ser idealmente concentradas em um único 
ponto. A carga distribuída w é função do comprimento s, por isso, escrevemos w(s). 
UNIDADE 
02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Podemos de maneira simplista, porém, eficaz, substituir a carga distribuída w(s) 
por uma única força concentrada FR no centroide ou centro geométrico do corpo. 
As forças de corpos são forças oriundas da presença de um campo. Por 
exemplo, a força gravitacional, força essa que a terra, por meio do campo 
gravitacional exerce sobre corpos massivos, é uma força de ação a distância, não 
precisa de interação física. A essa força chamamos de força Peso. A força 
gravitacional é matematicamente equacionada pela lei da gravitação universal de 
Isaac Newton. 
A força elétrica também é uma força de corpo, ou seja, uma força de ação 
a distância, uma vez que, um corpo eletricamente carregado produz um campo 
elétrico em sua vizinhança, de tal forma que, um outro corpo carregado na presença 
deste campo elétrico é submetido a uma força elétrica. A força eletricamente foi 
matematicamente equacionada pela lei de Coulomb. 
A figura 14 apresenta um corpo e as diversas possibilidades de atuação de 
forças externas. 
 
Figura 14: Forças de superfície e forças de corpo 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Na figura 15 abaixo observamos uma estrutura metálica, formada por duas 
barras, uma de secção circular (barra BC) e outra de seção retangular (barra AB). 
Essa estrutura está fixada por meio de pinos a uma estrutura fixa na terra. Será que a 
estrutura abaixo suporta o carregamento de 50 KN apresentado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
Figura 15: Análise de carregamento 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
A estrutura representada pela figura 15 encontra-se em equilíbrio estático, 
portanto, podemos assumir que cada componente dessa estrutura também se 
encontra em equilíbrio. 
Isolando o pino B e observando as forças externas que atuam sobre o Pino B, 
podemos esboçar o diagrama de corpo livre (DCL) da estrutura, com ênfase no pino 
B, que também está em equilíbrio estático. A carga externa de intensidade 50 KN 
força o pino B na direção vertical sentido para baixo, para tanto, uma vez que existe 
o equilíbrio estático, deve haver uma componente de força em sentido contrário. 
Sob essa ótica e com os conhecimentos da estática, deduzimos que as barras AB e 
BC exercem sobre o pino B forças cuja direção e sentido são apresentados na figura 
16 
Figura 16: Diagrama de corpo livre representando o pino B e o polígono de forças atuante 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
Para responder à pergunta capital do nosso problema, devemos identificar 
qual a intensidade das forças FBC e FAB, pois a partir delas, encontraremos as tensões 
atuantes em ambas as barras. 
Podemos analisar o problema acima sob duas perspectivas. A primeira, 
aplicando a semelhança de triângulo no nosso polígono de forças. Dizemos que a 
carga de 50 KN está para 2,5 m assim como FAB está para 3,0 m, assim como FBC está 
para √32 + 2,52, logo: 
 
 
 
50 KN
2,5 m
=
FAB
3,0 m
=
FBC
(√32 + 2,52) m
 (34) 
 
Logo: 
 FAB = 60KN e FBC ≅ 78,1 KN (35) 
 
A segunda possibilidade de análise é a partir da decomposição do vetor força 
FBC em suas componentes ortogonais, é apresentada na figura 17 abaixo. 
 
Figura 17: Decomposição em componentes ortogonais 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Do equilíbrio estático podemos assumir que o somatório das forças em todas 
direções do espaço devem ser nulas. Como estamos trabalhando com uma situação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
problema bidimensional (em duas dimensões), portanto, com vetores de forças 
coplanares, podemos escrever as expressões abaixo: 
 
 ∑ FY = 0 (36) 
Logo: 
 FBCY
− 50 = 0 (37) 
 FBCY
= 50 KN (38) 
 FBC ∙ sin θ = 50 KN (39) 
 
FBC =
50 KN 
sin θ
 (40) 
 
Voltando à figura 16, verificamos que: 
 
sin θ =
2,5
√32 + 2,52
 (41) 
 
Logo: 
 FBC = 50 ∙
√32 + 2,52
2,5
 (42) 
 𝐅𝐁𝐂 ≅ 𝟕𝟖, 𝟏𝐊𝐍 (43) 
 
De maneira análoga, para a direção 𝑋, temos: 
 
 ∑ FX = 0 (44) 
 FAB − FBCX
= 0 (45) 
 FAB = FBCX
= FBC ∙ cos θ (46) 
 FAB = 78,1KN ∙
3
√32 + 2,52
 (47) 
 FAB = 60 KN (48) 
 
Obtemos, então, por meio da análise estática da estrutura, que a força 
atuante na barra BC é de 78,1 KN e a força atuante na barra AB é de 60 KN. A priori, 
não podemos determinar se a estrutura será capaz de suportar a carga vertical de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
50 KN apenas com o cálculo das forças internas atuantes em ambas as barras. 
Perceba também, que a ruptura ou não das barras, não está condicionada apenas 
às cargas atuantes, mas, também à área da secção transversal, bem como as 
características mecânicas do material em que as barras foram construídas. Quanto 
maio a área de secção transversal, maior será a carga necessária levar a barra a sua 
ruptura. Quanto maior a resistência mecânica da barra, maior será também a carga 
necessária para romper a barra. A força interna que encontramos para as barras AB 
e BC representam a resultante das forças elementares atuantes ao longo de toda a 
secção transversal da barra. 
Imagine um corte na barra BC, seccionando-a no ponto Z, conforme 
esboçado na figura 18 abaixo. 
 
Figura 18: Seccionamento da barra BC 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
A barra BC encontra-se em equilíbrio estático, logo, as suas partes formadas 
pelas barras CZ e BZ, obrigatoriamente, devem estar em equilíbrio e, para tal, o ponto 
Z é submetido a um esforço de tração. Concluímos então que, a barra BC está 
submetida a um esforço de tração. Da mesma forma, perceba que a barra AB 
exerce esforço sobre o pino B, logo, o pino B realiza compressão sobre a barra AB, 
portando, a barra AB está submetida a um esforço de compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
Figura 19: Esforço de tração x compressão 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Conforme exposto acima, para afirmamos que as barras são capazes de 
suportar os esforços solicitantes, devemos obter além do valor dos esforços internos, 
a área de seção transversal, bem como conhecer o material cuja estrutura foi 
fabricada. A figura 20 abaixo demonstra que a força interna obtida, anteriormente, 
por meio da análise estática, representa a soma de todos os elementos infinitesimais 
de força que atuam ao longo de toda a secção transversal da barra. Ao dividirmos 
a força resultante desses elementos de força pela área total (𝐀)da secção 
transversal, obtemos então a tensão atuante, comumente designada pela letra 
grega sigma (𝛔), nesta obra será utilizada essa nomenclatura. Se chamarmos de 𝐏, a 
força interna resultante atuante na secção transversal de área 𝐀, escrevemos 
matematicamente que a tensão atuante será: 
 
 σatuante =
P
A
 (49) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
Figura 20: Força atuante por unidade de área 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
A Unidade de medida para tensão no sistema internacional de unidades (S.I.U) 
é o Pascal2; 
 σ = [
N
m2] = [Pa] (50) 
 
Na engenharia os cálculos estruturais, via de regra, apresentam valores 
grandes de tensão, portanto, faz sentido lançar mão dos múltiplos, sendo o 
quilopascal (KPa), Megapascal (MPa) e o Gigapascal (GPa). 
 
 1 Kpa = 103 Pa (51) 
 1 Mpa = 106 Pa (52) 
 1 Gpa = 109 Pa (53) 
 
 
2 Blaise Pascal foi um grande matemático e físico francês, com enormes contribuições para as ciências 
naturais e ciências aplicadas, em especial para a mecânica dos fluidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
Digamos que as barras que compõem a estrutura da figura 19 sejam 
fabricadas em aço, e que a barra BC possua um diâmetro de 30 mm. Logo, qual a 
tensão atuante na barra BC? 
Ora, sem a tensão atuante a razão entre a carga resultante e a área da 
secção transversal, escrevemos; 
 
 σatuante =
P
A
 (54) 
 σatuante =
78,1 x 103 N
π
4
(30x10−3m)2
 (55) 
 σatuante = 110488898,3 Pa (56) 
 
Utilizando o múltiplo apropriado, 
 σatuante = 110,49 MPa (57) 
 
Será que a barra suporta essa tensão? Devemos comparar o valor da tensão 
atuante na barra com o valor da máxima tensão admissível3 suportada pelo aço. 
Este valor é encontrado em tabelas de propriedades dos materiais. A tensão 
admissível máxima para o aço é de 160 Mpa. Como σatuanteobter apenas a tensão de cisalhamento média 
atuante na chapa em decorrência das forças cisalhantes atuantes. 
 
 τméd =
P
A
 (67) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
Em que 𝑃 é dado em Newtons [𝑁] 𝑒 𝐴 em metro quadrado [𝑚2]. No sistema 
internacional, a relação 𝑁
𝑚2⁄ é denominada de Pascal [𝑃𝑎]. Em cálculos estruturais, 
via de regra lidamos com valores de tensão elevados, o que justifica a utilização de 
múltiplos da unidade, como por exemplo; quilopascal [𝑘𝑃𝑎], Megapascal [𝑀𝑃𝑎] e o 
Gigapascal [𝐺𝑃𝑎], que equivalem, 103 𝑃𝑎, 106 𝑃𝑎, 109 𝑃𝑎, respectivamente. 
A figura 23 representa um cisalhamento simples, uma vez que, a chapa 
metálica é submetida a apenas uma carga de cisalhamento. Mas podemos ter um 
carregamento que submeta a peça em questão a um cisalhamento duplo, como 
por exemplo, na figura 24 abaixo. 
 
Figura 24: Cisalhamento duplo 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Observe que neste caso, a chapa metálica é submetida a uma força externa 
F. A configuração do carregamento indica o surgimento de força cortante P na 
secção transversal da chapa relativa à linha de corte 1 e na secção transversal da 
chapa relativa a linha de corte 2. Logo, podemos relacionar a tensão de 
cisalhamento na chapa através das equações abaixo: 
Na seção transversal 1, têm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 τméd =
P
A
 (68) 
 
Analogamente, na seção transversal 2, têm-se: 
 τméd =
P
A
 (69) 
Como, 
 F = 2P (70) 
 
A tensão de cisalhamento na chapa será: 
 τméd =
F
2A
 (71) 
 
A figura 23 apresenta também um elemento de volume extraído da chapa 
metálica, onde podemos observar as tensões de cisalhamento média em cada face. 
Por meio do equilíbrio de forças na direção 𝑦, por exemplo: 
 
 ∑ Fy = 0 (72) 
Logo: 
 τzy ∙ ∆y ∙ ∆x = τ′zy ∙ ∆y ∙ ∆x (73) 
 τzy = τ′zy (74) 
Analogamente, 
 τyz = τ′yz (75) 
 
Por meio do equilíbrio de momento em relação ao eixo 𝒙, têm-se: 
 ∑ Mx = 0 (76) 
 −τzy ∙ (∆x ∙ ∆y)∆z + τyz ∙ (∆x ∙ ∆z)∆y = 0 (77) 
 
Logo: 
 τzy = τ′zy = τ′yz = τyz = τ (78) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
As tensões de cisalhamento em cada face do elemento de volume são iguais, 
e em sentidos opostos para as faces paralelas. 
 
 TENSÕES DE ESMAGAMENTO 
Discutimos na secção anterior dois tipos de tensões. São as tensões normais 
podendo ser de tração ou de compressão, e as tensões de cisalhamento. Pinos, 
parafusos e rebites são submetidos a um tipo de esforço superficial que denominamos 
de esmagamento. Imagine um rebite como na figura 25, de geometria cilíndrica, 
diâmetro d e altura t, a mesma espessura t da chapa. Esse rebite quando inserido na 
“sede” da chapa e submetido à uma carga F, origina tensões superficiais que são 
proporcionais a intensidade da força exercida. Os cálculos das tensões reais são de 
grande complexidade e, neste caso, utiliza-se uma tensão média, a tensão de 
esmagamento (σE). A área utilizada na expressão diz respeito à área da projeção 
planificada do semicilindro sob a vista frontal da figura 25, portando, um retângulo 
de altura t e base d. 
 
 σE =
F
A
=
F
t ∙ d
 (79) 
 
 
Figura 25: Tensão de esmagamento 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 TENSÃO ÚLTIMA – TENSÃO ADMISSÍVEL – FATOR DE SEGURANÇA 
Nas secções anteriores apresentamos o conceito de cargas axiais, cargas 
tangenciais, bem como as tensões normais, tensões de cisalhamento e tensões de 
esmagamento. Acontece que o cálculo das tensões representa apenas uma parte 
de um todo na análise e desenvolvimento de projeto de estruturas e máquinas. Saber 
qual a tensão atuante em uma barra cilíndrica de aço é de fundamental 
importância, mas não suficiente para o dimensionamento de elementos de máquinas 
ou estruturas. 
Conhecer as propriedades mecânicas dos materiais é extremamente 
necessário quando o assunto é projeto de estruturas e máquinas. Nesta secção 
buscaremos compreender alguns conceitos associados aos projetos estruturais, com 
ênfase em três principais, são eles, a tensão última (𝜎𝑈), a tensão admissível (𝜎𝑎𝑑𝑚) e 
o fator de segurança (𝐶. 𝑆 𝑜𝑢 𝐹. 𝑆). 
Um material muito utilizado na indústria metal-mecânica é o aço carbono SAE 
10207. Imagine uma barra cilíndrica deste aço submetida a um esforço axial de 
tração em uma máquina universal de ensaios de materiais8. Inicialmente, a carga 
aplicada parece não causar nenhum efeito na barra (visualmente). De maneira 
progressiva, aumenta-se a carga de trabalho. Em um dado momento, a barra 
cilíndrica de aço irá sofrer uma redução abrupta no diâmetro da secção transversal 
(fenômeno chamado de Estricção) acompanhado de uma deformação perceptível 
visualmente e até finalmente a ruptura do material. A carga registrada no momento 
da ruptura é a carga última (PU). 
A razão entre a carga última e a área da secção transversal fornece o valor 
da tensão última. Neste caso, onde o esforço foi na direção axial, atribui-se o nome 
de tensão normal última ou tensão última à tração. 
 
 σU =
PU
A
 (80) 
 
 
 
7 Aço carbono SAE 1020 é um aço “macio” dúctil, de ampla utilização em peças mecânicas 
em geral, com porcentagem de carbono entre 0,15% e 0,30%. 
8 Realiza ensaio de tração em amplas variedades de materiais, como metais, borrachas, 
concretos etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
Caso a barra cilíndrica estivesse sob a ação de uma força cisalhante, como 
por exemplo, na figura 26, a razão entre a carga de cisalhamento última pela área 
da secção transversal da barra configura a tensão de cisalhamento última. 
 
 τU =
PU(tangencial)
A
 (81) 
 
 
Figura 26: Ensaio de cisalhamento 
 
Fonte: Adaptado Beer & Russell (2008) 
 
Via de regra, projetamos estruturas para que não sofram ruptura em nenhuma 
hipótese, para isso, adota-se nos projetos uma carga de trabalho máxima, 
denominada de carga admissível ou carga de projeto, ou ainda carga de utilização. 
Uma vez definida a carga admissível, não se pode em nenhuma circunstância 
submeter uma estrutura a uma carga superior a essa carga de projeto. 
Na prática, não se utiliza toda a carga que o material seria capaz de suportar. 
A razão entre a carga última e a carga admissível é definida como coeficiente de 
segurança ou fator de segurança. 
 
 COEFICIENTE DE SEGURANÇA = CS =
CARGA ÚLTIMA
CARGA ADMISSÍVEL
=
PU
Padm
 (82) 
 
Nos casos em que a carga e a tensão possuem uma relação linear, de 
proporcionalidade, pode-se adotar a expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
COEFICIENTE DE SEGURANÇA = CS =
TENSÃO ÚLTIMA
TENSÃO ADMISSÍVEL
 (83) 
 
Em casos de maiores exigências de segurança, como por exemplo, na 
aeronáutica, utiliza-se o conceito de margem de segurança. 
 
 MS = CS − 1,0 (84) 
Algumas situações de engenharia exigem que o fator de segurança seja 
obtido pela razão entre a tensão de escoamento e a tensão admissível no material. 
Isso ocorre porque, nestes casos, a tensão de escoamento é considerada como a 
tensão perigosa. Na prática, o engenheiro projetista deve levar em consideração a 
tensão perigosa, que é definida pelas condições do projeto, sendo essa tensão 
perigosa a tensão de escoamento ou a tensão última do material. No caso de uma 
aplicação em que o escoamento representa a falha do material, então o fator de 
segurança deve ser obtido pela relação abaixo: 
 
 COEFICIENTE DE SEGURANÇA = CS =
TENSÃO DE ESCOAMENTO
TENSÃO ADMISSÍVEL
 (85) 
 
De acordo com Beer & Russell (2008, 3ª ed, p.40), para a determinação do 
coeficiente de segurança o projetista deve levar em conta uma série de variáveis, 
tais como: 
 
Modificações que ocorrem nas propriedades do material. A 
composição, resistência e dimensões dos materiais estão sujeitas a 
pequenas variações durante a fabricação das peças. Além disso, as 
propriedades do material podem ficar alteradas e podem ocorrer 
tensõesresiduais devido à concentra a deformações e variação de 
temperatura que o material se sujeita no transporte, armazenamento 
ou na própria execução da estrutura. 
O número de vezes em que a Carga é aplicada durante a vida da 
estrutura ou máquina. Para a maior parte dos materiais a aplicação 
do carregamento repetida muitas vezes leva a um decréscimo no 
valor da atenção última. Este fenômeno é chamado fadiga do 
material i, se não for levado em conta, poderá ocorrer uma ruptura 
brusca. 
O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar 
futuramente. A maior parte dos carregamentos adotados em projetos 
são estimados, pois são poucas as vezes em que um carregamento 
pode ser previsto com precisão. Ocorre também a possibilidade de 
alterações futuras na finalidade da máquina ou estrutura que está 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
sendo projetada, como modificações nos valores previstos por 
ocasião do projeto. Cargas dinâmicas, cíclicas instantâneas abre 
parênteses choque fecha parênteses exigem altos valores de 
coeficientes de segurança. 
O modo de ruptura que pode ocorrer. Materiais frágeis apresentam 
ruptura repentina sem nenhuma indicação de que o colapso é 
iminente. Já os materiais do como aço estrutural, apresenta uma 
grande deformação, chamada escoamento antes de atingir a 
ruptura e esse comportamento do material fornece um aviso de que 
está ocorrendo carregamento excessivo. A ruptura ocasionada por 
perda de estabilidade da estrutura é geralmente repentina seja o 
material frágil ou não. Quando existe a possibilidade de ruptura 
repentina o valor a se adotar para o coeficiente de segurança deve 
ser maior do que no caso de ruptura com aviso. 
Métodos aproximados e análise. Os métodos de cálculo e análise são 
baseados em certas simplificações que levam a diferenças entre a as 
tensões calculadas e aquelas realmente atuantes na estrutura. 
Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de 
manutenção ou por causas naturais imprevisíveis. Em locais em que a 
composição do material ou a ferrugem são difíceis de controlar ou de 
prever, deve ser adotado um coeficiente de segurança de valor alto. 
A importância de um certo membro para a integridade de toda a 
estrutura. Para as peças secundárias e contraventamento da estrutura 
pode ser usado um coeficiente de segurança menor do que aquele 
das peças principais. 
 
 
 
 
 
 
 
https://bit.ly/3S6UH0m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. (Adaptada de Hibbeler, 2010). O dispositivo mostrado na figura sustenta uma força 
de 80 N. Determine as cargas internas resultantes que agem sobre a seção 
transversal no ponto A. 
 
 
 
a) Rx = 77,3 N; Ry = 20,7 N e M = 0,55 Nm 
b) Rx = 20,7,3 N; Ry = 77,3 N e M = 0,55 Nm 
c) Rx = 0,55 N; Ry = 77,3 e M = 20,7 Nm 
d) Rx = 80,0 N; Ry = 80,0 e M = 0,55 Nm 
e) Rx = −77,3 N; Ry = −20,7 N e M = 0,55 Nm 
 
2. (Adaptada de BEER, 1995). Sabendo-se que a haste de ligação BD tem uma seção 
transversal uniforme de área igual a 800 mm² determine a intensidade da carga 𝐏 
para que a tenção normal na haste BD seja 50 MPa. 
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
a) P = 62,67 kN 
b) P = 54,24 N 
c) P = 34,76 kN 
d) P = 54,24 kN 
e) P = 62,67 N 
 
3. (Adaptada de BEER, 1995). As barras AB e BE da treliça mostrada são da mesma 
liga metálica. Sabe-se que uma barra de 20 mm de diâmetro desta mesma liga foi 
testada até a falha e foi registrada uma carga máxima de 150 kN. Usando um 
coeficiente de segurança igual a 3,2, determine qual o diâmetro necessário para 
a barra AB e para a barra BE, respectivamente. 
 
 
 
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
a) 58,4 mm e 65,4 mm 
b) 584,2 mm e 654,7 mm 
c) 29,2 mm e 32,7 mm 
d) 32,7 mm e 29,2 mm 
e) 292,5 mm e 327,7 mm 
 
4. (Adaptada de BEER, 1995). Sabendo-se que a carga de ruptura do cabo BD é de 
90 KN e o pino em A tem um diâmetro de 𝟗, 𝟓 𝐦𝐦 e é feito de aço com tenção 
última de cisalhamento igual a 𝟑𝟒𝟓 𝐌𝐏𝐚, determine o coeficiente de segurança 
para o carregamento mostrado. 
 
 
 
a) CS = 4,52 
b) CS = 2,89 
c) CS = 1,45 
d) CS = 5,78 
e) CS = 3,52 
 
5. (Adaptada de Hibbeler, 2010). O arganéu da âncora suporta uma força de cabo 
de 𝟑 𝐊𝐍. Se o pino tiver diâmetro de 𝟔 𝐦𝐦, determine a tensão média de 
cisalhamento no pino. 
HP
Realce
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
 
a) τméd = 106,1 MPa 
b) τméd = 106,1 GPa 
c) τméd = 53,05 MPa 
d) τméd = 53,05 kPa 
e) τméd = 5305,55 MPa 
 
6. (Adaptado de Petrobrás, 2005). Observe a figura abaixo que representa um 
guincho composto por uma coluna, uma lança, um atuador hidráulico e pinos nas 
articulações. 
 
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
Qual a atenção de cisalhamento, devido ao esforço cortante em megapascal 
(MPa), no pino entre o atuador hidráulico e a lança? 
 
a) 
6√13
π
 
b) 
10√13
π
 
c) 
14√13
π
 
d) 
18√13
π
 
e) 
22√13
π
 
 
7. (Adaptado de J. M. GERE, 2009). Um poste tubular de diâmetro externo 𝐝𝟐 está 
retido por dois cabos assentados com tensores (veja a figura). Os cabos são 
tensionados girando os tensores, desta forma, produzindo tensão nos cabos e 
compressão no poste. Ambos os cabos estão tensionados com uma força e 𝟑𝟐 𝐊𝐍. 
O ângulo entre os cabos e o chão é 𝟔𝟎°, e a tensão e compressão admissível é 
𝟔𝟎𝟎𝟎 𝐏𝐒𝐈. Se a espessura da parede do poste é 𝟎, 𝟓 𝐢𝐧, qual é o valor mínimo 
permitido do diâmetro externo 𝐝𝟐? 
 
 
 
a) (d2)min = 6,38 in 
b) (d2)min = 6,38 cm 
c) (d2)min = 25,4 mm 
HP
Realce
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
d) (d2)min = 75,4 in 
e) (d2)min = 75,4 mm 
 
8. (Adaptada de BEER, 1995). Uma força de 𝟒𝟓 𝐊𝐍 está aplicada um bloco de madeira 
que é suportado por uma base de concreto e esta repousa sobre um solo 
considerado indeformável. Determine a máxima tensão de esmagamento sobre a 
base de concreto, e o tamanho da base de concreto para que a a tensão de 
esmagamento média sobre o solo seja de 𝟏𝟒𝟎 𝐊𝐏𝐚. 
 
 
 
a) σe = 4,6 MPa e b = 566,95 cm 
b) σe = 5,6 MPa e b = 566,95 m 
c) σe = 3,6 Pa e b = 5,66 mm 
d) σe = 4,6 Pa e b = 5,66 cm 
e) σe = 3,6 MPa e b = 566,95 mm 
 
HP
Realce
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
TENSÃO X DEFORMAÇÃO 
 
 
 
 
 
 INTRODUÇÃO À DEFORMAÇÃO 
Um corpo quando submetido a uma carga poderá sofrer variação em seu 
tamanho ou mudança na sua forma. Se esticarmos uma borracha, por exemplo, ela 
sofrerá alteração em seu tamanho e forma. Na engenharia, denomina-se esse 
fenômeno de deformação. 
No exemplo dado (da borracha), a deformação será relativamente grande, 
portanto, será perceptível aos nossos olhos, ao passo que em uma construção civil, 
por exemplo, a deformação estrutural proveniente da carga resultante das pessoas 
circulando no prédio é imperceptível ao olho humano. Ocorre que o estudo das 
deformações é de fundamental importância no contexto da engenharia, pois a partir 
das análises de 𝑡𝑒𝑛õ𝑒𝑠 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çõ𝑒𝑠 é que iniciam-se os projetos de máquinas e 
estruturas. Em projetos estruturais de engenharia, estudam-se dois tipos de 
deformações, a deformação normal e a deformação por cisalhamento. 
A figura 27 esboça um corpo antes e depois da deformação. Imagine que 
uma carga seja aplicada ao corpo, na mesma direção da reta 𝒏. Observe também 
um segmento de reta de comprimento inicial ∆𝐒 sob a reta 𝑛. O segmento de reta 
tem origem no ponto 𝐀 e termina no ponto 𝐁. Se imaginarmos que o corpo seja 
formado por inúmeros segmentos de retas, tais como o segmento AB, percebemos 
que a após a aplicação da carga externa, o segmento AB irá se deformar, assumindo 
os pontos 𝐀’ e 𝐁’, e comprimento final ∆𝐒′. A deformação média 𝛜𝐦é𝐝, também 
chamada de deformação específica, pode ser expressa pela relação abaixo: 
 
 
ϵméd =
∆S′ − ∆S
∆S
 (86) 
UNIDADE 
0356 
 
 
Figura 27: Deformação normal 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
A equação 87 acima expressa a deformação média específica. As 
deformações reais em cada ponto serão diferentes em cada posição do corpo. Se 
aproximarmos o ponto B em direção ao ponto A, fazendo ∆𝑆 → 0, então podemos 
escrever para a deformação: 
 ϵ = lim
B → A ao longo de n
∆S′ − ∆S
∆S
 (87) 
 
Para segmentos de retas pequenos, se tivermos o valor da deformação, 
podemos obter o comprimento final do segmento de reta, a partir da expressão: 
 
 ∆S′ ≈ (1 + ϵ)∆S (88) 
 
A figura 28 também apresenta um corpo antes e depois da aplicação de 
carga externa. Dois segmentos de reta 𝑨𝑪 e 𝑨𝑩, ambos com origem em 𝑨, estão 
dispostos formando um ângulo reto, (90° ou 
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑). O segmento 𝑨𝑪 pertence à reta 𝒕 
e o segmento de reta 𝑨𝑩 pertence à reta 𝒏. Após a aplicação da carga haverá uma 
variação do ângulo entre as retas, e essa variação é conhecida como a deformação 
por cisalhamento. Essa variação poderá ser positiva ou negativa. Após a aplicação 
da carga, o ponto 𝑪 assume a posição 𝑪’ e o ponto 𝑩 assume a posição 𝑩’. Se 
aproximarmos os pontos 𝑩 e 𝑪 em direção à origem A, simultaneamente, sob as retas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
𝒏 e 𝒕, respectivamente, fazendo o comprimento dos segmentos tenderem a zero, 
podemos expressar a deformação por cisalhamento real no ponto 𝑨, associadas as 
retas 𝒏 e 𝒕, pela relação: 
 
 γnt =
π
2
− lim
B→A ao longo de n
C→A ao longo de t
θ′ 
(89) 
 
 
Figura 28: Deformação por cisalhamento 
 
Fonte: Elaborado pelo autor (2022) 
 
Os valores de deformação são adimensionais, mas comumente são escritos na 
forma de unidade de comprimento por unidade de comprimento. No sistema 
internacional de unidades (S.I.U) a deformação é expressa em [𝑚
𝑚⁄ ]. Por vezes, essa 
deformação é muito pequena, sendo então utilizados submúltiplos do metro, tais 
como o micrometro [
𝜇𝑚
𝑚⁄ ]. A deformação também pode ser expressa na forma 
percentual, como 0,2%. 
 
 DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO 
As deformações são medidas experimentalmente e podemos relacioná-las 
com as cargas aplicadas e com as tensões aplicadas. Cada material possui 
propriedades diferentes. A dureza do aço evidentemente é consideravelmente 
maior que a dureza de uma borracha. Ao passo que a ductilidade da borracha é 
maior que a do aço. Existem diversas propriedades como dureza, resistência, 
ductilidade, maleabilidade, soldabilidade, resiliência, tenacidade, dentre outras. 
Será abordado cada conceito no momento oportuno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
Para obtermos algumas dessas propriedades, devemos realizar ensaios 
mecânico dos materiais, como por exemplo, o ensaio de tração (mais comum). O 
ensaio de tração é realizado em uma amostra do material, seguindo padrões 
técnicos da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), a essa amostra do 
material denominamos de corpo de prova. 
 
Figura 29: Corpo de prova – ensaio de tração 
 
Fonte: Disponível em: https://bit.ly/3GquYty. E https://bit.ly/3L6mLP8. Acessos em: 05 set. 2022. 
 
O ensaio de tração é realizado em uma máquina como na figura 30, onde 
aplica-se um esforço axial de tração sobre o corpo de prova até levá-lo à ruptura. 
 
Figura 30: Máquina de ensaio de tração 
 
Fonte: Disponível em https://bit.ly/3GquYty. Acesso em: 05 jan. 2022. 
https://bit.ly/3GquYty
https://bit.ly/3L6mLP8
https://bit.ly/3GquYty
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
Os valores de tensão e deformação são registrados pela máquina e, 
simultaneamente, um diagrama é gerado, com a plotagem desses dois eixos. No eixo 
da ordenada dispõem-se os valores de tensão (𝜎), e no eixo das abscissas dispõem-
se os valores da deformação (𝜖). 
 
 
 
O diagrama 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 fornece inúmeras informações acerca do 
material, como por exemplo, a tensão de ruptura, a tensão última, a tensão de 
escoamento, a ductilidade e a tenacidade do material, dentre outras. Todas essas 
propriedades são relevantes na escolha do material para determinada aplicação na 
engenharia. Em certas aplicações, como por exemplo, nos automóveis, objetiva-se 
reduzir o peso do veículo (menor gasto e menor consumo de combustível), aumentar 
a resistência mecânica da lataria a fim de proteger os passageiros em uma eventual 
colisão, e associado a isso, espera-se que o material que forma a lataria do veículo 
absorva a maior parte da energia de impacto, sem transferir energia para os 
ocupantes do veículo, para tanto, é importantíssimo conhecer as principais 
propriedades dos materiais e saber como utilizar desse ferramental teórico na seleção 
de materiais para projetos de máquinas e estruturas. 
A figura 31 apresenta um diagrama 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 de um aço de baixo 
teor de carbono. Isso significa na prática que este aço possui boa ductilidade e baixa 
dureza. Materiais com alta dureza são chamados de materiais frágeis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 31: Diagrama tensão x deformação aço baixo carbono 
 
Fonte: Adaptado de Beer (1995) 
 
Tensão nominal ou tensão de engenharia é a razão entre a carga (𝑃) aplicada 
e a área inicial (𝐴0) da secção transversal do corpo de prova. Embora a área da 
secção transversal sofra redução durante a aplicação da carga, neste caso, para o 
cálculo da tensão de engenharia fixamos a área inicial, logo: 
 
 σ =
P
A0
 (90) 
 
A deformação nominal ou deformação de engenharia corresponde à razão 
entre o alongamento (𝛿) e o comprimento inicial (𝐿0) do corpo de prova, logo: 
 
 ϵ =
δ
L0
 (91) 
 
Usaremos como exemplo na construção do diagrama de tensão-deformação 
o aço, que é um material amplamente utilizado na indústria mecânica e civil. A partir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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dos conceitos de tensão e deformação nominais, por meio de medidas 
experimentais estabeleceu-se o diagrama tensão (𝝈) – deformação (𝝐) convencional 
para o aço. No eixo das ordenadas (𝒚) relacionam-se os valores de tensão (𝝈) e no 
eixo das abscissas (𝒙) os valores de deformação (𝝐). O resultado é o que chamamos 
de diagrama tensão-deformação. 
 
Figura 32: Diagrama tensão x deformação de engenharia 
 
Fonte: Adaptado de Hibeller (2010). 
 
O corpo de prova fabricado em aço, com dimensões e acabamento 
padronizados, é levado à máquina de ensaio de tração. A máquina inicia a 
operação aplicando um esforço axial de tração sobre o corpo de prova. 
Inicialmente, o aço encontra-se na região elástica onde a deformação aumenta, 
proporcionalmente, com o aumento da tensão, em uma relação linear. Durante a 
fase elástica o corpo de prova sofre uma deformação em função da aplicação da 
tensão, porém, o material apresenta comportamento elástico, de maneira que, ao 
cessar o carregamento, o corpo de prova retoma as suas dimensões iniciais. A 
medida que a carga aplicada aumenta, o material se aproxima do limite superior 
dessa região elástica, neste ponto, a tensão limite é denominada de limite de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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proporcionalidade (𝜎𝑙𝑝) de maneira que, ao ultrapassar este ponto, o material ainda 
poderá se comportar de maneira elástica, porém, a curva do diagrama tende a se 
inclinar, de tal forma que não haverá mais a relação linear entre tensão e 
deformação. Continuando a aumentar a tensão sobre o corpo de prova, o material 
chegará ao limite de elasticidade onde poderá ainda se comportar de maneira 
elástica. No caso de materiais como o aço, é extremamente difícil discernir entre o 
limite de proporcionalidade e o limite de elasticidade. Se a tensão (𝜎) aplicada ao 
corpo de prova ultrapassar minimamente o limite de elasticidade, então o corpo de 
prova sofrerá um colapso, deformando-se permanentemente e não retornando mais 
à fase elástica. Dizemos então que o material sofreu escoamento. Após o material 
sofrer o fenômeno do escoamento, aumentando-se a