estatistica - livro (1) (1)

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Estatística Aplicada 
 
Estatística Aplicada 
Adriana Santos Augusto 
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Estatística Aplicada 
 
 
DIREÇÃO SUPERIOR 
Chanceler Joaquim de Oliveira 
Reitora Marlene Salgado de Oliveira 
Presidente da Mantenedora Jefferson Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira 
Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira 
Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira 
Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves 
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Marcio Barros Dutra 
 
DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA 
Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira 
Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva 
 
FICHA TÉCNICA 
Direção Editorial: Diogo Pereira da Silva e Patrícia Figueiredo Pereira Salgado 
Texto: Adriana Santos Augusto 
Revisão: Lívia Antunes Faria Maria e Walter P. Valverde Júnior 
Projeto Gráfico e Editoração: Andreza Nacif, Antonia Machado, Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Supervisão de Materiais Instrucionais: Janaina Gonçalves de Jesus 
Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos 
 
COORDENAÇÃO GERAL: 
Departamento de Ensino a Distância 
Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliotecária: Elizabeth Franco Martins – Crb 7/4990 
 
© Departamento de Ensino a Distância - Universidade Salgado de Oliveira 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida 
de nenhuma forma ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de 
Oliveira de Educação e Cultura, mantenedora da Universidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO). 
A923e Augusto, Adriana Santos. 
Estatística aplicada / Adriana Santos Augusto ; revisão de 
Lívia Antunes Faria Maria e Walter P. Valverde Júnior. 2. ed. 
– Niterói, RJ: UNIVERSO, 2011. 
242 p. ; il. 
1. Estatística aplicada. 2. Gráficos estatísticos. 3. Medidas 
estatísticas. 4. Amostragem (Estatística). I. Maria, Lívia 
Antunes Faria. II. Valverde Júnior, Walter P. III. Título. 
 CDD 519.5 
Estatística Aplicada 
 
 
Palavra da Reitora 
 
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, 
exigente e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de 
Oliveira (UNIVERSO) apresenta a UNIVERSO EAD, que reúne os diferentes 
segmentos do ensino a distância na universidade. Nosso programa foi 
desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero 
bem-sucedidas mundialmente. 
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio 
dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço 
presentes nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio 
tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se 
responsável pela própria aprendizagem. 
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que 
permite que alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo 
momento ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de 
nossa plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores 
especializados nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são 
fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a 
distância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-
sucedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo 
de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, 
graduação ou pós-graduação. 
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando 
as novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o 
programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona. 
Seja bem-vindo à UNIVERSO EAD! 
Professora Marlene Salgado de Oliveira 
Reitora
Estatística Aplicada 
 
 
Estatística Aplicada 
 
 
 
Sumário 
 
1. Apresentação da disciplina ....................................................................................... 07 
2. Plano da disciplina ..................................................................................................... 09 
3. Unidade 1 – Elementos de Estatísticas Descritiva.................................................. 11 
4. Unidade 2 – Representação Gráfica ......................................................................... 49 
5. Unidade 3 – Medidas de Tendência Central ........................................................... 63 
6. Unidade 4 – Medidas de Dispersão ........................................................................ 85 
7. Unidade 5 – Noções de Amostragem ..................................................................... 103 
8. Unidade 6 – Cálculo das Probabilidades. ................................................................ 121 
9. Unidade 7 – Distribuição . ......................................................................................... 141 
10. Unidade 8 – Correlação e Regressão. ...................................................................... 171 
11. Considerações finais .................................................................................................. 187 
12. Conhecendo o autor .................................................................................................. 189 
13. Referências .................................................................................................................. 191 
14. Anexos ......................................................................................................................... 193 
Estatística Aplicada 
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Estatística Aplicada 
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Apresentação da Disciplina 
 
Caro aluno, 
 Seja bem-vindo à disciplina Estatística Aplicada. 
 Muitos falam em estatística, mas poucos sabem o que é e para que ela 
serve. A estatística é um ramo da matemática aplicada que desempenha um papel 
fundamental para a compreensão da realidade. Ela nos fornece métodos para 
coleta, organização, análise e interpretação de dados para posterior utilização dos 
mesmos em tomada de decisões. 
 Na Antigüidade, assim como hoje, os povos mantinham um registro 
permanente do número de habitantes, nascimentos e óbitos. O que faziam ainda 
não tinha nome. A palavra ESTATÍSTICA surgiu na Idade Média, quando as 
informações eram tabuladas com finalidades bélicas e tributárias, ou seja, sua 
importância maior era servir ao Estado, daí o nome. 
 A estatística será de grande utilidade para você, pois é uma ferramenta 
indispensável não só nos negócios, mas em todas as ciências, afinal de contas, você 
poderia imaginar o mundo de hoje sem registros numéricos? Já se deu conta da 
facilidade com que "projetamos" o futuro muito antes de ele acontecer? E isso 
acontece em todos os ramos da nossa vida. 
 Assim, desejamos que você realize um ótimo estudo e, lembre-se: a 
aprendizagem é infinita! Utilize nossas referências bibliográficas para aprofundar e 
engrandecer seus conhecimentos sobre os assuntos aqui estudados, pois isso lhe 
acrescentará muito, não só como aluno, mas também como profissional e cidadão. 
 Tenha um excelente estudo! Sucesso! 
 
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Plano da Disciplina 
 
A disciplina Estatística possui objetivos próprios no que diz respeito ao 
processo ensino-aprendizagem, desenvolvendo competências e habilidades 
necessárias à formação de futuros profissionais que atuarão na sociedadecontemporânea. São objetivos gerais da disciplina: capacitar o aluno para o uso da 
metodologia estatística mediante aplicação de técnicas de análise estatística de 
dados, de projeção e metodologia de tomada de decisão; utilizar os conceitos e o 
conteúdo prático dos Métodos Quantitativos aplicados para o desenvolvimento de 
trabalhos pedagógico-científicos e proporcionar melhor aplicabilidade 
interdisciplinar durante o exercício do curso. 
 O conteúdo programático foi divido em oito unidades que abordarão 
desde os Elementos da Estatística Descritiva até a Correlação e Regressão. 
Seguiremos, agora com a apresentação de cada unidade: 
 
Unidade 1 – Elementos da Estatística Descritiva 
Objetivo: identificar conceitos básicos da disciplina; compreender o que é 
exatamente a estatística e para que ela serve; interpretar um levantamento 
estatístico; conhecer as séries estatísticas; trabalhar os dados estatístico através da 
montagem de uma distribuição de freqüências. 
 
Unidade 2 – Representação Gráfica 
Objetivo: construir e analisar os gráficos que você tanto conhece e que fazem 
parte da sua vida cotidiana. 
 
Unidade 3 – Medidas de Tendência Central 
Objetivo: compreender as medidas de tendência central e calculá-las para 
dados não agrupados e dados agrupados em classes de freqüências. 
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Unidade 4 - Medidas de Disperção 
Objetivo: compreender as medidas de dispersão, calcular essas medidas para 
dados não agrupados e dados agrupados em classes de freqüências. 
 
Unidade 5 - Noções de Amostragem 
Objetivo: conhecer mais sobre o cálculo e os tipos de amostra e os métodos 
probabilísticos. 
 
Unidade 6 - Cálculo das Probabilidades 
Objetivo: caracterizar os experimentos aleatórios; calcular as possibilidades de 
acontecimento de tais experimentos, a chance de um evento ocorrer ou não, ou 
seja, a probabilidade de sucesso ou insucesso. 
 
Unidade 7- Distribuição de Probabilidade 
Objetivo: identificar e calcular problemas relacionados à contagem – 
Distribuição Binomial; identificar e calcular problemas relacionados a espaços 
amostrais contínuos e às variáveis contínuas – Distribuição Normal. 
 
Unidade 8 – Correlação e Regressão 
Objetivo: ajustar uma reta a um conjunto de dados e determinar a equação da 
reta que constitui o melhor ajuste; calcular e classificar o grau de correlação 
existente entre duas variáveis. 
 
 
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Elementos de Estatística 
Descritiva 
Conceitos básicos da Estatística 
Séries estatísticas 
Distribuição de frequências 
 
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Nesta primeira unidade, estudaremos o que é o método estatístico, bem 
como as suas fases. Aprenderemos as definições de variável, população e amostra, 
assim como algumas técnicas para o cálculo de uma amostra. Também iremos 
estudar as séries estatísticas e a distribuição de frequências . 
 
 
OBJETIVOS DA UNIDADE: 
 Identificar conceitos básicos da disciplina. 
 Compreender o que é exatamente a estatística e para que ela serve. 
 Interpretar um levantamento estatístico. 
 Conhecer as séries estatísticas. 
 Trabalhar os dados estatístico através da montagem de uma distribuição 
de frequências. 
 
PLANO DA UNIDADE : 
 
Conceitos básicos da estatística 
Séries estatísticas 
Distribuição de frequências 
 
 
Bem-vindo à primeira unidade de estudo 
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Conceitos Básicos 
 
Estatísticas são feitas todos os dias em jornais e revistas, algumas vezes por 
órgãos que não conhecemos e que não sabemos se são confiáveis ou não. O dia-a-
dia de um cidadão está cheio de “armadilhas” espalhadas na mídia de modo a levá-
lo a percorrer caminhos nem sempre corretos. Para não cair nessas “armadilhas”, a 
primeira coisa que devemos saber é distinguir os dois tipos de estatística - a que 
envolve a contagem pura e simples, como o censo da população, feito de tempos 
em tempos pelo IBGE e a calculada por amostragem, como, por exemplo, as 
pesquisas sobre a intenção de voto. 
A decisão quanto à metodologia a ser utilizada, se recenseamento ou amostra, 
vai depender principalmente dos custos e do tempo para apuração dos dados. É 
óbvio que o ideal seria consultar toda a população, porém isso custa caro e nem 
sempre os recursos existentes são suficientes para isso. Por isso, normalmente 
utiliza-se a pesquisa amostral. 
Deve-se saber também que há algumas regras básicas empregadas na 
"contabilidade" e na generalização dos dados obtidos. 
A coleta, a organização, a descrição, o cálculo, a análise e interpretação dos 
coeficientes pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA, enquanto que a análise e a 
interpretação dos dados amostrais, associado a uma margem de incerteza, ficam a 
cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL, que se fundamenta na teoria da 
probabilidade e é muito útil na análise de jogos, entre outros. Por exemplo, não é 
preciso provar todas as caixas de bombom produzidas numa fábrica para se saber 
se o chocolate é bom. A amostragem nos permite mensurar o que queremos 
apenas sobre uma parcela pequena de determinada “população”, denominada 
amostra e utilizar essa informação para fazer inferência sobre toda a população. 
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MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
Método: é o meio mais eficaz para atingir determinada meta. Dos métodos 
científicos destacamos o método experimental e o método estatístico. 
 
 Método Experimental: consiste em manter constante todas as 
causas, menos uma, que sofre variação para se observar seus efeitos, 
caso existam. Ex: Estudos da Química, Física, etc. Em laboratório é fácil 
mantermos constantes, por exemplo, a pressão e variarmos a 
temperatura para estudar o efeito dessa variação . 
 
 Método Estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas 
constantes, admitem todas essas causas presentes variando-as, 
registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, 
que influências cabem a 
cada uma delas. Ex.: Quais as causas que definem o preço de uma 
mercadoria quando a sua oferta diminui? É um método muito usado nas 
ciências sociais, pois seria impossível, no momento da pesquisa, manter 
constantes a uniformidade dos salários, o gosto dos consumidores, nível 
geral de preços de outros produtos, etc. 
 
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
 Definição do Problema 
 
O que exatamente se pretende pesquisar? Ou seja, é preciso definir 
corretamente o problema. 
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 Planejamento 
 
Como levantar informações ? Que dados deverão ser obtidos? Qual 
levantamento a ser utilizado? Censo? Amostragem? Qual é o cronograma de 
atividades? Quais são os custos envolvidos no processo? 
 
 Coleta 
 É o registro de dados com um objetivo determinado. A coleta de dados pode ser 
Direta ou Indireta. 
 
Coleta Direta: é feita pelo próprio pesquisador (censo) ou através de 
registros permanentes quando é obtida diretamente da fonte. Ex: 
empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência dos 
consumidores pela sua marca. A coleta direta de dados pode ser 
classificada quanto ao fator tempo em contínua, periódica ou ocasional. 
 
Coleta Contínua: quando é feita continuamente. Ex.: registros de 
nascimento, óbitos, casamentos; 
 
Coleta Periódica: quando é feita em intervalos constantes de tempo. Ex.: 
censo (de 10 em 10 anos); 
 
Coleta Ocasional: quando é feita a fim de atender a uma emergência. Ex.: 
coleta de dados epidemiológicos. 
 
Coleta Indireta: é feita por deduções a partir de dados que são 
conhecidos, conseguidos pela coleta direta, por analogia, por avaliação, 
indícios ou proporcionalização. 
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Quanto aos dados coletados, ou seja, a matéria-prima sobre a qual iremos 
aplicar os métodos estatísticos, eles podem ser primários ou secundários. 
 
 Dados primários: quandosão publicados pela própria pessoa 
ou organização que os haja recolhido. Ex: tabelas do censo 
demográfico do IBGE. 
 Dados secundários: quando são publicados por outra 
organização. 
 
 
EXEMPLIFICANDO 
 
Quando determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo demográfico 
extraídas do IBGE. 
 
 
IMPORTANTE 
 
 Trabalhar com fontes primárias é sempre mais seguro! 
 
 Crítica 
Os dados coletados devem ser cuidadosamente criticados para evitar erros 
que possam vir a alterar os resultados. Ex.: numa pesquisa feita numa academia 
perguntou-se o peso dos atletas. Resposta: 765 kg. É obvio que houve algum tipo 
de erro na coleta do dado, este deve ser, então, descartado. 
Estatística Aplicada 
 
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 Apuração 
 
É a organização dos dados obtidos na coleta, através de sua contagem e 
agrupamento. 
 
 Apresentação dos Dados 
 
Há duas formas de apresentação. A apresentação tabular segundo regras práticas 
fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística e a apresentação gráfica dos dados. 
Uma não exclui a outra. 
 
 Análise dos Resultados 
 
Esta é a última fase do método estatístico. Refere-se ao cálculo de medidas e 
coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno (estatística 
descritiva). 
Nesta etapa obteremos conclusões sobre o todo (população), a partir das 
informações fornecidas pela parte que representa o todo (amostra). 
 
População ou Universo Estatístico 
 
É o conjunto total de elementos portadores de pelo menos uma 
característica em comum. Ex.: o universo dos alunos de uma escola. 
 
Variáveis 
 
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Ex.: sexo, 
cor da pele, idade...Pode ser classificada de variável quantitativa ou variável 
qualitativa. 
 
 Variável Qualitativa: quando seu valores são expressos por atributos: 
sexo, cor da pele,etc. 
Estatística Aplicada 
 
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 Variável Quantitativa: quando os dados são de caráter quantitativo, e o 
conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica, se divide em 
variável discreta e variável contínua. 
 
 Variável Discreta ou Descontínua: seus valores são expressos 
geralmente através de números inteiros não-negativos. Resulta 
normalmente de contagens. Ex: número de filhos de um casal - pode 
assumir valores como 0; 1; 2; 3;..., mas nunca valores como: 1,5; 3,72; etc. 
 
 Variável Contínua: pode assumir qualquer valor entre dois limites, ou 
seja, assume valores em um intervalo real. Resulta normalmente de uma 
mensuração, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre 
dois limites. Ex.: temperatura. Normalmente as medições dão origem a 
variáveis contínuas e as contagens a variáveis discretas. 
 
Amostragem 
 
Amostra é uma parcela representativa da população que é examinada com o 
propósito de tirarmos conclusões sobre essa população. É um subconjunto finito 
de uma população. Uma amostra deve ser cuidadosamente planejada a fim de 
garantir a menor margem de erro na pesquisa. A margem de erro é um intervalo 
controlado dentro do qual podem variar os resultados finais. Nenhum 
levantamento estatístico feito por amostragem é perfeito, ou melhor dizendo, um 
estudo bem planejado não elimina o erro, apenas o limita. 
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Para selecionar uma amostra é preciso levar em conta as características de 
distribuição física da população, ou seja, algumas áreas têm uma população maior 
que outras. É preciso levantar os dados em proporção à densidade populacional 
das regiões. Por exemplo, se o objeto de estudo é o tipo de programa de TV mais 
assistido, não adianta fazer o estudo apenas em uma turma de escola de educação 
infantil, pois o resultado obviamente seria desenho animado. Crianças não 
costumam assistir a telejornais ou a filmes da madrugada. Se a pesquisa fosse feita 
dessa forma, o resultado não estaria correto. 
Assim, no caso de uma população ser composta de 35% de crianças, 40% de 
adultos e os outros 25% de idosos, uma amostra dessa população também deve 
conter crianças, adultos e idosos na mesma proporção. 
 
Amostragem Casual ou Aleatória Simples 
 
É o processo mais utilizado. Equivale a um sorteio lotérico. Pode ser 
realizada da seguinte forma: numera-se a população de 1 a n e sorteando-se, a 
seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, n números dessa sequência, 
que corresponderão aos elementos pertencentes da amostra. 
 
EXEMPLIFICANDO 
 
Obter uma amostra de 10% dos 580 alunos de uma escola: 
 
1º - numeramos os alunos de 1 a 580. 
 
2º - escrevemos os números dos alunos de 1 a 580 em pedaços iguais de papel, 
colocamos na urna e após mistura, retiramos, um a um, cinquenta e oito números 
que formarão a amostra. 
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IMPORTANTE 
 
Quando o número de elementos da amostra é muito grande como neste caso, 
esse tipo de sorteio é muito trabalhoso. Então, utiliza-se uma tabela de números 
aleatórios, construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são distribuídos ao 
acaso nas linhas e colunas. 
 
Amostragem Proporcional Estratificada: 
 
Quando a população se divide em estratos (subconjuntos da população), 
é imprescindível que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais 
estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de 
elementos desses estratos. 
 
EXEMPLIFICANDO 
Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10%, dos pacientes 
internados em um SPA. Supondo que sejam 106 mulheres e 54 homens. São, 
portanto, dois estratos (sexo masculino e sexo feminino). Logo, temos: 
 
SEXO POPULAÇÃO 10 % AMOSTRA 
MASCULINO 54 5,4 5 
FEMININO 106 10,6 11 
Total 160 16 16 
 
Numeramos, então, os pacientes de 01 a 160, sendo 01 a 54 homens e 55 a 
160, mulheres e procedemos o sorteio casual com urna ou tabela de números 
aleatórios, que será vista na unidade VII. 
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IMPORTANTE 
 
No caso da tabela acima, estamos selecionando uma amostra composta por 
pessoas, portanto não podemos selecionar 5,4 pessoas do sexo masculino. 
Devemos, então, “arredondar” o número 5,4 para um número inteiro, ou seja, 5. 
 
Dúvidas no arredondamento? 
 
Existem duas formas de representar um número quando não podemos 
representá-lo com todos os seus dígitos, o truncamento e o arredondamento. 
 
O truncamento - Truncar um número é “quebrá-lo” de acordo com o número de 
dígitos que queremos representar. 
 
EXEMPLIFICANDO 
 
Representar os números abaixo com apenas dois dígitos. 
27,283 → 27 
27,575 → 27 
27,897 → 27 
 
Em todos os casos o número será representado da mesma forma, não 
importando o tamanho do erro. 
 
Erro- Toda vez que um número não é representado com todos os seus 
algarismos, estamos cometendo um erro. Por exemplo: ao aproximarmos o 
número 2,7 para 3 estamos aumentando esse número em 0,3 (erro!), ou então, ao 
aproximarmos o número 2,2 para 2 estamos diminuindo esse número em 0,2 
(erro!). O erro cometido deve ser o menor possível!!! 
Estatística Aplicada 
 
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Arredondamento - Para arredondar um número, devemos seguir a seguinte 
regra: Observe o primeiro algarismo que será “descartado”. Se esse algarismo for 0, 
1, 2, 3 ou 4 mantemos a mesma ordem. Se esse algarismo for 5, 6, 7, 8 ou 9, 
aumentamos a ordem em 1. 
 
EXEMPLIFICANDO 
 
Arredondar os números abaixo para duas casas decimais. 
2,232 → 2,23 
2,235 → 2,24 
 
Amostragem Sistemática: 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há 
necessidade de sorteio. 
 
EXEMPLIFICANDO 
Suponhamos um prédio com 200 apartamentos, dos quais desejamos 
obter uma amostra formada por 20 apartamentos para uma pesquisa de opinião. 
Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 200/20 = 10, 
escolhemos por sorteio casual um número de 01 a 10, o qual indicaria o primeiro 
elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente 
considerados de 10 em 10. Assim,suponhamos que o número sorteado fosse 6, a 
amostra seria: 6o apartamento, 16o apartamento, 26o apartamento, etc. 
 Até aqui, vimos como se faz um levantamento estatístico, o que é e para 
que serve. Vimos ainda como é selecionada uma amostra e qual a importância 
desta. 
 Veremos agora o que são séries estatísticas 
 
Estatística Aplicada 
 
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Vamos, então, passo a passo. 
 
Você sabe o que é uma tabela ? 
TABELA - É um quadro que resume um conjunto de observações organizados 
segundo linhas e coluna 
Veja o exemplo de tabela abaixo : 
 
Ex.: Equipamentos existentes, disponíveis ao SUS, por tipo, segundo as grandes 
regiões – Brasil - 2002 
 
 
IMPORTANTE 
 O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser 
aberto. 
 Na construção das tabelas, devemos colocar: 
 um traço horizontal ( - ) quando o valor for zero; 
Estatística Aplicada 
 
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 três pontos ( ... ) quando não tivermos os dados; 
 zero ( 0 ) quando o valor for muito pequeno em relação à unidade 
utilizada; 
 um ponto de interrogação quando não tivermos certeza quanto à 
exatidão de determinado valor. 
 
Agora que você já sabe o que é uma tabela e como construí-la vamos 
conhecer as séries estatísticas . 
 
Série Estatística 
 
É uma tabela que apresenta um conjunto de dados estatísticos em função da 
época, local ou espécie. 
 
TIPOS DE SÉRIES ESTATÍSITICAS 
 
SÉRIES HOMÓGRADAS 
São as séries em que a variável estudada é discreta, ou seja, não contínua. 
Pode ser temporal, geográfica ou específica. 
 
 Série Temporal: o que está em estudo é o fator tempo. O local e a 
espécie são elementos fixos. 
 
Estatística Aplicada 
 
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ARTE E COMÉRCIO LTDA 
UNIDADES EXPORTADAS 
PERÍODO UNIDADES 
1O/2002 300 
2O/2002 250 
1O/2003 225 
2O/2003 289 
1O/2004 352 
2O/2004 458 
TOTAL 1874 
 Fonte: dados fictícios. 
 
 Série Geográfica: o que está em estudo é o fator geográfico. A 
época e a espécie são elementos fixos. 
 
ARTE E COMÉRCIO LTDA 
UNIDADES EXPORTADAS - 2004 
FILIAIS UNIDADES 
São Paulo 356 
Rio de Janeiro 229 
Curitiba 225 
TOTAL 810 
 Fonte: dados fictícios. 
 Série Específica: a variável em estudo é o fator ou a espécie. 
 
ARTE E COMÉRCIO LTDA 
UNIDADES EXPORTADAS - 2004 
TIPO UNIDADES 
ARTEFATOS EM BRONZE 365 
TELAS 445 
TOTAL 810 
Fonte: dados fictícios. 
Estatística Aplicada 
 
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SÉRIES CONJUGADAS OU TABELAS DE DUPLA ENTRADA: apresentam duas ou 
mais séries em uma mesma tabela, havendo duas ordens de classificação: uma 
horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de uma série geográfica temporal. 
 
ARTE E COMÉRCIO LTDA 
UNIDADES EXPORTADAS 
FILIAIS 2003 2004 
São Paulo 236 356 
Rio de Janeiro 153 229 
Curitiba 125 225 
TOTAL 514 810 
Fonte: dados fictícios. 
 
Conhecidas as séries estatísticas, vamos estudar agora a distribuição de 
frequências, em que aprenderemos a organizar os dados coletados através ou não 
da amostra, faremos também uma breve revisão de como calcular porcentagem. 
Vamos em frente ! 
 
Mas, afinal, o que é uma distribuição de frequências? 
 
A distribuição de frequências é um tipo de tabela que condensa uma 
série de dados de acordo com a repetição de seus valores (frequências). 
Estatística Aplicada 
 
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1. Dados brutos ou Tabela primitiva 
 
Trata-se de uma relação de elementos ou tabela que não foram 
numericamente organizados. São os dados coletados sem nenhuma arrumação. 
Apenas olhando para os números, é difícil ter uma ideia do comportamento da 
amostra. Não sabemos, por exemplo, quem é o menor, quem é o maior, quais são 
os números que mais se repetem, etc. 
 
EX.: 25, 21, 22, 21, 22, 23, 24, 21 ,30, 26, 30, 26, 40, 34, 32, 38, 37, 38, 40, 31 
 
2. ROL 
 
Se olharmos no dicionário veremos como definição que o rol é a relação 
obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). Ordenando os 
dados podemos ter uma ideia melhor do comportamento da amostra. 
Percebemos, desta forma, os dados que mais se repetem, os que aparecem menos, 
quem é o menor deles e quem é o maior, etc. 
 
EX.: 21, 21, 21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 26, 30, 30, 31, 32, 34, 37, 38, 38, 40, 40 
3. Os tipos de distribuição de freqüência 
 
Distribuição de frequência sem intervalos de classe 
Essa distribuição é usada quando o número de dados diferentes que aparecem 
é pequeno. Trata-se de uma simples condensação dos dados, conforme as 
repetições de seu valores. No exemplo dado, ao invés de escrevermos o número 21 
três vezes, escrevemos apenas uma e indicamos que ele se repete três vezes, ou 
seja, a frequência do número 21 é igual a três. 
Estatística Aplicada 
 
28 
 
EX.: Tabela Primitiva 
 
 
 
 
Distribuição de frequência com 
 intervalos de classe 
 
Quando o tamanho da amostra é grande, com vários números diferentes se 
repetindo, uma tabela de distribuição de frequências como a vista acima seria 
muito longa (comprida). Dessa forma, agrupamos os valores em vários intervalos 
de classe, diminuindo o tamanho da tabela. 
Dados Frequência 
21 3 
22 2 
23 1 
24 1 
25 1 
26 2 
30 2 
31 1 
32 1 
34 1 
37 1 
38 2 
40 2 
Total 20 
 
Estatística Aplicada 
 
29 
 
No exemplo dado, temos: 
 
i Classes Frequências 
1 21 | 25 7 
2 25 | 29 3 
3 29 | 33 4 
4 33 | 37 1 
5 37 | 41 5 
 Total 20 
 
Como você já deve ter percebido, a Estatística utiliza alguns nomes que talvez 
lhe sejam desconhecidos. Mas, a partir de agora, com certeza, você os aprenderá. 
Afinal de contas, é para isto que estamos aqui: para ensinar e também aprender! 
 
NOMECLATURAS 
 
CLASSE (i) 
 
É cada um dos intervalos de variação da variável analisada. Ex.: na tabela 
anterior, a 3ª classe, simbolizada por i = 3, varia de 29 até 33, ou seja, (29 | 33). O 
símbolo | significa intervalo aberto à direita e fechado à esquerda, ou seja, nessa 
classe estão contidos os valores de 29 (inclusive) até 33 (exclusive). Por exemplo, 
dado o número 33 do ROL, este não pertence a classe 3 e sim a classe 4 
representada por 33 | 37. Sempre utilizaremos o intervalo fechado à esquerda e 
aberto à direita. 
Estatística Aplicada 
 
30 
 
4.2. LIMITES DE CLASSE 
 
Os limites de classe são os extremos de cada classe. O menor número é o 
limite inferior de classe ( li ) e o maior número, limite superior de classe ( Li ). 
No intervalo 29 | 33, l3 = 29 e L3 = 33. 
 
4.3. AMPLITUDES 
 
Aqui, podemos citar a amplitude do intervalo de classe, a amplitude 
amostral e amplitude total da distribuição. Vejamos, então, cada uma delas. 
 
AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE (hi) 
É calculado após conhecermos o valor de i (nº de classes) e o valor de AA 
(amplitude amostral). 
i
AA
hi  
 Se a distribuição por classes já estiver construída, nesse caso, hi = Li - li, ou 
seja, a diferença entre os limites de cada classe. 
 
Ex.: na tabela anterior. 
 
 h1 = 25-21=4 
 h2 = 29-25=4 
 h3 = 33-29=4 
 h4 = 37-33=4 
 h5 = 41-37=4 
 
IMPORTANTE 
 
Na distribuição de frequência com classe, devemos sempre que 
possível ter hi igual em todas as classes. 
Estatística Aplicada 
 
31 
 
 
AMPLITUDE AMOSTRAL (AA = Xmáx - Xmin) 
 
Trata-se da diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra 
(ROL). No nosso exemplo: AA=40-21=19. 
 
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT = L(max) - l(min)) 
 
É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da 
primeira classe. 
 
EX.: na tabela anterior, AT = 41 - 21= 20. 
 
Obs.: AT sempre será maior ou igual a AA. 
 
PONTO MÉDIO DE CLASSE 
2
ii
i
Ll
x

 
 
O ponto médio de classe é o ponto que divide o intervalo de classe em 
duas partes iguais. 
 
EX.: considerea 3ª classe da tabela em 29 | 33, o ponto médio x3 = (29+33)/2 = 
31. 
 
IMPORTANTE 
O ponto médio será de suma importância para o cálculo da média, pois, 
como dito anteriormente, na tabela organizada com intervalos de classe, não 
sabemos mais, exatamente, quais são os valores representados em cada 
Estatística Aplicada 
 
32 
intervalo. Assim, consideraremos esses valores como sendo o ponto médio 
dos intervalos para que o erro seja o menor possível. 
 
Cálculo do número de intervalos de classe 
 
Podemos calcular o número de intervalos de classe de duas formas: pela Regra 
de Sturges ou pela raiz quadrada de n. 
 
DICA 
Regra de Sturges - Número de Classes 
Para determinar o número de classes ideal de uma distribuição, utiliza-se a 
Regra de Sturges, de acordo com o tamanho da amostra. 
 
i  1 + 3,3 log.n 
 
Onde n é o número de elementos da relação de dados brutos. Para o exemplo 
dado, temos: 
i  1 + 3,3 log20 = 5,29  5. 
 
i Classes Frequências 
1 21 | 25 7 
2 25 | 29 3 
3 29 | 33 4 
4 33 | 37 1 
5 37 | 41 5 
 Total 20 
 
DICA 
Se você não possui uma calculadora científica para calcular o valor do 
logaritmo de n, busque nos anexos os respectivos valores. 
 
Estatística Aplicada 
 
33 
 
Regra da Raiz Quadrada de n - Número de Classes 
 
Para determinar o número de classes ideal de uma distribuição, utiliza-se 
a regra da Raiz Quadrada de n, de acordo com o tamanho da amostra. 
 
i  n 
Onde n é o número de elementos da relação de dados brutos. Para o exemplo 
dado, temos: i  20 = 4,47  4. 
 
 
DICA 
 
Valores da raiz de n encontram-se previamente calculados nos anexos. 
 
 
i Classes Frequências 
1 21 | 26 8 
2 26 | 31 4 
3 31 | 36 3 
4 36 | 41 5 
 Total 20 
 
Se i=4 deve-se calcular o novo hi. 
 
Ex.: na tabela anterior. 
 
 h1= 26-21=5 
 h2= 31-26=5 
 h3= 36-31=5 
 h4= 41-36=5 
Estatística Aplicada 
 
34 
 
Na tabela de distribuição de frequências sem intervalo de classes tínhamos um 
total de treze linhas com dados obtidos, já na tabela com intervalos de classe, 
apenas 5 ou 4 de acordo com a regra que for utilizada. Apesar de ser uma tabela 
mais “legível”, a precisão dos valores se perde um pouco, pois não sabemos mais 
quais são exatamente os sete números que aparecem no primeiro intervalo de 
classe, por exemplo. Mesmo assim, é a tabela mais usada, pois num levantamento 
de grande porte, seria inviável e incompreensível trabalharmos com os inúmeros 
valores que aparecem. 
Para a construção de uma tabela de distribuição de frequências com intervalos 
de classe, é muito importante o cálculo do número de intervalos de classe ou pela 
regra de Sturges ou pela raiz quadrada de n. Qualquer regra para determinação do 
número de intervalos de classes não determina com exatidão o valor de i, mas dá 
ao pesquisador uma noção do tamanho da tabela. Cabe ao pesquisador decidir 
com quantos intervalos de classe irá trabalhar. Na verdade, o número de intervalos 
de classe vai depender do tipo de dado que está sendo trabalhado. Por exemplo, se 
os dados referirem-se às notas de uma prova, talvez seja conveniente que os 
arrumemos em intervalos de 1 em 1 para que possamos ter uma ideia do número 
de alunos aprovados (nota maior que sete), o número de alunos em recuperação 
(nota entre quatro e sete) e o número de alunos reprovados (nota inferior a quatro). 
Para construção de uma Distribuição de Frequências c/ intervalos de Classes 
devemos seguir os seguintes passos ( roteiro ): 
 
1º passo - Organize os dados brutos em um ROL. 
 
Dados Brutos: 
 
25, 21, 22, 21, 22, 23, 24, 21 ,30, 26, 30, 26, 40, 34, 32, 38, 37, 38, 40, 31 
 
Rol: 
 
21, 21, 21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 26, 30, 30, 31, 32, 34, 37, 38, 38, 40, 40 
Estatística Aplicada 
 
35 
 
 
2º passo - Calcule a amplitude amostral AA (maior valor da amostra menos o 
menor). 
 
AA = 40 - 21 = 19 
 
3º passo - Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges" ou 
da raiz quadrada de n. 
 
i  1 + 3,3 log20 = 5,29  5 ou i  n = 20 =4,47  4 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE 
 
O número de intervalos de classe pode ser diferente se calculado por uma 
regra ou por outra. Cabe ao pesquisador definir o número de intervalos de classe 
com que irá trabalhar. 
 
 
4º passo - Calcule a amplitude dos intervalos de classe (amplitude amostral 
dividida pelo número de intervalos de classe). 
 
hi = AA/i = 19/5 = 3,8  4 
 
No caso de termos que arredondar o valor de hi, este deve ser 
arredondado sempre para mais para que haja folga na última classe, no contrário 
corre-se o 
risco de a tabela montada não incluir o último valor, e nenhum valor pode ser 
descartado. 
i Classes 
1 
2 
3 
4 
5 
Estatística Aplicada 
 
36 
 
5º passo - Montemos, então, a tabela. O menor número da amostra será o 
limite inferior do 1º intervalo de classe e de h em h, no nosso exemplo, de 4 em 4, 
montamos, então, os limites de todos os intervalos de classe. O primeiro elemento 
das classes seguintes sempre será formado pelo último elemento da classe 
anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6o passo - Agora é só marcar quantos números temos em cada intervalo de 
classe. A maneira mais simples de fazer é através de marcações da seguinte forma: 
lemos o primeiro número e identificamos qual a classe a que ele pertence. 
Identificada a classe, riscamos o número e o marcamos na classe a que ele 
pertence. 
 
i Classes Marcação Frequências 
1 21 | 25 /////// 7 
2 25 | 29 /// 3 
3 29 | 33 //// 4 
4 33 | 37 / 1 
5 37 | 41 ///// 5 
 Total 20 
 
i Classes 
1 21 | 25 
2 25 | 29 
3 29 | 33 
4 33 | 37 
5 37 | 41 
Estatística Aplicada 
 
37 
 
Agora é só apagar a coluna de marcação e está pronta a tabela! 
 
i Classes Frequências 
1 21 | 25 7 
2 25 | 29 3 
3 29 | 33 4 
4 33 | 37 1 
5 37 | 41 5 
 Total 20 
 
DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS 
 
Os dados absolutos são os resultantes da coleta direta da fonte, sem outra 
manipulação senão a contagem ou medida. Já os dados relativos são razões que se 
estabelecem entre dados absolutos e têm por finalidade realçar ou facilitar as 
comparações entre quantidades. Os dados relativos são de fácil compreensão. 
Como o nome mesmo diz, relativo, em relação a. 
 
Porcentagem 
 
As porcentagens são partes proporcionais calculadas sobre cem unidades. O 
emprego da porcentagem é de suma importância quando o intuito é destacar a 
participação da parte no todo. 
Estatística Aplicada 
 
38 
 
Exemplo: 
Considere a série: 
 
Clínica A - 2005 
Número de Pacientes Atendidos no Mês de Março por Setor 
Setor Número de pacientes 
Pediatria 225 
Alergologia 175 
Radiologia 135 
Total 535 
 Fonte: Dados Fictícios. 
 
Porcentagens dos pacientes atendidos em cada setor: 
 
Pediatria: %06,42
535
100225


 42% 
Alergologia: %71,32
535
100175


 33% 
Radiologia: %23,25
535
100135


 25% 
 
Podemos inserir esses dados na nossa tabela através de uma nova coluna: 
 
Clínica A - 2005 
Número de pacientes atendidos no mês de março por setor 
Setor Número de pacientes % 
Pediatria 225 42 
Alergologia 175 33 
Radiologia 135 25 
Total 535 100 
Fonte: Dados Fictícios. 
Estatística Aplicada 
 
39 
 
 
TIPOS DE FREQUÊNCIAS 
 
 Frequência Simples ou Absoluta (fi) - É o número de observações 
correspondentes a uma classe ou a um valor. 
 
 Frequência Simples Relativa (fri) - É o número de observações de um valor 
ou de uma classe, em relação ao número total de observações. 
 
 
 
 
 
 
Em porcentagens temos: 
 
n
f
f iri
100
%

 ou 100%  riri ff 
 
 
Obs.: a soma das frequências relativas é sempre igual a 1 ou 100%. Devido a erros 
de arredondamento pode acontecer de o somatório das frequências relativas dar 
diferente de 1 ou 100%. Por exemplo:   %8,99rif ou 
 %02,100rif Se isso acontecer, devemos retirar ou acrescentar a 
diferença no intervalo de maior frequência, pois dessa forma cometeremos um erro 
menor do que cometeríamos se alterássemos o intervalo de menor frequência. O 
ideal é trabalharmos com pelo menos 4 casas após a vírgula. 
n
f
f iri 
Estatística Aplicada 
 
40 
 
Frequências Acumuladas (Fi.) 
 
É a soma das frequências anteriores até a classe ou valor inclusive. Na 
tabela mais a frente, quantas pessoas tiraram nota até o limite superior do 
intervalo? 
 
Frequência Acumulada Relativa (Fri) 
 
Trata-se da frequência acumulada de uma classe dividida pela frequência 
total. Podemos, ainda, representá-la em valores percentuais multiplicando a 
frequência acumulada relativa por 100. No exemplo abaixo, qual o percentual das 
notas até o limite superior do intervalo? 
 
Exemplo: notas de um teste de estatística aplicado em uma turma do curso de 
Nutrição. 
 
No exemplo abaixo, temos as frequências simples (absoluta - fi ; relativa - fri e 
relativa percentual - fri %). 
i Notas fi fri fri % 
1 
2 
3 
4 
5 
18 ├─ 34 
34 ├─ 50 
50 ├─ 66 
66 ├─ 82 
82 ├─ 98 
2 
5 
3 
8 
2 
2/20=0,10 
5/20=0,25 
3/20=0,15 
8/20=0,40 
2/20=0,10 
10 
25 
15 
40 
10 
- Σ 20 1 100 
 
Estatística Aplicada 
 
41 
 
No exemplo a seguir, temos as frequências acumuladas (acumuladas – Fi; 
acumulada relativa – Fri e acumulada relativa percentual – Fri%). 
 
i Notas fi Fi Fri Fri % 
1 
2 
3 
4 
5 
18 ├─ 34 
34 ├─ 50 
50 ├─ 66 
66 ├─ 82 
82 ├─ 98 
2 
5 
3 
8 
2 
2 
7 
10 
18 
20 
2/20=0,10 
7/20=0,35 
10/20=0,50 
18/20=0,90 
20/20=1 
10 
35 
50 
90 
100 
- Σ 20 - - - 
 
No exemplo seguinte, vamos calcular também para completarmos o cálculo da 
distribuição de frequências, o ponto médio – xi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE UM TESTE DE ESTATÍSTICA APLICADO EM UMA TURMA DO 
CURSO DE NUTRIÇÃO. 
 
 
 
i Notas fi xi 
1 
2 
3 
4 
5 
18 ├─ 34 
34 ├─ 50 
50 ├─ 66 
66 ├─ 82 
82 ├─ 98 
2 
5 
3 
8 
2 
18+34/2 = 26 
34+50/2 = 42 
50+66/2 = 58 
66+82/2 = 74 
82+98/2 = 90 
- - Σ20 - 
i Notas fi xi fri fri % Fi Fri Fri % 
1 
2 
3 
4 
5 
18 ├─ 34 
34 ├─ 50 
50 ├─ 66 
66 ├─ 82 
82 ├─ 98 
2 
5 
3 
8 
2 
26 
42 
58 
74 
90 
2/20=0,10 
5/20=0,25 
3/20=0,15 
8/20=0,40 
2/20=0,10 
10 
25 
15 
40 
10 
2 
7 
10 
18 
20 
2/20=0,10 
7/20=0,35 
10/20=0,50 
18/20=0,90 
20/20=1 
10 
35 
50 
90 
100 
- Σ 20 - 1 100 - - - 
Estatística Aplicada 
 
42 
 
Onde: 
fi → Frequência simples absoluta. 
xi → Ponto médio de uma classe. 
fri → Frequência relativa. 
Fi → Frequência acumulada. 
Fri → Frequência acumulada relativa . 
 
Chegamos ao fim da unidade I, onde estudamos os elementos da Estatística 
descritiva. Espero que você tenha gostado .Vamos em frente. 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
Na próxima unidade estudaremos os gráficos Estatísticos . Vamos lá. 
 
Estatística Aplicada 
 
43 
 
Exercícios - Unidade 1 
 
1. Classifique as variáveis em qualitativa e quantitativa. 
 
( ) Cor preferida. 
( ) Índice de liquidez. 
( ) Sexo. 
 
a) qualitativa, qualitativa, quantitativa. 
b) quantitativa, quantitativa, qualitativa. 
c) quantitativa , qualitativa, quantitativa. 
d) qualitativa, qualitativa, qualitativa. 
e) qualitativa, quantitativa, qualitativa . 
 
2. Classifique as variáveis quantitativas em contínuas (c) ou discretas (d). 
 
( ) População: atletas 
Variável: altura 
( ) P.: pacientes de um hospital 
Variável: pacientes com insuficiência cardíaca. 
( ) P.: bebês monitorados em uma UTI neonatal 
Variável: peso 
 
a) contínua, contínua, contínua. 
b) contínua, discreta, contínua. 
c) contínua, discreta, discreta. 
d) discreta, contínua, contínua. 
e) discreta,discreta, contínua. 
Estatística Aplicada 
 
44 
3. Em uma escola de ensino médio, há 300 alunos divididos em 6 turmas, como no 
quadro abaixo. Selecionando uma amostra de 12% dessa população, acharemos o 
seguinte número: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 10 
b) 36 
c) 40 
d) 12 
e) 20 
 
4. São fases do método estatístico: 
 
1. A apuração. 
2. A coleta. 
3. A crítica. 
4. A definição do problema. 
5. O planejamento. 
 
 Qual a ordem correta dessas fases? 
 
a. 1, 2, 3, 4, 5 
b. 4, 5, 2, 3, 1 
c. 5, 4, 3, 2, 1 
d. 4, 3, 5, 2, 1 
e. 4, 5, 3, 1, 2 
 
 População 
TURMA MENINOS MENINAS 
1001 25 20 
1002 30 25 
2001 29 28 
2002 32 15 
3001 26 22 
3002 23 25 
TOTAL 165 135 
Estatística Aplicada 
 
45 
 
5. Considere a série abaixo. Podemos classificá-la em: 
 
Cidade AAA 
Ano Número de Habitantes 
1999 1.125.235 
2000 2.365.128 
2001 2.535.548 
2003 2.874.100 
2004 3.258.003 
2005 3.356.259 
 
a) Geográfica. 
b) Categórica. 
c) Específica. 
d) Ocasional. 
e) Temporal. 
 
6. Os dados abaixo se referem a uma série: 
Programa preferido N.º de entrevistados 
novela 35 
telejornal 15 
desenho 10 
filme 27 
esporte 15 
a) Temporal. 
b) Geográfica. 
c) Periódica. 
d) Específica. 
e) Histórica. 
Estatística Aplicada 
 
46 
 
7. Uma população encontra-se dividida em três estratos de tamanhos, 
respectivamente, e1=400, e2=350 e e3=225. Retirando 50 elementos do 3º estrato, a 
proporção encontrada neste estrato deve ser aplicada aos estratos 1 e 2. No total, 
quantos elementos serão retirados dos três estratos? 
a) 292 elementos. 
b) 705 elementos. 
c) 207 elementos. 
d) 755 elementos. 
e) 217 elementos. 
8. Identifique o item errado: 
 
a) A coleta periódica é aquela feita em intervalos constantes de tempo. 
b) A coleta ocasional é feita a fim de atender a uma emergência. 
c) A coleta direta de dados pode ser classificada quanto ao fator tempo em 
contínua, periódica ou ocasional. 
d) Os registros de casamentos são exemplos de coleta periódica. 
e) A coleta contínua é aquela feita continuamente. 
 
9- Considerando as notas de estatística de uma turma de 80 alunos: 
 
6,4 7,8 7,3 8,7 9,5 8,2 8,9 8,1 9,0 7,8 
6,6 8,2 8,6 9,2 8,5 8,0 7,3 8,5 9,6 7,6 
1,3 7,4 8,6 1,1 7,8 8,6 7,0 6,8 7,4 9,4 
9,8 9,9 8,5 9,0 8,6 8,2 8,7 7,0 7,2 7,5 
7,3 7,5 7,8 8,4 8,6 7,2 8,5 8,6 9,9 6,7 
7,6 7,6 8,3 3,3 8,5 8,1 8,1 8,9 7,1 9,5 
8,6 8,4 8,0 4,2 9,0 9,3 9,6 8,1 6,3 8,8 
8,5 7,6 9,2 7,3 3,3 7,9 8,1 8,4 7,3 6,2 
Forme uma distribuição de frequência com intervalos de classe seguindo o que se pede: 
 
a) Calcule a amplitude amostral. 
 
 
b) Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges". 
 
Estatística Aplicada 
 
47 
 
c) Calcule a amplitude dos intervalos de classe. 
 
 
d) Calcule as frequências de cada um dos intervalos de classe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Monte a tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Aplicada 
 
48 
 
10. Complete a distribuição de frequências abaixo: 
 
 
Classes fi fri fri (%) Fi xi 
10 | 14 14 15 
| 12 25 
| 12 35 
| 0,14 39 45 
| 55 
| 70 1 0,02 2 50 65 
 1,00 - - 
 
 
 
 
 
Estatística Aplicada 
 
49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico em linha Curva. 
Gráficos em barra vertical. 
Gráficos em barra horizontal. 
Gráficos de setores. 
Cartogramas. 
Histograma. 
Polígono de Frequência. 
Ogivograma. 
Ogiva de Galton. 
 
2 Representação Gráfica 
Estatística Aplicada 
 
50 
 
Esta é uma unidade importante para o entendimento da estatística, pois 
grande parte dos dados estatísticos são apresentados através de gráficos. Nela 
aprenderemos a montar e a interpretar alguns dos gráficos mais utilizados e os 
gráficos estatísticos específicos. Esperamos que vocês gostem. 
 
 
OBJETIVO DA UNIDADE : 
 
 Construir e analisar os gráficos que você tanto conhece e que 
fazem parte da sua vida cotidiana. 
 
PLANO DA UNIDADE : 
 
 Gráfico em linha Curva. 
 Gráficos em barra vertical. 
 Gráficosem barra horizontal. 
 Gráficos de setores. 
 Cartogramas. 
 Histograma. 
 Polígono de Frequência. 
 Ogivograma. 
 Ogiva de Galton. 
 
Bons estudos! 
Estatística Aplicada 
 
51 
 
Os gráficos são representações visuais dos dados estatísticos e não substituem 
as tabelas. Devem corresponder aos dados de uma forma simples, clara e objetiva. 
 
DICA 
Muito cuidado com os gráficos, pois se mal elaborados podem trazer uma 
ideia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando mesmo a 
confundir o leitor. 
 
Por falar gráficos, quais você conhece? Você sabe qual é a funcionalidade 
deles? Vejamos então. 
 
Alguns Tipos de Gráficos 
 
Gráfico em linha ou curva 
 
 
 
Estatística Aplicada 
 
52 
 
Estes gráficos são frequentemente usados para a representação de séries 
cronológicas com um grande número de períodos. Nos dão uma visualização clara 
da variação dos dados existentes nas séries. Também são ideais quando há 
necessidade de se representarem várias séries em um mesmo gráfico. 
 
Gráficos em barras verticais (coluna). 
 
 
 
Gráficos em barras horizontais. 
 
 
Estatística Aplicada 
 
53 
 
Quando as legendas são longas usa-se de preferência os gráficos em barras 
horizontais. Os retângulos (barras) têm a mesma base e as alturas são 
proporcionais aos respectivos dados. 
 
Gráficos em setores 
 
Estes gráficos são construídos em uma circunferência e empregados sempre 
que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado 
pelos 360 graus de um círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as 
partes. Os setores são tais que seus ângulos são respectivamente proporcionais aos 
dados da série. 
 
DICA 
Devemos evitar o gráfico de setores quando tivermos mais de sete dados. 
 
 
IMPORTANTE 
As séries temporais, geralmente, não são representadas por este tipo 
de gráfico. 
 
 
 
Cartogramas 
 
São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico 
é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas 
geográficas ou políticas. 
Estatística Aplicada 
 
54 
 
Histograma 
 
É formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se 
localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam 
com os pontos médios dos intervalos de classe. É o gráfico que melhor representa 
uma distribuição de frequências com intervalos de classe ( este assunto será 
abordado na unidade 3). No eixo horizontal (eixo x), representamos as classes da 
distribuição e no eixo vertical (eixo y), representamos as frequências. A área de um 
histograma é proporcional à soma das frequências simples ou absolutas. 
 
IMPORTANTE 
O histograma assemelha-se ao gráfico de colunas, a diferença é que não há 
espaçamento entre as colunas. 
 
 
 
 
Estatística Aplicada 
 
55 
 
Polígono de frequência 
 
É um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre perpendiculares 
ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para 
realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, 
ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à 
primeira e da posterior à última da distribuição. 
 
 
Ogivograma 
 
É o gráfico de frequências acumuladas. Ele é construído da mesma forma que 
o histograma, porém no eixo vertical (eixo y), representaremos as frequências 
acumuladas. 
Estatística Aplicada 
 
56 
 
Ogiva de galton 
 
A Ogiva de Galton ou polígono de frequência acumulada é um gráfico de 
linhas traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao 
eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos 
intervalos de classe. 
 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
Nessa unidade, vimos os principais e os mais importantes gráficos estatísticos. 
Com uma ferramenta computacional é muito simples representar dados 
graficamente. Na próxima unidade veremos as medidas de tendência central. 
 
Estatística Aplicada 
 
57 
 
Exercícios - Unidade 2 
 
 
1. Considere a tabela abaixo que representa as idades de vinte duas crianças 
atendidas em um posto de saúde do município de Itaboraí. Ao construir o gráfico 
de setores relativo à tabela dada, o setor correspondente à classe 3 será de 
aproximadamente: 
 
Idade 0 1 2 3 4 5  
Crianças 4 3 6 3 0 6 22 
 
 
a) 6o 
b) 16,6o 
c) 30º 
d) 20o 
e) 98º 
 
2. Na administração de uma empresa, 50% do orçamento vai para a compra de 
equipamentos, 22% para a manutenção e 28% para pagamento de pessoal. O 
gráfico que melhor representa essa situação é: 
 
a) o de barras. 
b) o de setores. 
c) o linear simples. 
d) o de colunas. 
e) o de barras múltiplas. 
Estatística Aplicada 
 
58 
 
3. O gráfico estatístico designado a representar a série abaixo chama-se: 
 
Nota fi 
1├─ 3 
3├─ 5 
5├─ 7 
7├─ 9 
3 
5 
9 
8 
Σ 25 
 
a) Cronograma. 
b) Gráfico de colunas compostas. 
c) Histograma. 
d) Gráfico de colunas. 
e) Gráfico de barras. 
 
4. Gráficos são instrumentos úteis na estatística. Assinale a afirmação incorreta: 
a. Um histograma é um gráfico de linhas. 
b. O gráfico de setores é apropriado quando se quer representar as divisões 
de um montante total. 
c. Um polígono de frequências acumuladas é construído unindo-se os 
pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe 
da distribuição de frequência. 
Estatística Aplicada 
 
59 
 
d. Um polígono de frequências é construído unindo-se os pontos 
correspondentes aos pontos médios dos intervalos de classes. 
e. O gráfico de barras é usado para séries geográficas. 
5. Observe a série abaixo. O gráfico que melhor representa tal série é: 
 
Ano Número de Infectados pela Doença AXZ 
2000 2.236.215 
2001 2.126.128 
2002 2.035.265 
2003 1.958.254 
2004 1.532.126 
2005 1.125.258 
 
a) O gráfico de linhas. 
b) O histograma. 
c) O gráfico de setores. 
d) O cartograma. 
e) O pictograma. 
 
6- Assinale a alternativa correta. 
 
a) O histograma assemelha-se ao gráfico de barras, a diferença é que não há 
espaçamento entre as barras. 
 
b) O histograma assemelha-se ao gráfico de colunas, a diferença é que não 
há espaçamento entre as colunas. 
 
c) O histograma assemelha-se ao gráfico de setores, a diferença é que não 
há espaçamento entre os setores. 
Estatística Aplicada 
 
60 
 
d) O histograma assemelha-se ao gráfico de linhas, a diferença é que não há 
espaçamento entre as linhas. 
 
e) O histograma assemelha-se ao ogivograma, a diferença é que não há 
espaçamento entre as linhas. 
 
7. Assinale a alternativa verdadeira. 
 
a) O gráfico que melhor representa uma série histórica é o gráfico de setores 
de barras. 
b) Um polígono de frequências é construído unindo-se os pontos 
correspondentes aos limites inferiores dos intervalos de classe da 
distribuição de frequência. 
c) Um polígono de frequências acumuladas é construído unindo-se os 
pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe da 
distribuição de frequência. 
d) O gráfico de linhas é usado quando queremos destacar uma parte do 
todo. 
e) O gráfico que melhor representa uma distribuição de frequências é o 
gráfico de barras. 
 
8) O que podemos afirmar sobre o Polígono de Frequências? Assinale a alternativa 
correta: 
 
a) É formado por linhas que ligam ponto a ponto. 
b) É formado por colunas simples. 
c) É um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios 
dos intervalos de classes. 
Estatística Aplicada 
 
61 
 
d) É formado por um conjunto de retângulos, um colado ao outro, cujas 
bases se localizam sobre o eixo horizontal.e) É uma linha poligonal aberta. 
 
9. Os gráficos abaixo mostram o perfil dos doentes de Aids no Brasil. Faça um breve 
comentário sobre o assunto, levando em consideração os dados contidos nos 
gráficos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Aplicada 
 
62 
 
10. A distribuição a seguir indica o número de dias afastados por motivo de doença 
de 40 funcionários de uma empresa alimentícia durante o período de um ano. 
 
No de dias afastados 1 2 3 4 5 6 7 
No de funcionários 13 7 10 4 3 2 1 
 
a) Construa um gráfico de colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Construa um gráfico de setores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística Aplicada 
 
63 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Tendência 
Central 3 
Média Aritmética. 
Moda. 
Mediana. 
Estatística Aplicada 
 
64 
 
Estudaremos aqui três tipos de medidas de tendência central: média 
aritmética, moda e mediana. Essas medidas servem para visualizarmos a 
distribuição de frequências no eixo de variação da variável estudada. 
 
OBJETIVOS DA UNIDADE: 
 Compreender as medidas de tendência central e calculá-las para 
dados não agrupados e dados agrupados em classes de frequências. 
 
PLANO DA UNIDADE: 
 
 Média Aritmética. 
 Moda. 
 Mediana. 
 
Bons estudos! 
 
Estatística Aplicada 
 
65 
 
As Medidas de Posição ou Tendência Central são denominadas dessa forma 
devido aos dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos 
valores centrais. As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam 
a própria mediana, os decis, os quartis e os percentis. 
 
Média Aritmética 
 
A Média Aritmética ( X ) é a medida de posição que possui maior 
estabilidade e é igual ao quociente entre a soma dos valores da variável e o 
número total de observações. Veja, abaixo, a fórmula: 
n
x
n
xxx
X
n
i
i
n



 121
...
 
 
Em que xi são os valores da variável e n o número de observações. 
 
Para dados não agrupados a Média Aritmética Simples ( x ) é calculada 
da seguinte forma: 
 
EXEMPLIFICANDO 
 
Ex.: Um aluno de determinada instituição de ensino tirou as seguintes 
notas em estatística: 7, 10 e 6. Sabendo-se que a nota final desse 
aluno é calculada através da média aritmética das três avaliações 
feitas no período, temos como média final do aluno: 
 
 x1 = 7; x2 = 10 e x3 = 6 
 7,7
3
6107


X 
Estatística Aplicada 
 
66 
 
Em relação aos dados agrupados sem intervalos de classe, consideremos a 
distribuição relativa a 38 crianças pacientes de uma clínica pediátrica com idades 
entre 0 e 4 anos. 
 
Idades fi 
0 2 
1 6 
2 12 
3 14 
4 4 
Total 38 
 
As frequências representam quantas vezes ocorreu determinada idade, por 
exemplo, ao invés de escrevermos 0,0,1,1,1,1,1,1 etc., atribuímos a frequência, logo, 
a idade 0 (zero) ocorre duas vezes; a idade 1 ocorre seis vezes e assim por diante. As 
frequências funcionam como fatores de ponderação. A média aritmética, nesse 
caso, é a média aritmética ponderada, ou seja, em vez de somarmos o número 0 
duas vezes, o número 1 seis vezes, o número 2 doze vezes e assim por diante, 
ponderamos os valores da variável com suas respectivas frequências. Esta 
ponderação é dada pela fórmula: 









k
i
i
k
i
ii
k
kk
f
fx
fff
fxfxfx
X
1
1
21
2211
)(
...
...
 
Obs.: 

k
i
if
1
= n, ou seja, a soma das frequências é igual a n. 
  if = 38, n = 38. 
Estatística Aplicada 
 
67 
 
xi fi xi.fi 
0 2 0 
1 6 6 
2 12 24 
3 14 42 
4 4 16 
 38 88 
 
A idade média das crianças atendidas na clínica será anosX 3,2
38
88
 . 
 
Agora, vejamos os dados agrupados com intervalos de classe. Observe a seguir 
as notas de 50 alunos de uma turma de estatística: 
 
Notas fi 
0 ├─ 2 
2 ├─ 4 
4 ├─ 6 
6 ├─ 8 
 8 ├─ 10 
7 
11 
25 
12 
6 
Σ 61 
 
Neste caso não temos como saber se os sete alunos da primeira classe tiveram 
notas, por exemplo, zero ou 1,9. Então, para diminuirmos o erro cometido com o 
agrupamento, utilizamos como valor representativo de cada intervalo o seu ponto 
médio (xi). Utilizamos, então, a mesma fórmula, sendo que xi agora não é mais o 
valor da variável e sim o ponto médio de cada classe. A média aritmética é 
calculada, então, da seguinte forma: 
 






k
i
i
k
i
ii
f
fx
X
1
1
)(
Estatística Aplicada 
 
68 
 
Em que ix é o ponto médio da classe. 
No nosso exemplo: 1
2
20
1 

x , 3
2
42
2 

x , 5
2
64
3 

x , 
7
2
86
4 

x , 9
2
108
5 

x . 
 
Notas fi 
ix ii fx  
0 ├─ 2 
2 ├─ 4 
4 ├─ 6 
6 ├─ 8 
 8 ├─ 10 
7 
11 
25 
12 
6 
1 
3 
5 
7 
9 
7 
33 
125 
84 
54 
Σ 61 - 303 
 
 
9,4
61
5484125337
)(
1
1 








k
i
i
k
i
ii
f
fx
X 
 
Outros tipos de médias menos usados são as médias geométrica, harmônica, 
quadrática, cúbica e biquadrática. 
 
IMPORTANTE 
A média aritmética para a população é denotada por . 
 
Você já ouviu falar em moda? Não, não é bem dessa moda que vamos 
falar! É a Moda na Estatística. Vamos estudar sobre ela, agora? 
Estatística Aplicada 
 
69 
 
 
Moda (Mo) 
 
A Moda é o valor que mais aparece em uma série de valores. Você 
deve estar se perguntando: Como assim o valor que mais aparece? É isso mesmo! 
 
EXEMPLIFICANDO 
Por exemplo: o número de calçado mais vendido em uma sapataria é a moda. 
Até os vendedores ambulantes, mesmo sem saber, utilizam-se da moda. De uma 
maneira grosseira, podemos nos lembrar daquilo que está na moda, ou seja, 
daquilo que mais aparece. 
 
Viu como é simples? 
Podemos calcular a Moda para diversos tipos de dados. Veja como fazer isso: 
 
Moda para dados não agrupados 
 
A moda de uma distribuição para dados não agrupados é fácil de ser vista, é só 
procurarmos o valor que mais aparece. Uma distribuição pode ter nenhuma 
(amodal), uma (unimodal), duas (bimodal) ou mais modas. 
CIELE
Realce
Estatística Aplicada 
 
70 
 
 
EXEMPLIFICANDO 
 
Exemplos: 
 Na série {6, 7, 9, 11, 11, 11, 12, 12} a moda é igual a 11. A distribuição é 
unimodal; 
 A série {2, 5, 7, 11,12} não possui um número que apareça mais que os 
outros. A série é amodal; 
 A série {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas: 4 e 7. A série 
é bimodal; 
 Em outros casos, pode haver três ou mais valores que mais se repetem. 
Nesse caso, a série tem três ou mais modas. 
 
 
 
Moda para dados agrupados sem intervalos de classe 
Uma vez agrupados os dados, a moda é o valor da variável de maior 
frequência. 
 
EXEMPLIFICANDO 
Ex.: Manequim de roupa feminina mais vendida em uma loja de departamentos: 
 
Manequim Frequência 
34 3 
36 9 
38 16 
40 6 
42 4 
44 1 
 
Resposta: 38 é o manequim modal, pois é o de maior frequência. 
Estatística Aplicada 
 
71 
 
Moda para dados agrupados com intervalos de classe 
 
Classe modal é a classe que apresenta a maior frequência. Nesse caso, a moda 
está compreendida entre os limites da classe modal. O método mais simples para o 
cálculo consiste em tomarmos o ponto médio da classe modal como sendo a 
própria moda. A este valor chamamos de moda bruta. 
 
2
** Ll
Mo

 
 
Em que l* é o limite inferior da classe modal e L* o limite superior da classe 
modal. 
 
EXEMPLIFICANDO 
Ex.: Como podemos calcular o peso modal da tabela abaixo? 
 
Peso (kg) fi 
45 |— 50 9 
50 |— 55 11 Classe modal 
55 |— 60 8 
60 |— 65 6 
65 |— 70 5 
 
Resposta: A classe modal é 50|— 55, pois é a de maior frequência. l2 = 50 e L2 = 55 
 
Mo = 5,52
2
5550


kg 
Estatística Aplicada 
 
72 
 
IMPORTANTE 
 
Não temos como saber o real valor da moda, pois não conhecemos mais os 
valores que estão compreendidos em um determinado intervalo. Portanto, este 
valor é apenas estimado. 
 
 
Você conhece a fórmula de Czuber? Pois, então conhecerá agora. 
 
Fórmula de CZUBER (processo mais elaborado) 
 
*
21
1 h
DD
D
lM io
 
Em que: 
li é o limite inferior da classe modal. 
D1 = f* - f(ant) 
D2 = f* - f(post) 
 
h* é a amplitude da classe modal. 
f* é a frequência simples da classe modal. 
f(ant) é a frequência simples da classe anterior à classe modal. 
f(post) é a frequência simples da classe posterior à classe modal. 
 
 
Para o cálculo do peso modal da tabela anterior temos: 
 
    kgM o 525811911
911
50 


 
Estatística Aplicada 
 
73 
 
Passemos a estudar, agora, a mediana para dados não-agrupados, agrupados sem 
intervalos de classe e agrupados em classes. 
 
 
Mediana (Md) 
 
 
A mediana de um conjunto de valores previamente ordenados. É o 
valor situado bem no meio do conjunto de valores de tal forma a separá-los em 
dois subconjuntos de mesmo número de elementos. 
 
Mediana para dados não-agrupados 
 
Quando o número de valores for ímpar: 
 
EXEMPLIFICANDO 
Ex.: Dada uma série de valores {7, 2, 8, 13, 11, 7, 15, 12, 1} o primeiro passo a ser 
dado é a construção do rol: {1, 2, 7, 7, 8, 11, 12, 13, 15}. 
 
O valor que divide a série em duas partes iguais é o 8, logo a mediana Md = 8. 
Na prática, o valor mediano é dado por 5
2
19
2
1



n
, ou seja, a 
mediana será o quinto elemento da série ordenada, que é 8. Md = 8 
 
 Quando o número de valores for par: 
 
EXEMPLIFICANDO 
 
Ex.: Calcular a mediana da série {1, 2, 0, 0, 2, 4, 4, 3, 6, 4, 5, 6} 
Estatística Aplicada 
 
74 
 
Rol - {0, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6} - Md 5,3
2
43


 
 
 
Temos, aqui, duas observações a serem feitas, por isso preste bastante atenção: 
 
 A mediana coincidirá com um dos elementos da série quando o 
número de elementos for ímpar. Quando o número de elementos da 
série for par, a mediana nunca coincidirá com um dos elementos da 
série. Neste caso, a mediana será sempre a média aritmética dos 2 
elementos centrais da série; 
 
 A média aritmética, a mediana e a moda de uma série de valores 
não têm, necessariamente, o mesmo valor. 
 
Mediana para dados agrupados sem intervalos de classe 
 
Neste caso, basta identificarmos a frequência acumulada (Fi) igual ou 
imediatamente superior à 
2
 if
. A mediana será o valor da variável que 
corresponder a essa frequência acumulada. 
 
EXEMPLIFICANDO 
Ex.: Veja a tabela a seguir: 
Estatística Aplicada 
 
75 
 
Xi fi Fi 
0 2 2 
1 5 7 
2 8 15 
3 15 30 Classe Mediana 
4 5 35 
5 4 39 
total 39 
 
2
 if
= 5,19
2
39
 , logo a mediana será Md = 3. 
 
Mediana para dados agrupados em classes 
 
Para esse tipo de dado é preciso determinar a classe da mediana, que será 
aquela que corresponder à frequência acumulada igual ou imediatamente superior 
à 
2
 if
. 
 
 
idades fi FAi 
10 ├─ 15 6 6 
15 ├─ 20 11 17 
20 ├─ 25 16 33  classe mediana 
25 ├─ 30 13 46 (frequência acumulada 
imediatamente superior 
a 27
2
54
 
30 ├─ 35 5 51 
35 ├─ 40 3 54 
 54 - 
Estatística Aplicada 
 
76 
 
A mediana é dada pela fórmula: *
*
)(
.2l h
f
F
f
M
ant
i
id















 
 
Em que: 
li é o limite inferior da classe mediana. 
F(ant) é a frequência acumulada anterior à classe mediana. 
f* é a frequência simples da classe mediana. 
h* é a amplitude do intervalo da classe mediana. 
 
 
EXEMPLIFICANDO 
 
 
 
Exemplo: 
 
1,235
16
17
2
54
20 











 
Md 
 
IMPORTANTE 
 
Neste caso a mediana é estimada, pois não temos todos os valores da 
distribuição. 
 
 
Qual é a medida que devemos usar? 
Todas as médias são valores que estão compreendidos entre o menor e o 
maior valor observado. Todas são igualmente importantes, portanto uma não deve 
prevalecer sobre a outra. Devemos saber que: 
Estatística Aplicada 
 
77 
 
 A média aritmética é a mais empregada apenas pelo fato de ser mais 
simples o seu cálculo e mais compreensível o seu resultado. É a medida 
de posição que possui a maior estabilidade; 
 A moda será utilizada quando a medida de posição for o valor mais típico 
da distribuição. É uma medida de rápida obtenção; 
 Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas 
partes iguais, quando há valores extremos que afetam de maneira 
acentuada a média aritmética ou quando a variável em estudo é salário, 
usamos a mediana. 
 
A média aritmética de uma série de valores, por exemplo, é influenciável pelos 
seus extremos, enquanto que a mediana depende da posição e não dos valores 
dos elementos na série ordenada. É por isso que, no caso de séries com extremos 
muito distantes, usamos mais a mediana do que a média aritmética, para que não 
haja influência dos extremos. 
 
EXEMPLIFICANDO 
 
Ex.: Na série { 8, 9, 10, 15, 18}, a média = 12 e a mediana = 10. Já na série 
{6, 8, 10, 11, 75 }, a média = 22 e a mediana = 10. 
 
 
A média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro por 
influência do valor extremo (75), porém, nas duas séries, a mediana é a mesma, ou 
seja, não adianta analisarmos apenas as médias aritméticas de uma série de 
valores, é preciso analisar também a mediana. 
Estatística Aplicada 
 
78 
 
 
É HORA DE SE AVALIAR! 
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo. Elas irão 
ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de 
ensino-aprendizagem. 
 
Vimos nesta unidade as medidas de tendência central. A média de um 
conjunto de valores ou de uma distribuição de classes é fundamental dentro do 
estudo da Estatística. Ela é um dos principais parâmetros de estudo e pesquisas. Na 
próxima unidade, veremos as medidas de dispersão – o cálculo dessas medidas nos 
permite a verificação de quão representativa é a média de uma distribuição em 
relação a todas as suas observações. 
 
Estatística Aplicada 
 
79 
 
Exercícios - Unidade 3 
 
 
 
1. Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de R$250,00 cada um, 
quatro escriturários recebendo R$600,00 cada um, um chefe de escritório com 
salário de R$ 1000,00 e três técnicos recebendo R$ 2200,00 cada. A média desses 
salários é de: 
 
 
a. R$ 1050,00 
b. R$ 505,00 
c. R$ 262,50 
d. R$ 600,00 
e. R$ 105,00 
 
 
O quadro abaixo se refere às questões 2 e 3. 
 
A B C 
2 0 7 
4 2 5 
5 8 2 
6 9 6 
3 3 1 
 
2. As médias aritméticas das sequências A, B e C são, respectivamente: 
 
a. 4,0; 4,4 e 4,2 
b. 4,4, 4,2 e 4,0 
c. 4,2; 4,0 e 4,4 
d. 5,0; 8,0 e 2,0 
e. 4,0; 3,0 e 5,0 
Estatística Aplicada 
 
80 
 
3. As medianas das sequências A, B e C são, respectivamente: 
 
 
A B C 
2 0 1 
3 2 2 
4 3 5 
5 8 6 
6 9 7 
 
a. 4,0; 4,4 e 4,2 
b. 4,4, 4,2 e 4,0 
c. 4,2; 4,0 e 4,4 
d. 5,0; 8,0 e 2,0 
e. 4,0; 3,0 e 5,0 
 
O quadro abaixo representa as informações cadastrais de 5(cinco) cidadãos de 
ambos os sexos: 
 
Estado 
Civil 
sexo Grau de 
instrução 
Número de 
filhos 
Salários 
em S.M * 
Idade 
Solteiro F 2º Grau 2 4,00 29 
Casado F 2º Grau 1 4,56 32 
Solteiro M Superior 0 5,75 36 
Casado M Superior 4 5,60 40 
Solteiro M Superior 3 6,00 28 
* o valor correspondente à variável salário representa o número de salário mínimo ( S.M ) 
 
Considerando as informações do quadro, marque a alternativa correta. 
 
 
4) As Medianas das variáveis salário e idade são respectivamente: 
 
a) 28 e 5,75. 
b) 5,75 e 36. 
c) 5,60 e 32. 
d) 32 e 5,0. 
e) 32 e 5,75. 
Estatística Aplicada 
 
81 
 
 
A tabela abaixo dá a distribuição de frequências dos salários dos 83 enfermeiros de 
um hospital localizado em Rio Claro, por faixa de salário. 
 
Classe de Salários (R$) fi 
500 650 15 
650 800 18 
800 950 23 
950 1100 19 
1100 1250 8 
 83 
 
Com base nessas informações da tabela, marque a alternativa correta: 
 
5) Qual o valor modal da distribuição? 
 
Classe de Salários (R$) fi 
500 650 15 
650 800 18 
800 950 23 
950 1100 19 
1100 1250 8 
 83 
 
a) R$ 870,55 
b) R$ 866,67 
c) R$ 883,33 
d) R$855,43 
e) R$ 843,90 
Estatística Aplicada 
 
82 
 
6) Qual o valor mediano da distribuição? 
 
 
Classe de Salários (R$) fi FI 
500 650 16 16 
650 800 19 16 + 19 = 35 
800 950 23 35 + 23 = 58 
950 1100 19 58 + 19 = 77 
1100 1250 8 77 + 8 = 85 
 85 
 
a) R$ 870,55 
b) R$ 848,91 
c) R$ 883,33 
d) R$ 855,43 
e) R$ 843,90 
 
7-Vinte empregados de uma cadeia de hotéis que frequentaram um curso de 
atendimento com alegria obtiveram as seguintes notas em uma prova dada ao 
final do curso: 
 
17 19 14 20 17 17 12 15 15 16 
16 19 18 15 16 16 17 13 14 19 
 
Com base nas notas da tabela acima, responda: 
 
Qual foi a nota média? 
 
a) 16,25 
b) 17,28 
c) 16,75 
d) 19,15 
e) 17,26 
Estatística Aplicada 
 
83 
 
8) Pesquisa elaborada recentemente revela que, nos últimos anos, o consumo de 
cigarros vem aumentando entre as mulheres. Com base nesse estudo, permitiu-se 
o esboço de uma tabela de distribuição de frequência, que relaciona a quantidade 
de cigarros consumidos diariamente entre 1000 mulheres fumantes. A média 
aritmética é, aproximadamente: 
 
CIGARROS CONSUMIDOS DIARIAMENTE FREQUÊNCIA 
15 | 20 
20 | 25 
25 | 30 
30 | 35 
35 | 40 
150 
300 
250 
200 
100 
Total 1000 
 (Dados Fictícios) 
 
 
a) 21,6. 
b) 23,5. 
c) 24,6. 
d) 26,5. 
e) 27,6. 
 
9 - Sejam os pesos (kg) de 50 alunos de uma determinada classe: 
 
 
PESO (kg) f i 
40 | 50 
50 | 60 
60 | 70 
70 | 80 
80 | 90 
4 
12 
20 
12 
2 
 
Estatística Aplicada 
 
84 
 
a) Calcule a amplitude total. 
 
10 - Calcule as frequências relativas. 
 
PESO (kg) f i Fr 
40 | 50 
50 | 60 
60 | 70 
70 | 80 
80 | 90 
4 
12 
20 
12 
2 
4/50 = 0,08 
12/50 = 0,24 
20/50 = 0,40 
12/50 = 0,24 
2/50 = 0,04 
 50 1,00 
 
 
 
Estatística Aplicada 
 
85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Dispersão 4 
Amplitude total. 
Variância. 
Desvio padrão. 
Coeficiente de variação 
Estatística Aplicada 
 
86 
 
Estudaremos aqui as medidas de dispersão. Elas permitem calcular a dispersão 
(como os dados estão espalhados) existente entre os dados observados, estejam 
eles agrupados ou não, em relação à média aritmética. 
 
 
OBJETIVOS DA UNIDADE: 
 Compreender as medidas de dispersão, calcular essas medidas, para 
dados não agrupados e dados agrupados em classes de frequências. 
 
 
PLANO DA UNIDADE: 
 
 Amplitude total. 
 Variância. 
 Desvio padrão. 
 Coeficiente de variação. 
 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
Estatística Aplicada 
 
87 
 
 
A média aritmética, a moda e a mediana são valores representativos do todo, 
portanto a obtenção desses valores se faz fundamental no estudo de um conjunto 
de valores. Porém, para analisarmos um fenômeno estatístico, não basta obtermos 
apenas medidas de posição ou gráficos estatísticos. Para uma análise mais 
profunda, devemos saber como esses dados estão distribuídos no todo. As 
medidas de variabilidade ou dispersão nos dão exatamente isso. Elas fazem uma 
descrição de como os dados estão espalhados no todo. Existem diversas medidas 
de dispersão, porém, em nossa disciplina, estudaremos quatro delas, que são: 
 
 Amplitude total; 
 Variância; 
 Desvio padrão; 
 Coeficiente de variação; 
 
EXEMPLIFICANDO 
Ex.: Observe os seguintes conjuntos de valores referentes à mesma variável: 
 
X = {20, 20, 20, 20, 20} 
Y = {05, 15, 20, 30 ,30} 
Z = {01, 01, 03, 05, 90} 
Estatística Aplicada 
 
88 
 
Os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética 20
5
100
x , 
porém é fácil notar que o primeiro conjunto de valores é mais homogêneo que os 
outros dois, pois todos os valores são iguais. Já o segundo é mais homogêneo que 
o terceiro, pois este é o mais disperso de todos. Portanto não adianta dois ou mais 
conjuntos de valores terem a mesma média aritmética, algumas outras análises se 
fazem necessárias. 
 
 
Amplitude Total (AT) 
 
Amplitude Total (AT) é a diferença entre o limite superior da última 
classe e o limite inferior da primeira classe, ou seja, é a diferença entre os valores 
extremos de um conjunto de dados mínmáx lLAT  . 
Trata-se da única medida de dispersão que não tem a média como ponto de 
referência. A amplitude total é instável, pois só leva em consideração os valores 
extremos dos conjuntos de dados, descuidando do conjunto de valores 
intermediários, por isso é pouco utilizada. 
Uma de suas utilizações é na hora de decidirmos por uma distribuição de 
frequência com ou sem intervalos de classes. Fazemos uso da amplitude total 
quando queremos determinar a amplitude da temperatura em um dia, por 
exemplo, medida de cálculo rápido sem muita exatidão. 
 
EXEMPLIFICANDO 
 
Ex.: 
 
Dada a série 2, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 21, 22, 23, 23, 23, 24, 25, 25, 27, 27, 
48, 60 e 70 a amplitude amostral será: 
 
68270 AA 
Estatística Aplicada 
 
89 
 
Agrupando os dados sem intervalos de classe: 
 
 xi fi 
2 1 
3 1 
5 1 
6 1 
7 2 
8 3 
9 3 
10 2 
21 1 
22 1 
23 3 
24 1 
25 2 
27 2 
48 1 
60 1 
70 1 
∑ 27 
 
Com intervalos de classe: 
 
Classes fi 
2|— 14 14 
14|—26 8 
26|—38 2 
38|—50 1 
50|—62 1 
62|—74 1 
Σ 27 
 
72274  mínmáx lLAT 
Estatística Aplicada 
 
90 
 
 
Variância (s2) 
 
A variância mede o grau de variabilidade em torno da média. É a 
média aritmética dos quadrados dos desvios (cada valor menos a média). Diferente 
da amplitude total que se deixa influenciar pelos extremos, a variância leva em 
consideração todos os valores da variável em estudo. Ela baseia-se nos desvios em 
torno da média. 
 
Variância Amostral 
 
 Para dados isolados: 

1
(
1
2
2





n
Xx
s
n
i
i
 
ix = cada valor observado. 
X = média dos valores observados. 
n = tamanho da amostra. 
 
 Para dados agrupados: 
 







k
i
k
i
fi
fiXxi
s
1
1
2
2
1
.
 
 
IMPORTANTE 
 
No denominador da fórmula da variância trabalhamos sempre com n-1 
graus de liberdade para diminuir o erro do cálculo da variância com agrupamento 
da distribuição. 
Estatística Aplicada 
 
91 
 
 
Em que: 
ix = cada valor observado, no caso de dados agrupados com intervalos de classe, 
ix é o ponto médio do intervalo de classe. 
X = média dos valores observados. 
 fi = somatório das frequências (n). 
fi = frequência de cada classe. 
 
EXEMPLIFICANDO 
 
Ex.: Ao analisarmos as idades dos pacientes atendidos num dia em duas 
clínicas de saúde A e B, temos: 
 
Clínica A 
 
 
 
5,38
33
1272
X 81,135
133
43462 

s 
 
Classes fi i
x ).( ii fx
 
)( Xxi 
 
2)( Xxi  ii fXx .)(
2 
02|— 14 1 8 8 -30,5 930,25 930,25 
14|—26 3 20 60 -18,5 342,25 1026,75 
26|—38 10 32 320 -6,5 42,25 422,5 
38|—50 16 44 704 5,5 30,25 484 
50|—62 2 56 112 17,5 306,25 612,5 
62|—74 1 68 68 29,5 870,25 870,25 
 33 1272 4346 
Estatística Aplicada 
 
92 
 
Clínica B 
 
Classes fi i
x ).( ii fx
 
)( Xxi 
 
2)( Xxi  ii fXx .)(
2 
 02|— 14 5 8 40 -30,5 930,25 4651,25 
14|—26 4 20 80 -18,5 342,25 1369 
26|—38 7 32 224 -6,5 42,25 295,75 
38|—50 7 44 308 5,5 30,25 211,75 
50|—62 5 56 280 17,5 306,25 1531,25 
62|—74 5 68 340 29,5 870,25 4351,25 
 33 1272  25,12410 
 
5,38
33
1272
X 82,387
133
25,124102 

s 
 
 
Podemos observar que a variância da Clínica A é bem menor do que a 
variância da Clínica B, apesar de as médias aritméticas serem iguais. Isso significa 
que os dados referentes às idades dos pacientes atendidos na primeira clínica são 
mais homogêneos, ou seja, mais concentrados em torno da média que os da 
segunda clínica, que são mais dispersos. 
 
 
Desvio Padrão 
 
O desvio padrão é a medida de dispersão mais empregada, pois leva em 
consideração a totalidade dos valores da variável em estudo e o seu resultado está 
na mesma unidade de medida da variável, diferente da variância, que é uma 
medida quadrática. Quanto maior o desvio padrão mais