1equacoes de maxwell

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
Trabalho de Física
Profª Viviane Pilla
Equações de Maxwell
Nome: André Felipe da Cunha Garcia Nº 11611EAU006
Rafael de Souza Resende Nº 11611EEL017
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Índice
1. Introdução................................................................................................................. 3
1.1. História Acerca do Eletromagnetismo............................................................ 3
1.2. James Clerk Maxwell...................................................................................... 3
2. Equações de Maxwell............................................................................................... 4
2.1. Grandezas do Eletromagnetismo..................................................................... 4
2.2. Teorema da Divergência e Teorema de Strokes.............................................. 5
2.2a. Teorema da Divergência......................................................................... 5
2.2b. Teorema de Strokes................................................................................ 6
2.3. Formas Integral e Diferencial.......................................................................... 6
2.3a. Equações de Maxwell na forma Integral................................................ 6
2.3b. Equações de Maxwell na forma Diferencial.......................................... 6
2.4. Lei de Gauss para Eletricidade........................................................................ 7
2.5. Lei de Gauss para Magnetismo....................................................................... 7
2.6. Lei de Ampère................................................................................................. 8
2.7. Lei de Faraday................................................................................................. 8
2.8. Conclusão acerca das equações....................................................................... 8
3.Bibliografia................................................................................................................ 9
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1. Introdução
O eletromagnetismo nada mais é que a relação entre a eletricidade e o
magnetismo baseando-se nos princípios das Cargas Elétricas que, em movimento,
produzem um campo magnético e na variação de Fluxo Magnético que gera campo
elétrico. Campo magnético é uma grandeza vetorial (possui direção e sentido) que
todo material possui e pode ser obervado através da força que o mesmo exerce sobre
materiais magnéticos ou cargas elétricas em movimento.
1.1. História Acerca do Eletromagnetismo
A relação entre eletrecidade e magnetismo foi descoberta pelo dinamarquês Hans
Christian Oersted(1777 - 1851) em 1820 graças a invenção dos geradores elétricos,
que possibilitavam a geração de correntes elétricas estáveis que eram necessárias para
o estudo dos fenômenos magnéticos.
Através do experimento de colocar uma agulha magnética próxima a um condutor
elétrico Oersted observou que havia uma deflexão na mesma, mais precisamente
utilizou-se um fio de platina no qual ao ser percorrido por uma corrente elétrica ficava
incandescente, garantindo uma corrente suficente, e uma bússola que qnd aproximada
do fio sofria uma variação em sua agulha magnética.
No ano de 1831, Michael Faraday(1791 - 1867), utilizando duas bobinas e um
núcleo de ferro mostrou que a variação do fluxo magnético também gerava corrente
elétrica, e que, ao ligar ou desligar uma das bobinas na fonte passava uma corrente
quase que momentânea nesses instantes.
A partir da experiência acima, foi concluido que a corrente elétrica ocorria em
função da variação do campo magnético que aparecia quando uma das bobinas ela
ligada e desaparecia quando era desligada. Tal fenômeno ficou conhecido como
indução magnética ou Lei de Faraday.
1.2. James Clerk Maxwell
O cientista inglês James Clerk Maxwell(1831 - 1879) nasceu em Edinburgh no
dia 13 de junho, onde estudou, e na cidade de Cambridge onde se formou em 1854.
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Desde jovem, Maxwell, tinha uma afinidade com a física, aos 15 anos escreveu um
trabalho sobre um método mecânico de traçar curvas ovais perfeitas o que até
despertou o interesse de James Forbes, um físico da epóca. Alguns anos depois
também publicou uma monografia a respeito do equilibrio dos sólidos elásticos.
A obra Pesquisas Experimentais de Eletricidade, de Faraday, foi o que
influênciou os estudos sobre eletricidade de Maxwell. Em busca de uma explicação
para a inter-relação entre eletricidade e magnetismo e com base nos trabalhos de
Faraday, estabeleceu as equações do eletromagnetismo conhecidas como “Equações
de Maxwell”.
2. Equações de Maxwell
Maxwell se dedicou a demonstrar matematicamente as teorias sobre
eletromagnetismo, conseguindo obter equações simples que permitem descrever
fenômenos elétricos e magnéticos. Formou-se, então, a teoria do eletromagnetismo
que tem como base as quatro equações de Maxwell, sendo elas: Lei de Gauss para
eletrecidade, Lei de Gauss para o magnetismo, Lei de Ampere e Lei de Faraday.
2.1. Grandezas do Eletromagnetismo
Antes de adentrar a cada equação de Maxwell é necessário entender suas
grandezas para fim de compreender cada equação e respectivamente o que ela
envolve.
As grandezas fundamentais do eletromagnetismo são:
 O campo elétrico E;
 O campo magnético B;
 c - velocidade da onda;
 μ - permissividade magnética do meio;
 ε - permissividade elétrica do meio.
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2.2. Teorema da Divergência e Teorema de Stokes
Quando for citado, mais a frente, sobre cada uma das equações de Maxwell, será
abordado tanto as formas integral como diferencial. Por isso, deve-se aprender agora
dois teoremas que irão nos ajudar a obter a forma diferencial a partir da forma integral:
os teoremas da divergência e de Stokes.
2.2a. Teorema da Divergência
O teorema da divergência estabelece que, se v é um volume limitado por uma
superfície s, e se V é um campo vetorial com derivadas parciais contínuas na região
definida pela superfície s, então a integral da componente normal de qualquer campo
vetorial, sobre uma superfície fechada, é igual à integral da divergência desse campo
através do volume envolvido pela superfície fechada(fig. 2.1).
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2.2b. Teorema de Stokes
O teorema de Stokes estabelece que a integral da componente tangente de qualquer
campo vetorial, sobre uma linha fechada, é igual à integral da componente normal do
rotacional do campo vetorial sobre a superfície(fig. 2.2).
2.3. Forma integral e diferencial
2.3a. Equações de Maxwell na forma de integral
Na forma integral as equações são bem mais gerais que na forma diferencial.
Usa-se as equações nesta forma para trabalhar as relações vetoriais de campo,
densidade de corrente e de carga no espaço. São usadas em todos os tipos de
fenômenos e situações que envolvem o eletromagnetismo, mas somente no mundo
macroscópico, ou seja, utiliza-se as equações nessa forma para trabalhar em grandes
dimensões, que diferem de dimensõesatômicas.
2.3b. Equações de Maxwell na forma diferencial
Assim como na forma integral, servem para se trabalhar as relações dos vetores
de campo, de densidade de corrente e de carga, no espaço e no tempo. Este tipo de
equações são um pouco mais complicadas de se trabalharem, pois exigem que os
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 
  E 1
0

 
E dA q 
1
0
 
  B 0
 
B dA  0
campos sejam estáveis. Vale lembrar que para que ocorra o processo de derivação é
necessário que as funções sejam continuas, com derivadas também contínuas, e isso
nem sempre ocorre em uma situação real, nos campos, onde nem sempre estes
campos são descritos por funções contínuas, de valor único e limitados.
As equações de Maxwell na forma diferencial são geralmente usadas em
problemas que possuem simetria geométrica (esférica, cilíndrica etc). Porém, quando
existe transição entre os meios, os campos são descontínuos, daí pode ocorrer
distribuição descontínua de cargas e de corrente.
2.4. Lei de Gauss para eletricidade
Essa é a primeira das quatro equações de Maxwell, proposta originalmente pelo
matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), é o equivalente à lei de
Coulomb em situações estáticas. Ela relaciona os campos elétricos e suas fontes, as
cargas elétricas, e pode ser aplicada mesmo para campos elétricos variáveis com o
tempo.
Lei de Gauss na forma integral Lei de Gauss na forma diferencial
2.5. Lei de Gauss para o magnetismo
Esta lei é equivalente à primeira, mas aplicável aos campos magnéticos e
evidenciando ainda a não existência de monopolos magnéticos (não existe polo sul ou
polo norte isolado). De acordo com essa lei, as linhas de campo magnético são
contínuas, ao contrário das linhas de força de um campo elétrico que se originam em
cargas elétricas positivas e terminam em cargas elétricas negativas
Lei de Gauss na forma integral Lei de Gauss na forma diferencial
.
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   
   B j
t
E   
0 0 0
   B ds i d
dt
E dA      0 0 0
  
   E
t
B

   E ds d
dt
B dA   
2.6. Lei de Ampère
A lei de Ampère descreve a relação entre um campo magnético e a corrente
elétrica que o origina. Ela estabelece que um campo magnético é sempre produzido
por uma corrente elétrica ou por um campo elétrico variável. Essa segunda maneira de
se obter um campo magnético foi prevista pelo próprio Maxwell, com base na
simetria de natureza: se um campo magnético variável induz uma corrente elétrica, e
consequentemente um campo elétrico, então um campo elétrico variável deve induzir
um campo magnético.
Lei de Ampère na forma integral Lei de Ampère na forma diferencial
2.7. Lei de Faraday
A quarta das equações de Maxwell descreve as características do campo elétrico
originando um fluxo magnético variável. Os campos magnéticos originados são
variáveis no tempo, gerando assim campos elétricos do tipo rotacionais.
Lei de Faraday na forma integral Lei de Faraday na forma diferencial
2.8. Conclusão
Vale lembrar que Maxwell unificou Magnetismo e a Óptica ao afirmar que a luz
nada mais é que uma onda eletromagnética.
Esse conjunto de equações também permitiu que Maxwell deduzisse uma
equação para as ondas eletromagnéticas e, a partir de uma analogia com as ondas
mecânicas, chegasse à expressão para a velocidade dessas ondas:
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3. Bibliografia
 Halliday, Renick e Walker; Fundamentos da Física 8ª edição, vol. 3;
 USP-Universidade de São Paulo, Equações de Maxwell. Disponível em:
<http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2012/Cap10.pdf>. Acesso em 14
de Julho de 2017.
 Oberziner, Ana Paula Bertoldi, As Equações de Maxwell e Aplicações.
Disponível em:
<https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/119376/Ana_Paul
a%20(1).pdf>. Acesso em 14 de Julho de 2017.
 Equações de Maxwell Para Eletromagnetismo: Disponível em:
<http://alunosonline.uol.com.br/fisica/equacoes-maxwell-para-eletromagnetismo.
html>. Acesso em 15 de Julho de 2017.
 Maxwell, James Clerk / Niven, W D; The Scientific Papers Of James Clerk
Maxwell, Vol 1 ;
 As Equações de Maxwell; Disponível em:
<http://www.ime.unicamp.br/~vaz/maxwell.htm>. Acesso em 15 de Julho de
2017.
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	2.2a. Teorema da Divergência
	2.2b. Teorema de Stokes
	2.3. Forma integral e diferencial
	2.3a. Equações de Maxwell na forma de integral
	2.3b. Equações de Maxwell na forma diferencial