aula 09

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Matemática para Negócios
Aula 9 - Limites de uma função
INTRODUÇÃO
Nesta aula, você aprenderá a calcular o limite com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente de
funções. 
Bons estudos!
OBJETIVOS
Calcular o limite de uma função com base nas propriedades da soma, do produto e do quociente de funções.
LIMITE DE FUNÇÃO EM UM PONTO
Fonte da Imagem:
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p. Dizer que
o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os
valores da função aproximam-se do número L.
Vejamos na prática!
Situação 1: Vamos determinar como se comportam os valores da função y = 3x + 5 quando x se aproxima do ponto p =
4.
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p. 
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se
aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
Situação 2: Seja a função f(x)=2x+1. Vamos determinar como se comportam os valores da função f(x) quando x se
aproxima do ponto p = 1.
Vamos atribuir a x valores que se aproximam de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores
menores que 1) e calcular o valor correspondente de y ou f(x):
Notamos que, à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1  (x -> 1), y tende
para 3 (y -> 3), ou seja:
Quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. 
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). 
Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)3), dizemos que o limite de f(x). 
Quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
PROPRIEDADES DOS LIMITES
Vejamos na prática!
Situação 1: Vamos determinar como se comportam os valores da função , quando x se aproxima do ponto
p=2.
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das
funções. 
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2:
• (x-2) se aproxima de zero 
• (x+1) se aproxima de 3
Portanto, o limite da função estará se aproximando do quociente dos limites de (x-2) e de (x+1) no ponto
p=2, ou seja, será igual a: 0/3 = 0.
Situação 2: Vamos determinar como se comportam os valores da função y = (x+4).(x – 2x) quando x se aproxima do
ponto x=3.
Lembramos que, pela propriedade do limite do produto de funções, o resultado é o produto dos limites das funções. 
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=3:
• (x+4) se aproxima de 7 
• (x – 2x) se aproxima de 3
Portanto,  o limite da função  y = (x + 4).(x – 2x) estará se aproximando do produto dos limites de (x + 4) e de (x – 2x)
no ponto p=3, ou seja, será igual a: 7.3 = 21
Situação 3: Vamos determinar como se comportam os valores da função quando x se aproxima do ponto
p=2.
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das
funções. 
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2:
• (x - 4) se aproxima de zero 
• (x - 2) se aproxima de zero
2
2
2 2
2
Portanto, o limite da função aproxima-se de uma fração do tipo 0/0. Logo, não podemos aplicar a
propriedade do quociente dos limites. 
Para resolver essa questão, vamos construir duas tabelas de valores que se aproximam à esquerda e à direita do ponto
p=2. 
Vamos procurar concluir para que valor a expressão realmente converge.
Portanto, podemos concluir que, à medida que x se aproxima de 2, os valores de y é aproximam-se do valor
L=4.
ATIVIDADES
1 - Como se comportam os valores da função y = x – 2x + 1 quando x se aproxima do ponto p = 3?
2
4
3
5
Justificativa
2 - Calcule o limite da função com o auxílio de uma tabela de valores à esquerda e à direta do ponto p = 3.
9
1
0
2
6
Justificativa
3 - Calcule o limite da função y , usando o conceito intuitivo de limite para o ponto p = -3.
1
0
5
3/4
Justificativa
4 - Calcule o limite da função com o auxílio de uma tabela de valores à esquerda e à direita do ponto p = 0.
-1
-2
2
0
Justificativa
Glossário