8°Ano_MAT_PROF_2°BI OK

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Matemática 
 
 Professor 
 
 CCaaddeerrnnoo ddee AAttiivviiddaaddeess 
PPeeddaaggóóggiiccaass ddee 
AApprreennddiizzaaggeemm 
AAuuttoorrrreegguullaaddaa -- 0022 
88°° AAnnoo || 22°° BBiimmeessttrree 
Disciplina Curso Bimestre Série 
Matemática Ensino Fundamental 2° 8° 
Habilidades Associadas 
1. Reconhecer uma equação do 1° grau com duas variáveis 
2. Caracterizar a solução de uma equação do 1° grau com duas variáveis como um par ordenado 
3. Resolver sistemas de equação do 1° grau 
4. Classificar os quadriláteros quanto aos lados e ângulos 
5. Reconhecer as propriedades dos quadriláteros 
6. Calcular a área dos quadriláteros (quadrado, retângulo, losango e trapézio) 
 
2 
 
A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o 
envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem 
colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes 
preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado. 
A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma 
estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar 
suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma 
autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções 
para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional. 
Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das 
habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades 
roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é 
efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem. 
Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, 
também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-
os a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que podem colocar em prática. 
Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior 
domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para 
o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as 
ferramentas da autorregulação. 
Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se 
para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o 
aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser. 
 A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da 
Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede 
estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim 
de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às 
suas aulas. 
Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer 
esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material. 
 
Secretaria de Estado de Educação 
 
 
Apresentação 
http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/
mailto:curriculominimo@educacao.rj.gov.br
 
3 
Caro Tutor, 
Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas 
habilidades e competências do 2° Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática do 8° 
Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o 
período de um mês. 
 A nossa proposta é que você atue como tutor na realização destas atividades 
com a turma, estimulando a autonomia dos alunos nessa empreitada, mediando as 
trocas de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no 
percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você estimular o desenvolvimento da 
disciplina e independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional de 
nossos alunos no mundo do conhecimento do século XXI. 
Neste Caderno de Atividades, os alunos irão estudar sobre as equações do 1° 
grau com duas variáveis e sobre os sistemas de equações do 1° grau com duas variáveis. 
No campo geométrico, irão estudar sobre os quadriláteros bem como suas propriedades 
e o cálculo de área de quadriláteros. 
Para os assuntos abordados em cada bimestre, vamos apresentar algumas 
relações diretas com todos os materiais que estão disponibilizados em nosso portal 
eletrônico Conexão Professor, fornecendo diversos recursos de apoio pedagógico para o 
Professor Tutor. 
Este documento apresenta 6 (seis) aulas. As aulas são compostas por uma 
explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias 
relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e 
atividades respectivas. Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As 
Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, 
propõe-se, ainda, uma avaliação e uma pesquisa sobre o assunto. 
 
Um abraço e bom trabalho! 
Equipe de Elaboração 
 
 
4 
 
 
 
 Introdução .......................................................................................... 03 
 
 Objetivos Gerais .................................................................................. 
 Materiais de Apoio Pedagógico ........................................................... 
 Orientação Didático-Pedagógica .......................................................... 
 Aula 1: Equação do 1° grau com duas variáveis .................................... 
 Aula 2: Par ordenado e interpretação geométrica ................................. 
 Aula 3: Sistema de equações do 1° grau ............................................... 
 Aula 4: Quadriláteros ........................................................................... 
 Aula 5: Propriedades dos quadriláteros ................................................ 
 Aula 6: Área dos quadriláteros ............................................................. 
 Avaliação ............................................................................................ 
 Avaliação Comentada .......................................................................... 
 Pesquisa .............................................................................................. 
 
05 
05 
07 
08 
11 
17 
23 
28 
33 
38 
39 
42 
 
 
 Referências ......................................................................................... 44 
 
 
Sumário 
 
 
5 
 
 
 No 8° Ano do Ensino fundamental o tema central é o estudo das equações e 
sistemas de equações, justamente os assuntos deste caderno de aulas e atividades. No 
campo geométrico o estudo começou com os Triângulos, suas propriedades e 
classificações e neste bimestre passamos aos estudos dos Quadriláteros, propriedades 
e áreas. 
 
 
 
 No portal eletrônico Conexão Professor, é possível encontrar alguns materiais 
que podem auxiliá-los. Vamos listar estes materiais a seguir: 
 
Orientações 
Pedagógicas 
do CM 
 
 ─ Orientações Metodológicas - Autonomia – 2° Bimestre 
─ Mais Educação - Planos de Aula 03 
─ Mais Educação - Planos de Aula 04 
─ Mais Educação - Planos de Aula 05 
 
Outras 
sugestões 
 
VÍDEO: Vídeo que mostra como resolver sistemas de equações com 
duas variáveis. 
Endereço eletrônico: 
 http://www.youtube.com/watch?v=y7pF89VHmag 
 
 
TEXTO: Textos sobre sistemas lineares de equações do 1º grau. 
Endereço eletrônico: 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.h
tm#m10705 
 
Materiais de Apoio PedagógicoObjetivos Gerais 
http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/cm_download.asp?T=14&M=20&P=9A&B=2
http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/cm_download.asp?T=71&M=20&P=9A&B=2
http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/cm_download.asp?T=72&M=20&P=9A&B=2
http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/cm_download.asp?T=73&M=20&P=9A&B=2
http://www.youtube.com/watch?v=y7pF89VHmag
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm#m10705
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm#m10705
 
6 
 
VÍDEO: Vídeo sobre interseção de duas retas. 
Endereço eletrônico: 
http://www.youtube.com/watch?v=RrccmXcR2yo 
 
 
VÍDEO: Vídeo com representação da reta no Plano Cartesiano. 
Endereço eletrônico: 
http://www.youtube.com/watch?v=DafkPAx8QwE 
 
 
VÍDEO: Vídeo com as propriedades dos quadriláteros. 
Endereço eletrônico: 
http://www.youtube.com/watch?v=jDLbzHWINoE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.youtube.com/watch?v=RrccmXcR2yo
http://www.youtube.com/watch?v=DafkPAx8QwE
http://www.youtube.com/watch?v=jDLbzHWINoE
 
7 
 
 
 
 Para que os alunos realizem as Atividades referentes a cada dia de aula, 
sugerimos os seguintes procedimentos para cada uma das atividades propostas no 
Caderno do Aluno: 
1° - Explique aos alunos que o material foi elaborado para que o aluno possa 
compreendê-lo sem o auxílio de um professor. 
2° - Leia para a turma a Carta aos Alunos, contida na página 3. 
3° - Reproduza as atividades para que os alunos possam realizá-las de forma 
individual ou em dupla. 
4° - Se houver possibilidade de exibir vídeos ou páginas eletrônicas sugeridas na 
seção Materiais de Apoio Pedagógico, faça-o. 
5°- Peça que os alunos leiam o material e tentem compreender os conceitos 
abordados no texto-base. 
6° - Após a leitura do material, os alunos devem resolver as questões propostas 
nas ATIVIDADES. 
7° - As respostas apresentadas pelos alunos devem ser comentadas e debatidas 
com toda a turma. O gabarito pode ser exposto em algum quadro ou mural da 
sala para que os alunos possam verificar se acertaram as questões propostas na 
Atividade. 
 Todas as atividades devem seguir esses passos para sua implementação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orientação Didático-Pedagógica 
 
8 
 
 
Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre equações do 1° grau com duas 
variáveis. As equações estão presentes em nosso dia a dia, no entanto, para que você 
possa perceber esta relação primeiramente, vamos estudar o que é uma equação, em 
seguida, vamos estudar as equações do 1° grau com duas variáveis. 
 
1 – EQUAÇÃO: 
 
Uma equação é uma igualdade entre expressões matemáticas com pelo menos 
um elemento desconhecido. Veja os exemplos abaixo: 
 
 
São equações: 
2x + 1 = –3 
–7y = 1 – x 
0,3 = 11z – 23 
x + y² = 4 
 
Não são equações: 
5x + 3 > 4 
2 + 3 = 5 
–9x + y < 32 
0,5 + 0,9 = 1,4 
 
A estes elementos desconhecidos chamaremos de incógnitas. 
 
2 – EQUAÇÃO DO 1° GRAU: 
 
 Uma equação é dita do 1° grau quando o maior expoente das suas incógnitas é 
um. Se o maior expoente for dois, a equação é do 2° grau, se três, a equação é do 3° 
grau e assim por diante. São exemplos de equações do 1° grau: 
 
a) x + y = 9  x1 + y1 = 9 
b) 3x + 5 = –8  3x1 + 5 = –8 
c) –7z + 4 = 21  –7z1 + 4 = 21 
 
Aula 1: Definindo equação do 1° grau 
 
9 
 
 
 
 
 
 
3 – EQUAÇÃO DO 1° GRAU COM DUAS INCÓGNITAS: 
 
Dizemos que uma equação é do 1° grau com duas incógnitas se o maior 
expoente entre suas incógnitas é um e se ela possui duas variáveis. Ou seja, uma 
equação do 1° grau com duas variáveis é toda equação que, na forma reduzida, pode 
ser escrita como: 
 , onde a e b não são nulos. 
 
São exemplos de equações do 1° grau com duas variáveis: 
 
a) 2x + y = 3, onde a = 2, b = 1 
b) x – y = –1, onde a = 1, b = ─1 
 
Em alguns casos, é será necessário escrever a equação na forma reduzida: 
 
c) –3x + 13 = 4y  –3x ─ 4y = ─ 13, onde a = ─3, b = ─ 4 
d) y + 45 = –9x  y + 9x = – 45, onde a = 9, b = 1 
 
Agora depois de observar bem cada exemplo vamos treinar? 
Chegou a sua vez de tentar identificar uma equação do 1° grau com duas 
variáveis! Bom estudo! 
 
 
Observe que quando uma 
variável não tem expoente, 
este será igual a 1!! 
x = x1 
 
10 
 
 
01. Das igualdades abaixo, marque as que são equações: 
 
a) ( X ) 8x – 4 = 30 
b) ( ) 9 + 0,4 = 9,4 
c) ( X ) 12z – 3x² = 2 
 
Resolução: 
Note que a única alternativa que não foi marcada é uma igualdade numérica, ou seja, 
não possui elementos desconhecidos. 
 
02. Das equações abaixo, marque as que são do 1° grau: 
 
a) ( ) 5x² + 13 = 9 
b) ( X ) 4x – y = 4 
c) ( X ) x + y + z = 1 
 
Resolução: 
Note que a única alternativa que não foi marcada é de uma equação do 2° grau. 
 
03. Das equações abaixo marque as que são do 1° grau com duas incógnitas: 
 
a) ( ) 3x + 9 = 5 
b) ( X ) x + z = 6 
c) ( ) x + y + z = 2 
d) ( X ) 7x – 2y = 99 
 
Resolução: 
Note que a alternativa a) é de uma equação do 1° grau com apenas uma incógnita e a 
alternativa c) é de uma equação do 1° grau com três incógnitas. 
 
 
Atividade Comentada 1 
 
 
11 
04. Escreva as equações do 1° grau na forma reduzida: 
 
a) 3x – 5 = 2y 
b) –4y + 3 = 1 – x 
c) 11 – y = –7x 
d) 6x + 2 = y + x 
 
Resolução: 
a) 3x – 2y = 5 
b) x – 4y = 1 – 3 → x – 4y = –2 
c) 7x – y = –11 
d) 6x – x – y = –2 → 5x – y = –2 
 
 
 
 Caro aluno, na aula 1 aprendemos a identificar uma equação do 1° grau, com 
uma ou com duas variáveis, agora vamos estudar as possíveis soluções e a 
interpretação geométrica de uma equação deste tipo. Você sabia que toda equação do 
1° grau, é representado por uma reta? Vamos dar inicio ao nosso estudo?! 
 
1 – EQUAÇÃO DO 1° GRAU DE DUAS VARIÁVEIS: 
 
Uma solução de uma equação do tipo , onde a e b são 
diferentes de zero, é um par ordenado ( ) tal que é uma sentença 
verdadeira. 
Vamos calcular uma solução para a equação . Note que se x = 4 e 
y = 2, substituindo os valores de x e y na equação, temos que: 
 . Então o par ordenado (4 , 2) é uma solução particular da equação. 
 
 
 
 
 
Aula 2: Interpretação geométrica da equação do 1° grau 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
Testando o par ordenado (1 , 4) temos x = 1 e y = 4, logo: 
 . Então este par ordenado também é solução da equação. 
Note que escolhendo um valor real qualquer para x, sempre encontraremos um 
valor real para y. Ou seja, esta e qualquer outra equação do 1° grau com duas variáveis 
sempre possuem infinitas soluções. 
 
2 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: 
 
 Você já sabe que podemos 
representar números reais em uma 
reta numérica. Mas, como faremos 
para representar um par ordenado 
no plano cartesiano? 
Lembre-se que o plano cartesiano é 
formado por duas retas numéricas, 
sendo uma horizontal (eixo das 
abscissas) e a outra vertical (eixo das 
ordenadas). 
 Estas retas se interseptam 
perpendicularmente no ponto zero de cada uma, e a este ponto chamaremos de 
origem. Observe a figura acima! 
 Este esquema com dois eixos perpendiculares gera um plano que chamamos de 
sistema cartesiano ou plano cartesiano. Para marcar o ponto que representa um par 
ordenado no plano cartesiano devemos localizar a primeira coordenada no eixo das 
Será que esta equação pode ter 
outra solução? 
Vamos testar x = 1 e y = 4? 
 
13 
abscissas (horizontal), a segunda coordenada no eixo das ordenadas (vertical) e traçar 
as retas perpendiculares aos eixos que contém estas coordenadas. O ponto procurado 
está justamente no cruzamento, ou intersecção, destas retas. 
 Observe abaixo a localização do ponto P que representa o par ordenado (3 , 2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma equação do 1° grau com uma variável possui uma única solução, no 
entanto, uma equação do 1°grau com duas variáveis possui infinitas soluções. 
 Mas, como iremos representar infinitos pontos em um plano cartesiano? 
 A resposta é simples, o conjunto destes infinitos pontos que representam todas 
as soluções de uma equação do 1° grau com duas variáveis é sempre uma reta. Ou 
seja, quando agrupamos estes infinitos pontos, formamos uma reta. 
 
EXEMPLO 01: 
 Vamos construir a reta que representa o 
conjunto solução da equação . 
 Note que para construir uma reta, basta 
encontrar dois pontos pertencentes a reta. 
Considerando x = 1, temos que y = 2 satisfaz a 
equação, pois . E tomando x = 2, 
temos que y = 0 satisfaz a equação, pois 
 . Logo os pares ordenados (1,2) e (2,0) 
 
14 
são duas soluções particulares da equação. Assim, para construir toda a reta, basta 
representar estes pontos no plano cartesiano, observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora vamos resolver algumas atividades! Chegou a hora de mostrar o que 
você aprendeu!! Faça todas as questões com bastante atenção e consultando sempre 
os exemplos! 
 
 
 
01. Escreva três pares ordenados que sejam soluções das equações abaixo: 
 
a) x + y = 5 b) 3x – y = 7 
 
Resolução: 
Existem infinitas soluções para cada uma destas equações. 
Sugestão de resposta: 
a) (1 , 4) ; (2 , 3) e (3 , 2). 
b) (1 , -4) ; (2 , -1) e (3 , 2). 
 
 
 
 
Atividade Comentada 2 
 
Você observou que o ponto (2 , 0) 
está localizado sobre o eixo das 
abscissas? Isso acontece, pois a 
segunda coordenada dele é zero! 
 
15 
02. Indique quais dos pares ordenados abaixo são soluções da equação 2x + 3y = 7. 
 
a) (2 , 1) ( X ) 
b) (5 , -1) ( X ) 
c) (-1 , 3) ( X ) 
d) (1 , 1) ( ) 
e) (3 , 3) ( ) 
f) (-2 , 
 
 
) ( X )
 
Resolução: 
Basta substituir cada par ordenado na equação e verificar a igualdade. 
 
03. Complete a coordenada que está faltando nas afirmações abaixo: 
 
a) (3 , 2) é solução da equação 2x + 5y = 16. 
b) (0 , -1) é solução da equação 3x – y = 1. 
c) (-1 , -2) é solução da equação x + y = -3. 
 
Resolução: 
Basta substituir a coordenada dada na equação e calcular a outra. Veja: 
a) 2.3 + 5y = 16 
6 + 5y = 16 
5y = 16 – 6 
5y = 10 
y = 10/5 
y = 2 
b) 3x – (-1) = 1 
3x + 1 = 1 
3x = 1 - 1 
3x = 0 
x = 0/3 
x = 0 
c) -1 + y = -3 
y = -3 + 1 
y = -2 
 
 
04. Faça o que se pede nos itens a seguir: 
 
a) Determine duas soluções da equação 2x + y = 6. 
 
Resolução: 
Se x = 1, temos y = 4. 
Se x = 2, temos y = 2. 
 
16 
Logo, duas soluções possíveis são (1 , 4) e (2 , 2). Cabe resaltar que existem infinitas 
soluções para equações do 1° grau com duas incógnitas. 
 
b) Marque os dois pontos referentes às soluções encontradas no plano cartesiano 
abaixo e construa a reta solução: 
 
Resolução: 
 
 
c) O ponto (3 , 0) pertence ao gráfico? 
 
 
17 
Resolução: 
Sim. Note que (3 , 0) é solução da equação. E, basta verificar no gráfico feito no item b. 
 
d) O ponto (0 , 4) pertence ao gráfico? 
 
Resolução: 
Não. Note que (0 , 4) não é solução da equação. E, basta verificar no gráfico feito no 
item b. 
 
 
 
 Nesta aula vamos consolidar o estudo de equações do 1° grau com duas 
variáveis, aprendendo como solucionar um sistema com duas equações deste tipo. 
Com base nas aplicações práticas deste conteúdo, vamos abordar a interpretação 
geométrica destes sistemas. Vamos para a aula! 
 
1 – SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES DO 1° GRAU COM DUAS INCÓGNITAS: 
 
 Para solucionar um sistema de duas equações do 1° grau com duas incógnitas 
devemos encontrar o par ordenado que satisfaça as duas equações simultaneamente. 
Vamos encontrar o par ordenado que é solução do sistema: 
 
 
 . 
Para obter esta solução temos duas opções: 
 
1.1 – MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO: 
 
Este método é bastante prático. Basta escolher uma das equações e isolar uma 
de suas incógnitas no 1° membro. Neste caso, vamos escolher a primeira equação: 
 
 
 
Aula 3: Sistema de equações do 1° grau 
 
18 
 
Agora vamos substituir a expressão do valor de x na segunda equação: 
 
 
Note que agora temos uma equação do 1° grau com apenas uma variável, 
então vamos encontrar sua solução particular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você lembra que no início encontramos que . Agora é só substituir o 
valor que encontramos para y nesta equação: 
 
 
 
Pronto! A solução do nosso sistema é o par ordenado (1, 2). 
 
1.2 – MÉTODO DA ADIÇÃO: 
 
 Para utilizar este método é importante que uma das incógnitas possua 
coeficientes opostos. Observe que no nosso exemplo, 
 
 
 , os coeficientes da 
incógnita x são 1 e 3, os coeficientes da incógnita y são 2 e ─1, ou seja, não são 
opostos. Perceba a sutileza deste método! Para que os coeficientes fiquem opostos, 
basta multiplicar as equações pelos números corretos. 
 Observe que no nosso exemplo, basta multiplicar a segunda equação por “2” 
para que os coeficientes de y fiquem opostos. Assim: 
 
19 
 
 
 
 
 
 Então, teremos um novo sistema de Equações: 
 
 
 
 
 
 Agora vamos somar as duas equações, veja que a incógnita y se anula com os 
coeficientes opostos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como já encontramos o valor de x, basta escolher qualquer uma das duas 
equações iniciais do sistema, substituir o valor de x encontrado e calcular y. Neste 
caso, vamos escolher a primeira equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Finalmente temos a solução do nosso sistema: o par ordenado (1 , 2). 
 
2 – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: 
 
 Como o sistema é composto por duas equações do 1° grau com duas variáveis 
cada uma, podemos traçar duas retas que representam as soluções de cada uma das 
 
20 
equações. O ponto de encontro destas retas, ou intersecção das retas, é a solução do 
sistema. 
 Vamos observar o caso do nosso exemplo anterior: 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reta em azul representa a equação e a reta em vermelho a 
equação . O ponto de intersecção destas retas foi justamente (1 , 2) que é a 
solução do sistema. 
Agora é o momento de testar se você aprendeu, faça as atividades abaixo. 
 
 
 
01. Resolva o sistema 
 
 
 utilizando o método da subtituição. 
 
Resolução: 
Vamos escolher a primeira equação e isolar a incógnita y: 
 
 
Agora, basta substituir o valor encontrado em y na segunda equação: 
 
Atividade Comentada 3 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como e , basta substituir para encontrar o valor de y: 
 
 
 
 
Logo a solução é dada pelo par ordenado (-1 , 4). 
 
02. Resolva o sistema 
 
 
 utilizando o método da adição. 
 
Resolução: 
Para resolver este sistema pelo método da adição vamos multiplicar a primeira 
equação por 4 a fim de deixar a incógnita y com coeficientes opostos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora basta sustituir o valor encontrado para x em qualquer uma das equações do 
sistema, vamos escolher a primeira equação: 
 
 
22 
 
 
 
 
Logo a solução deste sistema é o par ordenado (-2 , 2). 
 
03. Vamos pensar em um problema! 
Em um quintal há cachorros e galinhas em um total de 7 animais. Sabemos 
também que juntando cachorros e galinha temos um total de 22 patas. 
Se a quantidade de cachorros é representada por x e a quantidade de galinhas 
por y, monte um sistema e calcule a quantidade de canhorros e galinhas. 
 
Resolução: 
O problema descrito pode ser representado matematicamente pelosistema de 
equações: 
 
 
 
 
Escolhendo o método da adição, basta perceber que podemos multiplicar a 
primeira equação por -2 para que os coeficientes de y fiquem opostos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Basta substituir o valor encontrado em qualquer das equações do sistema para 
encontrar o valor de y, vamos escolher a primeira: 
 
 
 
 Logo, no quintal, haviam 4 cachorros e 3 galinhas. 
 
 
23 
04. Interprete geometricamente o sistema da questão 01 no plano cartesiano abaixo: 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 Caro aluno, nesta aula você vai estudar sobre quadriláteros. Esta figura 
geométrica plana faz parte do nosso dia a dia em inúmeras situações. Observe as 
figuras abaixo e identifique a aparição de quadriláteros: 
 
 
 
 
 
 1 – DEFINIÇÃO: 
 
Um quadrilátero é um polígono que possui quatro lados. 
 
1.1 – ELEMENTOS DE UM QUADRILÁTERO: 
 
No quadrilátero ABCD ao lado, podemos 
destacar os seguintes elementos: 
 
 VÉRTICES: são os pontos A, B, C e D. 
Vale ressaltar que os pares de vértices A e C são 
opostos, assim como os vértices D e B. 
 
 
Aula 4: Quadriláteros 
 
Figura 2 Figura 1 
 
25 
 LADOS: os segmentos , , e são os lados do quadrilátero. Podemos 
observar ainda que os pares de lados e são opostos. Da mesma maneira, e 
 . 
 
 ÂNGULOS INTERNOS: Os ângulos , , e são chamados ângulos internos do 
quadrilátero. 
 
 DIAGONAIS: Os segmentos e são chamados diagonais do quadrilátero. Pois 
eles unem dois vértices não consecutivos, ou seja, dois vértices opostos. 
 
 
 
 
 
 
 
Acompanhe o exemplo abaixo! Vamos calcular o valor de x no quadrilátero, 
sabendo que o seu perímetro vale 42cm: 
 
Sabemos que o perímetro é obtido através da 
soma de todos os lados do polígono. Então, 
como já conhecemos o resultado da soma, 
basta efetuarmos da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você lembra que o perímetro de um 
polígono é obtido somando-se as medidas 
de todos os seus lados? 
Assim, o perímetro do quadrilátero acima é 
 
26 
2 – POLÍNOS CÔNCAVOS E CONVEXOS: 
 
Os quadriláteros podem ser côncavos ou convexos. Dizemos que um 
quadrilátero é côncavo quando o prolongamento de um de seus lados intersecta outro 
lado. Observe os exemplos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de agora estudaremos os polígonos convexos. 
 
2 – SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS: 
 
Seja ABCD um quadrilátero convexo. 
 
 
 
 
 
 
 Tracemos uma diagonal . 
 
 
 
 
 
 
 
27 
Vamos cortar o quadrilátero a partir de sua diagonal. 
 
 
 
 
 
Agora, temos dois triângulos: ABD e CBD. Você deve lembrar que a soma dos 
ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Desse modo, podemos concluir que a 
soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a soma dos ângulos internos de 
dois triângulos. Portanto, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é: 
 
180° + 180° = 360° 
 
 Vamos calcular o valor de x de acordo com a figura abaixo: 
Sabemos que a soma das medidas dos ângulos 
internos de um quadrilátero é 360°. Assim: 
 
 
 
 
 
Agora, faça as atividades para verificar se entendeu bem os conceitos desta 
aula. Bom estudo! 
 
 
 
01. Utilize o fato de que o perímetro é a soma das medidas de todos os lados do 
polígono. Calcule o valor de x no quadrilátero abaixo, sabendo que o seu perímetro 
vale 37cm. 
 
 
Atividade Comentada 4 
 
 
28 
 
Resolução: 
 
 Somando todos os lados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Classifique os quadriláteros abaixo como côncavos ou convexos: 
 
 
 
 
 
 
Côncavo Convexo Convexo Côncavo Convexo 
 
 
03. Utilize o fato de a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero ser 
360° para calcular o valor de x: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) Somando todos os ângulos: 
 
 
 
 
b) Somando todos os ângulos: 
 
 
 
 
 
 
29 
04. Um quadrilátero tem as medidas de seus ângulos internos representados por x, 2x, 
3x e 4x. Sabendo que a soma das medidas dos ângulos internos é 360°, calcule o valor 
de x. 
 
Resolução: 
x + 2x + 3x + 4x = 360° 
10x = 360° 
x = 360°/10 
x = 36° 
 
 
 
 Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre as propriedades de alguns 
quadriláteros. Nesta aula você vai dar continuidade ao estudo dos quadriláteros e 
aprenderá sobre detalhes mais específicos de cada um dos quadriláteros notáveis. 
 
1 – PARALELOGRAMO: 
 
 Paralelogramo é todo quadrilátero que possui lados opostos paralelos e 
congruentes. 
 
 
 
 
Ou seja, de acordo com a figura acima, // , // , e 
 . 
 Propriedade 1: Dois ângulos opostos são 
congruentes (medidas iguais) e dois ângulos 
não opostos são suplementares (somam 
180°). 
 
Aula 5: Propriedades dos quadriláteros 
 
 
30 
 Propriedade 2: As diagonais cortam-se ao meio. 
 
2 – LOSANGO: 
 
Losango é todo quadrilátero que possui os quatro 
lados congruentes. 
Ou seja, de acordo com a figura, 
 . 
 
 Propriedade: As diagonais, além de cortarem-se ao meio, são 
perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
3 – RETÂNGULO: 
 
Retângulo é todo quadrilátero que possui os quatro ângulos internos retos, ou 
seja, medindo 90°. 
 
 
 
 
Note que os retângulos também são paralelogramos, logo valem as 
propriedades dos paralelogramos. Além disso: 
 Propriedade: As diagonais cortam-se ao meio e são congruentes. 
 
 
Veja que o losango é também 
paralelogramo. Por isso, valem as 
mesmas propriedades de paralelogramo! 
 
31 
4 – QUADRADO: 
 
 Quadrado é todo quadrilátero que possui os quatro lados congruentes e os 
quatro ângulos internos retos. 
 
 
 
 
Note que todo quadrado é também losango e retângulo. Ou seja, para os 
quadrados valem as propriedades de losango e retângulo. 
 Propriedade: As diagonais, além de cortarem-se ao meio e serem 
congruentes, são perpendiculares. 
 
5 – TRAPÉZIO: 
 
 Trapézio é todo quadrilátero que possui um par de lados opostos paralelos. 
 
 
 
 
Ou seja, de acordo com a figura o lado é paralelo ao lado , 
simbolicamente escreve-se: // Aos lados paralelos chamamos de bases, assim: 
 é a base menor e é a base maior. 
 
Vamos verificar se você entendeu bem os conceitos desta aula? Bom estudo! 
 
 
 
01. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F): 
 
 
Atividade Comentada 5 
 
32 
a) ( V ) Todo losango é um paralelogramo. 
b) ( V ) Todo retângulo é um paralelogramo. 
c) ( V ) Todo quadrado é um paralelogramo. 
d) ( F ) Todo paralelogramo é um losango. 
e) ( F ) Todo paralelogramo é um retângulo. 
f) ( F ) Todo paralelogramo é um quadrado. 
 
02. Com base nas definições e lembrando que todo quadrado é um paralelogramo, um 
retângulo e um losango, responda: 
 
a) As diagonais de um quadrado são congruentes? Sim. 
b) As diagonais de um quadrado cortam-se ao meio? Sim. 
c) As diagonais de um quadrado são perpendiculares? Sim. 
d) Todo quadrado é um losango? Sim. 
e) Todo quadrado é um retângulo? Sim. 
03. De acordo com as definições de paralelogramo, calcule o valor de x: 
 
a) 
 
 
 
Resolução: 
 Aprendemos que os ângulos não opostos em um paralelogramo são 
suplementares, assim . Ou seja, . 
 
b) 
 
 
 
Resolução: 
 Aprendemos que os ângulos opostos em um paralelogramosão congruentes, 
assim . 
 
33 
 
04. Lembrando que as bases de um trapézio são paralelas e que os ângulos internos 
e são colaterais internos. Responda: 
 
a) e são congruentes? Não. 
b) e são suplementares? Ou seja, com soma de 180°. 
Sim. 
c) e são complementares? Ou seja, com soma de 90°. 
Não. 
 
 
 
Caro aluno, agora que já conhecemos os quadriláteros e suas propriedades é fácil 
perceber como esse assunto está presente em nosso dia a dia. Nesta aula vamos 
continuar estudando os quadriláteros, no entanto, vamos nos concentar no estudo das 
áreas dos principais quadriláteros. 
 
1 – ÁREA DE UM RETÂNGULO: 
 
 A área de um retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Observe a 
figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 6: Área dos quadriláteros 
 
34 
2 – ÁREA DE UM QUADRADO: 
 
 Como o quadrado é também um retângulo, sua área é também expressa pelo 
produto da base pela altura. Porém, os quatro lados do quadrado são congruentes, 
então, de acordo com a figura temos: 
 
 
 
 
 
 
3 – ÁERA DE UM LOSANGO: 
 
 Para chegar a uma fórmula da área de um losango, vamos compará-lo com um 
retângulo. Observe que podemos a partir de um losango gerar um retângulo cujos 
lados são congruentes as diagonais do losango: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Note que a área do retângulo é dada por , como o losango tem área igual a 
metade da área do retângulo temos que a área do losango é dada, em função do valor 
das sua diagonais, como: 
 
 
 
 
 
 
 
35 
4 – ÁREA DO TRAPÉZIO: 
 
 A área de um trapézio é dada em função das bases e da altura. Observe a figura 
abaixo e veja que podemos, trançando uma das diagonais, partir o trapézio em dois 
triângulos: 
 
 
 
 
 
 Assim, a área do trapézio será dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Desse modo, vamos calcular algumas áreas: 
 
a) Um retângulo com base 2cm e altura 3cm. 
Sua área é dada por: 
 
 
b) Um quadrado com lado medindo 5m. 
Sua área é dada por: 
 
 
c) Um losango que a diagonal menor mede 4cm e a diagonal maior mede o triplo 
da diagonal menor, terá a seguinte área: 
 Note que , assim a área é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
d) Um trapézio onde as bases medem 3,5dm e 7,5dm e a altura mede 6dm. 
Sua área é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Chegou a hora de testar se você aprendeu tudo o que está nesta aula. Você 
está pronto? Então vamos às atividades. Bom estudo! 
 
 
 
01. Calcule a área dos quadriláteros abaixo: 
 
a) Retângulo ABCD: 
 
 
 
 
Resolução: 
 Como a área de um retângulo é dada pelo produto dos valores da base pela altura, 
temos que: 
 
 
 
 
 
 
Atividade Comentada 6 
Nunca se esqueça de que área de uma 
região é uma medida bidimensional, 
por isso a unidade de medida deve 
sempre estar ao quadrado! 
 
37 
 
b) Quadrado ABCD: 
 
 
 
 
Resolução: 
Como a área de um quadrado é dada pelo quadrado do valor do lado, temos que: 
 
 
c) Losango ABCD: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Como a área de um losango é dada pelo produto entre os valores das diagonais, temos 
que: 
 
Note que não há unidade de medida, assim podemos deixar o resultado da área sem 
unidade de medida ou colocar “u.a.” que representa “unidade de área”. 
 
02. Calcule a área da região cinza abaixo: 
 
Resolução: 
 Observe que a área da região cinza é igual à 
área do losango ABCD. Então: 
 
 
38 
 O aluno também pode fazer esta questão subtraindo a área do losango da área 
do retângulo, caso não perceba que a área da região cinza é igual à área do losango. 
Fique atento! 
 
03. Calcule as áreas dos trapézios abaixo em m²: 
 
a) 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caro Professor Aplicador, sugerimos algumas diferentes formas de avaliar as turmas 
que estão utilizando este material: 
 
 
Avaliação 
 
 
39 
 Nas disciplinas em que os alunos participam da Avaliação do Saerjinho, pode-se 
utilizar a seguinte pontuação: 
 
 Saerjinho: 2 pontos 
 Avaliação: 5 pontos 
 Pesquisa: 3 pontos 
 
 As disciplinas que não participam da Avaliação do Saerjinho podem utilizar a 
participação dos alunos durante a leitura e execução das atividades do caderno como 
uma das três notas. Neste caso teríamos: 
 
 Participação: 2 pontos 
 Avaliação: 5 pontos 
 Pesquisa: 3 pontos 
 
 
 
01. Das equações abaixo, qual é a equação do 1° grau com duas variáveis: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
Resolução: 
 Note que no item a, a equação tem apenas uma variável. No item b, a equação, 
apesar de ter duas variáveis, é do 2° grau e no item d, a equação também é do 2° grau. 
 
02. Dada a equação do 1° grau com duas variáveis , diga qual dos pares 
ordenados é solução da equação: 
 
Avaliação Comentada 
 
 
40 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
Resolução: 
 Verificando temos: . 
 
03. Calculando a solução do sistema 
 
 
 encontramos o par ordenado: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
Resolução: 
 Resolvendo pelo método da adição temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Basta substituir o valor encontrado em qualquer das equações do sistema para 
encontrar o valor de y, vamos escolher a segunda: 
 
 
 
 
04. Qual das afirmações abaixo é FALSA: 
 
(A) Todo quadrilátero possui soma dos ângulos internos medindo 360°. 
 
41 
(B) O perímetro de um quadrilátero se obtém somando os valores das medidas de seus 
quatro lados. 
(C) Em um quadrilátero temos apenas uma diagonal. 
(D) Todo quadrilátero possui quatro ângulos internos. 
 
Resolução: 
 Lembre-se que todo quadrilátero possui duas diagonais. 
 
05. De acordo com as propriedades de um losango, o valor de x é: 
 
(A) 92° 
(B) 88° 
(C) 2° 
(D) 44° 
 
Resolução: 
 Basta lembrar que todo losango é também paralelogramo e que em todo 
paralelogramo os ângulos opostos são congruentes. 
 
06. O valor da região cinza abaixo é: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
Resolução: 
 A área da região cinza é dada pela subtração das áreas do retângulo ACDE e do 
quadrado ABGF: 
 
 
 
42 
 
 
 Caro professor aplicador, o trabalho de pesquisa é uma oportunidade para 
referenciar experiências. É composto de 2 questões onde o aluno responderá após 
interagir com os colegas, assistir a videos, pesquisar na internet ou em literaturas 
diversas. 
 É um momento onde a busca do conhecimento é aguçada, trazendo o aluno para 
um universo diferente, onde as respostas buscadas se tornam desafios, tirando muitas 
vezes o aluno de um estado de acomodação, contribuindo para formar novos 
pesquisadores. 
 Vamos a pesquisa então! 
 
ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos 
livros e sites nos quais foram utilizados. 
 
I – Faça uma pesquisa na internet sobre o “retângulo áureo” ou “retângulo de ouro” e 
cite abaixo qual a definição que você encontrou e em quais lugares, objetos ou artes 
têm a aparição do retângulo áureo: 
 
Espera-se que o aluno dê a definição de retângulo áureo ou o processo de construção 
de um retângulo áureo. Espera-se também que ele cite lugares como o Parthenon na 
Grécia e o prédio das Nações Unidas. Objetos como o cartão de crédito ou obras de 
arte como a Mona Lisa e o Homem Vitruviano. 
 
II – Cite abaixo, no mínimo, dez objetos do seu cotidiano queapresentem em sua 
composição a forma de um quadrilátero: 
 
Espera-se que o aluno cite objetos como: pipa, mesa, folha, tela do computador ou TV, 
azulejo, tablet, livro, capa do CD ou DVD, cartão de crédito, dado, tabuleiro de dama ou 
xadrês,... 
 
 
Pesquisa 
 
43 
 
 
[1] IEZZI, Gelson; Et al. Matemática e Realidade: 7ª série. 5 ed. São Paulo: Atual, 2005. 
[2] DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática 8° ano. 1 ed. São Paulo: Ática, 
2012. 
[3] NAME, Miguel Asis. Vencendo com a matemática 7ª série. 1 ed. São Paulo: Editora 
do Brasil, 2005. 
[4] Figura 1: http://minasdemim.blogspot.com.br/2012/10/abrir-as-janelas-do-
mundo.html 
[5] Figura 2: http://www.caketrends.com.br/cultura-e-comportamento/acervo-do-
moma-inspira-criacoes-culinarias-disponiveis-no-cafe-do-museu/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
http://minasdemim.blogspot.com.br/2012/10/abrir-as-janelas-do-mundo.html
http://minasdemim.blogspot.com.br/2012/10/abrir-as-janelas-do-mundo.html
http://www.caketrends.com.br/cultura-e-comportamento/acervo-do-moma-inspira-criacoes-culinarias-disponiveis-no-cafe-do-museu/
http://www.caketrends.com.br/cultura-e-comportamento/acervo-do-moma-inspira-criacoes-culinarias-disponiveis-no-cafe-do-museu/
 
44 
 
 
 
 
COORDENADORES DO PROJETO 
 
Diretoria de Articulação Curricular 
Adriana Tavares Mauricio Lessa 
 
Coordenação de Áreas do Conhecimento 
Bianca Neuberger Leda 
Raquel Costa da Silva Nascimento 
Fabiano Farias de Souza 
Peterson Soares da Silva 
Ivete Silva de Oliveira 
Marília Silva 
 
 COORDENADORA DA EQUIPE 
 Raquel Costa da Silva Nascimento 
Assistente Técnico de Matemática 
 
 PROFESSORES ELABORADORES 
 Ângelo Veiga Torres 
Daniel Portinha Alves 
Fabiana Marques Muniz 
Herivelto Nunes Paiva 
Izabela de Fátima Bellini Neves 
Jayme Barbosa Ribeiro 
 Jonas da Conceição Ricardo 
Reginaldo Vandré Menezes da Mota 
Tarliz Liao 
Vinícius do Nascimento Silva Mano 
 Weverton Magno Ferreira de Castro 
 
 
Equipe de Elaboração