MF03+-+Aula+Resumida+Escoamento+Ideal+_Bernoulli_

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Fenômenos de Transporte 
Universidade Federal do ABC 
CECS – Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais 
Aplicadas 
Prof. João Lameu da Silva Jr. 
joao.lameu@ufabc.edu.br 
3. Mecânica dos Fluidos 
Universidade Federal do ABC 
CECS – Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais 
Aplicadas 
Fenômenos de Transporte 
Prof. João Lameu da Silva Jr. 
joao.lameu@ufabc.edu.br 
Conteúdo da Aula 
• Objetivos 
• Balanço de energia mecânica 
• Equação de Bernoulli 
• Medição de vazão 
• Regimes de escoamento 
• Fator de atrito 
• Perda de carga por atrito e localizada 
• Escoamento em dutos 
• Redes de escoamento 
 
 
3 
Equação de Bernoulli (Escoamento Invíscido ou 
Ideal) 
Universidade Federal do ABC 
CECS – Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais 
Aplicadas 
Equação de Bernoulli 
• A equação de Bernoulli é uma relação aproximada entre pressão, 
velocidade e elevação e é válida em regiões de escoamento 
incompreensível e estacionário, onde as forças de atrito resultantes são 
desprezíveis. 
 
 
 
 
• Apesar de sua simplicidade, esta provou ser uma ferramenta muito 
poderosa na mecânica dos fluídos. 
 
5 
• A principal aproximação na dedução das equações de Bernoulli é o 
que os efeitos viscosos são desprezivelmente pequenos quando 
comparados aos efeitos da inércia, da gravidade e da pressão. 
• Como todos os fluidos têm viscosidade (não existe um “fluido não 
viscoso”), essa aproximação não é valida para o todo de um campo de 
escoamento de interesse prático. 
• Entretanto, a aproximação é razoável em determinadas regiões de 
muitos escoamentos de caráter prático. Estas regiões são 
denominadas Invíscidas. 
 
Equação de Bernoulli 
6 
• Partindo do Balanço de Energia Mecânica, aplicando entre dois pontos 
onde não há: 
1. Troca de energia por meio de trabalho 
2. Forças de atrito viscoso desprezíveis 
 
Equação de Bernoulli 
7 
 2
2
B T L
VP
z h h h
g g



    
Consideração 1 
α = 1 (escoamento sem perfil/unidimensional) 
Consideração 2 
• Portanto: 
 
 
 
 
 
• Isto é, a soma das energias mecânicas (aqui escritas na forma de carga) 
se conserva ao longo de uma linha de corrente, por onde os efeitos de 
compressibilidade e de atrito são desprezíveis, e também não há 
interação de trabalho. 
 
Equação de Bernoulli 
8 
2
constante
2
P V
z
g g
 
   
2 2
1 1 2 2
1 2 constante
2 2
P V P V
z z
g g g g 
     
• Portanto: 
 
 
 
 
 
• Se multiplicarmos a equação acima por g, obtemos a Equação de 
Bernoulli em termos de energia específica (no SI em m2/s2): 
Equação de Bernoulli 
9 
2
constante
2
P V
z
g g
 
   
2 2
1 1 2 2
1 2 constante
2 2
P V P V
z z
g g g g 
     
2 2
1 1 2 2
1 2 constante
2 2
P V P V
gz gz
 
     
 
 
 
“A soma das energias de escoamento, cinética e potencial, fornece 
a Energia Mecânica total (Emec) de um elemento fluido, que é 
constante durante um escoamento estacionário quando os efeitos 
da compreensibilidade e do atrito são desprezíveis” 
Assim, as energias cinética e potencial do fluido podem ser convertidas 
em energia de escoamento (e vice-versa) durante o escoamento, 
causando variação da pressão. 
2
 (constante ao longo da linha de corrente)
2
mec
p V
g z E

  
Equação de Bernoulli 
1
0
 
• Em termos de pressão (N/m²): 
 
 
• A soma das pressões estática (termodinâmica), dinâmica e 
hidrostática (primeiro, segundo e terceiro termos da equação) é 
chamada de pressão total. Portanto, a equação de Bernoulli afirma 
que a pressão total ao longo de uma linha de corrente é constante, 
quando o atrito é desprezível. 
 
 
 
corrente de linha da longo ao cte
2
2
 totalPz
V
p 

Equação de Bernoulli 
1
1
 
• Limitações do uso da equação de Bernoulli 
 A equação de Bernoulli é uma das equações mais frequentemente 
utilizada e mais mal empregada da mecânica dos fluidos. 
 Sua versatilidade, simplicidade e facilidade de uso a tornam uma 
ferramenta muito valiosa para o uso em análise, mas os mesmos 
atributos também tornam muito tentadora a sua má utilização. 
 Portanto, é importante entender as restrições de sua aplicabilidade e 
observar as limitações de seu uso, como explicado a seguir: 
 
Equação de Bernoulli 
1
2
 
• Limitações do uso da equação de Bernoulli 
1. Escoamento estacionário: A primeira limitação da equação de 
Bernoulli é que ela se aplica somente a um escoamento estacionário. 
Portanto, ela não deve ser usada durante os períodos transientes de 
inicio e finalização de processos com escoamentos ou durante os 
períodos de modificação nas condições do escoamento. 
Equação de Bernoulli 
1
3
 
• Limitações do uso da equação de Bernoulli 
2. Escoamento com efeitos viscosos desprezíveis: 
Efeitos Viscosos 
Desprezíveis: 
Trechos curtos; 
Grandes seções 
transversais, 
especialmente em 
velocidade baixa; 
Longe de superfícies 
sólidas. 
Efeitos Viscosos 
Importantes: 
Regiões próximas a 
superfícies sólidas; 
Escoamento de fluidos 
com alta viscosidade (ex. 
óleos). 
Equação de Bernoulli 
14 
• Limitações do uso da equação de Bernoulli 
3. Nenhum trabalho de eixo: não se aplica a uma seção de escoamento 
envolvendo uma bomba, turbina, ventilador ou qualquer outra 
maquina ou propulsor, uma vez que tais dispositivos desenvolvem 
trocas de energia com as partículas do fluido. Entretanto, a equação 
de Bernoulli ainda pode ser aplicada a uma seção de escoamento 
antes ou depois da posição da máquina (considerando, obviamente, 
que outras restrições ao seu uso sejam satisfeitas). 
Equação de Bernoulli 
15 
• Limitações do uso da equação de Bernoulli 
4. Escoamento incompressível: condições em que a variação da massa 
específica é desprezível; 
 
5. Transferência de calor desprezível: A densidade de um gás é 
inversamente proporcional à temperatura e, portanto, a equação de 
Bernoulli não deve ser usada em seções de escoamento que 
envolvem variação significativa de temperatura, como seções de 
aquecimento ou resfriamento. 
Equação de Bernoulli 
16 
• Limitações do uso da equação de Bernoulli: 
 
Resumo das limitações de uso da Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 
Equação de Bernoulli 
17 
3.3. Encontre uma relação entre a velocidade de descarga do bocal V2, e 
a altura h da superfície livre do reservatório. Considere o escoamento 
permanente e sem atrito. O que implica um escoamento permanente em 
uma descarga de tanque? Em quais condições isto será válido? 
 
 
Exercício 
18 
DETERMINAR: V2 ? (em função de h) 
HIPÓTESES: Escoamento permanente, incompressível, sem atrito (ideal) 
ANÁLISE: A consideração de escoamento permanente em uma descarga 
implica que o nível h é constante. Isto é válido para tanques grandes, em 
que DT >> Ddescarga (diâmetro do tanque muito maior que o diâmetro da 
descarga). Consequentemente, isto implica que V1 ≈ 0 (velocidade da 
superfície livre é praticamente nula). 
Pelo balanço de massa podemos verificar a dependência das velocidades 
com a razão entre os diâmetros: 
 
Exercício 3.3 – Solução 
19 
DETERMINAR: V2 ? (em função de h) 
HIPÓTESES: Escoamento permanente, incompressível, sem atrito (ideal) 
ANÁLISE: 
 
Exercício 3.3 – Solução 
2
0
 
1 2
2
1 2
1
m m
A
V V
A


2
22
2 2
2
11 1
4
4
D
A D
DA D


 
   
 
Como: 
DETERMINAR: V2 ? (em função de h) 
HIPÓTESES: Escoamento permanente, incompressível, sem atrito (ideal) 
ANÁLISE: 
 
Exercício 3.3 – Solução 
21 
1 2
2
2
1 2
1
m m
D
V V
D

 
  
 
DETERMINAR: V2 ? (em função de h) 
HIPÓTESES: Escoamento permanente, incompressível, sem atrito (ideal) 
ANÁLISE: 
 
Exercício 3.3 – Solução 
22 
1 2
2
2
1 2
1
m m
D
V V
D

 
  
 
Note que D1 = DT >> D2 (descarga), 
Portanto o valor (D2/D1)
2 será cada 
vez menor com o aumento do 
diâmetro do tanque. 
Valormuito pequeno 
DETERMINAR: V2 ? (em função de h) 
HIPÓTESES: Escoamento permanente, incompressível, sem atrito (ideal) 
SOLUÇÃO: Se o escoamento é sem atrito, podemos aplicar a Eq. de 
Bernoulli entre os dois pontos, ou seja, estamos analisando uma 
partícula fluida que escoa da superfície livre do tanque em (1) para a 
descarga sem sofrer efeitos do 
atrito (por exemplo, seguindo a 
linha de corrente indicada) 
 
Exercício 3.3 – Solução 
2
3
 
DETERMINAR: V2 ? (em função de h) 
SOLUÇÃO: Aplicando a Eq. de Bernoulli entre 1 e 2: 
Exercício 3.3 – Solução 
24 
Ponto 1: 
1 0P 
(aberto para atmosfera) 
1 0V 
(Regime permanente, 
reservatório grande 
conforme analise anterior) 
1 1z z
DETERMINAR: V2 ? (em função de h) 
SOLUÇÃO: Aplicando a Eq. de Bernoulli entre 1 e 2: 
Exercício 3.3 – Solução 
25 
Ponto 1: 
1 0P 
1 0V 
Ponto 2: 
1 1z z
2 0P  (descarga para atmosfera) 
2 2V V
2 2z z
DETERMINAR: V2 ? (em função de h) 
SOLUÇÃO: Aplicando a Eq. de Bernoulli entre 1 e 2: 
Exercício 3.3 – Solução 
26 
Ponto 1: 
1 0P 
1 0V 
Ponto 2: 
1 1z z
2 0P 
2 2V V
2 2z z
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
P V P V
z z
g g g g 
    
DETERMINAR: V2 ? (em função de h) 
SOLUÇÃO: Aplicando a Eq. de Bernoulli entre 1 e 2: 
Exercício 3.3 – Solução 
27 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
P V P V
z z
g g g g 
    
2
2
1 2
2
V
z z h
g
  
A equação acima é conhecida por 
Equação de Torricelli 
2 2V gh
ANÁLISE FINAL: A equação de Torricelli fornece então a velocidade de 
descarga de um tanque aberto, desprezando os efeitos de atrito 
(escoamento ideal) 
 
 
No entanto, uma perda de carga local no orifício de descarga ocorre, e a 
velocidade real pode diferir da ideal predita por Torricelli, caso os efeitos 
sejam grandes. Desta forma, define o Coeficiente de Descarga, Cd, dado 
pela razão entre as velocidades real e ideal, sendo a primeira obtida 
experimentalmente para o tipo de orifício de descarga. 
Exercício 3.3 – Solução 
28 
2idealV gh Equação de Torricelli 
ANÁLISE FINAL: Coeficiente de descarga, Cd: 
 
 
 
Portanto, para determinar a velocidade real de descarga, tem-se: 
 
 
O coeficiente de descarga costuma variar entre 0,6-1,0, sendo o limite 
superior obtido em bocais de descarga ideais, bem projetados com 
cantos arredondados. Menores valores são obtidos em orifícios com 
cantos vivos. 
 
 
 
Exercício 3.3 – Solução 
29 
2real dV C gh
real
d
ideal
V
C
V

0,6 1,0dC 
Usualmente: 
Referências 
30 
• ÇENGEL, Y.A., CIMBALA, J.M., Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações, 
São Paulo: McGraw-Hill Interamericana do Brasil, Ltda, 2007. 
• MUNSON, B.R. Fundamentos da mecânica dos fluidos. São Paulo, SP: Blücher, 
2004. 
• WHITE, F.M. Mecânica dos Fluidos. 6. ed. Porto Alegre, RS: AMGH, 2011.