PPT - Sistemas Estruturais de Concreto 3 r03

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Sistemas Estruturais de Concreto
Laje
Objetivo da Aula
•Compreender o dimensionamento das lajes maciças;
•Entender a forma de engastamento das lajes nas vigas;
•Analisar a forma de interação entre lajes conjugadas e seu
dimensionamento.
Base teórica da aula para estudo:
Livro –Concreto armado, eu te amo, vol. 1 p. 132 a 139; 143 
a 165; 173 a 175; 
196 a 206
São estruturas planas de espessura pequena e normalmente
quadradas ou retangulares.
As lajes suportam as cargas verticais da edificação, como: peso
de pessoas, móveis, materiais, acabamento, peso próprio, entre
outros.
Essas cargas são transmitidas às vigas.
Laje
Normalmente as lajes maciças de concreto armado são
concretadas junto com as vigas que as sustentam.
Para calculo e dimensionamento, são consideradas como
simplesmente apoiadas nas vigas.
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Laje
O processo de dimensionamento da laje é:
- Determinar a espessura;
- Determinar a armadura;
- Determinar armadura de contorno.
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
A laje trabalha de forma semelhante a uma viga, que ao sofrer
um carregamento, sofrerá momento fletor com maior
intensidade no seu vão.
Ou seja, onde houver maior momento, é onde deverá ser
colocada a armação para resistir aos esforços de tração.
A armação de contorno tem a finalidade de evitar fissuração das
bordas da laje na face superior.
Laje
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Na situação de lajes conjugadas, mesmo desconsiderando o
engastamento com a viga, as bordas da laje não possuem a
liberdade de “girar”, pois há a face da outra laje impedindo seu
movimento.
Laje
Na ilustração, há uma
situação hipotética em que as
lajes L1 e L2 são engastadas
uma na outra.
Então no apoio central, onde
elas se unem, há mudança no
diagrama das forças atuantes.
As lajes trabalham juntas.
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Para a situação hipotética
ilustrada, as lajes não são
engastadas uma na outra, o que
na realidade não acontece em
lajes conjugadas.
Elas, no apoio, trabalham de
forma separada.
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
As lajes, nessa situação, são engastadas em si no ponto de apoio
e têm a as extremidades livres.
Assim, o diagrama de momentos
e o esquema dotado é:
Se as lajes tiverem diferença de
nível, não serão consideradas
engastadas.
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
A espessura mínima para lajes maciças é dada pela NBR 6118.
- Laje de cobertura, sem balanço - 5 cm;
- Laje de piso ou cobertura em balanço - 7 cm;
- Laje que suporta veículo até 30kN - 10 cm;
- Laje que suporta veículos acima de 30kN - 12 cm
Laje
As lajes podem ser dividias em dois tipos em função da sua
geometria. Quando uma de suas dimensões forma maior que
duas vezes a outra dimensão e caso não seja.
Assim as lajes com uma das dimensões maior que o dobro da
outro, ela é armada em só uma direção.
No caso das medidas dos lados não divergirem muito, as lajes
são armadas nas duas direções, pois há momento atuando nos
dois eixos da peça estrutural.
Laje
Veja o esquema dos dois casos:
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
As lajes armadas em uma só direção são consideradas como
vidas paralelas para o dimensionamento da área de aço.
Momento para laje isolada:
Momento para laje engastada:
Momento para laje biengastada:
𝑀 = 𝑞.
𝐿2
8
𝑀 = 𝑞.
𝐿2
14,22
𝑋 = −𝑞.
𝐿2
8
𝑀 = 𝑞.
𝐿2
24
𝑋 = −𝑞.
𝐿2
12
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
As lajes armadas em duas direções, ou armadas em cruz, são
adotadas as tabelas de Barës-Czerny.
Nesse método as lajes são consideradas como uma malha de
vigas que se cruzam perpendicularmente. Ou seja, na direção do
eixo X e Y.
Assim, precisam ser calculados os momentos em X e Y, bem
como as armações.
A condição do engastamento também deve ser considerada.
Laje
Como as lajes não são vigas independentes que se cruzam, é
preciso aplicar coeficientes que levam em consideração essa
interação.
O cálculo do momento é realizado com o uso das tabelas Barës-
Czerny para cada situação de engastamento.
Reação de apoio nas vigas:
Flecha:
𝑀𝑥 = 𝑞.
𝑙𝑥
2
𝑚𝑥
𝑀𝑦 = 𝑞.
𝑙𝑦
2
𝑚𝑦
𝑋𝑥 =
𝑞. 𝑙𝑥
2
𝑛𝑥
𝑋𝑦 =
𝑞. 𝑙𝑦
2
𝑛𝑦
𝑅 = 𝜐. 𝑞. 𝑙𝑥
𝑓 =
𝑞. 𝑙𝑥
4
𝐸𝑐 . ℎ
3. 𝜔
Laje
Os coeficientes my, mx, ny, nx, ω e υ são obtidos da tabelas
conforme a situação de engastamento das lajes:
Laje sem engastamento:
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Laje engastada em um lado.
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Laje com duas extremidades engastadas.
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Laje com todas as extremidade engastadas.
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Laje com apenas um dos lados livre.
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
O dimensionamento propriamente dito da laje começa pela
determinação da sua altura: laje/laje em balanço/laje de escada.
ℎ𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 =
𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
40
ℎ𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 =
𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
15
ℎ𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 =
𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
30
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Dado o momento fletor máximo no vão da laje e sua espessura,
é possível determinar a área de aço necessária.
Para isso, calcula-se o fator K6 da tabela Barës-Czerny:
Verifica-se o valor K3 na tabela e o valor da área de aço
necessária é:
𝐾6 = 10
5.
𝑏. 𝑑2
𝑀
𝐴𝑠 =
𝐾3
10
.
𝑀
𝑑
Laje
Tabela com valores
de K:
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
O dimensionamento das lajes é realizado considerando um
metro de largura. Ou seja, encontra-se a área de aço da laje por
metro.
Assim, a tabela seguinte auxilia na determinação da bitola do
aço e espaçamento.
Laje
Laje
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Exemplo (p. 149 livro “Concreto armado eu te amo” vol1)
Laje 4,5m x 3,0m
carga q = 12 kN/m²
Laje
ℎ𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 =
𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
40
=
300
40
= 7,5 𝑐𝑚 − 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 8,0𝑐𝑚
𝜀 =
𝑙𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
=
4,5
3,0
= 1,5
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Momentos:
Reações nas vigas: Flecha:
Laje
𝑀𝑥 = 𝑞.
𝑙𝑥
2
𝑚𝑥
= 12.
32
19,8
= 5,45𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑦 = 𝑞.
𝑙𝑦
2
𝑚𝑦
= 12.
4,52
55,6
= 4,37𝑘𝑁𝑚
𝑋𝑥 =
𝑞. 𝑙𝑥
2
𝑛𝑥
=
12. 32
9
= 12𝑘𝑁𝑚
𝑅 = 𝜐. 𝑞. 𝑙𝑥 = 0,183.12.3 = 6,59𝑘𝑁/𝑚
𝑓 =
𝑞. 𝑙𝑥
4
𝐸𝑐 . ℎ
3. 𝜔
=
12. 32
21287000 . 0,083 . 19,558𝑅 = 𝜐. 𝑞. 𝑙𝑥 = 0,479.12.3 = 17,24𝑘𝑁/𝑚
𝑅 = 𝜐. 𝑞. 𝑙𝑥 = 0,277.12.3 = 9,97𝑘𝑁/𝑚 𝑓 = 0,456 𝑐𝑚
Área de aço: considerar cobrimento da armadura 1 cm
Com o valor de K6, verificar na tabela o valor de K3= 0,346.
Verificação da bitola e espaçamento da armação na tabela:
Laje
𝐾6 = 10
5.
𝑏.𝑑2
𝑀
= 105.
1 .0,072
5,45
= 89,91 𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 91,0 (𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎)
𝐴𝑠 =
𝐾3
10
.
𝑀
𝑑
=
0,346
10
.
5,45
0,07
= 2,69 𝑐𝑚/𝑚²
Adaptado de: Botelho e Marchetti (2013)
Até este momento da aula já foi exposto:
- Tensões atuantes nas lajes;
- Processo de dimensionamento de lajes;
- Lajes armadas em uma direção.
- Lajes armadas em duas direções;
- Lajes isoladas;
- Lajes contíguas;
- Cálculo de reações de apoio nas vigas;
- Cálculo de momentos fletores;
- Cálculo de flecha em laje;
- Cálculo da armação da laje;
- Determinação da bitola e espaçamento do aço.
Revisão 
Prof. Msc. Hernani Tabarelli Matias
Conteúdo elaborado por:
Obrigado!
Referências
BOTELHO, Manoel Henrique Campos; MARCHETTI, Osvaldemar. Concreto
armado, eu te amo, vol. 1 / 7ª ed. revista segundo a nova norma de concreto
armado NBR 6118/2007. São Paulo: Blucher, 2013.