Apostila-Pedro-Paulo

Prévia do material em texto

ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
i
 
 
Sumário 
 
1. Introdução 1.1 
 
2. Conceitos Básicos de Estabilidade 2.1 
 2.1 Análise do Comportamento do Sistema 2.1 
 2.2 Estabilidade dos Sistemas de Potência 2.2 
 2.2.1 Estudo de Estabilidade Angular do Rotor 2.2 
 2.2.2 Estudo de Estabilidade de Tensão 2.3 
 2.2.3 Estudo de Estabilidade de Longo prazo 2.5 
 2.3 Aspectos das Classificações dos Estudos de Estabilidade 2.5 
 2.4 Métodos de Análise da Estabilidade 2.6 
 2.4.1 Equações Lineares 2.7 
 2.4.2 Equações Não-Lineares 2.8 
 
3. Modelos Básicos dos Elementos Componentes 3.1 
 3.1 Geradores 3.1 
 3.2 Compensadores Síncronos 3.2 
 3.3 Cargas 3.3 
 3.3.1 Modelo Exponencial 3.5 
 3.3.2 Modelo Polinomial 3.6 
 3.4 Reatores em Derivação ou Shunt 3.6 
 3.5 Capacitores em Derivação ou Shunt 3.8 
 3.6 Compensadores Estáticos 3.9 
 3.7 Linhas de Transmissão 3.11 
 3.8 Transformadores 3.12 
 3.9 Capacitores Série 3.14 
 3.10 Reatores Série 3.15 
 3.11 Diagramas Unifilares 3.15 
 
4. Equação de Oscilação da Máquina Síncrona 4.1 
 4.1 Equação de Oscilação 4.1 
 4.1.1 Equações Básicas 4.1 
 4.1.2 Equações do Rotor da Máquina Síncrona 4.2 
 4.1.3 Referência Angular 4.3 
 4.1.4 Definição da Constante de Inércia (M) 4.5 
 4.1.5 Grandezas Elétricas 4.6 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
ii
 
 4.1.6 Normalização das Equações 4.8 
 4.1.7 Definição da Constante de Tempo de Inércia (H) 4.9 
 4.2 Equações de Estado 4.11 
 4.3 Influência dos Amortecimentos Mecânicos 4.11 
 4.4 Cálculo da Constante de Tempo de Inércia 4.12 
 
5. Modelos da Máquina Síncrona em Regime Permanente 5.1 
 5.1 Representação da Máquina Síncrona de Pólos Lisos 5.1 
 5.1.1 Circuito Elétrico Equivalente da Máquina de Pólos Lisos 5.2 
 5.1.2 Potência Elétrica Fornecida pela Máquina Síncrona de Pólos Lisos 5.4 
 5.1.3 Característica Potência-Ângulo da Máquina de Pólos Lisos 5.7 
 5.1.4 Coeficiente de Potência Sincronizante – Máquina de Pólos Lisos 5.8 
 5.1.5 Equações de Estado da Máquina de Pólos Lisos 5.10 
 5.1.6 Exemplo de Aplicação da Máquina de Pólos Lisos 5.11 
 5.2 Representação da Máquina Síncrona de Pólos Salientes 5.13 
 5.2.1 Circuito Elétrico Equivalente da Máquina de Pólos Salientes 5.13 
 5.2.2 Potência Elétrica Fornecida pela Máq. Síncrona de Pólos Salientes 5.16 
 5.2.3 Característica Potência-Ângulo da Máquina de Pólos Salientes 5.19 
 5.2.4 Coeficiente de Potência Sincronizante – Máquina de Pólos Salientes 5.20 
 5.2.5 Equações de Estado da Máquina de Pólos Salientes 5.20 
 5.2.6 Exemplo de Aplicação da Máquina de Pólos Salientes 5.21 
 
6. Operação de um Sistema Radial em Regime Permanente 6.1 
 6.1 Sistema Radial e Seus Componentes 6.1 
 6.2 Representação do Sistema Radial com Máquina de Pólos Lisos 6.4 
 6.2.1 Circuito Elétrico Equivalente 6.4 
 6.2.2 Potência Fornecida pela Máquina Síncrona 6.5 
 6.2.3 Característica Potência – Ângulo 6.5 
 6.2.4 Coeficiente de Potência Sincronizante 6.6 
 6.2.5 Equações de Estado 6.6 
 6.3 Representação do Sistema Radial com Máquina de Pólos Salientes 6.7 
 6.3.1 Circuito Elétrico Equivalente 6.7 
 6.3.2 Potência Fornecida pela Máquina Síncrona 6.8 
 6.3.3 Característica Potência – Ângulo 6.8 
 6.3.4 Coeficiente de Potência Sincronizante 6.8 
 6.3.5 Equações de Estado 6.9 
 6.4 Exemplo de Aplicação 6.9 
 6.5 Exercício Proposto 6.13 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
iii
 
7. Estudo de Estabilidade Angular de Regime Permanente – Sistema Radial 7.1 
 7.1 Equações de Estado Linearizadas 7.1 
 7.2 Aplicação da Técnica de Autovalores e Autovetores 7.5 
 7.3 Freqüência Natural do Sistema Radial 7.5 
 7.4 Tipos de Resposta 7.7 
 7.4.1 Caso de Resposta Superamortecida 7.8 
 7.4.2 Caso de Resposta Amortecida Crítica 7.9 
 7.4.3 Caso de Resposta Subamortecida 7.10 
 7.5 Estabilidade Angular de Regime Permanente 7.12 
 7.6 Técnicas com a Transformada de Laplace 7.14 
 7.6.1 Critério de Estabilidade de Routh/Hurwitz 7.16 
 7.6.2 Diagramas de Blocos 7.16 
 7.7 Exemplo de Aplicação 7.17 
 7.8 Exercício Proposto 7.25 
 
8. Estudo de Estabilidade Angular Transitória – Sistema Radial 8.1 
 8.1 Características Básicas 8.1 
 8.1.1 Características Básicas da Máquina Síncrona em Regime Transitório 8.2 
 8.2 Sistema Radial e Seus Componentes 8.9 
 8.2.1 Condição Pré-Defeito 8.11 
 8.2.2 Condição Durante o Defeito 8.15 
 8.2.3 Condição Pós-Defeito 8.17 
 8.2.4 Simulação da Perturbação 8.20 
 8.3 Critério da Igualdade de Áreas 8.21 
 8.3.1 Aplicações 8.24 
 
9. Sistema de Potência Multimáquina 9.1 
 9.1 Introdução 9.1 
 9.2 Simplificações 9.1 
 9.3 Representação Matemática 9.2 
 9.3.1 Equação de Oscilação das Máquinas 9.5 
 9.3.2 Modelo de Estado do Sistema 9.6 
 
10. Estudo de Estabilidade Angular de Reg. Permanente – Sist. Multimáquina 10.1 
 10.1 Representação Matemática Linearizada 10.1 
 10.1.1 Linearização da Equação da Potência Elétrica 10.2 
 10.1.2 Linearização da Primeira Equação de Estado 10.3 
 10.1.2 Linearização da Segunda Equação de Estado 10.3 
 10.2 Exemplo de Aplicação 10.4 
Jeziel
Highlight
Jeziel
Highlight
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
iv
 
11. Estudo de Estabilidade Angular Transitória – Sistema Multimáquina 11.1 
 11.1 Simplificações 11.2 
 11.2 Procedimentos dos Estudos 11.2 
 11.3 Exemplo de Aplicação 11.4 
 
12. Modelos das Máquinas Síncronas 12.1 
 12.1 Introdução 12.1 
 12.2 Representação Matemática da Máquina Síncrona 12.1 
 12.2.1 Considerações e Simplificações 12.2 
 12.2.2 Equações de Tensão 12.2 
 12.2.3 Transformação d-q-0 12.5 
 12.2.4 Representação das Equações em P.U. 12.7 
 12.2.5 Equações Adicionais 12.8 
 12.3 Modelos da Máquina Síncrona 12.10
 12.3.1 Modelo E’q 12.11
 12.3.2 Modelo E’q Constante 12.15
 12.3.3 Modelo de Dois Eixos 12.17
 12.4 Modelos Linearizados da Máquina Síncrona 12.22
 12.4.1 Modelo E’q 12.22
 12.4.2 Modelo E’q Constante 12.24
 12.4.3 Modelo de Dois Eixos 12.24
 12.4.4 Incorporação dos Sistemas de Excitação 12.26
 
13. Sistemas de Excitação e Reguladores de Tensão 13.1 
 13.1 Sistemas de Excitação 13.3 
 13.1.1 Tipos de Sistemas de Excitação 13.3 
 13.1.2 Sistemas de Excitação Rotativos 13.3 
 13.1.3 Sistemas de Excitação Estáticos 13.5 
 13.2 Reguladores de Tensão 13.7 
 13.3 Sinais Adicionais Estabilizantes (PSS) 13.8 
 13.4 Modelos Matemáticos Padronizados 13.9 
 13.4.1 Modelo IEEE Type DC1 13.9 
 13.4.2 Modelo IEEE Type AC1 13.10
 13.4.3 Modelo IEEE Type AC4 13.10
 13.4.4 Modelo IEEE Type ST1 13.11
 13.4.5 Modelo IEEE Type ST2 13.11
 13.4.6 Modelos da Compensação de Carga e do PSS 13.12
 
14. Turbinas Térmicas e Hidráulicas 14.1 
 14.1 Turbinas Térmicas a Vapor 14.1 
Jeziel
Highlight
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
v
 
 14.1.1 Configurações das Turbinas Térmicas 14.2 
 14.1.2 Configurações e Modelos Matemáticos 14.3 
 14.1.3 Nomenclatura e Valores Típicos 14.11
 14.2 Turbinas Térmicas a Gás 14.12
 14.2.1 Configurações das Turbinas a Gás 14.13
 14.2.2 Sistemas de Controle das Turbinas a Gás 14.16
 14.2.3 Modelos Matemáticos 14.17
 14.2.4 Características Dinâmicas das Turbinas a Gás 14.18
 14.3 Turbinas a Gás em Ciclo Combinado (TGCC) 14.19
 14.3.1 Dinâmica e Controle 14.21
 14.4 Turbinas Hidráulicas 14.22
 
15. Reguladores de Velocidade 15.1 
 15.1 Regulador Isócrono 15.1 
 15.2 Regulador com Queda de Velocidade 15.3 
 15.3 Regulador com Queda de Velocidade e Estatismo Transitório 15.4 
 15.4 Regulação Primária 15.6 
 15.4.1 Representação Matemática da Regulação Primária 15.7 
 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
1.1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
 
 
Introdução 
 
 
 
O presente módulo tem como objetivo apresentar as características básicas referentes aos estudosde 
estabilidade angular de sistemas elétricos de potência. Para tanto são apresentados inicialmente os 
conceitos, as classificações e os modelos matemáticos básicos, para a discussão do problema, 
passando em seguida para a consideração de exemplos típicos e simples, através de uma 
configuração radial com: máquina síncrona, sistema de transmissão, barramento infinito. 
Posteriormente considera-se o problema da estabilidade de sistemas de potência multimáquina e 
multibarra. A estabilidade angular destes sistemas é abordada através da divisão em dois tipos 
distintos de estudos: (a) de regime permanente, com a consideração de pequenos impactos e (b) de 
regime transitório, admitindo maiores perturbações. Em seguida são discutidos problemas mais 
específicos e complexos, como a representação matemática e os efeitos causados pelos tipos 
diversos de máquinas síncronas, sistemas de excitação, reguladores de tensão, PSS, turbinas e 
reguladores de velocidade. 
 
Os itens constantes do presente módulo são apresentados na seguinte ordem: 
 
• Capítulo 1 – Introdução: 
 Que corresponde à introdução geral do presente módulo; 
 
• Capítulo 2 – Conceitos Básicos de Estabilidade: 
Que apresenta os principais conceitos de estabilidade, bem como suas divisões e 
classificações; 
 
• Capítulo 3 – Modelos Básicos dos Elementos Componentes: 
 Onde são desenvolvidos alguns modelos básicos dos principais elementos 
 componentes de um sistema elétrico de potência, que são relevantes nos 
 estudos de estabilidade; 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
1.2
 
• Capítulo 4 – Equação de Oscilação da Máquina Síncrona: 
 Que apresenta o desenvolvimento geral da equação de oscilação da máquina 
 síncrona, bem como de suas respectivas equações de estado; 
 
• Capítulo 5 – Modelos da Máquina Síncrona em Regime Permanente: 
 Onde são representados modelos simplificados e exemplos de aplicação das 
máquinas síncronas de pólos lisos e de pólos salientes, na condição de operação 
em regime permanente; 
 
• Capítulo 6 – Operação de um Sistema Radial em Regime Permanente: 
Que tem como finalidade básica introduzir de forma simples o modelo 
matemático representativo de um sistema radial; 
 
• Capítulo 7 – Estudo de Estabilidade Angular de Regime Permanente – Sistema Radial: 
Que aborda o problema específico da análise da estabilidade angular de regime 
permanente de um sistema, introduzindo os conceitos básicos e as primeiras 
aplicações através de um sistema elétrico do tipo radial; 
 
• Capítulo 8 – Estudo de Estabilidade Angular Transitória – Sistema Radial: 
Que considera o importante problema da análise da estabilidade angular 
transitória, ilustrado através de um sistema radial. Metodologias de simulação no 
tempo e de aplicação do critério da igualdade de áreas são abordadas. 
 
• Capítulo 9 – Sistema de Potência Multimáquina: 
Que apresenta a modelagem matemática básica de um sistema elétrico de 
potência composto por diversos barramentos e várias máquinas síncronas; 
 
• Capítulo 10– Estudo de Estabilidade Angular de Regime Permanente – Sistema 
Multimáquina: 
Que analisa o problema da estabilidade angular de regime permanente de um 
sistema complexo, composto por vários barramentos e máquinas síncronas; 
 
• Capítulo 11– Estudo de Estabilidade Angular Transitória – Sistema Multimáquina: 
Que aborda o problema de análise da estabilidade angular transitória em um 
sistema multimáquina e multibarra. Um exemplo completo é desenvolvido para 
um sistema composto por 3 barramentos. 
 
• Capítulo 12– Modelos das Máquinas Síncronas: 
Que apresenta de forma sucinta a modelagem matemática das máquinas 
síncronas, destacando as características básicas dos modelos padronizados pelo 
IEEE. 
 
• Capítulo 13– Sistemas de Excitação e Reguladores de Tensão: 
Que considera os principais tipos de sistemas de excitação e reguladores de 
tensão, apresentando os respectivos modelos matemáticos básicos. Uma rápida 
introdução aos Estabilizadores de Sistemas de Potência (PSS) e às malhas de 
compensação de carga também é realizada. 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
1.3
 
• Capítulo 14– Turbinas Térmicas e Hidráulicas: 
Este capítulo apresenta as características operativas básicas e os modelos 
matemáticos simplificados de turbinas térmicas a vapor e a gás, operando em 
ciclo simples ou em ciclo combinado gás-vapor e de turbinas hidráulicas. 
 
• Capítulo 15– Reguladores de Velocidade: 
Que analisa as principais características operativas e os modelos matemáticos 
simplificados dos reguladores: isócrono; com queda e estatismo permanente; 
com queda e estatismo transitório. Apresenta também os fundamentos da 
Regulação Primária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
2.1
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 
 
 
Conceitos Básicos de 
Estabilidade 
 
 
 
Uma das características básicas que um sistema elétrico de potência deve ter é a de garantir o 
suprimento de energia às cargas, de forma confiável e ininterrupta. Estes fatos estão relacionados, 
nos dias de hoje, com o conceito de confiabilidade dos sistemas elétricos, que além da continuidade 
do fornecimento de energia, define condições mínimas para uma operação adequada, como os níveis 
do sinal de tensão, tanto em amplitude como em freqüência. 
 
Na verdade, a sofisticação dos equipamentos utilizados na indústria, nos aeroportos e sistemas de 
controle aéreo, nas empresas de telecomunicação, serviços bancários, hospitais, etc., tem reduzido 
muito a faixa de tolerância de variação da freqüência e da tensão. Por outro lado, a dependência cada 
vez maior da energia elétrica, por parte do homem, tem elevado de forma assustadora o consumo 
deste tipo de energia. Para atender toda esta demanda de forma confiável, com alto padrão de 
qualidade, são planejados, construídos e desenvolvidos, complexos sistemas elétricos interligados, 
alguns com dimensões continentais. 
 
Um dos grandes desafios destes vastos sistemas interligados, é que eles devem operar de forma 
adequada, mesmo na presença constante das variações de carga ao longo de uma jornada (impactos 
de carga), como na eventualidade de um distúrbio maior como: curto-circuito em transformadores e 
linhas de transmissão, saída de unidades geradoras, perda de grandes blocos de carga, etc. (impactos 
de perturbação). 
 
2.1 Análise do Comportamento do Sistema 
 
No sentido de avaliar o desempenho dos sistemas elétricos de potência diante dos diversos impactos 
de carga e perturbação, são desenvolvidos, dentre outros, estudos como: a análise de fluxo de 
potência, análise de contingência, estudo de curto-circuito, estudo de sobretensão, estudo de 
estabilidade, etc. Estas são, portanto, algumas das mais importantes ferramentas utilizadas pelos 
engenheiros e técnicos de sistemas de potência, nas áreas de: Planejamento da Expansão, 
Planejamento da Operação e Operação em Tempo Real. 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
2.2
 
Outro ponto importante, que não deve ser esquecido, é o da experiência pessoal de cada um destes 
técnicos e engenheiros, adquirida ao longo de anos e anos. Todo este conhecimento, armazenado nos 
cérebros humanos, é importantíssimo na definição, análise, avaliação e conclusão dos estudos. 
 
 
2.2 Estabilidade dos Sistemas de Potência 
 
Um dos estudos mais importantes realizado para os sistemas de potência interligados existentes na 
atualidade é o da avaliação da sua estabilidade. A estabilidade de um sistema de potência pode ser 
definida como sendo a capacidade que este sistema tem de se manter em um estado de equilíbrio, 
quando em condições operativas normais, e de alcançar um estado de equilíbrio viável após ter sido 
submetido a uma perturbação como: curto-circuito em um elemento importante, saída de operação 
de grandes blocos de carga ou de geração, etc. 
 
A estabilidade de um sistema elétricode potência é, na verdade, um problema único, global, onde 
devem ser considerados os efeitos de equipamentos como: geradores e seus dispositivos de controle 
e proteção, linhas de transmissão e seus elementos de compensação, proteção e controle, 
transformadores e seus respectivos controles de tap, cargas de tipos e características diversas, etc. 
Devem ser consideradas também: as localizações e tipos de inúmeras perturbações possíveis, a 
coordenação global e local dos sistemas de controle e proteção, os esquemas especiais de 
emergência, as flutuações da carga, etc. Com facilidade pode-se observar quão complexo seria um 
estudo com tal abrangência. No entanto, fatores como: a severidade dos impactos considerados, a 
natureza física da instabilidade resultante, o tempo de avaliação e as características dos elementos e 
processos envolvidos contribuem para uma possível divisão dos estudos em três classes distintas, ou 
seja: estabilidade angular do rotor; estabilidade de tensão e estabilidade de longo prazo ou de longo 
termo. Cada uma destas classes de estudo de estabilidade tem características e peculiaridades 
próprias, conforme descrição apresentada em seguida. 
 
 
2.2.1 Estudo de Estabilidade Angular do Rotor 
 
Este tipo de estudo de estabilidade, também denominado por estudo de estabilidade de ângulo, vem 
sendo realizado progressivamente desde 1920. Corresponde, portanto, ao estudo de estabilidade 
convencional, que avalia a habilidade do sistema de potência em manter suas unidades geradoras 
operando em condições de sincronismo. Estudos desta natureza consideram os efeitos das oscilações 
eletromecânicas inerentes ao sistema, analisando o comportamento existente entre as potências 
fornecidas pelos geradores e os deslocamentos angulares de seus rotores. 
 
As análises desta classe de estudos de estabilidade são estabelecidas, normalmente, através de dois 
tipos distintos de estudo: estabilidade angular de regime permanente ou para pequenos impactos e 
estabilidade angular transitória. Estes dois tipos de estudo podem ser tratados como subclasses do 
problema de estabilidade angular do rotor. Maiores detalhes são apresentados a seguir. 
 
 
a) Estudo de Estabilidade Angular de Regime Permanente 
 
Este é também chamado de estudo de estabilidade angular para pequenos impactos, ou ainda, 
estudo de estabilidade angular para pequenos sinais. De uma forma geral avalia a capacidade de 
manutenção do sincronismo das unidades geradoras do sistema de potência para as situações de 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
2.3
 
pequenos impactos, como variações normais de carga, por exemplo. Portanto, corresponde à análise 
da estabilidade do ponto de equilíbrio ou de operação. A natureza da resposta do sistema aos 
pequenos impactos depende de diversos fatores incluindo as condições operativas, a capacidade de 
transmissão e os sistemas de excitação das unidades geradoras. A instabilidade pode ocorrer de duas 
formas: (a) por falta de conjugado sincronizante e (b) por insuficiência de conjugado de 
amortecimento. 
 
Nos dias atuais, os problemas observados nos estudos de estabilidade angular de regime permanente 
são essencialmente associados à falta de amortecimento das oscilações, que pode ser causada por: 
(a) modos locais, (b) modos interáreas, (c) modos de controle e (d) modos torsionais. 
 
Neste tipo de estudo de estabilidade os impactos são considerados suficientemente pequenos, de tal 
forma que equações linearizadas podem ser utilizadas nas análises. 
 
 
b) Estudo de Estabilidade Angular Transitória 
 
O estudo de estabilidade angular transitória avalia a habilidade do sistema de potência em manter o 
sincronismo de suas unidades geradoras quando da ocorrência de impactos de perturbação como 
curtos-circuitos em elementos importantes e perdas de grandes blocos de geração, por exemplo. A 
natureza da resposta do sistema envolve amplas excursões angulares dos rotores das unidades 
geradoras e é influenciada pelas relações não-lineares existentes entre potência e ângulo. Fatores 
como condições iniciais operativas, e principalmente, tipos e localizações dos distúrbios influem na 
avaliação e definem este tipo de estudo de estabilidade. 
 
Em grandes sistemas interligados, a instabilidade ocorre normalmente de duas formas: (a) através de 
aceleração do rotor, com crescimento progressivo, ou monotônico, do deslocamento angular, sendo 
a causa fundamental a falta de conjugado sincronizante e (b) através de oscilações crescentes do 
rotor, causadas pela superposição de diversos modos de oscilação do sistema. 
 
Tipicamente os estudos de estabilidade angular transitória avaliam o comportamento do sistema para 
um período de tempo de 5 a 20 segundos após a ocorrência do impacto. Em função das grandes 
excursões observadas para as variáveis de estado, representativas do sistema, a análise da 
estabilidade transitória deve ser realizada através de equações não-lineares. 
 
 
2.2.2 Estudo de Estabilidade de Tensão 
 
O estudo de estabilidade de tensão é uma parte do estudo de estabilidade dos sistemas de potência 
que vem merecendo maiores atenções dos técnicos e especialistas nestes últimos anos. Esta classe de 
estudo de estabilidade está ligada a observação da habilidade do sistema de potência em manter um 
perfil de tensões adequado em todos os seus barramentos, tanto em condições normais, como em 
situações de distúrbio. Um sistema entra em um estado de instabilidade de tensão quando uma 
perturbação, elevação de carga, ou alteração na configuração, causa um contínuo e incontrolável 
declínio da tensão. Sendo substancialmente relacionado à indisponibilidade de suprimento de 
potência reativa, o fenômeno é caracterizado por uma redução progressiva na magnitude da tensão, 
iniciando de forma localizada e podendo então se expandir até mesmo por todo o sistema 
interligado, causando colapso na operação. O processo de instabilidade pode se manifestar de 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
2.4
 
diversas formas, dependendo das características das cargas e da dinâmica dos equipamentos de 
controle de tensão. 
 
De uma forma geral um estudo de estabilidade de tensão pode ser classificado em duas categorias: 
estudo de estabilidade de tensão de regime permanente ou para pequenos impactos e estudo de 
estabilidade de tensão para grandes impactos. Estas duas subclasses, que consideram tipos distintos 
de perturbações, são apresentadas a seguir. 
 
 
a) Estudo de Estabilidade de Tensão de Regime Permanente 
 
Este tipo de estudo é também denominado por estudo de estabilidade de tensão para pequenos 
impactos, ou ainda, estudo de estabilidade de tensão para pequenos sinais. Ele avalia a habilidade 
do sistema de potência em manter um perfil adequado de tensões após ter sido submetido a um 
pequeno impacto, como uma variação normal de carga, por exemplo. A natureza da resposta do 
sistema a estes pequenos impactos depende de fatores como: a condição operativa, as características 
das cargas e dos dispositivos de controle de tensão. Assim sendo, pode-se dizer que este tipo de 
estudo de estabilidade tem como função principal determinar as características próprias (ou 
inerentes) do sistema, quanto à relação entre tensões e potências reativas. A instabilidade se 
manifesta principalmente pela insuficiência de potência reativa, o que define uma redução 
progressiva nas magnitudes das tensões. 
 
Neste tipo de estudo de estabilidade os impactos são admitidos como sendo suficientemente 
pequenos, de tal forma que permitam o emprego de equações algébrico-diferenciais linearizadas nas 
análises. 
 
Com o auxílio dos estudos de estabilidade de tensão de regime permanente são esperadas respostas 
às seguintes questões: (a) o sistema de potência é estável para a condição de equilíbrio considerada?; 
(b) a que distância está o atual ponto de operação da condição de instabilidade de tensão? (depende 
de condições não-lineares); e (c) onde e porque ocorre a instabilidade de tensão?(mecanismos da 
instabilidade). 
 
 
b) Estudo de Estabilidade de Tensão para Grandes Impactos 
 
Este tipo de estudo de estabilidade determina a capacidade do sistema de potência de controlar as 
tensões de seus barramentos após a ocorrência de uma grande perturbação, como desligamento de 
elementos importantes, curtos-circuitos em linhas de transmissão, alteração rápida e substancial no 
equilíbrio carga/geração, etc. Pode-se dizer que o sistema apresenta estabilidade, nestas condições, 
se após o distúrbio seus controladores levarem as tensões de todas as barras a uma condição de 
equilíbrio adequada. Influem neste comportamento: a condição operativa do sistema, a natureza da 
perturbação considerada, as características das cargas, a dinâmica dos sistemas de controle e os 
elementos de proteção do sistema. 
 
Os estudos de estabilidade de tensão para grandes impactos requerem a avaliação do desempenho 
dinâmico não-linear do sistema de potência em um período de tempo suficiente, que possa até 
considerar os efeitos de elementos como, transformadores com taps variáveis, cargas termostáticas, 
limitadores das correntes de campo dos geradores, esquemas de corte de carga por subtensão, etc. 
Estes períodos de tempo podem se estender desde alguns segundos até dezenas de minutos. 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
2.5
 
Em função das grandes excursões verificadas para as variáveis representativas do sistema, a análise 
da estabilidade de tensão para grandes impactos deve ser realizada com o auxílio de equações 
algébrico-diferenciais não-lineares. 
 
 
2.2.3 Estudo de Estabilidade de Longo Prazo 
 
Esta classe de estudo de estabilidade foi definida recentemente (últimos 20 anos) com o intuito de 
analisar os efeitos dos impactos mais severos, que causam excursões de tensão, freqüência e fluxo de 
potência, de grandes amplitudes e de duração longa o suficiente para requerer a ação de sistemas de 
dinâmica mais lenta, sistemas de controle e dispositivos de proteção, não usados normalmente nos 
estudos de estabilidade transitória. 
 
Alguns autores preferem definir o estudo de estabilidade de longo prazo como sendo uma classe de 
estudo de estabilidade que considera essencialmente a dinâmica lenta de determinados elementos, 
assumindo que a fase transitória inicial tenha alcançado um amortecimento suficiente, capaz de 
permitir a consideração de que o sistema esteja operando praticamente em condições de regime 
permanente, quando do início das avaliações de longo prazo. Esta definição faz com que seja 
necessária a consideração de elementos com respostas da ordem de vários segundos a muitos 
minutos, como: cargas termostáticas, transformadores com taps ajustáveis, limitadores de correntes 
nos geradores, turbinas, controle automático de geração, etc. Os estudos assim definidos podem ser 
realizados através de equações linearizadas. 
 
Outros autores preferem definir um estudo de estabilidade de médio prazo ou estudo de estabilidade 
de médio termo, que considera tanto elementos de dinâmica rápida, com atuações a partir de 10 
segundos do início da perturbação, quanto elementos de dinâmica lenta, com atuações que se 
estendem até alguns poucos minutos. Assim sendo, resta para o então estudo de estabilidade de 
longo prazo a consideração dos efeitos dos elementos de dinâmica mais lenta, com tempos de 
atuação que vão de dezenas de segundos até vários minutos. 
 
 
2.3 Aspectos das Classificações dos Estudos de Estabilidade 
 
De acordo com o que foi exposto pode-se observar que existem controvérsias na definição dos 
estudos de estabilidade de longos períodos, além de haver, também, muitas superposições entre as 
diversas classes e subclasses de estudos de estabilidade. De uma forma geral pode-se dizer que os 
problemas de estabilidade de médio e longo prazos estão associados a respostas inadequadas de 
elementos, a erros nas coordenações de controle e proteção e a insuficiência de reservas de potências 
ativa e reativa. O tempo de análise deve ser definido em função dos elementos considerados nos 
estudos e não o contrário. 
 
Por outro lado, deve-se ter sempre em mente que a estabilidade de um sistema de potência é um 
problema único que envolve tanto os deslocamentos angulares dos rotores das unidades geradoras, 
quanto as magnitudes das tensões das barras. A avaliação da efetividade de representação da 
dinâmica de cada um dos elementos do sistema de potência permite a simplificação e a definição de 
casos específicos de estudo, como os de avaliação das estabilidades de tensão e de ângulo do rotor. 
 
Existem diferenças básicas entre as instabilidades de tensão e de ângulo do rotor. A primeira é 
geralmente associada à insuficiência do suprimento de potência reativa nas áreas de consumo, 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
2.6
 
enquanto que a segunda está ligada à insuficiência de conjugado sincronizante e/ou conjugado de 
amortecimento entre as unidades geradoras do sistema. Estes fatos permitem definir a estabilidade 
de tensão como a estabilidade das cargas e a estabilidade angular como a estabilidade dos geradores. 
Esta distinção, entretanto, nem sempre é tão evidente. Existem situações, por exemplo, em que a 
queda de tensão que segue uma instabilidade angular tem um comportamento semelhante ao do 
colapso que sucede à instabilidade de tensão. Muitas vezes vem à tona a seguinte questão: quem 
causou quem?, ou seja, a instabilidade de tensão surgiu por causa da ocorrência de uma instabilidade 
angular ou vice-versa? 
 
Portanto, há em determinados casos dificuldade em separar os tipos de instabilidade. Na verdade, 
uma separação completa é mesmo impossível. O que se observa na prática, entretanto, é que 
enquanto algumas variáveis sofrem grandes variações, outras apresentam alterações insignificantes, 
para determinadas perturbações no sistema de potência. Assim sendo, podem ser destacadas duas 
situações distintas: (a) ocorrência de grandes alterações nas magnitudes das tensões das barras de um 
sistema com pequenas modificações na freqüência e nos deslocamentos angulares relativos das 
unidades geradoras; (b) ocorrência de grandes variações de freqüência com alterações relativamente 
insignificantes das tensões. A primeira situação corresponde claramente ao problema de estabilidade 
de tensão, enquanto que a segunda está associada ao problema de estabilidade angular. 
 
A separação entre os dois tipos de estudo de estabilidade permite simplificar as análises, facilita a 
representação dos elementos componentes envolvidos e possibilita um melhor entendimento dos 
mecanismos. Estes motivos são suficientemente atraentes para que se procure, na medida do 
possível, dissociar os dois fenômenos. 
 
As maiores interações entre as instabilidades de ângulo e de tensão ocorrem nas condições 
associadas aos estudos de estabilidade transitória, pois os elementos influentes são praticamente os 
mesmos nos dois casos. Nos estudos de médio e longo prazos, as interações apresentam-se menos 
significativas. Deve-se destacar, entretanto, o comportamento de determinados elementos, como os 
limitadores de corrente de campo dos geradores, por exemplo, que influem significativamente nos 
dois tipos de instabilidade. 
 
Numa tentativa de se estabelecer uma distinção pode-se dizer que, se há uma redução acentuada de 
tensão em um ponto do sistema, longe das cargas, então ocorre um problema de estabilidade 
angular. Se por outro lado, a redução de tensão aparece em áreas de consumo, ou em suas 
vizinhanças, provavelmente é um problema de estabilidade de tensão. 
 
 
2.4 Métodos de Análise da Estabilidade 
 
Através da observação de um sistema de potência interligado de grande porte, com suas inúmeras 
unidades geradoras, linhas de transmissão e cargas, e considerando a complexidade das 
conseqüências de uma perturbação, pode-se pensar na impossibilidade prática de se realizar uma 
análise efetiva. Entretanto, as constantes de tempo do fenômeno podem ser substancialmente 
diferentes,permitindo a concentração em elementos específicos, que afetam o transitório e a área em 
estudo. 
 
O primeiro passo em um estudo de estabilidade é o da determinação de um modelo matemático para 
o sistema de potência e seus componentes. No caso particular dos estudos de estabilidade angular 
devem ser incluídos no modelo todos os elementos que influem de forma significativa na aceleração 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
2.7
 
(ou desaceleração) dos rotores das máquinas. Já nos estudos de estabilidade de tensão devem ser 
considerados aqueles elementos que afetam as magnitudes das tensões das barras. A complexidade 
do modelo depende do tipo de transitório e do sistema a ser analisado. 
 
No presente trabalho é dada maior ênfase à análise da estabilidade angular dos sistemas de potência. 
Assim sendo, deve-se ter em mãos uma representação matemática que considere todos os 
componentes do sistema que causam alterações nos conjugados elétrico e mecânico, ou seja: 
 
• a configuração do sistema, antes, durante e depois de uma perturbação; 
• as cargas e suas características; 
• os parâmetros das máquinas síncronas; 
• os sistemas de excitação e reguladores de tensão das máquinas síncronas; 
• as turbinas e os reguladores de velocidade; 
• os sistemas de proteção; 
• os controles suplementares (CAG, PSS); 
• outros componentes que influem nos conjugados elétrico e mecânico. 
 
Os ingredientes básicos para os estudos de estabilidade angular são: o conhecimento das condições 
iniciais de operação e das perturbações consideradas, e uma descrição matemática adequada dos 
componentes do sistema que influem no comportamento das máquinas síncronas. O número de 
elementos componentes incluídos nos estudos e a complexidade dos modelos matemáticos 
dependem de diversos fatores. Em geral, entretanto, são utilizadas equações algébrico-diferenciais 
(lineares ou não) para representar os vários elementos. Os estudos do comportamento 
eletromecânico dos sistemas podem ser definidos em função do tipo destas equações. 
 
 
2.4.1 Equações Lineares 
 
Se o conjunto de equações representativas do sistema de potência e de seus elementos for linear (ou 
obtido através de um processo de linearização), o que acontece no caso dos estudos de estabilidade 
angular de regime permanente, então podem ser utilizadas as técnicas de análise de sistemas lineares 
para estudar o comportamento dinâmico. A forma mais comum é de representar os componentes por 
meio de funções de transferência, desenvolvendo diagramas de blocos. A performance do sistema 
pode então ser avaliada através dos seguintes métodos: (a) lugar das raízes; (b) resposta de 
freqüência (critério de Nyquist) e (c) critério de Routh/Hurwitz, dentre outros. Estes métodos são 
aplicados geralmente em sistemas de pequeno porte. 
 
Para sistemas elétricos interligados multimáquina e multibarra é utilizado normalmente o modelo de 
espaço-estado, obtido através do conjunto de equações algébrico-diferenciais lineares 
representativas do sistema. Neste caso a estabilidade angular pode ser avaliada com o auxílio das 
técnicas de análise por autovalores e autovetores (análise modal). 
 
O conjunto de equações algébrico-diferenciais lineares do sistema pode ser representado, de forma 
simplificada, de acordo com as expressões (2.1) e (2.2). 
 
 ∆x = A.∆x + B.∆u (2.1) 
e 
 ∆y = C.∆x + D.∆u (2.2) 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
2.8
 
onde: 
 ∆x = vetor de estado, compreendendo às variáveis de estado do sistema 
 ∆u = vetor de controle, compreendendo às variáveis de entrada 
 ∆y = vetor de resposta, compreendendo às variáveis de saída 
 A = matriz característica ou matriz de distribuição de estados 
 B = matriz de distribuição de controle ou matriz de entrada 
 C = matriz de resposta ou matriz se saída 
 D = matriz de transferência direta da entrada na resposta 
 
No caso de aplicação da técnica de autovalores e autovetores, a estabilidade angular de regime 
permanente é avaliada através da matriz característica do sistema (A). 
 
 
2.4.2 Equações Não-Lineares 
 
Para o estudo da estabilidade angular transitória é utilizado normalmente um conjunto de equações 
algébrico-diferenciais não-lineares, que apresenta a seguinte forma: 
 
 x = f (x,u,t) (2.3) 
 0 = g (x,u,t) (2.4) 
onde: 
 f = vetor de funções não-lineares, associado às equações diferenciais 
 g = vetor de funções não-lineares, associado às equações algébricas 
 
A determinação do comportamento dinâmico de um sistema descrito pelas expressões (2.3) e (2.4) é 
bem mais complexa do que a de um sistema representado pelas equações (2.1) e (2.2). As soluções 
no domínio do tempo das equações algébrico-diferenciais não-lineares são obtidas usualmente por 
meio de métodos numéricos iterativos desenvolvidos para aplicações em computadores digitais. Este 
procedimento é freqüentemente empregado nos estudos de estabilidade angular transitória dos 
sistemas de potência. A estabilidade é definida através do comportamento dos deslocamentos 
angulares relativos dos rotores. 
 
 Mais recentemente foram propostas formas alternativas de análise de sistemas não-lineares, por 
meio de métodos diretos, que avaliam o comportamento do sistema sem resolver no domínio do 
tempo o conjunto de equações algébrico-diferenciais. Estes métodos apresentam, pelo menos no 
momento, limitações e dificuldades práticas quanto à representação de elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.1
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 
 
 
Modelos Básicos dos 
Elementos Componentes 
 
 
 
 De uma forma geral, nos estudos de estabilidade as linhas de transmissão, transformadores, 
capacitores série e shunt, reatores série e shunt, e os estatores das máquinas rotativas, são 
representados por modelos de regime permanente (modelos estáticos). Já as turbinas, os rotores das 
máquinas síncronas e de indução, os compensadores estáticos (SVC), os reatores controlados (TCR), 
os capacitores controlados (TCC), e os elementos de controle das máquinas síncronas como: 
sistemas de excitação, reguladores de tensão (AVR), reguladores de velocidade, controle automático 
de geração (CAG), etc., podem ser descritos por modelos que levam em conta os seus respectivos 
comportamentos transitórios, quando da ocorrência de uma dada perturbação. 
 
Com o intuito de permitir algumas análises simplificadas são representados a seguir os elementos 
básicos de um sistema elétrico de potência, normalmente considerados nos estudos de estabilidade 
angular. É dada ênfase aos modelos estáticos dos seguintes componentes: geradores, compensadores 
síncronos, cargas, reatores shunt, capacitores shunt, compensadores estáticos, linhas de transmissão, 
transformadores e capacitores série. Estes modelos são normalmente empregados em análises de 
fluxo de potência, que são desenvolvidas com o intuito de definir as condições iniciais operativas do 
sistema para os estudos de estabilidade angular. Os modelos estáticos das linhas de transmissão, 
capacitores, reatores, transformadores e cargas, representados, não são utilizados somente nas 
referidas análises de fluxo de potência, mas também nas próprias avaliações do comportamento 
transitório. 
 
Modelos dinâmicos simplificados, que permitem a análise transitória das máquinas síncronas em 
estudos de estabilidade, serão desenvolvidos posteriormente. 
 
3.1 Geradores 
 
De uma forma geral, os geradores podem ser representados através das potências ativas e reativas 
que entregam aos barramentos onde estão ligados. A figura 3.1 apresenta uma representação 
simbólica simples muito utilizada para estes elementos. 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.2
 
gi
 (i)
 giP
Q
 
Figura 3.1 – Representação simbólica do gerador. 
 
Na figura 3.1 tem-se: 
 
 
igP = potência ativa fornecida pelo gerador à barra (i) 
 
igQ = potência reativafornecida pelo gerador à barra (i) 
 
Nos estudos de fluxo de potência os geradores podem ser representados por barras de tensão 
controlada (tipo PV) ou de referência (tipo Vθ). No primeiro caso são especificadas a tensão 
terminal e a potência ativa gerada, sendo incógnitas o ângulo da tensão e a potência reativa gerada. 
No segundo caso são especificados o módulo e o ângulo da tensão terminal, já as incógnitas são as 
potências ativa e reativa geradas. Um fato importante é que, quando as unidades geradoras alcançam 
seus limites de potência reativa, gerada ou absorvida, elas perdem o controle da tensão, passando 
assim de barras do tipo PV para barras do tipo PQ (barras de carga). 
 
Na verdade, as tensões terminais são variáveis, sendo controladas pelos sistemas de excitação e 
reguladores de tensão, enquanto que a potência ativa gerada, que também varia, é controlada pela 
ação conjunta turbina/regulador de velocidade. Estes elementos controladores devem ser 
representados nos estudos de estabilidade angular mais detalhados. 
 
Os despachos de potências ativa e reativa das unidades geradoras devem estar dentro dos limites 
estabelecidos pelas curvas de capabilidade das máquinas. 
 
 
3.2 Compensadores Síncronos 
 
A figura 3.2 apresenta uma representação simbólica para este tipo de elemento, sendo a potência 
reativa gerada ou absorvida pelo compensador, ligado a uma barra (i), dada por Qgi. 
 
gi
 (i)
 giP
Q
= 0
CS
 
 
Figura 3.2 – Representação simbólica do compensador síncrono. 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.3
 
Nos estudos de fluxo de potência os compensadores síncronos são representados por barras de 
tensão controlada (tipo PV). Portanto, são especificadas a tensão terminal e a potência ativa gerada 
(P = 0), sendo incógnitas o ângulo da tensão e a potência reativa gerada. Quando os compensadores 
síncronos alcançam seus limites de potência reativa, gerada ou absorvida, eles perdem o controle da 
tensão, passando de barras do tipo PV para barras do tipo PQ (barras de carga), com potência 
constante. 
 
As tensões terminais dos compensadores síncronos são variáveis, sendo controladas por sistemas de 
excitação e reguladores de tensão. Estes elementos controladores devem ser representados nos 
estudos de estabilidade angular mais detalhados. 
 
Os modelos de compensadores síncronos podem ser obtidos através dos desenvolvimentos que são 
normalmente realizados para os geradores síncronos, bastando considerar a potência ativa nula, ou 
seja, P = 0. 
 
 
3.3 Cargas 
 
A estabilidade de um sistema de potência depende das características das cargas existentes no 
mesmo. Assim sendo, é necessário o desenvolvimento de modelos que possibilitem uma 
representação adequada do comportamento dos diversos tipos destas cargas. 
 
A figura 3.3 apresenta um modelo composto, onde são consideradas as características exibidas por 
alguns dos principais componentes individuais da carga em um barramento. 
 
A elaboração destes modelos não é uma tarefa simples, uma vez que em um barramento típico, a 
magnitude e composição da carga variam continuamente em função: (a) da grande diversidade de 
seus componentes, como por exemplo: lâmpadas incandescentes e fluorescentes, aquecedores, 
fornos, refrigeradores, compressores, motores, etc.; (b) das condições atmosféricas; (c) do horário ao 
longo de um dia; (d) do mês e estação em um ano; (e) do status econômico; etc. Por outro lado, a 
dificuldade de acesso aos equipamentos dos consumidores, a falta de informações precisas e as 
incertezas referentes ao comportamento das cargas, implicam em um verdadeiro desafio, para o 
desenvolvimento de modelos compostos adequados. 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.4
 
 
GRANDES 
MOTORES 
PEQUENOS 
MOTORES 
CARGAS
ESTÁTICAS
LÂMPADAS CARGAS
TERMOSTÁTICAS 
AT 
BT
CAPS. 
 
Figura 3.3 – Modelo composto da carga de um barramento. 
 
 
Devido a toda esta complexidade, uma representação plausível para as cargas implica em uma boa 
dose de simplificações e considerações. Uma representação simbólica simples para um barramento 
de carga (i), de um sistema elétrico de potência, é ilustrada na figura 3.4, onde são destacadas as 
potências ativa e reativa consumidas pela carga. 
 
 ciP ciQ
 (i)
 
Figura 3.4 – Representação simbólica simplificada da carga. 
 
Na figura 3.4 tem-se: 
 
 
icP = potência ativa consumida pela carga ligada à barra (i) 
 
icQ = potência reativa consumida pela carga ligada à barra (i) 
 
Embora algumas cargas sejam sensíveis às variações de freqüência, a dependência das mesmas com 
relação às variações de tensão é preponderante. Esta dependência costuma ser expressa através de 
dois modelos estáticos principais: (a) modelo exponencial e (b) modelo polinomial. Estes dois 
modelos são apresentados a seguir. 
 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.5
 
3.3.1 Modelo Exponencial 
 
As potências ativa (P) e reativa (Q) da carga podem ser relacionadas com a tensão do barramento 
através das expressões (3.1) e (3.2). 
 
 ( ) . o
n
P = P V (3.1) 
 ( ) . o
m
Q = Q V (3.2) 
Tem-se que: 
 oV = V V 
sendo, 
 oV = tensão do barramento correspondente a oP e oQ 
 V = tensão do barramento correspondente a P e Q 
 n = parâmetro do modelo para a potência ativa 
 m = parâmetro do modelo para a potência reativa 
 
Os parâmetros “n” e “m” definem a característica da carga. Assim, n = 0 e m = 0 correspondem ao 
modelo de potência constante, onde a potência da carga não varia com a tensão; n = 1 e m = 1 
correspondem ao modelo de corrente constante, onde a potência da carga varia linearmente com a 
tensão; e n = 2 e m = 2 correspondem ao modelo de impedância constante, modelo em que a 
potência da carga varia com o quadrado da tensão. 
 
A figura 3.5 ilustra os três modelos citados, apresentando a relação existente entre as potências ativa 
e reativa e a tensão do barramento correspondente. 
 
V
P Q,
Vo
P cte
Z cte
I cte
 
Figura 3.5 – Características de diferentes modelos de carga. 
 
Para representar a carga composta de um barramento o parâmetro “n” assume, normalmente, valores 
entre 0,5 e 1,8. Já o parâmetro “m” adquire valores que vão desde 1,5 até 6,0. 
 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.6
 
3.3.2 Modelo Polinomial 
 
Uma forma alternativa de representar a variação da carga com a tensão é realizada através do 
chamado modelo polinomial. Neste modelo, as potências ativa (P) e reativa (Q) da carga são 
expressas por polinômios a uma variável, ou seja, polinômios em termos da magnitude de tensão do 
respectivo barramento de carga. 
 
A forma polinomial mais utilizada é aquela que considera a composição dos modelos de impedância 
constante, corrente constante e potência constante, vistos no item anterior. Este modelo é conhecido 
como ZIP e pode ser expresso através das seguintes formas quadráticas ou trinomiais: 
 
 ( )2 . oP = P a.V + b.V + c (3.3) 
 ( )2 . oQ = Q d.V + e.V + f (3.4) 
Tem-se que: 
 oV= V V 
sendo, 
 oV = tensão do barramento correspondente a oP e oQ 
 V = tensão do barramento correspondente a P e Q 
 a = fator correspondente à parcela de impedância constante da potência ativa da carga 
 b = fator correspondente à parcela de corrente constante da potência ativa da carga 
 c = fator correspondente à parcela de potência constante da potência ativa da carga 
 d = fator correspondente à parcela de impedância constante da potência reativa da carga 
 e = fator correspondente à parcela de corrente constante da potência reativa da carga 
 f = fator correspondente à parcela de potência constante da potênciareativa da carga 
 
Nas equações (3.3) e (3.4) tem-se que: a + b + c = 1 e d + e + f = 1. 
No caso particular em que as potências ativa (Pci) e reativa (Qci), da carga ligada a uma suposta barra 
(i), dependem do quadrado da tensão desta barra (Vi), ou seja, no caso da carga ser do tipo 
impedância (ou admitância) constante, esta carga pode ser representada através da seguinte 
expressão complexa: 
 i i
i
c c
c 2 2
i i
P Q
y = - j
V V
 (3.5) 
sendo: 
 
icy = admitância equivalente da carga ligada à barra (i) 
 
 
3.4 Reatores em Derivação ou Shunt 
 
Em essência, um reator shunt corresponde à condição particular de uma carga que consome apenas 
potência reativa. Nos casos de reatores não-controlados, a reatância equivalente destes elementos é 
praticamente constante, assim estes reatores podem ser considerados como cargas do tipo 
impedância constante, pois consomem potência reativa com base no quadrado da tensão do 
barramento onde estão conectados. A figura 3.6 considera a representação simbólica de um reator 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.7
 
shunt, ligado a uma barra (i) do sistema de potência, sendo BLi a sua susceptância equivalente (ou o 
inverso de sua reatância equivalente) e QLi é a potência reativa consumida pelo mesmo. 
 
 LiB LiQ
 (i)
 
 
Figura 3.6 – Representação simbólica do reator shunt. 
 
Como a potência reativa absorvida pelo reator depende diretamente do quadrado da tensão da barra 
onde o mesmo está ligado, ela pode ser calculada através da seguinte expressão: 
 
 
i i
2
L L iQ = B .V (3.6) 
 
Quando a potência reativa do reator é especificada (normalmente em MVAr), sua susceptância 
equivalente pode ser calculada através da expressão (3.7). 
 
 i
i
L
L 2
i
Q
B = 
V
 (3.7) 
 
O reator shunt não-controlado assume, portanto, um modelo de carga do tipo impedância (ou 
admitância) constante. Como ilustração, a figura 3.7 representa as características V = f (I) e V = f 
(Q) para este elemento. 
 
V
I
V
Q
(a) (b) 
 
Figura 3.7 – Características V = f (I) e V = f (Q) do reator shunt. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.8
 
3.5 Capacitores em Derivação ou Shunt 
 
De forma semelhante ao reator, um capacitor shunt corresponde à condição particular de uma carga 
que apenas fornece potência reativa ao sistema. Nos casos de capacitores não-controlados, a 
reatância equivalente destes elementos é praticamente constante, assim estes capacitores podem ser 
considerados como cargas do tipo impedância constante, pois fornecem potência reativa com base 
no quadrado da tensão do barramento onde estão conectados. A figura 3.8 considera a representação 
simbólica de um capacitor shunt, ligado a uma barra (i) do sistema de potência, sendo BCi a sua 
susceptância equivalente (ou o inverso de sua reatância equivalente) e QCi é a potência reativa 
fornecida pelo mesmo ao sistema de potência. 
 
 
(i)
B i Q i C C 
 
 
Figura 3.8 – Representação simbólica do capacitor shunt. 
 
Como a potência reativa fornecida pelo capacitor depende diretamente do quadrado da tensão da 
barra onde o mesmo está ligado, ela pode ser calculada através da seguinte expressão: 
 
 
i i
2
C C iQ = B .V (3.8) 
 
Quando a potência reativa do capacitor é especificada (normalmente em MVAr), sua susceptância 
equivalente pode ser calculada através da expressão (3.9). 
 
 i
i
C
C 2
i
Q
B = 
V
 (3.9) 
 
Portanto, o capacitor shunt não-controlado assume um modelo de carga do tipo impedância (ou 
admitância) constante. Como ilustração, a figura 3.9 representa as características V = f (I) e V = f 
(Q) para este elemento. 
V
I (a)
V
Q (b) 
Figura 3.9 – Características V = f (I) e V = f (Q) do capacitor shunt. 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.9
 
3.6 Compensadores Estáticos 
 
Um compensador estático (SVC) pode ser caracterizado como sendo um elemento de controle de 
tensão, que fornece ou absorve potência reativa e é composto por reatores e capacitores controlados. 
Uma representação simbólica, simplificada, deste elemento é apresentada na figura 3.10, onde (i) 
correspondente a uma barra de alta tensão do sistema de potência considerado. 
 
 (i)
L C
 
 
Figura 3.10 – Representação simbólica do compensador estático. 
 
Assim como os reatores e capacitores shunt, os compensadores estáticos costumam ser 
representados através de características V = f (I) e V = f (Q), para a operação em regime permanente. 
Nestas características são destacadas: a faixa de controle, dentro dos limites nominais estabelecidos 
para o elemento, bem como as regiões correspondentes às condições operativas fora da faixa de 
controle. As características V = f (I) e V = f (Q) são mostradas, respectivamente, nas figuras 3.11 e 
3.12. 
 
ICE
BMIN
LIMITE DE
CORRENTEV FAIXA DE
CONTROLE
QMAX
BMAX
VMIN
IMIN IMAX
VREF
QMIN
VMAX
 
 
Figura 3.11 – Característica V = f (I) do compensador estático. 
 
 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.10
 
 
Q cap Q reat
V
Faixa de
Controle
limite limite
 
 
Figura 3.12 – Característica V = f (Q) do compensador estático. 
 
Quando está funcionando dentro de sua faixa linear de controle, conforme indicam as figuras 3.11 e 
3.12, o compensador estático pode ser visto como uma fonte de tensão (Vref) em série com uma 
reatância (XCE). Esta condição é ilustrada na figura 3.13, onde a tensão Vi , da barra (i) do sistema, é 
controlada pela fonte de tensão Vref. 
Para operação fora da faixa de controle, o compensador estático assume as mesmas características 
dos reatores ou capacitores shunt, vistas anteriormente, ou seja, apresenta características do tipo 
impedância (ou admitância) constante, variando a potência reativa (absorvida ou fornecida) com o 
quadrado da tensão do barramento. Estas características são diferentes daquelas apresentadas pelos 
compensadores síncronos. Estes últimos têm a propriedade de manter a potência reativa constante, 
após ser alcançado o seu limite operativo. 
 
(i)
X V
V
CE
Ii
i
ref
 
 
Figura 3.13 – Representação para a faixa linear de controle. 
 
 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.11
 
3.7 Linhas de Transmissão 
 
A representação de uma linha de transmissão é normalmente realizada através de um circuito π 
equivalente, conforme ilustra a figura 3.14. 
 
i
j
( )i ( )jR X=
i
i j + i jj
= j
Bs
2o
= j
Bs
o= j
Bs
2
j
y
z
y
 
 
Figura 3.14 – Circuito π equivalente de uma linha de transmissão. 
 
Na figura anterior tem-se: 
 
 ijR = resistência série total da linha de transmissão 
 ijX = reatância série total da linha de transmissão 
 Bs = susceptância capacitiva shunt total da linha de transmissão 
 ijz = impedância série total da linha de transmissão 
 ioy = admitância shunt da linha de transmissão concentrada na barra (i) 
 joy = admitância shunt da linha de transmissão concentrada na barra (j) 
 
Na representação dos sistemas de potência é comum considerar a impedância série das linhas de 
transmissão através de sua admitância correspondente ( yij). Assim sendo, tem-se: 
 
 ij
ij ij ij
1 1y = = 
z R +j.X
 (3.10) 
ou ainda, 
 ij ij ijy = G + j B (3.11) 
onde: 
 ijij 2 2
ij ij
R
G = 
R +X
 e ijij 2 2
ij ij
-X
B = 
R +X
 
 
As linhas de transmissão costumam ser divididas em curtas, médias e longas. No caso das linhas 
curtas, que apresentam extensão da ordem de até 80 km, despreza-se o efeito capacitivo, ou seja, não 
são consideradas as susceptâncias shunt do modelo π equivalente. Para as linhas médias, com 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.12
 
extensões entre 80 e 200 km aproximadamente, considera-se o modelo π completo. Já as linhas 
longas, com mais de 200 km de extensão, são representadas por modelos π em cascata. 
Na operação das linhas de transmissão, é importante destacarque: no regime de carga pesada elas 
consomem potência reativa, com preponderância do efeito indutivo do ramo série, sobre o efeito 
capacitivo dos ramos shunt; quando em carga leve, as linhas fornecem potência reativa, pois o efeito 
capacitivo dos ramos shunt suplanta o efeito indutivo do ramo série. 
 
Nas condições de carga pesada são utilizados capacitores shunt, para reduzir o efeito indutivo das 
linhas de transmissão. Por outro lado, nas condições de carga leve são inseridos reatores shunt, para 
compensar o efeito capacitivo preponderante das linhas. 
 
 
3.8 Transformadores 
 
Estes elementos costumam ser representados, em uma de suas formas mais simples, por uma 
impedância série ligada entre suas respectivas barras terminais, conforme ilustra a figura 3.15. 
 
 (i) (j)
Z ij
 
 
Figura 3.15 – Representação do transformador através de uma impedância. 
 
Muitas vezes, as resistências dos enrolamentos são desprezadas. Nestes casos, o modelo de 
impedância série do transformador passa a ser expresso apenas pela sua reatância de dispersão 
equivalente. 
 
Em diversas representações dos sistemas elétricos de potência são utilizadas admitâncias em 
substituição às impedâncias. Desta forma, pode-se escrever para os transformadores: 
 
 ij
ij
1y = 
z
 (3.12) 
onde: 
 ijy = admitância série do transformador ligado às barras (i) e (j) 
 
A representação anterior (figura 3.15) despreza as perdas por histerese e Foucault, bem como a 
influência do ramo magnetizante, e considera também que o transformador esteja operando com 
relação nominal de transformação, ou seja, relação 1:1 em p.u. 
 
Por outro lado, a ação de taps comutados, de forma manual ou automática, pode modificar a relação 
de transformação de 1:1 para pi : pj, onde pi é a relação entre a tensão nominal do enrolamento (i) e a 
tensão de base da barra (i) e pj é a relação entre a tensão nominal do enrolamento (j) e a tensão de 
base da barra (j). 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.13
 
Os taps pi e pj, citados, correspondem a taps em fase. Estes taps permitem apenas alterações nas 
magnitudes das tensões. Além deles os transformadores podem ter taps em quadratura, que 
possibilitam modificações nos ângulos de fase das tensões. 
Uma representação genérica é mostrada na figura 3.16. Nesta ilustração tem-se que: 
 
 i i it = p + j q (3.13) 
 
 j j jt = p + j q (3.14) 
sendo: 
 ip = tap em fase do enrolamento ligado à barra (i) 
 jp = tap em fase do enrolamento ligado à barra (j) 
 iq = tap em quadratura do enrolamento ligado à barra (i) 
 jq = tap em quadratura do enrolamento ligado à barra (j) 
 
i
( )i ( )j
jy(m)
t i : t j
V Vi j
Vmii i j
 
Figura 3.16 – Transformador com taps genéricos. 
 
Desprezando as perdas do transformador e considerando o modelo representado pela figura 3.16, 
pode-se obter a seguinte equação matricial: 
 
 
* *
j j j
ij ij* *
ii i i i
jj j
ij ij
i
t . t t
.y - .y
Vi t . t t = .
Vi t
- .y y
t
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 (3.15) 
 
Diversos casos particulares podem ser obtidos com o auxílio da equação matricial anterior. 
 
Alguns transformadores possuem comutadores, que permitem a alteração dos taps em operação com 
carga. Esta ação pode ser exercida tanto de forma automática, através de um sistema de controle, 
quanto de forma manual, com o comando realizado por um operador. Tais elementos são chamados 
de transformadores com LTC (load tap changer). 
 
Considerando que “p” seja o tap em fase de um transformador com LTC, ligado entre as barras (i) e 
(j), e que o LTC controla a magnitude da tensão da barra (j), pode-se escrever que: 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.14
 
 p(k+1) = p(k) + f (∆V).d (3.16) 
onde: 
 p(k) = tap atual do transformador (considerando uma determinada 
 condição operativa) 
 p(k+1) = novo tap do transformador (comutado com a ação do LTC) 
 d = passo do tap 
 f (∆V) = função dependente da variação de tensão da barra (j) 
 
A função f (∆V) pode assumir os seguintes valores: 
 
 
o
j j
o
j j
o
j j
1 , se V -V > ε 
f (∆V) = 0 , se V -V < ε
-1 , se V -V < -ε
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
 (3.17) 
onde: 
 ε = faixa de variação de tensão, na barra (j), para a atuação do LTC (banda morta) 
 ojV = tensão de referência da barra (j) 
 
Portanto, se a variação de tensão na barra (j) for menor que o valor estipulado para a atuação do LTC 
(ε), a função f (∆V) assume o valor nulo, não ocorrendo variação do tap, como pode ser observado 
na expressão (3.16). Por outro lado, se a variação for superior (em módulo), à função serão 
atribuídos os valores 1 ou -1, conforme o caso. Nesta condição haverá alteração do tap do 
transformador. 
 
 
3.9 Capacitores Série 
 
Os capacitores série são aplicados em linhas de transmissão basicamente com dois propósitos: (a) 
em linhas médias e longas: com o intuito de reduzir as distâncias elétricas entre os barramentos 
terminais destas linhas, possibilitando assim maiores transferências de potência em regime 
permanente, e elevação dos limites impostos pelos estudos de estabilidade transitória; (b) em linhas 
curtas: para ajudar no controle de tensão. Estes elementos são representados, normalmente, por uma 
reatância negativa, conforme ilustra a figura 3.17. Esta sua reatância é adicionada à reatância série 
do circuito π equivalente da linha de transmissão. 
 
Na figura 3.17, “D” corresponde a um circuito de amortecimento e “S” a um disjuntor de 
transferência (bypass). 
CXj
D
S
 
Figura 3.17 – Representação dos capacitores série. 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.15
 
Na compensação série de linhas de transmissão define-se a relação XC / XL como taxa de 
compensação, sendo XC a reatância equivalente dos capacitores série e XL a reatância série total da 
linha. Normalmente as taxas de compensação se situam entre 20 e 75%. 
 
As compensações série de linhas de transmissão, principalmente as de taxas mais elevadas, podem 
causar problemas de ressonância subsíncrona, com graves efeitos torcionais nos eixos de unidades 
de geração termoelétricas. Para evitar estes problemas são consideradas as aplicações de filtros 
torcionais. 
 
 
3.10 Reatores Série 
 
Uma outra aplicação importante dos reatores em sistemas de potência ocorre quando se deseja 
reduzir possíveis correntes de curto-circuito, causadas principalmente pela existência de um grande 
número de unidades geradoras, ou de unidades geradoras de porte elevado, em pontos específicos de 
um sistema. Nestas condições os reatores são inseridos em série na rede, e têm como função limitar 
correntes, através de sua reatância indutiva, salvaguardando a operação de componentes como 
disjuntores, chaves seccionadoras, TCs, etc. 
 
A figura 3.18 apresenta como exemplo um sistema de potência radial composto por um reator série 
conectado entre dois barramentos, cuja função é de limitar correntes de curto-circuito. 
 (3)
(1)P1
LT1
B∞
(4)
 (2)
P2 LT2
 (5)
 
 
Figura 3.18 – Sistema radial composto por reator série. 
 
 
3.11 Diagramas Unifilares 
 
A representação trifásica completa de um sistema de potência, com todos os seus elementos 
componentes é na maioria das vezes bastante complicada. Uma forma mais simples, que é definida 
para condições de operação simétricas e equilibradas, é a da representação por diagramas unifilares. 
Por meio desta representação os elementos componentes de um sistema de potência, como: 
geradores, transformadores, linhas de transmissão, elementos de compensação shunt e série, cargas, 
etc, podem ser visualizados de forma mais simples, assim como as conexões existentes entre os 
mesmos. Através do diagrama unifilar é possível construir o circuito elétrico equivalente por fase de 
um dado sistema de potência. 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
3.16
 
A figura3.19 mostra o diagrama unifilar de um sistema simples composto por: unidade geradora, 
transformadores, linhas de transmissão com e sem compensação série, compensador estático, 
barramento de carga, capacitor shunt e conexão com um grande sistema de potência. 
LTC
CE CARGA 
 
Figura 3.19 – Exemplo de diagrama unifilar. 
 
 
 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
4.1
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 4 
 
 
Equação de Oscilação 
da Máquina Síncrona 
 
 
 
Para analisar o comportamento das máquinas síncronas, quando da ocorrência de um impacto ou 
de uma perturbação no sistema de potência, podem ser adotadas como variáveis de estado as 
posições angulares dos rotores destas máquinas, com relação a uma referência que gira com 
velocidade síncrona. Desta forma, através dos deslocamentos angulares (θ’), é possível verificar 
o sincronismo das máquinas. Uma equação associada, que permite determinar as evoluções do 
ângulo θ’, é denominada equação de oscilação da máquina, sendo o seu desenvolvimento 
apresentado no item seguinte. 
 
 
4.1 Equação de Oscilação 
 
A equação de oscilação da máquina, também chamada de equação de balanço ou equação swing, 
é a equação que governa o movimento do rotor. Ela relaciona o conjugado de inércia com o 
conjugado de aceleração resultante no eixo. Esta equação é fundamental na avaliação do 
comportamento transitório da máquina síncrona. 
 
 
4.1.1 Equações Básicas 
 
Da mecânica de translação tem-se que: 
 
2
2
dv d xF = m.a = m. = m.
dt dt
 (4.1) 
onde: 
 F = força aplicada no corpo [N] 
 m = massa do corpo [kg] 
 a = aceleração [m/s2] 
 v = velocidade [m/s] 
 x = deslocamento [m] 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
4.2
 
Este comportamento pode ser verificado através da figura 4.1. 
 
m F
x
 
 
Figura 4.1 – Sistema mecânico de translação. 
 
De forma análoga, através da mecânica de rotação é possível desenvolver a seguinte equação de 
equilíbrio: 
 
2
2
dω d θT = J.α = J. = J.
dt dt
 (4.2) 
onde: 
 T = conjugado (ou torque) aplicado [N.m] 
 J = momento de inércia das massas rotativas [kg.m2] 
 α = aceleração angular [rad/s2] 
 ω = velocidade angular [rad/s] 
 θ = deslocamento angular [rad] 
 
A figura 4.2, a seguir, descreve tal condição. 
 
J
T
W
 
 
Figura 4.2 – Sistema mecânico de rotação. 
 
 
4.1.2 Equações do Rotor da Máquina Síncrona 
 
Para o rotor de uma máquina síncrona é possível considerar um esquema semelhante ao 
mostrado na figura 4.2. Assim pode-se desenvolver a seguinte equação de movimento: 
 
 
2
m
m a2
dω d θ'J.α = J. = J. = T
dt dt
 (4.3) 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
4.3
 
onde: 
 J = momento de inércia das massas rotativas, total do eixo [kg.m2] 
 αm = aceleração angular do rotor [rad/s2] 
 ωm = velocidade angular do rotor [rad/s] 
 θ’ = deslocamento angular do rotor com relação a uma referência síncrona [rad] 
 Ta = conjugado acelerante resultante no eixo[N.m] 
 
Da equação (4.3) tem-se também que: 
 inércia mT = J.α (4.4) 
sendo: 
 Tinércia = conjugado de inércia [N.m] 
 
No caso da operação da máquina síncrona como gerador, existe um conjugado mecânico de 
impulsão (que causa aceleração do rotor) e um conjugado elétrico com ação de retardo (que 
causa desaceleração do rotor), assim: 
 
 a m eT = T - T (4.5) 
onde: 
 Tm = conjugado mecânico [N.m] 
 Te = conjugado elétrico [N.m] 
 
Portanto, na equação (4.3), obtém-se: 
 
 
2
m e2
d θ'J. = T - T
dt
 (4.6) 
 
Para a operação da máquina síncrona como motor, a equação (4.5), que descreve o conjugado de 
aceleração resultante no rotor da máquina, deve ser reescrita da seguinte forma: 
 
 a e mT = T - T (4.7) 
 
pois agora Te corresponde a um conjugado eletromagnético de efeito acelerante e Tm a um 
conjugado mecânico de efeito desacelerante (carga mecânica no eixo do motor). 
 
 
4.1.3 Referência Angular 
 
A figura 4.3 mostra de forma esquemática as representações de máquinas síncronas de pólos 
lisos e de pólos salientes. Alinhado com o pólo define-se o eixo direto (eixo d) e em quadratura 
com o mesmo o eixo q. Para o estabelecimento da referência angular do deslocamento do rotor 
toma-se como base este sistema de eixos d-q. 
 
 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
4.4
 
Estator
Rotor Rotor
Estator
(a) (b) 
 
Figura 4.3 – Máquinas de pólos lisos (a) e salientes (b). 
 
Com relação ao eixo da máquina síncrona pode-se considerar o esquema da figura 4.4, onde 
aparecem duas referências angulares distintas, uma girante com velocidade síncrona constante e 
outra fixa. 
d
q
ref. fixa
mδ
θ'
ms
ω
mω
ref. síncrona
 
 
Figura 4.4 – Posição angular do rotor. 
 
Na figura anterior tem-se: 
 
 ωm = velocidade angular do rotor [rad/s] 
 ωms = velocidade angular síncrona da referência [rad/s] 
 θ’ = deslocamento angular do rotor com relação à referência síncrona [rad] 
 δm = ângulo de conjugado mecânico [rad] 
 d = eixo direto da máquina 
 q = eixo em quadratura da máquina 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
4.5
 
O ângulo de conjugado mecânico (δm) é estabelecido entre o eixo q da máquina e a referência 
síncrona. 
 
Tomando como base a referência fixa é possível escrever que: 
 
 ms m ms
πθ = ω .t + + δ = ω .t + θ'
2
 (4.8) 
 
Na expressão anterior a parcela ωms.t corresponde ao deslocamento angular da referência 
síncrona com relação à referência fixa, e π/2 é o ângulo entre o eixo direto e o eixo em 
quadratura. 
 
Derivando a expressão (4.8), obtém-se: 
 
 mms ms m
dθ dδ dθ' = ω + = ω + = ω
dt dt dt
 (4.9) 
 
Pode-se observar de (4.9) que: 
 
 m m ms m
dδ = ω - ω = ∆ω
dt
 (4.10) 
 
Derivando agora a expressão (4.9), vem: 
 
 
2 2 2
m
m2 2 2
d θ d δ d θ' = = = α
dt dt dt
 (4.11) 
 
Levando (4.11) em (4.3), tem-se que: 
 
 
2
m m
a m e2
d δ dωJ. = J. = T = T - T
dtdt
 (4.12) 
 
 
4.1.4 Definição da Constante de Inércia (M) 
 
Através de um pequeno artifício matemático na equação (4.12) é possível definir o que costuma 
ser chamado de constante de inércia da máquina síncrona. Desta forma, seja multiplicar os 
membros da expressão (4.12) por ωm, obtém-se então: 
 
 
2
m m
m m m a2
d δ dωJ.ω . = J.ω . = ω .T
dtdt
 (4.13) 
 
O produto do momento de inércia das massas rotativas (J), pela velocidade angular do rotor 
(ωm), é definido como constante de inércia da máquina síncrona (M), tendo como dimensão 
J.s/rad. Portanto, por definição: 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
4.6
 
 mM = J.ω (4.14) 
 
Por outro lado, o produto de uma velocidade angular (ω) por um conjugado (T) corresponde a 
uma potência (P). Assim é possível definir como potência acelerante da máquina síncrona (Pa) a 
seguinte expressão: 
 emama PPT.P −=ω= (4.15) 
sendo: 
 Pm = potência mecânica [W] 
 Pe = potência elétrica [W] 
 
Levando as definições expressas por (4.14) e (4.15) na equação (4.13), obtém-se: 
 
 
2
m m
a m e2
d δ dωM. = M. = P = P - P
dtdt
 (4.16) 
 
A expressão (4.16) é a equação de oscilação do rotor da máquina síncrona. Pode-se observar que 
dentre outras ela relaciona as grandezas mecânicas δm e ωm. 
 
 
4.1.5 Grandezas Elétricas 
 
Em um sistema de potência com diversas unidades geradoras existem acoplamentos elétricos 
entre estas máquinas, sendo os mesmos estabelecidos através dos respectivos enrolamentos do 
estator. Não existe, entretanto, nenhum acoplamento mecânico direto. Desta forma seria 
interessante que a equação de oscilação de cada máquina levasse em consideração grandezas 
elétricas. Com esta finalidade é apresentada a seguir uma forma alternativa, e mais adequada, de 
representação. 
 
Através de uma forma esquemáticamuito simples, uma máquina síncrona operando como 
gerador pode ser representada de acordo com a figura 4.5 a seguir. 
 
O enrolamento de campo da máquina síncrona, localizado no rotor, é alimentado pelo sistema de 
excitação com corrente contínua (i fd). Esta corrente dá origem a um fluxo enlaçado (λfd), que irá 
envolver o enrolamento do estator (ou armadura). Como o rotor da máquina gira com velocidade 
(ωm), o fluxo enlaçado λfd é variável no estator. De acordo com a lei de Faraday, fluxo variável 
enlaçando uma bobina produz uma tensão induzida nos terminais desta mesma bobina. Assim irá 
aparecer uma tensão induzida (E) no estator da máquina, tensão esta oriunda da corrente de 
campo (i fd). Se a máquina síncrona estiver ligada a um sistema, circulará pelo seu estator uma 
corrente Ia. 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
4.7
 
Ia
VE
if d Wm
 
Figura 4.5 – Diagrama esquemático simplificado da máquina síncrona. 
 
Com base nas considerações anteriores é possível desenvolver um diagrama fasorial 
simplificado, para a máquina síncrona, que relacione a corrente do estator, a tensão terminal, a 
tensão de excitação (E) e os fluxos enlaçados. Este diagrama é apresentado na figura 4.6, para 
uma máquina de pólos lisos, com dois pólos. 
 
d
q
V
Ia
E
ref. síncrona
λfd 
λr 
λa 
ωms = ωs 
ωm = ω 
δ 
φ 
 
Figura 4.6 – Diagrama fasorial simplificado da máquina síncrona de pólos lisos. 
 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
4.8
 
Na figura 4.6 tem-se: 
 
 V = tensão terminal da máquina 
 E = tensão de excitação ou tensão em vazio, produzida pela corrente i fd 
 Ia = corrente da armadura ou do estator 
 λfd = fluxo enlaçado produzido pela corrente de campo 
 λa = fluxo enlaçado de reação da armadura 
 λr = fluxo enlaçado resultante no entreferro da máquina 
 ωm = velocidade angular do rotor 
 ωms = velocidade angular síncrona do rotor 
 ω = velocidade angular do campo magnético girante 
 ωs = velocidade angular síncrona do campo magnético girante 
 
No caso da máquina de dois pólos, se o ângulo da tensão terminal da máquina for assumido 
como o de referência, pode-se concluir através de comparação entre as figuras 4.4 e 4.6 que os 
ângulos δm (mecânico) e δ (elétrico) são coincidentes. Este fato simplifica a análise da máquina, 
pois o deslocamento angular do rotor pode ser medido através do ângulo da tensão de excitação 
(E). 
 
Desta forma, a equação (4.16), de oscilação da máquina, pode ser reescrita através das grandezas 
elétricas δ e ω, ou seja: 
 
2
a m e2
d δ dωM. = M. = P = P - P
dtdt
 (4.17) 
 
Máquina de “p” pólos 
 
Na análise anterior foi admitida uma máquina síncrona de dois pólos. A seguir será realizada a 
generalização das equações para uma máquina de “p” pólos. 
As relações existentes entre as grandezas elétricas e mecânicas, para ângulo e velocidade angular 
são apresentadas, respectivamente, nas equações (4.18) e (4.19). 
 
 m
pδ = .δ
2
 (4.18) 
 m
pω = .ω
2
 (4.19) 
 
Substituindo as expressões (4.18) e (4.19) em (4.16), obtém-se: 
 
 
2
a m e2
2.M d δ 2.M dω. = . = P = P - P
p p dtdt
 (4.20) 
 
 
4.1.6 Normalização das Equações 
 
Os sistemas elétricos de potência possuem normalmente diversas unidades geradoras, que devem 
ser analisadas nos estudos de estabilidade angular. Para cada uma destas máquinas deve ser 
desenvolvida uma equação de oscilação, como aquela descrita por (4.20). No entanto, as 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
4.9
 
máquinas têm portes diversos, o que torna interessante a adoção de uma base comum de 
potência, como forma de normalizar este conjunto de equações. Desta forma, considerando Sb 
como a potência base em MVA, tem-se: 
 
 
u u u
2
a m e2
b b
2.M d δ 2.M dω. = . = P = P - P
p.S p.S dtdt
 (4.21) 
 
As equações (4.20) e (4.21) têm como desvantagem a necessidade do conhecimento do número 
de pólos das máquinas. Este fator negativo pode ser eliminado através do procedimento a seguir. 
 
 
4.1.7 Definição da Constante de Tempo de Inércia (H) 
 
Através da equação (4.12) tem-se: 
 
 
2
m m
a m e2
d δ dωJ. = J. = T = T - T
dtdt
 (4.22) 
 
Substituindo as expressões (4.18) e (4.19) em (4.22), vem: 
 
 
2
a m e2
2.J d δ 2.J dω. = . = T = T - T
p p dtdt
 (4.23) 
 
Adotando como conjugado de base: 
b
b
ms
ST = 
ω
 
onde, 
Sb = potência base em MVA 
ωms = velocidade angular síncrona do rotor em rad/s 
 
pode-se normalizar a equação de oscilação dada pela expressão (4.23). Assim procedendo tem-
se: 
 
u u u
2
ms ms
a m e2
b b
2.J.ω 2.J.ωd δ dω. = . = T = T - T
p.S p.S dtdt
 (4.24) 
 
Por outro lado, da equação (4.19), para condições síncronas, obtém-se: 
 
 ms
s
ω2 = 
p ω
 (4.25) 
Levando (4.25) em (4.24), vem: 
 
 
u u u
2 22
ms ms
a m e2
s b s b
J.ω J.ωd δ dω. = . = T = T - T
ω .S ω .S dtdt
 (4.26) 
 
Para o rotor da máquina síncrona tem-se a seguinte expressão corresponde à sua energia cinética: 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
4.10
 
 2c m
1E .J.ω
2
= 
 
No caso particular da velocidade síncrona, a energia cinética vale: 
 
 2cs ms
1E .J.ω
2
= (4.27) 
Da expressão (4.27) tem-se que: 
 
 2ms csJ.ω = 2.E (4.28) 
 
Levando (4.28) em (4.26), obtém-se: 
 
 
u u u
2
cs cs
a m e2
s b s b
2.E 2.Ed δ dω. = . = T = T - T
ω .S ω .S dtdt
 (4.29) 
 
Definindo agora a constante de tempo de inércia da máquina síncrona (H), como sendo: 
 
 cs
b
EH = 
S
 (4.30) 
 
pode-se obter a seguinte equação de oscilação: 
 
 
u u u
2
a m e2
s s
2.H d δ 2.H dω. = . = T = T - T
ω ω dtdt
 (4.31) 
 
A constante de tempo de inércia (H) está ligada ao tempo de resposta da máquina e tem como 
possíveis unidades: [s], [MWs/MVA] e [MJ/MVA]. 
 
Como a velocidade do rotor das unidades geradoras varia muito pouco, pode-se admitir 
ω 1 pu≅ e assim escrever que 
u ua aP T≅ . Com esta consideração tem-se em (4.31): 
 
 
u u u
2
a m e2
s s
2.H d δ 2.H dω. = . = P = P - P
ω ω dtdt
 (4.32) 
 
A expressão (4.32) é a equação de oscilação da máquina síncrona, podendo ser escrita ainda da 
seguinte forma: 
 
2
s
m e2
ωd δ = .[ P - P ]
2.Hdt
 (4.33) 
onde: 
 Pm = potência mecânica em pu 
 Pe = potência elétrica em pu 
 δ = deslocamento angular do rotor em rad 
 ωs = velocidade síncrona em rad/s 
 H = constante de tempo de inércia em s, MWs/MVA ou MJ/MVA 
 
 
 
ESTABILIDADE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
4.11
 
4.2 Equações de Estado 
 
A equação de oscilação da máquina síncrona, representada por (4.33), é de segunda ordem. Ela 
pode ser decomposta em duas equações de estado, sendo cada uma delas associada a uma das 
seguintes variáveis de estado: δ e ω. 
 
Considerando a equação (4.10), com grandezas elétricas, é possível obter a primeira das duas 
equações de estado, ou seja: 
 s
dδ = ω - ω
dt
 (4.34) 
 
De (4.33) pode-se obter a segunda equação de estado da máquina, em termos da variável ω. Esta 
equação é mostrada a seguir. 
 s m e
ωdω = .[ P - P ]
dt 2.H
 (4.35) 
 
As equações (4.34) e (4.35) definem o comportamento eletromecânico da máquina síncrona, 
governando o movimento do rotor através do balanço de potências e da inércia