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RAFAELA FILOMENA ALVES GUIMARÃES
EDIÇÃO Nº1 - 2016
ANÁLISE DE SISTEMAS 
DE POTÊNCIA
Catalogação elaborada por Glaucy dos Santos Silva - CRB8/6353
Coordenação Geral 
Prof. Nelson Boni
Coordenação de Projetos Pedagógicos:
Leandro Lousada
Produção Executiva:
 Hikaro Queiroz
Professor Responsável:
Rafaela Filomena Alves Guimarães
Projeto Gráfico e Diagramação:
João Antônio P. A. Lima
Capa:
Rebecca Soares
Coordenação de Arte:
Rebeca Soares
Coordenação de Revisão Ortográfica:
Julia Kusminsky
1º Edição: Agosto de 2014
Impressão em São Paulo/SP
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
APRESENTAÇÃO
O sistema elétrico brasileiro é um dos mais complexos sistemas mundiais devido 
a sua alta taxa de interligação e a dimensão do nosso território. Esta vantagem 
competitiva aumenta sua robustez e confiabilidade apesar de dificultar o equacionamento 
matemático do mesmo para fins de controle, planejamento, operação e manutenção.
Devido ao aumento significativo de investimentos no setor e na previsão de 
aumento de demanda, é de fundamental importância um estudo detalhado sobre 
suas características técnicas, funcionais e matemáticas que serão abordadas ao 
longo deste livro. O mercado de energia precisará cada vez mais de profissionais 
altamente capacitados para que o sistema funcione sem falhas dentro de uma tarifa 
justa. Para isto este livro foi dividido em quatro capítulos.
No capítulo 1, será desenvolvido todo o enfoque matemático para os diferentes 
componentes do sistema elétrico desde a geração até a carga, além de uma análise 
detalhada dos seus principais aspectos. Também será feita uma demonstração da 
interação existente entre frequência e tensão e as variáveis relacionadas com o 
fluxo de potência ativa e reativa que caracterizam seu funcionamento quase estático.
No capítulo 2, será analisado detalhadamente o fluxo de potência com ênfase 
para as mais conhecidas e utilizadas soluções não lineares para o equacionamento 
do fluxo de carga. Também será estudado os aspectos de ajustes e controles. A 
importância dos limites de geração e da manutenção da tensão e frequência também 
será detalhada neste tópico. Primeiramente, será deduzida a solução para um 
sistema simples de duas barras e depois este raciocínio será expandido para um 
sistema com n barras.
No capítulo 3, será abordado o modelo linearizado como uma solução simplificada 
muito utilizada no planejamento e na expansão do sistema elétrico.
No capítulo 4, serão abordados conceitos de esparsidade, muito úteis na 
formulação do sistema elétrico como um todo e as estratégias ótimas de funcionamento 
para a determinação da distribuição de carga para as diversas usinas produtoras. 
Todos os capítulos foram ilustrados com exemplos matemáticos para facilitar 
a compreensão.
SUMÁRIO
1 REPRESENTAÇÃO DOS COMPONENTES DO SISTEMA E 
FLUXO DE POTÊNCIA ��������������������������������������������������������������������������������������10
1�1 APLICAÇÕES PRÁTICAS ������������������������������������������������������������������������10
1�2 FORMULAÇÃO BÁSICA DO SISTEMA ELÉTRICO 
DE POTÊNCIA �������������������������������������������������������������������������������������������10
1�3 REQUISITOS TÉCNICOS �������������������������������������������������������������������������11
1�4 OPERAÇÃO DOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ����������������12
1�5 SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA BRASILEIRO �����������������������������13
1�6 FORMULAÇÃO BÁSICA �������������������������������������������������������������������������16
1�7 MODELAGEM DE LINHAS, TRANSFORMADORES, GERADORES 
E CARGA ����������������������������������������������������������������������������������������������������18
1�7�1 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO �����������������������������18
1�7�2 REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADOR ������������������������������������������20
1�7�3 REPRESENTAÇÃO DE GERADOR �����������������������������������������������������������23
1�7�4 REPRESENTAÇÃO DA CARGA ����������������������������������������������������������������29
1�8 FLUXOS DE POTÊNCIA ATIVA E REATIVA �������������������������������������������31
1�8�1 LINHAS DE TRANSMISSÃO ����������������������������������������������������������������������31
1�8�2 TRANSFORMADORES FASE ��������������������������������������������������������������������32
1�8�3 TRANSFORMADORES DEFASADORES �������������������������������������������������32
1�9 EXPRESSÕES GERAIS DOS FLUXOS ��������������������������������������������������33
1�9�1 FORMULAÇÃO MATRICIAL ����������������������������������������������������������������������33
1�9�2 IMPEDÂNCIA EQUIVALENTE ENTRE DOIS NÓS ����������������������������������35
1�10 EXEMPLOS ������������������������������������������������������������������������������������������������36
1�10�1 EXEMPLO 1�1: ����������������������������������������������������������������������������������������������36
1�10�2 EXEMPLO 1�2: ����������������������������������������������������������������������������������������������37
1�10�3 EXEMPLO 1�3: ����������������������������������������������������������������������������������������������38
2 FLUXO DE POTÊNCIA: FORMULAÇÃO, MÉTODOS DE SOLUÇÃO, 
AJUSTES E CONTROLE �����������������������������������������������������������������������������������42
2�1 CLASSIFICAÇÃO DE BARRAS COM BASE NO 
TIPO DE ESPECIFICAÇÃO ���������������������������������������������������������������������43
2�2 MODELO DE SISTEMA – AS EQUAÇÕES ESTÁTICAS DO FLUXO 
DE CARGA �������������������������������������������������������������������������������������������������43
2�3 CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES DAS EEFC ��������������������������������45
2�3�1 CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DO SISTEMA ���������������������������������45
2�4 SOLUÇÃO DAS EEFC ������������������������������������������������������������������������������46
2�4�1 ESPECIFICAÇÕES MODIFICADAS ���������������������������������������������������������47
2�4�2 RESTRIÇÕES PRÁTICAS DAS VARIÁVEIS DE ESTADO ���������������������48
2�4�3 RESTRIÇÕES PRÁTICAS DAS VARIÁVEIS DE CONTROLE ���������������49
2�5 O BALANÇO DA POTÊNCIA ATIVA E SEUS EFEITOS SOBRE A 
FREQUÊNCIA DO SISTEMA �������������������������������������������������������������������49
2�5�1 MECANISMO CARGA - FREQUENCIA �����������������������������������������������������49
2�5�2 O BALANÇO DA POTÊNCIA REATIVA E SEUS EFEITOS SOBRE 
A TENSÃO DO SISTEMA ���������������������������������������������������������������������������51
2�6 FLUXO DE POTÊNCIA NÃO L INEAR: 
ALGORITMOS BÁSICOS �������������������������������������������������������������������������52
2�6�1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA BÁSICO �����������������������������������������������52
2�7 FLUXO DE POTÊNCIA NÃO LINEAR �����������������������������������������������������54
2�7�1 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS ALGÉBRICOS 
PELO MÉTODO DE NEWTON �������������������������������������������������������������������55
2�7�2 FLUXO DE CARGA PELO MÉTODO DE NEWTON ���������������������������������57
2�8 EXEMPLOS ������������������������������������������������������������������������������������������������61
2�8�1 EXEMPLO 2�1: ����������������������������������������������������������������������������������������������61
2�8�2 EXEMPLO 2�2: ����������������������������������������������������������������������������������������������62
2�8�3 EXEMPLO 2�3: ����������������������������������������������������������������������������������������������66
2�9 AJUSTES E CONTROLES �����������������������������������������������������������������������68
2�9�1 MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO �����������������������������������������������������������69
2�9�2 AJUSTES ALTERNADOS ���������������������������������������������������������������������������70
2�9�3 CONTROLE DE TENSÃO EM BARRAS PV ���������������������������������������������70
2�9�4 LIMITES DE TENSÃO EM BARRAS PQ ���������������������������������������������������71
2�9�5 TRANSFORMADORES EM FASE COM CONTROLE AUTOMÁTICODE TAP ����������������������������������������������������������������������������������������������������������73
2�9�6 TRANSFORMADORES DEFASADORES COM CONTROLE 
AUTOMÁTICO DE FASE ����������������������������������������������������������������������������74
2�9�7 CONTROLE DE INTERCÂMBIO ENTRE ÁREAS ������������������������������������76
2�10 A ANÁLISE DA SENSIBILIDADE E O PROBLEMA 
DO CONTROLE �����������������������������������������������������������������������������������������77
2�10�1 ANÁLISE DA PERTURBAÇÃO OU DA SENSIBILIDADE ����������������������78
2�10�2 O PROBLEMA DO CONTROLE �����������������������������������������������������������������79
3 MODELO LINEARIZADO ����������������������������������������������������������������������������������86
3�1 LINEARIZAÇÃO ����������������������������������������������������������������������������������������86
3�2 FORMULAÇÃO MATRICIAL (P = B’ Q) ���������������������������������������������������88
3�3 MODELO CC ����������������������������������������������������������������������������������������������91
3�4 REPRESENTAÇÃO DAS PERDAS NO MODELO CC �������������������������93
3�5 EXEMPLOS ������������������������������������������������������������������������������������������������94
3�5�1 EXEMPLO 3�1: ���������������������������������������������������������������������������������������������94
3�5�2 EXEMPLO 3�2: ���������������������������������������������������������������������������������������������95
4 INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS DE ESPARSIDADE E ESTRATÉGIAS 
ÓTIMAS DE FUNCIONAMENTO ��������������������������������������������������������������������100
4�1 ORDENAÇÃO – CONCEITOS E OBJETIVOS �������������������������������������102
4�2 O SISTEMA DE ENERGIA EM REGIME PERMANENTE – 
ESTRATÉGIAS ÓTIMAS DE FUNCIONAMENTO��������������������������������104
4�2�1 O PROBLEMA GERAL DE PROGRAMAÇÃO ����������������������������������������104
4�2�2 DISTRIBUIÇÃO ÓTIMA DE POTÊNCIA DOS GERADORES – 
DESPREZADAS AS PERDAS DE LINHA �����������������������������������������������105
4�2�3 ESTRATÉGIA ÓTIMA DE DESPACHO PARA UM SISTEMA COM 
DUAS BARRAS �����������������������������������������������������������������������������������������107
4�2�4 O DESPACHO ÓTIMO PARA UM SISTEMA COM N BARRAS ������������109
4�2�5 DISTRIBUIÇÃO ÓTIMA DE POTÊNCIA DOS GERADORES 
INCLUINDO O EFEITO DAS PERDAS DE TRANSMISSÃO ����������������110
4�2�6 DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE DESPACHO ÓTIMO ������������������������������110
4�2�7 ESTRATÉGIA DE DESPACHO ÓTIMO PARA UM SISTEMA COM 
DUAS BARRAS �����������������������������������������������������������������������������������������111
4�3 EXEMPLOS ����������������������������������������������������������������������������������������������116
4�3�1 EXEMPLO 4�1 ���������������������������������������������������������������������������������������������116
4�3�2 EXEMPLO 4�2 ���������������������������������������������������������������������������������������������117
4�3�3 EXEMPLO 4�3 ���������������������������������������������������������������������������������������������120
5 BIBLIOGRAFIA �������������������������������������������������������������������������������������������������126
REPRESENTAÇÃO DOS 
COMPONENTES DO SISTEMA 
E FLUXO DE POTÊNCIA
10
Análise de Sistemas de Potência
1 REPRESENTAÇÃO DOS COMPONENTES DO SISTEMA E FLUXO DE POTÊNCIA
A análise de Sistemas de Potência para a determinação do Fluxo de Carga é uma 
das ferramentas primordiais no estudo de sistemas elétricos. As equações de fluxo de 
carga ou de potência podem ser aplicadas tanto em sistemas de grande porte quanto 
em pequenas instalações. Através da análise do fluxo de potência, pode-se conhecer 
o desempenho de sistemas sob o ponto de vista de operação ou planejamento.
O cálculo do fluxo de potência (ou de carga) em uma rede de energia consiste na 
determinação da tensão nas barras e da corrente nos elementos, ou do fluxo de potência 
nos elementos (equipamentos e linhas). A modelagem do sistema de potência é estática, 
ou seja, a rede é representada por um conjunto de equações/ inequações algébricas. 
Esse tipo de representação é utilizado em situações nas quais as variações com o tempo 
são suficientemente lentas para que se possa ignorar os efeitos transitórios. 
O planejamento e a operação de sistemas de energia elétrica têm como finalidade 
atender ao contínuo crescimento da carga, assim como, suas variações diárias e sazonais. 
Uma indústria de grande porte, urna rede de distribuição de energia elétrica ou mesmo 
todo o sistema elétrico integrado nacional (SIN) são exemplos de sistemas de potência. 
Para o amplo atendimento da carga, representada pelos consumidores de energia elétrica 
residenciais, comerciais e industriais, a previsão de expansão do sistema deve ser feito 
com a instalação de novos equipamentos e reforços nos sistemas de transmissão e 
distribuição, assim como sua adequada utilização dentro de procedimentos operativos.
1�1 APLICAÇÕES PRÁTICAS
É uma excelente ferramenta para a análise e adequação de uma topologia do 
sistema sob uma dada condição de geração e carga. Pode ser utilizado no planejamento, 
na operação e no controle do sistema de potência. Pode ser feito, também, como parte 
integrante de outros estudos, tais como análises de curto-circuito, cálculos das tensões 
pré falta, estabilidade e confiabilidade, pois conhecendo-se os dados probabilísticos 
de falha dos diversos componentes da rede, pode-se estimar a ocorrência de falta de 
suprimento ao consumidor, a fim de torná-la menor que um percentual especificado, 
através da determinação do aporte de investimento no sistema. O fluxo de potência 
também serve para a análise do fluxo ótimo, sendo que este estudo fornece a melhor 
topologia/configuração capaz de minimizar o custo de operação e as perdas. 
1�2 FORMULAÇÃO BÁSICA DO SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA
Um sistema de potência bem projetado compreende um grande número de 
estações geradoras interligadas de modo que a energia total produzida possa ser 
utilizada em toda a região coberta pelo sistema. A localização das centrais hidroelétricas 
é determinada pela presença de quedas d’água, porém a localização das termoelétricas 
são, em geral, mais facilmente alocadas pelo sistema.
O crescimento do consumo não é controlado pelas concessionárias de energia 
elétrica, porém, frequentemente, a facilidade de se obter energia a preço baixo é um 
incentivo para que o consumo aumente nas regiões em que isso venha a ocorrer. Uma 
das funções dos sistemas de potência é prever a demanda futura de energia de tal 
modo que centrais geradoras adequadamente situadas e sistemas de transmissão bem 
coordenados, flexíveis e eficazes, possam atender a uma determinada região por meio 
11
Análise de Sistemas de Potência
de sistemas de distribuição sempre prontos a fornecer a potência requerida pela carga. 
À medida que o sistema cresce, novas fontes de energia devem ser incorporadas para 
satisfazer ao aumento de demanda; também novas linhas devem ser construídas para 
ligar estações geradoras entre si, a um número cada vez maior de pontos de distribuição 
e a outros sistemas de potência.
Um dos motivos da rápida aceitação dos sistemas de corrente alternada foi o 
transformador, que tornou possível a transmissão da energia elétrica em tensões 
maiores do que as de geração ou as de utilização. Com uma tensão mais elevada, 
uma dada potência pode ser transmitida com menor corrente, resultando em menores 
perdas térmicas (R I2) na linha.
A escolha da tensão de uma linha é, principalmente, um problema de equilíbrio 
entre o investimento inicial na construção da malha e nos equipamentos, e o custo de 
sua operação. Grande parte da economia obtida no custo do condutor, ao se projetar 
uma linha para maiores tensões, é perdida pelo aumento das perdas no ar que se 
ioniza, graças ao alto gradiente de tensão no condutor e pelo aumento dos custos dos 
isoladores, transformadores e seccionadores.A necessidade de grandes blocos de potência e de maior confiabilidade de 
funcionamento deram origem à interconexão dos sistemas próximos. A interconexão é 
vantajosa economicamente porque requer menor número de máquinas de reserva 
destinadas a operar em condições de pico (capacidade de reserva) e porque menor 
número de máquinas funcionando em vazio são necessárias para atender repentinos e 
inesperados aumentos de consumo (reserva girante). A redução do número de máquinas 
torna-se possível porque uma companhia pode solicitar a outra a potência adicional de 
que necessita. Além disso, a interconexão permite às concessionárias aproveitarem as 
fontes de energia mais econômicas, facilitando também a continuidade de operação dos 
sistemas que dependem principalmente de usinas hidroelétricas em períodos de estiagem.
Infelizmente, esta interconexão resultou em alguns problemas que podem ser 
resolvidos satisfatoriamente. A corrente que circula durante um curto-circuito é 
aumentada, obrigando a instalação de disjuntores de maior capacidade de interrupção. 
As perturbações causadas por um curto-circuito em um sistema podem se estender 
aos sistemas a ele interligados. É necessário que os sistemas mantenham a mesma 
frequência e as máquinas síncronas devem estar em fase.
O planejamento da operação, o aperfeiçoamento e a expansão de um sistema 
de potência exigem estudos de carga, cálculo de faltas e estabilidade. Um problema 
importante para o funcionamento correto de um sistema é a determinação de como se 
deve repartir, entre as várias usinas geradoras e em cada uma, entre as diversas 
máquinas, a potência a ser produzida em um determinado momento. 
1�3 REQUISITOS TÉCNICOS
Os requisitos do processo de especificação, projeto e construção das redes foram 
concebidos para garantir o atendimento aos consumidores, respeitando limites de tolerância 
com relação aos níveis de tensão e interrupção do fornecimento. A desregulamentação 
do setor elétrico obrigou as concessionárias a operar em um ambiente de competição 
(redução de custos, aumento da confiabilidade e melhoria dos índices de qualidade). O 
crescimento na demanda de energia, particularmente por energia proveniente de fontes 
limpas e renováveis, impôs novos desafios às concessionárias (destacando-se a 
acomodação de geração distribuída sem alteração nos níveis de serviço).
12
Análise de Sistemas de Potência
Sistemas elétricos de potência encontram-se entre as construções mais impressionantes 
desenvolvidas pelo homem, quando se considera os pontos de vista técnico, econômico e 
científico. Uma grande rede de conversão e transporte de energia, responsável por definir 
o comportamento da sociedade, bem como os meios de produção. Os sistemas elétricos 
de potência foram concebidos para garantir o atendimento aos consumidores e a rentabilidade 
das concessionárias do setor elétrico, sem colocar em risco certos níveis de confiabilidade. 
A desregulamentação do setor elétrico impôs novos desafios a essas concessionárias, tais 
como: privatizações, garantias de manutenção e/ou ampliação dos níveis de confiabilidade 
praticados antes das privatizações, ampliação da informação aos consumidores, maximização 
do uso e vida útil dos ativos e qualidade de energia.
Uma rede resiliente possui capacidade de manter-se em funcionamento, total ou 
parcialmente, na ocorrência de situações imprevistas e/ou indesejadas. Redes elétricas 
devem ter a capacidade de isolar essas situações e assegurar a entrega de energia 
elétrica aos consumidores, de forma rápida e eficiente. Além das situações decorrentes 
de desastres naturais ou acidentes, as redes elétricas devem ser capazes de assegurar 
a entrega de energia, mesmo nas situações de ataques terroristas (ataques físicos ou 
cibernéticos) e apesar do congestionamento, que é caracterizado pelo carregamento 
excessivo das linhas de transmissão e pode ser minimizado com o emprego de caminhos 
alternativos ou com a alteração na operação das usinas de geração. 
A confiabilidade de um sistema de transmissão consiste na capacidade de 
atendimento à demanda, de forma contínua, bem como na resiliência para suportar 
grandes falhas (por exemplo a isolação de uma linha de transmissão na ocorrência 
de um defeito). Para garantir a confiabilidade dos sistemas de transmissão é importante 
a manutenção de uma base de dados confiável, que permita a análise do seu 
comportamento ao longo do tempo. Como resultado, pode-se reavaliar as práticas e 
normas adotadas, de modo a melhorar os índices de continuidade de serviço.
A modernização dos sistemas de transmissão pode postergar a necessidade de 
investimentos em novas linhas, sem produzir impactos na confiabilidade do sistema. 
Os benefícios decorrentes do emprego de sistemas de automação e controle dos 
sistemas de distribuição de energia elétricas são inúmeros. Dentre eles pode-se destacar: 
o aumento da confiabilidade das redes, a ampliação da eficiência na operação dos 
sistemas, a extensão da vida útil dos ativos.
De um modo geral, a operação dos sistemas elétricos de potência consiste na 
atividade de produção, transmissão e distribuição da energia elétrica aos consumidores 
finais. Por essa razão, a operação desses sistemas requer o equilíbrio entre segurança, 
economia e qualidade de energia. Do ponto de vista técnico, o equilíbrio depende apenas 
das características das usinas geradoras de energia elétrica (matéria prima e capacidade 
total), estrutura e condições de operação do sistema de entrega dessa energia e 
características da demanda. Porém, atualmente deve-se considerar também as regras 
impostas pelo mercado de energia elétrica MAE (sigla para Mercado Atacadista de Energia).
1�4 OPERAÇÃO DOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
As funções de apoio à decisão podem ser divididas em grupos, de acordo com 
o seu horizonte de tempo. A operação instantânea engloba o monitoramento, em tempo 
real, do estado dos sistemas elétricos (geração de energia, fluxo de carga, níveis de 
tensão, etc.). Para o planejamento da operação, tem-se o planejamento em curto prazo 
13
Análise de Sistemas de Potência
que é crucial para a operação econômica das usinas de geração. Desta forma, deve-se 
proceder com a previsão de carga para garantir o melhor ponto de operação, ou seja, 
a condição otimizada. Finalmente, é preciso que se elabore relatórios de operação que 
reflitam os índices de desempenho, de taxa de falhas e o carregamento das redes, 
para efeito de planejamento a longo prazo e histórico para comparações futuras.
Os sistemas elétricos de potência, normalmente, são considerados os maiores 
e mais complexos sistemas dinâmicos já construídos pela humanidade. É um conjunto 
de equipamentos (condutores, máquinas, torres, disjuntores, cargas, etc.) conectados 
entre si para desempenhar as funções de geração, transmissão e distribuição. Essa 
estrutura deve garantir confiabilidade, qualidade e preço reduzido para o consumidor 
de energia elétrica. O primeiro modelo da estrutura descrito anteriormente foi estabelecido 
por Samuel Insull a partir da empresa Chicago Edison Company. A visão de Samuel 
Insull a respeito da indústria de energia elétrica, válida até os dias atuais, é baseada 
em quatro pilares fundamentais:
1º Consumo de massa: é economicamente vantajoso fornecer energia elétrica 
a consumidores inseridos em uma grande rede elétrica interconectada, uma vez que 
há aumento na confiabilidade;
2º Economia de escala: aumento na produção de energia elétrica resulta em 
diminuição dos custos por unidade de energia produzida, bem como na garantia de 
entrega da energia elétrica;
3º Estratégia de marketing: descontos proporcionais ao consumo de energia 
elétrica (sell more and charge less – vender mais e cobrar menos);
4º Regulação: proporciona estabilidade de investimentos a uma indústria de 
capital intensivo e grande interação política.
Qualquer sistema elétrico de potência deve garantir o suprimento de energia aos 
consumidores, de forma confiável e ininterrupta,respeitando os limites de variação de 
frequência e tensão. Neste contexto, os grandes desafios técnicos dos sistemas elétricos 
interligados residem nas etapas de especificação, projeto e operação, de modo a 
garantir sua integridade nas mais diversas situações, tais como na presença de variações 
instantâneas no consumo de energia, tanto no momento de conexão como na desconexão 
de cargas, na eventualidade de distúrbios: como curtos-circuitos nos equipamentos 
que compõem os sistemas, perda de grandes blocos de carga, etc.
Parte das atribuições dos operadores dos sistemas interligados é decidir como 
agregar a capacidade reserva ao longo do dia, considerando as variações de carga do 
sistema e o custo de produção de energia elétrica nessas condições. Essa tarefa deve 
ser realizada de modo que o custo total de produção de energia elétrica seja o menor 
possível, para garantir o maior retorno ao setor. De maneira simplista, isso significa 
manter, na base do sistema produtivo, as usinas que têm custo operacional mais baixo 
e, à medida que a carga aumentar, ir colocando em operação as usinas que possuem 
custo operacional mais elevado, para manter os índices de confiabilidade do sistema.
1�5 SISTEMA ELÉTRICO DE POTÊNCIA BRASILEIRO
O sistema elétrico de potência brasileiro é formado por geradores, transformadores 
que podem ser abaixadores ou elevadores de tensão, linhas de transmissão e por 
cargas localizadas na transmissão ou na distribuição. Os geradores transformam energia 
mecânica em energia elétrica e injetam a potência gerada na rede de transmissão. 
14
Análise de Sistemas de Potência
A matriz energética brasileira é formada, principalmente, pelas usinas hidrelétricas 
(mais de 60% do total), seguidos pelas usinas térmicas (17,5%). A energia mecânica 
é fornecida por turbinas hidráulicas ou a vapor, proveniente do carvão, gás, biomassa 
(óleo, bagaço de cana). Os dados de geração citados anteriormente foram retirados 
do site da Aneel. Analisando-os mais profundamente é possível traçar um gráfico com 
a distribuição da matriz energética brasileira pelas várias fontes de geração ilustrado 
na figura 1.1.
Figura 1�1: Matriz energética brasileira. 
Dados disponíveis em http://www.aneel.gov.br/aplicacoes/capacidadebrasil/
OperacaoCapacidadeBrasil.cfm, site consultado em fevereiro/2016.
Por razões econômicas, para possibilitar a minimização das perdas, a transmissão 
é normalmente efetuada em tensões elevadas. As tensões usuais de transmissão, em 
corrente alternada, podem variar de 138 kV até 765 kV incluindo, neste intervalo, as 
tensões de 230 kV, 345 kV, 440 kV e 500 kV. Devido a limitações físicas e de isolamento 
elétrico, os geradores não podem operar nesses níveis de tensão. Os geradores 
normalmente são construídos para operar com tensões em 13,8 kV. Estes equipamentos 
também estão afastados dos grandes consumidores necessitando de uma conexão 
entre eles, o que é possível devido a linhas de transmissão. Os geradores que são 
afastados dos centros de carga injetam sua potência gerada na rede através de 
transformadores elevadores que têm por finalidade transformar a potência gerada dos 
níveis de tensão de geração para os níveis de tensão de transmissão, com a consequente 
redução dos níveis de corrente e, portanto, das perdas de transmissão (perdas ôhmicas). 
O sistema de transmissão brasileiro está representado na figura 1.2.
15
Análise de Sistemas de Potência
Figura 1�2: Integração eletroenergética brasileira. 
Dados disponíveis em http://www.ons.org.br/conheca_sistema/pop/pop_integracao-
eletroenergetica.aspx, site consultado em fevereiro/2016.
Por razões práticas e de segurança, a potência entregue aos centros de carga 
não pode ser consumida nos níveis de tensão em que é feita a transmissão, sendo 
utilizados transformadores para abaixar a tensão para os níveis de distribuição. Os 
sistemas ditos de subtransmissão contam com níveis mais baixos de tensão, tais como 
34,5 kV, 69 kV ou 88 kV e 138 kV e alimentam subestações de distribuição, cujos 
alimentadores primários de saída operam usualmente em níveis de 13,8 kV. Junto aos 
pequenos consumidores existe uma outra redução do nível de tensão para valores 
entre 110 V e 440 V, na qual operam os alimentadores secundários. A figura 1.3 retrata 
toda a Terra vista do espaço à noite e reflete o potencial de expansão do Brasil quando 
comparado com os de grandes centros consumidores de energia elétrica.
16
Análise de Sistemas de Potência
Figura 1�3: A Terra vista à noite do espaço. 
Vídeo original divulgado pela NASA é de abril de 2012 e está disponível em https://
www.nasa.gov/mission_pages/NPP/news/earth-at-night.html#.VsTk7rQrLZ5
1�6 FORMULAÇÃO BÁSICA 
Os componentes de um sistema de energia elétrica podem ser classificados em 
dois grupos: elementos entre um nó qualquer e a terra (gerador, carga, reator, capacitor) 
e elementos entre dois nós da rede (linha de transmissão, transformador, defasador). 
Os geradores e as cargas são considerados como parte externa ao sistema e são 
modelados através de injeções de potência nos nós da rede. A parte interna ao sistema 
é formada pelos demais elementos (linha, transformadores, reatores, etc). As equações 
básicas do fluxo de potência são obtidas impondo-se a conservação das potências 
ativa e reativa em cada nó da rede, ou seja, a potência líquida injetada deve ser igual 
à soma das potências que fluem pelos componentes internos que tem este nó como 
um de seus terminais. Utiliza-se a Primeira Lei de Kirchhoff. A Segunda Lei de Kirchhoff 
é utilizada para expressar os fluxos de potência nos componentes internos como funções 
das tensões (estados) de seus nós terminais.
Na formulação mais simples do problema do fluxo de carga, também chamada 
de formulação básica, a cada barra da rede são associadas quatro variáveis, sendo 
que duas delas entram no problema como dados e duas como incógnitas:
V k – valor da tensão nodal (barra k)
q k – ângulo da tensão nodal
P k – geração líquida (geração menos carga) de potência ativa
Q k – injeção líquida de potência reativa
Dependendo de quais variáveis nodais entram como dados e quais são consideradas 
como incógnitas, definem-se três tipos de barras:
PQ – são dados Pk e Qk e são calculados Vk e q k (barras de carga)
PV – são dados Pk e Vk e são calculados Qk e q k (barras de geração)
REFERÊNCIA - são dados Vk e q k e são calculados Pk e Qk (barras de geração 
– geralmente uma unidade geradora de grande capacidade).
17
Análise de Sistemas de Potência
As barras dos tipos PQ e PV são utilizadas para representar, respectivamente, 
barras de carga e barras de geração (incluindo-se os condensadores síncronos). A 
barra Vq, ou barra de referência, tem uma dupla função: como o próprio nome indica, 
fornece a referência angular do sistema (a referência de magnitude de tensão é o 
próprio nó terra); além disso, é utilizada para fechar o balanço de potência do sistema, 
levando em conta as perdas de transmissão não conhecidas antes de se ter a solução 
final do problema. Por isto a necessidade de se dispor de uma barra na qual não é 
especificada a potência ativa.
O conjunto de equações do problema do fluxo de carga é formado por duas 
equações para cada barra, cada uma delas representando o fato de as potências ativas 
e reativas injetadas em uma barra serem iguais à soma dos fluxos correspondentes 
que deixam a barra através de linhas de transmissão, transformadores, etc. Isso 
corresponde à Primeira Lei de Kirchhoff e pode ser expresso matematicamente por: 
(1.1)
Em que: 
k = 1, ..., NB; sendo NB o número de barras da rede;
Wk - conjunto das barras vizinhas da barra k;
Vk, Vm – magnitudes das tensões das barras terminais do ramo k – m;
q k, q m – ângulos das tensões das barras terminais do ramo k – m;
Pkm – fluxo de potência ativa no ramo k – m;
Qkm – fluxo de potência reativa no ramo k – m
 - componente da injeção de potência reativa devida ao elemento shunt da 
barra k ( , sendo a susceptância shunt ligada à barrak)
Os ângulos q k , q q m aparecem sempre na forma q k - q m, significando que uma 
mesma distribuição de fluxos na rede pode ser obtida se for somada uma constante 
arbitrária a todos os ângulos nodais, ou seja, o problema do fluxo de carga é indeterminado 
nas variáveis q, o que torna necessária a adoção de uma referência angular (como por 
exemplo uma barra tipo Vq). As equações (1.1), acima demonstradas, foram montadas 
considerando-se a seguinte convenção de sinais: as injeções líquidas de potência são 
positivas quando entram na barra (geração) e negativas quando saem da barra (carga); 
os fluxos de potência são positivos quando saem da barra e negativos quando entram; 
para os elementos shunt das barras é adotada a mesma convenção que para as 
injeções. Essas convenções de sentidos para as potências ativas e reativas são as 
mesmas utilizadas para correntes e estão indicadas na figura 1.4.
18
Análise de Sistemas de Potência
Figura 1�4: Convenção de sinais para fluxos e injeções de corrente, potência ativa e reativa
O conjunto de inequações que fazem parte do problema do fluxo de carga, é 
formado, entre outras, pelas restrições nas magnitudes das tensões nodais das barras 
PQ e pelos limites nas injeções de potência reativa das barras PV:
(1.2)
Pode-se incluir também restrições quanto aos limites de valores dos taps dos 
transformadores em fase e defasadores assim como também limites na capacidade 
de geração de barras responsáveis pelo controle de intercâmbio ou limites das tensões 
das barras PV.
1�7 MODELAGEM DE LINHAS, TRANSFORMADORES, GERADORES E CARGA
1�7�1 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO
Para linhas curtas (até 80 km) a capacitância da linha, por ser pequena, é 
desprezada, sendo a linha representada pelos parâmetros série, ou seja, a resistência 
e a indutância.
O modelo equivalente q de uma linha de transmissão maior que 80 km, representado 
na figura 1.5 é definido por três parâmetros: a resistência série rkm, a reatância série 
xkm e a susceptância shunt .
19
Análise de Sistemas de Potência
Figura 1�5: Modelo Equivalente p de uma linha de transmissão.
A impedância do elemento série é:
zkm = rkm + jxkm (1.3)
enquanto a admitância série é:
(1.4)
ou seja, a condutância série gkm e a susceptância série bkm são dadas por:
(1.5)
Quando o modelo q representa uma linha de transmissão tem-se rkm e xkm positivos 
o que implica gkm positivo e bkm negativo (tipo indutivo). O elemento é positivo, 
pois o shunt é do tipo capacitivo.
A corrente Ikm (figura 1.5) é formada de uma componente série e uma componente 
shunt, e pode ser calculada a partir das tensões terminais Ek e Em dos parâmetros do 
modelo equivalente q.
(1.6)
em que
(1.7)
Analogamente, a corrente Imk é dada por:
(1.8)
20
Análise de Sistemas de Potência
1�7�2 REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADOR 
1�7�2�1 TRANSFORMADOR EM FASE
A representação geral de transformadores em fase e defasadores dada na figura 
1.6 consiste, basicamente, em uma admitância série ykm e um autotransformador ideal 
com relação de transformação 1: t. Para o transformador em fase t é um número real 
(t = a) e para o defasador t é um número complexo (t = a ).
Figura 1�6: Modelo de transformador.
Para o transformador em fase, a relação entre as magnitudes das tensões dos 
nós terminais k e p do transformador ideal é dada por: 
(1.9)
que é a própria relação entre as tensões complexas Ep e Ek , pois q k = q p:
(1.10)
O fato de o transformador k – p que aparece no modelo ser ideal implica também 
que as potências complexas na entrada e na saída são iguais, ou seja, não há dissipação 
de potência ativa ou reativa entre os nós k e p:
(1.11)
A partir das relações (1.10) e (1.11), obtém-se:
(1.12)
ou seja, as correntes Ikm e Imk estão defasadas de 180º e suas magnitudes estão na 
razão a :1.
O transformador em fase pode ser representado por um circuito equivalente do 
tipo p, conforme ilustrado na figura 1.7. 
21
Análise de Sistemas de Potência
Figura 1�7: Modelo equivalente do transformador em fase.
A determinação das admitâncias A, B e C do circuito equivalente é feita identificando-
se as correntes Ikm e Imk do modelo da figura 1.7 com as correntes correspondentes 
do circuito equivalente da figura 1.6. Na figura 1.7 tem-se:
Ikm = -aykm (Em – Ep) = (a
2ykm)Ek + (-aykm)Em
Imk = ykm (Em – Ep) = (-aykm)Ek + (ykm)Em
(1.13)
Para o modelo p da figura 1.7, pode-se escrever:
Ikm = (A + B)Ek + (-A)Em
Imk = (- A)Ek + (A + C)Em
(1.14)
Identificando os coeficientes de Ek e Em nas expressões (1.13) e (1.14), tem-se:
A = aykm
B = a (a – 1) ykm
C = (1 – a) ykm
(1.15)
As expressões (1.15) permitem a análise do efeito da relação de transformação 
1 : a sobre as magnitudes das tensões terminais Vk e Vm. Considerando-se inicialmente 
a = 1. Neste caso, as admitâncias B e C são nulas, e o circuito equivalente p reduz-se 
à admitância série ykm. Alterando-se a relação de transformação para um valor a < 1, B 
terá sinal contrário a ykm e, portanto, será do tipo capacitivo, enquanto C será do tipo 
indutivo; isto implicará em uma tendência a aumentar Vk e reduzir Vm. Ao contrário, 
fazendo a > 1, B será indutivo (mesmo sinal que ykm) enquanto C será do tipo capacitivo: 
haverá uma tendência a diminuir Vk e aumentar Vm. Se uma das barras terminais tiver 
tensão regulada (PV, Vq), ou estiver eletricamente próxima de uma barra desse tipo, a 
outra barra terminal sofrerá os efeitos das alterações na relação 1 : a. Nestes casos, 
ou seja, quando uma das tensões terminais é rígida, tudo se passa como se o transformador 
se apoiasse em um de seus terminais para elevar ou diminuir a magnitude da tensão 
do terminal oposto.
1�7�2�2 TRANSFORMADOR DEFASADOR
Este transformador permite que se controle o fluxo de potência ativa do ramo no 
qual ele está inserido. A situação é análoga a de um circuito em corrente contínua no 
22
Análise de Sistemas de Potência
qual se insere uma fonte de tensão em um de seus ramos. Dependendo da polaridade 
da fonte a corrente que passa no ramo poderá aumentar ou diminuir devido a introdução 
da fonte, eventualmente mudando de sinal. O defasador consegue influenciar o fluxo 
de potência ativa introduzindo uma defasagem entre os nós k e p.
Considere uma situação na qual, antes de se inserir o defasador, o fluxo de potência 
ativa tem o sentido k → m ( ). Seja j > 0 o ângulo introduzido pelo defasador, isto 
é, q p = q k + j. Se o ramo k – m for radial, o fluxo Pkm ficará inalterado, passando a nova 
abertura angular do ramo k – m a ser dada por q km= + j, ou seja, a abertura angular 
sobre a admitância ykm ficará inalterada (q pm = ), pois os nós p e m sofrerão a 
mesma variação angular (q p = + j e q m = + j). Se o ramo k – m não for radial, 
situação que realmente tem interesse prático, o restante do sistema tenderá a impedir que 
a abertura angular q km varie livremente, e a variação provocada pela introdução do defasador 
será tanto menor quanto mais forte for o sistema de transmissão (ou quanto maior for a 
magnitude da susceptância equivalente total entre os nós k e m, em relação à susceptância 
do defasador). Neste caso, a abertura angular sobre a admitância ykm passará a ser q pm 
, o que implica um acréscimo no fluxo de potência ativa no ramo k – m. O mesmo 
raciocínio pode ser repetido para j negativo, caso em que o fluxo de potência ativa no 
ramo k – m diminuirá com a introdução do defasador. Uma situação extrema ocorre para 
sistemas infinitamente fortes, para os quais os ângulos q k e q m são rígidos, isto é, não 
variam com o ângulo j introduzido pelo defasador (situação ideal). Neste caso tem-se q 
km , ou seja, a abertura angular sobre a admitância ykm, após a 
introdução do defasador, é q pm = + j. Isso significa que todo o ângulo j do defasador 
é somado à abertura angular existente inicialmente entre os pontos p e m ( se j for 
positivo, o fluxo de potência ativa aumentará e vice-versa). Existem, portanto, duas 
situações extremas: o ramo k – m é radial, caso em que q pm = significandoque o 
fluxo Pkm independe de j; o ramo k – m não é radial e a rede é infinitamente forte entre 
os nós k e m, caso em que q pm = + j, significando máxima influência de j sobre 
Pkm. As situações práticas estão entre os dois extremos, ou seja, para j > 0, tem-se 
 (relação análoga vale para j < 0). Note-se que esta discussão 
vale para sistemas de transmissão típicos, nos quais os fluxos de potência ativa dependem 
basicamente das aberturas angulares nos ramos (as reatâncias série são muito maiores 
que as resistências séries).
No caso do defasador puro (aquele que só afeta a relação entre as fases das 
tensões Ek e Em, sem afetar a relação entre suas magnitudes) tem-se:
(1.16)
o que equivale a dizer
q p = q p + j (1.17)
pois as magnitudes das tensões Vk e Vm são iguais. Substituindo-se (1.16) em (1.11), 
obtém-se:
(1.18)
23
Análise de Sistemas de Potência
As correntes Ikm e Imk podem ser escritas em função das tensões terminais da 
mesma forma que foi feito para o transformador em fase, resultando:
(1.19)
Pode-se observar facilmente que é impossível a determinação dos parâmetros 
A, B e C do circuito equivalente p neste caso, pois nas expressões (1.19) o 
coeficiente de Em na equação de Ikm difere do coeficiente de Ek na equação Ikm (
ykm e – t ykm , respectivamente).
Já foram discutidos o transformador em fase (t = a) e o defasador puro ( ). 
O defasador com afeta não só o fluxo de potência ativa mas também o fluxo 
de potência reativa (ou as tensões terminais) no ramo onde está inserido. O procedimento 
seguido na obtenção das equações de Ikm e Imk, neste caso, é o mesmo dos casos 
precedentes e pode ser facilmente repetido por analogia. A única diferença em relação 
às expressões (1.19) é que o coeficiente de Ek na equação de Ikm passa a ser a2ykm 
em vez de ykm. Uma possibilidade prática e simples de se representar aproximadamente 
um defasador com a ≠ 1 consiste em utilizar-se de um modelo constituído de um 
transformador em fase (t = a) em série com um defasador puro ( ).
1�7�3 REPRESENTAÇÃO DE GERADOR
Vai-se estudar a modelagem dos geradores (além dos motores e compensadores) 
síncronos do ponto de vista do cálculo de fluxo de carga em redes de energia elétrica. 
Há interesse em saber quais os limites que podem atuar e como esses limites influenciam 
a capacidade de geração de potência ativa e reativa dos geradores em diversas situações 
de operação.
Em problemas de cálculo de potência e fluxo de potência ótimo, é comum serem 
introduzidas restrições do tipo:
(1.20)
Se os limites utilizados nestas restrições forem considerados 
fixos e independentes entre si, estas restrições equivalem a se especificar uma região 
de operação viável para o gerador k do tipo da representada na figura 1.8, ou seja, 
uma região retangular.
 
Figura 1�8: Limites aproximados de geração ativa e reativa
24
Análise de Sistemas de Potência
Em muitas situações práticas este tipo de aproximação pode levar a erros inaceitáveis, 
já que a região de operação viável do gerador é de fato mais complexa do que mostrado 
na figura 1.8. Em problemas de cálculo de fluxo de carga normalmente são especificadas 
as tensões desejadas para operação do gerador e calculadas as injeções de potência 
reativa. Esses valores calculados (variáveis dependentes) devem obedecer a limites 
máximos e mínimos de geração de potência reativa do tipo dados na figura 1.8, ou seja, 
os limites reativos considerados dependem do nível atual de geração de potência ativa. 
Em problemas de cálculo de fluxo de potência ótimo, por sua vez, é comum permitirem-
se variações tanto dos níveis de geração ativa como de geração reativa, dentro dos 
limites, visando a operação ótima do sistema de acordo com algum critério; neste caso, 
a representação dos limites dados pela curva de capacidade da figura 1.9, ou de uma 
aproximação adequada, torna-se fundamental.
Figura 1�9: Curva de capacidade de geração.
1�7�3�1 MÁQUINAS SÍNCRONAS
Três tipos de máquinas síncronas são utilizadas em sistemas de energia elétrica: 
geradores, motores e compensadores síncronos. Praticamente toda a potência ativa 
consumida no sistema é gerada por meio de geradores síncronos. Os compensadores 
síncronos são utilizados na compensação de potência reativa (essas máquinas operam 
com potência ativa nula, ou seja, não são geradores nem motores). O torque mecânico 
no eixo de uma máquina síncrona se deve à interação de dois campos magnéticos 
girantes: um desses campos é produzido pela corrente no enrolamento de campo que 
se move a uma velocidade constante (localizado no rotor da máquina síncrona); o outro 
campo girante é produzido pelas correntes trifásicas nos enrolamentos da armadura 
(fixos no estator). A potência no eixo é medida pelo produto da velocidade angular do 
rotor pelo torque. No caso do gerador, o torque mecânico é fornecido pela turbina. 
25
Análise de Sistemas de Potência
Os geradores síncronos são movidos por turbinas hidráulicas ou a vapor. No caso 
de turbinas hidráulicas, a fonte primária de energia é a energia potencial armazenada 
nos reservatórios. No caso das turbinas a vapor, a fonte primária de energia é a produção 
do vapor, o que pode ser feito por queima de combustível (carvão, óleo, gás, renováveis 
ou nuclear).
As usinas hidráulicas utilizam barragens para elevar o nível da água e garantir a 
pressão necessária para mover as turbinas. As barragens podem também ter o papel 
de formar o reservatório de acumulação e podem ter longos períodos de operação 
(ciclos multianuais de captação e de depleção, como é o caso do reservatório de Ilha 
Solteira, por exemplo). Existem também as chamadas usinas fio-d’água, nas quais a 
capacidade de armazenagem de água é limitada (ciclos diários de operação, por 
exemplo). Não existe, entretanto, relação direta entre a capacidade de geração instalada 
em uma usina e a capacidade de armazenagem de energia em seu reservatório: Itaipu, 
por exemplo, uma das maiores usinas em operação tem um reservatório tipo fio-d’água. 
Isto se deve ao fato dela ser a última usina jusante da Bacia do Rio Paraná. Ocorre 
que esta gigantesca hidrelétrica pode utilizar toda a água que chega ao reservatório, 
mantendo apenas uma reserva mínima para garantir a operacionalidade e tal diferencial 
se deve, direta ou indiretamente, à existência de dezenas de barragens a montante.
O custo de operação de usinas hidráulicas é relativamente barato quando 
comparados com a maioria dos outros tipos de usinas que queimam algum tipo de 
combustível. Já os investimentos necessários são relativamente elevados; considerando-
se que o capital é um bem escasso e de custo elevado, pode-se avaliar as dificuldades 
de se desenvolver um sistema baseado nesse tipo de aproveitamento. Os geradores 
síncronos, acionados por turbinas hidráulicas, usualmente são de pólos salientes e 
funcionam em rotações relativamente baixas quando comparados com turbinas a vapor 
(disto resulta o elevado número de pólos encontrados em alguns geradores deste tipo).
As usinas térmicas utilizam vapor produzido em caldeiras que queimam algum 
tipo de combustível. No caso do carvão, por exemplo, a energia primária está originalmente 
na forma de energia potencial química e é transformada, pela queima, em energia 
térmica de vapor aquecido em alta pressão que, por sua vez, produz energia mecânica 
de rotação ao passar pelas aletas da turbina. Desse ponto de vista, não existe grande 
diferença entre os vários tipos de fonte primária utilizados na produção de vapor, pois, 
até mesmo no caso das usinas nucleares, esse mecanismo básico continua válido. Os 
geradores síncronos acionados por turbinas a vapor normalmente tem pólos lisos e 
funcionam em rotações relativamente altas quando comparados com turbinas hidráulicas 
(consequentemente, o número de pólos é relativamente mais baixo que no caso de 
turbinas hidráulicas).
Deve-se, inicialmente, sincronizar o gerador à rede. Isto é feito quando as seguintes 
condições forem atendidas:
 ▪ O gerador deve girarcom uma velocidade igual à do sistema, e no sentido 
apropriado. Isso é conseguido quando a tensão do gerador estiver em uma frequência 
igual à da tensão do sistema e ambas apresentarem a mesma sequência de fases;
 ▪ Os fasores tensão, da máquina e do sistema, deverão ter módulos iguais (isto 
é, por meio da corrente de campo, deve-se ajustar as forças eletromotrizes do gerador 
aos valores de tensão da rede);
 ▪ As tensões da máquina e do sistema deverão ter fases iguais.
26
Análise de Sistemas de Potência
O torque mecânico no eixo da máquina síncrona surge devido à interação de dois 
campos magnéticos girantes: o campo magnético produzido pela corrente no enrolamento 
de campo que se move a uma velocidade constante (localizado no rotor) e o campo 
magnético girante produzido pelas correntes trifásicas nos enrolamentos da armadura 
(enrolamentos fixos no estator).
A potência no eixo é medida pelo produto da velocidade angular do rotor pelo 
torque. No caso do gerador o torque mecânico é produzido pela turbina. 
1�7�3�2 MODELO DE CIRCUITO DE UMA MÁQUINA 
SÍNCRONA
A figura 1.10 representa o diagrama fasorial correspondente à situação em que 
a força eletromotriz Ef (interna) está adiantada em relação à tensão terminal Vt, ou seja, 
a máquina funciona como gerador, e a corrente I está atrasada em relação à tensão 
nominal, ou seja o gerador está fornecendo reativos ao sistema. Note-se que neste 
caso a projeção de Ef sobre Vt tem magnitude maior que a própria magnitude de Vt; 
isto exige uma corrente de excitação maior que um certo valor mínimo, sendo esta a 
explicação para o termo sobre-excitado.
Figura 1�10: Diagrama fasorial do gerador sobre-excitado. 
Para o diagrama fasorial da fase a, visualiza-se as componentes em separado do 
fluxo no eixo da bobina a; isto é, onde q d (d é referente ao eixo direto) é igual a zero. 
O fluxo do rotor f f é o único a ser considerado quando a corrente de armadura é zero. 
Esse fluxo f f gera a tensão em vazio Eao a qual será designada por Ef. O fluxo f ar 
devido à fmm da reação da armadura Far está em fase com a corrente ia (para q d = 0). 
A soma de f f e f ar, desprezando a saturação é f r que é o fluxo resultante que gera 
a tensão Er nos enrolamentos da bobina que compõe a fase a. As tensões Ef e Ear 
estão 90º atrasadas em relação aos fluxos f f e f ar que as geram. O fluxo resultante 
f r, é o fluxo do entreferro da máquina e gera Er no estator. 
27
Análise de Sistemas de Potência
Nota-se que Ear está 90º atrasada em relação a Ia. O módulo de Ear, determinado 
por f ar é por sua vez proporcional a .pois ele é o resultado da corrente de armadura. 
Então, pode-se especificar uma reatância indutiva Xar tal que:
Ear = j Ia Xar (1.21)
A equação (1.21) define Ear, com o defasamento apropriado desta tensão em 
relação a Ia. Então, a tensão gerada na fase a pelo fluxo do entreferro é Er onde:
Er = Ef + Ear = Ef – j Ia Xar (1.22)
A tensão gerada em cada fase pelo fluxo resultante excede o valor da tensão 
terminal de uma fase apenas pela queda de tensão devido a corrente de armadura 
vezes a reatância de dispersão Xd do enrolamento, sendo a resistência desprezada. 
Se a tensão terminal for Vt:
Vt = Ef - j Ia Xd (1.23)
O produto Ia Xd equivale à queda de tensão causada por aquela porção do fluxo 
(produzido pela corrente de armadura) que não atravessa o entreferro. Então das 
equações (1.22) e (1.23):
Vt = Ef – j Ia Xar – j Ia Xd (1.24)
Ef = tensão gerado em vazio
Ia Xar = tensão gerada devido à reação de armadura
Ia Xd= tensão devido à reatância de dispersão da armadura
Ou
Vt = Ef – j Ia Xs (1.25)
Onde Xs é chamada reatância síncrona, é igual a Xar + j Xd. Se a resistência de 
armadura Ra for considerada, a equação (1.25) tornar-se-á
Vt = Ef – Ia (Ra + j Xs ) (1.26)
As reatâncias síncronas do gerador e do motor são Xg e Xm, respectivamente e 
a resistência de armadura é desprezada na maioria dos casos. Quando se estuda faltas 
em máquinas síncronas, vê-se que a corrente que circula imediatamente após a 
ocorrência de uma falta difere do valor que circula em regime permanente. Para estes 
casos usa-se a reatância subtransitória . ou a reatância transitória .
Quando surgirem máquinas de pólos salientes em problemas de fluxo de rede, 
tem-se que levar em consideração a diferença entre o caminho de fluxo diretamente 
pela face polar (chamado eixo direto) e o caminho entre os pólos (chamado eixo em 
quadratura). Para isso, a corrente de armadura é dividida em duas componentes. Uma 
delas está 90º defasada da tensão Ef gerada em vazio e a outra está em fase com Ef. 
A primeira componente produz fmm cujo fluxo causa uma queda de tensão calculada 
pelo produto desta corrente pela chamada reatância síncrona de eixo direto Xd. A outra 
componente está em fase com Ef e produz a fmm e o fluxo que causa uma queda de 
tensão calculada pelo produto desta componente de corrente pela reatância síncrona 
do eixo em quadratura Xq. Para máquinas de rotor cilíndrico Xd e Xq são iguais.
28
Análise de Sistemas de Potência
1�7�3�3 CURVA DE CAPACIDADE DE GERAÇÃO
Os diagramas de capacidade (curvas de capability) de geração de potência ativa 
e reativa de um gerador síncrono serão analisados neste item.
As expressões para as potências ativa e reativa entregues na barra infinita são 
dadas por:
(1.27)
Em relação ao diagrama fasorial da figura 1.15 podemos descrever
Ef = Vt + j xs I (kV) (1.28)
Que pode ser rearranjado na forma
= + j I (MW / MVAr) (1.29)
1�7�3�4 LIMITES DE GERAÇÃO 
A corrente de armadura I provoca aquecimento dos enrolamentos por perdas ôhmicas 
( ra , sendo ra a resistência da armadura). Apesar de a resistência não estar sendo 
considerada explicitamente nos diagramas fasoriais e nas equações correspondentes por 
ser, em magnitude, muito menor que a reatância síncrona xs (ou reatância de armadura), 
ela tem um papel importante no comportamento térmico da máquina e pode ser a responsável 
pela limitação da potência máxima fornecida em algumas situações de operação.
Além do enrolamento de armadura, o próprio enrolamento de campo, alojado no 
rotor da máquina síncrona, pode estar submetido a sobreaquecimento devido a perdas 
ôhmicas (rf , sendo rf a resistência do enrolamento de campo e if a corrente de campo). 
Na figura 1.9, para fatores de potência baixos, o limite imposto pela corrente máxima de 
campo é mais restritivo que o limite imposto pela corrente máxima na armadura. Sendo 
que o contrário ocorre para fatores de potência maiores (mais próximos da unidade).
Existe uma limitação imposta à potência primária que o gerador pode receber da 
turbina. A potência mecânica no eixo da máquina é dada por:
Pmec = T w (1.30)
Sendo T o torque e w a velocidade angular (w = 2 p f / p, onde f é a frequência, 
60 Hz, e p o número de pares de pólos da máquina)
Esse limite está indicado na figura 1.9 na forma de um valor máximo da potência 
ativa gerada pela máquina. Dependendo das características da máquina, esse limite 
poderá ser mais ou menos restritivo que o limite imposto pelo aquecimento da armadura. 
No caso particular ilustrado na figura 1. 9, supõe-se que, na região de fator de potência 
próximo à unidade, o limite de potência primária é mais baixo que o limite de aquecimento 
da armadura. Em algumas turbinas hidráulicas, por exemplo, a vazão máxima e a 
pressão da água (altura da queda) limitam a máxima potência mecânica no eixo da 
29
Análise de Sistemas de Potência
máquina. Nota-se que o limite da fonte primária só afeta a potência ativa, pois a energia 
líquida associada à potência reativa é nula, e, assim, em média e ao longo do tempo, 
a energia elétrica fornecida ao sistema será igual à energia mecânica fornecida ao eixo, 
descontadas as perdas.
A maneira mais simples de se impor o limite de estabilidade é por meio do ângulo 
de potência máximo permitido, d max. Uma limitação natural é o limite de p / 2, ou seja, 
o ponto de potência máxima para máquinas de pólos lisos. 
No caso de o limite de estabilidadeser imposto como uma margem de potência 
em relação à máxima potência teórica (potência correspondente ao ângulo d = p / 2), 
as curvas limites correspondentes passam a ter a forma ilustrada na figura 1.9. Nesses 
casos, o ângulo máximo varia com o nível de excitação do gerador: quanto menor a 
excitação menor o ângulo possível. 
Em relação à figura 1.9, a diminuição contínua da corrente de excitação if pode 
levar a um ponto no qual o valor de pico correspondente à p / 2 se igualará à próxima 
margem imposta.
Combinando-se convenientemente todos os limites discutidos anteriormente em 
uma única figura, temos a curva de capacidade de geração dada na figura 1.9. É claro 
que o caso mostrado nesta figura foi convenientemente escolhido para mostrar o efeito 
simultâneo de todos os tipos de limites considerados. Em casos práticos, pode ocorrer, 
entretanto, que alguns desses limites estejam inativos por serem dominados por outros 
limites mais restritivos. Mesmo assim, a curva tem o mérito de dar o aspecto geral das 
limitações de geração de uma máquina de polos lisos.
1�7�4 REPRESENTAÇÃO DA CARGA
O termo carga refere-se a um equipamento ou conjunto de equipamentos que 
retiram energia do sistema, podendo ser desde uma lâmpada até um motor. Podemos 
dividir a carga nas seguintes categorias: motores, resistências de aquecimento, 
equipamentos eletrônicos e equipamentos de iluminação ou em consumidores: 
industriais, comerciais, residências e órgãos públicos. Todas estas divisões diferem 
quanto a potência, simetria (monofásica, bifásica ou trifásica), constância de carga 
(em relação a tempo de uso, tensão) e ciclo de funcionamento (uso regular ou aleatório).
Uma certa configuração média é vista pelos transformadores de distribuição, apesar 
dos inúmeros tipos de carga. No nível de transmissão, a configuração da curva de carga 
é previsível devido aos seguintes fatores: horas do dia, os dias da semana e finais de 
semana e diferentes estações do ano. Embora as cargas variem, elas são relativamente 
lentas. De minuto a minuto temos uma carga quase constante. Um minuto é um período 
de tempo longo, comparado com as constantes de tempo elétricas do sistema de potência, 
o que permite que se considere o sistema funcionando em regime permanente – um 
regime permanente que lentamente varia durante as horas (funcionamento quase estático).
A carga típica sempre consome potência reativa. A razão para isso é que as 
cargas motoras são, na grande maioria dos casos, um importante componente da 
carga total. Os motores são sempre indutivos (com exceção das máquinas síncronas 
superexcitadas).
A carga típica é sempre simétrica. No caso de motores grandes essa simetria 
acontece devido a sua forma construtiva, pois são sempre projetados para funcionamento 
30
Análise de Sistemas de Potência
em sistema trifásico. No caso de equipamentos monofásicos, a simetria provém da 
distribuição intencional entre as fases.
1�7�4�1 DEPENDÊNCIA DA CARGA COM TENSÃO E 
FREQUÊNCIA
É necessário conhecer como as diversas cargas variam com a frequência e com 
a tensão para o estudo do fluxo de carga. Se a carga consiste em uma impedância, 
suas relações são facilmente encontradas. Por exemplo, seja uma carga RL em série. 
Da expressão:
P + j Q = Y∗ (1.31)
Obtém-se, nesse caso as seguintes fórmulas
P = 
Q = 
(1.32)
As fórmulas revelam que, tanto P como Q crescem com o quadrado da tensão, 
característica típica das cargas constituídas por impedâncias. Estas fórmulas ainda 
mostram que P diminui e Q aumenta com a frequência. As equações (1.32) são do tipo:
P = P (f, )
P = P (f, )
(1.33)
As cargas compostas, que constituem a grande maioria das cargas reais, também 
variam com tensão e frequência e podem, portanto, serem escritas na forma das 
equações (1.33). No entanto, para esses tipos de carga, as relações funcionais não 
podem, como regra geral, serem obtidas analiticamente. O máximo que se pode esperar, 
numa situação prática, é estimar, medir ou determinar por algum método empírico, sua 
dependência com a tensão e a frequência.
Na maioria dos casos práticos, está-se interessado nas variações DP e DQ, nas 
cargas ativas e reativas, causadas por variações pequenas, Df e D na frequência e 
na tensão. Da equação (1.33) obtém-se agora:
DP ≈ Df + D
DQ ≈ Df + D
(1.34)
Nessas expressões, as quatro derivadas parciais não podem ser determinadas 
analiticamente para cargas compostas; elas devem ser encontradas empiricamente. 
Essas derivadas fazem o papel de parâmetros de carga, descrevendo a natureza da 
carga em torno dos níveis nominais de tensão e frequência. Elas variam muito com o 
caráter físico da carga. Assim, por exemplo, uma carga constituída principalmente por 
motores de indução tem parâmetros bem diferentes que os de outra, em que predominam 
equipamentos de aquecimento.
31
Análise de Sistemas de Potência
Vários estudos foram feitos sobre a dependência com a frequência e a tensão, 
de uma carga composta típica. Tomando uma média de vários desses estudos, definiu-
se uma carga média, como sendo a que possui a seguinte composição aproximada:
 ▪ Motores de indução – de 50 a 70%, em média: 60%
 ▪ Aquecimento e iluminação – de 20 a 30%
 ▪ Motores síncronos – de 5 a 10%
A título de ilustração tais cargas teriam os seguintes parâmetros aproximados
 ▪ ≈ 1,0
 ▪ ≈ 1,3
 ▪ ≈ 1,0
Ressalte-se que uma carga composta é caracterizada por uma dependência com 
a tensão muito menor do que a relativa a uma carga do tipo impedância (1% versus 
2%). Enquanto que uma carga constituída por uma impedância RL decresce com o 
aumento da frequência, de acordo com as equações (1.34), uma carga composta 
aumentará. Isso é devido à predominância de motores, cuja carga sempre aumentará 
com a frequência (e com a velocidade).
1�8 FLUXOS DE POTÊNCIA ATIVA E REATIVA
As expressões de fluxo de potência ativa Pkm e potência reativa Qkm podem ser 
obtidas a partir das representações de componentes apresentados nos tópicos anteriores.
1�8�1 LINHAS DE TRANSMISSÃO
A corrente Ikm em uma linha de transmissão é dada por:
(1.35)
O fluxo de potência complexa correspondente é
(1.36)
Os fluxos Pkm e Qkm são obtidos identificando-se as partes reais e imaginárias 
dessa equação complexa, resultando
Pkm = gkm – Vk Vm gkm cos qkm – Vk Vm bkm sen qkm
Qkm = km ) + Vk Vm bkm cos qkm + Vk Vm gkm sen qkm
(1.37)
Os fluxos Pmk e Qmk são obtidos analogamente
Pmk = gkm – Vk Vm gkm cos qkm – Vk Vm bkm sen qkm
Qmk = km ) + Vk Vm bkm cos qkm + Vk Vm gkm sen qkm
(1.38)
As perdas de potência ativa e reativa na linha são dadas por
32
Análise de Sistemas de Potência
Pkm + Pmk = gkm ( – 2 Vk Vm cos qkm ) = gkm 2
Qkm + Qmk = ( ) – bkm ( – 2 Vk Vm cos qkm ) =
– bkm 2
(1.39)
Nota-se que é a magnitude da tensão sobre o elemento série do modelo 
equivalente p; gkm são as perdas ôhmicas; - bkm são as perdas 
reativas no elemento série; e corresponde à geração de potência 
reativa nos elementos shunt.
1�8�2 TRANSFORMADORES FASE
Para os transformadores fase tem-se que a corrente é
Ikm = akm ykm (akm Ek – Em) (1.40)
O fluxo de potência complexa é
(1.41)
Os fluxos Pkm e Qkm são obtidos separando-se as partes reais e imaginárias dessa 
equação complexa. Resultando em:
Pkm = (akm Vk)2 gkm – (akm Vk) Vm gkm cos qkm – (akm Vk) Vm bkm sen qkm
Qkm = - (akm Vk)2 km + (akm Vk) Vm bkm cos qkm – (akm Vk) Vm gkm sen qkm
(1.42)
Estas expressões poderiam ter sido obtidas por inspeção, comparando-se (1.42) 
com (1.36); em (1.42) não aparece o termo e, no lugar de Vk, aparece o termo 
am Vk. Consequentemente, as expressões de Pkm e Qkm para o transformador em fase 
são as mesmas deduzidas para linhas de transmissão, bastando ignorar o termo que 
depende e substituir Vk por am Vk .
1�8�3 TRANSFORMADORES DEFASADORES
Para o defasador puro foi visto que
(1.43)
O fluxo de potência complexa correspondente é dado por
(1.44)
Os fluxos Pkm e Qkm são obtidos da mesma maneira anteriormente explicada, 
resultando em
Pkm = (Vk)2 gkm – Vk Vm gkm cos (qkm + jkm)– Vk Vm bkm sen (qkm + jkm)
Qkm = - Vk2 km + Vk Vm bkm cos (qkm + jkm) – Vk Vm gkm sen (qkm + jkm)
(1.45)
A diferença nas expressões obtidas para linhas de transmissão é feita ignorando-
se o termo que depende de e substituindo qkm por qkm + jkm.
33
Análise de Sistemas de Potência
1�9 EXPRESSÕES GERAIS DOS FLUXOS
Os fluxos de potência ativa e reativa em linhas de transmissão, transformadores 
em fase, defasadores puros, defasadores, e demais componentes obedecem as 
expressões gerais:
Pkm = (akm Vk)2 gkm – (akm Vk) Vm gkm cos (qkm + jkm ) –
(akm Vk) Vm bkm sen (qkm + jkm )
Qkm = - (akm Vk)2 km + (akm Vk) Vm bkm cos (qkm + jkm ) –
(akm Vk) Vm gkm sen (qkm + jkm )
(1.46)
No caso de linhas de transmissão akm =1 e jkm = 0. Para transformadores em 
fase = 0 e jkm = 0. Para os defasadores puros = 0 e akm =1. Finalmente para 
os defasadores, = 0.
No início deste capítulo, foi formulado o problema do fluxo de carga como sendo 
composto de dois sistemas algébricos: o sistema de equações (1.1) e o conjunto de 
inequações (1.2). Seria interessante destacar que os fluxos Pkm e Qkm que aparecem 
em (1.1) são dados, genericamente, pelas expressões (1.46).
1�9�1 FORMULAÇÃO MATRICIAL
A injeção líquida de corrente na barra k pode ser obtida aplicando-se a Primeira 
Lei de Kirchhoff à situação geral representada na figura 1.1:
(1.47)
A corrente Ikm em uma linha de transmissão (figura 1.5), transformador em fase 
(figura 1.6) ou defasador puro é dada, respectivamente, pelas seguintes expressões:
(1.48)
conforme já foi demonstrado anteriormente (expressões (1.35), (1.40) e (1.43), 
respectivamente. As expressões (1.48) podem ser postas na seguinte forma geral
(1.49)
Sendo que para linhas de transmissão akm =1 e jkm =0. Para transformadores 
em fase = 0 e jkm = 0. Para os defasadores puros = 0 e akm = 1. Os defasadores 
com akm ≠1 são representados como um defasador puro (akm = 1) em série com um 
transformador em fase jkm =0.
Considerando-se Ikm dado em (1.48), a expressão Ik (1.47) pode ser posta na 
forma matricial:
34
Análise de Sistemas de Potência
(1.50)
Esta expressão, para k =1,NB , pode ser posta na forma matricial:
I = Y E (1.51)
Em que,
I – vetor das injeções de corrente cujas componentes são 
E – vetor das tensões nodais cujas componentes são Ek = Vk 
Y = G + jB – matriz de admitância nodal
Os elementos da matriz Y são:
(1.52)
Em geral, essa matriz é esparsa, ou seja, tem uma grande proporção de 
elementos nulos, pois Ykm = 0 sempre que entre os nós k e m não existirem linhas 
ou transformadores. Note-se que, se o elemento existente entre as barras k e m 
for uma linha de transmissão Ykm = - ykm, se for um transformador em fase Ykm = - akm 
ykm e, se for um defasador puro Ykm = - ykm. Se a rede for formada de linhas de 
transmissão e transformadores em fase, a matriz Y será simétrica. A presença de 
defasadores torna a matriz assimétrica. Além disso, essa matriz é simétrica, complexa, 
quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras do sistema sem contar a barra 
de referência. Os elementos da diagonal principal são positivos, os elementos fora da 
diagonal principal são negativos.
A injeção de corrente na barra k que é a k-ésima componente do vetor pode ser 
colocada na forma:
Ik = Ykk Ek (1.53)
Em que K é o conjunto de todas as barras m adjacentes à barra k, incluindo à 
própria barra k, ou seja, o conjunto K é formado pelos elementos do conjunto Wk mais 
a própria barra k. Considerando-se que Ykm = Gkm + jBkm e Em = Vm , a expressão 
(1.53) pode ser reescrita como:
(1.54)
A injeção de potência complexa é:
(1.55)
Substituindo (1.54) em (1.55) e considerando-se que , obtém-se:
(1.56)
35
Análise de Sistemas de Potência
As injeções de potência ativa e reativa podem ser obtidas identificando-se as 
partes real e imaginária da expressão (1.56):
(1.57)
1�9�2 IMPEDÂNCIA EQUIVALENTE ENTRE DOIS NÓS
Será desenvolvida uma expressão que dá a impedância (ou admitância) equivalente 
entre dois nós quaisquer de uma rede de impedâncias modeladas por I = YE. 
Seja Z = Y-1, a matriz impedância nodal da rede (Y e Z simétricas). A impedância 
equivalente entre os nós k e m pode ser determinada como descrito nos passos abaixo:
Imagine-se que todas as fontes de corrente (I) são desligadas da rede e que uma 
fonte de corrente ideal e unitária seja ligada entre os nós k e m, conforme está indicado 
na Figura 1.11:
Figura 1�11: Determinação de .
Nesta situação, a diferença de tensão entre os nós k e m será dada por:
Ek – Em = Zkk + Zmm – 2 Zkm (1.58)
Sendo Zkk, Zmm e Zkm elementos da matriz Z conforme é indicado a seguir:
= 
E = Z I (1.59)
A impedância equivalente é dada pelo quociente da queda de tensão entre 
os nós k – m e a corrente aplicada. Como a corrente é unitária tem-se:
 = Zkk + Zmm – 2 Zkm (1.60)
A matriz Z é complexa, simétrica, quadrada de dimensão n, onde n é o número 
de barras do sistema sem contar a barra de referência e cheia.
36
Análise de Sistemas de Potência
1�10 EXEMPLOS
1�10�1 EXEMPLO 1�1:
Escrever as equações nodais da rede na forma matricial, ou seja, escrever I = YV 
que corresponde ao diagrama unifilar da figura 1.12.
Figura 1�12: Diagrama unifilar do exemplo 1.1.
Sabendo-se que (todos os valores estão em pu):
Ea = 1,5 ∠ 0º; Eb = 1,5 ∠ –36,7º; Ec = 1,5 ∠ 0º
zg= j 1,15; z1= j 0,1; z13= j 0,25; z14= j 0,2; z24= j 0,2; z34= j 0,125; z23= j 0,4
A figura 1.13 mostra o diagrama unifilar de impedâncias do circuito da figura 1.12.
Figura 1�13: Diagrama unifilar de impedâncias do circuito da figura 1.12.
37
Análise de Sistemas de Potência
Solução:
De acordo com a regra de montagem da matriz YBARRA pode-se escrever:
Y11 = – j 0,8 – j 4,0 – j 5,0 = – j 9,8; Y22 = – j 0,8 – j 2,5 – j 5,0 = – j 8,3;
Y33 = – j 0,8 – j 4,0 – j 2,5 – j 8,0 = – j 15,3; Y44 = – j 5,0 – j 8,0 – j 5,0 = – j 18,0;
Y12 = Y21= 0,0; Y13 = Y31= j 4,0; Y14 = Y41= j 5,0; 
Y23 = Y32 = j 2,5; Y24 = Y42= j 5,0; Y34 = Y43= j 8,0
O sistema de equações com a matriz admitância de barra fica então:
O cálculo das admintâncias é simples quando as resistências são desprezadas. 
A diagonal principal é negativa e os elementos fora da diagonal principal são negativos. 
Esta solução tanto pode ser encontrada através de softwares como o MATLAB 
(MATrix LABoratory, software de alta performance utilizado para simular sistemas de 
potência) como calculadoras científicas. Foi utilizado a calculadora HP 50 G para a 
resolução do sistema acima. 
1�10�2 EXEMPLO 1�2:
Um capacitor com reatância de 5 pu nas bases do sistema é conectado entre a 
barra 4 e a referência do circuito da figura 1.12. Calcular a corrente que passa pelo 
capacitor e a nova tensão da barra 4. 
Solução:
A impedância do capacitor é zc = – j 5,0 pu.
Z44 é a impedância equivalente da rede vista da barra 4.
V4 é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado.
38
Análise de Sistemas de Potência
Z44 é obtido invertendo-se a matriz YBARRA. A matriz ZBARRA está mostrada logo 
a seguir.
Logo Z44 = j 0,47 e V4, também calculado vale 1,4321 ∠ –11,97º.
 – 78,03º
A nova tensão da barra 4 passa a ser: 0,3163 ∠ 78,03º x – j 5,0 = 1,582 ∠ – 11,97º. 
Notar que a nova tensão na barra 4 aumentou de valor. 
1�10�3 EXEMPLO 1�3:
Se uma corrente de – 0,3163 ∠ 78,03º pu é injetada na barra 4 do exemplo 1.2, 
com todas as outras fontes mantidas, encontre as tensões nas barras 1, 2, 3 e 4. 
Solução:
Considerando-se todas as fontes inoperantes, as tensões nodais somente devidas 
a esta corrente injetada pode ser calculada a partir da matriz ZBARRA. Basta multiplicar 
a matriz pelo vetor corrente, ou seja, basta multiplicar a coluna 4 da matriz ZBARRA pela 
corrente – 0,3163 ∠ 78,03º. Efetuando-se esta operação vem:
V1 = Z14 x I4 = – 0,3163 ∠ 78,03º x j 0,4142 = 0,1309 ∠ – 11,97º
V2 = Z24 x I4 = – 0,3163 ∠ 78,03º x j 0,4126 = 0,1304 ∠ – 11,97º
V3 = Z34 x I4 = – 0,3163 ∠ 78,03º x j 0,4232 = 0,1337 ∠ – 11,97º
V4 = Z44 x I4 = – 0,3163 ∠ 78,03º x j 0,4733 = 0,1496 ∠ – 11,97º
Para se determinar as novas tensões nas barraspode-se utilizar a superposição, 
adicionando-se as tensões das barras somente devido as fontes de corrente I1, I2 e I3, 
com as tensões das barras devidas a fonte de corrente de – 0,3163 ∠ 78,03º.
V1 = 1,436 ∠ – 10,71º + 0,1309 ∠ – 11,97º = 1,567 ∠ – 10,81º pu
V2 = 1,427 ∠ – 14,24º + 0,1304 ∠ – 11,97º = 1,557 ∠ – 14,04º pu
V3 = 1,434 ∠ – 11,36º + 0,1337 ∠ – 11,97º = 1,568 ∠ – 11,41º pu
V4 = 1,432 ∠ – 11,97º + 0,1496 ∠ – 11,97º = 1,582 ∠ – 11,97º pu 
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Análise de Sistemas de Potência