7_Resp_excit_harm_atuando_na_massa

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7 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. 
 Forçamento harmônico atuando diretamente na massa. 
 
Introdução 
Excitação harmônica 
Resposta no tempo 
Resposta em freqüência 
Questionário 
Problemas 
 
Teoria: Thomson 3.1 a 3.2; Rao 3.1 a 3.4 
Problemas: Rao 3.1 a 3.34 
 
 
7.1 Introdução 
 
 A excitação harmônica é freqüentemente encontrada em sistemas mecânicos, como, por exemplo, em máquinas 
rotativas desbalanceadas, automóveis deslocando-se sobre estrada de perfil senoidal, chaminés altas submetida a vórtices, 
etc. 
 
Importância do estudo da excitação harmônica: 
 
 
Excitação & Resposta. A resposta de um sistema mecânico depende muito do tipo de excitação a que ele é submetido. 
Assim, para as excitações mais comuns, temos as seguintes respostas correspondentes: 
 
 F(t) harmônica ⇒ x(t) harmônica monofreqüencia; 
 
 F(t) Periódica não harmônica ⇒ x(t) harmônica multifreqüência; 
 
 F(t) aperiódica de curta duração ⇒ x(t) transiente; 
 
 F(t) aleatória (ou Randômica) ⇒ x(t) aleatória. 
 
 Nesta apostila estudaremos a resposta forçada de um sistema mecânico quando submetido a uma força harmônica 
(ou torque harmônico) que atua diretamente sobre a massa translacional (ou rotacional). Todos os conceitos e formulações 
que serão desenvolvidos para sistemas translacionais podem ser entendidos para sistemas rotacionais, mediante as 
adaptações já mencionadas anteriormente. 
 
 
7.2 Excitação harmônica 
 
 Em geral, são adotadas para a excitação harmônica as formas seguintes: 
 
 F(t) = F0e
iωt ou (7.1) 
 
 F(t) = F0 cosωt ou (7.2) 
 
 F(t) = F0 senωt (7.3) 
 
onde F0 = amplitude da excitação harmônica 
 ω = freqüência da excitação harmônica 
ω = ωn RESSONÂNCIA 
x(t) muito grande, podendo 
ocasionar a falha do sistema 
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7-2
 
 
7.3 Resposta no tempo 
 
 Conforme já estudamos anteriormente, o modelo matemático de um sistema com 1 GDL é dado pela EDOL 
 
 (7.4) 
 
 A resposta no tempo consiste na solução desta EDOL, a qual possui duas partes, a solução homogênea e a solução 
particular. Em engenharia, empregamos mais as denominações resposta livre (ou natural) e resposta forçada, 
respectivamente. 
. x(t) = xh(t) + xp(t) (7.5) 
 
 A solução homogênea (resposta livre), xh, é a solução da equação 
 0
...
=++ kxxcxm (7.6) 
 
já estudada, a qual tende a desaparecer quando há amortecimento; representa, portanto, a resposta transiente. Já a solução 
particular (resposta forçada), xp , representa a resposta permanente no tempo e tem a forma 
 
 xp(t) = Xsen(ωt - φ) (7.7) 
 
(na forma senoidal, pois foi adotada a mesma forma para a excitação) onde X é a amplitude da oscilação e φ é o ângulo de 
fase que representa o atraso da resposta em relação à excitação. 
 
 A figura abaixo ilustra as duas respostas, bem como a resposta total, dada pela sua soma quando o sistema é linear. 
 
 
 
Fig. 7.1 Respostas transiente, permanente e total. 
 
 
 
7.4 Resposta em freqüência 
 
 Derivando 2 vezes a eq. (7.7), substituindo xp e suas derivadas na eq. (7.4) e colocando todos os termos na forma 
de senos, obtemos: 
 
 (7.8) 
tsenF)t(Fkxxcxm 0
...
ω==++
Fim da resposta transiente 
e início da resposta 
permanente 
tsenF)t(kXsen)
2
t(sencX)t(senmX 0
.
2 ωφω
π
φωωπφωω =−++−++−
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7-3
onde cada um dos termos representa as forças atuantes: no membro esquerdo da equação temos, na ordem, a força de 
inércia, a força de amortecimento e a força restauradora (da mola); no lado direito, a força de excitação A partir dessa 
última equação, podemos desenhar o diagrama vetorial da fig. 7.2, do qual tiramos, aplicando o Teorema de Pitágoras: 
 
 
 
Fig. 7.2 Diagrama vetorial das forças. 
 
 ( ) ( )22220 XcXmkXF ωω +−= (7.9) 
 
donde chegamos à expressão para a amplitude da resposta permanente: 
 
 
 (7.10) 
 
 
 O ângulo de fase φ pode ser obtido a partir da mesma figura: 
 
 (7.11) 
 
 
 Portanto, a resposta permanente tem a mesma forma da excitação (função harmônica), a mesma freqüência da 
excitação, ω, porém está atrasada em relação à excitação de um ângulo de fase φ, conforme ilustra a fig. 7.3: 
 
 
 
 
Fig. 7.3 Atraso da resposta em relação à excitação. 
 
 O conjunto das eqs. (7.10) e (7.11) compõem a chamada resposta em freqüência, pois a amplitude e o ângulo de 
fase aparecem como funções da freqüência da excitação. É comum expressar essas duas equações em forma adimensional. 
Para isso, vamos dividir o numerador e o denominador das duas equações por k: 
 
 
 (7.12) 
 
 
 
 
 
 (7.13) 
 
222
0
)()( ωω cmk
F
X
+−
=
2ω
ω
φ
mk
c
arctg
−
=
22
2
0
)
k
c
()
k
m
1(
k
F
X
ωω
+−
=
k
m
1
k
c
arctg
2ω
ω
φ
−
=
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7-4
 Vamos definir, agora, a relação de freqüências r como 
 
 (7.14) 
 
 
bem como o fator de amplificação (7.15) 
 
 
 Além disso, recordemos as expressões para a freqüência angular natural e para o fator de amortecimento, 
respectivamente: 
 
 (7.16) 
 
 
 (7.17) 
 
 
 Levando essas quatro últimas expressões nas eqs. (7.12) e (7.13) chegamos, respectivamente, a 
 
 
 
 (7.18) 
 
 
 (7.19) 
 
 
 A eq. (7.18) indica que o fator de amplificação é uma relação entre a amplitude da vibração no regime permanente, 
X, e o deslocamento devido à aplicação estática da amplitude dessa mesma força, F0/k . Em outras palavras, é a relação 
entre o efeito dinâmico da aplicação da força harmônica F(t) e o efeito estático da aplicação da amplitude dessa mesma 
força. 
 
 A fig. 7.4 ilustra os gráficos das eqs. (7.18) e (7.19): 
 
 
Fig. 7.4 Respostas em freqüência. 
n
r
ω
ω
=
2
nn mk m
k ωω =⇒=
n
n
m2c
m2
c
 ως
ω
ς =⇒=
k
F
X
FA
0
=
2220 )2()1(
1
rr
k
F
X
FA
ς+−
==
21
2
r
r
arctg
−
=
ς
φ
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7-5
 Tais curvas mostram que o fator de amortecimento tem uma grande influência na amplitude e no ângulo de fase, 
principalmente na zona de freqüências próxima à ressonância (r = 1). Podemos obter uma melhor compreensão do 
comportamento do sistema analisando o diagrama do fator de amplificação nas zonas onde r é, respectivamente, pequena, 
igual a 1 e grande. Concluímos que na região da ressonância devemos usar grandes fatores de amortecimento para 
minimizar os efeitos da ressonância. Já para r ≥ 3 o uso de amortecimento é praticamente desnecessário, pois todas as 
curvas tendem a coincidir nessa faixa de freqüências. 
 
 Na ressonância, ou seja, quando r = 1, podemos substituir esse valor nas eqs. (7.18) e (7.19) para obter, 
respectivamente, a amplitude e o ângulo de fase: 
 
 (7.20) 
 
 
 (7.21) 
 
 Examinando atentamente o gráfico da resposta em freqüência do fator de amplificação, verificamos que o máximo 
valor do FA (e, em conseqüência, da amplitude da vibração), ocorre um pouco à esquerda da ressonância. Para determinar o 
valor da relação de freqüências em que ocorre esse valor máximo, assim como seu valor, aplicamos a teoria de máximos e 
mínimos, ou seja, derivamos a eq. (7.18) e a igualamos a zero obtendo, respectivamente: 
 
 (7.22) 
 
 
 (7.23) 
 
 
 Vemos, na expressão de rmax, que quanto maior o valor de ζ menor o valor de rmax, ou seja, mais para a esquerda se 
localiza o valor máximo da resposta em freqüência, o que é confirmado pelo gráfico.Amortecimento nulo 
 
 Um caso particular importante é aquele em que o amortecimento é muito pequeno, podendo ser considerado como 
praticamente nulo, isto é, quando ζ = 0. Nessa situação, basta fazermos ζ = 0 nas eqs. (7.18) e (7.19), para obter: 
 
• fator de amplificação: 
 
 
 (7.24) 
 
cujo gráfico está ilustrado na fig. 7.5. 
 
 
 
Fig. 7.5 Gráfico da resposta em freqüência do FA para amortecimento nulo. 
k2
F
2
k
F
X 0
0
res
ςς
==
0
res 90=φ
20
max
max
12
1
)(
ςς −
==
k
F
X
FA
2
max 21 ς−=r
2
0 1
1
r
k
F
X
FA
−
==
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7-6
• Ângulo de fase: (7.25) 
 
 O fato de o ângulo de fase ser nulo significa que a resposta do sistema sem amortecimento é instantânea, não 
ocorrendo o atraso que se dá no sistema amortecido. 
 
• Na ressonância: (7.26) 
 
o que está de acordo com o gráfico visto acima. 
 
• Valor máximo da resposta em freqüência e onde ele ocorre 
 
 (7.27) 
 
 
 
 (7.28) 
 
 
 Vamos examinar, agora, a situação particular em que o sistema não tem amortecimento e é submetido a uma força 
cuja freqüência iguala a freqüência natural do sistema, ou seja, quando ocorre a ressonância. Nesse caso, o modelo 
matemático passa a ser 
 (7.29) 
 
 Supondo condições iniciais nulas, vamos achar a resposta permanente usando a transformação de Laplace: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (7.30) 
 
cujo gráfico está representado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 7.6 Resposta no tempo de um sistema sem amortecimento, na ressonância. 
 
 Concluímos, então, que quando um sistema sem amortecimento é submetido a uma excitação harmônica na 
ressonância, a sua resposta permanente apresenta uma amplitude que cresce ad infinitum, o que certamente conduzirá à 
falha do sistema. 
0=φ
∞→=
ς2
k
F
X
0
res
res
2
max r121r ==−= ς
∞→
−
==
20
max
max
12
1
k
F
X
)FA(
ςς
tsenFkxxm n0
..
ω=+
( )tttsen
k
F
tx
tttsen
k
F
tx
sk
F
sx
sm
F
sxs
s
Fsxksxms
nnnp
n
nnnn
p
n
n
n
n
n
n
n
ωωω
ω
ωωωω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
cos
2
)(
2
cos
)(
)(
1
)(
)()(
)()(
0
3
3
0
222
3
0
_
22
0
_
22
220
__
2
−=
−
=
+
=
+
=+
+
=+
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7-7
Observação importante: a resposta total é expressa na seguinte forma: 
 
 (7.31) 
 
onde X0 e φ0 devem ser determinados a partir da aplicação das condições iniciais a esta última equação, pois agora temos a 
ação simultânea das respostas livre e forçada e não apenas da resposta livre, conforme foi estudado anteriormente. O 
exemplo a seguir esclarece melhor este detalhe. 
 
 
Ex. 7.1 (Rao 3.21) - Resposta total no tempo. Considere um sistema com m = 10 kg, c = 40 N.s/m e k = 4000 N/m, 
submetido a um forçamento harmônico, em N, de F(t) = 200cos10t. Achar a resposta permanente e a resposta total para um 
deslocamento inicial de 0,1 m e uma velocidade inicial nula. 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 7.2 (Rao Ex. 3.1) - Bomba montada sobre Placa de aço (Fig. 7.7). 
 
Peso da bomba: 150 lbf 
Largura da placa: 20 in 
Eaço = 30x10
6 psi 
Forçamento em lbf: F(t) = 50cos62,832t 
 
Achar a amplitude da vibração da placa. 
 Fig. 7.7 Bomba montada sobre Placa de aço 
 
 
)()()()()( 00 φωφω
ςω −++=+= − tXsentseneXtxtxtx d
t
ph
n
( ) ( )
[ ]
[ ]
( )
)13255,010cos(6610,0)0268,08997,19cos(e0345,0)( :doSubstituin
m 0345,0
rad 0268,0
 sencontramo (b) e (a) Resolvendo
(b) 087359,0cos2sen8997,19)13255,0(en661,0cos2sen8997,1900)0(
(a) 03448,0cos06552,0cos0,1)13255,0cos(6,61x10)cos(0,1m 1,0)0(
:C.I. as Aplicando
)13255,010(661sen,0)8997,19cos(2)8997,19(sen8997,19e)(
)13255,010(sen)10(6,61x10e)8997,19cos(2)8997,19(sen8997,19e)(
: tempoao relação em Derivando
)13255,010cos(6,61x10)8997,19cos(e)(
rad 13255,0
)10)(10(4000
(40)(10)
arctg
c
arctg
m 6,61x10
)1040(10x104000
200
)(
rad/s 8997,191,01201
1,0
)20)(10)(2(
40
2
rad/s 20
10
4000
)cos()cos(e)(
para adaptadaser deve (7.31) eq. a logo excitação, da lcossenoida forma mesma aseguir deve permanente respostaA 
2
0
0
0000000
.
0000
2
00
00
2
0
.
22
000
2
0
.
2
0
2
0
22
2
222222
0
22
00
−++=
=
−=
−=−⇒−−−=⇒=
=⇒+=⇒−+−=⇒=
−−−−−−=
−−−−−−=
−+−=
===
=
+−
=
+−
=
=−=−=
====
===
−+−=
−
−
−
−−−
−−
−
−
tttx
X
XXsXx
XXXx
tttXtx
tXttXtx
ttXtx
-k-m
xcmk
F
X
ω
m
c
c
c
ζ
m
k
ω
tXtXtx
t
t
tt
t
nd
nc
n
d
tn
φ
φφφφ
φφφ
φφ
φφ
φ
ω
ω
φ
ωω
ζω
ω
φωφωςω
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7-8
Solução 
 
Sistema sem amortecimento: 
2
0
ωmk
F
X
−
= 
 
lb 3882,0
4,386
150
rad 62,832
lbf 50
lbf/in 1200
100
)
12
)5,0)(20(
()10)(30)(192(
192
0
3
3
3
3
==
=
=
===
m
F
l
EI
k
ω
 
 in 15,0
)832,62)(3882,0(1200
50
2
−=
−
=X 
 
Obs.: sinal (-) significa que a resposta x(t) está fora de fase com a excitação F(t), conforme ilustra a Fig. 7.5. 
 
 
 
 Fig. 7.8 Válvula de controle de vazão de ar 
 
Solução 
 
ttXtx
mk
F
X
g
PesoPeso
m
ApF
eq
molahastemola
eq
sen85261,2sen)( : tempono Resposta
in 5261,2
)8)(0647,0(400
1000
/inlbf.s 0647,0
4,386
)15(
3
1
20
3
1
lbf 1000)100)(10(
22
0
2
00
==
=
−
=
−
=
=
+
=
+
=
===
+
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 7.3 (Rao 3.14) – A fig. 7.8 mostra uma 
válvula que controla a vazão de ar em uma 
tubulação. Como entrada, é usado ar sob 
pressão p(t) = 10 sen 8t, em psi. O diafragma 
possui área 100 in2 e a mola tem rigidez de 
400 lbf/in. O peso da válvula e da haste é 
igual a 20 lbf. Considerando o peso da mola, 
que vale 15 lbf, achar a resposta no tempo da 
válvula. 
7 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico atuando diretamente na massa 
 
7-9
 
Questionário 
 
 
1. Cite 3 exemplos práticos nos quais a excitação é do tipo harmônica. 
 
 
 
 
2. Qual a importância maior do estudo da excitação harmônica? 
 
 
 
 
3. Complete a tabela seguinte: 
 
Tipo de excitação F(t) Tipo de resposta x(t) 
Harmônica 
Periódica não-harmônica 
Aperiódica de curta duração 
Aleatória 
 
4. Complete a tabela seguinte: 
 
Em matemática Em engenharia 
Solução homogênea 
Solução particular 
 
5. Conceitue resposta transiente e resposta permanente. 
 
 
 
 
 
 
6. Por que o estudo da resposta em freqüência é mais importante do que o estudo da resposta no tempo, no caso de 
sistemas excitados harmonicamente? 
 
 
 
 
 
 
7. Qual o significado físico do ângulo de fase? 
 
 
 
8. Em que caso o ângulo de fase é nulo? Fisicamente, o que isso significa? 
 
 
 
 
 
9. Qual o significado físico do fator de amplificação? 
 
 
 
 
 
7 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico atuando diretamente na massa 
 
7-10 
10. Na região da ressonância, o que devemos fazer para reduzir o aparecimento de grandes amplitudes? Justifique. 
 
 
 
11. Há vantagem em utilizar fortes amortecimentos para relações de freqüência superiores a 3? Justifique. 
 
 
 
12. Por que a aplicação das condições iniciais deve ser feita na equação da resposta total e não apenas na equação da 
resposta livre? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas 
 
 
7.1 (Rao 3.8) – Uma massa m está suspensa por uma mola de rigidez 4000 N/m e é submetida a uma força harmônica com 
amplitude de 100 N e freqüência de 5 Hz. Observa-se que a amplitude do movimento forçado da massa é 20 mm. 
Determinar o valor de m. 
 
Resp.: m = 9,119 kg. 
 
 7.2 (Rao 3.10) – Em um sistema massa-mola é aplicada uma força harmônica F(t) = F0 cosωt em um ponto da mola 
localizado a uma distância de 25% de seu comprimento, medida a partir da extremidade fixa. Determinar a resposta de 
regime permanente da massa m. 
 
Resp.: t
mk
F
tx ω
ω
cos
4
)(
2
0−
= . 
 
 
Resp.: f = 743,676 Hz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3 (Rao 3.13) – A figura mostra uma máquina 
eletromagnética para testes de fadiga à tração & 
compressão. Uma força harmônica é aplicada ao corpo 
de prova quando uma corrente alternada de freqüência f 
circula na armadura. Desprezando o amortecimento, 
determinar a freqüência f da corrente alternada, de tal 
modo que metade da força harmônica atue sobre o corpo 
de prova. Desprezar o amortecimento. 
 
Dados: peso da armadura = 40 lbf; 
 mola k1 = 10217 lbf/in; 
 rigidez do corpo de prova k2 = 750000 lbf/in. 
 
 
7 Resposta forçada de sistemas com 1 GDL. Forçamento harmônico atuando diretamente na massa 
 
7-11 
7.4 (Rao 3.19) –Dado o sistema da figura, deduzir o modelo matemático (método à escolha do estudante) e determinar a 
resposta permanente do mesmo. 
 
Dados: k1 = k2 = 5000 N/m; 
 a = 0,25 m; 
 b = 0,5 m; 
 l = 1 m; 
 M = 50 kg; 
 m = 10 kg; 
 F0 = 500 N; 
 ω = 1000 rpm. 
 
 
Resp.: t72,104sen375,93,29
..
=+ θθ
 sen104,72t10572,8)( 4−×−=tθ 
 
 
7.5 (Rao 3.20) – Dado o sistema da figura, deduzir o modelo matemático (método à escolha do estudante) e determinar a 
resposta permanente do mesmo. 
 
Dados: k= 5000 N/m; 
 l = 1 m; 
 m = 10 kg; 
 M0 = 100 N.m; 
 ω = 1000 rpm. 
 
 
Resp.: t72,104cos57,6886,2142
..
=+ θθ
 cos104,72t1077,7)( 3−×−=tθ 
 
7.6 (Rao 3.22) – Considere um sistema m-k-c com m = 10 kg, k = 4000 N/m e c = 40 N.s/m. Achar a resposta permanente e 
a resposta total do sistema quando submetido ao forçamento harmônico F(t) = 200cos10t e estiver submetido às seguintes 
condições iniciais: deslocamento inicial nulo e velocidade inicial = 10 m/s. 
 
Resp.: xp(t) = 0,066082 cos(10t – 0,132552) 
 x(t) = 0,495892 e-2t cos(19,8997t + 1,43832) + 0,066082 cos(10t – 0,132552) 
 
7.7 (Rao 3.25) – Um motor de automóvel de 4 cilindros pesa 500 lbf e deve apoiar-se sobre 3 calços. Sendo a força vertical 
gerada pelo motor dada por 200 sen 100πt, em lbf, calcular a rigidez e o coeficiente de amortecimento que deve ter cada 
calço, de tal modo que a amplitude da vibração seja no máximo igual a 0,1 in. 
 
Resp.: k = 6,6673 x 104 lbf/in; c = 3,394 lbf.s/in. 
 
7.8 (Rao 3.29) – Um sistema m-k-c está sujeito a uma força harmônica. Verifica-se que a amplitude da resposta permanente 
é de 20 mm na ressonância e de 10 mm em uma freqüência que é igual a ¾ da freqüência de ressonância. Calcular o fator 
de amortecimento do sistema. 
 
Resp.: ζ = 0,118. 
 
 
7.9 (Rao 3.33) – Em um sistema vibratório, m = 10 kg, k = 2500 N/m, e c = 45 N-s/m. Sobre a massa, atua uma força 
harmônica de amplitude 180 N e freqüência 3,5 Hz. Se o deslocamento inicial e a velocidade inicial da massa são 15 mm e 
5 m/s, determinar a expressão que representa o movimento da massa. 
 
Resp.: ( ) ( )4,07cos071,065,153216,065,15cos015,0)( 25,2 +++= − ttsentetx t π .