09 - Analise de Fourier

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Universidade Federal do Amazonas (UFAM)
Faculdade de Tecnologia (FT)
Departamento de Eletrônica e Computação (DTEC)
Sinais e Sistemas
Análise de Fourier
Prof. Francisco Januário
2Prof. Francisco Januário
Sinais e Sistemas 
Referências
Oppenheim, Alan. V., Signals and Systems, Prentice-Hall, NJ, 2002.
Haykin, Simon. Sistemas de Comunicação: analógicas e digitais. 4 ed.
São Paulo: Bookman, 2004.
Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W. Processamento em tempo
discreto de sinais. 3 ed. Pearson, 2010
Lathi, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. 2 ed. Porto Alegre: Bookman,
2007.
Haykin, Simon; Barry, Van Veen. Sinais e sistemas. Porto Alegre:
Bookman, 2001.
DINIZ, Paulo S.; SILVA, Eduardo A. B.; NETTO Sergio L. Processamento
digital de sinais: projeto e análise de sistemas. 2. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2014.
Introdução à Análise de Fourier
3Prof. Francisco Januário
Sinais e Sistemas
A série de Fourier engloba um dos desenvolvimentos
matemáticos mais produtivos e elegantes, que funciona
como instrumento para vários problemas nas áreas da
matemática, ciências e engenharia;
Em 1807, Fourier afirmou que uma função arbitrária
(contínua ou descontínua) definida em um intervalo
finito por um gráfico inconstante arbitrário pode ser
expresso por uma soma de sinais senoidais.
Particularmente, a análise de Fourier (série e
transformada) é uma das ferramentas mais úteis para a
análise de sistemas LIT.
Sinais e Sistemas
Introdução à Análise de Fourier
4Prof. Francisco Januário
Jean Baptiste Joseph Fourier
A Análise de Fourier consiste em efetuar a passagem de um
sinal para domínios diferentes, onde, algumas características
podem facilmente ser reconhecidas.
Estes domínios são expressos como domínio do tempo e
domínio da frequência.
𝑆(𝑡) 𝑆(𝑓)
Análise 
de Fourier
Domínio do Tempo Domínio da Frequência
Sinais e Sistemas
Introdução à Análise de Fourier
5Prof. Francisco Januário
As técnicas conhecidas como Série de Fourier e Transforma de
Fourier, são utilizados para análise de sinais na forma de um
espectro de frequência.
A série de Fourier é útil para realizar a análise de um sinal
periódico a partir de suas componentes harmônicas. Por
exemplo, uma onda quadrada pode ser decomposta em suas
componentes senoidais.
Sinais e Sistemas
Introdução à Análise de Fourier
6Prof. Francisco Januário
𝑣 𝑡 =
4𝑉
𝜋
sen 𝜔0𝑡 +
1
3
sen 3𝜔0𝑡 +
1
5
sen 5𝜔0𝑡 + ⋯
Espectro de frequências discretas da onda quadrada.
Sinais e Sistemas
Introdução à Análise de Fourier
7Prof. Francisco Januário
Dependendo da classe do Sinal (contínuo, discreto, periódico e
não periódico) a Análise de Fourier terá diferenças. Portanto seu
cálculo será diferente.
Sinais e Sistemas
Introdução à Análise de Fourier
8Prof. Francisco Januário
Transformada de Fourier
Fourier Transform
FT
Série de Fourier
Fourier Series
FS
Série de Fourier Discreta
Discrete Time Fourier Series
DTFS ou DFT
Transformada de Fourier Discreta
Discrete Time Fourier Transform
DTFT
Periódico Não Periódico
Contínuo
Discreto
A análise de Fourier além de permitir representações espectrais
de sinais, é também essencial para descrever certos tipos de
sinais e sistemas e suas propriedades no domínio da frequência.
Iremos revisar as representações para os sinais contínuos: Série
de Fourier (FS) e Transformadas de Fourier (FT) e;
Apresentaremos os métodos para calculamos as representações
para os sinais discretos que são: Série de Fourier Discreta (DTFS)
e Transformada de Fourier Discreta (DTFT)
Sinais e Sistemas
Introdução à Análise de Fourier
9Prof. Francisco Januário
Revisão de Números Complexos
10Prof. Francisco Januário
Sinais e Sistemas
O número ou operador imaginário, designado por 𝑗 ou 𝑖
(adotaremos 𝑗, pois 𝑖 já é utilizado para corrente elétrica), é
definido como
𝑗2 = −1
Portanto, 𝑗 = −1, 𝑗3 = 𝑗 ∙ 𝑗2 = −𝑗, e 𝑗4 = 𝑗2 ∙ 𝑗2 = 1
O número complexo é aquele constituído de uma componente
real e uma componente imaginária, do tipo
𝐴 = 𝑎 + 𝑗 ∙ 𝑏
Sinais e Sistemas
Revisão de Números Complexos
11Prof. Francisco Januário
O número complexo pode ser representado por 3 formas:
Forma Cartesiana: 𝐴 = 𝑎 + 𝑗 ∙ 𝑏
Forma Polar: 𝐴 = 𝐶∠𝜃
Forma Exponencial: 𝐴 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑗𝜃 = 𝐶 ∙ cos 𝜃 + 𝐶 ∙ 𝑗 ∙ sin 𝜃
Onde 𝑗 = −1, 𝑎 = 𝑅𝑒 𝐴 e 𝑏 = 𝐼𝑚 𝐴
𝐶 = 𝐴 = 𝑎2 + 𝑏2 (Módulo de 𝑨)
𝜃 = arctan Τ𝑏 𝑎 (Argumento de 𝑨)
𝑒 = 2,71828182… (Base natural ou neperiano)
Complexo Conjugado: 𝐴∗ = 𝑎 − 𝑗 ∙ 𝑏 é o conjugado de 𝐴
Sinais e Sistemas
Revisão de Números Complexos
12Prof. Francisco Januário
O Plano Complexo é representado no sistema de coordenadas cartesiano
pelos eixos real 𝐑𝐞 e imaginário 𝐈𝐦.
Da forma exponencial do número complexo, e utilizando a Identidade ou
Fórmula de Euler, onde 𝑒𝑗𝜃 = cos 𝜃 + j ∙ sen 𝜃 , pode-se afirmar que
cos 𝜃 =
1
2
𝑒𝑗𝜃 + 𝑒−𝑗𝜃 e sen 𝜃 =
1
2𝑗
𝑒𝑗𝜃 − 𝑒−𝑗𝜃
Sinais e Sistemas
Revisão de Números Complexos
13Prof. Francisco Januário
Considerando 2 números complexos, 𝐴 e 𝐵, representados por
𝐴 = 𝑎 + 𝑗 ∙ 𝑏 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑗𝜃1 e 𝐵 = 𝑐 + 𝑗 ∙ 𝑑 = 𝐷 ∙ 𝑒𝑗𝜃2
As operações básicas são:
Soma Algébrica: 𝐴 + 𝐵 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑗(𝑏 + 𝑑)
Subtração Algébrica: 𝐴 − 𝐵 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑗(𝑏 − 𝑑)
Multiplicação: 𝐴𝐵 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑗 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 = 𝐶𝐷𝑒𝑗 𝜃1+𝜃2
Divisão:
𝐴
𝐵
=
𝐴𝐵∗
𝐵𝐵∗
=
𝑎 + 𝑗 ∙ 𝑏 × 𝑐 − 𝑗 ∙ 𝑑
𝑐2 + 𝑑2
=
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑗 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐2 + 𝑑2
=
𝐶
𝐷
𝑒𝑗 𝜃1−𝜃2
Sinais e Sistemas
Revisão de Números Complexos
14Prof. Francisco Januário
Considerando o números complexo, 𝐴, e seu conjugado 𝐴∗, representados
por
𝐴 = 𝑎 + 𝑗 ∙ 𝑏 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑗𝜃 e 𝐴∗ = 𝑎 − 𝑗 ∙ 𝑏 = 𝐶 ∙ 𝑒−𝑗𝜃
Pode-se descrever as propriedades do complexo conjugado
Soma Algébrica: 𝐴 + 𝐴∗ = 2 ∙ 𝑅𝑒 𝐴
Subtração Algébrica: 𝐴 − 𝐴∗ = 2 ∙ 𝐼𝑚 𝐴
Multiplicação:
𝐴𝐴∗ = 𝑎 + 𝑗 ∙ 𝑏 𝑎 − 𝑗 ∙ 𝑏 = 𝑎2 − 𝑗2 ∙ 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑏2 (𝐍° 𝐑𝐞𝐚𝐥)
Sinais e Sistemas
Revisão de Números Complexos
15Prof. Francisco Januário
Série de Fourier – FS
16Prof. Francisco Januário
Sinais e Sistemas
Um sinal de tempo contínuo periódico é do tipo
𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑚𝑇 , ∀𝑡,𝑚 ∈ ℤ
Sendo o período fundamental 𝑇0 , o menor valor 𝑇 para o qual
𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑇0 , ∀𝑡
Dois exemplo de sinais periódicos básicos são
𝑥 𝑡 = cos 𝜔0𝑡 + 𝜑
𝑥 𝑡 = 𝑒𝑗𝜔0𝑡 = cos𝜔0𝑡 + 𝑗 sen𝜔0𝑡
Onde 𝜔0 = Τ2𝜋 𝑇0 é a frequência angular fundamental
Sinais e Sistemas
Representação de Sinais Periódicos
17Prof. Francisco Januário
A Série de Fourier representa uma função periódica como uma
soma ponderada de funções senoidais ou exponenciais
complexas.
Permite analisar um sinal periódico no domínio da frequência,
através da amplitude de suas componentes harmônicas.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Sinal Periódico
Domínio do TEMPO
Séries de Fourier
Domínio da FREQUÊNCIA
Sinais e Sistemas
Representação da Série de Fourier
18Prof. Francisco Januário
Exemplo 1: Pode-se encontrar a série de Fourier que aproxime a
seguinte função periódica ilustrada abaixo.
( )






−
=
=
=
==
−=
=


−
−
−
−
0 se ,
1
0 se ,0
1
2
11 se ,)(
)(
1
1
1
0
2
2
0
k
k
j
k
c
dtte
T
c
T
tttf
dtetf
T
c
k
k
ktj
k
ktj
k
T
T




Sinais e Sistemas
Representação da Série de Fourier
19Prof. Francisco Januário
Sinais e Sistemas
Representação da Série de Fourier
20Prof. Francisco Januário
Exemplo 1 (continuação): Para as 5 primeiras harmônicas temos:
Sinais e Sistemas
Representação da Série de Fourier
21Prof. Francisco Januário
Exemplo 1 (continuação): Para as 5 primeiras harmônicas temos
Sinais e Sistemas
Representação da Série de Fourier
22Prof. Francisco Januário
Exemplo 1 (continuação): Espectro de frequências de 𝑓(𝑡)
Pode-se representar um sinal periódico 𝑥(𝑡), com período 𝑇0,
através da somatória de exponenciais complexas como abaixo
𝑥 𝑡 = ෍
𝑘=−∞
∞
𝑐𝑘𝑒
𝑗𝑘𝜔0𝑡
Sendo 𝜔0= Τ2𝜋 𝑇0, e 𝑐𝑘 os coeficientes complexos de Fourier,
dados por
𝑐𝑘 =
1
𝑇0
න
𝑇0
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝑘𝜔0𝑡 𝑑𝑡
Na integral, 𝑇0 denota o cálculo desta integral em um período,
usando-se por exemplo: 0 a 𝑇0, ou Τ−𝑇0 2 a Τ𝑇0 2
Sinais e Sistemas
Série Exponencial Complexa de Fourier
23Prof. Francisco Januário
Se 𝑘 = 0 na expressão de 𝑐𝑘, o valor 𝑐0, indicará o valor médio
de 𝑥(𝑡) em um período, ou seja
𝑐0 =
1
𝑇0
න
𝑇0
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗0𝜔0𝑡 𝑑𝑡
𝑐0 =
1
𝑇0
න
𝑇0
𝑥(𝑡) 𝑑𝑡
Sinais e Sistemas
Série Exponencial Complexa de Fourier
24Prof. Francisco Januário
Exemplo 2: Determine a série exponencial complexa de Fourier
para o sinal periódico 𝑥(𝑡) abaixo.
𝑇0 =
3𝜋
2
− −
𝜋
2
= 2𝜋 𝜔0 =
2𝜋
𝑇0
=
2𝜋
2𝜋
= 1 rad/s
Para o período que vai de − Τ𝜋 2 à Τ3𝜋 2, o sinal é definido como
𝑥(𝑡) = ቊ
1, − Τ𝜋 2 < 𝑡 < Τ𝜋 2
0, Τ𝜋 2 < 𝑡 < Τ3𝜋 2
Sinais e Sistemas
Série Exponencial Complexa de Fourier
25Prof. Francisco Januário
3𝜋
2
−
3𝜋
2
Exemplo 2: solução
Encontrando o coeficiente 𝑐𝑘
𝑐𝑘 =
1
𝑇0
න
𝑇0
𝑥 𝑡 . 𝑒−𝑗𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡 =
1
2𝜋
න
− Τ𝜋 2
Τ𝜋 2
1. 𝑒−𝑗𝑘𝑡𝑑𝑡
𝑐𝑘 = ቉−
1
2𝜋𝑗𝑘
𝑒−𝑗𝑘𝑡
− Τ𝜋 2
Τ𝜋 2
= −
1
2𝜋𝑗𝑘
𝑒−𝑗𝑘
𝜋
2 − 𝑒𝑗𝑘
𝜋
2
Aplicando Euler, onde 𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝟏
𝟐𝒋
𝒆𝒋𝜽 − 𝒆−𝒋𝜽 então
𝑐𝑘 =
1
𝑘𝜋
𝑒𝑗𝑘
𝜋
2 − 𝑒−𝑗𝑘
𝜋
2
2𝑗
=
1
𝑘𝜋
sen 𝑘
𝜋
2
Sinais e Sistemas
Série Exponencial Complexa de Fourier
26Prof. Francisco Januário
Exemplo 2: solução
Definindo os valores do coeficiente 𝑐𝑘
𝑐𝑘 =
1
𝑘𝜋
sen 𝑘
𝜋
2
= ቐ
0, 𝑘 = par
+ Τ1 𝑘𝜋 , 𝑘 = ±1,±5,±9,…
− Τ1 𝑘𝜋 , 𝑘 = ±3,±7,±11,…
Calculando o coeficiente 𝑐0
𝑐0 =
1
𝑇0
න
𝑇0
𝑥 𝑡 𝑑𝑡 =
1
2𝜋
න
− Τ𝜋 2
Τ𝜋 2
𝑑𝑡 =
1
2
Sinais e Sistemas
Série Exponencial Complexa de Fourier
27Prof. Francisco Januário
Exemplo 2: solução
O sinal 𝑥(𝑡) na forma exponencial complexa
𝑥 𝑡 = ෍
𝑘=−∞
∞
𝑐𝑘𝑒
𝑗𝑘𝜔0𝑡 = ෍
𝑘=−∞
∞
1
𝑘𝜋
sen 𝑘
𝜋
2
𝑒𝑗𝑘𝑡
Expandindo o sinal 𝑥(𝑡) em suas componentes exponenciais complexas
𝑥 𝑡 = ⋯+
1
5𝜋
𝑒−𝑗5𝑡 −
1
3𝜋
𝑒−𝑗3𝑡 +
1
𝜋
𝑒−𝑗𝑡 +
1
2
+
1
𝜋
𝑒𝑗𝑡 −
1
3𝜋
𝑒𝑗3𝑡 +
1
5𝜋
𝑒𝑗5𝑡+...
Aplicando a relação de Euler para o cosseno, onde 𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝟏
𝟐
𝒆𝒋𝜽 + 𝒆−𝒋𝜽 , o
sinal 𝑥(𝑡) pode ser representado em suas componentes senoidais
𝑥 𝑡 =
1
2
+
2
𝜋
cos 𝑡 −
1
3
cos 3𝑡 +
1
5
cos 5𝑡 −
1
7
cos 7𝑡 + ⋯
Sinais e Sistemas
Série Exponencial Complexa de Fourier
28Prof. Francisco Januário
Pode-se representar um sinal periódico 𝑥(𝑡) com período 𝑇0
através da somatória de senos e cossenos, como abaixo
𝑥 𝑡 =
𝑎0
2
+෍
𝑘=1
∞
𝑎𝑘 cos 𝑘𝜔0𝑡 + 𝑏𝑘 sen 𝑘𝜔0𝑡
Sendo 𝜔0 = Τ2𝜋 𝑇0, e 𝑎𝑘 e 𝑏𝑘 os coeficientes de Fourier
𝑎𝑘 =
2
𝑇0
න
𝑇0
𝑥(𝑡) cos 𝑘𝜔0𝑡 𝑑𝑡
𝑏𝑘 =
2
𝑇0
න
𝑇0
𝑥(𝑡) sen 𝑘𝜔0𝑡 𝑑𝑡
Sinais e Sistemas
Série Trigonométrica de Fourier
29Prof. Francisco Januário
Se 𝑘 = 0 na expressão de 𝑎𝑘, o valor 𝑎0, indicará o valor médio
de 𝑥(𝑡) em um período, ou seja
𝑎0 =
2
𝑇0
න
𝑇0
𝑥(𝑡) 𝑑𝑡
Os coeficientes 𝑎𝑘 e 𝑏𝑘 se relacionam com os coeficientes de
Fourier complexos por
𝑐0 =
𝑎0
2
𝑐+𝑘 =
1
2
𝑎𝑘 − 𝑗𝑏𝑘 𝑐−𝑘 =
1
2
𝑎𝑘 + 𝑗𝑏𝑘
Sinais e Sistemas
Série Trigonométrica de Fourier
30Prof. Francisco Januário
Se o sinal periódico 𝑥(𝑡) com período 𝑇0 for par, então 𝑏𝑘 é zero,
e a série de Fourier fica
𝑥 𝑡 =
𝑎0
2
+෍
𝑘=1
∞
𝑎𝑘 cos 𝑘𝜔0𝑡
Se o sinal periódico 𝑥(𝑡) com período 𝑇0 for ímpar, então 𝑎𝑘 é
zero, e a série de Fourier fica
𝑥 𝑡 = ෍
𝑘=1
∞
𝑏𝑘 sen 𝑘𝜔0𝑡
Sinais e Sistemas
Série Trigonométrica de Fourier
31Prof. Francisco Januário
Exemplo 3: Determine a série trigonométrica de Fourier para o
sinal periódico 𝑥(𝑡) abaixo.
𝑇0 =
3𝜋
2
− −
𝜋
2
= 2𝜋 𝜔0 =
2𝜋
𝑇0
=
2𝜋
2𝜋
= 1 rad/s
Para o período que vai de − Τ𝜋 2 à Τ3𝜋 2, o sinal é definido como
𝑥(𝑡) = ቊ
1, − Τ𝜋 2 < 𝑡 < Τ𝜋 2
0, Τ𝜋 2 < 𝑡 < Τ3𝜋 2
Sinais e Sistemas
Série Trigonométrica de Fourier
32Prof. Francisco Januário
3𝜋
2
−
3𝜋
2
Exemplo 3: solução
Encontrando o coeficiente 𝑎0
𝑎0 =
2
𝑇0
න
𝑇0
𝑥 𝑡 𝑑𝑡 =
2
2𝜋
න
− Τ𝜋 2
Τ𝜋 2
1𝑑𝑡 =
1
𝜋
ሿ𝑡 − Τ𝜋 2
Τ𝜋 2 =
Τ𝜋 2 − − Τ𝜋 2
𝜋
= 1
Encontrando o coeficiente 𝑏𝑘
𝑏𝑘 =
2
𝑇0
න
𝑇0
𝑥(𝑡) sen 𝑘𝜔0𝑡 𝑑𝑡 =
2
2𝜋
න
− Τ𝜋 2
Τ𝜋 2
1 ∙ sen 𝑘𝑡 𝑑𝑡
𝑏𝑘 = −
1
𝑘𝜋
ሿcos 𝑘𝑡 − Τ𝜋 2
Τ𝜋 2 = −
cos Τ𝑘𝜋 2 − cos − Τ𝑘𝜋 2
𝑘𝜋
= 0
Como 𝑥(𝑡) é uma função par, o coeficiente 𝑏𝑘 = 0
Sinais e Sistemas
Série Trigonométrica de Fourier
33Prof. Francisco Januário
Exemplo 3: solução
Encontrando e definindo o coeficiente 𝑎𝑘
𝑎𝑘 =
2
𝑇0
න
𝑇0
𝑥(𝑡) cos 𝑘𝜔0𝑡 𝑑𝑡 =
2
2𝜋
න
− Τ𝜋 2
Τ𝜋 2
1 ∙ cos 𝑘𝑡 𝑑𝑡
𝑎𝑘 =
1
𝑘𝜋
ሿsen 𝑘𝑡 − Τ𝜋 2
Τ𝜋 2 =
sen Τ𝑘𝜋 2 − sen − Τ𝑘𝜋 2
𝑘𝜋
Como sen 𝑡 é uma função ímpar, então sen −𝑡 = −sen 𝑡 .
𝑎𝑘 =
2
𝑘𝜋
sen
𝑘𝜋
2
= ቐ
0, 𝑘 = par
Τ2 𝑘𝜋 , 𝑘 = ±1,±5,±9,…
Τ−2 𝑘𝜋 , 𝑘 = ±3,±7,±11,…
Sinais e Sistemas
Série Trigonométrica de Fourier
34Prof. Francisco Januário
Exemplo 3: solução
O sinal 𝑥(𝑡) na forma trigonométrica
𝑥 𝑡 =
1
2
+
2
𝜋
෍
𝑘=1
∞
1
𝑘
sen
𝑘𝜋
2
cos 𝑘𝑡
Expandindo o sinal 𝑥(𝑡) em suas componentes trigonométricas
𝑥 𝑡 =
1
2
+
2
𝜋
cos 𝑡 −
1
3
cos 3𝑡 +
1
5
cos 5𝑡 −
1
7
cos 7𝑡 + ⋯
Sinais e Sistemas
Série Trigonométrica de Fourier
35Prof. Francisco Januário
Admitindo-se que os coeficientes complexos de Fourier 𝑐𝑘 de um
sinal periódico 𝑥(𝑡) seja:
𝑐𝑘 = 𝑐𝑘 𝑒
𝑗𝜃𝑘
O gráfico de 𝑐𝑘 versus a frequência angular 𝜔 é chamado de
Espectro de Amplitude do sinal 𝑥(𝑡), e o gráfico de 𝜃𝑘 versus a
frequência angular 𝜔 é chamado de Espectro de Fase de 𝑥(𝑡).
Como os valores de 𝑘 são inteiros, os gráficos de Amplitude e
Fase não são curvas contínuas, mas ocorrem nas frequências
discretas 𝑘𝜔0, sendo por esta razão chamados de Espectros
Discretos de Frequência, ou Espectros de Linha.
Sinais e Sistemas
Espectro de Amplitude e Fase de Sinais Periódicos
36Prof. Francisco Januário
Para o exemplo 3, os espectros de Amplitude e de Fase são
Sinais e Sistemas
Espectro de Amplitude e Fase de Sinais Periódicos
37Prof. Francisco Januário
Espectros de Amplitude Espectros de Fase
𝜃𝑘 = arctan
𝑏𝑘
𝑎𝑘
𝜃𝑘 = arctan
0
𝑎𝑘
= 0
Como visto anteriormente, a Potência Média de um sinal
periódico 𝑥(𝑡) é dado por:
𝑃 =
1
𝑇0
න
𝑇0
𝑥(𝑡) 2𝑑𝑡
Se 𝑥(𝑡) for representado pela Série Exponencial Complexa de
Fourier, então pode-se afirmar que:
𝑃 =
1
𝑇0
න
𝑇0
𝑥(𝑡) 2𝑑𝑡 = ෍
𝑘=−∞
∞
𝑐𝑘
2
Sendo esta relação chamada de Relação ou Teorema de Parseval
da Série de Fourier.
Sinais e Sistemas
Potência de um Sinal Periódico
38Prof. Francisco Januário
Exercício 1: Determine a série de Fourier exponencial complexa e
trigonométrica, para os sinais abaixo, esboçando os espectros de
amplitude e fase.
Sinais e Sistemas
Exercícios sobre Série de Fourier
39Prof. Francisco Januário
Exercício 2: Determine a série de Fourier exponencial complexa e
trigonométrica, para os sinais abaixo.
Sinais e Sistemas
Exercícios sobre Série de Fourier
40Prof. Francisco Januário
Exercício 3: Determine a série de Fourier exponencial complexa e
trigonométrica, para os sinais abaixo, esboçando os espectros de
amplitude e fase.
Sinais e Sistemas
Exercícios sobre Série de Fourier
41Prof. Francisco Januário
Exercício 4: Encontre as 7 primeiras componentes harmônicas da
Série de Fourier para os seguintes sinais.
a) 𝑓 𝑡 = cos(𝑡) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
b) 𝑓 𝑡 = sen 𝑡 cos(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋
c) 𝑓 𝑡 = 2cos(𝑡)𝑒2𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
d) 𝑓 𝑡 = sen 𝑡 𝑡2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Sinais e Sistemas
Exercícios sobre Série de Fourier
42Prof. Francisco Januário
Transformada de Fourier – FT
43Prof. Francisco Januário
Sinais e Sistemas
A transformada de Fourier pode ser aplicada em uma
função não-periódica no tempo, como um sinal
arbitrário.
Sinais e Sistemas
Introdução à Transformada de Fourier
44Prof. Francisco Januário
A transformada de Fourier gera um espectro (resposta)
de frequência de sinaisnão-periódicos que contém, em
geral, todas as frequências possíveis limitadas pela
banda passante.
Sinais e Sistemas
Introdução à Transformada de Fourier
45Prof. Francisco Januário
Algumas aplicações da Transformada de Fourier
❑ Modulação de sinal em telecomunicações
❑ Processamento de Áudio e de Voz
❑ Processamento das harmônicas musicais (notas)
❑ Análise de sinais biológicos (Ex.: análise do ECG)
❑ Processamento de Imagem
Sinais e Sistemas
Introdução à Transformada de Fourier
46Prof. Francisco Januário
Aplicação em filtragem de imagens (minimização de
ruídos)
Sinais e Sistemas
Introdução à Transformada de Fourier
47Prof. Francisco Januário
Aplicação de filtro passa-alta (realce de contornos,
bordas)
Sinais e Sistemas
Introdução à Transformada de Fourier
48Prof. Francisco Januário
Aplicação de filtragem em imagens médicas (realce de
contornos, bordas)
Sinais e Sistemas
Introdução à Transformada de Fourier
49Prof. Francisco Januário
Fourier representou sinais aperiódicos em tempo contínuo,
considerando que qualquer sinal aperiódico pode ser visto
como um sinal periódico em um período infinito 𝑇 → ∞
Sinais e Sistemas
Representação da Transformada de Fourier
50Prof. Francisco Januário
(a) sinal aperiódico; (b) sinal periódico ෤𝑥(𝑡), construído para ser igual a 𝑥 𝑡 em um período
Pode-se calcular a Transformada de Fourier através de seus
pares denotados por 𝑥 𝑡 ↔ 𝑋 𝜔 .
(1) Transformada de Fourier de 𝑥 𝑡
𝑋 𝜔 = ℱ 𝑥(𝑡) = න
−∞
∞
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
(2) Transformada Inversa de Fourier de 𝑋(𝜔)
𝑥 𝑡 = ℱ−1 𝑋 𝜔 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
Sinais e Sistemas
Pares de Transformadas de Fourier
51Prof. Francisco Januário
Através da Transformada de Fourier e da Transformada Inversa
de Fourier pode-se observar o comportamento dos sinais nos
domínios da frequência e do tempo
-5 -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 -4.5 -4.4 -4.3 -4.2 -4.1 -4
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Sinal Não-Periódico
Domínio do TEMPO
Transformada de Fourier
Domínio da FREQUÊNCIA 
Sinais e Sistemas
Pares de Transformadas de Fourier
52Prof. Francisco Januário
Exemplo 4: Obtenha a transformada de Fourier do pulso
retangular dado por 𝑥 𝑡 = 𝑟𝑒𝑡( Τ𝑡 𝜏), mostrado abaixo:
Definindo 𝑥(𝑡) como
𝑥 𝑡 = 𝑟𝑒𝑡
𝑡
𝜏
= ቊ
1, 𝑡 < Τ𝜏 2
0, 𝑡 > Τ𝜏 2
Sinais e Sistemas
Pares de Transformadas de Fourier
53Prof. Francisco Januário
Exemplo 4 (solução): Aplicando a relação da transformada de
Fourier
𝑋 𝜔 = ℱ 𝑥(𝑡) = න
−∞
∞
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 = න
− Τ𝜏 2
Τ𝜏 2
1 ∙ 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑋 𝜔 = −
1
𝑗𝜔
൧𝑒−𝑗𝜔𝑡
Τ−𝜏 2
Τ𝜏 2
= −
1
𝑗𝜔
𝑒−𝑗 Τ𝜔𝜏 2 − 𝑒𝑗 Τ𝜔𝜏 2
Pela relação de Euler para o seno, sen 𝜃 =
𝑒𝑗𝜃−𝑒−𝑗𝜃
2𝑗
, então
𝑋 𝜔 = −
2
𝜔
𝑒−𝑗 Τ𝜔𝜏 2 − 𝑒𝑗 Τ𝜔𝜏 2
2𝑗
=
2
𝜔
sen Τ𝜔𝜏 2
Sinais e Sistemas
Pares de Transformadas de Fourier
54Prof. Francisco Januário
Exemplo 4 (solução): Multiplicando e dividindo a expressão do
slide anterior por Τ𝜏 2 teremos
𝑋 𝜔 = 𝜏 ∙
sen Τ𝜔𝜏 2
Τ𝜔𝜏 2
= 𝜏 ∙ sinc Τ𝜔𝜏 2
Plotando o gráfico
Sinais e Sistemas
Pares de Transformadas de Fourier
55Prof. Francisco Januário
A função 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝒙 = Τ𝐬𝐞𝐧(𝒙) 𝒙 é de importância na teoria de Sinais e
Sistemas e de Processamento Digital de Sinais.
A transforma de Fourier da função 𝐬𝐢𝐧𝐜 𝒙 é a função retangular.
Esta função é importante, em telecomunicações, para reconstrução
de sinais originais limitados por largura de banda.
Código Matlab/Octave
x = -2*pi:0.001:2*pi;
y = sinc(x);
plot(x, y);
Sinais e Sistemas
A Função SINC
56Prof. Francisco Januário
Alguns pares de transformas de Fourier importantes.
Sinais e Sistemas
Pares de Transformadas de Fourier
57Prof. Francisco Januário
𝒙(𝒕) 𝑿(𝝎)
𝑒−𝑎𝑡𝑢(𝑡)
1
𝑎 + 𝑗𝜔
, 𝑎 > 0
𝑒𝑎𝑡𝑢(−𝑡)
1
𝑎 − 𝑗𝜔
, 𝑎 > 0
𝑒−𝑎 𝑡
2𝑎
𝑎2 + 𝜔2
, 𝑎 > 0
𝑡𝑒−𝑎𝑡𝑢(𝑡)
1
𝑎 + 𝑗𝜔 2
, 𝑎 > 0
𝛿(𝑡) 1
𝛿(𝑡 − 𝑡0) 𝑒
−𝑗𝜔𝑡0
Alguns pares de transformas de Fourier importantes.
Sinais e Sistemas
Pares de Transformadas de Fourier
58Prof. Francisco Januário
𝒙(𝒕) 𝑿(𝝎)
1 2𝜋𝛿(𝜔)
𝑒𝑗𝜔0𝑡 2𝜋𝛿(𝜔 − 𝜔0)
cos 𝜔0𝑡 𝜋 𝛿 𝜔 − 𝜔0 + 𝛿 𝜔 + 𝜔0
sen 𝜔0𝑡 𝑗𝜋 𝛿 𝜔 + 𝜔0 − 𝛿 𝜔 − 𝜔0
𝑢(𝑡) 𝜋𝛿 𝜔 +
1
𝑗𝜔
𝑢(−𝑡) 𝜋𝛿 −𝜔 +
1
𝑗𝜔
1. Linearidade
𝑎𝑥1 𝑡 + 𝑏𝑥2 𝑡 ↔ 𝑎𝑋1 𝜔 + 𝑏𝑋2 𝜔
2. Deslocamento no Tempo
𝑥 𝑡 − 𝑡0 ↔ 𝑒
−𝑗𝜔𝑡0𝑋 𝜔
3. Deslocamento de Frequência (Multiplicação por Exponencial
Complexa)
𝑒−𝑗𝜔0𝑡𝑥 𝑡 ↔ 𝑋 𝜔 − 𝜔0
Sinais e Sistemas
Propriedades da Transformada de Fourier
59Prof. Francisco Januário
4. Mudança de Escala de Tempo
𝑥 𝑎𝑡 ↔
1
𝑎
𝑋
𝜔
𝑎
▪ A compressão de tempo 𝑎 > 1 de um sinal resulta na
expansão espectral.
▪ A expansão de tempo 𝑎 < 1 de um sinal resulta na
compressão espectral.
5. Inversão de Tempo
𝑥 −𝑡 ↔ 𝑋 −𝑗𝜔
Sinais e Sistemas
Propriedades da Transformada de Fourier
60Prof. Francisco Januário
6. Dualidade ou Simetria
𝑥 𝑡 ↔ 2𝜋𝑋 −𝜔
7. Diferenciação no Domínio do Tempo
𝑑
𝑑𝑡
𝑥 𝑡 ↔ 𝑗𝜔𝑋 𝜔
8. Diferenciação no Domínio da Frequência
−𝑗𝑡 𝑥 𝑡 ↔
𝑑
𝑑𝜔
𝑋 𝜔
9. Integração no Domínio do Tempo
න
−∞
∞
𝑥 𝜏 𝑑𝜏 ↔ 𝜋𝑋(0)𝛿 𝜔 +
1
𝑗𝜔
𝑋 𝜔
Sinais e Sistemas
Propriedades da Transformada de Fourier
61Prof. Francisco Januário
10. Convolução
𝑥1 𝑡 ∗ 𝑥2 𝑡 ↔ 𝑋1 𝜔 𝑋2 𝜔
11. Multiplicação
𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 ↔
1
2𝜋
𝑋1 𝜔 ∗ 𝑋2 𝜔
12. Relação de Parseval
න
−∞
∞
𝑥 𝑡 2𝑑𝑡 ↔
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋 𝜔 2𝑑𝜔
Sinais e Sistemas
Propriedades da Transformada de Fourier
62Prof. Francisco Januário
Exercício 5: Calcule a transformada de Fourier para os seguintes
sinais.
a) 𝑒−2 𝑡−1 𝑢(𝑡 − 1)
b) 𝛿 𝑡 + 1 + 𝛿(𝑡 − 1)
c) sen(2𝜋𝑡 + Τ𝜋 4)
d) 1 + cos(6𝜋𝑡 + Τ𝜋 8)
Sinais e Sistemas
Exercícios sobre Transformada de Fourier
63Prof. Francisco Januário
Um sistema LIT de tempo contínuo, com resposta ao impulso
ℎ(𝑡), terá uma saída 𝑦(𝑡) em resposta a 𝑥(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)
Aplicando a propriedade da convolução para a Transformada de
Fourier, temos
𝑌 𝜔 = 𝑋 𝜔 𝐻(𝜔)
Onde 𝑌 𝜔 , X 𝜔 e 𝐻 𝜔 , são as transformadas de Fourier de
𝑦 𝑡 , 𝑥 𝑡 e ℎ 𝑡 , respectivamente.
Sinais e Sistemas
Resposta em Frequência de Sistemas LIT
64Prof. Francisco Januário
Isolando 𝐻 𝜔 , a Resposta em Frequência do sistema é
𝐻 𝜔 =
𝑌(𝜔)
𝑋(𝜔)
= 𝐻 𝜔 𝑒𝑗𝜃𝐻(𝜔)
Sendo 𝐻 𝜔 a Resposta de Magnitude (ou Amplitude), e
𝜃𝐻(𝜔) a Resposta de Fase do sistema.
A resposta em frequência 𝐻 𝜔 caracteriza totalmente o
sistema LIT de tempo contínuo.
Sinais e Sistemas
Resposta em Frequência de Sistemas LIT
65Prof. Francisco Januário
Em uma transmissão, através de um sistema LIT, sem distorção,
o sinal de saída possui o mesmo formato do sinal de entrada,
exceto pela amplitude, e está atrasado no tempo.
Portanto, se 𝑥(𝑡) representar o sinal de entrada do sistema, e
𝑦(𝑡) a sua saída, esta saída será do tipo
𝑦 𝑡 = 𝐾𝑥 𝑡 − 𝑡0
Utilizando a propriedade de deslocamento no tempo para
transformada de Fourier na expressão anterior, obtém-se
𝑌 𝜔 = 𝐾𝑒−𝑗𝜔𝑡0𝑋(𝜔)
Sinais e Sistemas
Transmissão sem Distorção
66Prof. Francisco Januário
Assim, a resposta em frequência é
𝐻 𝜔 =
𝑌(𝜔)
𝑋(𝜔)
= 𝐾𝑒−𝑗𝜔𝑡0
Obtém-se a forma polar, comparando a resposta em frequência
𝐻 𝜔
𝐻 𝜔 = 𝐻 𝜔 𝑒𝑗𝜃𝐻(𝜔) = 𝐾𝑒−𝑗𝜔𝑡0
Logo,
𝐻 𝜔 = 𝐾
𝜃 𝜔 = −𝜔𝑡0
Sinais e Sistemas
Transmissão sem Distorção
67Prof. Francisco Januário
Concluindo, o espectro de frequência de 𝐻 𝜔 é constante
dentro da faixa de frequências de interesse, e a fase 𝜃 𝜔 é
linear com a frequência.
Sinais e Sistemas
Transmissão sem Distorção
68Prof. Francisco Januário
Um Filtro Passa-Baixas (FPB) pode ser implementado como um
circuito RC, onde 𝑥(𝑡) representa a entrada do filtro e 𝑦(𝑡) a
sua saída.
Aplicando-se a LCK no nó A, obtém-se
𝑖𝑅 = 𝑖𝐶 ⇒
𝑥 𝑡 − 𝑦(𝑡)
𝑅
= 𝐶
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
Resultando em
𝑅𝐶
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡)
Sinais e Sistemas
Resposta em Frequência de CircuitosRC
69Prof. Francisco Januário
Aplicando a Transformada de Fourier, obtém-se
𝑅𝐶𝑗𝜔𝑌 𝜔 + 𝑌 𝜔 = 𝑋 𝜔 ⇒ 𝑌 𝜔 1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶 = 𝑋 𝜔
𝑌 𝜔
𝑋 𝜔
=
1
1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶
= 𝐻 𝜔
Considerando que a frequência de corte é 𝜔0 = Τ1 𝑅𝐶, então a
Resposta em Frequência do FPB é
𝐻 𝜔 =
1
1 + 𝑗 Τ𝜔 𝜔0
As respostas de Amplitude e Fase são
𝐻 𝜔 =
1
1 + 𝑗 Τ𝜔 𝜔0
=
1
1 + Τ𝜔 𝜔0
2
𝜃 𝜔 = −arctan Τ𝜔 𝜔0
Sinais e Sistemas
Resposta em Frequência de Circuitos RC
70Prof. Francisco Januário
Um Filtro Passa-Altas (FPA) pode ser implementado como um
circuito RC, onde 𝑥(𝑡) representa a entrada do filtro e 𝑦(𝑡) a
sua saída.
Aplicando-se a LCK no nó A, obtém-se
𝑖𝐶 = 𝑖𝑅 ⇒ 𝐶
𝑑 𝑥 𝑡 − 𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑦(𝑡)
𝑅
Resultando em
𝑅𝐶
𝑑 𝑥 𝑡 − 𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑦(𝑡)
Sinais e Sistemas
Resposta em Frequência de Circuitos RC
71Prof. Francisco Januário
Aplicando a Transformada de Fourier, obtém-se
𝑅𝐶𝑗𝜔 𝑋 𝜔 − 𝑌 𝜔 = 𝑌 𝜔 ⇒ 𝑅𝐶𝑗𝜔𝑋 𝜔 = 𝑌 𝜔 1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶
𝑌 𝜔
𝑋 𝜔
=
𝑗𝜔𝑅𝐶
1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶
=
1
1 + Τ1 𝑗𝜔𝑅𝐶
= 𝐻 𝜔
Considerando que a frequência de corte é 𝜔0 = Τ1 𝑅𝐶, então a
Resposta em Frequência do FPA é
𝐻 𝜔 =
1
1 + Τ1 𝑗 Τ𝜔 𝜔0
As respostas de Amplitude e Fase são
𝐻 𝜔 =
1
1 + Τ1 𝑗 Τ𝜔 𝜔0
=
1
1 + Τ1 Τ𝜔 𝜔0
2
𝜃 𝜔 = −arctan Τ1 𝑗 Τ𝜔 𝜔0
Sinais e Sistemas
Resposta em Frequência de Circuitos RC
72Prof. Francisco Januário