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Matemática Financeira www.ifcursos.com.br Prof. Eric Vinícius Freire 
INTRODUÇÃO: 
 
O principal conceito que orientará todo o nosso raciocínio ao longo deste 
curso é o conceito do valor do dinheiro no tempo. Empréstimos ou 
investimentos realizados no presente terão seu valor aumentado no futuro. 
Inversamente, valores disponíveis no futuro, se considerarmos ou avaliarmos 
no presente, terão seus valores reduzidos. 
 
JURO 
Segundo o Dicionário Eletrônico Aurélio - Versão 1.3: 
Juro 
[Do lat. jure.] 
S. m. 
1. Lucro, calculado sobre determinada taxa, de dinheiro emprestado ou de capital 
empregado; rendimento, interesse. [Sin. (bras., RJ, gír.): jurema.] 
2. Fam. Recompensa (2). 
3. Ant. Jus, direito. 
· Juro composto: O que se soma ao capital para o cálculo de novos juros nos 
tempos seguintes. 
· Juro simples: O que não se soma ao capital para o cálculo de novos juros nos 
tempos seguintes. 
· Pagar com juros. Bras.: Pagar caro. 
 
FATOR DE FORMAÇÃO DE JURO 
 
O valor do juro é obtido aplicando-se a taxa de juros sobre um valor. A 
taxa é representada na forma percentual e o valor a que este percentual incide 
pode ser o valor aplicado (inicial de um investimento), o valor original de uma 
prestação, ou seja, sobre qualquer valor. 
 
VJ = VA x j 
Onde: 
VJ – Valor do juro 
VA – Valor aplicado 
J – Taxa de juro * 
 
*Taxa de juro na forma unitária – j=10% => j= 10/100 => j= 0,1 
 
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Exemplo: 
· Uma determinada aplicação rende 5 % a.m. (ao mês), qual o valor do juro em 
um mês, para R$ 10.000,00 aplicados? 
R.: VJ = 10.000,00 x 0,05  VJ = R$ 500,00 
Este conceito pode ser aplicado para calcularmos o aumento de preço de um 
determinado produto. Basta usar o valor do aumento no lugar do VJ e o valor 
atual no lugar de VA. 
· Um comerciante deseja aumentar seus produtos em 4 %. Qual o valor do 
aumento para um produto que custa R$ 500,00? 
R.: V_aumento = 500,00 x 0,04  V_aumento = R$ 20,00 
 
JUROS SIMPLES: 
 
 
O conceito de juro é dado pela diferença entre o resgate de um 
investimento e o capital investido. O juro simples é calculado somente sobre o 
capital, não havendo interferência dos juros passados em seu cálculo. 
O valor calculado a partir do juro simples é resultante da multiplicação 
do fator de juros pelo valor inicial e pelo número de períodos. 
 
NOTAÇÃO: J 
 
TAXA DE JURO: 
 
É o coeficiente de proporcionalidade entre o juro e o capital cedido. a 
taxa de juro expressa a relação de grandeza existente entre o juro e o recurso 
financeiro que o mesmo remunera. 
 
NOTAÇÃO: i 
 
A taxa de juro pode apresentar-se de duas formas: 
CENTESIMAL: 
EX: i = 0,10 
OU 
PERCENTUAL 
EX: i = 10% 
 
 
 
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VALOR PRESENTE : 
 
Valor disponível para ser emprestado. Dinheiro conhecido sob diversas 
formas, tais como: principal, capital, valor atual, valor presente, valor 
disponível, valor real, etc. 
 
NOTAÇÃO: PV 
 
VALOR FUTURO: 
 
Também chamado de valor futuro, o montante é empregado para 
caracterizar o acréscimo de juro sobre o valor presente ou capital. 
 
NOTAÇÃO: FV 
NÚMERO DE PERÍODOS: 
 
É o prazo em que o capital fica disponível para o tomador do recurso. 
Determinará em conjunto com a taxa de juros e o valor tomado como 
empréstimo (capital) o valor do juro e do montante. 
 
NOTAÇÃO: n 
QUADRO RESUMO DAS NOTAÇÕES: 
JURO = J 
TAXA DE JURO = i 
VALOR PRESENTE = PV (capital aplicado) 
VALOR FUTURO = FV (montante) 
NÚMERO DE PERÍODOS = n 
FÓRMULAS: 
 FV = PV. (1 + i.n); 
 PV = ; 
 J = FV – PV ; 
 J = PV. i. n 
 
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EXEMPLOS: 
1. Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $ 1.000,00 pelo prazo de 
2 anos e à taxa de 10% a.a. qual será o valor a ser pago como juro? 
2. Quanto rende um principal de $ 100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e 
por um prazo de 2 anos? 
3. Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa de 10% a.a. 
pelo prazo de 2 anos? 
 
 
TAXA PROPORCIONAL: 
 
 
Consideremos duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2, relacionadas 
respectivamente aos períodos n1 e n2, referidos à unidade comum de tempo 
das taxas. 
Estas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de quociente 
das taxas com o quociente dos respectivos períodos, ou seja, se: 
 
 
Como em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos, temos: 
 
 . 
 
Ou seja, podemos escrever a fórmula do seguinte modo: 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1. Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. 
 
2. Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional 
mensal. 
3. Sendo dada a taxa de 10% ao semestre, achar a taxa trimestral que lhe é 
proporcional. 
 
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TAXAS EQUIVALENTES: 
 
Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicando um mesmo capital às 
duas taxas e pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzem o mesmo juro. 
 
Importante: em juros simples, taxas equivalentes são também taxas 
proporcionais. Então se pode aplicar a mesma fórmula. 
 
PARA PERÍODOS NÃO INTEIROS: 
 
A solução pode ser obtida em duas etapas: 
 
1. Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de períodos. 
2. Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro 
correspondente. 
 
Exemplos: 
 
1. Seja um capital de $ 10.000,00, que pode ser aplicado alternativamente à 
taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. supondo um prazo de aplicação de 2 anos, 
verificar se as taxas são equivalentes. 
 
 
 
 
2. Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é aplicado à 
taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses? 
 
 
 
 
DESCONTO 
 
 
Segundo o Dicionário Eletrônico Aurélio - Versão 1.3: 
Desconto 
[De des- + conto2.] 
S. m. 
1. Ato ou efeito de descontar. 
2. V. abatimento (7). 
3. Cont. Operação bancária de aquisição antecipada de títulos cambiais ou de legítimo 
comércio mediante um prêmio ou juro. 
4. Cont. O prêmio ou juro dessa operação. 
5. Bras. Perda de peso que o gado sofre durante uma viagem. 
 
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Pode-se exemplificar duas formas de descontos: 
A primeira diz respeito à necessidade de se retirar um valor aplicado 
antes de seu vencimento. Neste caso o aplicador deve ir junto ao tomador do 
recurso e levantar o principal e os juros já ganhos. A segunda é uma situação 
onde uma empresa que vende a prazo, e necessita de capital imediatamente. 
Esta pode ir a um banco e transferir a posse da duplicata, recebendo dinheiro 
em troca. 
Desconto, portanto, é o abatimento que se faz no valor de uma dívida 
quando ela é negociada antes da data do seu vencimento. 
O documento que atesta a dívida é denominado genericamente por 
título de crédito. São exemplos de título de crédito as notas promissórias, as 
duplicatas e as letras de câmbio. 
Valor nominal, ou valor de face, é o valor do título de crédito, ou seja, 
aquele que está escrito no título e que seria pago na data do seu vencimento. 
Valor líquido é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes 
de sua data de vencimento. É sempre menor que o valor nominal, pois o título 
sofreu um desconto. 
O valor líquido também é chamado de valor atual, valor descontado 
(que sofreu o desconto – não confundir com “valor do desconto”), valor pago. 
Prazo de antecipação é o intervalo de tempo entre a data em que o 
título é negociado e a data de vencimento do mesmo. 
Vamos resumir o que temos até agora num esquema: 
 
(Antes do vencimento) (Vencimento) 
 (prazo de antecipação) 
Valor líquido -------------------------------------------------- Valor Nominal 
 + desconto 
 
 
Observe queo desconto sempre é a diferença entre o valor nominal e o valor 
líquido. 
 
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Estudaremos dois tipos de desconto: 
 
1. Desconto “por dentro”, ou racional, é aquele onde a referência para o 
cálculo porcentual do desconto é o valor líquido. 
 
Desconto por dentro ou racional 100% é o valor líquido 
 
Nesse caso nosso esquema será: 
 
(100%) (100 + d)% 
 + d% 
Valor líquido ---------------------------------------------- Valor nominal 
 Desconto  
 
Atenção: o valor do desconto é sempre diretamente proporcional ao 
prazo de antecipação do título. 
2. Desconto “por fora” ou desconto comercial, é aquele onde a referência 
para o cálculo porcentual do desconto é o valor nominal. 
 Desconto por fora ou comercial 100% é o valor nominal 
 
Nesse caso o nosso esquema será: 
 
(100-d) % +d% 100% 
Valor líquido -------------------------------------------- Valor nominal 
 Desconto  
 
Para resolver um problema de desconto simples, tudo que temos que 
fazer é: 
1- Identificar qual tipo de desconto no problema; 
2- Procurar preencher o “esquema” correspondente de acordo com os 
dados do problema; 
3- Calcular o valor de que precisamos esquema, usando regra de três; 
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EXERCÍCIOS 
1- Determinar o desconto por dentro sofrido por um título de R$ 650,00, 
descontado dois meses antes de seu vencimento à taxa de 15% a.m. 
 
 
 
 
2- Determinar o valor nominal de um título que, descontado 
comercialmente, 60 dias antes do vencimento e à taxa de 12% ao 
mês, resultou no valor descontado de R$ 608,00. 
 
 
 
 
 
 
EQUIVALÊNCIA ENTRE AS TAXAS DE DESCONTO SIMPLES 
 
 Uma promissória foi descontada comercialmente à taxa simples de 5% 
a.m. 15 meses antes do seu vencimento. Se o desconto fosse racional 
simples, qual deveria ser a taxa adotada para produzir um desconto de 
igual valor? 
 
 
 
 
 
 
 
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Pode-se provar que vale sempre a relação: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
C%= taxa comercial simples por período 
R%= taxa racional simples por período 
n= número de períodos de antecipação 
 
RELAÇÃO ENTRE OS DESCONTOS COMERCIAL ( E RACIONAL ( 
 
 
Sejam e os valores dos descontos comercial e racional, 
respectivamente, ambos calculados para um mesmo título, a uma 
mesma taxa de d% ao período, e ambos negociados com um mesmo 
prazo de antecipação de p períodos. 
Nessas condições, teremos que: 
O valor desconto racional ( acrescido de d% ao período sobre 
seu valor é igual ao valor do desconto comercial . 
 
 100% (100 + pd)% 
 $ ------------------------------------------- $ 
 +(p.d)%  
Ou, algebricamente temos: 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1 – Um título com valor nominal de R$3200,00 foi resgatado dois meses antes 
do seu vencimento, com um desconto racional simples à taxa de 30%a.m.De 
quanto foi o valor pago pelo título? 
a) R$2000,00 
b) R$1920,00 
c) R$1280,00 
d) R$1200,00 
e) R$1180,00 
 
 
2 – Qual o valor do desconto por dentro sofrido por uma nota promissória de 
R$ 4160,00, descontada 8 meses antes do seu vencimento,à taxa de 6%a.a. 
a) R$166,40 
b) R$164,00 
c) R$160,00 
d) R$146,60 
e) R$140,00 
 
 
3 – Qual o prazo de antecipação de um título que, descontado racionalmente, à 
taxa de juros de 4% a.m.,produziu um desconto de R$300,00, se o seu valor 
nominal era de R$1800,00? 
a) 4 meses e 5 dias 
b) 5 meses 
c) 5 meses e 10 dias 
d) 5 meses e 15 dias 
e) 5 meses e 20 dias 
 
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4 – O valor atual racional de um título é igual a 4/5 de seu valor nominal. 
Sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 6 meses, qual é a 
taxa anual de desconto? 
a) 15% 
b) 20% 
c) 25% 
d) 35% 
e) 50% 
 
5 – Tendo sido descontado por dentro a 9%a.a., uma duplicata teve um 
desconto de R$1000,00. Qual era o valor nominal da duplicata se ela foi paga 1 
ano,1 mês e 10 dias antes do vencimento? 
a) R$9320,00 
b) R$10000,00 
c) R$10138,88 
d) R$11000,00 
e) R$11152,77 
 
6 – Qual é o valor do desconto bancário (comercial) sofrido por uma 
promissória de R$3000,00,à taxa de 8%a.m. 3 meses antes de seu vencimento? 
a) R$270,00 
b) R$384,42 
c) R$580,65 
d) R$720,00 
e) R$765,46 
 
7 – A que taxa anual, um título de R$2000,00 dá um desconto por fora igual 
R$400,00, se for antecipado em 6 meses? 
a) 40% 
b) 30% 
c) 20% 
d) 10% 
e) 5% 
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8 – Descontado por fora, à taxa de 4%a.m., três meses antes de seu 
vencimento, um título sofreu um desconto de R$2400,00.Qual era o valor 
nominal desse título? 
a) R$18400,00 
b) R$19600,00 
c) R$20000,00 
d) R$22400,00 
e) R$24200,00 
 
 
9 – Uma nota promissória foi descontada, por fora, três meses e dez dias antes 
do vencimento, à taxa de 10%a.m., produzindo um desconto de R$400,00.Qual 
era o valor de face da promissória? 
a) R$1120,00 
b) R$1200,00 
c) R$1230,00 
d) R$1320,00 
e) R$1330,00 
 
 
10 – A diferença entre os descontos comercial e racional incidentes sobre um 
mesmo título é de R$3,00.Sabendo que ambos foram calculados à taxa de 
15%a.a. e 4 meses antes do vencimento,qual o valor nominal desse título? 
a) R$1060,00 
b) R$1120,00 
c) R$1160,00 
d) R$1200,00 
e) R$4126,00 
 
 
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Gabarito: 
1- A 
2- C 
3- B 
4- E 
5- D 
6- D 
7- A 
8- C 
9- B 
10 – e 
 
JUROS COMPOSTO 
 
Chamamos de regime de juros compostos aquele onde os juros de cada 
período são calculados sobre o montante do período anterior. 
Ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período passam a integrar o 
valor do capital ou o montante que serviu de base para o seu cálculo de modo 
que o total assim conseguido será a base do cálculo dos juros do próximo 
período. 
Exemplo: 
Vamos acompanhar os montantes, mês a mês, de uma aplicação de R$1000,00 
à taxa de 10%a.m. por um período de 4 meses no regime de juros compostos: 
Período Juros no fim do período Montante 
1ºmês 10% de R$1000,00=R$100,00 R$1100,00 
2º 10% de R$1100,00=R$110,00 R$1210,00 
3º 10% de R$1210,00=R$121,00 R$1331,00 
4º 10% de R$1331,00=R$133,10 R$1464,10 
 
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Observe que: 
 Os juros e o montante, no fim do 1º mês, são iguais aos que seriam 
produzidos no regime de juros simples; 
 Cada novo montante é obtido é obtido calculando-se um aumento de 
10% sobre o montante anterior, o que resulta em aumentos sucessivos 
a uma taxa fixa de 10%; 
 Os juros vão se tornando maiores a cada mês, de modo que, após o 1º 
mês, a diferença entre um montante calculado no regime de juros 
compostos e o correspondente valor no regime de juros simples vai se 
tornando cada vez maior. 
 
Dá-se o nome de capitalização ao processo de incorporação dos 
juros ao capital ou montante de uma operação financeira. Contudo, é 
comum encontrarmos as expressões: regime de capitalização simples e 
regime capitalização composta no lugar de regime de juros simples e 
regime de juros compostos. 
 
 
 
 
 
MONTANTE NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS 
 
Como vimos acima, no regime de juros compostos, o montante ao fim de 
um determinado período resulta de um cálculo de aumentos sucessivos. 
Então, sejam: 
C= Capital aplicado 
M= Montante na aplicação ao fim de n períodos 
I= forma unitária da taxa efetiva da aplicação 
n = número de períodos de capitalizações 
 
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Matemática Financeira www.ifcursos.com.br Prof. Eric Vinícius FreirePoderemos expressar o montante (M) em função dos outros três 
elementos do seguinte modo: 
M= C x (1+i) x (1+i) x ... x (1+i)= C x 
 n fatores 
Na fórmula acima, o montante está isolado. Mas poderemos calcular 
qualquer um dos quatro elementos nela envolvidos desde que conheçamos os 
outros três e isolemos convenientemente o elemento a ser calculado em cada 
caso. (fazer a demonstração das fórmulas na sala) 
 C = 
 I = 
 n = 
 
EXERCÍCIOS 
 
1- Um capital de R$200,00 foi aplicado em regime de juros compostos a 
uma taxa de 20% ao mês. Calcular o montante desta aplicação após três 
meses. 
 
 
 
 
2- Um comerciante consegue um empréstimo de R$60000,00 que deverão 
ser pago, ao fim de um ano, acrescidos de juros compostos de 2% ao 
mês. Quanto o comerciante deverá pagar ao fim do prazo combinado? 
 
 
 
 
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CONVENÇÃO LINEAR 
 
3- Calcular o montante para um capital inicial de R$10000,00 aplicado a 
juros compostos de 6%a.a. durante oito anos e quatro meses, 
considerando a convenção linear. 
 
Solução: 
1ª etapa - Calcular o montante composto para o maior número possível 
de períodos inteiros; 
2ª etapa - Acrescentar ao resultado da 1ª etapa os juros simples 
proporcionais à parte fracionária restante do tempo de aplicação, 
calculados sobre o montante obtido na 1ª etapa do cálculo. 
 
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 
 
 
Onde: 
a  logaritmando; 
b  logaritmo; 
c  base do logaritmo 
 
1 -  Logaritmo do produto é igual a soma de 
logaritmos de cada fator na mesma base; 
2 -  Logaritmo do quociente é igual à diferença de 
logaritmos do dividendo e do divisor na mesma base; 
3 –  O número real multiplicado por um logaritmo torna-
se expoente do logaritmando; 
4 – Se A=B, então  Princípio da identidade. 
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 Usando logaritmos, temos a seguinte situação: 
Um capital de R$8000,00 foi aplicado à taxa composta de 12%a.a., gerando um 
montante de R$15790,56. Determinar quanto tempo durou esta aplicação? 
 
CONVERSÃO DA TAXA NOMINAL(PROPORCIONAL) EM TAXA EFETIVA 
 
A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita ajustando-se o valor 
da taxa nominal proporcionalmente ao período de capitalização. Isto pode ser 
feita com uma regra de três simples e direta. 
Exemplos: 
 
1- Um problema de juros compostos faz referência a uma taxa de juros 
de 72% ao ano com capitalizações mensais. Qual deverá ser a taxa 
mensal que usaremos para calcular o montante? 
 
 
2- Uma aplicação financeira paga juros compostos de 8% ao ano, 
capitalizados trimestralmente. Qual a taxa de juros efetiva trimestral 
praticada nesta operação? 
 
 
 
3- Calcular o montante que resultará de um capital de R$5000,00, ao fim 
de 2 anos,aplicados os juros compostos de 32% ao ano com 
capitalização trimenstral. 
 
 
 
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TAXAS EQUIVALENTES NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS 
 
Dizemos que duas taxas são equivalentes, quando aplicadas a capitais 
iguais,produzem juros também iguais. 
Demonstração: 
Dados dois capitais , sendo que ·, ambos aplicados em 
regime de capitalização composta respectivamente a taxas , 
equivalentes, durante períodos também equivalentes, gerando os 
montantes tem-se, portanto, a seguinte relação matemática: 
 , logo: 
 x x , como temos: 
 , calculando a raiz de índice em ambos os 
lados da equação temos: 
 , aplicando a propriedade da radiciação se 
obtém: 
 , isolando no primeiro membro da equação 
temos: 
 , ou se isolarmos temos: 
 
 
Exemplos: 
Qual a taxa trimestral de juros compostos equivalente à taxa composta 
de 20% a.m.? 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1- A aplicação de R$5000,00 à taxa de juros compostos 20%a.m. irá gerar, 
após quatro meses, o montante de: 
 
a) R$10358,00 
b) R$10368,00 
c) R$10378,00 
d) R$10388,00 
e) R$10398,00 
 
2- A aplicação do capital de R$10000,00, no regime de juros compostos, 
pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, ao final 
do terceiro mês, um montante acumulado: 
 
a) De R$3000,00 
b) De R$13000,00. 
c) Inferior a R$13000,00. 
d) Superior a R$13000,00. 
e) Menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples. 
 
 
3- Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos,na 
base de 10% ao ano,seu montante final: 
 
a) 30% superior ao capital inicial. 
b) 130% do valor do capital inicial. 
c) Aproximadamente 150% do capital inicial. 
d) Aproximadamente 133% do capital inicial. 
e) Aproximadamente 155% do capital inicial. 
 
 
 
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4- Um investidor aplicou a quantia de R$100000,00 à taxa de juros 
compostos de 10%a.m.Que montante este capital irá gerar após 4 
meses? 
 
a) R$140410,00 
b) R$142420,00 
c) R$144410,00 
d) R$146410,00 
e) R$148410,00 
 
5- A caderneta de poupança remunera seus aplicadores à taxa de 6% ao 
ano, capitalizada mensalmente no regime de juros compostos. Qual o 
valor do juro obtido pelo capital de R$80000,00 durante dois meses? 
a) R$801,00 
b) R$802,00 
c) R$803,00 
d) R$804,00 
e) R$805,00 
 
6- No Brasil as cadernetas de poupança pagam, além da correção 
monetária, juros compostos à taxa nominal de 6%a.a.,com capitalização 
mensal.A taxa efetiva bimestral é, então,de 
a) 1,00025% a.b. 
b) 1,0025% a.b. 
c) 1,025% a.b. 
d) 1,25% a.b. 
e) 1,00% a.b. 
 
7- A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a 
uma taxa efetiva bimestral de 
a) 20% 
b) 21% 
c) 22% 
d) 23% 
e) 24% 
22 
 
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8- A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a 
uma taxa trimestral de: 
a) 60% 
b) 66,6% 
c) 68,9% 
d) 72,8% 
e) 84,4% 
 
9- Um certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada dois 
meses.Essa aplicação renderá 700% de juros em: 
a) 5 meses e meio 
b) 6 meses 
c) 3 meses e meio 
d) 5 meses 
e) 3 meses 
 
10 – Determina quantia investida à taxa de juros compostos de 20%a.a. 
capitalizados trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada, o prazo de 
aplicação, em trimestres, deve ser: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
 
 
23 
 
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Gabarito: 
1 – b 
2 – c 
3 – d 
4 – d 
5 – d 
6 – b 
7 – b 
8 – d 
9 – b 
10 - b 
 
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 
 
Considere um título com valor nominal N, vencível em n períodos e um 
valor atual A que produz um montante igual a N quando aplicado em n 
períodos a uma taxa composta de i por período: 
 
A x 
 
Denomina-se desconta racional composto à taxa i, com n períodos de 
antecipação, à diferença entre o valor nominal N e o valor atual A do título, 
conforme definidos acima: 
 
D = N – A 
 
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Exemplos: 
 
1 – Determinar o desconto racional composto sofrido por um título cujo 
valor nominal é de R$16872,90, se a taxa de juros compostos for de 4% a.m. e 
ele for descontado 3 meses antes do seu vencimento. 
 
 
 
2 – Um título foi pago dois meses ante de seu vencimento, obtendo 
assim um desconto racional composto à taxa de 20%a.m.Sendo de R$1728,00 o 
valor nominal do título,quanto foi pago por ele? 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1- Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive um 
desconto racional composto, que foi calculado com base na taxa de 
20% a.m.Sendo R$ 31104,00 o valor nominal do título,quanto paguei 
por ele? 
 
a) R$21600,00 
b) R$21700,00 
c) R$21800,00 
d) R$21900,00 
 
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2- Uma empresa tomou emprestada de um banco, por seis meses, a 
quantia de R$1000000,00 à taxa de juros compostos 19,9%a.m.No 
entanto,1 mês antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a 
dívida.Qual o valor a ser pago,se o banco opera com uma taxa de 
desconto racional composto de 10%a.m.?(considere ) 
a) R$2400000,00 
b) R$2500000,00 
c) R$2600000,00 
d) R$2700000,00 
 
3- Uma empresa estabelece um contrato de leasing para o 
arrendamento de um equipamento e recebe como pagamento uma 
promissória no valor nominal de R$1166400, 00, descontada dois 
meses antes de seu vencimento, à taxa de 8%a.m.Admitindo-se que 
foi utilizado o sistema de capitalização composta,o valor do desconto 
racional será de: 
a) R$194089,00 
b) R$186624,00 
c) R$166400,00 
d) R$116640,00 
 
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO 
 
Dado um título de valor nominal N, denominamos desconto comercial 
composto para n períodos de antecipação e a uma taxa de d% ao período ao 
abatimento ocasionado por n descontos sucessivos de d% calculados a partir 
do valor nominal do título, N. 
Podemos representar o desconto comercial composto pelo seguinte 
esquema: 
Valor Líquido Descontos sucessivos Valor Nominal 
  
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Exemplo: 
1- Um título de R$1000,00 deve ser resgatado três meses antes do seu 
vencimento, pelo critério do desconto comercial composto e a uma taxa 
de 10%a.m.O valor líquido pelo qual o título será resgatado é: 
R$729  R$810,00  R$900,00  R$1000,00 
Três descontos sucessivos de 10% 
Observação: 
O valor líquido ao final dos três descontos sucessivos poderia ser calculado 
multiplicando-se o valor nominal do título três vezes por 0,90 (100%-10%). 
R$Líquido= R$1000,00 x 0,9 x 0,9 x 0,9 
R$líquido=R$1000,00 x = R$1000,00 x 0, 729= R$729,00 
 
VALOR LÍQUIDO NO DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO 
Generalizando o procedimento que descrevemos no exemplo anterior, 
podemos dizer que um título de valor nominal N descontado pelo critério do 
desconto comercial composto, n períodos antes do seu vencimento e a uma 
taxa igual i por período apresentará um valor líquido L conforme demonstração 
do exemplo abaixo: 
 
Exemplo: 
1- Um título de R$2000,00 será resgatado três anos antes de seu 
vencimento pelo critério do desconto comercial composto à taxa de 
20%a.a. com capitalizações semestrais. Qual será o valor líquido?(dado: 
= 0,531441) 
 
 
 
 
 
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EQUIVALÊNCIA ENTRE AS TAXAS DE DESCONTO RACIONAL E COMERCIAL 
COMPOSTO 
 
Duas taxas de desconto são equivalentes se e somente se produzem 
descontos iguais quando aplicadas a um mesmo título e por igual prazo de 
antecipação. 
Considerando o mesmo período de capitalização para uma taxa de 
desconto racional e outra taxa de desconto comercial, poderemos afirmar 
que a equivalência entre será dada conforme demonstração abaixo: 
Exemplo: 
1- Determinar a taxa mensal de desconto racional equivalente à taxa de 
desconto comercial de 20%a.m. 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1- Um título de R$5000,00 será descontado 2 meses antes do vencimento 
pelo critério de desconto comercial à taxa de 60% ao ano com 
capitalização mensal.O valor desconto será: 
 
a) R$487,50 
b) R$464,85 
c) R$512,50 
d) R$4512,50 
e) R$4535,15 
 
 
 
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2- Uma duplicata de R$3000,00 deverá ser descontada 3 anos antes de seu 
vencimento a uma taxa de 25% a.a. pelo critério do desconto racional 
composto.Qual seria a taxa anual a ser adotada para obter-se um 
desconto igual pelo critério de desconto comercial composto? 
 
a) 33,3% a.a. 
b) 28% a.a. 
c) 25% a.a. 
d) 20% a.a. 
e) 18% a.a. 
 
3- Uma duplicata no valor de R$2000,00, é resgatada dois meses antes do 
vencimento, obedecendo ao critério de descontos comercial composto. 
Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, o valor descontado 
e o valor desconto são, respectivamente, de: 
 
a) R$1600,00 e R$400,00 
b) R$1620,00 e R$380,00 
c) R$1640,00 e R$360,00 
d) R$1653,00 e R$360,00 
e) R$1666,67 e R$333,33 
 
Gabarito: 
1 – a 
2 – b 
3 - b